Milé řešitelky, milí řešitelé,

Milé řešitelky, milí řešitelé,
letní slunné dny vystřídaly často chladnější podzimní, a možná proto nám přišlo opět tolik zajímavých řešení. Bylo nám potěšením je všechna opravit a nyní
vám je posíláme zpět. S nimi se vám zároveň do rukou dostává pokračování napínavého příběhu našeho doktora Harryho Wilkinse a v něm ukryté zapeklité
příklady 2. série. Až příběh přečtete, příklady spočítáte, budeme čekat na vaše
řešení do 3. 12. 2012, kdy je termín odeslání.
Upozornění
I tento rok jsme obdrželi řešení, která nebyla na formátu A4. Proto chceme připomenout, abyste opravdu posílali svá řešení na papíře velikosti A4 s hlavičkou,
která obsahuje vaše jméno a příjmení, číslo úlohy, popřípadě i vaši školu. Každou úlohu pište na samostatný papír. Pokud máte řešení jedné úlohy na více
papírech, prosíme, sepněte je dohromady.
Obsah letáku a přílohy
V tomto letáku najdete zadání 2. série, v druhé polovině najdete vzorová řešení
1. série a úplně na konci je výsledková listina s výsledky 1. série. Ve výsledkové
listině není uvedené pouze celkové pořadí, ale i pořadí v rámci ročníku, tedy
mladší řešitelé se nemusí obávat věkového znevýhodnění. Dále jste v obálce našli návratku – lísteček s údaji, které jste nám poslali na přihlášce. Prosíme vás,
abyste všechny údaje zkontrolovali, případné nesrovnalosti opravili a návratku
nám poslali společně se svými řešeními 2. série. Návratka nám slouží ke kontrole
správnosti vašich údajů, proto ji, prosíme, odešlete všichni.
Vzorová řešení a bodování
Prolistujete-li se letákem až k vzorovým řešením, doporučujeme vám si je přečíst minimálně u úloh, kde jste neměli plný počet bodů. Podle vzorových řešení
můžete najít místa, kde jste případně udělali chybu, abyste se podobných chyb
příště vyvarovali. Taktéž, pokud jste nějakou úlohu vůbec nevyřešili, můžete se
ve vzorovém řešení přiučit či inspirovat pro řešení podobných úloh.
Plný počet bodů dáváme za kompletní řešení, tedy sepsání postupu či úvahy
pikomat.mff.cuni.cz
a poté i úspěšné získání výsledku. Právě pokud vám chybí zapsaná úvaha či postup, můžete zbytečně ztratit body. Proto ve vlastním zájmu nezapomínejte na
tuto důležitou část. Postup je totiž pro opravující stejně důležitý jako správný výsledek. I když nemáte správný výsledek, ale máte správný postup, můžete dostat
celkem dost bodů. Mnohdy vaše řešení obsahují zajímavé nápady, které mohou
být hodnotnější než samotný výsledek.
Vánoční besídka
Jako každý rok i letos se uskuteční vánoční besídka Pikomatu v Praze. Proto si
dovolujeme pozvat vás, všechny řešitele, ale také třeba budoucí řešitele Pikomatu na besídku, která se bude konat v sobotu 15. 12. 2012 v Praze. Sraz bude
v 10:00 u výtahu z metra C v odjezdové hale Hlavního nádraží. Plánovaný konec
je okolo šestnácté hodiny. Pokud se chcete zúčastnit, pošlete email na emailovou adresu [email protected]. Veškeré dotazy posílejte na tutéž
adresu.
Jaký je program besídky? Dopoledne bude hra, která proběhne venku, tak nezapomeňte teplé oblečení. Po skončení hry posedíme, občerstvíme se a rozdáme
si případné dárky již v teple, a to v karlínské budově MFF UK. Rozhodně tedy je
na co se těšit. Krom dobré nálady s sebou můžete vzít i nějaké cukroví, dárky
pro své kamarády a jeden dárek pro anonymního příjemce. Těšit se na vás budou
Helča, Péťa a Terka.
Tábor
Ač se může zdát, že je na táborové info ještě brzo, chtěli bychom vás také pozvat
na letní tábor Pikomatu. Již je stanoven termín – 4. 8. až 18. 8. 2013. Tento termín
už si můžete zapsat do kalendáře, jelikož se nebude měnit. Místo tábora vám
však necháme jako překvapení do následující série. Další informace o táboře se
dozvíte v úvodních textech příštích sérií.
Kontakty
Již od minulého roku můžete Pikomat MFF UK najít na Facebooku, takže neváhejte své dotazy a připomínky psát i touto cestou. Samozřejmě k dispozici jsme
vám i na e-mailu [email protected]. Veškeré informace o Pikomatu MFF UK
naleznete na stánkách pikomat.mff.cuni.cz.
Nyní nám nezbývá nic jiného, než vám popřát příjemné čtení napínavého příběhu doktora Harryho Wilkinse, úspěšné vyřešení jeho zajímavých úloh a získání
bodů potřebných k účasti na jarním soustředění. O tom až příště. Těšíme se na
vaše řešení.
Vaši organizátoři
Strana 2
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Termín odeslání: 3. 12. 2012
Zadání úloh 2. série 28. ročníku
Termín odeslání: 3. 12. 2012
Ten hlas je mi nějaký povědomý, pomyslel jsem si a čekal, jak bude v promluvě
pokračovat.
„To jsem zvědavý, doktore Wilkinsi, jak mi vysvětlíte, že jste se tak dlouho
neozval,“ řekl konstábl přecházeje za mými zády. V tu chvíli mi to došlo.
„Davide?“
„Přesně tak, Harry, jsem to já.“
Moje napětí opadlo a pustili jsme se do družného rozhovoru jako kamarádi,
kteří se léta neviděli. To ostatně také byla pravda.
David Lewis býval mým spolužákem a nejlepším přítelem na střední škole.
Nyní to byl policista na svém místě. Jeho urostlá postava a hluboký burácivý hlas
v kombinaci s uniformou konstábla opravdu budily respekt. Ještě při vysokoškolských studiích jsme se stíhali pravidelně navštěvovat, ale pracovní povinnosti už
nás zavály každého jiným směrem a sebraly nám oběma tolik volného času, že
bylo téměř nemožné udržovat kontakt. Naposledy jsme se shledali před pěti lety
a od té doby jsme si stihli vyměnit jen několik dopisů. V posledním z nich mi
David popisoval svůj zážitek, když pracoval jako policista v utajení.
Úloha č. 1: Dostal za úkol sledovat bankovního lupiče při jeho činnosti a podávat o něm hlášení na strážnici. Strážnice byla v bodě S a byla vzdálena od banky
v bodě B 4 km. Lupič vyrazil z úkrytu U, který byl vzdálen 6 km od banky a 10 km
od strážnice, došel do banky, tam popadl peníze, které mezitím vytáhl jeho komplic z trezoru, a odnesl je zpátky do úkrytu. Chudák David ve chvíli, kdy lupič vyrazil z úkrytu, vyšel ze stanice a celou dobu chodil k lupiči a zpátky na stanici, aby
podával hlášení. Lupič šel stálou rychlostí 4 km/h, David chodil rychlostí 6 km/h.
