MATEMATIKA I

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ
FAKULTA STAVEBNÍ
MATEMATIKA I
MODUL GA01− M01
VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE
VEKTOROVÉHO POČTU
STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM
GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
1
0
0
Typeset by LATEX 2ε
c V. Tryhuk, O. Dlouhý 2004
———————————————————————————————————
2
———————————————————————————————————
Obsah
Úvod
Cíle . . . . . . . . . . .
Požadované znalosti . .
Doba potřebná ke studiu
Klíčová slova . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
6
6
6
1 Vybrané části vektorového počtu
1.1 Operace s geometrickými vektory ve V (E3 ) . . . . . .
Poznámka k označení . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineární nezávislost vektorů . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Součiny vektorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Skalární součin vektorů . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vektorový součin vektorů . . . . . . . . . . . . . . . .
Smíšený součin vektorů . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dvojný vektorový součin vektorů . . . . . . . . . . .
Důležité identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Aplikace vektorového počtu ve sférické trigonometrii .
Sinová věta pro sférický trojúhelník . . . . . . . . . .
První kosinová věta pro sférický trojúhelník . . . . .
1.4 Lineární prostor, báze a dimenze . . . . . . . . . . .
1.5 Vektory v ortonormální bázi . . . . . . . . . . . . . .
Skalární součin v ortonormální bázi . . . . . . . . . .
Vektorový součin v ortonormální bázi . . . . . . . . .
Smíšený součin v ortonormální bázi . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
7
7
9
11
11
13
15
17
17
18
19
21
21
23
24
25
25
.
.
.
.
.
.
.
27
27
28
31
33
33
34
34
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 Některé aplikace vektorového počtu
2.1 Vektory v souřadnicové soustavě prostoru
2.2 Rovina v E3 . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Přímka v E3 . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Úlohy metrické . . . . . . . . . . . . . .
Vzdálenost bodu od roviny . . . . . . . .
Vzdálenost bodu od přímky . . . . . . .
Úhel dvou rovin . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
E3
. .
. .
. .
. .
. .
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
———————————————————————————————————
4
OBSAH
Úhel dvou přímek . . . . . . . . .
Úhel přímky a roviny . . . . . . .
2.5 Úlohy polohy . . . . . . . . . . .
Vzájemná poloha dvou rovin . . .
Vzájemná poloha přímky a roviny
Vzájemná poloha dvou přímek . .
Příčky a osa mimoběžek . . . . . . . .
2.6 Vlastní čísla a vlastní vektory . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
35
35
36
36
36
37
41
42
Rejstřík
53
Literatura
53
———————————————————————————————————
Úvod
Cíle
Cílem našeho textu není přesné formální vybudování základů vektorové algebry
a analytické geometrie v trojrozměrném prostoru. Naopak, chceme pouze vytvořit
doplněk textů již napsaných pro studenty kombinované formy studia, který bude
reagovat na potřeby studijního programu geodézie a kartografie.
V úvodní části modulu se budeme věnovat vektorové algebře, v níž zvolíme
poněkud odlišný přístup od modulu BA01− M02 určeného pro obecné zaměření
kombinované formy studia. Dáme přednost geometrickému a fyzikálnímu popisu
vektorových operací, které navíc nebudeme studovat od začátku v ortonormální
bázi.
V odpovídajících číselně vyjádřených odstavcích textu jsou stanoveny následující cíle:
1.1 Připomenout základní operace s geometrickými vektory. Je potřebné pochopit geometrickou interpretaci pojmů – vektory kolineární (nekolineární), vektory komplanární (nekomplanární) – a naučit se s nimi pracovat.
1.2 Jedná se o nejdůležitější odstavec celého modulu. Je potřebné pochopit
skalární, vektorový i smíšený součin vektorů včetně vytvoření geometrické představy o významu a možnostech použití těchto pojmů. Jedná se o základní stavební
prvky dalších následujících odstavců modulu.
1.3 Odstavec obsahuje základní potřebné pojmy sférické trigonometrie, se
kterými je potřebné se do detailů seznámit. Odvozování vzorců není samoúčelné,
je zkouškou pochopení obsahu odstavce 1.2 .
1.4 Pojmy používané v prvních třech odstavcích zobecníme na úroveň, která
se standardně používá nejen v matematické literatuře. Potřebné je vytvořit si
představu o obsahu pojmu lineární prostor a především pochopit pojmy báze
a dimenze lineárního prostoru.
1.5 Studijní zaměření geodézie a kartografie pracuje s vektory nezávisle na
volbě souřadnicových soustav. V odstavci se seznámíte s ortonormálními bázemi
ve třírozměrném prostoru a aritmetikou počítání s vektory v ortonormální bázi.
———————————————————————————————————
6
OBSAH
1.6 Cílem odstavce je prohloubit pochopení analytické geometrie v prostoru.
Důsledně jsou aplikovány skalární, vektorový a smíšený součin vektorů na metodiku řešení úloh i výpočetní postupy. Přístup se odlišuje od pojetí používaného
na středních školách. Pečlivě si proto promyslete a propočítejte i řešené příklady
tohoto odstavce.
1.7 Prostudujte si motivační příklad, který pro vás může být v budoucnu užitečný. Odstavec obsahuje základní pojmy nezbytné pro zvládnutí výpočtu vlastních čísel a vlastních vektorů matice. Je potřebné zvládnout techniku výpočtu.
V jednom z dalších modulů se seznámíte s rozklady polynomů, které vám umožní
zvolit si i jinou metodiku řešení příkladů.
Požadované znalosti
Znalost geometrických vektorů a základů analytické geometrie v prostoru v rozsahu látky probírané na středních školách.
Doba potřebná ke studiu
Čas potřebný ke zvládnutí tohoto modulu je odhadnut pro průměrného studenta
jako hodnota nejméně ?? hodin.
Klíčová slova
Geometrické vektory, skalární součin vektorů, vektorový součin vektorů, smíšený součin vektorů, lineární nezávislost vektorů, reálný lineární prostor, sférický trojúhelník, souřadnice vektoru, přímka v prostoru, rovina v prostoru, úlohy polohy, úlohy metrické.
Na konci modulu zařazen Rejstřík, ve kterém jsou další klíčová slova přehledně
uspořádána i s odkazy na odpovídající stránky.
———————————————————————————————————
Kapitola 1
Vybrané části vektorového počtu
1.1
Operace s geometrickými vektory ve V (E3)
Poznámka k označení
Aniž bychom se zabývali přesnou definicí afinního prostoru A3 , budeme nejprve
studovat tzv. afinní vlastnosti euklidovského prostoru E3 . Euklidovským prostorem E3 přitom budeme rozumět bodový prostor, v němž:
• každému bodu A ∈ E3 je jednoznačně přiřazena uspořádaná trojice
[a1 , a2 , a3 ] reálných čísel, které nazýváme souřadnicemi bodu A a píšeme
A = [a1 , a2 , a3 ],
• každým dvěma bodům A, B ∈ E3 , kde A = [a1 , a2 , a3 ], B = [b1 , b2 , b3 ],
je přiřazena
euklidovská vzdálenost ρ(A, B) bodů A, B, pro kterou platí
qP
3
2
ρ(A, B) =
i=1 (ai − bi ) .
Každé uspořádané dvojici bodů (A, B) přiřadíme orientovanou úsečku s počátečním bodem A a koncovým bodem B a budeme ji nazývat umístěním vektoru
−→
~u =AB . Můžeme pak také psát B = A + ~u nebo B − A = ~u . Přitom vektorem
~u budeme rozumět třídu orientovaných úseček, které mají týž směr a velikost.
−→
−→
Tuto vlastnost můžeme také popsat tak, že orientované úsečky AB, CD patří do
jedné třídy, jestliže úsečky (A, D) a (B, C) mají týž střed.
B
A
*
*D
à
C
———————————————————————————————————
8
Vybrané části vektorového počtu
Množinu všech vektorů pak nazýváme vektorovým zaměřením prostoru
E3 a označujeme ji V (E3 ).
Pro takto zavedené pojmy platí:
a) Pro libovolný bod A ∈ E3 a libovolný vektor ~u ∈ V (E3 ) existuje jediný bod
−→
B ∈ E3 takový, že AB= ~u .
−→
−→
−→
b) Je-li AB= ~u , BC= ~v , pak AC= ~u + ~v se nazývá součet vektorů ~u , ~v .
B
−→
*
AB= ~u @
−→
@ BC= ~
v
@
A XXX
@
XXX
@
XXX
@
X
X
−→
XXX
z
@
RC
AC= ~u + ~v
−→
• Je-li ~u =AA, pak vektor ~u se nazývá vektor nulový, značí se ~o a má délku
rovnou nule.
−→
−→
• Je-li ~u =AB, pak vektor −~u =BA (změněná orientace) se nazývá vektor
opačný k vektoru ~u .
−→
−→
• Úhlem nenulových vektorů ~u =AB, ~v =AC nazýváme úhel ϕ polopřímek AB, AC měřený v mezích 0 ≤ ϕ ≤ π.
Poznámka: Prostor bodů v trojrozměrném prostoru E3 spolu s vektorovým zaměřením V (E3 ), v nichž platí a) a b) se často nazývá afinním
prostorem a značí se A3 .
Věta 1. Pro libovolné tři vektory ~u , ~v , w
~ ve V (E3 ) platí
1. ~u + ~v = ~v + ~u ,
2. (~u + ~v ) + w
~ = ~u + (~v + w
~ ),
3. ~u + ~o = ~u ,
4. ke každému vektoru ~u existuje opačný vektor −~u tak, že ~u + (−~u ) = ~o.
———————————————————————————————————
1.1 Operace s geometrickými vektory ve V (E3 )
9
Součin vektoru s reálným číslem
−→
Má-li ~u =AB délku |~u | a je-li γ ∈ R libovolné číslo, pak klademe
• γ~u = ~o, pokud γ = 0 nebo ~u = ~o,
• γ~u = ~v , kde ~u 6= ~o, |~v | = |γ| · |~u | a vektor ~v je souhlasně (nesouhlasně)
rovnoběžný s vektorem ~u v případě γ > 0 (γ < 0.)
−→
~u
A
-
B
~v =AC=
u = 2~u pro γ = 2 > 1 > 0, |~v | = 2|~u |
-γ · ~
C
Věta 2. Nechť α, β ∈ R jsou libovolná čísla a ~u , ~v libovolné vektory ve V (E3 ).
Pak platí
1. α(β~u) = αβ~u ,
2. α(~u + ~v ) = α~u + α~v ,
3. (α + β)~u = α~u + β~u,
4. 1 · ~u = ~u .
Lineární nezávislost vektorů
Poznámka:
Všimněme si, že pro vektory z V3 = V (E3 ) platí:
(ι) ~u , ~v ∈ V3 =⇒ ~u + ~v ∈ V3
(součet vektorů z V3 je vektor ve V3 ).
(ιι) ~u ∈ V3 , α ∈ R =⇒ α~u ∈ V3
(násobek vektoru z V3 je vektor ve V3 ).
(ιιι) Operace sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem mají
vlastnosti uvedené ve větách 1, 2.
Vektory kolineární (nekolineární)
Nenulové vektory ~u , ~v , pro které existují taková umístění, že leží na jedné přímce,
nazýváme kolineární vektory. Nulový vektor považujeme za kolineární s každým vektorem. Pro kolineární vektory ~u , ~v , platí:
a) Je-li ~u 6= ~o, pak existuje právě jedno číslo k ∈ R takové, že ~v = k~u.
———————————————————————————————————
10
Vybrané části vektorového počtu
b) Rovnice k~u + l~v = ~o je splněna alespoň pro jednu dvojici čísel k, l ∈ R,
přičemž čísla k, l nejsou současně rovna nule.
Řekneme naopak, že vektory ~u , ~v jsou nekolineární, když rovnice k~u+l~v = ~o
je splněna pouze tehdy, když k = 0 a současně l = 0.
Příklad 1.1.1 Vektory ~x1 , ~x2 = −2~x1 jsou kolineární, protože vektor ~x2 je
násobkem vektoru ~x1 . V jiném pohledu, platí rovnice 2~x1 + ~x2 = ~o a rovnice
