Finanční management Zabezpečená pozice Určení ceny opce
Transkript
Finanční management Zabezpečená pozice Určení ceny opce
Finanční management • Máme-li dvě finanční aktiva - akcie a opci na tyto akcie - můžeme dosáhnout bezrizikové zabezpečené pozice. Změna ceny jednoho aktiva je doprovázena opačnou změnou ceny druhého. Mějme evropskou opci na koupi akcie, které nevyplácejí žádné dividendy, dohodnutý termín je 6 měsíců. Nejsou žádné transakční náklady na koupi či prodej opce a akcií. Předpokládejme bezrizikový výnos r (např. státní obligace). Zabezpečená pozice Cena opce, parita kupní a prodejní opce, Black-Scholesův vzorec, reálné opce • Potom je očekávaná hodnota akcie : 2 / 3 * 1,2 * 50 + 1 / 3 * 0,9 * 50 = 55 Kč. • A očekávaná hodnota opce : 2 / 3 * 10 + 1 / 3 * 0 = 6,67 Kč. • Zabezpečenou pozicí můžeme v tomto případě dosáhnout tím, že koupíme akcie a vypíšeme opce. Cílem je dosáhnout bezrizikovou pozici. Příslušný poměr mezi počtem akcií a opcí je X * uS – Y * uV0 = X * dS – Y * dV0 odtud X / Y = (uV0 – dV0) / (uS – dS) • Hedge ratio = (uV0 – dV0) / (uS – dS) = (10 – 0) / (60 – 45) = 2 / 3, kde X je počet akcii a Y je počet opcí. • Předpokládejme, že na konci šestiměsíčního období jsou dva možné stavy okolí. V jednom stavu je cena akcie vyšší než současná, označíme uS, ve druhém je cena nižší a to dS. S představuje současnou cenu akcie, u =1 + % zvýšení ceny akcie od počátku do konce období a d = 1 - % snížení ceny akcie od počátku do konce období. Pravděpodobnost, že se cena akcie zvýší o 20 % je q např. 2/3, pravděpodobnost, že se sníží o 10 % je 1 - q. Dále předpokládejme, že úrok ze státních obligací na 6 měsíců je 5 % a dohodnutá cena z opce je 50 Kč ≡ Vs. • Za předpokladu nulových transakčních nákladů bude naše pozice na konci období vypadat takto (máme např. dvě akcie a tři opce): Cena akcie na konci období Cena volné pozice v akciích Cena těsné pozice v opcích Hodnota kombinovaného držení 60 2*60 = 120 -3 * 10 = - 30 90 45 2*45 = 90 -3 * 0 = 0 90 • Skutečně nezávisle na ceně akcií je naše hodnota kombinovaného držení stejná. Pozn.: Procentní snížení a zvýšení ceny akcie u a d musí být větší než bezrizikový výnos. Určení ceny opce • Výnos výše uvedené dokonale zabezpečené pozice je závislý na prémii, kterou za opci zaplatíme eventuelně obdržíme. Protože uvedené držení je bezrizikové, na dokonale fungujícím kapitálovém trhu nemůže mít výnos jiný, než je tzv. bezrizikový výnos. V našem případě by výnos měl být roven 5 %, tj. úroku státních obligací. Víme, že konečná hodnota zabezpečené pozice je 90 Kč (za 6 měsíců! ) a dále, že vydáme 100 Kč na nákup dvou akcií. Ovšem také na počátku období obdržíme prémie za tři vypsané opce. Jaký je čistý výnos této transakce? Použijeme srovnání pomocí NPV, máme totiž různodobé peněžní toky. Označíme si prémii za opce VoB. Jako diskontní míru musíme použít 5 %! • 100 – 3 * P – 90 / 1,05 = 0 • P = (105 – 90) / 3,15 = 4,762 • Tak je počáteční investice 100 – 3 * 4,762 = 85,714 Kč a výnos je 90 / 85,714, což je 5 %. Samozřejmě, že dvě různé investice se stejným rizikem by měly mít stejný výnos. Pozn.: Očekávaný výnos akcie je (55 – 50) / 50 = 10 % • Protože očekávaná hodnota akcie je 55 Kč na konci období a očekávaný výnos opce je (6,667 - 4.762) / 4,762 = 40 %, kde 6,667 je očekávaná hodnota opce. Očekávaný výnos opce je tedy vyšší než u akcie, na kterou je tato opce vypsána, ale to odpovídá vyššímu riziku spojenému s opcí. Důležité je, že když je prémie za opci stanovena korektně, je výnos zabezpečené pozice roven bezrizikovému výnosu. 