Oba chodili nejkratší možnou cestou (tj. mezi dvěma danými body po úsečkách).
Celá akce probíhala samozřejmě tak přesně, že Davidovo hlášení na stanici ani
předávka peněz nezabraly žádný čas. Jakmile lupič došel zpět do úkrytu, čekal tam
na něj připravený policejní vůz a David se konečně mohl zastavit. Kolik David za
celou akci nachodil kilometrů?
„Takže ty teď pracuješ v Londýně?“ zeptal jsem se nadšeně a už mi svítala
naděje, že bychom mohli konečně obnovit přátelský kontakt. Chyběly mi naše
nadšené debaty o věcech běžného života, umění a hlavně o různých kriminálních
případech.
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 3
Pikomat MFF UK, 28. ročník, 2. série
„Právě, že ne. Dělám teď konstábla v Summerflow, v Londýně jsem byl jenom
jako výpomoc při slavnostní přehlídce královské gardy. A včera mi přišel telegram, že máme v Summerflow podezřelé úmrtí, abych se vrátil na vyšetřování.
Vzpomněl jsem si proto aspoň na tebe. Vím jak rád jsi měl kriminální případy,
se kterými jsem přicházel na studiích, a také vím, že jsi na ně měl docela čuch.
Proto mě napadlo, že ti tak trochu zařídím dovolenou a vezmu tě s sebou. S tvojí
sestřičkou už jsem mluvil a potvrdila mi, že volno potřebuješ jako sůl. O pacienty
se starat nemusíš, všechno prý zařídí.“
Během Davidových posledních slov jsem na něj upřeně zíral a čelist mi klesala
čím dál níž. Nic takového jsem rozhodně nečekal.
„A neciv na mě tak. Spěchej si domů sbalit, za tři hodiny nám jede vlak.“
Bylo slunečné podzimní odpoledne a my dva, staří kamarádi, jsme spolu seděli
v kupé rychlíku, který si to hnal nádherně probarvenou kopcovitou krajinou.
Na kopcích se pásla stáda ovcí a kolem nich pobíhali ovčáčtí psi. Začali jsme
se s Davidem zamýšlet, kolik asi práce mají ovčáci s přeháněním ovcí z jedné
ohrady do druhé.
Úloha č. 2: „Když do ohrady se vzrostlou trávou naženou 40 ovcí, bude jim to
trvat 40 dní, než všechnu trávu vypasou, říkal mi to aspoň jeden ovčák od nás
ze Summerflow,“ začal David. „Tak v tom případě je přece snadné spočítat, jak
dlouho tráva vydrží třeba 20 ovcím,“ namítl jsem bleskurychle, ale než jsem stačil
vyřknout počet dní, David mě zarazil slovy: „Ale nesmíš zapomenout na to, že
během těch dní, co se tam ovce pasou, stíhá tráva pořád růst, a tak třeba 30
ovcím vystačí dokonce na 60 dní. Takže co mi teď řekneš? Na kolik dní teda vydrží
taková pastvina se vzrostlou trávou, když na ni naženeš 20 ovcí?“
Jeho připomínka mi výpočet trochu znesnadnila, ale za chvíli jsem na něj pálil
správný výsledek. Jenom se na mě usmál a byl rád, že si mě veze s sebou, že se
mé bystré myšlení nikam nevytratilo. Přes ovce jsme se, ani nevím jak, dostali
k literatuře a k divadlu. Chvíli jsme se bavili o našich oblíbených knihách a o tom,
co jsme četli jako poslední. A pak jsem si vzpomněl na film.
„Byl jsi v poslední době v kině?“ zeptal jsem se.
„Jo, zrovna včera večer jsem se byl podívat na jednu grotesku. To víš, u nás
v Summerflow kino nemáme, tak jsem musel využít příležitosti, když jsem byl
v Londýně. Ale celou druhou polovinu grotesky jsem se vůbec nezasmál.“
Podivil jsem se: „Jak to? To byla tak špatná?“
„Ale ne, jenže jsem tam viděl projíždět kočár a vůbec mi to nešlo do hlavy.
Teda, ne snad, že bych nikdy neviděl kočár, ale jak se mu točila kola, to mi nešlo
do hlavy. Proč to tak vůbec je?“
Strana 4
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Termín odeslání: 3. 12. 2012
„No jestli víš, tak při natáčení filmu se každou sekundu pořídí 24 jednotlivých
snímků. A když se do následujícího snímku stihne kolo pootočit tak, že jeho
loukotě jsou jenom o kousek za svou původní polohou, zdá se potom na filmu,
že se kolo točí pozpátku.“
„Tak to už mi konečně začíná dávat smysl, co jsem tam viděl. Schválně, co mi
řekneš.“
Úloha č. 3: Projížděl tam po ulici kočár rychlostí 18 km/h. Obvod jeho předních
kol jsem odhadl na 2,5 m, obvod zadních kol na 2,75 m. Každé kolo mělo 12 loukotí.
Umíš teda odhadnout, jakým směrem se kola zdánlivě točila, když kamera snímá,
jak říkáš, 24 snímků za sekundu?
Cesta nám díky úlohám rychle ubíhala a už nám zbývala jen půlhodinka do
Summerflow.
„A co mi teda ještě řekneš o tom ,případu’, co nás čeká?“ zeptal jsem se nedočkavě.
„Sám toho moc nevím. Podle toho, co mi včera přišlo, tak prý paní Edingtonová
šla večer zcela zdravá spát a ráno ji našli v jejím pokoji mrtvou. Alespoň uvidíš,
jak vypadá takové pořádné venkovské sídlo. Paní Edingtonová byla totiž vdovou
po admirálu Edingtonovi, který před pěti lety tragicky zahynul při nehodě na
cvičení v Severním moři.“
„Ano, pamatuji si, že jsem tehdy četl v Timesech zprávu, že tam utonula polovina posádky při nárazu křižníku do ledovce. Prý to byla nějaká chyba v navigaci.“
Úloha č. 4: Kapitán Wright konstruoval na mapě trojúhelník s vrcholy K, v němž
se nacházel křižník, C, což byl jejich cíl, a L, což byl právě ledovec, kterému se potřebovali vyhnout. A admirál Edington mu nechtěl věřit, že průsečík výšek tohoto
trojúhelníka, paty výšek ke stranám KL a CL a bod L leží na jedné kružnici. Kdo
měl pravdu?
„V námořní navigaci se sice nevyznám, takže vůbec netuším, proč to dělali, ale
geometrie mi docela šla, takže ti můžu říct, kdo z nich měl pravdu,“ odpověděl
mi po krátkém zamyšlení můj přítel.
