studijni_opora_MAT_3r

-1-
Konzultace
z předmětu MATEMATIKA
pro třetí ročník dálkového studia
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Posloupnosti
Aritmetická posloupnost
Geometrická posloupnost
Užití posloupností
Základy kombinatoriky, faktoriál
Kombinační čísla
Variace, kombinace, permutace bez opakování
Variace, kombinace, permutace s opakováním
Binomická věta
Doplnění a shrnutí učiva 1. pololetí
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
Základy vektorového počtu
Vektorová algebra
Kritéria rovnoběžnosti a kolmosti vektorů v rovině
Analytická geometrie v rovině
Parametrická rovnice přímky v rovině
Obecná rovnice přímky v rovině
Vzájemná poloha přímek v rovině
Bod a přímka v rovině
Odchylky přímek
Doplnění a shrnutí učiva
Vyučuje: RNDr. Věra Schuhová
Doporučená literatura (pro celé studium):
( 1 ) MATEMATIKA - přehled středoškolského studia, edice Maturita (N. Kubešová,
E.Cibulková)
( 2 ) ODMATURUJ Z MATEMATIKY – nakladatelství Didaktik 1. díl – rozsáhleji je zde teorie,
pěkné, doporučuji hlavně pro ty, kteří uvažují o maturitě z
matematiky
( 3 ) Matematika v kostce pro střední školy (Z. Vošický)
( 4 ) Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU (kol.autorů-Odvárko, Calda,…) – 1.–6.část,
určeno spíše pro denní studium
( 5 ) MFCH tabulky pro střední školy
dále existují různé sbírky úloh k probírané tematice, řešené příklady i teorii lze hledat i
na internetu (matematika po lopatě, matematika on line atd.)
-2-
1. pololetí
Posloupnosti
(1)
(2)
(3)
(4)
str. 180 – kap. 12.1
str. 98 – kap. 20
str. 99 – kap. 9.1
6. část – str. 7 – kap. 1
Jsou to funkce, jejichž definičním oborem je množina přirozených čísel N.
Nekonečná posloupnost má nekonečně mnoho členů, konečná posloupnost má určitý konečný
počet členů.
∞
k
n-tý člen posloupnosti se značí an , posloupnost pak zapisujeme (a n )n=1 nebo (a n )n=1
Posloupnost je dána: a) výčtem prvků
b) vzorcem pro n-tý člen
c) rekurentním vzorcem
d) grafem
Graf posloupnosti je množina bodů [n , an], kde n ∈ N, an je n-tý člen posloupnosti. Graf je
tedy množina izolovaných bodů.
Vlastnosti posloupností: konečná, nekonečná, rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající,
shora omezená, zdola omezená, omezená, konstantní, alternující,…
Některé definice:
např. posloupnost je rostoucí právě když pro všechna n ∈ N platí an+1 > an
klesající právě když pro všechna n ∈ N platí an+1 < an
shora omezená právě když existuje takové číslo h, pro které platí, že pro
všechna n ∈ N je an ≤ h atd
Příklady:
1) Určete prvních 6 členů posloupnosti dané vzorcem: a) an = 3n + 1
a1 = 3.1 + 1 = 4, a2 = 3.2 + 1 = 7, a3 = 3.3 + 1 = 10, a4 = 3.4 + 1 = 13, a5 = 3.5 + 1 = 16,
a6 = 3.6 + 1 = 19, takže {4; 7; 10; 13; 16; 19}
n.(n − 1)
b) an =
řešení je {0; 1; 3; 6; 10; 15}
2
c) an =
4
n+2
řešení je {
4
4 2 4 1
; 1; ; ; ; }
3
5 3 7 2
2) Určete prvních pět členů posloupnosti, je-li dáno:
a) an = 6 - n
n
b)
c)
d)
e)
 1
an = 1 + 
 n
an = n.( 2n-1)
an = 0,5.[ 1-(-1)n]
an = 2. |n-2|
-3a1 = 2. |1-2| = 2.1=2, a2 = 2. |2-2|=2.0 = 0, a3 = 2. |3-2| =2.1=2, a4 = 2. |4-2| =2.2 = 4,
a5 = 2. |5-2| = 2.3 = 6 atd.
f) an = (-1)n+1 - |n-3| + 4 atd.
3) Určete prvních 7 členů posloupnosti, která je dána rekurentně:
a) a1 = 1, a2 = 2, an+1 = an - an-1
a3 = a2 – a1 = 2 – 1 = 1, a4 = a3 – a2 = 1 – 2 = -1, a5 = a4 – a3 = -1-1 = -2,
a6 = a5 – a4 = -2-(-1) = -1, a7 = a6 – a5 = -1-(-2) = 1, atd.
b) a1 = 1, an+1 = 2an
c) a1 = 1, a2 = 2, an+1 = an + an-1
d) a4 = 4, a5 = 2, an+1 = an - 3an-1 atd.
Další příklady najdete v příslušných kapitolách doporučené literatury
Aritmetická posloupnost
(1)
(2)
(3)
(4)
str. 182 – kap. 12.2, 12.4
str. 100 – kap. 21
str. 106 – př. 1
str. 100 – kap. 9.2
6. část – str. 21 – kap. 2.1, 2.2
Definice: Posloupnost se nazývá aritmetická, právě když existuje číslo d tak, že pro všechna
n ∈ N platí an+1 = an + d. Číslo d se nazývá diference.
