Computing structural chemistry and biology

Computing structural
chemistry and biology
Chemistry and biology with computers
http://www.nobel.se/chemistry/laureates/1998/illpres/index.html
Why computing chemistry
Snížené náklady na laboratorní
experimenty
Zvýšená bezpečnost při práci s
toxickými látkami
Předpověď chování nových látek
Why computing chemistry
Interpretace experimentálních dat - NMR refinement
pomocí MD, mapy elektronových hustot v RTG
Pohled „za experiment“ - kam experiment nedosáhne...
50μs
4ns
NMR
vnitřní
pohyby
10ms
NMR nevidí...
MD
MD nevidí...
Why computing Biology
Rational drug design ($$$)
Založený na MECHANISMU reakce:
Kvantově-mechanické studium reakční cesty, popis tranzitního
stavu…
Založený na RECEPTORU:
Známe X-ray strukturu enzymu, komplexu. Návrhy nových
inhibitorů, docking…
Založený na LIGANDU:
Neznáme exp. strukturu receptoru. Konformační prohledávání
ligandů, výpočet elektron. vlastností, farmakofor, QSAR
Metody výpočtu energie
Kvantová mechanika
Molekulová mechanika
formaldehyd
vázaný
vodíkovou
vazbou k
fluorovodíku
Energie vypočtená
řešením Schrodingerovy
rovnice
Energie vypočtená z
mechanického modelu
Energie pnutí
Metody molekulového
modelování
Ab initio
kvantová
mechanika
Semiempirická
kvantová
mechanika
Molekulová
mechanika
100 atomů
1000 atomů
100 000 atomů
Exaktní řešení
Schrodingerovy rovnice
Aproximativní řešení
Schrodingerovy rovnice
roste výpočetní náročnost
Užití empiricky odvozené
potenciálové funkce
použití empirických parametrů
Hyperplocha potenciální energie
Potential Energy (hyper)Surface (PES)
tranzitní stav
Energie = funkce struktury
Globální
minimum
Energie
Lokální
minimum
„reakční“ bariéra
Reakční koordináta
Souřadné systémy - Methan
Dvě vnitřní souřadnice:
15 kartézských
C -- H … 1.09 Å
souřadnic
H—C—H …109.5 deg
Alanin
O
CH3
O=C-NH-CH-C-NH-CH3
CH3
ACE
ALA
NME
9
5
1
Kartézské
souřadnice:
X, Y, Z
Počet atomů
N
Počet souřadnic 3N
Vnitřní souřadnice
Torzní uhly
fixní valenční uhly
2
6
4
3
7
8
10
11
12
Hyperplocha potenciální energie
(PES)
Ramachandranova mapa
β struktura
2D plocha:
torzní úhly ϕ a φ v proteinech
C-N-Cα-C
N-Cα-C-N
φ
ϕ
Cα
pravotočivá α
šroubovice
αL ,γ-obrat
Quantum chemistry
Born-Oppenheimerova
aproximace
oddělení vlnové funkce pro elektrony a pro jádra
hmotnost jádra >> hmotnost elektronu
⇒ eliminace elektronů
⇒ potenciální energie (PES) je funkcí polohy jader
Kvalitativní MO teorie
2 H • → H2
2 1s atomové orbitaly
(AO)
(každý na 1 atomu H)
2 molekulové
orbitaly (MO):
antivazebný
vazebný
(obsazen 2 e)
Molecular Orbitals
• Bonding orbitals - concentrate electron density
between atoms
– H2 σg (1sa + 1sb)
• Antibonding orbitals - nodal plane in electron
density between atoms
– H2 σu* (1sa - 1sb)
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/molecule/hmol.html
Homonuclear Diatomics
http://science.widener.edu/svb/molecule/mo.html
http://xbeams.chem.yale.edu/~batista/vvv/node33.html
MO orbitaly lineární AH2
AO (fragmentové
orbitaly) → MO
H–A-H
2pz
2py
2px
2s
4 AO atomu A
2 AO atomu H
MO orbitály lomená H2A
z
y
x
C2
C2v bodová grupa:
A
H
H
dvojčetná osa symetrie
2 roviny symetrie v ose C2
MO orbitaly lomené H2A
4 AO na atomu A
b1
a1
2px
2s
a1
b2
2py
2 AO dvou vodíků
2pz
z
b2
y
a1
x
MO orbitaly H2A
Podmínky vzniku vazby:
stejná symetrie fragmentálních orbitalů ⇒
co největší překryv
malý rozdíl energie
Energie
6 AO → 6 MO
Polyatomic molecules
• Linear combinations of atomic orbitals
