Výpočet plošných obsahů a objemů

6. PŘEDNÁŠKA
LETNÍ 2010
Vysoká
Vysoká škola bá
báňská
ská – Technická
Technická univerzita Ostrava
HornickoHornicko-geologická
geologická fakulta
URČ
URČOVÁ
OVÁNÍ PLOŠ
PLOŠNÝCH OBSAHŮ
OBSAHŮ
Institut geodé
ictvíí
geodézie a dů
důlní
lního měř
měřictv
1
Ing. Hana Staňková, Ph.D.
GEODÉZIE II
6. Urč
Určová
ování ploš
ploš ných obsahů
obsahů
Urč
Určová
ování objemů
objemů
URČ
URČOVÁ
OVÁNÍ PLOŠ
PLOŠNÝCH OBSAHŮ
OBSAHŮ
VÝMĚ
VÝMĚRU
ĚRU LZE URČ
URČOVAT:
ČOVAT:
VÝM
UR
→ Z přímo měřených měr
→ rozkladem na jednodušší obrazce
→ ze souřadnic
→ Z map a plánů
URČ
URČOVÁ
OVÁNÍ PLOŠ
PLOŠNÝCH OBSAHŮ
OBSAHŮ
→ ROZKLADEM NA JEDNODUŠŠÍ
JEDNODUŠŠÍ OBRAZCE
→ ROZKLADEM NA JEDNODUŠŠÍ
JEDNODUŠŠÍ OBRAZCE
Pro urč
určení
čení
výměry
ěry mnohoú
mnohoúhelníka
úhelní
ur
ení výmě
vým
mnoho
helníka se tento obrazec
rozlož
rozloží
ží na jednodušší
rozlo
jednodušší obrazce:
→ trojú
trojúhelníky
úhelní
troj
helníky
→ lichoběž
lichoběžníky
ěžn
n íky
lichob
→ ččtyřúhelníky,
tyř
tyřúhelní
helníky,
jejichž
výměru
ěru vypoč
vypočteme
čteme podle vzorců
výpočet
čet
jejichž výmě
vým
vypo
vzorců pro výpoč
výpo
ttěchto
ěchto obrazců
obrazců.
ů.
obrazc
Výsledná
výměra
ěra je pak souč
součtem
čtem výmě
výměr
ěr tě
ěchto
Výsledná výmě
vým
sou
vým
ttěchto
jednodušší
jednodušších
šších
ch obrazců
obrazců.
ů.
jednodu
obrazc
P  P1  P2  P3
→ ROZKLADEM NA
JEDNODUŠŠÍ
JEDNODUŠŠÍ
OBRAZCE
◘ výmě
ěra trojú
úhelní
áme zá
ákladnu c a
vým
výměra
troj
trojúhelníka,
helníka, když
když zná
zn
známe
zzákladnu
výš
šku v :
vý
výšku
2P  c  v
◘ výmě
ěra trojú
úhelní
áme dvě
vým
výměra
troj
trojúhelníka,
helníka, když
když zná
zn
známe
dvě strany bb,, c a
jimi sevř
řený úúhel
hel α :
sev
sevřený
2 P  b  c  sin 
GEODÉZIE
→ ROZKLADEM NA
JEDNODUŠŠÍ
JEDNODUŠŠÍ
OBRAZCE
◘ výmě
ěra trojú
úhelní
áme stranu c a
vým
výměra
troj
trojúhelníka,
helníka, když
když zná
zn
známe
ppřilehlé
řilehlé
hly α a ββ::
ilehlé úúhly
2 P  c  v  c  a  sin  
 c
c  sin 
sin   sin 
 sin   c 2 
sin    
sin    
6. PŘEDNÁŠKA
LETNÍ 2010
URČ
URČOVÁ
OVÁNÍ PLOŠ
PLOŠNÝCH OBSAHŮ
OBSAHŮ
VÝPOČ