Vlastnosti AP:
1)
Je jednoznačně určena prvním členem a1 a diferencí d
2)
Pro všechna n ∈ N platí vzorec an+1 = an + (n-1).d
n.(a1 + a n )
3)
Součet prvních n členů AP je dán vzorcem sn =
2
4)
AP je rostoucí pro d > 0, AP je klesající pro d < 0
a + a n +1
5)
V každé AP platí an = n −1
2
6)
Pro všechna r, s ∈ N platí as = ar + (s-r).d
K výpočtům používáme nejvíce vzorců 2 , 3
Příklady:
Napiš prvních 5(10) členů AP, platí-li:
a)
b)
c)
d)
a1 = 1 , d = 6
a1 = -5 , d = 2
a1 = -3 , d = -4
3
a1 = 2 , d = 2
-41)
Určete prvních 5 členů AP, v níž je a1 = 12, d = -4 → a1 = 12, a2 = 12-4 = 8,
a3 = 8-4 = 4, a4 = 0, a5 = -4, atd.
2)
Určete a16, a50, pro AP, v níž a1 = -3, d = 2 → a16 = a1 + (16-1).d = -3 + 15.2 = 27,
a50 = a16 + (50-16).d = 27 + 34.2 = 95 nebo
a50 = a1 + 49.d = -3 + 49.2 = 95
3)
Určete a1, d, a10 v AP, je-li a5 = 9, a2 + a4 = 10 → a1 + d +a1 + 3d = 10 →
2a1 + 4d = 10 → a1 + 2d = 5
→ a1 = 5 – 2d → a5 = 9 = a1 + 4d → 9 = 5 – 2d + 4d →
9-5 = 2d → 4 = 2d → d = 2,
a1 = 5-2.2 = 1, a10 = a1 + 9d = 1 + 9.2 = 19
4)
Vypočítejte součet prvních 20 členů AP, v níž je a1 = 3, d = 2 →
20.(a1 + a 20 )
s20 =
→ a20 = a1 + 19.d = 3 + 19.2 = 41,
2
20.(3 + 41) 20.44
s20 =
=
= 440
2
2
Vypočítejte a1 , d v AP, je-li dáno:
a) a1 + a7 = 42
b) a1 + a5 = 24
a1 . a3 = 60
a10 – a3 = 21
návod: a1 + a1 + 4d = 24 → a1 + 2d = 12
a1 (a1 +2d)= 60 → a1.12 = 60 → a1 = 5
d = (12-5) : 2 = 3,5
Mezi čísla 26 a 48 vložte 9 čísel tak, aby společně s danými čísly tvořila prvních
11 členů AP. Určete tyto členy a také jejich součet
5)
6)
7)
Vypočítejte součet všech členů konečné AP {
jsou členy ?
2 5
2
, ,.........3 } . Kolik a jaké to
3 6
3
Další příklady najdete v příslušných kapitolách doporučené literatury
Geometrická posloupnost
(1)
(2)
(3)
(4)
str. 183 – kap. 12.3, 12.4
str. 103 – kap. 22
str. 106 – př. 3
str. 100 – kap. 9.2
6. část - str. 21 – kap. 2.3, 2.4
Definice: Posloupnost se nazývá geometrická, právě když existuje číslo q ≠ 0, pro které platí
an+1 = an .q pro všechna n ∈ N. Číslo q se nazývá kvocient GP.
-5Vlastnosti:
1)
GP je jednoznačně určena svým prvním členem a kvocientem.
2)
Platí, že první člen a1≠ 0
3)
Vzorec pro n-tý člen GP: a n = a1 . q n-1
4)
Pro všechna r, s ∈ N platí: a s = a r . q s-r
5)
Součet prvních n členů GP je pro q = 1 dán vzorcem s n = n . a 1
6)
Součet prvních n členů GP pro všechna ostatní přípustná q je dán vzorcem
qn −1
s n = a1 .
q −1
7)
GP je rostoucí, právě když a 1 > 0 , q > 1 nebo a 1 < 0 , 0 < q < 1
8)
GP je klesající, právě když a 1 > 0 , 0 < q < 1 nebo a 1 < 0 , q > 1
9)
GP je konstantní právě když q = 1 ( neřadí se mezi GP )
10)
V každé GP platí: |a n | =
a n −1 .a n +1
K výpočtům nejvíce užíváme vzorce 3, 6
Příklady:
Napiš prvních 5(10) členů GP, platí-li:
1)
a) a1 = 1, q = 1
b) a1 = 0,75 , q = 3
c) a1 = 10 , q = 0,5
2
d) a1 = -12 , q = 3
V GP je dáno: a1 = 6, a2 = 24. Určete q, a5, a8 → q =
a2
= 4,
a1
a 5 = a1 .q 4 = 6.4 4 = ..... atd.
2)
V GP je dáno: a3 = 3, a5 =
3
. Určete a4 , a7 , q →
4
3
a5
1
1
1
= q 2 → 4 = → q1 = , q 2 = − ,→
a3
3 4
2
2
existují tedy dvě řešení, tj. dvě GP, jejichž členy pak už jednoduše
dopočítáte podle vzorce pro n-tý člen
-63)
V GP je dáno: q = 2, s6 = 189. Vypočítejte a6 →
26 − 1
64 − 1
189
189 = a 1 .
= a1 .
→ a1 =
=3
2 −1
1
63
→ a6 = a1.q5 = 3.25 = 3.32 = 96
4)
V GP je dáno: a1 =
3
93
, q = 2, s n =
. Určete n, tj. počet členů této GP. →
2
2
93 3 2 n − 1
= .
→ 93 = 3.(2 n − 1) → 31 = 2 n − 1 → 32 = 2 n → 2 5 = 2 n → n = 5
2 2 2 −1
5)
V GP je dáno: a1 + a3 = 5 , a2 + a4 = 10. Určete a1 , q
→ a1 + a1.q2 = 5, a1.q + a1. q3 = 10
5
→ a1.(1 + q2) = 5, a1.q (1 + q2) = 10 → a1 =
1+ q2
5
→
.q.( 1+q2) = 10 → 5q = 10 → q = 2 ,
2
1+ q
5
5
a1 =
=
=1
2
1 + q 1 + 22
6)
V GP je dáno: a1 = -2, a2 = 4 . Vypočítejte s10
7)
V GP je dáno: a1 + a2 = 4, a2- a4 = -24. Určete a1 , q
vede na řešení kv. Rovnice, na 2 různá řešení
8)
V GP je dáno: a1 = -2, an = 64, a1 –a2 = 3. Určete a1 , q , n , s7
9)
Mezi čísla 5 a 320 vložte pět čísel tak, aby s danými čísly vytvořila GP. Určete q,
hodnoty těchto členů a také jejich součet.
a1 = 5, a7 = 320 → 320 = 5.q6 → 2 řešení pro q, a tedy pro GP
10)
Přičteme-li k číslům 7, 12, 22 totéž číslo x, dostaneme první tři členy GP. Určete
tyto členy, také vypočítejte q .