Tato úloha nám ukrátila tak akorát zbytek cesty a vlak už pískal před nádražím v Summerflow. Bylo to typické malé nádraží sotva pro jeden vlak, zkrátka
přesně tak, jak jsem si představoval. Na nástupišti stál výpravčí v uniformě a vítal nás mírným kývnutím hlavou. Spolu s námi z vlaku vystupovalo jen pár lidí
a vypadalo to, že všechny David aspoň od pohledu zná. Bylo mi jasné, že Summerflow je opravdu typické malebné městečko, jakých je na anglickém venkově
plno.
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 5
Pikomat MFF UK, 28. ročník, 2. série
Úloha č. 5: Od nádraží k silnici, kde na nás už čekalo policejní auto, se scházelo
po 11 schodech. „Vždycky mě zajímalo, kolik bych měl možností tyhle schody vyjít,
kdybych mohl udělat krok o jeden, o dva nebo o čtyři schody (o tři ne, to je takový
divný krok, ani krátký, ani dlouhý). Asi to teď půjdu zkusit,“ prohlásil David. „No
to by ses naběhal,“ odpověděl jsem mu se smíchem, „zvlášť, když pro tebe určitě
není stejná varianta jít nejdřív o jeden schod a pak o dva jako nejdřív o dva a pak
o jeden.“ Kolik možností by David měl?
Přejeli jsme na druhý konec městečka, kde stálo krásné sídlo Edingtonových.
Před vchodem stáli dva lidé zabraní do hovoru, ze kterého je vytrhl až zvuk
přijíždějícího automobilu. Mladý, snad ani ne třicetiletý, pohledný muž nás uvítal
a představil se jako James Edington.
„Upřímnou soustrast,“ řekl jsem, jelikož mi došlo, že se jedná o syna zesnulé,
„a vaší ženě samozřejmě také.“
„Ale ne,“ vydal ze sebe zaskočeně, „to je moje švagrová Pauline.“
„Harry Wilkins,“ představil jsem se.
Podala mi ruku se slovy: „Manžel je zrovna pryč, zařizuje něco kolem pohřbu.
On je zkrátka takový, pořád něco zařizuje. Vlastně i tady jsme kvůli jeho pracovním záležitostem. Víte, my tu nebydlíme, ale před pár dny se John rozhodl,
že sem musí zajet rozmluvit matce nějaké obchody s pozemky. Tedy rozmluvit,
spíš jí naopak chtěl obchody nakázat. Prý dostala velice lukrativní nabídku na
prodej nějakých luk, ale ona je, snad z pouhé nostalgie, nechtěla prodat. A to se
Johnovi nelíbilo. To víte, on jak v něčem vidí zisk, hned se o to zajímá.“
„Inu, pojďte se porozhlédnout dovnitř, beztoho jste kvůli tomu přijeli,“ zavelel
po chvíli ticha James.
Vstoupili jsme prostornou halou dovnitř a procházeli dalšími místnostmi domu. Všechny byly samozřejmě krásně zařízené. V obývacím pokoji u krbu seděla
dáma ve věku asi 45 let a hleděla zamyšleně do ohně. Jak mi Pauline při prohlídce
dalších místností prozradila, byla to Amily Wrightová.
„Paní Edingtonová ji sem nechala nastěhovat před pěti lety, její bratr zemřel
pod velením pana Edingtona a ona chudák zůstala sama. To víte, manžela žádného nikdy neměla, ona na to nějak nebyla, aby chodila do společnosti a bavila se
s muži, takže bydlívala s bratrem, pokud samozřejmě nebyl zrovna na moři. Mě
tedy nepotěšilo, když se sem nastěhovala, víte, je to takový ten nudný typ ženy,
která navíc dokáže být tak protivná. V tomhle si vlastně s paní Edingtonovou
docela rozuměly.“
To, co mi Pauline říkala, jsem však už téměř nevnímal, protože jsme mezitím
došli do kuchyně, kde mě na skříni zaujala cukřenka.
Strana 6
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Termín odeslání: 3. 12. 2012
Úloha č. 6: Měla tvar pyramidy výšky 12 s čtvercovou podstavou o hraně délky 8.
Vejde se do ní víc než 190 kostek cukru? Hrana kostky cukru je 1.
„Koukám, že vás ta cukřenka taky zaujala,“ vyhrkla na mě kuchařka, která si
nás do té doby skoro nevšímala, ale teď zpozorovala můj zaujatý pohled.
„Tu mají na servírování cukru ke kávě. A pak tu ještě na polici stojí, počkejte,
kdepak ji máme,“ trochu se zarazila v řeči, když hledala, „aha, tady je ta druhá
nádobka s krupicovým cukrem! Někdo si ji asi bral a neuklidil ji na své místo,
to mě vždycky může rozčilit, když mi někdo projde kuchyní a neuklidí po sobě
věci, kam patří! Tedy to není případ paní Amily, ta je pořádná, ta vše uklízí přesně
tam, odkud to vzala. Ostatně to je cukřenka, kterou používá snad jen ona, přislazuje si tím skoro všechno. Jo a jsem já to ale nezdvořák, vždyť jsem se vám
ani nepředstavila. Gladys. Gladys Hillová.“
Kuchařka Gladys byla zkrátka od rány, jak se ostatně na ženu na jejím místě
sluší a patří. Říkala zkrátka věci přesně tak, jak si je myslela. Daleko víc mě zarazila informace o paní Amily a její lásce k sladkému, vždyť s takovou si brzo zničí
zdraví, pomyslel jsem si.
„Asi bychom se měli jet podívat do márnice na tělo, tady ještě budeš mít dost
času si to prohlédnout,“ špitl mi do ucha David, čímž přerušil tok mých myšlenek
o diabetu a dalších zdravotních rizikách pro paní Amily.
Márnice byla poměrně nenápadná budova, snad až na trochu nevkusnou mozaiku nad vchodem.
Úloha č. 7: Z barevných pravoúhlých čtyřúhelníků s celočíselnou délkou stran,
z nichž žádné dva neměly stejné rozměry, byl vyskládán obdélník 2 × 42. Kolik
nejvíce různých čtyřúhelníků mohlo být na tvorbu této mozaiky použito? Proč to
nemohlo být více?
Uvnitř leželo tělo nebohé paní Edingtonové. Zběžně jsem ho prohlédl a řekl
Davidovi: „Vypadá to, že byla otrávena kyanidem draselným. Nemohu to samozřejmě tvrdit s jistotou, na to bude ještě potřeba udělat rozbor, ale podle narůžovělé barvy obličeje a okolností úmrtí mi to přijde jako nejpravděpodobnější.
Vzhledem k tomu, že zemřela v průběhu noci, musel se jed do těla dostat nejspíš
v nějakém jídle či pití při večeři. Budeme tedy muset zjistit, kdo, kdy a jak jí ho
podal.“
„A taky proč, na to nesmíš zapomínat,“ dodal s úšklebkem David.
