DeWitt Kriegers

ZÁKLADY FOTONKY
svazek 3
BAHAA E. A. SALEH
MALVÍN CARL TEICH
matfyzpress
VYDAVATELSTVÍ MATEMATICKO-FYZIKÁLNÍ FAKULTY UNIVERSITY KARLOVY
FUNDAMENTALS OF
PHOTONICS
BAHAA E. A. SALEH
Department of Electrical and Computer Engineering
University of Wisconsin - Madison
Madison, Wisconsin
MALVÍN CARL TEICH
Department of Electrical Engineering
Columbia University
New York, New York
AWILEY-INTERSCIENCE PUBLICATION
JOHN WILEY & SONS, INC.
NEW YORK /
CHICHESTER
/
BRISBANE / TORONTO
/
SINGAPORE
BAHAA E. A. SALEH
je profesorem a vedoucím Department of Electrical
and Computer Engineering na Wisconsinské
univerzitě (Madison). Je vedoucím redaktorem
časopisu Journal of tne Optical Society of America A
a autorem knihy Photoelectron Statistics. Je členem
IEEE, Optical Society of America a John Simon
Guggenhem Foundation. Předmětem vědeckého
zájmu dr. Saleha jsou oblasti zpracování obrazu,
zpracování optického signálu, statistické optiky,
optických komunikací a vidění.
MALVÍN CARL TEICH
je profesorem a byl také vedoucím Department
of ElectricaJ Engineering na Columbijské univerzitě.
Je rovněž členem Department of Applied Physics,
Columbia Radiation Laboratory a Center
for Telecommunications Research. Je redaktorem
časopisu Quantum Optics. Dr. Teich je členem IEEE,
AAAS, Optical Society a John Simon Guggenheim
Foundation. Obdržel B. J. Thompsonovu pamětní
medaily IEEE. Vědecky pracuje v kvantové optice,
v optických komunikacích a ve výzkumu
senzorového vnímání.
© 1991 by John Wiley & Sons, Inc. All Right Reserved.
Authorized translation from English language edition published
by John Wiley & Sons, Inc.
Translation © MATFYZPRESS, vydavatelství
Matematicko-fyzikální fakulty University Karlovy
ISBN 80-85863-05-7
ISBN 80-85863-00-6 (soubor)
ISBN 80-85863-01-4 (1. sv.)
ISBN 80-85863-02-2 (2. sv.)
Orig.: ISBN 0-471-83965-5 (John Wiley & Sons, Inc.
New York/Chichester/Brisbane/Toronto/Singapur)
OBSAH
SVAZEK
1
KAPITOLA 1
PAPRSKOVÁ OPTIKA
KAPITOLA 2
VLNOVÁ OPTIKA
45
KAPITOLA 3
SVAZKOVÁ OPTIKA
87
KAPITOLA 4
FOURIEROVSKÁ O P T I K A
118
KAPITOLA 5
ELEKTROMAGNETICKÁ O P T I K A
170
DODATEK A
FOURIEROVA TRANSFORMACE
208
DODATEK B
LINEÁRNÍ SYSTÉMY
219
DODATEK C
M O D Y LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ
225
SVAZEK
2
KAPITOLA 6
POLARIZACE SVĚTLA A KRYSTALOOPTIKA
227
KAPITOLA 7
VLNOVODNÁ OPTIKA
276
KAPITOLA 8
VLÁKNOVÁ OPTIKA
314
KAPITOLA 9
REZONÁTOROVÁ OPTIKA
357
KAPITOLA 10 STATISTICKÁ OPTIKA
1
392
VI
OBSAH
SVAZEK
3
SEZNAM SYMBOLŮ
KAPITOLA 1 1
FOTONOVÁ OPTIKA
11.1
11.2
*11.3
Foton
Fotonové proudy
Kvantové stavy světla
Literatura
Úlohy
KAPITOLA 12
FOTONY A ATOMY
12.1
12.2
12.3
12.4
KAPITOLA
Atomy, molekuly a pevné látky
Interakce fotonů s atomy
Tepelné záření
Luminiscence
Literatura
Úlohy
KAPITOLA
Laserový zesilovač
Čerpání zesilovače
Nelinearita a saturace zisku v zesilovači
Šum zesilovače
Literatura
Úlohy
439
452
466
472
475
480
481
492
510
514
517
519
521
524
529
543
551
553
555
14
LASERY
14.1
14.2
14.3
437
13
LASEROVÉ ZESILOVAČE
13.1
13.2
13.3
*13.4
ix
Teorie laserových oscilací
Vlastnosti výstupního záření laseru
Impulsní lasery
Literatura
Úlohy
559
562
568
589
604
607
OBSAH
KAPITOLA
15
FOTONY V POLOVODIČÍCH
15. 1
15.2
Polovodiče
Interakce fotonů s elektrony a dírami
Literatura
Úlohy
KAPITOLA 1 6
POLOVODIČOVÉ ZDROJE FOTONŮ
16.1
16.2
16.3
Luminiscenční diody
Polovodičové laserové zesilovače
Polovodičové injekční lasery
Literatura
Úlohy
KAPITOLA 1 7
POLOVODIČOVÉ DETEKTORY FOTONŮ
17.1
17.2
17.3
17.4
17.5
SVAZEK
KAPITOLA 18
Vlastnosti polovodičových fotodetektorů
Fotoodpory
Fotodiody
Lavinové fotodiody
Sum fotodetektorů
Literatura
Úlohy
4
ELEKTROOPTIKA
KAPITOLA 19 NELINEÁRNÍ OPTIKA
KAPITOLA 20 AKUSTOOPTIKA
KAPITOLA 21 FOTONICKÉ SPÍNÁNÍ A OPTICKÉ POČÍTAČE
KAPITOLA 22 OPTICKÉ VLÁKNOVÉ KOMUNIKACE
REJSTŘÍK
vii
611
613
645
660
662
665
667
682
694
716
719
723
728
733
736
746
753
772
775
SEZNAM SYMBOLŮ
Označení důležitých veličin a význam nejfrekventovanějších symbolů
a zkratek
Latinská abeceda
a = Poloměr apertury nebo vlákna [m]; mřížková konstanta [m]
a z= Normovaná komplexní amplituda optického pole (|a| 2 = počet fotonů)
a = Amplituda (velikost) optické vlny; normovaná komplexní amplituda
optického pole (\a\2 = hustota fotonového toku)
A = Komplexní obálka monochromatické rovinné vlny
A(r) = Komplexní obálka monochromatické vlny
A„ = Komplexní obálka složky vlnění o frekvenci v
A — Plocha [m2]; prvek matice ABCD
ABCD = Přenosová matice paprsku
Ac = Koherenční plocha [m2]
.e/(r, í) = Komplexní obálka polychromatického (např. impulsního) vlnění
A = Vektorový potenciál [V • s • m" 1 ]
A = Einsteinův koeficient A [s -1 ]
APD = Lavinová fotodioda (avalanche photodiode)
ASE = Zesílená spontánní emise (amplified spontaneous emission)
B = Komplexní amplituda magnetické indukce [Wb/m2]; šířka pásma
[Hz]
Bo = Rychlost přenosu diskrétního signálu [bity/s]
6 = Prvek matice ABCD
̧ = Magnetická indukce [Wb/m2]; šířka ekvivalentního výkonu [Hz]
B = Einsteinův koeficient B [m3 • J " 1 • s~2]
BER = Chybovost, pravděpodobnost chyby na 1 bit (bit error rate)
c = Rychlost světla; fázová rychlost [m/s]
SEZNAM SYMBOLŮ
c o = Rychlost světla ve vakuu [m/s]
C = (Elektrická) kapacita
C(-) = Fresnelův integrál
C = Prvek matice ABCD
*£ = Vazební koeficient směrového vazebního členu [m" 1 ]
cw = Kontinuální (continuous wave)
d = Diferenciál
dr = Infinitezimální objem [m3]
ds = Infinitezimální změna délky [m]
d = Vzdálenost; délka [m]
d = Koeficient optické nelinearity druhého řádu [C • V~ 2 ]
tfijk — Složka tenzoru optické nelinearity druhého řádu [C • V""2]
e/ii,- = Složka tenzoru optické nelinearity druhého řádu (zkrácený zápis)
[cv-2]
y(013; ídi, W2) = Koeficient optické nelinearity druhého řádu (disperzní prostředí)
[C-V- 2 ]
D = Průměr [m]; komplexní amplituda elektrické indukce [C/m 2 ]
Dw = Vlnovodná disperze [s • m~ 2 ]
Dx, Dy = Příčná (laterální) šířka [m]
D\ = Koeficient materiálové disperze [s • m~ 2 ]
D„ = Koeficient materiálové disperze [s2 • m " 1 ]
D = Prvek matice ABCD
Q = Elektrická indukce [C/m 2 ]
e = Velikost náboje elektronu [C]
E = Komplexní amplituda intenzity elektrického pole [V/m]
E = Energie [J]
EA — Energie akceptorové hladiny [J]
Ec = Energie dna vodivostního pásu [J]
ED = Energie donorové hladiny [J]
Ef = Fermiho energie (Fermiho mez) [J]
Efc = Kvazi-Fermiho energie nosičů ve vodivostním pásu [J]
Ef .„ = Kvazi-Fermiho energie nosičů ve valenčním pásu [J]
Eg = Šířka zakázaného pásu [J]
£„ = Energie vrcholu valenčního pásu [J]
E„ = Spektrální hustota energie [J • Hz" 1 ]
<S = Intenzita elektrického pole [V/m]
SEZNAM SYMBOLŮ
xi
/ = Ohnisková vzdálenost čočky [m]; frekvence [Hz]
/(£) = Fermiho funkce
fa = Pravděpodobnost, že jsou splněny podmínky pro absorbci
/C(E) = Fermiho rozdělovači funkce pro vodivostní pás
/coi = Četnost srážek (srážková rychlost) [s"1]
/ e = Pravděpodobnost, že jsou splněny podmínky pro emisi
/ g = Fermiho faktor inverze
/„(£) = Fermiho rozdělovači funkce pro valenční pás
f = Frekvence zvuku [Hz]; modulační frekvence [Hz]
/ = Ohnisková vzdálenost [m]
F = Faktor zvýšení šumu lavinové fotodiody
F# = Clonové číslo čočky
& = Jemnost rezonátoru; síla [kg • m • s~2]
FWHM = Šířka (celá) na úrovni poloviny maximální hodnoty (full-width at half-maximum)
g = Parametr g rezonátoru
s( r ii r 2,i") = Komplexní stupeň koherence
g(v) = Funkce spektrální závislosti přechodu [Hz"1]
g(r) = Komplexní stupeň časové koherence
50 = Faktor zesílení
9vo{v) = Spektrální profil rozšířený elektron-fotonovou interakcí v polovodičích [Hz-1]
g = Stupeň degenerace
ff = Vazební koeficient při parametrické interakci [m~3]
G = Zisk zesilovače; zisk detektoru fotonů; vodivost [fi"1]
G(ri,r2) = Vzájemná intenzita [W/m2]
G(ri,r2,r) = Vzájemná koherenční funkce [W/m2]
G{u) = Zesílení optického zesilovače
G(T) = Časová koherenční funkce [W/m2]
G = Rychlost fotoionizace ve fotorefraktivní látce [m~3 • s - 1 ]
G„(-) = Hermiteovy-Gaussovy funkce
Go = Rychlost tepelného generování párů elektron-díra v polovodiči
[m- 3 • s-1]
G = Koherenční matice [W/m2]; gyrační vektor opticky aktivního prostředí
h = Planckova konstanta [J • s]
h(t) = Funkce impulsové odezvy lineárního systému
SEZNAM SYMBOLŮ
h(x,y) = Funkce impulsové odezvy dvourozměrného lineárního systému
h = h/2-n [J • s], redukovaná Planckova konstanta
H = Komplexní amplituda intenzity magnetického pole [A/m]
W„.() = Hermiteovy polynomy
•W = Intenzita magnetického pole [A/m]
Ti{y) = Přenosová funkce lineárního systému
Ti'{v) = Reálná část přenosové funkce lineárního systému
Ti"(v) = Imaginární část přenosové funkce lineárního systému
iyxi vy) — Přenosová funkce dvourozměrného lineárního systému
i = Elektrický proud [A]; celé číslo
ie = Elektronový proud [A]
ih = Děrový proud [A]
ip = Fotoelektrický proud [A]
i, = Závěrný proud polovodičové diody s přechodem p-n [A]
it = Prahový proud laserové diody [A]
ÍT = Propustný proud, při kterém je aktivní oblast laserového diodového
zesilovače transparentní [A]
/ = Optická intenzita (plošná hustota zářivého toku) [W/m2]
/., = Saturační optická intenzita zesilovače nebo absorbéru [W/m2]; akustická intenzita (plošná hustota toku akustického výkonu) [W/m2]
/„ = Spektrální hustota intenzity [W • m~2 • Hz" 1 ]
J^ = Moment setrvačnosti [kg • m2]
j = \/—T; celé číslo
J = Hustota elektrického proudu [A/m2]
Jc = Hustota elektronového proudu [A/m2]
Ji, = Hustota děrového proudu [A/m2]
./,„(•) = Besselova funkce prvního druhu řádu m
Jv = Hustota fotoelektrického proudu [A/m2]
Jt — Prahová hustota proudu laserové diody [A/m2]
JT — Hustota proudu, při které je aktivní oblast laserového diodového
zesilovače transparentní [A/m2]
J = Jonesův vektor
A; = Vlnové číslo [m""1]; celé číslo
^B = Boltzmannova konstanta [J/K]
k„ = Vlnové číslo ve vakuu [m - 1 ]
kj- = (A;2 + £2)1//2 = Příčná složka vlnového vektoru [m" 1 ]
SEZNAM SYMBOLŮ
kx, ky = Složky vlnového vektoru ve směrech i a j
xiii
:
[m ]
= Prostorové úhlové frekvence ve směrech i a t / [rad/m]
/- = Ionizační poměr lavinové fotodiody
1
k = Vlnový vektor [m" ]
1
k , = Mřížkový vektor [m" ]
-Km{-) — Modifikovaná Besselova funkce druhého druhu řádu m
I = Vzdálenost [m]; celé číslo
lc = Koherenční délka [m]
L = Vzdálenost, délka [m]; elektrická indukce [H]; ztrátový faktor; celé
číslo
Lc = Koherenční vzdálenost při parametrické interakci [m]
L„(-) = Laguerrovy polynomy
L o = Tr/2'ff = Vazebná délka (délka potřebná k přenosu výkonu) směrového vazebního členu [m]
LD = Laserová dioda
LED = Luminiscenční dioda {light-emitting diodě)
LP = Lineárně polarizovaný mod (lineary polarized mode)
m = mo = Hmotnost elektronu nebo atomu [kg]; celé číslo; kontrast nebo
modulační délka
mc = Efektivní hmotnost elektronu ve vodivostním pásu [kg]
mr = Redukovaná hmotnost atomu [kg]; redukovaná hmotnost elektronděrového páru v polovodiči [kg]
m„ = Efektivní hmotnost díry [kg]
m = Počet fotonů; počet fotoelektronů
M = Zvětšení zobrazovací soustavy; počet modů; celé číslo
M = Hmotnost atomu [kg]
M(v) = Hustota modů v rezonátoru nebo v dutině [m~ 3 • H z " 1 v 3-D rezonátoru; m " 1 H z " 1 v 1-D rezonátoru]
.// = Hustota magnetizace [A/m]; počet modů tepelného záření: míra
akustooptického jevu (figuře of merit) [m 2 /W]
M = Paprsková přenosová matice
n = Index lomu; celé číslo
n(r) = Index lomu nehomogenního prostředí
n(6) = Index lomu mimořádné vlny, jejíž vlnový vektor svírá úhel 8 s optickou osou jednoosého krystalu
nr = Mimofádný index lomu
n„ = Rádný index lomu
xiv
SEZNAM SYMBOLŮ
ri2 = Optická Kerrova konstanta (nelineární index lomu) [m2/W]
n = Počet fotonů
n = Hustota fotonů [m~3]
us = Saturační hustota fotonů [m~3]
n = Koncentrace elektronů v polovodiči [m~3]
Tli = Koncentrace elektronů/děr ve vlastním polovodiči [m~3]
N = Grupový index lomu; celé číslo; počet atomů; počet teček rozlišitelných skanerem
NF = Presnelovo číslo
N = Hustota částic [m~3]; N = No — Ni = Rozdíl hustot obsazení hladin
2 a 1 [m-3]
Na = Hustota atomů [m~3]
A/4 = Hustota ionizovaných akceptorových atomů v polovodiči [m~3]
NJJ = Hustota ionizovaných donorových atomů v polovodiči [m~3]
Nt = Prahová hustota inverzního obsazení laseru [m~~3]
A/o = Stacionární hustota rozdílu obsazení hladin v nepřítomnosti zesilovaného záření [m~3]
NA = Numerická apertura
p = Pravděpodobnost; hybnost [kg • m • s" 1 ]; parametr příčného profilu
indexu lomu gradientního vlákna
p{n) = Pravděpodobnost, že dojde k n událostem
p(x, y) = Aperturní nebo pupilová funkce
pab = Pravděpodobnost absorbce za jednotku času (mod s jedním fotonem)
psp = Pravděpodobnost spontánní emise za jednotku času (do jednoho
1
modu) [s" ]
pst = Pravděpodobnost stimulované emise za jednotku času (mod s jedním
fotonem) [s~J]
p = Normovaná kvadraturní složka elektrické intenzity pole
p = Dipólový moment [C • m]
p = Koncentrace děr v polovodiči [m~3]
p = Fotoelastická konstanta
Piju = Složka fotoelastického tensoru
p!K = Složka fotoelastického tensoru (zkrácený zápis)
P = Komplexní amplituda elektrické polarizace [C/m2]
v
v
P( x> y) = Fourierova transformace aperturní funkce p(x,y)
Pab = Pravděpodobnost absorpce za jednotku času (mod s mnoha fotony)
[s-1]
PNI = Komplexní amplituda nelineární polarizace [C/m2]
SEZNAM SYMBOLŮ
xv
Psp = Pravděpodobnost spontánní emise za jednotku času (do libovolného
modu) [s -1 ]
Pst = Pravděpodobnost stimulované emise za jednotku času (mod obsahuje
mnoho fotonů) [s"1]
P = Optický výkon [W]
P„ = Spektrální výkonová hustota [W • Hz" 1 ]
P-x = Půlvlnový optický výklon v kerrovském prostředí [W]
iP = Hustota elektrické polarizace [C/m2]; optický výkon [dBm]
?Pi = Hustota lineární polarizace [C/m2]
Hustota nelineární polarizace [C/m2]
V = Stupeň polarizace
q = Elektrický náboj [C]; vlnové číslo akustického vlnění; [m" 1 ]
q(z) = Komplexní parametr gaussovského svazku [m]
q = Vlnový vektor akustické vlny [m"1]
Q = Elektrický náboj [C]; činitel jakosti (kvalita) optického rezonatoru
r = Radiální vzdálenost ve sférických souřadnicích [m]; radiální vzdálenost v cylindrickém souřadném systému [m]
r = Polohový vektor [m]
r(i/) = Spektrální hustota rychlosti emise/absorbce fotonů v polovodiči
[m-3]
r = Komplexní amplitudová odrazivost; faktor amplitudového útlumu vlnění při jednom uzavřeném oběhu ve Fabryově a Perotově rezonatoru
r = Parametr elektron-děrové rekombinace [m3/s]
3
r„r = Parametr nezářivé elektron-děrové rekombinace [m /s]
r, = Parametr zářivé elektron-děrové rekombinace [m3/s]
t = Lineární elektrooptická (Pockelsova) konstanta [m/V]
tijt = Složka lineárního elektrooptického tensoru [m/V]
xu, = Složka lineárního elektrooptického tensoru (zkrácený zápis) [m/V]
R = Poloměr křivosti [m]; elektrický odpor [fi]
R{z) = Poloměr křivosti gaussovského svazku [ni]
-1
3
R = Čerpací rychlost [s • m"~ ]; rychlost rekombinace v polovodiči
[s - 1 • m~3]; rychlost injekce elektronů a děr v polovodiči js"1 • m~3]
1
3
Rt = Prahová čerpací rychlost laseru [s" • m~ ]
J? = Intenzitní nebo výkonová odrazivost
3í = Citlivost fotonového zdroje [W/A]; citlivost fotonového detektoru
[A/W]
3ř,í = Diferenciální citlivost laserové diody [W/A]
= Jonesova matice rotace souřadného systému o úhel 8
SEZNAM SYMBOLO
rms(-) = střední kvadratická(-) (root-mean square)
s — Délka nebo vzdálenost [m]
s(ri, r2, v) = Normovaná vzájemná spektrální hustota
s(x, t) = Vlnová funkce mechanického napětí
SÍJ — Složka tensoru napětí
s = Kvadratická elektrooptická (Kerrova) konstanta [m2/V2]
Sijki = Složka kvadratického elektrooptického tensoru [m2/V2]
SJK = Složka kvadratického elektrooptického tensoru (zkrácený zápis)
[m2/V2]
S = Intenzita přechodu (síla oscilátoru) [m2 • Hz]
5(r) = Komplexní amplituda zářivého zdroje [V/m3]
S(-) = Fresnelův integrál
S(r) = Eikonál [m]
S(ri, r2, v) = Vzájemná spektrální hustota [W • m~2 • Hz" 1 ]
S(u) = Výkonová spektrální hustota [W • m~2 • Hz" 1 ]
y = Poyntingův vektor [W/m2]
S = Spin fotonu [J • s]
SNR = Poměr signálu k šumu (signal-to-noise ratio)
t
tsp
/
T
T
- Cas [s]
= Střední doba spontánní emise [s]
= Komplexní amplitudová propustnost
= Teplota [K]
= Doba průletu [s]; doba čítání [s]; doba sepnutí [s]; časový interval pro
jeden bit [s]; rozlišovací doba (7 = 1/25, kde B = šířka pásma) [s];
perioda vlnění (T = 1/^, kde v = frekvence) [s]
Tp = \/VF = Převrácená hodnota frekvenční vzdálenosti rezonátorových
modů [s]; perioda sledu impulsů modově synchronizovaného laseru
[s]
3f = (Intenzitní nebo výkonová) propustnost; poměr výkonové přeměny
(transformace) nebo výkonového přenosu; vazební výkonový poměr
T = Jonesova matice
TE = Příčná elektrická vlna (transverse electric wave)
TEM = Příčná elektromagnetická vlna (transverse electromagnetic wave)
TM = Příčná magnetická vlna (transverse magnetic wave)
u = Posunutí [m]
u(r, t) = Vlnová funkce optického vlnění
ů = Jednotkový vektor
SEZNAM SYMBOLŮ
xvii
ř/(r) = Komplexní amplituda monochromatické optické vlny
U(r, í) = Komplexní vlnová funkce optického vlnění (analytický signál)
U:J(r) = Fourierova transformace vlnové funkce optického vlnění
v = Grupová rychlost vlnění [m/s]
vs = Rychlost šíření zvuku [m/s]
v = Rychlost atomu nebo předmětu [m/s]
vc = Rychlost elektronu [m/s]
ví, — Rychlost díry [m/s]
V = Objem [m3]; napětí [V]; Verdetova konstanta [m/Wb]
Vc = Kritické napětí cely s kapalným krystalem [V]
V,, = Půlvlnové napětí elektrooptické fázové destičky nebo modulátoru [V]
Vo = Difuzní napětí přechodu p-n [V]; spínací napětí směrového vazebného
prvku [V]
V = Normovaná frekvence (parametr V vlákna)
V(r) = Potenciální energie [J]
1' = Viditelnost
V = Číslo V disperzního prostředí
w = Šířka [m]
Wd = Šířka absorpční oblasti lavinové fotodiody [m]
wm = Šířka oblasti lavinového zesílení v lavinové fotodiodě [m]
W = Práce [J]
W(z) = Pološířka nebo poloměr gaussovského svazku v osové vzdálenosti z
od středu svazku [m]
WQ = Poloměr maximálního zúžení gaussovského svazku [m]
1
W = Pravděpodobnost absorpce čerpacího záření za jednotku času [s" ]
W.) = Pravděpodobnost absorpce a stimulované emise za jednotku času
[s"1]
1/' = Časově integrovaný optický výkon vyjádřený počtem fotonů
x = Polohová souřadnice; posunutí [m]
x = Normovaná kvadraturní složka intenzity elektrického pole
ar(t) = Inverzní Fourierova transformace susceptibility disperzního prostředí
y = Polohová souřadnice [m]
z = Polohová souřadnice (v kartézských nebo válcových souřadnicích) [m]
xviii
SEZNAM SYMBOLŮ
zo = Rayleighova vzdálenost Gaussovského svazku (polovina hloubky
ohniska, neboli konfokálního parametru) [m], Rayleighova vzdálenost
při průchodu gaussovského impulsu disperzním prostředím [m]
Z = Atomové číslo
Řecká abeceda
1
a = Koeficient útlumu nebo absorpce [m" ]; lámavý úhel hranolu; koefi1
cient stočení stočeného nematického kapalného krystalu [ni" ]
1
ae = Ionizační koeficient elektronů v polovodiči [m" ]
1
a.h — Ionizační koeficient děr v polovodiči [m" ]
am
1
= Koeficient ztrát odpovídající ztrátám zrcadla rezonátoru [ni" ]
-1
ar = Efektivní koeficient všech prostorově rozložených ztrát [ m ]
1
as = Koeficient ztrát laserového prostředí [m" ]
oip = Střední hodnota p v koherentním stavu
ax = Střední hodnota x v koherentním stavu
a = Koeficient útlumu optického vlákna [dB/km]
1
/3 = kz = Konstanta šíření [m" ]
/?' = První derivace /? podle OJ [m" 1 • s]
P" = Druhá derivace /? podle OJ \m~1 • s 2 ]
P(v) = Konstanta šíření v disperzním prostředí [m" 1 ]
/3Q = /?(fo) = Hodnota konstanty šíření pro centrální frekvenci VQ [m" 1 ]
7 = Koeficient zesílení [m" 1 ]; vazební koeficient v parametrickém systému [m" 1 ]; nelineární koeficient v teorii solitonů; koeficient příčného profilu vlnovodu [m" 1 ]; Koeficient magnetooptické stáčivosti
[m 2 /Wb]
7(f) = Koeficient zesílení optického zesilovače [ m - 1 ]
•yp = Špičková hodnota koeficientu zesílení laserového diodového zesilovače
[m-i]
7o(ť) = Koeficient zesílení signálu nízké úrovně optickým zesilovačem [m" 1 ]
F = Fázové zpoždění; faktor prostorového omezení
<5(-) = Delta funkce nebo impulsová funkce
Sx — Změna x
Sv = Spektrální šířka rezonátorového modu [Hz];
A = Tloušťka tenkého optického elementu [m]; relativní změna indexu
lomu v optickém vlákně nebo ve vlnovodu
Aa; = Přírůstek x
i\n = Koncentrace nadbytečných párů elektron-díra [m~3]
SEZNAM SYMBOLŮ
xix
= Koncentrace vstřikovaných nosičů v laserovém diodovém zesilovači,
3
při které je aktivní oblast transparentní [m~ ]
= Spektrální šířka nebo šířka spektrální čáry [Hz]
= 1/TC = Spektrální šířka [Hz]
= Dopplerovská šířka čáry [Hz]
AÍ/FWHM
=
Spektrální šířka v polovině maxima [Hz]
Ai/S = Šířka pásma saturovaného zesilovače [Hz]
e = Elektrická permitivita prostředí .[F/m]; chyba zaostření (rozostření)
1
[ni" ]
e-ij = Složka tensoru permitivity [F/m]
e o = Permitivita vakua [F/m]
C(z) = Fázové zpoždění na ose gaussovského svazku
r) = Impedance dielektrického prostředí [fi]; elektrická impermitivita
rjij = Složka tenzoru elektrické impermitivity
r\ = Kvantová účinnost; účinnost přenosu výkonu; účinnost přeměny
výkonu (přístrojová účinnost)
r\d = Vnější diferenciální kvantová účinnost přenosu
•nc = Účinnost emise; celková účinnost přenosu
•nCI = Vnější kvantová účinnost
T|,,: = Vnitřní kvantová účinnost
9 = Úhel
ě = 90° - 9 = Doplňkový úhel k úhlu 6
9a = Příjmový, aperturní úhel
#B = Brewsterův (polarizační) úhel; Braggův úhel
6C = Mezní (kritický) úhel
0c = Doplňkový úhel k meznímu úhlu
6a = Deviace hranolu
9S = Úhlová velikost zdroje.
6o = Úhel divergence gaussovského svazku
•0 = Práh
K = Vazební konstanta harmonického oscilátoru [J/m 2 ]
A = Vlnová délka [m]
A^i = Vlnová délka odpovídající aktivační energii akceptoru [m]
Xp = Vlnová délka odpovídající frekvenční vzdálenosti rezonátorových
modů [m]
XX
SEZNAM SYMBOLŮ
\g = Vlnová délka odpovídající šířce zakázaného pásu v polovodiči [m]
Ao = Vlnová délka ve vakuu [m]
A = Prostorová perioda mřížky nebo periodické struktury [m]; vlnová
délka akustického vlnění [m]
fi = Magnetická permeabilita [H/m]; pohyblivost nosičů v polovodiči
2
1
1
[m • s- • V" ]
fie = Elektronová pohyblivost [m2 • s" 1 • V" 1 ]
Hh — Děrová pohyblivost [m2 • s" 1 • V - 1 ]
\io = Permeabilita vakua [H/m]
v = Frekvence [Hz]
vp = Frekvenční vzdálenost sousedních rezonátorových modů; volný spektrální interval Fabryova a Perotova spektrometru [Hz]
vs = Šířka pásma prostorových frekvencí zobrazovací soustavy [m - 1 ]
vq = Frekvence modu q [Hz]
vx, v.y = Prostorové frekvence ve směrech u j [m" 1 ]
vp = (v2 + Vy)1/2 — Radiální složka prostorové frekvence [m"1]
vo = Frekvence maxima spektrální čáry [Hz]
4 = Vazební konstanta při čtyřvlnovém směšování
p = Optická stáčivost opticky aktivního (chirálního) prostředí [m" 1 ]; p —
2
2 1 2
= (x +V ) / = radiální vzdálenost v cylindrické souřadné soustavě
H
pc = Koherenční vzdálenost [m]
ps = Poloměr Airyho disku [m]; poloměr obrazu bodu vytvořeného zobrazovací soustavou, tzv. stopy [m]
g — Hustota látky [kg • m~ 3 ]; hustota náboje [C • m~3]
É>(fc) = Hustota stavů vfc-prostoru[m~2]
3
1
Q(V) = Spektrální hustota energie [J • m~ • Hz" ]; optická sdružená hustota
3
1
stavů [m~ Hz" ]
QC(E) — Hustota stavů v blízkosti dna vodivostního pásu [m~3 • J " 1 v objemovém polovodiči]
gv{E) = Hustota stavů v blízkosti vrcholu valenčního pásu [m~3 • J " 1 v objemovém polovodiči]
a = Vodivost [fí~1 • m" 1 ]; konstanta tlumení harmonického oscilátoru
a (v) = Účinný průřez přechodu [m2]
aq = Parametr obvodového šumu
SEZNAM SYMBOLŮ
xxi
ax = Směrodatná odchylka náhodné proměnné x; rms (střední kvadratická) šířka funkce x
<7o = a(vo) = Velikost účinného průřezu přechodu na centrální frekvenci v0
r = (Střední) doba života [s]; (střední) doba rozpadu/dohasínání [s]; šířka
časové funkce [s]; doba života/rekombinace nadbytečných elektronděrových párů v polovodiči [s]
TC = Koherenční doba [s]
Td = Zpoždění [s]
TC = Doba průletu (tranzitní doba) elektronu [s]
T;, = Doba průletu (tranzitní doba) díry [s]
T„, = Charakteristický čas lavinového násobení v lavinové fotodiodě
T„.r = Střední doba nezářivé elektron-děrové rekombinace [s]
TP = (Střední) doba života fotonu v rezonátoru [s]
ry = Střední doba zářivé elektron-děrové rekombinace [s]
T, = Saturační časová konstanta laserového přechodu [s]
i"2i = Střední doba přechodu mezi energetickými hladinami 2 a 1 [s]
(j> = Úhel v cylindrické souřadné soustavě; hustota fotonového toku
[m-2 • s"1]
1 2
1
2
1
2
4>(p) = Vlnová funkce v impulsové reprezentaci [s / • kg" ^ • m" '' ]
2
1
1
<f>„ = Spektrální hustota toku fotonů [m~ • s" • Hz" ]
2
1
4>s(u) = Saturační hustota toku fotonů [m~ • s" ]
<p = Fáze
(p(í/) = Koeficient fázového posunu v optickém zesilovači [m - 1 ]
$ = Fotonový tok [s"1]
-1
-1
$„ = Spektrální tok fotonů [s • Hz ]
X = Elektrická susceptibilita; elektronová afinita [J]
\' — Reálná část elektrické susceptibility x
x" = Imaginární část elektrické susceptibility x
x{v) = Elektrická susceptibilita disperzního prostředí
Xij = Složka tenzoru elektrické susceptibility
X<3) = Koeficient optické nelinearity třetího řádu [C • m • V~3]
Xijíi = Složka tenzoru optické nelinearity třetího řádu [C • m • V~3]
XIK
=
Složka tenzoru optické nelinearity třetího řádu (zkrácený zápis)
3
[C • m • V" ]
1 2
ip(x) = Vlnová funkce v souřadnicové reprezentaci [m" / ]
xxii
SEZNAM SYMBOLŮ
\ř(r,ť) = Vlnová funkce částice [m 3 ^ 2 • s ll2]
w = Úhlová frekvence [rad/s]
fi = Úhlová frekvence akustického vlnění [rad/s]; úhlová frekvence harmonického elektrického signálu [rad/s]; prostorový úhel
Matematické symboly
8 = Parciální derivace
V = Gradient (operátor nabla)
V- = (Operátor) divergence
Vx = (Operátor) rotace
V2 = d2/dx2 + d2/dy2 + 82/8z2 = Laplaceův operátor
V|, = d2/dx2 + 82/dy2 = Příčný Laplaceův operátor
oc = Úměrno
~ = Přibližně rovno
= = Rovno nebližšímu většímu celému číslu
= = Rovno nejbližšímu menšímu celému číslu
ZÁKLADY FOTONIKY
SVAZEK
3
K A P I T O L A
11
FOTONOVÁ OPTIKA
11.1 FOTON
A. Energie fotonu
B. Poloha fotonu
C. Hybnost fotonu
D. Polarizace fotonu
E. Interference fotonu
F. Časová lokalizace fotonu
11.2 FOTONOVÉ PROUDY
A.
B.
C.
D.
Střední fotonový tok
Náhodnost fotonového toku
Fotonová statistika
Náhodné dělení fotonových proudů
•11.3 KVANTOVÉ STAVY SVĚTLA
A. Koherentní stav
B. Stlačené stavy
Max Plaňek (1858-1947) přišel s myšlenkou,
že emise a absorpce světla v látce se děje
v kvantech energie.
Albert Einstein (1879-1955) vyslovil hypotézu, že světlo samo sestává z kvant energie.
437
438
FOTONOVÁ OPTIKA
Elektromagnetická optika (kap. 5) poskytuje nejkomplexnější popis světla v mezích
klasické optiky. Obsahuje vlnovou optiku, která dále obsahuje paprskovou optiku
(obr. 11.0-1). Přestože je elektromagnetická teorie, jak jsme se mohli přesvědčit
v předchozích kapitolách této knihy, schopna vysvětlit značné množství optických
jevů, v určitých případech selhává. Toto selhání, které začalo být patrné na začátku
našeho století, nakonec vedlo k formulaci kvantové elektromagnetické teorie známé
jako kvantová elektrodynamika. V souvislosti s optickými jevy je tato teorie také
nazývána kvantovou optikou. Kvantová elektrodynamika (QED*) je obecnější než
klasická elektrodynamika a je dnes uznávána jako teorie, jež se hodí k vysvětlení
vlastně všech známých optických jevů.
V rámci QED jsou elektrické a magnetické pole, E a H, matematicky popsána pomocí operátorů ve vektorovém prostoru. Předpokládá se, že vyhovují jistým
operátorovým rovnicím a komutačním relacím, které určují jejich časovou dynamiku
a vzájemnou závislost. Rovnice QED, podobně jako Maxwellovy rovnice klasické elektrodynamiky, musí správně popisovat interakce elektromagnetického záření s hmotou.
Použití QED může vést k výsledkům, jež jsou charakteristické svou kvantovou podstatou a jež nemohou být vysvětleny klasicky.
Formální výklad QED překračuje rámec této knihy. Nicméně je možné odvodit
mnoho kvantově-mechanických vlastností světla a jeho interakce s látkou, doplníme-li
elektromagnetickou optiku o několik jednoduchých výsledků QED zachycujících
částicovost, lokalizaci a fluktuace elektromagnetických polí a energie. Tento soubor
pravidel, který budeme nazývat fotonovou optikou, nám umožní zabývat se
optickými jevy, které překračují rozsah klasické teorie. Klasickou optiku přitom
zachováme jako limitní případ. Fotonová optika ovšem není teorií schopnou podat
vysvětlení všech optických jevů.
Kvantová optika
Elektromagnetická
optika
Vlnová optika
Paprsková optika
Obrázek 11.0-1 Teorie kvantové optiky je schopna vysvětlit všechny známé optické jevy.
Je obecnější než elektromagnetická optika, která — jak jsme ukázali dříve — zahrnuje
vlnovou i paprskovou optiku.
Z anglického Quantum Electrodynamics (pozn. překl.)
FOTON
439
V odst. 11.1 zavedeme pojem fotonu a popíšeme jeho vlastnosti pomocí několika
pravidel, která určují jeho energii, hybnost, polarizaci, polohu, časovou lokalizaci
a interferenci. Tato pravidla vypadají zdánlivě jednoduše, mají však dalekosáhlé
důsledky. V odst. 11.2 následuje diskuse vlastností fotonových proudů. Počet fotonů
emitovaných světelným zdrojem v daném čase je téměř vždy náhodný; statistické
vlastnosti závisí na povaze zdroje. Diskutována je fotonová statistika pro několik
důležitých optických zdrojů včetně laseru a tepelných zářičů. Je vyšetřován i vliv
jednoduchých optických komponent (jako je dělič svazku nebo filtr) na náhodnost
fotonového proudu. V odst. 11.3 využíváme kvantovou optiku k diskusi náhodných
fluktuací velikosti a fáze elektromagnetického pole. V tomto odstavci lze též nalézt
stručný úvod do problematiky koherentních a stlačených stavů světla. Interakce
fotonů s atomy je diskutována v kap. 12.
11.1
FOTON
Světlo sestává z částic zvaných fotony. Foton má nulovou klidovou hmotnost, ale
nese elektromagnetickou energii a hybnost. Má také vlastní moment hybnosti (spin),
který souvisí s jeho polarizačními vlastnostmi. Foton se pohybuje ve vakuu rychlostí
světla ve vakuu (co); v látce je jeho rychlost nižší. Foton má také vlnový charakter,
jenž určuje možnosti jeho lokalizace v prostoru a pravidla, podle nichž interferuje
a difraktuje.
Představa fotonu původně vzešla z Planckova úsilí rozřešit dávnou hádanku týkající se spektra záření černého tělesa. Plaňek tento problém nakonec vyřešil kvantováním povolených hodnot energie každého z elektromagnetických modů, z nichž záření
v dutině sestávalo (toto téma je diskutováno v kap. 12). V tomto odstavci zavedeme
pojem fotonu a pravidla fotonové optiky pro světlo nacházející se uvnitř optického
rezonátoru (uvnitř dutiny). Je to výhodná volba, protože omezuje uvažovaný prostor na jednoduché geometrické uspořádání. Přítomnost rezonátoru nepředstavuje
podstatné omezení při prováděných úvahách. Lze ukázat, že výsledky jsou na jeho
přítomnosti nezávislé.
