7 Dynamika Tuhého Tělesa

Transkript

54
7-Dynamika tuhého tělesa
7. Dynamika tuhého tělesa
Tuhé těleso budeme dále chápat jako zvláštní případ soustavy hmotných bodů, pro kterou
platí, že bez ohledu na pohyb a působící síly se vzdálenosti mezi jednotlivými body nemění.
Tuhé těleso je modelem reálného tělesa, protože reálná tělesa deformovatelná jsou. Jak bylo
uvedeno v kinematice, z hlediska mechaniky jsou základními typy pohybů translační pohyby
a pohyby rotační kolem stálé osy otáčen. Jejich význam je v tom, že složitější případy pohybů
můžeme na tyto základní pohyby rozložit. Řada vlastností obecných pohybů je přitom dána
prostým shrnutím poznatků o posuvném a rotačním pohybu.
Pohybové rovnice tuhého tělesa pro tyto pohyby můžeme podobně jako u hmotného
bodu získat buď podle 2. Newtonova zákona nebo podle dÁlembertova principu tj. z
rovnováhy vnějších působících sil a sil setrvačných. Při dÁlembertově způsobu používáme
soustavu spojenou s pohybujícím se tělesem a setrvačné síly jednotlivých elementů tělesa
resp. jejich setrvačné momenty sloučíme do výsledné setrvačné síly resp. do výsledného
setrvačného momentu.
7. 1 Pohybové rovnice při translačním pohybu tělesa
Podobně jako v kapitole o soustavě hmotných bodů si zavedeme střed hmotnosti S tělesa jako
bod, jehož polohový vektor rS splňuje rovnici
∫ rdm ∫ rρ dV
rS =
(m)
m
=
(V )
m
,
(7.1)
kde m je celková hmotnost tělesa. Vzhledem k tomu, že na všechny hmotnostní elementy těles
v technické praxi působí stejné gravitační zrychlení, střed hmotnosti můžeme ztotožnit
s těžištěm T (těžiště někdy budeme dále také někdy označovat písmenem G).
Z kinematiky bodů tělesa konajícího translační pohyb (všechny rychlosti bodů tělesa jsou
stejné) pak vyplývá pro hybnost tělesa vztah
H=
∫ vdm = v
T
m
(7.2)
(m)
Nechť se těleso pohybuje vůči nehybnému pozorovateli translačně se zrychlením a=aT,
každý. Vycházíme-li z 2. Newtonova zákon, pak za předpokladu že hmotnost nezávisí na čase
platí
F=
dH
= m aT
dt
(7.3)
Zvolíme-li za počátek nepohyblivé vztažné soustavy těžiště T tělesa, pak pro myšlené
rozdělení tělesa na hmotné elementy dm pro moment hybnosti tělesa BT platí
BT = ∫ r x vdm = ∫ r dm x v = 0 ,
(7.4)
Protože podle definice těžiště platí ∫ rdm dm = 0 . Jestliže budeme uvažovat vztah mezi
momentem působících sil a časovou změnou momentu hybnosti dostáváme
MT = ∑ rTi x Fi =
dB T
dr
= ∫ dm
x v + ∫ r dm x aT = 0 .
dt
dt
54
(7.5)
55
Při podrobnějším způsobu vyšetřování translačního pohybu zvláště vázaného tělesa, při
zjišťování jeho namáhání a reakcí vazeb, je pro odvození pohybových rovnic vhodnější
použití DÁlembertova principu tj. pro soustavu spojenou s tělesem hledat rovnováhu
vnějších a setrvačných sil resp. rovnováhu momentu vnějších a setrvačných sil
F + s F = 0 , M T + s MT = 0
(7.6)
Setrvačné síly působící na jednotlivé elementy dm tvoří soustavu rovnoběžných sil. Pro jejich
nahrazení výslednou setrvačnou silou a výsledným setrvačným momentem platí
s
F = − ∫ adm = − maT
(7.7)
Pro výsledný setrvačný moment vzhledem k těžišti při translačním pohybu platí
s
M T = ∫ rdm x ( −adm ) = − ∫ rdm dm x a = 0
(7.8)
V obou případech tedy dostáváme pro pohybové rovnice při translačním pohybu vztahy
F = maT
(7.9)
MT = 0
F1
M1
F2
T
.
F3
=
.
M2
T
.
maT
.
Fg
Obr. 7.1
Pvní rovnice nám umožňuje zjistit translační zrychlení tělesa aT při pohybu vyvolaném
výslednicí působících sil F. Druhá rovnice je vlastně momentovou podmínkou statické
rovnováhy tj. umožňuje nám vyřešit velikosti reakcí popř. nám umožní provést diskusi
možných pohybů V některých případech totiž u tuhého tělesa pohyb čistě translační jen
předpokládáme. Např. u posouvajícího se hranolu působící vnější síla, síla tření a síla
setrvačná vytváří klopný moment, takže kromě translačního pohybu může docházet i ke
klopení kolem přední nebo zadní hrany hranolu (viz příklad 7.2). V některých případech jsou
rovnice (7.9) vázané. Tak je tomu např. v případě, že akcelerace vozidla je určena působením
třecí síly prokluzujících hnacích kol. Hnací síla je pak závislá na hodnotě normálového tlaku
tj. na velikosti reakce a ta je zase závislá na hodnotě zrychlení.
Podobně jako ve statice (viz rovnice statické rovnováhy) vektorové rovnice (7.9) by
měly v prostoru být reprezentovány 6 rovnicemi skalárními, v rovině pak 3 rovnicemi
skalárními. V kinematice obecný rovinný pohyb byl definován jako pohyb tělesa, jehož body
opisují při pohybu křivky v rovnoběžných rovinách. Abychom při dynamických úlohách
mohli vektorové pohybové rovnice popsat 3 rovnicemi skalárními, musí být 3 rovnice
55
56
z prostorového případu být splněny triviálně. Tomu však bude jen v tom případě, jestliže
kromě podmínky pohybu jednotlivých bodů v rovnoběžných rovinách vyšetřovaná tělesa
budou mít rovinu symetrie rovnoběžnou s rovinami pohybu bodů tělesa a zatížení vnějšími
silami buď v této rovině symetrie nebo podle roviny souměrnosti rozložení vnějších sil
symetrické. Takové případy však jsou z hlediska strojírenské praxe poměrně časté (např.
kotouče, hřídele, karoserie motorových vozidel apod.). V těchto případech pro přímočaré
pohyby volíme kartézskou soustavu souřadnic s počátkem O ≡ T a vektorové rovnice (7.9)
popisující dynamiku při rovinném translačním pohybu rozepisujeme do 3 rovnic složkových
∑F
ix
i
= maTx , ∑ Fiy = maTy , ∑ ( M Ti ) z = ∑ ( xi Fyi − yi Fxi ) = 0
i
i
(7.10)
i
V případě posuvného rovinného pohybu, při kterém se těžiště tělesa pohybuje po
křivce je vhodné složkové rovnice rozepsat do (okamžité) tečny a normály. Pro zápis
složkových pohybových rovnic tedy použijeme souřadnice přirozené tj.
= maTn , ∑ Fit = maTt , ∑ ( M Ti )b = 0
∑F
in
i
i
(7.11)
i
kde směr binormály b je dán vektorovým součinem b = τ x n .
Pro momentovou podmínku je možné v obou případech vzít i libovolný jiný vztažný
bod B. K tomuto obecnému bodu však již moment setrvačných sil nulový a místo
podmínek ∑ ( M Ti ) z = 0 resp.
i
∑(M )
Ti b
= 0 musíme psát
i
∑(M )
Bi z
= yT maT x − xT maT y resp.
i
∑(M )
Bi b
= nT maT t − tT maT n ,
(7.12)
i
kde xT , yT jsou kartézské souřadnice resp. tT ,nT jsou přirozené souřadnice těžiště T v
lokálních souřadných systémech s počátkem v bodě B.
Příklad 7. 1 Zjistěte zrychlení bedny tvaru krychle o hmotnosti m=50 kg pohybujícího se
působením síly P=600 N po horizontální rovině, součinitel smykového tření f=0,2 - obr. 7.2.
Rozhodněte zda nedojde ke klopení bedny.
Fg
aT
Obr. 7.2a
Obr 7.2b
56
57
Řešení: Vykreslíme schéma uvolněného tělesa (posuvnou kinematickou dvojici přitom
nahradíme silou NC v místě působiště x) s vyznačením orientace os zvoleného souřadného
systému, směru zrychlení a případně směru setrvačné síly. Síla P může způsobit jak smýkání
krychle tak i její překlápění. Pokud by na bednu nepůsobila síla P, bedna by se nepohybovala
a působiště reakce NC by bylo pod těžištěm. Pokud nemá dojít ke klopení bedny, musí reakce
NC mířit do tělesa tj. její působiště musí být v intervalu –0,5 < x < 0,5 m od středu krychle.
Jako neznámé jsou NC , x, a aT. Pro třecí sílu platí, že její velikost F =0,2 NC.
Pohybové rovnice ve složkách:
x:
600 - 0,2NC = 50aT
y:
NC – 50 . 9,81=0
z:
-0,3.600+x. NC - 0,2 . 0,5NC =0
Řešením dostáváme hodnoty: NC=490 N, x=0,467 m, aT =10,0 m/s2. Poloha výslednice
normálové složky reakce nám vyšla do tělesa tj. ke klopení krychle tedy nedochází.
Poznámka 1: Pokud by poloha reakce NC vyšla mimo hranol byl by to příznak, že dochází k
jeho klopení. Přitom pokud je poloha normálové výslednice před přední hranou, tak se
pochopitelně jedná o klopení kolem přední hrany, pokud je za zadní hranou, tak se jedná o
klopení kolem zadní hrany. Ke klopení kolem zadní hrany by zřejmě mohlo docházet pouze
při poloze nositelky horizontální síly P pod těžištěm-dokažte!
Poznámka 2: Poloha reakční síly NC před bednou je ekvivalentní tomu, že po uvolnění
posuvné vazby pomocí reakce umístěné na přední hraně a reakčního momentu mířícího do
tělesa by hodnota reakčního momentu vyšla záporná. To by ovšem znamenalo,. že reakční
moment uvolněné posuvné vazby míří od tělesa do podložky, což nelze.
Poznámka 3: Podobnou diskusi bychom mohli provádět v případě pohybu vozidla. Příznakem
zvedání předních kol při prudké akceleraci by byla záporná hodnota normálové reakce od
předních kol, příznakem překlopení vozidla dopředu při prudkém brždění by byla záporná
hodnota normálové reakce zadních kol.
Při posuvném pohybu je výsledná setrvačná síla dána (jakožto vektor, tj. co do
velikosti, působiště i směru) součtem elementárních, rovnoběžných setrvačných sil a její
velikost je rovna setrvačné síle bodového tělesa o hmotnosti rovné hmotnosti celého tělesa
s
F = − ∫ adm = − maT
(7.13)
Jak vyplývá z definice těžiště, působiště této výsledné setrvačné síly je přitom v těžišti.
Podobně jako ve statice, v některých případech je vhodné pro momentovou rovnici použít
jako vztažný bod A, jiný bod než je těžiště T (např. průsečík nositelek neznámých složek
reakcí). V tomto případě pak musíme k momentu působících vnějších sil přičíst i moment od
výsledné setrvačné síly. Do schématu uvolněného tělesa je proto vhodné zakreslovat do
těžiště i směr setrvačné síly, což usnadňuje aplikaci momentové podmínky k obecnému
vztažnému bodu. Pro souřadnou soustavu s počátkem O ≡ A pak platí
x:
∑F
ix
= max
(7.14)
= ma y
(7.15)
i
y:
∑F
iy
i
z:
∑(M ) = ∑(x F
Ai z
i
i
i
yi
− yi Fxi ) − m ( xT a y − yT a ) = 0
57
(7.16)
58
Příklad 7. 2 Auto dle obrázku má hmotnost m= 2000kg a těžiště v bodě T (obr. 7.3). Určete
zrychlení auta, jestliže hnaná zadní kola se neustále protáčí a přední se volně odvalují.
Hmotnosti kol mk zanedbejte. Koeficient smykového tření kol je f=0,25.
Řešení: Jsou-li hmotnosti kol nulové, pak jsou
nulové i jejich momenty setrvačnosti a kola
nekladou odpor proti roztáčení (). Z toho
ovšem vyplývá, že u nepoháněných kol jsou
T
tečné složky reakcí nulové a ve schématu
uvolněného tělesa je nezakreslujeme
1
TA r = I k α , I k = mk r 2 = 0 ⇒ TA = 0 .
2
U hnacích kol však při uvolnění tečné složky
reakcí nenulové jsou a pokud by nedocházelo
k prokluzu, pak by platilo
M
M h − TB r = I k α = 0 ⇒ TB = h ≠ 0 .
r
Vzhledem k prokluzu však platí
a
TB = FB = N B f .
Pro vztažný bod T pohybové rovnice:
x:
0,25NB=-2000aT
y:
NA+NB -2000.9,81=0
z: 1,25NA+0,25.0,3NB – 0,75NB=0
T
Neznámé jsou NA, , NB, ,aT.
Po dosazení dostáváme numerické hodnoty:
aT= 1,59m/s2, NA = 6,88kN, NB= 12.7 kN
Obr. 7. 3
Poznámka 1:Pokud momentovou podmínku zvolíme vzhledem k bodu A, pak v ní nebude
neznámá NA a řešení se zjednoduší, protože pro nalezení aT postačuje systém 2 rovnic:
x:
0,25NB=2000aT
z: 2 , 0 N B − 1, 25. 2000.9 ,81 = 0 ,3.2000aT
Poznámka 2: Pokud by hodnota NA vyšla záporná, akcelerace vozidla by byla taková, že
dochází ke zvedání předních kol. Pohyb auta je pak nikoliv čistě translační, ale obecný
rovinný
Poznámka 3: Při smýkání hnacích kol hodnota zrychlení vozidla nezávisí na hodnotě hnacího
momentu!
58
59
Příklad 7. 3 Vypočtěte dobu kyvu Taylorova kyvadla dle obrázku 7.4a. Dále určete namáhání
zavěšeného trámce ve vyznačeném řezu a napětí v lanech, která považujeme za nehmotná.
Počáteční výchylka je α, hmota trámce je m, vzdálenost mezi závěsy 2l, celková délka trámce
je 2l´, délka závěsů je r.
T
s
Ft
Fg
s
Fn
Obr. 7. 4a
Řešení:
Zavěšený trámec koná kruhový posuvný pohyb, za pohybu tedy na trámec působí v těžišti
výsledná síla setrvačná tečná o velikosti s Ft = maT = mrϕɺɺ a výsledná setrvačná síla
normálová s Fn = mrϕɺɺ2 . Z rovnováhy sil akčních a sil setrvačných tedy dostáváme:
t... − mrϕɺɺ − mg sin ϕ = 0
n... − mg cos ϕ − mrϕɺ 2 + S1 + S 2 = 0
b... − S1l cos ϕ + S 2l cos ϕ = 0
Z prvé rovnice pak dostáváme vlastní pohybovou rovnici
g
ϕɺɺ + sin ϕ = 0 , což je rovnice matematického kyvadla.
r
r
Pro malé kyvy platí T = 2π
.
s
Ft
g
Jak vyplývá z 3.rovnice , síly v závěsných lanech jsou
2
stejné a platí
1
S1 = S 2 = S = ( mg cos ϕ + mrϕɺ 2 ) Úhlovou
rychlost
2
můžeme určit ze zákona zachování mechanické energie
Obr. 7.4b
1 2 2
mr ϕɺ = mgr ( cos ϕ − cos α )
2
Namáhání v řezu C-C je dáno silami po jedné straně řezu- viz obr. 7.4b).
59
s
Fn
2
60
Pro tahovou sílu N, posouvající sílu T a ohybový moment Mo, jakožto účinky části 2 na část 1
platí, že
N = − m2 rϕɺɺ cos ϕ + m2 rϕɺ 2 sin ϕ − S sin ϕ
T = m2 rϕɺɺ sin ϕ + m2 rϕɺ 2 cos ϕ − S cos ϕ
1
M o = − ( m2 rϕɺɺ sin ϕ + m2 rϕɺ 2 cos ϕ + m2 g )( l' − x ) + S ( l − x ) cos ϕ
2
Poznámka: Síly setrvačné i tíhové představují ve skutečnosti spojitá silová zatížení.
V dynamice tuhého tělesa však zpravidla pracujeme se silami příslušejícími výslednicím
těchto spojitých zatížení.
Z uvedeného vyplývá, že těleso konající translační pohyb můžeme z hlediska jeho
dynamických vlastností (tj. při výpočtu kinetické energie, hybnosti, momentu hybnosti,
výsledné setrvačné síly) i při vyšetřování jeho pohybu (pokud nám nejde o zjištění vazeb
apod.) považovat za bodové těleso umístěné v těžišti, hmotnost tohoto bodového tělesa je
přitom rovna celkové hmotnosti tělesa. Jak bylo zmíněno v kapitole o dynamice bodového
tělesa, z hlediska hybnosti tělesa při translačním pohybu platí zákon zachování hybnosti popř.
je splněna relace mezi impulsem působících sil a změnou hybnosti tělesa tj. platí
t
H 2 − H1 = ∫ F dt
(7.17)
0
Tato rovnice vyjadřuje zákon o změně hybnosti při translačním pohybu tělesa.
Protože všechny body tělesa konajícího translační pohyb mají stejnou rychlost, jeho
kinetická energie je dána vztahem
1
1
2
Ek = ∫ v 2 dm = mvT
2
2
(7.18)
7.2 Dynamika rotačního pohybu - prostorový případ
Při rotačním pohybu je jedna jeho přímka (osa otáčení o) nehybná a je totožná
s nositelkou vektoru úhlové rychlosti. Body tělesa opisují v rovinách kolmých k ose rotace
soustředné kružnice se středy na ose rotace. Odvodíme pohybové rovnice otáčejícího se
tělesa, všimneme si výpočtu reakcí uložení, namáhání a velmi důležitého problému
vyvažování. Pro moment hybnosti BO vzhledem k pevnému bodu O ležícímu na ose rotace
platí vztah
BO = ∫ dm r x ( r x ω ) 
(7.19)
Vzhledem k tomu, že vektory r jsou kolmé na vektory (r x ω), pro složku momentu hybnosti
BO vzhledem k pevné ose rotace o bude platit
Bo = ( BO )o = I oω ,
(7.20)
∫ρ
(7.21)
kde veličina Ioje
Io =
2
dm
(m)
moment setrvačnosti tělesa vzhledem k stálé ose rotace o a ρ je kolmá vzdálenost elementu
dm od osy rotace.
60
61
Podle věty o momentu hybnosti soustavy hmotných bodů platí, že výsledný moment
hybnosti vzhledem k pevnému bodu O můžeme vyjádřit pomocí momentu hybnosti bodového
tělesa hmotnosti m a momentu hybnosti soustavy hmotných bodů vzhledem k těžišti tj.
v případě tuhého tělesa platí
BO = rT x m vT + ∫ ( r x dm v
) = rT x m( rT x ω ) + ∫ dm r
x ( r x ω ) 
(7.22)
Pro složku BO do směru osy rotace o tedy bude platit
Bo = m ρ T2 ω + I T ω = I oω ,
(7.23)
kde IT je moment setrvačnosti k ose oT procházející těžištěm rotace a rovnoběžné s o, ρT = e
je kolmá vzdálenost obou os. Ze srovnání vztahu (7.20) tedy vyplývá Steinerova věta, která
umožňuje výpočet momentu setrvačnosti tělesa Io vzhledem k libovolné ose o, jestliže známe
moment setrvačnosti tělesa IT vzhledem k ose rovnoběžné jdoucí těžištěm a kolmou
vzdálenost e obou os
I o = IT + me 2 .
(7.24)
Uvažujme nyní těleso zatížené vnějšími silami Fi uložené tak, že rotuje kolem osy rotace
o ≡ z . Počátek O kartézské souřadné soustavy ztotožníme s radiálně-axiálním ložiskem A
(Obr.7.5).
z
Fi
α
Reakci v A je pak možné rozložit do složek FAx, FAy,
FAz., reakci v místě B (radiální ložisko) rozložíme do
složek FBx, FBy. .
Uvažujeme-li těleso jako soustavu bodových těles,
pak integrací přes celé rotující těleso dostáváme dvě
vektorové pohybové rovnice:
a) rovnici silovou
Obr. 7. 5
F + FA + FB = ∫ a dm = ∫ ( α x r ) dm + ∫ ( ω x v ) dm ,
m
m
(7.25)
m
kde F je výslednice vnějších akčních působících sil
b) a pro vztažný bod A rovnici momentovou
M O + rB x FB = ∫ r x a dm = ∫ r x ( α x r ) dm + ∫ r x ( ω x v ) dm ,
m
m
m
61
(7.26)
62
kde M O je výsledný moment od akčních zátěžových sil, r je polohový vektor k elementu dm,
a je zrychlení rotačního pohybu elementu dm.
Pro vztažnou souřadnou soustavu dle obr. 7.5 dostáváme pro rychlost rotačního pohybu
jednotlivých hmotnostních elementů vztah
i j k


