Resonancní chirální teorie

Resonanční chirální teorie
Jaroslav Trnka
IPNP, MFF UK
ve spolupráci s Jiřím Novotným a Karolem Kampfem
Setkání Centra částicové fyziky, FZÚ 24.10.2007
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
1/11
Resonanční chirální teorie
Jaroslav Trnka
IPNP, MFF UK
ve spolupráci s Jiřím Novotným a Karolem Kampfem
Setkání Centra částicové fyziky, FZÚ 24.10.2007
Chirální poruchová teorie a QCD pro NC → ∞
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
1/11
Resonanční chirální teorie
Jaroslav Trnka
IPNP, MFF UK
ve spolupráci s Jiřím Novotným a Karolem Kampfem
Setkání Centra částicové fyziky, FZÚ 24.10.2007
Chirální poruchová teorie a QCD pro NC → ∞
Resonanční chirální teorie
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
1/11
Resonanční chirální teorie
Jaroslav Trnka
IPNP, MFF UK
ve spolupráci s Jiřím Novotným a Karolem Kampfem
Setkání Centra částicové fyziky, FZÚ 24.10.2007
Chirální poruchová teorie a QCD pro NC → ∞
Resonanční chirální teorie
Compton-pionový rozptyl
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
1/11
Resonanční chirální teorie
Jaroslav Trnka
IPNP, MFF UK
ve spolupráci s Jiřím Novotným a Karolem Kampfem
Setkání Centra částicové fyziky, FZÚ 24.10.2007
Chirální poruchová teorie a QCD pro NC → ∞
Resonanční chirální teorie
Compton-pionový rozptyl
Renormalizace propagátorů
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
1/11
Resonanční chirální teorie
Jaroslav Trnka
IPNP, MFF UK
ve spolupráci s Jiřím Novotným a Karolem Kampfem
Setkání Centra částicové fyziky, FZÚ 24.10.2007
Chirální poruchová teorie a QCD pro NC → ∞
Resonanční chirální teorie
Compton-pionový rozptyl
Renormalizace propagátorů
Krátké shrnutí
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
1/11
Chirální poruchová teorie a QCD pro NC → ∞
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
2/11
Chirální poruchová teorie a QCD pro NC → ∞
Užití efektivních teorií pro popis dynamiky hadronů.
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
2/11
Chirální poruchová teorie a QCD pro NC → ∞
Užití efektivních teorií pro popis dynamiky hadronů.
Nízkoenergetický region: Chirální poruchová teorie
Je založená na spontánním narušení symetrie v QCD - ve spektru QCD se objeví
oktet Goldstonovských bosonů
V χPT je asociujeme s nejlehčími hadrony, tj. pseudoskalárními mezony (piony,
kaony) a považujeme je za jediné dynamické stupně volnosti.
Poruchový rozvoj ve vnějším impulsu p, Lagrangián se pak dá psát jako
(2)
(4)
(6)
LχP T = Lχ + Lχ + Lχ + . . .
Členy v Lagrangiánu jsou zkonstruovány z chirálních bloků, které tvoří pole
pseudoskalárních mezonů φ a vnější zdroje.
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
2/11
Chirální poruchová teorie a QCD pro NC → ∞
Užití efektivních teorií pro popis dynamiky hadronů.
Nízkoenergetický region: Chirální poruchová teorie
Je založená na spontánním narušení symetrie v QCD - ve spektru QCD se objeví
oktet Goldstonovských bosonů
V χPT je asociujeme s nejlehčími hadrony, tj. pseudoskalárními mezony (piony,
kaony) a považujeme je za jediné dynamické stupně volnosti.
Poruchový rozvoj ve vnějším impulsu p, Lagrangián se pak dá psát jako
(2)
(4)
(6)
LχP T = Lχ + Lχ + Lχ + . . .
Členy v Lagrangiánu jsou zkonstruovány z chirálních bloků, které tvoří pole
pseudoskalárních mezonů φ a vnější zdroje.
