Matematyka w przyrodzie i sztuce matematyka, przyroda i sztuka w

Pa«stwowa Wy»sza Szkoªa Zawodowa
w Nowym S¡czu
Matematyka w przyrodzie i sztuce matematyka, przyroda i sztuka
w ksztaªceniu powszechnym
Tom 3
Pod redakcj¡
Adama Pªockiego
Nowy S¡cz 2013
Komitet Redakcyjny
doc. dr Marek Reichel przewodnicz¡cy;
prof. dr hab. in». Jarosªaw Fr¡czek; prof. dr hab. Leszek Rudnicki;
dr hab. n. med. Ryszard Gajdosz, prof. nadzw.; dr hab. Zdzisªawa Zacªona, prof. nadzw.;
dr hab. Magdalena Sitarz, prof. nadzw.; dr hab. Wanda Pilch, prof. nadzw.;
mgr Agata Witrylak-Leszy«ska
Redaktor Naczelny
doc. dr Marek Reichel
Sekretarz Redakcji
dr Tamara Bolanowska-Bobrek
Redaktor wydania
prof. zw. dr hab. Adam Pªocki
Skªad komputerowy (LATEX)
dr Marcin Mazur
Recenzenci
prof. RNDr. Ji°i Cihla°, CSc (Univerzita Jana E. Purkyn¥ Usti nad Labem);
doc. RNDr. Roman Fri£, DrSc (Katolická univerzita Ruºomberok);
RNDr. Alena Kopa£ková, Ph.D. (Technická univerzita Liberec);
prof. zw. dr hab. Andrzej Nowicki (Uniwersytet Mikoªaja Kopernika Toru«);
prof. zw. dr hab Jerzy Ombach (Uniwersytet Jagiello«ski Kraków);
doc. PaedDR. Jaroslav Perný, Ph.D. (Technická univerzita Liberec);
dr hab. prof. nadzw. Ewa Swoboda (Uniwersytet Rzeszowski);
prof. RNDr. Pavel Tlustý, CSc (Jiho£eská univerzita ƒeské Bud¥jovice);
dr hab. prof. nadzw. Edward Tutaj (Uniwersytet Jagiello«ski Kraków)
Wydano za zgod¡ JM Rektora PWSZ w Nowym S¡czu
prof. dra hab. in». Zbigniewa ‘lipka
Autorzy ponosz¡ odpowiedzialno±¢ za poprawno±¢ j¦zykow¡ tekstu
c
Copyright by Pa«stwowa Wy»sza Szkoªa Zawodowa w Nowym S¡czu
Nowy S¡cz 2013
ISBN 978-83-63196-46-2
Adres Redakcji
33-300 Nowy S¡cz, ul. Staszica 1
tel. 18 443 45 45, e-mail:
[email protected]
Wydawca
Wydawnictwo Naukowe Pa«stwowej Wy»szej Szkoªy Zawodowej w Nowym S¡czu
33-300 Nowy S¡cz, ul. Staszica 1
tel. 18 443 45 45, e-mail:
[email protected]
Druk
EXPOL P. Rybi«ski, J. D¡bek Spóªka Jawna
87-800 Wªocªawek, ul. Brzeska 4
tel. 54 232 37 23, 232 48 73, e-mail:
[email protected]
Spis tre±ci
Wst¦p
Kv¥toslav Bártek, Eva Bártková, David Nocar, Matematika v díle
Albrechta Dürera
Eva Bártková, David Nocar, Kv¥toslav Bártek, Vyuºití algebraic-
5
7
kých hyperstruktur p°i ur£ování d¥di£nosti krevních skupin
31
Bogumiªa Klemp-Dyczek, Mozaiki pªaszczyzny euklidesowej
41
Ivana Macha£íková, Josef Molnár, ’roubovice v p°írod¥ a um¥ní
71
Marek Mokri², Príroda v úlohách z geometrie
93
Bronisªaw Pabich, Matematyka w muzyce ±wiat muzyki a matematyzacja
Ada Paªka, Tworzenie obrazów anamorcznych propozycja war-
105
sztatów
131
Zdzisªaw Pogoda, Matematyka szopki krakowskiej
145
Alena Prídavková, Modely pojmov teórie mnoºín s prírodovedným
námetom
Jana P°íhonská, Metody teorie graf· p°i °e²ení problém· s bludi-
155
²ti
167
Iveta Scholtzová, Miery v primárnej edukácii £as
177
Darina Stachová, Milan Stacho, Magické ²tvorce vo výtvarnom
umení
Radka ’t¥pánková, Pavel Tlustý, Propojení základních poznatk·
z genetiky a stochastiky na základní ²kole
Izabela Stronias, Czwarty wymiar w malarstwie i rze¹bie pocz¡t-
187
203
ku XX wieku
209
Rastislav Telgársky, Mathematics without innity
223
Marián Trenkler, Kon²trukcie magických obd¨ºnikov
253
Vladimír Van¥k, Matematika a po£así
261
Renata Zemanová, Radek Krpec, Lidové um¥ní inspirace elementární matematiky
273
Dzi¦kujemy Muzeum Historycznemu m. Krakowa za udost¦pnienie
nam materiaªów ikonogracznych zwi¡zanych z krakowskimi szopkami.
