Poslání, měřící metody pro určení dynamických veličin. Dynamické

Experimentální dynamika
(motivace, poslání, cíle)
www.kme.zcu.cz/kmet/exm
1
Obsah prezentace
1. Motivace, poslání, cíle
2. Dynamické modely v mechanice
3. Vibrace – přehled, proč a jak měřit
4. Frekvenční přenos, Bodeho diagramy, princip akcelerometru
5. Dynamický snímač - akcelerometr
6. Použité zdroje
2
Motivace, poslání, cíle
● Základním cílem měření v dynamice je získat informace o chování
reálných objektů – průběhy zrychlení, rychlostí, výchylek.
● Problémy spojené s izolací, omezováním a snižováním
mechanických vibrací a hluku strojů se řeší zejména od doby, kdy se
začaly používat k pohonu různé motory.
● Principy a metody potlačení vibrací se postupně staly nedílnou
součástí procesu projektování, vývoje a konstrukce.
● Měření vibrací se stává nedílnou součástí strojních provozů –
diagnostika strojů, seizmicita, …
3
Motivace, poslání, cíle
● Co jsou vibrace?
Vibracemi rozumíme jednoduše kmitavý pohyb. Směr pohybu se
mění dvakrát v každém cyklu. Pohyb, který se opakuje ve stejných
časových intervalech, nazýváme periodické kmitání.
Pokud je periodické kmitání reprezentováno jednoduchou sinusovou
funkcí, mluvíme o jednoduchém harmonickém pohybu.
Všechna tělesa charakterizovaná hmotností a elasticitou jsou
způsobná kmitavého pohybu.
Motivace, poslání, cíle
●Existují stroje, u nichž jsou vibrace žádoucí:
● Ale ve většině aplikací jsou vibrace nežádoucí a je cílem je potlačit:
5
Vibrace – přehled, proč a jak měřit
● Úroveň reálných vibrací
6
Vibrace – přehled, proč a jak měřit
● Decibel je jednotka nejznámější svým použitím pro měření hladiny
intenzity zvuku, ale ve skutečnosti se jedná o obecné měřítko podílu dvou
hodnot, které se používá v mnoha oborech. Jedná se o fyzikálně
bezrozměrnou míru, obdobně jako třeba procento, ovšem na rozdíl od něj je
decibel logaritmická jednotka, jejíž definice souvisí s objevením FechnerWeberova zákona, že totiž lidské tělo vnímá podněty logaritmicky jejich
intenzitě (i velké změny velkých podnětů způsobují jen malé změny počitků).
Míra vytvořená v roce 1923 inženýry Bellových laboratoří původně sloužila k
udávání útlumu telefonního vedení. Například pokles (útlum) o 3 dB u výkonu
značí poloviční výkon, naopak zisk (zesílení) o 3 dB je dvojnásobný výkon
(pozor, pro jiné veličiny jako např. napěťový přenos toto nemusí platit).
7
Vibrace – přehled, proč a jak měřit
Toto vyjadřování reality se uplatnilo zejména v akustice: na pokusech s
dobrovolníky a mrtvou komorou se zjistilo, že průměrný jedinec slyší
nejvýrazněji kmitočty kolem 1–3 kHz. Pro vytvoření etalonu se
použil sinusový tón 1000 Hz. Ten se pouštěl velmi potichu v absolutně
tichém, bezodrazovém prostředí jedincům s odpočatým sluchem. Zjistilo se,
že průměrný jedinec jej začne vnímat, je-li v komoře hladina akustického
tlaku p0 = 2 × 10−5 Pa.
Logaritmováním poměru zvukového tlaku a tohoto stanoveného nejslabšího
slyšitelného zvuku vznikne relativní (bezrozměrné) číslo, jehož jednotka je
označena jako bel. Běžně se ovšem pracuje s desetkrát podrobnější
jednotkou decibel(odvozená pomocí předpony soustavy SI deci). Jednotka je
pojmenována po skotském vynálezci telefonu A. G. Bellovi.
