Přednáška

Lineárnı́ soustavy
Homogennı́ lineárnı́ soustava diferenciálnı́ch rovnic 1. řádu má tvar1
(1)
ẋ = Ax,
kde A je reálná matice typu (n, n), x(t) = (x1 (t),. . . ,xn (t)) je neznámá
n-rozměrná vektorová funkce s nezávisle proměnnou t (čas), ẋ značı́ derivaci
x podle t.
Věta 1. (o existenci a jednoznačnosti řešenı́) Pro každé t0 ∈ R a vektor x0 = (x01 , . . . , x0n ) ∈ Rn existuje právě jedno řešenı́ ϕ : R → Rn
splňujı́cı́ v každém čase (1) a počátečnı́ podmı́nku ϕ(t0 ) = x0 .
¤
Poznámka 2. Řešenı́ ϕ z Věty 1 budeme někdy značit ϕ(t, t0 , x0 ),
speciálně pro t0 = 0 použijeme značenı́ ϕ(t, x0 ).
Pro matici A uvažujeme mocniny: A0 = E (jednotková matice), A1 =
A, pro n ≥ 1, An = AA
· · · A} . Exponenciela eA matice A je definována
| {z
vztahem
(2)
n−krát
A
e =
∞
X
Ak
k=0
k!
.
V následujı́cı́m tvrzenı́ popisujeme možný způsob, jak nalézt řešenı́ z
Věty 1.
Věta 3. Buďte t0 ∈ R a vektor x0 = (x01 , . . . , x0n ) ∈ Rn . Pak
!
̰
X Ak (t − t0 )k
x0 .
(3)
ϕ(t, t0 , x0 ) = eA(t−t0 ) x0 =
k!
k=0
¤
Přı́klad 4. Uvažujme přı́pad, kdy je matice
agonálnı́, i.e.,

λ1 0 0 . . .
0
 0 λ2 0 . . .
0

.
.
.
.
.
.
.
A=

 0 0 0 . . . λn−1
0 0 0 . . .
0
Přı́mým výpočtem ověřı́me, že
1
V zápisu soustavy pı́šeme x, ẋ mı́sto xT , (ẋ)T
1
A v soustavě (1) di0
0
.
0
λn



,


2

A(t−t0 )
e


=


eλ1 (t−t0 )
0
λ2 (t−t0 )
0
e
.
.
0
0
0
0
0
0
.
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
.
0
0
.
.
.
. eλn−1 (t−t0 )
0
.
0
eλn (t−t0 )



;


řešenı́ ϕ z (3) má tedy tvar
ϕ(t, t0 , x0 ) = (x01 eλ1 (t−t0 ) , x02 eλ2 (t−t0 ) , . . . , x0n eλn (t−t0 ) ).
¤
Poznámka 5. Formule pro řešenı́ ϕ daná Větou 3 je vhodná pro
nalezenı́ řešenı́ pouze v přı́padech, kdy umı́me vypočı́tat matici eA(t−t0 )
(např. pro diagonálnı́ matici).
¤
Definice 6. (vlastnı́ čı́sla a vektory matice) Komplexnı́ `-násobný
kořen λ0 (polynomické) charakteristické rovnice s neznámou λ
det(A − λE) = 0
nazýváme `-násobným vlastnı́m čı́slem matice A. Jakýkoliv nenulový
vektor u řešı́cı́ soustavu (A − λ0 E)u = 0n (0n značı́ nulový vektor v Rn )
nazýváme vlastnı́m vektorem matice A přı́slušejı́cı́m vlastnı́mu čı́slu
λ0 .
¤
Poznámka 7. Je známo, že polynom je určen jednoznačně svými
kořeny, jejich násobnostmi a koeficientem u nejvyšsı́ mocniny. Pro
matici A s vlastnı́mi čı́sly λ1 , . . . , λn (vı́cenásobná vlastnı́ čı́sla se v
seznamu opakujı́) lze tedy psát
(4)
det(A − λE) = (−1)n (λ − λ1 ) · · · (λ − λn ).
Po dosazenı́ λ = 0 do (4) dostáváme
(5)
det A = (−1)2n λ1 · · · λn = λ1 · · · λn .
¤
Přı́klad 8. Vypočtěme vlastnı́ čı́sla a přı́slušejı́cı́ vlastnı́ vektory matice


−1
0
0
 1 −2
1 .
1
0 −1
Charakteristická rovnice má tvar
−λ3 − 4λ2 − 5λ − 2 = 0
3
s jednoduchým (1-násobným) kořenem λ3 = −2 a 2-násobným kořenem
λ2,3 = −1.
I. Podle Definice 6, vlastnı́ vektor v = (v1 , v2 , v3 ) přı́slušejı́cı́ vlastnı́mu čı́slu
−2 je nenulovým řešenı́m soustavy (A − (−2)E)v = 03 , tedy rovnic
v1 = 0
;
v1 + v3 = 0
Vlastnı́m vektorem je tedy jakýkoliv vektor ve tvaru (0, r, 0) s nenulovým
r ∈ R.
II. Vlastnı́ vektor u = (u1 , u2 , u3 ) přı́slušejı́cı́ vlastnı́mu čı́slu −1 je
nenulovým řešenı́m soustavy (A − (−1)E)u = 03 , tedy rovnic
u 1 − u2 + u3 = 0
;
u1 = 0
Vlastnı́m vektorem je tedy jakýkoliv vektor ve tvaru (0, s, s) s nenulovým
s ∈ R.
¤
Poznámka 9. K přı́kladu 8 poznamenejme, že lineárnı́ podprostor
V−1 = {(0, s, s)}s∈R má dimenzi (= 1) menšı́ než násobnost 2 vlastnı́ho
čı́sla −1. V přı́padě V−2 = {(r, 0, −r)}r∈R je dimenze podprostoru V−2
i násobnost λ1 = −2 rovna 1.
¤
Poznámka 10. K popisu řešenı́ soustavy (1) použijeme vlastnı́ čı́sla a
vlastnı́ vektory matice A:
I. Má-li matice A reálná vlastnı́ čı́sla λ1 , . . . , λn (v seznamu je λj tolikrát, kolik je jeho násobnost) a těmto vlastnı́m čı́slům přı́slušı́ navzájem
lineárně nezávislé vlastnı́ vektory u1 , . . . , un , jsou funkce
ϕ1 = eλ1 t u1 , . . . , ϕn = eλn t un
navzájem lineárně nezávislými řešenı́mi soustavy (1); z Věty 1 pak
plyne, že každé řešenı́ (1) má tvar c1 ϕ1 + · · · + cn ϕn , kde c1 , . . . , cn ∈ R.
II. Má-li matice A imaginárnı́ vlastnı́ čı́sla α +iβ, α − iβ s přı́slušejı́cı́mi
vlastnı́mi vektory u = u1 + iu2 , u = u1 − iu2 , jsou funkce
ϕ = eαt (u1 cos βt − u2 sin βt), ψ = eαt (u1 sin βt + u2 cos βt)
navzájem lineárně nezávislými řešenı́mi soustavy (1).
III. Je-li λ0 komplexnı́ `-násobné vlastnı́ čı́slo matice A, existuje `
navzájem lineárně nezávislých řešenı́ soustavy (1) majı́cı́ch tvar
(6)
p1 (t)eλ0 t , . . . , p` (t)eλ0 t ,
kde p1 (t), . . . , p` (t) jsou vektorové polynomické funkce stupně nejvýše
` − 1.
¤
4
Poznamenejme, že vlastnı́ čı́slo je imaginárnı́ právě tehdy, když jsou
vlastnı́ vektory, vektorové polynomické funkce pi (t) a řešenı́ (6) imaginárnı́ (reálná řešenı́ (1) lze obdržet jejich ”zreálněnı́m”).
Přı́klad 11. Řešme soustavu (1) s maticı́ z Přı́kladu 8. Podle Věty 1
stačı́ nalézt tři lineárně nezávislá řešenı́ ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 soustavy (1); každé
jejı́ dalšı́ řešenı́ pak bude mı́t tvar ϕ = c1 ϕ1 + c2 ϕ2 + c3 ϕ3 při vhodných
konstantách c1 , c2 , c3 ∈ R. Podle Poznámky 10(I) a výsledku Přı́kladu
8 lze volit


