Statika_PaP
Transkript
Statika_PaP
Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 MECHANIKA I STATIKA, PRUŽNOST A PEVNOST Studijní obor (kód a název): -1- 23-41-M/001 Strojírenství Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 Úvodem Cílem tohoto učebního textu je sloužit jako pomůcka (nahrazuje učebnici a částečně pracovní sešit) při výuce předmětu MECHANIKA v 1. ročníku oboru STROJÍRENSTVÍ. Jednotlivé kapitoly jsou rozvrženy do vyučovacích hodin, celková hodinová dotace za školní rok činí 68 hodin. Obsah Úvodem 2 Obsah 2 1. Úvod do mechaniky 3 1.1. Obsah a význam, rozdělení mechaniky, pohybové zákony 1.2. Opakování fyzikálních veličin, základní jednotky SI 3 3 2. Statika 3 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 3 4 4 7 17 18 26 36 49 Úvod, úkoly statiky, základní pojmy Soustava sil na společné nositelce Rovinná soustava sil se společným působištěm Rovinná soustava sil neprocházející jedním bodem Prostorová soustava sil Prutové soustavy Těžiště a stabilita Statika jednoduchých mechanismů s pasivními odpory Opakování statiky 49 3. Pružnost a pevnost (PaP) 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. Definice PaP, základní druhy namáhání Tah, tlak Prostý smyk Průřezové moduly pro namáhání krutem a ohybem Opakování -2- 49 52 60 62 67 Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 vyučovací hodina: 1. 1.1. 1. ÚVOD DO MECHANIKY OBSAH A VÝZNAM, ROZDĚLENÍ MECHANIKY, POHYBOVÉ ZÁKONY Studiem přírodních jevů na zemi i ve vesmíru se zabývá několik vědních oborů, které společně označujeme přírodní vědy. Patří sem zejména fyzika, chemie, biologie a astronomie. Součástí fyziky je i mechanika, jež se zabývá studiem mechanického pohybu – to je mechanického přemísťování hmoty v prostoru a čase. Rozdělení mechaniky: - mechanika tuhých a poddajných těles (pružnost, pevnost) - mechanika tekutin (kapalin, par a plynů) - termomechanika (působení tepla na látky) Další dělení: - statika (pojednává o rovnováze tuhých těles, kapalin a plynů) - kinematika (vyšetřuje pohyby bez zřetele na příčiny) - dynamika (pojednává o pohybu a jeho příčinách) vyučovací hodina: 1.2. 2. OPAKOVÁNÍ FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, ZÁKLADNÍ JEDNOTKY SI Pohyb hmoty se děje v prostoru a čase, proto hmotnost, délka a čas jsou základními veličinami mechaniky. Namísto hmotnosti lze zavést sílu jako příčinu pohybu. Rozdělení fyzikálních veličin: - skaláry – jsou určeny pouze velikostí (hmotnost, čas, energie) - vektory – jsou určeny velikostí, směrem a smyslem (síla, rychlost, zrychlení) K číselnému vyjádření hodnot veličin používáme jednotky. Jednotky rozdělujeme na základní a druhotné (odvozené). Uzákoněné základní jednotky jsou jednotky Mezinárodní měrové soustavy SI (Systém Internationál d´Unités). 1. metr [m] 2. kilogram [kg] 3. ampér [A] 4. sekunda [s] 5. stupeň [deg; K; °C] 6. kandela [cd] základní jednotka délky základní jednotka hmotnosti základní jednotka elektrického proudu základní jednotka času základní jednotka teplotního rozdílu základní jednotka svítivosti Násobky jednotek vyjadřujeme pomocí předpon a značek. Předpona: Značka: Význam: tera T 1012 giga G 109 mega M 106 kilo k 103 mili m 10-3 mikro µ 10-6 nano n 10-9 piko p 10-12 Příklad: Mpa = 106 Pa; km = 103 m vyučovací hodina: 2. 3. a 4. STATIKA 2.1. ÚVOD, ÚKOLY STATIKY, ZÁKLADNÍ POJMY Část mechaniky STATIKA pojednává o skládání, rozkládání a rovnováze sil za klidu nebo při rovnoměrném přímočarém pohybu. Složit síly znamená nahradit tyto síly silou jedinou tak, aby měla na těleso tentýž účinek. Skládané síly se nazývají složky, síla která je nahrazuje je výslednice. -3- Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 Rozložit sílu do složek znamená nahradit tuto sílu dvěma nebo více silami tak, aby měly s rozkládanou silou stejný účinek. Síly jsou v rovnováze, ruší-li se vzájemně ve svých účincích, takže není výslednice. Těleso je v klidu nebo se pohybuje rovnoměrně přímočaře. V technické praxi se jen vyjímečně vyskytují osamělá tělesa. Převážně jsou spolu spojena v soustavu těles. Jednotlivé členy soustavy na sebe vzájemně působí. Toto vzájemné působení nazýváme síla. Síla je vektor – je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Základní jednotkou síly je newton [N]. Definice: síla 1N udělí tělesu o hmotnosti 1kg zrychlení 1m.s-2. Zápis síly: F [ x; y; α°; velikost v N ] F1 [ 20; -10; 150°; 100 N ] měřítko síly: mF: 1mm = ? N vyučovací hodina: x,y ... souřadnice působiště α° …. směrový úhel 5. a 6. 2.2. SOUSTAVA SIL NA SPOLEČNÉ NOSITELCE Působiště síly (sílu) můžeme po nositelce libovolně posouvat aniž se změní její účinek. Výslednice sil FV působí v téže vektorové přímce a rovná se algebraickému součtu všech sil. Fv = F1 + F2 + F3 = n ∑F i 1 Síly jsou v rovnováze, je-li algebraický součet všech sil roven nule! Příklad: Stanovte graficky i početně výslednici sil podle zadání (viz učebnice, pracovní sešit). vyučovací hodina: 7. a 8. 2.3. ROVINNÁ SOUSTAVA SIL SE SPOLEČNÝM PŮSOBIŠTĚM 2.3.1. Grafické zjištění výslednice a uvedení silové soustavy do rovnováhy Platí, že výslednice musí mít společné působiště s danou soustavou sil. Dvě síly o společném působišti skládáme pomocí rovnoběžníku sil (silového obrazce). -4- Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 x,y ... α° …. Fi = … [N] Dáno: souřadnice působiště směrové úhly sil s osou x velikosti sil rovnoběžník sil silový obrazec Příklad: Stanovte graficky výslednici soustavy dvou sil podle zadání (viz učebnice, pracovní sešit). Výslednici několika sil v rovině o společném působišti řešíme metodou postupného skládání dvou sil. F1, F2 nahradíme částečnou výslednicí F1,2, tu složíme se silou F3 na konečnou výslednici FV. zadání rovnoběžník sil silový obrazec rovnoběžník sil silový obrazec silový mnohoúhelník Příklad: Stanovte graficky výslednici soustavy sil podle zadání (viz učebnice, pracovní sešit). Uvedení silové soustavy do rovnováhy Jak jsme již uvedli, síly jsou v rovnováze, ruší-li se vzájemně ve svých účincích, takže není výslednice. Silovou soustavu F1, F2, F3 uvedeme do rovnováhy přidáním síly FR, která je stejně velká jako FV ale opačného smyslu. Silová soustava je v rovnováze, jestliže je silový mnohoúhelník uzavřen šipkami v jednom sledu. -5- Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I vyučovací hodina: © M.H. 2003 9. 2.3.2. Řešení výslednice dvou navzájem kolmých sil početně rovnoběžník sil silový obrazec Dle Pythagorovy věty platí: FV2 = F12 + F22 ⇒ FV = (F 2 1 + F22 ) Příklad: Stanovte početně výslednici soustavy dvou kolných sil podle zadání. 2.3.3. Početní řešení výslednice soustavy obecných sil o společném působišti Řešení provádíme tak, že každou sílu rozložíme do dvou kolmých složek (do osy x a y). Příslušné složky algebraicky sečteme do složek výslednice. Celkovou výslednici vypočteme z pravoúhlého trojúhelníka. Směr a smysl rovněž stanovíme z výsledného trojúhelníka. tgα = Fy Fx Příklad: Stanovte početně velikost, směr a smysl výslednice soustavy sil podle zadání (viz učebnice, pracovní sešit). vyučovací hodina: 10. a 11. 2.3.4. Dvě složky síly, rozklad sil, rovnováha sil Rozklad síly do dvou různoběžných složek je opakem skládání. Proto i zde při grafickém řešení používáme rovnoběžník sil nebo silový obrazec (trojúhelník). Početní řešení je opět obdobné. Příklad: Rozložte sílu do dvou složek podle zadání. Proveďte graficky i početně (viz učebnice, pracovní sešit). -6- Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I vyučovací hodina: © M.H. 2003 12. 