Označíme-li hladinu akustického tlaku Lp, pak:
8
Kmitání mechanických systémů
● Při studiu kmitání používáme termín systém. Systém je definován
jako soubor komponent vystupujících jako celek.
Kmitání systému může být ilustrováno pomocí blokového diagramu
9
Klasifikace předmětu kmitání
Můžeme klasifikovat následující problémy kmitání
● vibrační analýza: známe vstup a charakteristiky systému, neznáme
výstup
● návrh systému: známe vstup a požadovaný výstup, hledáme návrh
konstrukce
● vyhodnocení vstupu: známe výstup a charakteristiku systému,
chceme určit vstup (buzení)
● identifikace systému: známe vstup a výstup, hledáme
charakteristiky systému
10
Klasifikace kmitání – na základě vstupu
● volné kmitání: kmitání bez působení budicích sil, kmitání vyvolané
počátečními podmínkami. Např. hmota na pružině, pokud je hmota
vychýlena z rovnovážné polohy a puštěna, začne kmitat.
● vynucené kmitání: kmitání vlivem vnějšího buzení (např.
zemětřesení, nevyváženost motoru)
● samobuzené kmitání: kmitání je buzeno v závislosti na pohybu
samotném (např. nevyvážený rotující disk na poddajných
ložiskách, hmota na pružině na pohybujícím se pásu)
11
Klasifikace kmitání – na základě výstupu
● jednoduché harmonické kmitání:
výstup je popsán sinovou nebo
kosinovou funkcí
● periodické kmitání: periodický výstup
(může obsahovat několik frekvencí současně)
● přechodové kmitání: výstup není periodický a doba
trvání je relativně krátká (impuls nebo šok vyvolává
přechodové kmitání). Díky přítomnosti tlumení je
takové kmitání utlumeno po odeznění buzení.
● náhodné kmitání:výstup není deterministická
funkce času. Odezvu lze studovat pouze využitím
statistických nástrojů (př. Pohyb základu během
zemětřesení, výška vln v moři, …)
12
Klasifikace kmitání – podle počtu stupňů volnosti
● systémy s 1 stupněm volnosti: počet nezávislých souřadnic
potřebných pro popis pohybu systému odpovídá počtu stupňů volnosti
● systémy s více stupni volnosti: pro popis odezvy (výstupu) je
potřeba dva a více nezávislých souřadnic
● spojité systémy: nazývané nekonečně dimenzionální systémy, mají
nekonečný počet stupňů volnosti, pohyb je popsán parciálními
diferenciálními rovnicemi
13
Klasifikace kmitání – podle pohybové rovnice
● nelineární systém: pohybové rovnice (diferenciální
rovnice) obsahují nelineární členy,
neplatí princip superpozice
př. Rovnice matematického kyvadla
Duffingova rovnice
Mathieuova rovnice
Van der Poolova rovnice
● lineární systém: pohyb je popsán lineární diferenciální rovnicí s
konstantními koeficienty
14
Kmitání soustav s jedním stupněm volnosti - modelování
● modelování je proces, kdy si fyzikální systém představujeme ve
zjednodušené formě při zachování základních charakteristik a při
zanedbání méně důležitých vlastností
● cílem je získání matematického popisu zjednodušeného fyzikálního
systému
(A) elektrický motor na
ocelovém nosníku
(B) model vertikálního
pohybu el. motoru
(C) automobil
(D) odpovídající model
respektující pouze
vypružení a odpruženou
hmotu
15
Kmitání soustav s jedním stupněm volnosti
● netlumené volné kmitání
Matematický model – pohybová rovnice
Statická deformace pružiny
Po úpravě dostaneme pohybovou rovnici
Podělením hmotností dostaneme
kde
je vlastní kruhová frekvence [rad/s]
16
Kmitání soustav s jedním stupněm volnosti
● tlumené volné kmitání
Matematický model
Statická deformace pružiny
Statická rovnovážná poloha
Po úpravě dostaneme pohybovou rovnici
Zavedeme-li poměrný útlum
Pohybová rovnice přejde to tvaru
17
Kmitání soustav s jedním stupněm volnosti
● tlumené volné kmitání
Sestavme charakteristickou rovnici odpovídající pohybové rovnici
Tato rovnice má dva kořeny
Řešení rovnice lze zapsat jako
● diskuse řešení
(A) podkritické tlumení
Řešením charakteristické rovnice dostaneme pár komplexně sdružených čísel
Kde
je komplexní jednotka a
tlumeného systému.