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 7
Pikomat MFF UK, 28. ročník, 1. série
Vzorová řešení a komentáře
k 1. sérii úloh
Úloha č. 1
Z kvádrů o rozměrech 3 × 1 × 1 se postaví věž, která má celkem devět čtvercových pater (každé ze tří kvádrů), přičemž podélné osy kvádrů ze sousedních pater
jsou navzájem kolmé. Hra samotná pak spočívá v tom, že hráči střídavě z věže po
jednom odebírají kvádry a dávají je stranou. Ten, po jehož tahu věž spadne, prohrává. Jako správný gentleman jsem nechával sestřičku začínat. Má někdo z nás
vítěznou strategii? Kdo a jakou?
Řešení:
1. Jak to bylo zadané: Začíná sestřička, k dispozici máme 27 kvádrů, což je lichý počet, a tedy na pana doktora už nevychází tah. Sestřička navíc vždy
může odebrat jednu z vrchní kostek, aniž by narušila stabilitu toho, co je pod
tím a tím pádem na pana doktora nezůstane tah. Protože nemůže dále hrát,
sestřičce pogratuluje k výhře.
2. Jak to mělo být zadané: Z vrchního patra se odebírat kostky nesmí. V tomto
případě bude mít vyhrávající strategii pan doktor, a to takovou, že si spáruje
jednotlivá patra tak, že první patro bude spárované s osmým, druhé se sedmým, třetí se šestým a nakonec čtvrté s pátým. Ať už sestřička udělá jakýkoli
tah, pan doktor tento tah napodobí na tom samém místě, ale ve spárovaném
patře. Tím pádem vždy bude moci hrát, a protože v každém tahu odebíráme
kostku, sestřičce se stane bohužel to, že její další tah by vedl nejen k pádu
věže, ale i k její prohře.
Komentář: Díky neúplnému zadání úloha nebyla těžká, spousta z vás na první
řešení přišla. Druhé řešení už ovšem dělalo větší problém. Obvykle jste nepočítali
s možností, že se dají odebírat i kvádříky uprostřed. Vytáhnutím prostředního
kvádříku přece věž nespadne. Za toto jste ode mě obdrželi 2 body. 1 bod jsem
strhávala za to, že jste uvedli správné řešení, ale z vaší odpovědi nebylo jasné,
kdo má tedy vítěznou strategii. A další bod byl strháván za to, že jste sice přišli
na to, že by měl doktor kopírovat tahy sestřičky, ale už jste nezapočítali to, že
to musí vždy udělat v patře, které je spárované s patrem, ze kterého sestřička
táhla, což je dost podstatné. Obecně ke všem matematickým úlohám bych vám
všem doporučila, čtěte si důkladně zadání a odpovídejte na otázky, pak vás to
zbytečně stojí body, což je škoda vzhledem k tomu, kolik snahy jste prokázali…
Strana 8
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Vzorová řešení úloh
Úloha č. 2
Tamní domorodci si svůj mozek představovali jako kvádr 7 × 3 × 3. Věřili, že když
někdo z nich sní zkažené maso, dostane se do něj brouk Persegi, který v jeho
mozku vyhlodá chodbičky čtvercového průřezu. Víte, jakou plochu by měl domorodcův mozek po útoku brouka Persegi?
Řešení: Červ v mozku vyvrtal celkem sedm chodbiček, tři ze strany, tři shora
a jednu zepředu. Chodbičky mají průřez 1 × 1. Spočítám povrch mozku bez
plochy vnitřních chodeb. Původní povrch mozku je součtem obsahů všech jeho
šesti stěn. Přední a zadní stěna má rozměry 3 × 3, zbylé čtyři 3 × 7. Obsah je tedy
dohromady 2 · 3 · 3 + 4 · 3 · 7 = 102. Od tohoto čísla musím ještě odečíst začátky
a konce chodeb, tedy 2 · 7 = 14. Povrch mozku vně chodeb je tedy 102 − 14 = 88.
K tomuto číslu musíme ještě připočítat povrch chodeb. Chodba má 4 stěny,
tedy úsek chodby délky 1 má povrch 4.
Z každého vstupu do mozku vede určitě jedna centimetrová chodbička. Navíc
dlouhá chodba zepředu dozadu protíná mozek ve dvou dalších místech.
Povrch stěn mozku je 88 + 14 · 4 + 2 · 4 = 152.
Komentář: Úloha nebyla zadaná nejednoznačně; od vás se čeká, že problém
vyřešíte, proto je i na vás, abyste jej správně analyzovali. Chodbička je tunel,
všechny tunely byly z obrázku jasně patrné. Při řešení geometrické úlohy vám
všem doporučuji si kreslit obrázky, jak daná věc vlastně vypadá. Zjednoduší vám
to úlohu a pomůže vám to si rozmyslet, kde co je. Mnoho z vás zapomínalo na
nějaké plochy uvnitř mozku. Také jste si pletli obsah s objemem. Za spočítání
povrchu mozku bez obsahu chodbiček jsem dával tři body.
Úloha č. 3
Smíchal jsem v kádince 1 pintu stoprocentního přípravku s 23 pinty třicetiprocentního přípravku, který jsem měl ve skříňce od předchozího dne. Poté jsem trochu
tohoto roztoku odlil pro kontrolu do zkumavky, ale zjistil jsem, že je stále příliš
koncentrovaný. Proto jsem roztok v kádince dolil destilovanou vodou na původní
množství. Tím jsem dosáhl koncentrace 61,2 procenta, která byla úplně ideální.
Jaké množství roztoku jsem odlil ke kontrole do zkumavky?
Řešení: Léčivý přípravek je tvořen nějakou látkou, která může být zředěna vodou. Doktor Wilkins nejprve v kádince smíchal 1 pintu stoprocentního přípravku
(to znamená 1 pinta látky a žádná voda) se 32 pinty třicetiprocentního přípravku
30
7
(to jest 23 · 100
= 15 pinty látky a zbytek 32 − 15 = 15
pinty vody). Tak získal směs
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 9
Pikomat MFF UK, 28. ročník, 1. série
o objemu 1 + 23 = 53 pinty, která obsahovala 1 +
vody. Koncentrace směsi v kádince odpovídá
6
5
5
3
=
1
5
=
6
5
pinty látky a
7
15
pinty
18
72
=
.
25
100
Poté doktor z této kádinky přelil do zkumavky nějaké množství x pint a místo
něj do kádinky zase přilil stejné množství destilované vody (tedy x pint vody
a žádná látka), čímž získal novou směs o stejném objemu 35 pinty a koncentraci
,2
51
61,2 % (to znamená 53 · 61
100 = 50 pinty látky a zbytek vody). Tudíž do zkumavky
6
51
9
musel odlít přesně 5 − 50 = 50 pinty látky. Ovšem původní směs v kádince měla
koncentraci 72 %. Doktor proto spolu s látkou musel odlít i 100 % −72 % = 28 %
9
1
vody. Celkem tedy odlil 50
· 100
72 = 4 pinty přípravku.
Komentář: Úloha šla řešit více způsoby, například dosazením do vzorce
c=
c1 V1 + c2 V2
,
V1 + V2
kde c značí koncentraci nové směsi, c1 , c2 koncentrace původních složek směsi
a V1 , V2 objemy odpovídajících původních složek směsi.