2.4. ROVINNÁ SOUSTAVA SIL NEPROCHÁZEJÍCÍ JEDNÍM BODEM 2.4.1. Moment síly k bodu a k ose Moment M síly F k bodu A vyjadřuje velikost a smysl točivého účinku síly F vzhledem k bodu A. M = F ⋅r [N.m] r … rameno síly (kolmá vzdálenost) Moment považujeme za kladný, jestliže dojde účinkem síly k otáčení proti smyslu pohybu hodinových ručiček. Jednotkou momentu síly je newtonmetr N.m. Momentová věta: Moment výslednice k libovolnému bodu se rovná algebraickému součtu momentů jednotlivých složek k témuž bodu. n M = ∑ Mi i =1 Příklad: Určete výslednici F sil F1 =10 N a F2 =5 N, které jsou od sebe vzdáleny r1 = 2 m. F * r = F1 * r1 + F2 * r2 ; r2 = 0 vyučovací hodina: F ⋅ r = F1 ⋅ r1 + F2 ⋅ r2 ; r2 = 0 … … dopočítejte si 13. 2.4.2. Moment silové dvojice Silovou dvojici tvoří dvě stejně velké síly stejného směru, opačného smyslu, které jsou od sebe vzdáleny o r (rameno dvojice). Účinkem takové silové dvojice je rotace. Silová dvojice bude rotovat v rovině proložené oběma silami. Smysl rotace je určen vzájemnou polohou obou sil. Moment považujeme za záporný, jestliže dojde k otáčení proti smyslu pohybu hodinových ručiček. -7- Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 Účinek silové dvojice se nazývá moment silové dvojice M =F ⋅r [N.m] r … rameno vzdálenost) síly (kolmá Silovou dvojici můžeme v rovině rotace přeložit a její účinek se nezmění. Silovou dvojici můžeme v rovině rotace natočit a její účinek se nezmění. Silovou dvojici můžeme v rovině rotace nahradit jinou silovou dvojicí v tom případě, má-li stejný účinek (M = M). M = F ⋅ 2r = 2 ⋅ F ⋅ r M = 2F ⋅ r = 2 ⋅ F ⋅ r Máme-li několik silových dvojic v jedné rovině, potom se jejich účinky sčítají. -8- Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 M = M1 + M 2 M1 = −F1 ⋅ y M 2 = −F2 ⋅ x M = −F1 ⋅ y − F2 ⋅ x Silová dvojice může být v rovnováze jen s jinou silovou dvojicí, která má stejně velký moment a je opačně orientovaná. F1 ⋅ r1 = F2 ⋅ r2 Příklad: Řešte silové rovnice dle zadání vyučovací hodina: 14. 2.4.3. Moment silové soustavy Působí-li soutava několika sil, je jejich výsledný účinek roven účinku výslednice. Z toho vyplývá, že součet momentů jednotlivých sil soustavy se rovná momentu výslednice. n M = ∑ M i …… momentová věta i =1 Úloha: Aplikace momentové věty - Nahrazení účinku dvou rovnoběžných sil účinkem síly jedné (výslednice). n M = ∑ Mi k počátku O i =1 F ⋅ r = F1 ⋅ r1 + F2 ⋅ r2 ; r2 = 0 F = F1 + F2 F F1 r = 1 ⋅ r1 = ⋅ r1 F F1 + F2 Příklad: Proveďte nahrazení účinku dvou rovnoběžných sil účinkem výslednice. Dáno F1[0;0;0°;20N], F2[0;-30;0°;40N] vyučovací hodina: 15. -9- Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 2.4.4. Nahrazení síly silou na rovnoběžné nositelce Danou sílu F na nositelce p přeneseme na rovnoběžnou nositelku q. Přenesením F na novou nositelku q musíme přidat moment M=F.r. Opačný postup – sečteme-li přenesenou sílu F1 a moment M, dostaneme původní sílu na nositelce p. Příklad: Nahraďte sílu F[40;0;90°;50N] a moment (silovou dvojici) M =1,5N.m jedinou silou. Proveďte početní kontrolu obou soustav, účinky porovnejte. r = M 1,5 = = 0,03m = 30mm F 50 Kontrola: 1. Původní soustava ∑F x =0; ∑F y = 50 N ; ∑ M i = M − F ⋅ 0 ,04 = 1,5 − 2 = −0 ,5 Nm 2. Nová soustava se silou F1 ∑F x =0; ∑F y = F1 = 50 N ; ∑M i = −F1 ⋅ 0 ,01 = −0 ,5 Nm Závěr: Účinky soustav jsou stejné. vyučovací hodina: 2.4.5. 16. Výslednice soustavy rovnoběžných sil - GRAFICKY Postup: Zvolíme dvě pomocné síly S0, S0´, které se vzájemně ruší a zadanou soustavu neovlivní. Jejich nositelku vedeme tak, aby protímala nositelku síly F1 v bodě A0. Síly F1 a S0 sečteme pomocí silového trojúhelníka mimo hlavní obrázek. Výslednice S1 bude procházet A0. Musí vždy platit, že tři úsečky - 10 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 které tvoří v pólovém obrazci trojúhelník (S0, F1, S1) se musí v základním obrazci protínat v jednom bodě (A0)! Začínám tedy: - složím S0 a F1 a dostanu výslednici S1. Musí se protínat v bodě A0 pokračuji dále: - složím S1 a F2 a dostanu výslednici S2. Musí se protínat v bodě A1 - složím S2 a F3 a dostanu výslednici S3. Musí se protínat v bodě A2 a nakonec - složím S3 a S0´ a dostanu výslednici FV. Musí se protínat v bodě A3 Tím dostanu velikost i polohu výslednice. Příklad: Zjistěte graficky velikost a polohu výslednice tří rovnoběžných sil. F1[10;0;90°;20N]; F2[25;20;270°;50N]; F 3[50;0;270°;20N] Při praktickém řešení nevyznačujeme částečné výslednice (S1,S2,S3), ale pouze přímky a úsečky jim odpovídající. Čára A0A1A2A3A0 je výslednicová čára, čára F1 F2 F3 FV (v pólovém obrazci) je složková čára, úsečky 0,1,2,3 jsou pólové paprsky (vlákna) a bod P je pól. Říkáme, že jsme provedli řešení pomocí pólového (vláknového) obrazce. Postup: 1. zvolíme měřítko sil 2. nakreslíme obrazec umístění 3. nakreslíme vláknový obrazec => zjistíme velikost výslednice 4. vedeme rovnoběžky s vlákny v obrazci umístění 5. zjistíme polohu výslednice průsečík [0,1,F1] průsečík [1,2,F2] průsečík [2,3,F3] průsečík [3,0,FV] => => => => A0 A1 A2 A3 - 11 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I Rovnováha: © M.H. 2003 Podmínkou rovnováhy je nulová výslednice i nulová výsledná dvojice. ∑F i ∑F ⋅ r =0; i i =0 Graficky – uzavřená složková čára se šipkami v jednom směru a také uzavřená výslednicová čára. vyučovací hodina: 2.4.6. 17. Výslednice soustavy rovnoběžných sil - POČETNĚ Souřadný systém zvolíme tak, aby např. osa y byla rovnoběžná s nositelkami sil. Pak tedy i výslednice bude rovnoběžná s osou y. K určení velikosti FV použijeme složkové rovnice do směru osy y. n FV = ∑ Fi i =1 K určení polohy lze využít momentovou větu. n FV ⋅ xV = ∑ Fi ⋅ x i i =1 Může se stát, že FV=0. Soustava nemá výslednici, ale její účinky lze nahradit výslednou dvojicí MV o momentu n MV = ∑ Fi ⋅ x i i =1 Pokud i MV=0, jde o rovnováhu. Příklad: Vypočítejte velikost a polohu výslednice soustavy sil FV a xV. F1[10;0;90°;20N]; F 2[25;20;270°;50N]; F 3[50;0;270°;20N]. n FV = ∑ Fi = F1 + ( −F2 ) + ( −F3 ) = 20 − 50 − 20 = −50 N směr dolů i =1 n MV = FV ⋅ xV = ∑ Fi ⋅ x i = F1 ⋅ x1 − F2 ⋅ x 2 − F3 ⋅ x 3 i =1 xV = MV 20 ⋅ 10 − 50 ⋅ 25 − 20 ⋅ 50 = = 41mm FV − 50 - 12 - porovnejte s grafickým řešením Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 Kontrola: 1. Původní soustava ∑F y = 20 − 50 − 20 = −50 N ; ∑M i = 20 ⋅ 10 − 50 ⋅ 25 − 20 ⋅ 50 = −2050 Nmm 2. Nová soustava ∑F y ∑M = FV = −50 N ; V = −50 ⋅ 41 = −2050 Nm Závěr: Účinky soustav jsou stejné. vyučovací hodina: 18. a 19. 2.4.7. Řešení vazbových sil na páce graficky i početně Vazbové síly = síly druhotné, reakce. Tělesa působí na podpory silami prvotními = akčními. Podpory kladou odpor silami druhotnými = reakčními. Podle třetího pohybového zákona platí, že akce = reakce. Proto reakce (vazbové síly) určujeme z podmínek statické rovnováhy. Kloubové spojení Může přenášet sílu všemi směry. Síla prochází středem kloubu. Obecná podpora Může přenášet sílu působící jen kolmo na podporu! PÁKA – jeden pevný podporový bod – kloubové spojení. Úloha: Je dána síla F2 a směr síly F1. Stanovte velikost síly F1 a směr a smysl reakce FR na úhlové páce. Proveďte grafické i početní řešení. GRAFICKÉ ŘEŠENÍ Při grafickém řešení musí být splněny dvě základní podmínky rovnováhy: - Abychom mohli určit směr reakce v kloubové podpoře, musíme nalézt společné působiště. - Síly musí tvořit uzavřený silový trojúhelník - 13 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 POČETNÍ ŘEŠENÍ Početní řešení provedeme pomocí podmínek statické rovnováhy. 1. ∑M 2. 