+ E - UP

Inovace a zvýšení atraktivity studia optiky
reg. č.: CZ.1.07/2.2.00/07.0289
OPTIKA
(část I)
Zdeněk Bouchal
Učební pomůcka pro studenty oborů
Matematika-Fyzika, Fyzika-Výpočetní technika,
Fyzika-Chemie, Optika a optoelektronika,
Biofyzika, Aplikovaná fyzika
2. ročník (4 h př./ 2 h cv. týdně)
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem
České republiky.
Přehled přednášek
Př. 1: Historický vývoj optiky, podstata, vznik a rozdělení optického záření, světelné zdroje a detektory,
optické vlastnosti oka, vnímání a skládání barev.
Př. 2: Šíření EM záření ve vakuu, rovinná, sférická a paraboloidní vlna, intenzita světla, optická
prostředí, index lomu.
Př. 3: Spektrální rozklad světla, fázová a grupová rychlost. Mikroskopická teorie absorpce
a disperze, rozptyl světla.
Př. 4: Popis polarizačních stavů světla, průchod EM vlny rozhraním dielektrik.
Př. 5: Průchod světla anizotropním prostředím, popis a realizace polarizačních optických prvků.
Př. 6: Interference a koherence světla, dvousvazková interference a její využití.
Př. 7: Mnohosvazková interference, reflexní a antireflexní vrstvy.
Př. 8: Ohyb světla, klasifikace a popis ohybových jevů. Ohyb světla na kruhové a obdélníkové
cloně, ohyb světla na periodické struktuře (mřížce).
Př. 9: Základní principy holografie. Vliv ohybu světla na rozlišovací mez optických přístrojů.
Princip činnosti a použití disperzních optických přístrojů.
Př. 10: Principy paprskové optiky, šíření paprsků nehomogenním prostředím, použití gradientních
optických prvků, Fermatův princip a jeho využití.
Př. 11: Princip paraxiálního zobrazování, princip činnosti a použití základních optických prvků a systémů.
Př. 12: Moderní optika: princip činnosti a použití laseru, základní jevy nelineární optiky, principy a použití
elektrooptiky.
Př. 13: Demonstrace optického SW a exkurze do laboratoře.
Literatura :
[1] J. Pospíšil: Základy optiky I. Část A a B, UP Olomouc 1983, skriptum.
[2] J. Pospíšil: Základy vlnové optiky, část A a B, UP Olomouc 1990, skriptum.
[3] J. Kuběna: Úvod do optiky, MU Brno 1994, skriptum.
[4] P. Malý, Optika, Karolinum 2008.
[5] B.E.A. Saleh, M.C. Teich, Základy fotoniky (1.a 2. díl), Matfyzpress, UK Praha 1995.
[6] A. Štrba, Všeobecná fyzika 3-Optika, Alfa Bratislava a SNTL Praha 1979.
[7] J. Fuka, B. Havelka: Optika, SPN 1961, přístupné na: http://www.opto.cz/knihy/
[8] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker: Fyzika (4. díl), VUTIUM 2000.
[9] R. Feynman: Feynmanovy přednášky z fyziky s řešenými příklady (3. díl), FRAGMENT 2000.
Přednáška 1
Úvodní informace
OPTIKA
vědní obor, který se zabývá vznikem, šířením a detekcí světla
a jeho interakcí s optickými (převážně dielektrickými) prostředími.
M. Planck:
Světlo je proud
částic (fotonů).
Světlo
A. Einstein, L. de Broglie:
Světlo je současně částice
i vlna – vlnově částicový
dualismus.
J. C. Maxwell:
Světlo je EM
vlnění.
Přednáška 1
Historie optiky
Starověk (3. stol. př. n. l.):
Počátky optiky – zrcadla z mědi a bronzu.
První teorie o původu světla a vidění
(řečtí filozofové-Pythagoras, Démokritos,Platón)
Studium lomu světla
(Eukleidos, Ptolemaios)
17. stol.:
Objev zákona lomu (W. Snell)
Princip nejkratší dráhy světla (Pierre de Fermat)
První pozorování ohybu (F. M. Grimaldi)
Počátky vlnové teorie světla (Ch. Huygens)
Raný středověk (1000 n. l.):
Přesun vzdělanosti do arabského světa.
Alhazen – Opticae thesaurus (Poklad optiky).
Správné objasnění vidění, základy optiky
18. stol.:
Střetávání vlnové a korpuskulární teorie
Experimenty s rozkladem světla (I. Newton)
Rozvoj paprskové a přístrojové optiky
19. stol.:
20. stol.:
Experimenty s interferencí světla (T. Young)
Rozvinutí vlnové teorie (J. Fraunhofer, A. Fresnel)
Objevení souvislosti mezi elektromagnetismem
a světlem (M. Faraday)
Rovnice elektromagnetického pole (J.C. Maxwell)
Počátky a rozvoj kvantové teorie světla
(M. Planck, A. Einstein)
Objevuje se pojem „foton“ (Gilbert Lewis, 1926)
Dualismus vln a částic (L. de Broglie)
Sestrojení LASERU (Theodore Maiman, 1960)
Rozdělení optiky
Přednáška 1
Vlnová (skalární) optika
Paprsková (geometrická)
optika
Nejjednodušší popis vlnových
jevů bez přihlédnutí
k vektorovému charakteru EM záření.
Využití pro studium
interferenčních a ohybových jevů.
Nejjednodušší popis – paprsky
reprezentují tok EM energie.
Využití v technické optice
(návrhy optických systémů)
Rozdělení podle
metod studia
optických jevů
Elektromagnetická optika
Vektorový elektromagnetický
popis optického záření.
Využití při studiu polarizačních jevů.
Fotonová (kvantová) optika
Nejobecnější popis optického záření.
Využití při studiu jevů souvisejících
s generací a detekcí optického záření.
Přednáška 1
Specializované oblasti optiky
Fourierovská optika
Difraktivní optika
Holografie
Optické zpracování
informace
Integrovaná optika
Rozdělení optiky
podle oborů
Fyziologická optika
Spektroskopie
Nelineární optika
Elektrooptika a
akustooptika
Optoelektronika
Přednáška 1
Elektromagnetická podstata světla
M. Faraday
J. C. Maxwell
Světlo je elektromagnetické vlnění.
Vlněním se rozumí rychlé, periodické prostorové
a časové změny elektrického a magnetického pole.
Časová změna magnetického pole vyvolává prostorovou
změnu elektrického pole a naopak.
Přednáška 1
Elektrické pole
Elektrická intenzita je síla, kterou elektrické pole vytvořené nabitým tělesem
působí na kladný jednotkový zkušební náboj. Elektrická intenzita závisí na poloze
zkušebního náboje určené polohovým vektorem r.
E(r) = F/q
[V/m]
y
+
+
Zkušební elektrický
náboj q
+
r
+++++
+++++
Elektricky nabité
těleso
x
Přednáška 1
Magnetické pole
Magnetická indukce je úměrná síle,
kterou magnetické pole působí na pohyblivý náboj:
B = (F x v) / qv2
[Tesla]
magnetická
indukce B
elektrický
náboj q
+
rychlost v
síla F
Přednáška 1
Elektromagnetické pole
E(r,t)
Časová změna magnetického pole
způsobuje prostorové změny
elektrického pole.
X
Časová změna elektrického pole
vede k prostorovým
změnám magnetického pole.
B(r,t)
Matematické vyjádření vztahů mezi vektrory elektrického a magnetického pole:
Maxwellovy rovnice
Ñ x E = - ¶B/¶t , Ñ x H = j + ¶D/¶t ,
Ñ·D=r,
Ñ · B = 0.
E … el. intenzita, H … mag. intenzita, D … el. indukce, B … mag. indukce,
j … proudová hustota, r …obj. hustota el. náboje
Řešitelnost Maxwellových rovnic
MR
soustava 8 parciálních
diferenciálních rovnic
pro 12 proměnných
Přednáška 1
MR+materiálové vztahy D=D(E), B=B(H)
soustava 14 rovnic
pro 12 proměnných
soustava je přeurčená
soustava je neúplná
Maxwellovy rovnice
MR+materiálové vztahy+počáteční podmínky
¶/¶t (Ñ · D - r) = 0 , ¶/¶t (Ñ · B) = 0
soustava 12 rovnic pro 12 proměnných
soustava je řešitelná
Přednáška 1
Důsledky Maxwellových rovnic
Zákon zachování náboje
Ñ · j + ¶ r /¶ t = 0
Zákon zachování energie
Ñ · S + ¶ w /¶ t + E · j = 0
S … hustota toku elmag. energie (Poyntingův vektor)
S=ExH
w … objemová hustota elmag. energie
w = ½(E · D+H · B)
Přednáška 1
Vznik elektromagnetického záření
Vznik světla
Změny stavů
elektronových struktur
(přechody mezi energetickými hladinami)
Mechanismy vzniku
elektromagnetického
záření
Anihilace elementárních částic
(elektron-pozitronová anihilace)
Vznik g záření
Makroskopický zrychlený
pohyb (kmity)
elektricky nabitých částic
Přednáška 1
Vznik EM záření přechodem elektronů mezi energetickými hladinami
Elektron
přechází na nižší
energetickou hladinu
Elektron je
excitován na vyšší
energetickou hladinu
Absorpce
fotonu Existují tři způsoby excitace elektronu:
• Srážka s jiným atomem nebo elektronem
• Tepelná excitace
• Absorpce fotonu s potřebnou energií
Podle Schrodingerova kvantově mechanického modelu se atomy mohou nacházet pouze
v určitých stacionárních stavech s danou energií. Těmto stavům odpovídá určité, časově
neproměnné, rozložení hustoty pravděpodobnosti výskytu elektronů v elektronovém obalu.
Stacionární stavy jsou dány vlnovou funkcí y, hustotu pravděpodobnosti výskytu elektronů
udává čtverec její absolutní hodnoty | y |2.
Na n-té energetické hladině existuje v uzavřené smyčce n hřebenů vln. Zvýšení počtu vln
vyžaduje dodání energie. Při dodání energie nemusí ale vždy dojít k přechodu na vyšší
energetickou hladinu. Dodaná energie, která odpovídá n=3.25, nezpůsobí přechod
elektronu, protože vytvořené vlny se nenaváží ve fázi. Je zřejmé, že jsou dovoleny jen
celočíselné počty vln – to souvisí s kvantovanými hodnotami energie elektronu ve stacionárních
stavech.
Emise
fotonu
Přednáška 1
Vznik EM záření zrychleným pohybem elektricky nabitých částic
Intenzita elektrického pole E vytvořeného pohybujícím se elektrickým nábojem,
je určena součtem tří členů:
E = EC(1/r2) + ER(1/r2,v/c) + EV(1/r,a)
Elektrostatický
příspěvek
Relativistický
příspěvek
Zářivé
pole
Velikost prvních dvou členů je úměrná faktoru 1/r2 a klesá se vzdáleností od
náboje r mnohem rychleji než třetí člen – ve velké vzdálenosti od náboje je třetí člen
dominantní.
První člen je Coulombovský a odpovídá elektrostatickému příspěvku.
Druhý člen je relativistický, protože souvisí s rychlostí v jakou se náboj pohybuje
vzhledem ke zkušebnímu náboji a jeho velikost závisí i na faktoru v/c, kde c je
rychlost světla.
Velikost třetího členu je úměrná zrychlení náboje a. Tento třetí člen je odpovědný za
vznik elektromagnetického vlnění.
Elektromagnetické vlnění vzniká při zrychleném pohybu
elektrického náboje.
Přednáška 1
Zákon generace EM záření
Elektromagnetické záření, které vzniká při zrychleném pohybu elektrického náboje,
popisuje zákon formulovaný R. Feynmanem (1960):
E(r,t) = - K (q/|r|) ak(t-|r|/c)
P
aK
r
a
+
E(r,t)
Rovnice je vektorová a říká, že elektrická
intenzita elektromagnetické vlny E vytvořené
zrychleným pohybem náboje q je úměrná
vektoru zrychlení (konstanta úměrnosti je K).
Pro elektrickou intenzitu E v bodě P, jehož
poloha vzhledem k náboji q je určena
polohovým vektorem r, je rozhodující složka
zrychlení aK kolmá k polohovému vektoru.