v = ω x r =  0 0 ω  = −iyω + jxω
x y z 


(7.27)
Pro zrychlení rotačního pohybu elementu můžeme po provedení vektorových součinů psát
a = i( − yα − xω 2 ) + j( α x − yω 2 )
(7.28)
Dosadíme-li rovnici (7.28) do rovnice (7.26) a uvážíme-li, že pro všechny elementy je ω a α
stejné, obdržíme silové pohybové rovnice složkové
Fx + FAx + FBx = −α ∫ ydm − ω 2 ∫ xdm
m
m
Fy + FAy + FBy = α ∫ xdm − ω
2
m
∫ ydm
(7.29)
m
Fz + FAz = 0
Podobně po provedení vektorových součinů a rozepsání do složek dostáváme pro složky
momentových pohybových rovnic vztahy
M x − FBy l = α ∫ xzdm − ω 2 ∫ yzdm
m
m
M y + FBx l = α ∫ yzdm + ω
2
m
∫ xzdm
(7.30)
m
M z = α ∫ ( x 2 + y 2 )dm
m
kde Mx, My, Mz jsou složky momentů akčních vnějších sil. Jestliže zavedeme deviační
momenty k ose z vztahy
Dxz = − ∫ xzdm, Dyz = − ∫ yzdm
m
(7.31)
m
a uvážením definičních vztahů souřadnice těžiště pak můžeme složkové a momentové rovnice
rotačního pohybu psát ve tvaru
Fx + FAx + FBx = −α yT m − ω 2 xT m
Fy + FAy + FBy = α xT m − ω 2 yT m
Fz + FAz = 0
M x − FBy l = α Dxz − ω 2 Dyz
(7.32)
M y + FBx l = α Dyz + ω 2 Dxz
M z = I zα
V případě obecného tvaru tělesa (kdy deviační momenty jsou nenulové) popř. při obecném
rozložení působících vnějších sil je tedy nutné vyšetřovat rotační pohyb kolem stálé osy
62
63
otáčení jako prostorový případ. Zároveň je zřejmé, proč se uvedeným momentům říká
deviační-snaží se vychýlit osu rotace z i při nulovém vnějším zatížení.
Ke stejnému systému rovnic bychom zřejmě dospěli, jestliže bychom použili vztažnou
souřadnou soustavu Ox 2 y 2 z 2 spojenou s tělesem ( o ≡ z2 )a pro jednotlivé elementy zavedli
podle dÁlembertova principu příslušné setrvačné síly. V tomto případě je pro každý element
nulová setrvačná síla unášivá počátku souřadnic (počátek leží na ose rotace) a setrvačná síla
Coriolisova (elementy se vůči Ox 2 y 2 z 2 nepohybují). Jestliže bychom v systému
Ox 2 y 2 z 2 vyjádřili souřadnice úhlové rychlosti a úhlového zrychlení (obě tyto kinematické
veličiny by přitom měly význam rotační rychlosti a rotačního zrychlení tělesa vůči
nehybnému systému), pak převedením pravých stran rovnic (7.25) resp. (7.26) bychom
zohlednili působení setrvačných sil tečných a setrvačných sil normálových resp. jejich
momentů, rovnice by tedy zůstaly zcela stejné.
7.2.1 Pohybové rovnice při prostorovém rotačním pohybu
Systém rovnic (7.32) je možné zapsat maticově ve tvaru
∑f
2
= m ( A 2 + Ω 22 ) rT 2
(7.33)
∑m
O2
= I 2α 2 + Ω 2I 2ω 2
 I x2
Dx 2 y 2 Dx 2 z 2 


je
tzv.
matice
setrvačnosti
tělesa,
kde
I2 =  Dx 2 y 2
I y2
Dy 2 z 2 
 Dx 2 z 2 Dy 2 z 2
I z 2 