k~x1 + l~x2 = ~o má nenulové řešení k = 2, l = 1.
Příklad 1.1.2 Vektory ~x1 , ~x2 jsou nekolineární. Zjistěte, zda jsou vektory
~u = ~x1 + ~x2 , ~v = ~x1 − ~x2 , rovněž nekolineární.
Řešení: Předpokládejme, že existuje nenulové reálné číslo k takové, že ~u = k~v ,
tj. vektory ~u , ~v jsou kolineární. Pak platí ~x1 + ~x2 = k(~x1 − ~x2 ) a odtud
(1 − k)~x1 + (1 + k)~x2 = ~o. Protože vektory ~x1 , ~x2 jsou nekolineární, musí platit
1 − k = 0 a současně 1 + k = 0, což není možné. Neplatí proto náš předpoklad
a vektory ~u , ~v jsou nekolineární.
Vektory komplanární (nekomplanární)
Řekneme, že nenulové vektory ~u , ~v , w
~ jsou komplanární, jestliže existují taková jejich umístění, že leží v jedné rovině. Pokud je některý z vektorů ~u , ~v , w
~
nulovým vektorem, pak tuto trojici vektorů považujeme také za komplanární.
Pro komplanární vektory ~u , ~v , w
~ platí:
a) Jsou-li ~u , ~v nekolineární vektory, pak existuje právě jedna dvojice čísel
k, l ∈ R taková, že w
~ = k~u + l~v .
b) Rovnice k~u + l~v + mw
~ = ~o je splněna alespoň pro jednu trojici čísel
k, l, m ∈ R, přičemž čísla k, l, m nejsou současně rovna nule.
Trojici vektorů ~u , ~v , w
~ nazveme nekomplanární, když je rovnice
k~u + l~v + mw
~ = ~o splněna pouze pro k = l = m = 0.
Příklad 1.1.3 Vektory ~x1 , ~x2 , ~x3 jsou nekomplanární. Zjistěte, zda jsou vektory
~u = ~x1 + ~x2 + ~x3 , ~v = ~x1 − ~x2 + ~x3 , w
~ = ~x1 + 3~x2 + ~x3 , rovněž nekomplanární.
Řešení: Sestavíme rovnici α1~u + α2~v + α3 w
~ = ~o. Dosadíme-li do rovnice vyjádření vektorů ~u , ~v , w
~ , máme
α1 (~x1 + ~x2 + ~x3 ) + α2 (~x1 − ~x2 + ~x3 ) + α3 (~x1 + 3~x2 + ~x3 ) =
= (α1 + α2 + α3 )~x1 + (α1 − α2 + 3α3 )~x2 + (α1 + α2 + α3 )~x3 = ~o
a c1 = α1 + α2 + α3 = 0, c2 = α1 − α2 + 3α3 = 0, c3 = α1 + α2 + α3 = 0,
protože ~x1 , ~x2 , ~x3 jsou podle zadání úlohy nekomplanární vektory. Soustava rovnic
———————————————————————————————————
1.2 Součiny vektorů
11
α1 + α2 + α3 = 0, α1 − α2 + 3α3 = 0 má obecné řešení α1 = −2t, α2 = α3 = t ∈ R.
Pro t 6= 0, například t = 1, můžeme vybrat nenulové řešení α1 = −2, α2 = α3 =
1. Vektory ~u , ~v , w
~ jsou proto komplanární a platí rovnice −2~u + ~v + w
~ = ~o.
Proto je w
~ = 2~u − ~v lineární kombinací vektorů ~u , ~v , jak se můžeme přesvědčit
provedením zkoušky.
Nekolineární vektory ~x1 , ~x2
Nekomplanární vektory ~x1 , ~x2 , ~x3
~x3 ~x2
~x2
*
-
~x1
nelze umístit na jedné přímce.
1.2
-
~x1
nelze umístit do jedné roviny.
Součiny vektorů
Skalární součin vektorů
Definice 1.2.1 Skalárním součinem nenulových vektorů ~u , ~v ∈ V (E3 ) rozumíme číslo (skalár)
~u · ~v = |~u ||~v | cos ϕ,
kde ϕ = ∠(~u , ~v ) ∈ h0, πi je úhel vektorů ~u , ~v a |~u |, |~v | jsou jejich délky. Je-li
alespoň jeden z vektorů nulový, klademe ~u · ~v = 0.
Pro skalární součin platí následující tvrzení:
Věta 3. Je-li α ∈ R a ~u , ~v , w
~ ∈ V (E3 ), pak
1. ~u · ~v = ~v · ~u,
2. ~u · (~v + w
~ ) = ~u · ~v + ~u · w,
~
3. (α~u) · ~v = α(~u · ~v ),
4. ~u · ~u ≥ 0
(~u · ~u = 0 ⇔ ~u = ~o).
Poznámka: Skalární součin nenulových vektorů lze využít při řešení následujících úloh.
1. Vyšetřování kolmosti nenulových vektorů:
Platí přímo z definice, že ~u · ~v = 0 ⇔ ϕ = π2 .
———————————————————————————————————
12
Vybrané části vektorového počtu
2. Výpočet délky nenulového vektoru: |~u | =
Číslo ||~u || =
√
~u · ~u = ||~u ||.
√
~u · ~u se nazývá euklidovská délka vektoru ~u .
3. Výpočet úhlu nenulových vektorů: Přímo ze vzorce obdržíme vztah
cos ϕ =
~u · ~v
,
||~u || · ||~v ||
ϕ ∈ h0, πi.
4. Nalezení kolmého průmětu ~v ~u vektoru ~v do vektoru ~u :
~v~u =
~u · ~v
· ~u.
||~u ||2
Z pravoúhlého troúhelníku v obrázku
(1.1)
~v
||~v ||
ϕ
můžeme pro ~u0 =
~
u
||~
u ||
-~
u
-
~v ~u
psát:
~v~u = ||~v || cos ϕ · ~u0 = ||~v || ·
~u · ~v
~u
~u · ~v
·
=
· ~u.
||~u || · ||~v || ||~u ||
||~u ||2
Všimněte si, že uvedený vztah platí i pro ϕ ∈ ( π2 , π), neboť pak cos ϕ < 0
a dojde ke změně orientace jednotkového vektoru ~u0 na opačný vektor.
5. Práce A, kterou vykoná síla F~ stálého směru a velikosti po přímé dráze ~s
je dána vztahem A = F~ · ~s.
Poznámka: Pomocí kolmých průmětů vektorů se můžeme lehce přesvědčit
o vlastnosti 2 ve větě 3.
*
~v + w
~ ~v :
-
~v~u
w
~
w
~ ~u
-~
u
———————————————————————————————————
1.2 Součiny vektorů
13
Platí (~v + w
~ )~u = ~v~u + w
~ ~u . Odtud
(~v + w
~ )~u = ||~v + w
~ || cos (~v + w
~ , ~u ) · ~u0 = ||~v || cos (~v , ~u ) · ~u0 + ||w
~ || cos (w
~ , ~u ) · ~u0 .
Odtud
||~v + w
~ || cos (~v + w
~ , ~u ) = ||~v || cos (~v , ~u ) + ||w
~ || cos (w
~ , ~u )
a
~u · (~v + w
~ ) = ||~u || · ||~v + w
~ || cos (~v + w
~ , ~u ) =
= ~u · (||~v || cos (~v , ~u ) + ||w
~ || cos (w
~ , ~u )) = ~u · ~v + ~u · w.
~
Příklad 1.2.1 Vypočítejte ~u · ~v , jestliže ||~u || = 4, ||~v || = 5, ∠(~u , ~v ) = 2π/3.
Řešení:
~u · ~v = ||~u || · ||~v || cos ∠(~u , ~v ) = 4 · 5 · cos
2π
1
= 4 · 5 · (− ) = −10.
3
2
Příklad 1.2.2 Vypočítejte ||~a +~b ||, jestliže ||~a || = 4, ||~b || = 5, ∠(~a , ~b ) = 2π/3.
Řešení: Pomocí Věty 3 určíme, že
||~a + ~b ||2 = (~a + ~b ) · (~a + ~b ) = ~a · ~a + 2~a · ~b + ~b · ~b = ||~a ||2 + 2~a · ~b + ||~b ||2 .
√
Proto ||~a + ~b ||2 = 16 − 20 + 25 = 21 a ||~a + ~b || = 21 s využitím výsledku
předcházejícího příkladu.
Vektorový součin vektorů
Definice 1.2.2 Vektorovým součinem vektorů ~u , ~v ∈ V (E3 ) rozumíme vektor
označovaný jako ~u × ~v .
Je-li alespoň jeden z vektorů nulový nebo jsou-li vektory ~u, ~v kolineární, klademe
~u × ~v = ~o.
V opačném případě požadujeme, aby měl vektor ~u × ~v následující vlastnosti:
1. Vektor ~u × ~v je kolmý k oběma vektorům ~u , ~v .
2. Vektory ~u , ~v , ~u × ~v tvoří v tomto pořadí pozitivní trojici vektorů (platí
pravidlo pravé ruky).
3. Délka vektoru ~u ×~v je rovna obsahu plochy sestrojené nad vektory ~u , ~v , tj.
||~u × ~v || = ||~u || · ||~v || sin ϕ,
kde ϕ = ∠(~u , ~v ) ∈ h0, πi je úhel vektorů ~u , ~v .
———————————————————————————————————
14
Vybrané části vektorového počtu
~u × ~v
6
~u × ~v
6
||~u × ~v || = ||~u || · ||~v || sin ϕ = P
směr palce
~v P − obsah plochy
ϕ
*
-
~u
Vektorový součin.
~v
6
* I směr prstů
-
~u
Pravidlo pravé ruky pro pořadí ~u , ~v , ~u × ~v .
Pro vektorový součin platí následující tvrzení:
Věta 4. Je-li α ∈ R a ~u , ~v , w
~ ∈ V (E3 ), pak
1. ~u × ~v = −~v × ~u,
2. α · (~u × ~v ) = (α · ~u) × ~v = ~u × (α · ~v ),
3. (~u + ~v ) × w
~ = ~u × w
~ + ~v × w,
~
4. w
~ × (~u + ~v ) = w
~ × ~u + w
~ × ~v .
Upozornění: Některá pravidla pro násobení reálných čísel u vektorového
součinu neplatí!
neplatí: ~u × ~v = ~v × ~u
(viz platné pravidlo ~u × ~v = −~v × ~u),
neplatí: (~u × ~v ) × w
~ = ~u × (~v × w),
~
neplatí: ~u × ~v = ~o ⇒ (~u = ~o nebo ~v = ~o).
Poznámka: Vektorový součin nenulových vektorů lze využít při řešení následujících úloh.
1. Vyšetřování kolinearity nenulových vektorů ~u, ~v :
~u × ~v = ~o ⇔ (ϕ = 0 nebo ϕ = π).
2. Výpočet obsahu plochy sestrojené nad vektory ~u , ~v . (Výpočet obsahu
trojúhelníku.)
3. Nalezení vektoru kolmého ke dvěma zadaným nenulovým vektorům.
———————————————————————————————————
1.2 Součiny vektorů
15
−→
−→
Příklad 1.2.3 Vektory ~u =AB, ~v =AC mají délky ||~u || = 1, ||~v || = 3, a svírají
úhel ϕ = ∠(~u, ~v ) = π/4. Určete obsah trojúhelníku 4ABC.
Řešení:
1
1
1
π
3√
P4 = ||~u × ~v || = ||~u || · ||~v || · sin ϕ = · 1 · 3 · sin =
2.
2
2
2
4
4
Smíšený součin vektorů
6
~
a
`
~
c v *
~b ~b × ~c
P = ||~b × ~c||
Uvažujme nejprve pozitivní trojici vektorů ~b , ~c , ~a a rovnoběžnostěn, sestrojený nad těmito vektory. Objem rovnoběžnostěnu je součinem obsahu P základny
a výšky v, V = P · v. Obsah základny je P = ||~b × ~c||. Výška je průmět délky
vektoru ~a do vektoru ~b × ~c, proto (viz úloha 4. skalárního součinu)
v = ||~a ~b ×~c || = ||~a || cos (~a , ~b × ~c ) =
~a · (~b × ~c)
.
||~b × ~c||
(1.2)
Objem V rovnoběžnostěnu je proto v tomto případě vyjádřen tzv. smíšeným
součinem
V = ~a · (~b × ~c)
vektorů ~b , ~c , ~a .
Přejdeme k obecnému případu.
Definice 1.2.3 Nechť ~a , ~b , ~c ∈ V (E3 ). Číslo
[~a , ~b , ~c ] = ~a · (~b × ~c)
nazveme smíšeným součinem vektorů ~a , ~b , ~c (v tomto pořadí).
———————————————————————————————————
16
Vybrané části vektorového počtu
Poznámka: Víme, že ~c × ~b = −~b × ~c. Proto
[~a , ~c , ~b ] = ~a · (~c × ~b) = −~a · (~b × ~c) = −[~a , ~b , ~c ].
Lze ukázat, že vzájemnou výměnou dvou sousedních vektorů ve vzorci pro smíšený součin se změní znaménko smíšeného součinu. Například
[~a , ~b , ~c ] = −[~b , ~a , ~c ] = [~b , ~c , ~a ] = −[~c , ~b , ~a ] = [~c , ~a , ~b ] = −[~a , ~c , ~b ]
|{z}
|{z}
|{z}
|{z}
|{z}
Poznámka: Z geometrického pohledu vidíme, že smíšený součin nenulových
vektorů lze využít při řešení následujících úloh.
1. Výpočet objemu rovnoběžnostěnu setrojeného nad vektory ~a , ~b , ~c ∈ V (E3 ):
V = |[~a , ~b , ~c ]|.
2. Vyšetřování komplanárnosti vektorů: Nenulové vektory ~a , ~b , ~c jsou komplanární právě tehdy, když je
[~a , ~b , ~c ] = 0.
3. Stanovení pozitivnosti trojice vektorů:
~a , ~b , ~c je pozitivní trojice vektorů, když [~a , ~b , ~c ] > 0 (platí pravidlo pravé ruky),
~a , ~b , ~c je negativní trojice vektorů, když [~a , ~b , ~c ] < 0 (neplatí pravidlo pravé ruky),
√
Příklad 1.2.4 Rovnoběžnostěn je určen vektory ~a , ~b , ~c a víme, že ||~a || = 2,
||~b || = 1, ||~c || = 2, ∠(~b , ~c ) = π/4, vektor ~a svírá se základnou určenou vektory
~b , ~c úhel α = π/6. Vypočítejte objem rovnoběžnostěnu.
Řešení: Víme, že V = |[~a , ~b , ~c ]|. Platí:
|[~a , ~b , ~c ]| = |~a · (~b × ~c )| = ||~a || · ||~b × ~c || · | cos ∠(~a , ~b × ~c )| =
√
π
2||~b × ~c || cos =
3
√
√
√
2 ~
2 ~
2
π
~
=
||b × ~c || =
||b || · ||~c || sin ∠(b , ~c ) =
· 1 · 2 · sin = 1.
2
2
2
4
Výsledek příkladu je V = 1.
———————————————————————————————————
1.2 Součiny vektorů
17
Dvojný vektorový součin vektorů
Jde o vektorový součin trojice vektorů tvaru ~a × (~b ×~c ). Je jasné, že výsledkem je
vektor d~ , který je kolmý k vektoru ~b × ~c, a je tedy komplanární s dvojicí vektorů
~b, ~c . Dá se ukázat, že pro koeficienty lineární kombinace vektorů ~b, ~c platí:
~a × (~b × ~c ) = (~a · ~c)~b − (~a · ~b)~c .
(1.3)
Na základě tohoto vztahu lze odvodit další užitečné vztahy pro sférickou trigonometrii.
Uvažujme například nenulové vektory ~a, ~b, ~c, d~ . Pak vektorový součin
~ c − (~e · ~c)d~ = [~a, ~b, d~ ]~c − [~a, ~b, ~c ]d~ ,
(~|a {z
