opakov á n í aprohlouben í u č ivaojednoduch ý chkonstrukc í ch 1,5

OPAKOVÁNÍ A PROHLOUBENÍ U IVA O
JEDNODUCHÝCH KONSTRUKCÍCH
1,5 HODINY
D íve, než spole n p ikro íme k u ivu o množinách bod , pokusíme se zopakovat
n které jednoduché konstrukce, které již znáš a které budeš v následujících kapitolách o
množinách bod asto užívat. Nejprve si sám pokus narýsovat následující jednoduchá
cvi ení:
1. Narýsuj si p ímku, která prochází dv ma r znými zadanými body A, B
2. Sestroj si kružnici o st edu S a polom ru 4 cm
3. Bodem X, který neleží na p ímce p, sestroj rovnob žku q s p ímkou p
4. Bodem X, který neleží na p ímce p, ve
p ímek si ozna P
k p ímce p kolmici k, pr se ík obou
5. Sestroj si úse ku AB o velikosti 5,5 cm a pomocí kružítka sestroj její st ed S
6. Na libovolné kružnici se st edem S si zvol bod T a ve tímto bodem te nu
k dané kružnici (vzpome si, že te na t procházející bodem T je kolmá s polom ru
ST)
7. Je dána kružnice k a p ímka p. Sestroj všechny te ny kružnice k, kterou jsou
s p ímkou p rovnob žné (dv ešení)
Ur it si tyto velmi jednoduché úlohy bez problém zvládl. Budeme v opakování dále
pokra ovat. Nyní Ti však již každý p íklad doplním o obrázek nebo komentá :
8. Sestroj použitím kružítka osu úse ky AB, jejíž délka je 6 cm
Ur it víš, že osa úse ky AB prochází jejím st edem S a je kolmá na úse ku AB. Ur it
také víš, že vzdálenost krajních bod A, B od st edu S jsou 3 cm (polovina délky úse ky).
Postup p i rýsování osy by slovn vypadal asi takto:
1. Nejprve si narýsuješ úse ku AB
2. Poté si vezmeš do kružítka libovolnou vzdálenost, která je v tší než polovina délky
úse ky (3 cm) a sestrojíš kružnice o tomto polom ru mající st edy v bodech A, B
3. Kružnice se protnou ve dvou bodech X, Y
4. T mito body vedeš p ímku o – tato p ímka je osou úse ky AB
9. Sestroj použitím kružítka osu libovolného úhlu AVB, kde V je vrchol úhlu a
polop ímky VA, VB jsou jeho ramena
Op t ur it víš, že osa úhlu je polop ímka VX ležící uvnit úhlu AVB, která d lí úhel AVB
na dva úhly o stejné velikosti. Op t Ti uvedu slovní postup p i konstrukci osy úhlu:
1. Narýsuj si libovolný úhel AVB
2. Kružítkem si tento úhel vyzna ( ást kružnice se st edem V a libovolným
polom rem mezi ob ma rameny). Pr nik kružnice s rameny si ozna Y, Z
3. Nyní si vezmi do kružítka libovolnou vzdálenost v tší než v p edchozím bod a
ud lej dv stejné kružnice se st edy v bodech Y, Z
4. Tyto kružnice se Ti uvnit úhlu AVB v bod X
5. Polop ímka VX je hledanou osou úhlu AVB – ov si, že vzdálenosti bodu X od
obou ramen jsou stejné a že tento poznatek platí pro každý bod osy
10. Narýsuj si libovolný trojúhelník ABC a postupn v n m vyzna :
a) st ední p í ky
b) t žnice trojúhelníku, t žišt
c) výšky trojúhelníku
d) kružnici opsanou trojúhelníku
e) kružnice vepsanou trojúhelníku
a) St ední p í ka trojúhelníku je úse ka, která vždy spojuje st edy dvou stran
trojúhelníku a je rovnob žná se t etí stranou. Délka st ední p í ky je rovna polovin
délky té strany trojúhelníku, se kterou je st ední p í ka rovnob žná viz obr.)
