Elektro-optický jev (Pockelsův jev) v krystalu LiNbO3 v příčném

Petr Koranda, KFE FJFI ČVUT
14.5.2004
Elektro-optický jev (Pockelsův jev) v krystalu LiNbO3
v příčném uspořádání
Pro elektro-optické Q-spínání Er:YAG laseru byla použita Pockelsova cela
zařazená do rezonátoru mezi laserový krystal a zadní zrcadlo rezonátoru. Hlavní částí
Pockelsovy cely byl nelineární krystal LiNbO3, jehož obě čela byla skosena
pod Brewsterovým úhlem pro záření o vlnové délce λ = 2.94 µm. Délka krystalu byla
26 mm, řez krystalu rovinou kolmou na směr šíření paprsku krystalem měl rozměry
7.5 mm a 8.0 mm. Řez krystalu a jeho orientace v rezonátoru byla volena tak, aby se
paprsek šířil v krystalu podél jeho optické osy. Důležitým parametrem nelineárního
elektro-optického prostředí je hodnota půlvlnného napětí. V následující kapitole je
teoreticky popsán elektro-optický efekt v daném krystalu LiNbO3 a vypočítána
hodnota půlvlnného napětí Uπ.
Obr. 0. Schéma λ/4 uspořádání pro Q-spínání využívající příčného
elektro-optického jevu.
Systém hlavních os ( x, y, z ) krystalu LiNbO3 v příčném řezu a směr elektrického
pole působícího na krystal po přiložení napětí je uveden na následujícím obrázku.
Obr. 1. Krystal LiNbO3 (příčný řez vzhledem k procházejícímu paprsku) a směr
elektrického pole vzhledem k systému hlavních os.
Z uvedeného Obr. 1 jsou zřejmé složky vektoru vnějšího elektrického pole
r
působícího na krystal po přiložení napětí ve směru osy x: Ex = E neboli E = ( E , 0, 0 ) .
Optická osa krystalu je ve směru osy z, v daném experimentálním uspořádání
Pockelsovy cely se laserový svazek šíří ve směru optické osy z.
Pokud není na krystalu LiNbO3 přiloženo napětí, jsou hlavní indexy lomu krystalu
v uvedeném systému hlavních os ( x, y, z ) :
nx = n y = no , kde no je řádný index lomu,
nz = ne , kde ne je mimořádný index lomu.
Pokud na krystal není přiloženo napětí, je rovnice optické indikatrix v uvedeném
systému hlavních os ( x, y, z ) rovnicí rotačního elipsoidu:
x2 y 2 z 2
+
+
=1
no2 no2 ne2
(1)
Pokud je na krystal přiloženo napětí v uvedeném směru (na krystal působí
elektrické pole ve směru osy x), bude mít rovnice optické indikatrix v původním
systému os ( x, y, z ) tvar:
 1
 2  1
 2  1
 2
 2 + ∑ r1k Ek  x +  2 + ∑ r2 k Ek  y +  2 + ∑ r3k Ek  z +
k
k
k
 n0

 n0

 ne

+2 yz ∑ r4 k Ek + 2 xz ∑ r5k Ek + 2 xy ∑ r6 k Ek = 1 , k = 1, 2,3
k
k
(2)
k
Pro krystal LiNbO3 (grupa symetrie 3m) má elektro-optický tenzor tvar:
 0 − r22 r13 
0 r
r13 
22

 0 0 r33 
rqk = 
(3)