Cz¦±¢ z nich prezentujemy na pustych stronach parzystych.
Wst¦p
Szkolna matematyka jest od stuleci raczej izolowana od innych dziedzin wiedzy, a zwªaszcza od nauk przyrodniczych i humanistycznych. Jednym z powodów tego faktu, s¡ obawy matematyków przed wulgaryzacj¡ matematyki, ilekro¢ prezentuje si¦ j¡ w kontek±cie realnego ±wiata. Obawy nierzadko sªuszne.
Tymczasem
j¦zyk matematyki, jej poj¦cia i twierdzenia wykorzystuje si¦ w innych
przedmiotach nauczania (idea wspóªrz¦dnych w geograi, konstrukcje przestrzenne na lekcjach wychowania technicznego), a ponadto
matematyka rozwijaªa si¦ i nadal rozwija tak»e dzi¦ki temu, »e jej poj¦cia i jej metody s¡ narz¦dziami opisu realnych obiektów i towarzysz¡cych
im stosunków ilo±ciowych i jako±ciowych (matematyzacja jako faza procesu
stosowania matematyki), a przede wszystkim narz¦dziami rozwi¡zywania pozamatematycznych problemów.
Zakªad Edukacji Matematyczno-Przyrodniczej PWSZ w Nowym S¡czu zorganizowaª w dniach 1617 maja 2013 r. trzeci¡ mi¦dzynarodow¡ konferencj¦
Matematyka w przyrodzie i sztuce matematyka, przyroda i sztuka w ksztaªceniu powszechnym, której tematem byªo miejsce przyrody i sztuki w matematycznej aktywizacji. Praca jest monogra¡, w której znalazªy si¦ wybrane
wyst¡pienia na tej konferencji.
W dydaktyce matematyki wyró»nia si¦ zasad¦ integracji zewn¦trznej, w której chodzi o ekspansj¦ matematycznych poj¦¢ i twierdze« na inne przedmioty
nauczania. Monograa dotyczy tak»e owej integracji w nauczaniu matematyki.
O integracji zewn¦trznej mo»na mówi¢, gdy tworzymy matematyczny model
procesu dziedziczenia cech zgodnie z prawami Mendla. W pracy analizuje si¦
na gruncie matematyki dziedziczenie grupy krwi oraz koloru oczu w procesie panmiksji (jest to losowe kojarzenie osobników, którego rezultatem jest
genotyp potomka).
Cz¦±ci¡ wielu dzieª sztuki (rze¹by, obrazy) i architektury (budowle, plany
miast, ogrody, czy place) s¡ takie matematyczne obiekty, jak wielok¡ty, wielo±ciany (w tym bryªy plato«skie), kwadraty magiczne, zbiory, których moce
s¡ liczbami Fibonacciego, spirale Fibonacciego. W wielu tych ludzkich wytworach (zwªaszcza w architekturze) pojawiªy si¦ geometryczne symetrie i osobliwe proporcje (zªoty podziaª odcinka). Te same obiekty odkryª czªowiek w
wytworach przyrody (krysztaªy, kwiaty, drzewa, owoce, rogi zwierz¡t, skorupy
±limaków, proporcje czªowieka).
Krzywa ±rubowa jako obiekt matematyczny pojawiªa si¦ w ludzkich wytworach (spiralne schody, bi»uteria, spr¦»yny, wazony, ozdoby choinkowe, barokowe kolumny), ale ta krzywa wyst¦puje tak»e w przyrodzie (ukªad korzeni
i gaª¦zi niektórych drzew, struktura molekuª DNA, mineraªy). W kontek±cie
tych spiral pojawiaj¡ si¦ izometrie i ich rozmaite zªo»enia. O ciekawej geometrii
mowa jest w kontek±cie tworzenia obrazów anamorcznych.