1
ϕ1 (t) = e−2t  0  .
−1
K odvozenı́ funkcı́ ϕ2 , ϕ3 použijeme část III Poznámky 10, která se váže
k přı́padu násobného vlastnı́ho čı́sla. V této části se tvrdı́ , že existujı́ reálné polynomické vektory p1 (t), p2 (t) stupně nejvýše 1, pro které
jsou vektorové funkce p1 (t)e−t , p2 (t)e−t lineárně nezávislými řešenı́mi
našı́ soustavy. S využitı́m znalosti omezenı́ stupňů pi (t) položme


a1 t + b1
p(t) =  a2 t + b2  ,
a3 t + b3
kde ai , bi ∈ R, i = 1, 2, 3 jsou (zatı́m) neznámé koeficienty. Dosazenı́m
řešenı́ p(t)e−t do soustavy, sloučenı́m koeficientů u stejných mocnin
proměnné t v každé z rovnic a anulovánı́m sloučených koeficientů (vztahy platı́ pro každé t ∈ R) obdržı́me pro ai , bi , i = 1, 2, 3
(7)
a1 = 0, a2 = a3 = b1 , b2 = b3 .
Zřejmě jsou funkce p1 (t) = (0, 1, 1) (a1 = a2 = a3 = 0, b1 = 0, b2 =
b3 = 1) a p2 (t) = (1, t, t) (a1 = 0, a2 = a3 = 1, b1 = 1, b2 = b3 = 0),
zvolené ve shodě se (7), lineárně nezávislé. Lze tedy položit
 
 
0
1
−t 
−t 

1 , ϕ3 (t) = e
t .
ϕ2 (t) = e
1
t
¤
Definice 12. (rovnovážný stav) Řešenı́ u ∈ Rn soustavy lineárnı́ch algebraických rovnic
(8)
Au = 0n
nazýváme rovnovážným stavem soustavy (1).
¤
5
Poznámka 13. Soustava (8) má vždy (triviánı́) nulové řešenı́ u = 0n .
Bod 0n ∈ Rn je tedy rovnovážným stavem soustavy (1) nezávisle na
volbě matice A. Někdy bude vhodné omezit naši pozornost na soustavy,
pro něž je 0n jediným rovnovážným stavem. Ze známých výsledků
lineárnı́ algebry plyne, že jde o situaci, kdy má matice A tyto navzájem
ekvivalentnı́ vlastnosti:
- det A 6= 0 (matice A je regulárnı́)
- existuje A−1
- vlastnı́ čı́sla matice A jsou nenulová (srov. s Poznámkou 7)
V souhlase s maticovou terminologiı́ budeme soustavu (1) s regulárnı́
maticı́ A nazývat regulárnı́ soustavou.
¤
Přı́klad 14. Najděme rovnovážné

1
A= 2
1
stavy soustavy (1), kde

1 0
1 1 .
0 1
Snadno zjistı́me, že soustava Au = 03 má řešenı́ dané vektory ve tvaru
(s, −s, −s), s ∈ R. Rovnovážnými stavy soustavy (1) jsou tedy všechny
body přı́mky {(s, −s, −s)}s∈R .
¤
Poznámka 15. Často je výhodné uvažovat fázový portrét soustavy (1),
kterým rozumı́me systém (všech) orientovaných (ve směru pokračovánı́ s
rostoucı́ proměnnou t) integrálnı́ch křivek2 zakreslených v Rn opatřeném
kartézským systémem souřadnic x1 , . . . , xn 3.
¤
Dalšı́ výklad věnujeme vztahu rovnovážného stavu 0n a ostatnı́ch
trajektoriı́ fázového portrétu regulárnı́ soustavy (1). Chovánı́ jejı́ho
řešenı́ ϕ popı́šeme pomocı́ limit
lim ||ϕ(t)||, lim ||ϕ(t)||.
t→∞
t→−∞
Pro řešenı́ ϕ regulárnı́ soustavy (1), platı́ jedna z následujı́cı́ch možnostı́:
(TL1) ϕ ≡ 0n (’ϕ je nulové řešenı́’);
(TL2) limt→∞ ||ϕ(t)|| = 0, limt→−∞ ||ϕ(t)|| = ∞ (’ϕ se přibližuje k 0n
pro t → ∞’, ’ϕ se vzdaluje od 0n pro t → −∞’);
(TL3) limt→∞ ||ϕ(t)||, limt→−∞ ||ϕ(t)|| neexistujı́ (’ϕ kroužı́ kolem 0n ’);
(TL4) limt→∞ ||ϕ(t)|| = ∞, limt→−∞ ||ϕ(t)|| = 0 (’ϕ se vzdaluje od 0n
pro t → ∞’, ’ϕ se přibližuje k 0n pro t → −∞’);
2orientovanou
3v
integrálnı́ křivku budeme nazývat trajektoriı́
takzvaném fázovém prostoru
6
(TL5) limt→∞ ||ϕ(t)|| = limt→−∞ ||ϕ(t)|| = ∞ (’ϕ se vzdaluje od 0n pro
t → ∞ i pro t → −∞’, ’ϕ je sedlového typu’).
Definice 16. Rovnovážný stav 0n ∈ Rn (ve fázovém portrétu) regulárnı́
soustavy (1) je
- stabilnı́, jestliže každé jejı́ nenulové řešenı́ má vlastnost (TL2) nebo
(TL3);
- asymptoticky stabilnı́, jestliže každé jejı́ nenulové řešenı́ má vlastnost
(TL2).
¤
Věta 17. Rovnovážný stav 0n ∈ Rn regulárnı́ soustavy (1) je:
- stabilnı́ právě tehdy, když všechna vlastnı́ čı́sla matice A majı́ nekladné
reálné části;
- asymptoticky stabilnı́ právě tehdy, když všechna vlastnı́ čı́sla matice
A majı́ záporné reálné části.
¤
Věta 18. (Routhovo-Hurwitzovo kritérium) Uvažujme polynomickou
rovnici ve tvaru
(9)
an 6= 0, a0 > 0, a0 λn + a1 λn−1 + · · · + an−1 λ + an = 0
a definujme determinanty
¯
¯ an−1 an−3 an−5
¯
¯ an an−2 an−4
¯
an−1 an−3
4n = ¯¯ 0
..
..
¯ ...
.
.
¯
¯ 0
0
0
4i , i = 1, . . . , n předpisem
¯
··· 0 ¯
¯
¯
··· 0 ¯
¯
¯
· · · 0 ¯ , . . . , 42 = ¯ an−1 an−3
¯
¯ an an−2
..
.. ¯
.
. ¯
· · · a0 ¯
¯
¯
¯ , 41 = |an−1 | .
¯
Jestliže platı́ 4i > 0 pro i = 1, . . . , n, majı́ všechny kořeny rovnice (9)
záporné reálné části.
¤
Uvedené kritérium lze použı́t k vyšetřenı́ stability rovnovážného stavu.
Přı́klad 19. (i) Vlastnı́ čı́sla matice
µ
¶
0 −3
4
0
√
regulárnı́ soustavy (1) jsou λ1,2 = ±2i 3. Podle Věty 17 je tedy bod
02 (v přı́slušném fá zovém portrétu) stabilnı́.
(ii) Uvažujme regulárnı́ soustavu (1) s maticı́