11)
V GP je dáno: a1 – a5 = 96, a5 + a6 = 96, a1 = 2 046. Určete a1 , q , n .
Další příklady najdete v příslušných kapitolách doporučené literatury
-7-
Základy kombinatoriky
( 1 ) str. 198 – 205 kap. 14
( 2 ) str. 182 – 201 kap. 35
( 3 ) str. 104 – 106 kap. 10.1 – 10.4
( 4 ) str. 48 – 81 kap. 2 ( část 4 )
kombinatorika je část matematiky, která se zabývá vytvářením určitých skupin prvků
vybraných z daného souboru prvků a vlastnostmi těchto skupin.
Na kombinatoriku navazují kapitoly Pravděpodobnost a Statistika, které využívají poznatků a
aparátu z kombinatoriky.
Základní schéma kombinatorické úlohy: Existuje množina M, která obsahuje právě n různých
prvků. Z nich je možné podle určitých pravidel sestavovat skupiny po k prvcích (n, k jsou
přirozená čísla).
Rozhodující je odpověď na následující otázky:
a) Záleží na pořadí, v jakém byly prvky vybrány ?
b) Kolik prvků bylo vybráno ?
c) Mohou se jednotlivé prvky v jedné skupině opakovat ?
Podle toho se pak rozhoduje, zda se jedná o případy variací nebo permutací nebo kombinací, a
to u všech případů buď bez opakování nebo s opakováním.
Kombinatorika pracuje se dvěma základními pojmy, a to s faktoriálem a s kombinačním
číslem.
Definice n-faktoriálu: Pro každé n ∈ N je součin všech přirozených čísel od 1 do n označen
n!. Platí tedy, že n! = n.(n-1).(n-2)……2.1. Je dodefinované, že 0! = 1
Platí, že: (n+1)! = (n+1).n! , (n+2)! = (n+2).(n+1).n! , 5! = 5.4.3.2.1 = 120, ……
Příklady:
6! 6.5.4!
5!
5!
1
=
= 6.5 = 30,
=
=
,
4!
4!
7! 7.6.5! 42
Nezapomeňte, že příklady řešíme v množině přirozených čísel N:
(n + 2)!
(n + 1)!
n!
(n + 2).(n + 1).n! 2.(n + 1).n.(n − 1)! n.(n − 1).(n − 2)!
− 2.
+
=
−
+
=
n!
(n − 1)! (n − 2)!
n!
(n − 1)!
(n − 2)!
= n2 + 2n + n+2 - 2n2 - 2n + n2 - n = 2
1
3
n2 − 4
1
3
(n + 2).(n − 2)
n +1− 3 − n + 2
0
−
−
= −
−
=
=
=0
n! (n + 1)! (n + 2)! n! (n + 1).n! (n + 2).(n + 1).n!
(n + 1).n!
(n + 1)!
Řešte rovnici:
(n + 7)!
(n + 7).(n + 6).(n + 5)!
− 14n = 44 →
− 14n = 44
(n + 5)!
(n + 5)!
n2 + 7n + 6n + 42 – 14n – 44 = 0
n2 – n – 2 = 0 → n = 2, -1 → n = 2
Další příklady:
(n − 1)!
(n + 5)!
(n + 6)!
(3n − 2).
= 5n − 1 → n = 3,
− 14n + n 2 = 17 → n = 1,
= 28 + 16n − n 2 →
(n − 2)!
(n + 3)!
(n + 4)!
(n + 3)!
→ n=2, n.
+ n 2 = 14 → n = 2, atd .
(n + 2)!
-8-
Definice kombinačního čísla: Pro všechna přirozená čísla k, n, pro která platí, že k ≤ n, se
 n
zavádí symbol   , který čteme “n nad k“, nazývá se kombinační číslo a je definován takto:
k
 n
n!
  =
.
 k  k!.(n − k )!
 n
 n
 0
Některé vlastnosti kombinačních čísel:   = n,   = 1,   = 1,
1
 n
 0
 n 
 n  n 

 = n ,   + 

 n −1
 k   k + 1
 n
 n  n 
  = 1,   = 
 ,
 0
k n − k 
 n + 1

= 
 k + 1
Kombinační čísla a jejich vlastnosti lze napsat do schématu, který se nazývá Pascalův
trojúhelník ( viz např. MFCH tabulky ). Ten se vyznačuje mnohými vlastnostmi, např. platí,
že součet kombinačních čísel v n-tém řádku je roven 2n , že libovolné číslo v Pascalově
trojúhelníku lze získat sečtením dvou čísel ležících bezprostředně nad ním, že stejná čísla jsou
v něm symetricky rozmístěna, že každý řádek začíná a končí číslem 1 atd.
Příklady:
 n + 2  n 
n!
(n + 2)!
(n + 2).(n + 1).n! n.(n − 1).(n − 2)!

 =   + 7 →
=
+7→
=
+7→
n!.2
(n + 2 − 2)!.2! (n − 2)!.2!
(n − 2)!.2
 2   2
→ n 2 + 3n + 2 = n 2 − n + 14 → 4n = 12 → n = 3
 n + 1
(n + 1)!
(n + 1).n.(n − 1)!