Okamžitá hodnota elektrické intenzity v bodě P
a v čase t je určena zrychlením náboje v
předchozím čase (t-|r|/c). Zpoždění |r|/c
odpovvídá času, který elektrické pole potřebuje
aby se od náboje dostalo do bodu P.
Mechanismy zrychleného pohybu elektrického náboje
Přednáška 1
Lineárně urychlený náboj
Příklad: Televizní obrazovka
Elektrony emitované katodou jsou urychlovány
anodovým napětím a na konci své trajektorie prudce
zpomaleny nárazem na luminofor obrazovky.
Při zpomalení elektronů vzniká brzdné rentgenové
záření (l=0.01-10 nm), které v luminoforu
vyvolává luminiscenci doprovázenou vznikem
viditelného záření.
Dostředivě zrychlený náboj
Příklad: Synchrotron (prstencový urychlovač, 1970)
Silné magnetické pole zakřivuje dráhu elektronů tak,
že se pohybují s dostředivým zrychlením a vysílají
elektromagnetické zaření vysoké intenzity.
Zrychlený pohyb
elektrického náboje
Zrychlení náboje na dipólu
Příklad: Vysokofrekvenční generátor s vysílacím dipólem
Na svorkách VF generátoru se mění elektrické napětí s frekvencí n.
Na koncích dvouvodičového vedení se bude střídavě objevovat
přebytek a nedostatek elektronů stejně jako na svorkách generátoru.
Stejný elektrický stav jako je na konci se bude objevovat i na vedení
v místech vzdálených od konce vedení o násobky l=c/n.
Vyhnuté konce vedení tvoří dipól podél kterého vykonává elektrický
náboj zrychlený (harmonický) pohyb a vysílá elektromagnetické
vlnění. Vyzařovací charakteristika má tvar toroidu s nulovým vnitřním
poloměrem.
VF
generátor
-
+
-
+
+
l
+
-
-
l/2
+
Vyzařovací diagram dipólu
j
E(j)
E=EMAX
E=0
Kmitající
náboj
Přednáška 1
Spektrum elektromagnetických vln
EM vlny mají stejnou podstatu – jejich obecné vlastnosti plynou z Maxwellovy teorie.
EM vlny mohou být pozorovány ve velmi širokém intervalu vlnových délek a frekvencí.
Každá spektrální oblast EM vln má určité specifické projevy a účinky.
Optika se zabývá elektromagnetickým zářením,
které zahrnuje ultrafialovou, viditelnou a infračervenou spektrální oblast.
Souhrnně se tyto spektrální oblasti nazývají optické záření.
Ultrafialové
záření (UV)
(10-380) nm
Objeveno Johannem
Wilhelmem Ritterem
(1776-1810)
Viditelné
záření (světlo)
(380-760) nm
Infračervené
záření (IR)
760 nm -1mm
Poprvé detekováno
Williamem
Herschelem
(1738-1822)
Přednáška 1
Ultrafialové záření (UV)
Zdroj: Tělesa zahřátá na vysokou teplotu (přirozeným zdrojem je Slunce),
horské slunko, elektrický oblouk nebo speciální výbojky.
Rozdělení podle
biologických účinků
UVA
neškodné
UVB
v malém množství
neškodné,
produkce D vitamínu
UVC
zhoubné pro živé
organismy
(rakovina)
Využití:
• Ničení choroboplodných zárodků, desinfekce, sterilizace předmětů.
• Při dopadu na určité látky (luminofory – např. ZnS, CdS s přímesí Ag) se UV
záření mění na viditelné – vyvolává luminiscenci (ochranné prvky na bankovkách).
Luminiscence
fluorescence – po odstranění zdroje, který látku ozařuje
luminiscence vymizí
fosforescence – po odstranění zdroje, který látku ozařuje
luminiscence přetrvává
Přednáška 1
Infračervené záření (IR)
Zdroj:
Záření vzdálené IR oblasti je generováno žhavými tělesy (molekulárními oscilátory).
Každý materiál vysílá a absorbuje IR záření pomocí tepelných pohybů molekul.
Přibližně polovina EM energie záření vysílaného Sluncem odpovídá IR záření, žárovka vydává
mnohem více IR záření než světla, lidské tělo vyzařuje nejintenzivněji na vlnové délce okolo
10 mm.
Využití:
• Infradalekohledy, kamery pro noční vidění.
• Dálkové ovladače – přenos informace na krátkou vzdálenost (neruší signál).
• IR spektroskopie – umožňuje studium složení látek (obvykle organických sloučenin) na základě
měření průniku IR záření vzorkem (různé molekulární vazby pohlcují záření různých
vlnových délek).
• Pro transformaci IR záření se používají germaniové čočky.
Skleníkový efekt:
Zemský povrch absorbuje IR a viditelné záření ze Slunce a vyzařuje mnoho energie jako IR
záření přes atmosféru zpět do vesmíru. Některé plyny v atmosféře absorbují IR záření
a vyzařují ho zpět ve všech směrech, tedy i směrem k Zemi. Zemský povrch je tak udržován
mnohem teplejší, než kdyby plyny pohlcující IR v atmosféře nebyly.
Přednáška 1
Zdroje viditelného záření (světla)
Rozdělení světelných zdrojů
Podle původu:
přirozené
(např. Slunce)
umělé
(např. žárovka)
Podle spektrálních vlastností:
monochromatické
s čárovým
spektrem
se spojitým
spektrem
Podle časového průběhu:
kontinuální
pulzní
Podle koherenčních vlastností:
koherentní
nekoherentní
Přednáška 1
Sluneční světlo
Intenzita slunečního záření před vstupem do atmosféry je (1300-1400) W/m2.
Spektrum slunečního záření před vstupem do atmosféry odpovídá spektru
černého tělesa o teplotě ~ 5800 K.
Sluneční záření dopadající na zemský povrch je ovlivněno průchodem atmosférou –
jde o přímé a nepřímé světlo (rozptýlené atmosférou) = denní světlo
Osvětlení zemského povrchu denním světlem
110 000 lx (lux)
(10 000 - 25 000) lx
200 lx
500 lx
0.25 lx
jasný slunečný den
typický zatažený den
(poledne)
extrémně oblačno -bouřkové
mraky (poledne)
požadované vnitřní osvětlení
(školy)
měsíční svit (úplněk, jasná
noc)
Přednáška 1
Nekoherentní světelné zdroje
Výbojka
Žárovka
(objev Heinrich Goebel 1854,
technické zdokonalení Thomas
Alva Edison, 1879)
přeměňuje elektrickou energii
na světlo – wolframové
vlákno rozehřáté el. proudem
září ve viditelné a IR oblasti.
Žárovka je zdrojem světla se spojitým spektrem.
Aby se zamezilo odpařování vlákna, plní se žárovky
inertním plynem (argon, dusík) s tlakem nižším než
je tlak atmosférický.
Halogenová žárovka – je naplněna parami halogenů
(jod, brom), které umožňují cyklus ve kterém se
atomy odpařeného wolframu vracejí zpátky na
vlákno.
(1) Skleněná baňka, (2) náplň (nízkotlaký inertní plyn),
(3) wolframové vlákno, (4, 5) kontaktní vlákna,
(6) podpůná vlákna, (7) držák, (8) kontaktní vlákno,
(9) závit pro objímku, (10) izolace,
(11) elektrický kontakt.
Skleněná
baňka
Křemenná
trubice
UV záření
Wolframová
elektroda
Elektrický
výboj
Světlo
Wolframová
elektroda
Atomy rtuti
Ve výbojce dochází k elektrickému výboji v plynu
uzavřeném ve výbojové trubici, který excituje atomy
plynu. Při relaxaci atomy vyzařují světlo, které má čárové
spektrum odpovídající energetickým hladinám atomů.
Výbojky se dělí na vysokotlaké a nízkotlaké (zářivky). U
zářivek při výboji vzniká UV záření, které dopadá na
stěny baňky pokryté luminoforem. Ten absorbuje UV
záření a následně vyzařuje viditelné záření.
Přednáška 1
Zdroj koherentního světla - LASER
LASER – Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation
Klasické zdroje:
Spontánní emise
Nekoherentní světlo
Čerpání
X
Laserový
svazek
LASER:
Stimulovaná emise
Koherentní světlo
Pevnolátkový laser firmy
SPECTRA PHYSICS (532 nm, 6 W)
Aktivní prostředí
Odrazné
zrcadlo
Rezonátor
Polopropustné
zrcadlo
Fyzikální princip LASERu bude objasněn v přednášce o Moderní optice
Přednosti laserového záření:
- Monochromatičnost, - Koherence, - Dobrá směrovost
Přednáška 1
Detekce světla
Kvantové detektory
Tepelné detektory
Využívají se kvantové přechody
vyvolané detekovaným zářením
(fotografický film, fotonka – vnější
fotoefekt, polovodičová fotodioda –
vnitřní fotoefekt, maticový nábojově
vázaný detektor CCD)
Zaznamenává se změna teploty
vyvolaná absorpcí dopadajícího
záření (termočlánek, termistor,
pyroelektrický detektor)
Detektory
Lidské oko
Základem zrakového vjemu je detekce
dopadajícího světla a následné vyhodnocení
v mozku.
Přednáška 1
Schéma lidského oka
Průměr rohovky:
12 mm
Průměr duhovky:
(2-8) mm
Průměr oka:
~2 cm
Index lomu čočky:
1.4
Maximální celková
optická mohutnost:
66.6 D
Fotocitlivé buňky:
-tyčinky (130 mil.)
vidění za šera
-čípky (7 mil.)
barevné vidění
Přednáška 1
Schopnosti lidského oka
Adaptace oka na tmu
Oko dokáže pracovat v rozsahu osvětlení 9 řádů (1 řád souvisí se změnou průměru duhovky, 8 řádů s přizpůsobením
světlocitlivých prvků). Oko se musí změnám podmínek osvětlení přizpůsobovat – oko se adaptuje na světlo a tmu.
Přechod ze tmy do světla – adaptace v desetinách sekundy
Přechod ze světla do tmy – adaptace prvotní 2 až 10 minut
– adaptace sekundární 10 minut až 1 hodina
Citlivost oka na světlo různých vlnových délek (barev)
Fotopické vidění – při jasech větších než 10 cd/m2 vidíme barevně pomocí čípků
Skotopické vidění – při jasech menších než 10-3 cd/m2 zůstávají v činnosti jen tyčinky – nevnímáme barvy
Mesopické vidění – v závislosti na osvětlení se uplatňují tyčinky i čípky
Citlivost oka závisí na úrovni osvětlení. Při vyšší úrovni osvětlení je oko nejvíce citlivé na světlo vlnové délky 555 nm,
s klesající úrovní osvětlení se maximum citlivosti posouvá ke kratším vlnovým délkám (505 nm). Posun maxima
citlivosti oka se nazývá Purkyňův jev.
Akomodace oka
Oční čočka pomocí svalů může měnit svůj tvar a tím
i ohniskovou vzdálenost (akomodační schopnost).
Tím je umožněno ostré zobrazení předmětů z různých
vzdáleností na sítnici.
Vzdálený bod – nejvzdálenější bod, který oko ostře
zobrazí na sítnici.
Blízký bod – nejbližší ostře zobrazený bod
(mění se s věkem: dítě 10 cm, dospělý 20-40 cm,
starší lidé až 2m).
Přednáška 1
Vady lidského oka
Krátkozrakost
(myopia)
Dalekozrakost
(hyperopia)
Přednáška 1
Spektrální barvy
Bílé (sluneční) světlo je složeno ze spektrálních složek o různých frekvencích, kterým odpovídají spektrální barvy.
Bílé světlo lze do spektra rozložit hranolem nebo mřížkou.
Rozklad bílého světla hranolem
Barevné předměty
Předmět, který je osvětlený bílým světlem a má tu vlastnost, že odráží červenou složku spektra
se jeví jako červený.
Určení spektra
Libovolný zdroj světla lze analyzovat pomocí spektrometru, který umožňuje určit jeho spektrální
složení, tj. „množství“ světla jednotlivých frekvenčních složek.
Přednáška 1
Vnímání barev
Člověk neregistruje spektrální barvu (nefunguje jako spektrální přístroj) – vidění začíná jako fyzikální
proces ale to co nazýváme barvou vzniká jako vjem v našem mozku – barevný vjem je subjektivní jev.
Barevný vjem je silně ovlivněn fyziologickými a psychologickými vlivy a určují ho tři faktory: barevný tón,
sytost a jas.