vlastní kruhová frekvence
18
Kmitání soustav s jedním stupněm volnosti
● tlumené volné kmitání
Sestavme charakteristickou rovnici odpovídající pohybové rovnici
Tato rovnice má dva kořeny
Řešení rovnice lze zapsat jako
● diskuse řešení
(A) podkritické tlumení
Řešením charakteristické rovnice dostaneme pár komplexně sdružených čísel
Kde
je komplexní jednotka a
tlumeného systému.
vlastní kruhová frekvence
19
Kmitání soustav s jedním stupněm volnosti
(A) podkritické tlumení
Obecné řešení lze zapsat ve tvaru
kde B1 a B2 jsou koeficienty, které určíme na základě počátečních podmínek
Periodu tlumeného pohybu určíme jako
[Hz]
výchylka
Časový průběh odezvy tlumeného systému
20
čas
Kmitání soustav s jedním stupněm volnosti
(B) kritické tlumení
Řešením charakteristické rovnice dostaneme dvojnásobný kořen
Časový průběh výchylky má pak tvar
Kde A, B jsou integrační konstanty.
výchylka
Časový průběh odezvy kriticky tlumeného systému
21
čas
Kmitání soustav s jedním stupněm volnosti
(C) nadkritické tlumení
Řešením charakteristické rovnice dostaneme dvojnásobný kořen
Časový průběh výchylky má pak tvar
Kde A, B jsou integrační konstanty. Řešení je aperiodické.
výchylka
Časový průběh odezvy nadkriticky tlumeného systému
čas
22
Kmitání soustav s jedním stupněm volnosti
● harmonicky vynucené tlumené kmitání
Matematický model
Statická rovnovážná poloha
Statická deformace pružiny
Po úpravě dostaneme pohybovou rovnici
Zavedeme-li poměrný útlum
Pohybová rovnice přejde to tvaru
kde
23
Kmitání soustav s jedním stupněm volnosti
● harmonicky vynucené tlumené kmitání
Výsledné řešení nehomogenní diferenciální rovnice je dané součtem řešení
homogenní rovnice a partikulárním řešení nehomogenní rovnice.
Řešení homogenní rovnice
fyzikálně odpovídá řešení volného kmitání tlumeného systému. Řešení
nehomogenní rovnice
pak odpovídá ustálenému řešení na dané periodické buzení. X je amplituda a
je fázový posun výchylky vůči buzení.
Amplitudu a fázový posun lze najít např. dosazením předpokládaného tvaru
řešení x2 do pohybové rovnice a srovnáním členů sinových a kosinových složek.
Pak dostaneme
24
Kmitání soustav s jedním stupněm volnosti
● harmonicky vynucené tlumené kmitání
výchylka
Výsledné řešení nehomogenní diferenciální rovnice je dané součtem řešení
homogenní rovnice a partikulárním řešení nehomogenní rovnice.