−1
0
0
 1 −2
1 .
1
0 −1
Charakteristická rovnice má tvar (a3 > 0)
λ3 + 4λ2 + 5λ + 2 = 0;
7
pro determinanty 41 , 42 , 43 z Věty 18 platı́
¯
¯ 5 1 0
¯
43 = ¯¯ 2 4 0
¯ 0 5 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ = 18, 42 = ¯ 5 1 ¯ = 18, 41 = |5| = 5.
¯ 2 4 ¯
¯
¯
Rovnovážný stav 03 je tedy podle Vět 18 a 17 asymptoticky stabilnı́.
¤
Poznámka 20. Na obrázcı́ch 1-6 jsou naznačeny fázové portréty základnı́ch
typů (rovnovážných stavů) regulárnı́ch rovinných soustav - vývoj trajektorie v čase vede od červené k modré.
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
Obr.1. Nestabilnı́ uzel.
1.5
2
8
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
1.5
2
Obr. 2. Stabilnı́ uzel.
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
Obr. 3. Centr - vývoj trajektoriı́ v kladném směru.
9
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Obr. 4. Sedlo.
3
2
1
0
−1
−2
−3
−3
−2
−1
0
1
Obr. 5. Nestabilnı́ ohnisko.
2
3
10
3
2
1
0
−1
−2
−3
−3
−2
−1
0
1
2
3
Obr. 6. Stabilnı́ ohnisko.
¤
Poznámka 21. Typy přı́kladů: exponenciela (speciálnı́) matice, vlastnı́ čı́sla
a vlastnı́ vektory matice (n = 2, 3), řešenı́ soustavy (1), jejı́ž matice má
pouze jednoduchá vlastnı́ čı́sla (n = 2, 3), rovnovážné stavy soustavy
(1), stabilita r.s. 0n regulárnı́ soustavy (1) pomocı́ Věty 17, stabilita
r.s. 0n regulárnı́ soustavy (1) pomocı́ Věty 18.
¤
Uvažujme soustavu (1) a soustavu
(10)
ẏ = By
pro B = P −1 AP , kde P je jistá regulárnı́ matice4. Pokud dokážeme
vypočı́tat exponencielu
eBt , t ∈ R,
lze použı́t Větu 3 k vyjádřenı́ řešenı́ ψ soustavy (10) splňujı́cı́ho počátečnı́
podmı́nku ψ(0) = y0 :
ψ(t) = eBt y0 .
Označı́me-li x0 = P y0 , lze řešenı́ ϕ soustavy (1) splňujı́cı́ho počátečnı́
podmı́nku ϕ(0) = x0 zapsat ve tvaru
ϕ(t, x0 ) = P ψ(t) = P eBt P −1 x0 .
4P −1
tedy existuje; matice A, P −1 AP jsou takzvaně podobné
11
V dalšı́m se tedy budeme zabývat maticemi (v roli výše uvedené matice
B), pro které lze ’snadno’ určit exponencielu. Začneme poznámkou
popisujı́cı́ situaci pro systémy v rovině.
Poznámka 22. Je známo, že je-li A reálná matice typu (2, 2), je tato
podobná právě
s jednou
µ
¶ z následujı́cı́ch třı́ matic:
λ1 0
, jsou-li λ1 , λ2 ∈ R různá vlastnı́ čı́sla A, nebo
(1) B1 =
0 λ2
jestliže λ1µ= λ2 = λ¶∈ R a dim Vλ = 2
λ0 1
(2) B2 =
, je-li λ0 ∈ R 2-násobné vlastnı́ čı́slo A a dim Vλ0 =
0 λ0
1
µ
¶
a b
(3) B3 =
, jsou-li a ± ib imaginárnı́ vlastnı́ čı́sla A
−b a
Lze ukázat,
µ λ t že
¶
e 1
0
B1 t
-e =
0µ eλ2 t ¶
1 t
- eB2 t = eλ0 t
0 1
µ
¶
cos bt sin bt
B3 t
at
-e =e
¤
− sin bt cos bt
Přı́klad 23. Řešme soustavu (1) s maticı́
µ
¶
1 1
A=
.
−4 1
Vlastnı́ čı́sla matice jsou 1 + 2i, 1 − 2i. Matice A je tedy podobná s
maticı́
µ
¶
1 2
−1
B = P AP =
.
−2 1
Řešenı́ ψ soustavy (10) splňujı́cı́ počátečnı́ podmı́nku ψ(0) = y0 =
(y01 , y02 ) má tvar
µ
¶µ
¶
cos 2t sin 2t
y01
Bt
t
ψ(t) = e y0 = e
− sin 2t cos 2t
y02
a tedy pro řešenı́ ϕ soustavy (1) splňujı́cı́ počátečnı́ podmı́nku ϕ(0, x0 ) =
x0 = P −1 y0 platı́
ϕ(t, x0 ) = P ψ(t) = P eBt P −1 x0 .
¤
Postup z Přı́kladu 23 má jeden nedostatek. Neobsahuje vysvětlenı́,
jakým způsobem lze spočı́tat matici P . Této otázce se budeme věnovat
v dalšı́ části. Z důvodu přı́lišné formálnı́ složitosti vynecháme v našem
12
pojednánı́ přı́pad, kdy dimenze prostoru Vλ je menšı́ než násobnost λ
jakožto vlastnı́ho čı́sla matice A soustavy (1) - srov. s Poznámkou 9.
Pro účely dalšı́ho výkladu zavedeme následujı́cı́ značenı́: symbolem
(11)
diag(λ1 , . . . , λn )
zapisujeme reálnou diagonálnı́ matici typu (n, n), jejı́ž diagonálnı́ prvek
s řádkovým a sloupcovým indexem i je roven λi . Podobně, zápisem
(12)
diag([a1 , b1 ], . . . , [an , bn ])
mı́nı́me reálnou blokově diagonálnı́
µ matici typu
¶ (2n, 2n), jejı́ž i-tý diaai bi
gonálnı́ blok je čtvercová matice
.
−bi ai
Uvedená značenı́ můžeme i kombinovat v symbolu
(13)
diag(λ1 , . . . , λk , [a1 , b1 ], . . . , [a` , b` ]).
Přı́klad 24. Je tedy




diag(π, 10, [1, 2], [3, −4]) = 


π 0 0 0 0 0
0 10 0 0 0 0
0 0 1 2 0 0
0 0 −2 1 0 0
0 0 0 0 3 −4
0 0 0 0 4 3




.


¤
Je-li matice A ve tvaru (11), resp. (12) nebo (13), lze snadno napsat
jejı́ exponencielu eAt z Věty 3. V přı́padě (13) je eAt rovna
diag(eλ1 t , . . . , eλk t , [ea1 t cos b1 t, ea1 t sin b1 t], . . . , [ea` t cos b` t, ea` t sin b` t]).
V následujı́cı́ větě popı́šeme vlastnosti matice, již lze ’diagonalizovat’
na tvar (13).
Věta 25. Předpokládejme, že matice A je typu (n, n), kde n = k + 2`
a
(i) A má reálná vlastnı́ čı́sla λ1 , . . . , λk , jimž přı́slušı́ lineárně nezávislé
vlastnı́ vektory u1 , . . . , uk ,
(ii) A má 2` různých imaginárnı́ch vlastnı́ch čı́sel aj + ibj , aj − ibj s
přı́slušnými vlastnı́mi vektory vj + iwj , vj − iwj , j = 1, . . . , `.
Pak je matice P = (u1 . . . uk v1 w1 . . . v` w` ) invertibilnı́ a
(14)
P −1 AP = diag(λ1 , . . . , λk , [a1 , b1 ], . . . , [a` , b` ]).
13
¤
Přı́klad 26. Uvažujme matici

(15)

