zde

Metody počítačové fyziky - příklad MC Isingův
model
Ondřej Klimo
Metoda Monte Carlo a Isingův model
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - příklad MC Isingův model
Úvod
I
Dvourozměrný Isingův model je vdlmi vhodný k procvičení jednoduché MC metody.
I
Tento model popisuje mřížku s diskrétním počtem částic, které
mají nějakou binární vlastnost jako například spin.
I
Můžeme studovat časový vývoj systému v závislosti na proměnné, která se nazývá síla interakce.
I
Při určité hodnotě síly interakce zaznamenáme fázový přechod
(i když třeba slabý).
I
Sílu interakce při tomto fázovém přechodu je možné porovnávat
s teoreticky předpovězenou hodnotou.
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - příklad MC Isingův model
Model
I
I
Pro systém závisející na uspořádání spinů na mřížce můžeme
definovat Hamiltonián a z něho vyvodit vlastnosti jako magnetizace a susceptibilita.
Předpokládejme následující tvar Hamiltoniánu
H=
J
X
Si S j
B
kde < ijhiji> znamená, že sčítáme vždy přes nejbližší sousední
ij
i(j ± 1)
(i ± 1)j
páry spinů.
To znamená, že spin na pozici ij interaguje se spiny na pozicích
J
i(j ± 1) a (i ± 1)j.
H=
J
X
hiji
I
Si
i
hiji
I
X
hiji
ij
Si S j
B
X
Si
i
i(j ± 1)
(i ± 1)j
J
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - příklad MC Isingův model
Model
I
Budeme dále v modelu předpokládat periodické okrajové podmínky, což znamená, že kazdý spin bude interagovat s dalšími
čtyřmi spiny bez ohledu na pozici na konečné mřížce.
I
J je bezrozměrná síla interakce a B, které je také bezrozměrné,
představuje energii obsaženou v magnetizaci mřížky.
I
Z Hamiltoniánu můžeme vypočítat partiční funkci jako
Z=
X
e
Hi
i
I
X
kde suma probíhá přes všechny
na mřížce.
Z = částice
e H
i
i
I
V tomto případě je pravděpodobnost
nalezení systému v daném
e H( )
p( ) =
stavu (označovaném S) dána
jakoZ
p( ) =
M=
@ log Z
=
@B
e
H( )
Z
X
p( )
X
Si
i
X počítačové
X
Ondřej Klimo
fyziky - příklad MC Isingův model
@ log Z Metody
Model
I
I
I
I
I
I
M=
X
@ log Z X
=
p( )
Si
@B
i
Nyní vypočítáme veličiny jako magnetizaci
a susceptibilitu.
!2
X
X
@M
=
=
p(
)
Si
M2
Když bychom předpokládali
i relativně
malou
mřížku s 20 x
@B
i
20 částicemi, bylo by nesmírně náročné vypočítat tyto veličiny
přímo. Museli vzít v úvahu všech
2400 různých konfigurací.
X
E=
p( )H( ).
Nicméně můžeme hodnoty
těchto
veličin dobře odhadnout pomocí metody Monte Carlo.
X
C=
p( )H 2spinů
( ) E 2na
.
Začneme s náhodnou konfigurací
mřížce 20 x 20.
Zjistíme s pomocí dříve definované pravděpodobnosti, jak prav2400
děpodobné je pro každou částici, že změní svůj spin.
Poměr pravděpodobností současného a možného změněného stavu
je
r=
I
p( f )
= eH(
p( )
) H(
f)
f
kde Sf představuje
novou konfiguraci po změně spinu.
r > 1možnou
r<1
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - příklad MC Isingův model
Model
I
Spiny částic, pro které buď r > 1, nebo r < 1, ale zároveň je r
větší než náhodné číslo s rovnoměrným rozdělením mezi 0 a 1,
mají potenciál být změněny.
I
Abychom proces tlumily, budeme měnit jen spiny náhodně vybrané podskupiny této skupiny možných změn.
I
Postupnou integrací veličin M a E až do dosažení jejich stabilních hodnot dostaneme odhad skutečných hodnot těchto veličin.
I
Musíme ještě podotknout, že v limitě nekonečně velké mřížky
můžeme Isingův model řešit přesně analyticky.
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - příklad MC Isingův model
Spouštění výpočtu
I
Začneme vytvořením čtverctové mřížky se 400 částicemi a přiřadíme jim náhodnou orientaci spinu.
I
Náhodně rovněž zvolíme sílu interakce mezi 0 a 1 a budeme pak
sledovat vývoj systému po 1000 kroků.
