6 Středová symetrie čtverce modulu Fourierovy transformace a

6 Středová symetrie čtverce modulu Fourierovy transformace a

6
STŘEDOVÁ SYMETRIE ČTVERCE MODULU FOURIEROVY TRANSFORMACE
6
1
Středová symetrie čtverce modulu Fourierovy transformace
a Friedelův zákon
Difrakční jevy Fraunhoferova typu — a to jak v optice, tak ve strukturní analýze — nezřídka poutají
pozornost svou krásou (obr. 1). K jejich půvabu přispívá zejména to, že mívají středovou symetrii, a to
i tehdy, když objekt, od něhož difrakce pochází, středovou symetrii nemá (obr. 2). Tento fakt není
pozoruhodný jen z estetického hlediska, ale má také značný praktický význam. Ve strukturní analýze
má tato skutečnost dokonce zvláštní název — Friedelův zákon. V této kapitole ukážeme, že středová
symetrie difrakčních jevů je nutným důsledkem toho, že funkce f (~x) charakterizující difrakční objekt je
reálná.
Obrázek 1: Fraunhoferova difrakce na soustavě osmi kruhových otvorů v nepropustné kovové fólii rovnoměrně rozmístěných podél kružnice.
6.1
Středová symetrie a Fourierova transformace
Nutnou a dostačující podmínku středové symetrie Fourierovy transformace (tedy ne pouze modulu Fourierovy transformace) vyjadřuje následující věta:
Věta: Existuje-li Fourierův integrál funkce f (~x), má funkce f (~x) středovou symetrii (resp. antisymetrii)
~
tehdy a jenom tehdy, má-li středovou symetrii (resp. antisymetrii) její Fourierova transformace F (X).
Vyjádřeno vzorcem
~ = ±F (−X).
~
f (~x) = ±f (−~x) ⇐⇒ F (X)
(1)
2
6
STŘEDOVÁ SYMETRIE ČTVERCE MODULU FOURIEROVY TRANSFORMACE
Obrázek 2: Fresnelův portrét zdobící titulní stránku jeho sebraných spisů Œuvres complètes d’Augustin
Fresnel, tome 1. Imprimerie impériale, Paris 1866) a Fraunhoferova difrakce z negativu portrétní perokresby.
Důkaz: Předpokládejme, že funkce f (~x) je středově symetrická, tj. f (~x) = f (−~x) a využijme této její
~
vlastnosti v definičním integrálu její Fourierovy transformace F (X):
~
F (X)
N
∞Z
Z
···
= A
= AN
Z
−∞
∞Z
···
~ dN ~x =
f (~x) exp(−ik~x · X)
~ dN ~x.
f (−~x) exp(−ik~x · X)
−∞
Provedeme-li v posledním integrálu substituci ~x0 = −~x, je tvrzení v jednom směru dokázané:
~
F (X)
N
= A
Z
∞Z
···
~ dN ~x0 =
f (~x0 ) exp −ik~x0 · (−X)
−∞
~
= F (−X).
Při důkazu tvrzení v opačném směru vyjdeme z inverzní Fourierovy transformace a postupujeme obdobně.
Stejně se postupuje i v případě antisymetrie, tj. f (~x) = −f (−~x).
Dokázaná věta neobjasňuje, proč difrakční obrazce mívají středovou symetrii, i když objekty, na nichž
k difrakci dochází, středovou symetrii nemají. Abychom pokročili v tomto směru, je vhodné si uvědomit
dvě skutečnosti:
(i) K tomu, aby měl středovou symetrii difrakční obrazec, není nutné, aby měla středovou symetrii
~ Stačí, aby měl středovou symetrii její modul
(resp. antisymetrii) Fourierova transformace F (X).
~
|F (X)|.
6
STŘEDOVÁ SYMETRIE ČTVERCE MODULU FOURIEROVY TRANSFORMACE
3
(ii) Funkce f (~x) charakterizující difrakční objekt bývají reálné. Např. prázdné otvory v nepropustném
stínítku v optické difrakci, elektronová hustota v difrakci rentgenového záření a pod. Proto je
užitečné zabývat se Fourierovou transformací reálných funkcí.