3. F2 ⋅ b a i =0 F1 ⋅ a − F2 ⋅ b = 0 ⇒ F1 = ∑F ix =0 F2 − FRx = 0 ⇒ FRx = F2 vylučuje pohyb v ose x ∑F =0 FRy − F1 = 0 ⇒ FRy = F1 vylučuje pohyb v ose y iy vylučuje otáčení FR = F12 + F22 [N] Příklad: Stanovte velikost síly F1 a směr a smysl reakce FR na úhlové páce. Proveďte grafické i početní řešení. Dáno: F2= 50N; a=50mm; b=30mm. Jednoramenná páka Úloha: Je dána síla F1 a směr síly F2. Stanovte velikost síly F2 a směr a smysl reakce FR v kloubu. Proveďte grafické i početní řešení. Aby byla rovnováha, výslednicová čára musí být uzavřena. Dostanu tak směr vlákna 2 a přenesu ho do pólového obrazce. Zde získám velikost F2 a směr a smysl reakce FR. průsečík [0,1,F1] průsečík [1,2,F2] průsečík [2,0,FR] => => => A1 A2 A3 - 14 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I Početně: ∑M ∑F i0 iy ∑F ix © M.H. 2003 =0 F1 ⋅ a b F2 − F1 − FR = 0 ⇒ FR = F2 − F1 =0 v ose x síly nepůsobí =0 F2 ⋅ b − F1 ⋅ a = 0 ⇒ F2 = ! podmínka vyloučí otáčení podmínka vyloučí posuv podmínka vyloučí posuv Příklad: Stanovte velikost síly F2 a směr a smysl reakce FR v kloubu. Proveďte grafické i početní řešení. Dáno: F1= 50N; a=50mm; b=30mm. vyučovací hodina: 20. a 21. 2.4.8. Řešení vazbových sil nosníku na dvou podporách Úloha: Nosník na dvou podporách je zatížen silami F1, F2 a F3. Stanovte výslednici F a reakce v podporách FA a FB. GRAFICKÉ ŘEŠENÍ průsečík [1,2,F1] průsečík [2,3,F2] průsečík [3,4,F3] průsečík [1,4,F ] průsečík [1,5,FA] průsečík [4,5,FB] POČETNÍ ŘEŠENÍ ∑M ∑F ∑F iA =0 podmínka vyloučí otáčení iy =0 podmínka vyloučí posuv ix =0 podmínka vyloučí posuv - 15 - => => => => => => 1 2 3 4 5 6 Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I ∑M =0 iA ∑F iy =0 © M.H. 2003 F1 ⋅ a − F2 ⋅ ( a + b ) + F3 ⋅ ( a + b + c ) − FB ⋅ l = 0 ⇒ FB 1 FB = ⋅ [F1 ⋅ a − F2 ⋅ (a + b ) + F3 ⋅ (a + b + c )] l F1 + F3 − F2 − FA − FB = 0 ⇒ FA FA = F1 + F3 − F2 − FB ∑F ix =0 v ose x síly nepůsobí Velikost výslednice F = ∑ Fiy = FA + FB [ N ] Vzdálenost xF výslednice od bodu A ∑M iA =0 F ⋅ x F = FB ⋅ l ⇒ x F xF = Příklad: FB ⋅ l [ mm ] F Nosník na dvou podporách je zatížen silami F1, F2 a F3. Stanovte výslednici F a reakce v podporách FA a FB. Proveďte grafické i početní řešení, výsledky porovnejte. Uspořádání dle obrázku. GRAFICKÉ ŘEŠENÍ Určíme měřítka: průsečík [1,2,F1] průsečík [2,3,F2] průsečík [1,3,F] průsečík [1,4,FA] průsečík [3,4,FB] => => => => => mF: 1mm = 10 N ; ml: 1mm = 10 mm 1 2 3 4 5 - 16 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 POČETNÍ ŘEŠENÍ ∑M ∑F ∑F iA =0 podmínka vyloučí otáčení iy =0 podmínka vyloučí posuv ix =0 podmínka vyloučí posuv ∑M iA =0 (v ose žádné síly nepůsobí!) F1 ⋅ 300 + F2 ⋅ 600 − FB ⋅ 800 = 0 ⇒ FB 1 1 ⋅ (F1 ⋅ 300 + F2 ⋅ 600 ) = ⋅ (100 ⋅ 300 + 200 ⋅ 600 ) 800 800 FB = 187 ,5 N FB = ∑F iy =0 FA + FB − F1 − F2 = 0 ⇒ FA FA = F1 + F2 − FB = 100 + 200 − 187 ,5 FA = 112 ,5 N Velikost výslednice F = ∑ Fiy = FA + FB = 100 + 200 = 300 N Vzdálenost xF výslednice od bodu A ∑M iA =0 F ⋅ x F = FB ⋅ 800 ⇒ x F xF = vyučovací hodina: FB ⋅ 800 187 ,5 ⋅ 800 = = 500 mm F 300 22. Praktické aplikace vyučovací hodina: 23. a 24. 2.5. PROSTOROVÁ SOUSTAVA SIL Prostorovou soustavu sil tvoří síly mimoběžné, nebo síly různoběžné, jejichž vektorové přímky (nositelky) neleží v téže rovině. Výslednice soustavy sil o společném působišti v prostoru Každou sílu prostorové soustavy sil nejdříve rozložíme do os x, y, z. K výpočtu složek použijeme pravoúhlý trojúhelník Fy = F ⋅ cos β Fx = F ⋅ cos α Fz = F ⋅ cos γ Rozložíme-li takto celou soustavu, dostaneme tři soustavy navzájem na sebe kolmých sil. Velikost těchto částečných výslednic vypočteme stejně jako u sil v rovině n Fx = ∑ Fix i =1 n Fy = ∑ Fiy i =1 - 17 - n Fz = ∑ Fiz i =1 Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 Tyto částečné výslednice složíme v celkovou výslednici V rovině xy leží částečné výslednice Fx a Fy a ty složíme v další částečnou výslednici Fxy. Fxy = Fx2 + Fy2 Celková výslednice bude F = Fxy2 + Fz2 = Fx2 + Fy2 + Fz2 cos α = Rovnováha: vyučovací hodina: Fx F cos β = Fy F cos γ = Fz F F = 0 ⇒ Fx = 0 ; Fy = 0 ; Fz = 0 25. 2.6. PRUTOVÉ SOUSTAVY Nosnou konstrukci mostů, jeřábů, sloupů, letadel, atd. tvoří často soustava prutů, tzv. příhradový nosník. - 18 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 Tato prutová soustava se skládá z jednotlivých prutů, které jsou spolu spojeny styčníkovými plechy, na kterých jsou pruty přinýtovány, přivařeny, přišroubovány, apod.. Toto spojení prutů na styčnících zjednodušujeme a nahrazujeme spojením kloubovým. Při řešení prutové soustavy (PS) musí být splněny všechny podmínky rovnováhy a dodržována následující pravidla: 1. PS musí být dokonale tuhá, pruty musí tvořit staticky určité obrazce, kterými jsou trojúhelníky. Podmínka statické určitosti: z = 3 + 2 ⋅ (i − 3 ) = 2 ⋅ i − 3 z ….. počet prutů i …… počet styčníků 2. Na uvolněných prutech musí být rovnováha sil 3. Musí být rovnováha sil působících v jednotlivých styčnících Je-li soustava dokonale tuhá (viz obr.), můžeme snadno určit síly vzájemného působení v podporách A(kloub) a B(obecná podpora). 4. PS nikdy nezatěžujeme mezi klouby! Potom všechny pruty přenášejí sílu pouze ve své ose (osovou). táhne ze styčníku tlačí do styčníku + – 2.6.1. Řešení prutové soustavy – Cremonova metoda - grafická Princip a použití bude vysvětleno v následující kapitole. 2.6.2. Řešení prutové soustavy – Styčníková metoda – grafická, početní Styčníková metoda vychází z požadavku rovnováhy sil působících v jednotlivých styčnících, což je rovnováha sil o společném působišti. Obvykle nemí nutné kreslit silový obrazec pro každý styčník zvlášť. Provádíme tedy řešení v jednom obrazci – Cremonův diagram. - 19 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 Zásady postupu řešení: 1. 2. 3. 4. Nejdříve stanovit reakce. Stanovit smysl obcházení jednotlivých styčníků. Začít styčníkem, kde působí jen dvě osové síly. Pokračovat tím styčníkem, kde jsou neznámé opět jen dvě osové síly. vyučovací hodina: Úloha: 26. Stanovte síly v prutech prutové soustavy podle obrázku. Pro názornost a pochopení provedeme určité kombinace řešení: o Styčníkovou metodu - pouze grafickou část včetně grafického stanovení reakcí. Pro každý styčník provedeme silový obrazec zvlášť. o Cremonův diagram – reakce stanovíme početně. o Styčníkovou metodu – jen početně, reakce převezmeme z předchozího řešení. STYČNÍKOVÁ METODA - GRAFICKÉ ŘEŠENÍ Určíme si měřítka: mF: 1mm = 1 kN ; ml: 1mm = 0,05 mm - 20 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 Smysl obcházení styčníků stanovíme ve smyslu pohybu hod. ručiček. označení prutů označení styčníků 1, 2, 3, 4, 5 ….. I, II, III, IV ….. Změřením a vynásobením měřítkem byly stanoveny reakce a síly v prutech: FA= FB = 25 kN S1= -35,5 kN S2= 25 kN S3= 50 kN S4= -35,5 kN S5= 25 kN Poznámka: Pro názornost používáme označení vnitřních sil v prutech S. CREMONŮV DIAGRAM 1. Nejdříve stanovíme reakce - 21 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I ∑M ∑F iA =0 =0 iy © M.H. 2003 F 50 = = 25 kN 2 2 FA + FB − F = 0 ⇒ FA = F − FB = 50 − 25 = 25 kN F ⋅ 2 − FB ⋅ 4 = 0 ⇒ FB = 2. Smysl obcházení styčníků stanovíme ve smyslu pohybu hod. ručiček. I … II … III … IV … Pořadí: FA, 1, 2 1, 4, 3 2, 3, 5, F 5, 4, FB Změřením a vynásobením měřítkem byly obdobně stanoveny reakce a síly v prutech: FA= FB = 25 kN S1= -35,5 kN S2= 25 kN S3= 50 kN S4= -35,5 kN S5= 25 kN vyučovací hodina: 27. STYČNÍKOVÁ METODA – POČETNÍ ŘEŠENÍ 1. Stanovení reakcí (převezmeme z předchozího řešení). ∑M iA =0 F ⋅ 2 − FB ⋅ 4 = 0 ⇒ FB = FB = 25000 N ∑F iy =0 F 50 = 2 2 FA + FB − F = 0 ⇒ FA = F − FB = 50 − 25 FA = 25000 N 2. Styčník I ∑F ∑F ix =0 S1 musíme rozložit do složek v osách x, y iy =0 S2 složku v ose y nemá - 22 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I ∑F iy =0 © M.H. 2003 S1 y − FA = 0 ; S1 y = S1 ⋅ sin 45° ⇒ S1 = S1 = 35355 N ∑F ix =0 FA 25000 = sin 45° sin 45° S2 − S1 x = 0 ; S1 x = S1 ⋅ cos 45° ⇒ S2 = S1 ⋅ cos 45° S2 = 35355 ⋅ cos 45° S2 = 25000 N 3. Styčník II ∑F ix =0 S1 x − S4 x = 0 ⇒ S4 x = S1 x = S1 ⋅ cos 45° S4 x S1 x S ⋅ cos 45° = = 1 = S1 cos 45° cos 45° cos 45° S4 = 35355 N S4 = ∑F iy =0 S1 y − S3 + S4 y = 0 ⇒ S3 = S1 y + S4 y = S1 ⋅ sin 45° + S4 ⋅ sin 45° S3 = 50000 N 4. Styčník III ∑F ix =0 S 2 − S5 = 0 ⇒ S5 = S 2 S5 = 25000 N ∑F iy =0 S3 − F = 0 ⇒ S3 = F …. Platí 5. Styčník IV Jelikož již všechny síly v prutech známe, je možné řešit styčník IV pro kontrolu. - 23 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I Příklad: © M.H. 2003 Stanovte síly v prutech prutové soustavy podle obrázku. Proveďte řešení: a) styčníkovou metodou – graficky(včetně reakcí) b) Cremonovým diagramem – reakce početně c) styčníkovou metodou – početně Získané výsledky porovnejte a proveďte rozbor. vyučovací hodina: 28. 