• MO’s delocalized over several atoms
2b2
2σu
4a1
3σg
1b1
1πu
1b2
3a1
1σu
2a1
2σg
1a1
1σg
H2 O
BeH2
Electron Density
• In quantum mechanics, there are two ways
of describing electron location and energy
Ψ: wavefunction
ρ: electron density ρ = Ψ2
• Electron density: probability of locating the
electron
Visualization Methods
Variables: x, y, z, Ψ (or Ψ2)
Contour plots
Dot plots
2σg
Surface plots
2σg
science.uwaterloo.ca/~cchieh/cact/c120/pibond.html
http://www.shef.ac.uk/chemistry/orbitron/AOs/1s/e-density.html
• Positively charged nucleus
attracts electron density
ρ varies with distance from
nucleus
ρ depends on distance, not
direction
• isodensity surfaces ("same
density" surfaces) map of points
where ρ has a particular value
http://academic.reed.edu/chemistry/roco/Density/
Electron Density
Electrostatic Potential
• Visualizes electronic charge distributions
• Map electronic potential onto total electron
density surface using colors to represent
different levels of potential
Frontier Orbitals
• In a chemical reaction, the most important
interaction is between the HOMO-LUMO pair
• Least energetically bound ∴ most readily
available for interaction with other molecules
• Nucleophilic Frontier Density: measure of the
susceptibility of the substrate to attack by an
electrophile; based on electron distribution of
active orbitals near the LUMO
• Electrophilic Frontier Density: measure of the
susceptibility of the substrate to attack by an
electrophile; based on electron distribution of
active orbitals near the HOMO
Kvantitativní teorie MO
Schrodingerova rovnice
Hamiltonův operátor
vlnová funkce
energie systému
Born-Oppenheimerova aproximace
hmotnost jádra >> hmotnost elektronu ⇒ jádra jsou fixní
Ab initio
„z počátku“
Hartree-Fockova metoda
Hamiltonián
příspěvek přitažlivé
interakce mezi
elektrony a jádrem
jádra jsou fixní
příspěvek
repulze mezi
elektrony
Hartree-Fockova metoda
Self-consistent field (SCF)
elektron v poli
ostatních
interakce mezi
všemi elektrony
HF zjednodušení
Báze
soubor funkcí, jejichž lineární kombinací jsou
tvořeny molekulové orbitaly. LCAO.
MO ← AO ← bázové funkce
Bázové funkce lze považovat za
atomové orbitaly (minimální báze)
matematické funkce, které dávají MO potřebnou flexibilitu
(rozšířené báze)
STO
Slater Type Orbital
elektronová
hustota v atomu
H atom
1s orbital
C atom
1s, 2s, 3x 2p orbitaly
methan CH4
4x 1s pro H,
1s, 2s, 3x 2p pro C
celkem 9 funkcí
1 funkce = 1 AO
minimální báze
STO → GTO
STO: e-x
-x2
GTO: e
1 STO nahrazena 3 GTO
(Gaussian Type orbital)
methan CH4 4x 1s pro H, 1s, 2s, 3x 2p pro C = celkem 9 funkcí STO
⇒ 27 funkcí GTO
Minimální báze: STO-3G
STO x GTO
aproximace STO lineární kombinací několika (např. 3) GTO
⇒ STO-3G
STO
STO-3G
1s orbital
atomu H
6-31G báze (split valence)
1s orbital “core” 1 bázová funkce - 6 GTO
atom C
2s, 2p orbitaly (valenční):
2 bázové funkce: 3 GTO +1 GTO
atom uhlíku
1s … 1 BF … 6 GTO
2s … 1 BF (3 GTO) + 1 BF (1 GTO)
2px … 1 BF (3 GTO) + 1 BF (1 GTO)
2py … 1 BF (3 GTO) + 1 BF (1 GTO)
2pz … 1 BF (3 GTO) + 1 BF (1 GTO)
9 BF … 22 GTO
Rozšířené báze
zahrnutí polarizace ⇒ přidání polarizačních funkcí
(přidání funkcí odpov. vyšším orbitalům)
atom H
atom C
polarizace s orbitalu přidání p orbitalu
přidání d orbitalu
6-31G* - přidává sadu d funkcí (např. pro C). 6-31G(d)
6-31G** - přidává sadu d funkcí a sadu p funkcí (např. pro H)
Difuzní funkce 6-31+G(d). Core LANL2DZ.
