Pr´ıklady, 24.10. 2007
Transkript
Přı́klady, 24.10. 2007 Přı́klad 1. Vojenský konflikt dvou armád ẋ(t) = −βy(t), ẏ(t) = −αx(t), kde x(t) je počet vojska státu X v čase t, y(t) je počet vojska státu Y v čase t, α > 0 je účinnost zbranı́ vojska státu X, β > 0 je účinnost zbranı́ vojska státu Y . Průběh boje: má smysl uvažovat jen prvnı́ kvadrant, mohou nastat celkem tři různé průběhy a výsledky boje (viz obrázek, vodorovná osa je x, svislá osa je y) v závislosti na počátečnı́ podmı́nce (x(0), y(0)): p (i) Je-li (x(0), y(0)) nad přı́mkou o rovnici y = ( α/β)x, pak po konečném čase t jest y(t) > 0, x(t) = 0 ⇒ vı́tězı́ stát Y (hyperbola 1). p (ii) Je-li (x(0), y(0)) pod přı́mkou o rovnici y = ( α/β)x, pak po konečném čase t jest x(t) > 0, y(t) = 0 ⇒ vı́tězı́ stát X (hyperbola 2). p (iii) Je-li (x(0), y(0)) na přı́mce o rovnici y = ( α/β)x, pak po nekonečném čase t jest x(t) = y(t) = 0 ⇒ nikdo nevı́tězı́ (oboustranné vyčerpánı́ armád). Závěr. Zvýšı́-li protivnı́k účinnost svých zbranı́ na dvojnásobek, pak musı́ protistrana zečtyřnásobit počet svého vojska, pakliže ponechá účinnost svých zbranı́ nezměněnu (analogicky, jestliže ztrojnásobı́ účinnost zbranı́, musı́ protivnı́k zdevitinásobit počet vojsk) Poznámka. Realističtějšı́ model uvažuje mı́sto konstant α, β funkce α(x, y), β(x, y). Topologický typ průběhu boje a výsledku zůstane ale stejný, jako v přı́padě konstant, i když přesný předpis funkcı́ α(x, y), β(x, y) nenı́ znám. Stran 1 topologického typu: čtverec a kruh jsou topologicky stejného typu. Přı́klad 2. Dravec-kořist Jednoduchý model aplikace matematiky v ekologii, pocházı́ z 20. let minulého stoletı́. ẋ = ax − bxy ẏ = −cy + dxy To, že se kořist (např. zajı́ci) množı́, můžeme znázornit rovnicı́ ẋ = ax, kde a > 0 je konstanta (faktor množenı́). Dravci (např. lišky) bez potravy vymı́rajı́, což lze znázornit rovnicı́ ẏ = −cy, kde c > 0 je konstanta (faktor úhynu). A faktor, že dravec potká lišku jest hxy, kde h > 0 je konstanta ( b pro kořist, d pro dravce). Velikost populace kořisti Velikost populace dravců Po uplynutı́ určitého času se systém vrátı́ do původnı́ho stavu a celý cyklus se opakuje. Přı́klad 3. Model vztahu Romea a Julie Ṙ(t) = αJ(t) + γR(t) ˙ J(t) = βR(t) + δJ(t) 2 (soustava dvou dif. rovnic s časem jako nezávisle proměnnou) přepsáno do značenı́ z přednášky: ẋ = γx + αy ẏ = βx + δy neboli lineárnı́ soustava s maticı́ µ A= γ α β δ ¶ • R(t) je mı́ra lásky Romea k Julii. Je kladná, jestliže Romeo cı́tı́ sympatii k Julii a je záporná, jestliže Romeo cı́tı́ antipatii k Julii. • α je stupeň, jakým Romeo odpovı́dá představám Julie. • γ je mı́ra aktivity Romea vůči Julii. Je záporná, jestliže je Romeo opatrný a je kladná, jestliže plane“. ” • J(t) je mı́rá lásky Julie k Romeovy. Je kladná a záporná analogicky k Romeovým pocitům. • β je stupeň, jakým Julie odpovı́dá představám Romea. • δ je mı́ra opatrnosti Julie analogicky k γ. Poznámka: Bez újmy na obecnosti můžeme uvažovat hodnoty α, β, γ, δ z intervalu [−1, 1], přičemž hodnota −1 znamená nejvı́ce negativnı́ stav a hodnota +1 naopak nejvı́ce kladný stav. Průběh vztahů: Přı́pad I. Ṙ(t) = ˙ J(t) = 1 J(t) + 1R(t) 2 1 R(t) + 1J(t) 2 neboli soustava s maticı́ µ A= 1 1/2 1/2 1 3 ¶ J R Přı́pad II. 1 J(t) + 1R(t) 2 1 ˙ J(t) = 1R(t) + J(t) 2 neboli soustava se singulárnı́ maticı́ µ ¶ 1 1/2 A= 1 1/2 Ṙ(t) = J R Přı́pad III. 1 1 Ṙ(t) = − J(t) + R(t) 2 2 4 1 ˙ J(t) = 1R(t) − J(t) 2 neboli soustava s maticı́ µ A= 1/2 −1/2 1 −1/2 ¶ J R 5
Podobné dokumenty
velké
vhodné zarovnánı́ po slovech morfologické předzpracovánı́ (stemming) morfologické předzpracovánı́ (plná lemmatizace) přidánı́ nepředzpracovaného slovnı́ku dodatečné paralelnı́ texty,...
VíceDackiewiczová Jadwiga Napoleonovi synové Dahl Roald
Světové dějiny v datech I, II Kolo na střeše Ostrov pirátů Pět hodins Mariem Jeffův stín Pan Abel Vavříny s trny Tajemství plamenů Romeovy děti Fit pro život II. Barnabáš Rudge Ponurý dům I, II Oli...
VíceMean shift na CUDA - Media Research Lab
které může programátor využít. V poměrně krátkodobém časovém horizontu jsou plánována notná vylepšení procesorů a přidávání dalších jader. Zajímavým fenoménem ovšem začínají být grafické karty, kte...
Vícedůkaz elimanator
Jediný problém: najı́t partikulárnı́ řešenı́ v. Typický postup: • Eliminovat (A | b) ∼ (C | d), na soustavu se schodovitou maticı́. • Sloupce s volnými proměnnými odstranit (tj. dosadit za...
VíceSeminář Latinská Amerika – letní semestr 2009/2010
vybrané metropolitní oblasti LA" (lépe asi mimo Ciudad de Mexico Ekosystémy jihu Jižní Ameriky a Evropská kolonizace Patagonie a její původní obyvatelstvo. Pol.situace v Argentině
VícePrezentace aplikace PowerPoint - Institut biostatistiky a analýz
sumarizace kvalitativních dat -> cílem popsat absolutní a relativní četnosti
Více