 + n.(n − 5) = 6 →
+ n 2 − 5n − 6 = 0 →
+ n 2 − 5n − 6 = 0 / .2
n
−
1
(
n
+
1
−
n
+
1
)!.(
n
−
1
)!
2
.(
n
−
1
)!


2
→ n + n + 2n 2 −10n − 12 = 0 → 3n 2 − 9n − 12 = 0 / : 3 → n 2 − 3n − 4 = 0 → (n − 4).(n + 1) = 0 → n = 4
Základní kombinatorická pravidla: součinu a součtu
Kombinatorické úlohy se dělí na variace bez opakování i s opakováním, permutace bez
opakování i s opakováním, kombinace bez opakování i s opakováním.
Variace bez opakování se značí Vk (n), čte se variace k-té třídy z n prvků bez opakování, je
to uspořádaná (tj. záleží na pořadí výběru) k-prvková skupina sestavená pouze z těchto n
prvků tak, že každý je v ní obsažen nejvýše jednou. Počítá se Vk (n) =
n!
= n.(n − 1).(n − 2).........(n − k + 1), k ≤ n
(n − k )!
Př. Z pěti látek různých barev (modrá, červená, zelená, žlutá, bílá ) se mají ušít trojbarevné
vlaječky. Kolik jich bude ?
5!
V3(5) = = 5.4.3 = 60
2!
Kolik dvojciferných přirozených čísel sestavíme z cifer 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ?
9!
V2(9) = 72 = 9.8 =
7!
-9Kolik trojciferných přirozených čísel lze vytvořit ze čtyř cifer 0, 1, 2, 3 (cifry se v čísle
nesmí opakovat) ?
Všechna čísla minus čísla, která by začínala 0: V3(4) – V2(3) = 24 – 6 = 18
Z kolika různých prvků lze vytvořit 240 dvoučlenných variací bez opakování ?
n!
n.(n − 1).(n − 2)!
240 = V2(n) =
=
= n.(n − 1)
(n − 2)!
(n − 2)!
1 ± 31
240 = n2 – n → n2 – n – 240 = 0 → D = 961→ n =
= −15nebo16 , připadá
2
v úvahu pouze číslo 16 ( zkouška dosazením do zadání )
Zvětší-li se počet prvků o 1, zvětší se počet variací druhé třídy bez opakování o 16.
Určete hodnotu n.
V2(n+1) – 16 = V2(n) →
(n + 1)!
n!
(n + 1).n.(n − 1)!
− 16 =
→
− 16 = n.(n − 1) → n 2 + n − 16 = n 2 − n →
(n + 1 − 2)!
(n − 2)!
(n − 1)!
2n = 16 → n = 8
Variace s opakováním se značí V´k(n) a počítají se podle vzorce V´k(n)= nk– prvky se
mohou ve výběru opakovat
Př. : Zjisti počet přirozených čtyřciferných čísel, která lze utvořit z číslic 1, 5, 6, 8, 9, jestliže
se číslice mohou opakovat: V´4(5) = 54 = 625 ( bez opakování by bylo jen 120 možností )
Zvláštním případem variací bez opakování jsou permutace bez opakování, kdy k = n, tj. do
skupiny vybereme všech n prvků a pak jen zaměňujeme jejich pořadí. Značí se P(n) a jejich
počet se stanoví podle vzorce P(n) = n!
Příklady: přesmyčky slov, kde každé písmeno je jen jednou, rozsazení žáků do lavic, kdy
počet míst k sezení souhlasí s počtem žáků, pořadí řečníků v rozpravě atd.
Permutace s opakováním: - např. přesmyčka slova MATEMATIKA, kde se některá písmena
n!
opakují – P´(k1,k2,……) =
, kde n = k1+k2+ ……
k1!.k 2 !.....
Způsob výběru prvků, kdy nezáleží na pořadí výběru, se označuje jako kombinace.
Kombinace bez opakování se značí Ck(n) a počet kombinací se počítá podle vzorce pro
 n
kombinační čísla Ck(n) =   .
k
 n + k − 1

Počet kombinací s opakováním se pak počítá podle vzorce P´k(n) = 
 k

Př.: Řešte rovnici s kombinačními čísly:
 n + 1
(n + 1).n.(n − 1)!

 + n.(n − 5) = 6 →
+ n 2 − 5n − 6 = 0 → n 2 + n + 2n 2 − 10n − 12 = 0
(n − 1)!.(n + 1 − n + 1)!
 n − 1
→ 3n 2 − 9n − 12 = 0 → n1, 2 = 4,−1 → n = 4
- 10 -
Příklady:
Kolik pěticiferných čísel lze vytvořit z číslic 1, 2, 4, 5, 7, žádná cifra se nesmí opakovat ?
5! = 120
permutace bez opakování
Kolika způsoby lze ubytovat 10 hostů do jednoho čtyřlůžkového pokoje a dvou třílůžkových
pokojů ?
permutace s opakováním
10
!
P ´ 3,3, 4 (10 ) =
= 4 200
4!.3!.3!
Kolik je různých přesmyček slova a) PARDUBICE ? →
9! = 362 880
10!
b) MATEMATIKA ? →
= 151 200
2!.3!.2!.1!.1!.1!
Patnáct svatebčanů se dohaduje, kde kdo bude stát při fotografování. Kolik je možností ? Jak
dlouho by fotografování trvalo, kdybychom na jednu fotku počítali 10 sekund ?
15! = 1,307674368.1012 , toto vynásobit 10, dostaneme čas v sekundách, po převedení
na roky je to asi 415 000 let.
Basketbalové družstvo tvoří 5 hráčů. Určete, kolik možností má trenér pro sestavení družstva,
má-li k dispozici 12 univerzálních hráčů ?
12  12!
C5(12) =   =
= 792
kombinace bez opakování
 5  5!.7!