0 −1 3
3 −3  .
A= 2
−6 −3 1
Charakteristická rovnice det(A − λE) = 0 má konkrétnı́ tvar
−λ3 + 4λ2 − 14λ + 20 = −(λ − 2)(λ2 − 2λ + 10) = 0
s kořeny λ1 = 2, λ2 = 1 + 3i a λ3 = 1 − 3i. Pro aplikaci Věty 25
(k = ` = 1) vypočı́táme vlastnı́ vektory
u1 = (u11 , u12 , u13 ), v1 + iw1 = (v11 + iw11 , v12 + iw12 , v13 + iw13 )
a v1 − iw1 přı́slušejı́cı́ vlastnı́m čı́slům λ1 , λ2 , λ3 .
I. Podle Definice 6, vlastnı́ vektor u1 je nenulovým řešenı́m soustavy
(A − 2E)u1 = 03 , tedy rovnic
−2u11 − u12 + 3u13 = 0
2u11 + u12 − 3u13 = 0 ;
−6u11 − 3u12 − u13 = 0
lze volit napřı́klad u1 = (1, −2, 0).
II. Podobně, vlastnı́ vektor v1 + iw1 přı́slušejı́cı́ vlastnı́mu čı́slu 1 + 3i
je nenulovým řešenı́m soustavy (A − (1 + 3i)E)(v1 + iw1 ) = 03 , tedy
rovnic s komplexnı́mi koeficienty
(−1 − 3i)(v11 + iw11 ) + (−1)(v12 + iw12 ) + 3(v13 + iw13 ) = 0
2(v11 + iw11 ) + (2 − 3i)(v12 + iw12 ) + (−3)(v13 + iw13 ) = 0 ;
(−6)(v11 + iw11 ) + (−3)(v12 + iw12 ) + (−3i)(v13 + iw13 ) = 0
po rozepsánı́ v reálných a imaginárnı́ch částech dostáváme šest ’reálných’
rovnic se šesti neznámými v11 ,w11 ,v12 ,w12 ,v13 ,w13 :
−v11 + 3w11 − v12 + 3v13 = 0
−3v11 − w11 − w12 + 3w13 = 0
2v11 + 2v12 + 3w12 − 3v13 = 0
;
2w11 − 3v12 + 2w12 − 3w13 = 0
−6v11 − 3v12 + 3w13 = 0
−6w11 − 3w12 − 3v13 = 0
řešenı́m je napřı́klad vlastnı́ vektor (−1−i, 1+i, 1−i) a tedy vlastnı́mu
čı́slu 1 − 3i přı́slušı́ vlastnı́ vektor (−1 + i, 1 − i, 1 + i).
Vypočı́tali jsme, že u1 = (1, −2, 0), v1 = (−1, 1, 1), w1 = (−1, 1, −1).
Matice P , P −1 z Věty 25 splňujı́
14


−2
1 −1 −1
1
1  , P −1 =  −2
P =  −2 1
2
−2
0
1 −1
Násobenı́m matic snadno ověřı́me, že v souladu s

2 0
(16)
P −1 AP = diag(2, [1, 3]) =  0 1
0 −3


−2 0
−1 1  .
−1 −1
Větou 25

0
3 .
1
¤
Přı́klad 27. Uvažujme soustavu (1) s maticı́ (15). Podle Věty 1 má
tato soustava právě jedno řešenı́ ϕ : R → R3 splňujı́cı́ počátečnı́ podmı́nku
ϕ(0) = (1, 2, 3). K nalezenı́ ϕ použijeme výsledek Přı́kladu 26 a Větu
3. Použitı́m ’diagonalizovaného’ tvaru (16) matice A a předchozı́ části
přednášky dostaneme
 2t

e
0
0
ediag(2,[1,3])t = diag(e2t , [et cos 3t, et sin 3t]) =  0 et cos 3t et sin 3t  .
0 −et sin 3t et cos 3t
Podle Věty 3 je pak řešenı́ ϕ dáno vztahem
 2t

 
e
0
0
1
ϕ(t) = P  0 et cos 3t et sin 3t  P −1  2  .
0 −et sin 3t et cos 3t
3
¤
15
Nelineárnı́ soustavy
Uvažujme nynı́ autonomnı́ soustavu diferenciálnı́ch rovnic 1. řádu
(17)
5
ẋ = f (x),
kde G je otevřená podmnožina Rn , f = (f1 , . . . , fn ) : G ⊂ Rn → Rn ,
x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)) je neznámá n-rozměrná vektorová funkce s
nezávisle proměnnou t (čas), ẋ značı́ derivaci x podle t.
Poznámka 28. Je-li funkce f v zápisu soustavy (17) nelineárnı́, mluvı́me
o nelineárnı́ soustavě. Zpravidla uvažujeme funkci f se spojitými parciálnı́mi
derivacemi v G, tj. f ∈ C 1 (G).
¤
Věta 29. (o existenci a jednoznačnosti řešenı́) Jsou-li funkce f soustavy (17) a všechny jejı́ parciálnı́ derivace spojité v G, pak ke každému
t0 ∈ R a vektoru x0 = (x01 , . . . , x0n ) ∈ G existuje právě jedno maximálnı́ řešenı́ ϕ
splňujı́cı́ (17) a počátečnı́ podmı́nku ϕ(t0 ) = x0 .
¤
Poznámka 30. Řešenı́ ϕ z Věty 1 budeme někdy značit ϕ(t, t0 , x0 ),
speciálně pro t0 = 0 použijeme značenı́ ϕ(t, x0 ).
¤
Definice 31. (rovnovážný stav) Řešenı́ u ∈ Rn soustavy rovnic
(18)
f (u) = 0n
nazýváme rovnovážným stavem soustavy (17).
¤
V dalšı́m předpokládáme, že f má spojité parciálnı́ derivace a u∗ je
rovnovážným stavem soustavy (17). Použitı́m Taylorovy věty na složku
fj , j = 1, . . . , n funkce f v bode u∗ dostaneme pro všechna u ’blı́zká’
u∗
(19)
∗
fj (u) = f (u ) +
n
X
∂fj (u∗ )
i=1
∂xi
(ui − u∗i ) + gj (u − u∗ ),
kde gj , j = 1, . . . , n je funkce s vlastnostı́
(20)
lim∗
u→u
gj (u − u∗ )
= 0.
||u − u∗ ||
∗
Položı́me-li x = u − u , lze využitı́m vztahů ẋ = u̇, f (u∗ ) = 0n a (19)
zapsat (17) ve tvaru
ẋ = Ax + g(x),
kde
5V
zápisu soustavy pı́šeme ẋ, f (x) mı́sto (ẋ)T , (f (x))T
16
µ
(21)
A=
∂fj (u∗ )
∂xi
¶n
i,j=1
je Jakobiho matice matice funkce f v bodě u∗ . Lineárnı́ soustavu
(22)
ẋ = Ax
nazýváme linearizacı́ soustavy (17) v rovnovážném stavu u∗ .
Přı́klad 32. Spočtěme linearizace soustavy (17) pro
(23)
f (x1 , x2 , x3 ) = (x21 − x2 + x3 , x1 − x2 , 2x22 + x3 − 2)
ve všech jejı́ch rovnovážných stavech. Přepı́šeme-li soustavu pomocı́ jejı́ch
skalárnı́ch rovnic, má tvar
x˙1 = x21 − x2 + x3
x˙2 = x1 − x2
.
2
x˙3 = 2x2 + x3 − 2
Ve shodě s Definicı́ 31, vektor u = (u1 , u2 , u3 ) ∈ R3 je rovnovážným
stavem právě tehdy, když
u21 − u2 + u3 = 0
u 1 − u2 = 0
;
2u22 + u3 − 2 = 0
řešenı́mi jsou dva vektory (1, 1, 0) a (−2, −2, −6). Jakobiho matice
Jf (x1 , x2 , x3 ) funkce f je podle (21) rovna