6.2
Fourierova transformace reálné funkce
Věta: Má-li funkce f (~x) Fourierův integrál, je reálná tehdy a jenom tehdy, když její Fourierova transformace je hermitovská. Vyjádřeno vzorcem
~ = F ∗ (−X).
~
f (~x) = f ∗ (~x) ⇐⇒ F (X)
(1)
Důkaz:
(i) Předpokládáme, že funkce f (~x) je reálná, tj. f (~x) = f ∗ (~x) a využijeme této její vlastnosti v definičním integrálu její Fourierovy transformace:
~
F (X)
N
···
= A
= AN
∞Z
Z
Z
−∞
∞Z
···
~ dN ~x =
f (~x) exp(−ik~x · X)
~ dN ~x = F ∗ (−X).
~
f ∗ (~x) exp ik~x · (−X)
−∞
Tím je tvrzení věty dokázáno v jednom směru.
~ je hermitovská, tj. F (X)
~ = F ∗ (−X).
~ Vy(ii) Předpokládáme nyní, že Fourierova transformace F (X)
užijeme této její vlastnosti v definičním integrálu inverzní Fourierovy transformace:
f (~x)
= B
N
= BN
Z
∞Z
···
Z
−∞
∞Z
···
~ =
~ exp(ik~x · X)
~ dN X
F (X)
~ exp(ik~x · X)
~ dN X.
~
F ∗ (−X)
−∞
~ 0 = −X,
~ je tvrzení věty dokázáno i v druhém směru:
Uděláme-li v posledním integrálu substituci X
f (~x) = B
N
Z
∞Z
···
~ 0 ) exp(−ik~x · X
~ 0 ) dN X
~ 0 = f ∗ (~x).
F ∗ (X
−∞
6.2.1
Friedelův zákon
Věta 6.2(1) má tento zřejmý důsledek:
Je-li funkce f (~x) reálná, má čtverec modulu její Fourierovy transformace středovou symetrii. Zapsáno
vzorcem
~ ∗ (X)
~ = F ∗ (−X)F
~ (−X).
~
f (~x) = f ∗ (~x) =⇒ F (X)F
(2)
Toto tvrzení (2) se v krystalografii — pro speciální případ periodické funkce f (~x) — nazývá Friedelův
zákon (viz např. [1], [2], str. 33, [3], str. 40, 47, [4], str. 278). Zmíníme se o něm ještě v závěru kap. 6.
Nyní se ještě přidržíme formální stránky věci a zdůrazníme, že tvrzení (2) pouze říká, že reálnost
funkce f (~x) je jenom postačující podmínka pro středovou symetrii čtverce modulu Fourierovy transformace, nikoli však nutná. Jinou dostačující podmínkou je např. středová symetrie resp. antisymetrie funkce
f (~x). Najít nutnou a dostačující podmínku pro středovou symetrii modulu Fourierovy transformace je
obtížné (viz [5]), pokud je to vůbec možné.
4
6
6.2.2
STŘEDOVÁ SYMETRIE ČTVERCE MODULU FOURIEROVY TRANSFORMACE
Fourierova transformace reálné středově symetrické resp. antisymetrické funkce
Dalšími užitečnými důsledky vět 6.1(1) a 6.2(1) jsou tvrzení:
Funkce f (~x) je reálná a současně středově symetrická tehdy a jenom tehdy je-li reálná a středově
~ Zapsáno vzorcem
symetrická její Fourierova transformace F (X).
~ = F ∗ (X)
~ = F (−X).
~
f (~x) = f ∗ (~x) = f (−~x) ⇐⇒ F (X)
(3)
Funkce f (~x) je reálná a současně středově antisymetrická tehdy a jenom tehdy, když její Fourierova
transformace je ryze imaginární a středově antisymetrická. Zapsáno vzorcem
~ = −F (−X)
~ = −F ∗ (X).