1 Tendence pro korektní cenu za opci • Co se stane, když cena za opci (prémie) bude na počátku období odlišná od námi spočítané ceny 4,762 Kč? Např. bude-li prémie za opci rovna 5 Kč? Jako racionální investor si okamžitě půjčíme peníze za bezrizikový úrok 5 % a investujeme do zabezpečené pozice. Náš výnos za 6 měsíců je [90 - (100 - 3 * 5)] / (100 - 3*5) = 5,88 %. • A protože výnos bezrizikové pozice je vyšší než náklady na vypůjčení peněz, půjčíme si co nejvíce a budeme očekávat čistý zisk. Musíme však prodávat opce a tak zvýšíme jejich nabídku na trhu, jejich cena v důsledku toho bude klesat. Naopak, bude-li opce podhodnocena, řekněme za 4,50 Kč, koupíme opce, prodáme ihned nakrátko akcie a investujeme hotovost do státních obligací. Na počátku období máme: Black – Scholesův vzorec • Jsou známé krátkodobé úrokové míry, které jsou konstantní. • Ceny akcií jsou naprosto náhodné, mění se spojitě v čase s rozptylem výnosů, který je úměrný druhé mocnině ceny. Potom je distribuční funkce očekávaných cen akcie pro každý konečný časový interval lognormální s konstantní hustotou pravděpodobnosti. • Z akcie nejsou vypláceny žádné dividendy ani jiné výnosy. • Opce je evropského typu. • Transakční náklady jsou nulové. • Je možné si vypůjčit jakoukoliv částku pro koupi cenného papíru či jeho zlomku za krátkodobou úrokovou míru. • Krátkodobé prodeje nejsou nijak omezeny. Prodávající, který nevlastní příslušný cenný papír, obdrží od kupujícího částku ve výši aktuální ceny cenného papíru a v určeném časovém budoucím okamžiku zaplatí kupujícímu částku rovnou aktuální ceně cenného papíru v tomto budoucím okamžiku. Hodnota takto sestrojené zabezpečené pozice je: St − Vo ( S t , t ) ∂Vo ( S t , t ) ∂S t tři opce dvě akcie státní obligace celkem 13,50 -100 100 13,50 Na konci období pro oba možné stavy okolí máme: cena hodnota ztráta za hodnota kombinovaná akcie opce akcie obligací pozice 60 30 -120 105 15 45 0 -90 105 15 V obou případech máme jistý (Sic!) výnos (15-13,5)/13,5 = 11,11% Za těchto předpokladů závisí hodnota opce pouze na ceně akcie, čase a na proměnných, které jsou konstantní a známé. Poté je možné sestavit zabezpečenou pozici z akcií a opcí, jejíž hodnota není závislá na ceně akcie, ale pouze na čase a na hodnotě známých konstantních veličin. Počet opcí, které musíme prodat pro zajištění nákupu jedné akcie, je: 1 ∂Vo ( S t , t ) ∂S t Hodnota takto zabezpečené pozice je skutečně nezávislá na ceně akcie. Pokud se cena akcie nepatrně změní o ∆St, změní se hodnota opce přibližně o ∂V ( S , t ) o ∂S t t ⋅ ∆S t a hodnota všech opcí se změní o ∆St. Pak je změna hodnoty dlouhé pozice v akciích vyrovnána změnou hodnoty krátké pozice v opcích. Při znalosti pravděpodobnostního charakteru hodnoty opce můžeme za ∆Vc dosadit: ∆Vo = ∂Vo ( S t , t ) 1 ∂ 2Vo ( S t , t ) 2 2 ∂V ( S , t ) ⋅ ∆S t + ⋅ ⋅ v ⋅ S t ⋅ ∆t + o t ⋅ ∆t ∂S t 2 ∂S t ⋅ ∂t ∂t Změna hodnoty zabezpečené pozice za krátký časový interval ∆t je: ∆V ( S , t ) ∆S t − o t ∂Vo ( S t , t ) ∂St Po dosazení za ∆Vc a po úpravách získáme diferenciální rovnici, která po vyřešení a po využití okrajových podmínek pro hodnotu opce v okamžiku realizace opčního kontraktu vede k výsledku: 2 Hodnota prodejní opce Hodnota call option - kupní opce: = hodnota kupní opce + PV(E) - P • hodnota opce = beta * cena akci - úvěr • Máme akcii + opci prodat tuto akcii za 100 (put!) Vc = N ( d 1 ) ⋅ S 0 − N ( d 2 ) ⋅ E ⋅ e − i⋅T ln( σ2 S0 ) + (i + ) ⋅T E 2 σ ⋅ T ln( S0 σ2 ) + (i − ) ⋅T E 2 = d1 − σ T σ ⋅ T d1 = d2 = Jiný způsob výpočtu ceny opce (pro 2 stavy)! • Nemůže existovat arbitráž (stroj na peníze) => je jedno, jaký postoj k riziku mají investoři => očekávaný výnos z akcie = i • pH * PH + pL * PL = i pH a pL jsou pravděpodobnosti vzrůstu a poklesu v bezrizikovém světě. • Očekávaná cena opce pH * POH + pL * POL a převést na současnou hodnotu. • => 1 put opce + akcie = E + call opce ! • hodnota put opce + P = PV(E) + hodnota call • Protože zakoupení kupní opce a investice PV(E) do bezrizikové pozice má stejné platby jako zakoupení prodejní opce a jedné akcie. Magna Charter jako opce tryskové letadlo - 550 tis. EUR Příklad (viz tabule) ka táv op p % ká 60 so = vy n p ízk á p = pop 40 távk % a ka táv op á p 0% k so =8 vy CF = 150 níz p ká p = pop 20 távk % CF = 960 a CF = 220 CF = 30 vka optá ká p vyso 40% níz p = k p = á po 60 ptáv % ka CF = 930 CF = 140 Tryskové letadlo můžete ve druhém roce prodat za 500. Binomická mříž • Pokud zkrátíme interval změny, dostáváme více stavů • Kombinujeme stavy tak, že vzestup=1/pokles u = eσ d = e −σ δt δt Americká versus Evropská opce • Kupní na akcii bez dividend. • Rozdíl mezi vnitřní hodnotou opce a její cenou je tzv. časová hodnota, která je před vypršením vždy kladná => pokud opci uplatním, přijdu o její časovou hodnotu => je lepší nechat opci „živou“. • Příklad 3 Úprava na dividendy Úprava Black-Scholesova vzorce: S* = S − • kde D je dividenda, • t je čas výplaty dividendy • S* je cena akcie upravená o současnou hodnotu dividend. • Z toho se pak spočítá Pca. • PS2 = po dividendě, PS1 = před dividendou. • Pokud Pcd > Pca (vnitřní hodnota uplatnění opce před dividendou > hodnota živé opce po dividendě), tak se vyplatí ji předčasně uplatnit! Hodnota opce s uplatněním: • místo P použiji PS*, • místo E stačí E -D (dividendy dostanu, stačí mi tak méně peněz) • a místo T použiji t (uplatním opci) • Vyšší z obou hodnot je hodnota opce ! Vc = N ( d 1 ) ⋅ S * − N ( d 2 ) ⋅ ln( d1 = D e it Pojištění portfolia • 1) Smlouva s pojišťovnou, že uhradí ztráty pod 100. E−D e i ⋅t σ2 S* ) + (i + ) ⋅t E−D 2 σ ⋅ t d 2 = d1 − σ t Programové obchodování • 2) Zakoupení put opce na indexu akcií, který je podobný investorovým. • • Pomocí počítačů se automaticky: roste-li cena akcií, prodávají se obligace a nakupují se akcie a naopak. Problémy: transakční náklady, krátké intervaly (nemožnost změn). • 3) Vytvoření syntetické put opce, což je kombinace koupě a prodeje akcií a obligací. Cíle je dosaženo dynamickou strategií: Buď prodám obligace a koupím akcie nebo prodám akcie a koupím obligace 4