Model proudové vektorové regulace asynchronního motoru pro

Model proudové vektorové regulace asynchronního motoru
pro Scilab / Scicos
Ing. Vojtěch Matyska
Ing. Ondřej Zoubek
Obsah
1.Prostředí Scicos.................................................................................................................................3
1.1Základy použití prostředí Scicos.................................................................................................3
1.1.1Spuštění Scicos...................................................................................................................3
1.1.2Palety...................................................................................................................................3
1.1.3Tvorba modelů....................................................................................................................5
1.2Nastavení bloků a simulace........................................................................................................7
1.2.1Bloky z palety Sources........................................................................................................7
1.2.2Bloky z palety Sinks...........................................................................................................9
1.2.3Bloky z palety Branching:.................................................................................................10
1.2.4Bloky z palety Linear........................................................................................................10
1.2.5Další bloky........................................................................................................................12
1.2.6Menu Context....................................................................................................................13
1.2.7Nastavení simulace...........................................................................................................13
1.3Super bloky a maskování..........................................................................................................14
1.4Simulace a výsledky.................................................................................................................17
2.Vektorová regulace asynchronního motoru.....................................................................................19
2.1Základní rovnice asynchronního motoru..................................................................................19
2.2Clarkova transformace..............................................................................................................21
2.3Parkova transformace a moment asynchronního motoru.........................................................21
2.4Model motoru I1-n....................................................................................................................23
2.5Možnosti regulace pohonu........................................................................................................24
3.Popis bloků......................................................................................................................................25
3.1Nejvyšší blok............................................................................................................................25
3.2Bloky modelující hardware.......................................................................................................25
3.2.1Model asynchronního stroje (acim_motor).......................................................................25
3.2.2Výpočet u1α, u1β..............................................................................................................27
3.2.3Mechanický model soustavy.............................................................................................28
3.3Bloky realizující software.........................................................................................................29
3.3.1FOC – Vektorové řízení....................................................................................................29
3.3.2Clarkova transformace......................................................................................................30
3.3.3Parkova transformace........................................................................................................31
3.3.4Inverzní Parkova transformace.........................................................................................31
3.3.5Inverzní Clarkova transformace........................................................................................32
3.3.6PI regulátor........................................................................................................................33
3.3.7Model motoru – výpočet úhlu theta..................................................................................35
4.Použití modelu.................................................................................................................................37
4.1Hodnoty reálného asynchronního stroje...................................................................................37
4.2Reakce na „špatně“ zadanou hodnotu tau2...............................................................................38
4.3Ukázkový výsledek simulace....................................................................................................38
4.4Uživatelské spuštění modelu....................................................................................................39
2
1. Prostředí Scicos
Model proudové vektorové regulace asynchronního motoru je vytvořen v grafickém prostředí
Scilab / Scicos. Jedná se o grafické prostředí pro modelování systémů (podobné jako je Simulink
MATLAB firmy MathWorks). Disponuje sice méně kvalitními knihovnami grafických prvků než
bohatě vybavený MATLAB, avšak pro základní modelování je plně postačující. Prostředí je zdarma
ke stažení na internetu a open source (ke stažení včetně ztrojových textů). Model byl vytvořen
v prostředí Scilab 4.1.2, Scicos 4.2.
1.1 Základy použití prostředí Scicos
1.1.1 Spuštění Scicos
Obrázek 1: Spuštení Scicos
Po spuštění prostředí Scilab 4.1.2, v menu Aplications volba Scicos, případně textovým příkazem
„scicos“.
1.1.2 Palety
Palety jsou základním prostředkem pro vytváření modelů, protože obsahují prototypy všech
předdefinovaných bloků. Palety je možno otevřít dvěma způsoby.
3
Obrázek 2: Otevření palety v prostředí Scicos z menu
Obrázek 3: Otevření konkrétní palety v prostředí Scicos
1) V menu Palette volba Palettes, dále pak volba jednotlivých palet dle požadavků. Postupným
opakováním lze otevřít všechny potřebné palety (obrázek 2 a 3).
2) V menu Palette volba Pal Tree, otevře se okno se stromovou strukturou obsahující všechny
palety a bloky v nich obsažené.
4
1.1.3 Tvorba modelů
Obrázek 4: Vkládání bloků z palety v protředí Scicos
Vkládání bloků je nutné protože Scicos neumožňuje vytvoření propojovacího „drátu“ s volným
koncem, proto je nutné mít založené bloky a teprve pak je spojovat. Z toho také plyne, že smazáním
bloku se automaticky mažou všechny spoje, které k němu nebo z něho vedou (obrázek 4).
Obrázek 5: Vytváření propojení ("drátů") v prostředí Scicos
Dlouhý spoj je možné zalomit tak, že se v průběhu tažení klikne na místo ohybu. Lze tak vytvářet
pravoúhlou síť „drátů“, protože Scicos automaticky úseky spojů zarovnává buď svisle nebo
5
vodorovně1.
Obrázek 6: Vytvoření odbočky v prostředí Scicos
Pro rozdvojení signálu (obrázek 6) z jednoho do více bloků je třeba poklikat na „drát“ v místě
rozdvojení a pak postupovat jako při vytváření klasického spoje.
Obrázek 7: Zrcadlení bloku v prostředí
Scicos
1 Pozor, bloky jsou velice náchylné na přesné kliknutí, při spojení „drátu“ s blokem je potřeba se trefit na relativně
malé (a bohužel nijak přesně vymezené nebo zvýrazněné) okolí požadované šipky. Přesto se nezřídka stává, že při
kliknuti doprostřed (!) bloku začne systém napojovat spoje. Občas také rovnou spojí výstupní místo bloku s jeho
vlastním vstupem. K takto vytvořené spojnici však již není přístup, protože je překrytá vlastním blokem. Jediný
způsob jak se jí zbavit je pak blok vyjmout (volba Cut v kontextovém menu pod pravým tlačítkem myši) a pak
znova vložit (Paste).
6
Pro přehlednost schématu je někdy potřeba otočit blok do protisměru (především u zpětných
vazeb). To se provede tak, ze po rozbaleni kontextového menu se vybere volba Flip.