Středněenergetický region: QCD v limitě NC → ∞
Mezony jsou volné, stabilní a neinteragující; počet mezonových stavů je
nekonečný.
Poruchový rozvoj 1/NC (na stromové úrovni v počtu mezonů); amplitudy
1−k/2
rozptylu pak mají řád O(NC
), kde k je počet mezonů v procesu.
Dynamika je ve vedoucím řádu v 1/NC plně určena stromovými diagramy za
účasti mezonů (ani kvarky ani gluony).
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
2/11
Chirální poruchová teorie a QCD pro NC → ∞
Užití efektivních teorií pro popis dynamiky hadronů.
Nízkoenergetický region: Chirální poruchová teorie
Je založená na spontánním narušení symetrie v QCD - ve spektru QCD se objeví
oktet Goldstonovských bosonů
V χPT je asociujeme s nejlehčími hadrony, tj. pseudoskalárními mezony (piony,
kaony) a považujeme je za jediné dynamické stupně volnosti.
Poruchový rozvoj ve vnějším impulsu p, Lagrangián se pak dá psát jako
(2)
(4)
(6)
LχP T = Lχ + Lχ + Lχ + . . .
Členy v Lagrangiánu jsou zkonstruovány z chirálních bloků, které tvoří pole
pseudoskalárních mezonů φ a vnější zdroje.
Středněenergetický region: QCD v limitě NC → ∞
Mezony jsou volné, stabilní a neinteragující; počet mezonových stavů je
nekonečný.
Poruchový rozvoj 1/NC (na stromové úrovni v počtu mezonů); amplitudy
1−k/2
rozptylu pak mají řád O(NC
), kde k je počet mezonů v procesu.
Dynamika je ve vedoucím řádu v 1/NC plně určena stromovými diagramy za
účasti mezonů (ani kvarky ani gluony).
Vysokoenergetický region: poruchová QCD
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
2/11
Resonanční chirální teorie
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
3/11
Resonanční chirální teorie
Efektivní teorie pro hadrony při energiích 1 GeV < E < 2 GeV.
Omezíme se pouze na nejlehčí resonance, jednu v každém kanálu
Členy v interakčním Lagrangiánu tvoří resonance nakaplované na vnější zdroje
tvořené z chirální bloků (z χPT).
V limitě NC → ∞ můžeme psát Lagrangian ve tvaru
L∞ = LGB + Lres
kde LGB obsahuje pouze (pseudo)Goldsonovské bosony a má stejný tvar jako
Lagrangian Chirální poruchové teorie
Do řádu O(p6 ) lze psát
(2)
(4)
(6)
(4)
(6)
L∞ = LGB + LGB + LGB + Lres + Lres
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
3/11
Resonanční chirální teorie
Efektivní teorie pro hadrony při energiích 1 GeV < E < 2 GeV.
Omezíme se pouze na nejlehčí resonance, jednu v každém kanálu
Členy v interakčním Lagrangiánu tvoří resonance nakaplované na vnější zdroje
tvořené z chirální bloků (z χPT).
V limitě NC → ∞ můžeme psát Lagrangian ve tvaru
L∞ = LGB + Lres
kde LGB obsahuje pouze (pseudo)Goldsonovské bosony a má stejný tvar jako
Lagrangian Chirální poruchové teorie
Do řádu O(p6 ) lze psát
(2)
(4)
(6)
(4)
(6)
L∞ = LGB + LGB + LGB + Lres + Lres
Vztah mezi RχT a χPT
Odintegrování resonancí z L∞ znovu zrekonstruujeme Lagrangián χPT
Z
Z
Z
DR exp i d4 xL∞ = exp i d4 xLχP T
(2)
(4)
(6)
(4)
(6)
⇒ LχP T = LGB + LGB + LGB + Lχ,res + Lχ,res
kde Lχ,res má stejnou formu jako LχP T .
