Rozbor strategie

Čtvercové, krychlové
a teseraktové minipiškvorky
strategie hry
Mgr. Michal Musílek
červen 2006
1
Pravidla hry minipiškvorky
Minipiškvorky jsou zjednodušená verze piškvorek, která se hraje v omezeném prostoru 3 × 3 pole.
Hráči se střídají v kreslení koleček (hráč „kolečko“ začíná - má výhodu prvního tahu) a křížků.
Vyhrává ten, kdo první dosáhne tří vlastních značek v jednom směru (řadě, sloupci nebo
úhlopříčce), tedy ten, který vytvoří minipiškvorku. Pokud se žádnému z hráčů nepodaří vytvořit
minipiškvorku, hra končí nerozhodně.
Budeme-li hru analyzovat, nabízejí se otázky:
● Existuje strategie, podle které začínající hráč vždy vyhraje (tzv. vyhrávající strategie), ač
hraje soupeř sebelépe?
● Existuje taková strategie, která zaručí, že začínající hráč neprohraje (tzv. neprohrávající
strategie)?
● Existuje vyhrávající strategie, případně neprohrávající strategie pro nezačínajícího hráče?
Pokud budeme hru hrát s dětmi, přidejme pravidlo, že v následující hře si musí vyměnit symboly, tj.
musí začínat hráč, který předtím nezačínal. Jen tak se spravedlivě vyrovná výhoda prvního tahu
(která skutečně existuje, jak dále uvidíme).
Zobecnění - vícerozměrné minipiškvorky
I když nebudeme hru matematicky analyzovat, zjistíme po chvíli hraní, že čtvercové minipiškvorky
jsou velmi jednoduchá hra. Proto si je můžeme ztížit rozšířením o další rozměr. U krychlových
minipiškvorek budou hrací plochu tvořit tři čtverce 3 × 3, které představují jednotlivé vrstvy
krychle. Opět vyhraje ten, kdo dosáhne první tří vlastních značek v jednom směru (kromě směrů v
jednotlivých vrstvách připadají v úvahu navíc i sloupce a všechny úhlopříčky v krychli). Existuje
nyní vyhrávající či neprohrávající strategie pro prvního nebo druhého hráče?
Je zřejmé, že krychlové minipiškvorky jsou zajímavé z hlediska rozvíjení prostorové představivosti
žáků. Navíc jsou zajímavější i z hlediska analýzy vyhrávající strategie. K tomuto zobecnění hry
můžeme rychle přejít už na základní škole. Opět dodržujme pravidlo o střídání začínajícího hráče
a nejprve nechme děti hrát, zkusme je intuitivně a induktivně vyvodit určitá doporučení a teprve
potom analyzujme přísně deduktivně vyhrávající strategii začínajícího hráče (pokud existuje).
V přidávání dalších dimenzí bychom mohli pokračovat teoreticky libovolně dlouho a definovat
obecně n-rozměrné minipiškvorky. Hra by se ovšem se zvyšujícím se n nepřiměřeně komplikovala
a přestávala by být hratelná. Posledním rozumným zobecněním mohou být čtyřrozměrné
minipiškvorky. Mohli bychom je nazvat také hyperkrychlové (ale to není ideální název, protože
hyperkrychlí se obvykle rozumí libovolná n-rozměrná krychle pro n > 3), nebo jednoznačněji
teseraktové minipiškvorky (teserakt je jednoslovný název pro čtyřdimenzionální krychli).
Rekapitulace zadání
Pokusíme se analyzovat vyhrávající, respektive neprohrávající strategii prvního i druhého hráče pro
● 2D-minipiškvorky, čili čtvercové minipiškvorky
● 3D-minipiškvorky, čili krychlové minipiškvorky
● 4D-minipiškvorky, čili teseraktové minipiškvorky
2
Čtvercové minipiškvorky
Ve čtverci 3 × 3 pole je možné vytvořit piškvorku celkem osmi způsoby. Tři ve vodorovných
řadách, tři ve sloupcích a dvě v úhlopříčkách. Pole hrací plochy mají různou sílu podle toho, kolik
možných piškvorek přes ně prochází. Nejsilnější je pole ve středu plochy (S), prochází přes něj čtyři
možné piškvorky, následují rohová pole (R) se třemi piškvorkami a nejmenší sílu mají pole u středů
stran čtvercové hrací plochy (H), dvě možné piškvorky.
3
2
3
2
4
2
3
2
3
O
X O
O
O
X O
X O
O O 
X O
X 
X
Pokud první hráč (symbol: O) zahájí nejsilnějším tahem S a druhý hráč (symbol: X) odpoví slabým
tahem H má v dalších tazích první hráč vyhrávající strategii zobrazenou na prvních obrázcích, t.j.
odpoví tahem H na pole „do pravého úhlu“, donutí hráče X zablokovat hrozící piškvorku a v dalším
tahu si vytvoří „vidličku“. proti které už není obrana. Když hráč X udělá značku na poli , dokončí
hráč O piškvorku na poli  a naopak.