Elektromagnetická teorie světla v rezonátoru
Podle elektromagnetické optiky je světlo v bezztrátovém rezonátoru o objemu V zcela charakterizováno elektromagnetickým polem, které lze vyjádřit ve tvaru součtu
diskrétních ortogonálních modů s různými frekvencemi, různými prostorovými rozděleními a různými polarizacemi. Vektor elektrického pole je £(t,ť) = Re{E(r,í)},
kde
E(r,í) = £A,ř/q(r)exp0-27rV)éq.
q
(11.1-1)
Komplexní amplituda g-tého vidu^ je Aq, frekvence ^ q . Polarizován je ve směru
jednotkového vektoru é q a jeho prostorové rozdělení je charakterizováno komplexní
funkcí ť' q (r), která je normována tak, že Jv |£/q(r)|2 dr = 1. Výběr funkcí f/q(r) a é q
není jednoznačný.
Termíny vid a mod budou používány v ekvivalentním významu (pozn. překl.)
440
FOTONOVÁ OPTIKA
V krychlovém rezonátoru o straně d je výhodné zvolit za funkce prostorového
rozvoje systém stojatých vln
2\ 3 ' 2
3
s m
dJ
^ r
s m
a
kde qx, qy a qz jsou celá čísla značená souborně indexem q = (qx, qy, qz) [viz odst. 9.1
a obr. 11.1-1 (o)]. Energie obsažená v modu je
V klasické elektromagnetické teorii může energie nabývat libovolných nezáporných
hodnot bez ohledu na to, jak jsou malé. Celková energie je součtem energií ve všech
videch.
Fotonové teorie světla v rezonátoru
Výše popsaná elektromagnetická optická teorie je ve fotonové optice zachována,
ovšem s omezením kladeným na energii, která smí být obsažena v každém modu.
Namísto spojité škály je nyní energie modu omezena na diskrétní množinu hodnot
vzájemně vzdálených o pevnou hodnotu energie. Říkáme, že energie vidu je kvantována. Povoleny jsou pouze celočíselné násobky této pevné hodnoty energie. Každá
taková jednotka energie je nesena jedním fotonem.
Světlo v rezonátoru je tvořeno systémem modů, z nichž každý obsahuje
celočíselný počet identických fotonů. Charakteristiky modu jako je jeho
frekvence, prostorové rozdělení, směr šíření a polarizace jsou připsány
fotonu.
A. Energie fotonu
Fotonová optika požaduje, aby energie elektromagnetického modu byla kvantována
na diskrétní hladiny, vzdálené od sebe o energii fotonu (obr. 11.1-1). Energie fotonu
v modu o frekvenci v je
Energie fotonu
E = hv = ňu>,
(11.1-3)
kde h = 6,63 x 10 3 4 J-s je Planckova konstanta a Ti = h/2ir. Energie může být
do tohoto modu přidávána nebo z něho ubírána pouze v kvantech hv.
Vid, který neobsahuje žádný foton, má nicméně energii Eo = \hu, která je
nazývána energií nulových kmitů. Je-li tedy v modu n fotonů, má celkovou energii
En=(n+^)hv,
n = 0, 1, 2, . . . .
(11.1-4)
Ve většině experimentů není energie nulových kmitů přímo pozorovatelná, neboť
se měří pouze energetické rozdíly [např. E„2 — Eni v (11.1-4)]. Existenci energie
FOTON
441
6hvo
542-
32-
1 -
10-
0-
Mod 2
Mod 1
Mod 3
(b)
Obrázek 11.1-1 (a) T¥i mody s různými frekvencemi a směry v krychlovém rezonátoru.
(b) Povolené energie tří modů s frekvencemi fi,f2 a "3- Plné kroužky označují počty
fotonů v jednotlivých videch; vidy 1, 2 a 3 obsahují postupně 2, 0 a 3 fotony.
nulových kmitů lze ovšem prokázat, je-li látka vystavena působení statického pole.
Nulové kmity hrají rozhodující roli v procesech spontánní emise z atomu, což je
diskutováno v kap. 12.
Řádovou velikost energie fotonu lze snadno odhadnout. Infračervený foton s vlnovou délkou Ao — 1 /mi má frekvenci 3 x 1014 Hz, neboť ve vakuu Ao^ = co- Jeho
energie je tedy hu = 1,99 x 10~10 J = 1,24 eV (elektronvoltů), což odpovídá kinetické energii elektronu urychleného potenciálovým rozdílem 1,24 V. Převodní vztah mezi
vlnovou délkou (^m) a energií (eV) fotonu je proto jednoduše Ao(^ím) = l,24/E(eV).
Jako další příklad lze vzít mikrovlny foton s vlnovou délkou 1 cm, jehož energie je
104 krát menší, hv = 1,24 x l(r 4 eV.
K vyjádření energie je často užíván také vlnočet. Udává se v cm" 1 (1 cm" 1
odpovídá l,24xlO~ 4 eV a 1 eV odpovídá 8068,1 cm" 1 ). Vztahy mezi frekvencí
fotonu, vlnovou délkou, energií a vlnočtem jsou ilustrovány na obr. 11.1-2.
Protože fotony s vyšší frekvencí nesou větší energii, stává se částicová podstata
světla výraznější se zvyšující se frekvencí záření. Naopak vlnové efekty, jako difrakce
a interference, se stávají se zkracující se vlnovou délkou stále hůře postřehnutelné.
Rentgenové a gama paprsky se téměř vždy chovají jako soubory částic na rozdíl
od radiových vln, které se téměř vždy chovají jako vlny. Frekvence světla v optické
oblasti je taková, že přichází v úvahu jak částicové tak vlnové chování. To vyvolává
potřebu fotonové optiky.
B.
Poloha fotonu
Každému fotonu je přidružena vlna popsaná komplexní vlnovou funkcí modu AU(r) x
x exp(j27rí/í)é. Dopadne-li však foton na detektor tvořený malou ploškou dA umístěnou kolmo ke směru šíření v místě r, je — vzhledem ke své nedělitelnosti — buďto
zcela pohlcen, nebo vůbec nedetekován. Místo, ve kterém je foton registrován, není
přesně určeno. Závisí na optické intenzitě, /(r) tx |f/(r)| 2 , podle následujícího pravděpodobnostního zákona:
442
FOTONOVÁ OPTIKA
Frekvence
Vlnová
délka
"
A
1
1015
(Hz)
1
100 nm
°
Energie
E
Vlnočet
-^-(cm-i)
(eV)
1
10"
1
1 mm
1 nm
1
10 ^m
1
100 ^m
|
1
10-1
10-2
10-3
1
1Q3
1
2
1
10
1
10
1
105
1
1Q12
1013
101"
10
4
1
1
1 cm
1
1
Obrázek 11.1-2 Vztahy mezi frekvencí fotonu v (Hz), vlnovou délkou Aoi energií E (eV)
1
1
a vlnočtem 1/Ao ( c m " ) . Foton o vlnové délce 1 cm má vlnočet 1 cm"" . Foton s frekvencí
14
1
v = 3 x 10 Hz má vlnovou délku AQ = 1 iaa, energii l,24eV a vlnočet 10000cm"" .
Pravděpodobnost p(r) d>4, že foton bude v libovolném časeí pozorován na infinitezimální plošce dA v místě r, je úměrná lokální optické intenzitě /(r) oc
2
oc |ř/(r)| , tzn.
Poloha fotonu
í>(*) ^A oc 7(r) dA
(11-1-5)
Foton bude s větší pravděpodobností nalezen v těch místech, kde intenzita je
vysoká. Například foton nacházející se v modu popsaném stojatou vlnou s rozložením
intenzity I(x,y,z) oc sin2(7rz/c/), kde 0 < z < d, bude s největší pravděpodobností
zaznamenán v z = d/2, nikdy však nebude detekován v z = 0 nebo z = d. Na rozdíl
od vln, které jsou rozprostřeny v prostoru a na rozdíl od částic, jež jsou lokalizovány,
se optický foton chová jako entita, která je rozprostřená i lokalizovaná. Tomuto
chování se říká vlnově částicový dualismus. Lokální povaha fotonů vychází najevo
při jejich detekci.
Cvičení 11.1-1
Fotony v gaussovském svazku
a) Uvažujte jediný foton popsaný gaussovským svazkem (tj. popsaný
jako mod TEMo.o rezonátoru se sférickými zrcadly; viz odstavce 3.1B,
5.4A a 9.2B). Jaká je pravděpodobnost detekce fotonu uvnitř kruhu
o poloměru rovném nejmenšímu poloměru svazku WQ (V rovině z = 0)?
Uvědomte si, že v nejužším místě svazku (z = 0) je I(p, z = 0) oc
oc exp(—2P2/WQ), kde p je radiální souřadnice.
b) Je-li ve svazku větší počet N nezávislých fotonů, odhadněte střední
počet fotonů uvnitř tohoto kruhu.
FOTON
443
Průchod jediného fotonu děličem svazku
Ideální dělič svazku je takový optický přístroj, který rozdělí svazek světla beze ztrát
na dva svazky svírající pravý úhel. Je charakterizován intenzitní propustností 37
a odrazivostí d# — 1 — 37. Intenzitu prošlé vlny It i intenzitu odražené vlny /,.
lze spočítat z intenzity dopadající vlny 1 za pomoci elektromagnetických vztahů
/,. = (1 - .J)I 2,1, = 371.
Protože je foton nedělitelný, musí si vybrat mezi dvěma možnými směry, které
dělič svazku připouští. Foton dopadající na dělič bude sledovat jednu ze dvou
možných cest v souladu s pravděpodobnostním zákonem o poloze fotonu (11.1-5).
Pravděpodobnost, že foton projde, je úměrná /(, a je proto rovna propustnosti 37'.
Pravděpodobnost, že bude odražen je 1 — 37'. Z hlediska teorie pravděpodobnosti
se jedná o stejný problém, jaký představuje házení mincí. Popsaný proces je zachycen
na obrázku 11.1-3.
C. Hybnost fotonu
Hybnost fotonu je svázána s vlnovým vektorem přidružené vlnové funkce následujícími pravidly:
Foton v modu popsaném rovinnou vlnou
E(r, t) = A exp(—jk • r) exp(j27ri^í)ě
má vektor hybnosti
p = 7ik.
(11.1-6)
Foton se pohybuje ve směru daném vlnovým vektorem a velikost hybnosti
je p = tik = h2n/X, tj.
P=\Elektromagnetická optika vede ke stejnému vztahu mezi energií a hybností rovinné vlny: p = (E/c)k, kde p je hybnost vlny obsažená v jednotce objemu, E je energie
Dělič svazku
ij
i
gi^ra^^^^rajraag^^^/
^m^^mmĚĚ^m.
•+~<<s**-*-
Jeden foton
pravděpodobností
Jeden foton
s pravděpodobností S% = 1 — ^
Obrázek 11.1-3
Pravděpodobnostní odraz nebo průchod fotonu děličem svazku.
444
FOTONOVÁ OPTIKA
připadající na jednotku objemu a k je jednotkový vektor ve směru k. Pojem fotonu
v elektromagnetické optice samozřejmě neexistuje, takže výrazy (11.1-6) a (11.1-7)
obsahující h jsou charakteristické pro fotonovou optiku.
*Hybnost lokalizované vlny
Vlna popsaná komplexní vlnovou funkcí tvaru AU(r) exp( j2ni't)ě, která je obecnější
než vlna rovinná, může být metodami fourierovské optiky (viz kap. 4) vyjádřena jako
suma rovinných vln o různých vlnových vektorech. Složku s vlnovým vektorem k lze
zapsat ve tvaru A(k) exp(—jk • r) exp(j'27ri/ť)ě, kde ^l(k) je její amplituda.
Hybnost fotonu popsaného libovolnou komplexní funkcí AU(r) exp(j27n/č)é
je neurčitá. S pravděpodobností úměrnou |>l(k)|2 nabývá hodnoty
P
= hk,
přičemž ^4(k) je amplituda rovinné vlny představující Fourierovu komponentu funkce t/(r) s vlnovým vektorem k.
Jestliže f(x, y) = U(x, y, 0) je komplexní amplituda v rovině z = 0, pak Fourierova komponenta tvořená rovinnou vlnou s vlnovým vektorem k = (kJ:,ky,kz)
má amplitudu ^4(k) = F(kx/27r,ky/2T:), kde F(i/x,i/y) je dvourozměrná Fourierova
transformace funkce f(x,y) (viz kap. 4). Protože funkce f(x,y) a F(i/X,i/V) tvoří
fourierovský pár, jsou jejich šířky v reciprokém vztahu a splňují relaci mezi trváním
a šířkou pásma (viz dodatek A, (A.2-6)). Relace neurčitosti mezi polohou fotonu
a směrem jeho hybnosti se objevuje proto, že poloha fotonu v rovině z = 0 je pravděpodobnostně určena hodnotami |í/(r)| 2 = \f(x, y)\2 a směr jeho hybnosti je pravděpodobnostně určen hodnotami |/4(k)|2 = \F(kx/2ir,ky/2ir)\2. Tedy jestliže v rovině
z = 0 je ox neurčitost polohy ve směru x a <T# = s\\\~l{<Jk..xlk) « (X/2n)ai:x je úhlová
neurčitost kolem osy z (předpokládáme, že je <C 1), pak relace neurčitosti axaux > i
je ekvivalentní oxoo > A/4TT.
Foton odpovídající rovinné vlně má známou hybnost (s pevným směrem i velikostí), tedy ff# = 0. Jeho poloha je však zcela neurčitá (ax = oo); může být detekován
se stejnou pravděpodobností kdekoli v rovině 2 = 0. Prochází-li takový foton aperturou, je jeho poloha lokalizována za cenu rozmazán! směru jeho hybnosti. V tomto
smyslu tedy neurčitost polohy a hybnosti tvoří paralelu s teorií difrakce popsanou
v kap. 4. Opačným extrémem než byl foton vázaný s rovinnou vlnou je foton odpovídající vlně kulové. Ten je dobře lokalizovaný pokud jde o polohu (ve středu vlny),
ale směr jeho hybnosti je zcela neurčitý.
Tlak záření
Protože se hybnost zachovává, vede její spojení s fotonem k tomu, že atom emitující
foton pocítí zpětný ráz o velikosti hv/c. Mimoto hybnost spojená s fotonem může
být předána objektům konečné hmotnosti, dávajíc tak vzniknout síle a způsobujíc
mechanický pohyb. Světelný svazek může být například použit k odklonění svazku
atomů pohybujících se kolmo na fotony. K označení tohoto jevu se často užívá termínu
tlak záření (tlak = síla/plocha).
FOTON
445
Cvičení 11.1-2
Zpětný ráz při emisi fotonu.
Spočtěte rychlost zpětného rázu atomu
Hg při vyzáření fotonu s energií 4,88 eV. Srovnejte tuto rychlost se střední
kvadratickou rychlostí v tepelného pohybu atomu při T = 300 K (získanou
2
porovnáním střední kinetické energie se střední tepelnou energií, ^mv —
198
= §*BT).
D.
Polarizace fotonu
Jak bylo ukázáno dříve, světlo se popisuje jako součet vidů o různých frekvencích,
směrech a polarizacích.
Polarizace fotonu je určena polarizací odpovídajícího modu.
Volba konkrétní množiny modů není ovšem jednoznačná. Nejlépe bude vyjasnit
tento důležitý pojem vyšetřováním polarizačních vlastností světla z hlediska fotonové
optiky.
Lineárně polarizované fotony
Představte si světlo popsané superpozicí dvou rovinných vln, šířících se ve směru z,
z nichž jedna je lineárně polarizována ve směru x a druhá je lineárně polarizovaná
ve směru y:
E(r, í) = (A,x + A,ý)
exp(-jkz)
Zcela stejné elektromagnetické pole může být ovšem reprezentováno i v jiném souřadnicovém systému (x',y') (např. v takovém, který svírá s původním souřadnicovým
systémem úhel 45°). To znamená, že můžeme stejně dobře uvažované pole popsat
pomocí dvou modů nesoucích fotony polarizované ve směrech x' a j ' , tj.
E(r,í) = (A,.'x' + Ayiý') exp(-jkz) exp(j2irvt),
kde
A.j/ = —T=(Ar. — Ay),
Ay' = —r=(AX + Ay).
Co můžeme říci o možnosti nalezení fotonu polarizovaného ve směru x', víme-li,
že mod s a>ovou polarizací je obsazen fotonem a niod s y-ovou polarizací je prázdný?
Tato otázka se ve fotonové optice řeší běžným pravděpodobnostním přístupem.
Pravděpodobnost nalezení fotonu polarizovaného ve směru x, y, x' nebo y' je úměrná
intenzitě |A,:|2, |A,| 2 , |A /; .| 2 , resp. \Ay-\2. V našem případě je |A,| 2 = 1, |A,,|2 = 0 ,
a tedy |A,.'|2 = l^y'12 = | . Proto, je Ti jediný foton polarizovaný ve směru x a žádný
foton polarizovaný ve směru y, jsou pravděpodobnosti nalezení fotonu s polarizací
ve směru a:' nebo y' obě rovny \. Schematicky je to znázorněno na obr. 11.1-4.
446
FOTONOVÁ OPTIKA
Foton polarizovaný
ve směru x' s pravděpodobností ^
Foton polarizovaný
ve směru x
* Foton polarizovaný
ve směru y' s pravděpodobností \
Obrázek 11.1-4
Lineárně polarizovaný foton: pravděpodobnostní přístup.
Příklad 11.1-1. Průchod lineárně polarizovaného fotonu polarizátorem.
Uvažujme lineárně polarizovanou rovinnou vlnu, jejíž polarizační rovina
svírá s osou x úhel 8, směřující na polarizátor, jehož osa propustnosti
leží ve směru x (viz obr. 11.1-5). Polarizátor propouští světlo polarizované
ve směru x, ale brání průchodu světla polarizovaného ve směru y. Jak víme
z klasické polarizační optiky, intenzita propuštěného světla je 7( = /.,; cos2 9,
kde /,; je intenzita dopadajícího světla (viz odst. 6.1B). Co se stane, když
na polarizátor dopadne pouze jediný foton? Bude-li polarizován ve směru x,
pak vždy projde. Bude-li polarizován v y-ovém směru, bude vždy zadržen.
Pravděpodobnost průchodu fotonu je určována klasickou intenzitou It. Tedy
pravděpodobnost průchodu fotonu polarizovaného pod úhlem 9 vzhledem
k polarizátoru je p(6) = cos2 9. Pravděpodobnost, že foton bude zablokován
je pak 1 - p(9) = sin2 9.
Obrázek 11.1-5 Pravděpodobnost průchodu lineárně polarizovaného fotonu
polarizátorem v závislosti na úhlu 6.
FOTON
447
Kruhově polarizované fotony
Lze použít i modový rozvoj podle dvou kruhově polarizovaných rovinných vln, z nichž
jednaje pravotočivá a druhá levotočivá; tj.
E(r, í) = [ARěR + ALéL] exp{-jkz) ex.p(J2irvt),
kde é R = (l/\/2)(x + jý) a ěL = (l/\/2)(x - jý) (viz odst. 6.1B). Tyto mody nesou
pravotočivé a levotočivé kruhově polarizované fotony. Pravděpodobnosti nalezení fo2
2
tonů s těmito polarizacemi jsou opět úměrné intenzitám \AR\ a \AL\ - Jak ukazuje
obr. 11.1-6, lineárně polarizovaný foton odpovídá superpozici pravotočivého a levotočivého kruhově polarizovaného fotonu, každého s pravděpodobností \. A obráceně,
prochází-li kruhově polarizovaný foton lineárním polarizátorem, je pravděpodobnost
jeho detekce rovna \.
Spin fotonu
Foton má vlastní moment hybnosti (spin). Velikost spinu fotonu je kvantována do
dvou hodnot
Spin fotonu
= ±h.
(11.1-8)
Pravotočivé (levotočivé) kruhově polarizované fotony mají vektory spinu orientované
paralelně (antiparalelně) s vektorem hybnosti. U lineárně polarizovaných fotonů je
stejně velká pravděpodobnost nalezení paralelního i antiparalelního spinu. Stejně jako
mohou fotony předat nějakému objektu hybnost, mohou kruhově polarizované fotony
působit na objekt momentem síly. Například kruhově polarizovaný foton bude torsně
působit na půlvlnovou křemennou destičku.
E.
Interference fotonu
Youngův interferenční experiment se dvěma malými otvory je všeobecně využíván
k demonstraci vlnové podstaty světla (viz cvičení 2.5-2). Nicméně Youngův experiment může být uskutečněn i v případě, že v přístroji je v daný moment přítomen
pouze jediný foton. V kontextu fotonové optiky lze výsledek takového experimentu
•Je
Lineárně polarizovaný
foton
Levotočivý kruhově
polarizovaný foton
s pravděpodobností |
Je
y.
Pravotočivý kruhově
polarizovaný foton
s pravděpodobností |
Obrázek 11.1-6 Lineárně polarizovaný foton odpovídá superpozici pravotočivého a levotočivého kruhově polarizovaného fotonu, přičemž každý je zastoupen s pravděpodobnostil.
448
FOTONOVÁ OPTIKA
z
Jediný
dopadající
foton
S o
Já
ti
O) ^O
15
Q
Stínítko
Rovina
pozorování
Obrázek 11.1-7 Youngův dvouotvorový experiment s jediným fotonem. Interferenční
obrazec J(x) je úměrný hustotě pravděpodobnosti detekce fotonu v místě x.
pochopit prostřednictvím pravidla o poloze fotonu. Pomocí elektromagnetické (vlnové) optiky se spočte intenzita v rovině pozorování a výsledek se převede na funkci
hustoty pravděpodobnosti, která specifikuje náhodnou polohu detekovaného fotonu.
Interference vzniká jako důsledek fázového rozdílu dvou drah.
Uvažujme rovinnou vlnu osvětlující stínítko se dvěma malými otvory, jak ukazuje obr. 11.1-7. Vznikají dvě sférické vlny, které interferují v rovině pozorování.
Ve Fresnelově aproximaci vytvářejí sinusový průběh intenzity daný vztahem (viz cvičení 2.5-2)
(11.1-9)
kde /o je intenzita každé z těchto vln v rovině pozorování, A je vlnová délka a 6
je úhlová vzdálenost otvorů při pohledu z roviny pozorování (obr. 11.1-7). Přímka
spojující otvory určuje osu x. Vztah (11.1-9) popisuje rozložení intenzity, které je
experimentálně pozorováno, když je dopadající světlo silné.
Bude-li nyní v přístroji přítomen pouze jediný foton, bude pravděpodobnost jeho
zaznamenání v místě x — v souladu s (11.1-5) — úměrná I(x). S největší pravděpodobností bude detekován v těch hodnotách x, v nichž je I(x) maximální. Nikdy nebude detekován v místech, kde I(x) = 0. Budeme-li experiment mnohokrát opakovat
a sestavíme-li histogram poloh detekovaných fotonů, jak to učinil Taylor v roce 1909,
dostaneme klasický interferenční obrazec, jaký bychom získali z jediného experimentu
při osvětlení silným světelným svazkem. Interferenční obrazec představuje pravděpodobnostní rozdělení pro pozorování fotonu v různých místech stínítka.
Existence interference je důsledkem rozprostřenosti fotonu, jež mu dovoluje projít
oběma otvory zároveň. Foton tak získává úplnou informaci o uspořádání experimentu,
i když v rovině pozorování je detekován jako jediná entita. Jestliže jeden otvor
zakryjeme, interferenční obrazec zmizí, neboť foton bude nucen projít zbývajícím
otvorem a nebude moci získat informaci o celém zařízení.
Cvičení 11.1-3
Foton v Machově-Zehnderově interferometru. Uvažujte rovinnou světelnou vlnu o vlnové délce A, která je v děliči svazku rozdělena na dvě části
FOTON
449
(viz odst. 11.1B) opět se sbíhající v Machově-Zehnderově interferometru,
jak ukazuje obr. 11.1-8 [viz také obr. 2.5-3(o)].
Vyneste pravděpodobnost zaznamenání fotonu ideálním detektorem
jako funkci d/X (pro 0 < d/X < 1), kde d je rozdíl optických drah, pro
případ, že vlna obsahuje pouze jediný foton. Předpokládejte, že zrcadla
i děliče svazku jsou dokonale rovinné a bezztrátové, a že děliče mají 50%
odrazivost. Kde se může foton nacházet, když pravděpodobnost jeho dopadu
na detektor není rovna jedné?
V
Foton
Detektor
Obrázek 11.1-8 Machův-Zehnderův interferometr.
F.
Časová lokalizace fotonu
Modový rozvoj v (11.1-1) obsahuje monochromatické (jednofrekyenční) mody, které jsou „věčnými" harmonickými funkcemi času. Foton v monochromatickém modu
může být se stejnou pravděpodobností detekován v kterémkoli čase. Nicméně, jak
již bylo dříve zmíněno, je vidový rozvoj záření uvnitř (nebo vně) rezonátoru nejednoznačný. Lze provést i obecnější rozvoj podle polychromatických vidů (například
časově lokalizovaných vlnových balíků). Pravděpodobnost detekce fotonu popsaného
komplexní vlnovou funkcí ř/(r, í) (viz odst. 2.6A) v libovolném místě a v infinitezimálním časovém intervalu mezi ř a t + dí je úměrná 7(r, í) dí oc |í/(r, t)\2 dí.
Pravidlo o poloze fotonu formulované v (11.1-5) lze tedy zobecnit tak, aby
zahrnovalo i časovou lokalizaci fotonu:
Pravděpodobnost pozorování fotonu v nějakém bodě r uvnitř infinitezimální
plošky áA během infinitezimálního časového intervalu í až í + dť je úměrná
intenzitě modu v r a í, tj.
Poloha
a časová
lokalizace
fotonu
p(r,t)dAdťa/(r,ť)d/\dťoc|t/(r,í)| 2 d^dí.
(11.1-10)
450
FOTONOVÁ OPTIKA
Neurčitost času a energie
Čas, během něhož může být foton nacházející se v monochromatickém modu o frekvenci v detekován, je zcela neurčitý, kdežto hodnota jeho frekvence v (a jeho energie hv) je naprosto určitá. Naproti tomu foton ve formě vlnového balíku s intenzitní
funkcí I(t) časové šířky at musí být lokalizován uvnitř časového intervalu určeného
touto šířkou. Z vlastností Fourierovy transformace vyplývá, že takové časové vymezení fotonu implikuje neurčitost frekvence (a energie) fotonu. Výsledkem je „polychromatický" foton. Neurčitost frekvence je determinována fourierovským rozvojem
funkce U(ť) pomocí harmonických složek,
U(t)=
í
V{v)exp(j2irvt)dv,
J—oc
(11.1-11)
kde V(y) je Fourierova transformace funkce U(t) (viz odst. A.l, dodatek A). Závislost
2
na r pro jednoduchost neuvádíme. Šířka av funkce |V(i/)| představuje spektrální
2
šířku. Je-li at rms-šířka funkce |t/(ť)| (tedy výkonová rms-šířka), pak at a a„
musí splňovat reciproký vztah mezi časovou a spektrální šířkou avat > 1/4TT, nebo
auat > 5 (viz odst. A.2, dodatek A, kde jsou uvedeny definice at aCT„,které vedou
k těmto relacím neurčitosti).
Energie fotonu tedy nemůže být určena s přesností větší, něž je at = hav.
Neurčitost energie fotonu a doba, během níž lze foton detekovat, musí splňovat vztah
Neurčitost času
a energie
aE<Jt
h
- r
(11.1-12)
který je znám jako relace neurčitosti času a energie. Tato relace je analogická
vztahu mezi polohou a vlnovým číslem (hybností), který vymezuje přesnost, s níž lze
určit zároveň polohu i hybnost fotonu. Střední energie E polychromatického fotonu
je E = hu = fujj.
Shrňme: Monochromatický foton (av —> 0) může být registrován v libovolném
okamžiku (at —* oo). Naopak foton spojený s optickým vlnovým balíkem je lokalizován v čase, a je tudíž polychromatický s odpovídající neurčitostí energie. Takový
foton si tedy lze představit jako omezený pohybující se balík energie.
Cvičení 11.1-4
Jediný foton v gaussovském vlnovém balíku.
Uvažujte vlnový balík
s jediným fotonem, popsaný rovinnou vlnou (viz odst. 2.6A) s komplexní
vlnovou funkcí
kde
t \
- — - ] expO'27ri/oí).
V 4T-/
a) Ukažte, že jeho časová neurčitost ot = T a neurčitost 2-ové souřadnice
a(t) = exp
<7 Z = C<7(.
(
FOTON
451
b) Ukažte, že neurčitosti jeho energie a hybnosti splňují minimální relace
neurčitosti
aEat = J ,
(11.1-13)
\-
(11-1-14)
Rovnice (11.1-14) představuje mez minimální neurčitosti v Heisenbergově relaci neurčitosti polohy a hybnosti [viz (A. 2-7) v dodatku A].
Shrnutí
Elektromagnetické záření lze zapsat jako součet modů, např. uniformních
monochromatických rovinných vln:
E(r, i) = ^2 Aq exp(-jk q • r) exp(j27ri/qť)éq.
Každá rovinná vlna má dva ortogonální polarizační stavy (např. vertikální
a horizontální lineární polarizace, pravotočivá a levotočivá kruhová polarizace apod.) representované vektory é q . Měříme-li energii vidu, dostaneme
(obecně náhodný) celočíselný násobek energetického kvanta. Každý z fotonů
spojených s videm q má následující vlastnosti:
• Energii E = /ii/q.
• Hybnost p = fik.
• Spin 5 = ±TL, je-li kruhově polarizován.
• Foton může být nalezen se stejnou pravděpodobností kdekoli v prostoru
a kdykoli v čase, neboť vlnovou funkcí modu je monochromatická
rovinná vlna.
Výběr modů není jednoznačný. Je také možný modový rozvoj pomocí
nemonochromatických (kvazimonochromatických), nerovinných vln
Foton spojený s videm q má pak následující vlastnosti:
• Výskyt fotonu na daném místě v daném čase se řídí komplexní vlnovou
funkcí Uq(r, ť). Pravděpodobnost detekce fotonu v infinitezimálním
časovém intervalu mezi t a t + dí a na infinitezimální plošce dA v místě
r je úměrná hodnotě |í/ q (r, t)\2 dAdt.
452
FOTONOVÁ OPTIKA
Pokud má funkce t/ q (r, č) omezenou časovou šířku at, tzn. je-li foton
lokalizovaný v čase, pak energie fotonu hu^ má neurčitost hav >
> /
• Je-li funkce ř/q(r, i) v příčné rovině (z = 0) prostorově omezená, tedy
je-li foton lokalizován například ve směru x, pak směr vektoru hybnosti
fotonu je neurčitý. Rozmazání hybnosti fotonu lze určit z rozkladu
funkce ř7q(r, í) do rovinných vln. Vlna s vlnovým vektorem k odpovídá
fotonům s hybností tik. Lokalizace fotonu v příčné rovině způsobuje
rozmazání směru hybnosti fotonu.
11.2
FOTONOVÉ PROUDY
V kapitole 11.1 jsme se zaměřili na vlastnosti a chování jediného fotonu. Nyní budeme
studovat vlastnosti souboru fotonů. V důsledku procesů, při nichž dochází ke vzniku
fotonů, (jako je např. emise z atomů; viz kap. 12) je počet fotonů v modu obecně
náhodný. Pravděpodobnostní rozdělení počtu fotonů je dáno kvantovým stavem
modu, a ten je určen povahou světelného zdroje (viz odst. 11.3). Reálné fotonové
proudy obsahují často nejrůznější postupné mody, z nichž každý nese náhodný počet
fotonů.
Provedeme-li experiment, při němž bude slabý proud fotonů dopadat na světlocitlivý povrch, budou fotony registrovány (detekovány) v náhodných časových okamžicích a v náhodných místech prostoru ve shodě s (11.1-10). Tento časoprostorový
proces lze postřehnout pouhým okem při pozorování předmětu v šeru slabě osvětlené
místnosti.
Časový průběh takovéto registrace fotonů lze zvýraznit tím, že budeme časové a prostorové chování sledovat odděleně. Předpokládejme, že máme detektor, který
integruje světlo přes nějakou konečnou plochu, jak ukazuje obr. 11.2-1. Pravděpodobnost detekce fotonu v infinitezimálním časovém intervalu mezi ť a t + dť je úměrná
optickému výkonu P(ť) v čase t. Fotony budou registrovány v náhodných okamžicích.
Na druhé straně, prostorové rozložení dopadajících fotonů lze snadno manifestovat pomocí detektoru integrujícího přes nějaký pevný expoziční čas T (tak se chová
např. fotografický film). Ve shodě s (11.1-10) je pravděpodobnost pozorování fotonu
na infinitezimální plošce áA obklopující bod r úměrná integrované lokální intenzitě / 0 I(r,t)dt. Takové situaci odpovídá „zrnitý" fotografický obraz Maxe Plancka
Světlo
Obrázek 11.2-1
Detektor
Osciloskop
Registrace fotonů v náhodných časových okamžicích.
453
FOTONOVÉ PROUDY
na obr. 11.2-2. Snímek byl pořízen přefotografováním obrázku Maxe Plancka uvedeného na straně 437 za velmi špatných světelných podmínek. Každá ze světlých
teček představuje náhodnou registraci fotonu; hustota dopadů byla určována lokální
intenzitou.
A.
Střední fotonový tok
Začneme tím, že uvedeme několik definic, které uvádějí střední fotonový tok do souvislosti s klasickou elektromagnetickou intenzitou, výkonem a energií. Tyto definice
souvisejí se zákonem (11.1-10) určujícím pravděpodobnost pozorování fotonu v daném místě a čase. Poté budeme diskutovat náhodnost fotonového toku a fotonovou
statistiku pro různé světelné zdroje. Nakonec se budeme zabývat náhodným dělením
proudu fotonů.
Střední hustota fotonového toku
Střední hustota fotonového toku monochromatického světla o frekvenci v a klasické intenzitě /(r) (W/cm2) je
Střední hustota
fotonového toku
(11.2-1)
kde hv je energie každého z fotonů. Tato rovnice převádí klasickou míru (v jednotkách energie/s • cm2) na kvantovou míru (v jednotkách fotony/s • cm2). Pro kvazimonochromatické světlo se střední frekvencí v mají všechny fotony přibližně stejnou
energii hv, takže střední hustota fotonového toku je přibližně
*(r) = ^77-
(H-2-2)
Typické hodnoty </>(r) pro některé běžné zdroje světla jsou uvedeny v tabulce
11.2-1. Z těchto hodnot je zřejmé, že každou sekundu dopadá na každý čtvereční
centimetr déšť bilionů fotonů.
Obrázek 11.2-2 Registrace náhodně dopadajících fotonů; prostorová hustota je úměrná
lokální optické intenzitě. Srovnejte tento obrázek Maxe Plancka pořízený slabým proudem
fotonů s fotografií na str. 437, která byla získána při silném osvětlení.
454
FOTONOVÁ
Tabulka 11.2-1
OPTIKA
Střední hustota fotonového toku pro několik světelných zdrojů.
Střední hustota fotonového toku
(fotony/s • cm 2 )
Zdroj
106
108
1O 1 0
1012
1014
1022
Světlo hvězdy*
Světlo Měsíce*
Světlo za soumraku
Denní světlo v místnosti
Sluneční světlo*
Světlo laseru (svazek 10 m W He-Ne
laseru fokusovaný do oblasti
o průměru 20 /mi; Ao = 633 n m )
* Na povrchu Země.
Střední fotonový tok
Střední fotonový tok $ (v jednotkách fotony/s) získáme integrací střední hustoty
fotonového toku přes určitou plochu,
Střední fotonový tok
*
-b
(11.2-3)
kde hv je opět střední energie fotonu a
P = f I(r)dA
JA
(11-2-4)
je optický výkon (W). Například 1 nW optického výkonu na vlnové délce Ao = 0,2 /mi
odpovídá střednímu fotonovému toku $ ~ 109 fotonů za sekundu. Zhruba každou
nanosekundu bude tedy na objekt dopadat jeden foton, tj.
1 nW na An = 0,2 /im —» 1 foton/ns.
(11.2-5)
Foton o vlnové délce Ao = 1 fivci nese jednu pětinu této energie, takže 1 nW odpovídá
v průměru hodnotě 5 fotonů/ns.
Střední počet fotonů
Střední počet fotonů n detekovaných na ploše A v časovém intervalu T se získá
násobením fotonového toku <ř délkou časového intervalu,
Střední počet fotonů
kde.E = PT je optická energie (J).
n = $T = — ,
(11.2-6)
FOTONOVÉ PROUDY
455
Shrnutí: Vztahy mezi klasickými a kvantovými veličinami jsou následující:
Klasické
Kvantové
Optická intenzita
/(r)
Hustota fotonového toku
Optický výkon
P
Fotonový tok
Optická energie
£
Počet fotonů
<f>(r) =
hv
p
$ = —3
hv
n = —^
hv
_
Spektrální hustota fotonového toku
Pro polychromatické světlo s velkou šířkou pásma je užitečné definovat spektrální
hustotu klasické intenzity, výkonu a energie a jejich kvantové protějšky: spektrální
hustotu fotonového toku, spektrální fotonový tok a spektrální počet fotonů:
Klasicky
Kvantově
2
4>„ = ^- (fotonů/s • cm 2 • Hz)
hv
/„ (W/cm • Hz)
P„ (W/Hz)
£„ (J/Hz)
* „ = ^ (fotonů/s • Hz)
hv
n„ = — (fotonů/Hz)
hv
Například P„ dv představuje optický výkon ve frekvenčním pásmu mezi v a v + dv;
<J>7/ dv reprezentuje tok fotonů, jejichž frekvence leží mezi v a v + dv.
Časově proměnné světlo
Jestliže je intenzita světla časově proměnná, je hustota fotonového toku funkcí času,
4>(r,t)=1-^-.
(11.2-7)
Optický výkon a fotonový tok jsou pak také funkcemi času:
Střední fotonový tok
* ( í ) = / <*>(r, í) d4 = -f^,
h v
JA
(11.2-8)
kde
P(t)=
í I(T,t)dA.
JA
(11.2-9)
456
FOTONOVÁ OPTIKA
Střední počet fotonů registrovaných v časovém intervalu mezi i = 0 a ť — T se také
s časem mění. Získáme ho integrací fotonového toku,
n=
Střední počet fotonů
ÍT
E
/ <ř(ť)dí = — ,
h v
Jo
(11.2-10)
kde
E = / P(ť)dť= /
Jo
Jo
í
JA
I{r,t)dAdt
(11.2-11)
je optická energie (intenzita integrovaná přes čas a plochu).
B.
Náhodnost fotonového toku
Dokonce i když je klasická intenzita 7(r, ť) konstantní, řídí se čas dopadu a místo
registrace jediného fotonu pravděpodobnostními zákony, jak jsme viděli v odst. 11.1
(viz obr. 11.2-1). Vyšle-li zdroj právě jeden foton, pak hustota pravděpodobnosti detekce tohoto fotonu v časoprostorovém bodě (r, ť) je podle (1.1-10) úměrná /(r, t).
Uvidíme, že klasická elektromagnetická intenzita /(r, t) určuje chování proudů fotonů právě tak jako chování jednotlivých fotonů. Interpretace připisované 7(r, í) se
však liší. V případě proudu fotonů určuje klasická intenzita /(r, t) střední hustotu
fotonového toku (p(r,t). Vlastnosti světelného zdroje určují fluktuace <p(i,t).