Barevný tón – odstín, je určen poměrem intenzit jednotlivých složek, podobně jako směr vektoru jeho
složkami v souřadném systému.
Sytost – říká, kolik bílé (jiných barev) je přidáno do dané barvy. Barva je tím sytější, čím méně je bílé
(jiných barev) přimícháno. Nejsytější je monochromatické světlo.
Jas – říká jak se projeví daná barva při převodu na černobílý obraz (stupně šedé) (např. sytá žlutá je
jasnější než sytá červená).
Při zkoumání barevného vjemu nejde o určení toho, jestli dva lidé vidí stejné vjemy za různých okolností,
ale spíš o určení jestli dva vjemy stejné pro jednu osobu budou stejné i pro jinou osobu.
Dvě z pohledu barevného vjemu stejné barvy mohou mít rozdílná spektrální složení – existuje více
spektrálních rozložení, která způsobí stejný vizuální efekt. Např. žlutou barvu můžeme získat jako část
spektra ale i tak, že kombinujeme světlo ze dvou projektorů opatřených červeným a zeleným filtrem.
Pokud stopy světel těchto zdrojů překryjeme, nevznikne vjem červeno-zelené barvy ale barvy žluté.
Změnou proporcí červené a zelené můžeme projít různými odstíny oranžové.
Přednáška 1
Zásady skládání barev
•
•
•
•
•
•
•
Různá spektrální složení mohou vytvářet stejnou barvu.
“Libovolnou” barvu lze vytvořit ze tří primárních.
Neexistují tři primární barvy ze kterých lze získat všechny ostatní barvy jen pomocí
kladných příspěvků – každá sada tří primárních barev vyžaduje pro některé barvy záporné
příspěvky a proto neexistuje způsob, jak definovat primární barvy.
Za primární barvy se volí červená, zelená a modrá – důvodem je to, že z těchto
barev lze získat větší spektrum barev jen pomocí kladných příspěvků než pro některé
jiné kombinace primárních barev.
Máme-li nějaké barevné světlo A, které je pro oko nerozlišitelné od světla B
(může mít jiné spektrální složení, ale jeví se jako nerozlišitelné), chápeme tato světla
jako stejná v tom smyslu, že oko je vnímá jako stejná, A=B.
Jsou-li dvě spektrální složení A a B nerozlišitelná a přidáme-li ke každému z nich světlo C,
nové směsi jsou také navzájem nerozlišitelné, A+C=B+C.
Označíme-li primární barvy jako X, Y a Z, pak každou barvu A lze vytvořit smísením těchto
tří barev v určitých množstvích, A = x X + y Y + z Z. Barva je z tohoto pohledu reprezentována
vektorem, sčítání barev si lze představit jako sčítání vektorů.
Přednáška 1
Diagram barevnosti
Libovolnou barvu A můžeme vyjádřit zápisem A = x X + y Y + z Z, kde X, Y, Z jsou primární
barvy a x, y, z určují jejich množství. Geometricky si lze tuto barvu představit jako vektor
vyjádřený v souřadném systému X, Y, Z pomocí složek x,y,z. Pokud chceme vyjádřit jen barvu
bez ohledu na jas, můžeme složky normovat: xN = x / (x+y+z), yN = y / (x+y+z), zN = z / (x+y+z).
Tímto normováním (vyřazením jasu) se složka zN stává nadbytečnou, protože ji lze vyjádřit
pomocí dvou zbývajících složek, zN = 1-xN-yN. Každou z barev pak lze reprezentovat jen
dvěma souřadnicemi v rovině (tzv. barevné souřadnice).
G
R
B
Uvnitř plochy ohraničené tvarovanou křivkou
leží všechny možné viditelné barvy. Libovolná
barva, která vznikne smísením 2 barev bude
ležet na spojnici odpovídajících bodů.
Bílé světlo má v diagramu souřadnice
xN=yN~0.35 (bod D65).
Vezmeme-li za primární barvy červenou (R),
zelenou (G) a modrou (B), všechny barvy,
které z nich můžeme vytvořit pomocí kladných
koeficientů leží uvnitř trojúhelníka
(obsahuje téměř všechny běžné barvy).
Přednáška 1
Aditivní a subtraktivní skládání barev
Subtraktivní mísení barev (CMY)
Aditivní mísení barev (RGB)
Spočívá v tom, že ke světlu jedné barvy se
přidávají světla dalších barev tak, že výsledné
světlo má bohatší spektrální složení než dílčí
světla. Základem je mísení 3 barev: červená
(Red), zelená (Green) a modrá (Blue).
Při stejné sytosti pro jejich mísení platí:
R+G = žlutá
R+B = purpurová
B+G = azurová
R+G+B = bílá
Spočívá v tom, že se z bílého světla odebírají
některé spektrální složky (např. dáme-li před
zdroj bílého světla modrý a žlutý filtr,
dostaneme zelené světlo).
Základem je kombinace 3 filtrů, jejichž barvy
jsou doplňkové k R, G a B (barevný předmět
pohlcuje světlo doplňkové barvy). Těmito
barvami jsou azurová (Cyan), purpurová
(Magenta) a žlutá (Yellow). Pro filtry
stejné hustoty (sytosti) platí:
C + Y = zelená
M + Y = červená
C + M = modrá
C + M + Y = černá (šedá)
Přednáška 2
Šíření světla ve vakuu
Šíření světla je určeno Maxwellovými rovnicemi. Ve vakuu (j=0, r=0, D=e0E, B=m0H) se prostorové a časové
změny jednotlivých vektorů EM pole řídí vlnovou rovnicí, kterou lze získat přímo z Maxwellových rovnic
(je možné ji zapsat pro kterýkoliv z vektorů pole E,H, D nebo B).
Vlnová rovnice
r r
2
r
r
1 ¶ E (r , t )
2
(
)
Ñ E r,t - 2
= 0,
2
c
¶t
c=1/(e0m0)1/2 je fázová rychlost světla ve vakuu (c=3x108 m/s),
r a t jsou polohový vektor a čas – určují v jakém bodě
prostoru a v jakém čase pole vyšetřujeme.
Řešením vlnové rovnice je vlna = rozruch, který se šíří v prostoru a čase. Prostorové a časové změny jsou
spojeny ve fázi vlny – určuje fázi kmitu vektoru E v daném bodě prostoru a v daném čase.
Vlnoplocha (plocha konstantní fáze) = geometrické místo bodů, v nichž má fáze vlny pro určitý čas konstantní
hodnotu.
vlna rovinná (vlnoplochy jsou roviny)
Významné typy vln
vlna sférická (vlnoplochy jsou kulové plochy)
vlna paraboloidní (paraxiální aproximace sférické vlny,
vlnoplochy jsou paraboloidní)
Přednáška 2
Postupná rovinná vlna
Jednorozměrná vlnová rovnice
r
r
æ
æ¶
1 ¶ ö ¶E 1 ¶E ö
÷ = 0,
çç
÷÷çç
+
c ¶t ÷ø
è ¶z c ¶t øè ¶z
Substituce
Řešení 1D vlnové rovnice
x = z - ct ,
h = z + ct ,
r
r r
E = f1 ( z - ct ) + f 2 ( z + ct )
Řešení 3D vlnové rovnice – postupná rovinná vlna
r r r
r r r
r r
E (r , t ) = f1 (r × s - ct ) + f 2 (r × s + ct )
r
s = (cos a , cos b , cos g ) – jednotkový směrový vektor (parametr vlny)
r
r , t - polohový vektor a čas – určují bod prostoru a čas pro vyhodnocení vlny
r r
r r
r
× s ± ct – fáze postupné rovinné vlny
libovolné
funkce,
f1 , f 2
r r
r r
Rovnice vlnoplochy: r × s ± ct = konst = r0 × s ± ct 0
Geometrická představa – vyjádření roviny u níž se normálová vzdálenost d posouvá rychlostí
c směrem k počáteční poloze d0 (odpovídá znaménku “+” ve fázi vlny) nebo směrem od
počáteční polohy d0 (odpovídá znaménku “-” ve fázi vlny).
x cos a + y cos b + z cos g = d 0 m c(t - t0 )
d
Přednáška 2
Monochromatická postupná rovinná vlna
Vlastnosti:
• rovinné vlnoplochy,
• konstantní amplituda,
• periodické prostorové a časové rozvinutí (lze vyjádřit funkcí kosinus),
• je charakterizovaná jedinou frekvencí (vlnovou délkou).
(
r r
r
r rù r
r r
éw
E (r , t ) = e cos ê (ct ± r × s )ú = e cos wt ± r × k
ëc
û
r wr
k = s – vlnový vektor, w = 2pu –
1
r c
e – konstantní amplituda vlny, T =
u
Časové rozvinutí
kruhová frekvence,
– perioda vlny,
u
– frekvence
l = cT – vlnová délka
vlnoplocha
Prostorové rozvinutí
x
r
k
z
t
T
)
z
l
y
Přednáška 2
Postupná sférická vlna
Předpoklad: elektrická intenzita vlny závisí jen na vzdálenosti od počátku
r
r
1 ¶ æ 2 ¶E ö 1 ¶ 2 E
çr
÷- 2 2 = 0
2
ç
r ¶r è ¶r ÷ø c ¶t
r
r
2
2
¶ E´ 1 ¶ E´
=0
Vlnová rovnice (1D tvar):
¶r 2 c 2 ¶t 2
Vlnová rovnice:
Substituce:
r = (x 2 + y 2 + z 2 )
r
r E´
E=
r
Řešení vlnové rovnice - postupná sférická vlna
[
r
]
r 1 r
r
E = F1 (r - ct ) + F2 (r + ct )
r r
F1 , F2
- libovolné funkce,
Rovnice vlnoplochy:
r ± ct
– fáze postupné sférické vlny
r ± ct = konst = r 0 ± ct0
Geometrická představa – vyjádření sférické plochy jejíž poloměr křivosti se s časem
zmenšuje rychlostí c (konvergentní sférická vlna – odpovídá znaménku “+” ve fázi vlny)
nebo s časem narůstá rychlostí c (divergentní sférická vlna – odpovídá znaménku “-”
ve fázi vlny).
r = r 0 m c(t - t0 )
1/ 2
Přednáška 2
Monochromatická postupná sférická vlna
Vlastnosti:
• sférické vlnoplochy,
• amplituda je nepřímo úměrná poloměru křivosti vlnoplochy,
• periodické prostorové a časové rozvinutí (lze vyjádřit funkcí kosinus),
• je charakterizovaná jedinou frekvencí (vlnovou délkou).
r
r
r r
e
éw
ù e
E (r , t ) = cos ê (ct ± r )ú = cos(wt ± kr )
r
ëc
û r
Divergentní sférická vlna
Konvergentní sférická vlna
r = r 0 - c(t - t0 )
r 0 , t0
r = r 0 + c(t - t0 )
r 0 ,t0
Přednáška 2
Komplexní reprezentace světelných vln
Pro matematické vyjádření světelných vln s periodickým časovým a prostorovým
průběhem je výhodné zavést komplexní reprezentaci, která využívá Eulerova
vzorce: exp (± ix ) = cos x ± i sin x
r
Reálný vektor elektrické intenzity monochromatické
r vlny E pak můžeme
~
zapsat pomocí vektorové komplexní amplitudy E .