VÝPOČET
ČET PLOŠ
PLOŠNÉHO
ŠNÉHO OBSAHU LICHOBĚŽ
LICHOBĚŽNÍKA
ĚŽN
NÍKA
VÝPO
PLO
LICHOB
→ ROZKLADEM NA
JEDNODUŠŠÍ
JEDNODUŠŠÍ
OBRAZCE
◘ výmě
ěra trojú
úhelní
áme vš
šechny strany aa,,
vým
výměra
troj
trojúhelníka,
helní ka, když
když zná
zn
známe
vvšechny
bb,, c :
s  s  a   s  b   s  c 
P
... Heronů
Heronův vzorec
,
2 P   d1  d 2  .v
abc
kde s 
2
URČ
URČOVÁ
OVÁNÍ PLOŠ
PLOŠNÝCH OBSAHŮ
OBSAHŮ
2 P   v1  v2  .d
URČ
URČOVÁ
OVÁNÍ PLOŠ
PLOŠNÝCH OBSAHŮ
OBSAHŮ
→ ZE SOUŘ
SOUŘADNIC
ŘADNIC
SOU
VÝPOČ
VÝPOČET
ČET PLOŠ
PLOŠNÉHO
ŠNÉHO OBSAHU OBECNÉ
OBECNÉHO
ÉHO
VÝPO
PLO
OBECN
Č
ČTYŘÚHELNÍKA
TYŘ
TYŘÚHELNÍ
HELNÍKA
◘ Urč
čová
ěr z polá
ární
ř adnic
Ur
Určování
ování výmě
vým
výměr
pol
polárních
rních souř
sou
souřadnic
◘ Urč
čová
ěr z pravoú
úhlých souř
řadnic
Ur
Určování
ování výmě
vým
výměr
pravo
pravoúhlých
sou
souřadnic
2 P  b.  v1  v2 
URČ
URČOVÁ
OVÁNÍ PLOŠ
PLOŠNÝCH OBSAHŮ
OBSAHŮ
URČ
URČOVÁ
OVÁNÍ PLOŠ
PLOŠNÝCH OBSAHŮ
OBSAHŮ
→ ZE SOUŘ
SOUŘADNIC
ŘADNIC
SOU
Z POLÁ
POLÁRNÍCH
ÁRNÍ
SOUŘADNIC
ŘADNIC – ppól
ól uvnitř
POL
RNÍCH SOUŘ
SOU
uvnitř obrazce
◘ Urč
čová
ěr z polá
ární
ř adnic
Ur
Určování
ování výmě
vým
výměr
pol
polárních
rních souř
sou
souřadnic
2 P  s1  s 2  sin  1  s 2  s3  sin  2  s3  s 4  sin  3
n
2 P   si  si 1  sin  i
i 1
P
GEODÉZIE
1 n
 d i1.d i .sin  i1  i 
2 i 1
6. PŘEDNÁŠKA
LETNÍ 2010
URČ
URČOVÁ
OVÁNÍ PLOŠ
PLOŠNÝCH OBSAHŮ
OBSAHŮ
→ ZE SOUŘ
SOUŘADNIC
ŘADNIC
SOU
URČ
URČOVÁ
OVÁNÍ PLOŠ
PLOŠNÝCH OBSAHŮ
OBSAHŮ
→ ZE SOUŘ
SOUŘADNIC
ŘADNIC
SOU
◘ Urč
čová
ěr z ppravoúhlých
ravoú
řadnic
Ur
Určování
ování výmě
vým
výměr
ravoúhlých souř
sou
souřadnic
◘ Urč
čová
ěr z ppravoúhlých
ravoú
řadnic
Ur
Určování
ování výmě
vým
výměr
ravoúhlých souř
sou
souřadnic
2 P   x1  x 2    y1  y 2    x2  x 3    y 2  y3    x3  x 4    y3  y 4   x 4  x1    y 4  y1 
n
Obecně
Obecně:
2 P    xi  xi1    yi  yi 1 
i 1
n
Kontrolně
Kontrolně:
2 P    yi  yi 1   x1  xi 1 
i 1
P  P1221  P2332  P3443  P1441
2 P   x1  x 2    y1  y 2    x2  x 3    y 2  y3    x3  x 4    y3  y 4   x 4  x1    y 4  y1 
URČ
URČOVÁ
OVÁNÍ PLOŠ
PLOŠNÝCH OBSAHŮ
OBSAHŮ
URČ
URČOVÁ
OVÁNÍ PLOŠ