Ab initio procedury
jednoduchý výpočet energie (single point)
výpočet energie, vlnové funkce na fixované geometrii
optimalizace geometrie
výpočet energie,
vlnové funkce
změna geometrie
směrem k nižší energii
výpočty frekvencí a jiné
předpověď frekvencí IČ a Raman, ověření geometrie
získané optimalizací. Elektrostatický potenciál. Dipólový
moment.
Optimalizace energie
výpočet energie - analog single point
výpočet sil (1. derivace energie na každém atomu) - tzv. gradient
změna struktury (proti energet. gradientu)
NE
výpočet energie
Jsou splněna konvergenční kritéria?
ANO
Minimum energie nalezeno
Zápis nové struktury
Omezení HF metod
molekula v mezihvězdném prostoru (gas phase)
HF nedává exaktní řešení Schrodingerovy rovnice. Nejlepší
vlnová funkce dosažitelná HF metodami - HF limita.
2 elektrony v 1 orbitalu se nepohybují nezávisle - elektronová
korelace.
Rozdíl mezi HF limitní energií a exaktním řešením
Schrodingerovy rovnice - korelační a relativistická energie.
Korelační energie
rozdíl přesné energie a HF limity
Ecorr = Eexact - EHF
Výpočet korelační energie:
Moller-Plesset perturbační teorie 2.řádu = MP2
Moller-Plesset perturbační teorie 4.řádu = MP4
Teorie funkcionálu hustoty = Density Functional Theory (DFT)
Relativistická korekce
•
•
•
•
Einsteinova teorie relativity
Těžké atomy
Elektrony na vnitřních vrstvách
Rychlosti blízké rychlosti světla
Metody funkcionálu hustoty Density
functional methods (DFT)
Energie je vyjádřena jako funkcionál hustoty elektronového
pole ⇒ elektronová hustota v okolí molekuly
DFT zahrnují podstatnou část korelační energie
vlnová funkce je konstruována jiným způsobem (jiný druh
orbitalů) ⇒ není to HF metoda!
Semiempirické metody
Kvantitativní MO teorie
Schrodinger
⇓
Born-Oppenheimer
⇓
orbitalová approximace
⇓
LCAO approximace
Semiempirická aproximace
zanedbání některých překryvových integrálů
nahrazení některých integrálů funkcemi s empirickými parametry
CNDO = Complete Neglect of Differential Overlap
INDO = Intermediate Neglect of Differential Overlap
NDDO = Neglect of Diatomic Differential Overlap
MINDO/3 = Modified INDO
MNDO = Modified NDO
AM1 = Austin Model 1
PM3 = Parametric Model 3
fitování
empirických
parametrů
zanedbání
překryvových
integrálů
Možnosti semiempirických
metod
HF vlnové funkce
molekulové orbitaly, energetické hladiny, náboje
minima, tranzitní stavy, reakční koordináty
silové konstanty, vibrační frekvence termodynamické vlastnosti
řády vazeb, analýza σ a π orbitalů
polarizabilita
efekty solvatace
Omezení semiempirických metod
zanedbání nebo parametrizace překryvových integrálů
vnitřní orbitaly jsou zanedbány
elektronová korelace je zahrnuta v parametrizaci
výpočetně méně náročné než ab-initio
výpočetně náročnější než empirické metody
může vést
k chybám
Software
ab-initio:
program GAUSSIAN
program GAMESS
program Spartan
semiempirické metody:
MOPAC = Molecular Orbital Package
program Spartan
Multiplicita 2S+1
• NO: 5+6=11=5.2+1.
• CO: 4+6=10=5.2+0.