 0 −α z 2 0 
 0 −ω z 2 0 


A2 = α z 2
0
0  , Ω2 = ω z 2
0
0  jsou matice úhlového zrychlení a matice úhlové
 0
 0
0
0 
0
0 
rychlosti při rotaci kolem osy o ≡ z ; f2 ,m O2 ,ω2 ,α 2 jsou sloupcové matice mající jako
prvky souřadnice příslušných vektorů F2 , M o 2 ,ω 2 ,α 2 . Stejným způsobem bychom mohly
dojít rozepsáním rovnice (7.19) do složek k maticovému zápisu momentu hybnosti ve tvaru
bO 2 = m RT 2 Ω 2 rT 2 + I 2 ω 2
(7.34)
Výhodou použití systému Ox 2 y 2 z 2 souhlasícího s polohou tělesa je v tom, že poloha těžiště a
matice setrvačnosti nezávisí na poloze tělesa tj. nezávisí na čase. Přitom jeho použití je zcela
formální, setrvačné účinky spojené s pohybem tělesa jsou v rovnicích zahrnuty. V dalším
index (2) už proto budeme zpravidla vynechávat.
Z odvozených rovnic pro prostorový rotační pohyb je zřejmé, že reakce v ložiskách
jsou obecně závislé nejen na vnějších silách , ale i na kinematických veličinách α a ω. Je
snahou, aby reakce nebyly závislé na úhlové rychlosti a úhlovém zrychlení. To bude pouze
tehdy, pokud bude xT = yT = 0 (tj. pokud bude těžiště ležet na ose rotace- těleso bude staticky
vyváženo) a bude platit Dxz = Dyz = 0 (těleso bude vzhledem k ose z dynamicky vyváženo).
Z rovnic (7.32) je zřejmé,že při poloze těžiště na ose rotace budou pravé strany
prvních tří rovnic (7.32) rovny nule a stávají se z nich pouze složkové rovnice statické
rovnováhy . V tomto případě tedy platí
63
64
∑F
=0
∑F
=0
∑F
=0
ix
iy
iz
(7.35)
Rovnice (7.35) vyjadřuje skutečnost, že při rotaci tělesa kolem osy procházející těžištěm
nedochází k namáhání ložisek od výslednice setrvačných sil a zjištěné namáhání ložisek
odpovídá působení jen vnějších sil (např. při obrábění).
7. 2. 2 Vyvažování rotujících hmot
K důležitým úkolům ve stavbě strojů patří vyvažování setrvačných silových účinků,
které mohou vznikat při rotačních pohybech těles.
V rovinném případě je výsledná setrvačná síla s F a výsledný setrvačný moment s M o
pro počátek O na ležícím na ose rotace o jsou dány
s
F = − m rT x α + mω 2rT
s
M o = − I oα = rT x s Ft + rT x Fn + ( − IT α ) = rT x( − mrT x α ) + ( − IT α ) = − me 2α − IT α
(7.36)
kde e je kolmá vzdálenost těžiště od osy rotace. Jak vyplývá ze vztahu (7.36), při poloze
těžiště na ose rotace a při konstantních otáčkách celkový jsou výsledné dynamické účinky
působící na ložiska jsou nulové (elementární odstředivé síly však existují a namáhají těleso
vnitřními silami). Při excentrické poloze těžiště mimo osu rotace u rotujících hmot tedy
vznikají odstředivé síly, jejichž účinky se přenášejí na ložiska. Navíc tím, že dynamické
účinky nepůsobí jen statickým působením v jednom směru ale rotují, způsobují i chvění,
vyšší hladinu hlučnosti a snižují životnost ložisek.
Jak vyplývá ze 4. a 5. rovnice systému (7.32), pro tělesa která nemají rovinu symetrie,
dochází k namáhání ložisek i v případě, že otáčky jsou konstantní a těžiště leží na ose rotace.
Obecně tedy pro odstranění zatížení ložisek rotorů pomocí vyvažování je nutno snížit jak
silové namáhání od výsledné odstředivé setrvačné síly (vznikající v důsledku excentricity
těžiště) tak i momentové deviační účinky (vznikající při rotaci rotačně nesymetrických těles).
Excentricitu těžiště je přitom možné odstraňovat za klidu (statické vyvažování), potlačení
momentového namáhání je možné provádět pouze za pohybu (dynamické vyvažování).
7.2.2.1 Statické vyvažování
Staticky vyvažujeme krátké rotační součásti (setrvačníky, řemenice), u kterých kvůli
nepřesnosti výroby osa otáčení neprochází těžištěm a je rovnoběžná s geometrickou osou
tělesa a vzdálenost těžiště od osy e je malá. Vzhledem k tomu, že se jedná o krátké součásti,
můžeme považovat polohu těžiště na ose rotace za známou. Statickou nevyváženost
odstraníme tak, že na protilehlé straně od těžiště přidáme hmotu, nebo na stejné straně od osy
rotace hmotu ubereme tak, aby se těžiště dostalo do osy rotace. Tuto hmotu je nutné přidat
v takové vzdálenosti od osy rotace, aby platila rovnováha odstředivých sil
meω 2 = m p rω 2 ⇒ m p = m
e
r
(7.37)
kde m je hmotnost rotoru, e je vzdálenost těžiště od osy rotace, mp je přídavná nebo odebraná
hmotnost, r vzdálenost umístění hmotnosti mp od osy otáčení. Jak je tedy patrno, lze statické
vyvážení rotoru provést jedinou hmotou.
64
65
Obr. 7. 6
Při statickém vyvažování položíme rotační vyvažované těleso hřídelem na vodorovné břity
nebo na stojan s valivými ložisky (obr.7.6). Je-li hřídel takto uložen je tření velmi malé.
Pootočíme-li rotační těleso o nějaký úhel, zůstane stát v libovolné poloze, jen je-li přesně
staticky vyváženo. Nevyvážené těleso se ustálí vždy těžší částí dolů. Na těžší straně hmotu
ubíráme nebo na protější straně přidáváme, až je těžiště tělesa v ose otáčení.
V současné době se i statické vyvažování provádí na vyvažovacích strojích
(vyvažování kol automobilů apod.), u nichž velikost nevývažku při rotaci vynikne, protože
vzniklá odstředivý síla bývá mnohem větší než síla tíže, čímž se eliminují nepřesnosti vzniklé
v ložiscích měřicího zařízení.
U lomených hřídelů není možné umístit protizávaží v rovině pohybu, ve které leží
těžiště otáčející se hmoty. Použijeme dvou protizávaží, která umístíme do rovin rovnoběžných
s rovinou pohybu hmoty m1 (obr.7.7). Má-li být hřídel vyvážen, musí být v rovnováze silové
účinky odstředivých sil vyvažované hmoty a od protizávaží, tzn.
∑
s
Fni = 0
a
∑M
s
Fni
= 0,
s
Fn1 − s Fn 2 − s Fn 3 ⇒ m1ω 2 r1 − m2ω 2 r2 − m3ω 2 r3 = 0,
s
Fn 2 a = s Fn 3b ⇒ m 2 r2 a = m3 r3b
m1
kde m2 a m3 jsou hmotnosti protizávaží.
často
U
lomených
hřídelů
bývá a = b, r2 = r3 .
Pak
předchozí
rovnice
splníme
pro
hodnoty
mr
m2 = m3 = 1 1
2r2
m3
Obr. 7. 7
65
m2
66
Příklad 7. 4 Ocelový kotouč stejné tloušťky se otáčí kolem své osy a jsou v něm vyvrtány
dvě díry (obr.7.8). Jaký bude průměr třetí díry a v jaké bude poloze, má-li být kotouč vyvážen
vrtáním díry ve vzdálenosti r3 =500mm?
Úbytek odstředivých sil v důsledku vyvrtání prvních dvou
otvorů máme kompenzovat vyvrtáním třetího
otvoru. Úbytek odstředivých sil je přitom
vždy úměrný odebrané hmotnosti (která je
úměrná kvadrátu průměru díry di ) a
vzdálenosti od osy rotace ri . V rovnováze
mají tedy být tři síly, z nichž dvě známe.
Vzhledem k tomu, že prvé dvě díry jsou na
sebe kolmé,snadno dojdeme k výsledku
Obr. 7. 8
d 22 r2 + d12 r1
59200
d12 r1
d3 =
=
=ɺ 108,8mm, tgα 3 = 2 ⇒ α 3 = 71°30´.
r3
5
d 2 r2
7.2.2.2 Dynamické vyvažování
I když je rotující těleso staticky vyváženo (tj. jeho těžiště leží na ose rotace), přesto mohou
být za pohybu ložiska namáhána. To nastává tehdy, jestliže jsou nenulové hodnoty deviačních
momentů. Pak jsou nenulové pravé strany rovnic (7.32) a hodnoty reakcí FBy a FBx v ložiscích.
Takový případ si můžeme představit u rotující desky skládající se ze dvou stejných
trojúhelníků (obr. 7.8a). Celkové těžiště desky sice leží na ose, zároveň je však zřejmé, že za
rotace vznikají dvě odstředivé síly vytvářející silovou dvojici, která namáhá ložiska. Poněvadž
dvojici sil je možné uvést do rovnováhy zase jen dvojicí, znamená to, že dynamické vyvážení
jev tomto případě možné jen dvěma vývažky ležícími v různých rovinách. Volba těchto rovin
zpravidla bývá podmíněna konstrukčními možnostmi umístění vývažků.
Obr. 7. 8a
Obr. 7. 8b
66
67
K dynamickému vyvažování se používá vyvažovacích strojů přizpůsobených tvarem a
velikostí vyvažovaným předmětům. Např. rotor na hřídeli se uloží do dvou ložisek vodorovně
posuvných a držených ve střední poloze pružinami (7.8b). Při otáčení dvojice odstředivých sil
vytváří moment, který vychyluje osu rotace o úhel φ. Svislé složky nevyvážených
odstředivých sil se zachycují ložisky a vodorovné složky způsobují moment který je
v rovnováze s momentem pružin. Z velikosti výchylky pružin a z velikosti výchylky osy
rotace pak můžeme určit hmotnost a polohu přívažků, které umisťujeme ve dvou rovinách.
V nejobecnějším případě poloha těžiště rotoru neleží na ose otáčení. I takové
nevyvážení lze odstranit připojením dvou vývažků v různých rovinách. Každý ze 2 vývažků
je přitom určen 3 souřadnicemi a hmotností tj. existuje 8 neznámých. Přitom jsou použitelné 4
rovnice dynamických účinků vyjadřujících namáhání osy ve směrech kolmých na rotaci (2
silové a 2 momentové ve směrech x a y-viz systém rovnic (1.28). Volba polohy vyvažovacích
rovin je ve skutečnosti podmíněna možnostmi umístění vývažků – z-ové souřadnice a
vzdálenosti vývažků od osy rotace jsou předepsány. Celkový počet nezávislých souřadnic
vývažků je roven 2 a celkový počet neznámých je tedy 4. Přitom pokud je chceme určit
z rovnic (7.32), je nutné předpokládat, že hodnoty deviačních momentů a polohy těžiště jsou
známé.
Při řešení vyvažování je nutno si uvědomit, že každý rotor je pružný a vlivem
prostorových odstředivých sil se deformuje, čímž dochází ke změně konfigurace rozložení
hmot. Proto je nutno vyvažovat rotory při těch úhlových rychlostech, s jakými budou použity
v provozních podmínkách. Z důvodů dosažení vyšší přesnosti je vhodné rotory vyvažovat ne
pouze ve dvou, ale i ve třech i čtyřech rovinách.
7.2.3 Výpočet osových a deviačních momentů setrvačnosti
Pro popis geometricko-hmotnostních charakteristik těles ve formě matic je nutné vzhledem ke
3 souřadným osám zvoleného pravoúhlého systému znát hodnoty 3 osových momentů
I x = ∫ ( y 2 + z 2 ) dm,I y = ∫ ( x 2 + z 2 ) dm, I z = ∫ ( x 2 + y 2 ) dm
m
(7.38)
m
a hodnoty 3 momentů deviačních
Dxy = − ∫ xydm ; Dxz = − ∫ xzdm ; Dyz = − ∫ yzdm ;
m
m
(7.39)
m
kde x,y,z jsou souřadnice elementární hmotnosti dm. Např. pro hmotný bod o hmotnosti m se
souřadnicemi x,y, je k ose z jeho hodnota momentu setrvačnosti rovna I z = ( x 2 + y 2 )m = m r 2
a jeho deviační moment setrvačnosti k osám x, y je roven Dxy = − mxy .
Jak je z definičních vztahů zřejmé, momenty setrvačnosti k osám jsou vždy kladné,
momenty deviační mohou být kladné nebo záporné v závislosti na volbě vztažné souřadné
soustavy. Lze tedy nalézt takovou souřadnou soustavu, k jejímž osám budou deviační
momenty nulové. Souřadnicové osy k nimž jsou deviační momenty nulové se nazývají hlavní
osy setrvačnosti. Např. pokud má těleso rovinu symetrie xy, pak platí Dxz = Dyz = 0 a hlavní
osou setrvačnosti je osa z. Vztažný souřadný systém s počátkem v těžišti budeme nazývat
centrální souřadnicový systém, osy a roviny procházející těžištěm budeme nazývat
centrálními osami setrvačnosti a centrálními rovinami setrvačnosti.
Při výpočtech momentů setrvačnosti zpravidla předpokládáme, že měrná hmotnost ρ je
v prostoru tělesa konstantní, takže integrace přes hmotnost přejde k integraci přes objem tj.
dm = ρ dV . V kartézských souřadnicích pro infinitezimální element objemu přitom platí
dV = dx dy dz .
67
(7.40)
68
Jestliže těleso má rotační symetrii, pak je pro výpočet vhodné použití válcových souřadnic pro
které platí
dV = r dr dϕ dz
(7.41)
Pro tělesa s kulovou symetrii je vhodné použití souřadnic sférických
dV = r 2 sin ϑ dϑ dϕ
(7.42)
Obecně trojnásobný integrál při výpočtu osových momentů setrvačnosti může být
zjednodušen na dvojnásobný či jednoduchý jestliže vybereme elementární objem tak, aby se
měnil jen v jednom směru. Hledáním vhodného elementu se snažíme zjednodušit výpočet
momentu setrvačnosti, snížit trojnásobný integrál. Kritérium správnosti (vhodnosti) při výběru
elementu dm je to, aby dm měl konstantní vzdálenost k ose. V některých případech je vhodné
vybrat element ve tvaru jednoduchého tělesa, jehož moment setrvačnosti známe. Např. při
výpočtu momentů rotačně symetrických těles vezmeme jako základní element disk, u těles
tvaru desky těles použijeme jako element tyč apod. Z numerických důvodů je někdy vhodné
provést výpočet vzhledem k souřadnému systému posunutému (ve kterém jsou funkční vztahy
mezi souřadnicemi jednoduché funkce) a k momentům setrvačnosti k osám požadovaného
systému přejít pomocí Steinerovy věty.
Podle tvaru tělesa volíme vhodný systém souřadnic. Zpravidla nejdříve vypočteme
momenty setrvačnosti a deviační momenty k hlavním nebo centrálním osám setrvačnosti a
pak použijeme vzorců pro jejich transformaci při posunutých nebo pootočených osách.
Momenty setrvačnosti můžeme zjišťovat též experimentálně a to např. kýváním (prostým,
torzním) nebo kolébáním, pádem v soustavě těles apod. Určitou představu o jejich velikosti
vzhledem ke konkrétní ose otáčení o umožňuje poloměr setrvačnosti (gyrační poloměr) io ,
který je definován jako vzdálenost, kterou by musel mít střed hmotnosti od osy rotace, aby
moment setrvačnosti skutečného tělesa byl stejný tj.
I o = m io2 ⇒ io =
Io
m
(7.43)
Součásti strojů jsou zpravidla tvořeny jednoduchými geometrickými tělesy. Vzhledem
Obr. 7. 10
k aditivnosti integrálu celkový osový moment setrvačnosti složeného tělesa můžeme určit jako
algebraický součet momentů setrvačnosti jejich vhodně zvolených částí (samozřejmě
uvažovaných vzhledem k téže ose nebo rovině. Např. pro těleso na obr. 7.10 platí
I 0 = I o1 + I o2 + I o3 + I o4
68
(7.44)
69
Z hlediska dynamiky rotačních pohybů mají základní význam osové momenty setrvačnosti.
Při jejich výpočtu pro osy kolmé na geometrickou osu je účelné zavést rovinné momenty
setrvačnosti .
I xy = ∫ z 2 dm ; I xz = ∫ y 2 dm ; I z = ∫ x 2 dm
m
m
(7.45)
m
V těchto výrazech x,y,z představují vzdálenosti jednotlivých elementů tělesa od rovin yz, xz,
xy. Jak vyplývá z definice, mezi rovinnými a osovými momenty setrvačnosti platí vztahy
I x = I xy + I xz
I y = I xy + I yz
(7.46)
I z = I xz + I yz
Jestliže osa z je totožná s geometrickou osou tělesa, pak platí I xz = I yz , pak pro výpočet I z
můžeme použít vztah I z = 2 I xz .
Podobně pro výpočet osových momentů osových momentů setrvačnosti koule nebo tenkých
desek je účelné použití polárního momentu setrvačnosti
1
I polar = ∫ ( x 2 + y 2 + z 2 ) = I xy + I xz + I yz = ( I x + I y + I z )
(7.47)
2
m
7.2.4 Hodnoty osový momentů setrvačnosti některých základních těles
Tenkostěnný prstenec:
Pro rotační osu prstence o ≡ z je I z = m R 2 ,
(7.48a)
1
pro osu ležící v rovině prstence a jdoucí jeho středem je Ix =Iy = mR 2
2
(7.48b)
Plná hřídel, válec
z
y
Iz =
K rotační ose
1
m r2 ,
2
(7.49a)
vzhledem k osám jdoucí těžištěm válce kolmo k rotační ose válce
I y = Ix =
1
1
m ( l 2 + 3r 2 ) , I xy = I xz = ml 2
12
12
69
(7.49b)
70
Tenká hřídel, tyč
Pro z ≡ o platí
Io = m r 2 ,
(7.50a)
vzhledem k ose x jdoucí těžištěm tenké hřídele kolmo k rotační ose o
Ix = I y =
1
m ( l 2 + 6r 2 )
12
(7.50b)
Kotouč, disk:
Pro rotační osu z ≡ o
Iz =
1
m ⋅ R2 ,
2
(7.51a)
pro osy x, y ležící v rovině plného kotouče a jdoucí jeho středem
Ix = I y =
1
mR 2
4
(7.51b)
Tlustostěnná trubka:
Vzhledem k rotační ose
z≡ o
Iz =
1
m ⋅ ( R2 + r2 ) ,
2
(7.52a)
vzhledem k osám jdoucí kolmo k rotační ose
Ix = I y =
1  2
l2 
m  r + R2 + 
4 
3
(7.52b)
I o = mR 2
(7.52c)
Tenkostěná trubka:
Vzhledem k rotační ose z ≡ o
Pro osy x, y jdoucí vrcholem kolmo na rotační osu
Ix = Iy =
1
1
ml 2 + mR 2
12
2
(7.52d)
Koule:
Io =
2
m ⋅ R2
5
(7.53)
70
71
Tyč délky l upevněná ve středu:
Io =
1
ml 2
12
(7.54)
z
Hranol, kvádr:
y
O=T
x
Ix =
1
1
1
m ( l 2 + h 2 ) , I y = m ( b2 + h 2 ) , I z = m ( b2 + l 2 )
12
12
12
(7.55)
Plný kužel :
Pro geometrickou osu z plného kužele je
Iz =
3
mR 2
10
(7.56a)
Pro osy x, y jdoucí vrcholem kolmo na rotační osu
Ix = Iy =