× ~}b ) × (~c × d~ ) = ~e × (~c × d~ ) |{z}
= (~e · d)~
(1.3)
~e
a skalární součin
(~|a {z
× ~}b ) · (~c × d~ ) = ~e · (~c × d~ ) = ~c · (d~ × ~e ) = ~c · (d~ × (~a × ~b )) =
~e
= ~c · ((d~ · ~b)~a − (d~ · ~a)~b ) = (~a · ~c )(d~ · ~b ) − (~b · ~c )(~a · d~ ).
|{z}
(1.3)
Potřebné vztahy pro sférickou trigonometrii si uvedeme v následujícím odstavci
textu.
Důležité identity
~ ~u , ~v , w
Věta 5. Nechť ~a , ~b , ~c , d,
~ ∈ V (E3 ). Pak platí
~
~ = ~a · ~c ~a · d = (~a · ~c)(~b · d)
~ − (~b · ~c)(~a · d),
~
(1) (~a × ~b) · (~c × d)
~b · ~c ~b · d~
(2) ~a × (~b × ~c) = (~a · ~c)~b − (~a · ~b)~c ,
~ = [~a , ~b , d]~
~ c − [~a , ~b , ~c ]d,
~
(3) (~a × ~b) × (~c × d)
~a · ~u
~
~
(4) [~a , b , ~c ] · [~u , ~v , w
~ ] = b · ~u
~c · ~u
~a · ~v
~b · ~v
~c · ~v
~a · w
~
~b · w
~ .
~c · w
~
Zajímavost: V identitě (1) položme ~a = ~c = ~u , ~b = d~ = ~v . Pak
(~u × ~v ) · (~u × ~v ) = (~u · ~u)(~v · ~v ) − (~v · ~u)(~u · ~v ), tj.
———————————————————————————————————
18
Vybrané části vektorového počtu
||~u × ~v ||2 = ||~u ||2 ||~v ||2 − (~u · ~v )2 ≥ 0.
Odtud ihned plyne známá Cauchyova identita:
(~u · ~v )2 ≤ ||~u ||2 ||~v ||2 .
Jiný způsob odvození plyne z definice skalárního součinu ~u · ~v = ||~u || · ||~v || cos ϕ
a vlastnosti vektorového součinu ||~u × ~v || = ||~u || · ||~v || sin ϕ, protože pak
(~u · ~v )2 = ||~u ||2 ||~v ||2 cos2 ϕ,
||~u × ~v ||2 = ||~u ||2 ||~v ||2 sin2 ϕ
a součtem opět
(~u · ~v )2 + ||~u × ~v ||2 = ||~u ||2 ||~v ||2 ,
tj.
||~u × ~v ||2 = ||~u ||2 ||~v ||2 − (~u · ~v )2 ≥ 0.)
1.3
Aplikace vektorového počtu ve sférické trigonometrii
Sférický trojúhelník (schematicky na obrázcích).
C
~a × ~b ~c
BMB
O@
B
B
C
γ
γ
a = ∠(~b , ~c )
b
~b
B
@ B
α@ B
P
i
PP
PB
~a × ~c P@
@
~a @
β-
b
B
c
α
@
R
a
α
A
β
B
c
A
~a ⊥ ~a × ~b ⊥ ~b
~a ⊥ ~a × ~c ⊥ ~c
−→
−→
−→
V prostoru E3 zvolme body O, A, B, C tak, aby vektory ~a =OA, ~b =OB, ~c =OC
byly nekomplanární a jednotkové, tj. ||~a || = ||~b || = ||~c || = 1.
Opíšeme-li ze středu O jednotkovou kouli, pak body A, B, C leží na kulové ploše
poloměru jedna a tvoří vrcholy sférického trojúhelníku.
Rovina procházející body O, A, B protne kulovou plochu v tzv. hlavní kružnici
———————————————————————————————————
1.3 Aplikace vektorového počtu ve sférické trigonometrii
19
a kratší část hlavní kružnice mezi body A, B vytvoří stranu c sférického trojúhelníku. Podobným způsobem vytvoříme strany a, b sférického trojúhelníku.
Úhel mezi stranami b, c při vrcholu A sférického trojúhelníku označíme α. Podobně značí β, γ úhly při vrcholech B, C. Tyto úhly tvoří odchylky stěn trojbokého jehlanu určeného body O, A, B, C.
Základními prvky sférického trojúhelníku rozumíme vrcholy A, B, C ,
strany a, b, c a úhly α, β, γ sférického trojúhelníku.
Mezi prvky sférického trojúhelníku platí následující vztahy:
(5) a = ∠(~b , ~c )
b = ∠(~c , ~a )
c = ∠(~a , ~b )
(6) α = ∠(~a × ~b, ~a × ~c) β = ∠(~b × ~c, ~b × ~a) γ = ∠(~c × ~a, ~c × ~b)
(7) cos a = ~b · ~c
cos b = ~c · ~a
cos c = ~a · ~b
(8) sin a = ||~b × ~c||
sin b = ||~c × ~a||
sin c = ||~a × ~b||
(9) cos α =
(~a ×~b)·(~a ×~c)
||~a ×~b||·||~a ×~c||
cos β =
(~b ×~c)·(~b ×~a)
||~b ×~c||·||~b ×~a||
cos γ =
(~c ×~a)·(~c ×~b)
||~c ×~a||·||~c ×~b||
Vzorce (5), (6) jsou patrné ze schematického znázornění na předcházejícím
obrázku vlevo. Protože ||~a || = ||~b || = ||~c || = 1, zjednoduší se vzorce pro skalární
i vektorový součin. Například platí
~a · ~b = ||~a || · ||~b || cos ∠(~a , ~b ) = cos ∠(~a , ~b ) = cos c,
||~a × ~b|| = ||~a || · ||~b || sin ∠(~a , ~b ) = sin ∠(~a , ~b ) = sin c.
Takto obdržíme snadno pomocí vektorů ~a , ~b , ~c všechny vztahy (7) a (8). Vzorce
(9) jsou důsledkem (6) a vzorce pro vyjádření úhlu vektorů pomocí skalárního
součinu vektorů.
Sinová věta pro sférický trojúhelník
Použijeme vzorec (3) Věty 5:
~ = [~a , ~b , d]~
~ c − [~a , ~b , ~c ]d.
~
(~a × ~b) × (~c × d)
———————————————————————————————————
20
Vybrané části vektorového počtu
~ který
Vektory ~a , ~b , ~c jsou vektory naší konstrukce. Vzorec obsahuje vektor d,
můžeme volit libovolně.
Položme nejprve ve vzorci d~ = ~a . Získáme
(~a × ~b) × (~|c {z
× ~a} ) = [~a , ~b , ~a ] ~c − [~a , ~b , ~c ]~a
| {z }
=−~a ×~c
=0
a úpravou
[~a , ~b , ~c ]~a = (~a × ~b) × (~a × ~c).
V euklidovské normě pak ||[~a , ~b , ~c ]~a || = |[~a , ~b , ~c ]|·||~a || = ||(~a ×~b)×(~a ×~c)|| |{z}
=
|{z}
= ||~a × ~b|| · ||~a × ~c|| · sin α |{z}
= sin c · sin b · sin α
6
=1
s výsledkem
(8)
|[~a , ~b , ~c ]| = sin c · sin b · sin α.
(1.4)
Podobným způsobem lze pokračovat volbami d~ = ~b a d~ = ~c a ukázat, že můžeme
zvolit cestu cyklické záměny :
~a −→ ~b −→ ~c −→ ~a ,
a −→ b −→ c −→ a,
α −→ β −→ γ −→ α.
Ve vzorci, se kterým budeme pracovat, postupně nahrazujeme objekty (vektory,
úhly, strany) těmi objekty, na které ukazuje šipka. Vzorec (1.4) má tvar
|[~a , ~b , ~c ]| = sin c · sin b · sin α. První cyklickou záměnou získáme
|[~b , ~c , ~a ]| = sin a · sin c · sin β, druhou cyklickou záměnou pak
|[~c , ~a , ~b ]| = sin b · sin a · sin γ. (Další cyklická záměna by zopakovala vzorec (1.4).)
Výměnou pořadí vektorů ve smíšeném součinu se nejvýše mění znaménko a s ohledem na absolutní hodnotu smíšeného součinu jsou čísla na levé straně všech tří
získaných vzorců stejná. Proto platí rovnosti
sin c·sin b·sin α = sin a·sin c·sin β = sin b·sin a·sin γ,
(10)
|·
1
sin a sin b sin c
tj.
sin α
sin β
sin γ
=
=
sin a
sin b
sin c
vzhledem k tomu, že sin a sin b sin c 6= 0. Tyto poslední získané rovnosti jsou matematickým zápisem sinové věty pro sférický trojúhelník. Slovním vyjádřením
sinové věty je formulace:
Ve sférickém trojúhelníku poměry sinů stran ku sinům protilehlých úhlů jsou si
rovny.
———————————————————————————————————
1.4 Lineární prostor, báze a dimenze
21
První kosinová věta pro sférický trojúhelník
~ = (~a · ~c)(~b · d)
~ − (~b · ~c)(~a · d).
~
Použijeme vzorec (1) Věty 5: (~a × ~b) · (~c × d)
Opět položme ve vzorci d~ = ~a . Získáme
(~a × ~b) · (~|c {z
× ~a}) = (~a · ~c)(~b · ~a) − (~b · ~c)( ~|{z}
a · ~a ).
−~a ×~c
Odtud
||~a ||2 =1
~b · ~c = (~a · ~c)(~b · ~a) + (~a × ~b) · (~a × ~c),
pomocí (7) pak
cos a = cos b cos c + ||~a × ~b|| · ||~a × ~c|| · cos α.
Vzorce (8) vedou k první kosinové větě pro stranu a:
(11) cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α.
Cyklickou záměnou a → b → c → a, α → β → γ → α získáme postupně první
kosinové věty pro zbývající strany b, c :
(12) cos b = cos c cos a + sin c sin a cos β,
(13) cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ.
Poznámka: Je-li γ = π/2, je sférický trojúhelník pravoúhlý a vzorec (13)
dává tvar Pythagorovy věty pro pravoúhlý sférický trojúhelník:
(14) cos c = cos a cos b.
.
(Pro ”malé” pravoúhlé sférické trojúhelníky pak platí vzorec c2 = a2 + b2 .)
1.4
Lineární prostor, báze a dimenze
Poznámka: Pojem vektorového zaměření V (E3 ) (včetně jeho vlastností daných
Větami 1 a 2) se v matematice zobecňuje na pojem lineární prostor nebo též
vektorový prostor. Geometrické vektory vytvářejí ”přirozený model” lineárního
prostoru a umožňují nám pochopení obsahu tohoto pojmu. Porovnejme v následující definici axiomy I1–I4 (zákony pro sčítání vektorů, existence nulového
a opačného vektoru) s obsahem Věty 1 a axiomy II1, II2 (zákony pro násobení
vektorů) spolu s III1, III2 (distributivní zákony) s obsahem Věty 2.
———————————————————————————————————
22
Vybrané části vektorového počtu
Definice 1.4.1 Množinu M = {x, y, z, . . .} nazveme (reálným) lineárním
prostorem, když
x, y ∈ M =⇒ x + y ∈ M (na M je definováno sčítání prvků),
α ∈ R, x ∈ M =⇒ αx ∈ M (na M je definováno násobení skalárem α ∈ R),
pro každé x, y ∈ M, α ∈ R a operace sčítání a násobení skalárem jsou pro
každé x, y, z ∈ M a každé α, β ∈ R vázány axiomy:
I1.
x + y = y + x,
I2.
(x + y) + z = x + (y + z),
I3.
existuje nulový prvek o ∈ M takový, že x + o = x,
I4.
ke každému prvku x existuje opačný prvek − x tak, že platí x + (−x) = o,
II1. 1 · x = x,
II2. α(βx) = (αβ)x,
III1. (α + β)x = αx + βx,
III2. α(x + y) = αx + αy.
Prvky x, y, z, . . . nazýváme vektory.
Také pojmy kolinearity (nekolinearity) a komplanarity (nekomplanarity) se
zobecňují v lineárním prostoru na tzv. lineární závislost (lineární nezávislost)
vektorů.
Definice 1.4.2 Jsou-li x1 , x2 , . . . , xn vektory a c1 , c2 , . . . , cn ∈ R čísla, pak vektor
x = c1 x1 + c2 x2 + · · · + cn xn
nazveme lineární kombinací vektorů x1 , x2 , . . . , xn .
Vektory x1 , x2 , . . . , xn nazveme lineárně nezávislé, když
c1 x1 + c2 x2 + · · · + cn xn = ~o ⇐⇒ c1 = c2 = · · · = cn = 0,
tj. žádný z vektorů nelze zapsat jako lineární kombinaci vektorů zbývajících.
V opačném případě jsou vektory x1 , x2 , . . . , xn lineárně závislé.
Protože máme definován pojem lineární nezávislosti vektorů, můžeme zavést
užitečné pojmy báze a dimenze lineárního prostoru.
Definice 1.4.3 Vektory x1 , x2 , . . . , xn tvoří bázi lineárního prostoru M , když
jsou lineárně nezávislé a každý další vektor x ∈ M je již jednoznačnou lineární
kombinací vektorů x1 , x2 , . . . , xn , tj.
x ∈ M =⇒ x = c1 x1 + c2 x2 + · · · + cn xn
(c1 , . . . , cn ∈ R).
(1.5)
Počet n vektorů báze se nazývá dimenze lineárního prostoru M a koeficienty
c1 , . . . , cn ∈ R lineární kombinace (1.5) se nazývají souřadnice vektoru x
v uspořádané bázi hx1 , x2 , . . . , xn i.
———————————————————————————————————
1.5 Vektory v ortonormální bázi
23
Příklad 1.4.1 Vektorové zaměření V (E3 ) je lineárním prostorem dimenze tři.
Namísto zápisu M = {x, y, z, . . .} používáme zápis V (E3 ) = {~x, ~y , ~z, . . .}.
Příklad 1.4.2 Pravidla pro počítání s reálnými čísly nám umožňují ukázat, že množina M = Rn uspořádaných n–tic s prvky x = (x1 , x2 , . . . , xn ),
y = (y1 , y2 , . . . , yn ) a operacemi sčítání
x + y = (x1 , x2 , . . . , xn ) + (y1 , y2 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn )
a násobení reálným číslem
αx = α(x1 , x2 , . . . , xn ) = (αx1 , αx2 , . . . , αxn )
je tzv. aritmetickým lineáním prostorem, který má dimenzi n. Nulovým
prvkem je uspořádaná n–tice o = (0, 0, . . . , 0) a opačným vektorem k vektoru
x = (x1 , x2 , . . . , xn ) je vektor −x = (−x1 , −x2 , . . . , −xn ).
1.5
Vektory v ortonormální bázi
Nechť h~e1 , ~e2 , ~e3 i je uspořádaná pozitivní soustava vzájemně kolmých (~ei · ~ej = 0
pro i 6= j) a jednotkových (||~ei || = 1) vektorů (i, j ∈ {1, 2, 3}).