• OO: 6+6=12=5.2+2.
2x1/2+1=2
2x0+1=1
2x1+1=3
Molekulová mechanika
Molekulová mechanika
Empirical force-field
Theoretical conformational analysis
Strain energy calculation
Westheimer-Hendrickson-Wiberg
Molekulová mechanika
studium biologických makromolekul (tisíce atomů)
umožňuje sledovat vliv okolí (solvent)
atomy = sférické částice s bodovým nábojem
interakce jsou založeny na klasické mechanice: tělesa
(atomy) spojená pružinami (vazbami)
Silové pole (force field):
rovnice silového pole
soubor parametrů
Anatomie silového pole
Energie(potenciální) :
energie pnutí vazeb
energie deformace vazebných úhlů
energie rotace vazeb (torze)
deformace planárních skupin (oop)
křižné členy
vdW energie
elektrostatická energie
vodíkové vazby
Rovnice silového pole
energie pnutí vazeb
energie rotace vazeb (torze)
vdW energie
energie deformace vazebných úhlů
elektrostatická energie
Parametry silového pole
AMBER - parm94.dat (W. Cornell et all. 1995)
definice
atomových typů
vazby
úhly
torze
vdW
poloměry
náboje
Původ parametrů
Vazby a úhly:
délky vazeb, velikosti vazebných úhlů - z RTG krystalografie
silové konstanty - z empirických dat (vibrační frekvence)
Torze:
přizpůsobení torzní potenciálové funkce tak, aby co nejpřesněji
reprodukovala experimentální (nebo ab initio QM) energet. bariéry
9 možností definice
torze H-C-C-H
Energie
Ethan
torze
Původ parametrů
Nevazebné interakce:
reálné plyny (van der Waals)
sublimační tepla
dipólové momenty
Termodynamické funkce:
tvorná a spalná tepla
disociační energie vazeb
Energie pnutí vazeb
harmonická funkce (Hookův zákon)
Energie pnutí vazeb
kubická korekce
V(r)=a(r-ro)3
anharmonická funkce (Morse)
V(r)=D[1-exp(-a(r-ro))]2-D
H-H:
D=108.9 kcal.mol-1
re=0.74 Å
a=1.86 Å-1
Deformace vazebných úhlů
Vliv silových konstant
vazby/úhly
Energie rotace vazeb (torzní)
Vliv torzních parametrů
Dvojné vazby
Deformace planárních skupin
E(r)=0.5 K (φ - φ0)2
E(r)=0.5 V (1 - cos 2φ)
Pseudo torzní uhel
E(r)=0.5δ2
δ
Nevazebné interakce
Van der Waals
elektrostatika
Nevazebné interakce
12-6 Lenard-Jones
exp-6 Buckingham
Repulze
(Pauliho princip)
Atrakce
(Londonovy síly)
12-10 H-vazby
r*
Elektrostatická energie
E(r) =
1 qi qj
4πε0 r
ε =ε0 εr
vakuum
prostředí o relativní permitivitě εr
dielektrická konstanta (ne-)závislá na vzdálenosti
Celková energie
Deformace vazebných délek V(b)
Deformace vazebných uhlú V(θ)
Deformace planárních skupin V(δ)
Křižné členy V(b,θ,φ)
Van der Waalsovské interakce V(r)
Vodíkové vazby V(r)
Vtotal=V(b)+V(θ)+V(δ)+V(b,θ,φ)+Vnb(r)+VHB(r)
Methan
Methan
Parametry silového pole
Energie (single point)
Deformovaný methan
Vazba
C-H
K
340.0
Requil R
1.090 2.518
Energy
693.22
Ethan
Hyperplocha potenciální energie
(PES)
1D plocha:
E = f(φ)
Energie
17
16
15
-180
-60
φ
60
180
Restraints X Constraints
(restraint = omezení, nátlak; constraint = donucení, přesné vymezení)
constraints = tvrdé vazné podmínky
silová konstanta K
restraints = měkké vazné podmínky
r0
r0
Aplikace metod
molekulového modelování
Minimalizace energie
E = f (struktury)
funkce n proměnných
Energie
= f (délky vazeb, pnutí vaz. úhlů, rotace vazeb, nevazebné
interakce...) = hyperplocha
strukturní parametr
Minimum funkce
z
Funkce 2 proměnných:
1. derivace v bodě xi = 0
2. derivace v bodě xi > 0
Funkce více proměnných:
xi
y
x
gradient v bodě xi ... vektor
1. derivací
Hessian v bodě xi ... matice
2. parc. derivací
Algoritmus minimalizace
Spádové metody:
metoda největšího spádu
(steepest descent)
směr negativního gradientu v bodě xi
iterativní proces:
Energie
• startovní bod
• směr pohybu?