3
l2 
m ⋅  R2 + 
20 
4
(7.56b)
Kuželová skořepina:
Pro geometrickou osu z platí
Iz =
1
mR 2
2
(7.56c)
Příklad 7. 5 Kyvadlo na obr. 7.11 se skládá ze dvou tyčí, každá z nich váží 4,5kg. Vypočtěte
moment setrvačnosti k ose jdoucí bodem O a k ose
procházející těžištěm T, je-li l=0,3m.
Řešení:
Nejprve vypočítáme moment setrvačnosti první tyče OA :
I1o =
m ⋅ ( 2l )
3
71
Obr. 7. 11
2
4,5 ⋅ 0, 62
=
= 0,54 kg.m 2 .
3
72
Moment setrvačnosti tyče BC pomocí Steinerovy věty
m ⋅ ( 2l )
2
4,5 ⋅ 0, 62
+ 4,5 ⋅ 0, 62 = 1, 76 kg.m 2 .
12
12
Moment setrvačnosti celého tělesa k O je podle (5.25):
I o = I1o + I 2 o = 0,54 + 1, 76= 2, 3 kg.m 2
I 2o =
+ m ⋅ ( 2l ) =
2
Vypočítáme polohu těžiště:
y ⋅ m + y2 ⋅ m2 m ⋅ ( y1 + y2 ) ( y1 + y2 ) 0 ,3 + 0 , 6
y= 1 1
=
=
=
= 0 , 45 m.
m1 + m2
2⋅m
2
2
Moment setrvačnosti celého tělesa k ose procházející těžištěm pak určíme pomocí Steinerovy
věty:
2
IT = I o − m ⋅ y = 2 ,3 − 4 ,5 ⋅ 0 , 452 = 1, 4 kg.m 2
Příklad 7.6 Určete osový moment setrvačnosti válce Ix pro souřadný systém u kterého je
podstava totožná s s rovinou xy.
Řešení:
Představíme si válec složený z elementárních disků, z nichž každý má elementární moment
1
setrvačnosti dI z = R 2 dm , kde dm = ρ π R 2 dz , ρ je hustota válce. Pak platí
2
L
1
1
I z = ∫ R 2 ρ π R 2 dz = mR 2
2
2
o
(a)
Platí I xz = I yz . Můžeme tedy psát:
1
mR 2
4
(b)
1
I xy = ∫ z 2 dm = ∫ z 2 ρπ R 2 dz = mL2
3
m
0
(c)
1
1
I x = I y = I xy + I xz = mL2 + mR 2
3
4
(d)
I z = I xz + I yz = 2 I xz ⇒ I xz =
L
Příklad 7.7 Rovinná deska ležící v rovině yz má osové momenty setrvačnosti I y , I z . Určete
moment setrvačnosti I x vzhledem k ose x.
I z = I xz + I yz ≐ I xz = ∫ y 2 dm
m
I y = I yz + I yx ≐ I yx = ∫ z 2 dm
m
Potom však můžeme pro moment setrvačnosti k ose x použít vztah
72
(a)
73
I x = ∫ ( y 2 + z 2 ) dm = ∫ y 2 dm + ∫ z 2 dm = I z + I y
m
m
(b)
m
7.2.5 Matice setrvačnosti
V kinematice se obecný prostorový pohyb tělesa řeší rozkladem na pohyb bodu referenčního a
sférický pohyb kolem bodu referenčního. Přitom se z důvodu přehlednosti pro popis vztahů
mezi kinematickými veličinami používá maticový zápis. Stejným způsobem budeme
postupovat i při popisu dynamiky tělesa konajícího prostorové pohyby. Přitom abychom však
mohli popsat i dynamiku prostorových pohybů pomocí maticového formalismu, je nutné
vyjádřit ve formě matic i geometricko-hmotnostní charakteristiky těles. Prvky těchto matic
charakterizují rozložení hmot v tělesech nezávisle na jejich pohybech.
7.2.5.1 Základní vlastnosti matice setrvačnosti
Jak již bylo řečeno, pro zápis pohybových rovnic těles je účelné zavedení čtvercové matice
setrvačnosti I definované jako
 Ix

I =  Dxy
 Dxz

Dxy
Iy
Dyz
Dxz 

Dyz 
I z 
(7.57)
Jak je z definice této matice zřejmé, jedná se o matici symetrickou, vzhledem ke svým
transformačním vlastnostem splňuje podmínky pro tenzor 2.řádu. Pro tělesa s různým
stupněm symetrie platí následující věty:
Má-li těleso rovinu symetrie, je každá osa k ní kolmá hlavní osou setrvačnosti. Další hlavní
osy leží v rovině symetrie.
Má-li těleso dvě roviny souměrnosti, je jejich průsečnice hlavní centrální osou setrvačnosti.
Má-li těleso osu souměrnosti, je tato osa pro každý počátek na této ose hlavní centrální osou
setrvačnosti.
Pro rotačně symetrické těleso je osa symetrie hlavní osou a existují ještě dvě další hlavní osy
setrvačnosti, které leží v rovině kolmé na osu symetrie.
V technické praxi se určení hlavních os setrvačnosti a hlavních momentů zjednoduší,
poněvadž zpravidla má technické těleso alespoň jednu rovinu souměrnosti. Např. jestliže
rovina yz je rovinou souměrnosti (obr. 7.12). Potom je Dxy = Dxz = 0 a osa x je hlavní osou
setrvačnosti a pro matici setrvačnosti bude platit
Obr. 7. 12
73
74
I x

I =0
0

0
Iy
Dyz
0 

Dyz 
I z 
(7.58)
Polohu hlavních os setrvačnosti můžeme určit na základě geometrické interpretace. Lze
dokázat,
že
koncové
body
vektorů
rM
o
souřadnicích
cos α
cos β
cos γ
xM =
, yM =
, zM =
, kde I o kde je moment setrvačnosti k ose o svírající se
Io
Io
Io
souřadnými osami úhly α, β a g , vytváří tzv. elipsoid setrvačnosti
I x x 2 + I y y 2 + I z z 2 + 2 Dxy xy + 2 Dyz yz + 2 Dxz xz = 1
(7.59)
Úloha nalezení hlavních os setrvačnosti tedy může být formulována jako převedení této
kvadratické formy na kanonický tvar, což lze provést řešením systému rovnic
( I x − λ ) x + Dxy x + Dxz y = 0
Dxy x + ( I y − λ ) y + Dyz z = 0
(7.60a)
Dxz x + Dyz y + ( I z − λ ) z = 0
Aby tento systém lineárních diferenciálních rovnic měl netriviální řešení, musí determinant
soustavy neznámých být roven nule:
(I x − λ )
Dxy
Dxz
Dxy
Dxz
(I y − λ)
Dyz = 0
Dyz
(I z − λ)
(7.60b)
To je vzhledem k λ kubická rovnice. Postupným dosazením tří reálných kořenů λ1, λ2, λ3 do
systému (7.60a) pak můžeme vypočítat hodnoty vektorů r1 = ( x1 , y1 , z1 ), r2 = ( x2 , y2 , z2 ) a
r3 = ( x3 , y3 , z3 ) . Tyto vektory určují velikost a směr hlavních poloos elipsoidu setrvačnosti.
7.2.5.2 Transformace matice setrvačnosti při posunutých souřadnicového systému
Výpočet integrálů určujících momenty setrvačnosti vzhledem k osám, které jsou totožné
s osami symetrie popř. které v rovinách symetrie leží, je poměrně snadný. Pro určení
momentů setrvačnosti a deviačních momentů vzhledem k obecně položeným osám je pak
vhodné použití transformačních vztahů mezi maticemi setrvačnosti vztaženým vzhledem
k různým souřadnicovým soustavám. Poměrně jednoduchý je případ dvou vztažných soustav,
jejichž osy jsou navzájem rovnoběžné tj. odlišujícími se jen posunutím počátku. V tomto
případě (na základě aplikace Steinerovy věty a využitím definičních vztahů pro deviační
momenty), mezi maticí setrvačnosti I1T určenou v centrálním souřadném systému Ox1 y1 z1 a
maticí setrvačnosti I 2 v systému Ox 2 y 2 z 2 s počátkem posunutým vůči původnímu centrálnímu
systému o x10,, y10, z10 platí vztah
I 2 = I1T + I1m
(7.61a)
kde I1m je matice setrvačnosti středu hmotnosti umístěného v počátku soustavy Ox 2 y 2 z 2 , pro
kterou platí
74
75
I1m
 m( y102 + z102 ) − mx10 y10
− mx10 z10 


2
2
=  − mx10 y10
m( x10 + z10 )
− my10 z10 
 − mx10 z10
− my10 z10
m( x102 + y102 ) 

(7.61b)
7.2.5.3 Transformace matice setrvačnosti při pootočení souřadného systému
Poměrně častý je případ, že těleso má geometrickou symetrii, která umožňuje poměrně
snadný výpočet jednotlivých prvků matice setrvačnosti v souřadné soustavě, jejíž osy souhlasí
s osami symetrie popř. v rovinách symetrie leží. Pro pohybové rovnice však často
potřebujeme znát matici setrvačnosti v systému natočenému obecně (např. ve směru stálé osy
otáčení). V tomto případě můžeme použít matici ortogonální transformaei mezi soustavami se
společným počátkem (viz K. Přikryl: Kinematika). Pro vektor r vyjádřený v soustavě O1 y1z1 a
v soustavě pootočené Ox 2 y 2 z 2 platí při maticovém zápisu
r 1 = C 21r 2
kde
C21 je
(7.62a)
matice směrových cosinů, která převádí vektory ze soustavy Ox1 y1 z1 do soustavy
Ox 2 y 2 z 2 . Prvky této matice jsou přitom kosiny směrových úhlů (proto také říkáme matice
směrových kosinů) a lze je vyjádřit pomocí skalárních součinů jednotkových vektorů
příslušejících souřadnicovým soustavám
 i1 .i 2
C21 =  j1 .i 2
k 1 .i 2
i1 .j2
j1 .j2
k 1 .j2
i1 .k 2 
j1 .k 2 
k 1 .k 2 
(7.62b)
Podobně obdržíme pro transformaci ze soustavy 1 do soustavy 2
r2 = C12r1
(7.62c)
Pro transformační matici přitom platí vztahy
−1
C12 = CT21 = C21
; C21CT21 = E
Např. pro rotaci okolo osy z o úhel φ (obr. 7.13) platí
75
(7.62d)
76
Obr. 7. 13
cos ϕ
C21 =  sin ϕ
 0
− sin ϕ
cos ϕ
0
0
0 
1 
(7.62e)
a pro transformaci ze soustavy (1) do soustavy (2) pak platí
 cos ϕ sin ϕ
C12 =  − sin ϕ cos ϕ
 0
0
0
0 
1 
(7.62f)
Jestliže soustava (2) rotuje kolem soustavy (1) úhlovou rychlostí ω = ( ω x ,ω y ,ω z ) pak
pro časovou derivaci transformační matice platí
ɺ =Ω C
C
21
21 21
(7.62g)
kde matice Ω21 je matice úhlových rychlostí
0