PLOŠNÝCH OBSAHŮ
OBSAHŮ
→ ZE SOUŘ
SOUŘADNIC
ŘADNIC
SOU
◘ Urč
čová
ěr z ppravoúhlých
ravoú
řadnic
Ur
Určování
ování výmě
vým
výměr
ravoúhlých souř
sou
souřadnic
2 P   x1  x 2    y1  y 2    x2  x 3    y 2  y3    x3  x 4    y3  y 4   x 4  x1    y 4  y1 
→ Z MAP A PLÁ
PLÁNŮ
ÁNŮ
PL
GRAFICKY
Vyná
Vynásobení
sobením a vytknutí
vytknutím x :
2 P  x1   y2  y4   x2   y3  y1   x3   y 4  y 2   x4   y1  y3 
n
2 P   xi   yi1  yi 1 
i 1
Vyná
Vynásobení
sobením a vytknutí
vytknutím y :
2 P  y1  x4  x2   y2  x1  x3   y3  x2  x4   y 4  x3  x1 
n
… L´Huilierovy vzorce
2P   yi  xi 1  xi 1 
◘ Nitkový planimetr
◘ Polá
ární
Pol
Polární
rní planimetr
◘ Elektronický planimetr
n
P  v  b1  b2  b3  ....  bn   v  bi
i 1
i 1
URČ
URČOVÁ
OVÁNÍ PLOŠ
PLOŠNÝCH OBSAHŮ
OBSAHŮ
Deskový planimetr
→ Z MAP A PLÁ
PLÁNŮ
ÁNŮ
PL
◘ Polá
ární
Pol
Polární
rní planimetr
Vozíkový planimetr
GEODÉZIE
6. PŘEDNÁŠKA
LETNÍ 2010
Digitální planimetry
Digitální planimetry
SOKKISHA Placom KP-80 N
SOKKISHA Placom KP – 92 N
Digitalizátory
Digimetr DMB
Digimetr DMC
Kartometr A/2M
Digitalizátory sa podle druhu snímání souřadnic dělí na:
1.Polární.
2.Pravoúhlé.
Skenery
Skenery - Scanners
Skener – poloautomatická konverze
Karto Scan FB III.
• Denzita (optická hustota) udáva stupeň odolnosti
vůči proniknutí světla.
• Čím je materiál tmavší, tím víc světlo pohlcuje a tí je
větší jeho denzita.
GEODÉZIE
6. PŘEDNÁŠKA
LETNÍ 2010
Přesnost určení plošných obsahů
Plošný skener - Skener PlanScan - 3
P  x. y
Aktivní plocha 800x600 mm.
Geometrická přesnost 0,10 mm.
Optické rozlišení 400 dpi.
Podporuje skenování do TIFF, BMP a DIP formátov.
Srážka papíru
mp 
mp 
y 2 m x2  x 2 m y2
n
1
2
2
m   xi 1  xi    yi 1  yi 
2 xy 
i 1
d i2,i1
n
1
m p  m xy
2
d
2
i, i1
i 1
Srážka papíru
PRŮ
PRŮMĚRNÁ
RNÁ DÉLKOVÁ
LKOVÁ SRÁ
SRÁŽKA
DÉLKOVÁ
LKOVÁ
SRÁ
SRÁŽKA
m  m'
m
q%
x  x' x'
100
q%  100 
n  n'
n
r% 
y  y' y '
100
r %  100 
1
m '   m1'  2  m2'  m3' 
4
Srážka papíru
2
1
n '   n1'  2  n2'  n3' 
4
2
d '  a'  b'
DÉLKOVÁ
LKOVÁ SRÁ
SRÁŽKA PŘ
PŘÍMKY V OBECNÉ
OBECNÉ POLOZE
r%
q% 
a  a ' a '
b  b'b'
100
100
kde
 s%
d '  d  1 

