Rozšiřující učivo

Rozšiřující učivo
Vennovy diagramy
Dříve
íve než se pustíme do složitějších operací s množinami, seznámíme se
s nástrojem, který nám umožní si mnoho poznatků
poznatk jednoduše ukázat pomocí grafického
znázornění.
ní. My už jsme jedno grafické znázornění
znázorn používali, avšak toto znázornění
znázorn má
své nevýhody. Především
edevším je nep
nepříjemné to, že toto zobrazení může
že vypadat rrůzně pro
různé situace v závislosti na konkrétních množinách (podívejme
(podívejme se na rozdíl mezi
zobrazením, kdy jedna množina je podmnožinou druhé anebo když jsme zachycovali
zachyc
disjunktnost množin).
). Nyní bychom však potřebovali
pot ebovali odvozovat obecné vztahy mezi
množinami a k tomu je nutné použít schéma, kterým bude možné zachytit všechny vztahy
mezi množinami. A právěě to umož
umožňují Vennovy diagramy, které představil
edstavil v 19. století
anglický vědec a knězz John Venn
Venn.
Vennův diagram umožňuje
uje zaznamenat libovolný konečný
kone
počet
et množin tak, že rovnou
zachytíme všechny přípustné
ípustné možnosti rozložení prvk
prvků a můžeme
žeme tak na stejném
diagramu modelovat různé
zné situace. My budeme nejčastěji
nej
používat Vennů
ennův diagram pro
dvě nebo pro třii množiny, pro velké počty
po ty množin jsou tyto diagramy již poměrně
pom
nepřehledné.
Ve Vennových diagramech se množiny zachycují jako část
ást roviny ohraničená
ohranič
uzavřenou
křivkou, v jednoduchých případech
řípadech stačí
sta kruh (tedy část roviny
ny ohraničená kružnicí).
Někdy
kdy se však používají i složitější
složit
tvary. Vennův diagram pro dvě množiny je vid
vidět na
následujícím obrázku:
Dříve než si začneme
neme ukazovat, jak na tomto diagramu vypadají jednotlivé situace a
operace, bychom si měli říci, žže obvykle při práci s množinami uvažujeme jen určitou
ur
skupinu prvků. Pokud např.
ř. vyjadřujeme
vyjad
nějaké operace s reálnými čísly pomocí množin,
budeme v těchto
chto množinách pracovat jen s reálnými čísly
ísly a prvky jako sklen
skleněný hrneček
z nějaké skříňky
ky nebo lachtan z liberecké ZOO jsou nám v takové situaci lhostejné.
Obvykle tedy přii konkrétní práci s množinami uvažujeme nějakou základní množinu
(universum),, ze které budeme prvky vybírat a množiny, s nimiž pracujeme, jsou potom
jejími podmnožinami. V našem příkladu
p
s reálnými čísly
ísly by touto základní množinou byla
právě množina všech reálných čísel ℝ. Nejčastěji
ji však budeme základní množinu zna
značit
U. Ve Vennově diagramu tuto množinu obvykle naznačujeme
nazna ujeme jako obdélník, uvnitř
uvnit něhož
jsou jednotlivé množiny – ukažme si předchozí
p
Vennůvv diagram doplněný o základní
množinu U:
Kdybychom chtěli naznačit,
čit, že nap
např. do průniku množin náleží číslo
íslo 5, vyznačíme
vyzna
jej jako
bod v patřičném kruhu:
5 ∈ ( A ∩ B)
Zatím jsme s množinami prováděli
provád li pouze jednoduché operace. Zkusme je nyní
zkombinovat.
Příklad: Zakreslete výsledek A ∪ B´ do Vennova diagramu?
Zakresleme tedy do Vennova diagramu množinu B':
Nyní do diagramu zachytíme sjednocení s množinou A. K tomu stačíí pouhé vyšrafování množiny A
(druhou sjednocovanou množinu jsme vybarvili v předchozím kroku):
Z tohoto obrázku již snadno odvodíme, jaké prvky patří
pat do množiny A B'.. Jsou to právě
práv prvky
obsažené v množině reprezentované tou částí
ástí diagramu, která je zelená nebo šrafovaná.