Většina z vás si s úlohou poradila hravě. Některým se nelíbily pinty a místo
nich se snažili použít mililitry. V důsledku vycházela různá desetinná čísla, se
kterými se nedalo počítat tak přesně. Při správném postupu jsem tyto drobné
nepřesnosti přehlížela.
Úloha č. 4
Lahvičky, ve kterých jsem dostával fyziologický roztok, mi z lékárny dodávali po
sadách, v nichž bylo velké množství lahviček vzestupně očíslovaných. Do lahvičky
č. 1 a č. 2 se vešel stejný objem roztoku, do každé následující se vešlo přesně tolik
roztoku, jako do předchozích dvou dohromady. Na polici mi teď stála stará sada
lahviček, z nichž byly plné č. 1, 4 a 5, a nová sada, kde byly plné č. 1, 2, 4 a 5.
Roztoky ze všech lahviček bych teď chtěl popřelévat tak, abych mohl všechny staré
vyhodit a abych měl nových naplněných co nejméně. Zároveň však nechci mít
žádnou lahvičku plnou jen zčásti. Do kterých lahviček mám roztoky slít? A do
kolika lahviček č. 1 by se vešel všechen fyziologický roztok, který mám na polici?
Řešení: Jako první jsme si pro přehlednost mohli napsat, kolik se do jaké lahvičky vejde, pokud si zvolíme jednotkový objem.
Strana 10
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Vzorová řešení úloh
číslo lahvičky
objem
1
1
2
1
3
2
4
3
5
5
6
8
7
13
8
21
Nemůžeme si nevšimnout, že objemy lahviček tvoří Fibonacciho posloupnost.
Tato posloupnost je nekonečná posloupnost přirozených čísel, kdy je každé další
číslo součtem dvou předchozích. Fibonacci tuto posloupnost znázornil na populaci králíků, kdy na počátku je jeden pár, a ten má vždy opět 2 potomky různého
pohlaví. Zároveň jsou králíci nesmrtelní, tedy jejich počty, neboli počty párů, se
nesnižují. Podmínkou tohoto modelu je, že králíci dospívají až po jedné časové
jednotce (př.: měsíc). Potom tedy vychází ona posloupnost, což je postupný počet párů králíků v jednotlivých časových jednotkách (př.: měsících).
Máme-li ze staré sady lahvičky č. 1, 4 a 5, potom můžeme podle tabulky spočítat objem roztoku ve starých lahvičkách. Ten je tedy 9 = 1 + 3 + 5.
Obdobně si můžeme spočítat objem roztoku v nových lahvičkách, tedy v č. 1,
2, 4 a 5. Nyní nám vyjde objem 10 = 1 + 1 + 3 + 5.
Tedy celkový objem roztoku je 19, a tímto jsme odpověděli na druhou otázku
a to, že roztok se vejde do 19 lahviček č. 1. Pro zjištění, do jakých lahviček máme
roztok slít, se stačí podívat opět do naší tabulky. Musíme si uvědomit, že pokud chceme použít co nejméně lahviček, musíme využít lahvičky s co největším
objemem. Lahvičku č. 8 a výše můžeme rovnou vyloučit, protože jejich objem
je vetší než celkový objem našeho roztoku a my chceme, aby všechny lahvičky
byly plné, nikoli jen z části plné. Další se tedy nabízí lahvička č. 7 s objemem
13. Zůstane nám 19 − 13 = 6 jednotek objemu. Tím pádem je jasné, že lahvičku
č. 6 použít nemůžeme, musíme pokračovat dále v sestupování. Lahvička č. 5 je
pro nás vhodná a nám zůstane pouze 1 jednotka objemu, kterou ještě nemáme
umístěnou do lahviček. Jelikož 1 objemovou jednotku má lahvička č. 1 a č. 2,
máme tu nyní dvě řešení.
Postupným umísťováním roztoku do lahviček od nejvyššího objemu k nejnižšímu jsme zajistili, že použijeme nejméně lahviček.
Pro ujištění se, že není žádná jiná lepší kombinace, můžeme zkusit obdobným
způsobem umisťovat roztok do lahviček počínaje lahvičkou č. 6. Potom nám ale
vyjde, že roztok musíme umístit do čtyř lahviček, pokud používáme pouze jednu
sadu.
Také můžeme uvážit, jak bychom roztok rozdělili pouze do dvou lahviček.
Tuto možnost ale jednoduše vyloučíme výše uvedeným postupem – sestupným
zaplňováním lahviček, kdy po zaplnění lahvičky č. 7 nemáme žádnou lahvičku
o objemu 6. Dále se nabízely ještě další kombinace, jak použít pouze 3 lahvičky,
a to například kombinace lahviček č. 7 a dvakrát č. 4 nebo dvakrát č. 6 a č. 4, ale
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 11
Pikomat MFF UK, 28. ročník, 1. série
tyto varianty nesplňují podmínku v zadání – použít pouze novou sadu.
Shrnutí: Doktor tedy má slít roztok do lahviček č. 7, č. 5 a č. 1 nebo do lahviček
č. 7, č. 5 a č. 2 nové sady. Všechen roztok se vejde do 19 lahviček č. 1.
Komentář: Většina řešení byla správná jak úvahou, tak obsahovala správný
výsledek, a to kombinaci lahviček č. 7, č. 5 a č. 1. Ale většina také už neobsahovala
druhé řešení, a to kombinace lahviček č. 7, č. 5 a č. 2. I když mi bylo jasné, že víte,
že lahvičky č. 1 a č. 2 mají stejný objem a jsou tak zaměnitelné, pokud jste jasně
nenapsali obě řešení, strhávala jsem bod. Je totiž důležité si u řešení jakýchkoliv
úloh uvědomit, že řešení nemusí být pouze jedno. Chválím tedy řešitele, kteří
na toto nezapomněli a měli obě řešení.
Úloha č. 5
Náměstí nyní pokrývaly čtverce poskládané z obdélníkových dlaždic. Největší čtverce, kterými by bylo možné dlaždici přesně pokrýt, by měly stranu 6 palců. Čtverce,
které byly z dlaždic vyskládané, byly naopak nejmenší možné, které se z nich daly
poskládat, a měly stranu 36 palců. Víte, kolik čtverečních palců je plocha jedné
dlaždice?
Řešení: Uvědomíme si, co nám úloha vlastně říká. Fakt, že největší čtverce, jimiž lze pokrýt dlaždici o rozměrech a×b, mají stranu dlouhou 6 palců, znamená,
že obě strany jsou dělitelné 6, ale ne větším číslem, tedy že NSD(a, b) = 6 (což
znamená, že největší společný dělitel čísel a a b je 6). Podobně to, že lze z dlaždic
vyskládat čtverec o straně 36 palců znamená, že je 36 dělitelné oběma rozměry
dlaždice, proto je jejich nejmenším společným násobkem, a tedy nsn(a, b) = 36.