I
Všimněte si, že kladná hodnota síly interakce znamená, že energie je nižší, pokud je orientace sousedních spinů souhlasná.
I
To odpovídá ferromagnetism, zatímco záporná hodnota J odpovídá anti-feromagnetismu, kdy se spiny snaží uspořádat nesouhlasně.
I
Rychlost vývoje je kontrolována proměnnou randT ol a v tomto
případě volíme randT ol = 0.1.
I
To znamená, že pouze 10% procent z původně vybraných možných změn spinu bude provedeno.
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - příklad MC Isingův model
= 0.1
Spouštění výpočtu
I
Sledujeme vývoj 12000 systémů v závislosti na jejich parametrech.
I
Na závěr výpočtu vykreslíme závislost celkové energie systému
jako funkci jeho síly interakce (Fig. 2)
202
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - příklad MC Isingův model
Spouštění výpočtu
I
V obrázku můžeme pozorovat změnu chování systému, i když
ne příliš výraznou, pro hodnotu síly interakce mezi 0.4 a 0.5.
I
Tato změna chování je mnohem více partná v závislosti magnetizace na síle interakce znázorněné na Fig. 3.
202
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - příklad MC Isingův model
Spouštění výpočtu
I
Když je síla interakce relativně malá, spin částic je v orientován v
podstatě náhodně, což vede k téměř nulové celkové magnetizaci.
I
Tomu ve skutečnosti odpovídá vysoká teplota (změna fáze probíhá právě při tzv. Curieově teplotě) neboť J = −E/kT , a tedy
J závisí na T nepřímo úměrně.
I
Jakmile však zvýšíme sílu interakce, spiny se začínají orientovat
souhlasně.
I
Když se podíváme na vztah mezi magnetizací a energií, vidíme
ve Fig. 4, že pro nízké energie máme dvě různé oblasti magnetizace, v závislosti na převládající orientaci souhlasně orientovaných spinů (nahoru nebo dolu).
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - příklad MC Isingův model
Spouštění výpočtu
202
I
I
I
Při nízkých energiích se nám vyskytují i konfigurace s relativně
nízkou magnetizací.
K tomu dochází tehdy, když mřížka obsahuje několik relativně
velkých oblasti spinů se stejnou orientací, avšak orientace spinů
v různých oblastech se liší.
Je to analogické ke vzniku domén magnetizace ve ferromagneOndřej Klimo
Metody počítačové fyziky - příklad MC Isingův model
Srovnání modelu s teorií
I
Podotkněme, že zvýšená magnetizace nebo vznik velkých domén
se souhlasnou orientací vede ke snížení energie.
I
Teoretický model předpokládá nekonečnou mřížku, což ovlivňuje
srovnání s našimi simulacemi.
I
Tento jednoduchý MC model dává pak výsledky v lepším souhlasu s teorií při zvětšení mřížky.
I
Na Fig. 8 je patrné, že jednoduchý MC model s malou mřížkou
poskytuje výsledky, které nejsou příliš v souladu s teorií.
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - příklad MC Isingův model
Srovnání modelu s teorií
1002
I
Teoretický model je pro nekonečnou mřížku, a proto není překvapivé, že nesouhlasí s naší omezenou MC simulací.
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - příklad MC Isingův model
Srovnání modelu s teorií
I
Měli bychom upozornit, že z teorie vyplývá, že energie na částici
roste v limitě do nekonečna, když zmenšujeme sílu interakce k
nule.
I
To je v souladu s tím, že síla interakce je nepřímo úměrná teplotě
a když jde do nekonečna teplota, tak musí růst nade všechny
meze i energie jednotlivých částic.
I
Na Fig. 9 pak vidíme mnohem lepší souhlas mezi teorií a MC
simulací.
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - příklad MC Isingův model
Srovnání modelu s teorií
1002
1002
I
Nicméně, jak jsme již uvedli, existují i stavy s vysokou hodnotou síly interakce, kde je celková magnetizace blízká nule a ty
odpovídají vzniku rozsáhlých domén ve ferromagnetických materiálech.
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - příklad MC Isingův model
Srovnání modelu s teorií
I
Musíme se tedy ptát, proč teorie nepředpovídá možnost vznik
těchto domén ve skutečných materiálech?
I
Může to být tím, že reálné materiály nemají nekonečnou mřížku
a že v mnoha případech obsahují nečistoty, které způsobují více
chaotické chování na mřížce?
I
Samozřejmě je představený model velmi zjednodušený a srovnání s reálnými materiály nedává velký smysl.
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - příklad MC Isingův model