2.6.3. Řešení prutové soustavy – Průsečná metoda – početní Tato metoda spočívává v tom, že prutovou soustavu přerušíme myšleným řezem nejvýše ve třech prutech, z nichž pouze dva pruty s neznámými silami mohou vycházet z téhož styčníku. Použijeme tři podmínky statické rovnováhy a z nich vypočteme tři neznámé osové síly v přerušených prutech. Úloha: Stanovte síly v prutech 6,7,8, prutové soustavy podle obrázku. - 24 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 Postup: 1. Stanovení reakcí ∑F iy =0; FA + FB − F1 − F2 = 0 vidíme, že FA = FB FA + FB = 100 kN FA = FB = 50 kN 2. Stanovení sil v prutech. Ke zbylé levé části soustavy musíme připojit síly, kterými odebraná pravá část na zbylou působila aby nebyla porušena rovnováha. U sil předpokládáme tah a díváme se na ně jako na síly vnější. Síly v prutech řešíme pomocí tří podmínek statické rovnováhy. Pro styčník IV ∑M i =0; FA ⋅ 3 − S6 ⋅ 2 = 0 ⇒ S6 = S6 = 75 kN ∑F =0; iy FA − F1 − S7 ⋅ sin α = 0 ⇒ FA − F1 = S7 ⋅ sin α ⇒ S7 S7 = 0 ∑F ix =0; 3 3 ⋅ FA = ⋅ 50 2 2 protože FA − F1 = 0 a S7 ⋅ sin α = 0 a sin α ≠ 0 (S7 S6 + S7 ⋅ cos α + S8 = 0 = 0) S6 + S8 = 0 ⇒ S8 = −S6 S8 = −75 kN Záporné znaménko znamená, že volený smysl S8 nebyl správný, síla působí v opačném smyslu. Předností průsečné metody je, že můžeme nosník přerušit v kterémkoliv poli myšleným řezem a vypočítat tři neznámé síly. Při praktickém početním řešení používáme obvykle kombinace metody styčníkové a průsečné. Příklad: Stanovte síly v prutech 2,3,4, prutové soustavy podle obrázku. - 25 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 1. Stanovení reakcí ∑F iy =0; ………. 2. Stanovení sil v prutech Pro styčník II ∑M ∑F ∑F i =0; ……….. ix =0; ……….. iy =0; ……….. vyučovací hodina: 29. 2.7. TĚŽIŠTĚ A STABILITA 2.7.1. Těžiště složených čar Každé těleso se skládá z nekonečného počtu částic, tzv. hmotných bodů. Každá tato částice má určitou hmotnost, která se projevuje tíhovou silou. Těžištěm tělesa T nazýváme bod, kterým stále prochází výslednice tíhových sil všech hmotných bodů, ať těleso natočíme jakkoliv. Těžiště úsečky V důsledku souměrnosti je těžiště uprostřed její délky. Souměrná lomená čára Těžiště leží na ose souměrnosti a na spojnici těžišť obou úseků (ramen), z nichž se čára skládá. - 26 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 Nesouměrná lomená čára Do těžišť obou ramen zavedeme síly F1, F2 úměrné délkám čar (F1=30, F2=20). Řešení provedeme pomocí momentové věty pro osy x a y. Početně: FV = a + b = 50 Pro stanovení x ∑M = 0 ; a a2 + F2 ⋅ 0 = FV ⋅ x ⇒ x = 2 2 ⋅ (a + b ) x = 9 mm F1 ⋅ Pro stanovení y ∑M = 0 ; b b2 F1 ⋅ 0 + F2 ⋅ = FV ⋅ y ⇒ y = 2 2 ⋅ (a + b ) y = 4 mm vyučovací hodina: 30. Těžiště křivky Vycházíme z představy, že každou křivku lze přibližně nahradit lomenou čarou, složenou z úseček. Čím budou úsečky kratší, tím bude výsledek přesnější. Těžiště úseček už řešit umíme. V technické praxi se vyskytují nejčastěji čáry složené z úseček a kruhových oblouků. - 27 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 Kruhový oblouk Těžiště T kruhového oblouku je na ose souměrnosti oblouku ve vzdálenosti y od středu oblouku. • Půlkružnice y= • 2 ⋅r π Kruhový oblouk y =r⋅ arcα ° = π 180 ≅ 2 ⋅ r [ mm ] 3 sin α ° [ mm ] arcα ° ⋅α ° Délka oblouku jednotkové kružnice (r=1), který přísluší středovému úhlu α° se nazývá arcus úhlu α°. Při řešení těžiště složených čar nejdříve složenou čáru rozdělíme na dílčí čáry, u kterých polohu těžiště umíme určit. Nyní těžiště těchto dílčích čar určíme a zavedeme do nich síly úměrné délkám čar. Vlastní řešení provedeme pomocí momentové věty. Součet momentů dílčích čar (v osách x i y) k libovolnému bodu se rovná momentu výslednice k příslušné ose. Zjištěné souřadnice x a y jsou potom hlavními těžištními osami a jejich průsečík určuje polohu těžiště T . Početně: n FV = ∑ Fi ….. velikost výslednice (délka složené čáry) i =1 Pro stanovení xv n Fv ⋅ x v = ∑ Fi ⋅ x i i =1 Pro stanovení yv - 28 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 n Fv ⋅ y v = ∑ Fi ⋅ y i [ N ⋅ mm ] i =1 vyučovací hodina: Příklad: 31. Stanovte početně souřadnice těžiště složené čáry podle obrázku. l1 = F1 = 282 ,74 l 2 = F2 = 200 FV = ∑ Fi = 782 ,74 l 3 = F3 = 300 stanovení xv Fv ⋅ x v = ∑ Fi ⋅ x i = F1 ⋅ 90 + F2 ⋅180 + F3 ⋅ 330 ⇒ xV 1 (F1 ⋅ 90 + F2 ⋅180 + F3 ⋅ 330 ) FV 1 xV = ⋅ (282 ,74 ⋅ 90 + 200 ⋅180 + 300 ⋅ 330 ) 782 ,74 xV = 204 ,98 ≈ 205 [ mm ] xV = stanovení yv Fv ⋅ y v = ∑ Fi ⋅ y i = F1 ⋅ 260 + F2 ⋅100 + F3 ⋅ 0 ⇒ y V - 29 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 1 (F1 ⋅ 260 + F2 ⋅100 ) FV 1 yV = ⋅ (282 ,74 ⋅ 260 + 200 ⋅100 ) 782 ,74 y V = 119 ,5 [ mm ] yV = vyučovací hodina: 32. 2.7.2. Těžiště složených ploch Při určování těžiště ploch vycházíme z poznatku, že těžiště obdélníka je v průsečíku jeho úhlopříček. Pak jakoukoliv plochu rozdělíme na proužky o stejné tloušťce, které budeme považovat za obdélníky. V nich najdeme těžiště, do kterých zavedeme síly, úměrné plochám těchto obdélníků. Výslednice takto vzniklých soustav rovnoběžných sil (v osách x a y) prochází těžištěm plochy T. Početně: Fx = Fy = n ∑F i =1 i Pro stanovení xT n Fy ⋅ xT = ∑ Fi ⋅ x i ⇒ xT i =1 Pro stanovení yT n Fx ⋅ y T = ∑ Fi ⋅ y i ⇒ y T i =1 - 30 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 Těžiště plochy čtverce, kosočtverce, obdélníka, kosodélníka, kruhu, elipsy Je v průsečíku jejich os souměrnosti (úhlopříček). Těžiště plochy trojúhelníka Je v průsečíku spojnic bodů, půlících strany trojúhelníka a protilehlých vrcholů. Těžiště plochy lichoběžníka vyučovací hodina: 33. Těžiště plochy půlkruhu - 31 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 y ´= 2 2 2⋅r 4⋅r 4 ⋅y = ⋅ = ≅ ⋅ r [ mm ] 3 3 π 3 ⋅π 9 Těžiště plochy výseče kruhu y´ = 2 2 sin α ° ⋅y = ⋅r ⋅ [ mm ] 3 3 arcα ° Při řešení těžiště složených ploch nejdříve složenou plochu rozdělíme na dílčí plochy, u kterých polohu těžiště umíme určit. Nyní těžiště těchto dílčích ploch určíme a zavedeme do nich síly úměrné plochám. Vlastní řešení provedeme pomocí momentové věty. Součet momentů dílčích ploch (v osách x i y) k libovolnému bodu se rovná momentu výslednice k příslušné ose. Zjištěné souřadnice x a y jsou potom hlavními těžištními osami a jejich průsečík určuje polohu těžiště T . Početně: n FV = ∑ Fi ….. velikost výslednice (obsah složené plochy) i =1 Pro stanovení xv n Fv ⋅ x v = ∑ Fi ⋅ x i i =1 Pro stanovení yv n Fv ⋅ y v = ∑ Fi ⋅ y i i =1 - 32 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I vyučovací hodina: Příklad: © M.H. 2003 34. Stanovte početně souřadnice těžiště složené plochy podle obrázku. Rozdělení na plochy v tomto případě provedeme tak, že od obdélníka (600x500) odečteme obdélník (200x200), kruh (φ150) a trojúhelník. F1 = 600 ⋅ 500 = 300000 F2 = 200 ⋅ 200 = 40000 F3 = π ⋅150 velký obdélník malý obdélník - vybrání 2 = 17671,5 4 150 ⋅150 F4 = = 11250 2 kruhový otvor trojúhelník – zkosení hrany Výsledná plocha(síla) n FV = ∑ Fi = F1 − F2 − F3 − F4 = 300000 − 40000 − 17671,5 − 11250 i =1 FV = 231078 ,5 [ N ] Stanovení xv Fv ⋅ x