Ve finále sprintu na sto metrů startuje 8 závodníků. Určete počet způsobů, jimiž se mohou
rozdělit o zlatou, stříbrnou a bronzovou medaili ?
8!
V3(8) =
= 336
variace bez opakování
5!
Kolik možností je pro zaškrtnutí šesti čísel ze všech 49 ?
 49 
kombinace bez opakování
C6 (49) =   = 13 983 816
6
V obchodě mají tři druhy čokolád: hořkou, mléčnou a bílou. Chceme koupit 5 kusů čokolád.
Kolik máme možností výběru ?
 3 + 7 − 1  9 
9!
 =   =
C´7 (3) = 
= 36
kombinace s opakováním
 7   7  7!.2!
Kolika způsoby vybereme 4-členný tým ze 32 žáků ?
 32 
C4(32) =   =35 960
kombinace bez opakování
4
Kolik bude způsobů tohoto výběru, bude-li tým složený z předsedy, místopředsedy,
pokladníka a správce ?
32!
V4(32) =
= 863 040
variace bez opakování
28!
- 11 -
BINOMICKÁ VĚTA
Slouží k výpočtu mocnin dvojčlenů: Pro všechna a, b ∈ R, n ∈ N platí:
 n
 n
 n
 n  1 n−1  n  0 n
.a .b +  .a .b
(a + b)n =  .a n .b 0 +  .a n −1 .b1 +  .a n− 2 .b 2 + .........
 0
1
 2
 n − 1
 n
Mluví se také o binomickém rozvoji
Nechceme-li znát celý rozvoj, používáme vzorec pro konkrétní člen rozvoje:
 n
Ak+1 =  .a n − k .b k
k
Příklady:
Určete a) sedmý člen binomického rozvoje výrazu:
9
6
9
1
 2 1
2 3 
6 1
 2 x −  =  . 2 x . −  = 84.8.x . 6 = 672
x
x

 x
 6
( )
12
b) devátý člen
c) druhý člen
8
12   1 
1 

1
2 +
 =  .2 4.
 = 495.16. = 495
16
2

8  2
(3 x + 1)6
 6
5
=  .(3 x ) .1 = 6.243.x 5 = 1458 x 5
1
další příklady z kombinatoriky:
1) Určete počet prvků, z nichž lze utvořit 240 variací bez opakování druhé třídy
2) Určete počet prvků, z nichž lze utvořit dvakrát více čtyřčlenných variací bez
opakování než trojčlenných
3) Kolik existuje šesticiferných čísel, která začínají cifrou 7, neobsahují žádné dvě
stejné cifry a jsou dělitelná číslem 25 ?
4) Chceme sestavit trikolóru ze sedmi různých barev – bílé, modré, hnědé, červené,
žluté, zelené, černé (žádná barva se nesmí v trikolóře opakovat)
a) kolik trikolór lze takto sestavit ?
b) kolik z nich bude mít uprostřed bílou barvu ?
c) kolik z nich obsahuje červenou barvu ?
d) kolik z nich neobsahuje zelenou barvu ?
5) Kolika způsoby lze sestavit rozvrh na jeden den pro jednu třídu, v níž se vyučuje
12 předmětům, každému nejvýše 1 hodinu denně, má-li se skládat ze šesti
vyučujících hodin ? V kolika z nich se vyskytuje matematika ? V kolika z nich je
matematika zařazena na první vyučující hodinu ?
6) Určete počet prvků, z nichž lze utvořit sedmkrát méně variací třetí třídy než variací
čtvrté třídy (bez opakování) ?
7) Určete počet prvků, z nichž lze utvořit 210 variací bez opakování druhé třídy ?
8) Kolik čtyřciferných lichých čísel (žádná cifra se nesmí v zápise čísla opakovat) lze
napsat pomocí cifer 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ?
9) Ve sportovním oddíle je 8 dívek a 10 chlapců. Kolika způsoby lze z nich sestavit
pětičlenné družstvo tak, aby v něm byli: a) samí chlapci
b) samé dívky
- 12 c) 2 chlapci a 3 dívky
d) 1 chlapec a 4 dívky
10) Určete počet všech čtyřciferných čísel sestavených z cifer 0, 1, 3, 4, 6, 9 tak, že
cifry se nesmí v čísle opakovat a že platí: a) čísla jsou lichá
b) čísla jsou sudá
Zkouška za 1. pololetí z matematiky je tvořena písemným testem v délce asi 45 minut
Po vyhodnocení testu se studenti osobně dostaví k ústnímu zkoušení, resp. k zápisu známky,
nezapomenou tedy studijní průkaz
2. pololetí
Základy vektorového počtu
(1)
(2)
(3)
(4)
str. 143 – 150
str. 153 – 156
str. 76 – 80
str. 21- 49
kap. 11.3, 11.4
kap. 32
kap. 8.2
kap. 1.3 – 1.12 (část č. 5)
Definice: vektor je množina všech souhlasně orientovaných úseček stejné velikosti. Značí se
r
u (písmeno se šipkou) nebo u
Poznámka: orientovaná úsečka je každá úsečka, na níž určíte počáteční a koncový bod
Pojem souhlasně, resp. nesouhlasně orientované úsečky
Každá orientovaná úsečka je tzv. umístěním vektoru.
Základní umístění vektoru je ta úsečka, jejíž počáteční bod leží v počátku souřadnic, pak
r
platí, že u = (u1; u2) – první, resp. druhá souřadnice vektoru.
Základní pojmy a vlastnosti vektorů:
r r
Rovnost vektorů - u = v ↔ u1 = v1 ∧ u 2 = v 2
r
Velikost vektoru: │ u │= u12 + u 22 . Je to vždy nezáporné reálné číslo.