Příklad: Monochromatická rovinná vlna
Elektrická intenzita
(
r r
r
r r
E (r , t ) = e cos wt ± r × k
)
Komplexní amplituda
r
r
r r
~ r
E (r , t ) = e exp i wt ± r × k
[(
)]
Přiřazení komplexní amplitudy elektrické intenzitě (´*´ označuje komplexní sdružení)
r
r r
1 é ~r r
~* r ù
E (r , t ) = E (r , t ) + E (r , t )
úû
2 êë
Přednáška 2
Monochromatická paraboloidní vlna
r
r r
~ r
Při popisu obecné monochromatické vlny s komplexní amplitudou E (r , t ) = e (r ) exp (iwt )
nemusíme pracovat s vlnovou rovnicí ale můžeme použít nečasovou Helmholtzovu rovnici:
r
r
Ñ 2e + k 2e = 0
V praxi můžeme často vlnu považovat za paraxiální. V tomto případě má vlna dominantní směr šíření (osa z)
r r r r
a můžeme psát: e (r ) = a (r ) exp(- ikz )
r
Komplexní obálka a je v tomto případě pomalu proměnnou funkcí polohy a splňuje paraxiální Helmholtyovu
r
rovnici:
r
¶a
Ñ 2^ a - i 2k
=0
¶z
Pokud sférickou vlnu sledujeme jen v blízkém okolí dominantního směru šíření určeném například osou z
(sledované normály vlnoplochy svírají s osou z malé úhly), pak můžeme poloměr vlnoplochy vyjádřit
aproximativně pomocí binomického rozvoje: r @ z 1 + x 2 + y 2 / 2 z 2
[ (
Sférickou vlnu
]
Vektorová komplexní amplituda pro:
Paraboloidní vlnu
(paraxiální aproximace sférické vlny)
r
r
e
~ r
E (r , t ) = exp[i(wt ± kr )]
r
)
r
r
é
e
x2 + y2 ù
~ r
E (r , t ) = exp êi (wt ± kz ) ± ik
ú
z
2z û
ë
Šíření rovinné monochromatické EM vlny ve vakuu
Přednáška 2
Při šíření ve vakuu může být rovinná monochromatická EM vlnar jednoznačně
určena pomocí vektorových
v
komplexních amplitud pro elektrickou a magnetickou intenzitu E a H :
r
r
r r
~ r
E (r , t ) = e exp i wt ± r × k ,
[(
)]
Z Maxwellových rovnic plyne:
r
r
r r
~ r
H (r , t ) = h exp i wt ± r × k
[(
)]
r r r
- ortogonalita vektorů E , H a k
r r r
r r
r r
r r
r
r
r
E ×k = 0 Þ E ^ k, H ×k = 0 Þ H ^ k, E ×H = 0 Þ E ^ H
r
E
r =
H
m0
e0
- vztahy mezi amplitudami elektrického
a magnetické pole
Impedance vakua
377 W
Závěry platné pro rovinnou monochromatickou EM vlnu:
- Elektrické pole má výrazně větší amplitudu než magnetické.
r r
r
- Vektory E , H a k tvoří ortogonální triádu.
r r
E
- Vektory , H kmitají ve fázi – nejsou fázově posunuté.
Intenzita světla
Přednáška 2
Z Maxwellových rovnic se dá odvodit zákon zachování energie, který má pro vakuum v diferenciálním vyjádření
následující tvar:
r ¶w
Ñ×S +
= 0,
¶t
kde
r r r
S = E´H
w=
je Poyntingův vektor (hustota toku EM energie)
(
r r
r r
1
e 0 E × E + m0 H × H
2
)
je objemová hustota EM energie
Intenzita obecné světelné vlny je definována jako časová střední hodnota velikosti Poyntingova vektoru
(doba středování Dt):
T
r r
r
1 r r
I (r ) º S (r , t ) = ò S (r , t )dt
T 0
Intenzita rovinné monochromatické vlny:
r 1 e 0 ~r 2 1 e 0 r 2
I (r ) =
E =
e
2 m0
2 m0
Pro rovinnou monochromatickou vlnu lze intenzitu zapsat také pomocí časově středované hustoty EM energie
a fázové rychlosti světla ve vakuu c:
I =c w .
Přednáška 2
Průchod světla vodivým prostředím
Vodivá prostředí:
V prostředí jsou volné elektrické náboje (volné elektrony) – jejich pohyb představuje elektrickýrproud.r Hustota
proudu je úměrná působícímu elektrickému poli (konstantou úměrnosti je vodivost prostředí) j = sE .
Komplexní amplituda monochromatické vlny v homogenním vodivém (nemagnetickém) prostředí musí
r ~ r
splňovat vlnovou rovnici:
~2 w 2 ~2
2~
2~
~
Ñ E + k E = 0,
kde k je komplexní vlnové číslo, k = 2 n
æ
s ö
÷÷
n~ 2 = n 2 çç1 - i
e 0w ø
è
je komplexní index lomu,
~
Zapíšeme-li komplexní vlnové číslo ve tvaru k
vlnu se směrem šíření podél osy z dostaneme:
Komplexní amplituda
Intenzita (Lambertův zákon)
= k R - ik I
c
em
n= =
v e 0 m0
c
, pak pro rovinnou monochromatickou
r
r
~
E ( z, t ) = e exp (- k I z ) exp[i(wt - k R z )]
(
I (z ) = I 0 exp - a z
a = 2k I
)
je koeficient útlumu (absorpční koeficient)
Závěry platné pro rovinnou monochromatickou EM vlnu ve vodivém prostředí:
- Vodivé prostředí je charakterizováno komplexním indexem lomu.
- Amplituda (intenzita) EM vlny je při šíření vodivým prostředím exponenciálně zeslabována.
- Vodivá prostředí mají pro optiku mnohem menší význam než dielektrická – používají se jako
vrstvy pro zvýšení odrazivosti.
Přednáška 2
Průchod světla dielektrickým prostředím
Dielektrická prostředí:
Některá dielektrická prostředí jsou složena z částic (molekuly, atomy), které mají stálé (permanentní) elektrické
dipólové momenty (polární dielektrika). U nepolárních dielektrik el. dipóly vznikají posunutím těžiště kladného
a záporného náboje, které je způsobeno vnějším polem. Molekuly se neustále srážejí v důsledku nahodilého
tepelného pohybu – dipóly jsou neuspořádané. Ve vnějším el. poli se el. dipóly natáčejí do směru pole,
dochází k částečnému uspořádání dipólů (polarizace dielektrika). Tím vzniká vnitřní elektrické pole, které má
opačnou orientaci než vnější elektrické pole. Na makroskopické úrovni polarizaci dielektrika popisujeme
vektorem dielektrické polarizace, který je pro nepříliš silná pole přímo úměrný vektoru elektrické intenzity
vnějšího pole: r
r
P = 0 E , kde e 0 značí permitivitu vakua a c je elektrická susceptibilita.
e c
Účinky elektrického pole v dielektriku charakterizuje vektor elektrické indukce:
r
r r
r
D = e 0 E + P = eE ,
Polární dielektrikum
kde
e = e 0 (1 + c )
Polární dielektrikum
v elektrickém poli
- +
+
je permitivita prostředí
Nepolární dielektrikum
Nepolární dielektrikum
v elektrickém poli
- +
- +
- +
- +
+
-
+
-
+
-
+
-
- +- +- + - +
- +
- +
- +
- +
+
-
+
-
+
-
+
-
- +- +- + - +
- +
- +
- +
- +
+
-
+
-
+
-
+
-
- +- +- + - +
-
+
-
Přednáška 2
Vlastnosti dielektrických prostředí
Základní vlastnosti dielektrika:
• Podle makroskopické (Maxwellovy) teorie je dielektrické prostředí bezztrátové
(intenzita světla se při průchodu nezeslabuje).
• Skutečně pozorovatelné zeslabení světla v dielektriku je možné vysvětlit jen pomocí mikroskopické
teorie.
• V rámci makroskopické teorie mohou být vlastnosti dielektrického prostředí charakterizovány elektrickou
susceptibilitou, permitivitou nebo indexem lomu.
• V optice obvykle pracujeme s nemagnetickými dielektrickými materiály (m=m0). V nemagnetickém
prostředí pro index lomu platí:
n=
e
= 1+ c
e0
• Nejběžněji užívaným dielektrikem je optické sklo, které se používá pro výrobu optických komponent
(například čočky, hranoly, zrcadla nebo optická vlákna).
• Světelná vlna, která z vakua pronikne do dielektrického prostředí s indexem lomu n nemění svoji
frekvenci ale její vlnová délka se n - krát zkrátí.
Vakuum:
Index lomu n0=1
Vlnová délka: l0
Frekvence: n0
l0
l0/n
Dielektrikum:
Index lomu: n
Vlnová délka: l=l0/n
Frekvemce: n=n0
Přednáška 2
Rozdělení dielektrických prostředí
Homogenní izotropní
prostředí
----------------------------------• Jde o idealizované prostředí.
• Permitivita má v každém bodě
prostoru stejnou hodnotu.
• Podmínky pro šíření světla jsou
v každém směru stejné.
• Permitivita je konstantní skalární
veličina.
Nehomogenní izotropní
prostředí
----------------------------------• Permitivita se mění v jednotlivých
bodech prostoru.
• Podmínky pro šíření světla jsou
v každém směru stejné.
• Permitivita je skalární funkce
prostorových souřadnic.
Optické (dielektrické)
prostředí
Homogenní anizotropní
prostředí
----------------------------------• Permitivita má v každém bodě
prostoru stejnou hodnotu.
• Podmínky pro šíření světla jsou
závislé na směru.
• Permitivita je tenzor
s konstantními elementy.
Nehomogenní anizotropní
prostředí
----------------------------------• Permitivita se mění v jednotlivých
bodech prostoru.
• Podmínky pro šíření světla jsou
závislé na směru.
• Permitivita je tenzor
s prostorově proměnnými
elementy.
Přednáška 2
Vlastnosti optických prostředí
Optické vlastnosti dielektrických prostředí je možné dále posuzovat s různých hledisek:
Čirá prostředí
----------------------------------Prostředí neovlivňuje
barvu procházejícího světla.
Barevná prostředí
----------------------------------Prostředí ovlivňuje
barvu procházejícího světla.
Průhledná prostředí
----------------------------------Přes prostředí vidíme
obrysy i detaily.
Průsvitná prostředí
----------------------------------Přes prostředí vidíme
pouze obrysy.
Disperzní prostředí
----------------------------------Parametry n a e se mění s
frekvencí - pro jednotlivé barvy
mají různé hodnoty.
Nedisperzní prostředí
----------------------------------Parametry n a e nezávisí
na frekvenci – nedisperzním
prostředím je vakuum a přibližně
také vzduch.
Přednáška 3
Spektrální rozklad světla
Podmínka použití:
Světlo lze vyšetřovat pomocí fourierovské reprezentace jen tehdy jsou-li relevantní rovnice
lineární a tedy platí princip superpozice.
Princip metody:
Optický signál s daným časovým průběhem můžeme v rámci fourierovské reprezentace chápat
jako signál složený z monochromatických složek s. přesně definovanými frekvencemi, amplitudami
a počátečními fázemi kmitu. Matematicky toto nahrazení vyjadřuje Fourierova transformace:
f (t ) =
+¥
ò F (n )exp(i2pnt )dn
-¥
f(t)
f(t)
t
t
f(t)=1
Časová oblast
cos(2pn0t)
Časová oblast
F(n)
n
F(n)=d(n)
Frekvenční oblast
n0
n0
½[d(n-n0)+d(n+n0)]
Frekvenční oblast
n
Přednáška 3
Fourierovské spektrum obdélníkového pulsu
f(t)
1/t
t/2
-t/2
t
Časová oblast – tvar pulsu
F(n)
n
-1/t
1/t
Frekvenční oblast – spektrum pulsu
Čas a frekvence jsou fourierovsky sdružené veličiny – součin délky pulsu a šířky spektra
je konstantní. Čím je puls kratší, tím je jeho spektrum širší a naopak.
Přednáška 3
Vlnové klubko (vlnový balík)
Přesně monochromatická EM vlna nemůže být realizována, protože by musela být nekonečná v čase.
V praktických případech je nutné připustit určitou šířku spektra, která odpovídá rozsahu kruhových frekvencí
(w-Dw) až (w+Dw). Vlna tvořená monochromatickými komponentami s kruhovými frekvencemi
. vlnové klubko (vlnový balík). Šíření vlnového balíku
spojitě rozloženými v intervalu nenulové šířky se nazývá
charakterizuje nejen fázová rychlost, která odpovídá rychlosti přemísťování fáze vlny, ale je nutné zavést
i grupovou rychlost.
Ilustrace významu grupové rychlosti na vlnovém balíku tvořeném dvěma monochromatickými EM vlnami blízkých
kruhových frekvencí w1=w-Dw a w2=w+Dw, vlnových čísel k1=k-Dk a k2=k+Dk a stejných amplitud.
r
r
~
E1 ( z , t ) = e exp[i (w1t - k1 z )]
r
r
~
E2 ( z , t ) = e exp[i (w 2t - k 2 z )]
.
vlnová délka
l=2p/k
r r r
r 1 æ ~r ~r * ö
~ ~ ~
E = E1 + E2 , E = ç E + E ÷,
ø
2è
r
r
E = 2e cos(Dwt - Dkz ) cos (wt - kz ).