Mění-li se optický výkon P(í) s časem, je hustota počtu detekovaných fotonů,
které dopadají v náhodných časových okamžicích, úměrná funkci P(č), což je schematicky znázorněno na obr. 11.2-3. Střední tok $(ť) je roven P(t)/hi>, ale konkrétní
časové okamžiky, ve kterých jsou skutečně detekovány fotony, jsou náhodné. Tam
kde je velký výkon, je v průměru více fotonů a naopak kde je výkon malý, tam je
P(í)i
Optický
výkon
lat
Dopady
fotonů
I
lili I I I I I l i l i I I lili III II11
Optický
výkon
Dopady
fotonů
M I i mii IBHIII nu i i MI i ni i i
ii
Obrázek 11.2-3 (a) Konstantní optický výkon a odpovídající náhodné dopady fotonů.
(6) Časově proměnný optický výkon a odpovídající náhodné dopady fotonů.
FOTONOVÉ PROUDY
457
lil IIIIII I
I
Obrázek 11.2-4 Náhodné dopady fotonů v intervalech délky T. Ačkoli je výkon P
světelného svazku konstantní, počet n fotonů přicházejících v každém časovém intervalu
je náhodný.
fotonů méně. I když je výkon P konstantní, jsou fotony registrovány v náhodných okamžicích; statistika dopadů fotonů závisí na typu zdroje [obrázky 11.2-3(a) a 11.2-4].
Například na 1 nW na vlnové délce Ao = 1,24 //m připadá v průměru 6,25 fotonů/ns,
neboli 0,00625 fotonu na každou pikosekundu. Samozřejmě, že lze detekovat pouze
celé fotony, takže počet registrovaných fotonů je vždy celé číslo. Průměrná hodnota
0,00625 fotonu/ps vypovídá pouze o tom, že kdybychom prohlédli 105 časových intervalů délky T = 1 ps, pak by většina z nich byla prázdná (neobsahovaly by žádný
foton), přibližně 625 intervalů by obsahovalo po jednom fotonu a jen velmi nepatrné
množství intervalů by obsahovalo dva nebo více fotonů.
Fotografie Maxe Plancka na obr. 11.2-2 ukazuje stejný efekt v prostorové oblasti.
Hustota počtu detekovaných fotonů souvisí s rozdělením klasické intenzity. Hustota
fotonů byla větší v místech s vyšší intenzitou a menší v místech s nižší intenzitou.
Nicméně obraz je značně zrnitý (zašuměný). Fluktuace hustoty fotonového toku jsou
nejvýraznější, když její střední hodnota je malá, jako je tomu v případě obr. 11.2-2.
Jakmile se střední hustota fotonového toku zvětší, zrnitost zmizí a objeví se opět
rozdělení klasické intenzity (jako na obrázku Maxe Plancka na str. 437).
Studium fluktuací počtu fotonů je důležité pro aplikace, v nichž se setkáváme
např. se šumem ve slabých obrazech nebo se šumem při optickém přenosu informací.
Například v komunikačních systémech využívajících optických vláken je informace
přenášena proudem fotonů (viz odst. 22.3). Vysílač moduluje pouze střední hodnotu
počtu fotonů emitovaných zdrojem. Skutečný počet emitovaných fotonů se nedá
předpovědět. Průběh náhodné emise je dán druhem zdroje. Nemožnost předpovědět
přesný počet fotonů vede k chybám v přenosu informace.
C. Fotonová statistika
Statistické rozdělení počtu fotonů závisí na druhu světelného zdroje a musí být obecně
studováno pomocí kvantové teorie světla, což je stručně provedeno v odst. 11.3.
Nicméně za určitých okolností lze dopady fotonů považovat za nezávislé posloupnosti
náhodných událostí, jejichž četnost je určována velikostí fotonového toku úměrnou
optickému výkonu. Optický výkon může být deterministický (v případě koherentního
světla) nebo náhodný (v případě světla částečně koherentního). Fluktuace výkonu
částečně koherentního světla jsou korelovány, takže dopady jednotlivých fotonů již
nejsou nezávislé. Fotonová statistika je pak výrazně odlišná.
Koherentní světlo
Uvažujme světlo o konstantním optickém výkonu P. Odpovídající střední fotonový
tok $ = P jhv (fotony/s) je také konstantní, avšak konkrétní okamžiky registrace
458
FOTONOVÁ OPTIKA
fotonů jsou náhodné, jak ukazuje obr. 11.2-4. Mějme časový interval délky T a počet
detekovaných fotonů označme n. Víme již, že střední hodnota n je n = <J?T =
= PT/hu. Nyní chceme nalézt výraz pro pravděpodobnostní rozdělení p(n), tzn.
pravděpodobnost p(0), že nezaregistrujeme žádný foton, pravděpodobnost p(l), že
zaregistrujeme jeden foton atd.
Výraz pro pravděpodobnostní rozdělení p(n) lze odvodit za podmínky, že dopady
fotonů jsou statisticky nezávislé. Výsledkem je Poissonovo rozdělení
Poissonovo
rozdělení
p(n) =
n"exp(—n)
n!
(11.2-12)
n = 0, 1, 2,
Toto rozdělení, známé jako Poissonovo rozdělení, je zobrazeno v semilogaritmickém měřítku na obr. 11.2-5 pro několik hodnot středního počtu fotonů n. Křivky
se rozšiřují s rostoucím n.
Odvození Poissonova rozdělení
Rozdělme časový interval T na velký počet N podintervalů stejné, dostatečně malé
délky TIN tak, aby každý interval obsahoval s pravděpodobností p = ň/N jeden
foton a s pravděpodobností 1— p žádný foton. Pravděpodobnost nalezení n nezávislých
fotonů v N intervalech se pak řídí binomickým rozdělením, podobně jako výsledky
hodů nevyváženou mincí (p ^ 1/2),
N\
\N-n
N\
(nV
n\{N -n)\ \Ň)
V limitě N
(11.2-12).
10
P(n)
T/N
í _ n_
V ~ ~Ň
W
oo, N\/{N-n)\Nn -> 1, [1 -(ň/N)]
N-n
V°A / V
in-3
1 / \
1
1
exp(—n) a dostaneme
S^ň=10
10-2
I\ ,
v
,
i
i
i
10
n
Obrázek 11.2-5
i
i
\
i
t
1
15
i
i
Poissonovo rozdělení p(n) pro počet fotonů n.
I
1
20
FOTONOVÉ PROUDY
459
Střední hodnota a variance
Každá náhodná proměnná n je charakterizována dvěma důležitými parametry: střední
hodnotou
OG
np
ň = Y2 ("}
(11.2-13)
a variancí
OC
u\ = "Y^n - n)2p{n).
(11.2-14)
n=0
Variance (rozptyl) je průměrná hodnota kvadrátů odchylek od střední hodnoty.
Směrodatná odchylka o„ (odmocnina z variance) je mírou šířky rozdělení. Veličiny
p(n),ň a o„ se souborně nazývají fotonová statistika. Přestože funkce p(n) obsahuje
více informace něž střední hodnota a variance, mají tyto dvě veličiny svou důležitost.
Není těžké ukázat [užitím (11.2-12) v (11.2-13) a (11.2-14)], že střední hodnota
Poissonova rozdělení je skutečně n a že jeho variance je rovna jeho střední hodnotě,
•>
o' = n.
"
Variance Poissonova
,„. ,
rozděleni
,,., „ ,_>
(11.2-15)
'
v
Například pro n = 100 jeCT„= 10, tzn. že nepřesnost v počtu fotonů je přibližně
±10 fotonů.
Poissonovo rozdělení počtu fotonů platí pro mnoho světelných zdrojů včetně
ideálního laseru, jenž vysílá svazek monochromatického koherentního světla v jediném
modu (viz kap. 14). Toto rozdělení odpovídá kvantovému stavu světla známému jako
koherentní stav (viz odst. 11.3A).
Poměr signálu k šumu
Náhodnost počtu fotonů je základním zdrojem šumu, se kterým se setkáváme při
přenosu signálu prostřednictvím světla. Užitečným ukazatelem schopnosti světla
působit jako nosič informace je poměr signálu k šumu (SNRt), přičemž střední
hodnota signálu je představována n a jeho šum je reprezentován <r„. SNR je definován
vztahem
SNR = (^edni hodnota)'
=
^
Pro Poissonovo rozdělení platí
Poměr signálu k šumu
pro Poissonovo rozdělení
SNR = ň,
(11.2-17)
tzn. že poměr signálu k šumu neomezené roste s rostoucím středním počtem fotonů.
Z anglického signal-to-noise ratio (pozn. prekl.)
460
FOTONOVÁ OPTIKA
Ačkoli je SNR dobrým měřítkem náhodnosti signálu, v některých případech je
třeba znát přímo pravděpodobnostní rozdělení. Použijeme-li například při komunikaci
střední počet fotonů n = 20, je podle (11.2-12) pravděpodobnost toho, že nebude
přijat žádný foton, rovnap(0) ~ 2 x 10~9. To určuje pravděpodobnost výskytu chyby
při přenosu informace. Podrobněji bude o tomto tématu pojednáno v kap. 22,
Tepelné záření
Jsou-li dopadající fotony korelovány, podléhá fotonová statistika jinému něž Poissonovu rozdělení. Tak je tomu v případě tepelného záření. Představte si optický rezonátor,
jehož stěny jsou udržovány na teplotě T kelvinů (K), takže do jednotlivých modů rezonátoru jsou emitovány fotony. Podle zákonů statistické mechaniky je za podmínky
tepelné rovnováhy pravděpodobnostní rozdělení energie £„ v jednom rezonátorovém
modu dáno Boltzmannovým rozdělením
Boltzmannovo
rozdělení
(11.2-18)
Kde &B je Boltzmannova konstanta (ku = 1,38 x 10 2 3 J/K). Energie spojená
s každým videm je náhodná. Vyšší energie jsou relativně méně pravděpodobné než
nižší, jak vyplývá z jednoduchého exponenciálního zákona, v němž jako parametr vystupuje veličina k&T. Cím menší je hodnota k&T, tím méně pravděpodobné jsou vyšší
energie. Při pokojové teplotě (T = 300 K) je kBT = 0,026 eV, což odpovídá 208 cm" 1 .
Boltzmannovo rozdělení pro jeden mod je znázorněno na obr. 11.2-6 s teplotou jako
parametrem.
Ze vztahu pro kvantování energie fotonu En = (n + ^)hv a ze vzorce (11.2-18)
plyne, že pravděpodobnost nalezení n fotonů v jednom rezonátorovém modu za te-
Obrázek 11.2-6
na energii En.
Boltzmannovo pravděpodobnostní rozdělení P{En) vynesené v závislosti
FOTONOVÉ PROUDY
461
pelné rovnováhy je dána výrazem
„ = 0,1,2,
(11.2-19)
S využitím podmínky, že pravděpodobnostní rozdělení musí mít jednotkový součet,
tj. X ^ o P ( n ) = 1> dostáváme normovací konstantu [l — exp(—hv/ksT)]. Energie nulových kmitů Eo — \hv při normování vymizí a výsledky nijak neovlivní (v souhlasu
s diskusí v odst. 11.1A).
Výsledek lze jednoduše vyjádřit pomocí střední hodnoty ň:
Boseovo-Einsteinovo
rozdělení
(11.2-20)
kde
1
exp{hu/kBT)
-
(11.2-21)
což plyne z (11.2-13). V jazyce teorie pravděpodobnosti se toto rozdělení nazývá
geometrickým rozdělením, neboť p(n) klesá s rostoucím n geometricky. Ve fyzice
je označováno jako Boseovo-Einsteinovo rozdělení.
Boseovo-Einsteinovo rozdělení je zakresleno v semilogaritmicke formě na obrázku
11.2-7 pro několik hodnot ň (nebo, což je ekvivalentní, pro několik hodnot teploty T).
Jeho exponenciální charakter je zřejmý z toho, že jednotlivé závislosti v uvedeném
grafu jsou přímkové. Srovnání obrázků 11.2-7 a 11.2-5 ukazuje, že rozdělení počtu
fotonů v případě tepelného záření je mnohem širší než v případě koherentního světla.
Pro varianci dostaneme z (11.2-14) vztah
Variance
Boseova-Einsteinova
rozdělení
(11.2-22)
Srovnáme-li tento výraz s variancí Poissonova rozdělení, jež je rovna pouze n,
1
10-1
=.
10-2
-
P(n)
10Obrázek 11.2-7
Boseovo-Einsteinovo rozdělení p(n) počtu fotonů n.
462
FOTONOVÁ OPTIKA
zjistíme, že tepelnému záření odpovídá vetší variance, což souvisí s větší neurčitostí
a větším rozsahem fluktuací počtu fotonů. Poměr signálu k šumu v případě BoseovaEinsteinova rozdělení je
ň+ i
Tento výraz je vždy menší než jedna, bez ohledu na to, jak velký je optický výkon.
Amplituda a fáze tepelného záření se chovají jako náhodné veličiny (viz kap. 10).
Tato náhodnost způsobuje rozšíření rozdělovači funkce počtu fotonů. Tento druh
světla obsahuje skutečně příliš mnoho šumu, než aby mohl být využit při přenosu
dat vysokými přenosovými rychlostmi.
Cvičení 11.2-1
Střední energie rezonátorového modu.
Ukažte, že v případě tepelné
rovnováhy při teplotě T je střední energie rezonátorového modu o frekvenci
v dána vztahem
Nakreslete závislost E na v pro několik hodnot ksT/h. Pomocí Taylorova
rozvoje jmenovatele nalezněte zjednodušený přibližný výraz pro E platný
v limitě hu/ksT <C 1. Vysvětlete fyzikální význam výsledku.
*Další světelďé zdroje
Jak již bylo dříve zmíněno, pro určitou třídu světelných zdrojů lze posloupnost dopadů
přicházejících fotonů považovat za sled nezávislých událostí, jejichž četnost je úměrná
optickému výkonu. V případě koherentního světla je výkon deterministický a počet
fotonů se řídí Poissonovým rozdělením p(n) = )/'"e~' r /n!, kde
W=^-{
nv Jo
P(t)dt=^-[ í I(i,t)dAdt.
h v
Jo JA
(11.2-24)
Integrovaný optický výkon W vyjádřený počtem kvant energie (fotonů) je konstanta
reprezentující střední počet fotonů n.
Jestliže sama intenzita /(r, í) náhodně fluktuuje v čase nebo prostoru, podléhá
fluktuacím i optický výkon P(ť) [viz obr. 11.2-3(6)], a jeho integrál W je pak také
náhodný. To znamená, že náhodný je nejen počet fotonů, nýbrž i jeho střední hodnota W. Tento dodatečný zdroj náhodnosti způsobuje, že fotonová statistika částečně
koherentního světla se liší od Poissonova rozdělení. Jsou-li fluktuace středního počtu
fotonů popsány pravděpodobnostní rozdělovači funkcí p ( y ) , pak celkové pravděpodobnostní rozdělení pro částečně koherentní světlo získáme středováním podmíněného
FOTONOVÉ PROUDY
463
:
Poissonova rozdělení p{n\W) = W"a. "* j n\ přes všechny dovolené hodnoty 1f s váhovou funkcí rovnou hustotě pravděpodobnosti vW)- Výsledné rozdělení počtu fotonů
je pak dáno vztahem
Mandelova formule
p(n) = /
:
p{W)AW
(11.2-25)
známým jako Mandelova formule. Rovnice (11.2-25) je také často označována jako
dvojnásobně stochastické Poissonovo rozdělení, neboť do ní přispívají dva zdroje
náhodnosti: samotné fotony (které se chovají poissonovským způsobem) a fluktuace
intenzity, které jsou důsledkem nekoherentní povahy světla (jejich statistika musí být
blíže specifikována).
Poznamenejme, že tato teorie fotonové statistiky je použitelná pouze pro světlo
určitého druhu (tzv. klasické světlo); obecnější teorie založená na kvantovém popisu
stavu světla je stručně popsána v odst. 11.3.
Pomocí vztahů (11.2-13) a (11.2-14) a rovnice (11.2-25) lze odvodit výrazy pro
střední počet fotonů a pro varianci v případě částečně koherentního světla:
ň=W
(11.2-26)
(11.2-27)
kde <r|, značí varianci 1/'. Všimněte si, že variance počtu fotonů je tvořena součtem
dvou příspěvků: první člen představuje základní příspěvek od Poissonova rozdělení,
druhý, dodatečný příspěvek je důsledkem klasických fluktuací optického výkonu.
Důležitým příkladem statistických fluktuací je případ, kdy hustota pravděpodobnosti normovaného integrovaného optického výkonu W je exponenciální funkce:
(o,
{)
r
"°
w < o.
(H-2-28)
Toto rozdělení je použitelné pro kvazimonochromaticke prostorově koherentní světlo,
pokud jsou reálná a imaginární část komplexní amplitudy nezávislé a mají normální
(Gaussovo) rozdělení pravděpodobnosti. Spektrální šířka musí být dostatečně malá,
aby koherenční doba TC byla mnohem delší než detekční interval T, a koherenční
plocha Ac musí být mnohem větší než plocha detektoru A. Rozdělení počtu fotonů,
jež odpovídá (11.2-28), lze získat dosazením do (11.2-25) a vypočtením integrálu.
Výsledkem je Boseovo-Einsteinovo rozdělení dané vztahem (11.2-20). Optické pole
s gaussovským rozdělením má tedy fotonovou statistiku stejnou jako jeden mod
tepelného záření. Není-li plocha A dostatečně malá a časový interval T dost krátký,
statistika se změní; popisuje mnohavidové tepelné záření (viz úlohy 11.2-5 až 11.2-7).
464
D.
FOTONOVÁ OPTIKA
Náhodné dělení fotonových proudů
Říkáme, že proud fotonů se dělí, jestliže některé jeho fotony jsou z něho vyčleňovány.
Vyčleněné fotony mohou být buď odkloněny nebo zničeny. Jsou-li fotony odkláněny,
nazývá se proces náhodným dělením. Zanikají-li, nazývá se náhodným pohlcováním.
Existuje mnoho způsobů realizace těchto procesů. Snad nejjednodušší příklad náhodného dělení představuje ideální bezztrátový dělič svazku. Fotony jsou náhodně
vybírány a začleňovány do jednoho ze dvou výstupních proudů (viz obr. 11.2-8).
Příkladem náhodného pohlcování může být působení optického absorpčního filtru
na světelný svazek. Fotony jsou náhodně vybírány a buďto projdou filtrem nebo
zanikají (jsou přeměněny na teplo).
V našich úvahách se omezíme na situace, kdy možnost, že jednotlivý foton bude
vyčleněn, je stejná jako při nezávislých náhodných (Bernoulliho) pokusech. V případě
děliče svazku to znamená, že proud fotonů dopadá pouze na jednu vstupní bránu
(obr. 11.2-8). Tím je vyloučena možnost interference, která obecně ruší předpoklad
o nezávislosti pokusů. Přestože se ve výsledcích, které budou odvozeny níže, bude
hovořit o náhodném dělení, lze je stejně dobře použít i pro náhodné pohlcování fotonů.
Budeme uvažovat bezztrátový dělič svazku s intenzitní propustností & a odrazivostí ^ = 1 — 3f. V elektromagnetické optice je intenzita prošlé vlny It svázána
s intenzitou dopadající vlny / vztahem /( = 5fl. Výsledek dopadu jediného fotonu
na dělič svazku byl vyšetřován v odst. 11.1B. Ukázali jsme tam, že pravděpodobnost
průchodu je rovna propustnosti &. Nyní přikročíme k řešení případu, kdy na dělič
svazku dopadá proud fotonů o středním toku <ř, takže střední počet fotonů přicházejících během časového intervalu T je ň = $ T.
Podle (11.2-6) je střední počet fotonů ve svazku úměrný optické energii. Střední počet prošlých fotonů proto musí být c?ň a střední počet odražených fotonů
(1 — ď^)ň. Položme si nyní obecnější otázku: co se stane s fotonovou statistikou p(n)
proudu fotonů při dělení děličem svazku?
Jediný foton dopadající na dělič je propuštěn s pravděpodobností j7 a odražen
s pravděpodobností 1 — & (viz obr. 11.1-3). Obsahuje-li dopadající svazek přesně n
fotonů, pak pravděpodobnost p(m), že projde právě m fotonů, je stejná jako pravděpodobnost, že při n hodech mincí padne m krát hlava, pokud samozřejmě pravděpodobnost toho, že padne hlava, je rovna á 7 . Z elementární teorie pravděpodobnosti
víme, že výsledkem je binomické rozdělení
-0
p{m)
Obrázek 11.2-8
Sm(\ -
.^)"~m.
m = 0, 1,
Bezztrátový
dělič svazku
Náhodné dělení proudu fotonů děličem svazku.
(11.2-29)
FOTONOVÉ PROUDY
465
kde (^) = n\/m\(n — m)\. Snadno se ukáže, že střední počet prošlých fotonů je pak
m = -Jn.
(11.2-30)
Variance binomického rozdělení je dána vztahem
5 > = (1 - 3ř)m.
(11.2-31)
Vztahy pro odražený svazek lze získat ihned díky symetrii problému. Zvětšuje-li se
střední počet prošlých fotonů m, pak poměr signálu k šumu, daný vztahem TřT2fa2m —
— 7ř7/(l — y), se také zvětšuje. Proto pro velké intenzity probíhá dělení proudu fotonů
do dvou svazků v poměru, který je v dobré shodě s poměrem 5" a 1 - -J, což značí,
že můžeme použít zákonů klasické optiky.
Výše uvedené výrazy nám umožňují vypočítat vliv děliče svazku na fotony podléhající různým fotonovým statistikám. Řešení pro stochastické proudy fotonů nalezneme, když si uvědomíme, že v takových případech není počet fotonů n na vstupu děliče pevný, nýbrž náhodný. Nechť pravděpodobnost, že před děličem nalezneme právě
n fotonů, je po(n). Budeme-li fotony považovat za nezávislé, bude pravděpodobnostní
rozdělení počtu fotonů v prošlém svazku dáno váženým součtem binomických rozdělení přes všechny přípustné hodnoty n. Váhové faktory jsou rovny pravděpodobnostem
výskytu daného počtu fotonů n. Pravděpodobnost nalezení m fotonů prošlých děličem svazku, když rozdělení počtu fotonů na vstupu je po(")> je tedy dána vztahem
p(m) = TlnP(m\n)Po(n)i kde p{m\n) = (^)^m{l — .^)n~m je binomické rozdělení.
Nebo explicitně
Fotonová
statistika
nri
P(mJ
=
7
i
U-i7
PoCJ)
řT7 = U, 1, Z,. . . .
[Ll.Z-ÓJ.)
náhodném
dělení
Je-li po(") Poissonovo rozdělení (pro koherentní záření) nebo Boseovo-Einsteinovo rozdělení (pro tepelné záření), pak jsou výsledky zcela jednoduché: fotonová
statistika p(m) má přesně stejný tvar jako po(n). Tato rozdělení nemění při náhodném
dělení svůj tvar. Tedy záření jednomodového laseru prošlé děličem svazku zachovává
Poissonovo rozdělení a tepelné záření zachovává Boseovo-Einsteinovo rozdělení, i když
samozřejmě s menším středním počtem fotonů. Záření s určitým (přesně určeným,
neboli ostrým) počtem fotonů (viz odst. 11.3B) fotonovou statistiku při náhodném
dělení naopak nezachovává. Tato nešťastná vlastnost vysvětluje jeho malou životnost.
Pro rozdělený nebo zeslabený proud fotonů lze snadno spočítat i poměr signálu
k šumu. Pro koherentní záření a pro jeden vid tepelného záření dostáváme
r
ň
-=z
koherentní záření
(11.2-33)
tepelné záření
(11.2-34)
466
FOTONOVÁ OPTIKA
Protože 3T < 1, je zřejmé, že náhodné dělení zmenšuje poměr signálu k šumu.
Řečeno jinými slovy, náhodné dělení zavádí šum. Tato skutečnost je nejmarkantnější
v případě světla s určitým počtem fotonů.
Uvedené výsledky lze aplikovat i na detekci fotonů. Jestliže každý foton má stejnou šanci být nezávisle detekován, pak z n dopadajících fotonů bude s pravděpodobností p(m) detekováno m fotonů, přičemž p(m) je svázáno s po(n) vztahem (11.2-32).
Tento výsledek bude užitečný v teorii detekce fotonů (kap. 17).
*11.3
KVANTOVÉ STAVY SVĚTLA
Poloha, hybnost a počet fotonů v elektromagnetickém modu jsou obecně náhodné
veličiny. V tomto odstavci ukážeme, že samo elektrické pole je také obecně náhodné. Uvažujme elektromagnetický mod v objemu V odpovídající monochromatické
rovinné vlně, popsaný vektorem elektrické intenzity Re{E(r, í)}, kde
E(r, ť) = A exp(—jk • r) exp(j27Ti4)é.
Podle klasické elektromagnetické optiky je energie modu neměnná a rovná ^e|.A|2 V.
Vztahem 5re|yl|2 V = hu\a\2 definujeme komplexní proměnnou a. Veličinu \a\2 můžeme
potom interpretovat jako energii modu vyjádřenou počtem kvant energie (počtem
fotonů). Intenzitu elektrického pole lze vyjádřit vztahem
E(r, ť) = \-jr
(11.3-1)
kde komplexní proměnná a určuje komplexní amplitudu pole.
V klasické elektromagnetické optice představuje aexp(j27ri/í) rotující fázor, jehož
projekce na reálnou osu vytváří sinusové elektrické pole (viz obr. 11.3-1). Reálná
a imaginární část, x = Re{a} a p = Im{a}, se nazývají kvadraturními složkami
fázoru a, neboť jsou vzájemně fázově posunuty o čtvrtinu cyklu (o 90°). Určují
amplitudu a fázi sinusové vlny, která popisuje časové chování elektrického pole.
Rotujícím fázorem aexp(jj'27ri'í) se také popisuje pohyb harmonického oscilátoru;
Obrázek 11.3-1 Reálná a imaginární část proměnné aexp(j2nut), jež určuje komplexní
amplitudu klasického elektromagnetického pole o frekvenci v. časová dynamika je stejná
jako v případě harmonického oscilátoru s kruhovou frekvencí u = 2-KV.
KVANTOVÉ STAVY SVĚTLA
467
reálná složka x je úměrná poloze a imaginární složka p hybnosti. Z matematického
hlediska je chování klasického monochromatického modu elektromagnetického pole
totožné s chováním klasického harmonickáio oscilátoru.
Podobně i chování kvantového morochromatického elektromagnetického modu
je stejné jako chování jednorozměrného kvantově-mechanického harmonického oscilátoru. Proto dříve než budeme pokračovat, probereme stručně kvantovou teorii jednoduchého harmonického oscilátoru
Kvantová teorie harmonického oscilátoru
Částice o hmotnosti m, jejíž pciohu budeme značit x a hybnost p a jejíž potenciální
energie je V(x) = \KX2, kda K je konstanta pružnosti, představuje harmonický
oscilátor s celkovou energií ^p2/m+ | K X 2 a s oscilační frekvencí w = (/c/m) 1 / 2 .
Podle kvantové mechaniky lze její chování popsat komplexní vlnovou funkcí ip(x)
splňující bezčasovou Schoaingerovu rovnici
(11.3-2)
kde £ je energie částice. Řešení Schródingerovy rovnice pro harmonický oscilátor vede
k diskrétním hodnotám energie:
£„ = ín + ]- J hu, n = 0, 1, 2, ...;
(11.3-3)
sousední energetické hladiny jsou vzdáleny o kvantum energie hv = Tuv. Odpovídající
vlastní funkce ip„.(x) jsou Hermitovy-Gaussovy funkce,
exp
/
mwx-
-•
2h
kde H„.{x) je Hermitův polynom řádu n [viz (3.3-5) až (3.3-7) a (3.3-10)].
Libovolnou vlnovou funkci ip{x) lze rozvinout podle systému ortogonálních
vlastních funkcí {ip.„,(x)}, tj. lze ji zapsat jako superpozici těchto funkcí: tp(x) =
= 2 „ c„.^>.,,(z). Vlnová funkce ip{x) určuje stav systému. Chování částice z ní lze
určit následujícím způsobem:
• Pravděpodobnost p(n), že harmonický oscilátor nese n kvant energie, je dána
koeficientem | c „ | 2 .
• Hustota pravděpodobnosti nalezení částice v místě x je určena hodnotou ^ ( x ) ! 2 .
• Hustota pravděpodobnosti, že hybnost částice je p, je dána hodnotou |^>(p)|2.
Funkce ijli(p) je úměrná inverzní Fourierově transformaci funkce ip{x) při frekvenci
Plh:
(11.3-4)
468
FOTONOVÁ OPTIKA
Skutečnost, že proměnné x a p/h jsou takto svázány Fourierovou transformací,
je příčinou Heisenbergových relací teurčitosti mezi polohou a hybností
— - > — neb^ axa„p > —.
h ~ 4TT
- 2
Analogie mezi optickým modem a harmonicrým oscilátorem
Energie elektromagnetického modu je hw\a\2 = hv{x? + p2). Analogie s harmonickým
oscilátorem o energii | ( p 2 / m + KX2) se zavede na základě substituce
x = (2hv)~1/2ux,
p = (2hv)-'l2p.
Energie modu pak je | ( p 2 + ÍV2X2), COŽ odpovídá energii harmonického oscilátoru
s hmotností m = 1 (přičemž u> = y/n)- Vzhledem k tomn, že analogie je úplná,
můžeme učinit závěr, že energie kvantového elektromagnetického modu je, stejně jako
energie kvantově-mechanického harmonického oscilátoru, kvantována na hodnoty
(n + \)hv, jak bylo naznačeno dříve. Při použití vhodných škálovacích faktorů určuje
chování polohy x a hybnosti p harmonického oscilátoru chování kvadraturních složek
elektromagnetického pole x a p.
Shrnutí
Elektromagnetický mod o frekvenci v je popsán komplexní vlnovou funkcí
V>(x), která určuje statistiku počtu fotonů v modu a neurčitosti kvadraturních složek x a p.
• Pravděpodobnost p(n), že vid obsahuje n fotonů, je dána hodnotou
|c,i|2,'kde c„ jsou koeficienty rozvoje V"(x) podle vlastních funkcí tp*(x):
• Hustoty pravděpodobnosti pro kvadraturní složky x a p jsou dány
funkcemi I^MI 2 a \(f>(p)\2, přičemž tp(-) a 4>{-) jsou vázány vztahem
<t>{p) = 4 = /
V-(x) ex P 02px) dx.
(11.3-5)
• Známe-li ^(x), pak můžeme vypočítat <j>(p) a nalézt hustoty pravděpodobnosti pro x a p. Komplexní vlnová funkce ip(x) proto určuje neurčitosti kvadraturních složek komplexní amplitudy.
V odst. A.2 dodatku A je ukázáno, že vztah mezi ip(x) a 4>{p) daný Fourierovou
transformací vede k relaci neurčitosti mezi výkonovými rms šířkami kvadraturních
KVANTOVÉ STAVY SVĚTLA
469
složek vyjádřené vztahem
Kvadraturní
neurčitost
*
p
,^. , , .
^ ^
— A
Reálná a imaginární složka elektrického pole nemohou být obě zároveň určeny
s libovolnou přesností.
A.
Koherentní stav
Součin axap charakterizující neurčitost nabývá minimální hodnoty rovné | , když
funkce tp(x) je Gaussovou funkcí (viz odst. A.2 dodatku A). V takovém případě je
2
tp(x) oc exp [-(x - a x ) ]
(11.3-7)
a jeho Fourierova transformace je rovněž Gaussovou funkcí:
2
cj>{p) oc exp [-(p - ap) } .
(11.3-8)
Zde ax a ap jsou libovolné konstanty reprezentující střední hodnoty veličin x a p.
2
2
Kvadraturní neurčitosti určené z |V>(x)| a |(/>(p)| jsou pak
ax = ap=1-.
(11.3-9)
Říkáme, že za těchto podmínek je elektromagnetické pole v koherentním stavu. Neurčitosti kvadraturních složek x a p v rozsahu jedné standardní odchylky a odpovídající
neurčitosti komplexní amplitudy a a elektrické intenzity S(t) pro světlo v koherentním stavu jsou zobrazeny na obr. 11.3-2. Čtverec absolutní hodnoty |c„| 2 koeficientů
rozvoje funkce ifi(x) podle Hermitovy-Gaussovy báze je roven n" exp(—ň)/n\, kde
n = a2 + a2p. Fotopulsní pravděpodobnostní rozdělení p(n) je tedy poissonovské. Narozdíl od elektromagnetické optiky, není v kontextu fotonové optiky koherentní světlo
deterministické.
Neurčitost koherentního stavu je nejvýraznější, když ax a ap jsou malé. Časové
chování elektrické intenzity v limitě ax = ap = 0 je zachyceno na obr. 11.3-3. Tento
stav odpovídá případu, kdy vid obsahuje nula fotonů a má pouze zbytkovou energii
nulových kmitů \hu. Takový stav se nazývá vakuovým stavem.
B.
Stlačené stavy
Kvadraturně stlačené světlo
I když součin neurčitostí axap nelze zmenšit pod jeho minimální hodnotu rovnou | ,
neurčitost jedné kvadraturní složky může být zmenšena (stlačena) pod ^ — samozřejmě za cenu zvětšení neurčitosti druhé složky. Říkáme pak, že světlo je kvadraturně
stlačené. Jako příklad vezměme stav, jehož xp(x) je Gaussova funkce s (roztaženou)
470
FOTONOVÁ OPTIKA
Obrázek 11.3-2 Neurčitosti v případě koherentního stavu. Průběhy <f (t) oc a exp(j2iri/t)
jsou zakresleny pro náhodně vybrané body z kruhu vymezujícího neurčitosti. Koeficient
úměrnosti je roven jedné.
Obrázek 11.3-3
Znázornění neurčitostí v případě vakuového stavu.
šířkou ax = s/2 (s > 1). Odpovídající <j>(p) je také Gaussova funkce se (stlačenou) šířkou op — l/2s. Součin ax<jp zachovává svoji minimální hodnotu j , avšak kruh, jenž
vymezoval neurčitost fázoru a, je stlačen do tvaru elipsy, jak ukazuje obr. 11.3-4.
Asymetrie v neurčitostech dvou kvadraturních komponent se projevuje v časovém
průběhu elektrické intenzity. Její neurčitost se periodicky zvětšuje a každou další
čtvrtperiodu opět zmenšuje. Pokud by se pole měřilo pouze v těch okamžicích, v nichž
je jeho neurčitost minimální, mohl by být šum snížen pod úroveň dosažitelnou v případě koherentního stavu. Výběr takových časových okamžiků lze docílit heterodynním
směšováním stlačeného světla s koherentním optickým polem odpovídající fáze (viz
odst. 22.5). Díky této redukci šumu je stlačené světlo vhodné pro přesná měření a pro
přenos informace.
KVANTOVÉ STAVY SVĚTLA
Obrázek 11.3-4
471
Znázornění neurčitostí v případě kvadraturně stlačeného stavu
Světlo se stlačeným počtem fotonů
Kvadraturně stlačené světlo se vyznačuje tím, že neurčitost jedné z jeho kvadraturních složek je menší než neurčitost této složky v případě koherentního stavu. Jiným
druhem neklasického světla je světlo se stlačeným počtem fotonů neboli subpoissonovské světlo. Variance rozdělení počtu fotonů je v tomto případě stlačena
pod hodnotu odpovídající koherentnímu stavu (pod hodnotu variance Poissonova
rozdělení), tj. o2n < n. Fluktuace počtu fotonů vyhovující této nerovnosti jsou neklasické, protože vztah (11.2-27) pro ně nemůže být splněn. Světlo se stlačeným počtem
fotonů se používá, stejně jako kvadraturně stlačené světlo, při přesném měření a při
přenosu informace. Lze je generovat speciálními polovodičovými diodovými lasery.
Jako příklad světla se stlačeným počtem fotonů vezmeme elektromagnetický vid
odpovídající vlastnímu stavu harmonického oscilátoru ip(x) = ip„0(x). Takový stav
se nazývá stavem s ostrým počtem fotonů, protože p(n) = |c„| 2 = 1 pro n = no a všechny ostatní koeficienty (c„ pro n / n0) jsou nulové. Tedy počet fotonů obsažených
v modu je přesně n0. Tento stav má zcela určitý počet fotonů. Střední počet fotonů
je zřejmě ň = ng a variance je rovna nule (nedochází k žádným fluktuacím v počtu
fotonů). V případě no = 1 je přítomen právě jeden foton.
Neurčitosti v případě světla s ostrým počtem fotonů jsou znázorněny na obrázku
11.3-5. Ačkoli kvadraturní složky, jakož i velikost fázoru a hodnota fáze, jsou neurčité,
je počet fotonů v tomto stavu zcela určitý. Vyvstává otázka, zda-li je možné provést
experimenty vyžadující pevný počet fotonů nějakým způsobem pomocí světla v koherentním stavu. Nešlo by to udělat například tak, že bychom v řadě následujících
časových intervalů monitorovali fotony přicházející z koherentního zdroje, a použili pak fotony pouze z těch intervalů, v nichž bychom jich nalezli právě požadovaný
počet? Problém u tohoto přístupu spočívá v tom, že je těžké pozorovat fotony, aniž
bychom je zničili. Jednou z možností, jak tento problém obejít, je generovat fotony v korelovaných párech pomocí takových procesů jako je parametrická konverze
do nižších frekvencí (viz odstavce 19.2C a 19.4C). Máme-li dvě „kopie" fotonového
proudu, můžeme monitorováním jedné z nich určovat počet fotonů ve druhé.
472
FOTONOVÁ OPTIKA
Obrázek 11.3-5 Znázornění neurčitostí v případě stavu s ostrým počtem fotonů. Tento
stav je stlačen vzhledem k počtu fotonů, ale není kvadraturně stlačený.
LITERATURA
Knihy o kvantové mechanice
L. E. Ballentine, Quantum Mechanics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1990.
W. Greiner, Quantum Mechanics, Springer-Verlag, New York, 1989.
A. Yariv, Introduction to the Theory and Aplications of Quantum Mechanics, Wiley,
New York, 1982.
L. I. Schiff, Quantum Mechanics, McGraw-Hill, New York, 3. vyd. 1968.
R. P. Feynman, R. B. Leightpn a M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, vol. 3,
Quantum Mechanics, Addison-Wesley, Reading, MA, 1965.
R. P. Feynman, Quantum Electrodynamics, W. A. Benjamin, New York, 1962.
A. Messiah, Quantum Mechanics, vols. 1, 2, North-Holland/Wiley, Amsterdam/New
York, 1961/1962.
E. Merzbacher, Quantum Mechanics, Wiley, New York, 1961.
R. M. Eisberg, Fundamentals of Modem Physics, Wiley, New York, 1961.
P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press,
New York, 4. vyd. 1958.
L. D. Landau a E. M. Lifshitz, Quantum Mechanics, Addison-Wesley, Reading, MA,
1958. (Přepracované a doplněné ruské vydání Kvantovaja mechanika GIFML,
Moskva, 1963)
Knihy o kvantové optice
J. Peřina, Quantum Statistics of Linear and Nonlinear Optical Phenomena, Reidel,
Dordrecht, The Netherlands, 2. vyd. 1991.
P. Meystre a M. Sargent III, Elements of Quantum Optics, Springer-Verlag, New
York, 1990.
W. H. Louisell, Quantum Statistical Properties of Radiation, Wiley, New York, 1973,
1990.
LITERATURA
473
C. Cohen-Tannoudji, J. Dupont-Roc a G . Grynberg, Photons and Atoms, Wiley, New
York, 1989.
E. R. Pike a H. Walther, eds., Photons and Quantum Fluctuations, Adam Hilger,
Bristol, England, 1988.
F. Haake, L. M. Narducci a D . F. Walls, eds., Coherence, Cooperatíon, and Fluctuations, Cambridge University Press, New York, 1986.