v = ∑ Fi ⋅ x i = F1 ⋅ 300 − F2 ⋅ 200 − F3 ⋅100 − F4 ⋅ 550 ⇒ xV 1 (F1 ⋅ 300 − F2 ⋅ 200 − F3 ⋅100 − F4 ⋅ 550 ) FV 1 xV = ⋅ (300000 ⋅ 300 − 40000 ⋅ 200 − 17671,5 ⋅100 − 11250 ⋅ 550 ) 231078 ,5 xV = xV = 320 ,4 [ mm ] - 33 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 Stanovení yv Fv ⋅ y v = ∑ Fi ⋅ y i = F1 ⋅ 250 − F2 ⋅ 400 − F3 ⋅100 − F4 ⋅ 50 ⇒ y V 1 (F1 ⋅ 250 − F2 ⋅ 400 − F3 ⋅100 − F4 ⋅ 50 ) FV 1 yV = ⋅ (300000 ⋅ 250 − 40000 ⋅ 400 − 17671,5 ⋅100 − 11250 ⋅ 50 ) 231078 ,5 yV = y V = 245 ,2 [ mm ] Těžiště těles – pro informaci • Koule a krychle – těžiště je v jejich geometrickém středu • Válec a hranol (i kosý) – těžiště je v polovině spojnice těžišť obou podstav • Kužel a jehlan – těžiště je v jedné čtvrtině spojnice těžiště podstavy s vrcholem U složitějších těles určíme těžiště rozložením tělesa na tělesa jednoduchá a v jejich těžištích necháme působit síly úměrné objemům těles. Další postup je stejný jako u čar a ploch. Guldinovy věty Slouží k vypočítání povrchu a objemu rotačních těles. Povrch rotačního tělesa vypočítáme, vynásobíme-li délku tvořící čáry l drahou těžiště čáry T při otáčení kolem osy. P = 2 ⋅ π ⋅ xT ⋅ l [ mm 2 ] Objem rotačního tělesa vypočítáme, vynásobíme-li obsah tvořící plochy S drahou těžiště plochy T při otáčení kolem osy. - 34 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 V = S ⋅ 2 ⋅ π ⋅ xT vyučovací hodina: 35. 2.7.3. Stabilita součástí Působí-li na těleso kromě tíhy ještě síla F, která jej vychýlí z rovnováhy, poté přestane působit: a) a těleso se vrací do své původní polohy – má rovnováhu stálou neboli stabilní b) a těleso se pohybuje dál – je jeho rovnováha vratká neboli labilní c) a těleso zůstane v nové poloze – má rovnováhu volnou neboli indiferentní Při pohybu je důležitá poloha těžiště: a) stoupá b) klesá c) zůstává ve stejné výši - 35 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I vyučovací hodina: Klopný moment Moment stability Pro rovnováhu platí: © M.H. 2003 36. M KL = F ⋅ b [N.m] M S = G ⋅ a [N.m] F ⋅b −G ⋅a = 0 V praxi se požaduje, aby M S byl vždy větší: MS >1 M KL n …. míra bezpečnosti proti překlopení (n = 1,2 až1,5 ) M S = M KL ⋅ n ⇒ n = Z uvedeného plyne, že stabilní jsou dostatečně těžká tělesa s velkou podstavou. vyučovací hodina: 37. 2.8. STATIKA JEDNODUCHÝCH MECHANISMŮ S PASIVNÍMI ODPORY 2.8.1. Význam tření a jeho druhy K uvedení tělesa z klidu do pohybu a k udržení tělesa v pohybu po podložce je třeba určité vnější síly. Pohybující se těleso se zastaví, přestane-li tato vnější síla působit. Příčinou je odpor proti pohybu ve stykových plochách těles. Tento odpor se nazývá tření. Příčinou je to, že těleso ani podložka nejsou dokonale hladké. - 36 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 Tření užitečné - brzdy, třecí spojka, řemenové a lanové převody, vozovka-pneumatika, klíny, šrouby, třecí převody, … Nežádoucí tření - čepy v ložiskách, tření ve vedeních, … Navíc při tření vzniká teplo, které je nutno bez užitku odvádět do okolí! Je proto nutné dobré mazání. Druhy tření Smykové - vzniká při pohybu tělesa smykem (kluzem, vlečením). Působí vždy ve stykové ploše a vždy proti směru pohybu. Valivé - vzniká při pohybu valivém mezi válcem a podložkou, protože nejsou dokonale tuhé. Čepové - vzniká v čepu uloženém v ložiskách a působí proti smyslu rotačního pohybu. Vláknové - vzniká při smýkání lan a pásů po nehybné válcové ploše. vyučovací hodina: 38. 2.8.2. Tření smykové – vodorovná podložka, nakloněná rovina Jednoduchým pokusem se zjišťovala velikost síly, která je zapotřebí k tomu, aby se břemeno pohybovalo rovnoměrným pohybem. Pro břemeno G1 to byla síla F1 , pro G2 síla F2 a pro G3 síla F3 . Zjistilo se, že platí: F F1 F F = 2 = 3 = ... = = konst . = f …. součinitel smykového tření G1 G2 G3 G f závisí na drsnosti stykových ploch, na materiálech stykových ploch a na tom, jsou-li plochy suché, nebo potřeny tenkou vrstvou maziva. Odpor smykového tření Ft je přímo úměrný kolmému (normálovému) tlaku Fn . Ft = Fn ⋅ t Hodnoty f lze najít v tabulkách. Kov na kov - neopracované - hladce opracované, suché - hladce opracované, mírně mazané - hladce opracované, vydatně mazané Kov na dřevo - suché - mazané Kov na ledě - 0,02 0,38 – 0,56 0,10 – 0,15 Ferodo, fibr na kov - 0,40 – 0,7 - 37 - 0,22 – 0,31 0,15 – 0,20 0,12 – 0,15 0,03 – 0,08 Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 Pohyb na vodorovné podložce Určete sílu F , která utáhne rovnoměrným pohybem břemeno tíhy G . F − Ft = 0 F = Ft = G ⋅ f Bude-li síla odkloněna o úhel α Fn = G pak Fx = F ⋅ cos α Fy = F ⋅ sin α Ft = (G − Fy ) ⋅ f = (G − F ⋅ sin α ) ⋅ f Fx = Ft … podmínka rovnoměrného pohybu F ⋅ cos α = f ⋅ G − f ⋅ F ⋅ sin α F ⋅ (cos α + f ⋅ sin α ) = f ⋅ G F =G⋅ vyučovací hodina: f [N] cos α + f ⋅ sin α 39. Pohyb po nakloněné rovině Fn = G ; Ft = Fn ⋅ f ; tgϕ = Ft Fn ⋅ f = =f Fn Fn Má-li zůstat těleso v klidu, pak F ≤ Ft Velikost Ft je funkcí třecího úhlu ϕ Velikost F je funkcí úhlu α Má-li zůstat těleso v klidu, pak - 38 - α ≤ϕ Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 Při pohybu musí platit naopak F ≥ Ft tedy α ≥ϕ . Podle obrázku lze také dokázat, že platí f = sin ϕ = tgϕ . cos ϕ Nyní stanovme sílu F , která utáhne břemeno G po nakloněné rovině směrem nahoru, působí-li síla rovnoběžně s nakloněnou rovinou. Reakce podložky Fn = G ⋅ cos α Tření Ft = f ⋅ G ⋅ cos α Podmínka pohybu F ≥ Ft + G ⋅ sin α F = Ft + G ⋅ sin α F = f ⋅ G ⋅ cos α + G ⋅ sin α F = G ⋅ (sin α + f ⋅ cos α ) [N] Nakloněná rovina je samosvorná, udrží-li se na ní těleso bez zvláštní zdržující síly Kdyby neexistovalo tření, byla by ideální síla pro tažení břemena Účinnost nakloněné roviny Fi = G ⋅ sin α Fi G ⋅ sin α = F G ⋅ sin α + f ⋅ G ⋅ cos α sin α η= < 1 [--] sin α + f ⋅ cos α η= u samosvorné nakloněné roviny je vyučovací hodina: α ≤ϕ . η < 0 ,5 . 40. 2.8.3. Vzepření tyče ve vedení Tyč vedenou ve dvou vedeních nelze posunout, jsou-li tato vedení příliš blízko u sebe a nepůsobí-li síla přesně v ose. Tyč se ve vedení vzpříčí, je samosvorná. - 39 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I vyučovací hodina: © M.H. 2003 41. a 42. 2.8.4. Tření na oblé ploše Jednošpalíková brzda Začínáme vždy u rotujícího členu. PÁKA působí na BUBEN normálovou silou Fn , která vyvolá tření Ft , působící proti smyslu pohybu. BUBEN působí na PÁKU stejnými silami, ale opačného smyslu. Tyto síly zachytíme RÁMEM. Podmínka rovnováhy pro BUBEN M − Ft ⋅ r = 0 Podmínka rovnováhy pro PÁKU F ⋅ a − Ft ⋅ c − Fn ⋅ b = 0 Třecí podmínka Ft = Fn ⋅ f Řešíme tři rovnice o třech neznámých M f ⋅r F ⋅ a − Fn ⋅ f ⋅ c − Fn ⋅ b = 0 M M M ⋅r M ⋅b F ⋅a = ⋅f ⋅c + ⋅b = + f ⋅r f ⋅r r f ⋅r M ⋅c M ⋅b F= + r ⋅a f ⋅r ⋅a M b F= + c [N] r ⋅a f M − Fn ⋅ f ⋅ r = 0 ⇒ Fn = Úloha: Odvoďte vztah pro stanovení brzdné síly pro jednošpalíkovou brzdu dle obrázku. - 40 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I vyučovací hodina: © M.H. 2003 43. 2.8.5. Tření čepové Otočné spojení členů mechanismu provádíme čepem uloženým v ložisku. Ve stykové ploše mezi čepem a ložiskem vzniká tření, které působí proti pohybu. Čep radiální - síla působí kolmo k ose otáčení Čep axiální - síla působí v ose otáčení Čepy radiální Pro zjednodušení budeme uvažovat uložení čepu ve volné pánvi. Zde dochází ke styku v přímce. Při otáčení se čep posune ze středu otáčení a tím se posune i vzájemné působení. Při rotaci výslednice vzájemného působení FA tvoří se zatížením G silovou dvojici. Tuto silovou dvojici, které říkáme moment čepového tření M Č , musíme při otáčení čepu překonávat. MČ = G ⋅ ρ M Č = G ⋅ r ⋅ sin ϕ M Č = G ⋅ r ⋅ fČ [N.m] sin ϕ = ρ ⇒ ρ = r ⋅ sin ϕ r sin ϕ = fČ … součinitel čepového tření - 41 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 Čepy axiální U nezaběhaného čepu předpokládáme, že se kolmý tlak rozloží rovnoměrně po styčné ploše. G = Fn = ∑ ∆Fn Na velmi malé výseči působí elementární reakce ∆Fn v jejím těžišti. Tuto výseč pokládáme za ∆ a pak vzdálenost těžiště od středu je 2 ⋅ r . Elementární reakce ∆Fn při otáčení čepu způsobuje 3 elementární tření ∆Ft = ∆Fn ⋅ f . Pak elementární moment čepového tření je ∆M č = ∆Ft ⋅ 2 2 ⋅ r = ∆Fn ⋅ f ⋅ ⋅ r . 