Vlnové klubko
prostorová perioda obálky (amplitudy)
L=2p/Dk
Přednáška 3
Fázová a grupová rychlost
Vlnoplocha = plocha konstantní fáze:
wt - kz = konst
Fázová rychlost = rychlost přemísťování vlnoplochy:
vº
dz w
=
dt k
. wt - Dkz = konst
D
Plocha konstantní amplitudy:
Grupová rychlost = rychlost s jakou se přemísťuje
obálka (plocha konstantní amplitudy):
vg º
dz Dw
=
dt Dk
Grupová rychlost pro vlnový balík se spojitým spektrem:
vg º
dz dw
=
dt dk
Vztah mezi grupovou a fázovou rychlostí:
æ w dn ö æ l dn ö
v g = v ç1 ÷ = vç 1 +
÷
è n dw ø è n dl ø
Nedisperzní prostředí (vakuum, vzduch): dn / dl = 0 ® v g = v
dn / dl < 0 ® v g
Normální disperze (oblast spektra, kde jsou materiály průhledné):
.
Anomální disperze (oblast spektra, kde materiály absorbují): dn / dl > 0 ® v g > v
<v
Přednáška 3
Mikroskopická představa interakce světla s látkou
Poloklasická teorie
Klasická
. teorie
(světlo klasicky,
.
látka kvantově)
Kvantová
. teorie
Mikroskopické
teorie interakce
Klasická mikroskopická teorie interakce v dielektriku
(H.A. Lorentz, 1878)
Předpoklady:
• V látce jsou různé typy oscilátorů s rozdílnou rezonanční frekvencí
(elektrony vázané v atomech, kmitající polární molekuly).
• Kladný náboj (jádro atomu) a záporný náboj (elektronový obal) jsou pružně vázány.
• Pokud na atom nepůsobí vnější pole, je jeho dipólový moment nulový.
Projevy interakce:
Elektrické pole světelné vlny vynucuje kmity elementárních oscilátorů.
Interakce světla s prostředím závisí na frekvenci světelné. vlny a na vlastní frekvenci elementárních oscilátorů.
Mohou nastat dvě odlišné situace:
Frekvence světla je blízká vlastní frekvenci – dochází k rezonaci.
V této situaci výchylka oscilací narůstá a dochází k výraznému přenosu energie ze světelné
vlny na oscilátor. Intenzita světla se zmenšuje – dochází k absorpci světla.
Frekvence světla je odlišná od rezonanční frekvence.
V tomto případě absorpce je zanedbatelná. Oscilátory kmitají na frekvenci světla ale s určitým fázovým posunem.
Kmitající oscilátory vyzařují vlny s daným fázovým posunem a tyto vlny se skládají. Světlo se šíří v tom směru, v
němž dochází ke konstruktivní interferenci. Fázový posun určuje rychlost šíření světla v prostředí.
Přednáška 3
Lorentzův model určení indexu lomu
r
r
P = e 0 cE
n2 = 1 + c
Makroskopická odezva látky je určena polarizací dielektrika:
Index lomu je určen pomocí elektrické susceptibility:
Makroskopickou
lze zapsat pomocí elementárních dipólových
r polarizaci
r
r
r
momentů: P = Np
, p = qx ,
-
kde x je výchylka oscilátoru, N je počet dipólů v jednotkovém objemu,
p je dipólový moment, q je náboj dipólu.
E=0
Pohybová rovnice oscilátoru (atomární dipól = jádro+elektron):
g… koeficient tlumení,
w0 … vlastní frekvence kmitů oscilátoru
.
F=qE/m … vynucující síla
&x& + g x& + w02 x = F
E
S použitím komplexního vyjádření elektrického pole a výchylky
1
2
1
x=
2
E=
(E~ + E~ ),
*
(~x + ~x ),
*
~
E =~
e exp(iwt ),
~
x=~
x0 exp(iwt ),
dostáváme amplitudu výchylky a komplexní amplitudu polarizace
~
x0 =
F
w - w + igw
2
0
2
,
e exp (iwt )
~ Nq ~
P=
m w02 - w 2 + igw
2
Výchylka
z rovnovážné
polohy: x
-
Látka je složena z elementárních
oscilátorů – dipólů (atomy, molekuly).
Porovnáním s komplexní amplitudou
makroskopické polarizace
~
~
P = e 0 cE
lze určit susceptibilitu a následně komplexní
index lomu.
Přednáška 3
Komplexní index lomu
2
2
2
2 w 0 - w - igw
~
n = 1+ c = 1+ w p
,
2
2 2
(w - w0 ) + g w
Nq 2
w =
e 0m
2
p
… plazmová frekvence
Obecné vyjádření komplexního indexu lomu:
n~ = n(1 - ik )
®
(
)
n~ 2 = n 2 1 - k 2 - i 2n 2k
Disperzní a absorpční křivka
I, III … oblasti normální disperze, II … oblast anomální disperze
absorpce
disperze
2n 2k
w0
(
n2 1 - k 2
)
frekvence
I
II
III
Přednáška 3
Závěry Lorentzovy mikroskopické teorie
• Lorentzova mikroskopická teorie vede ke komplexnímu tvaru indexu lomu v dielektriku – zdůvodňuje
absorpci v dielektrických prostředích.
• Objasňuje závislost indexu lomu na frekvenci (vysvětluje materiálovou disperzi).
• V optických sklech se projevuje normální disperze – s rostoucí frekvencí se index lomu zvětšuje.
Absorpce v dielektriku
Lambertův zákon:
Dekadický Lambertův zákon:
Intenzitní propustnost (transparence):
Optická hustota (denzita) :
Intenzitní pohltivost (absorpce):
(
)
I = I 0 exp - a z ,
a = 2nk ,
I = I 010 -a z ,
T=
I
,
I0
æ I ö
D = logçç ÷÷ = log(T ),
è I0 ø
A=
I0 - I
= 1- T
I0
(platí při nulové odrazivosti).
Přednáška 3
Charakteristiky disperzních prostředí
Charakteristická disperze:
dn/dl
dn/dl<0 … normální disperze, dn/dl>0 … anomální disperze, dn/dl=0 … nedisperzní prostředí (vakuum, vzduch)
Abbeovo číslo (podle jeho hodnoty se optická skla dělí na korunová a flintová):
n=
nD - 1
,
nF - nC
nD, nF, nC …. Indexy lomu pro vlnové délky označené podle Frauhoffera písmeny
D – žlutá, l=589 nm (Na); F– modrozelená, l=486,14 nm (H2) ; C – červenooranžová, l=656,28 (H2)
Střední disperze:
nF-nC
Cornuův – Hartmanův vztah (vyjadřuje závislost n na l pro oblast normální disperze):
n = n0 +
A
,
l - l0
n0 , A, l0 …. konstanty daného prostředí při definovaných fyzikálních podmínkách
Použití Cornuova vztahu:
Z katalogu skel známe indexy lomu nj pro 3 vlnové délky lj, j=1,2,3 a hledáme index lomu n pro požadovanou
vlnovou délku l. S použitím Cornuova vztahu dostáváme soustavu 3 rovnic o 3 neznámých ze které
získáme Cornuův interpolační vzorec:
n = n3 +
n1 - n3
,
1+ L
kde
L=
(l1 - l )(l3 - l2 )(n1 - n2 )
(l - l3 )(l2 - l1 )(n2 - n3 )
Vzorec umožňuje určit n pro požadované
l, které leží uvnitř intervalu (l1,l3).
Přednáška 3
Projevy disperze prostředí
Barevná vada při zobrazování
Barevná vada
velikosti
Rozklad světla hranolem
Bílé (složené)
světlo
Barevná vada
polohy
Geometrie vzniku duhy
Duha
Primární
duha
Sekundární
duha
Lom světla v kapce vody
Snímek primární a sekundární duhy
Rozptyl světla
Přednáška 3
Rozptyl světla nastává při jeho průchodu prostředím s nehomogenitami nespojitého charakteru – objekty různých velikostí a tvarů, které
mají oproti okolí odlišné optické vlastnosti (molekuly, částice, krystaly). Světelná vlna prostředí polarizuje – vytváří kmitající dipóly, které
vyzařují sekundární vlny stejné frekvence jakou má vlna vstupní. Generované záření se skládá se zářením dopadajícím - výsledné vlny
se šíří i ve směrech odlišných od původních – světlo se rozptyluje.
Rayleighův rozptyl
• Rozptylující částice mají rozměry malé ve srovnání s vlnovou délkou a/l<0.1.
• Rozptyl lze popsat pomocí vyzařování el. dipólu.
• Intenzita rozptýleného světla je úměrná šesté mocnině rozměru částice a nepřímo úměrná čtvrté mocnině
vlnové délky.
• Vyzařovací charakteristika rozptylujícího elementu je osově symetrická (vyzařování vpřed i vzad je stejné).
• Polarizační stav dopadající vlny zůstává při rozptylu nezměněný.
• Rozptyl málo závisí na tvaru částice.
Indikatrix pro RR
Klasifikace
rozptylu
Mieův rozptyl
• Rozptylující částice mají rozměry srovnatelné s vlnovou délkou a/l>0.1.
• Rozptyl je nutné popsat pomocí vyzařování multipólů.
• Rozptyl málo závisí na vlnové délce.
vlnové délky.
• Vyzařovací charakteristika rozptylujícího elementu je osově nesymetrická (rozptyl dopředný roste na úkor
rozptylu zpětného).
• Rozptýlené záření je depolarizované.
Indikatrix pro MR
• Rozptyl je výrazně ovlivněn tvarem částic.
Přednáška 4
Polarizace světla
Polarizace světla souvisí s vektorovým charakterem EM vlnění, určuje chování vektorů EM pole
v prostoru a čase.
Předpoklady pro určení polarizace světla:
Při určování polarizačního stavu pracujeme s vektorem elektrické intenzity.
Polarizační stav definujeme pro monochromatickou rovinnou vlnu (je to transverzální EM vlna).
E
E
Světlo nepolarizované – koncový bod vektoru
E se pohybuje po neuspořádané trajektorii.
Světlo polarizované – koncový bod vektoru
E se pohybuje po dobře definované trajektorii.
Přednáška 4
Ilustrace kmitů polarizované vlny
r
E º (E x , E y ,0 ),
E x = ex cos(wt - kz + j x ),
E y = e y cos(wt - kz + j y )
Ilustrovaný příklad: F=wt-kz; ex>ey; jy-jx=p/2, (jx=0, jy=p/2)
F = 3p / 2 ®
E x = 0, E y = e y
E
F =p ®
E x = -ex , E y = 0
Kmity vektoru E lze vhodně vyjádřit
pomocí vázaných kmitů kolmých
složek Ex a Ey.
Ey
Ex
F =p /2 ®
E x = 0, E y = -e y
F=0®
E x = ex , E y = 0
Přednáška 4
Polarizační elipsa
Složky vektoru elektrické
intenzity:
E x = ex cos(F + j x ),
F = wt - kz,
E y = e y cos(F + j y ),
Dj = j y - j x
Polarizační stav je jednoznačně určen amplitudami složek vektoru elektrické intenzity
ex a ey a rozdílem fází Dj.
Okamžitá fáze kmitu vektoru elektrické intenzity je určena parametrem F (parametr F
určuje okamžitou polohu koncového bodu vektoru E na jeho trajektorii).
Vyloučením parametru F ze složek vektoru elektrické intenzity lze získat rovnici
trajektorie po které se pohybuje koncový bod vektoru E při změnách t a z.
V obecném případě se jedná o rovnici elipsy:
Polarizační elipsa
2
E x2 E y 2 E x E y
2
+
cos
D
j
=
sin
Dj
2
2
ex e y
ex e y
Přednáška 4
Lineární a kruhová polarizace
Dj=0
Lineární polarizace
Dj = 0
Dj = p :
nebo
Ey = ±
ey
ex
Dj=p
Ey
Ex
Ex
Pravotočivá polarizace
Dj=p/2
Kruhová polarizace
ex = e y = e0 ,
Dj = ±
Ey
p
2
Levotočivá polarizace
Dj= - p/2
:
Ex2 + E y2 = e02
Pohled proti směru šíření vlny
Ex
Přednáška 4
Jonesův vektor
Polarizační stav lze reprezentovat pomocí formalismu, který zavedl R. C. Jones (1941).