 0 r51 0 
 r51
0 0


 − r22 0 0 
kde rqk jsou elektro-optické koeficienty (prvky elektro-optického tenzoru).
Rovnice optické indikatrix krystalu má po dosazení nenulových elektro-optických
koeficientů tvar:
 1  2  1  2  1  2
(4)
 2  x +  2  y +  2  z + 2 xz ( r51 E ) + 2 xy ( − r22 E ) = 1 .
 no 
 no 
 ne 
Pro posouzení šíření záření různých typů polarizace podél osy z (optické osy krystalu)
je rozhodující tvar a poloha řezu optické indikatrix rovinou kolmou na směr šíření,
tedy osu z. Tento řez je možno získat z předchozí rovnice dosazením z = 0 :
 1  2  1 2
(5)
 2  x +  2  y + 2 ( −r22 E ) xy = 1 .
 no 
 no 
Z tohoto vztahu je zřejmé, že původní systém os ( x, y ) už není systémem hlavních os
(v důsledku přítomnosti sčítance 2 ( − r22 E ) xy ). Přítomné elektrické pole tedy
způsobilo rotaci řezu optické indikatrix rovinou z = 0 v rovině ( x, y ) . Pro získání
tvaru uvedeného řezu v systému nových hlavních os ( x´, y´) použijeme transformaci
rotace kartézského systému souřadnic o úhel ϕ v rovině, kterou dosadíme do původní
rovnice. Rovnice uvedené transformace rotace jsou:
x = x´.cos ϕ + y´.sin ϕ ,
y = y´.cos ϕ − x´.sin ϕ .
(6)
Obr. 2. Rotace systému hlavních os.
Předpokládejme, že systém os ( x´, y´) je nový systém hlavních os pro uvedený řez.
Uvedené transformační vztahy dosadíme do původní rovnice:
 1
 1
2
2
 2  ( x´.cos ϕ + y´.sin ϕ ) +  2  ( x´.cos ϕ − y´.sin ϕ ) −
 no 
 no 
−2r22 E ( x´.cos ϕ + y´.sin ϕ )( y´.cos ϕ − x´.sin ϕ ) = 1 .
Po algebraických úpravách (umocnění a roznásobení) získáme:
 1 2
2
2
2
 2  ( x´ .cos ϕ + 2 x´ y´.sin ϕ .cos ϕ + y´ .sin ϕ ) +
 no 
 1
+  2  ( y´2 .cos 2 ϕ − 2 x´ y´.sin ϕ .cos ϕ + x´2 .sin 2 ϕ ) −
 no 
−2 ( r22 E ) ( x´ y´.cos 2 ϕ − x´2 .sin ϕ .cos ϕ + y´2 .sin ϕ .cos ϕ − x´ y´.sin 2 ϕ ) = 1 .
(7)
(8)
Protože jsme předpokládali, že systém os ( x´, y´) je systém hlavních os pro uvedený
řez, musí mít rovnice uvažovaného řezu v tomto systému os tvar:
x´2 y´2
+
= 1,
(9)
n´2x n´2y
a proto uvedenou rovnici dále upravíme, abychom získali odpovídající tvar:
 1 

 1
x´2  2  .cos 2 ϕ +  2  .sin 2 ϕ + 2r22 E.sin ϕ .cos ϕ  +
 no 
 no 

 1 

 1
+ y´2  2  .sin 2 ϕ +  2  .cos 2 ϕ − 2r22 E.sin ϕ .cos ϕ 
 no 
 no 

2
2
- x´ y´ 2r22 E ( cos ϕ − sin ϕ )  = 1 .
(10)
Pro další úpravy využijeme obecné vztahy mezi goniometrickými funkcemi:
sin 2 α + cos 2 α = 1; 2.sin α .cos α = sin 2α ; cos 2 α − sin 2 α = cos 2α
a dostaneme tvar rovnice:
(11)
 1 

 1 

(12)
x´2  2  + r22 E.sin 2ϕ  + y´2  2  − r22 E.sin 2ϕ  - x´ y´ 2r22 E ( cos 2ϕ )  = 1 .
 no 

 no 

Protože systém os ( x´, y´) je podle předpokladu systém hlavních os, musí být
v předchozí rovnici (12) poslední sčítanec na levé straně rovnice (resp. jeho
koeficient) nulový:
(13)
 2r22 E ( cos 2ϕ )  = 0 .
Protože r22 ≠ 0 a E ≠ 0 , musí platit ( cos 2ϕ ) = 0 .
(14)
Tato rovnice má řešení (v prvním kvadrantu) 2ϕ = 90° , tedy ϕ = 45° .
Protože platí sin ( 90° ) = 1 , rovnice řezu optické indikatrix rovinou z = 0 v systému
hlavních os ( x´, y´) bude mít tvar:
 1 