V kontextovém menu je kromě toho ještě volba pro otočení o 45 stupňů (Rotate Left a Rotate
Right), pro volbu grafických vlastností bloku (Properties), nápovědu (Help – velice užitečný nástoj,
pokud si nevíte rady, co daný blok umí, funguje i v paletě) a spoustu dalších.
Obrázek 8: Hotové schéma modelu v prostředí Scicos
1.2 Nastavení bloků a simulace
Poklepáním na plochu bloku se otevře dialogové okno s možnostmi nastavení vlastností bloku.
Jednotlivá nastavení budou popsána v této kapitole.
1.2.1 Bloky z palety Sources
Hodiny (Clock): Hodiny (obrázek 9) jsou jedním ze základních generátorů události. Událost lze
přirovnat k hraně digitálního signálu, s jejím příchodem (uskutečněním) se něco stane. Obvykle se
využívá pro vykreslování časových událostí (rastr časové osy) nebo pro diskrétní operace
(vzorkovací perioda).
Lze nastavit periodu hodin (teda periodu vzniku událostí) a čas první události od staru simulace
(Init time). Obvykle se tyto dvě hodnoty dávají shodné, není to však pravidlo.
Konstanta (Constant): Blok konstanty (obrázek 10) je zdrojem konstantního signálu po celou
dobu simulace. Nastavit lze hodnotu konstanty (signálu).
7
Obrázek 9: Blok hodin
Obrázek 10: Blok konstanty
Skok (Step): Skok (obrázek 11) je základní testovací funkce dynamických systémů, u nichž se pak
ověřuje reakce na tento vstupní signál. Blok před dosažením času simulace „Step time“ generuje
signál o hodnotě „Initial value“ a po dosažení žádaného času pak signál o hodnotě „Final value.“
Tyto tři parametry jsou v bloku nastavitelné.
Rampa (Ramp): Rampa (obrázek 12) je další z testovacích signálů. Blok před dosažením času
simulace „Start time“ generuje signál o hodnotě „Initial output“ a po dosažení žádaného času pak
signál lineárně roste se strmostí o hodnotě „Slope“ (jedná se tedy koeficient u časové nezávislé
proměnné v první mocnině – K·t). Tyto tři parametry jsou v bloku nastavitelné.
8
Obrázek 11: Blok skoku
Obrázek 12: Blok rampy
1.2.2 Bloky z palety Sinks
Graf časové závislosti (Scope): Scope (obrázek 13) je základní blok pro zobrazení výsledků
simulace. Výchylky v ose Y jsou získány ze vstupního signálu (jednoho ale může být muxovaný,
viz dále), úseky na časové ose pak ze vstupních událostí.
Z možných nastavení stojí za zmínku požité barvy jednotlivých křivek (Color - tedy pokud ovládáte
čísla barev), meze zobrazení ve směru osy Y (Ymin a Ymax) a délka časové osy (Refresh period –
po této době se grafy smažou a začínají se vykreslovat znova, je tedy vhodné odvodit tento čas od
doby trvání simulace).
9
Obrázek 13: Blok časové závislosti
1.2.3 Bloky z palety Branching:
Multiplexer (MUX): Blok MUX (obrázek 14) je prostředek pro spojení více signálů do
„vícežilového kabelu.“ To je vhodné pro sdružení více signálů stejného významu a tím zpřehlednění
schématu a dokonce nutné pro možnost vykreslení více závislostí v jednom okně pomocí bloku
Scope. Samozřejmě v této platě je i blok DEMUX, který má opačnou funkci. Nastavitelný je zde
počet vstupních signálů (tedy žil v kabelu).
Obrázek 14: Blok multiplexeru
1.2.4 Bloky z palety Linear
Sčítací blok (Summation, Sum): Blok pro prosté sčítání či odčítáni signálů (obrázek 15).
10
V nastavení je možné určit, jaký typ signálů se bude zpracovávat (Datatype – reálný, komplexní a
další, viz nápověda), počet vstupů a jejich znaménka (Number of inputs – počet jedniček
v hranatých závorkách odpovídá počtu vstupů, mínus určuje odčítaný signál), případně chování při
přetečení.
Obrázek 15: Blok sumace
Integrace (Integral): Blok sloužící pro časovou integraci signálu (obrázek 16). Nastavit je možné
počáteční podmínky (Initial Condition – obvykle nula), použití saturace (With saturation) a její
limity (Upper limit, Lower limit).
Obrázek 16: Blok integrace
11
Konstantní zesílení (Gain): Konstantní zesílení (obrázek 17) neboli násobení konstantou je další
široce využívaný blok. Výstupem bloku je násobek vstupního, konstanta zesílení (Gain) je v bloku
nastavitelná. Dále lze nastavit chování při přetečení, to má ale jen okrajové využití.
Obrázek 17: Blok zesílení
1.2.5 Další bloky
V Scicosu je samozřejmě i mnoho dalších bloků, nicméně systém jejich nastavení je stejný jako
u těchto ukázaných a podorbnější informace jsou ke každému k dispozici v jeho nápovědě. Pro
referenci jsou v seznamu uvedeny názvy dalších použitých bloků:
Z palety Linear
●
Kontinuální přenosová funkce (CLR, continuous SISO transfer)
●
Diskrétní přenosová funkce (DLR, discrete SISO transfer)
●
Sample-Hold (Samphold)
Z palety Non_linear
●
Goniometrické funkce (TrigFun)
●
Převrácená hodnota (Invblk)
●
Násobení signálů (Prod nebo Product)
●
Zaokrouhlování (Quant)
●
Matematický výraz definovaný jazykem Scilab (Expresion)
12
●
Meze signálu (Saturation)
Z palety Others
●
Textová popiska (Text)
1.2.6 Menu Context
Ve schématech se často vyskytují bloky, které vyžadují stejné nebo na sobě závislé nastavení. Proto
je vhodné nastavení těchto bloků svázat přes uživatelské konstanty, k čemuž slouží volba Context
v menu Diagram. Zde je prostor pro definování konstant, tak jak je ukázáno na obrázku 18.