2x1 −1 1
 1 −1 0  .
0 4x2 1
Linearizacı́ soustavy v rovnovážném stavu (1, 1, 0) je tedy soustava



2 −1 1
x1
ẋ = Jf (1, 1, 0)x =  1 −1 0   x2  ,
0 4 1
x3
respektive v rovnovážném stavu (−2, −2, −6)

−4 −1
ẋ = Jf (−2, −2, −6)x =  1 −1
0 −8
soustava


1
x1
0   x2  .
x3
1
¤
17
Poznámka 33. Typy přı́kladů: diagonalizace matice s vesměs reálnými
vlastnı́mi čı́sly jimž přı́slušı́ lineárně nezávislé vlastnı́ vektory (n = 2,
’diagonalizace’ matice s imaginárnı́mi vlastnı́mi čı́sly (n = 2, výpočet
řešenı́ soustavy (1) s počátečnı́ podmı́nkou pomocı́ ’diagonalizace’ (n =
2, výpočet linearizace soustavy v rovnovážných stavech.
¤
Definice 34. Rovnovážný stav u∗ soustavy (17) nazýváme
- zdrojem, jestliže všechna vlastnı́ čı́sla Jakobiho matice Jf (u∗ ) majı́ kladné
reálné části;
- odtokem (výlevkou), jestliže všechna vlastnı́ čı́sla Jakobiho matice
Jf (u∗ ) majı́ záporné reálné části;
- sedlem, jestliže všechna vlastnı́ čı́sla Jakobiho matice Jf (u∗ ) majı́ nenulové
reálné části a existuje alespoň jedno vlastnı́ čı́slo se zápornou a alespoň
jedno vlastnı́ čı́slo s kladnou reálnou částı́.
¤
3
2
1
0
−1
−2
−3
−1
0
1
2
3
4
Obr. 7. x˙1 = cos x1 , x˙2 = sin x2 .
Poznámka 35. Podobně jako pro lineárnı́ soustavu - srov. s Poznámkou
15 - lze i v přı́padě nelineárnı́ soustavy (17) uvažovat jejı́ globálnı́ fázový
portrét. Budeme jı́m rozumět systém (všech) orientovaných (ve směru
pokračovánı́ s rostoucı́ proměnnou t) integrálnı́ch křivek6 zakreslených
v G ⊂ Rn opatřené kartézským systémem souřadnic x1 , . . . , xn 7.
Pro otevřenou U ⊂ G budeme fázovým portrétem v U rozumět část
globálnı́ho fázového portrétu odpovı́dajı́cı́ množině U . Obr. 7 ukazuje
6orientovanou
7v
integrálnı́ křivku budeme nazývat trajektoriı́
takzvaném fázovém prostoru
18
fázový portrét v U = [−π/2, 3π/2] × [−π, π] pro nelineárnı́ rovinnou
soustavu.
¤
Poznámka 36. V Definici 34 jsme uvažovali přı́pady, kdy všechna
vlastnı́ čı́sla matice Jf (u∗ ) majı́ nenulové reálné části8. V takovém
přı́padě je soustava (1) s maticı́ A = Jf (u∗ ) regulárnı́ - srov. s Poznámkou
13 - a každá trajektorie jejı́ho fázového portrétu vyhovuje právě jedné
z možnostı́ (TL1)-(TL5) zavedených před Definicı́ 16.
¤
V následujı́cı́ch větách ukazujeme, že v přı́padě hyperbolického rovnovážného stavu u∗ se fázový portrét (17) v dostatečně malém okolı́ u∗
’podobá’ fázovému portrétu linearizace soustavy (17) v u∗ (možnosti
(TLn) a (TNn) si navzájem odpovı́dajı́).
Věta 37. Předpokládejme, že u∗ je hyperbolickým rovnovážným stavem
soustavy (17). Existuje okolı́ U bodu u∗ takové, že pro každé řešenı́ ϕ
z fázového portrétu v U platı́ jedna z následujı́cı́ch možnostı́:
(TN1) ϕ ≡ u∗ (’ϕ je konstatnı́ řešenı́’);
(TN2) limt→∞ ϕ(t) = u∗ (’ϕ se přibližuje k u∗ pro t → ∞’, ’ϕ opouštı́ U
pro t → −∞’);
(TN3) možnost odpovı́dajı́cı́ (TL3) nenastává v přı́padě hyperbolického
rovnovážného stavu;
(TN4) limt→−∞ ϕ(t) = u∗ (’ϕ opouštı́ U pro t → ∞’, ’ϕ se přibližuje k
u∗ pro t → −∞’);
(TN5) ’ϕ opouštı́ U pro t → ∞ i pro t → −∞’ (’ϕ je sedlového
typu).
¤
Věta 38. Předpokládejme, že u∗ je hyperbolickým rovnovážným stavem
soustavy (17). Pak existuje okolı́ U bodu u∗ takové, že
- je-li u∗ zdrojem, majı́ všechny nekonstatnı́ trajektorie ve fázovém
portrétu v U vlastnost (TN4);
- je-li u∗ odtokem, majı́ všechny nekonstatnı́ trajektorie ve fázovém
portrétu v U vlastnost (TN2);
- je-li u∗ sedlem, majı́ všechny nekonstatnı́ trajektorie ve fázovém portrétu
v U vlastnost (TN5).
¤
Abstraktnı́ formulace výše uvedených výsledků, která použı́vá pojem
homeomorfismu9, je shrnuta v následujı́cı́ větě:
Věta 39. (Grobman-Hartman) Předpokládejme, že u∗ je hyperbolickým
rovnovážným stavem soustavy (17). Existuje okolı́ U bodu u∗ a homeomorfismus h okolı́ U na Rn takový, že h zobrazuje trajektorie fázového
8u∗
je takzvaným hyperbolickým rovnovážným stavem
oblasti F, G ⊂ Rn je h homeomorfismem F na G, jestliže h je bijekcı́ mezi
F ,G a h, h−1 jsou spojitá zobrazenı́
9pro
19
portrétu v U soustavy (17) na trajektorie10 fázového portrétu linearizace
této soustavy v rovnovážném stavu u∗ .
¤
Definice 40. Uvažujme soustavu (17) pro n = 2 s řešenı́m ϕ. Existujeli nejmenšı́ čı́slo T > 0 pro něž ϕ(t) = ϕ(t + T ) pro každé t ∈ R,
nazýváme ϕ periodickým řešenı́m (17) s periodou T . Obor hodnot ϕ je
takzvaným cyklem soustavy (17) (nebo také uzavřenou tajektoriı́). ¤
Přı́klad 41. Uvažujme soustavu (17) pro
(24)
f (x1 , x2 ) = (−x1 + x2 + x22 , −x2 ).
Jediným rovnovážným stavem soustavy je 02 . Jakobiho matice Jf (x1 , x2 )
funkce f je podle (21) rovna
µ
¶
−1 1 + 2x2
0
−1
a tedy
µ
Jf (0, 0) =
−1 1
0 −1
¶
.
Matice Jf (0, 0) má 2-násobné vlastnı́ čı́slo λ1,2 = −1. Rovnovážný stav
je tedy odtokem. Podle Věty 38 existuje okolı́ U r. stavu 02 takové,
že každé nekonstatnı́ řešenı́ ϕ má ve fázovém portrétu v U vlastnost
(TN2) pro u∗ = 02 .
¤
V dalšı́ části přednášky se budeme zabývat limitnı́mi množinami ve
fázových prostorech (portrétech).
Definice 42. (limitnı́ množina) Uvažujme soustavu (17) a jejı́ řešenı́ ϕ.
Je-li
- ϕ definováno pro t ≥ t0 , symbolem ω(ϕ(t0 )) značı́me množinu všech