E. R. Pike a S. Sarkar, eds., Frontiers in Quantum Optics, Adam Hilger, Bristol,
England, 1986.
R. P. Feynman, QED, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1985.
J. Peřina, Coherence of Light, Reidel, Dordrecht, The Netherlands, 2. vyd. 1985.
R. Loudon, The Quantum Theory of Light, Oxford University Press, New York,
2. vyd. 1983.
R. L. Knight a L. Allen, Concepts of Quantum Optics, Pergamem Press, Oxford,
1983.
E. Goldin, Waves and Photons: An Introduction to Quantum Optics, Wiley, New
York, 1982.
H. Haken, Light, vol. 1: Waves, Photons, Atoms, North-Holland, Amsterdam, 1981.
D. Marcuse, Principles of Quantum Electronics, Academie Press, New York, 1980.
B. Saleh, Photoelectron Statistics, Springer-Verlag, New York, 1978.
H. M. Nussenzveig, Introduction to Quantum Optics, Gordon and Breach, New York,
1973.
D. Marcuse, Engineering Quantum Electrodynamics, Harcourt, Brace & World, New
York, 1970.
J. R. Klauder a E. C. G. Sudarshan, Fundamentals of Quantum Optics, W. A.
Benjamin, New York, 1968.
C. DeWitt, A. Blandin a C . Cohen-Tannoudji, eds., Quantum Optics and Electronics,
Gordon and Breach, New York, 1965.
W. H. Louisell, Radiation and Noise in Quantum Electronics, McGraw-Hill, New
York, 1964.
W. Heitler, The Quantum Theory of Radiation, Clarendon Press, Oxford, England,
3. vyd. 1954.
Zvláštní vydání časopisů
Speciál issue on the statistical efřiciency of natural and artificial vision, Part II,
Journal of the Optical Society of America A, vol. 5, no. 4, 1988.
Speciál issue on the statistical efficiency of natural and artificial vision, Journal of
the Optical Society of America A, vol. 4, no. 12, 1987.
Speciál issue on squeezed states of the electromagnetic field, Journal of the Optical
Society of America B, vol. 4, no. 10, 1987.
Speciál issue on squeezed light, Journal of Modem Optics, vol. 34, no. 6/7, 1987.
Speciál issue on quantum-limited imaging and image processing, Journal of the
Optical Society of America A, vol. 3, no. 12, 1986.
Speciál issue on the mechanical effects of light, Journal of the Optical Society of
America B, vol. 2, no. 11, 1985.
474
FOTONOVÁ OPTIKA
Články
M. C. Teich a B. E. A. Saleh, Squeezed and Antibunched Light, Physics Today,
vol. 43, no. 6, pp. 26-34, 1990.
M. C. Teich a B. E. A. Saleh, Squeezed States of Light, Quantum Optics, vol. 1,
pp. 153-191, 1989.
M. C. Teich a B. E. A. Saleh, Photon Bunching and Antibunching, in Progress ín
Optics, vol. 26, E. Wolf, ed., North-Holland, Amsterdam, 1988, pp. 1-104.
R. E. Slusher a B. Yurke, Squeezed Light, Scientific American, vol. 258, no. 5,
pp. 50-56, 1988.
M. D. Levenson a R. M. Shelby, Deamplification of Quantum Noise and Quantum
Nondemolition Detection in Optical Fibers, Optics News, vol. 14, no. 1, pp. 7-12,
1988.
R. W. Henry a S. C. Glotzer, A Squeezed-State Primer, American Journal of Physics,
vol. 56, pp. 318-328, 1988.
G. Leuchs, Squeezing the Quantum Fluctuations of Light, Contemporary Physics,
vol. 29, pp. 299-314, 1988.
R. Loudon a P. L. Knight, Squeezed Light, Journal of Modem Optics, vol. 34,
pp. 709-759, 1987.
M.-A. Bouchiat a L. Pottier, Optical Experiments and Weak Interactions, Science,
vol. 234, pp. 1203-1210, 1986.
D. F. Walls, Squeezed States of Light, Nature, vol. 306, pp. 141-146, 1983.
H. Paul, Photon Antibunching, Reviews of Modem Physics, vol. 54, pp. 1061-1102,
1982.
E. Wolf, Einstein's Researches on the Nature of Light, Optics News, vol. 5, no. 1,
pp. 24-39, 1979.
S. Weinberg, Light as a Fundamental Particle, Physics Today, vol. 28, no. 6,
pp. 32-37, 1975.
M. O. Scully a M. Sargent III, The Concept of the Photon, Physics Today, vol. 25,
no. 3, pp. 38-47, 1972.
H. Risken, Statistical Properties of Laser Light, in Progress in Optics, vol. 8, E. Wolf,
ed., North-Holland, Amsterdam, 1970.
L. Mandel a E. Wolf, eds., Selected Papers on Coherence and Fluctuations of Light,
vols. 1 a 2, Dover, New York, 1970.
L. Mandel a E. Wolf, Coherence Properties of Optical Fields, Reviews of Modem
Physics, vol. 37, pp. 231-287, 1965.
L. Mandel, Fluctuations of Light Beams, in Progress in Optics, vol. 2, E. Wolf, ed.,
North-Holland, Amsterdam, 1963.
Literatura v českém a slovenském jazyce
S. Brandt a H. D. Dahmen, Kvantová mechanika v obrazoch, Alfa, Bratislava, 1990.
R. P. Feynman, R. B. Leighton a M. Sands, Feynmanove přednášky z fyziky, díl 5,
Alfa, Bratislava, 1989.
J. Kvasnica, Matematický aparát fyziky, Academia, Praha, 1989.
J. Pišút, L. Gomolčák a V. Černý, Úvod do kvantovej mechaniky, Alfa/SNTL,
Bratislava/Praha, 2. vyd. 1983.
ÚLOHY
475
J. Formánek, Úvod do kvantové teorie, Academia, Praha, 1983.
B. Kvasil, Teoretické základy kvantové elektroniky, Academia, Praha, 1983.
L. D. Landau a J. M. Lifšic, Úvod do teoretickej fyziky 2: Kvantová mechanika,
Alfa/Mir, Bratislava/Moskva, 1982.
J. Likeš, J. Machek, Počet pravděpodobností, MVŠT sešit X, SNTL, Praha, 1982.
K. Rektorys a kol., Přehled užité matematiky, SNTL, Praha, 4. vyd. 1981.
A. S. Davydov, Kvantová mechanika, SPN, Praha, 1978.
A. Renyi, Teorie pravděpodobnosti, Academia, Praha, 1972.
J. Peřina, Teorie koherence, SNTL, Praha, 1975.
J. Kvasnica, Fyzikální pole, SNTL, Praha, 1964.
ÚLOHY
11.1-1 Energie fotonu, (a) Jaké napětí je třeba k urychlení elektronu z nulové rychlosti, aby získal stejnou energii, jakou má foton o vlnové délce
Ao = 0,87 /im?
(b) Z fotonu o vlnové délce 1,06/mi a z fotonu o vlnové délce 10,6 //m
byl vytvořen foton, jehož energie je rovna součtu energií těchto dvou
fotonů. Jaká je vlnová délka výsledného fotonu? Interakce tohoto typu jsou
diskutovány v kap. 19.
11.1-2 Poloha jediného fotonu na stínítku. Uvažujte svazek monochromatického světla o vlnové délce Ao dopadající na nekonečně rozlehlé stínítko v rovině z = 0. Intenzita svazku buď I(p) = IQ exp(—p/po), kde p = (x2 + y2)1!2.
Představte si, že intenzita zdroje je snížena na úroveň, kdy na stínítko dopadá pouze jediný foton.
(a) Najděte pravděpodobnost toho, že foton dopadne do oblasti stínítka
vymezené kruhem o poloměru po kolem počátku.
(b) Obsahuje-li svazek přesně 106 fotonů, kolik fotonů v průměru dopadne
do kruhu o poloměru PQ!
11.1-3 Hybnost volného fotonu. Porovnejte celkovou hybnost fotonů v laserovém impulsu o energii 10 J s hybností lg hmoty pohybující se rychlostí 1 cm/s a s hybností elektronu pohybujícího se rychlostí co/10.
*ll.l-4 Hybnost fotonu v gaussovském svazku, (a) Jaká je pravděpodobnost,
že vektor hybnosti fotonu spojeného s gaussovským svazkem s minimálním
poloměrem WQ leží uvnitř kužele o vrcholovém úhlu #o? Odkazujeme na
definice v odst. 3.1.
(b) Platí v tomto případě vztah p = /ř/co?
11.1-5 Levitace vlivem tlaku záření. Uvažujte izolovaný atom vodíku o hmotnosti 1,66 x 10" 27 kg.
(a) Zjistěte jaká gravitační síla působí na tento vodíkový atom v blízkosti
zemského povrchu (předpokládejte, že gravitační zrychlení na úrovni mořské
hladiny je g = 9,8 m/s2).
476
FOTONOVÁ OPTIKA
(b) Mějme nyní laserový svazek fotonů o energii 1 eV namířený směrem
vzhůru a sfokusovaný tak, že veškerá hybnost každého jeho fotonu je předávána atomu. Nalezněte střední sílu tlačící atom vzhůru za předpokladu, že
na něj každou sekundu dopadá jeden foton.
(c) Určete počet fotonů, které musí dopadnout na atom za jednu sekundu,
a odpovídající optický výkon, aby atom nepadal vlivem gravitace; uvažujte
idealizované podmínky ve vakuu.
(d) Jaký počet fotonů za sekundu by byl potřeba k udržení atomu, kdyby
atom fotony dokonale odrážel?
*ll.l-6 Jediný foton ve Fabryově-Perotově rezonátoru. Uvažujte FabryůvPerotův rezonátor délky d = 1 cm s dokonale odrazivými zrcadly vyplněný neabsorbujícím materiálem o indexu lomu n = 1,5. Předpokládejte,
že v rezonátoru je právě jeden foton v modu popsaném stojatou vlnou
sin(1057rz/c/).
(a) Určete vlnovou délku fotonu a jeho energii (eV).
(b) Odhadněte neurčitost polohy a hybnosti fotonu (velikosti i směru)
a výsledek srovnejte se vztahem apax ss h/2.
11.1-7 Jednofotonové rázy (časová interference). Uvažujte detektor osvětlený
polychromatickou rovinnou vlnou sestávající ze dvou rovnoběžných monochromatických vln s časovými závislostmi popsanými funkcemi
a
U2(t) =
s frekvencemi v\ á v2 a intenzitami l\ a l2. Podle vlnové optiky (odst. 2.6B)
platí pro intenzitu takové vlny 7(ť) = 7i + 12 + 2{I\I2)1/2 cos[27r(i/2 — v\)i\Předpokládejme, že obě dílčí rovinné vlny mají stejné intenzity (7i =72).
Předpokládejme také, že vlna je tak slabá, že v časovém intervalu T =
= l/\v2 — v\\ dopadá na detektor pouze jediný foton.
(a) Vyneste závislost hustoty pravděpodobnosti p(í) detekce fotonu v čase t
pro 0 < ť < l/|f2 — v\\- Ve kterém okamžiku z intervalu T je pravděpodobnost detekce fotonu nulová?
(b) Aby bylo možno určit, ze které ze dvou dílčích vln foton pochází, bylo
by třeba změřit energii s přesností lepší než
<?E
< h\v2 — v\\.
Užitím relace neurčitosti mezi časem a energií ukažte, že čas nutný pro
takové měření by byl srovnatelný s periodou rázů, takže takovéto měření by
smazávalo interferenci.
11.1-8 Změna hybnosti fotonu při průchodu děličem svazku. Uvažujte
jediný foton v modu popsaném rovinnou vlnou dopadající na bezztrátový
dělič svazku. Jaký je vektor hybnosti fotonu předtím než dopadne na dělič?
Jaké jsou možné hodnoty vektoru hybnosti a jaké jsou pravděpodobnosti
pozorování těchto hodnot za děličem svazku?
ÚLOHY
477
11.2-1 Fotonový tok. Ukažte, že výkon monochromatického optického svazku,
který nese v průměru jeden foton na optickou periodu, je nepřímo úměrný
kvadrátu vlnové délky.
11.2-2 Poissonovo rozdělení. Ověřte, že Poissonovo pravděpodobnostní rozdělení dané vztahem (11.2-12) je normované na jednotku a má střední hodnotu ň
a varianci a\ = ň.
11.2-3 Fotonová statistika koherentního Gaussova svazku. Předpokládejte,
že jednomodový He-Ne laser o výkonu 100 pW vysílá záření na vlnové délce
633nm v modu TEMo.o ve tvaru gaussovského svazku (viz kap. 3).
(a) Jaký je střední počet fotonů, které projdou kruhem o poloměru rovném
minimálnímu poloměru svazku W$ za čas T = 100 ns (z = 0)?
(b) Jaká je variance počtu fotonů v případě (a)?
(c) Jaká je v případě (a) pravděpodobnost, že kruhem neprojde žádný foton?
11.2-4 Boseovo-Einsteinovo rozdělení.
(a) Ověřte, že Boseovo-Einsteinovo
pravděpodobnostní rozdělení, dané vztahem (11.2-20), je normované a má
střední hodnotu n a varianci a\ — n + n2.
(b) Jaká je pravděpodobnost, že v časovém intervalu délky 20 ns nebude detekován žádný foton, je-li fotonový tok ve svazku fotonů řídících
se Boseovou-Einsteinovou statistikou v průměru 1 foton za nanosekundu?
*11.2-5 Záporné binomické rozdělení. V literatuře o teorii pravděpodobnosti je
ukázáno, že součty *// náhodných proměnných s identickým geometrickým
(Boseovým-Einsteinovým) rozdělením se řídí záporným binomickým rozdělením
A
{ni.ar
n
Ověřte, že v případě *// = 1 se negativní binomické rozdělení redukuje na
Boseovo-Einsteinovo rozdělení a v případě ~/( —> co na Poissonovo rozdělení.
*11.2-6 Fotonová statistika mnohamodového tepelného záření v dutině.
Uvažujte .// modů tepelného záření vzájemně dostatečně frekvenčně blízkých, abychom mohli předpokládat, že jsou obsazeny podle Boseova-Einsteinova rozdělení o stejném středním počtu fotonů l/[exp(hf/kBT) — 1].
Ukažte, že variance celkového počtu fotonů n je svázána se střední hodnotou vztahem
2
naznačujícím, že mnohamodové tepelné záření má menší varianci než jednomodové tepelné záření. Přítomnost mnoha vidů zajišťuje středování, čímž
se snižuje šum světla.
*11.2-7 Fotonová statistika svazku mnohamodového tepelného záření.
Zdroj mnohavidového tepelného záření obsahujícího «/( identických modů
s exponenciálně rozděleným (náhodným) integrovaným výkonem má hustotu
pravděpodobnosti p(^') popsanou rozdělením gama
478
FOTONOVÁ OPTIKA
S využitím Mandelovy formule (11.2-25) ukažte, že výsledné rozdělení počtu
fotonů má tvar záporného binomického rozdělení definovaného v úloze
11.2-5.
*11.2-8 Střední hodnota a variance dvojnásobně stochastického Poissonova rozdělení. Dokažte (11.2-26) a (11.2-27).
11.2-9 Náhodné dělení koherentního světla, (a) Pomocí (11.2-32) ukažte, že
rozdělení počtu fotonů náhodně děleného koherentního záření zachovává
poissonovský tvar.
(b) Ukažte přímým výpočtem, že střední počet fotonů ve světle odraženém
od bezztrátového děliče svazku je (1 - 5f)l\.
(c) Dokažte (11.2-33) pro koherentní světlo.
11.2-10 Náhodné dělení jednovidového tepelného záření, (a) Pomocí vztahu
(11.2-32) ukažte, že rozdělení počtu fotonů náhodně děleného jednovidového
tepelného záření zachovává Boseův-Einsteinův tvar.
(b) Přímým výpočtem ukažte, že střední počet fotonů ve světle odraženém
od bezztrátového děliče svazku je (1 — ^~)n.
(c) Dokažte (11.2-34) pro jednovidové tepelné záření.
*11.2-11 Exponenciální pokles středního počtu fotonů v absorbujícím prostředí, (a) Uvažujte absorbující materiál tloušťky d s absorpčním koeficientem a (cm" 1 ). Napište diferenciální rovnici umožňující určit střední počet
fotonů n{x) v místě x, kde x je hloubka uvnitř filtru (0 < x < d). Střední
počet fotonů dopadajících na materiál buď ňo(b) Řešte tuto diferenciální rovnici. Vysvětlete, proč váš výsledek odpovídá
zákonu exponenciálního poklesu intenzity získanému pomocí elektromagnetické optiky (odst. 5.5A).
(c) Napište výraz pro rozdělení počtu fotonů p(n) v libovolném místě x
v absorbujícím prostředím, dopadá-li na něj koherentní světlo.
(d) Jaká je pravděpodobnost průchodu jednoho fotonu absorbujícím prostředím?
*11.3-1 Binomické rozdělení počtu fotonů. Binomické pravděpodobnostní rozdělení lze zapsat ve tvaru: p{n) = [M\/(M-n)\n\]pn(l-p)M~n. Toto rozdělení
popisuje určitý druh světla se stlačeným počtem fotonů.
(a) Navrhněte možný mechanismus přeměny světla ve stavu s ostrým (určitým) počtem fotonů na světlo popsané binomickou fotonovou statistikou.
(b) Dokažte, že binomické pravděpodobnostní rozdělení je normované na
jednotku.
(c) Nalezněte střední hodnotu n a varianci a\ binomického pravděpodobnostního rozdělení vyjádřené pomocí parametrů p a M .
(d) Nalezněte vztah pro SNR a zapište jej pomocí n a p . Vypočtěte SNR
pro limitní případy p —* 0 a p —> 1. Jakým druhům světla odpovídají tyto
dva krajní případy?
ÚLOHY
479
*11.3-2 Šum hypotetického fotonového zdroje. Uvažujte hypotetický světelný
zdroj, který produkuje proud fotonů s rovnoměrným diskrétním rozdělením
počtu fotonů daným vztahem
O
jinde.
(a) Ověřte, že toto rozdělení je normované na jednotku a má střední
hodnotu n. Vypočtěte varianci počtu fotonů a\ a poměr signálu k šumu
(SNR) a porovnejte je s hodnotami pro Boseovo-Einsteinovo a Poissonovo
rozdělení se stejnými středními hodnotami.
(b) Pomocí SNR rozhodněte, zda tento zdroj má větší či menší šum, než
ideální jednomodový laser. Vyšetřete případy s ň < 2, ň = 2 a s ň > 2.
(c) Kolikrát je SNR pro takovéto světlo větší než pro jednomodové tepelné
záření?
[Užitečné vzorce:
K A P I T O L A
12
FOTONY A ATOMY
12.1 ATOMY, MOLEKULY A PEVNÉ LAŤKY
A. Energetické hladiny
B. Obsazení energetických hladin pn tepelné rovnováze
12.2 INTERAKCE FOTONŮ S ATOMY
A. Interakce jednomodového záření s atomem
B. Spontánní emise
C. Stimulovaná emise a absorpce
D. Rozšíření čáry
*E. Laserové ochlazování a zachycování atomů
12.3 TEPELNÉ ZÁŘENÍ
A. Tepelná rovnováha mezi fotony a atomy
B. Spektrum záření černého tělesa
12.4 LUMINISCENCE
Niels Bohr (1885-1962)
Albert Einstein (1879-1955)
Bohr a Einstein položili teoretické základy popisu interakce záření s látkou.
480
Fotony interagují s látkou, protože obsahuje elektrické náboje. Elektrické pole záření
silově působí na elektrické náboje a dipóly v atomech, molekulách a pevných látkách
a způsobuje jejich kmitání nebo je urychluje. Naopak kmitající elektrické náboje
vysílají záření.
Atomy, molekuly a pevné látky mají specifické dovolené energetické hladiny,
určené zákony kvantové mechaniky. Záření interaguje s atomem prostřednictvím
změn potenciální energie, které mají původ v silách působících na elektrické náboje.
Tyto síly jsou indukovány časově proměnným elektrickým polem záření. Foton může
interagovat s atomem, jestliže jeho energie je rovna rozdílu mezi dvěma energetickými
hladinami. Foton může svou energii odevzdat atomu a způsobit tak jeho přechod na
vyšší energetickou hladinu. O fotonu pak říkáme, že byl absorbován (či anihiloval).
Je možný i alternativní proces. Atom přejde na nižší energetickou hladinu, což
má za následek emisi (či kreaci) fotonu s energií rovnou rozdílu mezi enegetickými
hladinami.
V látce dochází nepřetržitě k přechodům nahoru a dolů mezi dovolenými energetickými hladinami. Některé z těchto přechodů jsou způsobovány tepelnými excitacemi a vedou k emisi a absorpci fotonů. Výsledkem je generování elektromagnetického záření ze všech objektů, jejichž teplota se liší od absolutní nuly. S růstem
teploty objektů jsou s rostoucí pravděpodobností obsazovány vyšší energetické hladiny, což působí posun spektra záření směrem k vyšším frekvencím (kratším vlnovým
délkám). V důsledku těchto náhodných procesů fotonové emise a absorpce, doprovázených tepelnými přechody mezi dovolenými energetickými hladinami, se dosáhne
tepelné rovnováhy mezi souborem fotonů a atomů. Emitované záření má spektrum,
které je určeno výhradně touto podmínkou rovnováhy. Záření, vysílané atomy, molekulami a pevnými látkami za podmínky tepelné rovnováhy a za nepřítomnosti jiných
externích energetických zdrojů, je známo jako tepelné záření. Emise fotonů může
být také způsobena přítomností jiných vnějších energetických zdrojů, jakými jsou
např. vnější zdroj záření, proud elektronů či chemická reakce. Excitované atomy pak
mohou emitovat netermální záření, zvané luminiscence.
Cílem této kapitoly je uvést zákony, jimiž se řídí interakce záření s látkou
a které vedou k emisi tepelného a luminiscenčního záření. Kapitola začíná stručným
přehledem (odst. 12.1) různých typů energetických hladin v atomech, molekulách
a pevných látkách. V odst. 12.2 jsou uvedeny zákony interakce fotonu s atomem,
tj. emise a absorpce fotonů. Interakce mnoha fotonů s mnoha atomy za podmínky
tepelné rovnováhy je diskutována v odst. 12.3. Stručný popis luminiscenčního záření
je uveden v odst. 12.4.
12.1
ATOMY, MOLEKULY A PEVNÉ LÁTKY
Látka se skládá z atomů. Ty mohou existovat v relativní izolaci, jako v případě
zředěného atomového plynu, nebo mohou vstupovat do interakcí se sousedními atomy
481
482
FOTONY A ATOMY
a tvořit molekuly či látku v kapalném nebo pevném skupenství. Pohyb částic, z nichž
se hmota skládá, podléhá zákonům kvantové mechaniky.
Chování jediné nerelativistické částice o hmotnosti m (např. elektronu) s potenciální energií V(r, t) je popsáno komplexní vlnovou funkcí \P(r, ť) vyhovující
Schrodingerově rovnici
(12.1-1)
Potenciální energie je určena prostředím obklopujícím částici a je odpovědná za velký
počet různých řešení této rovnice. Systémy s mnoha částicemi, jako atomy, molekuly,
kapaliny a pevné látky, podléhají složitější, nicméně podobné rovnici; potenciální
energie pak obsahuje členy popisující interakci mezi částicemi a s přiloženým vnějším
polem. Rovnice (12.1-1) je podobná paraxiální Helmholtzově rovnici [viz (2.2-22)
a (5.6-18)].
Bornův postulát kvantové mechaniky stanoví, že pravděpodobnost nalezení
částice uvnitř malého objemu dV v okolí polohy stanovené vektorem r a v časovém
intervalu mezi t a t + dť je
2
p(r, ť) dV dí = | * ( r , í ) | dV dí.
(12.1-2)
Rovnice (12.1-2) je podobná rovnici (11.1-10), která udává pravděpodobnost nalezení
fotonu v daném místě a daném čase.
Jestliže chceme pouze určit dovolené energetické hladiny E částice za nepřítomnosti časově proměnných interakcí, můžeme v (12.1-1) užít techniku separace proměnných a psát í'(r ) ť) = ip(r)exp[—j(E/ň)t], kde ^(r) vyhovuje časově nezávislé
Schrodingerově rovnici
- ^ V ^ ( r ) + V(r)r/,(r) = Ef(i).
(12.1-3)
Systém mnoha částic podléhá zobecněné formě rovnice (12.1-3). Řešení poskytuje
dovolené hodnoty energie systému E. Tyto hodnoty jsou někdy diskrétní (např. pro
atom), íiěkdy spojité (pro volnou částici) a někdy též tvoří hustě uspořádané diskrétní
hladiny zvané pásy (v polovodičích). Tepelná excitace nebo vnější pole, např. ozáření
materiálu, mohou způsobit přechod systému z jedné z energetických hladin na druhou.
Těmito pochody se uskutečňuje výměna energie mezi systémem a vnějším světem.
A.
Energetické hladiny
Energetické hladiny molekulárního systému vznikají jednak následkem potenciální
energie elektronů v přítomnosti atomových jader a ostatních elektronů, jednak
v důsledku molekulárních vibrací a rotací. V tomto odstavci si uvedeme příklady
různých typů energetických hladin pro určité vybrané atomy, molekuly a pevné látky.
ATOMY, MOLEKULY A PEVNÉ LÁTKY
483
Vibrační a rotační energetické hladiny v molekulách
Kmity (vibrace) dvouatomové molekuly. Kmity dvouatomové molekuly, jako např.
N2, CO nebo HC1, si lze znázornit modelem dvou hmotností mi, m-i spojených
pružinou. Intramolekulární soudržnost má za následek vznik pružné síly, která je
zhruba přímo úměrná změně x vzdálenosti mezi atomy. Můžeme zavést molekulární
2
konstantu tuhosti pružiny K tak, že potenciální energie je V(x) = \nx . Molekulární
vibrace probíhají tak, že jejich energie odpovídají hodnotám ze souboru dovolených
energetických hladin příslušejících kvantově mechanickému harmonickému oscilátoru,
(12.1-4)
1 2
kde w = (/í/nv) / je frekvence kmitů a mr = mim2/(mi + 7712) je redukovaná
hmotnost systému. Energetické hladiny jsou ekvidistantní. Typické hodnoty ňu> leží
mezi 0,05 a 0,5 eV, což odpovídá energii fotonu v infračervené spektrální oblasti
(převody mezi různými energetickými jednotkami poskytuje obr. 11.1-2 a zadní strana
obálky knihy). Dvě nejnižší vibrační energetické hladiny molekuly N2 jsou ukázány
na obr. 12.1-1. Rovnice (12.1-4) je identická s výrazem pro dovolené energie modu
elektromagnetického pole [viz. (11.1-4)].
Kmity molekuly CC>2- Molekula CO2 může vykonávat tři nezávislé typy kmitů:
symetrické valenční kmity (SV), antisymetrické valenční kmity (AV) a (dvojnásobně
degenerované) deformační kmity (D). Každý z těchto vibračních modů se chová
jako harmonický oscilátor se svou vlastní pružinovou konstantou a tudíž se svou
vlastní hodnotou ňui. Dovolené energetické hladiny se určí z (12.1-4) pomocí tří
eV
co 2
(050)
.(200)
(001)
- 0.4
(040)
- 0.3
^9.6-//m laser
(030)
10.6//m laser
^ (020)
(010)
- 0.2
- 0.1
(000)
Antisymetrické Symetrické Deformační
valenční
valenční
kmity
kmity
kmity
Obrázek 12.1-1 Nejnižší vibrační energetické hladiny molekul N2 a CO2 (nulová hladina
energie je vybrána při q = 0). Přechody označené šipkami představují energetické výměny
odpovídající fotonům o vlnových délkách 10,6 /im a 9,6 ^m. Tyto přechody se využívají
v laseru CO2, jak je diskutováno v kap. 13 a 14.
484
FOTONY A ATOMY
modových kvantových čísel (91,92,93) odpovídajících modům SV, AV a D jak je
ukázáno na obr. 12.1-1.
Rotace dvouatomové molekuly. Rotace dvouatomové molekuly kolem jejích os jsou
podobné rotacím tuhého rotátoru s momentem setrvačnosti ď. Rotační energie je
kvantována na hodnoty
)—
,
9
= 0, 1, 2,
(12.1-5)
Tyto hladiny nejsou ekvidistantně rozložené. Typické rotační energetické hladiny jsou
od sebe vzdáleny 0,001 až 0,01 eV, takže energetické rozdíly odpovídají fotonům
v daleké infračervené oblasti spektra. Každá z vibračních hladin znázorněných
na obr. 12.1-1 se ve skutečnosti štěpí na mnoho velmi blízkých rotačních hladin
s energiemi danými přibližně vztahem (12.1-5).
Elektronové energetické hladiny atomů a molekul
Isolované atomy. Isolovaný atom vodíku má potenciální energii odpovídající energii
Coulombovy přitažlivé síly mezi protonem a elektronem. Řešení Schródingerovy
rovnice vede k nekonečnému počtu diskrétních hladin s energiemi
9 = 1, 2, 3, . . . ,
(12.1-6)
kde ni,, je redukovaná hmotnost atomu, e je náboj elektronu a Z je počet protonů
v jádru (Z = 1 pro vodík). Tyto hladiny jsou znázorněny na obr. 12.1-2 pro Z = 1
a Z = 6.
Výpočet energetických hladin složitějších atomů je obtížný následkem interakcí
mezi elektrony a působení elektronového spinu. Všechny atomy mají diskrétní energe-
Obrázek 12.1-2 Energetické hladiny H(Z = 1) a CG+ (vodíkupodobný atom se Z = 6).
Přechod z q = 3 na q = 2 označený šipkou odpovídá laserovému přechodu v rentgenové
oblasti u 18,2 nm v C G +, o kterém se hovoří v kap. 14. Nulová hodnota energie je zvolena
při 9 = 1.
ATOMY, MOLEKULY A PEVNÉ LÁTKY
485
eV
Ne
3.39>/m laser
21
20
19
18
17
16
Lichá parita
Sudá parita
Obrázek 12.1-3 Některé energetické hladiny atomů He a Ne. Přechody v Ne označené
šipkami přísluší fotonům o vlnových délkách 3,39 /jm a 632,8 nm. Tyto přechody se
využívají v laseru He-Ne, který je probírán v kap. 13 a 14.
tické hladiny s energetickými rozdíly ležícími typicky v optické oblasti (až do několika eV). Některé z energetických hladin atomů He a Ne jsou ilustrovány na obr. 12.1-3.
Molekuly barviv. Molekuly organických barviv jsou velké a složité. Může v nich
docházet k elektronovým, vibračním a rotačním přechodům, takže molekuly mají
typicky mnoho energetických hladin. Hladiny existují jak v singletním (S), tak
i v tripletním (T) stavu. Singletní stavy mají excitovaný elektron, jehož spin je
antiparalelní vzhledem ke spinu zbytku organické molekuly; tripletní stavy mají
paralelní spiny. Energetické rozdíly odpovídají fotonům pokrývajícím širokou oblast
optického spektra, jak je schematicky ilustrováno na obr. 12.1-4.
Elektronové energetické hladiny v pevných látkách
Isolované atomy a molekuly mají diskrétní energetické hladiny, jak je ukázáno
na obr. 12.1-1 až 12.1-4. V pevných látkách jsou však atomy, ionty či molekuly
uspořádány navzájem velmi těsně a nelze na ně pohlížet jako na jednoduchý systém
isolovaných atomů; je nutno s nimi zacházet jako se systémem mnoha částic.
486
FOTONY A ATOMY
Singletní
stavy
Tripletní
stavy
Obrázek 12.1-4 Schematické znázornění rotačních (tenké čáry), vibračních (silnější
čáry) a elektronových energetických pásů typické molekuly barviva. Je vyznačen typický
přechod v barvivovém laseru; lasery na organických barvivech jsou diskutovány v kap. 13
a 14.
Energetická hladina vakua
V7
3p
3s
—
—
hO
v
c
UJ
ls
Izolovaný
atom
Kov
Polovodič
Izolátor
Obrázek 12.1-5 Rozšíření diskrétních energetických hladin isolovaného atomu do pásů
v pevných látkách.
ATOMY, MOLEKULY A PEVNÉ LÁTKY
487
Energetické hladiny isolovaného atomu a tří různých druhů pevných látek
s rozdílnými elektrickými vlastnostmi (kov, polovodič, isolátor) jsou znázorněny
na obr. 12.1-5. Nižší energetické hladiny v pevných látkách (označené v tomto
příkladu ls, 2s a 2p) se podobají hladinám isolovaného atomu. Nejsou rozšířeny,
protože jsou obsazeny vnitřními atomovými elektrony, které jsou dobře odstíněny od
vnějších polí, tvořených sousedními atomy. Naopak energie výše ležících diskrétních
atomových hladin jsou rozštěpeny do řady velmi hustě uspořádaných diskrétních
hladin a tvoří pásy. Nejvyšší částečně obsazený pás se nazývá vodivostní pás, pod
ním leží valenční pás. Jsou odděleny pásem zakázaných energií Eg. Nejníže ležící pásy
se obsazují jako první.
Vodivé pevné látky, jako kovy, mají při každé teplotě vodivostní pás částečně
zaplněný. Dostupnost mnoha neobsazených stavů v tomto pásu (šedé oblasti na
obr. 12.1-5) znamená, že se elektrony mohou volně pohybovat; to vede k vysoké
vodivosti těchto látek. Vlastní polovodiče (při T = 0 K) mají zcela zaplněný valenční
pás (plná oblast) a prázdný vodivostní pás. Protože ve valenčním pásu nejsou žádné
volné stavy a ve vodivostním pásu nejsou žádné elektrony, vodivost je teoreticky
nulová. S růstem teploty nad absolutní nulu je však stále více elektronů excitováno
tepelně z valenčního do vodivostního pásu a přispívají k vodivosti. Isolátory, které
mají také zaplněný valenční pás, mají širší zakázaný pás (typicky > 3eV) nežli
polovodiče, takže získat tepelnou energii a přispívat k vodivosti může méně elektronů.
Typické hodnoty vodivosti pro kovy, polovodiče a isolátory při pokojové teplotě jsou
postupně 106 (fí • cm)" 1 , 10" 6 až 103 (Q • cm)- 1 a l ( r 1 2 (SI • cm)' 1 . Energetické
hladiny některých pevných látek jsou uvedeny níže.
Obrázek 12.1-6 Diskrétní energetické hladiny a pásy v krystalu rubínu (Cr3+:Al2C>3).
Přechod označený šipkou přísluší vlnové délce 694,3 nm rubínového laseru, popsaného
v kap. 13 a 14.
488
FOTONY A ATOMY
eV
Si
eV
GaAs
Vodivostní pás
Vodivostní pás
[Laser
E
g
1.42 eVj
-5
v
bO
LU
-10
<u
c
LU
-10
-15
Hluboké vnitřní hladiny
Si
-15
-80
-90
-100
-110
Ga.
Hluboké vnitřní hladiny
As
Obrázek 12.1-7 Energetické pásy polovodičových krystalů Si a GaAs. Nulová hladina
energie, kterou můžeme libovolně volit, je ztotožněná s vrcholem valenčního pásu.
Polovodičový diodový laser na GaAs pracuje na elektronovém přechodu mezi vodivostním
a valenčním pásem v blízké infračervené oblasti spektra (viz. kap. 16).
Vodivostní pás
LI
a
GaAs
(=3
AlGaAs
Valenční pás
20
40
60
80
100
1
120
Vzdálenost
(nm)
Obrázek 12.1-8 Kvantované energie v monokrystalické struktuře vícenásobných kvantových jam AlGaAs/GaAs. Šířky jam mohou být libovolné (jako na obrázku) nebo se
mohou periodicky opakovat.
-20
-30
-40
-50
ATOMY, MOLEKULY A PEVNÉ LÁTKY
489
Krystal rubínu. Rubín je isolátor. Je to oxid hlinitý (známý též jako safír, s chemickým
vzorcem AI2O3), v němž je malý zlomek iontů Al 3+ nahrazen ionty Cr 3 + . Interakce
iontů v tomto krystalu je taková, že některé energetické hladiny jsou diskrétní,
zatímco jiné tvoří pásy, jak je ukázáno na obr. 12.1-6. Zelený a fialový absorpční pás
(označené podle grupové teorie 4 Í2 a *Fi) dávají materiálu jeho charakteristickou
růžovou barvu.
Polovodiče. Polovodiče mají dovolené energetické hladiny velmi těsně u sebe, takže
tvoří pásy, jak je ukázáno na obr. 12.1-7. Energetická šířka Eg zakázaného pásu,
která odděluje valenční pás od vodivostního, činí při pokojové teplotě 1,11 eV pro Si
a 1,42 eV pro GaAs. Vnitřní atomární hladiny Ga a As (3d) a vnitřní hladiny Si (2p)
jsou velmi úzké, jak je vidět na obr. 12.1-7. Valenční pás Si je tvořen z 3s a 3p hladin
(schematicky znázorněno na obr. 12.1-5), zatímco v GaAs je tvořen z hladin 4s a 4p.
Vlastnosti polovodičů jsou podrobněji vyložené v kap. 15.
Kvantové jámy a supermřížky. Některé metody pěstování krystalů, jako epitaxní růst
z molekulárních svazků nebo epitaxe z plynné fáze, lze užít k přípravě materiálů
se specielně upravenou pásovou strukturou. V polovodičových strukturách zvaných
kvantové jámy je zakázaný pás navržen tak, že se mění specifickým způsobem v závislosti na souřadnici, což vede k materiálům s unikátními elektronickými a optickými
vlastnostmi. Jako příklad slouží na obr. 12.1-8 struktura vícenásobných kvantových jam. Skládá se z ultratenkých (od 2 do 15 um) vrstev GaAs prokládaných
tenkými vrstvami (20 nm) AlGaAs. Zakázaný pás GaAs je menší nežli zakázaný pás
AlGaAs. Pro pohyb ve směru kolmém k vrstvě jsou dovolené energetické hladiny pro
elektrony ve vodivostním pásu i pro díry ve valenčním pásu diskrétní a navzájem
dobře oddělené, podobně jako u pravoúhlé potenciálové jámy v kvantové mechanice; v každé jámě jsou znázorněny nejnižší energie. Jestliže se bariérové oblasti z AlGaAs připraví také ultratenké, takže elektrony v sousedních jamách se mohou snadno
vzájemně ovlivňovat prostřednictvím kvantově mechanického tunelování, rozšiřují se
tyto diskrétní hladiny do miniaturních pásů. Takový materiál se pak nazývá supermřížka, protože tyto minipásy vznikají v mřížce, jejíž perioda je větší (super) nežli
mřížková konstanta přirozené atomové struktury.
Cvičení 12.1-1
Energetické hladiny nekonečné kvantové jámy. Reste Schródingerovu
rovnici (12.1-3) a ukažte, že dovolené energie elektronů o hmotnosti m v nekonečně hluboké jednodimensionální pravoúhlé potenciálové jámě [V^(x) = 0
pro 0 < z < d a =00 jinde] jsou Eq = h2(qn/d)2/2m, q = 1, 2, 3, ..., jak
je ukázáno na obr. 12.1-9(a). Porovnejte tyto energie s energiemi v konečné
pravoúhlé kvantové jámě s parametry uvedenými na obr. 12.1-9(6).
490
FOTONY A ATOMY
1 = 78.9md
2
Kontinuum
f
3= 44.4^
•
32.0
25.9
= 19.7
h2
\
h2
2
md
3
= 0.81V0
E 2 =O.37V O
11.9 md
2
2
h
49
El= ^2
-d/2
dIZ
3.2 md2
-d/2
dl2
(b)
(a)
Obrázek 12.1-9 Energetické hladiny (a) jednodimensionální nekonečné pravoúhlé potenciálové jámy a (6)
konečné pravoúhlé potenciálové jámy s energetickou hloubkou Vo = 32H2/md2. Kvantové jámy lze realizovat moderními
metodami přípravy polovodičových materiálů.