~
f (~x) = f ∗ (~x) = −f (−~x) ⇐⇒ F (X)
(4)
Důkazy těchto tvrzení ihned vyplývají z vět 6.1(1) a 6.2(1) a nebudeme se jimi zabývat. Spíše upozorníme na to, že tvrzení (3) a (4) jsou užitečnou kontrolou výpočtů. V příkladech předchozích kapitol
jsme viděli, že Fourierovy transformace sudých reálných funkcí jsou sudé reálné funkce (např. Gaussova
funkce, rect (x), tri (x), cos ax a celočíselné kladné mocniny funkce cos ax, sudé kladné mocniny funkce
sin ax a pod.). Rovněž jsme se již několikrát setkali s tím, že Fourierovy transformace lichých reálných
funkcí jsou liché ryze imaginární funkce (např. sgn (x), sin ax a liché kladné mocniny funkce sin ax).
6.2.3
Místa nulové intenzity ve Fraunhoferových difrakčních obrazcích
Fraunhoferovy difrakční obrazce od difrakčních filtrů s reálnou funkcí propustnosti f (x1 , x2 ) jsou tedy
vždy středově symetrické, nezávisle na tom, zda je funkce propustnosti středově symetrická. Má proto
smysl otázka, zda existují nějaké indikace, s jejichž pomocí lze odlišit difrakční obrazce od filtrů bez
středové symetrie od obrazců od filtrů se středovou symetrií. Návodem při tomto rozhodování mohou
být místa nulové intenzity ve Fraunhoferových difrakčních jevech.
(i) Je-li funkce propustnosti f (x1 , x2 ) reálná a středově symetrická, je podle tvrzení (3) také její
Fourierova transformace F (X1 , X2 ) reálná (a středově symetrická). Intenzita
I(X1 , X2 ) = F (X1 , X2 )F ∗ (X1 , X2 ) = F 2 (X1 , X2 ).
je tedy dána kvadrátem přímo Fourierovy transformace a místa nulové intenzity I(X1 , X2 ) jsou
tedy určena jedinou podmínkou
F (X1 , X2 ) = 0.
(5)
Tato podmínka většinou představuje systém čar v rovině X1 , X2 . Lze tedy očekávat, že Fraunhoferovy difrakční obrazce od středově symetrických filtrů s reálnou funkcí propustnosti budou obsahovat čáry nulové intenzity.
(ii) Nemá-li však reálná funkce propustnosti f (x1 , x2 ) středovou symetrii, můžeme použít pouze věty
(2), takže pro intenzitu platí
2
2
I(X1 , X2 ) = F (X1 , X2 )F ∗ (X1 , X2 ) = [Re F (X1 , X2 )] + [Im F (X1 , X2 )] .
Místa nulové intenzity jsou tedy určena dvěma podmínkami
Re F (X1 , X2 ) = 0,
Im F (X1 , X2 ) = 0.
(6)
Každá z těchto podmínek představuje systém čar v rovině X1 , X2 . Oba systémy jsou nezávislé
a průsečíky čar různých systémů jsou převážně body. Lze tedy očekávat, že místa nulové intenzity
Fraunhoferových difrakčních obrazců od filtrů s reálnou funkcí propustnosti, avšak bez středové symetrie, budou převážně body. (Formulační neurčitost je zde záměrná. Vyjímkou jsou totiž případy,
kdy filtr tvoří identické objekty se středovou symetrií uspořádané tak, že mají navzájem stejnou
6
STŘEDOVÁ SYMETRIE ČTVERCE MODULU FOURIEROVY TRANSFORMACE
5
orientaci, avšak uspořádání samo nemá středovou symetrii. (Např. lichý počet kruhových otvorů
v nepropustném stínítku situovaných ve vrcholech pravidelného (2l + 1)–úhelníka.) Rozložení intenzity v příslušném difrakčním obrazci pak charakterizuje součin dvou funkcí, z nichž jedna, I1 ,
charakterizuje jeden z identických objektů a druhá, I2 , souvisí jen se vzájemnou polohou objektů
(srv. odst. 11.2 v dalším textu). Takový difrakční obrazec pak obsahuje vedle bodů nulové intenzity příslušející funkci I2 podle podmínek (6) také čáry nulové intenzity příslušející funkci I1 podle
podmínky (5). Tyto čáry nulové intenzity bývají dobře zřetelné, neboť jsou „širokéÿ ve srovnání
s ostřeji kreslenými detaily difrakčního obrazce.)