Ω21 = ω z
ω y

−ω z
0
ωx
ωy 

−ω x 
(7.62h)
0 
Jestliže vztahy mezi vektorovými veličinami jsou vyjádřeny pomocí násobení
tenzorem, pak matici ortogonální transformace můžeme využít i pro transformaci příslušného
tenzoru. Např. jestliže uvážíme vztah pro moment hybnosti
bO1 = I1 ω1 = C 21bO2 = C 21I2 ω2 = C 21I2C 12ω1
(7.63a)
I1 = C 21I2C 12
(7.63b)
Pak dostáváme relaci
76
77
Aplikací tohoto vztahu pak můžeme vypočítat osový moment setrvačnosti Io vzhledem k ose
o procházející počátkem souřadné soustavy Oxyz, vůči kterému matici setrvačnosti známe.
Obr. 7. 14
Jestliže osa o svírá s se souřadnými osami systému Oxyz směrové úhly α , β , γ (obr.7.14) pak
platí
I o = I x cos 2 α + I y cos 2 β + I z cos 2 γ + 2 Dxy cos α cos β + 2 Dyz cos β cos γ + 2 Dxz cos α cos γ (7.44)
Přitom pro každý bod tělesa platí, že jím lze proložit nejméně jeden systém tří vzájemně
kolmých os ξ ,η , ς , k nimž jsou hodnoty deviačních momentů nulové. Známe-li momenty
setrvačnosti k těmto hlavním osám Iξ , Iη , Iς , pak můžeme určit moment setrvačnosti
k libovolné pootočené ose podle jednoduchého vztahu
I o = Iξ cos 2 α + Iη cos 2 β + Iς cos 2 γ
(7.64)
Při pootočení souřadného systému lze najít vztahy mezi deviačními momenty k pootočeným
osám a deviačními momenty a osovými momenty setrvačnosti původního souřadného
systému. Např. při pootočení rovin xz a yz kolem osy z o úhel ψ platí vztah
Dξη = Dxy cos 2ψ +
1
( I xz − I yz ) sin 2ψ
2
(7.65)
Tyto vztahy lze využít pro účely zjištění směru hlavních os. Např. pokud chceme dosáhnout
Dξη = 0 , musí pro úhel pootočení ψ kolem osy z platit
tg 2ψ =
−2 Dxy
I yz − I xz
(7.66)
7. 3 Dynamika rotačního pohybu-rovinný případ
Jak vyplývá z definičních integrálních vztahů pro deviační momenty, v případě, že těleso má
rovinu symetrie kolmou na osu rotace o ≡ z , pak deviační momenty k ose z jsou nulové tj.
platí Dxz=Dyz=0. To znamená, že pokud je vzhledem k této rovině symetrické i silové zatížení,
pro popis dynamiky tělesa nám postačí jen system 3 složkových rovnic.
77
78
7.3.1 Pohybové rovnice pro rovinný případ rotačního pohybu
Rovnicemi statické rovnováhy se pak stávají i 4. a 5.rovnice systému (7.32). Vlastní
pohybovou rovnicí je tedy jen poslední rovnice ze systému (7.32), kterou již píšeme zpravidla
bez indexů tj.
Mo =
d
( I oω ) = I oα
dt
(7.67)
To je hlavní pohybová rovnicí rotačního pohybu tělesa při rotačním pohybu kolem stálé osy
otáčení o, v níž značí:
Io ... moment setrvačnosti ke stálé ose otáčení o,
α...okamžité úhlové zrychlení tělesa,
M o = ∑ M oi ...součet momentů vnějších sil k ose otáčení o.
čepové
tření
v ložiskách,
je
rovnice
Je-li
možné
zanedbat
Chyba! Nenalezen zdroj odkazů. vlastní pohybovou rovnicí (tj. neobsahuje neznámé
reakce), která sama o sobě řeší vlastní rotační pohyb tělesa a umožňuje vypočítat potřebné
vnější síly či momenty pro docílení předepsaného rotačního zrychlení. Pro zjištění namáhání
ložisek při působení vnějších sil symetricky rozložených vzhledem k rovině symetrie tělesa je
pak možné použít první dvě rovnice systému (7.32). Pro rovinný případ rotačního pohybu
tedy můžeme pohybové rovnice psát ve vektorovém tvaru
F = maT
(7.68)
M o = I oα
(7.69)
Ztotožníme-li osu rotace s osou z tj. o ≡ z , pak ve složkách tyto vektorové rovnice mají tvar
∑F
ix
= −myT α − mxT ω 2 ,
∑F
iy
= − mxT α − myT ω 2 ,
∑M
iz
= I zα
(7.71a)
Polohu těžiště a jeho vzdálenost e od osy rotace většinou známe, proto souřadný systém
orientujeme tak, aby xT=e, yT=0. Tím se rovnice zjednoduší na tvar
∑F
ix
= − meω 2 ,
∑F
iy
= − meα ,
∑M
iz
= I zα
(7.71b)
Jestliže je těžiště na ose rotace tj. e=0, pak se rovnice ještě více zjednoduší a platí
∑F
ix
= 0,
∑F
iy
= 0,
∑M
iz
= I zα
(7.71c)
Z hlavní pohybové rovnice rotačního pohybu pak pro impuls momentu vnějších sil
vyplývá relace
t2
d ( Io ω )
Mo =
⇒ I oω2 − I oω1 = ∫ M o dt
dt
t1
Tato rovnice vyjadřuje zákon o změně momentu hybnosti rotačního pohybu tělesa:
78
(7.71d)
79
Změna momentu hybnosti rotujícího tělesa je způsobena impulsem momentu vnějších sil
k ose otáčení.
Dosadíme-li za úhlové zrychlení α v rovnici Chyba! Nenalezen zdroj odkazů. vztah
d (ω 2 )
α=
pak můžeme práci momentu vyjádřit pomocí vztahu
2 dϕ
1

dA = M o dϕ = I oα = d  I oω 2  = dEkr
2

(7.72)
Rovnice (7.72) vyjadřuje zákon o změně kinetické energie při rotačním pohybu tělesa. Pro
kinetickou energii rotačního pohybu tělesa tedy platí
Ekr =
1
I oω 2
2
(7.73a)
Tento vztah platí i pro osu neprocházející těžištěm. Uvážíme-li, že při rotačním pohybu je
rychlost těžiště vT = e ω , pak s uvážením Steinerovy věty vyplývá pro kinetickou energii
vztah
Ek =
1 2 1
mvT + IT ω 2
2
2
(7.73b)
V případě rotace kolem osy pevné osy neprocházející těžištěm je kinetická energie tělesa
rovna součtu kinetické energie bodového tělesa umístěného v těžišti a energie rotačního
pohybu kolem těžiště.
Příklad 7. 8 Setrvačník S o momentu setrvačnosti Io se rozbíhá z klidu působením třecí spojky
mající stálou rychlost ωk . Spojka je přitlačována k setrvačníku stálou silou P, součinitel
smykového tření je f. Určete dobu tk, za kterou se setrvačník rozběhne na úhlovou rychlost ωk
hnacího hřídele, celkové pootočení setrvačníku φk a ztracenou práci (Obr. 7.15).
Obr. 7. 15
Řešení: Tlak na spojce je p =
P
π ( r2 − r12 )
2
79
80
Infinitezimální normálová tlaková síla na spojku působící na mezikruží dS = 2π rdr
je dFp = p dS = p 2π rdr
Infinitezimální moment třecích sil dM o = rdFp = 2π pfr 2 dr
Celkový moment třecích sil spojky je tedy roven
3
3
2
2
r1
2 Pf ( r2 − r1 ) 2 Pf ( r2 + r2 r1 + r1 )
M o = ∫ 2π r 2 fpdr = π
=
3 π ( r22 − r12 )
3 ( r2 + r1 )
r1
Vlastní pohybová rovnice
2 Pf ( r22 + r2 r1 + r12 )
Mo =
= I oα
3 ( r2 + r1 )
pro
rotační
pohyb
roztáčeného
setrvačníku
Jedná se tedy o pohyb s konstantním úhlovým zrychlením. Aplikací vztahu α =
integrací tedy dostáváme pro dobu roztočení setrvačníku hodnotu
I oωk 3 ( r2 + r1 )
tk =
2 P ( r22 + r2 r1 + r12 ) f
Celkové pootočení setrvačníku ϕk pak získáme integrací vztahu α =
ωk
ϕk
0
0
2
∫ dω =
ωk2 =
∫ 2 α dϕ =
ϕk
∫
0
d (ω 2 )
2dϕ
je
dω
a
dt
:
2M o
dϕ
Io
4 Pf ( r + r1r2 + r12 )
2
2
I o 3 ( r2 + r1 )
ϕk ⇒ ϕk =
3ωk2 I o ( r2 + r1 )
4 f P ( r22 + r1r2 + r12 )
3ωk2 ( r2 + r1 ) I o
ϕk
a počet otoček nk =
=
2π 8 Pf π ( r22 + r2 r1 + r12 )
Ztracená práce je dána prací momentu třecích sil při relativním pootáčení spojky vůči
ωk
setrvačníku tj. A =
∫
M o dψ , kde relativní pootočení spojky dψ závisí na okamžité úhlové
ω0 = 0
frekvenci setrvačníku podle vztahu dψ = (ωk − ω ) dt . Pro celkovou ztracenou práci tedy platí:
A=
ψk
∫
ψ 0 =0
M o dψ =
ψk
∫
ψ 0 =0
I o α dψ =
ωk
∫
ω0 = 0
ω
Io
k
dω
1
2
ω
−
ω
dt
=
I o ( ω k − ω ) d ω = I oω k
( k )
∫
dt
2
ω0 = 0
Práce tření tedy nezávisí na velikosti konstantního momentu spojky. Z postupů je přitom
zřejmé, že tento výsledek platí i pro časově proměnný moment třecí spojky.
Pf
Poznámka: Pro r1 ≐ r2 je možné použít M o ≐
.
2 ( r2 − r1 )
7.3.2 Setrvačné silové účinky v případě rovinného rotačního pohybu
Pro diskusi namáhání ložisek rotujících součástí je vhodné provést vyšetření rotačního
pohybu i způsobem dÁlembertovým. V tomto případě použijeme soustavu spojenou
s rotujícím tělesem a pohybové rovnice konstruujeme na základě rovnováhy působících a
setrvačných silových účinků. V případě rotujícího tělesa tvoří elementární setrvačné síly
prostorovou soustavu sil. Ze statiky je známo, že pro zvolený počátek lze takovou soustavu sil
80
81
nahradit výslednou silou a výslednou silovou dvojicí. Nejprve si rozebereme případ, kdy
těleso má vůči ose otáčení rovinu souměrnosti kolmou k této ose. Pro soustavu Oxyz s osami x,
y ležícími v rovině symetrie v tomto rovinném případě ze souměrnosti tělesa vyplývá, že ke
každému bodu (x,y,z) existuje i bod (x,y,-z). Pak deviační momenty k ose z nulové tj.
Dxz = Dyz = 0 . Výslednice elementárních setrvačných sil i těžiště tedy leží v rovině symetrie.
Jak vyplývá z dynamiky soustav hmotných bodů, při rotaci můžeme výsledné
setrvačné silové účinky tělesa můžeme vyjádřit pomocí výslednicové soustavy, která je
tvořena výslednou setrvačnou silou s Fv = s Ft + s Ft a momentem setrvačné dvojice
s
M T = − IT α . Výsledná setrvačná síla s Fv má přitom dvě složky, výslednou sílu setrvačnou
tečnou s Ft = − m ( α x rT ) a výslednou sílu normálovou s Fn = − mω 2rT , obě tyto složky působí
v těžišti a co do velikosti odpovídají tečné a normálové síle od bodového tělesa s hmotností m
umístěného v těžišti. Vzhledem k tomu, že setrvačné momenty v rovinném případě jsou
vektory kolmé na nákresnu, budeme je dále ve schématech vyznačovat obloučkem se šipkou,
orientovanou proti zvolenému kladnému směru úhlu pootočení ϕ ,k obloučku budeme
připisovat jeho velikost tj. IT α (obr. 7.16).
V případě rovinného případu rotujícího tělesa tedy můžeme výsledné setrvačné účinky
vzhledem k těžišti souhrnně vyjádřit rovnicemi
Ft = meα ,
(7.74a)
s
Fn = meω 2 ,
(7.74b)
s
M T = IT α ,
(7.74c)
s
kde e je vzdálenost těžiště T od osy rotace. Přitom jak je známé ze statiky, v rovině je možné
použít i jiných způsobů nahrazení výslednicové soustavy tj. je možné přenášet výslednici na
rovnoběžnou nositelku procházející jiným bodem s tím, že přitom však aby tyto soustavy byly
ekvivalentní musíme příslušně upravit momentovou výslednici. Pro momentovou pohybovou
rovnici (7.74c) tedy můžeme použít i jiný vztažný bod. Např. přeneseme-li výslednou
setrvačnou sílu s Fv do osy rotace o (obr. 7.17), pak pro zachování stejných silových účinků
musíme původní momentovou výslednici
s
s
M T doplnit o moment silové dvojice velikosti
M = Ft e . Pro vztažný bod na ose rotace lze tedy výsledné setrvačné účinky vyjádřit vztahy
s
Ft = meα
(7.74d)
Fn = meω 2
(7.74e)
M o = I oα = e s Ft + IT α = me2α + IT α ,
(7.74f)
s
s
s
což je v souhlasu se Steinerovou větou I o = IT + me2 . Výslednicové setrvačné účinky
rotujícího tělesa lze tedy také vyjádřit pomocí tečné setrvačné síly působící na ose rotace,
odstředivé síly působící na ose rotace a setrvačného momentu vzhledem k ose rotace.
Nejjednodušší nahrazení rovinné soustavy setrvačných silových účinků je při takové
poloze výslednice setrvačných sil, kdy výsledný setrvačný moment je roven nule (nahrazení
rovinné silové soustavy jenom výslednicí) - obr. 7.18. V tomto případě je poloha výslednice v
bodě P (tzv. střed perkuse) ležícím na spojnici těžiště se středem otáčení, vzdálenost p bodu P
od osy otáčení je přitom rovna
81
82
p=
s
M o Io
=
Ft
me
(7.75)
s
Pro vztažný bod ve středu perkuse P je výslednicová soustava setrvačných silových účinků
dána vztahy
Ft = meα
(7.76)
Fn = meω 2
(7.77)
MP = 0
(7.78)
s
s
s
s
Fn
Ioα
s
Ft
I Tα
Ioα
Obr. 7. 16
Obr. 7. 17
Obr. 7. 18
Poznámka: Při umístění osy rotace do bodu P jsou sice ložiska namáhána odstředivou silou,
ale při prudkém rozběhu nebo zastavení nedochází k ohybovému namáhání tělesa. Uchycení
do středu perkuse je tedy vhodné v případech, kdy jsou tělesa vystavena náhlým změnám
úhlového zrychlení v důsledku náhlých změn hodnot působících silových účinků (např. rázů).
Příklad 7. 9 Zjistěte hodnotu odstředivé síly a velikost reakcí u setrvačníku hmotnosti 20kg
s výstředností těžiště e=2mm při otáčkách n=600ot/min, vzdálenosti setrvačníku od ložisek
jsou a=600mm, b=200mm.
Řešení:
Odstředivá síla
 π ⋅ 600 
Fn = meω = 20 ⋅ 0 , 002 ⋅ 
 = 157 ,9 N .
 30 
2
s
Obr. 7. 19
2
Při vzdálenosti setrvačníku od ložisek a=600mm,
b=200mm pak vznikají v ložiskách odstředivou silou
reakce
82
83
b
200
= 157 ,9
= 39 ,5 N ,
a+b
800
a
600
RB = s Fn
= 157 ,9
= 118, 4 N .
a+b
800
Vektor odstředivé síly přitom rotuje s frekvencí danou otáčkami. To jednak způsobuje
ohýbání hřídele s rotací tohoto ohybu a jednak v daném místě uchycení dochází
k periodickému namáhání, což může vyvolat chvění rámu stroje.
RA = s Fn
7. 4 Pohybové rovnice při obecném rovinném pohybu tělesa
Obecný rovinný pohyb byl v kinematice definován jako pohyb tělesa , jehož body opisují při
pohybu křivky v rovnoběžných rovinách. Při dynamických úlohách požadujeme navíc, aby
vyšetřované těleso mělo rovinu symetrie rovnoběžnou s rovinou pohybu a symetrické zatížení
vnějšími silami podle této roviny symetrie. Těleso má při rovinném pohybu 3 stupně volnosti,
to znamená, že k vyšetření pohybu je obecně nutno napsat tři pohybové rovnice.
Uvažujme v rovině Oxy pohyb tělesa mající rovinu symetrie xy a hmotnost m za působení
výslednice vnějších sil F = ∑ Fi a působení výsledného vnějšího momentu M o = ∑ M io
vzhledem k ose o procházející bodem O. Spojíme-li soustavu Oxy s pohybujícím se tělesem,
pak můžeme podle dÁlembertova principu získat pohybové rovnice ze statické rovnováhy
působících a setrvačných silových účinků tj.
F +s F = 0
(7.79)
Mo +s Mo = 0
Podle vztahů pro soustavu hmotných bodů můžeme pro setrvačné silové účinky ve
vektorovém tvaru platí
s
F = − ∫ a M dm
,
m
s
(7.80)
M o = − ∫ rM x a M dm
m
kde rM je průvodič ke každému hmotnostnímu elementu dm umístěného v bodě M, a M je
zrychlení elementu dm vzhledem k rámu. Z kinematiky víme, že obecný rovinný pohyb lze
rozložit na translační pohyb daný pohybem bodu referenčního Ω a na rotační pohyb kolem
tohoto bodu. Pro zrychlení bodu M lze tedy psát
a M = aΩ + a M Ω
(7.81a)
kde aΩ je zrychlení translačního pohybu bodu Ω a a M Ω je zrychlení rotačního pohybu
elementu dm okolo bodu Ω . Pro zrychlení bodu konajícího rotační pohyb platí:
a M Ω = α x rM Ω − rM Ω ω 2
(7.81b)
Použitím těchto vztahů lze rovnice (7.80) přepsat na tvar