X
X O
X O
O
O
X O O
X O O
O
O
O
X
X
X
X O O
O O
X
X
X
O
Jestliže ovšem druhý hráč X odpoví silnějším tahem R, nemůže už prohrát, tedy existuje
neprohrávající strategie pro druhého hráče. Základem této strategie je na začátku obsadit co
nejsilnější pole (tj. na úvodní tah S odpovědět R, na jiný úvodní tah odpovědět S).
Jeden z příkladů obrany je uveden na druhé sérii obrázků, kdy po úvodu S - R pokračuje první hráč
tahem H na poli vedle soupeře. Tahem na pole označené O zablokuje hráč X obě zbývající
možnosti vytvoření piškvorky. Podobně by dopadlo zahájení S - R - H, kdy pole H by bylo
vzdálené od tahu soupeře (R).
X
X
O
O
X
O
O
X
O
X
O
X
O
X  O
O O
O O X
O O
X
X
X 
X
A toto je další příklad úspěšné obrany. Po zahájení S - R pokračuje pokračuje první hráč rohovým
polem „do pravého úhle“, v dalším tahu sice donutí hráče X k zablokování úhlopříčné piškvorky,
ale pak bohužel donutí i sám sebe k zablokování piškvorky, takže ztratí možnost (šachisté tomu
říkají ztráta tempa) vytvoření „vidličky“ a hráč X v dalším tahu obsadí klíčové pole. Pak je již
jedno, zda O pokračuje polem , nebo , protože X zablokuje poslední možnou piškvorku
označením druhého pole z dvojice , . Podobně skončí patovou situací i zahájení S - R - R, kdy
první tři obsazená pole vytvoří úhlopříčku.
Ukázali jsme, že existuje neprohrávající strategie pro druhého hráče X:
1) na zahájení středovým polem S odpovědět rohovým polem R,
2) na zahájení polem R, nebo H odpovědět nejsilnějším možným tahem S,
3) pokud hráč O vytvoří dvojici v řadě, sloupci, nebo na úhlopříčce a třetí pole je dosud volné,
3
zablokovat vytvoření piškvorky obsazením volného pole,
4) v ostatních případech na tahu nezáleží, takže můžeme doporučit třeba „řídit se zdravým
selským rozumem“.
Jestliže existuje neprohrávající strategie pro druhého hráče X, nemůže logicky existovat vyhrávající
strategie pro prvního hráče O. Je to podobné jako s „všepronikající střelou“ a „neprůstřelným
pancířem“. Jestliže existuje „neprůstřelný pancíř“, nemůže existovat „všepronikající střela“.
Podobně se dá prozkoumáním možností ukázat, že neexistuje vyhrávající strategie pro druhého
hráče X, tedy, že existuje neprohrávající strategie pro prvního hráče.
Závěr: Ve čtvercových minipiškvorkách existují neprohrávající strategie pro oba hráče. Jakmile je
oba hráči objeví, končí všechny partie patovou situací, tedy remízou, takže se hráči začnou nudit
a vymyslí krychlové minipiškvorky.
Krychlové minipiškvorky
V krychli 3 × 3 × 3 je možné vytvořit piškvorku celkem 49 způsoby:
● 9 piškvorek vodorovně zleva doprava
● 9 piškvorek vodorovně zepředu dozadu
● 9 piškvorek svisle shora dolů
● 6 piškvorek v úhlopříčkách jednotlivých vodorovných vrstev
● 6 piškvorek v úhlopříčkách jednotlivých svislých vrstev zepředu dozadu
● 6 piškvorek v úhlopříčkách jednotlivých svislých vrstev zleva doprava
● 4 piškvorky v tělesových úhlopříčkách krychle
Nejsilnější pole je v centru krychle (C), prochází přes něj celkem 13 piškvorek (3 spojnice středů
stěn krychle, 6 úhlopříček ve vrstvách a 4 tělesové úhlopříčky), následují rohová pole (R) se 7
piškvorkami (3 + 3 + 1), pole ve středu stěny (S) s 5 piškvorkami (3 + 2 + 0) a nejmenší sílu mají
pole u středů hran krychle (H), 4 možné piškvorky (3 + 1 + 0).
7
4
7
4
5
4
7
4
7
4
5
4
5 13 5
4
5
4
7
4
7
4
7
4
7
5
4
Už z tohoto pohledu je zřejmé, že první hráč má daleko větší manévrovací prostor a že s využitím
výhody prvního tahu snadno nastraží léčku - vidličku, aniž by mu v tom mohl druhý hráč zabránit.