Dostáváme tedy
čas
25
Kmitání soustav s jedním stupněm volnosti
● harmonicky vynucené tlumené kmitání
Zavedeme-li naladění a statickou deformaci
Lze vyjádřit amplitudu ustálené odezvy a fázový posun jako
Fázový posun
Můžeme dále definovat parametr zesílení
26
Poměrný útlum
Poměrný útlum
Vibrace – přehled, proč a jak měřit
● Vibrace jsou charakterizovány
časovým průběhem veličiny
statistickými parametry
frekvenčním spektrem
energií vibrací
rovnovážnou polohou
27
Vibrace – přehled, proč a jak měřit
● Vibrace jsou charakterizovány
časovým průběhem veličiny
statistickými parametry
frekvenčním spektrem
energií vibrací
rovnovážnou polohou
28
Vibrace – přehled, proč a jak měřit
● Časový průběh vibračního signálu a jeho charakteristiky
o RMS (root mean square) – efektivní hodnota, konstantní
hodnota energie nahrazující časový průběh signálu
o Average (průměr) – průměrná velikost amplitudy
o Crest Factor – podíl amplitudy a efektivní hodnoty, měřítko
destruktivních vlastností signálu
29
Vibrace – přehled, proč a jak měřit
● Typy vibračních signálů
30
Vibrace – přehled, proč a jak měřit
● Deterministické signály:
● Periodický signál – časový průběh se opakuje s danou periodou (u
rotačních strojů, vhodné pro frekvenční analýzu)
● Harmonický signál – časový průběh lze popsat harmonickými
funkcemi (periodický signál lze rozložit na dílčí harmonické signály)
● Přechodový signál – odezva na časově omezené buzení
31
Vibrace – přehled, proč a jak měřit
● Periodický signál
● RMS = 0,707Peak, Average = 2Peak/ , Crest Factor = 1,414
32
Vibrace – přehled, proč a jak měřit
● Harmonické signály
Časový průběh signálu
Frekvenční složky signálu
33
Vibrace – přehled, proč a jak měřit
● Přechodové signály – rázy, impulsy, otřesy
Časový průběh signálu
Frekvenční složky signálu
34
Vibrace – přehled, proč a jak měřit
● Náhodné signály
● Stacionární signál – konstantní statistické parametry (Average,
RMS, Peak-Peak, směrodatná odchylka, ..)
o produkován třením, prouděním, akusticky, rázy z uvolnění
o frekvenční analýza vede ke spojitému spektru
● Nestacionární signál – nekonstantní statistické parametry
o vyvolán časovými změnami v buzení, změnami zatížení, atd
35
Frekvenční přenos, Bodeho diagramy
● Frekvenční přenos
Uvažujme ustálené řešení harmonicky buzeného systému popsaného
pohybovou rovnicí
2
x 2
n
x
n
x
f( )
kde f ( ) je buzení s frekvencí , které můžeme zapsat v
komplexním tvaru jako f Fei t
i t
Hledejme ustálené řešení v komplexním tvaru x Xe . Po dosazení
do pohybové rovnice a zavedení naladění soustavy dostaneme vztah
mezi amplitudou buzení a odezvy ve tvaru (1 r 2 2i r ) X F
Frekvenční přenos pak definujeme následovně
G (r )
1
1 r2
2i r
v závislosti na parametru naladění soustavy
36
Frekvenční přenos, Bodeho diagramy
● Bodeho diagramy
Bodeho diagram amplitudy (modulu) odezvy je uveden na obrázku
níže. Pro r << 1 je G(r) přibližně 1, což znamená, že pomalé buzení
vyvolává výchylky, které jsou téměř shodné s buzením a naopak
vysokofrekvenční buzení vyvolá výchylky, které jsou řádově menší.
Graf je uveden pro různé hodnoty
poměrného útlumu. Čím vyšší útlum,
tím menší zesílení signálu.
37
Dynamický snímač - akcelerometr
● uvažujme kinematicky buzenou soustavu (viz obrázek). Pohyb
základu je dán funkcí y(t). Zaveďme relativní výchylku z(t) hmoty vůči
rámu, v němž je upevněna.
Pohybová rovnice v relativních souřadnicích má tvar
Pro amplitudu a fázi relativní výchylky platí:
Pro
snímač
funguje jako snímač výchylky.
Pro 1 pak finguje jako akcelerometr.
38
Použité zdroje
● Výukové a školicí materiály firmy Bruel&Kjaer
http://www.bksv.com/
39