Přepis 5. cvičení

5. hodina - V&PL - Josef Mlček
Martin Všetička
16.11.2008
Řešenı́ úkolu z minula
Necht’ P, Q jsou n-árnı́ predikáty. Dokažte následujı́cı́ tvrzenı́:
1.
2.
( P ñ( Q
(P ÑQ
Důkaz. Obě řešenı́ lze řešit celkem jednoduchou úvahou:
1. Tvrzenı́ ukážeme tı́m, že dokážeme, že platı́:
☼ Pozorovánı́:
*P
1
Důkaz. Ukážeme, že platı́: M, P n ¡( P res. Hledáme tedy takovou
n-tici, pro kterou bude platit: P M ˆ M n . Tu však najı́t umı́me, je to:
pa1 , . . . , an q P M n zP M . Pro každý predikát tedy dokážeme najı́t ohodnocenı́ e, při kterém nenı́ splněn (predikát je atomická formule - viz definice
pravdivosti formule podle Tarskiho).
Předpoklad implikace nenı́ pravdivý, tedy celé tvrzenı́ je pravdivé podle
pravdivostnı́ tabulky implikace.
O Přı́klad:
Mějme universum (doménu) M, takto: M t1, 2, 3u
Binárnı́ predikát P na universu M definujme takto: P M tp1, 2qu
Pak M, P M ¡( P , protože existujı́ dvojice z universa M, která neležı́ v P M
(např. p1, 3q a p2, 3q)
2.
(P ÑQ
Tvrzenı́ obecně pravdivé nenı́, jelikož existuje ohodnocenı́ e takové, že
P Û Q (viz tvrzenı́ 1). Pokud by ale predikáty měly vlastnost uvedenou
na pravé straně násl. ekvivalence, pak tvrzenı́ platı́.
1
( A :ô pro každé M a e je M ( Ares (symbol :ô se čte jako ”je definováno”)
1
M, P M , QM ¡( P Ñ Q
ô
PM
„ QM „ M n
Isomorfismus
Uvažujme množiny X, Y , které majı́ uspořádánı́ R, S. Izomorfismus v tomto
přı́padě znamená, že pokud je a, b P X, a ¤R b , pak musı́ být F paq ¤S F pbq.
Množina všech přirozených čı́sel a množina všech sudých čı́sel jsou izomorfnı́
vzhledem k uspořádánı́ (uspořádánı́ jakožto pojem) podle funkce F pxq 2.x.
Pozn: Dá se snadno ukázat, že tento izomorfismus musı́ zobrazit nejmenšı́
prvek opět na nejmenšı́ prvek, infimum na infimum, minimálnı́ prvek na minimálnı́
prvek. . .
Definice: M M 1 právě když M a M 1 majı́ stejné sentence. Řı́káme také, že
M a M 1 jsou elementárně ekvivalentnı́.
M 1 ñ M M 1 (opačná implikace zcela jistě neplatı́)
Necht’ M M 1 ñ M M 1 a M je konečná. Pak |M 1 | |M |
Věta: M
Věta:
Důkaz. Existuje sentence vyjadřujı́cı́: ”existuje právě k prvků”???
Jazyk hustého lineárnı́ho uspořádánı́
Tn v jazyce t u tak, že M pTn q (???), n-prvkové lin. uspořádánı́ ???
axiomy lineárnı́ho uspořádánı́:
1.
2.
3.
4.
px xq
x y Ñ py xq
x y ay zÑx z
x y _ x y _ x z (axiom trichotomie)
Axiom hustoty uspořádánı́ (DeLo - husté lineárnı́ uspořádánı́ bez konců):
5. x y
Ñ pDzqpx z yq (axiom hustoty uspořádánı́)
Přı́klady DeLo
•
•
Q, ¡( DeLo
R, ¡( DeLo
2
DÚ: Dokažte syntakticky
1.
$ p@xqA Ø p@yqAx rys, pokud y nenı́ volná v A (tj. y je substitovatelná za
x do A)
2.
3.
4.
$ pA Ñ p@xqB q Ñ p@xqpA Ñ B q, pokud x nenı́ volná v A.
$ pA Ñ pDxqAq Ñ pDxqpA Ñ B q, pokud x nenı́ volná v A.
Dokažte si: ( p@xqA Ñ Ax rts
3