 100 
potom
 r% 
a '  a  1 

 100 
2
d 2  a 2  b2
2
2
 q%
b '  b  1 

 100 
s% 
r % 
q% 
2 
2 
d 2  1 
  a  1 
  b  1 

 100 
 100 
 100 
2
2
d  d'
s%  100 
d
s% 
q%
2
2
2 r %
d 2  1  2 
 2  b2
  a b  2a
100 
100
100

d 2  a 2  b2
2
s% 
2 a 2  r%  b 2  q%

2
d 2  1  2 


  d 1 
100 
a 2  b2

 100

GEODÉZIE
6. PŘEDNÁŠKA
LETNÍ 2010
s% 
s% 
a 2  r%  b 2  q% 
a 2  b2
a2
b2
 r%  2  q%  r%  sin    q%  cos 
d2
d
Srážka papíru
PLOŠ
PLOŠNÁ SRÁ
SRÁŽKA
P '  m '  n'
P  mn
d mm
'
v  n  n'
S m2   P  P '
 m  n  n  v   m  d 
 mv  nd  vd
S m2   m  v  n  d
Srážka papíru
Srážka papíru
PLOŠ
PLOŠNÁ SRÁ
SRÁŽKA v % ..........př
..........příklad
PLOŠ
PLOŠNÁ SRÁ
SRÁŽKA v %
P  mn
 q% 
m  m '  1 

100 

 r% 
n  n '  1 

 100 
 q%   r % 
P  m  n '  1 
  1 

 100   100 
P  P'  P' 
q%   r% 
100
q%  r%  p%
p%
PP P 
 P '  P
100
'
'
HEKTA
HEKTAROVÁ
ROVÁ SRÁ
SRÁŽKA
Průměrná srážka mapového listu v [m2], který připadá na 1 ha
S m2 
Pm2 
  m2  
d v d v
 
m n m n
d v

m n
d  v 1 d  v 1 d  v 1 d 2 1 v2
 
 
 
 
m  n 2 m  n 2 m  n 2 m 2 2 n2
 m2  
GEODÉZIE
n  50,00 cm (1000,00 m)
m'  62,32 cm (12 46,40 m)
m - m'  0,18 cm (3,60 m)
n'  49,84 cm (996,80 m)
n - n'  0,16 cm (3,2 m)
q%  100 
m  m'
3,60
 100 
 0, 288%
m
1250,00
r %  100 
n  n'
3,20
 100 
 0,320%
n
1000,00
p%  q%  r%   0,608%
p%
0,608
 7542 m 2  7542 m 2 

100
100
2
2
2
 7542 m  46 m  7588 m
P  P '  P' 
URČ
URČOVÁ
OVÁNÍ OBJEMŮ
OBJEMŮ
Srážka papíru
Sm2   10000 
m  62,50 cm (12 50,00 m)
d
d2
v
v2