Sestavíme-li pro α1 , α2 , α3 ∈ R rovnici
α1~e1 + α2~e2 + α3~e3 = ~o,
pak postupné skalární násobení rovnice vektory ~e1 , ~e2 , ~e3 vede k výsledku
α1 = α2 = α3 = 0. Například násobení vektorem ~e1 dává výsledek
α1 ~e1 · ~e1 +α2 ~e2 · ~e1 +α3 ~e3 · ~e1 = ~o · ~e1 ⇒ α1 = 0.
| {z }
| {z }
| {z } | {z }
||~e1 ||2 =1
0
0
0
Vektory ~e1 , ~e2 , ~e3 jsou proto lineárně nezávislé, tvoří tzv. ortonormální bázi
E = h~e1 , ~e2 , ~e3 i
prostoru V (E3 ) a každý vektor ~x ∈ V (E3 ) je jejich lineární kombinací
~x = x1~e1 + x2~e2 + x3~e3
(x1 , x2 , x3 ∈ R).
Ortonormálních bází je v prostoru V (E3 ) nekonečný počet (liší se od sebe posunutím a otočením soustavy).Vždy uvažujeme jednu konkrétní soustavu, ke které
se vztahují souřadnice vektoru ~x ∈ V (E3 ).
Připomeneme si výsledky pro skalární a vektorové součiny vektorů báze E,
vyplývající z dřívějších definic.
———————————————————————————————————
24
Vybrané části vektorového počtu
Lze vyjádřit skalární součiny:
~e1 · ~e1 = ||~e1 ||2 = 1 ~e1 · ~e2 = 0
~e1 · ~e3 = 0
~e2 · ~e1 = 0
~e2 · ~e2 = ||~e2 ||2 = 1 ~e2 · ~e3 = 0
~e3 · ~e1 = 0
~e3 · ~e2 = 0
~e3 · ~e3 = ||~e3 ||2 = 1
podle definice ortonormální báze.
Podobně vektorové součiny jsou
~e3 = ~e1 × ~e2
6
~e2 = ~e3 × ~e1
*
-
~e1 = ~e2 × ~e3
~e1 × ~e1 = ~o
~e1 × ~e2 = ~e3
~e1 × ~e3 = −~e2
~e2 × ~e1 = −~e3 ~e2 × ~e2 = ~o
~e2 × ~e3 = ~e1
~e3 × ~e1 = ~e2
~e3 × ~e2 = −~e1 ~e3 × ~e3 = ~o
podle definice vektorového součinu (použijte v obrázku ”pravidlo pravé ruky”).
Skalární součin v ortonormální bázi
S ohledem na pravidla pro počítání se skalárním součinem (Věta 3) můžeme
počítat
~a · ~b = (a1~e1 + a2~e2 + a3~e3 ) · (b1~e1 + b2~e2 + b3~e3 ) =
= a1 b1 ~e1 · ~e1 +a1 b2 ~e1 · ~e2 +a1 b3 ~e1 · ~e3 +
| {z }
| {z }
| {z }
1
0
0
+a2 b1 ~e2 · ~e1 +a2 b2 ~e2 · ~e2 +a2 b3 ~e2 · ~e3 +
| {z }
| {z }
| {z }
0
1
0
+a3 b1 ~e3 · ~e1 +a3 b2 ~e3 · ~e2 +a3 b3 ~e3 · ~e3 = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 .
| {z }
| {z }
| {z }
0
0
1
Získali jsme vzorec
~a · ~b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
pro vektory ~a = a1~e1 +a2~e2 +a3~e3 , ~b = b1~e1 +b2~e2 +b3~e3 , uvažované v ortonormální
bázi E.
———————————————————————————————————
1.5 Vektory v ortonormální bázi
25
Vektorový součin v ortonormální bázi
Podobným způsobem lze využít Větu 5 pro výpočet vektorového součinu vektorů
~a = a1~e1 + a2~e2 + a3~e3 , ~b = b1~e1 + b2~e2 + b3~e3 v ortonormální bázi E. Rozepsání
vektorového součinu dává vektor
~a × ~b = (a1~e1 + a2~e2 + a3~e3 ) × (b1~e1 + b2~e2 + b3~e3 ) =
= a1 b1 ~e1 × ~e1 +a1 b2 ~e1 × ~e2 +a1 b3 ~e1 × ~e3 +
| {z }
| {z }
| {z }
~
o
~e3
−~e2
+a2 b1 ~e2 × ~e1 +a2 b2 ~e2 × ~e2 +a2 b3 ~e2 × ~e3 +
| {z }
| {z }
| {z }
−~e3
~
o
~e1
+a3 b1 ~e3 × ~e1 +a3 b2 ~e3 × ~e2 +a3 b3 ~e3 × ~e3 =
| {z }
| {z }
| {z }
~e2
−~e1
~
o
= (a2 b3 − a3 b2 )~e1 + (a3 b1 − a1 b3 )~e2 + (a1 b2 − a2 b1 )~e3 .
Tento výsledek můžeme zapsat jako symbolický determinant třetího řádu, který
při výpočtu rozvineme podle prvního řádku:
~e1 ~e2 ~e3
~
~a × b = a1 a2 a3 = (a2 b3 − a3 b2 )~e1 − (a1 b3 − a3 b1 )~e2 + (a1 b2 − a2 b1 )~e3 .
b1 b2 b3
Příklad 1.5.1 Najděte vektor kolmý k vektorům ~a
~b = 2~e1 + ~e2 − ~e3 .
Řešení:
= ~e1 − 2~e2 + ~e3 ,
~e1 ~e2 ~e3
d~ = ~a × ~b = 1 −2 1 = ~e1 + 3~e2 + 5~e3 .
2 −1 1
~
Řešením úlohy je každý vektor kolineární s vektorem d.
Smíšený součin v ortonormální bázi
Uvažujeme smíšený součin
[~a , ~b , ~c ] = ~a · (~b × ~c)
pro vektory ~a = a1~e1 + a2~e2 + a3~e3 , ~b = b1~e1 + b2~e2 + b3~e3 , ~c = c1~e1 + c2~e2 + c3~e3
v ortonormální bázi E a víme, že
d~ = ~b ×~c = (b2 c3 − b3 c2 ) ~e1 +(b3 c1 − b1 c3 ) ~e2 +(b1 c2 − b2 c1 ) ~e3 = d1~e1 +d2~e2 +d3~e3 .
|
{z
}
|
{z
}
|
{z
}
d1
d2
d3
———————————————————————————————————
26
Vybrané části vektorového počtu
Skalární součin
~a · (~b × ~c) = ~a · d~ =
= a1 d1 + a2 d2 + a3 d3 = a1 (b2 c3 − b3 c2 ) + a2 (b3 c3 − b1 c3 ) + a3 (b1 c2 − b2 c1 ) =
= a1 b2 c3 + a2 b3 c1 + a3 b1 c2 − a1 b3 c2 − a2 b1 c3 − a3 b2 c1 .
Smíšený součin proto můžeme zapsat jako determinant třetího řádu
a1 a2 a3
~
[~a , b , ~c ] = b1 b2 b3 .
c1 c2 c3
Příklad 1.5.2 Vypočítejte objem rovnoběžnostěnu sestrojeného nad vektory
~a = ~e1 , ~b = ~e1 − 3~e3 , ~c = 2~e1 + ~e2 + ~e3 . Tvoří vektory ~a , ~b , ~c pozitivní trojici
vektorů?
Řešení:
1 0
0
0 −3
[~a , ~b , ~c ] = 1 0 −3 = 1 ·
= 3 > 0.
1
1
2 1
1
Vektory ~a , ~b , ~c tvoří pozitivní trojici vektorů, protože [~a , ~b , ~c ] > 0. Objem rovnoběžnostěnu sestrojeného nad vektory ~a , ~b , ~c je |[~a , ~b , ~c ]| = |3| = 3 (jednotky3 ).
Příklad 1.5.3 Jsou dány vektory ~a = ~e1 + ~e3 , ~b = ~e2 − ~e3 , ~c = ~e1 + ~e2 .
Vypočítejte ~a × (~b × ~c)
a) podle vzorce pro počítání vektorového součinu v souřadnicích báze E,
b) pomocí vzorce (2) Věty 5.
Řešení:
a) Nejprve najdeme d~ = ~b × ~c =
~e1 ~e2 ~e3
0 1 −1 = ~e1 − ~e2 − ~e3 . Pak
1 1
0
~a × (~b × ~c) = ~a × d~ =
b) Vzorec má tvar
~e1 ~e2 ~e3
1
0
1 = ~e1 + 2~e2 − ~e3 .
1 −1 −1
~a × (~b × ~c) = (~a · ~c)~b − (~a · ~b)~c .
Skalární součiny
~a · ~c = (1~e1 + 0~e2 + 1~e3 ) · (1~e1 + 1~e2 + 0~e3 ) = 1 · 1 + 0 · 1 + 1 · 0 = 1,
~a · ~b = (1~e1 + 0~e2 + 1~e3 ) · (0~e1 + 1~e2 − 1~e3 ) = 1 · 0 + 0 · 1 + 1 · (−1) = −1.
Proto ~a × (~b × ~c) = ~b − (−1)~c = ~b + ~c = ~e2 − ~e3 + ~e1 + ~e2 = ~e1 + 2~e2 − ~e3 .
———————————————————————————————————
Kapitola 2
Některé aplikace vektorového
počtu
2.1
Vektory v souřadnicové soustavě prostoru
E3
Zvolíme-li v E3 pevný bod O a uspořádanou pozitivní ortonormální bázi
h~e1 , ~e2 , ~e3 i ve V (E3 ), pak dostaneme tzv. kartézský souřadnicový systém
a označíme jej hO; ~e1 , ~e2 , ~e3 i. Bod O nazýváme počátkem a přímky určené bodem O a postupně vektory ~e1 , ~e2 , ~e3 nazýváme souřadnicovými osami x, y, z.
Je konvence označovat tuto speciální bázi jako h~i, ~j, ~k i namísto h~e1 , ~e2 , ~e3 i.
S každým bodem A je možné uvažovat polohový vektor (rádiusvektor)
−→
~rA = OA = xA~i + yA~j + zA~k
−→
bodu A. Zápis vektoru ~rA =OA budeme zkracovat na tvar
−→
OA = xA~i + yA~j + zA~k = (xA , yA , zA ),
čísla xA , yA , zA nazveme souřadnicemi bodu A a píšeme A = [xA , yA , zA ]. Dvěma
různými body A = [xA , yA , zA ], B = [xB , yB , zB ] je pak určen vektor
−→
−→
−→
AB = OB − OA = (xB −xA )~i+(yB −yA )~j+(zB −zA )~k = (xB −xA , yB −yA , zB −zA ).
z
−→
6
A AB
A = [xA , yA , zA ]
y
−→
~j
~k 6
O ~i 1
OA
-x
j B
OA *
−→
OB
−→
O
———————————————————————————————————
28
Některé aplikace vektorového počtu
2.2
Rovina v E3
Skutečnost, že rovina ρ je v prostoru E3 určena bodem A = [xA , yA , zA ] ∈ ρ
a dvěma nekolineárními vektory ~u = (u1 , u2 , u3 ), ~v = (v1 , v2 , v3 ) ležícími v rovině
ρ budeme zapisovat
ρ = [A; ~u , ~v ].
Můžeme použít několik různých přístupů k popisu roviny (stanovení podmínky,
za které je obecný bod X = [x, y, z] bodem roviny ρ). Uvedeme dva z takových
přístupů.
............................................................................
−→
Libovolný bod X = [x, y, x] ∈ ρ právě, když vektory AX, ~u , ~v jsou komplanární.
vektory ~u , ~v leží v ρ
* ` X 6∈ ρ
ρ
~v −→
AX
-` X ∈ ρ
`
H
A ~uHH
j
To lze vyjádřit dvěma způsoby:
−→
1. AX = t~u + s~v (t, s ∈ R jsou parametry) jsou parametrické rovnice
roviny ρ, které rozepisujeme do souřadnic
x = xA + tu1 + sv1 ,
y = yA + tu2 + sv2 ,
z = zA + tu3 + sv3 .
Z těchto rovnic umíme vyčíst souřadnice bodu A ∈ ρ i vektorů ~u , ~v roviny
ρ.
−→
2. Pro komplanární vektory je smíšený součin [AX, ~u , ~v ] = 0. Proto
−→
[AX, ~u , ~v ] =
x − xA y − y A z − z A
u1
u2
u3
=
v1
v2
v3
= (x − xA ) · (u2 v3 − u3 v2 ) − (y − yA ) · (u1 v3 − u3 v1 ) + (z − zA ) · (u1 v2 − u2 v1 ) =
= ax + by + cz + d = 0
a výsledkem je obecná rovnice roviny ρ.
———————————————————————————————————
2.2 Rovina v E3
29
............................................................................
Vektor ~n = (n1 , n2 , n3 ) 6= ~o kolmý k rovině ρ se nazývá normálový vektor
roviny ρ. Z vlastností vektorového součinu víme, že vektor ~u × ~v je kolmý ke
každému z vektorů ~u , ~v ležících v rovině ρ, proto je kolmý k rovině ρ. Je zřejmé,
že za normálový vektor roviny můžeme volit libovolný nenulový vektor kolineární
s vektorem ~u × ~v .
~n = k(~u × ~v ) 6
`
~v `
ρ
−→
AX
H
A ~uHH
j
-` X ∈ ρ
−→
Libovolný bod X = [x, y, x] ∈ ρ právě, když vektory AX, ~n jsou kolmé.
Podmínku kolmosti vektorů vyjadřuje skalární součin
−→
AX · ~n = (x − xA , y − yA , z − zA ) · (n1 , n2 , n3 ) =
= n1 x + n2 y + n3 z − (n1 xA + n2 yA + n3 zA ) = ax + by + cz + d = 0.
Vidíme, že koeficienty a, b, c obecného tvaru rovnice roviny ρ jsou souřadnice
normálového vektoru roviny ρ, tj.
~n = (a, b, c),
kde vektor ~n je kolineární s vektorem ~u × ~v .
............................................................................
Příklad 2.2.1 Rovina ρ má obecnou rovnici roviny x + 2z + 1 = 0. Najděte
bod A a normálový vektor roviny ρ.
Řešení: Obecná rovnice roviny ρ má tvar ax + by + cz + d = 0, kde normálový
vektor ~n = (a, b, c). Zadání úlohy proto napíšeme ve tvaru 1x + 0y + 2z + 1 = 0
a proto ~n = (1, 0, 2). Bodem roviny je libovolný bod A = [xA , yA , zA ], který
splňuje rovnici xA + 2zA + 1 = 0. Protože rovnice nezávisí na y, lze volit pro
jednoduchost yA = 0 a například volbou xA = −1 získáme z rovnice zA = 0. Bod
A = [−1, 0, 0] ∈ ρ.
Poznámka: Rovnice roviny x + 2z + 1 = 0 posledního příkladu nezávisí na y, pro každé y je rovnice stejná, proto je rovina rovnoběžná
———————————————————————————————————
30
Některé aplikace vektorového počtu
se souřadnicovou osou y. To je vidět také na normálovém vektoru
~n = (1, 0, 2), který má druhou souřadnici nulovou (situaci graficky
znázorněte). Podobně rovnice x = 3 je v E3 obecnou rovnicí roviny,
která je rovnoběžná se souřadnicovými osami y i z.
Příklad 2.2.2 Body A = [1, 1, 1], B = [0, 1, 2], C = [−2, 3, −1] jsou body
roviny ρ. Najděte obecnou rovnici roviny ρ
a) Užitím vektorového součinu vektorů.
b) Užitím smíšeného součinu vektorů.
−→
Řešení: Rovina ρ = [A; ~u , ~v ], kde A = [1, 1, 1] a vektory ~u = AB = (−1, 0, 1),
−→
~v = AC = (−3, 2, −2) jsou nekomplanární.
~k
~i ~j
a) Vektor ~u × ~v = −1 0
1 = −2~i − 5~j − 2~k = (−2, −5, −2) je ko−3 2 −2
lineární s normálovým vektorem roviny. Proto můžeme zvolit například
~n = (a, b, c) = (2, 5, 2). Bod
A = [1, 1, 1] ∈ ρ : 2x + 5y + 2z + d = 0.
Proto je d = −9 a hledaná rovnice je ρ : 2x + 5y + 2z − 9 = 0.
−→
b) Vektory AX, ~u , ~v jsou pro body X ∈ ρ komplanární. Proto smíšený součin