F = −  a Ω ∫ dm + α x ∫ rM Ω dm − ω 2 ∫ rM Ω dm 
m
m
 m




s
M o = −  ∫ rM Ω dm  x a Ω + ∫ rM Ω x ( α x rM Ω ) dm − ω 2 ∫ ( rM Ω x rM Ω )dm 
 m


s
83
(7.81c)
84
Podle pravidel pro vektorový součin můžeme upravit druhý výraz na pravé straně druhé
rovnice
∫r
MΩ
x ( α x rM Ω ) dm = ∫ α ( rM Ω .rM Ω )dm − ∫ rM Ω ( α .rM Ω )dm
m
m
(7.81d)
m
Poněvadž vektor úhlového zrychlení je kolmý na průvodič rM , bude skalární součin α .rM
roven nule. Dále platí
α ∫ rM2 Ω dm = α I Ω ,
(7.81e)
m
kde I Ω je moment setrvačnosti k ose o jdoucí referenčním bodem Ω kolmo na rovinu
pohybu. S využitím vztahu pro těžiště tj. m rT = ∫ rM dm pak rovnice (7.79) lze přepsat do
m
tvaru
F = m a Ω + m( α x rΩ T ) − m ω 2rΩ T = m aT
M o = m( rΩ T x a Ω ) + I Ω α
(7.82)
kde rΩ T je polohový vektor od referenčního bodu Ω vzhledem k těžišti T tělesa. Obdrželi
jsme vektorové pohybové rovnice obecného rovinného pohybu. Ztotožníme-li referenční bod
s těžištěm tj. Ω ≡ T , pak rΩ T = 0 a rovnice (7.82) přejdou na tvar
F = m aT
MT = IT α
(7.83)
Tento tvar je podstatně jednodušší než systém rovnic (7.82) a proto jej zpravidla při řešení
konkrétních úloh budeme používat. Rovnice (7.83) můžeme slovně interpretovat: Dynamiku
obecného rovinného pohybu tělesa můžeme řešit jako dynamiku translačního pohybu hmoty
soustředěné v těžišti (na kterou působí výslednice vnějších sil) a rotačního pohybu tělesa
kolem těžiště (pod působením výsledného momentu vnějších sil).
Poznámka: V případě, že translační a rotační složka pohybu tělesa jsou vázány (např. při
odvalování kotouče), pak je nutné do schématu uvolněného tělesa zakreslit orientace
translačního a úhlového zrychlení tak, aby si navzájem odpovídaly -viz obr. 7.20.
V případě
přímočarého
pohybu
těžiště
pro
složkový
zápis
rovnic
Chyba! Nenalezen zdroj odkazů. budeme používat souřadnice kartézské tj.
Fx = maTx ; Fy = maTy ; M T = IT α
(7.84)
Jestliže dráha pohybu těžiště bude křivočará, pak pro zápis složkových pohybových rovnic
použijeme přirozené souřadnice okamžité tečny a normály dráhy těžiště
Ft = maTt ; Fn = maTn ; M T = IT α ,
(7.85)
Pro kinetickou energii tělesa konajícího obecný rovinný pohyb vztah
Ek =
2
1 2 1
vM = ∫ ( vT + ω x rMT ) dm
∫
2
2
odkud po umocnění a úpravě dostáváme
84
(7.86)
85
1
1
Ek = mvT2 + IT ω2
2
2
(7.87)
Kinetická energie tělesa, konajícího obecný rovinný pohyb je dána součtem kinetické
energie hmotnosti soustředěné v těžišti a kinetické energie rotačního pohybu kolem těžiště.
Jestliže z jakéhokoliv důvodu volíme za referenční bod jiný bod než těžiště (např. u
momentové pohybové rovnice chceme eliminovat členy obsahující neznámé složky reakcí), je
nutno používat k řešení obecného rovinného pohybu rovnice (7.82). Nevýhodou v tomto
případě je to, že pohybové rovnice rotační a translační složky pohybu nejsou separovány. To
však nenastává v tom případě, že vztažný bod P je pevný (tj. však případ rotace kolem stálé
osy otáčení) nebo vektor jeho zrychlení leží na spojnici PT. Např. jestliže u odvalujícího se
kotouče za vztažný bod P zvolíme pól rychlosti pak platí
F = ma P + α x rTP − mrTPω 2
(7.87)
M P = I Pα
Vzhledem k tomu, že však při odvalování kotouče platí
a P = aT + a PT = aT − α x rTP + rTPω 2
(7.89)
dostáváme pro pohybové rovnice odvalujícího se kotouče jednoduché vztahy analogické
rovnicím (7.83) tj.
F = maT
(7.90)
M P = I Pα
V pohybové rovnici pro rotační složku pohybu se v tomto případě nevyskytuje
neznámá tečná složka stykové síly (jejíž hodnota nás zpravidla nezajímá) a z pohybové
rovnice rotační složky pohybu můžeme ihned zjistit hodnotu úhlového zrychlení α:
Příklad 7. 6 Určete maximální úhel sklonu βmax nakloněné roviny, při kterém ještě
nedochází ke smýkání plného válce o poloměru r (obr. 7.20). Z hodnoty tohoto úhlu určete
součinitel smykového tření f mezi válcem a nakloněnou rovinou.
Schéma uvolněného tělesa:
α
S≡T
aT
x
y
P
Ft
Fn
Fg
N
Obr. 7. 20
Řešení: Nejprve zjistíme hodnotu zrychlení středu válce při za předpokladu, že dochází k jeho
odvalování při obecném sklonu sklon nakloněné roviny. Zvolíme-li jako vztažný bod těžiště,
pak pro zvolený souřadný systém pohybové rovnice jsou vektorové pohybové rovnice
Fg + Fn + Ft = m aT
MT = I T α
Ve složkách:
85
86
x: ... mg sin β − Ft = maT
y:... Fn − mg cos β = 0
z:... − Ft r = − IT α
Pro moment setrvačnosti válce k ose totožné s jeho geometrickou osou použijeme známý
1
vztah IT = mr 2
2
Má-li docházet k odvalování válce, musí být dále splněna podmínka valení aT = α r .
V rovnicích máme 4 neznámé aT ,Fn ,Ft ,α . Pro hodnotu zrychlení středu válce dostáváme
2
výsledek aT = g sin β ,
3
Při maximálním úhlu sklonu β = β max kdy ještě dochází k odvalování je tečná složka
reakce Ft rovna třecí síle tj. Ft = Fn f = mg cos β max . Pak můžeme kombinací podmínky valení
2
a vztahu pro zrychlení středu kotouče aT = g sin β max určit z první rovnice hodnotu
3
1
součinitele smykového tření f = tg β max .
3
V případě, že bychom jako vztažný bod použili pól rychlosti P, pak pohybové rovnice
ve složkách by měly tvar:
x: ... mg sin β − Ft = maT
y:... Fn − mg cos β = 0
z:... − mg sin β r = − I Pα
3
Hodnotu IP určíme za pomoci Steinerovy věty tj. I P = IT + mr 2 = mr 2 .
2
Výpočet neznámých Ft, aT,, α je při použití druhého systému rovnic je jednodušší.
U některých úloh je někdy účelné kombinovat pohybové rovnice pro jednotlivé složky
pohybu tělesa se zákony zachování energie nebo hybnosti nebo momentu hybnosti:
Příklad 7.7. Koule je vržena počáteční rychlostí vT0 téměř tečně na podložku, koeficient
smykového tření je f. Určete čas ∆t po který se koule smýká, na jaké dráze ∆ x se smýká a
jaká je její konečná rychlost vTk po ukončení smýkání.
Řešení: Hodnota třecí síly je při smýkání konstantní, můžeme tedy použít vztah pro impuls
momentu Io a zjistit dobu trvání smýkání:
∆t
I o = ∫ M o dt =M o ∆t = r Ftř ∆t = r m f g ∆t = Bo 2 − Bo1 ,
0
kde Bo 2 ,Bo1 jsou momenty hybnosti na začátku a na konci smýkání. Pro moment hybnosti
2 2
mr ω . Na začátku smýkání se koule
5
neodvalovala tj. Bo1 = 0 . Na konci smýkání už začíná odvalování, tedy můžeme použít
odvalující se koule platí vztah Bo = I T ω =
podmínku valení vTk = ωk ( vTk je rychlost středu koule a ωk je úhlová rychlost rotační složky
pohybu koule na konci smýkání). Změna momentu hybnosti je tedy rovna
2
Bo 2 − Bo1 = mrvTk
5
Dosazením do 1. rovnice pak dostáváme vztah pro dobu trvání smýkání tj.
86
87
2vTk
5 fg
Využitím pohybové rovnice pro translační složku pohybu dostaneme zrychlení aT středu
koule při smýkání
F
Ftř = maT ⇒ aT = tř = fg
m
Z hodnoty tohoto zrychlení pak můžeme pomocí vztahu pro rovnoměrně zpožděný pohyb
zjistit rychlost vTk při ukončení smýkání
5
vTk = vT 0 − aT ∆t = vT 0
7
Ze zákona zachování energie dostaneme vztah pro dráhu ∆x na které třecí síla působila
1 2 1 2
1 2
12 v02
mvTk + I ωk + Ftř ∆ x = mv0 ⇒ ∆ x =
2
2
2
49 fg
∆t =
Kontrolní otázky:
1)Pohybové rovnice při translačním pohybu tělesa, k čemu využíváme pohybovou rovnici pro
rotační složky pohybu?
2) Pohybové rovnice při rotačním pohybu tělesa
3) Jak můžeme nahradit rotující těleso z hlediska setrvačných účinků?
4) Co je podstatou statického vyvažování?
5) Co je podstatou dynamického vyvažování, proč mu říkáme dynamické?
4) Co je to deviační moment, proč se mu říká deviační?
7. 5 Dynamika sférického pohybu tělesa
Sférický pohyb koná těleso, jehož jeden bod je nepohyblivý. Realizace takvového uložení
může být různá: kulový čep, hrot v lůžku, Cardanův závěs, otočná vidlice (obr.7.21). Tělesům
konajícím sférický pohyb se říká setrvačníky, v některých případech gyroskopy. My budeme
název gyroskop používat pro tělesa rotačně symetrická s vysokou úhlovou rychlostí vlastní
rotace.
Obr. 7. 21
87
88
Těleso konající sférický pohyb má tři stupně volnosti, přísluší mu tedy tři vlastní pohybové
rovnice momentové (Eulerovy dynamické rovnice), v nichž jako nezávislé souřadnice
zpravidla používáme Eulerovy úhly. Vzhledem k tomu, že se jedná o pohyb prostorový (který