 1 

(15)
x´2  2  + r22 E  + y´2  2  − r22 E  = 1 .
n
n
 o 

 o 

Uvedená rovnice je rovnice elipsy v systému hlavních os ( x´, y´) .
Pro znázornění uvedené elipsy (řezu optické indikatrix) uvažujeme příslušný
nenulový elektro-optický koeficient pro krystal LiNbO3: r22 = 3.4 × 10−12 m / V .
Hodnotu intenzity elektrického pole vzniklého v krystalu v důsledku přiložení napětí
U na elektrody krystalu vzdálené od sebe o vzdálenost d lze vyjádřit:
U
E= .
(16)
d
Směr vektoru intenzity vnějšího elektrického pole je rovnoběžný se směrem
přiloženého napětí.
Obr. 3.
Řez optické indikatrix
rovinou z = 0, pokud není
na krystal přiloženo napětí.
Obr. 4.
Řez optické indikatrix
rovinou z = 0, pokud je
na krystal přiloženo napětí.
Velikost indukovaného fázového zpoždění δ mezi složkami světelného pole
šířícími se podél osy z a polarizovanými ve směru indukovaných hlavních os x´, y´ je:
2π
δ=
.L. ( n´x − n´y ) ,
(17)
λ0
λ0
je vlnová délka procházejícího záření
L
je geometrická délka prostředí (krystalu), kterým záření prochází.
Pro indukované hlavní indexy lomu platí vztahy:
1 1 + r22 .no2 .E
1
=
, resp. n´x = no .
,
2
2
n´x
no
1 + r22 .no2 .E
1 1 − r22 .no2 .E
1
=
, resp. n´y = no .
.
2
2
n´y
no
1 − r22 .no2 .E
Dále použijeme rozvoj výrazu pomocí řady a aproximace:
Pro malé ∆ splňující podmínku ∆ = 1 lze použít aproximaci:
1
≈ 1m ∆ .
2
V uvedeném konkrétním příkladě krystalu LiNbO3 platí:
r22 = 3.4 × 10−12 m / V ,
n0 = 2.1648 pro záření o vlnové délce 2.94 µm,
(1 ± ∆ )
−1/ 2
(18)
(19)
(20)
λ0 = 2.94 µ m .
U
je pro d = 7.5 mm a aplikované napětí
d
do U ≈ 4kV maximálně E ≤ 5.3 × 105 V / m .
Hodnota výrazu ∆ = r22 .no2 .E je tedy pro uvažovaný rozsah napětí ∆ ≤ 8.4 ×10 −6 .
Velikost intenzity elektrického pole E =
Pro uvedený příklad je tedy splněna podmínka ∆ = 1 a lze použít aproximaci
1
≈ 1 m ∆ . Poté lze vyjádřit vztahy (18) a (19) ve tvaru:
2
1


(21)
n´x ≈ no . 1 − .r22 .no2 .E  ,
 2

 1

(22)
n´y ≈ no . 1 + .r22 .no2 .E  .
 2

Velikost indukovaného fázového zpoždění mezi složkami světelného pole (17) je
tedy dána vztahem:
2π
2π
δ=
.L. ( n´x −n´y ) =
.L.r22 .no3 .E .
(23)
λ0
λ0
Velikost intenzity elektrického pole indukovaného v krystalu o tloušťce d (vzdálenost
U
elektrod) po přiložení napětí U je vyjádřena vztahem (16): E = .
d
Výsledný výraz pro velikost indukovaného fázového zpoždění mezi složkami
světelného pole po průchodu daným nelineárním elektro-optickým prostředím je:
2π .no3 .r22 L
δ=
. .U .
(24)
d
λ0
Jak bylo řečeno v úvodu kapitoly, důležitým materiálovým parametrem elektrooptického krystalu je hodnota půlvlnného napětí U π . Je to hodnota napětí, které
po přiložení na krystal indukuje fázové zpoždění mezi složkami světelného pole právě
δ = π . Uvažujeme-li δ = π , je hodnota půlvlnného napětí dána modifikací
předchozího vztahu:
(1 ± ∆ )
−1/ 2
λ0
d
. .
3
2.no .r22 L
Pro daný krystal LiNbO3 použitý v Pockelsově cele pro Q-spínání platí:
λ0 = 2.94 ×10 −6 m,
Uπ =
(25)
d = 7.5 ×10 −3 m,
n0 = 2.1648,
(26)
r22 = 3.4 ×10−12 mV −1 ,
L = 26.0 ×10 −3 m.
Hodnota půlvlnného napětí pro daný krystal LiNbO3 je tedy podle vztahu (25):
Uπ = 12294 V.
Hodnota napětí potřebného pro λ/4 uspořádání Pockelsovy cely s daným krystalem
LiNbO3 je rovna polovině hodnoty půlvlnného napětí, tedy:
Uπ/2 = 6147 V.
Použitý krystal LiNbO3 je možno na základě provedených výpočtů považovat
za lineární fázovou destičku s hlavními osami x´a y´ otočenými o úhel 45° vůči
krystalografickým osám x a y (osa x je ve vertikálním směru v rovině kolmé na osu
procházejícího svazku). Hodnota fázového zpoždění δ paprsků s různými
polarizacemi a tedy velikost dvojlomu je pro dané geometrické uspořádání funkcí
pouze přiloženého vysokého napětí. Čela krystalu skosená pod Brewsterovým úhlem
se chovají jako částečné polarizátory umístěné na obou stranách této fázové destičky.