−→
[AX, ~u , ~v ] = 0, tj.
x−1 y−1 z−1
−1
0
1 = −2(x − 1) − 5(y − 1) − 2(z − 1) = 0.
−3
2
−2
Úpravou získané rovnice obdržíme výsledek ρ : 2x + 5y + 2z − 9 = 0.
Cvičení 2.2.1 Ukažte, že 3x + 6y + 2z − 13 = 0 je obecnou rovnicí roviny,
která vytíná na souřadnicových osách úseky v poměru 2 : 1 : 3 a prochází bodem
A = [1, 2, −1]. Jaké jsou délky úseků na osách?
Návod : Situaci si graficky znázorněte. Průsečíky hledané roviny se souřadnicovými osami jsou body A = [2q, 0, 0], B = [0, q, 0], C = [0, 0, 3q], kde |q| 6= 0
−→
je délka úseku. Rovina je proto určena například bodem A a vektory ~u = AB,
−→
~v = AC . Jedním z výpočetních postupů předcházejícího příkladu obdržíme požadovaný výsledek.
———————————————————————————————————
2.3 Přímka v E3
2.3
31
Přímka v E3
Skutečnost, že přímka p je v prostoru E3 určena bodem A = [xA , yA , zA ] a směrovým vektorem ~s = (s1 , s2 , s3 ) budeme zapisovat
p = [A; ~s ].
−→
Obecný bod X = [x, y, z] je bodem přímky p právě, když jsou vektory ~s , AX
kolineární, tj.
−→
AX = t · ~s (t ∈ R).
~s
`
A
−→
-
AX-`
X∈p
p
Rozepsáním této vektorové rovnice a úpravou složek získáváme parametrické rovnice přímky p,
p : x = xA + ts1 , y = yA + ts2 , z = zA + ts3 , (t ∈ R je parametr).
Zcela formálně můžeme v každé z parametrických rovnic vyjádřit parametr t
a obdržíme kanonické rovnice přímky p ve tvaru
p:
x − xA
y − yA
z − zA
=
=
(= t).
s1
s2
s3
Výrazy zápisu přitom nebudeme považovat za zlomky, i když tak formálně vypadají. Úkolem zápisu je především podat informaci o souřadnicích bodu A a směrového vektoru ~s , proto bude mít například smysl i zápis
p:
x
y−1
z−2
=
=
0
1
−3
vyjadřující skutečnost, že přímka p je určena bodem A = [0, 1, 2] a směrovým
vektorem ~s = (0, 1, −3).
Často je přímka zadána jako průsečnice dvou rovin,
a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0
p:
,
a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0
které nejsou rovnoběžné nebo totožné. To je splněno, když normálové vektory
~n1 = (a1 , b1 , c1 ), ~n2 = (a2 , b2 , c2 ) rovin nejsou kolineární. Úlohou takového zadání
přímky bývá nalezení parametrických rovnic přímky, tj. bodu A a směrového
vektoru ~s přímky p. Řešení úlohy je velmi jednoduché: přímka p je obsažena
v obou rovinách, proto je směrový vektor přímky kolmý k normálovým vektorům
———————————————————————————————————
32
Některé aplikace vektorového počtu
~n1 , ~n2 . Vektor ~n1 × ~n2 je kolmý k vektorům ~n1 , ~n2 a pro nekolineární vektory je
nenulový. Proto je ~s kolineární s vektorem ~n1 × ~n2 . Bod přímky najdeme jako
jedno z nekonečně mnoha řešení soustavy dvou rovnic, které přímku definují.
Jinou možností je určení obecného řešení soustavy rovnic
a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0
,
a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0
které závisí na jednom parametru a přímo stanoví parametrické rovnice přímky.
Příklad 2.3.1 Najděte parametrické rovnice přímky
p:
2x − 3y + z − 5 = 0
.
3x + y − 2z − 4 = 0
Řešení:
1. řešení: ρ1 : 2x − 3y + z − 5 = 0 ⇒ ~n1 = (2, −3, 1),
ρ2 : 3x + y − 2z − 4 = 0 ⇒ ~n2 = (3, 1, −2).
~k
~i
~j
~n1 × ~n2 = 2 −3
1 = 5~i + 7~j + 11~k = (5, 7, 11) 6= ~o,
3
1 −2
proto nejsou vektory kolineární, lze položit ~s = (5, 7, 11) a úloha má řešení.
Položíme-li například y = 0, pak řešíme soustavu rovnic 2x + z − 5 = 0,
3x − 2z − 4 = 0 s výsledkem x = 2, z = 1. Bod A = [2, 0, 1] ∈ p. Parametrické rovnice přímky jsou
p : x = 2 + 5t, y = 7t, z = 1 + 11t, (t ∈ R).
2. řešení: Gaussovou eliminační metodou lze upravit rozšířenou matici soustavy na
tvar
1
4 −3 −1
3
1 −2 4
∼
2 −3
1 5
0 −11
7
7
Volíme například y = 7t (t ∈ R je parametr), abychom se vyhnuli počítání
se zlomky. Druhá rovnice je proto −11 · 7t + 7z = 7 ⇒ z = 1 + 11t a první
rovnice po dosazení dává x = 2 + 5t. Parametrické rovnice přímky jsou
p : x = 2 + 5t, y = 7t, z = 1 + 11t, (t ∈ R).
———————————————————————————————————
2.4 Úlohy metrické
2.4
33
Úlohy metrické
Vzdálenost bodu od roviny
6
~n = (a, b, c)
M = [xM , yM , zM ]
−→
h
AM
`
ρ
h
ρ : ax + by + cz + d = 0
axA + byA + czA + d = 0 ⇒ d = −(axA + byA + czA )
A
Vzdálenost bodu M = [xM , yM , zM ] od roviny ρ : ax + by + cz + d = 0
určené bodem A = [xA , yA , zA ] a normálovým vektorem ~n = (a, b, c) je číslo h,
−→
které je průmětem délky vektoru AM do vektoru ~n. Proto
−→
|~n · AM |
h = || AM ~n || =
||~n||
−→
(viz vzorec (1.1)). Ze střední školy známé vyjádření vzorce obdržíme takto:
−→
~n · AM = (a, b, c) · (xM − xA , yM − yA , zM − zA ) =
= axM + byM + czM − (axA + byA + czA ) = axM + byM + czM + d
|
{z
}
−d
√
√
a ||~n|| = ~n · ~n = a2 + b2 + c2 . Dosazením do výše uvedeného vzorce získáme
vyjádření vzdálenosti bodu M = [xM , yM , zM ] od roviny ρ : ax + by + cz + d = 0
ve tvaru
d=
|axM + byM + czM + d|
√
.
a2 + b2 + c2
———————————————————————————————————
34
Některé aplikace vektorového počtu
Vzdálenost bodu od přímky
M = [xM , yM , zM ]
−→
−→
h = || AM || sin ϕ
AM −→
`
ϕ
~s
A
−→
|| AM ×~s|| = ||~s || · h
p
-
−→
|| AM ×~s|| = || AM || · ||~s || sin ϕ
h
P
Vzdálenost h bodu M = [xM , yM , zM ] od přímky p = [A; ~s ] je vzdáleností
bodu M od kolmého průmětu P bodu M na přímku p. Pomocí vektorového
součinu vyjádříme vzdálenost bodu od přímky jako
−→
||~s × AM ||
h=
||~s ||
(viz obrázek).
Úhel dvou rovin
ρ2
~n1
−~n2
6
@
I
@
@α
@
α
ρ1
@
@
@
~n2 @
R
Úhel α rovin ρ1 , ρ2 vybíráme vždy ostrý. Úhel rovin je úhlem normálových
vektorů rovin
cos α =
|n~1 · n~2 |
,
||n~1 || · ||n~2 ||
kde uvažujeme v čitateli absolutní hodnotu, abychom ošetřili případ uvedený
v obrázku a počítali s ostrým úhlem α.
———————————————————————————————————
2.4 Úlohy metrické
35
Úhel dvou přímek
p2
~s2
−~s2 α ~s1
p1
Úhel α přímek p1 , p2 vybíráme vždy ostrý. Úhel přímek je úhlem směrových vektorů přímek
cos α =
|s~1 · s~2 |
,
||s~1 || · ||s~2 ||
kde uvažujeme v čitateli absolutní hodnotu, abychom ošetřili případ uvedený
v obrázku a počítali s ostrým úhlem α.
Úhel přímky a roviny
p
~n
s
6 ~
ϕ α
ρ
Úhel α přímky p s rovinou vybíráme vždy ostrý. Úhel přímek je doplňkem úhlu ϕ
směrového vektoru přímky a normálového vektoru roviny do π/2, tj. ϕ = π2 − α.
Víme, že ~n · ~s = ||~n|| · ||~s || cos ϕ = ||~n|| · ||~s || cos ( π2 − α) = ||~n|| · ||~s || sin α. Proto
v obecném případě klademe
sin α =
|~n · ~s|
,
||~n|| · ||~s||
kde uvažujeme v čitateli absolutní hodnotu, abychom počítali s ostrým úhlem α.
———————————————————————————————————
36
Některé aplikace vektorového počtu
2.5
Úlohy polohy
Vzájemná poloha dvou rovin
K rovinám ρ1 : a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0, ρ2 : a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0 najdeme body A1 ∈ ρ1 , A2 ∈ ρ2 a odpovídající normálové vektory ~n1 = (a1 , b1 , c1 ),
~n2 = (a2 , b2 , c2 ).
1. Jsou-li vektory ~n1 , ~n2 kolineární, jsou roviny ρ1 , ρ2 rovnoběžné.
a) Je-li navíc například A1 ∈ ρ2 , pak jsou roviny ρ1 , ρ2 totožné.
b) Jestliže A1 6∈ ρ2 , pak jsou roviny ρ1 , ρ2 rovnoběžné a různé. Stanovením vzdálenosti bodu A1 ∈ ρ1 od roviny ρ2 určíme vzdálenost obu
rovnoběžných rovin.
2. Jsou-li vektory ~n1 , ~n2 nekolineární, jsou roviny ρ1 , ρ2 různoběžné a protínají se v jedné přímce p. Stanovujeme pak úhel rovin a nejčastěji parametrické rovnice přímky p.
Vzájemná poloha přímky a roviny
Určíme bod A a normálový vektor ~n roviny ρ, bod B a směrový vektor ~s přímky
p. Z geometrických významů obou vektorů vyplývá:
1. Jsou-li vektory ~s , ~n kolmé, je přímka p rovnoběžná s rovinou ρ.
a) Je-li B ∈ ρ, pak leží přímka p v rovině ρ.
b) Jestliže B 6∈ ρ, pak najdeme vzdálenost přímky p od roviny ρ jako
vzdálenost bodu B od roviny ρ.
2. Nejsou-li vektory ~s , ~n kolmé, pak přímka p protíná rovinu ρ v průsečíku P
přímky s rovinou. Stanovujeme úhel přímky s rovinou a souřadnice průsečíku P .
Průsečík přímky s rovinou
Ať je přímka p určena parametrickými rovnicemi
p : x = xB + ts1 , y = yB + ts2 , z = zB + ts3
a rovina ρ obecnou rovnicí roviny
ρ : ax + by + cz + d = 0.
———————————————————————————————————
2.5 Úlohy polohy
37
Přímka p = [B; ~s ] má s rovinou ρ = [A; ~n ] průsečík P = [xP , yP , zP ] v případě,
že ~s · ~n 6= 0. Pak jsou současně splněny rovnice
xP = xB + tP s1 , yP = yB + tP s2 , zP = zB + tP s3 ,
axP + byP + czP + d = 0
pro hodnotu tP parametru bodu P. Dosazením nalezeného tP do výše uvedených
rovnic ihned obdržíme souřadnice průsečíku P přímky p s rovinou ρ a identickou
rovnici 0 = 0.
Vzájemná poloha dvou přímek
Nechť p = [A; ~sp ], q = [B; ~sq ] jsou dvě přímky učené odpovídajícími body a směrovými vektory.
1. Jsou-li vektory ~s p , ~s q kolineární, jsou přímky p, q rovnoběžné.
a) Je-li například A ∈ q, pak jsou přímky p, q totožné (p ≡ q).
b) Je-li například A 6∈ q, pak jsou přímky p, q rovnoběžné, různé. Vzdálenost bodu A od přímky q (bodu B od přímky p) určuje vzdálenost
rovnoběžek.
2. Jsou-li vektory ~s p , ~s q nekolineární, jsou přímky p, q různoběžné nebo
−→
mimoběžné. Body A, B určují vektor AB ∈ V (E3 ).
−→
a) Je-li smíšený součin [~s p , ~s q , AB ] = 0, leží přímky p, q v jedné rovině
a přímky jsou různoběžné. Určujeme úhel přímek, průsečík přímek
a rovinu, ve které různoběžky leží.
−→
b) Je-li smíšený součin [~s p , ~s q , AB ] 6= 0, jsou p, q přímky mimoběžné.
Určujeme úhel mimoběžek a jejich nejkratší vzdálenost.
Průsečík různoběžek
Označme ~s p = (s1 , s2 , s3 ), ~s q = (u1 , u2 , u3 ). Pro průsečík P = [xP , yP , zP ] různoběžek platí s využitím parametrických rovnic podmínky
xP = xA + tP s1 = xB + τP u1
yP = yA + tP s2 = yB + τP u2 ,
zP = zA + tP s3 = zB + τP u3
kde neznámé tP , τP jsou hodnoty parametrů bodu P v odpovídajících parametrických rovnicích. Jedná se o soustavu tří rovnic pro dvě neznámé tP , τP , která
má v případě různoběžek právě jedno řešení. Toto řešení určuje po dosazení do
výše uvedených rovnic souřadnice hledaného bodu P.
———————————————————————————————————
38
Některé aplikace vektorového počtu
Nejkratší vzdálenost mimoběžek
Nejkratší vzdálenost mimoběžek p = [A; ~sp ], q = [B; ~sq ] je určena výškou (viz
(1.2))
−→
|[~s p , ~s q , AB ]|
v=
||~s p × ~sq ||
−→
rovnoběžnostěnu sestrojeného nad vektory ~s p , ~s q , AB .
Příklad 2.5.1 Vyšetřete vzájemnou polohu přímek
p : x = 1 + t, y = 1 − t, z = 2t (t ∈ R),
q:
2x + 2
4 − 2y
z
=
= .
4
4
4
Řešení: p = [A; ~sp ], kde A = [1, 1, 0], ~sp = (1, −1, 2).