je obecně popsán šesti rovnicemi), při výpočtů reakcí uložení, při uvažování pasivních odporů
popř. při řešení pohybu dráhy těžiště připojujeme další tři pohybové rovnice silové.
V aplikacích je těleso často podrobeno dalším vazbám a jeho pohyblivost a tím i počet
vlastních pohybových rovnic se pak snižuje.
Při řešení dynamiky sférického pohybu vzhledem k libovolnému pevnému bodu
zpravidla postupujeme podobně jako při řešení pohybu obecného rovinného pohybu tj. řešíme
ji jako pohyb středu hmotnosti na pevný bod a sférický pohyb na těžiště. Přitom jak víme
z kinematiky, sférický pohyb lze rozložit na tři současné rotace (viz Eulerovy kinematické
rovnice). Pro dynamické veličiny sférického pohybu vztahy budou tedy platit podobné vztahy
jako pro rotační pohyb tělesa kolem stálé osy rotace.
Vycházíme přitom z věty o momentu hybnosti pro soustavu hmotných bodů tj.
moment hybnosti tělesa uvažujeme jako součet momentu hybnosti středu hmotnosti.
vzhledem k tomuto bodu a momentů hybnosti všech bodů tělesa k těžišti.
S tělesem spojíme souřadný systém Ox 2 y 2 z 2 jehož počátek ztotožníme s nehybným
bodem tělesa. (obr.7.22). Novou polohu tělesa určujeme z posloupnosti tří kroků:a) pootočíme
kolem osy z1 o precesní úhel ψ ,osa x1 se přemístí do uzlové přímky u; b) otočíme kolem
uzlové přímky u o úhel nutace ϑ , z1 se přemístí do z2 ; c) kolem z2 pootočíme o vlastní rotaci
ϕ . Výslednou úhlovou rychlost ω při sférickém pohybu lze tedy složit ze tří rotací tj.
z úhlové rychlosti precese ψɺ , rotace ϕɺ a nutaceψɺ
ɺ
ɺ + ϕɺ + ϑ
ω =ψ
(7.91)
ω = k1ψɺ + k 2ϕɺ + uϑɺ
(7.92)
Obr. 7. 22
88
89
Jak již bylo zmíněno při popisu dynamiky rotačního pohybu tělesa, aby hmotnostní
charakteristiky tělesa nezávisely na čase, je nutné vztažný souřadný systém spojit s tělesem tj.
souřadný systém Ox2 y2 z2. Souřadnice výsledné rychlosti dostaneme z Eulerových úhlů a jejich
časových derivací průmětem do os x2, y2, z2
ω x 2 = ψɺ sin ϑ sin ϕ + ϑɺ cos ϑ
ω = ψɺ sin ϑ cos ϕ − ϑɺ sin ϕ
(7.93)
y2
ω z 2 = ψɺ cos ϑ + ϕɺ
Rovnice (7.93) jsou známé Eulerovy kinematické rovnice. V soustavě spojené s tělesem je
vektor tedy výsledné úhlové rychlosti tedy vyjádřen
ω 2 = ω x 2 i 2 + ω y 2 j2 + ω z 2k 2
(7.94)
Pro vztažnou soustavu jejíž počátek je totožný s pevným bodem tělesa ( v O1 = 0 )
v případě sférického pohybu platí pro vektor hybnosti
H1 = mvT 1 = m ( ω1 x rT 1 )
(7.95)
Pro popis prostorových pohybů je z důvodu přehlednosti vhodné přejít k maticovému zápisu.
Jak již bylo zmíněno u rotačního pohybu, pro zápis pohybových rovnic je nutné použít
souřadný systém spojený s tělesem. Maticový formalismus nám přitom umožňuje snadný
přechod od vyjádření vektorových veličin v soustavě pohyblivé Ox2y2z2 k vyjádření v soustavě
nepohyblivé Ox1y1z1 na základě transformačních vztahů mezi soustavami se společným
počátkem. Např. pro hybnost tělesa platí
h1 = C21h2
(7.96)
kde transformační matice C21 mezi soustavami se společným počátkem, která převádí
souřadnice vektoru v soustavě 2 na souřadnice téhož vektoru v soustavě 1.
V kinematice byl sférický pohyb řešen jako rotační pohyb kolem okamžité osy otáčení. Při
rotaci tělesa úhlovou rychlostí ω kolem okamžité osy otáčení platí pro moment hybnosti
vzhledem k pevnému bodu O vztah
BO = ∫ ( r x v )dm = ∫ r x ( r x v )dm
(7.97)
Rozvedeme-li dvojnásobný vektorový součin, lze tuto rovnici přepsat na tvar
BO = ω ∫ rdm − m ∫ r ( ω.r )dm
(7.98)
m
Rozepsáním do soustavy Ox2y2z2 spojené s tělesem
BO 2 = BOx 2 i 2 + BOy 2 j2 + BOz 2k 2 = i 2ω x 2 ∫ ( x22 + y22 + z22 )dm − i 2 ∫ (ω x 2 x2 + ω y 2 y2 + ω z 2 z2 )x2 dm +
m
m
+ j2ω x 2 ∫ ( x + y + z )dm − j2 ∫ (ω x 2 x2 + ω y 2 y2 + ω z 2 z2 ) y2 dm +
2
2
m
2
2
2
2
m
+k 2ω x 2 ∫ ( x22 + y22 + z22 )dm − k 2 ∫ (ω x 2 x2 + ω y 2 y2 + ω z 2 z2 )x2 dm
m
m
89
(7.99)
90
Využitím vztahů pro osové momenty setrvačnosti a pro deviační momenty, dostaneme pro
složky momentu hybnosti
BOx 2 = I x 2ω x 2 + Dx 2 y 2ω y 2 + Dx 2 z 2ω z 2
BOy 2 = I y 2ω y 2 + Dx 2 y 2ω y 2 + Dy 2 z 2ω z 2
(7.100)
BOz 2 = I z 2ω z 2 + Dx 2 z 2ω x 2 + Dy 2 z 2ω y 2
Tuto rovnici pak můžeme napsat maticově
bO 2 = I 2ω2
(7.101)
kde bO 2 , ω2 jsou sloupcové matice momentu hybnosti a vektoru úhlové rychlosti a I 2 je
matice setrvačnosti tělesa.
Kinetickou energii rotujícího tělesa kolem okamžité osy otáčení úhlovou rychlostí ω
lze určit následujícím postupem
Ek =
1 2
1
1
v dm = ∫ ( v.v ) dm = ∫ v.( ω x r ) = ω.∫ ( r x v ) dm
∫
2m
2m
2 m
m
(7.103)
Poslední integrál na pravé straně rovnice vyjadřuje moment hybnosti tělesa, takže lze psát
1
Ek = ω bO
2
(7.104)
1
Ek = ωT I ω
2
(7.105)
nebo
V případě, že směry os souřadné soustavy ztotožníme s hlavními osami setrvačnosti, pak platí
Ek =
1
1
1
Iξ ωξ2 + Iη ωη2 + Iζ ωζ2
2
2
2
(7.106)
7. 5. 1 Pohybové rovnice při sférickém pohybu tělesa
Z kapitoly o soustavě hmotných bodů víme, že moment vnějších sil je roven časové změně
momentu hybnosti
MO =
dB O
,
dt
(7.107)
kde vektor BO v maticovém zápisu můžeme vyjádřit pomocí vztahu (7.101).
Jak však bylo zmíněno v úvodu, vztah (7.107) platí jen pro inerciální tj. nepohyblivé
soustavy souřadnic. Pokud jej však chceme použít pro vektory MO a BO vyjádřené v soustavě
Ox 2 y 2 z 2 spojené s tělesem tj. soustavě pohyblivé, pak je nutné si uvědomit, že směry vektorů
báze rotující soustavy závisí na čase a časová derivace vektorů báze je obecně různá od nuly.
V případě, že pohyblivá souřadná soustava vůči soustavě nepohyblivé rotuje úhlovou
rychlostí ω , pak mezi časovou změnou libovolné vektorové veličiny R vyjádřené
v nepohyblivé soustavě Ox1y1z1 a v soustavě pohyblivé Ox2y2z2 platí vztah:
90
91
dR 1 dR 2
=
+ ω2 x R 2 ,
dt
dt
(7.108)
dR 1 ɺ
dR 2 ɺ
= R1 ,
= R 2 mají jako souřadnice časové derivace souřadnic vektorů
dt
dt
ɺ tedy znamená, že se derivují jenom souřadnice vektoru R vyjádřené v soustavě
R1, R2. R
2
Ox2y2z2 , neprovádí se však již derivace vektorů báze Ox2y2z2, i když je to soustava pohyblivá.
Uvažujme počátek souřadný systém spojený s tělesem Oξ η ζ s počátkem ve středu sférického
kde vektory
pohybu, směry os ξ ,η ,ζ tohoto souřadného systému ztotožněme se směrem hlavních os
setrvačnosti. S použitím identity (7.108) pak v soustavě spojené s tělesem má rovnice (7.107)
v maticovém zápisu tvar
ɺ 2 + Ω2 I 2ω2 .
mO 2 = I 2ω
(7.109)
Tato rovnice rozepsaná ve složkách vytváří systém rovnic
ɺ ξ + ( Iζ − Iη ) ωηωζ
M ξ = Iξ ω
ɺ η + ( Iξ − Iζ ) ωξ ωζ
Mη = Iη ω
(7.110)
ɺ ζ + ( Iη − Iξ ) ωηωξ
M ζ = Iζ ω
Tím jsme dostali obvyklý tvar pro tzv. Eulerovy pohybové rovnice. M ξ , Mη , M ζ jsou
momenty vnějších sil k osám souřadného systému spojeného s tělesem a matice setrvačnosti
je definována pro systém hlavních os s počátkem ve středu sférického pohybu.
K těmto momentovým pohybovým rovnicím popisujícím rotaci můžeme přidat
rovnice silové tj.
F=
dH d
= ∫ ω x rdm
dt
dt m
(7.111)
Provedeme-li pro každý element dm rozklad pohybu na pohyb těžiště a sférický pohyb na
těžiště, pak opět s uvážením identity (7.108) a s uvážením vztahů pro těžiště dostáváme pro
soustavu spojenou s tělesem ve složkách rovnice
Fξ = m ( vɺT ξ + ωη vT ζ − ω z vT η )
Fη = m ( vɺT η + ωζ vT ξ − ωξ vT ζ
Fζ = m ( vɺT ζ + ωξ vT η − ωη vT ξ
)
)
(7.112)
Vyřešit sférický pohyb je provedení integrace těchto rovnic tj. nalezení závislosti Eulerových
úhlů na čase : ϕ = ϕ ( t ), ψ = ψ ( t ), ϑ = ϑ ( t ) . K tomu použijeme pohybové rovnice (7.110),
(7.112) a kinematické rovnice(7.93). Jde tedy o řešení devíti obecně nelineárních rovnic
s počátečními podmínkami ϕ0 ,ψ 0 ,ϑ0 , ϕɺ0 ,ψɺ 0 ,ϑɺ0 .
Vzhledem k tomu, že souřadnice těžiště xT 2 , yT 2 ,zT 2 jsou v soustavě spojené s tělesem
ɺ r , systém složkových rovnice (7.110) a (7.112)
konstantní, pak platí v T 2 = Ω 2 rT 2 ,vɺ T 2 = Ω
2 T2
pro sférický pohyb tělesa lze zapsat maticově:
ɺ r + Ω (Ω r ) 
f 2 = m  Ω
2 T2
2
2 T2 
ɺ 2 + Ω2 I 2ω2
mO 2 = I 2ω
91
(7.113)
92
kde Ωɺ 2 , Ω2 jsou čtvercové matice
 0