Jonesův vektor je jednotkový vektor, který zahrnuje amplitudy a fázový rozdíl kmitových složek a vektoru E:
Jonesův vektor (obecný tvar)
r
J=
é 1 ù
ê e y iDj ú
2
2
ex + e y ê e e ú
ë x
û
ex
Kruhová polarizace
Lineární polarizace
Dj = mp ,
r é cos a ù
J =ê
ú
ë± sin a û
tga =
ey
ex
ex = e y ,
m = 0,1K
a
ey
ey
Dj = ±
r 1 é1ù
J=
2 êë± i úû
p
2
Přednáška 4
Ortogonální polarizační stavy
Baze ortogonálních polarizačních stavů
r é1 ù
J x = ê ú,
ë0 û
r é0 ù
Jy = ê ú
ë1 û
r
J x+ × J y = 0,
r
1 é1ù
JP =
,
ê
ú
2 ëi û
r
J P+ × J L = 0
r
1 é1ù
JL =
2 êë- i úû
Libovolný polarizační stav může být vyjádřen v bazi ortogonálních polarizačních stavů.
Vyjádření kruhové polarizace pomocí lineární
r
1 r
(J x + iJry ),
JP =
2
r
1 r
(J x - iJry )
JL =
2
Vyjádření lineární polarizace pomocí kruhové
r
é cos a ù 1 -ia r
ia r
Ja = ê
=
e JP + e JL
ú
sin
a
2
ë
û
(
)
Přednáška 4
Ideální polarizátor
Polarizátor
Polarizace ve směru
osy x
Polarizace ve směru
osy y
Polarizátor
é1 0 ù
Px = ê
ú
0
0
ë
û
Nepolarizované
světlo
Nepolarizované
světlo
é0 0 ù
Py = ê
ú
0
1
ë
û
Polarizace
ve směru a
P = R-a Px Ra
Nepolarizované
světlo
é cos a
Ra = ê
ë- sin a
sin a ù
cos a úû
Přednáška 4
EM teorie odrazu a lomu
Na rozhraní dielektrických prostředí dochází k částečnému odrazu a lomu světla.
Rozhraním dielektrických prostředí se rozumí oblast na které dochází ke skokové změně
parametrů prostředí (e, n, m ).
Změny vektorů elektrického pole při průchodu EM vlny rozhraním určují hraniční podmínky,
které mohou být odvozeny z Maxwellových rovnic v integrálním tvaru.
Geometrie při průchodu EM vlny rozhraním
Odražená vlna
Komplexní amplitudy vln:
r r
r r
E~ = e exp(iF ), F = wt - k × r ,
r r
r r
E~ ' = e ' exp iF ' , F ' = wt - k ' × r ,
r '' r ''
r r
~
E = e exp iF '' , F '' = wt - k '' × r ,
y
Lomená vlna
r
k ''
r
k'
a ''
a
( )
( )
a'
z
r
k
Dopadající vlna
Rovina rozhraní: z=0
V daném bodě rozhraní existují vlny současně – musí
mít stejnou fázi:
F = F ' = F '' ®
Zákon lomu a odrazu:
sin a sin a '
=
,
v
v'
sin a sin a ''
=
v
v ''
Přednáška 4
Hraniční podmínky
Tečné složky vektorů E a H a normálové složky vektorů D a B jsou na rozhraní spojité.
Ex + E x'' = E x' ,
H x + H x'' = H x' ,
Odražená vlna
r
k ''
Ep
Ep
Es
X
X
E s'
a
a
''
''
r
k
Dopadající vlna
Dz + Dz'' = Dz' ,
E y + E y'' = E y' ,
Bz + Bz'' = Bz' ,
H y + H y'' = H y' ,
Lomená vlna
y
Ep
E s''
'
Vektory elektrické intenzity dopadající, odražené a lomené vlny
E, E’ a E’’ je výhodné rozložit do složek, které leží v rovině dopadu
(x=0) Ep, Ep’ a Ep’’ a na složky kolmé k rovině dopadu (rovina y=0)
Es, Es’ a Es’’. Mluví se o „p“ a „s“ složkách – označení má původ
ve slovech „parallel“ a „senkrecht“. Složka „p“ je někdy označována
jako TM složka (magneticky transverzální), složka „s“ jako TE složka
(elektricky transverzální).
r
k'
X
a'
z
E x = Es , Ex' = Es' , Ex'' = Es''
E y = E p cos a , E y' = E 'p cos a ' , E y'' = - E 'p' cos a
E z = - E p sin a , E z' = - E p' sin a ' , Ez'' = - E 'p' sin a
Přednáška 4
Fresnelovy vztahy
Přepsáním hraničních podmínek pro „p“ a „s“ složky lze získat vztahy mezi amplitudami a fázemi
dopadající, odražené a lomené vlny - Fresnelovy vztahy.
Amplitudové koeficienty odrazu
(
(
)
)
E~ p'' tg a - a '
rp º ~ =
,
E p tg a + a '
(
(
~ ''
E
sin a - a '
s
rs º ~ = Es
sin a + a '
)
)
Amplitudové koeficienty transmise
E~ p'
sin a ' cos a
tp º ~ = 2
,
Ep
sin a + a ' cos a - a '
(
) (
)
~'
E
sin a ' cos a
s
ts º ~ = 2
Es
sin a + a '
(
)
Přednáška 4
Energetické poměry při odrazu a lomu
F
Intenzita a zářivý tok dopadající vlny:
''
F'
W ''
W'
F = IW
Odrazivost R a propustnost T:
F '' I ''
F ' I ' cos a '
R=
= , T=
=
F
I
F I cos a
W
F
cos a '
W = W, W =
W
cos a
''
r
1 e ~2
I= S =
E ,
2 m
'
Odrazivost a propustnost pro „p“ a „s“ složku:
2
R p = rp , Rs = rs
2
n ' cos a ' 2
n ' cos a ' 2
Tp =
t p , Ts =
ts
n cos a
n cos a
Přednáška 4
Speciální případy odrazu a lomu
Téměř kolmý dopad:
tg a ~ sin a ~ a
a - a ' n' - n
2a '
2n
rp = rs =
=
,
t
=
t
=
=
p
s
a + a ' n' + n
a + a ' n' + n
2
n' - n
4nn'
R p = Rs = '
, Tp = Ts =
2
n +n
n' + n
(
)
Př.: n’=3/2; n=1: Rp=Rs=0.04 Na rozhraní vzduch – sklo se v kolmém dopadu odrazí přibližně 4% energie
dopadající vlny.
Úplný odraz:
Pro vlnu, která prochází z opticky hustšího prostředí n do prostředí opticky řidšího n’ existuje limitní úhel am
(mezný úhel) po jehož překročení vlna neproniká do druhého prostředí a veškerá její energie se odráží.
a' =p /2
n'
sin a m = .
n
am
n
n’
Přednáška 4
Změna fáze při odrazu
(
(
~
Es''
sin a - a '
rs º ~ = sin a + a '
Es
)
)
Odraz na opticky řidším prostředí (a<a’):
a , a ' Î 0,
p
2
,
p
a - a ' Î - ,0
Þ
2
a + a ' Î 0, p
rs > 0
Þ
(
(
)
)
sin a - a '
<0
sin a + a '
Vlna se odráží bez změny fáze
Odraz na opticky hustším prostředí (a>a’):
a - a ' Î 0,
p
2
a + a ' Î 0, p
rs < 0
~
~
~
Þ Es'' » - Es = e ip Es
Þ
(
(
)
)
sin a - a '
>0
'
sin a + a
Vlna se odráží s fázovým posunem p
Přednáška 4
Polarizace odrazem
Odraz pod Brewsterovým úhlem
(
(
)
)
tg a - a '
rp =
Þ rp ® 0
tg a + a '
n sin a B = n sin a ,
'
'
a =
'
pro
p
2
-aB
a +a ' ® p / 2
®
n'
tga B =
n
X
X
X
X
X
X
aB
X
X
X
n
n’
Dopadá-li vlna na rozhraní pod Brewsterovým
úhlem, pak odražená vlna je polarizovaná v
rovině kolmé k rovině dopadu.
Přednáška 4
Úhlová závislost odrazivosti rozhraní
Rozhraní vzduch - sklo
Rozhraní sklo - vzduch
Rp, Rs
Rp, Rs
Polarizační složka „s“
Polarizační složka „s“
Polarizační složka „p“
Polarizační složka „p“
a
a
Brewsterův úhel
Mezný úhel
Přednáška 4
Rozhraní dielektrikum - kov
Index lomu dielektrika: n
'
'
Index lomu kovu: n = n0
(1 - ik )
(index lomu je komplexní)
Odrazivost v kolmém dopadu pro rozhraní sklo - kov
R p = Rs =
n -n
n' + n
'
2
(
n
=
(n
'
0
'
0
)
+ n)
- n + n0'2k 2
2
2
+ n0'2k 2
Odrazivost kovů je vyšší než u dielektrik. (provádí se pokovení odrazných ploch ).
Příklady indexů lomu kovů:
n Ag = 0.15 - i × 3.36,
n Al = 0.82 - i × 5.99,
n Au = 0.331 - i × 2.34.
Ideální odraz: ryze imaginární index lomu
n ' = in0' k
2
in0' k - n
R p = Rs = '
=1
in0k + n
Přednáška 5
Optika anizotropních prostředí
Anizotropní optické prostředí = prostředí jehož makroskopické optické vlastnosti jsou závislé
na směru šíření procházející světelné vlny.
Příčina anizotropie = nesouměrnost tvaru, orientace a prostorového rozmístění molekul uvnitř látky.
Rozdělení anizotropie
Přirozená anizotropie
Umělá anizotropie
Přirozená vlastnost materiálů s krystalickou
strukturou (kromě krystalů s kubickou soustavou).
Vlastnost vyvolaná vnějšími vlivy:
• mechanickým silovým působením,
• teplotou,
• elektrickým polem,
• magnetickým polem.
Použití anizotropních prostředí
Realizace polarizačních hranolů (změna nepolarizovaného světla na polarizované).
Fázové destičky – optické prvky pro transformaci polarizačního stavu.
Systémy pro elektrooptickou modulaci světla.
Realizace polarizačních interferenčních filtrů.
Prvky pro experimenty nelineární optiky.
Přednáška 5
Popis anizotropních prostředí
Model vazby elektronu v krystalu:
Tuhost vazby je ve směrech os x,y,z rozdílná - výchylka elektronu pod vlivem
vnějšího pole závisí nejen na velikosti ale i na směru vektoru elektrické intenzity.
E
Na makroskopické úrovni je odezva látky na působící EM vlnění popsána
vektorem polarizace dielektrika P, který je lineární funkcí vektoru elektrické
intenzity E (konstantou úměrnosti je susceptibilita prostředí). Vektor elektrické
indukce D je pak rovněž úměrný vektoru E, konstantou úměrnosti je
permitivita prostředí e. V důsledku směrové závislosti je nutné pro anizotropní
prostředí užívat jako materiálové charakteristiky odlišné fyzikální veličiny než
tomu bylo v případě prostředí izotropních.
Izotropní prostředí
r
r
P = e 0 cE ,
r
r
D = eE ,
r r
D, E …. rovnoběžné vektory
e , c …. skalární veličiny
Anizotropní prostředí
r
r
P = e 0 c~E ,
r
r
D = e~ × E , (symbol „ . “ označuje úžený tenzorový součin).
r r
D, E …. různoběžné vektory (každá složka vektoru D je
lineární kombinací složek vektoru E)
e~, c~ …. tenzorové veličiny
ée11 e 12
e~ = êêe 21 e 22
êëe 31 e 32
e 13 ù
e 23 úú
e 33 úû
Permitivita, susceptibilita a index lomu
jsou tenzory 2. řádu.
Tenzory jsou v bezztrátovém prostředí
symetrické – mají 6 nezávislých složek.
Přednáška 5
Systém hlavních os
Prvky tenzoru permitivity závisejí na výběru soustavy souřadnic vzhledem ke struktuře krystalu.
Pro každý anizotropní materiál může být nalezen takový souřadný systém, ve kterém jsou nediagonální
prvky nulové. Ve směrech os takové soustavy souřadnic jsou E a D rovnoběžné (jestliže vektor E je
orientován podél osy x, musí do tohoto směru mířit i D). Souřadnému systému, ve kterém je tenzor
permitivity diagonalizovaný se říká systém hlavních os, diagonálním prvkům potom hlavní permitivity.