Obrázek 18: Dialog nastavení kontextu
Takto definované konstanty je pak možno použít v jakémkoliv poli nastavení bloků, a není třeba
psát konkrétní hodnoty přímo.
1.2.7 Nastavení simulace
Parametry simulace jsou dostupné v menu Simulate a volbě Setup.
Pro většinu aplikací je dostatečné nastavení času simulace (Final integration time) a jemu
odpovídající maximální integrační interval (max integration time interval – o jednu sekundu delší).
V ostatních nastaveních (tolerance, velikost kroku a typ řešiče) je vhodné zachovat základní
nastavení a pro případ modelování vektorového řízení se ukázalo jako bezproblémové.
13
Obrázek 19: Dialog nastavení simulace
1.3 Super bloky a maskování
Často je potřeba vytvářet složitá schémata, která by již nebyla přehledná. Navíc takto složitá
schémata jsou většinou dělitelná do samostatných logických celků, které by mohly fungovat
samostatně. Proto je ve Scicosu speciální blok, díky kterému je možné tyto samostatné bloky
vytvářet. Jmenuje se Super block a je ho možné vytvořit dvěma způsoby. Zaprvé (a asi méně
používané) je možno v již hotovém modelu označit určitou část pomocí obdélníkového výběru a
pak v kontextovém menu kliknout na volbu „Region to Super Block.“ Druhou možností je vložit
prázdný Super block z palety Others, a pomocí dvojkliku na blok editovat jeho strukturu stejně jako
nadřazeného schématu.
Obrázek 20: Super blok
Navíc oproti standardnímu schématu vnitřní struktura Super bloku obsahuje vstupy a výstupy
signálů, přes které Super block komunikuje se svým okolím v nadřazeném schématu, tzv. Porty.
Jedná se vlastně o ekvivalent vstupních a výstupních parametrů v uživatelských funkcích ve
strukturovaném programovacím jazyku (C, Java, …).
14
Obrázek 21: Super blok a okno s otevřeným super blokem
Existují čtyři druhy portů, dva vstupní (v paletě Sources) a dva výstupní (v paletě Sinks). Vstupní
jsou pak datový port (černý blok vlevo na obrázku), který přijímá datový signál z okolí, a aktivační
port (červený blok nahoře), přijímající události. Podobné dělení je i u výstupních portů (datový –
černý vpravo – a aktivační – červený dole). Jedinou nastavitelnou vlastností všech portů je jejich
pořadí, ve kterém se budou zobrazovat na Super blocku v nadřazeném schématu. Každý druh portů
je třeba číslovat nezávisle, od jedničky po jejich maximální počet. V případě špatného číslování
hlásí Scicos chybu2. Pokud jsou porty číslovány správně, po překliknutí do nadřazeného schématu
se u Super bloku objeví přesně takové počty kontaktů (šipek), jaké jsou definovány v bloku.
Stejně jako v každém schématu, i v Super bloku je možné použít předem definované konstanty (viz
část Menu Context v předchoží kapitole). V Super blocku je ale dostupná ještě jedna možnost.
Pokud je v Super bloku použita konstanta, která není definována přímo v něm, Scicos postupně
prozkoumá všechny úrovně nadřazených schémat, jestli se nevyskytuje v nich. Teprve pokud ji
nenajde ani na vyšších úrovních, hlásí chybu, že tuto konstantu nelze použít 3. Pokud je stejná
konstanta definována ve více úrovních, Scicos používá nejbližší definici. Pak lze použít definic
uvedenou na obrázku, kde např. konstanta L1 je definována jako součet konstant L1sigma a Lh,
2 Není možné ani schéma opustit do nadřazeného bloku nebo otevřít novou paletu (která je systémem chápána jako
nově otevřený blok). Proto je nutné při návrhu bloku nejprve rozvrhnout vstupní a výstupní porty a očíslovat je.
3 Systém Scicos použité verze obsahuje chybu, která způsobí nestabilitu systému při pokusu maskovat blok, který
obsahuje nedefinované konstanty.
15
které jsou ale definovány o úroveň výše.
Obrázek 22: Definování konstant pomocí výrazů
Po sestavení bloku je možné jej nezávisle uložit pomocí menu File, volby Save as a dále pak volby
Super Block (druhá volba Diagram pak ukládá celé nadřazené schéma). Tímto je možné mít Super
blok uložen nezávisle na celém schématu, takže je použitelný i pro jiné modely.
Po dokončení práce na Super bloku je ho možné zamknout pro úpravy schématu. K tomu slouží tzv.
maskování, dostupné v kontextovém menu bloku (po stisknutí pravého tlačítka myši na bloku) ve
volbě Mask a další volbě Create Mask. Po zamaskování se stanou následující věci:
1) Schéma Super bloku je zamčeno pro úpravy a je nedostupné. Pokud zůstalo otevřeno okno
se schématem, Scicos hlásí, že jej není možno aktualizovat a tudíž ani měnit.
2) Pokud byl Super blok nezávisle uložen, ve schématu, kde byl blok zamaskován, se v něm
objeví jeho název místo ikonky Super bloku.
3) Při dvojkliku na Super blok se otevře dialogové okno pro nastavování parametrů bloku,
stejné jako u standardních bloků Scicosu. Nastavovat lze pouze parametry, které jsou
v bloku použity jako konstanty, ale nebyly definovány přímo v bloku, ale v nadřazeném.
Jako výchozí hodnota je použita právě konstanta definována v úrovní nad Super blockem.
Proto tam tato konstanta musí být definována, aby při maskování nedocházelo k chybám,
které mají za následek pád Scilabu. Z uvedeného vyplývá, že pokud Super blok nemá tyto
konstanty definované na vyšších úrovních schématu, při dvojkliku se neotevře žádné menu
16
pro nastavení (není parametr, který je třeba nastavit, vše je již definováno v Super bloku).
4) Zpřístupní se volba Customize Mask (kontextové menu Super blocku, volba Mask), ve
které je možno editovat texty pro jednotlivé parametry v dialogu pro nastavení parametrů
bloku (viz obrázek, nastavují se konstanty Roz a Per).