Symetria rozumiana najpierw jako przeksztaªcenie geometryczne na prostej,
pªaszczy¹nie, czy w przestrzeni trójwymiarowej, pojawiªa si¦ w malarstwie,
rze¹bie, architekturze, ale tak»e w przyrodzie (krysztaªy) i w zyce. Poj¦ciu
symetrii nadaje si¦ dzi± szerszy, ogólniejszy sens. O symetriach mo»na mówi¢
w muzyce. W stochastyce pojawiaj¡ si¦ osobliwe wnioskowania przez symetri¦
(i nie jest to symetria geometryczna). Idea symetrii jest dzi± traktowana jako
szczególne ¹ródªo interdyscyplinarnych poszukiwa« jedno±ci przyrody.
Matematyka pojawia si¦ w sztuce ludowej. W monograi opisujemy fenomen krakowskiej szopki, jej projektowanie i sklejanie zaliczaj¡c do aktywno±ci
matematycznych. Wspominamy o ludowej architekturze, o ludowych haftach
i wycinankach w Czechach. W Polsce mamy wiele regionów sªyn¡cych z ludowych haftów (Bobowa na S¡decczy¹nie, Koniaków na ‘l¡sku Cieszy«skim), czy
wycinanek (Kurpie, Šowicz). Symetrie w papierowej wycinance uzyskuje si¦
poprzez odpowiednie zginanie papieru. W ten sposób ujawnia si¦ o± symetrii
lub jej ±rodek oraz ich rola w tym przeksztaªceniu.
W monograi pojawiª si¦ postulat, aby te wytwory sztuki ludowej o wyra¹nych matematycznych strukturach, wª¡cza¢ do powszechnego ksztaªcenia
matematycznego, ucz¡c przy tym pewnego lokalnego patriotyzmu (podziw dla
tradycji naszych maªych ojczyzn, w których »yjemy). S¡ to wi¦c tak»e wychowawcze aspekty integracji sztuki ludowej i matematyki.
W monograi zebrano prace komentuj¡ce matematyk¦ w przyrodzie i sztuce
oraz prace dotycz¡ce matematyki, przyrody i sztuki w powszechnym ksztaªceniu matematycznym oraz w ksztaªceniu przez matematyk¦ i sztuk¦. W tym
sensie adresatem tej monograi jest tak»e nauczyciel (i to nie tylko nauczyciel
matematyki). Zebrane w niej prace mog¡ (i maj¡) u±wiadomi¢ nauczycielowi,
a przede wszystkim pracownikom naukowym, którzy tych nauczycieli ksztaªc¡,
»e wokóª nas jest sporo (nie zawsze dostrzeganej) ciekawej matematyki. Mamy
tu na uwadze nowe spojrzenie na tre±ci i obiekty wykorzystywane w nauczaniu
matematyki, w ksztaªceniu matematycznym, a przede wszystkim w ksztaªceniu poprzez matematyk¦.
Prezentowane w tej monograi prace maj¡ charakter interdyscyplinarny
i potwierdzaj¡ tez¦ Hugona Steinhausa, »e matematyka peªni rol¦ po±rednika
mi¦dzy materi¡ a duchem.
Adam Pªocki
Nowy S¡cz, w grudniu 2013 r.
Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy S¡cz 2013
Propojení základních poznatk· z genetiky
a stochastiky na základní ²kole
1
2
Radka ’t¥pánková , Pavel Tlustý
1
Ekonomická fakulta
Jiho£eská univerzita v ƒeských Bud¥jovicích
Studentská 13, 370 05 ƒeské Bud¥jovice, ƒeská Republika
e-mail:
2
[email protected]
Ekonomická fakulta
Jiho£eská univerzita v ƒeských Bud¥jovicích
Studentská 13, 370 05 ƒeské Bud¥jovice, ƒeská Republika
e-mail:
[email protected]
Abstract
Nowadays, the emphasis is laid on cross-curricular teaching. Our contribution
is devoted to connection of basic terms from stochastics (mathematics) and
genetics (biology) at the primary school. In the Czech Republic there is usually not integrated combinatory and probability into the programme at the
primary school. However students (pupils) encounter with a lot of terms in
everyday life and they make use of them also in genetics which we mentioned.
In our work we demonstrate the sample lesson where students work with simple examples from genetics. Emphasis is laid on connection of problems with
which they encounter commonly such as inheritance of right-handedness and
left-handedness, mathematics (establishing of basic concepts and relationships
from probability and combinatory) and biology (basics of genetics).