Úpravou zjistíme, že kanonické rovnice
y − y0
z − z0
x − x0
=
=
s1
s2
s3
přímky q mají tvar
x+1
y−2
z
=
= ,
2
−2
4
proto q = [B; ~sq ], kde B = [−1, 2, 0], ~s q = (2, −2, 4).
Přímky p, q jsou rovnoběžné, protože ~s q = (2, −2, 4) = 2(1, −1, 2) = 2~sp
a ~s p , ~s q jsou kolineární vektory. K dispozici máme parametrické rovnice přímky
p a ptáme se, zda bod B = [−1, 2, 0] ∈ q vyhovuje rovnicím přímky p, tj. zda platí
současně rovnice −1 = 1 + t, 2 = 1 − t, 0 = 2t pro nějakou hodnotu parametru
t. Rovnice si odporují, proto B 6∈ p, přímky jsou rovnoběžné a různé. Vzdálenost
rovnoběžek je vzdáleností bodu B od přímky p a je dána vzorcem
−→
||~s p × AB ||
h=
.
||~sp ||
−→
−→
−→
Vektor AB = OB − OA = (−1, 2, 0) − (1, 1, 0) = (−2, 1, 0) a vektorový součin
~i
~j ~k
~s p × AB = 1 −1 2 = −2~i + 4~j − ~k = (−2, 4, −1)
−2
1 0
−→
−→
má délku
p ||~s p ×
pAB || =
h = 21/6 = 7/2.
√
21 a ||~s p || =
√
6. Proto mají rovnoběžky vzdálenost
———————————————————————————————————
2.5 Úlohy polohy
39
Příklad 2.5.2 Vyšetřete vzájemnou polohu přímek
p : x = 1 − t, y = 2, z = 2t − 1 (t ∈ R),
q : x = τ, y = 3 + τ, z = −3τ (τ ∈ R).
Řešení:
p = [A; ~sp ], A = [1, 2, −1], ~s p = (−1, 0, 2),
q = [B; ~sq ], B = [0, 3, 0],
~s q = (1, 1, −3).
Vektorový součin
~i
~s p × ~sq = −1
1
~k
~j
0
2 = −2~i − ~j − ~k = −(2, 1, 1) 6= 0.
1 −3
Vektory nejsou kolineární, proto se jedná o různoběžky nebo mimoběžky. Vektor
−→
−→
−→
AB = OB − OA = (0, 3, 0) − (1, 2, −1) = (−1, 1, 1) a smíšený součin
−→
[~s p , ~s q , AB ] =
−1 0
2
1 1 −3 = 0.
−1 1
1
Přímky p, q jsou různoběžné.
Úhel různoběžek určíme pomocí skalárního součinu
cos ϕ =
|~s p · ~sq |
| − 7|
7
7
= √ √ = √ ⇒ ϕ = arccos √ .
||~s p || · ||~s q ||
5 · 11
55
55
Průsečík P různoběžek najdeme pomocí rovnic
xP = 1 − t P
= τP
⇒ tP = 2
yP = 2
= 3 + τP ⇒ τP = −1
zP = −1 + 2tP = −3τP
⇒ −1 + 4 = 3
Odtud pak xP = −1, yP = 2, zP = 3 a hledaný průsečík P = [−1, 2, 3].
Rovina obsahující různoběžky je určena prvky, kterými jsou zadány přímky
p, q. Stačí uvažovat ρ = [A; ~sp , ~sq ]. Normálový vektor ~n roviny ρ je kolineární
s již nalezeným vektorem ~s p × ~sq = −(2, 1, 1) a stačí zvolit ~n = (2, 1, 1).
−→
−→
Bod X = [x, y, z] ∈ ρ právě, když jsou vektory AX, ~n kolmé. Proto AX ·~n =
= (x − 1, y − 2, z + 1) · (2, 1, 1) = 2(x − 1) + y − 2 + z + 1 = 2x + y + z − 3 = 0.
Nalezená rovina ρ : 2x + y + z − 3 = 0 skutečně obsahuje obě přímky, protože
postupným dosazením parametrických rovnic přímek do obecné rovnice roviny ρ
obdržíme 2(1 − t) + 2 + 2t − 1 − 3 = 0, 2τ + 3 + τ − 3τ − 3 = 0, tj. identity 0 = 0.
———————————————————————————————————
40
Některé aplikace vektorového počtu
Příklad 2.5.3 Vyšetřete vzájemnou polohu přímek
x + y − 2z − 3 = 0,
p : x = 1 − t, y = 2, z = 2t − 1 (t ∈ R), q :
2x − y + z = 0.
Řešení: Pro každou přímku určíme bod a směrový vektor přímky. Začneme
přímkou q.
ρ1 : x + y + 2z − 3 = 0 ⇒ ~n1 = (1, 1, −2),
ρ2 :
2x − y + z = 0 ⇒ ~n2 = (2, −1, 1).
Vektor ~s q je kolineární s vektorem
~k
~i
~j
~n1 × ~n2 = 1
1 −2 = −(1, 5, 3).
2 −1
1
Volíme ~s q = (1, 5, 3). Pro z = 0 má soustava rovnic x + y = 3, 2x − y = 0 určující
bod přímky q řešení x = 1, y = 2 a bod B = [1, 2, 0] ∈ q. Proto
p = [A; ~sp ], A = [1, 2, −1], ~s p = (−1, 0, 2),
q = [B; ~sq ], B = [1, 2, 0],
~s q = (1, 5, 3).
Vektorový součin
~k
2 = 5(−2, 1, −1) 6= 0
3
√
a ||~s p × ~sq || = 5||(−2, 1, −1)|| = 5 6. Přímky nejsou rovnoběžné. Vektor
−→
AB = (0, 0, 1) = ~k a smíšený součin
~i
~s p × ~sq = −1
1
−→
~j
0
5
[~s p , ~s q , AB ] =
−1 0 2
1 5 3 = −5 6= 0.
0 0 1
Proto jsou p, q mimoběžné přímky.
Pro úhel mimoběžek platí
√
|~s p · ~sq |
5
1
7
√ = √ ⇒ ϕ = arccos
cos ϕ =
=√
.
||~s p || · ||~s q ||
7
35 · 5
7
Nejkratší vzdálenost mimoběžek je
−→
√
| − 5|
|[~s p , ~s q , AB ]|
1
6
= √ =√ =
.
d=
||~s p × ~sq ||
6
5 6
6
———————————————————————————————————
2.5 Úlohy polohy
41
Příčky a osa mimoběžek
Pro mimoběžné přímky p = [A; ~u ], q = [B; ~v ], také určujeme
a) příčku mimoběžek, což je přímka r, která je různoběžná s oběma přímkami p, q,
b) osu mimoběžek, což je příčka r, která je k oběma přímkám p, q kolmá.
Máme-li nalézt příčku r mimoběžek p, q, která je rovnoběžná s vektorem w,
~
pro který platí [~u, ~v , w
~ ] 6= 0, pak stačí například
1) nalézt roviny ρ = [A; ~u, w
~ ], σ = [B; ~v , w
~ ],
2) vytvořit průnik r = ρ ∩ σ.
r =ρ∩σ
ρ = [A; ~u, w
~]
1
À
PP ~
u
P
P
PP
P
w
~ P
P
PP
` P
PP
` ~
P
v
B PPP
v, w
~]
q
σ = [B; ~
PP
PP
Otázka: Proč musí být vektory ~u, ~v , w
~ nekomplanární?
Poznámka:
a) Při hledání příčky r mimoběžek p, q, která prochází zadaným
bodem C, lze postupovat obdobně, jako když je zadán vektor w.
~
b) Pro směrový vektor w
~ osy mimoběžek zřejmě platí w
~ = ~u × ~v .
Příklad 2.5.4 Jsou dány přímky p : x = 1 + 2t, y = 2 + t, z = 2 + t, t ∈ R,
q : x = 2 + s, y = 3, z = 4 + 3s, s ∈ R. Ověřte, že jde o mimoběžky a určete
jejich příčku r víte-li, že má směrový vektor w
~ = (2, 1, −3).
Řešení: Přímky p = [A; ~u ], q = [B; ~v ], kde A = [1, 1, 1], ~u = (2, 1, 1),
B = [2, 3, 4], ~v = (1, 0, 3) a platí
1 1 2
[AB ~u, ~v ] = 2 1 1 = −4 6= 0.
1 0 3
−→
———————————————————————————————————
42
Některé aplikace vektorového počtu
Jde tedy o mimoběžky. Jak víme, osu r můžeme například určit jako průsečnici
rovin ρ = [A; ~u, w
~ ] a σ = [B; ~v , w
~ ], přičemž
ρ:
x−1 y−2 z−2
2
1
1 = 0,
2
1
−3
Odtud
r:
2.6
σ:
x−2 y−3 z−4
1
0
3 = 0.
2
1
−3
x − 2y
+ 3=0
.
3x − 9y − z + 25 = 0
Vlastní čísla a vlastní vektory
Motivace: Uvažujme v E2 rovnici
9x2 − 4xy + 6y 2 + 16x − 8y − 2 = 0.
(2.1)
Tentokrát se nám nepodaří určit typ a polohu kuželosečky pouhým ”doplněním
na úplný čtverec”, přebývá zde součin xy. Jde totiž o rovnici kuželosečky, která
nemá osy rovnoběžné se souřadnicovými osami. Našim cílem je najít transformaci
x = x(x 0 , y 0 ),
y = y(x 0 , y 0 ),
která vyjádří rovnici kuželosečky vzhledem k jejím osám. Obě metody používané
pro řešení této úlohy jsou pro geodety zajímavé.
a) První z nich používá transformaci otáčení s cílem zjistit úhel otočení, při
kterém koeficient u x 0 y 0 bude nulový. Pro transformaci otáčení platí:
y
y0
6
AK
A
x0
A α
*
~e2
~e 02AAKA 6
0
~e 1
*
A
- α
A
a
- x
O
~e1
~e1 · cos α + ~e2 · sin α
~e 01 =
,
0
~e 2 = −~e1 · sin α + ~e2 · cos α
tj.
~e 01
~e 02
=
cos α sin α
− sin α cos α
~e1
·
~e2
———————————————————————————————————
2.6 Vlastní čísla a vlastní vektory
a naopak
~e1
~e2
43
=
cos α − sin α
sin α
cos α
0 ~e 1
·
~e 02
Odtud
−→
OX = x~e1 + y~e2 = x · (~e 01 cos α − ~e 02 sin α) + y · (~e 01 sin α + ~e 02 cos α) =
= (x cos α + y sin α)~e 01 + (−x sin α + y cos α)~e 02
|
{z
}
{z
}
|
x0
Můžeme tedy psát
0 x
cos α sin α
x
=
·
0
y
− sin α cos α
y
y0
a
x
y
=
0 cos α − sin α
x
·
.
sin α
cos α
y0
Dosadíme-li transformační vztahy pro x a y do rovnice kuželosečky, pak
například pro (2.1) obdržíme
(9 cos2 α−4 sin α cos α+6 sin2 α)x 0 2 +(−4 cos2 α − 6 sin α cos α + 4 sin2 α) x 0 y 0 +
|
{z
}
0
+(9 sin2 α + 4 sin α cos α + 6 cos2 α)y 0 2 + (16 cos α − 8 sin α)x 0 −
−(16 sin α + 8 cos α)y 0 − 2 = 0.
Položíme-li koeficient u x 0 y 0 roven nule, dostaneme goniometrickou rovnici,
ze které určíme sin α, cos α a tím i transformační rovnice.
cos α − sin α
. Platí
Všimněte si zajímavých vlastností matice A =
sin α
cos α
det A = 1, A−1 = AT . Říkáme, že matice A je ortogonální.
b) Druhou možností je určit tzv. hlavní směry kuželosečky. Zaveďme si nejprve
obecné označení koeficientů kuželosečky:
a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0.
Dá se ukázat, že pro hlavní směry (u1 , u2 ) platí
(a11 − λ)u1 + a12 u2 = 0
a21 u1 + (a22 − λ)u2 = 0
a rovnice
a11 s1 + a12 s2 + a13 = 0
a21 s1 + a22 s2 + a23 = 0
splňuje střed S = [s1 , s2 ] kuželosečky.
———————————————————————————————————
44
Některé aplikace vektorového počtu
Pro kuželosečku (2.1) tedy platí:
• Hlavní směry kuželosečky jsou určeny netriviálním řešením homogenního
systému rovnic
(9 − λ)u1 − 2u2
= 0
,
−2u1 + (6 − λ)u2 = 0
9−λ
−2
5
pro který musí platit
= 0. Odtud dostaneme λ =
.
−2 6 − λ
10
Hodnotě λ = 5 odpovídá systém rovnic
4u1 − 2u2 = 0
,
−2u1 + u2 = 0
kterému vyhovuje například vektor ~e 01 =
Pro číslo λ = 10 dostaneme
√1 (1, 2).
5
u1 + 2u2 = 0
,
u1 + 2u2 = 0
a odtud například ~e 02 =
√1 (−2, 1).
5
• Střed je určen soustavou
9s1 − 2s2 + 8
= 0
−2s1 + 6s2 − 4 = 0
a tedy S = [− 45 , 25 ].
• V souřadnicové soustavě hS; ~e 01 , ~e 02 i pak již má kuželosečka (2.1) požadovaný
kanonický tvar.
V našem motivačním příkladu máme pak
0 x − s1
x
0
0
= [~e 1 , ~e 2 ] ·
,
y − s2
y0
tj.
0 4 1
−5
1 −2
x
+
.
=√
·
2
0
y
1
5 2
5
Dosazením transformačních vztahů
x
y
x =
y =
√1 (x 0 − 2y 0 )
5
√1 (2x 0 + y 0 )
5
−
+
4
5
2
5
do rovnice (2.1) dostaneme hledanou rovnici
x 0 2 + 2y 0 2 = 2.
———————————————————————————————————
2.6 Vlastní čísla a vlastní vektory
45
Poznámka: Hlavní směry jsou určeny systémem rovnic, kterým definujeme tzv. vlastní čísla a vlastní vektory matice, které mají rozsáhlé
využití jak v matematice, tak v technických aplikacích.
Nejprve uvedeme přehled používané terminologie:
Předpokládáme, že A ∈ M at (C) je čtvercová matice řádu n, obecně s komplexními prvky.
terminologie – zápis
A − λEn = A − λE
det(A − λE)
vlastní čísla matice A
spektrum matice A
vlastní vektor matice A
příslušný k číslu λ
vlastní podprostor Vλ (A)
příslušný k číslu λ
algebraická násobnost
vlastního čísla λ
geometrická násobnost
vlastního čísla λ
význam – název
charakteristická matice příslušná k maticiA,
λ ∈ C , E je jednotková matice řádu n
charakteristický polynom matice A
kořeny charakteristického polynomu
soubor vlastních čísel matice A,
každé vlastní číslo je v něm uvedeno tolikrát,
kolik činí jeho násobnost
nenulový vektor ~x ∈ Cn takový, že A~x = λ~x
Vλ (A) = {~x ∈ Cn ; A~x = λ~x, ~x 6= ~o}
násobnost kořene λ charakteristického polynomu
dimenze podprostoru Vλ (A)
(”maximální počet”
lineárně nezávislých řešení soustavy (A − λE)~
x = ~o )
Poznámka: Maticovou rovnici A~x = λ~x je možné vyjádřit ve tvaru
(A − λE)~x = ~o, kde ~o je nulový vektor. Jak víme, tento homogenní systém lineárních algebraických rovnic má netriviální (nenulové) řešení tehdy, když je
det(A − λE) = 0.
Všimneme si také, že je-li ~x vlastním vektorem matice A, pak každý konstantní
násobek k~x, k 6= 0 (obecně k ∈ C) je opět vlastním vektorem matice A.
Příklad 2.6.1 Určete všechna vlastní čísla a vlastní vektory matice A, je-li