Obrázek 23: Nastavení uživatelských popisků v okně nastavení bloku
Takto vytvořená maska však není permanentním zámkem, protože ji lze snadno odstranit
v kontextovém menu Super bloku, volba Mask, volba Remove Mask, a to i v případě, že Super blok
byl nahrán z palety jako zamaskovaný.
1.4 Simulace a výsledky
Po sestavení celého modelu a nastavení všech parametrů bloků i simulace je možné simulaci spustit.
To se provádí v menu Simulate a volbě Run. Při běhu simulace se postupně vykreslují všechny
závislosti veličin vyvedených do bloků Scope (ted pokud není výpočet příliš složitý a počítač stíhá
vykreslovat). Po ukončení simulace pak grafy vypadají podobně jako na obrázku 24.
Parametry grafu samozřejmě záleží na nastavení bloku Scope, ovšem lze je měnit i po jeho
vykreslení (především kvůli formátovaní výstupů do zpráv). Toto formátování je dostupné pod
tlačítkem GED v grafu, viz obrázek 25.
Nastavit lze velké množství parametrů vzhledu jak u celého grafu (název grafu, velikost okna, …),
osového systému (rozsahy, mřížky, popisky, …), tak i jednotlivé křivky závislostí (barvy, tloušťky,
body grafu, …). Pro každý element grafu jsou mírně jiné možnosti, protože se jednotlivé obrazovky
liší jak množstvím a typem záložek tak vlastním uspořádáním. Nicméně celý editor vzhledu je
natolik intuitivní, že je zbytečné se jím podrobněji zabývat.
17
Obrázek 24: Výsledek simulace
Obrázek 25: Nastavování parametrů v grafickém okně výsledků simulace
Po nastavení vzhledu je pak možné si nechat grav exportovat (menu File, volba Export) do různých
typů grafických výstupů (obrázky BMP, GIF, …).
18
2. Vektorová regulace asynchronního motoru
Model vektorové regulace slouží k pochopení základních principů vektorové regulace. Skládá se ze
čtyř základních částí:
●
Vstupní bloky sloužící jako nadřazený regulátor pro vektorovou regulaci (například regulaci
na konstantní otáčky)
●
Bloky vektorové regulace a bloky reprezentující model střídače
●
Bloky modelu asynchronního motoru
●
Bloky mechanických částí systému, které asynchronní motor pohání
Některé bloky jsou neměnné, avšak parametrizovatelné (blok vektorové regulace, blok představující
asynchronní motor), některé bloky lze uživatelem měnit (nadřazený regulátor).
2.1 Základní rovnice asynchronního motoru
Předpokládejme symetrický třífázový asynchronní stroj s vinutou kotvou se sinusově rozloženým
vinutím dle obrázku 26.
θ
La
M1
La, Lb, Lc: vlastní indukčnosti vinutí statoru
LA, LB, LC: vlastní indučnosti vinutí rototu
M12, M1, M2: vzájemné indučnosti
θ: úhel natočení rotoru
M12 je funkcí θ
M12
LA
LC
LB
M2
Lc
Lb
Obrázek 26: Indukčnosti v asynchronním stroji
Vinutí statoru jsou označena malými písmeny a, b, c a jejich příslušné indukčnosti La, Lb, Lc. Vinutí
rotoru jsou označena velkými písmeny A, B, C a jejich příslušné indukčnosti LA, LB a LC. Vzájemné
indukčnosti vinutí statoru (mezi každými fázemi) jsou označeny M1, vzájemné indukčnosti vinutí
rotoru jsou M2 a vzájemná indukčnost příslušných fází statoru a rotoru v základní poloze rotoru je
19
označena M12. Vzájemná indukčnost příslušných fází statoru a rotoru se mění s úhlem natočení
příslušných fází statoru a rotoru θ.
Pro spřažené magnetické toky jednotlivých fází statoru v základní poloze rotoru (θ = 0) můžeme
psát
 a =La i aM 1 cos 120 °⋅i bM 1 cos 240 °⋅i c M 12 i AM 12 cos 120 °⋅i B M 12 cos 240 °⋅i C
 b =M 1 cos 240 °⋅i a Lb i bM 1 cos 120 °⋅i cM 12 cos 240°⋅i AM 12 i B M 12 cos 120°⋅i C . (1)
 c =M 1 cos 120 °⋅i a M 1 cos 240 °⋅i bL c i c M 12 cos 120 °⋅i AM 12 cos 240°⋅i BM 12 i C
Za odůvodněného předpokladu, že není vyveden střed vinutí motoru, platí
i a i bi c =0 .
(2)
Po dosazení
1
3
=−  j⋅
2
2
1
3
j⋅240 °
e
=− − j⋅
2
2
e
j⋅120 °
(3)
do rovnic (1) dostáváme
1
3
a = L a M 1 ⋅i a M 12⋅i A
2
2
1
3
a = Lb M 1 ⋅i b M 12⋅i B .
2
2
1
3
 a= Lc  M 1⋅i c  M 12⋅i C
2
2
(4)
1
L 1 = La  M 1
2
.
3
L h= M 12
2
(5)
V rovnicích (4) lze označit
Rovnice pro stator i rotor pak mají tvar
 a =L1 i a Lh i A
 b =L1 i bL h i B
 c = L1 i c Lh i C
 A=L 2 i A Lh i a
 B= L2 i B L h i b .
 C = L2 i C  Lh i c
20
(6)
Napěťové rovnice asynchronního stroje jsou
d a
dt
d b
ub =R1 i b
dt
d c
u c =R1 i c 
dt
u a =R1 i a
d A
dt
d B
.
u B= R 2 i B 
dt
d C
u C =R 2 i C 
dt
u A= R 2 i A
(7)
2.2 Clarkova transformace
V uvedených rovnicích lze působení proudů v jednotlivých fázích statoru nahradit jedním
prostorovým vektorem I =K i a i b⋅e j⋅120 °i c⋅e j⋅240 °  .
Za předpokladu, že není vyveden střed vinutí motoru platí rovnice (2) a po dosazení
1
3
1
3
j⋅120 °
=−  j⋅ a e j⋅240 ° =− − j⋅ dostaneme, že prostorový vektor I ve složkách
za e
2
2
2
2
lze vyjádřit jako
3
i =ℜ I = ⋅K⋅i a
2
.