• prohledání regionu
konvergence?
• konvergenční kritéria?
• nový bod
minimum
strukturní parametr
Konvergenční kritéria
Energie
Rozdíl mezi 2 po sobě následujícími kroky:
rozdíl energie
rozdíl ve struktuře
strukturní parametr
Metody minimalizace
derivační:
metoda největšího spádu
daleko od minima
konjugované gradienty
blízko minima
Newton-Raphsonova metoda
pro malé molekuly
vibrační frekvence
nederivační:
simplexová metoda
Problém lokálních minim
sedlový bod
Energie
Globální
minimum
Lokální
minima
Reakční koordináta
Hledání minim na PES
lokální metody = minimalizace (hledání lokálních minim)
globální metody = hledání všech lokálních minim + globální minimum
systematické prohledávání (grid, mapování)
MD a odvozené techniky (simulované žíhání)
Monte Carlo
Konformační prohledávání
PES
Grid
Konformační prohledávání
Molekulová dynamika
CICADA
Single coordinate driving
Konformační chování
Dimethylfosfát
ε
ζ
ε
C-O-P-O
ζ
O-P-O-C
Konformační chování DMP
Konformační chování
O-P-O-C
C-O-P-O
Solvent
E(r) =
1 qi qj
4πε0 r
ε =ε0 εr
vakuum
prostředí o relativní permitivitě εr
dielektrická konstanta (ne-)závislá na vzdálenosti
Explicitní solvent, H2O
☺ sledování specifických
interakcí s molekulami H2O
značná výpočetní náročnost
peptid (330 atomů)
+ 2400 molekul H2O
Dlouhodosahové elektrostatické
interakce
Systém N-částic:
nejnáročnější část minimalizace = výpočet
dlouhodosahových interakcí (Coulomb síly)
N2 výpočtů
elektrostatická energie
Hraniční podmínky
Periodic Boundary
Conditions (PBC)
Výpočet elektrostatických
interakcí v PBC
„odříznutí“ interakcí o
vzdálenosti > cutoff
původní funkce
Energie
funkce při použití cutoffu
problém vyšších cutoffů
vzdálenost
Ewaldova sumace
Periodický box
E(r) =
1 qi qj
4πε0 r
∞
E(r) = ∑
n=0
1
qi qj
4πε0 r + n
n ... násobek délky hrany boxu L
Ewald (1921):
reálný prostor
E = f (L)
reciproký prostor
E = f (1/L)
Software
• Hyperchem (Hypercube)
• Chem-X (Chemical design)
• AMBER (Kollman, U. California)
• CHARMM, CERIUS
• CHEMOFFICE (Cambridgesoft)
• MM, MM4 (Allinger, Univ. Georgia)
• ALCHEMY, SYBYL (Tripos)
• BOBY (Zefirov, MGU Moskva, Springer)
• MOLBLD (Boyd 1968, Pavelcik 1975)
Molekulová dynamika
Historie MD
1976 - 1985 „dark ages“
1985 - 1994 free energy perturbation (FEP) ⇒ ΔG
před. r. 1995:
MD simulace nukleových kyselin (vysoce nabité systémy, nutno správně
pracovat s dlouhodosahovými elektrostatickými interakcemi) - nestabilní
(zkroucení duplexu, zlomení párů bazí).
Nedostatek výpočetní síly:
Pro výpočet dlouhodosahových elektrostatických interakcí je užíván
cutoff - useknutí interakcí - nestabilita. Neužívá se PME (známo od r.