bodů x ve fázovém prostoru, ke kterým existuje rostoucı́ posloupnost
(časů) tn (závisejı́cı́ na x) s vlastnostı́
lim tn = ∞ & x = lim ϕ(tn ).
n
n
Množinu ω(ϕ(t0 )) budeme nazývat ω-limitnı́ množinou bodu ϕ(t0 ).
- ϕ definováno pro t ≤ t0 , symbolem α(ϕ(t0 )) značı́me množinu všech
bodů x ve fázovém prostoru, ke kterým existuje klesajı́cı́ posloupnost
(časů) tn (závisejı́cı́ na x) s vlastnostı́
lim tn = −∞ & x = lim ϕ(tn ).
n
n
Množinu α(ϕ(t0 )) budeme nazývat α-limitnı́ množinou bodu ϕ(t0 ). ¤
10homemorfismus
h tedy zachovává orientaci
20
V definici ω-limitnı́ (α-limitnı́) množiny se předpokládá, že přı́slušné
řešenı́ ϕ je definováno (globálně) pro každý čas t ≥ t0 (t ≤ t0 ). K
ověřenı́ této vlastnosti řešenı́ lze použı́t napřı́klad
Věta 43. (Chillingworth) Uvažujme dvojrozměrnou (n = 2) soustavu
(17), pro niž G = R2 a f má spojité parciálnı́ derivace v G. Pak je
každé řešenı́ definováno pro každé t ∈ R.
¤
Nynı́ popı́šeme možné ω-limitnı́ množiny pro širokou třı́du rovinných
soustav. Řešenı́ ϕ je omezené, jestliže ||ϕ(t)|| < K při vhodném K ∈ R
a každém t ≥ t0 .
Věta 44. (Poincaré-Bendixson) Uvažujme dvojrozměrnou (n = 2)
soustavu (17) s konečně mnoha rovnovážnými stavy. Buď ϕ jejı́ omezené
řešenı́ definované pro t ≥ t0 . Pro množinu ω(ϕ(t0 )) nastane právě
jedna z následujı́cı́ch třı́ možnostı́:
- ω(ϕ(t0 )) je rovnovážný stav
- ω(ϕ(t0 )) je cyklus
- pro každé u ∈ ω(ϕ(t0 )) jsou limitnı́ množiny α(u), ω(u) rovnovážnými
stavy
¤
Poznámka 45. Typy přı́kladů: určovánı́ zdroje, odtoku a sedla mezi
rovnovážnými stavy soustavy (17), popis lokálnı́ho fázového portrétu
pomocı́ Věty 38, určovánı́ typů limitnı́ch množin pro specialnı́ soustavy (17), určovánı́ typů limitnı́ch množin pro rovinné soustavy (17) s
použitı́m počı́tače a Věty 44.
¤
Definice 46. Uvažujme soustavu (17). Funkce F : G → R je 1.
integrálem soustavy (17), jestliže platı́
n
n
X
X
δF
δF
Ḟ =
ẋi =
fi = 0.
δx
δx
i
i
i=1
i=1
Integrálnı́mi křivkami (17) jsou vrstevnice funkce F , tj. křivky parametrického systému {F (x1 , x2 ) = c}c∈R .
¤
Přı́klad 47. Pro soustavu
x˙1 = α(x02 − x2 )x1 , x˙2 = β(x1 − x01 )x2
je funkce
F (x1 , x2 ) = βx01 (
1. integrálem.
x1
x1
x2
x2
− ln 0 ) + αx02 ( 0 − ln 0 )
0
x1
x1
x2
x2
¤
Existuje důležitá třı́da soustav, které majı́ 1. integrál. Jde o takzvané hamiltonovské soustavy. Pro jednoduchost omezı́me naši pozornost pouze na přı́pad v rovině.
21
Definice 48. Buď H : G ⊂ R2 → R hladká funkce. Rovinná soustava
δH
δH
ẋ1 = −
, ẋ2 =
δx2
δx1
se nazývá hamiltonovslá, funkci H nazýváme Hamiltonovou funkcı́ soustavy.
¤
Přı́klad 49. Ukažme, že libovolná rovinná hamiltonovská soustava má
1. integrál. Skutečně, je jı́m přı́mo Hamiltonova funkce H. Platı́ totiž
Ḣ =
δH
δH
δH
δH δH
δH
x˙1 +
x˙2 =
(−
)+
=0
δx1
δx2
δx1 δx2
δx2 δx1
¤
Věta 50. (Liouville) Uvažujme soustavu (17), nechť Ω(0) značı́ libovolnou oblast ve fázovém prostoru v čase t = 0 a Ω(t) značı́ obraz
této oblasti v čase t (tedy bod x0 ∈ Ω(0) se po čase t zobrazı́ do bodu
x(t; x0 ) ∈ Ω(t)). Označme ’objem’ oblasti Ω(t) symbolem V (t). Platı́
Z
dV (t)
=
div f dx.
(25)
dt
Ω(t)
Je-li div f ≡ 0 ve fázovém prostoru, je
oblasti Ω(t) se s časem neměnı́.
dV (t)
dt
= 0 a tedy objem V (t)
¤
Přı́klad 51. Ukažme, že pro libovolnou rovinnou hamiltonovskou soustavu oblast Ω(t) z předchozı́ věty neměnı́ obsah. Zřejmě stačı́ ověřit,
δH δH
že div (− δx
, ) = 0. Platı́
2 δx1
div (−
δH δH
δ2H
δ2H
,
)=−
+
= 0,
δx2 δx1
δx2 δx1 δx1 δx2
neboť smı́šené parciálnı́ derivace
rovny.
2
δ2 H
, δH
δx2 δx1 δx1 δx2
jsou si podle známé věty
¤
Přı́klad 52. Buď soustava
x˙1 = f1 (x1 , x2 ), x˙2 = f2 (x1 , x2 )
hamiltonovská. Ukažme, jak lze nalézt Hamiltonovu funkci H. Vı́me,
že platı́
δH
δH
, f2 =
.
f1 = −
δx2
δx1
Je tedy
Z
H(x1 , x2 ) = − f1 (x1 , x2 )dx2 = F1 (x1 , x2 ) + c(x1 ).
22
Protože současně máme
δF1
δH
=
+ c0 (x1 ) = f2 ,
δx1
δx1
lze z poslednı́ rovnosti vypočı́tat c0 (x1 ) a dalšı́ integracı́ pak i funkci
c(x1 ).
¤
Věta 53. (Liapunov) Uvažujme soustavu (17) s rovnovážným stavem
x0 ∈ G, nechť existuje okolı́ U rovnovážného stavu x0 a skalárnı́ funkce
V : U → R, která splňuje
• V (x0 ) = 0
• V (x) > 0, pro všechna x ∈ U \ {x0 }.
Pak platı́ následujı́cı́ tvrzenı́:
• Je-li V̇ ≤ 0 na U \ {x0 }, rovnovážný stav x0 je stabilnı́.
• Je-li V̇ < 0 na U \ {x0 }, rovnovážný stav x0 je asymptoticky
stabilnı́.
• Je-li V̇ > 0 na U , rovnovážný stav x0 je nestabilnı́.
¤
Přı́klad 54. Uvažujme soustavu (17) pro
(26)
f (x1 , x2 ) = (−x31 + x1 x2 , −x32 − x21 ).
Ukažme, že skalárnı́ funkce V (x1 , x2 ) = x21 +x22 je Liapunovovou funkcı́ této
soustavy v rovnovážném stavu 02 . Předně je V pozitivně definitnı́ na
R2 . Pro derivaci V̇ platı́
(27)
V̇ = 2x1 x˙1 +2x2 x˙2 = 2x1 (−x31 +x1 x2 )+2x2 (−x32 −x21 ) = −2(x41 +x42 ) < 0
na R\{02 }. Podle Věty 53 je tedy 02 asymptoticky stabilnı́m rovnovážným
stavem soustavy - srov. obr. 8.
¤
23
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Obr. 8. x˙1 = −x31 + x1 x2 , x˙2 = −x21 − x32 .
Poznámka 55. Často nenı́ lehké nebo dokonce možné najı́t Liapunovovu