Abstrakt
V sou£asné dob¥ je kladen d·raz na mezip°edm¥tové vazby. Ná² p°ísp¥vek
je v¥nován propojení základních pojm· z oblasti stochastiky (matematika) a
genetiky (p°írodopis) na základní ²kole. V ƒeské republice se do výuky obvykle
kombinatorika a teorie pravd¥podobnosti nezapojuje. Nicmén¥ ºáci se s touto
oblastí £asto setkávají v kaºdodenních situacích a velmi pot°ebná je také v jiº
204
Radka ’t¥pánková, Pavel Tlustý
zmín¥né genetice. V na²í práci popisujeme ukázkovou hodinu, ve které ºáci
pracovali s jednoduchými p°íklady z genetiky. D·raz je kladen na propojení
jev· z kaºdodenního ºivota (d¥di£nost pravorukosti a levorukosti), matematiky
(základní pojmy a vztahy z teorie pravd¥podobnosti) a p°írodopisu (základní
pojmy z genetiky).
1.
Úvod
V posledních letech je kladen d·raz na mezip°edm¥tové vazby. Ná²
£lánek se zam¥°uje na propojení genetiky a teorie pravd¥podobnosti ve
výuce na základní ²kole.
Genetika je pro ºáky obvykle poutavé téma. V RVP ƒlov¥k a p°íroda
jsou ke genetice p°i°azeny následující kompetence:
• uvede podstatu pohlavního a nepohlavního rozmnoºování a jeho
význam z hlediska d¥di£nosti,
•
uvede p°íklady d¥di£nosti v praktickém ºivot¥ a p°íklady vlivu prost°edí na utvá°ení organism·.
Genetika je blízce propojena s reálným ºivotem, se skute£nostmi, které
se jich p°ímo dotýkají. Motivovat ºáky k zaujetí tímto tématem proto
obvykle nebývá tak obtíºné, jako tomu bývá u dal²ích témat.
Totéº v²ak nem·ºeme °íct o teorii pravd¥podobnosti. Pokud se podíváme do RVP Matematika a její aplikace, zjistíme, ºe teorie pravd¥podobnosti v·bec není zahrnuta do osnov. Ze stochastiky zde m·ºeme
najít zcela okrajov¥ kombinatoriku, statistickému hodnocení dat je pak
v¥nováno více. Konkrétn¥ se jední o tyto kompetence:
• vyhledává, vyhodnocuje a zpracovává data, porovnává soubory dat,
• uºívá logickou úvahu a kombina£ní úsudek p°i °e²ení úloh a problém· a nalézá r·zná °e²ení p°edkládaných nebo zkoumaných situací.
To je situace odli²ná od Slovenska i Polska, kde je kombinatorika a teorie pravd¥podobnosti zahrnuta do osnov na druhém stupni Z’.
Myslíme si, ºe i u nás by teorie pravd¥podobnosti m¥la být zahrnuta
do osnov na Z’. N¥které £eské u£ebnice matematiky jiº n¥kolik p°íklad·
z teorie pravd¥podobnosti zapojily (viz [1]). Jestliºe se v²ak zamyslíme
hloub¥ji, zjistíme, ºe pravd¥podobnost m·ºe být vyu£ována i v jiných
p°edm¥tech (viz [3]). My jsme zvolili práv¥ genetiku, ve které se ºáci bez
základních pojm· z teorie pravd¥podobnosti obejdou jen t¥ºko.
Propojení základních poznatk· z genetiky a stochastiky na základní ²kole
2.
205
Výzkum
Výzkum byl proveden v jedné 9. t°íd¥ Z’. Jednalo se o t°ídu v²eobecnou,
bez zam¥°ení. šáci o speciální hodin¥ nebyli p°edem informováni.
V této t°íd¥ jiº byla genetika probrána a ukon£ena asi 2 m¥síce p°ed
touto hodinou. Byly zde probrány v²echny základní pojmy z genetiky
jako jsou gen, alela, d¥di£nost, dominantní a recesivní. šáci v²ak nepo£ítali ºádné p°íklady a Mendelovské £tverce (jedná se o p°ehlednou
tabulku, která ukazuje moºné kombinace alel) si nep°edstavovali.
S teorií pravd¥podobnosti se ºáci ve výuce matematiky ani jiných
p°edm¥t· nesetkali. Nebyly jim p°edstaveny ani základní pojmy jakými
jsou pravd¥podobnost, jev moºný, ²ance apod.
2.1. Úvod hodiny.