B.
Obsazení energetických hladin při tepelné rovnováze
Jak již bylo řečeno, každý atom či molekula v souboru podstupuje neustále náhodné
přechody mezi svými různými energetickými hladinami. Takovéto náhodné přechody
jsou popsány zákony statistické fyziky, v nichž teplota hraje klíčovou roli při určování
jak průměrného chování souboru, tak i fluktuací.
Boltzmannovo rozdělení
Uvažujeme soubor identických atomů (či molekul) ve zředěném plynu. Každý atom
je na jedné z dovolených energetických hladin E\, £2, .... Jestliže se systém nachází
v tepelné rovnováze při teplotě T (tzri. atomy jsou udržovány v kontaktu s velkou
tepelnou lázní s teplotou T a jejich pohyb dosáhl ustáleného stavu, ve kterém jsou
fluktuace — v průměru — nezávislé na čase), pravděpodobnost P(£,„) toho, že
libovolný atom je na energetické hladině £ m , je dána Boltzmannovým rozdělením
P(£,„) oc
exp(-Em/kBT),
m= 1, 2, ...,
(12.1-7)
ATOMY, MOLEKULY A PEVNÉ LÁTKY
491
\
V
Energetické hladiny
^
^
P<£»>
Obrázek 12.1-10 Boltzmaimovo rozdělení určuje pravděpodobnost obsazení energetické
hladiny ETn libovolného atomu; je exponenciálně klesající funkcí Em.
kde ks je Boltzmannova konstanta a koeficient úměrnosti je takový, že
= 1. Pravděpodobnost obsazení P(Em) je exponenciálně klesající funkcí E m (viz
obr. 12.1-10).
Jestliže N.,n je počet atomů na hladině £,„,, je pro velký počet atomů TV poměr
Nm/N ss P(Em). Jestliže TVj atomů obsazuje hladinu 1 a iV2 atomů je na hladině 2,
je střední poměr obsazení
N
'
-
(
E
>-E^
(12.1-8)
Jde o totéž rozdělení pravděpodobností, jakým se řídí obsazení energetických hladin elektromagnetického modu fotony v tepelné rovnováze, jak bylo diskutováno
v odst. 11.2C (viz. obr. 11.2-6). V tomto případě však elektronové energetické hladiny
Em nejsou ekvidistantní.
Boltzmaimovo rozdělení závisí na teplotě T. Při T = OK jsou všechny atomy
na nejnižší energetické hladině (základní stav). Se vzrůstem teploty se zvyšuje
obsazení vyšších hladin. V podmínkách rovnováhy je obsazení dané energetické
hladiny vždy větší nežli obsazení výše ležících hladin. To však nemusí nutně platit
v nerovnovážných podmínkách. Vyšší energetická hladina může být více obsazena
nežli hladina nižší. Splnění této podmínky inverzního obsazení je nezbytné pro
činnost laserů (viz kap. 13 a 14).
Výše jsme předpokládali, že existuje jediný způsob, jak atom může obsadit jednu
ze svých energetických hladin. Často se však stává, že několik různých kvantových
stavů přísluší téže energii (např. různé stavy momentu hybnosti). Abychom vzali tuto
degeneraci v úvahu, zapišme (12.1-8) v obecnějším tvaru
E
" ~E
kBT
A
(12.1-9)
Degenerační parametr gi představuje počet stavů odpovídající energetické hladině £;.
492
FOTONY A ATOMY
E,
Boltzmann
//'(Em)
E
f
Fermi-Dirac
*^ nm
0
1/2
1
Obrázek 12.1-11 Fermiho-Diracovo rozdělení / ( £ ) lze dobře aproximovat Boltzmannovým rozdělením P ( £ m ) pro E ~S> Ej.
Fermiho-Diracovo rozdělení
Elektrony v polovodiči se řídí odlišným obsazovacím zákonem. Protože atomy jsou
rozmístěny navzájem v těsném sousedství, musíme na takový materiál pohlížet
jako na jediný systém se společnými elektrony. Existuje v něm velmi velký počet
energetických stavů, tvořících pásy. V důsledku Pauliho vylučovacího principu
může být každý stav obsazen nejvýše jedním elektronem. Stav je tudíž buď obsazený
nebo prázdný, takže počet elektronů N.m ve stavu m je buď 0 nebo 1.
Pravděpodobnost, že energetická hladina E je obsazena, je dána Fermiho-Diracovým rozdělením
i
exp[(E-Ef)/kBT]+ť
(12.1-10)
kde Ef je konstanta známá jako Fermiho energie. Toto rozdělení má maximální
hodnotu rovnou jedné, což značí, že energetická hladina E je jistě obsazena. f(E)
monotónně klesá s růstem E, přičemž nabývá hodnoty ^ při £ = Ef. Ačkoliv /(£)
je rozložení (posloupnost) pravděpodobností a nikoliv hustota pravděpodobnosti, při
E ^> Ef se chová jako Boltzmannovo rozdělení
P(E) oc exp jak je zřejmé z (12.1-10). Fermiho-Diracovo a Boltzmannovo rozdělení jsou porovnána
na obr. 12.1-11. O Fermiho-Diracově rozdělení bude pojednáno podrobněji v kap. 15.
12.2
A.
INTERAKCE FOTONŮ S ATOMY
Interakce jednomodového záření s atomem
Jak známo z atomové teorie, atom může emitovat (kreovat) či absorbovat (auihilovat)
foton, přičemž uskutečňuje přechody dolů nebo nahoru mezi svými energetickými
INTERAKCE FOTONŮ S ATOMY
493
hladinami. V celém ději se tak zachovává energie. Zákony, jimiž se tyto procesy řídí,
jsou vyloženy v tomto odstavci.
Interakce mezi atomem a elektromagnetickým modem
Uvažujeme energetické hladiny E\ a E2 atomu umístěného v optickém rezonátoru
o objemu V, který může obsahovat velký počet elektromagnetických modů. Zajímáme
se zejména o interakci mezi atomem a fotony předem zadaného zářivého modu na
frekvenci v w i/0, kde hu0 = £2 — £i, protože energie těchto fotonů je rovna
energetickému rozdílu mezi atomovými hladinami. Takové interakce se formálně
studují pomocí kvantové elektrodynamiky. Hlavní výsledky jsou uvedeny bez důkazu
níže. Jsou možné tři typy interakcí: spontánní emise, absorpce a stimulovaná emise.
Spontánní emise.
Je-li atom původně na horní energetické hladině, může spontánně přeskočit na nižší
energetickou hladinu s uvolněním své energie ve formě fotonu (obr. 12.2-1). Energie
fotonu hv se přidá k energii elektromagnetického modu. Tento proces se nazývá
spontánní emise, protože přechod probíhá nezávisle na počtu fotonů, které již mod
může obsahovat.
Hustota pravděpodobnosti (za 1 sekundu) čili rychlost tohoto spontánního
přechodu v dutině o objemu V závisí na v způsobem, který charakterizuje atomový
přechod.
Hustota pravděpodobnosti
spontánní emise do jediného modu
c
PsP = y o {v).
(12.2-1)
Funkce o(v) je úzká funkce v v okolí atomové rezonanční frekvence I/Q; je známa
jako účinný (efektivní) průřez přechodu. Smysl tohoto názvu se stane zřejmým
zanedlouho, ale je jasné, že tato veličina má rozměr plochy (protože p s p má rozměr
s - 1 ). V zásadě lze a(v) spočítat ze Schródingerovy rovnice; výpočty jsou obvykle
tak složité, že cr(u) se obyčejně stanovuje experimentálně a nikoli výpočtem. Rovnice (12.2-1) platí odděleně pro každý mod. Protože mody mohou mít různé směry
polarizace, může mít více modů tutéž frekvenci v.
Termín „hustota pravděpodobnosti" značí, že pravděpodobnost emise v časovém
intervalu mezi t a í + Ať je jednoduše pspAť. Protože jde o hustotu pravděpodobnosti,
p s p může být větší než 1(5 - 1 ), ačkoliv samozřejmě pspA< musí vždy být menší než 1.
Jestliže tedy máme velký počet N takovýchto atomů, zlomek atomů přibližně rovný
Obrázek 12.2-1 Spoutání emise fotonu do modu o frekvenci v atomovým přechodem
z energetické hladiny 2 na energetickou hladinu 1. Energie fotonu hu ~ Eo — E\.
494
FOTONY A ATOMY
Obrázek 12.2-2 Spontánní emise do jednoho modu působí exponenciální pokles počtu
excitovaných atomů s časovou konstantou l/p S p.
AJV = (pspAt)N uskuteční přechod během časového intervalu Ač. Můžeme tudíž
psát áN/át = —psvN, takže počet (excitovaných) atomů N(t) = iV(0)exp(— psl>í)
klesá exponenciálně s časovou konstantou l/pSp, jak je ukázáno na obr. 12.2-2.
Absorpce
Je-li atom původně na dolní energetické hladině a v zářivém modu je obsažen foton,
tento foton může být absorbovali, čímž se atom převede na horní energetickou hladinu
(obr. 12.2-3). Tento proces se nazývá absorpce. Absorpce je přechod indukovaný
fotonem. Může nastat jen tehdy, jestliže mod obsahuje foton.
Hustota pravděpodobnosti absorpce fotonu daného modu o frekvenci v v dutině
o objemu V je dána týmž zákonem, kterým se řídí spontánní emise do tohoto modu,
Pal, =
y°{v)-
(12.2-2)
Jestliže však máme v modu n fotonů, hustota pravděpodobnosti toho, že atom
hv
Obrázek 12.2-3 Absorpce fotonu hv vede v atomu k přechodu směrem nahoru z energetické hladiny 1 na energetickou hladinu 2.
INTERAKCE FOTONŮ S ATOMY
495
absorbuje jeden foton je n krát větší (protože jde o děje vzájemně se vylučující),
tzn.
Hustota pravděpodobnosti absorpce jednoho fotonu
z modu obsahujícího n fotonů.
c
(12.2-3)
Stimulovaná emise
Konečně je-li atom na horní energetické hladině a mod obsahuje foton, atom může být
stimulován k emisi jiného fotonu do téhož modu. Tento děj je znám jako stimulovaná
(indukovaná) emise. Je to opak absorpce. Je-li v modu foton dané frekvence, směru
šíření a polarizace, stimuluje emisi svého „duplikátu" — fotonu s přesně stejnými
charakteristikami, jaké má původní foton (obr. 12.2-4). Tento proces fotonového
zesílení je základem činnosti laserových zesilovačů a laserů, jak bude ukázáno v dalších
kapitolách. Hustota pravděpodobnosti p s t tohoto procesu v dutině s objemem V je
opět určena stejným účinným průřezem přechodu:
R.t = £*(!/).
(12.2-4)
Jestliže mod původně nese n fotonů, pak — stejně jako v případě absorpce —
hustota pravděpodobnosti, že atom bude stimulován k emisi dalšího fotonu, je
Hustota pravděpodobnosti
stimulované emise jednoho
fotonu do modu s n fotony
c
(12.2-5)
Po emisi nese zářivý mod n + 1 fotonů. Jelikož P s t = Pih, užíváme označení W; pro
hustotu pravděpodobnosti jak stimulované emise, tak absorpce.
Protože spontánní emise se vyskytuje navíc ke stimulované emisi, celková hustota
pravděpodobnosti emise fotonu atomem do daného modu je pHV + P st . = (n + l)-x
x (c/V)a(u). Vskutku, z hlediska kvantové elektrodynamiky lze na spontánní emisi
pohlížet jako na stimulovanou emisi indukovanou nulbodovými fluktuacemi modu.
Protože nulbodová energie je pro absorpci nedostupná, PA], je úměrná n a nikoli
(„4-1).
Tři možné interakce mezi atomem a zářivým modem dutiny (spontánní emise,
absorpce a stimulovaná emise) jsou popsány výše uvedenými základními vztahy.
Na tyto vztahy lze pohlížet jako na zákony, jimiž se řídí interakce atomu s fotonem,
Obrázek 12.2-4 Stimulovaná emise je proces, v němž foton hu stimuluje atom k emisi
identického fotonu při přechodu shora dolů.
496
FOTONY A ATOMY
zákony, jež doplňují pravidla fotonové optiky uvedená v kap. 11. Nyní probereme
detailněji charakter a důsledky těchto docela jednoduchých vztahů.
Funkce tvaru čáry
Účinný průřez přechodu a(u) určuje charakter interakce atomu se zářením. Jeho
plocha
•=
/
Jo
která má jednotku cm2 • Hz, se nazývá mohutnost přechodu nebo síla oscilátoru
a představuje velikost interakce. Jeho tvai určuje relativní velikost interakce s fotony
různých frekvencí. Tvar (profil) o{u) lze snadno oddělit od celkové síly definováním
normované funkce g(u) = <j(u)/S v jednotkách Hz" 1 a s jednotkovou plochou
/0°° g(u)du = 1, známé jako funkce tvaru čáry. Účinný průřez přechodu lze tudíž
zapsat pomocí jeho mohutnosti a profilu jako
a(u) = Sg(u).
(12.2-6)
Funkce tvaru čáry g{v) je soustředěna v okolí frekvence, při níž cr(u) je největší
(rezonanční frekvence přechodu-fo) & rychle klesá pro v různá od VQ. Přechody jsou
tudíž nejpravděpodobnější pro fotony s frekvencí u ~ v$. Šířka funkce g(u) je známa
jako šířka čáry přechodu. Šířka čáry Au je definována jako plná šířka funkce g(y)
v polovině její maximální hodnoty (FWHM). Obecně je šířka funkce g(u) nepřímo
úměrná hodnotě této funkce v maximu (neboť její plocha je jednotková),
(12.2-7)
Av oc
Je také užitečné definovat špičkový účinný průřez přechodu, který odpovídá
rezonanční frekvenci, <7o = O{UQ). Funkce o(u) je tudíž charakterizována svou
výškou oo, šířkou Aí/, plochou 5 a profilem g(u), jak ilustruje obr. 12.2-5.
Plocha = 1
Obrázek 12.2-5
Účinný průřez přechodu a{u) a funkce tvaru čáry g{v).
INTERAKCE FOTONŮ S ATOMY
B.
497
Spontánní emise
Celková spontánní emise do všech modů
Rovnice (12.2-1) udává hustotu pravděpodobnosti p s p spontánní emise do specifického
modu s frekvencí v (nezávisle na tom, zda tento mod obsahuje fotony). Jak bylo
ukázáno v odst. 9.1C, hustota modů v třírozměrné dutině je M(v) = 8TTI/2/C3. Tato
veličina aproximuje počet modů (na jednotový objem dutiny a jednotkovou šířku
pásma), které mají frekvenci v; roste kvadraticky s v. Atom může spontánně emitovat
jeden foton o frekvenci v do libovolného z těchto modů, jak je schematicky ukázáno
na obr. 12.2-6.
Hustota pravděpodobnosti spontánní emise do jediného předepsaného modu
musí být tudíž modifikována tak, že vezmeme v úvahu modovou hustotu. Celková
hustota pravděpodobnosti spontánní emise je tedy
Pro jednoduchost v tomto výrazu předpokládáme, že spontánní emise do modů o téže
frekvenci v, ale s různými směry polarizace, je stejně pravděpodobná.
Protože funkce cr(v) má tvar s ostrým maximem, je úzká ve srovnání s funkcí M{w). Protože o(v) je lokalizována v okolí J/O, M(u) je prakticky konstanta rovná M(VQ), takže může být vytknuta před integrál. Hustota pravděpodobnosti spontánní emise jednoho fotonu do libovolného modu je pak
PBP = M{uo)cS = ~ ,
(12.2-8)
kde A = C/VQ je vlnová délka v prostředí. Definujeme časovou konstantu tsv, známou
<::zL
Atom
Optické mody
Obrázek 12.2-6 Atom může spontánně emitovat foton do libovolného (ale pouze jednoho) z mnoha modů s frekvencí v ~ UQ.
498
FOTONY A ATOMY
jako spontánní doba přechodu 2 —> 1, takovou, že l / í s p = Psp = M{VQ)CS. Tudíž
Hustota pravděpodobnosti
spontánní emise
jednoho fotonu
do libovolného modu
p,„ = 1
* sp
(12.2-9)
Je důležité poznamenat, že tato veličina nezávisí na objemu dutiny V. Můžeme tedy
vyjádřit S jako
s=
A2
(12.2-10)
odtud vyplývá, že mohutnost přechodu se určí z experimentálního měření spontánní
doby ť s p . To je užitečný poznatek, protože analytický výpočet S by požadoval znalosti
o kvantově mechanickém chování systému a je obvykle příliš složitý, než aby mohl
být realizován.
8
Typické hodnoty jsou í s l , «s 10~ s pro atomové přechody (např. první excitovaný
stav atomárního vodíku); í s p se však může měnit ve velmi široké škále (od subpikosekund do minut).
Cvičení 12.2-1
Frekvence spontánně emitovaných fotonů. Ukažte, že hustota pravděpodobnosti spontánní emise fotonu o frekvenci mezi v a v + dv z excitovaného
atomu je Psp(v) dv = (l/ť.sp)<?(i/) dv. Vysvětlete, proč po emisi dostatečného
množství fotonů je spektrum spontánní emise z atomu úměrné funkci tvaru
čáry g(v).
Vztah mezi účinným průřezem přechodu a spontánní dobou přechodu.
Po dosazení (12.2-10) do (12.2-6) vidíme, že účinný průřez přechodu je svázán se
spontánní dobou přechodu a tvarem čáry vztahem
Účinný průřez přechodu
o{v) =
87ríSI)-
(12.2-11)
Navíc je účinný průřez přechodu na centrální frekvenci VQ dán vztahem
A2
' 87TÍS])
(12.2-12)
Protože g(va) je podle (12.2-7) nepřímo úměrné AÍ/, je špičková hodnota účinného
průřezu přechoduCTOpro dané ťK,, nepřímo úměrná šířce čáry AIA
INTERAKCE FOTONŮ S ATOMY
C
499
Stimulovaná emise a absorpce
Přechody indukované monochromatickým světlem
Uvažujme nyní interakci jednomodového světla s atomem, na nějž dopadá tok fotonů,
ale tento atom, na rozdíl od předchozích úvah, není umístěn v rezonátoru o objemu V.
Nechť monochromatické světlo o frekvenci v, intensitě / a střední hustotě toku fotonů
2
(foton/cm • s)
interaguje s atomem majícím rezonanční frekvenci u0. Chceme určit hustotu pravděpodobnosti stimulované emise a absorpce Wj = Pai> = P st . v tomto uspořádání.
Počet fotonů n, účastnících se interakce, vyplyne z konstrukce objemu ve tvaru
válce o základně A a výšce c, jehož osa je rovnoběžná se směrem šíření světla
(jeho vektorem k ). Válec má objem V = cA. Tok fotonů základnou válce je <j>A
(fotonů za sekundu). Protože fotony letí rychlostí světla c, za jednu sekundu všechny
fotony obsažené ve válci projdou jeho základnou. Odtud plyne, že válec obsahuje
v libovolném čase n = <f>A fotonů, čili
" = <(>-,
(12.2-14)
takže (j> = {c/V)n. Pro stanovení Wi dosadíme (12.2-14) do (12.2-3) a dostaneme
(12.2-15)
Je zřejmé, že cr{v) je koeficientem úměrnosti mezi hustotou pravděpodobnosti
indukovaného přechodu a hustotou fotonového toku. Odtud název „účinný průřez
přechodu": <fi je tok fotonů na cm 2 , cr{v) je efektivní plocha průřezu atomu (cm 3 )
a <t>o{v) je tok fotonů „zachycený" atomem za účelem absorpce či stimulované emise.
Zatímco rychlost spontánní emise se zvyšuje existencí mnoha modů, do nichž
může atom vysílat, stimulovaná emise zahrnuje pouze mody, které obsahují fotony.
Její rychlost se zvyšuje možnou přítomností velikého množství fotonů v několika málo
modech.
Přechody způsobené širokopásmovým zářením
Uvažujme nyní atom v dutině o objemu V obsahující mnohamodové polychromatické
světlo o spektrální hustotě energie g{v) (energie na jednotkovou šířku pásma v jednotce objemu), která ve srovnání s atomovými čarami je širokopásmová. Průměrný
počet fotonů v pásu v, v + áv je g{u)Vá.v/hu a každý z nich bude indukovat atomový přechod s hustotou pravděpodobnosti {c/V)o{v), takže celková pravděpodobnost
absorpce nebo stimulované emise je
500
FOTONY A ATOMY
Protože záření je širokopásmové, funkce Q(V) se mění pomalu ve srovnání s úzkým
průběhem funkce a{v). Můžeme tudíž nahradit Q{y)lv v integrálu hodnotou g(i/o)/i>o
a dostaneme
: / a(v)áv =
cS.
hu0
Jo
hv0
S použitím (12.2-10) máme
A3
(12.2-17)
kde A = C/VQ je vlnová délka (v prostředí) odpovídající centrální frekvenci v$.
Postup, který jsme zde sledovali, je podobný postupu použitému při výpočtu
hustoty pravděpodobnosti spontánní emise do mnoha modů, kterým jsme dostali
P s p = M(vo)cS. Definujíce
což představuje střední počet fotonů v modu, přepíšeme (12.2-17) do výhodného
tvaru
Wi = — .
(12.2-18)
Interpretace n vyplývá z poměru Wi/Psp = Q(vQ)/hvoM(va). Hustota pravděpodobnosti Wi je ň krát větší nežli u spontánní emise, protože každý z modů obsahuje
v průměru n fotonů.
Einsteinovy koeficienty A a B.
Einstein nemohl znát vztah (12.2-17). Nicméně na základě analýzy výměny energie
mezi atomem a zářením za podmínky tepelné rovnováhy dokázal postulovat určité
vztahy pro hustoty pravděpodobností různých typů přechodů, které mohou probíhat
v atomu při interakci se širokopásmovým zářením o spektrální hustotě energie ^(i-').
Obdržel následující výrazy:
Einsteinovy postuláty
VÍ = Be(n>).
(12.2-19)
(12.2-20)
Konstanty A a B jsou známy jako Einsteinovy koeficienty A a B. Jednoduchým
srovnáním s našimi výrazy (12.2-9) a (12.2-17) identifikujeme koeficienty A a B jako
(12.2-21)
(12.2-22)
INTERAKCE FOTONŮ S ATOMY
501
takže
B
A
A3
8wh'
(12.2-23)
Je důležité poznamenat, že relace mezi A a B je výsledkem mikroskopických (nikoli
makroskopických) pravděpodobnostních zákonů interakce mezi atomem a fotony
z každého modu. V odst. 12.3 uvedeme analýzu podobnou Einsteinovu postupu.
Příklad 12.2-1. Srovnání rychlostí spontánní a stimulované emise. Zatímco rychlost spontánní emise pro atom ve vzbuzeném stavu je konstanta (A = 1/ísp), rychlost stimulované emise v přítomnosti širokopásmového
světla MQ(UQ) je úměrná spektrální hustotě energie záření ^(^o)- Obě rychlosti se rovnají když ^(^o) = A/B = 8TT/I/A3; pro větší spektrální hustoty
rychlost stimulované emise převýší rychlost spontánní emise. Jestliže např.
A = lpm, A/B = 1,66 x 10~ u J/m 3 • Hz. To odpovídá spektrální hustotě
optické intensity cg(u0) K 5 X 10~6W/m2 • Hz ve vakuu. Tudíž pro šířku
čáry Au = 107Hz je optická intensita, při které rychlost stimulované emise
je rovna rychlosti spontánní emise, 50W/m2 či 5 mW/cm2.
Shrnutí
Atomový přechod je charakterizován svou rezonanční frekvencí UQ, dobou
spontánní emise í s p a funkcí tvaru čáry g{v), jejíž šířka je šířkou čáry Au.
Účinný průřez přechodu je
(12.2-11)
Spontánní emise
• Jestliže atom v dutině o objemu V je na horní hladině, hustota pravděpodobnosti (za sekundu) spontánní emise do jednoho předepsaného
modu o frekvenci u je
Psp = T7aW
(12.2-1)
Hustota pravděpodobnosti spontánní emise do libovolného z dostupných modů je
(12.2-9)
502
FOTONY A ATOMY
• Hustota pravděpodobnosti emise do modů ležících pouze ve frekvenčním pásu mezi v a v + di/ je P sp (i/)di' = (l/tsp)g(i>)di'. Spektrum
spontánně emitovaného světla je tudíž úměrné funkci tvaru čáry g{y).
Stimulovaná emise a absorpce
• Jestliže atom v dutině je na horní hladině a mod záření obsahuje n
fotonů, hustota pravděpodobnosti emise fotonu do tohoto modu je
i = n-o(v).
(12.2-5)
Jestliže je atom místo toho na dolní hladině a mod obsahuje n fotonů,
pak pravděpodobnost absorpce fotonu z tohoto modu je také dána
(12.2-5).
Jestliže místo umístění v dutině je atom ozařován monochromatickým
světelným svazkem o frekvenci v se střední hustotou toku fotonů (j>
(foton za sekundu na jednotkovou plochu), je hustota pravděpodobnosti
stimulované emise (je-li atom na horní hladině) nebo absorpce (je-li
atom na dolní hladině)
i = <j>o{u).
(12.2-15)
• Jestliže světlo ozařující atom je polychromatické leč úzkopásmové ve
srovnání s atomovou šířkou čáry a má střední hustotu fotonového toku
4>v (foton za sekundu na jednotku plochy na jednotkovou frekvenci),
hustota pravděpodobnosti stimulované emise/absorpce je
(12.2-24)
Jestliže světlo ozařující atom má spektrální hustotu energie Q(V), která
je širokopásmová ve srovnání s atomovou šířkou čáry, je hustota pravděpodobnosti stimulované emisé/absorpce
i =
MQ{U0),
(12.2-20)
kde B = (\3/8irhtsp) je Einsteinův koeficient B.
Ve všech těchto vzorcích c = co/n je rychlost světla, A = A0/n je vlnová
délka světla v atomární látce a n je index lomu.
INTERAKCE FOTONŮ S ATOMY
D.
503
Rozšíření čáry
Protože funkce tvaru čáry g(v) hraje důležitou roli v interakci fotonu s atomem,
věnujeme tento odstavec stručné diskusi jejího původu. Spontánní emisi, absorpci
i stimulované emisi přísluší tatáž funkce tvaru čáry.
Šířka spektrální čáry a doba života hladiny
Atomy mohou uskutečňovat přechody mezi energetickými hladinami jak zářivým, tak
i nezářivým procesem. Zářivé přechody jsou doprovázeny absorpcí a emisí fotonu.
Nezářivé přechody dovolují přenos energie prostřednictvím mechanismů jakými jsou
mřížkové vibrace, nepružné srážky mezi atomy a nepružné srážky se stěnami nádoby.
Každá atomová hladina má dobu života T, která je převrácenou hodnotou rychlosti
s jakou její obsazení ubývá —zářivě či nezářivě— a přesouvá se na nižší hladiny.
Doba života T2 energetické hladiny 2 znázorněné na obr. 12.2-1 představuje
převrácenou hodnotu rychlosti s jakou dochází ke změně obsazení této hladiny
přechody na hladinu 1 a na všechny nižší energetické hladiny (žádná z nich na obrázku
ukázána není) buď zářivým nebo nezářivým pochodem. Protože l/ťSp je rychlost
zářivého přechodu z hladiny 2 na hladinu 1, celková rychlost přechodů z hladiny 2
musí být větší, tj. I/Y2 > l/ť sp , takže T2 < tsv. Doba života T\ hladiny 1 je definována
podobně. Je-li hladina 1 nejnižší dovolenou energetickou hladinou (základní stav),
zřejmě je T\ = 00.
Šířka spektrální čáry je v podstatě projevem Fourierovy transformace. Doba
života T energetické hladiny je spojena s neurčitostí doby obsazení této hladiny. Jak je
ukázáno v Dodatku A, je Fourierova transformace exponenciálně klesající harmonické
funkce času e ~ í / 2 T e J ' 2 7 r " 0 Í , jejíž energie doznívá jako e~'/T (s časovou konstantou T),
úměrná 1/[1 + jA-K(y — UQ)T\. Plná šířka v polovině maxima (FWHM) kvadrátu této
lorentzovské funkce frekvence je Ai/ = 1/2TTT. Tato spektrální neurčitost odpovídá
energetické neurčitosti A£ = hč±v = /I/2TTT. Energetická hladina s dobou života r
má tudíž energetické rozšíření AE = /I/2TTT za předpokladu, že proces tlumení
můžeme modelovat jednoduchou exponenciálou. V rámci této představy můžeme
na spontánní emisi pohlížet jako na zářen! tlumeného harmonického oscilátoru
popsaného exponenciálně klesající harmonickou funkcí.
Jestliže tedy energetické rozšíření hladiny 1 je AEj = h/2-KTi a hladiny 2 je
A£2 = /i/27TT2, bude rozšíření energetického rozdílu, které odpovídá přechodu mezi
oběma hladinami, rovno
(12
.2-25)
kde T~1 = (TI~1 +T2~l) a r je doba přechodu. Odpovídající frekvenční šířka přechodu, která se nazývá šířka spektrální čáry^ daná dobou života (lifetime-broadening),
V případě, že se uplatňují pouze zářivé přechody (r = t. s p ), hovoříme o radiační době
a o radiační nebo přirozené šířce spektrální čáry (viz např, Davydov §96). (P0211. překl.)
504
FOTONY A ATOMY
je tedy
Šířka spektrální čáry
daná dobou života
(12.2-26)
Toto rozšíření je symetrické kolem frekvence UQ = (E2 — E\)/h a funkce tvaru čáry
má lorentzovský profil
Lorentzův tvar čáry
(12.2-27)
Šířku spektrální čáry, mající svůj původ v atomu nebo v souboru atomů, lze
následovně zobecnit. Každý z fotonů emitovaných při přechodu představuje vlnový
balík se střední frekvencí VQ (rezonanční frekvence přechodu) a s exponenciálně klesající obálkou s dobou tlumení 2T (tzn. s energetickou dobou doznívání rovnou době
života přechodu T), jak je ukázáno na obr. 12.2-7. Vyzářené světlo je posloupností takovýchto vlnových balíků emitovaných náhodně v čase. Jak bylo diskutováno
v příkladu 10.1-1, toto odpovídá náhodnému (částečně koherentnímu) světlu, jehož
spektrální hustota výkonu je právě Lorentzova funkce daná (12.2-27) s Au = 1/2TTT.
Obrázek 12.2-7 Emise vlnových balíků v náhodných časových okamžicích v atomárním
systému s rozšířením spektrální čáry dobou života T. Vysílané světlo má lorentzovskou
spektrální hustotu se šířkou Av = 1/2TTT.
INTERAKCE FOTONŮ S ATOMY
505
Hodnota Lorentzovy funkce tvaru čáry na centrální frekvenci J/0 je g(vo) =
= 2/7rAi/, takže špičková hodnota průřezu přechodu, daná (12.2-12), je
(12.2-28)
Největší hodnotu průřezu přechodu dostaneme za ideálních podmínek, kdy doznívání
je plně zářivé, takže T2 = í s p a 1/TI = 0 (což je případ, kdy hladina 1 je základním
stavem bez další možnosti přechodu). Pak Au = l/2irtsv a
2
A
(12.2-29)
což ukazuje, že plocha špičkového průřezu je řádu čtverce vlnové délky. Pokud
hladina 1 není základním stavem nebo pokud jsou významné nezářivé přechody, Au
může být » 1/TS1, a v tom případě může být 00 mnohem menší než A2/2?r. Např. pro
optické přechody v oboru A = 0,1 až 10 ^mi je A2/27r ~ 10~ n až 10~7cm2, zatímco
typické hodnotyCTOP r 0 optické přechody spadají do intervalu 10~20 až 10~ u cm2
(viz např. Tab. 13.2-1 na str. 543)
Srážkové rozšíření
Nepružné srážky, při kterých dochází k výměně energie, vedou k přechodům mezi
energetickými hladinami atomů. Tento příspěvek k rychlosti přechodů ovlivňuje,
podle toho co bylo řečeno výše, doby života všech zúčastněných hladin a tudíž i šířku
čáry zářivého pole.
Na druhé straně při pružných srážkách nedochází k výměně energie. Při každé
takové srážce dochází k náhodné změně fáze vlnové funkce příslušné energetické
hladiny, což se projeví při každé srážce náhodnou změnou fáze vyzařovaného pole.
Srážky mezi atomy jsou tak příčinou rozšíření spektrální čáry. Sinusová vlna, jejíž fáze
se mění náhodnými posuvy v náhodných časových okamžicích (okamžiky srážek) tak
jak je ukázáno na obr. 12.2-8, vykazuje spektrální rozšíření. Stanovení spektra takové
náhodně rozfázované funkce je úloha, kterou lze řešit použitím teorie náhodných
Obrázek 12.2-8 Sinusová vlna, přerušovaná náhodnými fázovými skoky způsobenými
srážkami, které probíhají s frekvencí / ( o i, má Iorentzovské spektrum se šířkou Ať =
506
FOTONY A ATOMY
Obrázek 12.2-9
Průměrná funkce tvaru nehomogenně rozšířené čáry souboru atomů.
procesů. Ukazuje se, že spektrum má lorentzovský tvar s šířkou Au = fCo\/ft, kde
/coi je frekvence srážek (střední počet srážek za sekundu).t
Součet šířek majících svůj původ v době života a ve srážkách vede k výslednému
lorentzovskému tvaru čáry se šířkou
rAv^h.+2^-
(12.2-30)
Nehomogenní rozšíření
Rozšíření dobou života i srážkové rozšíření jsou formy homogenního rozšíření
vykazovaného atomy v látce. O všech atomech se předpokládá, že jsou identické
a že mají identické funkce tvaru čáry. Mnohdy však různé atomy, z nichž se látka
3*N^N^V^
Směr
pozorování
Obrázek 12.2-10 Frekvence záření je závislá na směru pohybu atomu vzhledem ke směru
pozorování. Záření atomu 1 má vyšší frekvenci nežli záření atomů 3 a 4. Záření atomu 2
má nižší frekvenci.
' Viz např. A. E. Siegman, Lasers, University Science Books, Milí Valley, CA. 1986, kap. 3.2.
INTERAKCE FOTONŮ S ATOMY
507
\f-g(».
"0
Rychlost v
Obrázek 12.2-11 Rozložení rychlostí a průměrný tvar čáry atomárního systému s dopplerovským rozšířením.
skládá, mají různé funkce tvaru čáry či různé centrální frekvence. V tomto případě
definujeme průměrnou funkci tvaru čáry
M = (9íÁ")),
(12.2-31)
kde (•) značí středování vzhledem k proměnné (3 použité k označení těch atomů, které
mají funkci tvaru čáry gn{v).Tudíž gfi{v) je vážena podílem počtu atomů majících
vlastnost /3, jak je ukázáno na obr. 12.2-9.
Jeden z mechanismů nehomogenního rozšíření je dopplerovské rozšíření. V důsledku Dopplerova jevu atom, pohybující se rychlostí v daným směrem, má při
pohledu z tohoto směru spektrum frekvenčně posunuté o ±(v/c)i/o, kde VQ je centrální frekvence. Tento posuv je směrem k vyšším frekvencím (znaménko +) jestliže
se atom pohybuje směrem k pozorovateli, a k nižším frekvencím (znaménko —) jestliže se pohybuje od pozorovatele. Pro libovolný směr pozorování je frekvenční posuv
±(v|l/c)i/o, kde vy je složka rychlosti rovnoběžná se směrem pozorování. Protože soubor atomů v plynu vykazuje jisté rozložení rychlostí, bude vyzařované světlo spektrálně vykazovat jistý interval frekvencí, vedoucí k dopplerovskému rozšíření, jak
je ukázáno na obr. 12.2-10.
V případě dopplerovského rozšíření tedy roli parametru (3 hraje rychlost v;
g(v) = {gvi^))- Jestli tudíž p(v)dv je pravděpodobnost, že rychlost daného atomu
leží mezi v a v + dv, pak výsledný tvar nehomogenně dopplerovsky rozšířené čáry
bude (viz obr. 12.2-11)
/
(12.2-32)
Cvičení 12.2-2
Tvar dopplerovsky rozšířené čáry
a) O složce rychlosti v atomů v plynu do daného směru je známo, že má
508
FOTONY A ATOMY
gaussovské rozdělení pravděpodobnosti
kde al = k^T/M a M je hmotnost atomu. Jestliže každý atom má
přirozený lorentzovský tvar čáry se šířkou Av a centrální frekvencí VQ,
odvoďte výraz pro průměrnou funkci tvaru čáry g(u).
b) Ukažte, že za předpokladu Au < uoav/c lze g(u) aproximovat gaussovským tvarem čáry
f ^ ]
(12.2-33)
kde
Plná šířka v polovině maxima (FWHM) dopplerovské čáry AUD je pak
AuD = (8 ln 2)1/2aD
ss 2,35^^.
(12.2-35)
c) Vypočítejte dopplerovskou šířku čáry pro přechod Ao = 632,8 nm v Ne
a pro přechod Ao = 10,6 um v CO2 za pokojové teploty a za předpokladu, že Au <g vocTv/c. Tyto přechody se využívají v laserech s He-Ne
nebo s CO2.
d) Ukažte, že maximální hodnota průřezu přechodu pro gaussovský tvar
čáry (12.2-33) je
ao =
£ (íhir
8TT V 7r /
* «0,94A!-4_.
fAi/£>
8n UAvD
(12 . 2 .36)
v
'
Porovnejte s (12.2-28) pro lorentzovský tvar čáry.
Mnoho interakcí mezi atomy a fotony vykazuje rozšíření, které lze charakterizovat jako intermediální, ležící mezi čistě homogenním a čistě nehomogenním. Takové
smíšené rozšíření lze modelovat intermediální funkcí tvaru čáry známou jako Voightův
profil.
INTERAKCE FOTONŮ S ATOMY
*E.
509
Laserové ochlazování a zachycování atomů
Rozšíření spojené s Dopplerovým jevem často maskuje přirozenou funkci tvaru
čáry; přirozený tvar čáry a její šířka nás však často zajímají. Jedním ze způsobů
jak minimalizovat dopplerovské rozšíření je užití pečlivě kontrolovaných atomových
svazků, ve kterých jsou rychlosti atomů spolehlivě regulovány. Pohyb atomů může
být však také řízen tlakem záření (viz odst. 11.1C).
Fotony z laserového svazku s úzkou šířkou čáry, frekvenčně naladěné nad střed
atomové čáry, mohou být absorbovány svazkem atomů pohybujících se vstřícně
k laserovému svazku. Po absorpci se atom může navrátit do základního stavu buď
stimulovanou nebo spontánní emisí. Jestliže se vrací stimulovanou emisí, hybnost
emitovaného fotonu je totožná s hybností absorbovaného fotonu, což vede k výsledné
nulové změně hybnosti. Jestliže se na druhé straně vrací spontánní emisí, je směr
emise fotonu náhodný, takže opakovaná absorpce vede k výslednému poklesu atomové
hybnosti ve směru vstřícném k laserovému paprsku. Důsledkem je pokles rychlosti
těchto atomů, jak je schematicky ukázáno na obr. 12.2-12. Nakonec změna hybnosti
(a tudíž rychlosti) atomů má za následek, že atomy vypadnou z rezonance s laserovým
svazkem a nadále světlo neabsorbují.