(4)
Nízkoenergetické vazbové konstanty jsou v Lχ
konstantami z resonančního Lagrangianu.
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
(6)
a Lχ
saturovány vazbovými
3/11
Resonanční chirální teorie
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
4/11
Resonanční chirální teorie
Budeme zkoumat pouze vektorové resonance, několik možností popisu:
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
4/11
Resonanční chirální teorie
Budeme zkoumat pouze vektorové resonance, několik možností popisu:
Vektorový formalismus - užití vektorových polí V µ
Lagrangián můžeme napsat ve tvaru
1
1
LV = L0 + Lint = − hV̂ µν V̂µν i + M 2 hVµ V µ i + Lint (V, J),
4
2
kde V̂µν = Dµ Vν − Dν Vµ a J jsou vnější zdroje tvořené z chirálních bloků.
Vedoucí člen interakčního Lagrangianu
fV
igV
µν
LLO
f+µν i − √ hV̂ µν [uµ , uν ]i
int = − √ hV̂
2 2
2 2
⇒ kde konstanty fV a gV přispívají do O(p6 ) konstant → V = O(p3 )
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
4/11
Resonanční chirální teorie
Budeme zkoumat pouze vektorové resonance, několik možností popisu:
Vektorový formalismus - užití vektorových polí V µ
Lagrangián můžeme napsat ve tvaru
1
1
LV = L0 + Lint = − hV̂ µν V̂µν i + M 2 hVµ V µ i + Lint (V, J),
4
2
kde V̂µν = Dµ Vν − Dν Vµ a J jsou vnější zdroje tvořené z chirálních bloků.
Vedoucí člen interakčního Lagrangianu
fV
igV
µν
LLO
f+µν i − √ hV̂ µν [uµ , uν ]i
int = − √ hV̂
2 2
2 2
⇒ kde konstanty fV a gV přispívají do O(p6 ) konstant → V = O(p3 )
Tenzorový formalismus - použití antisymetrických tenzorových polí Rµν
Lagrangián má v tomto formalismu tvar
1
1
LV = L0 + Lint = − hDα Rαµ D β Rβµ i + M 2 hRµν Rµν i + Lint (R, J)
2
4
Vedoucí člen interakčního Lagrangiánu má tvar
FV
iGV
µν
LLO
f+µν i + √ hRµν [uµ , uν ]i
int = √ hR
2 2
2 2
⇒ kde konstanty FV a GV přispívají do O(p4 ) konstant → R = O(p2 )
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
4/11
Resonanční chirální teorie
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
5/11
Resonanční chirální teorie
Oba popisy nejsou úplně ekvivalentní
Vedoucí řády efektivních chirálních Lagrangianů jsou různé - vektorový O(p6 ),
tenzorový O(p4 )
Ani jeden z formalismů není kompletnější
⇒ vždy je potřeba dodat kontaktní členy
Vztah Lagrangiánů v obou popisech
(≤6)
LR
(4)
(6)
= LR + LR
(≤6)
LV
(6)
= LV
→
LV,ef f =
→
LR,ef f =
∞
X
n=3
∞
X
n=2
(2n)
LV,ef f ,
(2n)
LV,ef f ,
kde LV,ef f a LV (resp. LR,ef f a LR ) jsou ekvivalentní jen do řádu O(p6 ).
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
5/11
Resonanční chirální teorie
Oba popisy nejsou úplně ekvivalentní
Vedoucí řády efektivních chirálních Lagrangianů jsou různé - vektorový O(p6 ),
tenzorový O(p4 )
Ani jeden z formalismů není kompletnější
⇒ vždy je potřeba dodat kontaktní členy
Vztah Lagrangiánů v obou popisech
(≤6)
LR
(4)
(6)
= LR + LR
(≤6)
LV
(6)
= LV
→
LV,ef f =
→
LR,ef f =
∞
X
n=3
∞
X
n=2
(2n)
LV,ef f ,
(2n)
LV,ef f ,
kde LV,ef f a LV (resp. LR,ef f a LR ) jsou ekvivalentní jen do řádu O(p6 ).