2
1 −3
−1
4
3
5
3 .
a)
A =  3 −2 −3  ,
b)
A =  −2
1
1 −2
2 −4 −2
———————————————————————————————————
46
Některé aplikace vektorového počtu
Řešení
a) Místo přímého výpočtu použijeme nejprve elementární úpravy pro zjednodušení determinantu,
det(A−λE) =
2−λ
1
−3
←−
1−λ
0
−1 + λ
3
−2 − λ
−3
↑ =
3
−2 − λ
−3
1
1
−2 − λ ·(−1)
1
1
−2 − λ
=
1
0
−1
(−3) (−1)
1
0
−1
−3
←
↓ = (1 − λ) · 0 −2 − λ
0
=
= (1 − λ) · 3 −2 − λ
1
1
−2 − λ
←−
0
1
−1 − λ
= (1 − λ)(1 + λ)(2 + λ) = 0,
matice A.
=⇒ λ1 = 1, λ2 = −1, λ3 = −2 je spektrum
Jednotlivým vlastním číslům nyní určíme příslušné vlastní vektory, souřadnice
vlastního vektoru označíme x1 , x2 , x3 .
x1
=⇒ 3x1
x1
řešíme gaussovou eliminační metodou.

 
 
1
1 −3 0
1
1 −3 0
 3 −3 −3 0  ∼  1 −1 −1 0  ∼ 
1
1 −3 0
1
1 −3 0
∗ λ1 = 1 : (A − λ1 E)~x = ~o
+x2 −3x3 = 0
−3x2 −3x3 = 0 a soustavu
+x2 −3x3 = 0
 