1993)
Pomalý vývoj silových polí - nemožnost kvalitních QM výpočtů
Krátké simulace < 200ps
Historie MD
1995 - zvýšená počítačová síla (superpočítače)
korektní zacházení s dlouhodosahovými nevazebnými
interakcemi (elektrostatika, vdW)
kvalitní QM výpočty na vyšší úrovni ⇒ silové pole 2. generace
- např. AMBER parm94.dat ⇒ stabilní trajektorie
1998 - přesná interpretace struktur + ΔG
MD simulace nukleových kyselin - DNA (duplex,..., kvadruplex),
RNA (hairpin, ribozymy), modifikovaná DNA, RNA, protein/NA
interakce
Molekulová dynamika
Termodynamika
stav 1
stav 2
Termodynamika:
jaké stavy jsou možné?
Kinetika:
jak a jak rychle stavy konvertují?
stav n
Molekulová dynamika
integrace Newtonových pohybových rovnic
Fi = mi ai
dE
dvi
dt
dri
dri
dE
dri
d2ri
= mi
dt2
dt
Algoritmus MD
Síla působící na částici =
vektorový součet interakcí s ostatními
částicemi
F=m.a
zrychlení
rychlost
pozice v čase
t + Δt
Algoritmus MD
Síla působící na částici =
vektorový součet interakcí s ostatními
částicemi
Aplikace termostatu:
přeškálování rychlostí
vzhledem k tepelné lázni
nová pozice v čase
t + Δt
Počáteční konfigurace pro MD
z experimentu
přiřazení počátečních rychlostí - náhodně
podle Maxwell - Boltzman distribuce
(Gaussova distribuce)
Generátor (pseudo)náhodných čísel:
produkuje čísla ∈ < 0 , 1 > rovnoměrně
přepočet na čísla odpovídající gaussovské distribuci
Časový krok v MD
příliš malý - MD pokrývá jen omezenou část konformačního
prostoru
příliš velký - nestabilita trajektorie, vysoká E
Správný časový krok Δt :
1/10 nejkratšího vibračního pohybu
C-H vazba vibruje s periodou 10fs ⇒ integrační krok Δt
= 1 fs
Constraints na vazby obsahující H (SHAKE algoritmus) ⇒
integrační krok Δt = 2 fs
Termostat
napodobuje působení teploty na systém - působení
makroskopických vibračních modů na dynamiku
jednotlivých atomů
= násobení každé rychlosti atomu faktorem, který tvoří
požadovanou teplotu (každý krok nebo periodicky
každých X kroků)
Simulované žíhání
Energie
zahřátí na
vysokou teplotu
pomalé
ochlazování
Postup MD+solvent
volba vstupní struktury (např. z RTG), úprava (doplnění chybějících
residuí, vodíků), optimalizace doplněných částí.
přidání iontů (neutralizace systému), solvatace - přidání molekul vody
(solvatační box)
ekvilibrace systému:
minimalizace vody a iontů
krátká MD vody a iontů
Ekvilibrace systému
Minimalizace a dynamika solventu a iontů
constraints na molekulu peptidu
Několikastupňová minimalizace s postupným
uvolňováním peptidu
restraints na molekulu peptidu (25 kcal/mol/A, 20, 15, 10, 5, 0)
Zahřívání systému
0 ps
2 ps
Zahřívání
100 K → 300 K
během 20 ps
Čas
20 ps
start produkční
fáze MD
Teplota
Kontrola ekvilibrace
Produkční fáze MD
Frekvence ukládání snímků
= 500 kroků
1 krok MD = 0.002 ps = 2 fs
1 ps
0 ps
500 kroků
2 ps
500 kroků
1 snímek
1 snímek
...
...
...
MD trajektorie = soubor snímků
Čas
2 ns
Trajektorie - snímky
0 ps
200 ps
400 ps
600 ps
800 ps
1000 ps
1200 ps
1400 ps
1600 ps
1800 ps
Průměrná struktura
z poslední fáze MD (např. 0.5 ns)
„Vázaná“ MD
= MD s užitím restraints
Restraints (vazné podmínky) ... získány z NMR
NMR
přiřazení
signálů
vzdálenosti
MD +
restraints
3D struktura
Problémy simulací
Energie
?
časová škála:
cíl:
μs - ms
realita: ps - ns
kvalita reprezentace:
cíl:
komplexní systém
realita: molekulová mechanika