Poznámka – na obrázku jsou pro v tší pochopení uvedeny i rozm ry stran a st edních
p í ek, ty m žeš mít jiné rozm ry.
b) T žnice trojúhelníku je úse ka spojující vrchol trojúhelníku se st edem jeho
prot jší strany. Všechny t i t žnice se protínají v jednom bod , který se nazývá
t žišt trojúhelníku a zna í se písmenem T.
c) Výšky trojúhelníku jsou kolmé (nejkratší) úse ky spojující vrchol trojúhelníku
s jeho prot jší stranou. Výškou trojúhelníku ozna ujeme jak úse ku, tak její
délku.
V každém trojúhelníku lze sestrojit t i výšky, které se protínají v jednom bod ,
který se nazývá pr se ík výšek V.
d) St ed O kružnice opsané získáme jako pr se ík os jednotlivých stran
trojúhelníku, polom r r kružnice opsané je roven vzdálenosti st edu O od
libovolného vrcholu trojúhelníku.
| OA | = | OB | = | OC | = r – polom r kružnice opsané
k (O ; r) je kružnice opsaná trojúhelníku ABC
e) St ed O kružnice vepsané získáme jako pr se ík os vnit ních úhl trojúhelníku
ABC, polom r kružnice vepsané je roven vzdálenosti st edu S od jakékoliv strany
trojúhelníku (vzdálenost sestrojíme tak, že z bodu S vedeme k libovolné stran kolmici).
| SX | = | SY | = | SZ | – polom r kružnice vepsané
k (S ; SX) je kružnice vepsaná trojúhelníku ABC
Opakování - Jednoduché konstrukce trojúhelníku
11. (Konstrukce sss): Sestrojte trojúhelník ABC s délkami stran: | AB | = c = 8 cm
| AC | = b = 7 cm
| BC | = a = 6 cm
a) Rozbor: zkoumám, zda jsou spln ny trojúhelníkové nerovnosti, sta í mi prozkoumat
pouze barevn ozna enou (Pro ?)
1. podmínky:
8+7>6
7+6>8
8+6>7
Trojúhelníkové nerovnosti jsou spln ny, trojúhelník lze sestrojit.
2. ná rt:
C
b) Postup konstrukce:
k
m
1.
2.
3.
4.
5.
AB ; |AB| = 8 cm
k ; k (A ; r = 7 cm)
m ; m (B ; r = 6 cm)
C k m
ABC
c) Vlastní konstrukce:
d) Záv r: Trojúhelník odpovídá zadání, jedno ešení v polorovin .
12. (Konstrukce sus): Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: | AB | = c = 8 cm
| AC | = b = 6 cm
= 60˚
Ná rt a Rozbor: 60˚ < 180º - trojúhelník lze sestrojit – podmínka
C
k
Postup konstrukce:
1. AB ; |AB| = 8 cm
2.
BAX ; | BAX | =
3. k ; k (A ; r = 6 cm)
4. C k
ABC
5.
Vlastní konstrukce:
AX
= 60°
AX
d) Záv r: Trojúhelník odpovídá zadání, jedno ešení v polorovin .
Poznámka (d ležitá):
Velmi asto se vyskytuje chyba v bod 4 p i postupu konstrukce (C k
AX), kdy
studenti píší, že bod C získají jako pr nik úhlu a kružnice, nikoliv jako pr nik polop ímky
a kružnice. Podívej se na obrázek a uvidíš, pro je tento zápis nesprávný a nepravdivý. Na
obrázku jsem vyzna il modrou barvou celý úhel . Podívej se na bod Z. Ten ur it
nespl uje zadání úlohy ( ekni pro ), ale leží v pr niku úhlu a kružnice.