3 3 Výsledný moment čepového tření je M č = ∑ ∆M č = ∑ ∆Fn ⋅ f ⋅ 2 2 ⋅ r = ⋅ r ⋅ f ⋅ ∑ ∆Fn 3 3 2 M č = ⋅ r ⋅ f ⋅ G [N.m] 3 U zaběhaného čepu je čep více opotřebován na obvodu (delší dráha) a proto je kolmý tlak rozložen nerovnoměrně. Uvažujeme, že těžiště elementární reakce ∆Fn působí ve vzdálenosti 1 ⋅r . 2 Moment čepového tření potom je Mč = 1 ⋅ r ⋅ f ⋅ G [N.m] 2 Při velkém zatížení může vlivem velkého tlaku poblíž osy otáčení dojít k poruše materiálu. Tomu se předchází vybráním středu čepu. Působiště elementárního tlaku potom uvažujeme na středové kružnici vzniklého mezikruží. - 42 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 M č = rS ⋅ f ⋅ G [N.m] ; vyučovací hodina: rS = r1 + r2 [mm] 2 44. 2.8.6. Odpor při valení Kdyby byly válec i vodorovná podložka dokonale tuhé, nedeformovala by se ani podložka ani válec. Styk by byl pouze čárový, v povrchové úsečce válce. Tíha válce G je v rovnováze s reakcí podložky Fn . Stačila by sebemenší vodorovná síla, aby uvedla válec do valivého pohybu. U skutečných těles dochází k deformaci podložky a tím vznikají silové poměry dle pravého obrázku. Tím se posune těžiště vzájemného působení a vzniklou silovou dvojici musíme překonávat jinou silovou dvojicí. Podmínka rovnováhy F ⋅ a −G ⋅ς = 0 ; ζ [mm] ... rameno valivého odporu (dzéta) Rameno valivého odporu ζ závisí na materiálu podložky a válce. Lze jej nalézt v tabulkách. Součin G ⋅ ς nazýváme momentem valivého odporu. - 43 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 Síla potřebná k překonání valivého odporu F = G ⋅ Síla bude nejmenší, jestliže amax = d ; Fmin = G ⋅ ς a ς d [N] [N] Naopak čím menší bude a , tím bude síla F větší. Má to však určitou hranici. Stalo by se, že místo valení se válec bude smýkat. Tento případ nastane, když síla pro smýkání bude menší než síla pro valení. Pro valení Fmax = G ⋅ Pro smýkání F = G ⋅f ς amin Aby nedošlo ke smýkání musí platit Fmax ≤ F . G⋅ ς amin ≤ G ⋅ f ⇒ amin = ς [-] f Trakční odpory V praxi je většinou spojeno valení s uložením v čepech. Sílu, působící v ose válce lze pak stanovit ze vzorce F ⋅ r − G ⋅ ς − Mč = 0 G ⋅ ς − Mč F= [N] r vyučovací hodina: 45. 2.8.7. Tření vláknové, pásové brzdy Při smýkání lan a pásů po nehybné válcové ploše vzniká vláknové tření. Síla na jedné straně je vždy větší. Velikost zvětšení této síly je závislé na úhlu opásání, na použitém nosném prvku a na drsnosti válcové plochy. Pro zvedání platí F1 > G F1 = G ⋅ e fα [N] F1 , F2 … síly vláknového tření G - 44 - … tíha břemena Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I Pro spouštění platí © M.H. 2003 F2 < G F2 = G ⋅ 1 [N] e fα e … základ přirozených logaritmů f … součinitel smykového tření Výraz e fα pro různé f a vyučovací hodina: α α … úhel opásání v obloukové míře lze také najít v tabulkách. 46. Pásová brzda Úkolem je určit brzdící sílu F pro ubrždění momentu M . uvolnění členů zachycení účinků sil do rámu brzdy Fs1 = Fs 2 ⋅ e fα Fs1 > Fs 2 Podmínka rovnováhy členu 2 (začínáme rotujícím členem) M + Fs 2 ⋅ r − Fs1 ⋅ r = 0 Podmínka rovnováhy členu 3 F ⋅ a − Fs 2 ⋅ b = 0 ⇒ Fs 2 = F ⋅ a b Podmínka vláknového tření Fs1 = Fs 2 ⋅ e fα Získali jsme soustavu tří rovnic o třech neznámých. - 45 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 M + Fs 2 ⋅ r − Fs 2 ⋅ e fα ⋅ r = 0 ( ) M − Fs 2 ⋅ r ⋅ e fα − 1 = 0 a M − F ⋅ ⋅ r ⋅ e fα − 1 = 0 b a M = F ⋅ ⋅ r ⋅ e fα − 1 b ( ( ) ) ⇒ F= M b 1 ⋅ ⋅ fα [N] r a e −1 Při změně smyslu otáčení bubnu dojde ke změně brzdícího účinku a tím i síly F . Rovnováha členu 3 F ⋅ a − Fs1 ⋅ b = 0 Změnou smyslu otáčení se změnila síla Fs 2 na Fs1 . Pásová brzda součtová Aby byla rovnováha na páce pro oba smysly otáčení stejná, provedeme následující úpravu konstrukce. Rovnice rovnováhy pro oba smysly M + Fs 2 ⋅ r − Fs1 ⋅ r = 0 F ⋅ a − Fs1 ⋅ b − Fs 2 ⋅ b = 0 ⇒ F ⋅ a = Fs1 ⋅ b + Fs 2 ⋅ b Fs1 = Fs 2 ⋅ e fα Síla F je větší. Je vidět, že musí překonávat obě síly. Proto se jí říká součtová. (Účinky tahů v páse Fs1 a Fs 2 na páce se sčítají). Je to cena za to, že se brzda hodí pro oba smysly otáčení. - 46 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I vyučovací hodina: © M.H. 2003 47. Pásová brzda rozdílová Potřebujeme-li aby byla ovládací síla F malá. M + Fs 2 ⋅ r − Fs1 ⋅ r = 0 F ⋅ a + Fs1 ⋅ b − Fs 2 ⋅ c = 0 ⇒ F ⋅ a = Fs 2 ⋅ c − Fs1 ⋅ b Fs1 = Fs 2 ⋅ e fα Z rovnováhy na páce vidíme, že síla Fs1 pomáhá brzdící síle F . Účinky tahů v páse Fs1 a Fs 2 na páce se odčítají. Řemenový převod Vlivem smyslu otáčení Fs1 > Fs 2 Fs1 = Fs 2 ⋅ e fα ⇒ Fs 2 = M1 + Fs 2 ⋅ r1 − Fs1 ⋅ r1 = 0 Fs1 e fα Naším úkolem je určit maximální sílu v řemenu, tedy Fs1 . Fs1 ⋅ r1 − Fs1 ⋅ r1 = 0 e fα e fα − 1 F 1 M1 = Fs1 ⋅ r1 − sfα1 ⋅ r1 = Fs1 ⋅ r1 ⋅ 1 − fα = Fs1 ⋅ r1 ⋅ fα e e e M1 + Fs1 = M1 e fα ⋅ [N] r1 e fα − 1 Fs 2 = Fs1 [N] e fα - 47 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 vyučovací hodina: 48. Praktické aplikace vyučovací hodina: 49. a 50. 2.9. OPAKOVÁNÍ STATIKY vyučovací hodina: 51. 3. PRUŽNOST A PEVNOST (PaP) 3.1. DEFINICE PAP, ZÁKLADNÍ DRUHY NAMÁHÁNÍ 3.1.1. Definice PaP, základní pojmy Při řešení úloh PaP se předpokládá, že těleso je v klidu nebo v rovnoměrném pohybu. Úkolem nauky o PaP je určit k předepsanému vnějšímu zatížení rozměry a deformaci tělesa tak, aby se nepřekročila nejen mez pevnosti, ale ani mez pružnosti, za kterou se tělesa trvale deformují. Mez pevnosti - při jejím překročení součást praskne Mez pružnosti - při jejím překročení se začíná součást trvale deformovat Druhy namáhání: 1) tahem 2) tlakem 3) smykem (střihem) 4) krutem 5) ohybem 6) vzpěrem Charakteristické zatížení Zatěžující síly dělíme: a) podle místa působení VNĚJŠÍ (akční) VNITŘNÍ (reakční) b) podle výsledného účinku OSAMĚLÉ SÍLY F M MOMENTY SIL ⇒ posun ⇒ otáčení c) podle polohy roviny zatížení a roviny průřezu KOLMÉ NA PRŮŘEZ ROVNOBĚŽNÉ S PRŮŘEZEM Charakteristický průřez plocha průřezu modul průřezu S W (tah, tlak, smyk) (krut, ohyb) - 48 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 Napětí Podíl, určující průměrnou (střední) hodnotu vnitřních sil, které působí na danou plochu. Druhy napětí: a) σ - normálová napětí (kolmá na průřez) b) τ - tečná napětí (rovnoběžná s průřezem) Charakteristická deformace a) b) c) d) e) tah tlak smyk krut ohyb - prodloužení - zkrácení - posunutí - zkroucení - prúhyb Výpočet charakteristické deformace Součin charakteristického průřezu a modulu pružnosti bývá často nazýván TUHOST. 3.1.1. Zásady dimenzování součástí Při návrhu součásti musí být splněna podmínka, že součást musí vyhovovat jak po stránce pevnosti, tak i deformace. Pevnostní rovnice Tato rovnice slouží k výpočtu: a) Návrhovému – návrh optimálních rozměrů průřezu b) Únosnosti – pro navržené rozměry počítáme maximální možné zatížení c) Kontrolnímu – zjišťujeme, zda skutečné napětí nepřekročí dovolené Deformační rovnice Tato rovnice opět slouží k výpočtu: a) Návrhovému – návrh optimálních rozměrů průřezu b) Únosnosti – pro navržené rozměry počítáme maximální možné zatížení c) Kontrolnímu – zjišťujeme, zda skutečné napětí nepřekročí dovolené d) Maximální deformace - 49 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 vyučovací hodina: 52. 