Na úvod do²lo k zopakování základních pojm· z genetiky gen, d¥di£nost, alely, recesivní, dominantní (viz [3]). Nad pojmy z teorie pravd¥podobnosti jsme diskutovali spole£n¥, zajímala nás jejich vlastní p°edstava
o pojmech pravd¥podobné, jisté, nemoºné, pravd¥podobnost, ²ance. Nejv¥t²í problém m¥li s pojmem pravd¥podobné. Toto slovo mají spojené
s b¥ºným ºivotem, kde se £asto poºíváno ve smyslu o£ekávám, ºe se to
stane = je to pravd¥podobné.
P°edpokládali tedy, ºe pokud se zeptáme Jak moc je to pravd¥podobné? , odpov¥¤ by automaticky m¥la znít, ºe je to hodn¥ pravd¥podobné (obvyklá p°edstava byla, ºe je ²ance na úsp¥ch v¥t²í neº polovi£ní).
Tento jev jsme si tedy vysv¥tlili podrobn¥ji. Ostatní pojmy chápali ºáci
intuitivn¥ správn¥ a nebylo t°eba je více vysv¥tlovat.
2.2. Fáze p°íklad·.
Po fázi opakování jsme p°e²li k °e²ení p°íklad·.
V²echny p°íklady byly voleny tak, aby se týkaly p°ímo ºák· nebo
pana u£itele. Zárove¬ jsme kladli d·raz na to, abychom vybrali takové
p°íklady, ve kterých ºáci nemohou dosp¥t k pochybnostem o rodi£ovství.
2.2.1. Barva o£í.
Úvodní p°íklad se ukázal být dobrým motiva£ním momentem. Vysv¥tlili jsme si, ºe základní barvy o£í jsou hn¥dá barva (alela pro hn¥dou
barvu H je dominatní) a modrá barva (alela recesivní m).
V zadání úvodního p°íkladu jsme vyuºili osobnost pana u£itele p°írodopisu, který má modré o£i. Jeho matka má o£i modré, otec hn¥dé.
Na dotaz, jak je to moºné, ºáci spontánn¥ odpovídali Tatínek pana
u£itele je nevlastní. Po vybídnutí k ov¥°ení této domn¥nky ºáci za£ali
206
Radka ’t¥pánková, Pavel Tlustý
samostatn¥ °e²it tento p°íklad. P¥t ºák· z 24 dokázalo p°íklad vy°e²it
bez jakékoliv nápov¥dy a objasnili své °e²ení i ostatním. Jejich zápis
byl mén¥ p°ehledný (vypsání v²ech moºností, ale bez systému), av²ak
správný. Diskutovali jsme o lep²ím zápise a p°e²li jsme k zápisu do p°ehledné tabulky - Mendelovský £tverec (viz tab. 1).
Hm/mm
H
m
Tab. 1.
m
m
Hm Hm
mm mm
P°ehledná tabulka
Poté jsme p°e²li k dal²ím, podobným p°íklad·m. V jednom p°ípad¥
byli oba rodi£e hn¥doocí, v druhém oba modroocí. Ptali jsme se na
otázky.
• Je moºné, aby tito rodi£e m¥li modrooké/hn¥dooké dít¥?
• Pokud ano, jak moc je to pravd¥podobné?
• Jaká byla ²ance, ºe se tak stane?
šáci m¥li samostatn¥ zd·vodnit své odpov¥di na tyto otázky. N¥kolik
ºák· (4 z 24) logicky odvodilo nejznám¥j²í vlastnost z klasické teorie
pravd¥podobnosti v tabulce spo£ítali v²echny moºné jevy a dali je do
pom¥ru s p°íznivými. Po ukázce jiº zvládala v¥t²ina ºák· °e²it p°íklady
samostatn¥, n¥kte°í s drobnou nápov¥dou.
2.2.2. Pravorukost x levorukost.
I tentokrát jsme za£ali vysv¥tlením, ºe alela pro pravorukost je dominantní, pro levorukost recesivní.
Ve t°íd¥ jsme se zeptali, kdo je levák. Zjistili jsme, ºe 4 ºáci jsou
leváci, p°i£emº dva mají oba rodi£e praváky, jeden ºák praváka a leváka,
u jednoho dva leváci.