Předchozí příklad
íklad jsme samozřejmě
samoz
mohli řešit i bez využití Vennových diagramů
diagram
a to stejným způsobem (opět
ět bychom si museli uvědomit,
uv domit, jaké jsou prvky množiny B'
a jak dále vypadá ono sjednocení), avšak připravili
p ipravili bychom se o názorný obrázek. Ješt
Ještě
důležitější
jší pro nás tyto diagramy budou, pustíme
pustíme-li se do složitějších
ch úloh a pokusíme se
např. ukázat, že dvě různé
zné kombinace množinových operací ústí v tutéž množinu.
De Morganovy vzorce
Tyto vzorce jsou pojmenovány po britském matematikovi Augustu De Morganovi,
Morganovi
jenž v 19. století zformuloval mnoho logických pravidel a zákonů.. Ukažme si, jak
vypadají tyto vzorce pro dvěě množiny:
( A ∪ B )´= A´∩ B´
( A ∩ B )´= A´∪ B´
Platí tyto vzorce opravdu pro všechny množiny? Tomu sice můžeme
m žeme vvěřit, ale nejlepší
je si to ověřit. Zkusme k tomu využít Vennovy diagramy.. Ty nám totiž umožňují
umož
pracovat s množinami obecně.
obecně Začneme s prvním vzorcem, zakreslíme do diagramu
nejdříve jeho levou a poté i pravou stranu. Levá strana prvního vzorce je doplněk
dopln
sjednocení množin. Nejdříve
říve tedy zakreslíme sjednocení množin a potom provedeme
pr
jeho
doplněk:
A∪ B
( A ∪ B )´
Teď už víme, jaká množina se skrývá pod zápisem na levé straně
stran rovnosti v prvním
vzorci. Nyní se podívejme na jeho pravou stranu, tj. na množinu A' ∩ B'.
B'
Je to průnik doplňků,, musíme tedy nejd
nejdříve najít doplňky a pak provést jejich průnik.
pr
V následujícím diagramu je žlutě
žlut označen doplněk množiny A,, šrafováním je vyznačen
vyzna
doplněk množiny B.
Množiny A´a B´
Co je průnikem těchto
ěchto dvou dopl
doplňků je zřejmé – je to ta část
ást diagramu, která je
podbarvena žlutě a zároveňň je šrafovaná. Označme
Ozna
tuto část zeleně a podívejme se, zda se
shoduje s tím, co jsme si namalovali výše u množiny (A
B)':
A´∩ B´
Diagramy jsou stejné, rovnost (A
(
B)' = A' ∩ B' platí. Bez Vennových diagramů
diagram
bychom tento vztah obecněě dokazovali složit
složitěji. Zkusme ještě ověřit
it platnost druhého
vzorce, tj. (A ∩ B)' = A'
B' Levá strana rovnosti je tentokrát doplňkem
B'.
ňkem pr
průniku –
zakreslíme nejdříve průnik a poté jeho doplněk:
A∩ B
( A ∩ B )´
Levá strana je znázorněna,
na, podívejme se na tu pravou. Pravá strana je sjednocením
doplňků. Doplňky množin A a B jsme si již do diagramu zakreslili při
ři ověř
ověřování
předchozího vztahu:
Množiny A´a B´
Po jejich sjednocení zůstane
stane v diagramu bílé pouze to, co nebylo obsaženo ani v jednom
z těchto doplňků.. Vlastní sjednocení dopl
doplňků opět vyznačíme zeleně:
A´∪ B´
Porovnáme-li
li oba diagramy, zjistíme opět,
op že ověřovaný
ovaný vztah platí (diagramy jsou
shodné).
V tuto chvíli bychom už měli
m nejen vědět,
t, že De Morganovy vztahy platí pro
libovolné množiny (přii našem ov
ověřování jsme si množiny A a B nijak blíže
nespecifikovali),, ale také bychom měli
m mít přibližnou představu,
edstavu, co vlastn
vlastně např. zápis
(A ∩ B)' představuje.