13. (Konstrukce usu): Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: | AB | = c = 9 cm
= 80˚
= 40˚
Ná rt a rozbor: 80˚ + 30˚ < 180º - podmínka (trojúhelník lze sestrojit)
C
Postup konstrukce:
1. AB ; |AB| = 9 cm
2.
BAX ; | BAX | =
= 80°
3.
ABY ; | ABY | =
= 40°
4. C
AX
5. ABC
Vlastní konstrukce:
BY
AX
BY
Záv r: Trojúhelník odpovídá zadání, 1 ešení v dané polorovin .
14. (Konstrukce Ssu): Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: | AB | = c = 9 cm
| AC | = b = 6 cm
= 70˚
Ná rt a rozbor: 70˚ < 180º - Podmínka (trojúhelník lze sestrojit)
Poznámka: Na tomto typu konstrukce uvidíš, že p edchozí podmínka není jedinou
podmínkou. Zatím ji zám rn neuvádím, sám na ni p ijdeš.
C
Postup konstrukce:
1. AC ; |AC| = 6 cm
2. ACX ; | ACX | = 70 °
3. k; k (A, r = 9 cm)
4. B
AX
5. ABC
Vlastní konstrukce:
k
k
AX
Záv r: Trojúhelník odpovídá zadání, 1 ešení v dané polorovin .
Poznámka: Nyní si spole n zkusíme prozkoumat již zmín nou druhou podmínku.
Necháme si stejné zadání, jen velikost strany c bude nejprve 6 cm (tedy stejná jako
velikost menší strany b), posléze pak nap íklad 5 cm (tedy menší než velikost strany b).
Oba p ípady si zkus pouze narýsovat. Poté se pokus vyslovit podmínku. Na obrázku máš
znázorn nu situaci, kdy je velikost strany c = 6 cm.
Všimni si, že polop ímka AX a kružnice k se neprotínají, a tedy nemohu sestrojit hledaný
bod B a tedy ani trojúhelník ABC. Stejn dopadneš i v p ípad , kdy délka strany c bude 5
cm. Už tušíš druhou podmínku ? Shr si p edchozí p ípady:
b > c ……..Trojúhelník lze sestrojit – jedno ešení
b = c ……..Trojúhelník nelze sestrojit
b < c ……..Trojúhelník nelze sestrojit
Podmínka: Strana naproti úhlu musí být vždy v tší, než strana k úhlu p ilehlá, pak
lze trojúhelník vždy sestrojit a hovo íme o konstrukci Ssu.
15. (Op t konstrukce Ssu): Sestroj trojúhelník ABC, je-li dáno: a = 4 cm
b = 5 cm
= 45˚
Ná rt a Rozbor: 45˚ < 180º - první podmínka je spln na.
Druhá podmínka není nyní spln na (strana p ilehlá k úhlu je nyní v tší než strana naproti
úhlu, nejedná se tedy o konstrukci Ssu). Už jsme se setkali s tímto p ípadem a zjistili jsme,
že daný trojúhelník nelze sestrojit. Zkusme se tedy podívat, zda to samé platí i pro tento
p ípad:.
C
Postup konstrukce:
k
AX
1. AC ; |AC| = 5 cm
2. CAX ; | CAX | = 45°
3. k; k (C, r = 4 cm)
4. B
AX
5. ABC
k
Vlastní konstrukce:
Záv r:Trojúhelník vyhovuje zadání, 2 ešení v dané polorovin (trojúhelníky ABC, AB1C).
Shrnutí:
1. Jedná-li se o konstrukci Ssu, musí platit podmínka, podle které je strana ležící
naproti zadanému úhlu vždy v tší než strana k úhlu p ilehlá. Daná konstruk ní úloha
pak má jedno ešení v dané polorovin .
2. Pokud není podmínka spln na, nejedná se o konstrukci Ssu, ale i tak úlohu ešíme.
P itom úloha m že mít v dané polorovin dv nebo žádné ešení.