3

3
i  =ℑ I = ⋅K⋅i b −i c = ⋅K⋅i a2i b
2
2
(8)
Při často používané volbě K = 2/3 vychází rovnost iα = ia. Uvedená transformace velikostí proudů
na jeden prostorový vektor se nazývá Clarkova transformace.
2.3 Parkova transformace a moment asynchronního motoru
Rovnice (6) a (7) zapsané za pomocí prostorového vektoru mají tvar
d  11
1
1


U 1 =R1⋅I 1 
dt
1
1
2
j



 =L I L I ⋅e
1
1
1
h
2
d  22
2
2


U 2=R 2⋅I 2
.
dt
2
2
1 − j



 = L I L I ⋅e
2
2
2
h
(9)
1
Horní index označuje souřadnicový systém, indexem 1 je označen souřadnicový systém svázaný
se statorem, indexem 2 je označen souřadnicový systém svázaný s rotorem. Prostorový vektor lze
převést do souřadnicového systému k vztahem
Ik = I1⋅e− j  ,
k
kde θk je úhel natočení systému souřadnic k.
Okamžitý příkon asynchronního motoru lze vyjádřit jako
21
(10)
3
k
k∗
P= ⋅ℜ U 1⋅I 1  .
2
(11)
d  1k
U 1=R1⋅Ik1 
dt
(12)
Po dosazení
do rovnice (11) vyjde4
3
P= ⋅[R 1 i 21ki 1l2  1 1k i 1l1l i 1k ] .
2
(13)
První člen představuje jouleho ztráty ve vinutí statoru, výkon představovaný druhým členem je tedy
výkon přenášený vzduchovou mezerou na rotor. Při uvážení


1−s⋅P 
= 1
a
1−s p p

(14)
3
M i= ⋅p p⋅ 1k i 1l 1l i 1k  .
2
(15)
M i=
dostáváme
Při uvážení  1=  I1⋅L1  a L h=L1 L1  lze psát též
3
M i= ⋅p p⋅  k i 1l   l i 1k 
2
(16)
neboť složka I1⋅L1  je rovnoběžná s I1 a moment nevytváří. Stejně tak lze psát
L
3
M i= ⋅p p⋅ h⋅2k i 1l2l i 1k  .
2
L2
(17)
Při volbě systému souřadnic (d,q), kde směr osy d je určen směrem magnetického toku v rotoru Ψ2
odpadá ze závorky jeden člen (Ψ2d = Ψ2, Ψ2q = 0). Velikost momentu potom závisí pouze na velikosti
magnetického toku v rotoru a velikosti proudu ve statoru v ose kolmé na tento magnetický tok.
Výsledný moment lze pomocí proudu I1 a Ψ2 zapsat jako
L
3
M i= ⋅p p⋅ h⋅ 2d i 1q .
2
L2
4 Osy (k, l) představují libovolný kolmý souřadnicový systém
22
(18)
Bez pomoci komplexních čísel lze mezi souřadnými systémy statoru (α,β) a (d,q) převádět veličiny
vztahemy
i d =i  cos i  sin 
.
i q =−i  sin i  cos 
(19)
Tento převod souřadnic se nazývá též Parkova transformace.
2.4 Model motoru I1-n
Vyjděme z rovnic asynchronního motoru (9). Obecný tvar po dosazení rovnice (10) a po převedení
do obecného systému souřadnic je
d
U 1k⋅e j  =R1⋅Ik1⋅e j     1k⋅e j  
dt
d
U k2⋅e j  −=R 2⋅Ik2⋅e j   −   2k⋅e j  −
dt
k
k
k
k
k
(20)
k
Po rozepsání členu d/dt a dělení první rovnice ejθk, resp. druhé ejθk-θ získáme
d  k1
U 1k =R1⋅Ik1 
 j  k  1k
dt
,
d  k2

k

k

k
U 2 =R2⋅I 2 
 j k −  2
dt
(21)
kde ω je okamžitá rychlost otáčení rotoru a ωk rychlost otáčení souřadné soustavy k.
Po převedení rovnic do souřadného systému (d,q) svázaného s magnetickým tokem v rotoru
(systém rotuje synchronní rychlostí) získáme
d  1
U 1=R1⋅I1
 j  1  1
dt
.
2
d

U 2=R 2⋅I2
 j 1−  2
dt
(22)
Výraz ω1 - ω představuje frekvenci v rotoru, nebo též skluzovou frekvenci ω2.
Rovnice pro magnetické toky nemají člen závislý na času a po převedení souřadnic zůstávají v
podobném tvaru jako rovnice (9):
 1= L1 I1L h I2
.
 = L I  L I
2
h
1
Předpokládejme rotor zapojený do krátka, tedy U2 = 0.
23
2
2
(23)
 2−L h I1
Dále z rovnice pro Ψ2 vyjádřeme I2=
a dosaďme do rovnice (22) pro U2. Získáme
L2
 −L h I1 d  2
U 2=0=R 2 2

 j 1−  2
L2
dt
(24)
Po převedení dΨ2/dt na jednu stranu a vytknutí Ψ2 získáme
d  2
R
R
=Lh⋅ 2⋅I1−[ 2  j⋅1−]⋅ 2
dt
L2
L2
(25)
Modelem I1-n asynchronního stroje se rozumí rovnice (25) rozepsaná na reálnou a imaginární
složku ve tvaru
d 2d
R
R
=L h⋅ 2⋅i 1d− 2⋅ 2d
dt
L2
L2
.
R2
Lh⋅ ⋅i 1q = 2 2d
L2
(26)
Výraz L2 / R2 představuje časovou konstantu rotoru τ2.
2.5 Možnosti regulace pohonu
Z rovnic (18) a (26) vyplývá, že pokud regulátor bude schopen regulovat odděleně složky i1d a i1q
statorového proudu I1, lze samostatně regulovat magnetický tok rotoru a moment motoru. Složka
statorového proudu i1d se proto nazývá tokotvorná a i1q momentotvorná. Obě složky jsou
v ustáleném stavu při stabilním chodu neměnné („stejnosměrné“) a proto je lze regulovat odděleně
klasickými PI, respektive PS regulátory.