Tenzor permitivity v systému hlavních os
ée1 0
e~ = êê 0 e 2
êë 0 0
0ù
0 úú
e 3 úû
e1 = e11 , e 2 = e 22 , e 3 = e 33
n1 =
e1
e
e
, n2 = 2 , n3 = 3
e0
e0
e0
… hlavní permitivity
… hlavní indexy lomu
Zápis složek vektoru D:
Obecný souřadný systém
Di = å e ij E j ,
j
j = 1,2,3.
Systém hlavních os
Di = e i Ei ,
i = 1,2,3.
Přednáška 5
Rozdělení anizotropních prostředí (krystalů)
Dvouosý krystal
ée1 0
e~ = êê 0 e 2
êë 0 0
0ù
0 úú ,
e 3 úû
e1 ¹ e 2 ¹ e 3
Sádrovec
Slída
Topaz
Jednoosý krystal
ée o
e~ = êê 0
êë 0
0
eo
0
e1 = e 2 º e o ,
0ù
0 úú,
e e úû
e3 º ee
eo …. řádná permitivita
ee…. mimořádná permitivita
Kladný
jednoosý krystal
Záporný
jednoosý krystal
ee > eo
ee < eo
Křemen (SiO2)
Vápenec (CaCO3)
Safír (Al2O3)
KDP (KH2PO4)
Přednáška 5
Normální mody
z
z
k
k
H
E
x
E
y
c/n1
c/n2
y
x
Rovinná EM vlna postupující podél jedné z hlavních os anizotropního prostředí (osa z) a
lineárně polarizovaná podél osy x, se šíří fázovou rychlostí c/n1. Vlna, která je polarizovaná
podél osy y se šíří jinou fázovou rychlostí c/n2. Polarizační stavy těchto vln se při šíření
nemění – představují normální mody anizotropního prostředí.
Přednáška 5
Šíření libovolně polarizované EM vlny podél hlavní osy
y
x
c/n2
c/n1
k
hlavní osa
z
Rovinná EM vlna postupující podél jedné z hlavních os anizotropního prostředí (osa z) s
obecnou polarizací může být rozložena do normálních modů lineárně polarizovaných podél
os x a y. Protože se tyto mody šíří rozdílnými fázovými rychlostmi c/n1 a c/n2, získávají po
průchodu na vzdálenost z různá fázová posunutí jx a jy. Jejich fázové zpoždění je tedy
jy-jx=w(n2-n1)z/c. Po sečtení obou složek vzniká v obecném případě elipticky polarizovaná
vlna.
Přednáška 5
Elipsoid indexu lomu
Objemová hustota elektrického pole:
1 r r
we = E × D =
2
2
1 æç Dx2 D y Dz2 ö÷
+
+
,
2 çè e1 e 2 e 3 ÷ø
Di = e i Ei
c2 e i
n = 2 =
vi e 0
2
i
(systém hlavních os)
(nemagnetické prostředí)
Elipsoid indexu lomu:
Elipsoid indexu lomu může být použit pro určení
dvou fázových rychlostí (indexů lomu) a směrů polarizace
dvou nezávislých rovinných vln (normálních modů),
které se mohou šířit podél daného směru anizotropním
prostředím.
X2 Y2 Z2
+
+
=1
n12 n22 n32
Dx2
X =
,
2 wee 0
2
Y =
2
D y2
2wee 0
,
Dz2
Z =
2 wee 0
2
Přednáška 5
Použití elipsoidu indexu lomu
Směr šíření
světla
k
z
Postup určení normálních modů:
n2
D2
y
D1
n1
Indexová
elipsa
x
Indexový
elipsoid
• Pomocí vektoru k definujte směr šíření, pro který chcete
určit normální mody.
• Nakreslete rovinu procházející středem elipsoidu kolmou k vektoru k.
Průnik elipsoidu a roviny vytvoří indexovou elipsu.
• Délky hlavní a vedlejší poloosy indexové elipsy určují indexy lomu,
které při šíření směrem k cítí normální mody.
• Směry poloos indexové elipsy určují směry vektorů D1 a D2
normálních modů. Tyto směry jsou navzájem kolmé.
Přednáška 5
Šíření EM vlny v jednoosém krystalu
Optická
z osa
Směr šíření
světla
k
ne
ne(q)
no
q
y
Indexová
elipsa
X2 Y2 Z2
+ 2 + 2 =1
2
no no ne
Indexy lomu normálních modů pro směr šíření
světla určený úhlem q: no, ne(q)
Speciální případy:
q=0 (šíření podél optické osy): no, ne(0)=no
q=p/2 (šíření kolmo k optické ose): no, ne(p/2)=ne
x
cos 2 (q ) sin 2 (q )
=
+
ne2 (q )
no2
ne2
1
Přednáška 5
Plocha vlnových normál
Dosazení monochromatické EM vlny do Maxwellových rovnic (uvažováno anizotropní prostředí v hlavních osách):
r r
r r
~
E = e exp[i (wt - k × r )],
r r
r
k ´ e = wmh
r r
r
k ´ h = -we~ × e
r r
r r
~
H = h exp[i (wt - k × r )]
r r r
r
k ´ (k ´ e ) + w 2 me~ × e = 0
Þ
Podmínkou pro netriviální řešení sosutavy je nulový determinant. Tato podmínka umožňuje najít
vztah mezi w a k a popisuje třírozměrnou plochu v k-prostoru = normálová plocha:
w 2 me 1 - k 22 - k32
k1k 2
k1k 2
k1k3
w 2 me 2 - k12 - k32
k 2 k3
k1k3
k 2 k3
=0
w 2 me 3 - k12 - k 22
Přednáška 5
Znázornění plochy vlnových normál
Plochu vlnových normál je možné znázornit pomocí řezů vedených rovinami k1=0, k2=0 a k3=0
pro předpoklad n1<n2<n3.
Řez rovinou k2=0:
Řez rovinou k1=0:
k 22
k + k = w me 1 ,
2
2
2
3
2
w
c
n3
w me 3
2
k2
c
w me 2
2
=1
2
3
2
c
n1
n2
c
Optická
osa
n2
k12
k + k = w me 2 ,
2
1
w
w
w
+
k32
w
c
k3
w me 3
2
+
k32
w me 1
2
k3
w
n1
c
n3
k1
Optická
osa
k 2 w n3
c
Řez rovinou k3=0:
k + k = w me 3 ,
2
1
2
2
2
k12
w me 2
2
+
k 22
w me 1
2
=1
w
c
n1
w
c
n2
k1
=1
Přednáška 5
Plocha vlnových normál pro jednoosý krystal
n1=n2=no, n3=ne
Jednoosý záporný
krystal
Jednoosý kladný
krystal
k3
k3
Optická osa
k1
Optická osa
k1
Přednáška 5
Uspořádání vektorů EM pole v anizotropním prostředí
Z Maxwellových rovnic se dá získat následující představa o uspořádání vektorů EM vlny:
• Vektory H a B jsou rovnoběžné.
• Vektory E, D, S a k leží v rovině kolmé k vektorům H a B.
• Vektor H je kolmý na k a E.
• Vektor D je kolmý na k a H.
• Tok energie S je kolmý na E a H.
• Tok energie je odkloněn od vlnového vektoru (energie neteče ve směru kolmém k vlnoploše).
r r
H, B
r
S
r
k
r
E
r
D
Přednáška 5
Vlnoplochy a tok energie v anizotropním prostředí
Jednoosý kladný krystal
Optická
osa
w
c
no
r
k3 w
ne (q ) k
c
w
q
w
c
Řádná vlna
k3
q
r r
E, D
ne
c
no
r
S
r
r
k
S
r
k
k1 r
k … vlnový vektor
r
S … tok energie (paprsek)
Směr šíření
EM vlny
k1
r
S
Mimořádná vlna
r
S
k3
r
E
r
D q
r
k
r
k
k1
Přednáška 5
Dvojlom
Mimořádná
vlna
r
Se
r
So
Optická
osa
qe
Řádná
vlna
qo
q1
Krystal
r
Se
Vzduch
Řádná vlna
sin q1 = no sin q o
Mimořádná vlna
Mimořádný
paprsek
(tok energie)
sin q1 = ne (q ) sin q e
q1
Dopadající
vlna
qe
qo
r
So
Řádný
paprsek
(tok energie)
Přednáška 5
Dvojlom při kolmém dopadu
r
Se
r
S
Optická
osa
r
k
r
k
Mimořádný
paprsek
Krystal
Vzduch
r
So
Řádný
paprsek
Krystal
Vzduch
Dopadající
paprsek
Přednáška 5
Realizace polarizátorů
Polarizátor = zařízení, které propouští složku elektrické intenzity kmitající ve směru propustnosti polarizátoru
a blokuje složku kolmou.
Realizace
polarizace světla
Polarizace selektivní
absorpcí (dichroismus)
Polarizace selektivním
odrazem
Polarizace
dvojlomem
Absorpce dichroických látek
závisí na směru elektrického
pole (jedna složka je
propuštěna
druhá silně absorbována).
Polarizační fólie – Plaroid H.
Odraz světla závisí na jeho
polarizaci. Při dopadu
pod Brewsterovým úhlem
se odráží jen „s“ složka
(složka kolmá k rovině
dopadu).
Při lomu na povrchu
anizotropního
prostředí dochází k
dvojlomu –
polarizační složky se
směrově oddělují.
Přednáška 5
Dvojlomné polarizační hranoly
Wolastonův hranol
Rochonův hranol
Sénarmontův hranol
Přednáška 6
Interference světla
Interference světla = souhrn jevů souvisejících se skládáním světla.
• K interferenci může dojít při skládání dvou nebo více vln od diskrétních (nespojitě rozložených) zdrojů.
• Interference je výsledkem principu superpozice, který vychází z linearity Maxwellových rovnic.
• Interference je projevem vlnové podstaty světla.
• Interference je pozorovatelná jen tehdy, když jsou skládané vlny koherentní (vzájemně korelované).
Složení dvou světelných vln
Okamžitá výchylka vektoru elektrické intenzity (vektorové komplexní amplitudy) v určeném bodu prostoru
je rovna součtu okamžitých výchylek vektorů elektrické intenzity skládaných vln. Tento princip složení ale neplatí
pro intenzity!
Skládané vlny 1 a 2:
Elektrická intenzita:
r r
E j (r , t ),
Výsledné pole:
Elektrická intenzita:
r r
r r
r r
E (r , t ) = E1 (r , t ) + E2 (r , t )
j = 1,2
Vektorovárkomplexní amplituda:
Vektorová komplexní amplituda:
Optická intenzita:
Optická intenzita:
~ r
E j (r , t ),
r
r
r
~r
~ r
~ r
E (r , t ) = E1 (r , t ) + E2 (r , t )
j = 1,2
r 1 e 0 ~r 2
I j (r ) =
Ej ,
2 m0
j = 1,2
r
r
r
I (r ) ¹ I1 (r ) + I 2 (r )
Přednáška 6
Projevy interference světla
Svazek 1
Svazek 2
V důsledku interference světla vznikají
v oblasti překrytí svazků světlé a tmavé
proužky. V místech světlých proužků
se svazky vzájemně zesilují
(nastává konstruktivní interference),
v místech tmavých proužků se svazky
vzájemně zestabují
(nastává destruktivní interference).
O tom zda nastane konstruktivní nebo
destruktivní interference rozhoduje
fázový rozdíl kmitů elektrického pole
skládaných vln v daném místě a čase.
Svazek 1+ svazek 2
Konstruktivní interference
Destruktivní interference
světlo + světlo = tma
Přednáška 6
Interference a koherence světla
Podmínka pro pozorování (záznam) interferenčních jevů
Interferenční jevy, které se projevují zesilováním nebo zeslabováním světla, jsou pozorovatelné jen tehdy, jsou-li
vzájemné fázové rozdíly mezi skládanými vlnami stálé v čase (případně jejich změna nastává v čase delším než
je doba detekce nebo pozorování interferenčního pole). Vlny, které splňují podmínku stálého fázového rozdílu
jsou fázově koordinované a říkáme jim koherentní vlny.
Podmínky interference monochromatických světelných vln
Skládané monochromatické vlny musí být izochronní – musí mít stejnou frekvenci.
• V každém bodě interferenčního pole mají každé dvě skládané vlny stálý rozdíl fází (resp. fázový rozdíl se
nemění během doby pozorování).