1
1 −3 0
1
1 −3 0
0 −2
2 0  ∼  0 −1
1 0 
0
0
0 0
0
0
0 0
x3 = t volíme jako parametr, pak x2 = t, x1 = 2t
~x1 = t · (2, 1, 1)T .
a vlastní vektor je
3x1 +x2 −3x3 =
∗ λ2 = −1 : (A − λ2 E)~x = ~o =⇒ 3x1 −1x2 −3x3 =
x1 +x2 −x3 =

 
 
3
1 −3 0
1
1 −1 0
1
1
 3 −1 −3 0  ∼  0 −2
0 0  ∼  0 −1
1
1 −1 0
0 −4
0 0
0
0
x2 = 0, x3 = s volíme jako parametr, pak x1 = s
~x2 = s · (1, 0, 1)T .
∗ λ3 = −2

4
 3
1
0
0
0

−1 0
0 0 
0 0
a vlastní vektor je
4x1 +x2 −3x3 =
: (A − λ3 E)~x = ~o =⇒ 3x1 −0x2 −3x3 =
x1 +x2 −0x3 =
 
 
1
1
0 0
1 1 0
1 −3 0




0 −3 0 ∼ 1
0 −1 0 ∼ 0 1 1
1
0 0
0 −3 −3 0
0 0 0
0
0
0

0
0 
0
———————————————————————————————————
2.6 Vlastní čísla a vlastní vektory
47
x3 = u volíme jako parametr, pak x2 = −u
~x3 = u · (1, −1, 1)T .
x1 = u
a vlastní vektor je
Komentář k příkladu a) :
• Algebraická i geometrická násobnost každého vlastního čísla je stejná, a to 1.
• Vlastní vektory (2, 1, 1)T , (1, 0, 1)T , (1, −1, 1)T jsou lineárně nezávislé
a tvoří bázi aritmetického lineárního prostoru R3 .
b) Příklad řešíme analogickým postupem,
−1 − λ
4
3
←−
1−λ
0
1−λ
−2
5−λ
3
←− =
0
1−λ 1−λ
det(A − λE) =
2
−4 −2 − λ ·(1) ↑
2
−4 −2 − λ
=
1
0
1
(−2)
1
0
1
2
1
1
↓ = (1 − λ) · 0
1
1
= (1 − λ) · 0
=
2 −4 −2 − λ ←−
0 −4 −4 − λ
2
1 0
1
1 = λ(1 − λ)2 = 0,
= (1 − λ)2 · 0 1
0 0 −λ
=⇒ λ1 = 0, λ2, 3 = 1
je spektrum matice A.

∗ λ1 = 0 : A~x

∼
−1
4
3
0 −1 −1
0
1
1
−1

= ~o =⇒ −2
2
 
−1 4 3
0
0 ∼ 0 1 1
0
0 0 0
4
3
5
3
−4  −2
0
0  , x3
0



0
−1
4
3 0
0  ∼  0 −3 −3 0  ∼
0
4
4 0
0
= −t volíme jako parametr, pak
x2 = t, x1 = t a vlastní vektor je ~x1 = t · (1, 1, −1)T .

 

−2
4
3 0
−2 4 3 0
4
3 0 ∼ 0 0 0 0  ,
∗ λ2, 3 = 1 : (A − E)~x = ~o =⇒  −2
2 −4 −3 0
0 0 0 0
x3 = 2s volíme jako parametr, x2 = u volíme jako parametr, pak x1 = 3s + 2u
a vektor
~x = (3s + 2u, u, 2s)T = s · (3, 0, 2)T + u · (2, 1, 0)T
je lineární kombinací dvou vlastních vektorů.
———————————————————————————————————
48
Některé aplikace vektorového počtu
Komentář k příkladu b) :
1 pro λ1 = 0
Algebraická i geometrická násobnost
• dim Vλ (A) =
2 pro λ2, 3 = 1
každého vlastního čísla je stejná, a to 1 pro λ = 0, 2 pro λ = 1.
• Vlastní vektory (1, 1, −1)T , (3, 0, 2)T , (2, 1, 0)T jsou lineárně nezávislé
a tvoří bázi aritmetického lineárního prostoru R3 .
Na závěr uvedeme některé vlastnosti vlastních čísel a vlastních vektorů
čtvercových matic n–tého řádu.
(a) Vlastní vektory odpovídající různým vlastním číslům jsou lineárně nezávislé.
(b) Jestliže pro každé vlastní číslo se jeho algebraická násobnost rovná geometrické násobnosti, pak existuje právě n lineárně nezávislých vlastních vektorů
matice A.
(c) Všechna vlastní čísla reálné symetrické matice (AT = A) jsou reálná.
(d) Vlastní vektory reálné symetrické matice vzhledem k různým vlastním číslům jsou ortogonální.
Poznámka: O správnosti (a) se můžeme přesvědčit například takto. Předpokládejme, že že λ1 6= λ2 jsou vlastní čísla matice A a přitom jim odpovídající
vlastní vektory ~v1 , ~v2 jsou lineárně závislé. Pak existuje konstanta k 6= 0 taková, že
~v2 = k~v1 . Dále platí A~v2 = Ak~v1 = kA~v1 = kλ1~v1 a současně A~v2 = λ2~v2 = λ2 k~v1 .
Odtud kλ1~v1 = λ2 k~v1 a tedy k(λ1 − λ2 )~v1 = ~o. Protože ~v1 6= ~o a k 6= 0, musí
platit λ1 = λ2 . To je spor s předpokladem a vektory ~v1 , ~v2 jsou proto lineárně
nezávislé.
———————————————————————————————————
2.6 Vlastní čísla a vlastní vektory
49
Test
Jméno a příjmení:
Adresa:
E-mail:
Telefon:
1. Jsou dány nekomplanární vektory ~u, ~v , w,
~ přičemž ||~u || = ||~v || = 1,
o
||w
~ || = 2, ∠(~u, ~v ) = 90 , ∠(~u, w
~ ) = ∠(~v , w
~ ) = 60o . Vypočítejte plošný obsah
rovnoběžníku sestrojeného z vektorů ~a = −~u + 2w,
~ ~b = 2~u − ~v .
2. Dokažte, že platí
h
i
~
~
(b × ~c ) · (~c × ~a ) × (~a × b ) = [~b, ~c, ~a ]2 .
3. Výpočtem zjistěte zda platí
a) (~a · ~b )~c = ~a(~b · ~c )
b) (~a × ~b ) × c = ~a × (~b × ~c )
pro vektory ~a, ~b, ~c, které jsou komplanární a svírají úhly (viz obrázek).
o
*
45
H
HH
45o
H
~c
-~
a
HH
H
4. Je dána přímka p :
j ~b
H
2x + 2y − 3z = 0
, rovina ρ : 3x + y + 2z + 3 = 0
x − 3y − 2z + 5 = 0
a bod A = [1; 2; 3]. Určete
a) kanonický tvar rovnice kolmého průmětu q přímky p do roviny ρ,
b) úhel přímky p a rovinou ρ,
c) bod B souměrně sdružený s bodem A vzhledem k rovině ρ.
Tabulka hodnocení
1.
2. 3. a
3. b
4. a
4. b
4. c
Σ
body
Opravil:
———————————————————————————————————
50
Některé aplikace vektorového počtu
Ukázka příkladů pro semestrální zkoušku
1. Jsou dány vektory ~a = ~u + w,
~ ~b = ~v − w,
~ ~c = ~u + 2~v , kde uspořádaná trojice (~u, ~v , w
~ ) tvoří pozitivní soustavu nekomplanárních vektorů ve V (E3 ). Přitom
||~u || = 1, ||~v || = 2, ||w
~ || = 2, ∠(~u, ~v ) = 60o , ∠(~u, w
~ ) = 60o , ∠(~v , w
~ ) = 90o .
Zjistěte
a) zda uspořádaná trojice (~u, ~v , w
~ ) vektorů je pozitivní,
−→
−→
b) plošný obsah rovnoběžníku ABCD, jesliže AB = ~a, AD = ~b.
x−y+z−2=0
2. Jsou dány přímky p :
, q :
3x − y − z − 2 = 0
Zjistěte, zda jde o mimoběžné přímky a pokud ano, tak
x−y+z−4=0
.
2x − y − z = 0
a) určete parametrický tvar rovnice osy mimoběžek,
b) vypočtěte (nejkratší) vzdálenost přímek p, q.


3
5
3
3. Určete vlastní čísla a vlastní vektory matice  −4 −9 −6  .
6 15 10
———————————————————————————————————
Rejstřík
báze lineárního prostoru, 22
charakteristická matice, 45
charakteristický polynom, 45
cyklická záměna, 20, 21
dimenze lineárního prostoru, 22
dvojný vektorový součin, 17
délka vektoru, 12
důležité identity, 17
euklidovská norma vektoru, 12
kolmost vektorů, 12
kolmý průmět délky vektoru, 12
kolmý průmět vektoru, 12
lineární nezávislost vektorů, 9
lineární prostor, 22
báze, 22
dimenze, 22
ortonormální báze, 23
matice
charakteristická, 45
charakteristický polynom, 45
spektrum, 45
vlastní vektory, 45
vlastní čísla, 45
nejkratší vzdálenost mimoběžek, 38
násobení vektoru skalárem, 9
objem rovnoběžnostěnu, 16
ortonormální báze, 23
osa mimoběžek, 41
příčky mimoběžek, 41
pozitivní trojice vektorů, 14
První kosinová věta, 21
průsečík různoběžek, 37
přímka, 31
kanonické rovnice, 31
parametrické rovnice, 31
poloha přímek, 37
poloha přímky a roviny, 36
průsečnice rovin, 31
průsečík roviny a přímky, 37
vzdálenost bodu, 34
úhel přímek, 35
úhel roviny a přímky, 35
rovina, 28
normálový vektor, 29
souřadnice, 29
obecná rovnice, 29
parametrické rovnice, 29
poloha roviny a přímky, 36
průsečík roviny a přímky, 37
vzdálenost bodu, 33
úhel rovin, 34
úhel roviny a přímky, 35
sférický trojúhelník, 19
První kosinová věta, 21
Pythagorova věta, 21
Sinová věta, 19
základní prvky, 19
Sinová věta, 19
skalární součin v ortonormální bázi,
24
skalární součin vektorů, 11
smíšený součin v ortonormální bázi,
25
———————————————————————————————————
52
smíšený součin vektorů, 15
součet vektorů, 8
souřadnice
skalární součin, 24
smíšený součin, 25
vektorový součin, 25
vektoru, 22
spektrum matice, 45
REJSTŘÍK
úhel přímky a roviny, 35
úlohy metrické, 33
úlohy polohy, 36
vektor
délka, 12
euklidovská norma, 12
kolmost vektorů, 12
lineární nezávislost, 9
nulový, 8
násobení skalárem, 9
opačný, 8
pozitivní trojice, 14
rovnoběžný
nesouhlasně, 9
souhlasně, 9
skalární součin, 11
smíšený součin, 15
součet, 8
souřadnice, 22
umístění, 8
vektorový součin, 13
dvojný, 17
vektorový součin v ortonormální
bázi, 25
vektorový součin vektorů, 13
vlastní vektory matice, 45
vlastní čísla matice, 45
vlastní číslo
násobnost
aritmetická, 45
geometrická, 45
vzdálenost bodu od přímky, 34
vzdálenost bodu od roviny, 33
vzájemná poloha dvou přímek, 37
úhel dvou přímek, 35
úhel dvou rovin, 34
———————————————————————————————————
Literatura
[1] Anton H., Calculus with Analytic Geometry, John Wiley, 1995, New York.
[2] Budinský B., Analytická a diferenciální geometrie, SNTL, Praha 1983.
[3] Ježek F., Míková M., Maticová algebra a analytická geometrie, 2003, ZČU
Plzeň.
———————————————————————————————————