Partie by mohla probíhat např. takto: Hráč O obsadí nejsilnější pole C, hráč X odpoví druhým
nejsilnějším tahem R:
X
O
V dalším tahu obsadí O pole S poblíž rohu obsazeného X, tím vytvoří dvojici a hrozí, že v příštím
tahu vytvoří piškvorku. Hráč X se musí bránit vynuceným obsazením pole S na druhé straně
4
od centra C:
X
O
O O X


V dalším tahu první hráč obsadí pole O a tím vytvoří vidličku proti které není obrana. Druhý hráč
totiž může zablokovat pouze jedno z polí , nebo  a na druhém pak dokončí piškvorku.
Poznámka k uvedené partii:
Ve druhém tahu prvního hráče O by bylo chybou, kdyby obsadil pole S u stěny vzdálené od rohu
obsazeného hráčem X. Vynuceným tahem by totiž X získal dvojici na úhlopříčce a hráč O by se
místo vytvoření vidličky musel bránit.
Z uvedeného příkladu partie je vidět, že při správné strategii prvního hráče nic nezachrání druhého
před prohrou, ani ten nejsilnější obranný tah. Vyhrávající strategie prvního hráče je:
1) Jako první obsadit nejsilnější pole C (střed krychle).
2) Po tahu druhého hráče X na rohové pole R, nebo pole H u hrany krychle obsadit pole
uprostřed stěny krychle S co nejblíže pole obsazeného křížkem X; po tahu druhého hráče X
na pole uprostřed stěny krychle S obsadit pole uprostřed stěny krychle S do pravého úhle
(tedy na sousední stěně krychle, nikoliv protilehlé).
3) Po vynuceném obranném tahu hráče X vytvořit vidličku obsazením pole H, které sousedí
s předtím obsazeným polem S.
4) Po jakémkoliv dalším tahu hráče X vytvořit piškvorku (díky vidličce tomu hráč X nemohl
zabránit).
Hráč O má tedy vždy možnost zvítězit svým čtvrtým tahem i při sebelepší obraně hráče X. Jestliže
existuje vyhrávající strategie prvního hráče, logicky nemůže existovat neprohrávající strategie
druhého hráče. Je to podobné jako s „všepronikající střelou“ a „neprůstřelným pancířem“. Jestliže
existuje „všepronikající střela“, nemůže existovat „neprůstřelný pancíř“. Jestliže existuje
neprohrávající strategie druhého hráče, nemůže tím spíš existovat vyhrávající strategie druhého
hráče.
Závěr: V krychlových minipiškvorkách existuje vyhrávající strategie prvního hráče. Druhý hráč
nemá (při správné strategii prvního) šanci ubránit se prohře.
Teseraktové minipiškvorky
Teserakt, čili čtyřrozměrnou krychli můžeme modelovat různými způsoby. Jednou z možností je
představit si souřadnice jejích vrcholů v čtyřrozměrné kartézské soustavě souřadnic. Umístíme-li
čtverec do dvourozměrné kartézské soustavy souřadnic tak, aby jeden jeho vrchol byl v počátku
a další na kladných poloosách x a y v jednotkové vzdálenosti o počátku, budou souřadnice všech
čtyř vrcholů [0, 0], [0, 1], [1, 0] a [1, 1]. Pro (trojrozměrnou) krychli umístěnou analogickým
způsobem do trojrozměrné kartézské soustavy dostávám souřadnice vrcholů [0, 0, 0], [0, 0, 1],
[0, 1, 0], [0, 1, 1], [1, 0, 0], [1, 0, 1], [1, 1, 0] a [1, 1, 1]. Jestliže „očíslujeme“ analogickým
způsobem vrcholy teseraktu, dostaneme jich celkem 16.