Fraunhoferovy difrakční jevy od filtrů s reálnou funkcí propustnosti a středem symetrie mají tedy
čáry nulové intenzity a jsou proto kontrastnější než difrakční jevy od filtrů bez středové symetrie, které
obsahují převážně body nulové intenzity. Obr. 3 až 5 tuto skutečnost ilustrují.
Obrázek 3: Fraunhoferova difrakce na větrníku s trojčetnou a šestičetnou symetrií.
6.2.4
Nedokonalá středová symetrie Fraunhoferových difrakčních obrazců
Chceme-li při experimentování získat Fraunhoferovy difrakční obrazce s dokonalou středovou symetrií
i od filtrů, které středovou symetrii nemají, je třeba dost úzkostlivě dbát na to, aby funkce propustnosti
byla reálná. Nejlépe je – pokud možno – používat prázdných otvorů v nepropustném stínítku (nejlépe
v kovové fólii). Transparenty obsahující fotografickou emulzi nemívají reálnou funkci propustnosti. Různému zčernání filmu totiž odpovídá různá tloušťka vrstvy želatiny, a tím různý fázový posuv prošlého
světla, takže funkce propustnosti je komplexní. Tak tomu bývá i u jemných fotografických materiálů (holografické desky) a u filtrů, na nichž mají být jen dvě úrovně zčernání. Difrakční jevy pak nejsou středově
6
6
STŘEDOVÁ SYMETRIE ČTVERCE MODULU FOURIEROVY TRANSFORMACE
Obrázek 4: Fraunhoferova difrakce na trojúhelníkovém a šestiúhelníkovém otvoru.
Obrázek 5: Fraunhoferova difrakce na čtyřiceti osmi a čtyřiceti devíti kruhových otvorech rovnoměrně
rozmístěných podél kružnice o dvacetinásobně větším poloměru.
symetrické (viz obr. 6). Zajistit, aby difrakční jevy z fotografických transparentů měly středovou symetrii
je náročné. (Lze např. zakápnout takový filtr imerzním olejem a vložit mezi dvě planparalelní desky.)
Rovněž v rentgenografické praxi se objevují difrakční obrazce nemající středovou symetrii. Souvisí to
s různými fázovými posuvy na rovinách (h k l) a (h̄ k̄ ¯l) u polárních struktur (viz např. [2], str. 33).
6
STŘEDOVÁ SYMETRIE ČTVERCE MODULU FOURIEROVY TRANSFORMACE
7
Reference
[1] Friedel G.: Sur les symétries cristallines que peut révéler la diffraction des rayons Röntgen. Comptes
Rendus Acad. Sci. 157 (1913), 1533–1536.
[2] James R. W.: The Optical Principles of the Diffraction of X-Rays. G. Bell and Sons Ltd., London
1967.
[3] Hahn T. (ed.): International Tables for Crystallography. Volume A, Space-Group Symetry. 2nd ed.
International Union of Crystallography, D. Reidel Publ. Co., Dordrecht 1987.
[4] Valvoda V., Polcarová M., Lukáč P.: Základy strukturní analýzy. Univerzita Karlova, Praha 1992.
[5] Lohmann A. W., Ojeda-Castañeda J.: Centro-symmetry in Fraunhofer diffraction patterns. Optica
Acta 30 (1983), 629–637.
8
6
STŘEDOVÁ SYMETRIE ČTVERCE MODULU FOURIEROVY TRANSFORMACE