Nyní bychom se mohli pustit do hledání takových čísel a a b, která splňují tyto
podmínky, čímž bychom zjistili rozměry dlaždice a následně mohli spočítat její
plochu.
V tomto případě to opravdu není problém, neboť možností není mnoho. Pokud bychom však měli tuto úlohu počítat s většími čísly, přineslo by nám to
nemalé komplikace. Uvědomíme si proto, jak vypadají největší společný dělitel
a nejmenší společný násobek dvou čísel. Nechť a = d·x a b = d·y, přičemž čísla
x a y jsou nesoudělná (tj. žádné prvočíslo se nevyskytuje v rozkladech na prvočinitele obou čísel, takže NSD(x, y) = 1). V tomto případě platí NSD(a, b) = d
a nsn(a, b) = d · x · y. Při pohledu na tento zápis si uvědomíme důležité tvrzení:
NSD(a, b) · nsn(a, b) = d · x · y · d = a · b.
Z toho proto jasně vidíme, že k výpočtu plochy dlaždice vůbec nepotřebujeme
znát její přesné rozměry, ale stačí nám pouze vynásobit nsn a NSD, čímž nám
Strana 12
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Vzorová řešení úloh
vyjde 36·6 = 216 palců2 . Pro ty, kdo by snad přeci jen chtěli znát možné rozměry
dlaždic, dodávám, že možnosti jsou dvě, a to sice 6 × 36 a 12 × 18.
Komentář: Hned na úvod bych chtěl pochválit Kateřinu Novou, která jako jediná přišla s tím, že k výpočtu plochy dlaždice nepotřebuje zjišťovat její přesné
rozměry. Naopak mě nepotěšilo velké množství řešitelů, kteří automaticky z tvrzení, že největší možný čtverec, kterým lze přesně pokrýt dlaždici, má stranu
délky 6, vyvodili, že menší strana musí být délky 6, protože jinak by šla dlaždice pokrýt většími čtverci. To ale rozhodně není pravda, protože důležité bylo
v zadání slovo přesně, tedy tak, že bude pokrytá celá dlaždice, aniž by čtverce
přečnívaly či se překrývaly. I přes tuto chybnou úvahu však tito řešitelé nalezli
alespoň dlaždici rozměrů 6 × 36 a došli tím pádem ke správné ploše dlaždice.
Za tyto chybné úvahy jsem proto strhl pouze bod. V několika málo řešeních se
vyskytl problém, že někdo zapomněl na jednu z podmínek, čímž obvykle došel
k menším rozměrům dlaždice. V takových případech si vysloužil obvykle dva až
tři body. Celkově úloha dopadla dobře a sešlo se velké množství správných či
téměř správných řešení.
Úloha č. 6
Na Chadwick Marketu se mezitím čile obchodovalo. Bylo to hlavní místo v celém
Londýně, kde mezi sebou farmáři a chovatelé obchodovali s husami, slepicemi
a králíky. A aby podvodníci neměli šanci, byly pevně stanovené ceny těchto tří zvířat. Ceny byly v kladných celých librách a žádné zvíře nestálo víc než 30 liber. Od
jednoho známého jsem se doslechl, že kdybych koupil 5 slepic a 3 králíky a prodal
5 hus, neprodělal bych na tom. Pokud koupím 1 husu a 1 slepici a prodám 4 králíky, vydělám minimálně 1 libru. Kdybych ale koupil 2 husy, 9 králíků a prodal
8 slepic, prodělám maximálně 3 libry. Jaký nejmenší počet zvířat a kolik kterých
bych si s sebou musel přinést, abych obchodováním na Chadwick Marketu získal
alespoň 10 liber?
Řešení: Úloha se dala pochopit více způsoby. Zde ukážeme ty dva nejčastější.
Cenu husy označíme h, cenu králíka k a cenu slepice s.
1. Na trhu lze obchodovat pouze pomocí tří akcí uvedených v zadání.
Asi hned vás napadne řešení, že přineseme 40 králíků a ty prodáme, čímž
získáme alespoň 10 liber. My ale máme hledat co nejméně zvířat, takže se
podíváme, zda by nešlo přijít s méně než čtyřiceti zvířaty. Využijeme toho,
že při prodávání králíků získáváme i jiná zvířata, která lze opět přeměnit na
králíky, což jsou jediná zvířata, za která s jistotou získáme peníze.
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 13
Pikomat MFF UK, 28. ročník, 1. série
Pokusíme se tedy husy, které získáváme za prodej králíků, vyměnit zpět
za slepice a králíky. Tato výměna je neprodělečná, tedy jí nic neztratíme. Jelikož prodej králíků je jediný obchod, který vynáší, víme, že ho budeme muset
uskutečnit minimálně desetkrát.
Místo 40 králíků stačí vzít jen 34 králíků a 1 husu. Po prodání 32 králíků
nám zbyde 8 slepic, 9 hus, 2 králíci a vydělali jsme minimálně 8 liber. Po prodání 5 hus máme 13 slepic, 4 husy, 5 králíků a výdělek pořád 8. Teď prodáme
4 králíky – 14 slepic, 5 hus, 1 králík a vydělali jsme minimálně 9 liber. Teď prodáme 5 hus a zbyde nám 19 slepic, 0 hus, 4 králíci a vydělali jsme minimálně 9
liber. Závěrem prodáme poslední 4 králíky, čímž dostaneme 20 slepic, 1 husu,
0 králíků a vydělali jsme s jistotou hledaných 10 liber. A jelikož slepice lze měnit jen prodělávající operací (proděláme 3 libry a získáme pouhých 9 králíků,
z nichž prodělané 3 libry zpět nezískáme) a 1 husa nám vždy zbude z posledního prodeje králíků, odhad už vylepšit nepůjde.
Na trh si tedy přivedeme 34 králíků a 1 husu.
2. Na trhu lze nakupovat, prodávat a měnit jakkoliv, uvedené způsoby výměn
pouze navádějí na opravdové ceny zvířat.
Řešitelé, kteří s úlohou počítali takto, si úlohu převedli na soustavu tří nerovnic o třech neznámých. Většina si úlohu ulehčila tím, že počítala s rovnostmi. Zde si ukážeme, jak úlohu vyřešit bez tohoto zjednodušení. Ze zadání
dostáváme následující nerovnice:
5h = 5s + 3k,
4k = h + s + 1,
(1)
(2)
8s = 2h + 9k − 3.
(3)
Sečteme všechny tři nerovnice a vydělíme je dvěma:
5h + 4k + 8s = 6s + 12k + 3h − 2,
2h + 2s + 2 = 8k,
h + s + 1 = 4k.
(4)
A z (2) a (4) plyne, že 4k = h + s + 1, což je to, co mnozí předpokládali,
aniž by vysvětlili, jak k tomu přišli. Vyjádříme si h.
h = 4k − s − 1,
a dosadíme do (1)
5(4k − s − 1) = 5s + 3k,
Strana 14
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Vzorová řešení úloh
20k − 5s − 5 = 5s + 3k,
17k − 10s = 5.