Formalismus prvního řádu
Ponecháme v Lagrangianu oba typy polí
LRV =
1 2
1
1
M hRµν Rµν i + M 2 hVµ V µ i − M hRµν V̂ µν i + Lint (R, V, J)
4
2
2
Efektivní chirální Lagrangian LRV,ef f již obsahuje všechny možné členy
Zaručena ekvivalence s vektorovým i tenzorovým formalismem
Nedochází ke zdvojení stupňů volnosti na stromové úrovni!
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
5/11
Greenovy funkce v RχT
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
6/11
Greenovy funkce v RχT
Vlastnosti Greenových funkcí
Definice
h0|T [O1 (x1 )O2 (x2 ) . . . On (xn )]|0i
Struktura výsledku je určen Wardovými identitami a symetriemi
Vysokoenergetické chování: OPE na základě QCD při velkém NC
Nízkoenergetické chování: Chirální poruchová teorie
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
6/11
Greenovy funkce v RχT
Vlastnosti Greenových funkcí
Definice
h0|T [O1 (x1 )O2 (x2 ) . . . On (xn )]|0i
Struktura výsledku je určen Wardovými identitami a symetriemi
Vysokoenergetické chování: OPE na základě QCD při velkém NC
Nízkoenergetické chování: Chirální poruchová teorie
Jednoduchý příklad: hV V i korelátor
Definice:
Π(p)ab
µν =
Z
d4 xeip·x h0|T [Vµa (x)Vνb (0)]|0i
ab 2
2
Struktura výsledku:
Π(p)ab
µν = iδ (p gµν − pµ pν )F (p )
Vysokoenergetická podmínka z OPE:
lim F (λ2 p2 ) = −
λ→∞
1
ln λ2 + O(λ0 )
8π 2
Feynmanovy diagramy:
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
6/11
Greenovy funkce v RχT
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
7/11
Greenovy funkce v RχT
Vektororý formfaktor
hV V P i
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
7/11
Greenovy funkce v RχT
Vektororý formfaktor
hV V P i
Compton-pionový rozptyl
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
7/11
Renormalizace propagátorů
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
8/11
Renormalizace propagátorů
Power counting - neexistuje přímočarý způsob, jak hierarchizovat diagramy
Hledáme vhodný rozvojový parametr
1/NC (QCD pro velká NC ) - rozvoj v počtu mezonů (členy s více derivacemi
nejsou potlačeny)
Vnější impuls p (χPT) - nemá žádné teoretické opodstatnění pro energie
E > Λ ≈ 1 GeV.
Kombinovaný power countring - parametr δ
1
.
δ
Lze napsat vztah analogický Weinbergově formuli (v χPT), přesto problém - členy
p/M = O(1).
p2 = δ,
Jaroslav Trnka
NC =
Resonanční chirální teorie
8/11
Renormalizace propagátorů
Power counting - neexistuje přímočarý způsob, jak hierarchizovat diagramy
Hledáme vhodný rozvojový parametr
1/NC (QCD pro velká NC ) - rozvoj v počtu mezonů (členy s více derivacemi
nejsou potlačeny)
Vnější impuls p (χPT) - nemá žádné teoretické opodstatnění pro energie
E > Λ ≈ 1 GeV.
Kombinovaný power countring - parametr δ
1
.
δ
Lze napsat vztah analogický Weinbergově formuli (v χPT), přesto problém - členy
p/M = O(1).
p2 = δ,
NC =
Renormalizační schéma
Struktura counterčlenů
Lct =
X
i
Ai O i
kde Oi jsou operátory a konstanty Ai mají podobu
Ai = Γi λ∞ + Ari (µ)
Konečné části Ari (µ) splňují rovnici renormalizační grupy
µ
Jaroslav Trnka
∂ r
A (µ) = −Γi .