funkci soustavy (17). Jiná je situace pro takzvanou gradientnı́ soustavu11, pro kterou lze Liapunovovu funkci v rovnovážném stavu x0
vyjádřit pomocı́ funkce V , pokud má tato v bodě x0 lokálnı́ extrém.
Náčrt rovinného fázového portrétu
Pro určenı́ fázového portrétu v rovině jsou rozhodujı́cı́ takzvané singulárnı́ trajektorie, mezi které patřı́:
• rovnovážné stavy
• cykly (uzavřené trajektorie)
• separatrix sedel (trajektorie ’vcházejı́cı́’ do sedla a ’vycházejı́cı́’ ze
sedla)
Pro stručnost pouze konstatujme, že singulárnı́ trajektorie dělı́ fázovou
rovinu na takzvané ’buňky’ a v každé z těchto buněk se již trajektorie
chovajı́ ’kvalitativně stejně’. K analýze singulárnı́ch trajektoriı́ můžeme
použı́t některé z následujı́cı́ch kritériı́.
Lemma 56. (Bendixson) Uvažujme soustavu (17) pro n = 2. Je-li D
δf1
δf2
jednoduše souvislá oblast a div f = δx
+ δx
neměnı́ na D znaménko,
1
2
nemá soustava (17) cyklus ležı́cı́ v D srov. obr. 9.
¤
11ẋ
= −gradV (x), kde V : Rn → R
24
6
4
2
0
−2
−4
−6
−6
−4
−2
0
2
4
6
Obr. 9. Fázový portrét bez cyklu, D = R2 .
x˙1 = x1 − x32 , x˙2 = x1 + x2 .
Lemma 57. Je-li γ cyklus soustavy (17) s n = 2 a vnitřek γ je částı́ G,
má soustava (17) uvnitř cyklu γ rovnovážný stav - srov. obr. 10. ¤
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Obr. 10. Rovnovážný stav uvnitř cyklu.
δf1
Lemma 58. Uvažujme soustavu (17) pro n = 2, nechť div f = δx
+
1
δf2
= 0 na jistém okolı́ U rovnovážného stavu x̄ = (x¯1 , x¯2 ). Má-li
δx2
25
linearizace soustavy (17) v bodě x̄ center, existuje okolı́ V ⊂ U bodu
x̄ takové, že V obsahuje pouze cykly soustavy (17) s vnitřnı́m bodem x̄
srov. obr. 11.
¤
4
2
0
−2
−4
−6
−6
−4
−2
0
2
4
6
Obr. 11. x˙1 = cos x2 , x˙2 = sin x1 .
Lemma 59. (Poincaré) Uvažujme soustavu (17) pro n = 2. Je-li D
uzavřená omezená oblast s hranicı́ δD tvořenou dvěma Jordanovými
křivkami a libovolná trajektorie protı́najı́cı́ δD směřuje dovnitř D, má
soustava (17) uvnitř D buď rovnovážný stav nebo cyklus - srov. obr.
12.
¤
26
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Obr. 12.
Cyklus r = 1 uvnitř oblasti D omezené kružnicemi r1 = .8, r2 = 1.2.
Přı́klad 60. Načrtněme fázový portrét soustavy
1
x˙1 = −x2 + x1 x2 , x˙2 = x1 + (x21 − x22 ).
2
Singulárnı́ trajektorie jsou:
√
√
• Rovnovážné stavy: (−2, 0), (1, 3), (1, − 3), (0, 0). Prvnı́ tři
stavy jsou sedly, linearizace v bodě (0, 0) odpovı́dá centru.
• Cykly: Z Lemmatu 58 plyne existence cyklů kolem (0, 0). Jiné
cykly v portrétu nejsou.
• Separatrix sedel: Lze ukázat, že separatrix jsou takzvanými
heteroklinickými trajektoriemi spojujı́cı́mi jednotlivá sedla.
Fázový portrét má celkem 7 buněk - srov. obr. 13.
¤
27
3
2
1
0
−1
−2
−3
−3
−2
−1
0
1
2
3
Obr. 13. x˙1 = −x2 + x1 x2 , x˙2 = x1 + 12 (x21 − x22 ).
Přı́klad 61. Načrtněme fázový portrét soustavy
x˙1 = x2 , x˙2 = −x1 + x21 .
Singulárnı́ trajektorie jsou:
• Rovnovážné stavy: (1, 0), (0, 0). Stav (1, 0) je sedlem, linearizace v bodě (0, 0) odpovı́dá centru.
• Cykly: Z Lemmatu 58 plyne existence cyklů kolem (0, 0). Jiné
cykly v portrétu nejsou.
• Separatrix sedel: Lze ukázat, že (dvě) separatrix představujı́ takzvanou homoklinickou trajektorii spojujı́cı́ sedlo (1, 0).
Fázový portrét má celkem 3 bunǩy - srov. obr. 14.
¤
28
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
Obr. 14. x˙1 = x2 , x˙2 = −x1 + x21 .
Věta 62. (Andronov-Hopf, n ∈ R) Uvažujme soustavu (17) ve tvaru
(28)
ẋ = A(ω)x + G(x, ω),
s parametrem ω ∈ R a C 1 -funkcı́ G : Rn × R → Rn pro niž
G(x, ω)
lim
=0
||x||→0
||x||
stejnoměrně vzhledem k ω z libovolné omezené podmnožiny R. Označme
β1 (ω), . . . , βn (ω) vlastnı́ čı́sla matice A a předpokládejme, že
• β1 (ω) = β2 (ω) = α(ω) + iρ(ω) blı́zko hodnoty ω0 ,
• α(ω0 ) = 0,
dα
(ω0 ) 6= 0,
• dω
• ρ(ω0 ) 6= 0,
• Reβj (ω0 ) 6= 0 pro všechna j ≥ 3.
Pak je ω0 pro soustavu (17) bifurkačnı́ hodnotou, tj. existuje posloupnost ωm taková, že
• limm ωm = ω0
• soustava (17) s parametrem ω = ωm má cyklus Γm
• posloupnost cyklů {Γm } konverguje k rovnovážnému stavu 0n ,
tj.
(29)
lim max ||x|| = 0.
m x∈Γm
¤
29
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Obr. 15.
x˙1 = −x2 + x1 (1 − x21 − x22 ), x˙2 = x1 + x2 (1 − x21 − x22 ).
Věta 63. (Andronov-Hopf, n = 2) Uvažujme soustavu (17) pro n = 2
ve tvaru
(30)
ẋ = f (x, ω),
s parametrem ω ∈ (ω0 − ε, ω0 + ε) a C ∞ -funkcı́ f : R2 × R → R2 pro
niž f (02 , ω) = 02 pro každé ω ∈ (ω0 − ε, ω0 + ε). Označme β1 (ω), β2 (ω)
vlastnı́ čı́sla Jakobiho matice Jf (02 , ω) a předpokládejme, že
• β1 (ω) = β2 (ω) = α(ω) + iρ(ω) blı́zko hodnoty ω0 ,
• α(ω0 ) = 0,
dα
• dω
(ω0 ) 6= 0,
• ρ(ω0 ) 6= 0.
Pak je ω0 pro soustavu (17) bifurkačnı́ hodnotou, tj. existuje posloupnost ωn taková, že
• limn ωn = ω0
• soustava (17) s parametrem ω = ωn má cyklus Γn
• posloupnost cyklů {Γn } konverguje k rovnovážnému stavu 02 , tj.
(31)
lim max ||x|| = 0.
n
x∈Γn
¤
Přı́klad 64. Obrázky 15-17 ukazujı́ fázové portréty sysému
x˙1 = −x2 + x1 (ω − x21 − x22 ), x˙2 = x1 + x2 (ω − x21 − x22 )
30
pro hodnoty parametru ω ∈ {−1, 0, 1}.
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
−5
−4
x˙1 = −x2 +
−3
−2
x1 (−x21
−1
0
1
2
3
4
5
Obr. 16.