ɺ
Ω2 =  ωɺ ζ
 −ωɺη

−ωɺ ζ
0
ωɺ ξ
 0
ωɺη 


−ωɺ ξ  , Ω2 =  ωζ
 −ωη
0 

−ωζ
0
ωξ
ωη 

−ωξ 
(7.114)
0 
Na rotační pohyb kolem stálé osy otáčení se můžeme dívat jako na zvláštní případ
pohybu sférického. Pak pro konstrukci pohybových rovnic lze použít místo systému rovnic
(7.32) vztahy (7.113). V případě, že pro řešení rotačního pohybu kolem stálé osy otáčení
systém (7.113) skutečně použijeme, pak pokud nás zajímají hodnoty reakcí uložení rotoru
popř. zrychlení vzhledem k ose rotace, musíme vektorové veličiny vypočítané pomocí vztahů
(7.113) následně transformovat pomocí transformační matice do os pevného souřadného
systému, jehož jedna osa bude totožná s osou rotace.
Poznámka1: Dynamiku obecného prostorového pohybu bychom řešili jako unášivý pohyb
posuvný daný pohybem těžiště ( f2 = m aT 2 ) a relativní pohyb sférický okolo těžiště
ɺ 2 + Ω2 I 2ω2 ). Řešení těchto rovnic umožní popsat pohyb těžiště a sférický pohyb
( mO 2 = I 2ω
kolem těžiště.
7. 5. 2 Technické aplikace sférického pohybu
Z hlediska technických aplikací mají základní význam dva zvláštní případy sférických
pohybů: 1) Bezsilový setrvačník - těleso je podepřeno v těžišti a výsledné vnější silové účinky
vzhledem k této opoře jsou nulové.
2) Těžký symetrický setrvačník - rotačně symetrické těleso je roztočeno velkou
úhlovou rychlostí, je podepřeno v bodě své geometrické osy a je podrobeno účinku síly tíže.
V případě bezsilového setrvačníku je těleso podepřeno v těžišti tj. síla tíže je
v rovnováze s reakcí opory a také moment vnějších gravitačních sil je nulový. Platí tedy
MO = 0
F=0
(7.115)
Z toho ovšem vyplývá, že v základním (nepohyblivém) souřadném systému je hybnost i
moment hybnosti stálý co do velikosti i co do směru. Stálá je i mechanická energie
bezsilového setrvačníku. Platí tedy
1
1
1
Iξ ωξ2 + Iηωη2 + Iζ ωζ2 =
2
2
2
1
1
1


= (ωξ i + ωη j + ωζ k ) . Iξ ωξ i + Iηωη j + Iζ ωζ k  = konst.
2
2
2


Ek =
(7.116)
Průmět výsledné úhlové rychlosti do nositelky momentu hybnosti je tedy také stálý. Z toho
pak vyplývá, že roztočíme-li bezsilový setrvačník kolem některé z hlavních os setrvačnosti,
bude se kolem ní otáčet jako kolem své stálé osy (aniž by tato osa musela být fixována k rámu
ložisky). Podepření setrvačníku v těžišti můžeme nahradit uchycením v Cardanově závěsu
(který má možnost tří nezávislých rotací tj. má 30 volnosti). Poloha hlavní osy otáčení pak
zachovává svůj směr (vzhledem ke stálicím) bez ohledu na rotaci zemskou a takový
setrvačník můžeme využít pro detekci jeho relativních pohybů vůči pohybujícím se objektům.
V případě že počáteční úhlová rychlost neleží na hlavní ose setrvačnosti, není již
pohyb rotační, ale sférický. Přitom pro rotačně symetrická tělesa platí, že se jedná o pohyb
s rovnoměrnou (regulární) precesí i vlastní rotací; úhel nutace je stálý. Výsledná úhlová
rychlost je dána součtem dvou Eulerových rychlostí tj.
92
93
ɺ + ϕɺ
ω=ψ
(7.117)
Vektory úhlové rychlosti precese, rotace a výsledné úhlové rychlosti leží v případě
bezsilového setrvačníku v jedné rovině. Při působení stálé vnější silové dvojice se účinek této
dvojice projeví tím, že osa bezsilového setrvačníku se bude stále více přiklánět ke směru
vynucené rotace tj. setrvačník se bude snažit změnit vlastní rotaci tak, aby byla souhlasně
rovnoběžná s rotací vynucenou. Tímto způsobem např. vysvětlit napřimování původně
nakloněné osy dětského vlka roztočeného na vodorovné desce.
V případě těžkého setrvačníku podepřeného pod těžištěm působí při skloněné ose na
setrvačník ve směru horizontálním vnější silová dvojice (síla tíže a reakce od opory), která se
snaží osu rotace otočit kolem vodorovné osy o. Podle dÁlembertova principu setrvačný
moment musí být v rovnováze s momentem sil vnějších sil tj. musí platit s M o = − I oα .
Výsledné úhlové zrychlení α setrvačníku by tedy mělo být horizontální. Jak vyplývá
z kinematiky, tento případ může nastat v tom případě, jestliže současně s rotací kolem vlastní
osy (pohyb relativní) setrvačník bude konat i pohyb unášivý kolem osy ležící ve svislé rovině
a hodnoty obou úhlových rychlostí přitom budou konstantní. Pak výsledné úhlové zrychlení
ɺ je Résalovo zrychlení známé
sférického pohybu setrvačníku bude α = α R , kde α R = ɺψ x ϕ
z kinematiky. Docházíme tedy k závěru, že těžký setrvačník vlivem tíže koná jak relativní
pohyb kolem osy symetrie tak i precesní pohyb unášivý.
Uvažujme tedy těleso otáčející se konstantní úhlovou rychlostí ϕɺ kolem své
ɺ a konstantní hodnotu nutačního
geometrické osy, konstantní precesní úhlovou rychlostí ψ
úhlu ϑ . Jedná se tedy o 2 současné různoběžné rotace. Dosazením do Eulerových
dynamických rovnic dostáváme po úpravách u momentových rovnic (7.113) nenulovou
hodnotu jen u druhé rovnice


ψɺ
ɺ x ϕɺ )
cos ϑ  ( ψ
Mη =  Iζ + ( Iζ − Iη )
ϕɺ


(7.118)
Přepíšeme-li pravou stranu rovnice (7.115) nalevo, dostáváme tak s uvážením dÁlembertova
principu
MO + s MO = 0
(7.119)
vztah pro setrvačný moment s M o
s


ψɺ
ɺ
M O =  Iζ + ( Iζ − Iη )
cos ϑ  (ϕɺ x ψ
ɺ
ϕ


)
(7.120)
Tento setrvačný moment u těžkých setrvačníků nazýváme gyroskopickým momentem MG.
π
přesně nebo pro vysoké hodnoty úhlové rychlosti vlastní rotace tj. ϕɺ ≫ ψɺ
2
přibližně pak můžeme pro gyroskopický moment psát vztah
Pro úhel ϑ =
ɺ
M G = Iζ (ϕɺ x ψ
)
(7.121a)
Nebo také
M G = − Iζ α R
(7.121b)
Gyroskopický moment je kolmý na vektory úhlových rychlostí rotace a precese a jeho smysl je
takový, že se snaží ztotožnit nejkratší cestou osu vlastní rotace s osou precese.
93
94
V případě, že otáčející těžký setrvačník je podepřen pod těžištěm v ose rotace
(obr.7.23), pak zanedbáme-li pasivní odpory, velikost výsledného momentu působících
vnějších sil je dána momentem od tíhové síly tj.
M O = mge sin ϑ
(7.122)
Za daného pohybového stavu pak existuje kinetostatická rovnováha jestliže hodnota
precesní rychlosti je dána vztahem
ψɺ =
mge
I z 2ϕɺ
(7.123)
Vzhledem k tomu, že setrvačník je těžký (tj. nedochází ke změně velikosti hodnoty
vlastní úhlové frekvence), je hodnota precesní frekvence také konstantní. Začne-li na
roztočený těžký setrvačník (který má v bodě uchycení pod těžištěm možnost sférického
pohybu) působit konstantní vnější moment M O , pak pro existenci kinetostatické rovnováhy
mezi působícími a setrvačnými silovými účinky musí vzniklý gyroskopický moment s M O
být stejně velký, ale opačně orientovaný jako M O .
Pro výklad chování setrvačníku je nutno uvažovat to, že moment hybnosti BO tělesa
souvisí s výsledným momentem M O vnějších sil zcela analogicky jako hybnost H tělesa s
x1
z2
Obr. 7. 23
výslednou vnější silou F. Stejně jako setrvačná síla unášivá zapříčiněná akcelerací tělesa je
rovna časové derivaci hybnosti, velikostně je rovna výsledné působící síle a je namířena proti
ní, tak i setrvačný gyroskopický moment je zapříčiněn pohybem tj. dvěma současnými
rotacemi, časová změna momentu hybnosti je rovna výslednému momentu působících sil a je
namířen proti němu.
V případě, že uchycení těžkého setrvačníku má 20 volnosti (obr. 7.24a), pak je možné
jej použít k zachování pevného směru vůči rotující Zemi a nazývá se gyrokompas. U
gyrokompasů je setrvačník roztočen vysokou úhlovou rychlostí ϕɺ = (2000 − 4000) rad.s −1 ,
precesní rychlost je určena rotací Země tj. ψɺ = ωZ = 7, 27.10−5 rad.s −1 . Vzniklý gyroskopický
moment MG se snaží natočit osu setrvačníku tak, aby byla rovnoběžná s osou Země.
Působením závaží popř. pružinou je však osa setrvačníku udržována v horizontální rovině tj.
ve směru tečny k poledníku (obr. 7.24b). Vzhledem k tomu, že precesní pohyb osy
94
95
setrvačníku souhlasí s pohybem Země, relativní pohyb osy vůči Zemi je nulový a osa
gyroskopu míří neustále směrem k zemskému pólu.
Těžký setrvačník má podle předpokladu velký moment setrvačnosti a jeho rotační
energie je velká, přitom rotace probíhá kolem jedné z hlavních os setrvačnosti tj. ložiska
nejsou namáhána setrvačnými silovými účinky. V případě roztočení těžkého setrvačníku na
vysokou úhlovou rychlost při vychýlení osy může setrvačník působit na okolí velkými
momenty tj. má stabilizační schopnost. Uplatňoval se proto např. jako součást řídících
zařízení zamezujících kývání lodi nebo jednokolejových vozidel.
Chceme-li setrvačníkem polohu příslušného technického zařízení stabilizovat, musí
být spojení se setrvačníkem takové, aby vyvolané reakce tlumily výkyvy. Např. u lodí, aby se
zamezilo kolébání, (boční kyvy kolem podélné osy lodi), byly tyto setrvačníky montovány
tak, aby jejich svislá osa rotace se mohla stáčet kolem vodorovné osy uložené kolmo
k podélné ose lodi. Při počátku výkyvu lodi se osa setrvačníku nejprve vychýlí dozadu nebo
dopředu, tím však vznikne reakční dvojice tlumící pokračování výkyvu lodi.
Vzhledem k tomu, že vlivem gyroskopických momentů u velkých technických
zařízení mohou vznikat v ložiskách značné síly, v současné době se gyroskopy k vlastní
stabilizaci lodí již nepoužívají, aplikují se však jako řídící zařízení pro zvláštní přídavné
ploutve. V letectví se setrvačníků kromě stabilizátorů, kompasů a ukazovatelů stálého směru
používá také jako umělého horizontu a zatáčkoměrů. Úkolem umělého horizontu je indikace
svislého směru a k němu kolmé vodorovné roviny a určení sklonu podélné osy letadla
vzhledem k této rovině. Jeho princip je podobný jako u kompasu, s tím rozdílem, že v tomto
případě je osa setrvačníku svislá a je v této rovině udržována tím, že těžiště setrvačníku v
Cardanově závěsu leží několik mm pod průsečíkem obou vodorovných os závěsu. Stoupá-li
letadlo přímým letem, je jeho podélná osa zvednuta, což se projeví na čelní stěně přístroje. U
zatáčkoměru setrvačník slouží ke zjištění zakřivení dráhy letu ve vodorovné rovině. Osa
setrvačníku je v tomto případě uložena horizontálně příčně k ose letadla a může se volně
Obr. 7. 24
otáčet kolem podélné osy letadla. Při zatáčce osa setrvačníku koná precesní pohyb i s
rámečkem, takže v důsledku vzniklého gyroskopického momentu dojde k ke stáčení
gyroskopu kolem podélné osy.
V případě krouživého kmitání hřídelů vyvolaného rotujícím působením odstředivé
síly, vzniklý gyroskopický moment vrací osu rotoru do spojnice ložisek tj. z hlediska
nežádoucího prohýbání osy rotorů působí příznivě a snižuje velikost prohýbání os rotorů.
Příklad 7. 8 Zjistěte dynamické vazbové síly v ložiskách plynové turbiny proudového letounu
při provádění horizontální levotočivé zatáčky poloměru r=3000m. Rychlost letounu je
95
96
1640km/hod., otáčky rotoru n=235ot.s-1 ,moment setrvačnosti turbiny I=11,9kg.m2 a
vzdálenost ložisek l=640m (obr. 7.24).
Řešení: Úhel nutace je υ=900, pro velikost
gyroskopického
momentu
tedy
platí
M G = Iϕɺ0ψɺ 0 . Předpokládáme pravotočivý směr
otáčení turbiny. Gyroskopický moment působí
kolmo na vektory precese i rotace a musí být
v rovnováze s reakcemi v ložiskách. Platí
M
Iϕɺ ψɺ
tedy FAl − M G = 0 ⇒ FA = FB = G = 0 0 =
l
l
=4169N
Obr. 7. 25
96

7 Dynamika Tuhého Tělesa

Transkript

Podobné dokumenty

Úvod do překladu krásné literatury

gerador de pára

Technický list 6539