∂µ i
Resonanční chirální teorie
8/11
Renormalizace propagátorů
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
9/11
Renormalizace propagátorů
Propagátory ve vektorovém formalismu
Self-energie hV V i
(2)
T
L
Γµν (p) = (M 2 − p2 + ΣT (p2 ))Pµν
+ (M 2 + ΣL (p2 ))Pµν
T a P L jsou projektory
kde Pµν
µν
transversal:
T
Pµν
= gµν −
pµ pν
,
p2
L
Pµν
=
longitudial:
pµ pν
p2
Příslušný propagátor má tvar
∆µν (p) = −
1
1
PT +
PL
p2 − M 2 − ΣT (p2 ) µν
M 2 + ΣL (p2 ) µν
Ve spektru jsou dva stavy
(λ)
h0|Vµ (0)|p, λ, V i = |ZV |1/2 εµ (p)
with
ZV =
přísluší vektorové resonanci a
h0|Vµ (0)|p, Si = ipµ
|ZS |1/2
MS
with
ZS =
1
1 − Σ′T (MV2 )
1
Σ′L (MS2 )
stavu se spinem 0, který je zamrzlý na stromové úrovni (ΣL (p2 ) = 0)
Tento nový stupeň volnosti |p, Si je buď ghost nebo tachyon.
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
9/11
Renormalizace propagátorů
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
10/11
Renormalizace propagátorů
Feynmanovy diagramy
kde
představuje resonanci a
Jaroslav Trnka
Goldstonovy bosony
Resonanční chirální teorie
10/11
Renormalizace propagátorů
Feynmanovy diagramy
kde
představuje resonanci a
Goldstonovy bosony
Příklad vektorového formalismu
Counter členy:
δM 2
ZV
YV
hVµ V µ i +
hV̂ µν V̂µν i +
h(Dµ V µ )2 i + higher derivatives
2
4
2
2
2
2
2
2
2
⇒ ΣT
ΣL
ct (p ) = δM + p ZV + . . . ,
ct (p ) = δM − p YV + . . .
Lct
V =
Příspěvek resonancí:
ΣT (p2 ) = −
4 λ p2
2 λ p4
5M 2 σV
5σV
∞
∞
+
+ ...,
2
2
6π F
18π 2 F 2
ΣL (p2 ) = 0 + . . . .
K renormalizaci požadujeme vymizení nekonečných částí
2
ΣT,L (p2 ) + ΣT,L
ct (p ) = 0
Zde nový kinetický člen do řádu O(p6 ) nevzniká, ale v tenzorovém formalismu i ve
formalismu prvního řádu je ekvivalentní člen YR 6= 0, což znamená dynamické
generování nových stupňů volnosti.