3.1.2. Základní druhy namáhání o Namáhání tahem Definice: Součást je namáhaná tahem, působí-li na ni dvě síly stejně velké, opačně orientované a směřují ven z průřezu. Jsou kolmé na průřez a leží na společné nositelce. Deformace: prodloužení a zúžení průřezu Pevnostní rovnice: o Namáhání tlakem Definice: Součást je namáhaná tlakem, působí-li na ni dvě síly stejně velké, opačně orientované a směřují do průřezu. Jsou kolmé na průřez a leží na společné nositelce. Deformace: zkrácení a rozšíření průřezu Pevnostní rovnice: - 50 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I o © M.H. 2003 Namáhání smykem Definice: Součást je namáhaná smykem, působí-li na ni dvě síly stejně velké, opačně orientované a rovnoběžné s průřezem. Deformace: posunutí části I proti části II Pevnostní rovnice: o Namáhání krutem Definice: Součást je namáhaná krutem, působí-li na ni dvojice sil rovnoběžná s průřezem. Deformace: zkroucení Pevnostní rovnice: - 51 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I o © M.H. 2003 Namáhání ohybem Definice: Součást je namáhaná ohybem, působí-li na ni dvojice sil, jejíž rovina je kolmá k rovině průřezu. Deformace: průhyb Pevnostní rovnice: vyučovací hodina: 53. 3.2. TAH, TLAK 3.2.1. Tahový diagram Ke zjištění mechanických vlastností v tahu se provádí tahová zkouška: Zkušební tyčinku normalizovaného tvaru upevníme do trhacího stroje, na nějž je napojeno kreslící zařízení. To zaznamená průběh zkoušky do tzv.pracovního diagramu. Pracovní diagram měkké uhlíkové oceli - 52 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 Protože hodnoty z pracovního diagramu nelze obecně využít (platí jen pro zkušební tyčinku), zavádíme tzv. smluvní diagram. Smluvní diagram měkké uhlíkové oceli ε … poměrné prodloužení R e , R m ..……. meze zjišťované z diagramu σ K ,t , σ P ,t …… meze zjišťované výpočtem Definice mezí U - mez úměrnosti – (platí Hookův zákon) … obtížně zjistitelná E - mez pružnosti (elasticity) – zůstává trvalá deformace 0,005% původní délky K - mez kluzu – součást se prodlužuje i přes pokles napětí P - mez pevnosti – objevují se první trhliny S - bod přetržení Veličiny charakterizující mechanické vlastnosti materiálu 1. Tažnost δ= l − l0 ⋅ 100 [%] l0 - 53 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 2. Kontrakce (poměrné zúžení) ψ= S0 − S ⋅ 100 [%] S0 Obě tyto veličiny charakterizují HOUŽEVNATOST MATERIÁLU. Podle tvaru tahového diagramu se posuzuje zejména pružnost (čím > σ E , tím je materiál pružnější) a pevnost (čím > σ P , tím je materiál pevnější) a dále houževnatost materiálu. Napětí na mezi kluzu je výchozí hodnotou pevnostních výpočtů houževnatých materiálů. U vysokouhlíkových ocelí však není tato mez v diagramu výrazná, proto se za mez kluzu pokládá napětí, při kterém po odlehčení tyčinky zůstává poměrné prodloužení o hodnotě ε = 0,002 , tedy 0,2% původní délky.Tato hodnota se označuje σ K ,t 0,2 = R P 0,2 = smluvní mez kluzu. vyučovací hodina: 54. 3.2.2. Hookův zákon v tahu, deformační rovnice Až do meze úměrnosti má křivka tahového diagramu tvar přímky => do této meze platí přímá úměra mezi σ a ε . Definice Slovně : Až do meze úměrnosti je napětí přímo úměrné poměrnému prodloužení. Matematicky: (rovnice přímky) y = k ⋅ x dosazením σ a ε E … modul pružnosti v tahu (závisí na druhu materiálu, viz ST [MPa]) - 54 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 Z Hookova zákona lze odvodit vztah pro výpočet skutečné deformace (prodloužení) ∆l , tj. deformační rovnici. F ∆l ; ε= S l0 F ⋅ l0 F ∆l σ = E ⋅ ε ⇒ = E ⋅ ⇒ ∆l = S l0 S ⋅E σ= Obecná deformační rovnice Odvozená deformační rovnice pro ∆l vyučovací hodina: 55. 3.2.3. Pevnostní rovnice v tahu a tlaku, dovolené napětí Obecně platná pevnostní rovnice Na základě této rovnice můžeme napsat pevnostní rovnice pro namáhání: a) Tahem b) Tlakem Dovolené napětí Je maximální přípustné napětí, při kterém dochází pouze k pružným deformacím => v tahovém diagramu se bude tedy nacházet pod mezí pružnosti (elasticity). - 55 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 Protože zjištění této meze je velmi zdlouhavé, dovolené napětí se počítá, nebo zjišťuje z tabulek. Houževnaté materiály σ D,t = σ K ,t k ⋅c = 0,6 ⋅ σ P ,t k ⋅c Pozn.: míra bezpečnosti k závisí na druhu materiálu, pro oceli obvykle bereme k = 1,5 ≅ 2 . Křehké materiály σ D,t = σ P ,t k ⋅c Pozn.: míra bezpečnosti k závisí opět na druhu materiálu. Bereme obvykle k = 4 ≅ 6 . Mez kluzu se volí: Uhlíkové oceli σ P ,t ≤ 700MPa …. σ K ,t ≈ 0,6 ⋅ σ P ,t Slitinové oceli ……………………….. σ K ,t ≈ 0,8 ⋅ σ P ,t vyučovací hodina: 56. 3.2.4. Druhy zatížení, nebezpečný průřez Druhy zatížení I. Statické II. Míjivé - 56 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 III. Střídavé Úloha: Ve ST najděte tabulku součinitelů zatížení. vyučovací hodina: 57. Nebezpečný průřez Je to nejvíce namáhaný příčný průřez součásti, tj. ten, ve kterém je největší napětí => zpravidla nejmenší průřez součásti. Příklad: Nebezpečný průřez táhla, zeslabeného příčným otvorem. S = h ⋅ (b − d ) Příklady: 1. Ocelové táhlo s průřezem b ⋅ h = 10 ⋅ 60mm má být zatíženo klidnou silou F = 69kN . Zjistěte, zda rozměry a zatížení vyhovují je-li materiál 11343 , k = 7 . 2. Plochá ocelová tyč je zatížena tahem osovou silou F = 40kN . Jaké jsou optimální h , střídavé zatížení, materiál 11500 a k = 2 . 4 3. Jak velkou míjivou silou můžeme zatížit táhlo z oceli 11500 , nemá-li napětí překročit σ D,t . Táhlo je průřezu 40 ⋅ 8mm a je v něm příčná díra 15mm . k = 2 . průřezové rozměry b; h je-li b = - 57 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I vyučovací hodina: © M.H. 2003 58. 3.2.5. Měrný tlak V praxi se často setkáváme s tím, že dvě součásti funkčně spolu spojené (hřídel-ložisko, pero-náboj) na sebe vzájemně působí – tlačí. V těchto případech je nutné zjistit, zda tlak ve styčných plochách, tzv. měrný tlak, nepřesahuje dovolenou hodnotu. Obecný výpočet Dovolený tlak pD = 0,7 ≅ 0,9 ⋅ σ D,d …… ( ) pro součásti ve vzájemném klidu. Bere se hodnota té součásti, která je menší! pD = (1 ≅ 20 ) MPa ………. pro součásti ve vzájemném pohybu. Značně kolísá, závisí na druhu materiálu, tvrdosti, drsnosti povrchů, obvodové rychlosti, mazání, rázech atd. Příklady: a) rovinná styčná plocha ROVNÁ p= F F = ≤ pD [MPa] S b⋅l - 58 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 KLÍNOVÁ DRÁŽKA Fn1 = Fn 2 = p= F [N ] 2 ⋅ sin α F F = ≤ pD [MPa ] S 2 ⋅ b ⋅ sin α ⋅ l b) zakřivená styčná plocha TLAK MEZI HŘÍDELEM A LOŽISKEM p= Poznámka: F F = ≤ pD [MPa ] S d ⋅l Další příklady aplikací měrného tlaku budou probírány ve 2. ročníku v předmětu Stavba a provoz strojů. - 59 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I vyučovací hodina: © M.H. 2003 59. 3.3. PROSTÝ SMYK 3.3.1. Definice, pevnostní rovnice Namáhání prostým smykem vzniká tehdy, když dvě stejně velké síly opačného smyslu působí na společné nositelce, procházející těžištěm průřezu. Materiál se brání snaze vnějších sil posunout po sobě obě části vnitřní silou, která se projeví tečným napětím. Tento ideální případ se vyskytuje jen u velmi přesného stříhání materiálu. V obecném případě síly neleží na společné nositelce a kromě posuvu profilu dojde vždy ještě k ohybu. V praxi tento přídavný ohyb většinou zanedbáváme, takže pevnostní rovnice má stejný tvar jako rovnice v tahu a tlaku. Pevnostní rovnice n …….. počet střižných ploch Z diagramu pro zkoušku smykem vyplývá: τ k ,s =& 0,6 ⋅ σ k ,t => τ D,s =& 0,6 ⋅ σ D,t …… pro oceli τ D,s =& (0,8 ≅ 1) ⋅ σ D,t .. pro litinu - 60 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 vyučovací hodina: 60. 