Jestliže jsou atomy tímto způsobem ochlazeny, lze použít fotonové svazky k vytvoření optické pasti, ve které může být zachycen velký počet atomů v omezeném
prostoru po velmi dlouhou dobu (mnoho sekund). Toho lze relativně snadno dosáhnout pro ionizované atomy vzhledem k jejich elektrickému náboji, ale je to možné
realizovat i pro neutrální atomy. Aby však skutečně došlo k zachycení, musí být soubor atomů velmi chladný (jejich kinetická energie musí být dostatečně nízká, aby nemohly vyskočit z pasti). Soubor vzájemně kolmých laserových svazků může osvětlovat
atomy takovým způsobem, že na ně bude působit výrazná brzdicí síla v libovolném
směru jejich pohybu.
Užitím takového chladícího a zachycujícího mechanismu bylo u neutrálních
atomů dosaženo teplot až okolo 1/iK. Navíc bylo zjištěno, že se při zachycení
E
o
o
o
a.
Rychlost v
Obrázek 12-2-12 Tepelné rozložení rychlostí (čárkovaná křivka) a rozložení po laserovém
ochlazení (plná křivka).
510
FOTONY A ATOMY
i jen několika málo iontů začíná v pasti tvořit struktura podobná krystalu. Změny
v intenzitě laserového ochlazování pak mohou indukovat fázové přechody mezi
uspořádaným „krystalickým" a neuspořádaným stavem.
12.3
TEPELNÉ ZARENI
Světlo emitované atomy, molekulami a pevnými látkami za podmínky tepelné rovnováhy a v nepřítomnosti jakéhokoliv jiného vnějšího zdroje energie se nazývá tepelné
záření. V tomto odstavci stanovíme vlastnosti tepelného záření pomocí studia interakce mezi fotony a atomy v rovnovážném stavu.
A.
Tepelná rovnováha mezi fotony a atomy
Vztahy (12.2-9) a (12.2-18), jimiž se řídí interakce mezi fotony a atomy, použijeme
k odvození makroskopických zákonů interakce mezi mnoha fotony a mnoha atomy
v tepelné rovnováze. Uvažujme dutinu jednotkového objemu, jejíž stěny obsahují
velký počet atomů, se dvěma energetickými hladinami označenými 1 a 2, jejichž
energetická vzdálenost činí hv. V dutině je přítomno širokopásmové záření. Budiž
A/2(ť) počet atomů v objemové jednotce na hladině 2 a A/i(í) na hladině 1. Spontánní
emise vytváří záření v dutině za předpokladu, že některé atomy jsou na počátku na
hladině 2 (to zajišťuje konečná vnější teplota). Toto záření indukuje absorpci a stimulovanou emisi. Tyto tři procesy koexistují a dosáhne se ustáleného stavu (rovnováhy).
Předpokládáme, že každý mod záření, jehož frekvence leží uvnitř atomové šířky čáry,
bude obsazen n fotony podle (12.2-18).
Uvažujme nejprve spontánní emisi. Pravděpodobnost, že jeden atom na horní
hladině bude spontánně emitovat v časovém intervalu od t do t + Aí do některého
z modů je P s p Aí = Aí/í s p . Takových atomů je A/2(í). Průměrný počet emitovaných
fotonů za Aí je tudíž A/2(í)Aí/ísp. To je zároveň počet atomů opouštějících hladinu 2
za časový interval Aí. Tedy rychlost přírůstku A/2(í) způsobená spontánní emisí je
záporná a je dána diferenciální rovnicí
at
tsp
jejíž řešení N2(t) = /V2(0)exp(—č/ísp) je exponenciálně klesající funkcí času, jak
je ukázáno na obr. 12.3-1. Po dostatečně dlouhé době by tedy počet atomů W2
na horní hladině klesl k nule s časovou konstantou í s p . Energie je odnášena spontánně
emitovanými fotony.
Spontánní emise však není jedinou formou interakce. V přítomnosti záření
přispívají ke změnám obsazení A/i(í) a A/2(í) také absorpce a stimulované emise.
Uvažujeme nejprve absorpci. Protože máme Wi atomů schopných absorbovat, rychlost
přírůstku populace atomů na horní hladině díky absorpci je podle (12.2-18)
*£ = NlWi = M
dí
í
(12.3-2)
TEPELNÉ ZÁŘENÍ
Obrázek 12.3-1
511
Ubývání obsazení horní hladiny způsobené samotnou spontánní emisí.
Podobně stimulovaná emise má za následek rychlost přírůstku atomů v horním
stavu (která je záporná) danou výrazem
N2n
d/V2
(12.3-3)
Je zřejmé, že rychlosti atomové absorpce a stimulované emise jsou úměrné n,
průměrnému počtu fotonů v každém modu.
Nyní můžeme zkombinovat (12.3-1), (12.3-2) a (12.3-3) k sestavení rovnice
pro rychlost změny hustoty obsazení W2(ť), následkem spontánní emise, absorpce
a stimulované emise:
d/V,
—-— —
=
dť
Rychlostní rovnice
N,
H1
ňN
nN,
(12.3-4)
Tato rovnice nezahrnuje ty přechody na hladinu 2 či z této hladiny, které jsou
důsledkem jiných efektů, jako interakcí s jinými energetickými hladinami, nezářivých
přechodů a působení vnějších excitačních zdrojů. V ustáleném stavu je d/V2/dí = 0
a máme
(12.3-5)
kde n je průměrný počet fotonů v modu. Zřejmě je N2/ N\ < 1.
Jestliže nyní využijeme skutečnosti, že atomy jsou v tepelné rovnováze, pak
z (12.1-8) vyplývá, že jejich obsazení podléhají Boltzmannovu rozdělení, tj.
N2
= exp
hu
kBTj
(12.3-6)
512
FOTONY A ATOMY
Dosazením (12.3-6) do (12.3-5) a řešením pro n dostaneme pro střední počet fotonů
v modu o frekvenci v
exp{hu/kBT) - 1'
(12.3-7)
Výše uvedené odvození vychází z interakce dvou energetických hladin, navzájem
vázaných absorpcí stejně tak jako spontánní a stimulovanou emisí na frekvenci
blízké v. Použitelnost (12.3-7) je však daleko širší. Uvažujeme dutinu jejíž stěny
jsou z pevného materiálu a mají spojitě rozložené energetické hladiny se všemi
možnými energetickými vzdálenostmi a tudíž se všemi možnými hodnotami v. Atomy
ve stěnách spontánně emitují do dutiny. Emitované světlo následně interaguje s atomy
a dochází k absorpci a stimulované emisi. Jestliže jsou stěny udržovány na teplotě T,
pak kombinovaný systém atomů a záření dosáhne tepelné rovnováhy.
Rovnice (12.3-7) je identická s (11.2-21), tj. s výrazem pro střední počet fotonů
v modu tepelného záření [pro které obsazení modových energetických hladin splňuje
Boltzmannovo či Boseovo-Einsteinovo rozdělení p(n) <x exp^—nhu/ksT)]. Tento
výsledek ukazuje na selfkonsistenci našich postupů. Fotony interagující s atomy
v tepelné rovnováze při teplotě T jsou samy o sobě v tepelné rovnováze při téže
teplotě (viz. odst. 11.2C).
B. Spektrum záření černého tělesa
Střední energie E zářivého modu v situaci popsané v odst. 12.3A je jednoduše hhu,
takže
Střední energie modu
v tepelné rovnováze
(12.3-8)
Závislost E na v je ukázána na obr. 12.3-2. Všimněte si, že pro hv <g k^T (tj. když
energie fotonu je dostatečně malá) je exp(hvfkBT) « 1 + hvjk%T a £ « fcBT. To je
E,
Obrázek 12.3-2 Semilogaritmický graf závislosti průměrné energie E elektromagnetického modu v tepelné rovnováze při teplotě T jako funkce modové frekvence v. Při T = 300 K
je knT/h = 6,25 THz, což odpovídá vlnové délce 48jum.
TEPELNÉ ZÁŘENÍ
513
klasická hodnota pro harmonický oscilátor se dvěma stupni volnosti, jak vyplývá ze
statistické mechaniky.
Vynásobením tohoto výrazu pro střední energii v modu E hustotou modů
M(v) = 8-KV2/C3 dostaneme spektrální hustotu energie (energie na jednotkový
interval frekvencí a na jednotkový objem dutiny) g(v) = M(y)E, tj.
Spektrální hustota
energie záření
černého zářiče
(12.3-9)
Tento vztah, známý jako zákon záření černého tělesa, je znázorněn na obr. 12.3-3.
Závislost hustoty záření na teplotě je ukázána na obr. 12.3-4.
Spektrum záření černého zářiče sehrálo důležitou roli při objevu kvantové
(fotonové) podstaty světla (odst. 11.1). Z klasické teorie elektromagnetismu bylo
známo, že hustota modů je dána vztahem M{y) uvedeným výše. Avšak klasická
statistická mechanika (ve které elektromagnetická energie není kvantována) dávala
průměrnou energii na mod £ = k^T. To vedlo k chybnému vztahu pro g(y) (jeho
frekvenční integrál divergoval). V r. 1900 Max Plaňek ukázal, že pro obdržení
kBT
I
I
I
Obrázek 12.3-3 Frekvenční závislost energie jednoho modu E, hustoty modů M(v)
a spektrální hustoty energie í»(^) = M(u)E v lineárně-lineární závislosti.
514
FOTONY A ATOMY
10-15
6000K =
10-16
10-17
ml
1013
101"
1015
1016
Frekvence v (Hz)
Obrázek 12.3-4 Závislost spektrální hustoty energie g(^) na frekvenci pro různé teploty
v dvojitém logaritmickém měřítku.
správného výrazu pro spektrum černého tělesa je třeba kvantovat energii každého
modu a předložil správný kvantový výraz pro E daný (12.3-8).
Cvičení 12.3-1
Frekvence maxima spektrální hustoty energie černého zářiče. S použitím
zákona záření černého tělesa ukažte, že frekvence vv, při níž má spektrální
hustota energie maximum, splňuje rovnici 3(1 — e~x) = x, kde x = hvp/k^T.
Nalezněte přibližnou hodnotu a; a určete vv pro T = 300 K.
12.4 LUMINISCENCE
Vnější zdroj energie může vyvolat přechody atomárního nebo molekulárního systému
na vyšší energetické hladiny. V průběhu přechodů na nižší hladiny může systém
emitovat optické záření. Takové „netermální" zářiče se obecně nazývají luminofory
LUMINISCENCE
515
a zářivý děj se nazývá luminiscence. Luminiscenční zářiče lze klasifikovat podle
zdroje excitační energie, jak ukazují následující příklady.
• Katodoluminiscence je způsobena elektrony emitovanými z katody a urychlenými, které narážejí na atomy v terčíku. Příkladem je obrazovka, kde elektrony
předávají energii luminoforu. Termín betaluminiscence se používá, když rychlé
elektrony vznikají jako důsledek jaderného beta rozpadu a nikoliv elektronovým
dělem, jako u obrazovky.
• Fotoluminiscence je vyvolána energetickými optickými fotony. Příkladem je
světélkování některých krystalů po ozáření, ultrafialovým světlem. Termín radioluminiscence se používá, když zdrojem energie jsou rentgenové paprsky nebo
gamma záření nebo jiné ionizující záření. Pro detekci takových vysokoenergetických fotonů se právě často používají luminiscenční (scintilační) materiály jako
Nal, speciální umělé hmoty či PbCO3 ve spojení s optickými detektory.
• Chemiluminiscence získává energii z chemické reakce. Příkladem je světélkování látky při její oxidaci na vzduchu. Bioluminiscence, tj. světlo vysílané
živými organismy (např. svatojánské mušky), slouží jako další příklad chemiluminiscence.
• Elektroluminiscence vzniká v důsledku dodávání energie přiloženým elektrickým polem. Důležitým příkladem je injekční elektroluminiscence vysílaná
polovodičovou diodou protékanou elektrickým proudem v propustném směru.
Injektované elektrony padají z vodivostního do valenčního pásu a emitují fotony. Příkladem jsou luminescenční diody (LED).
• Sonoluminiscence je vyvolána energií získanou ze zvukové vlny. Příkladem je
světlo emitované vodou vystavenou působení silného ultrazvukového svazku.
Injekční elektroluminiscence je diskutována v kap. 16 v souvislosti s polovodičovými zdroji fotonů. Následující odstavec je stručným úvodem do fotoluminiscence.
Fotoluminiscence
Fotoluminiscence nastává, je-li systém excitován na vyšší energetickou hladinu absorpcí fotonu a poté spontáně přechází na nižší energetickou hladinu, přičemž tento
děj je doprovázen emisí fotonu. Z důvodu zachování energie nemůže mít emitovaný
(dl
Ib)
Obrázek 12.4-1
Různé formy fotoluminiscence.
516
FOTONY A ATOMY
foton větší energii nežli excitační foton, pokud ovšem nepůsobí v tandemu dva nebo
více excitačních fotonů. Několik příkladů přechodů vedoucích k fotoluminiscenci je
znázorněno schematicky na obr. 12.4-1. Jsou možné nezářivé mezipřechody směrem
dolů, representované v (b) a (c) čárkovanými čarami. Tímto mechanismem lze převést ultrafialové světlo na viditelné. Elektron může zůstat zachycen na mezihladině
či metastabilní hladině (např. past) po dlouhou dobu, což vede ke zpožděné .luminiscenci. Mohou se též vyskytnout nezářivé mezipřechody směrem dolů následované
nezářivými přechody směrem nahoru, jak ukazuje příklad (ď).
Jestliže jsou zářivé přechody spinově dovoleny, tzn. jestliže nastávají mezi dvěma stavy se stejnou multiplicitou (přechody singlet-singlet nebo triplet-triplet; viz
např. obr. 12.1-4), luminiscenční proces se nazývá fluorescence. Jestliže naopak
luminiscence vzniká spinově zakázanými přechody (např. triplet-singlet), nazývá se
fosforescencí. Fluorescenční doby života jsou obvykle krátké (0,1-10 ns), takže luminiscenční foton je emitován velmi brzy po excitaci. Na rozdíl od toho fosforescence,
protože je způsobena „zakázanými" přechody, má delší doby života (1 ms až 10 s)
a tudíž značné zpoždění mezi excitací a emisí.
S fotoluminiscenci se setkáváme u mnoha materiálů, včetně jednoduchých anorganických molekul (např. N2, CO2, Hg), vzácných plynů, anorganických krystalů (např. diamant, rubín, sirník zinečnatý) a aromatických molekul. Také polovodič může být fotoluminiscenčním materiálem. Takový děj je podobný procesu na
obr. 12.4-l(c) a zahrnuje generaci elektron-děrového páru absorpcí fotonu, následovanou rychlou nezářivou relaxací na nižší energetické hladiny vodivostního pásu
a posléze emisí fotonu, která doprovází mezipásovou rekombinaci elektron-děrového
páru. Relaxace uvnitř pásu probíhá ve srovnání s mezipásovou rekombinaci velmi
rychle.
Frekvenční konverze nahoru
Postupná absorpce dvou či více fotonů může mít za následek emisi jednoho fotonu
s kratší vlnovou délkou, jak ukazuje obr. 12.4-2. Takový děj vskutku nastane, když
v materiálu existují pasti, ve kterých elektron, excitovaný jedním fotonem, může
setrvat dostatečně dlouho k tomu, aby mohl být dalším fotonem excitován výše.
Materiály mající tuto vlastnost lze použít k detekci infračerveného záření. Tento jev
se vyskytuje u různých luminoforů dotovaných ionty vzácných zemin jako jsou Yb 3+
a Er 3 + . V určitých materiálech mohou pasti zůstat obsazené až po dobu několika
'\AAAA/V
Obrázek 12.4-2 Detekce dlouhovlnného fotonu hv\ konverzí nahoru na krátkovlnný foton
hi/3 = h{ui + v-i). Doplňkovou energii poskytuje pomocný foton /ii/2.
LITERATURA
517
Emise
ve viditelné
oblasti
Infračervená
spektrální
citlivost
I • ni 11 ii .1 ii 11L
800
1000
1200
1400
1600
Vlnová délka (nm)
ta)
f>
•3"
O
\n
U">
in
O
ID
O
Aí>
i£>
ID
f"^
(^
Vlnová délka (nm)
tb)
Obrázek 12.4-3 (a) Infračervená spektrální citlivost konverzní destičky s luminoforem.
(!>) Spektrum emise ve viditelné oblasti.
minut a to působením denního světla nebo fluorescenčního záření (poskytuje fotony
hi/2 na obr. 12.4-2); infračervený signál (foton hvx na obr. 12.4-2) pak uvolní elektron
z pasti a vyvolá emisi viditelného luminiscenčního fotonu \h{v\ + v^) na obr. 12.4-2].
Tyto užitečné přístroje mají často tvar malé (50 mm x 50 mm) destičky, kde je
jemný prášek materiálu, v němž probíhá konverze, uzavřen mezi dvěma plastickými
fóliemi. Prášek může být také dispergován ve třírozměrném polymeru pro třírozměrné
zobrazování. Lze tak zviditelnit prostorové rozložení infračerveného paprsku vystupujícího např. z infračerveného laseru. Účinnost konverze je však obvykle mnohem
menší než 1%. Relativní spektrální citlivost a emisní spektrum jedné z komerčně
dostupných desek jsou ukázány na obr. 12.4-3.
LITERATURA
Knihy
Viz též knihy o laserech v kap. 13.
V. S. Letokhov, ed., Laser Spectroscopy of Highly Vibrationally Excited Molecules,
Adam Hilger, Bristol, England, 1989.
R. M. Eisberg, R. Resnick, D. O. Caldwell a J. R. Christman, Quantum Physics of
Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Practicles, Wiley, New York, 2. vydání
1985.
R. Loudon, The Quantum Theory of Light, Oxford University Press, New York,
2. vydání 1983.
R. G. Breene, Jr., Theories of Spectral Line Skape, Wiley, New York, 1981.
C. Kittel, Thermal Physics, W. H. Freeman, San Francisco, 2. vydání 1980.
L. Allen a J. H. Eberly, Optical Resonance and Two-Level Atoms, Wiley, New York,
1975.
518
FOTONY A ATOMY
H. G. Kuhn, Atomic Spectra, Academie Press, New York, 1969.
G. Herzberg, Electronic Spectra and Electronic Structure of Polyatomic Molecules,
Van Nostrand Reinhold, Princeton, NJ, 1966.
D. I. Livesey, Atomic and Nuclear Physics, Blaisdell, Waltham, MA, 1966.
R. P. Feynman, R. B. Leighton a M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, vol. 3,
Quantum Mechanics, Addison-Wesley, Reading, MA, 1965.
M. Garbuny, Optical Physics, Academie Press, New York, 1965.
F. Reif, Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, McGraw-Hill, New York,
1965.
R. P. Feynman, R. B. Leighton a M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, vol. 1,
Mainly Mechanics, Radiation, and Heat, Addison-Wesley, Reading, MA, 1963.
A. C. G. Mitchell a M. W. Zemansky, Resonance Radiation and Excited Atoms,
Cambrige University Press, New York, 1961.
J. C. Slater, Quantum Theory of Atomic Structure, vol. 1, McGraw-Hill, New York,
1960.
E. U. Condon a G. H. Shortley, The Theory of Atomic Spectra, Cambridge University
Press, New York, 1959.
M. Born, Atomic Physics, Hafner Press, New York, 1959.
C. Kittel, Elementary Statistical Physics, Wiley, New York, 1958.
G. Herzberg, Molecular Spectra and Molecular Structure, vol. 1, Spectra of Diatomic
Molecules, Van Nostrand, New York, 2. vydání 1950.
G. Herzberg, Atomic Spectra and Atomic Structure, Dover, New York, 2. vydání
1944.
Knihy o luminiscenci
M. Pazzagli, E. Cadenas, L. J. Kricka, A. Roda a P. E. Stanley, eds., Bioluminescence
and Chemiluminescence, Wiley, New York, 1989.
J. Scholmerich, R. Andreesen, R. Kapp, M. Ernst a W. G. Woods, eds., Bioluminescence and Chemiluminescence: New Perspectives, Wiley, New York, 1987.
W. Elenbaas, Light Sources, Macmillan, London, 1972.
H. K. Henisch, Electroluminescence, Pergamon Press, New York, 1962.
Speciální čísla časopisů
Speciální výtisk věnovaný laserovému ochlazování a zachycování atomů, Journal of
the Optical Society of America B, vol. 6, no. 11, 1989
Články
C. Foot a A. Steane, The Coolest Atoms Yet, Physics World, vol. 3, no. 10, str. 25-27,
1990.
R. Pool, Making Atoms Jump Through Hoops, Scince, vol. 248, str. 1076-1078, 1990.
S. Haroche a D. Kleppner, Cavity Quantum Electrodynamics, Physics Today, vol. 42,
no. 1, pp. 24-30, 1989.
R. Bliimel, J. M. Chen, E. Peik, W. Quint, W. Schleich, Y. R. Shen a H. Walther,
Phase Transitions of Stored Laser-Cooled Ions, Nature, vol. 334, str. 309-313,
1988.
ÚLOHY
519
W. D. Phillips a H. J. Metcalf, Cooling and Trapping of Atoms, Scientific
American,
vol. 256, no. 3, str. 50-56, 1987.
H. J. Metcalf, Laser Cooling and Electromagnetic Trapping of Atoms, Optics News,
vol. 13, no. 3, pp. 6-10, 1987.
E. Wolf, Einstehťs Researches on the Nature of Light, Optics News, vol. 5, no. 1,
pp. 24-39, 1979.
J. H. van Vleck a D. L. Huber, Absorption, Emission, and Linebreadths: A Semihistorical Perspective, Reviews of Modem Physics, vol. 49, pp. 939-959, 1977.
V. F. Weisskopf, How Light Interacts with Matter, Scientific American, vol. 219,
no. 3, pp. 60-71, 1968.
A. Javan, The Optical Properties of Materials, Scientific American, vol. 217, no. 3,
pp. 239-248, 1967.
G. R. Fowles, Quantum Dynamical Description of Atoms and Radiative Processes,
American Journal of Physics, vol. 31, pp. 407-409, 1963.
A. Einstein, Zur Quantentheorie der Strahlung (On the Quantum Theory of Radiation), Physikalische Zeitschrift, vol. 18, pp. 121-128, 1917.
Literatura v českém a slovenském jazyce
A. Beiser, Úvod do moderní fyziky, Academia, Praha, 1978.
P. T. Mathews, Základy kvantové mechaniky, SNTL (Populární přednášky o fyzice),
Praha, 1976.
A. S. Davydov, Kvantová mechanika, SPN, Praha, 1978.
R. P. Feynman, R. B. Leighton a M. Sands, Feynmanove přednášky z fyziky, díl 1,
Alfa, Bratislava, 1989.
K. Pátek, Luminiscence, SNTL, Praha, 1962.
ÚLOHY
12.2-1 Porovnání stimulované a spontánní emise. Atom se dvěma energe-
tickými hladinami příslušejícími přechodu (Ao = 0,7 fim, í s p = 3ms, Af =
= 50GHz, lorentzovský tvar čáry) je umístěn v rezonátoru o objemu
V = 100 cm 3 a indexu lomu n = 1. Jsou vybuzeny dva zářivé mody (jeden
na centrální frekvenci VQ a druhý s frekvencí fo + Ai/) a každý z nich obsahuje 1000 fotonů. Určete hustotu pravděpodobnosti stimulované emise (nebo
absorpce). Jestliže je A/2 těchto atomů vybuzeno na hladinu 2, stanovte časovou konstantu ubývání A/2 následkem stimulované emise a spontánní emise.
Kolik fotonů by mělo být přítomno, aby rychlosti ubývání A/2 stimulovanou
emisí a spontánní emisí byly stejné?
12.2-2 Spontánní emise do předepsaných modů. (a) Je dána dutina o tvaru
krychle o objemu 1 fim3 se středním indexem lomu n = 1. Jaká jsou
modová čísla (?i,<72,?3) nejnižšího a nejblíže vyššího frekvenčního modu?
(Viz. odst. 9.1C). Ukažte, že tyto frekvence jsou 260THz a 367THz.
(6) Uvažujte jeden excitovaný atom v dutině bez fotonů. Nechť p s p i je
hustota pravděpodobnosti ( s " 1 ) spontánní emise fotonu do modu (2,1,1)
a nechť psp2 je hustota pravděpodobnosti spontánní emise fotonu s frekvencí
367 THz. Určete poměr psp2/Pspi-
520
FOTONY A ATOMY
12.3-1 Kinetické rovnice pro širokopásmové záření. Rezonátor o jednotkovém
objemu obsahuje atomy se dvěma energetickými hladinami, označenými
1 a 2, příslušejícími přechodu s rezonanční frekvencí VQ a šířkou čáry Au.
Na dolní hladině 1 je A/j atomů, na horní hladině 2 je A/2 atomů a v každém
modu uvnitř širokého pásu v okolí vo je ň fotonů. Fotony unikají z rezonátoru
s rychlostí l/rp v důsledku nedokonalé reflektivity stěn dutiny. Sestavte
kinetické rovnice pro A/2 a n za předpokladu, že mezi hladinami 1 a 2
nedochází k nezářivým přechodům.
12.3-2 Zakázaná spontánní emise. Uvažujte hypotetické dvoudimenzionální
černé těleso (např. čtvercovou destičku o ploše A) v tepelné rovnováze při
teplotě T.
(o) Určete hustotu modů M.(u) a spektrální hustotu energie (tj. energii
připadající na frekvenční úsek mezi u a. v + du a, na. jednotkovou plochu)
emitovaného záření Q(V) (viz. odst. 9.1C).
(b) Nalezněte hustotu pravděpodobnosti spontánní emise Psp pro atom
umístěný v dutině, která dovoluje záření pouze ve dvou směrech.
12.3-3 Srovnání stimulované a spontánní emise záření černého tělesa.
Nalezněte teplotu, při níž se rovnají rychlosti stimulované a spontánní emise
z atomů tvořících černé těleso ve tvaru dutiny. Spektrální hustota energie
budiž Q(I>) a vlnová délka emise je Ao = 1 £im.
12.3-4 Wienův zákon. Odvoďte výraz pro spektrální hustotu energie Q\{\)
[energie na jednotku objemu v intervalu vlnových délek mezi A a A + dA
je g\(\)d\}. Ukažte, že vlnová délka \p, při které má spektrální hustota
energie maximum, splňuje rovnici 5(1 — e~v) = y, kde y = hc/\pk^T. Platí
tedy vztah \PT = konst (Wienův zákon). Nalezněte přibližně XPT. Ukažte,
že \p / c/vp, kde vv je frekvence maxima spektrální hustoty energie g{v)
(viz cvičení 12.3-1 na str. 514) a vysvětlete proč.
12.3-5 Spektrální hustota energie záření jednorozměrného černého tělesa.
Uvažujte hypotetický jednorozměrný zářič s vlastnostmi černého tělesa,
o délce L v tepelné rovnováze při teplotě T.
(a) Jaká je hustota modů M(v) (počet modů na jednotkový frekvenční
interval na jednotku délky) v jedné dimenzi.
(í>) S použitím průměrné energie E modu s frekvencí v určete spektrální
hustotu energie (tj. energie ve frekvenčním intervalu mezi v a v + dv
na jednotku délky) záření černého tělesa g{v). Načrtněte závislost g(v) na v.
*12.4-1 Statistika katodoluminiscenčního záření. Uvažujte svazek elektronů
dopadajících na luminofor v obrazovce. Budiž Tfj střední počet elektronů dopadajících na jednotku plochy luminoforu za jednotku času. Jestliže počet
m elektronů dopadajících za daný čas je náhodná veličina podléhající Poissonovu rozdělení a počet fotonů emitovaných na jeden elektron má také
Poissonovské rozdělení, leč se střední hodnotou G, nalezněte výsledné rozdělení p(n) emitovaných katodoluminiscenčních fotonů. Výsledek se nazývá
Neymanovo rozdělení typu A. Stanovte výrazy pro střední hodnotu n
a variaci a\. Návod: Použijte podmíněnou pravděpodobnost.
K A P I T O L A
13
LASEROVÉ ZESILOVAČE
13.1 LASEROVÝ ZESILOVAČ
A. Zisk zesilovače
B. Fázové posunutí v zesilovači
13.2 ČERPÁNÍ ZESILOVAČE
A. Rychlostní rovnice
B. Čtyřhladinové a tříhladinové schéma čerpání
C. Příklady laserových zesilovačů
13.3 NELINEARITA A SATURACE ZISKU V ZESILOVAČI
A. Koeficient zesílení
B. Zisk
*C. Zesílení zesilovačů s nehomogenním rozšířením přechodu
*13.4 ŠUM ZESILOVAČE
Charles H. Townes
(narozen 1915)
Nikolaj G. Basov
(narozen 1922)
Alexandr M. Prochorov
(narozen 1916)
Townes, Basov a Prochorov objevili princip zesilování světla stimulovanou emisí záření —
LASER (Light Amplification by the Stimulated Emission oj Radiation). V roce 1964 obdrželi
Nobelovu cenu.
521
522
LASEROVÉ ZESILOVAČE
Koherentní optický zesilovač je zařízení, které zvětšuje amplitudu optického
pole, přičemž zachovává jeho fázi. Je-li optické pole na vstupu takového zesilovače
monochromatické, je na výstupu rovněž monochromatické se stejnou frekvencí.
Výstupní amplituda je větší než vstupní, zatímco fáze se nezmění nebo posune
o pevnou hodnotu. Zesilovač, který zvětšuje intenzitu optického vlnění a přitom
naopak nezachovává fázi se nazývá nekoherentní optický zesilovač.
V této kapitole se věnujeme koherentním optickým zesilovačům, které jsou
důležité pro různé aplikace. Příkladem může být zesilování slabých optických impulsů
poté, co projdou dlouhým optickým vláknem, nebo získávání velmi intenzivních
optických impulsů potřebných k laserem řízené jaderné syntéze. Kromě toho je
důležité pochopit principy činnosti optických zesilovačů dříve, než se budeme zabývat
optickými oscilátory (lasery) v kap. 14.
Základním principem koherentního zesilování světla je zesilování světla stimulovanou emisí záření, známé pod akronymem LASER nebo také jako laserový proces.
Stimulovaná emise (viz odst. 12.2) umožňuje, aby foton určitého modu indukoval
v atomu na vyšší energetické hladině přechod do stavu s nižší energií, přičemž je
emitován foton do modu shodného s modem indukujícího fotonu (tj. foton stejného
směru se stejnou frekvencí a polarizací). Tyto dva fotony dále mohou stimulovat emisi
dalších dvou fotonů atd., přičemž se stále zachovávají jejich vlastnosti. Výsledkem je
koherentní zesílení světla. Protože ke stimulované emisi dochází, když energie fotonu
je téměř shodná s energetickým rozdílem přechodu v atomu, je tento proces omezený
na pás frekvencí určený šířkou atomové čáry.
Laserové zesilování se liší v mnoha ohledech od zesilování elektronického. Při
elektronickém zesilování se využívá zařízení, ve kterém malá změna injektovaného
elektrického proudu nebo přiloženého napětí má za následek velkou změnu toku
nosičů náboje, jak je tomu s elektrony nebo dírami v polovodičovém polem řízeném
tranzistoru (FET) nebo v tranzistoru s bipolárním přechodem. Laditelné elektronické
zesilovače využívají rezonančních obvodů (tj. zapojení kondenzátorů a indukčností)
nebo rezonátorů (kovových dutin), které vymezují požadované frekvenční pásmo
zisku zesilovače. Naproti tomu laserové zesilovače atomové, molekulové či s pevnou
látkou jsou závislé na rozdílech mezi energetickými úrovněmi, kterými se tak primárně
vymezuje frekvence. Působí jako přirozené rezonátory určující pásmo zesilovače a jeho
pracovní frekvenci. Optické rezonanční dutiny (rezonanční obvody) se často užívají
k dodatečnému frekvenčnímu ladění.
Světlo procházející látkou, která je v tepelné rovnováze, je více zeslabováno než
zesilováno. Je to způsobené absorpcí velkým množstvím atomů ve stavu s nižší
energií, která výrazně převažuje nad stimulovanou emisí velmi malého množství
atomů s obsazenou horní hladinou. Základní podmínkou laserového zesílení je větší
počet atomů na horní energetické hladině než na spodní, což je očividně nerovnovážný
stav. Dosažení takovéhoto inverzního obsazení vyžaduje zdroj excitace (čerpám)
LASEROVÉ ZESILOVAČE
523
_erpani
Atomy
/
Výstupní
fotony
7
Vstupní
fotony
Laserový zesilovač
Obrázek 13.0-1 Laserový zesilovač. Vnější zdroj (zvaný čerpání) excituje aktivní prostředí (představované souborem atomů) a vytváří inverzní obsazení. Dochází k interakci mezi
fotony a atomy; když stimulovaná emise převáží nad absorpcí, působí aktivní prostředí
jako koherentní zesilovač.
atomů na vyšší energetickou hladinu, jak ukazuje obr. 13.0-1. I když v celé této
kapitole je výklad vedený v termínech „atomy" a „atomové hladiny", je třeba je
chápat v širším smyslu jako „aktivní prostředí" a „energetické hladiny laserového
přechodu".
Vlastnosti ideálního (optického nebo elektronického) koherentního zesilovače jsou
schematicky znázorněné na obr. 13.0-2(o). Je to lineární systém, který zvětšuje
amplitudu vstupního signálu s pevným faktorem zvaným zisk zesilovače. Sinusový
vstupní signál dává na výstupu sinusový signál stejné frekvence, ale se zvětšenou
amplitudou. Zisk ideálního zesilovače je konstantní pro všechny frekvence uvnitř
spektrálního pásma zesilovače. Zesilovač může způsobit fázové posunutí výstupního
Výstupní
amplituda
Výstup
Vstup
Ideální
zesilovač
Zisk
Fáze
Vstupní amplituda
Výstupní
amplituda
Vstup
Reálný
zesilovač
Vstupní amplituda
Obrázek 13.0-2 (a) Ideální zesilovač je lineární. Zvětšuje amplitudu signálů (jejichž
frekvence leží uvnitř jeho pásma zesílení) s konstantním činitelem zisku a může zavádět
lineární fázové posunutí, (b) Typické závislosti zisku a fázového posunutí na frekvenci pro
reálný zesilovač. Při velkých vstupních signálech nastává saturace výstupního signálu;
zesilovač se chová nelineárně.
524
LASEROVÉ ZESILOVAČE
signálu vůči vstupnímu, které lineárně závisí na frekvenci, čemuž odpovídá časové
zpoždění výstupu proti vstupu (viz dodatek B).
Reálné koherentní zesilovače vykazují frekvenčně závislý zisk a frekvenčně závislé
fázové posunutí s typickými průběhy znázorněnými na obr. 13.0-2(6). Zisk a fázové
posunutí určují přenosovou funkci zesilovače. Při dostatečně velkých vstupních amplitudách mohou reálné zesilovače vykazovat ještě saturaci, což je projev nelineárních
vlastností, kdy velikost výstupní amplitudy přestává růst lineárně se vstupním signálem. Saturace vede ke vzniku harmonických složek ve výstupním signálu, pokud
frekvenční pásmo zesilovače je dostatečně široké, aby jím prošly. Reálné zesilovače
vnášejí rovněž šum, takže bez ohledu na vstupní signál se vždy vyskytuje ve výstupním signálu náhodně fluktuující složka.
Zesilovač charakterizují následující vlastnosti:
• Zisk.
• Frekvenční pásmo.
• Fázové posunutí.
• Zdroj čerpání.
• Nelinearita a saturace zisku.
• Sum.
Postupně se budeme zabývat jednotlivými charakteristikami laserových zesilovačů. Teorie laserových zesilovačů, která umožňuje odvodit výrazy pro zisk zesilovače,
jeho spektrální pásmo a fázové posunutí, je obsahem odst. 13.1. Odst. 13.2 je věnovaný způsobům dosažení inverzního obsazení pomocí čerpacích zdrojů. Odst. 13.3
pojednává o saturaci zisku a odst. 13.4 o šumu při zesilování. Tato kapitola vyžaduje
znalost látky vyložené v kap. 12, zejména v odst. 12.2.
13.1
LASEROVÝ ZESILOVAČ
Monochromatická optická rovinná vlna o frekvenci v se šíří ve směru osy z, má elektrické pole Re{£(z)exp(j27ri4)}, intenzitu I(z) — \E(Z)\2/2TJ a hustotu fotonového
toku <f>(z) = I{z)/hv (fotonů za sekundu na jednotku plochy). Tato vlna bude v interakci s atomárním prostředím, o kterém předpokládáme, že jeho atomy mají dvě
pro tento proces významné energetické hladiny, jejichž energetický rozdíl se téměř
shoduje s energií fotonu hv. Objemová koncentrace atomů na dolní energetické hladině je /Ví a na horní hladině Ni- Vlna je zesilovaná s koeficientem zesílení -y(z)
(na jednotku délky) a získává fázové posunutí <p(z) (na jednotku délky). Přistoupíme
k odvození výrazů pro -y(i/) a <p(f). Kladné hodnoty i{u) odpovídají zesílení, záporné
hodnoty 7(1/) zeslabení.
A.
Zisk zesilovače
Mezi fotonem a atomem se uplatňují tři typy interakcí (viz odst. 12.2). Je-li atom
na spodní energetické hladině, může foton být absorbován, zatímco když je na horní
hladině, může být vyzářen další foton při stimulované emisi a dojde k zesílení. Třetí
typ interakce — spontánní emise — při níž atom na horní hladině vyzáří foton
LASEROVÝ ZESILOVAČ
525
nezávisle na dalších přítomných fotonech, způsobuje šum zesilovače, kterému bude
věnován odst. 13.4.
Hustota pravděpodobnosti (s" 1 ), tj. pravděpodobnost, že neexcitovaný atom
absorbuje za jednotku času jeden foton, je podle (12.2-15) a (12.2-11)
Wi = <t>cr{v),
(13.1-1)
kde o{w) = (A2/8irtsp)g(i/) je účinný průřez' přechodu na frekvenci v, g{v) je
normovaná funkce průběhu spektrální čáry, ť sp je střední doba spontánní emise a A
je vlnová délka světla v prostředí. Pravděpodobnost stimulované emise za jednotku
času je dána stejným vztahem (13.1-1).
Střední hustota absorbovaných fotonů (počet fotonů za jednotku času v objemové
jednotce) je N\ Wi. Podobně střední hustota fotonů nově vzniklých stimulovanou emisí
je W2 W;. Výsledný počet fotonů vzniklých za sekundu v jednotce objemu činí NWi,
kde N = W2 — Ni je hustota rozdílu obsazení hladin. Je zvykem nazývat N jednoduše
rozdíl obsazení či populace. Je-li N kladné, nastává inverzní obsazení, při kterém
prostředí může působit jako zesilovač a hustota fotonového toku může vzrůstat. Jeli N záporné, prostředí absorbuje a hustota fotonového toku klesá. Při N = 0 je
prostředí dokonale transparentní (průhledné).
Protože dopadající fotony se šíří ve směru osy z, šíří se stimulované vyzářené
fotony ve stejném směru, jak znázorňuje obr. 13.1-1. Vnější čerpání zajišťující inverzní
obsazení (N > 0) je tak příčinou nárůstu hustoty fotonového toku (f>(z) s rostoucím z.
Protože vyzářené fotony stimulují další akty emise, je zvětšení toku v libovolném
místě z úměrné rozdílu obsazení v tomto místě; 1/1(2) proto poroste exponenciálně.
Abychom si bezprostředně ukázali tento proces, budeme uvažovat válec se základnou jednotkové plochy a s infinitezimální výškou áz (viz obr. 13.1-1). Je-li <f>(z)
hustota fotonového toku vstupujícího kolmo základnou do takového infinitezimálního
válce a 4>(z) + á(f>{z) hustota fotonového toku na výstupu z válce, musí být d(f>(z) hustota fotonového toku emitovaná v objemu válce. Přírůstek počtu fotonů za jednotku
času a na jednotku plochy d<fr(z) je jednoduše roven počtu fotonů, které vzniknou
zesílením v jednotkovém objemu za jednotku času, tj. NWi, násobenému velikostí
objemu, tj. tlouštkou válcové vrstvy áz:
A<t> = NWiáz.