(5)
Nyní sečteme dvojnásobek (1) s pětinásobkem (3)
10h + 40s = 10s + 6k + 10h + 45k − 15,
30s − 51k = −15,
10s − 17k = −5,
5 = 17k − 10s.
(6)
Z toho znovu plyne, že 17k − 10s = 5.
Aby 17k−10s mohlo být 5, musí 17k končit na pětku, protože člen 10s bude
vždy končit na 0, když je to násobek deseti. Cena králíka tedy musí končit na
cifru 5, proto postačí vyzkoušet možnosti k = 5, 15, 25.
a) k = 5
17k − 10s = 5,
s = 8;
h + s + 1 = 4k,
h = 11.
Toto řešení je v pořádku, protože všechny ceny jsou celá kladná čísla
nepřesahující 30.
b) k = 15
17k − 10s = 5,
s = 25;
h + s + 1 = 4k,
h = 34.
Toto řešení nevyhovuje, protože je cena husy větší než 30 liber.
c) k = 25
17k − 10s = 5,
s = 42.
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 15
Pikomat MFF UK, 28. ročník, 1. série
Toto řešení nevyhovuje, protože je cena slepice větší než 30 liber.
Vyšlo nám jediné řešení: Králík stojí 5 liber, slepice 8 a husa 11. Stačí tedy
přivést jednu husu, prodat ji a získali jsme 11 liber, což je více než 10, které
máme získat. Stačí nám tedy jediné zvíře.
Komentář: Obchodování na burze jste si představovali dost různě. Nicméně
pokud to, jak jste si úlohu formulovali, dávalo alespoň trochu smysl, řešení jsem
uznával. O body jste přišli, pokud jste ve svém způsobu řešení brali na trh zbytečně moc zvířat, když stačilo méně, nebo jste některé kroky neodůvodnili dostatečně. Pochvala patří Vítku Kaliszovi, který se popral s nerovnostmi a inspiroval
vzorové řešení pro variantu 2. Varianta 1. byla zpracována podle Pepy Kvapilíka,
který dosáhl nejlepšího řešení.
Úloha č. 7
Znak má tvar deltoidu, v němž úhlopříčka AC půlí úhlopříčku BD. Dále o něm
vím, že |AD| = 3,5 palce, vzdálenost strany BC od vrcholu D je 4 palce, úhel BAD
je ostrý a |^BCD| + |^ADC| = 165 ◦ . Uměli byste takový znak také zkonstruovat?
Řešení: Načrtněme si deltoid a označíme si ho jako na obrázku 1.
A
α
B
δ
K
S
δ1
δ2
δ
D
γ
C
Obr. 1
Aby se nám deltoid lépe konstruoval, spočítáme si úhel δ1 . U trojúhelníku
KCD platí γ + δ2 + 90 ◦ = 180 ◦ (součet velikostí vnitřních úhlů je u každého
trojúhelníku 180 ◦ ), tedy δ2 = 90 ◦ − γ. Ze zadání víme, že γ + δ = 165 ◦ , to
jest δ = 165 ◦ − γ. Tyto dvě rovnice dosadíme do δ1 + δ2 = δ a dostaneme
Strana 16
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Vzorová řešení úloh
δ1 + 90 ◦ − γ = 165 ◦ − γ. Z poslední rovnice vyjádříme δ1 :
δ1 = 165 ◦ − γ − 90 ◦ + γ = 75 ◦ .
Nyní můžeme popsat konstrukci:
1. AD; |AD| = 3,5 p
2. ^ADX; |^ADX| = 75 ◦
3. K; K ∈ ↔DX, |KD| = 4 p
4. p; p ⊥ ↔DK, K ∈ p
5. k; k(A; 3,5 p)
6. B; B ∈ k ∩ p
7. BD
8. S; S ∈ BD, |SD| = |SB|
9. 7→AS
10. C; C ∈ AS ∩ p
11. deltoid ABCD
k
p
E
A
B
X
K
S
D
C
Obr. 2
Komentář: Většina řešitelů si s tímto příkladem hravě poradila. Několik řešitelů si pořádně nepřečetlo zadání a řešilo trochu jiný příklad. Nejčastější chybou
bylo označování délky úsečky místo úsečky, proto vězte, že AB je úsečka a |AB|
je její délka.
Úlohy první série opravovali a komentáře sepsali: 1. Zuzana Terešková, 2. Filip
Lux, 3. Karolína Rezková, 4. Petra Zahajská, 5. Miroslav Koblížek, 6. Jan Bílek,
7. Lenka Petržilková
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 17
Pikomat MFF UK, 28. ročník, 1. série
Výsledková listina Pikomatu MFF UK
po 1. sérii
Celkově
1.–5.
6.
7.–8.
9.
10.–11.
12.–13.
14.–18.
V roč.
1.–4.
1.
2.
5.
3.
6.
4.
1.
5.–6.
7.
2.–3.
8.–9.
19.–20.
7.–8.
21.–23.
10.–11.
24.
25.–28.
9.
1.
2.–3.
29.
30.
31.–37.
12.
4.
13.
5.
1.
10.–11.
14.
12.
4.
6.
Strana 18
Jméno a příjmení
Vít Kalisz
Tereza Kislingerová
Josef Kvapilík
Kateřina Nová
Václav Steinhauser
Alžběta Neubauerová
Ronald Luc
Victoria M. Nájares R.
Marie Vonzino
Marie Rohmová
Jan Slezák
Vojtěch Lanz
Timur Sibgatullin
Roman Chasák
Martin Hubata
Jan Kaifer
Dominik Krasula
Lukáš Kubacki
Břetislav Hájek
Borek Požár
Aleš Bartolomějev
Jakub Slavík
Marta Titěrová
Daniel Bárta
Matěj Navrátil
Andrea Pevná
Jiří Štěpánek
František Záhorec
David Ucháč
Štěpán Henrych
Mikuláš Brož
Matěj Holý
Lukáš Juran
Jan Kašník
Veronika Scholzeová
Vojtěch Ševčík
Jakub Šlambor
Roč. a škola
9. FSGP
9. GJVK
9. AGKR
9.
8. ZVNV
8. GNKP
9. GKJB
8. GCDP
9. ZSUS
8. PRGO
6. KGKP
8.
8.
9. ZSLL
6. GMNP
6.
9. GSKR
9. GNKP
8.
8. GZWR
9. GNKP
9. GMDH
8. GKPZ
7.
7. GVSV
7.
9. GVOZ
6. GHRL
9.
6. GSZA
5. ZFPP
8. GJVK
8. AGKP
9.
8.