Dosud nebylo řečeno, jak zjistit natočení os (d,q). Osy (d,q) rotují synchronní rychlostí, tedy
rychlostí ω1 = ω2 + ω, respektive natočení os (d,q) je θ1 = θ2 + θ. Skluzovou frekvenci ω2 lze určit
z rovnice (26) a její výpočet je klíčový pro vektorovou regulaci. Zbývá určit okamžitou rychlost
otáčení rotoru ω, kterou je nutné měřit otáčkovým čidlem. Ke správné funkci modelu I1-n je tedy
třeba měrit okamžité proudy rotoru a rychlost otáčení rotoru.
24
3. Popis bloků
3.1 Nejvyšší blok
V nejvyšším bloku modelu (obrázek 27) vektorového řízení je třeba propojit bloky reprezentující
„hardware“ systému – tedy střídač, motor a mechanickou soustavu – a „software“ – tedy bloky
reprezentující regulátory a matematický model použitý při vektorovém řízení. Dále je třeba připojit
nadřazené regulátory tokotvorné a momentotvorné složky proudu – v tomto příkladu je požadavek
na tokotvornou složku připojen na konstantu 1 (ampér) a momentotvornou složku řídí regulátor
otáček nastavený na 100 (rad/sec)5.
Obrázek 27: Příklad nejvyššího bloku modelujícího vektorové řízení
3.2 Bloky modelující hardware
3.2.1 Model asynchronního stroje (acim_motor)
Model asynchronního stroje je založen na rovnicích (22) a (23), jako vnitřní stav motoru se udržují
hodnoty proudů statoru a rotoru. Z uvedených se vypočítává moment podle rovnice (15) upravené
pro Ψ2 a I1.
5 Veškeré fyzikální veličiny použité v modelu jsou v základním rozměru jednotek SI (úhlové rychlosti v rad/sec, úhly
v rad, proudy v ampérech, napětí ve voltech, čas ve vteřinách, momenty v newton-metrech, atd).
25
Obrázek 28: acim_motor ve Scicos
Vstupy
1 u1a
Napětí na svorkách asynchronního motoru.
Hodnota je ve voltech.
2 u1b
3 u1c
4 omega
Aktuální otáčky motoru (podle pohybové rovnice, resp. mechanického modelu).
Výstupy
1 moment
Pro dvoupólový motor – pro vícepólový je nutné hodnotu dělit příslušným počtem
pólpárů
2 i1a
Velikost proudu procházející první fází
3 i1b
Velikost proudu procházející druhou fází (třetí lze dopočítat a není vyvedena)
Parametry
L1sigma
Velikost rozptylové indukčnosti jedné fáze statorového vinutí.
L2sigma
Velikost rozptylové indukčnosti jedné fáze rotoru přepočtený na stator.
Lh
Velikost hlavní indukčnosti.
R1
Odpor jedné fáze statorového vinutí.
R2
Odpor jedné fáze rotorového vinutí přepočtený na stator.
26
R1
I1
I2
L1σ
L2σ
Lh
RFe
R2/s
Obrázek 29: Náhradní schéma asychronního stroje
Parametry motoru se zadávají podle náhradního schématu (obrázek 29).
Pro odvození výpočtu nových hodnot proudů I1 a I2 vezměme rovnice (22) a (23)
d  1 
=U 1−R1⋅I1
dt
d  2
=0− R2⋅I2− j   2 .
dt
 1=L1 I1Lh I2
 2=L h I1L 2 I2
(27)
Druhé dvě rovnice zderivujeme podle času
d  1
d I1
d I2
=L1
Lh
dt
dt
dt
,


d 2
d I1
d I2
=Lh
L 2
dt
dt
dt
(28)
z jedné z nich vyjádříme dI1/dt a dosadíme do druhé a získáme
d  2
d  1
−L
2
d I1
dt
dt
=
2
dt
L h−L 1 L 2
.
d  1
d  2
d I2 L h dt −L1 dt
=
dt
L 2h− L1 L 2
Lh
(29)
Přitom velikosti dΨ1/dt a dΨ2/dt již známe z prvních dvou rovnic (27), kde jediné neznámé (U1 a ω)
jsou vstupy do modelu. Pro usnadnění a zrychlení výpočtu je konstantní hodnota v čitateli rovnic
(29) předpočtena a v modelu označována jako Lx.
3.2.2 Výpočet u1α, u1β
Při uvážení rovnic (6) a (7), předpokladu symetrického stroje a uvážení nevyvedeného středu
27
statoru ani rotoru (ia + ib + ic = 0, iA + iB + iC = 0) a uvážení, že vlastnost nulové sumy se zachovává
i při integraci a derivování, lze aplikovat Clarkovu transformaci i na napětí s tím, že hodnota
nulového uzlu je rovna
1
u 0= u aub u c  .
3
(30)
Obrázek 30: napeti_clarke ve Scicos
3.2.3 Mechanický model soustavy
Mechanický model může obsahovat libovolné schéma podle modelované soustavy6. Provedený
model je základní, který modeluje pouze rotující setrvačné hmoty, neuvažuje tření ani ztráty
ventilací motoru.
Obrázek 31: Blok představující mechanický model soustavy
6 Předpokládá se, že si uživatel nakreslí vlastní, podle potřeby.
28
Vstupy
1 moment
Aktuální příspěvek motoru do soustavy
Výstupy
1 omega
Aktuální rychlost otáčení hřídele motoru
2 theta
Aktuální úhel natočení hřídele motoru
Parametry
J
Moment setrvačnosti
3.3 Bloky realizující software
3.3.1 FOC – Vektorové řízení
Blok FOC (z anglického Field Oriented Control) představuje hlavní řídící strukturu regulátoru
prezentovaného tímto dokumentem. Je hlavním blokem propojujícím ostatní podřízené bloky.