3.3.2. Deformační rovnice Mysleme si, že nosník se skládá z jednotlivých vrstviček, které by se účinkem síly F po sobě posunuly. Původně vodorovné roviny nosníku se skloní o malý úhel γ . tg γ = zkos pro velmi malé úhly platí ∆l =& γ l tg γ = Až po mez úměrnosti mezi zkosem a napětím platí τ = k ⋅γ k… konstanta Dosadíme-li k = G , dostaneme Hookův zákon pro smyk G … modul pružnosti ve smyku (závisí na druhu materiálu, viz ST [MPa]) G= E 2 ⋅ (1 + µ ) µ …. Poissonova konstanta Z Hookova zákona lze dosazením získat deformační rovnici. ∆l F ;τ = l S ∆l F = l S ⋅G γ= S ⋅ G …… tuhost ve smyku - 61 - G =& 3 ⋅ E …. pro oceli 8 Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 3.3.3. Stříhání materiálu Při stříhání materiálu musíme materiál porušit a proto platí upravená pevnostní rovnice O [mm ] … t [mm ] …. obvod střihu tloušťka stříhaného materiálu vyučovací hodina: 61. 3.3.4. Praktické aplikace vyučovací hodina: 62. 3.4. PRŮŘEZOVÉ MODULY PRO NAMÁHÁNÍ KRUTEM A OHYBEM Úvod Při namáhání v tahu, tlaku a smyku jsme poznali, že charakteristickými veličinami byla velikost síly a plochy průřezu. To tedy znamená, že u těchto druhů namáhání nezáleží na poloze, tvaru nebo rozložení průřezu podle průřezové osy. Jinak tomu bude u namáhání krutem a ohybem, o čemž se můžeme přesvědčit pokusem. Pokus: Vezměme rovné plastové pravítko obdélníkového průřezu a ohýbejme jej. Zjistíme, že pravítko se daleko lehčeji ohne naležato než nastojato. Vidíme tedy, že u ohybu (i krutu a vzpěru) není únosnost a deformace závislá jen na velikosti průřezu, ale závisí i na poloze, tvaru a rozložení podél průřezové osy. Charakteristickou veličinou je KVADRATICKÝ MOMENT PRŮŘEZU. 3.4.1. Kvadratický moment průřezu je charakteristickou průřezovou veličinou pro krut, ohyb a vzpěr. Označení: Výpočet: Jx , Jy , Jz x, y , z … Jx = ∑ ∆S ⋅ y 2 Jy = ∑ ∆S ⋅ x 2 osy, ke kterým moment počítáme [mm ] 4 Tyto vztahy potřebujeme při odvozování rovnice pro ohyb, kde jsou vztaženy na neutrální osu ( osu bez napětí a deformace). Součet součinů ∆S ⋅ x a ∆S ⋅ y se vztahuje na celou plochu průřezu. Jelikož kvadratický moment roste s druhou mocninou vzdálenosti od osy, proto se pravítko nastojato daleko méně deformuje než naležato. 2 - 62 - 2 Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 S ⋅ y T2 =/ ∑ ∆ S ⋅ y 2 POZOR !!! 3.4.2. Vztah mezi kvadratickým a polárním momentem průřezu Kromě kvadratického momentu průřezu rozeznáváme ještě tzv. POLÁRNÍ MOMENT PRŮŘEZU J P , který je vztažen k ose, která je k rovině kolmá. Bod 0 , ve kterém osa protíná rovinu obrazce nazýváme PÓLEM. Jelikož platí, že ρ = x + y , můžeme pak psát vztah 2 2 2 ( ) JP = ∑ ∆ S ⋅ ρ2 = ∑ ∆ S ⋅ x 2 + y 2 = ∑ ∆ S ⋅ x 2 + ∑ ∆ S ⋅ y 2 = J y + J x JP = J x + J y Polární moment průřezu je roven součtu kvadratických momentů průřezu ke dvěma vzájemně kolmým osám, které se protínají v pólu. vyučovací hodina: 63. 3.4.3. Kvadratické a polární momenty základních rovinných obrazců, průřezové moduly v krutu a v ohybu Kvadratické a polární momenty Hodnoty pro základní geometrické tvary (kruh, čtverec, obdélník, mezikruží, … ) lze najít ve Strojnických tabulkách. Úloha: Vyhledej si ve Strojnických tabulkách hodnoty kvadratického a polárního momentu pro základní geometrické obrazce. Nalezené výrazy zapiš do tabulky. Průřezové moduly v krutu a v ohybu V úvodní kapitole byly uvedeny vztahy pro určení napětí v ohybu a v krutu Veličiny W o a W k jsou odvozeny z hodnot J a J P a platí pro ně: - 63 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 Modul průřezu v ohybu W ox = W oy = Jx e Jy e [mm ] 3 Tento vztah platí vždy! Modul průřezu v krutu Wk = [ JP mm 3 e ] U krutu platí pouze pro kruhové průřezy! Úloha: Odvoď (vyhledej) W o a W k pro základní geometrické obrazce a zapiš je do tabulky. vyučovací hodina: 64. 3.4.4. Steinerova věta Osa, která prochází těžištěm se nazývá centrální osa a příslušný kvadratický moment průřezu centrální kvadratický moment průřezu. K ose x platí Jx = ∑ ∆ S ⋅ y 2 x1 platí J x1 = ∑ ∆ S ⋅ y 12 y1 = y + a pak platí J x1 = ∑ ∆ S ⋅ (y + a ) = ∑ ∆ S ⋅ y 2 + ∑ 2 ⋅ a ⋅ y ⋅ ∆ S + ∑ ∆ S ⋅ a 2 2 Druhý člen ∑ 2 ⋅ a ⋅ y ⋅ ∆ S = 2 ⋅ a ⋅ ∑ y ⋅ ∆ S = 0 … lineární moment průřezu k ose procházející těžištěm (je roven nule) - 64 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 Po úpravě lze psát Steinerovu větu [ J x1 =J x +a 2 ⋅ S mm 4 ] Znění: Kvadratický moment průřezu k libovolné ose rovnoběžné s centrální osou se rovná kvadratickému momentu průřezu k centrální ose, zvetšenému o součin velikosti průřezu a druhé mocniny vzdálenosti obou os. Centrální osy: - osy k sobě kolmé, procházející těžištěm Poznánky: Má-li průřez osu souměrnosti, je tato vždy hlavní centrální osou Druhá osa jdoucí těžištěm je k hlavní ose kolmá Má-li průřez osu souměrnosti, pak kvadratické momenty obou stran (částí) jsou stejné Posuneme-li plochu rovnoběžně s osou, ke které kvadratický moment hledáme, pak se tento kvadratický nezmění vyučovací hodina: 65. 3.4.5. Kvadratické momenty a průřezové moduly složených průřezů Při výpočtu platí zásada: Kvadratické momenty průřezu lze slučovat tehdy a jen tehdy, jsou-li vztaženy ke společné ose! U složených obrazců rozlišujeme dva základní případy: a) Dílčí plochy mají společnou osu souměrnosti n Pak platí vztah J = ∑ Ji n …… počet ploch i =1 Řešení si ukážeme na konkrétní úloze. Úloha: Stanovte J x složené plochy podle obrázku. Pro úlohu platí J x = J x čtverce − J x kruhu + J x obdél níka a4 π ⋅ d 4 b ⋅ h3 Jx = − + 12 64 12 - 65 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 b) Dílčí plochy nemají společnou osu souměrnosti Jestliže nemají plochy společnou osu souměrnosti, pak všechny kvadratické momenty průřezu dílčích ploch musíme převést z jejich těžišťových os na rovnoběžnou společnou neutrální osu a teprve pak je sloučit. Pak platí vztah n ( ) n n i =1 i =1 J = ∑ J i + S i ⋅ ai2 = ∑ J i + ∑ S i ⋅ ai2 i =1 n …… počet ploch Pro řešení úloh tohoto typu je možno definovat obecný postup: 1. Zjistíme početně nebo graficky polohu těžiště daného složeného průřezu (viz Statika). 2. Rozdělíme průřez na základní obrazce, u kterých umíme kvadratické momenty průřezu určit, nebo je známe. 3. Určíme kvadratický moment průřezu každé dílčí plochy k ose procházející jejím těžištěm, rovnoběžné s centrální osou. Zatím tyto kvadratické momenty nemůžeme slučovat, protože jsou stanoveny k různým osám. 4. Kvadratické momenty průřezu dílčích ploch převedeme pomocí Steinerovi věty na centrální osu. 5. Převedené kvadratické momenty dílčích ploch sloučíme a dostaneme celkový kvadratický moment průřezu. 6. Z kvadratického momentu vypočítáme průřezový modul v ohybu. vyučovací hodina: 66. 3.4.6. Praktické aplikace Úloha: Určete J x a W ox složeného profilu podle obrázku. - 66 - Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003 Rozbor úlohy: J = J STOJINY + J PÁSNIC + J ŮHELNÍKŮ − J OTVORŮ Vlastní řešení: 1. Stojina J x1 = b ⋅ h 3 10 ⋅ 300 3 = = 22,5 ⋅ 10 6 mm 4 12 12 2. Pásnice J x2 b ⋅ h3 130 ⋅ 10 3 2 = 2⋅ + S ⋅ a = 2 ⋅ + 10 ⋅ 130 ⋅ 155 2 = 62,49 ⋅ 10 6 mm 4 12 12 3. Úhelníky Z norem určíme velikost průřezu, vzdálenost těžiště a kvadratický moment průřezu k těžišťové ose rovnoběžné s osou x . S = 656 mm 2 ; ( J x 3 = 4 ⋅ J x´ + S ⋅ a 2 ) e = 15 mm ; J x´ = 14,6 ⋅ 10 4 mm 4 = 4 ⋅ 14,6 ⋅ 10 4 + 656 ⋅ 135 2 = 48,4 ⋅ 10 6 mm 4 ( ) 4. Otvory Vyřešíme bez použití Steinerovy věty rozdílem kvadratických momentů dvou obdélníků. Jx4 = 2 ⋅ ( ) 1 ⋅ 6 ⋅ 320 3 − 286 3 = 9,37 ⋅ 10 6 mm 4 12 Celkový kvadratický moment J x = J x1 + J x 2 + J x 3 − J x 4 J x = 22,5 ⋅ 10 6 + 62,49 ⋅ 10 6 + 48,4 ⋅ 10 6 − 9,37 ⋅ 10 6 J x = 124 ⋅ 10 6 mm 4 Modul průřezu v ohybu W ox = J x 124 ⋅ 10 6 = = 7,75 ⋅ 10 5 mm 3 e 160 vyučovací hodina: 67. a 68. 3.5. OPAKOVÁNÍ Literatura: Mrňák L., Drla A. Salaba S, Matěna A. Hofírek M. Hofírek M. MECHANIKA – Pružnost a pevnost MECHANIKA I - Statika MECHANIKA STATIKA MECHANIKA STATIKA pracovní sešit - 67 - SNTL SNTL Fragment Fragment 1977 1982 1998 1998