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
10/11
Shrnutí
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
11/11
Shrnutí
Resonanční chirální teorie
Popisuje dynamiku hadronů ve středně energetickém regionu (p → 0: χPT;
p → ∞: QCD s velkým NC )
Omezení se na nejlehčí resonance v každém kanále
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
11/11
Shrnutí
Resonanční chirální teorie
Popisuje dynamiku hadronů ve středně energetickém regionu (p → 0: χPT;
p → ∞: QCD s velkým NC )
Omezení se na nejlehčí resonance v každém kanále
Vektorové resonance 1−−
Dvě možnosti popisu: vektorová pole V µ , antisymetrická tenzorová pole Rµν
Nejsou ekvivalentní → zavedení formalismu prvního řádu
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
11/11
Shrnutí
Resonanční chirální teorie
Popisuje dynamiku hadronů ve středně energetickém regionu (p → 0: χPT;
p → ∞: QCD s velkým NC )
Omezení se na nejlehčí resonance v každém kanále
Vektorové resonance 1−−
Dvě možnosti popisu: vektorová pole V µ , antisymetrická tenzorová pole Rµν
Nejsou ekvivalentní → zavedení formalismu prvního řádu
Greenovy funkce v RχT
Výpočet v RχT a srovnání s výsledkem v χPT a OPE podmínkami
Zajímavé Greenovy funkce: hV V P i, vektorový formfaktor a Compton-pionův
rozptyl
Nalezení sady podmínek pro konstanty a saturace LEC
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
11/11
Shrnutí
Resonanční chirální teorie
Popisuje dynamiku hadronů ve středně energetickém regionu (p → 0: χPT;
p → ∞: QCD s velkým NC )
Omezení se na nejlehčí resonance v každém kanále
Vektorové resonance 1−−
Dvě možnosti popisu: vektorová pole V µ , antisymetrická tenzorová pole Rµν
Nejsou ekvivalentní → zavedení formalismu prvního řádu
Greenovy funkce v RχT
Výpočet v RχT a srovnání s výsledkem v χPT a OPE podmínkami
Zajímavé Greenovy funkce: hV V P i, vektorový formfaktor a Compton-pionův
rozptyl
Nalezení sady podmínek pro konstanty a saturace LEC
Renormalizace propagátorů
Dynamické generování stavů se spinem 0, které jsou zamrzlé na stromové úrovni a
dekaplují se ve volné teorii.
⇒ negativní norma: ghost nebo tachyon
Tyto stavy nejsou generovány ve vektorovém formalismu do O(p6 ), ale v
antisymetrickém a formalismu prvního řádu ano
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
11/11
Shrnutí
Resonanční chirální teorie
Popisuje dynamiku hadronů ve středně energetickém regionu (p → 0: χPT;
p → ∞: QCD s velkým NC )
Omezení se na nejlehčí resonance v každém kanále
Vektorové resonance 1−−
Dvě možnosti popisu: vektorová pole V µ , antisymetrická tenzorová pole Rµν
Nejsou ekvivalentní → zavedení formalismu prvního řádu
Greenovy funkce v RχT
Výpočet v RχT a srovnání s výsledkem v χPT a OPE podmínkami
Zajímavé Greenovy funkce: hV V P i, vektorový formfaktor a Compton-pionův
rozptyl
Nalezení sady podmínek pro konstanty a saturace LEC
Renormalizace propagátorů
Dynamické generování stavů se spinem 0, které jsou zamrzlé na stromové úrovni a
dekaplují se ve volné teorii.
⇒ negativní norma: ghost nebo tachyon
Tyto stavy nejsou generovány ve vektorovém formalismu do O(p6 ), ale v
antisymetrickém a formalismu prvního řádu ano
Práce pokračuje dál. . .
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
11/11
Shrnutí
Resonanční chirální teorie
Popisuje dynamiku hadronů ve středně energetickém regionu (p → 0: χPT;
p → ∞: QCD s velkým NC )
Omezení se na nejlehčí resonance v každém kanále
Vektorové resonance 1−−
Dvě možnosti popisu: vektorová pole V µ , antisymetrická tenzorová pole Rµν
Nejsou ekvivalentní → zavedení formalismu prvního řádu
Greenovy funkce v RχT
Výpočet v RχT a srovnání s výsledkem v χPT a OPE podmínkami
Zajímavé Greenovy funkce: hV V P i, vektorový formfaktor a Compton-pionův
rozptyl
Nalezení sady podmínek pro konstanty a saturace LEC
Renormalizace propagátorů
Dynamické generování stavů se spinem 0, které jsou zamrzlé na stromové úrovni a
dekaplují se ve volné teorii.
⇒ negativní norma: ghost nebo tachyon
Tyto stavy nejsou generovány ve vektorovém formalismu do O(p6 ), ale v
antisymetrickém a formalismu prvního řádu ano
Práce pokračuje dál. . .
Děkuji za pozornost!
Jaroslav Trnka
Resonanční chirální teorie
11/11