V bloku Theta_comp se vypočítává úhel magnetického toku vzhledem k rotoru, ten je sečten se
skutečným změřeným natočením hřídele motoru. Tím je získán úhel souřadnic (d,q) – ve směru
magnetického toku – vzhledem ke statoru. Změřené proudy fází statoru jsou převedeny bloky
Clarke a Parke (za pomoci vypočteného úhlu theta) na proudy i1d a i1q. Tyto jsou odděleně
regulovány dvěmi nezávislými regulátory v blocích PIreq po porovnání s pořadovanými hodnotami
i1d_want a i1q_want zavedenými jako vstupy. Pomocí bloků Inv_Parke a Inv_Clarke jsou opět
získána požadovaná napětí pro jednotlivé fáze, které pokračují do bloku střídače.
Obrázek 32: Blok FOC ve Scicos
29
Vstupy
1 i1d_want Požadovaná hodnota složky d starového proudu
2 i1q_want Požadovaný hodnota složky q statorového proudu
3 i1a
Skutečný proud (měřený čidly proudu) měřený na dvou fázích motoru
4 i1b
5 Theta
Skutečné pootočení hřídele motoru (elektrické, v radiánech)
Výstupy
1 u1a
Požadovaná napětí fází pro řízení motoru – strupy pro střídač
2 u1b
3 u1c
Parametry
žádné
3.3.2 Clarkova transformace
Clarkova transformace odvozená v (8) platí pro předpoklad nevyvedeného středu motoru, je jí tedy
možno modelovat jednodušeji než pro potřeby napětí v motoru, viz obrázek 30.
Obrázek 33: Blok Clarke ve Scicos
Vstupy
1 i1a
2 i1b
Měřené proudy ve vinutích asynchronního motoru.
Hodnota je v ampérech.
3 K
Vstup koeficientu K pro synchronizaci s inverzní Clarkovou transformací
Výstupy
1 i1alfa
Transformovaný proud ve vinutích asynchronního motoru
2 i1beta
Parametry
žádné
30
3.3.3 Parkova transformace
Převod proudů i1alfa a i1beta do otočeného souřadného systému na proudy i1q a i1d pomocí
Parkovy transformace je realizován rovnicí (19) a schématem dle obrázku 34.
Obrázek 34: Blok Parke ve Scicos
Vstupy
1 i1a
Proud ve vinutích asynchronního motoru po Clarkově transformaci
2 i1b
3 theta
Vstup úhlu otočení theta (v radiánech)
Výstupy
1 i1d
2 i1q
Transformovaný proud ve vinutích asynchronního motoru v otočeném souřadném
systému
Parametry
žádné
3.3.4 Inverzní Parkova transformace
Inverzní Parkova transformace je shodná s dopřednou po dosazení záporného úhlu theta do
goniometrických funkcí. Po vyjádření je pak realizována schématem dle obrázku 35.
31
Obrázek 35: Blok Inv_Parke ve Scicos
Vstupy
1 u1d
Napětí na svorkách asynchronního motoru v otočeném souřadném systému
2 u1q
3 theta
Vstup úhlu otočení theta (v radiánech)
Výstupy
1 u1alfa
Transformované napětí na svorkách asynchronního motoru
2 u1beta
Parametry
žádné
3.3.5 Inverzní Clarkova transformace
Vztahy pro inverzní Clarkovu transformaci jsou odvozeny ze vztahů pro dopřednou Clarkovu
transformaci s tím, že uvažujeme podmínku nulového napětí na středu, tedy ua+ub+uc = 0.
Po vyjádření tedy platí
1 2
u a= ⋅ ⋅u
K 3
1 u u
u b= ⋅ − 
K 3 3
1 −u u
u c = ⋅  −  
K 3
3
V prostředí Scicos jsou tyto vztahy pak realizovány dle obrázku 36.
32
(31)
Obrázek 36: Blok Inv_Clarke ve Scicos
Vstupy
1 u1alfa
Napětí na svorkách asynchronního motoru v otočeném souřadném systému
2 u1beta
3 K
Vstup koeficientu K pro synchronizaci s dopřednou Clarkovou transformací
Výstupy
1 u1a
Napětí přikládané na svorky asynchronního motoru
2 u1b
3 u1c
Parametry
žádné
3.3.6 PI regulátor
Klasický model PI regulátoru je rozšířen o horní a dolní omezení akční proměnné (výstupu)
na hodnotu ±mez, zohledňující maximální a minimální propustnou hodnotu akční proměnné (např.
maximální použitelné napětí). Aby se po dobu saturování výstupu integrační část stále nezvětšovala
nade všechny meze, byl vlastní PI regulátor upraven dvěma způsoby.
V prvním je stejnými mezemi saturován i blok integrace. To umožní rychlejší reakci integrační části
regulátoru. V ideálním případě by horní mez integračního bloku byla mez - Kp·e (dolní mez
analogicky), toto definování však Scicos neumožňuje. Navíc při pomalé změně regulační odchylky
se takto navržený regulátor chová ideálně, rozdíly nastávají pouze při skokové změně hodnoty
a znaménka regulační odchylky.
33
Obrázek 37: Blok PIreg ve Scicos
Vstupy
1 e
Vstup řídící odchylky
Výstupy
1 y
Akční proměnná (žádaná proměnná následného kroku)
Parametry
Kp
Konstanta proporcionálního zesílení
Ti
Časová konstanta integrace
mez
± mez saturace integrace a akční proměnné
Druhý způsob, jakým je možné PI regulátor modifikovat je patrný z obrázku a byl odvozen
z modifikací prezentovaných firmou Texas Instruments.
Obrázek 38: Blok PIreg2 ve Scicos
V tomto modelu není blok integrálu saturován (sám o sobě může integrovat do nekonečna), ale díky
zpětné vazbě je maximální velikost integrační složky regulátoru opět omezena hodnotami ±mez.
Hodnota integrační složky ale pro konstantní vstup (řídící odchylku) neroste lineátně jako v prvním
případě, nýbrž od hodnoty mez - Kp·e se začíná k výsledné mezi pouze exponenciálně blížit. Vytváří
se tak jakýsi hladký přechod. Ve výsledku je chování této druhé varianty shodné s variantou první,
pouze v kratičké době, kdy je hodnota integrační složky mezi hodnotou mez - Kp·e a hodnotou mez,
reaguje tato druhá varianta na skokovou změnu hodnoty a znaménka vstupu rychleji (integrační
složka nedosáhla tak vysoké hodnoty jako první varianta díky pomalejšímu náběhu, proto integruje
z nižší počáteční hodnoty). Tento PI regulátor je ale něco výpočetně náročnější, protože musí navíc
34
zpracovávat zpětnou vazbu a blok integrace stejně saturaci obsahuje, i když není aktivní. Proto
záleží na konkrétním uživateli, jaký PI regulátor si vybere.