(13.1-2)
Zesilovač
Vstupní záření I
/
\
I
/
\
2
/ Výstupní záření
Obrázek 13.1-1 Hustota fotonového toku 4> (fotony/cm :>i procházejícího infinitezimálním válcem s excitovanými atomy vzroste na vzdálenosti áz na hodnotu <p +• d<?!>.
526
LASEROVÉ ZESILOVAČE
Pomocí vztahu (13.1-1) lze přepsat (13.1-2) ve tvaru diferenciální rovnice
— - — = j(u)é(z),
áz
(13.1-3)
ve které
Koeficient zesílení
,
-.
- .laserového prostředí
, .
., , .
., <> , .
l(y)
= Naiv) = N
g(v).
v
'
°~*
v
. , _ , ..
(13.1-4)
'
Koeficient 7(1/) představuje celkové zesílení hustoty fotonového toku na jednotkové
délce v aktivním laserovém prostředí. Řešením (13.1-3) je exponenciálně rostoucí
funkce
<f>(z) = 0(O)exp[7(i/)z].
(13.1-5)
Protože optická intenzita I(z) = hv(f>(z), můžeme řešení (13.1-5) přepsat ve tvaru
pro intenzitu
I(z) = 7(0) exp[ 7 (í/)z].
(13.1-6)
Koeficient ~i{v) tudíž charakterizuje také zesílení intenzity na jednotkové délce
prostředí.
Koeficient zesílení 7(f) je úměrný rozdílu obsazení hladin N = N2 — A/].
I když jsme v uvedeném případě předpokládali N kladné, platí výsledek nezávisle
na znaménku N. Nenastane-li inverzní obsazení, je N záporné (A/2 < N\) a záporný
je i koeficient zesílení. Prostředí bude tudíž zeslabovat (nikoliv zesilovat) světlo
šířící se ve směru osy z podle exponenciálně klesající funkce <f>(z) = 0(0) exp[—a(^)z],
přičemž koeficient zeslabení (absorpce) a{v) = —j(v) = -Wa(i^). Látkové prostředí
v tepelné rovnováze tedy nemůže zesilovat světlo.
Je-li délka interakční oblasti d (viz obr. 13.1-1), je celkový zisk laserového zesilovače G(v) definovaný jako poměr hustot fotonového toku na výstupu a na vstupu,
tj. G(u) = 4>(d)/4>(0), takže
Zisk zesilovače
G(v) =
(13.1-7)
Frekvenční pásmo zesilovače
Koeficient zesílení 7(1^) závisí na frekvenci dopadajícího světla v, protože podle
(13.1-4) je úměrný funkci spektrálního tvaru čáry g(v). Spektrální profil čáry je
charakterizovaný její šířkou Au a atomovou rezonanční frekvencí VQ = (£2 ~ Ei)/h,
kde £2 a £1 jsou energie stavů atomu. Laserový zesilovač je tedy rezonančním
systémem s rezonanční frekvencí a šířkou pásma určenou funkcí spektrálního profilu
atomového přechodu. Šířka čáry Av se obvykle měří v jednotkách frekvence (Hz) nebo
v jednotkách vlnové délky (um). Mezi šířkami vyjádřenými v těchto jednotkách platí
LASEROVÝ ZESILOVAČ
527
Obrázek 13.1-2 Koeficient zesílení y(v) laserového zesilovače s lorentzovským spektrálním průběhem čáry.
2
12
vztah AA = |A(c o /i/)| = +{co/v )Av
= (Ag/co)Ai/. Tak šířce čáry Ai/ = 10 Hz
na vlnové délce Ao = 0,6 /jm odpovídá A A = 1,2 nm.
V případě Lorentzova tvaru (12.2-27) spektrální čáry
" '
2
{v - */ 0 ) + (Ai,/2)
2
(13.1-8)
má koeficient zesílení také lorentzovský průběh se stejnou šířkou, tj.
(A^/2) 2
{v - ÍV 0 ) 2 + (Ai//2) 2 '
(13.1-9)
jak ukazuje obr. 13.1-2, kde 7(^0) = A/(A2/47r2íspAi/) je koeficient zesílení na rezonanční frekvenci VQ.
Cvičení 13.1-1
Útlum a zisk rubínového laserového zesilovače
a) Uvažujme rubínový krystal se dvěma energetickými hladinami vzdálenými od sebe o energii odpovídající vlnové délce světla ve vakuu
Ao = 694,3 nm a s lorentzovským spektrálním průběhem o šířce Av =
= 60 GHz. Střední doba spontánní emise je í s p = 3 ms a index lomu
rubínu je n = 1,76. Za předpokladu, že /Ví + A/2 = Wa = 10 2 2 c m " 3 , určete rozdíl obsazení hladin N = A/2 - A/i a koeficient absorpce ve středu
čáry a(i^o) při tepelné rovnováze (tzn. když platí Boltzmannovo rozdělení) při teplotě T = 300 K.
b) Jakou hodnotu musí mít inverzní obsazení N, aby koeficient zesílení
ve středu čáry byl 7(^0) = 0,5 cm" 1 ?
c) Jak dlouhý musí být krystal, aby při 7(1^0) = 0,5cm" 1 dosáhl celkový
zisk ve středu čáry hodnoty 4?
528
B.
LASEROVÉ ZESILOVAČE
Fázové posunutí v zesilovači
Protože zesílení rezonančního prostředí je frekvenčně závislé, je prostředím disperzním (viz odst. 5.5) a se zesílením musí být spojený frekvenčně závislý fázový posuv.
Fázové posunutí vzniklé při průchodu laserovým zesilovačem lze určit snadněji, když
budeme popisovat interakci záření s látkou pomocí elektromagnetického pole místo
hustoty fotonového toku nebo optické intenzity.
V dalším postupu zvolíme alternativní přiblížení, ve kterém k určení fázového
posunutí využijeme matematických vlastností kauzálních systémů. V případě prostředí s homogenně rozšířenou spektrální čárou je koeficient fázového posunu y(v)
(fázové posunutí vzniklé při průchodu jednotkovou vzdáleností v prostředí zesilovače) spojený s koeficientem zesílení 7C) Kramersovými-Kronigovými (Hilbertova
transformace) vztahy (viz odst. B.l dodatku B a odst. 5.5). Známe-li hodnoty 7(1/)
pro všechny frekvence, je jednoznačně určený průběh koeficientu <p(v).
Mezi optickou intenzitou a elektrickým polem platí vztah /(z) = \E(z)\2 /2r].
Protože podle vztahu (13.1-6) I(z) = /(O) exp[7C)z], je optické pole popsané
vztahem
E(z) = E(0)exp[i7(«/)z] exp [ - J V C ) * ] .
(13.1-10)
ve kterém je <p(v) koeficient fázového posunu. Ve vzdálenosti z + Az dostaneme
pro pole
E(z + Az) = £
« E(z) [1 + ±7(")Az - J V O A Z ] ,
(13.1-11)
když jsme exponenciální funkce aproximovali Taylorovou řadou. Pro přírůstek elektrického pole AE(z) = E(z + Az) — E(z) potom platí rovnice
| ^
= £(2)[i7C)-jVC)].
(13.1-12)
Na takový elementární zesilovač můžeme pohlížet jako na lineární systém se vstupním
signálem E(z) a s výstupem AE(z)/Az, jehož přenosová funkce je
Jř > C) = h ( " ) - J V ( " ) -
(13.1-13)
Protože takový elementární zesilovač představuje fyzikální systém, musí být kauzální.
Mezi reálnou a imaginární částí přenosové funkce lineárního kauzálního systému platí
Hilbertova transformace (viz dodatek B). To znamená, že — y>O je Hilbertovou
transformací 57C) [viz (5.5-11)], takže funkce fázového posunutí v zesilovači je
určena jeho koeficientem zesílení.
Jednoduchým příkladem je prostředí s úzkou atomovou spektrální čárou Lorentzova průběhu s šířkou Aw -C vo, které odpovídá koeficient zesílení 7 O popsaný
ČERPÁNÍ ZESILOVAČE
529
(a)
¥>(»)!
Ib)
Obrázek 13.1-3 (a) Koeficient zesílení 7(1/) a (6) koeficient fázového posunu <p(v)
laserového zesilovače s lorentzovským profilem spektrální čáry.
vztahem (13.1-9). Odpovídající koeficient fázového posunu <p(v) je určený vztahem
(B.l-13) v dodatku B,
Koeficient fázového
posunu
(lorentzovská čára)
(13.1-14)
Závislost koeficientů zesílení a fázového posunu na frekvenci v v případě lorentzovské
spektrální čáry je na obr. 13.1-3. V rezonanci je koeficient zesílení maximální
a koeficient fázového posunu je nulový. Koeficient fázového posunu je záporný
pro frekvence menší než je frekvence rezonanční a kladný pro frekvence větší.
13.2
ČERPANÍ ZESILOVAČE
Laserové zesilovače, stejně jako všechny ostatní zesilovače, musí mít vnější zdroj,
ze kterého je dodávána energie ke vstupnímu signálu. Čerpací výkon se dodává
excitací elektronového obalu atomů, při které atom přechází z nižších energetických
úrovní na vyšší. Aby nastalo zesílení, musí se čerpáním dosáhnout inverzního obsazení
hladin účastných na požadovaném přechodu (N = A/2 — A/j > 0). Do procesu čerpání
se zapojují často další energetické hladiny odlišné od těch, které se podílejí přímo
na zesilování. Čerpání atomů z hladiny 1 na hladinu 2 může být snadno dosažené
např. excitací z hladiny 1 na hladinu 3 a následnou přirozenou relaxací z hladiny 3
na hladinu 2.
Čerpat lze opticky (např. výbojkou nebo laserem), elektricky (např. výbojem
v plynech, elektronovým nebo iontovým svazkem, nebo vstřikováním elektronů a děr,
jak je tomu v polovodičových laserových zesilovačích), chemicky (např. při hoření)
nebo dokonce jaderným výbuchem u laserů pracujících v oblasti rtg záření. Aby
bylo dosaženo stacionárního inverzního obsazení na přechodu 1-2 při kontinuálním
530
LASEROVÉ ZESILOVAČE
Obrázek 13.2-1
Energetické hladiny 1 a 2 a jejich doby přechodů.
(cw — z ang. continuous-wave) provozu, musí být rychlosti excitace a deexcitace
všech možných energetických hladin, které se procesu účastní, v rovnováze. Rovnice
popisující rychlosti změn hustot obsazení A/i a W2 následkem čerpání, zářivých
a nezářivých přechodů se nazývají rychlostní rovnice, někdy též kinetické rovnice.
Jsou podobné rovnicím uvedeným v odst. 12.3, ale uplatňuje se v nich selektivní
vnější čerpání, takže nejsou splněné podmínky tepelné rovnováhy.
A.
Rychlostní rovnice
Uvažujme energetické hladiny uspořádané podle diagramu na obr. 13.2-1. Soustředíme se na hladiny 1 a 2, které mají celkové doby života T\ a T2, s dovoleným přechodem
na spodní hladinu. Doba života hladiny 2 má dvě složky—jedna souvisí s přechody
z hladiny 2 na hladinu 1 (T21) a druhá (T20) S přechody z hladiny 2 na všechny ostatní hladiny. Jestliže se uplatňuje několik mechanismů deexcitace, je celková rychlostní
konstanta přechodů z určité hladiny rovná součtu jednotlivých rychlostních konstant.
Protože rychlostní konstanty jsou nepřímo úměrné středním dobám přechodů a celková rychlostní konstanta je nepřímo úměrná střední době života hladiny, musí se
sčítat převrácené hodnoty příslušných dob:
^2" 1 =T 2 - 1 1 +r 2 - 0 1 .
(13.2-1)
Další mechanismy deexcitace hladiny tudíž zkracují její celkovou střední dobu života
(tj. způsobují ještě rychlejší deexcitaci). V T21 se může uplatňovat vedle zářivé
spontánní emise (s časovou konstantou ťsp) také nezářivá složka TnT (původ může
mít např. ve srážkách atomu se stěnami nádoby, které mají za následek deexcitaci),
takže
T
21
=
^sp + Tnr •
Jestliže systém znázorněný na obr. 13.2-1 dosáhne stacionárního stavu, jsou hustoty
obsazení /Ví a /V2 nulové, protože všechny elektrony relaxují na nejnižší energetické
hladiny.
Nenulového stacionárního obsazení hladin 1 a 2 však lze dosáhnout, jestliže jsou
spojitě excitovány hladiny ležící nad hladinou 2 a z nich následují přechody dolů
na hladinu 2, což vystihuje realističtější diagram energetických hladin na obr. 13.2-2.
čerpáním mohou atomy přecházet z hladin jiných než 1 a 2 na hladinu 2 s rychlostí /?2
a z hladiny 1 na hladiny jiné než 2 s rychlostí /?i (na jednotku objemu a na jednotku
času), jak je znázorněno na obr. 13.2-3. Následkem toho lze dosáhnout nenulového
stacionárního obsazení hladin 1 a 2.
ČERPÁNÍ ZESILOVAČE
Obrázek 13.2-2
hladinami.
531
Energetické hladiny 1 a 2 společně s okolními výše a níže ležícími
Nyní zformulujeme rychlostní rovnice takového systému jak v případě, že zesilované záření (které je v rezonanci s přechodem 1-2) není přítomné, tak i v případě,
že přítomné je.
Rychlostní rovnice bez účasti zesilovaného záření
Rovnice popisující změny hustot obsazení hladin 2 a 1 následkem čerpání a deexcitace
mají tvar
A/2
r2
d/V2
d/Vj
dť
= -Ki
(13.2-2)
i
1
Ti
A/22
T21
(13.2-3)
.
Za stacionárních podmínek (d/Vi/dí = d/V2/dí = 0) lze z rovnic (13.2-2) a (13.2-3)
vypočítat A/i a W2 a nalézt vyjádření pro inverzní obsazení N = A/2 — A/i. Jestliže A/o
označíme stacionární hodnotu inverzního obsazení N bez zesilovaného záření, je
Stacionární rozdíl
obsazení (bez účasti
zesilovaného záření)
= R-iTi ( 1 - — ) +
J
Rm.
(13.2-4)
K dosažení velkých hodnot koeficientu zesílení je nutný velký kladný rozdíl
2
i
r-
r
20
Obrázek 13.2-3 Energetické hladiny 1 a 2, jejich střední doby života TI a TI a možné
přechody. Čerpáním vzrůstá hustota obsazení hladiny 2 s rychlostí /?2, zatímco hustota
obsazení hladiny 1 klesá s rychlost! R\.
532
LASEROVÉ ZESILOVAČE
obsazení, tj. velká kladná hodnota A/o- Z rovnice (13.2-4) je vidět, že toho lze
dosáhnout tím, že
• /?i a R2 budou velké,
• hodnota TJ bude velká (ale doba tsp, která přispívá k TI prostřednictvím T21, musí
být dostatečně krátká, aby byla velká rychlost zářivých přechodů, jak uvidíme
později),
• doba T\ bude krátká, pokud R\ <
{T2/T2\)R2-
Fyzikální význam těchto podmínek je zřejmý. Horní hladina by měla být silně
čerpaná a vyprazdňovat by se měla pomalu, takže bude mít tendenci zachovat své
obsazení. Spodní hladina by měla být silně odčerpávaná, takže její obsazení bude
rychle klesat. V ideálním případě je žádoucí, aby T21 ~ tsp -C T20, takže TI ~ tsp
a Ti <C tsp. Za těchto podmínek dostaneme zjednodušený výsledek
No « R2tsp + Rm.
(13.2-4a)
Nedochází-li k odčerpávání (R\ = 0), nebo když /?i < (tsp/Ti)R2,
jednodušší výsledek
Wo ~ R2tsp.
dostaneme ještě
(13.2-4b)
Cvičení 13.2-1
Optické čerpání. Předpokládejme, že R\ = 0 a R2 se uskutečňuje excitací
atomů ze základního stavu E = 0 na hladinu 2 při absorpci fotonů o frekvenci
E2/h s pravděpodobností přechodu W. Předpokládejme dále, že T2 ZS tsp
a TI <C tsp, takže ve stacionárním stavu je /Ví ~ 0 a NQ ~ /?2Ísp. Je-li Na
celkové obsazení hladin 0, 1 a 2, ukažte, že R2 ~ (No. — 2No)W a pro rozdíl
obsazení dostaneme No w NatspW/(l
+ 2tspW).
Rychlostní rovnice pro případ zesilovaného záření
Je-li přítomné záření s frekvencí blízkou rezonanční frekvenci UQ, může docházet
k přechodům mezi hladinami 1 a 2 a mohou se uplatňovat procesy stimulované
emise a absorpce. Tyto procesy probíhají s hustotou pravděpodobnosti {s~1) Wi =
= </x7(f) určenou vztahem (13.1-1), jak je znázorněné na obr. 13.2-4. Rychlostní
rovnice (13.2-2) a (13.2-3) musíme rozšířit o tyto členy popisující nárůst a pokles
obsazení obou hladin:
^!l
= R2 - ^1 - N2Wi + NxWi,
^L
= -
dť
dt
(13.2-5)
T2
R l
_ ÍÍL + «L + N2Wi
Ti
T21
- NlWl.
(13.2-6)
Hustota obsazení hladiny 2 klesá následkem stimulované emise z hladiny 2 na hladinu 1 a vzrůstá absorpcí z hladiny 1 na 2. Vliv spontánní emise je obsažený ve členu
s T I.
2
ČERPÁNÍ ZESILOVAČE
r21
I T}
l
533
I
r
t 20
Obrázek 13.2-4 Hustoty obsazení /Ví a /V2 (cm" 3 ) energetických hladin 1 a 2 atomů
jsou určené třemi procesy: deexcitací (s rychlostními konstantami 1/TJ a I/T2 — druhá
zahrnuje působení spontánní emise), čerpáním (s rychlostmi —/?i a R2) a absorpcí
a stimulovanou emisí (s hustotou pravděpodobnosti Wi).
Za stacionárních podmínek (dA/i/dč = dA/2/dť = 0) lze z rovnic (13.2-5)
a (13.2-6) snadno nalézt A/i a A/2 a tudíž i rozdíl obsazení N — A/2 — N\. Označíme-li
A/Q opět stacionární hodnotu inverzního obsazení v případě bez zesilovaného záření,
která je daná rovnicí (13.2-4), dostaneme
Stacionární inverzní
obsazení (s účastí
zesilovaného záření)
(13.2-7)
Saturační časová
konstanta
(13.2-8)
Charakteristická doba r, je vždy kladná, protože T-I < T21.
Pokud není přítomné zesilované záření, je W,: = 0 a z (13.2-7) dostaneme
očekávaný výsledek N = NQ. Protože T, je kladné, má stacionární rozdíl obsazení
v přítomnosti záření vždy menší absolutní hodnotu než v jeho nepřítomnosti, tj.
\N\ < \NQ\. Je-li záření dostatečně slabé, takže TSW,; <g 1 (přiblížení malého
signálu), můžeme brát N ~ A/o- Když záření sílí, tV; vzrůstá a N se blíží k nule
bez ohledu na počáteční znaménko A/o, jak ukazuje obr. 13.2-5. Je to způsobené
tím, že při velkých hodnotách VK jsou dominujícími interakcemi stimulovaná emise
Wi
Obrázek 13 2-5 Klesající závislost stacionárního rozdílu obsazení N = N2
toucí hustotě pravděpodobnosti absorpce a stimulované emise Wi. Když
dosahuje N poloviční hodnoty ve srovnání s hodnotou při W, = 0.
i na ros= 1/r,,
534
LASEROVÉ ZESILOVAČE
a absorpce se stejnými hustotami pravděpodobnosti. Je zřejmé, že dokonce ani
velmi silné záření nemůže přeměnit záporný rozdíl obsazení na kladný, nebo kladný
na záporný. Jak je vidět na obr. 13.2-5 má veličina TS význam saturační časové
konstanty.
Cvičení 13.2-2
Saturační časová konstanta. Ukažte, že při tsp <C r„ r (nezářivá část
střední doby T21 přechodu 2-1), tsp < T20 a současně tsp T\ je rs « tsp.
Nyní přistoupíme k rozboru konkrétních uspořádání hladin (čtyřhladinových
a tříhladinových systémů), která se v praxi užívají k dosažení inverzního obsazení.
Cílem takového uspořádání je využití excitačního procesu ke zvýšení počtu atomů
ve stavu 2, zatímco počet atomů ve stavu 1 se snižuje.
B.
Čtyřhladinové a tříhladinové schéma čerpání
Čtyřhladinové schéma čerpání
V tomto uspořádání, znázorněném na obr. 13.2-6, leží hladina 1 nad základním stavem
(kterému je přiřazena nulová energie a jehož hladina je označená 0). Při tepelné
rovnováze a při splnění podmínky Fi » kT je obsazení hladiny 1 zanedbatelné.
Čerpání se uskutečňuje prostřednictvím hladiny (nebo více energetických hladin)
nad hladinou 2, kterou označíme 3. Střední doba přechodu 3-2 je krátká (hladina 3 se
rychle vyprazdňuje), takže hladina 3 je málo obsazená. Z důvodů, které se objasňují
v úloze 13.2-1, je hladina 2 čerpána přes hladinu 3 a ne přímo. Hladina 2 má
dlouhou dobu života, takže se na ní akumuluje obsazení, zatímco hladina 1 má dobu
života krátkou, takže její obsazení je malé. Do celého procesu jsou zapojené čtyři
energetické hladiny a rozhodující optická interakce nastává pouze mezi dvěma z nich
(mezi hladinami 1 a 2).
Hladina s krátkou
dobou života
Rychlé přechody j
2
Hladina s dlouhou
2 dobou života
*
r
Laserový přechod
.erpani
w
i
Rychlé přechody
T
I i
Hladina s krátkou
dobou života
Základní stav
Obrázek 13.2-6 Energetické hladiny, jejich doby života a přechody mezi nimi ve čtyřhladinovém systému.
ČERPÁNÍ ZESILOVAČE
535
Vnějším zdrojem energie (tj. fotonů s frekvencí Ez/h) jsou atomy čerpány
z hladiny 0 na hladinu 3 rychlostí R. Je-li rychlostní konstanta přechodu z hladiny 3
na 2 dostatečně velká, můžeme přechod považovat za okamžitý a v tom případě bude
čerpání hladiny 3 ekvivalentní čerpání hladiny 2 s rychlostí R2 = R. Při uvažovaném
uspořádání hladin nedochází žádným způsobem k čerpání na hladinu 1 nebo z této
hladiny, takže Rj = 0. V této situaci můžeme použít schéma znázorněné na obr. 13.2-4
a rovnice (13.2-7) a (13.2-8). V nepřítomnosti zesilovaného záření (Wi = <f> = 0) je
stacionární inverze daná vztahem (13.2-4) s R\ = 0, tj.
A/o = RT2 (l - —) .
T
V
2i/
(13.2-9)
Ve většině čtyrhladinových systémů je nezářivá složka přechodu mezi hladinami 2 a 1
zanedbatelná (tsp 3> TnT) a T2Q ^> tsp ~^> T\ (viz cvičení 13.2-2), takže
A/o ~ Rtsp,
(13.2-10)
r. « tsp
(13.2-11)
a tudíž
N»Rta-p/(l
+ tapWi).
(13.2-12)
Při odvození jsme mlčky předpokládali, že čerpací rychlost R je nezávislá
na rozdílu obsazení N = A/2 — Ni. To však přesně neplatí, protože hustoty obsazení
základního stavu Ng a 3. hladiny A/3 závisí na Ni a A/2 vztahem
Ní/ + Ni + N2 + N3 = Na,
(13.2-13)
přičemž celková koncentrace atomů Na je konstantní. Jestliže se uskutečňuje čerpání
přechodem mezi základním stavem a hladinou 3 s pravděpodobností přechodu W,
potom R = (Ng — A/3) W. Jestliže dále hladiny 1 a 3 mají velmi krátké doby života
(A/i w A/3 w 0), potom Ng + N2~ Na, takže Ng « Na - N2 « Na - N.
Za těchto podmínek lze čerpací rychlost aproximovat vztahem
R»{Na-N)W.
(13.2-14)
Je zřejmé, že čerpací rychlost je lineárně klesající funkcí rozdílu obsazení N a jasně
na něm není nezávislá. Po dosazení R = (Na — N) W do (13.2-12) a po následné úpravě
dostaneme
tapNaW
.,
N
j
,.„, ň
(13215)
Konečně můžeme přepsat výraz pro inverzní obsazení v obvyklém tvaru (13.2-7), tj.
No
N
=
l+T„Wi'
536
LASEROVÉ ZESILOVAČE
avšak A/o a TS budou nyní určeny rovnicemi
A/o
tspNaW
(13.2-16)
i + tspw
(13.2-17)
místo rovnic (13.2-10) a (13.2-11). Při slabém čerpání (W < l/í s p ) je No ~ tspNaW
úměrné W (hustotě pravděpodobnosti čerpacího přechodu) a r s =s t s p , což vede
k výsledkům získaným dříve. Když však čerpání vzrůstá, dochází k saturaci A/o a r s
klesá.
Tříhladinové schéma čerpání
Na rozdíl od předchozího systému je při tříhladinovém uspořádání základní stav
(Ei = 0) současně dolní hladinou laserového přechodu, jak znázorňuje obr. 13.2-7.
Opět se účastní pomocná třetí hladina (označená 3). Rychlostní konstanta přechodu 3-2 je velká, takže nedochází k podstatnému obsazení hladiny 3. Přechod 3-1 je
pomalý (tj. T32 <C T31), takže čerpací proces vede ke zvýšení obsazení horní laserové hladiny. Hladina 2 má dlouhou dobu života, takže její obsazení roste. Atomy jsou
čerpané z hladiny 1 na hladinu 3 (např. absorpcí záření o frekvenci E3//1) rychlostí /?;
rychlý (nezářivý) přechod na hladinu 2 má za následek, že čerpací rychlost R2 = RNení obtížné si uvědomit, že při rychlém přechodu 3-2 je tříhladinový systém
znázorněný na obr. 13.2-7 speciálním případem systému na obr. 13.2-4 (předpokládá
se, že R nezávisí na A/) s parametry
R\
==
R2
=
n = 00,
1"2 = T 2 1 .
Abychom se vyhnuli algebraickým problémům, které vznikají při dosazení T\ — 00,
nedosadíme tyto konkrétní hodnoty do vztahů (13.2-7) a (13.2-8), ale vrátíme se
Rychlé přechody | 7 3 2
R
Čerpání
2
Laserový
přechod
*
Hladina s krátkou
dobou života
Hladina s dlouhou
dobou života
.Základní stav
Obrázek 13.2-7
Energické hladiny a přechody v tříhladinovém systému.
ČERPÁNÍ ZESILOVAČE
537
k původním rychlostním rovnicím (13.2-5) a (13.2-6). Za stacionárních podmínek
vedou obě rovnice (13.2-5) a (13.2-6) k jediné rovnici
0= R
No
T21
- N2Wf + N^Wi.
(13.2-18)
Z jedné rovnice není možné určit současně A/i a N2. Známe-li však celkovou
koncentraci atomů Na v systému (na hladinách 1,2 a 3), máme pomocnou podmínku,
která nám umožní určit A/i a A/2. Jelikož T32 je velmi krátká doba, zůstává stacionární
obsazení hladiny 3 zanedbatelně malé; všechny atomy, které se na tuto hladinu
dostanou přecházejí téměř okamžitě na hladinu 2. Za těchto okolností je
A/j + N2 = Na
(13.2-19)
a tento vztah nám umožní řešit (13.2-18) pro A/i a A/2 a následně spočítat rozdíl
obsazení N = A/2 — A/j a saturační dobu r,. Výsledek lze psát v obvyklém tvaru
(13.2-7), N = A/0/(l + T„WÍ), přičemž nyní platí
A/o = 2RT 2 I - Na,
(13.2-20)
(13.2-21)
Jsou-li zanedbatelné nezářivé přechody z hladiny 2 na 1 (tsp
nahradit dobou tsp a dostaneme tak
<C rnr),
můžeme T2\
A/o « 2/?ísp - A/o,
(13.2-22)
r, « 2í s p .
(13.2-23)
Připomeňme, že pro čtyřhladinové schéma čerpání je T, w tsp
[viz (13.2-11)].
Je zajímavé srovnat tyto vztahy s analogickými výsledky (13.2-10) a (13.2-11)
pro čtyřhladinové schéma čerpání. Dosažení inverzního obsazení (A/ > 0 a tudíž
A/o > 0) ve tříhladinovém systému vyžaduje čerpací rychlost R > A/a/2ísp. Aby bylo
dosaženo hustoty obsazení N2 právě rovné hustotě A/i (tj. A/o = 0), je zapotřebí značná
hustota čerpacího výkonu EzNa/2tsí,. Přirozenou překážkou dosažení inverzní populace ve tříhladinovém systému je velké obsazení základního stavu (který je současně
spodní hladinou laserového přechodu) proti čtyřhladinovému systému (ve kterém je
hladina 1 obvykle prázdná).
Při analýze tříhladinového systému vezmeme v úvahu závislost čerpací rychlosti
R na rozdílu obsazení N, když vyjádříme R = (A/j — A/3) W a uvědomíme si, že A/3 ss 0
a A/i = |(A/a — A/), z čehož plyne R w |(A/a — N)W. Po dosazení do základní rovnice
N = (2/?í„p - A/o.)/(l + 2tspWi) a úpravě dostaneme
1 + r,
538
LASEROVÉ ZESILOVAČE
nyní však s NQ daným vztahem
- 1)
1+ť.p W
Na(tspW
IVo —
Ts
2tsp
l + tsp
(13.2-24)
(13.2-25)
Znamená to, že stejně jako u čtyřhladinového schématu čerpám jsou Wo a TS obecně
nelineárními funkcemi hustoty pravděpodobnosti W čerpacího přechodu.
Cvičení 13.2-3
Čerpací výkon ve tříhladinovém a čtyřhladinovém systému
a) Určete velikost hustoty pravděpodobnosti čerpacího přechodu W nutnou k dosažení nulového rozdílu obsazení v tříhladinovém a čtyřhladinovém laserovém zesilovači.
b) Ukažte, že při pravděpodobnosti W = 2/tsp v tříhladinovém systému
a W = l/2í s p ve čtyřhladinovém je Wo = A/a/3. Porovnejte čerpací
výkony potřebné k dosažení takovéhoto obsazení.
Příklady způsobů čerpání
Jak jsme již uvedli, čerpat lze různými metodami včetně elektrické, optické a chemické. Několik základních způsobů elektrického a optického čerpání je schematicky
znázorněno na obr. 13.2-8.
Je důležité si uvědomit, že /?i a /?2 představují počet atomů skutečně načerpaných v jednotkovém objemu za jednotku času. Obecně není čerpací proces dokonale
účinný. Např. při optickém čerpání jsou některé z fotonů dodávaných čerpacím systémem nevyužité pro čerpání atomů na horní laserovou hladinu a jsou tudíž ztracené.
C. Příklady laserových zesilovačů
K laserovému zesilování může docházet v mnoha různých materiálech. Diagramy
energetických hladin některých atomů, molekul a pevných látek, se kterými pracují
lasery, byly uvedené v odst. 12.1A. Reálné laserové systémy obvykle obsahují mnoho
interagujících energetických hladin, které ovlivňují obsazení N\ a A/2 hladin účastných
na laserovém přechodu, jak znázorňuje obr. 13.2-2. Nicméně hlavní principy činnosti
laserových zesilovačů lze pochopit na základě klasifikace laserů na tříhladinové
a čtyřhladinové systémy.
Tento přístup uplatníme při diskusi tří pevnolátkových laserových zesilovačů:
tříhladinového rubínového laserového zesilovače, čtyřhladinového laserového zesilovače s yttrito-hlinitým granátem dotovaným neodymem a tříhladinového laserového
ČERPÁNÍ ZESILOVAČE
Katoda
i
11
(a)
Plyn
/
1
š
Anoda
A
(b)
\
Výbrus z aktivního
materiálu,
/
Id)
Laserová
dioda
Čočka
539
/
Plyn
/
^
\
Výbojka
Čočka
Laserová
dioda
Vlákno z taveného křemene
3
Výbrus z Nd +:YAG
3+
dotované E r
Obrázek 13.2-8 Příklady elektrického a optického čerpání, (a) K čeipáni plynových
laserů se často užívá stejnosměrný proud. Proud může procházet buď ve směru osy
laseru a způsobovat při tom podélný výboj nebo v příčném směru. Druhé uspořádání
je obvyklé u vysokotlakých impulsních laserů, jako je příčně excitovaný laser s CO2
pracující při atmosférickém tlaku [TEA (transversely excited atmospheric) CO2 laser].
(6) K čerpání plynových laserů se využívá také radiofrekvenční výboj, (c) Rubínový laser
a pevnolátkové lasery s ionty vzácných zemin lze účinně čerpat impulsními výbojkami.
(d) Laser Nd "*":YAG nebo laser s vláknem z taveného křemene dotovaného Er3"^ lze
opticky čerpat polovodičovým diodovým laserem (nebo maticí laserových diod).
zesilovače s křemenným vláknem dotovaným erbiem. Ačkoliv nejvíce laserových zesilovačů a oscilátorů pracuje na bázi čtyřliladinového schématu čerpání, dvěma pozoruhodnými výjimkami jsou rubín a křemenné vlákno dotované Er 3 + . Na konci tohoto
odstavce si krátce ukážeme, že laserového zesilování lze dosáhnout rovněž v plynových laserech a v kapalinových laserech. Všechny laserové zesilovače, které
budeme probírat, pracují také jako laserové oscilátory (viz odst. 14.2E).
Rubín
Rubín (Cr3+:Al2C>3) je safír (AI2O3), v němž je malá část iontů hliníku nahrazena ionty chrómu Cr 3 + (viz odst. 12.1A). Stejně jako většina jiných materiálů může
laserovat (tj.docházet k zesilování nebo generování laserového záření) na několika
různých přechodech. Energetické hladiny, které se uplatňují při nejznámějším laserovém přechodu v rubínu, jsou znázorněné na obr. 13.2-9 (hladiny jsou označené
podle pravidel grupové teorie). Právě v rubínu bylo poprvé pozorované generování
laserového záření. V rubínu se uplatňuje v podstatě tříhladinový systém, ve kterém
hladina 1 odpovídá základnímu stavu, hladina 2 je tvořená dvojicí těsně vedle sebe
ležících diskrétních hladin (z nižší hladiny nastává laserový přechod s vlnovou délkou
A = 694,3 nm v červené oblasti spektra) a třetí hladina zahrnuje dva pásy energií
okolo 550 nm (zelená) a 400 nm (fialová). Právě tyto absorpční pásy mají za následek
růžové zabarvení rubínu.
Látku lze opticky čerpat z hladiny 1 na hladinu 3 tak, že rubínový výbrus umístíme do osy šroubovicové výbojky nebo ji vložíme spolu s lineární výbojkou do od-
540
LASEROVÉ ZESILOVAČE
eV
RUBÍN
- 4
_- 3
••
\T
32
- 2
i
Čerpání
1
6 9 4 3 n
,
m
Laserový —
přechod
01
Obrázek 13.2-9 Energetické hladiny, které se uplatňují v rubínu při laserovém přechodu
o vlnové délce 694,3 nm v červené oblasti spektra.
razného válce s eliptickou základnou, jak znázorňuje obr. 13.2-10. Výbojka emituje
záření v širokém pásu spektra, část záření je absorbovaná a má za následek excitaci
iontů Cr 3 + na hladinu 3. Širokopásmový charakter hladiny 3 je výhodný, protože je
absorbována maximální část světla výbojky. Excitované ionty Cr 3 + přecházejí rychle
z hladiny 3 na hladinu 2 (T32 je řádu pikosekund), zatímco střední doba spontánního
přechodu 2-1 je relativně velká (tsp ~ 3 ms) v souladu s požadavky schématu
na obr. 13.2-7. Nezářivé přechody jsou zanedbatelné (T21 ~ tsp). Přechod má
Rubínový
výbrus
Výbojka
Výbojka
Vstupní
fotony
Rubínový výbrus
Eliptické válcové zrcadlo
Zdroj
(a)
(b)
Obrázek 13.2-10 Rubínový laserový zesilovač, (a) Geometrické uspořádání prvního
laserového generátoru realizovaného Maimanem v roce 1960 (viz kap. 14). (b) Schéma
velmi účinného uspořádání s lineární výbojkou a s válcovým eliptickým reflektorem.
ČERPÁNÍ ZESILOVAČE
541
homogenně rozšířený spektrální profil s šířkou Au = 60 GHz; rozšíření je způsobené
převážně interakcí (elastickými srážkami) s mřížkovými fonony.
V komerčně dostupných rubínových laserových zesilovačích se užívají výbrusy
typické délky 5 až 20 cm. V impulsním režimu mohou dávat zisk signálu nízké
úrovně okolo 20. Vlastnosti typického rubínového laserového generátoru jsou uvedené
v tab. 14.2-1.
Nd3+:YAGa Nd3+:sklo
Široce užívaný čtyřhladinový laserový zesilovač pracující v blízké infračervené oblasti využívá neodymu substitučně zabudovaného ve formě iontu v krystalu yttritohlinitého granátu (Nd.TY3_xAl5Oi2, obvykle se užívá zkrácený zápis Nd3+:YAG).
Krystal má bleděfialové zabarvení. Energetické hladiny významné pro přechod o vlnové délce Ao = 1,064 /wn jsou na obr. 13.2-11; je použité spektroskopické značení hladin. Hladina 1 má energii « 0,2 eV nad základním stavem. Tato energie je podstatně
větší než k^T w 0,026 eV při pokojové teplotě, takže tepelné obsazení dolní hladiny
laserového přechodu je zanedbatelné. Hladina 3 je souborem čtyř zhruba 30 nm širokých absorpčních pásů ležících u 810, 750, 585 a 525 nm. Přechod 2-1 je homogenně
rozšířený (následkem interakce s mřížkovými fonony) s šířkou pásu A.v « 120 GHz
při pokojové teplotě. Excitované ionty rychle přecházejí z hladiny 3 na hladinu 2
(T32 ~ 100 ns), střední doba spontánní emise tsp — 0,2 ms a doba T\ je velmi krátká
(« 30 ns); jsou tak splněné požadavky čtyřhladinového schématu na obr. 13.2-6. Zisk
je podstatně větší než u rubínu, protože se jedná o čtyřhladinový systém.
Nd 3 + : YAG je možné opticky čerpat přímo na horní hladinu laserového přechodu;
účinný laser s takovýmto schématem čerpání byl realizovaný nedávno: je čerpaný
polovodičovým diodovým laserem [viz obr. 13.2-8(d)].
Nd3+:YAG
eV
v
<u
c
_erpam
Obrázek 13.2-11 Energetické hladiny významné pro laserový přechod s vlnovou délkou
1,064/im v Nd^^YAG. Rozložení energetických hladin Nd + :sklo je podobné, ale
absorpční pásy jsou širší.
542
LASEROVÉ ZESILOVAČE
Charaktristické vlastnosti laserového zesilovače s neodymem ve skle (Nd3+:sklo)
jsou velmi podobné Nd3+:YAG s významným rozdílem, kterým je nehomogenní rozšíření pásů; je způsobené amorfní podstatou skla, která se projevuje různým uspořádáním bezprostředního okolí jednotlivých iontů neodymu. Nd3+:sklo má tudíž daleko
větší šířku pásu při pokojové teplotě Au ss 3000 GHz, což je žádoucí v případě modově synchronizovaných impulsních laserů (viz kap. 14). Zesilovače s Nd3+:sklo lze
vyrábět ve velmi velkých rozměrech a široce se využívají při experimentech s jadernou syntézou (např. desetisvazkový laserový systém NOVA v Lawrence Livermore
National Laboratory v Kalifornii v USA, který dává 105 J v impulsu délky 1 ns nebo systém GEKKO na univerzitě v Osace v Japonsku). Charakteristiky typických
laserových generátorů s Nd3+:YAG a s Nd3+:sklo jsou uvedené v tab. 14.2-1.