Nulový vektor je takový, jehož velikost je rovna 0
- 13 -
r
Jednotkový vektor je takový vektor, jehož │ u │= 1, takových vektorů je nekonečně mnoho,
jejich koncový bod leží na jednotkové kružnici se středem v počátku souřadnic.
r
r
r
Opačný vektor - u = ( − u1 ,−u 2 ). Platí, že │ u │= │- u │.
r
Součet vektorů: u +
r
Rozdíl vektorů: u -
r
v = ( u1+ v1; u2 + v2 )
r
v = ( u1- v1; u2 - v2 )
r
Násobení vektoru reálným číslem: k. u = ( k.u1; k.u2 ) – je to tedy vektor. Z teorie plyne, že je
to rovnoběžný vektor, a to buď souhlasně orientovaný ( k > 0 ) nebo
nesouhlasně orientovaný ( k < 0 )
r r
r r
r
r
Skalární součin vektorů: u . v = u1.v1 + u2.v2 nebo také u . v = │ u │.│ v │. cos φ ,
kde φ je úhel, který oba vektory svírají. Je-li φ = 90º, je cos 90º = 0, a tedy
skalární součin se rovná také 0.
Úhel, který dva vektory v rovině svírají, se pak počítá ze vztahu:
rr
u 1 .v1 + u 2 .v 2
u .v
cos ϕ = r r =
u .v
u12 + u 22 . v12 + v 22
Příklady:
r
r
Určete vektor u , určený body A = [-3; 2] , B = [4; 1] → u = B – A, u1 = 4 – (-3) = 7,
r
u2 = 1 – 2 = -1 → u = (7; -1)
r
r
Vypočítejte velikost vektoru u = ( -4; -3 ) → │ u │= (−4) 2 + (−3) 2 = 16 + 9 = 25 = 5
r
r
Určete velikost vektoru v , který je trojnásobkem vektoru u z předchozího příkladu:
r
r
r
│ v │= 3.│ u │= 15 ( ověřte si to výpočtem nejprve vektoru v a pak jeho
velikosti )
r r
r
r
Vypočítejte součet, rozdíl vektorů u a v , je-li u = ( 3; -5 ), v = ( -1; 2 ):
r r
r r
u + v = ( 3 - 1; -5 + 2 ) = ( 2; -3 ) , u - v = ( 3 +1; -5 - 2 ) = ( 4; -7 ). Jak vyjde
r r
v -u ?
r r
r r
Vypočítejte skalární součin vektorů u , v z předchozího příkladu: u . v = 3.(-1) + (-5).2 =
-3 -10 = -13
r
r
Vypočítejte skalární součin vektorů u = ( 3; -4 ) a v = ( -1; 2 ), které svírají úhel 60º :
r r
r
r
1 5. 5
u . v = │ u │.│ v │. cos 60º = 5. 5 . =
2
2
r
r
r
Je dán vektor u = (-5; 3 ). Určete vektor v = ( v1; -2 ) tak, aby byl kolmý k vektoru u :
r r
r
6
u . v = 0 → -5. v1 + 3.(-2) = 0 → -5 v1 = 6 → v1 = - = -1,2 → v = ( -1,2 ; -2 )
5
Důležité pro využití v následujících konzultacích:
Kriterium rovnoběžnosti vektorů:
Dva vektory jsou rovnoběžné právě tehdy, když jeden je reálným násobkem druhého.
Kriterium kolmosti vektorů:
Dva vektory jsou kolmé právě tehdy, když jejich skalární součin se rovná nule.
- 14 -
Další příklady v doporučené literatuře a na konzultacích
Analytická geometrie v rovině
( 1 ) str. 141 kap. 11.1 – 11.2
( 2 ) str. 139 kap. 29 (orientačně), str. 144 kap. 30 (orientačně)
str. 157 kap. 33
( 3 ) str. 75 kap. 8.1, str. 80 kap. 8.3
(4)
kap. 1 část č. 5
Analytickou geometrii budeme řešit především v rovině, AG v prostoru jen navíc v literatuře,
nebude se probírat na konzultacích. Podstatou AG je převést geometrickou úlohu pomocí
analytických metod (vektorová algebra, soustava souřadnic) na algebraickou úlohu, tj. řešení
rovnic, soustav rovnic atd. a naopak. Absolutní hodnotu každého reálného čísla lze vyjádřit
velikostí nějaké úsečky.
BOD NA PŘÍMCE
vzdálenost dvou bodů na přímce: d(AB) = │xB - xA│= │xA – xB│, kde xA, xB jsou souřadnice
bodů A, B
x + xB
střed úsečky AB: xS = A
2
4 −1 3
= = 1,5
příklady: A = [4], B = [-1] → d(AB) = │-1-4│= │-5│= 5, xA =
2
2
Najděte bod X, jehož vzdálenost od bodu A = [-2] je d = 5 →
5 = │x – (-2)│= │x+2│→ x = 3 nebo -7, tj. jsou dvě řešení
BOD V ROVINĚ
Vzdálenost dvou bodů v rovině:
d(AB) =
Střed úsečky AB: S =
( x B − x A ) 2 + ( y B − x A ) 2 , kde A = [xA ;yA],B = [xB ;yB]
x + xB
y + yB
A+ B
, tj. xS = A
, yS = A
2
2
2
příklady: A = [-5 ;4], B = [3 ;-7] → d(AB) = (3 + 5) 2 + (−7 − 4) 2 = 64 + 121 = 185
−5+3
4−7 −3
= −1 , yS =
=
= −1,5 → S = [-1 ;-1,5]
xS =
2
2
2
další příklady v literatuře a na konzultacích
- 15 -
Přímky v rovině
(1)
(2)
(3)
(4)
str. 141 – 166
str. 157 – 173
str. 81 – 83
str. 50 – 73
kap. 11
kap. 33
kap. 8.3
kap. 1.13 – 1.18 (část č. 5)
Přímku v rovině lze určit:
Dvěma různými body
Jedním bodem a tzv. směrovým vektorem
Jedním bodem a tzv. směrnicí
Pomocí směrnice a úseku, který přímka vytíná na ose y
r
Parametrická rovnice přímky: X = A + t. u , kde A = [xA; yA] je daný bod přímky,
r
u je směrový vektor přímky, t ∈ R je parametr, X = [x; y]
je „běžný“, tj. libovolný bod přímky.