Obrázek 39: Detail porovnání chování integrační složky obou variant PI regulátorů; 1. varianta
zeleně, 2. varianta červeně
Vstupy, výstupy a parametry obou druhů regulátorů jsou shodné.
3.3.7 Model motoru – výpočet úhlu theta
Blok Theta_comp provádí výpočet směru magnetického toku vzhledem k rotoru dle rovnic (26).
Blok saturace zavedený mezi veličinou imi a vstupem do děličky je z důvodu zamezení dělení
nulou (při stuštění modelu je velikosti magnetizačního proudu skutečně nula). Omezení je
nastaveno na velmi malou hodnotu, větší než 0.
35
Obrázek 40: Blok Theta_comp ve Scicos
Vstupy
1 i1d
Skutečný proud statorovým vinutím motoru
2 i1q
Výstupy
1 imi
Velikost magnetizačního proudu motoru
2 theta2
Směr magnetického toku vzhledem k rotoru
Parametry
tau2
Časová konstanta rotoru rovna L2 / R2
36
4. Použití modelu
4.1 Hodnoty reálného asynchronního stroje
Štítkové a vnitřní parametry změřeného reálného dvoupólového asynchronního motoru o výkonu
1,1 kW jsou uvedeny v tabulce.
Parametr
Hodnota
nn
2780 ot/min
Un
400/230 V (Y/D)
In
2,5/4,3 A (Y/D)
fn
50 Hz
cos φn
0,84
Mn
3,78 Nm
Mzv/Mn
2,6 (=9.83 Nm)
Mz/Mn
2,6 (=9.83 Nm)
Iz/In
5,1 (=12,75 A)
R1
6,25 Ω
R2
8Ω
L1σ
0,02 H
L2σ
0,02 H
Lh
0,51 H
Model reprezentuje motor zapojený do hvězdy7 (model počítá přímo s fázovými veličinami,
hodnoty jsou udávané na fázi). Hodnoty uvedené v tabulce odpovídají zapojení do hvězdy a lze je
tedy přímo zapsat do modelu.
Vzhledem k tomu, že jmenovitý proud uvedeného motoru je 2,5 A a cos φn = 0,84, při jmenovitém
zatížení je činná a jalová složka proudu 2,1 +1,36j A. Tyto hodnoty proudů jsou efektivní, každou
jednotlivou fází. Vzhledem k tomu, že v modelu je použita v Clarkově transformaci přepočítávácí
konstanta K = 2/3, lze snadno přepočítat reálné velikosti fázových proudů na velikost prostorového
vektoru, který model používá – velikost vektoru odpovídá fyzikální skutečnosti (ia = iα). Pokud
uvážíme okamžik, kdy iβ = 0, tedy |i| = iα = ia, fází a teče právě vrcholová hodnota proudu, lze
odvodit, že velikost prostorového přesně odpovídá velikosti vrcholového proudu jedné fáze
∣i∣= I max = 2⋅I eff . Pro jmenovitý chod tedy odpovídají v modelu hodnoty i1d = 1,9 A a
i1q = 2,95 A8 a proto je vhodné tyto hodnoty proudů volit v nadřazeném regulátoru jako meze.
7 V případě potřeby simulace motoru zapojeného do trojúhelníka je možné jeho parametry přepočítat na hvězdu.
8 Pokud budeme tiše předpokládat, že vnitřní napětí motoru je ve fázi se svorkovým.
37
Velikosti napětí na vstupu do bloku modelu motoru odpovídají fázovému napětí motoru (nikoli
sdruženému) zapojeného do hvězdy. Pro simulaci síťového napětí o velikosti 230/400 V je třeba na
vstupy bloku připojit zdroje sinusového průběhu o vrcholové hodnotě 324 V vzájemně posunuté
o 120°.
4.2 Reakce na „špatně“ zadanou hodnotu tau2
Matematicky model v regulátoru potřebuje znát velikost hodnoty tau2, což je časová konstanta
rotoru, aby mohl regulátor správně počítat vhodnou skluzovou frekvenci rotoru a velikost a směr
magnetického toku v rotoru. Pokud je tato hodnota zadána jinak, než jsou skutečné parametry
L2 / R2 modelu motoru, regulace nebude pracovat ideálně (z důvodu špatně odhadnutého směru
souřadnic (d,q)). V případě zadané vyšší hodnoty tau2, než má skutečný motor, bude docházet
k přesycování stroje9. V případě nižší hodnoty tau2 bude stroj pracovat s nižším buzením a větším
skluzem, než je ideální.
4.3 Ukázkový výsledek simulace
Na obrázku 41 je výsledek simulace modelového příkladu s nadřazeným regulátorem otáček
a relativně těžkým rozběhem. Na ose y je vynesen proud v ampérech dvěmi fázemi motoru, na ose
x je čas ve vteřinách. Je vidět postupné zvyšování frekvence proudu při zachování maximálního
proudu motoru a rozběh s postupným zvyšováním frekvence proudu. Po dosažení zadaných otáček
dojde ke snížení proudu až na velikost budícího proudu (motor pracuje s nulovým momentem)
společně s jednorázovým skokem směru prostorového vektoru proudu tak, aby se skokově snížil
cos φ na hodnotu 0 (tedy žádný činný výkon, který by byl přeměňován na mechanickou práci).
Obrázek 41: Proudy dvěma vinutími motoru při těžkém rozběhu
9 Přesycování však není modelem zohledněno.
38
4.4 Uživatelské spuštění modelu
Přiložený soubor je možné přímo spustit a případně upravovat. Blok FOC není maskován, neboť je
vhodné měnit parametry bloků i uvnitř bloku FOC (propagování nastavení bloků není v prostředí
Scicos možné.
39