7. CGKV
6. GPMB
1
5
5
3
5
5
5
5
2
5
5
5
5
1
5
5
2
4
5
5
5
2
5
1
5
5
2
1
1
2
2
2
5
2
4
5
5
5
5
5
5
5
5
4
5
3
5
5
4
3
3
3
5
5
5
4
5
5
5
1
2
5
4
5
3
4
4
3
1
4
5
3
5
5
5
5
5
5
5
5
3
5
2
5
5
5
5
4
5
5
5
3
5
3
5
5
5
1
4
5
4
3
1
-
4
5
4
5
5
3
5
5
5
5
5
4
5
5
5
4
4
3
3
4
3
5
5
5
4
1
3
4
5
2
5
5
1
5
2
5
4
5
5
5
5
5
5
4
4
4
4
2
4
2
4
4
5
5
5
5
5
4
5
2
4
1
4
3
2
5
4
4
4
4
4
4
4
2
6
5
5
5
5
4
3
3
4
4
4
4
4
1
0
3
2
2
1
3
3
-
7
5
5
5
5
5
5
4
5
5
5
5
5
3
3
5
5
0
0
2
2
5
3
4
2
-
P
-
σ
Σ
30
30
30
30
30
29
28
28
27
26
26
25
25
23
23
23
23
23
22
22
21
21
21
20
19
19
19
19
18
17
16
16
16
16
16
16
16
30
30
30
30
30
29
28
28
27
26
26
25
25
23
23
23
23
23
22
22
21
21
21
20
19
19
19
19
18
17
16
16
16
16
16
16
16
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Výsledková listina
Celkově
38.–40.
41.–43.
44.–46.
V roč.
5.
7.
15.
8.
16.–17.
13.–14.
49.–50.
9.
18.
10.
15.–16.
51.–54.
6.–7.
47.–48.
55.–57.
58.–59.
60.–64.
11.
17.
19.
8.
20.
2.
9.
10.
21.–22.
18.–19.
65.–68.
11.
12.
12.–13.
69.–77.
23.
14.
13.
15.
24.
14.–15.
78.–82.
25.
16.
17.
20.–21.
18.–19.
pikomat.mff.cuni.cz
Jméno a příjmení
Tereza Jílková
Michal Krtouš
Vojtěch Štula
Tomáš Buršík
Tomáš Kotrbatý
Barbora Lišková
Tereza Bojdová
Petr Jakubčík
Eva Tichá
Martin Milata
Jakub Ucháč
Lukáš Caha
Anežka Soukupová
Daniela Forwardová
Marek Gottwald
Martina Nová
Kristýna Žalíková
Petr Čížek
Miroslava Sloupová
Přemysl Šťastný
Vojtěch Mohelník
Filip Kruml
Gabriela Amchová
Tereza Fleisnerová
Veronika Jehličková
Jana Kramlová
Duy Mai Van
Barbora Havlíčková
Barbora Holá
Matyáš Meisner
Radim Kortus
Tomáš Hoika
Dominik Holiš
Petra Hrubá
Martina Ivanová
Matěj Košina
Ondřej Kučera
Denisa Nováková
Josef Tochor
Pavlína Záhořová
Tereza Bergová
Anh ien Duc Le
Aneta Románková
Barbora Höllová
Roč. a škola
7. GJVK
6.
9. GVOZ
6. ZJPR
9. ZMFM
9. GPMB
8. GRPR
8.
6. GJVK
9. GTMF
6.
8. GCDP
8. ZUKY
7. AGKP
7. ZVLI
6.
8. GRPR
9. GNKP
7. ZMKN
9.
5.
7. GJSB
7.
9. GCHB
9. GNKP
8. GJVK
8. GFXL
7.
6. GJVK
7.
7. GJSB
9. GCHB
7. GRPR
6.
7. ZVLI
9. GRPR
6.
6.
9. GCHB
7. GJSB
7. GRPR
8. GFXL
8. GRPR
7. GJSB
1
2
5
5
5
2
2
1
1
5
2
1
1
2
2
-
2
5
5
1
5
5
5
2
5
1
4
5
2
2
4
1
3
2
5
2
1
2
3
4
2
0
2
4
1
3
1
2
3
5
5
5
5
0
0
1
5
2
5
1
3
0
0
0
4
5
5
2
4
4
4
4
4
3
1
3
5
1
2
5
4
3
4
2
4
4
1
5
5
1
1
4
4
4
4
4
1
-
5
5
5
3
5
4
2
5
2
3
1
3
2
2
1
1
3
3
1
6
2
1
0
2
2
1
-
7
2
2
2
1
0
1
2
1
1
0
1
1
-
P
-
σ
Σ
15
15
15
14
14
14
13
13
13
12
12
10
10
9
9
9
9
8
8
8
7
7
6
6
6
6
6
5
5
5
5
4
4
4
4
4
4
4
4
4
3
3
3
3
15
15
15
14
14
14
13
13
13
12
12
10
10
9
9
9
9
8
8
8
7
7
6
6
6
6
6
5
5
5
5
4
4
4
4
4
4
4
4
4
3
3
3
3
Strana 19
Pikomat MFF UK, 28. ročník, 1. série
Celkově
78.–82.
83.–90.
V roč.
18.–19.
20.
16.
21.
22.
17.
26.
22.–23.
91.–98.
24.
23.
25.–30.
99.–107.
27.
18.
24.
19.
28.
25.
29.
31.–32.
Jméno a příjmení
Nguyen Manh Linh
Remzie Bejtová
David Fischer
Duc Hieu Ha
Ondřej Hejzek
Adéla Kaiserová
Jana Menšíková
Adéla Řežábková
Tien Tran
Barbora Koláčková
Veronika Onheiserová
Amélie Michálková
Pavel Le Nguyen
Honza H. P. Ngoc
Rolnan Mai
Phan Van ang
Kristýna Bradová
Dominik Bárta
Petr Dědek
Kateřina Kunclová
Hung Le Duc Quang
Vratislav Rusz
Sára Štěpánová
Tomáš Strnad
Jakub Anderle
Ngoc T. N. Pham
Roč. a škola
7. GJSB
7. GJSB
6.
7. MGPP
8. GCHB
6. GJVK
9. GTMF
7. AGKP
7. GJSB
7. GRPR
8. GRPR
7. GJSB
7. GJSB
7. GJSB
7. GJSB
7. GJSB
7. GJSB
9.
6.
8.
6.
9.
8.
9.
7. GJSB
7. GJSB
1
1
2
1
1
1
1
1
1
-
2
0
2
1
2
2
1
1
0
1
-
3
0
0
0
0
4
1
2
-
5
1
1
1
-
6
1
1
-
7
-
P
-
σ
3
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Σ
3
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Vysvětlivky
První sloupec ve výsledkové listině udává celkové pořadí řešitele po první sérii,
druhý sloupec pak pořadí redukované na řešitele v příslušném ročníku školní
docházky (což umožňuje lépe porovnávat stejně staré řešitele mezi sebou).
Seznam škol se nám do tohoto letáku nevešel, proto jej přineseme příště.
Sloupce označené číslicemi 1 až 7 udávají počet bodů získaný za jednotlivé úlohy.
Ve sloupci se záhlavím P je bodový postih pro tuto sérii za pozdní odeslání. Ve
sloupci se záhlavím σ je celkový počet bodů za první sérii a konečně ve sloupci
označeném Σ je celkový počet bodů, které řešitel zatím získal.
Strana 20
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8