− x22 ), x˙2 = x1 + x2 (−x21 − x22 ).
Ověřenı́m předpokladů Věty 63 lze ukázat, že ω0 = 0 je bifurkačnı́ hodnotou soustavy.
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
−5
−4
−3
x˙1 = −x2 + x1 (−1 −
−2
x21
−1
0
1
2
3
4
5
Obr. 17.
− x22 ), x˙2 = x1 + x2 (−1 − x21 − x22 ).
31
¤
32
1.
Modely
Fish harvesting model
is a system
Ṅ = f (N ) − νEN,
Ė = α(νpEN − cE),
where
N (t) = population level at time t;
E(t) = a measure of effort expended in fishing;
N
),
f (N ) = ”natural growth” of the population (when f (N ) = rN (1− K
the population growth is called logistic model);
ν = a constant per-capita rate;
p = price of fish (pνEN is the revenue from the harvest);
c = a constant cost of per unit effort (cE is the total cost);
α = a positive parameter.
It is assumed that f (N ) is ”well-behaved” and there are two positive
numbers, defined by N̄ = ν/νp and N̂ where N̄ > N̂ , such that
f (N )
N
d
dN
³
≥ 0, 0 < N < N̄ ,
f (N )
N
´
> 0, N < N̂ .
Vojenský konflikt dvou armád
x˙1 (t) = −α1 x2 (t),
x˙2 (t) = −α2 x1 (t),
kde xi (t) je počet vojáků státu Xi , i = 1, 2, v čase t, αi > 0 je
účinnost zbranı́ vojska státu Xi .
33
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Obr. 18. x˙1 = −x2 , x˙2 = −2x1 .
Průběh boje - obr. 18: má smysl uvažovat jen prvnı́ kvadrant,
mohou nastat celkem tři různé průběhy a výsledky boje (viz obrázek,
s vodorovnou osou x1 a svislou osou x2 ) v závislosti na počátečnı́
podmı́nce (x1 (0), x2 (0)):
p
(i): Je-li (x1 (0), x2 (0)) nad přı́mkou o rovnici y = x α2 /α1 , pak
po konečném čase t jest x2 (t) > 0, x1 (t) = 0 a tedy vı́tězı́ stát
X2 (trajektorie od červené k modré).
p
(ii): Je-li (x1 (0), x2 (0)) pod přı́mkou o rovnici y = x α2 /α1 , pak
po konečném čase t jest x1 (t) > 0, x2 (t) = 0 a tedy vı́tězı́ stát
X1 (trajektorie od červené k zelené).
p
(iii): Je-li (x1 (0), x2 (0)) na černé přı́mce o rovnici y = x α2 /α1 ,
pak po nekonečném čase t jest x( t) = x2 (t) = 0 a tedy ani jeden
ze států nevı́tězı́ (oboustranné vyčerpánı́ armád).
¤
Závěr. Zvýšı́-li jeden stát dvojnásobně účinnost zbranı́, musı́ druhý
stát při zachovánı́ účinnosti zvýšit čtyřnásobně počet vojáků svého vojska, aby eliminoval zvýšenı́ účinnosti zbranı́ protivnı́ka.
Poznámka 65. Realističtějšı́ model uvažuje mı́sto konstant α1 , α2
funkce α1 (x, y), α2 (x, y). Topologický typ fázového portrétu (průběhu a
výsledku boje) zůstane stejný jako v přı́padě konstant. Přesný předpis
funkcı́ α1 (x, y), α2 (x, y) nenı́ znám (k topologickému typu: obvod čtverce
a kružnice jsou topologicky stejného typu).
¤
34
Dravec-kořist
Jednoduchý model aplikace matematiky v ekologii, pocházı́ z 20. let
minulého stoletı́.
ẋ = ax − bxy
ẏ = −cy + dxy
To, že se kořist (např. zajı́ci) množı́, můžeme znázornit rovnicı́ ẋ = ax,
kde a > 0 je konstanta (faktor množenı́). Dravci (např. lišky) bez
potravy vymı́rajı́, což lze znázornit rovnicı́ ẏ = −cy, kde c > 0 je
konstanta (faktor úhynu). A faktor, že dravec potká lišku jest hxy,
kde h > 0 je konstanta ( b pro kořist, d pro dravce).
Velikost
populace
kořisti
Velikost populace dravců
Obr. 19.
Po uplynutı́ určitého času se systém vrátı́ do původnı́ho stavu a celý
cyklus se opakuje - srov. obr. 19.
Model vztahu Romea a Julie
Ṙ(t) = αJ(t) + γR(t)
˙ = βR(t) + δJ(t),
J(t)
35
(soustava dvou dif. rovnic s časem jako nezávisle proměnnou) neboli
lineárnı́ soustava s maticı́
µ
¶
γ α
A=
β δ
• R(t) je mı́ra lásky Romea k Julii. Je kladná, jestliže Romeo
cı́tı́ sympatii k Julii a je záporná, jestliže Romeo cı́tı́ antipatii
k Julii.
• α je stupeň, jakým Romeo odpovı́dá představám Julie.
• γ je mı́ra aktivity Romea vůči Julii. Je záporná, jestliže je
Romeo opatrný a je kladná, jestliže ’plane’.
• J(t) je mı́rá lásky Julie k Romeovy. Je kladná a záporná analogicky k Romeovým pocitům.
• β je stupeň, jakým Julie odpovı́dá představám Romea.
• δ je mı́ra opatrnosti Julie analogicky k γ.
Poznámka 66. Bez újmy na obecnosti můžeme uvažovat hodnoty
α, β, γ, δ z intervalu [−1, 1], přičemž hodnota −1 znamená nejvı́ce
negativnı́ stav a hodnota +1 naopak nejvı́ce kladný stav - srov. tři
nı́že uvedené volby koeficientů α, β, γ, δ a přı́slušné fázové portréty obr. 20-22.
¤
3
2
1
0
−1
−2
−3
−3
−2
−1
0
1
2
Obr. 20. Ṙ = R + .5J, J˙ = .5R + J.
3
36
3
2
1
0
−1
−2
−3
−3
−2
−1
0
1
2
3
Obr. 21. Ṙ = R + .5J, J˙ = R + .5J.
3
2
1
0
−1
−2
−3
−3
−2
−1
0
1
2
Obr. 22. Ṙ = .5R − .5J, J˙ = R − .5J.
3
37
Otázky ke zkoušce
1) vlastnı́ čı́sla a vlastnı́ vektory matice (n = 2, 3, Definice 6)
2) typy rovnovážných stavů lineárnı́ho systému (obr. 1-6)
3) linearizace nelineárnı́ho systému v rovnovážném stavu (vztahy (21),(22))
4) typy rovnovážných stavů nelineárnı́ho systému (Definice 34)
5) Andronov-Hopfova bifurkace (ověřenı́ předpokladů Věty 63)
6) 1. integrál (výpočet dle Přı́kladu 49 a Přı́kladu 47)
7) hamiltonovský systém (ověřenı́, výpočet Hamiltonovy funkce dle
Přı́kladu 51 a Přı́kladu 52)
8) náčrt rovinného fázového portrétu (použitı́ kritériı́ a přı́kladů 56-61)
9) Liapunovova funkce (ověřenı́ předpokladů Věty 53, Poznámka 55)
10) vytvořenı́ fázového portrétu pomocı́ počı́tačového programu