Směrový vektor přímky je vektor, který je s danou přímkou rovnoběžný, za t můžeme
dosazovat libovolná reálná čísla a budeme tak získávat různé body přímky ( pro t = 0 je
X=A)
Obecná rovnice přímky: ax + by + c = 0, kde a, b, c jsou libovolná reálná čísla. Čísla
r
r
a, b jsou po řadě souřadnicemi tzv. normálového vektoru n , platí tedy n = ( a; b). Normálový
vektor je vektor kolmý ke směrovému vektoru dané přímky. Platí tedy, že souřadnice tohoto
směrového vektoru jsou pak ( -b; a ) nebo také ( b; -a ).
r
r
Je tedy u = ( -b; a ) , n = ( a; b)
Úsekový tvar rovnice přímky: y = k.x + q , kde q je úsek na ose y, k je tzv. směrnice přímky
Směrnicový tvar rovnice přímky: y = k.(x-xA) + yA , A = [xA;yA] je známý bod přímky,
směrnice přímky je definována jako tangens úhlu α , který svírá daná přímka s kladnou
y − ya
poloosou x , α ∈ < 0º; 180º ), směrnice se také počítá ze vztahů k = B
, kde A, B jsou
xB − x A
b
dva různé dané body přímky nebo k = - .
a
Příklady:
r
1)
Zapište parametrickou rovnici přímky, je.li dán bod A = [-5; 4], u = (2; -3)
x = -5 + 2t
y = 4 – 3t
2)
3)
Zapište parametrickou rovnici přímky, jsou-li dány dva body A = [-3; 5],
B = [6; -2]
r
u = ( 6 + 3; -2 -5 ) = ( 9; -7 ), x = -3 + 9t nebo x = 6 + 9t
y = 5 – 7t
y = -2 – 7t
Zapište obecnou rovnici přímky z předchozího příkladu
r
určíme nejprve normálový vektor n = ( 7; 9 ) a pak použijeme např. bod A →
7x + 9y + c = 0 → 7.(-3) + 9.5 + c = 0 → -21 + 45 + c = 0 → c = -24 →
7x + 9y – 24 = 0 . Existuje i jiný způsob, jak napsat obecnou rovnici pomocí
parametrické → x = -3 + 9t /.7 → 7x = -21 + 63t → 7x + 9y = 24 →
y = 5 – 7t /. 9
9y = 45 – 63t
→ 7x + 9y – 24 = 0
- 16 4)
Převeďte obecnou rovnici přímky 3x – 4y + 5 = 0 na parametrickou rovnici
r
r
→ n = (3; -4) → u = (4; 3) a volíme bod – souřadnice např. x = 1, dosazením
do obecné rovnice 3.1 – 4y + 5 = 0 vypočítáme y = 2 ( -4y = -3 – 5 ) a tím
získáme jeden bod přímky. Pak je parametrická rovnice x = 1 + 4t
y = 2 + 3t
Vzájemná poloha bodu a přímky v rovině:
Bod na přímce buď leží, pak jeho souřadnice splňují danou rovnici, nebo na ní neleží a pak
lze spočítat jeho vzdálenost od dané přímky
ax M + by M + c
d (M, p) =
, kde M = [xM;yM] je daný bod a přímka p je dána
a2 + b2
obecnou rovnicí, do níž jsou dosazeny souřadnice bodu M, ve jmenovateli je velikost
normálového vektoru přímky.
Příklad: Určete vzdálenost bodu M = [2; 3] od přímky p, která prochází bodem A = [0; 1]
r
a má směrový vektor u = (1 ; -1)
r
n = ( 1; 1) → x + y + c = 0 → 0 + 1 + c = 0 → c = -1 → x + y – 1 = 0 →
2 + 3 −1
4
4. 2
d (M, p) =
=
=
= 2. 2
2
2
2
2
1 +1
Vzájemná poloha dvou přímek v rovině:
Počítá se metodou řešení soustavy dvou lineárních rovnic. Má-li soustava nekonečně mnoho
řešení, přímky jsou totožné. Nemá-li soustava žádné reálné řešení, jedná se o rovnoběžky.
Má-li soustava právě jedno řešení, jedná se o různoběžky. Průsečík Q = [x; y] má souřadnice
dané právě tímto řešením. Při výpočtu použijeme obecných rovnic přímek. Různoběžky
svírají ostrý úhel α. Odchylka přímek se počítá jako odchylka jejich směrových vektorů (nebo
normálových vektorů).
Zvláštním případem různoběžnosti jsou kolmé přímky.
Rovnoběžné a kolmé přímky jsou v geometrii velmi důležité.
Přímka p je rovnoběžná s přímkou q, tj. p║q , právě když se rovnají jejich směrové vektory,
tím se také rovnají jejich normálové vektory a také jejich směrnice.
Přímka p je kolmá k přímce q, tj. p ┴ q , právě když směrový vektor jedné přímky je
současně normálovým vektorem druhé přímky, pro jejich směrnice platí, že kp.kq = -1.