5
Hrací plochu pro teseraktové minipiškvorky pak může představovat devět čtverců 3 × 3 pole
uspořádaných také do matice 3 x 3. Popíšeme-li rohová pole stejnými souřadnicemi jako na obrázku
nahoře, dostáváme následující model tesetraktu složeného z 3 × 3 × 3 × 3 = 81 4D-krychliček:
[0, 0, 0, 0] [0, 0, 0, ½] [0, 0, 0, 1]
[0, ½, 0, 0] [0, ½, 0, ½] [0, ½, 0, 1]
[0, 1, 0, 0] [0, 1, 0, ½] [0, 1, 0, 1]
[0, 0, ½, 0] [0, 0, ½, ½] [0, 0, ½, 1]
[0, ½, ½, 0] [0, ½, ½, ½]
[0, 1, ½, 0]
[0, 0, 1, 0] [0, 0, 1, ½] [0, 0, 1, 1]
[0, ½, 1, 0]
[½,, 0, 0, 0] [½, 0, 0, ½] [½,, 0, 0, 1]
[½, ½, 0, 0] [½, ½, 0, ½]
[½, 0, ½, 0] [½, 0, ½, ½]
[½, ½, ½, 0]
[½, 0, ½, 1]
[0, ½, ½, 1]
[0, ½, 1, ½] [0, ½, 1, 1]
[½, 0, 0, 1]
[½, ½, ½, ½] [½, 0, ½, 1]
[0, 1, ½, ½] [0, 1, ½, 1]
[0, 1, 1, 0] [0, 1, 1, ½] [0, 1, 1, 1]
[½, 1, 0, 0]
[½, 1, 0, ½] [½, 1, 0, 1]
[½, 1, ½, 0] [½, 1, ½, ½]
[½, 1, ½, 1]
[½,, 0, 1, 0] [½, 0, 1, ½] [½, 0, 1, 1]
[½, ½, 1, 0] [½, ½, 1, ½]
[½, 0, 1, 1]
[½, 1, 1, 0]
[1, 0, 0, 0] [1, 0, 0, ½] [1, 0, 0, 1]
[1, 0, 0, 0]
[1, 0, 0, ½]
[1, 0, 0, 1]
[1, 1, 0, 0] [1, 1, 0, ½] [1, 1, 0, 1]
[1, 0, ½, 0]
[1, 0, ½, ½] [1, 0, ½, 1]
[1, 0, ½, 0]
[1, 0, ½, ½] [1, 0, ½, 1]
[1, 1, ½, 0]
[1, 0, 1, 0] [1, 0, 1, ½] [1, 0, 1, 1]
[1, 0, 1, 0]
[1, 0, 1, ½]
[1, 1, 1, 0] [1, 1, 1, ½] [1, 1, 1, 1]
[1, 0, 1, 1]
[½, 1, 1, ½] [½, 1, 1, 1]
[1, 1, ½, ½] [1, 1, ½, 1]
Červeně označená pole odpovídají vrcholům teseraktu. Je jich 16. Spojnice vrcholů tesetraktu pak
odpovídají buď hranám, nebo úhlopříčkám. Jak je vidět z grafu, z každého vrcholu vycházejí právě
čtyři hrany. Každou hranu ale počítám z obou „konců“, takže počet hran je 16 . 4 . ½ = 32 hran.
Každá piškvorka rovnoběžná s některou hranou (včetně piškvorek na hranách) se skládá ze tří bodů,
které mají tři souřadnice konstantní a jedna souřadnice nabývá postupně hodnot 0, ½ a 1. Ke změně
může docházet na jedné ze čtyř pozic a různých konstantních možností pro tři zbývající souřadnice
je 3 . 3 . 3 = 27. Tedy máme celkem 4 . 27 = 108 různých piškvorek rovnoběžných s některou
z hran teseraktu.
Zbývající spojnice vrcholů představují úhlopříčky. Jejich celkový počet získám, jestliže odečtu
od počtu všech spojnic vrcholů počet hran:
 
u = 16 −32 = 120−32 = 108
2
6
Protože úhlopříčné piškvorky musí ležet pouze na úhlopříčkách teseraktu, je jich celkem také 108,
stejně jako piškvorek rovnoběžných s hranami teseraktu.
V teseraktových minipiškvorkách můžeme tedy potenciálně vytvořit 108 + 108 = 216 různých
minipiškvorek.
Správná strategie prvního hráče O vychází ze strategie v krychlových piškvorkách. Manévrovací
prostor je ještě mnohem větší než u krychlových minipiškvorek, takže :
● Jako první je třeba obsadit nejsilnější pole [½, ½, ½, ½] (střed teseraktu).
● Ve druhém tahu obsadit některé pole B teseraktu, jehož tři souřadnice jsou celočíselné
a právě jedna ze souřadnic je rovna ½, které není vzdáleno od pole A obsazeného X více než
 2 , přičemž vzdálenost bodů A = [a , a , a , a ] a B = [b , b , b , b ] chápeme
1
2
3
4
1
2
3
4
2
∑
4
v běžném smyslu jako ∣AB∣ =
n=1
●
●
2
a n−b n  .
Po vynuceném obranném tahu hráče X vytvořit obsazením pole D, jehož tři celočíselné
souřadnice jsou stejné jako celočíselné souřadnice bodu B, obsazeného ve druhém tahu
a jehož čtvrtou souřadnici získáme změnou z ½ na 0, nebo 1.
Po jakémkoliv dalším tahu hráče X vytvořit piškvorku (díky vidličce tomu hráč X nemohl
zabránit).
Jak je vidět teserakt je zajímavým objektem z hlediska abstraktní matematické představivosti, ale
teseraktové minipiškvorky oproti krychlovým piškvorkám v podstatě nepřinášejí nic nového. První
hráč má opět díky výhodě prvního tahu k dispozici vyhrávající strategii.
7