Nejprve jsme ºák·m poloºili otázku, zda je u n¥kterých rodi£· jisté,
ºe budou mít levorukého potomka. Dal²ím úkolem bylo, aby ºáci zjistili, jaké alely mají rodi£e levorukých ºák· a samostatn¥ pak po£ítali
pravd¥podobnosti levorukosti. V¥t²in¥ ºák· to ne£inilo v¥t²í problém,
museli jsme si ov²em zopakovat p°echod od pom¥ru ke zlomku a dále
k procent·m.
Propojení základních poznatk· z genetiky a stochastiky na základní ²kole
207
2.2.3. Krevní skupiny.
V poslední £ásti hodiny jsme se v¥novali krevním skupinám. V²ichni
ºáci byli schopni vyjmenovat názvy krevních skupin. Abychom se dostali
ke zji²t¥ní dominantních a recesivních alel, diskutovali jsme nad vznikem
skupiny AB .
Po chvíli ºáci správn¥ usoudili, ºe alela A i B jsou dominantní, protoºe
krevní skupina AB musí vzniknout práv¥ z t¥chto dvou alel. U krevní
skupiny 0 jsme ºák·m prozradili, ºe její alely jsou recesivní. Poté jsme
se ºák· pro kontrolu pochopení zeptali, zda je moºné, aby dva rodi£e
se skupinou 0 m¥li potomka se skupinou A. šáci správn¥ odpov¥d¥li, ºe
nikoliv.
Posledním úkolem bylo vypsat v²echny moºné kombinace alel. Ani
tento p°íklad ne£inil v¥t²in¥ ºák· v¥t²í problém, n¥kte°í opomn¥li u krevních skupin A a B kombinaci alel s 0.
3.
Záv¥r
Usuzujeme-li z reakce ºák·, byla pro n¥ tato hodina zajímavá. I po zazvon¥ní zvonku z·stávali v lavicích v ºivé diskuzi nad danou problematikou
a p°icházeli s dal²ími dotazy. Zajímali se nap°íklad o dal²í barvy o£í jako
je zelená. Dále se ptali na to, jak je moºné, ºe n¥které jevy nastanou,
kdyº mají pravd¥podobnost nap°íklad pouze 25%.
Po týdnu jsme se ptali na zp¥tnou vazbu pana u£itele p°írodopisu. Ten
povaºoval hodinu za p°ínosnou, protoºe n¥které ºáky toto téma zaujalo
natolik, ºe je²t¥ v dal²ích dvou hodinách p°icházeli s dotazy týkajících
se d¥di£nosti a výpo£t· pravd¥podobnosti.
Z výzkumu v jedné t°íd¥ nelze u£init p°íli² obecné záv¥ry, formulovali
jsme v²ak následující díl£í výsledky.
• šáci na Z’ jsou schopni pouºívat základní pojmy z teorie pravd¥podobnosti. Je dobré ov²em s ºáky nejprve nad t¥mito pojmy diskutovat, aby bylo zamezeno ²patnému pochopení a jejímu
ukotvení.
• Výpo£et pravd¥podobnosti ºák·m ne£iní problém. N¥kte°í ºáci
jsou dokonce schopni sami objevit metodu, jak ji spo£ítat.
• Mezip°edm¥tová vazba je pro ºáky poutavá.
Celkov¥ hodnotíme hodinu jako p°ínosnou jak pro ºáky, tak i pro nás.
Prohloubila v nás totiº p°esv¥d£ení, ºe základy teorie pravd¥podobnosti
lze na Z’ zavést a to dokonce tak, ºe k ní ºáci budou mít pozitivní vztah.
208
Radka ’t¥pánková, Pavel Tlustý
To uº se na st°ední ²kole, kde p°evládá deduktivní výuka, £asto nestává a
teorie pravd¥podobnosti tak pat°í k nejmén¥ oblíbeným oblastem ²kolské
matematiky.
Reference
[1] Binterová H., Fuchs E., Matematika 8: pro základní ²koly a víceletá gymnázia, Fraus, Plze¬ 2009, ISBN 978-807-2386-840.
[2] Pªocki A., Pravd¥podobnost kolem nás: po£et pravd¥podobnosti v úlohách
a problémech, Univerzita J. E. Purkyn¥, Ústí nad Labem 2001, ISBN 80-
704-4355-3.
[3] Pªocki A., Tlustý P., Pravd¥podobnost a statistika pro za£áte£niky a mirn¥
pokro£ilé, PROMETHEUS, Praha 2007.
[4] Rámcové vzd¥lávací programy. Výzkumný ústav pedagogický v Praze [online]. 2011 [cit. 2013-05-10]. Dostupné z:
ramcove-vzdelavaci-programy
http: // www. vuppraha. cz/