 
m 2  m2 n 2  n2
d 
d 
v 
v 
 1 
  10000   1 
  A B
m  2m
n  2n
T
Těleso
ěleso rozdě
rozdělíme
ělíme na menší
ásti tak, abychom tyto
rozd
menší ččásti
ččásti
ásti mohli vypoč
vypočítat
č ítat podle vzorců
vypo
vzorců platných pro
pravidelná
ělesa. Rozdě
Rozdělení
ělení
ělesa můž
můžeme
ůžeme
eme
pravidelná ttělesa.
Rozd
lení ttělesa
m
prové
provést
ést dvě
dvěmi
ěmi způ
způsoby:
ůsoby:
prov
dv
zp
◘ ttěleso
ěleso rozdě
ělíme soustavou rovnoběž
ěžných
ných
rozd
rozdělíme
rovnob
rovnoběžných
rovin, dostaneme tak vrstvy
◘ ttěleso
ěleso rozdě
ělíme dvě
ěma soustavami na sebe
rozd
rozdělíme
dv
dvěma
kolmých rovnoběž
ěžných
ných rovin, dostaneme tak
rovnob
rovnoběžných
ččtyřboké
tyř
tyřboké
boké hranoly
6. PŘEDNÁŠKA
LETNÍ 2010
URČ
URČOVÁ
OVÁNÍ OBJEMŮ
OBJEMŮ
◘ ttěleso
ěleso rozdě
ělíme soustavou rovnoběž
ěžných
ných
rozd
rozdělíme
rovnob
rovnoběžných
rovin, dostaneme tak vrstvy
URČ
URČOVÁ
OVÁNÍ OBJEMŮ
OBJEMŮ
◘ ttěleso
ěleso rozdě
ělíme soustavou rovnoběž
ěžných
ných
rozd
rozdělíme
rovnob
rovnoběžných
rovin, dostaneme tak vrstvy
→ lichoběž
ěžn
níkový vzorec
lichob
lichoběžníkový
→ vzorec komolé
ého kuž
ž ele
komol
komolého
ku
kužele
Vi 
Si  S i1
v
2
URČ
URČOVÁ
OVÁNÍ OBJEMŮ
OBJEMŮ
◘ ttěleso
ěleso rozdě
ělíme soustavou rovnoběž
ěžných
ných
rozd
rozdělíme
rovnob
rovnoběžných
rovin, dostaneme tak vrstvy
→ simpsonů
ův vzorec
simpson
simpsonův
S  4 S i  S i 1
Vi  i1
v
3
URČ
URČOVÁ
OVÁNÍ OBJEMŮ
OBJEMŮ
◘ Celkový objem je pak souč
čtem objemů
ílčích
sou
součtem
objemů ddílčích
vrstev a zbytkové
ého tě
ělesa:
zbytkov
zbytkového
ttělesa:
Vi 
S i  Si 1  Si  S i1
v
3
URČ
URČOVÁ
OVÁNÍ OBJEMŮ
OBJEMŮ
◘ objem zbytkových tě
ěles vypoč
čítáme podle
ttěles
vypo
vypočítáme
vzorce pro pravidelné
ěleso, které
ému se
pravidelné ttěleso,
kter
kterému
zbytkový objem blí
íží:
bl
blíží:
→ paraboloid
Vk 
S
v
2
→ kuž
ž el
ku
kužel
Vk 
S
v
3
→ kulová
kulová výseč
výseč
Vk 
2S
v
3
Výpočet objemů z profilů:
n
V   Vi  Vk
i 1
Vi 
d
( Pi  Pi 1 )
2
Presnú hodnotu objemu určíme:
Vi 
GEODÉZIE
d
( Pi  Pi 1  Pi .Pi 1 )
3
6. PŘEDNÁŠKA
URČ
URČOVÁ
OVÁNÍ OBJEMŮ
OBJEMŮ
◘ ttěleso
ěleso rozdě
ělíme dvě
ěma soustavami na sebe
rozd
rozdělíme
dv
dvěma
kolmých rovnoběž
ěžných
ných rovin, dostaneme tak
rovnob
rovnoběžných
ččtyřboké
tyř
tyřboké
boké hranoly
LETNÍ 2010
URČ
URČOVÁ
OVÁNÍ OBJEMŮ
OBJEMŮ
◘ Objem ččtyřbokých
tyř
čítá podle
tyřbokých hranolů
hranolů se vypoč
vypo
vypočítá
i
i
i
i
vzorce:
vv v v
Vi 
1
2
3
4
4
 Si
◘ Celkový objem je pak souč
čtem objemů
ílčích
sou
součtem
objemů ddílčích
n
hranolů
ů:
hranol
hranolů:
V   Vi
i 1
GEODÉZIE