Příklady:
1)
2)
3)
Přímka p je dána parametrickou rovnicí x = 1 – 3t . Najděte parametrickou
rovnici přímky q
y = -4 + 2t
rovnoběžné s danou přímkou, která prochází bodem A = [3; 5].
q : x = 3 – 3t
y = 5 + 2t
Přímka p je dána obecnou rovnicí 6x – 5y + 1 = 0 . Najděte obecnou rovnici
přímky q rovnoběžné s danou přímkou, která prochází bodem A = [-2; -4]
q : 6x – 5y + c = 0 → 6.(-2) -5.(-4) + c = 0 → c = -8 → 6x – 5y -8 = 0
Přímka p je dána parametrickou rovnicí x = 2 + 3t, y = 4 + 5t. Napište
obecnou rovnici přímky q, která prochází bodem A = [1; 2] a je rovnoběžná
- 17 s přímkou p.
q : buď postupem z př. č.1 a pak převést na obecný tvar rovnice (např.
r
vyloučením parametru t nebo pomocí vektorů: u = ( 3 ; 5 ) →
r
n = ( 5 ; -3 ) → 5x – 3y + c = 0 → 5.1 – 3.2 + c = 0 → c = 1 →
→ 5x -3y + 1 = 0
4)
Přímka p je dána obecnou rovnicí 4x – 5y + 3 = 0. Napište parametrickou rovnici
rovnoběžné přímky q, která prochází bodem A = [-5; 2]
r
r
q : např. n = ( 4 ; -5 ) → u = ( 5 ; 4 ) → x = -5 + 5t , y = 2 + 4t
5)
Přímka p je dána parametrickou rovnicí x = 3 – 2t , y = 4 + 3t. Napište
parametrickou rovnici přímky q, která je kolmá k dané přímce p a prochází
bodem M = [1; -4].
q : směrový vektor ( -2 ; 3 ) přímky p je normálovým vektorem hledané
přímky, tj. směrový vektor přímky q je vektor ( 3; 2 ), takže
x = 1 + 3t , y = -4 + 2t.
Obecnou rovnici přímky q bychom dostali např. -2x + 3y + c = 0
→ -2.1 + 3.(-4) + c = 0 → c = 14 → -2x + 3y + 14 = 0 →
→ 2x – 3y – 14 = 0
Přímka p je dána rovnicí 3x - 4y + 5 = 0. Nalezněte obecnou i parametrickou
rovnici kolmice q k této přímce, která prochází bodem M = [-5; 1].
r
r
q : n = ( 3 ; -4 ) → u = ( 4 ; 3 ) → 4x + 3y + c = 0 → 4.(-5) + 3.1 + c = 0
→ c = 17 → 4x + 3y + 17 = 0 → x = -5 + 3t , y = 1 – 4t
6)
7)
Vypočítejte souřadnice průsečíku Q přímek p: 2x – 3y + 7 = 0 a q: x = 4 + 3t
y = -3 - 2t
je třeba, aby obě rovnice byly obecné, tj. x = 4 + 3t /.2
y = -3 – 2t /.3
2x = 8 + 6t
3y = -9 – 6t
2x + 3y = -1 → 2x + 3y + 1 = 0
→ 2x – 3y + 7 = 0 → 4x + 8 = 0 → 4x = - 8 → x = -2 a dosazením y = 1
2x + 3y + 1 = 0
takže Q = [-2; 1]
8)
Vypočítejte odchylku dvou přímek p: x = 3 – 4t a přímky q: 2x – 3y – 17 = 0
y = 1 + 5t
r r
u p .u q
− 4 . 3 + 5 .2
r
r
u p = (− 4,5 ), u q = (3,2 ) → cos α = r r =
=
u p .uq
16 + 25 . 9 + 4
další příklady v doporučené literatuře a na konzultacích
2
41 .13
= 0,0866 → α = 45 o
- 18 -
Opakování a shrnutí
Studenti, kteří nebudou maturovat z matematiky, musí tradičně ve 2. pololetí absolvovat
písemný test a poté se dostaví osobně k zápisu známky, resp. k ústnímu zkoušení z látky
2. pololetí.
Příklady v testu budou z vektorového počtu, rovnic přímek, vzájemné polohy bodu a přímky a
vzájemné polohy přímek v rovině.
Příklady k přípravě na test z matematiky:
•
•
V rovině jsou dány dva body A = [4; -5] , B = [6; -3] . Určete směrový vektor přímky,
která prochází těmito body, normálový vektor, směrnici, parametrickou rovnici,
obecnou rovnici, úsekový tvar rovnice přímky.
Přímka je dána rovnicí y = 4.(x – 5) + 2 . Určete směrový vektor přímky, směrnici,
normálový vektor, parametrickou rovnici, obecnou rovnici. Zapište také souřadnice
alespoň tří různých bodů, které na přímce leží.
Je dána přímka rovnicí 4x – 3y + 7 = 0 a bod M = [-3; -5] . Zjistěte, jaká je
vzdálenost tohoto bodu od dané přímky .
r
V rovině jsou dány body A = [-4; 5] , B = [6; -2] . Určete vektor u daný těmito body,
r
r
jeho velikost, dále vektor v rovnoběžný s vektorem u , souhlasně orientovaný,
r
r
r
poloviční velikosti, dále vektor w , který je dán součtem vektorů u a v , skalární
součin obou vektorů atd.
r r r
r r r rr
r
r
Jsou dány vektory v = (7 ; -3) , u = (-2 ; 4) . Určete u , v ,3u − 2v , u − v , u.v , atd.
•
Určete souřadnice průsečíku a odchylku přímek 2x + 3y – 6 = 0 , 4x – 3y + 1 = 0.
•
•
•
další příklady v doporučené literatuře, na konzultacích, doporučuji také různé internetové
stránky (např. Matematika po lopatě atd.)
STUDENTI, KTEŘÍ SE ROZHODNOU MATUROVAT Z MATEMATIKY, BUDOU PSÁT
STEJNÝ PÍSEMNÝ TEST JAKO OSTATNÍ, ALE JEJICH ÚSTNÍ ČÁST ZKOUŠKY BUDE
NAVÍC OBSAHOVAT ŘEŠENÍ PŘÍKLADŮ VYBRANÝCH Z TEMATICKÝCH OKRUHŮ
URČENÝCH K OPAKOVÁNÍ K MATURITĚ
- 19 -