• Jsou-li skládané vlny lineárně polarizované, musí jejich kmitosměry ležet ve stejné rovině a musí pocházet od
stejného lineárně polarizovaného světla nebo ze stejné kmitové složky nepolarizovaného světla.
• Lineárně polarizované vlny, jejichž kmitosměry leží v navzájem kolmých rovinách neinterferují !
• Lineárně polarizované vlny, které pocházejí ze dvou navzájem kolmých kmitových složek nepolarizovaného
světla neinterferují ani tehdy, když jakýmkoliv způsobem ztotožníme jejich kmitosměry.
• Projevy interference jsou tím výraznější, čím jsou amplitudy skládaných vln hodnotově bližší.
Interference a koherence jsou dva aspekty téhož jevu:
pozorovatelná interference prokazuje koherenci skládaných vln a naopak koherence vln se projevuje
interferencí.
Přednáška 6
Časová koherence světla
Monochromatická vlna je idealizovaná – musela by být nekonečná v čase. U skutečných zdrojů světla není
vyzařování nepřetržité – světlo je vysíláno ve formě světelných rozruchů konečné doby trvání Dt. Světelný
rozruch konečné doby trvání nemůže obsahovat pouze jedinou monofrekvenční komponentu o kruhové
frekvenci w ale celé spektrum frekvenčních komponent, které leží v intervalu Dw.
Přitom platí relace neurčitosti:
Dt × Dw ³ 2p
Platí tedy, že čím je rozruch (vlnový balík) kratší, tím je jeho spektrum širší. Délka nepřetržitého vyzařování zdroje
Dt souvisí s koherenčními vlastnostmi světla a nazývá se koherenční čas. Častěji užívaným parametrem, který
určuje časovou koherenci světla je koherenční délka DL, která je definována jako součin koherenčního času a
fázové rychlosti šíření světla, DL=cDt.
Čím je koherenční čas (koherenční délka) větší, tím je záření „monochromatičtější“ a zdroj je z hlediska časové
koherence kvalitnější.
Časová podmínka koherence
Dvě světelná pole, která pocházejí z téhož zdroje a procházejí různými optickými drahami budou interferovat
pouze tehdy, je – li časové zpoždění (rozdíl optických drah), které mezi nimi vznikne, menší než koherenční čas
(koherenční délka) zdroje.
Vyjádření koherenční délky:
l2
DL =
Dl
n, (l) … střední frekvence (vlnová délka)
Dn, (Dl) … vyjádření šířky spektra
Koherenční délka zdrojů:
Bílé (sluneční světlo) ….. přibližně mikrometr
Laserová dioda ….. typicky centimetry
He-Ne laser ……. typicky metry
Přednáška 6
Prostorová koherence světla
Prostorová koherence světla souvisí se vztahem (korelací) dvou vln ve dvou různých bodech prostoru ve
stejném časovém okamžiku. Mírou prostorové koherence je koherenční šířka Dx. Je to největší příčný rozměr
zdroje v jehož oblasti je vysílané záření ještě koordinované (koherentní). Parametr Dx2 se nazývá koherenční
plocha. Čím je Dx větší, tím jsou koherenční vlastnosti zdroje lepší. Pro interferenční pokusy je důležitá jak
prostorová, tak i časová koherence. Charakterizuje se parametrem, kterému se říká koherenční objem
DV=DLDx2.
Klasifikace
koherence
Koherence prostorová
Koherence časová
Zkoumá se korelace světla ve dvou různých
bodech prostoru
Zkoumá se korelace vln s časovým
zpožděním
Parametr časové koherence:
Koherenční čas (koherenční délka) =
největší časové zpoždění Dt (největší
rozdíl optických drah DL) při kterém světlo
ještě interferuje.
Koherenční délka: DL = l2/Dl
Parametr prostorové koherence:
Koherenční šířka = největší vzdálenost Dx
při které světlo ještě interferuje.
Youngův pokus
Laserový
svazek
Interferenční
obrazec
Machův – Zehnderův interferometr
Dx
DL/2
DL/2
Přednáška 6
Podmínky studia koherence světla
Světelný zdroj je reprezentován sledem rozruchů, které tvoří náhodné (stochastické) světelné pole. Vyzařování
je nutné chápat jako statistický problém.
Předpoklady při kterých studujeme světelné pole:
• pole je ergodické,
• pole je stacionární.
Ergodicita:
Souborové středování se dá nahradit časovým středováním – střední hodnota dané charakteristiky získaná
velkým počtem opakování procesu může být nahrazena střední hodnotou získanou dostatečně dlouhým
pozorováním jediné realizace procesu.
Stacionarita:
Statistické charakteristiky procesu nejsou závislé na volbě časového počátku.
Kvantitativní vyjádření vztahu mezi náhodnými světelnými rozruchy se provádí v rámci teorie koherence druhého
řádu.
Předpoklady:
Kvazimonochromatické světlo o střední vlnové délce Dl<<l
Homogenní, izotropní, nedisperzní, neabsorbující prostředí
Přednáška 6
Statistické míry koherence
Skalární vlnová funkce (j-tá složka vektorové komplexní amplitudy elektrického pole):
P
Z1
~ r
y º E j (r , t )
x
y (P, t ) = y 1 (t - t1 ) +y 2 (t - t 2 )
Vlnová funkce v bodě P:
x
Výsledná intenzita v bodě P:
Z1x
Komplexní funkce vzájemné koherence:
Intenzita způsobená zdrojem Zj:
Vzájemná intenzita:
I j (P ) = y j (t ) ,
2
I (P ) = yy *
G12 (t ) = y 1 (t + t )y 2* (t ) ,
j = 1,2
I12 (P ) = y 1 (t )y 2* (t )
Komplexní autokorelační funkce:
G11 (P ) = y 1 (t + t )y 1* (t ) ,
G22 (P ) = y 2 (t + t )y 2* (t ) .
Komplexní stupeň koherence:
Stupeň koherence:
t = t2 - t1
g 12 (t ) =
G12 (t )
G (t )
= 12
G11 (0)G22 (0)
I1 I 2
g 12 (t ) = g 12 (t ) exp(iF )
0 £ g 12 (t ) £ 1
Vlna se skládá se svou časově
zpožděnou kopií
Přednáška 6
Interferenční zákon
Interferenční zákon pro dvě částečně koherentní vlny
I (P ) = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 g 12 (t ) cos(F12 )
Kontrast interferenčního obrazce (vizibilita):
K=
I MAX - I MIN
I MAX + I MIN
I MAX = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 | g 12 |,
Speciální případy
Nekoherentní vlny (|g12|=0):
Plně koherentní vlny (|g12|=1):
I MIN = I1 + I 2 - 2 I1 I 2 | g 12 |
I ( P ) = I1 + I 2
I (P ) = I1 + I 2 + 2 I1I 2 cos F12
Přednáška 6
Interference dvou rovinných vln
k1
r r
y j = A j exp(iw j t - k × r ),
y
c
-c
z
A1 = A2 = A, w1 = w2 = w ,
r
k1 = (0,- k0 sin c , k0 cos c ),
r
k 2 = (0, k0 sin c , k0 cos c ),
k0 = 2p / l0
k2
I = I1 + I 2 + 2 I1I 2 g 12 (t ) cos(F12 )
r r r
F12 = (k 2 - k1 )× r = 2k0 y sin c
I1 = I1 = I :
I = 2 I [1 + g 12 cos(2k 0 y sin c )]
j = 1,2
Přednáška 6
Interferenční mřížka (proužky)
I
osa y
Perioda mřížky:
g 12 = 1
g 12 = 0.2
g 12 = 0
L=
l0
2 sin c
Přednáška 6
Dvousvazková interference ve vrstvě
Interference
v odraženém světle
n1
n
n2
Diskuze:
a
K
P2
Rozdíl optických drah interferujících paprsků:
P1
a’
R
d = n(P2 R + RP1 ) - n1 KP1
d
d = 2dn cos a ' ,
d = 2d n 2 - n12 sin 2 a
Fázový rozdíl interferujících paprsků:
F12 = k0d +
posun fáze odrazem
(závisí na indexech lomu)
• Je-li vrstva přesně planparalelní a osvětlovací vlna rovinná nedochází ke vzniku interferenčního obrazce
(prostorově modulovanému rozložení intenzity), protože fázový rozdíl interferujících paprsků je v kterémkoliv
místě vrstvy stejný. Celá plocha vrstvy se bude jevit jako světlá nebo jako tmavá v závislosti na tom, jestli
fázový rozdíl interferujících paprsků bude splňovat podmínku konstruktivní interference (F12=2mp, m=0,1,2,..)
nebo podmínku destruktivní interference (F12=(2m+1)p, m=0,1,2,..).
• Je-li vrstva osvětlena bílým (polychromatickým) světlem, pak se tato vrstva jeví v odraženém světle jako
zbarvená. Je to způsobeno tím, že podmínky konstruktivní a destruktivní interference splňují složky různých
vlnových délek. Příklad: zabarvení mýdlové blány osvětlené bílým světlem.
• Rozdíl optických drah (fází) závisí na tloušťce vrstvy d a na úhlu dopadu paprsku a. Interferenční obrazec
vzniká tehdy, když se fázový rozdíl v jednotlivých bodech povrchu vrstvy liší. To může nastat v následujících
případech:
- Klínová vrstva osvětlená rovinnou vlnou
a je konstantní a d se spojitě mění – interferenční obrazec tvoří Fizeauovy proužky stejné tloušťky.
- Planparalelní vrstva je osvětlena plošným zdrojem
Tloušťka d je konstantní a a se spojitě mění – interferenční obrazec tvoří Haidingerovy proužky stejného
sklonu.
Přednáška 6
Interference na klínové vrstvě
Předpoklady:
Vzduchová klínová vrstva s velmi malým úhlem.
Kolmý dopad světla.
Fázový rozdíl mezi interferujícími paprsky:
sklo
n
F12 @ 2
c
sklo
n
x
vzduch
d
2p
l0
d = xc
Fázový posuv p
(odraz na opticky hustším prostředí)
Interferenční proužky stejné tloušťky
Podmínka vzniku světlých interferenčních proužků:
F12 = 2mp ,
m = 0,1,2,...
Podmínka vzniku tmavýc interferenčních proužků:
F12 = (2m + 1)p ,
m = 0,1,2,...
Perioda tmavých interferenčních proužků:
L=
l
2c
d +p,
Přednáška 6
Interference s plošným zdrojem
Ohnisková rovina
Čočka
Plošný zdroj
Haidingerovy proužky stejného sklonu
Paprsky, které vycházejí z různých bodů zdroje
Dopadají na vrstvu pod stejným úhlem mají stejný
fázový rozdíl. Pomocí čočky jsou soustředěny do
stejného bodu ohniskové roviny. Paprsky, které
mají při dopadu na vrstvu jiný úhel dopadu mají
také jiný fázový rozdíl. Výsledek interference v
jednotlivých bodech ohniskové roviny čočky je
rozdílný a vzniká interferenční obrazec.
Planparalelní vrstva
Přednáška 6
Newtonovy interferenční kroužky
Fázový rozdíl mezi interferujícími paprsky:
F12 @ 2
R
Vzduchová
klínová vrstva
d
2p
l0
d +p,
r2
d»
2R
Poloměry tmavých interferenčních kroužků:
r
r = mlR
Praktické využití:
• Měření tvaru optických ploch – vzduchová klínová vrstva vzniká mezi kontrolovanou plochou a přesně
vyrobenou srovnávací plochou (optický kalibr). Měřitelná odchylka může mít zlomek vlnové délky.
• Změřením poloměru tmavého kroužku může být pro známou vlnovou délku l použitého světla určen
poloměr křivosti optické plochy R.
• Při známém R a změřeném poloměru tmavého kroužku r může být určena vlnová délka.
• Deformace plochy čočky (nesféričnost) se projeví deformací interferenčních kroužků (ovalita kroužků).
Metoda umožňuje i kontrolu místních deformací.
Přednáška 6
Dvousvazkové interferometry
Machův –Zehnderův interferometr
Zrcadlo
Dělič
Michelsonův interferomet
Sagnacův interferometr
Přednáška 6
Michelsonův interferometr – simulace MATLAB
Náklony zrcadel
Nekolimovaný svazek
Nekolimovaný svazek + náklon zrcadla