: křemenné vlákno
Velmi užitečným laserovým zesilujícím prostředím jsou křemenná vlákna dotovaná
vzácnými zeminami, která využívají předností jednomodové vlnovodné optiky (viz
kap. 7 a 8). Je důležité, že vykazují polarizačně nezávislý zisk a nízké vlastní ztráty.
Jádro křemenného vlákna lze dotovat kterýmkoliv z řady iontů vzácných zemin
(např. Nd, Er, Yb, Pr, Sm). Čerpání probíhá při šíření světla z laseru (např. světla
z polovodičového diodového laseru, barvivového laseru, laseru s barevnými centry,
laseru Ti3+:Al2C>3 nebo z iontového laseru Ar + ) vláknem [viz obr. 13.2-8(d)]. Lze
vyrobit vláknové laserové zesilovače pracující v širokém oboru vlnových délek (např.
na vlnových délkách 1,3 /zm; 1,55//m; 2 až 3/zm).
Křemenná vlákna s Er 3 + mají široký laserový přechod (Au ~ 4000 GHz) blízko
A = 1,55 /ím, což koinciduje s oblastí maximální propustnosti křemenných vláken (viz
obr. 8.3-2). Pro svůj vysoký zisk jsou erbiem dotovaná křemenná vlákna nadějným
materiálem pro optické zesilovače a opakovače v optických vláknových komunikačních
systémech. V jedné z konfigurací čerpá polovodičový laser na vlnové délce 807 nm
vlákno SiO2:GeO2 délky lni (typické jsou délky vláken od 0,5m do 10m) dotované
erbiem v koncentraci ss 500 ppm (parts per million). Čerpání na uvedené vlnové délce,
stejně jako na 980 nm, je výhodné, protože právě zde leží silné čerpací pásy Er 3 + .
Avšak čerpání na 807 nm vede k nežádoucí absorpci excitovanými stavy. Místo toho
lze laserový přechod čerpat přímo na vlnové délce 1,48/xm zářením polovodičového
laseru InGaAsP a k absorpci z excitovaných stavů nedochází. Účinné zesilování záření
je možné následkem frekvenčního posunutí mezifluorescenčníma absorpčním pásem
tohoto přechodu. Běžně se dosahuje zisků okolo 30 dB při čerpacím výkonu ~ 5 mW
(z diodového laseru, který pracuje na vlnové délce 980 nm nebo 1,48 /trn) do zhruba
50 m dlouhého vlákna obsahujícího « 300 ppm Er2O3. Lze dosáhnout šířky optického
pásma ~ 30 nm, případně větší šířky při sníženém zisku.
Systémy s křemenným vláknem dotovaným Er 3 + se chovají při T — 300 K jako
tříhladinový laser a chlazené na T = 77 K jako čtyřhladinový laser. Rozšíření spektrálních pásů je směsí rozšíření homogenního (způsobeného fonony) a nehomogenního
(pocházejícího od rozdílných lokálních polí ve skle).
Další laserové zesilovače
V tab. 13.2-1 jsou uvedené účinné průřezy přechodů, střední doby spontánní emise,
spektrální šířky přechodů a indexy lomu pro několik laserových přechodů. V tabulce
NELINEARITA A SATURACE ZISKU V ZESILOVAČI
543
Tabulka 13.2-1 Typické hodnoty parametrů důležitých laserových přechodů
Laserové prostředí
Vlnová
délka
přechodu
\0
(/im)
Účinný
průřez
přechodu
(TQ (cm 2 )
Střední
doba
spontánní
emise tSp
He-Ne
Rubín
Nd3+:YAG
Nd 3 +:sklo
Er3"*": křemenné vlákno
Rhodamin 6G
Ti 3 +:A1 2 O 3
CO2
Ar+
0,6328
0,6943
1,064
1,06
1,55
0,56-0,64
0,66-1,18
10,6
0,515
1 •1 0 - 1 3
0,7 ya
3,0 ms
2- 10 -20
4- 10-19
0,2 ms
0,3 ms
3- 1Q-2O
21
10,0 ms
6- 103,3 ns
2- 10-16
3- 10-19
3,2 MS
• 2,9 s
3- 1 0 -18
12
10,0 ns
3- 1 0 -
Spektrální
šířka
přechodu^
A;/
1,5 GHz N
60GHz H
120 GHz H
3THz N
4THz H/N
5THz H/N
100 THz H
60MHz N
3,5 GHz N
Index
lomu n
ss 1
1,76
1,82
1,5
1,46
1,33
1,76
ss 1
~ !
f Symboly H a N označují, zda dominující mechanismus rozšíření je homogenní nebo nehomogenní.
uvedená vlnová délka ve vakuu Ao odpovídá nejvíce užívanému přechodu v každém
z aktivních prostředí. Např. laserový systém s plynovou náplní He-Ne obvykle pracuje
na červenooranžové čáře 0,633 /an, široce užívané však jsou také přechody na vlnových
délkách 0,543; 1,15 a 3,39/xm (tento systém vykazuje laserové přechody na několika
stovkách dalších vlnových délek). Plyn CO2 se obvykle užívá jako aktivní prostředí laserového zesilovače ve střední infračervené oblasti spektra. Hodnoty uváděné
v tabulce jsou charakteristické pro plynové náplně s nízkým tlakem (šířka spektrální
čáry atomu v plynu závisí na tlaku následkem srážek, které vedou k homogennímu
rozšíření čáry).
Laditelný barvivový laser s rhodaminem 6G, který je obvykle čerpaný argonovým
laserem, dává zisk ve spojitém frekvenčním pásmu od vlnové délky 560 nm do 640 nm.
Další barviva pokrývají jiné spektrální intervaly. Barvivové laserové zesilovače nacházejí využití v mnoha aplikacích a jsou vhodné pro zesilování femtosekundových optických impulsů. Laser Ti3+:Al2C>3 je laditelný v ještě širším intervalu vlnových délek
než barvivový laser s rhodaminem 6G a přitom pracuje daleko snadněji. K zesilování se také často užívají laserové systémy s volnými elektrony. Polovodičové laserové
zesilovače jsou diskutované v kap. 16.
13.3
A.
NELINEARITA A SATURACE ZISKU V ZESILOVAČI
Koeficient zesílení
Odvodili jsme již, že koeficient zesílení 7(1/) aktivního prostředí závisí na rozdílu
obsazení N [viz (13.1-4)], že N závisí na rychlosti přechodu Wi [viz (13.2-7)] a že
Wi dále závisí na hustotě fotonového toku záření <j> [viz (13.1-1)]. Z toho vyplývá,
že koeficient zesílení aktivního prostředí závisí na hustotě fotonového toku, který má
být zesilovaný. To je podstatou saturace zesílení a nelineárního chování laserového
zesilovače, jak si ukážeme dále.
544
LASEROVÉ ZESILOVAČE
Dosazením (13.1-1) do (13.2-7) dostaneme pro závislost rozdílu obsazení N
na hustotě fotonového toku <j> vztah
N =
No
(13.3-1)
ve kterém
Hustota saturačního
toku fotonů
(13.3-2)
Dosadíme-li nyní (13.3-1) do výrazu pro koeficient zesílení (13.1-4), dostaneme přímo
vztah pro saturovaný koeficient zesílení prostředí s homogenním rozšířením:
Saturovaný
koeficient zesílení
(13.3-3)
kde
Koeficient zesílení
malého signálu
(13.3-4)
Koeficient zesílení je klesající funkcí hustoty fotonového toku <f>, jak znázorňuje
obr. 13.3-1. Veličina <t>s{v) — l/rsa(u) představuje hustotu fotonového toku, při které
klesne koeficient zesílení na polovinu své maximální hodnoty; proto se nazývá
hustota saturačního toku fotonů. Když T S ~ t„p, je interpretace </>„(&) prostá:
přibližně jeden foton může být emitován během každé střední doby spontánní emise
do každé plochy o velikosti účinného průřezu přechodu [cr{u)<fis{y)tSp = 1].
Obrázek 13.3-1 Závislost normovaného saturovaného koeficientu zesílení 7(i/)/7o(i')
na normované fotonové hustotě <£/$..,. Když se rovná <j> saturační hodnotě <^.H(^), je
koeficient zesílení právě poloviční.
NELINEARITA A SATURACE ZISKU V ZESILOVAČI
545
Cvičení 13.3-1
Hustota saturačního toku fotonů v rubínu.
Spočítejte hustotu saturačního toku fotonů a odpovídající saturačni optickou intenzitu pro laserový
přechod Ao = 694,3 nm v rubínu pro v = VQ. Použijte hodnoty parametrů
z tab. 13.2-1 na str. 543. V souladu s (13.2-23) předpokládejte, že T, a 2tsp.
Cvičení 13.3-2
Spektrální rozšíření pásma saturovaného zesilovače.
Uvažujte homogenně rozšířené zesilující prostředí s lorentzovským tvarem spektrální čáry šířky Aw [viz (13.1-8)]. Ukažte, že při hustotě fotonového toku <j> má průběh
koeficientu zesílení i {v) zesilovače lorentzovský tvar se šířkou
Šířka pásma
saturovaného
zesilovače
(13.3-5)
Saturace zesílení je tedy provázena zvětšením šířky pásma (tzn. snížením
frekvenční selektivity), jak znázorňuje obr. 13.3-2.
Koeficient
zesílení
Saturovaný
koeficient
zesílení
Obrázek 13.3-2 Zmenšení koeficientu zesílení a zvětšení šířky pásma následkem saturace při (j> = 2<j>?(I/Q).
B.
Zisk
Když známe vliv saturace na koeficient zesílení (zisk na jednotku délky), můžeme
odvodit celkový zisk laserového zesilovače délky d s homogenním rozšířením. Pro
jednoduchost nebudeme uvažovat závislosti 7(f) a <j>s{v) na frekvenci a použijeme
pro ně označení 7 a <j>„.
546
LASEROVÉ ZESILOVAČE
Je-li ve vzdálenosti z hustota toku fotonů 4>{z), je koeficient zesílení podle
(13.3-3) rovněž funkcí z. "L rovnice (13.1-3) víme, že infinitezimální zvětšení hustoty
fotonového toku ve vzdálenosti z je d0 = 70d2, což vede k diferenciální rovnici
* t
=
™ t .
(13
.3-6)
Přepíšeme-li tuto rovnici ve tvaru (1/0 + l/0 s )d0 = 7odz, dostaneme její integrací
7 o z
Vztah mezi vstupní hustotou fotonového toku 0(0) a výstupní hustotou <j>(d) je tedy
dán rovnicí
[ln(Y) + Y] = [\n(X) + X] + 7orf,
(13.3-8)
ve které X = 0(O)/0S je vstupní a Y = <j>(d)/4>s výstupní hustota fotonového toku,
obě normované na hustotu saturačního toku fotonů.
Budeme se zabývat řešením pro zisk G — 0(c/)/0(O) = Y/X ve dvou limitních
případech:
• Když veličiny X a.Y jsou obě mnohem menší než jedna (tj. hustoty fotonových
toků jsou mnohem menší než hustoty saturačních toků), potom X a Y jsou
zanedbatelné ve srovnání s ln(X) a ln(y), takže dostaneme aproximativní vztah
ln(Y) « ln(X) + 70c/, ze kterého plyne
y Kjjfexpdotf)-
(13.3-9)
V tom případě je vztah mezi Y a X lineární se ziskem G = Y/X w exp(7oc/).
Tento výsledek se shoduje s výsledkem (13.1-7) získaným v aproximaci malého
signálu, která je oprávněná pokud koeficient zesílení nezávisí na hustotě fotonového toku, tj. 7 « 7o• Když X > 1 , můžeme zanedbat ln(^) ve srovnání s X a ln(Y) proti Y, načež
neboli
4>(d) w 0(0) + 7o0sd « 0(0) + — .
(13.3-10)
Při vysokém stupni saturace jsou atomy prostředí zcela „zaměstnané" emitováním konstantního fotonového toku Nod/rs. Vstupní fotony tedy prostě projdou
zesilovačem a na výstupu je jejich tok zvětšený o konstantní hodnotu hustoty
fotonového toku, která nezávisí na velikosti toku vstupujícího do zesilovače.
Pro hodnoty X a Y mezi oběma krajními hodnotami je nutné řešit rovnici
(13.3-8) numericky. Na obr. 13.3-3(6) je takové řešení znázorněné plnou čárou.
NELINEARITA A SATURACE ZISKU V ZESILOVAČI
547
Lineární závislost výstupního signálu na vstupním, která platí pro X <C 1, a vztah
pro saturovaný režim při X > 1 jsou očividně limitními případy numerického řešení.
Na obr. 13.3-3(c) je vynesen průběh zisku G = Y/X. Ten dosahuje maximální
hodnoty exp(jod) pro malé hodnoty vstupní hustoty fotonového toku (X -C 1) a klesá
k jedné, když X —• oo.
Saturovatelná absorpční prostředí
Je-li koeficient zesílení 70 záporný, tj. při obvyklém a'nikoliv invertovaném obsazení (A/o < 0), dochází v prostředí k zeslabování a nikoliv k zesilování záření.
Koeficient útlumu a(v) = —*i(y) rovněž vykazuje saturaci podle vztahu ot{y) =
= OIQ(V)I[\ + (j>/(f)s{u)}. Znamená to, že při větších hodnotách hustoty fotonového
toku je absorpce menší. Látky s touto vlastností se nazývají saturovatelne absor-
béry.
Vztah mezi výstupní hustotou fotonového toku <f>(d) a vstupní hustotou 0(0)
absorbéru délky d je dán rovnicí (13.3-8) se záporným 70- Výsledná propustnost
absorbéru Y/X = cf>(d)/<fi(Q) v závislosti na X = ip(O)/(ps je znázorněná plnou křivkou
Zesilovač
Výstup
Vstup
to)
12 -
' Y
8 -- 1
1
- 1
1
-1
]/
Y
= X
l
,
1 ^
2
4
6
Vstup X = <f>{O)/<t>s
0.01
I
J_
0.1
1
Vstup <p(0)/<ps
10
(b)
Obrázek 13.3-3 (a) Nelineární (saturovatelný) zesilovač, (b) Vztah mezi normovanou
výstupní hustotou fotonového toku Y = <j>(d)/rj>., a normovanou vstupní hustotou
fotonového toku X = 4>(0)/tj>„. Pro X « 1 je zisk Y/X =5 exp(7Ocí). Pro X » 1 je
Y =; X + 7oť- (c) Zisk vynesený jako funkce normované vstupní hustoty fotonového
toku X pro zesilovač délky d, když 70^ — 2.
548
LASEROVÉ ZESILOVAČE
na obr. 13.3-4. S rostoucím 0(0) vzrůstá propustnost a v limitě se blíží mezní hodnotě
jedna. Tento jev nastává následkem toho, že rozdíl obsazení N —* 0, takže výsledkem
je nulová celková absorpce.
*C.
Zesílení zesilovačů s nehomogenním rozšířením přechodu
Prostředí s nehomogenním rozšířením spektrálních čar je tvořené souborem atomů
rozdílných vlastností. Tímto problémem jsme se zabývali v odst. 12.2D. Podsoubor
atomů označený /? má homogenně rozšířenou spektrální čáru s průběhem popsaným
funkcí gp(v)- Funkce celkového spektrálního průběhu prostředí s nehomogenním rozšířením je popsaná funkcí g{v) = (gp{v)} a je výsledkem středování (•) přes všechny
podsoubory /3.
Protože koeficient zesílení malého signálu 7o(^) je úměrný g(v), jak je vidět
/
z (13.3-4), mají různé podsoubory /? atomů různé koeficienty zesílení 7o#(i )- Střední
koeficient zesílení malého signálu je tudíž
7o
= No
A
2
(13.3-11)
87TÍ,,
Odvodit vztah pro saturovaný koeficient zesílení je mnohem záludnější úlohou.
Protože však saturační hustota fotonového toku 4>s(v) je podle (13.3-2) nepřímo úměrná g{v), musí sama záviset na tom, o jaký podsoubor 0 atomů se jedná. Střední koeficient zesílení můžeme definovat prostřednictvím rovnic (13.3-3) a (13.3-2) vztahem
(13.3-12)
ve kterém
(13.3-13)
Saturovatelné
absorbční prostředí
Vstupní
fotony
Výstupní
fotony
Vstup X
= 4>(0)/4>s
Obrázek 13.3-4 Závislost propustnosti Y/X = <p{d)/ip(U) siUuiovaU-luéhu ab.vjrbihu
na normované hustotě fotonového toku X = tp(O)/(t>., pro hodnotu fod — —2. Propustnost
vzrůstá s rostoucí hustotou vstupního fotonového toku.
NELINEARITA A SATURACE ZISKU V ZESILOVAČI
2
549
2
a b = N0(X /8Trtsp), a? = {\ /8iv)(Ts/tsp). Výpočet střední hodnoty veličiny (13.3-13)
musíme provést pozorně, protože střední hodnota zlomku není rovna zlomku středních
hodnot.
Prostředí s dopplerovským rozšířením spektrální čáry
I když všechny atomy v dopplerovsky rozšířeném prostředí mají g(v) stejného tvaru,
je frekvence středu čáry podsouboru atomů (5 posunutá o hodnotu vp úměrnou složce
rychlosti vp do směru pozorování (taje pro všechny atomy podsouboru P stejná). Je-li
g(v) lorentzovská funkce s šířkou Av, je podle (13.1-8) g(v) = (Av/2-n)/\(v — VQ)2 +
+ (Au/2)2] a gi)(v) = g(u - vp). Dosazením gp{u) do (13.3-13) dostaneme
kde
Rovnice (13.3-15) byla odvozená ve cvičení 13.3-2 [viz (13.3-5)] pro saturovaný
zesilovač s homogenním rozšířením. Podsoubor atomů se složkou rychlosti vp zřejmě
má saturovaný koeficient zesílení 7/j(^) lorentzovského tvaru s šířkou AZA,, která
vzrůstá s rostoucí hustotou fotonového toku.
Středování veličin ifi(u) daných vztahem (13.3-12) můžeme provést, když si uvědomíme, že frekvenční posunutí vp se řídí Gaussovou rozdělovači funkcí p(v/)) =
= (27rff|))~1/'2exp(—Vp/2<j2D) s nulovou střední hodnotou a se směrodatnou odchylkou a č (viz cvičení 12.2-2). Potom *Í{V) = (7/j(^)) je dáno vztahem
7(")= í
HÁ^viv^Aup.
(13.3-17)
J — oc
Je-li rozdělení p(vp) mnohem širší než y/)(v) (tj. dopplerovské rozšíření je mnohem
větší než Ai/„), můžeme při výpočtu 7(1^0) během integrování pohlížet na širokou
funkci p(v/)} jako na konstantu. Po dosazení za v = v$ a vp = 0 do exponenciály
dostaneme vztah
ve kterém pro střední koeficient zesílení malého signálu 70 platí
7o = A / o ^ - ( 2 ^ ) " 1 / 2 .
(13.3-19)
550
LASEROVÉ ZESILOVAČE
Nehomogenní
rozšíření
Homogenní
rozšíření
10-2
10-1
Obrázek 13.3-5 Porovnání koeficientů zesílení prostředí s homogenním a nehomogenním
rozšířením spektrální čáry.
Rovnice (13.3-18) vyjadřuje střední saturovaný koeficient zesílení prostředí s dopplerovským rozšířením na frekvenci středu čáry v = v$ jako funkci hustoty fotonového
toku <f>. Při saturaci je koeficient zesílení nepřímo úměrný druhé odmocnině toku <f>
Koeficient zesílení prostředí s nehomogenním rozšířením se tedy saturuje mnohem
pomaleji než koeficient zesílení prostředí s homogenním rozšířením [viz (13.3-3)], jak
znázorňuje obr. 13.3-5.
Vypalování spektrálních zářezů
Jestliže na prostředí s nehomogenním rozšířením čáry přechodu působí tok velké hustoty monochromatických fotonů o frekvenci v\, dochází k saturaci zesílení pouze pro
ty atomy, jejichž spektrální čáry se překrývají s frekvencí v\. Ostatní atomy s fotony
jednoduše neinteragují a zůstávají nesaturované. Jestliže saturované prostředí budeme zkoumat pomocí slabého zdroje monochromatického světla proměnné frekvence
v, objeví se v profilu koeficientu zesílení zářez v okolí frekvence v\, jak je znázorněné
na obr. 13.3-6. Tento jev je známý jako vypalování spektrálního zářezu (angl.
hole burning). Protože koeficient zesílení 7/3(1^) má Lorentzův tvar s šířkou Aws urče-
tu
u
Obrázek 13.3-6 Koeficient zesílení prostředí s nehomogenním rozšířením je lokálně
saturovaný velkou hustotou toku monochromatických fotonů o frekvenci v\.
ŠUM ZESILOVAČE
551
nou vztahem (13.3-15), bude i šířka zářezu Aus. S rostoucí hustotou toku saturujících
fotonů o frekvenci 1/1 se zvětšuje hloubka i šířka zářezu.
•13.4
ŠUM ZESILOVAČE
Rezonanční prostředí, ve kterém dochází k zesílení stimulovanou emisí, vyzařuje
světlo rovněž spontánní emisí. Světlo, které při tom vzniká, je nezávislé na záření
vstupujícím do zesilovače a je hlavním zdrojem šumu laserového zesilovače. Zatímco
zesilovaný signál má určitou frekvenci, směr a polarizaci, je šum způsobený zesílenou
spontánní emisí (ASE) širokopásmový, všesměrový a nepolarizovaný. Následkem
toho je možné odfiltrovat část tohoto šumu tím, že zesilovač na výstupu doplníme
úzkopásmovým optickým filtrem, omezující aperturou a polarizátorem.
Hustota pravděpodobnosti, že atom na horní laserové hladině spontánně emituje
za sekundu foton o frekvenci mezi v a v + dv je dána vztahem (viz cvičení 12.2-1)
(13.4-1)
P,P(y) dt/ = —g{v) dv.
Hustota pravděpodobnosti spontánní emise fotonu v celém frekvenčním oboru je
Psp = 1/íjp. Je-li /V2 hustota atomů na horní energetické hladině, je střední hustota
spontánně emitovaných fotonů za sekundu N2Psp(y). Střední výkon spontánní emise
činí na jednotku objemu a na jednotku frekvence hvN2Psp(v). Tato hustota výkonu
je vyzařována rovnoměrně do všech směrů a je stejně rozdělená mezi dva polarizační
stavy záření. Jestliže ze zesilovače vystupuje záření v prostorovém úhlu dfi (viz
obr. 13.4-1) a jenom jedné polarizace, obsahuje pouze část ^dfž/47r spontánně
emitovaného výkonu. Je-li navíc přijímač citlivý pouze na fotony uvnitř úzkého
frekvenčního pásu B okolo frekvence v zesilovaného signálu, je počet fotonů spontánní
emise z malého objemu o jednotkové ploše základny a délce dz, které se přičtou
Filtr a polarizátor
\
Vstupní
tok
fotonů
Výstupní
"(_
I
(j
»-tok
fotonů
S umový
tok
fotonů
Obrázek 13.4-1 Spontánní emise je zdrojem šumu zesilovače. Je vyzařovaná do všech
směrů, je nepolarizovaná a širokopásová. Pouze optické záření spadající do úzkého
spektrálního pásu, malého prostorového úhlu dfi a s určitou polarizací projde optickým
systémem zesilovače na jeho výstup.
552
LASEROVÉ ZESILOVAČE
k zesilovanému signálu, roven £íp(i/)dz a
£,sp(u) = N2—g(y)B—
(13.4-2)
je hustota šumového toku fotonů na jednotku délky.
Při výpočtu hustoty šumového toku fotonů z celého zesilovače je nesprávné
prostě vynásobit hustotu šumového toku fotonů na jednotku délky délkou zesilovače.
Spontánně emitovaný šum je sám laserovým prostředím zesilovaný; šum generovaný
blízko vstupní plochy zesilovače vede k většímu příspěvku než 'šum generovaný
v blízkosti výstupní plochy. Jedním způsobem umožňujícím započítat spontánně
emitovaný šum je nahradit diferenciální rovnici pro hustotu fotonového toku (13.1-3)
rovnicí
— = -y(i/)^> + £Sp(f)-
(13.4-3)
Rovnice (13.4-3) umožňuje vypočítat hustotu fotonového toku, který má původ
v zesilovaném signálu a ve spontánně emitovaných fotonech.
Cvičení 13.4-1
Zesílená spontánní emise (ASE — Amplified Spontaneous Emission)
a) Na základě rovnice (13.4-3) ukažte, že při nulovém vstupním signálu dostaneme na výstupu nesaturovaného zesilovače [y(v) ~ 7o(í/)]
délky d následkem spontánní emise hustotu fotonového toku 4>(d) =
= 0sp{exp[7o(i/)c/] - 1}, kde <psp = ŠspW/loi")b) Protože fsp(i^) i 7o('y) jsou úměrné g{v), je <j>„p nezávislé na g{y),
takže frekvenční závislost 4>{d) určuje člen {exp^o^d] — 1}. Je-li
spektrální průběh 70(1') lorentzovský se šířkou Ai>, tj. 7o(^) =
= 7o(i'o)(Ai//2)2/[(^ — Í/O) 2 +(AI//2) 2 ], ukažte, že šířka pásu určeného
členem {exp[7o(i/)c(] — 1} je menší než Ai^, tzii. že zesílení spontánní
emise je provázené spektrálním zúžením.
Při procesu zesilování se mění fotonová statistika vstupujícího záření (viz odst.
11.2C). V koherentním signálu na vstupu zesilovače je počet fotonů připadajících
na časový interval T určený Poissonovou statistikou s variancí a\ rovnou střednímu
počtu fotonů v signálu Tis- Na druhé straně fotony ASE se řídí Boseovou-Einsteinovou
statistikou s a\SE = 7?ASE + "ÁSE a mají tedy podstatně větší šum než v případě
Poissonovy statistiky. Po zesílení se řídí fotonová statistika světla, které obsahuje
vedle signálu také spontánně emitovaný příspěvek, zákonem, který leží mezi těmito
dvěma statistikami. Je-li doba čítání fotonů krátká a vystupující světlo je lineárně
polarizované, lze tyto statistiky dobře aproximovat rozdělovacím zákonem fotonů
ve tvaru Laguerrových polynomů (viz úloha 13.4-2) s variancí danou vztahem
o\ = ns + ("ASE + "ASE) + 2ňsnASE-
(13.4-4)
LITERATURA
553
Fluktuace fotonů se tedy skládají z příspěvku od signálu samotného, od spontánní
emise samotné a navíc obsahují fluktuace pocházející z interference obou složek.
LITERATURA
Knihy o teorii laseru
A. Yariv, Quantum Electronics, Wiley, New York, 3. vyd. 1989.
J. T. Verdeyen, Laser Electronics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 2. vyd. 1989.
O. Svelto, Principles of Lasers, Plenům Press, New York, 3. vyd. 1989.
J. Wilson a J. F. B. Hawkes, Optoelectronics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ,
2. vyd. 1989.
P. W. Milonni a J. H. Eberly, Lasers, Wiley, New York, 1988.
W. Witteman, The Laser, Springer-Verlag, New York, 1987.
K. A. Jones, Introduction to Optical Electronics, Harper & Row, New York, 1987.
J. Wilson a J. F. B. Hawkes, Lasers: Principles and Applications, Prentice-Hall,
Englewood Cliffs, NJ, 1987.
A. E. Siegman, Lasers, University Science Books, Milí Valley, CA, 1986.
K. Shimoda, Introduction to Laser Physics, Springer-Verlag, Berlin, 2. vyd. 1986.
B. B. Laud, Lasers and Nonlinear Optics, Wiley, New York, 1986.
A. Yariv, Optical Electronics, Holt, Rinehart and Winston, New York, 3. vyd. 1985.
H. Haken, Light, vol. 2: Laser Light Dynamics, North-Holland, Amsterdam, 1985.
H. Haken, Laser Theory, Springer-Verlag, Berlin, 1984.
R. Loudon, The Quantum Theory of Light, Oxford University Press, New York,
2. vyd. 1983.
B. E. A. Saleh, Photoelectron Statistics, Springer-Verlag, New York, 1978.
D. C. O'Shea, W. R. Callen a W. T. Rhodes, Introduction to Lasers and Their
Applications, Addison-Wesley, Reading, MA, 1977.
M. Sargent III, M. O. Scully a W. E. Lamb, Jr., Laser Physics, Addison-Wesley,
Reading, MA, 1974.
F. T. Arecchi a E. O. Schulz-Dubois, eds., Laser Handbook, vol. 1,
North-Holland / Elsevier, Amsterdam / New York, 1972.
A. E. Siegman, An Introduction to Lasers and Masers, McGraw-Hill, New York,
1971.
B. A. Lengyel, Lasers, Wiley, New York, 2. vyd. 1971.
A. Maitland a M. H. Dunu, Laser Physics, North-Holland, Amsterdam, 1969.
W. S. C. Chang, Principles of Quantum Electronics, Addison-Wesley, Reading, MA,
1969.
R. H. Pantell a H. E. Puthoff, Fundamentals of Quantum Electronics, Wiley, New
York, 1969
D. Ross, Lasers, Light Amplifiers, and Oscillators, Academie Press, New York, 1969.
E. L. Steele, Optical Lasers in Electronics, Wiley, New York, 1968.
A. K. Levine, ed., Lasers, vols. 1-4, Marcel Dekker, New York, 1966-1976.
G. Birnbaum, Optical Masers, Academie Press, New York, 1964.
G. Troup, Masers and Lasers, Methuen, London, 2. vyd. 1963.
554
LASEROVÉ ZESILOVAČE
Články
R. Baker, Optical Amplification, Physics World, vol. 3, no. 3, pp. 41-44, 1990.
D. O'Shea a D. C. Peckham, Lasers: Selected Reprints, American Association of
Physics Teachers, Stony Brook, NY, 1982.
M. J. Mumma, D. Buhl, G. Chin, D. Deming, F. Espenak a T. Kostiuk, Discovery of
Natural Gain Amplification in the 10 fim CO2 Laser Bands on Mars: A Natural
Laser, Science, vol. 212, pp. 45-49, 1981.
F. S. Barnes, ed., Laser Theory, IEEE Press Reprint Series, IEEE Press, New York,
1972.
A. L. Schawlow, ed., Lasers and Light — Readings from Scientific American,
W. H. Freeman, San Francisco, 1969.
J. H. Shirley, Dynamics of a Simple Maser Model, American Journal of Physics,
vol. 36, pp. 949-963, 1968.
J. Weber, ed., Lasers: Selected Reprints with Editorial Comment, Gordon and
Breach, New York, 1967.
C. Cohen-Tannoudji a A. Kastler, Optical Pumping, in Progress in Optics, vol. 5,
E. Wolf, ed., North-Holland, Amsterdam, 1966.
W. E. Lamb, Jr., Theory of an Optical Maser, Physical Review, vol. 134,
pp. A1429-A1450, 1964.
A. Yariv a J. P. Gordon, The Laser, Proceedings of the IEEE, vol. 51, pp. 4-29, 1963.
T. H. Maiman, Stimulated Optical Radiation in Ruby, Nature, vol. 187, pp. 493-494,
1960.
A. L. Schawlow a C. H. Townes, Infrared and Optical Masers, Physical Review,
vol. 112, pp. 1940-1949, 1958.
O historii laseru
J. Hecht, ed., Laser Pioneer Interviews, High Tech Publications, Torrance, CA, 1985.
A. Kastler, Birth of the Maser and Laser, Nature, vol. 316, pp. 307-309, 1985.
M. Bertolotti, Masers and Lasers: An Historical Approach, Adam Hilger, Bristol,
England, 1983.
C. H. Townes, Science, Technology, and Invention: Their Progress and Interactions,
Proceedings of the National Academy of Sciences (USA), vol. 80, pp. 7679-7683,
1983.
D. C. O'Shea a D. C. Peckham, Resource Letter L-l: Lasers, American Journal of
Physics, vol. 49, pp. 915-925, 1981.
C. H. Townes, The Laseťs Roots: Townes Recalls the Early Days, Laser Focus
Magazíne, vol. 14, no. 8, pp. 52-58, 1978.
A. L. Schawlow, Masers and Lasers, IEEE Transactions on Electron Devices, vol.
ED-23, pp. 773-779, 1976.
A. L. Schawlow, From Maser to Laser, in Impact of Basic Research on Technology,
B. Kursunoglu a A. Perlmutter, eds., Plenům Press, New York, 1973.
W. E. Lamb, Jr., Physical Concepts in the Development of the Maser and Laser, in
Impact of Basic Research on Technology, B. Kursunoglu a A. Perlmutter, eds.,
Plenům Press, New York, 1973.
ÚLOHY
555
A. Kastler, Optical Methods for Studying Herzian Resonances, in Nobel Lectures in
Physics, 1963-1970, Elsevier, Amsterdam, 1972.
C. H. Townes, Production of Coherent Radiation by Atoms and Molecules, in Nobel
Lectures in Physics, 1963-1970, Elsevier, Amsterdam, 1972.
N. G. Basov, Semiconductor Lasers, in Nobel Lectures in Physics, 1963-1970,
Elsevier, Amsterdam, 1972.
A. M. Prokhorov, Quantum Electronics, in Nobel Lectures in Physics,
1963-1970, Elsevier, Amsterdam, 1972.
C. H. Townes, Quantum Electronics and Surprise in the Development of Technology,
Science, vol. 159, pp. 699-703, 1968.
B. A. Lengyel, Evolution of Masers and Lasers, American Journal of Physics, vol. 34,
pp. 903-913, 1966.
R. H. Dicke, Molecular Amplification and Generation Systems and Methods, U. S.
Patent 2, 851, 652, Sept. 9, 1958.
J. P. Gordon, H. J. Zeiger a C. H. Townes, The Maser—New Type of Microwave
Amplifier, Frequency Standard, and Spectrometer, Physical Review, vol. 99,
pp. 1264-1274, 1955.
N. G. Basov a A. M. Prokhorov, Possible Methods of Obtaining Active Molecules for
a Molecular Oscillator, Soviet Physics-JETP, vol. 1, pp. 184-185, 1955 [Žurnál
eksperimentalnoj i těoretičeskoj fiziki (SSSR), vol. 28, pp. 249-250, 1955].
V. A. Fabrikant, The Emission Mechanism of Gas Discharges, Trudy vsjesojuznogo
elektrotěchničeskogo instituta (Reports of the AU-Union Electrotechnical Institute, Moscowj, vol. 41, Elektronnyje i ionnyje příbory (Electron and Ion Devices), pp. 236-296, 1940.
Literatura v českém jazyce
K. Pátek, Lasery — kvantové generátory světla, SNTL, Praha, 1964.
J. Blabla, T. Šimeček a V. Trkal, Optické kvantové generátory a zesilovače (masery
a lasery), SNTL, Praha, 1968.
B. Kvasil, ed., Kvantová elektronika, Academia, Praha, 1968.
B. Kvasil, Teoretické základy kvantové elektroniky, Academia, Praha, 1983.
ÚLOHY
13.1-1 Zisk zesilovače a délka aktivního prostředí. Komerčně dostupný
rubínový laserový zesilovač s výbrusem dlouhým 15 cm má zisk při zesílení
malého signálu 12. Jaký bude zisk při zesílení malého signálu při délce
výbrusu 20 cm? Saturaci zesílení zanedbejte.
13.1-2 Zisk laserového zesilovače a inverzní obsazení hladin. Laserový
zesilovač má 15cm dlouhý výbrus z materiálu Nd3+:sklo a celkový zisk
na vlnové délce Ao = 1,06/mi při zesílení malého signálu 10. S využitím
údajů v tab. 13.2-1 na str. 543 spočítejte rozdíl obsazení N (počet iontů
Nd 3 + najeden cm3) nutný k dosažení takového zisku.
556
LASEROVÉ ZESILOVAČE
13.1-3 Zesílení širokopásmového signálu. Přechod mezi dvěma energetickými
hladinami má Lorentzův tvar spektrální čáry s centrální frekvencí vo =
— 5 • 1014 Hz a s šířkou Av = 1012 Hz. Inverzní obsazení je tak velké, že
maximální koeficient zesílení 7(^0) = 0,1 cm" 1 . Prostředí má koeficient
frekvenčně nezávislých dodatečných ztrát as — 0,05 cm" 1 . Jak přibližně
velké budou ztráty nebo zesílení světelné vlny s konstantní spektrální
hustotou v intervalu vo ± Av?
13.2-1 Dvouhladinový čerpací systém. Napište rychlostní rovnice dvouhladinového systému a ukažte, že přímým optickým čerpáním mezi hladinami 1
a 2 nelze dosáhnout stacionární inverze obsazení.
13.2-2 Laser se dvěma čarami. Uvažujme atomový systém se čtyřmi hladinami:
0 (základní stav), 1, 2 a 3. Čerpání probíhá dvěma způsoby: mezi základním
stavem a hladinou 3 rychlostí R3 a mezi základním stavem a hladinou 2
rychlostí R2. Může být dosaženo inverzního obsazení mezi hladinami 3 a 1,
nebo mezi hladinami 2 a 1, anebo současně mezi hladinami 3 a 1 a mezi 2 a 1
(jako ve čtyřhladinovém laseru). Za předpokladu, že přechod z hladiny 3
na hladinu 2 není možný a že přechody z hladin 3 a 2 do základního stavu
jsou zanedbatelné, zformulujte s pomocí T\, T31 a T21 rychlostní rovnice
pro hladiny 1, 2, a 3. Spočítejte stacionární obsazení N\, /V2 a A/3 a zkoumejte
možnost dosažení současné inverze obsazení mezi hladinami 3 a 1 a mezi
2 a 1. Ukažte, že s rostoucí hustotou záření o frekvenci odpovídající přechodu
2-1 se snižuje rozdíl obsazení na přechodu 3-1.
13.3-1 Význam saturační hustoty fotonového toku. V obecném dvouhladinovém atomovém systému na obr. 13.2-3 představuje T2 střední dobu života
hladiny 2 pokud nadochází ke stimulované emisi. Rychlost přechodů z hladiny 2 stimulovanou emisí vzrůstá a efektivní doba života klesá. Nalezněte
hustotu fotonového toku <j>, při které velikost doby života klesne na polovinu.
Jak souvisí hustota tohoto toku se saturační hustotou fotonového toku?
13.3-2 Saturační optická intenzita. Určete saturační hustotu fotonového toku
ýsi^o) a odpovídající saturační optickou intenzitu Is(vo) pro homogenně
3+
rozšířené přechody v laseru rubínovém a Nd :YAG. Použijte hodnot uvedených v tab. 13.2-1.
13.3-3 Vývoj hustoty fotonového toku v saturovaném zesilovači. Vztah
(13.3-7) popisuje nárůst hustoty fotonového toku <f>(z) v laserovém zesilovači.
Pomocí počítače vyneste závislost 4>(z)/4>s na 70Z pro 4>(0)/4>s = 0,05
Určete, kdy se začne uplatňovat v takovém zesilovači saturace.
13.3-4 Rezonanční absorpce prostředí při tepelné rovnováze. Prostředí
s indexem lomu jedna o objemu 1 cm3 obsahuje Na = 1023 atomů v tepelné
rovnováze. Základnímu stavu odpovídá energetická hladina 1; hladina 2 má
energii 2,48 eV nad základním stavem (Ao = 0,5 /mi). Přechod mezi těmito
dvěma hladinami charakterizuje střední doba spontánní emise tsp — 1 ms
a Lorentzův tvar čáry šířky Au = 1 GHz. Uvažujte dvě teploty Ti a T2
takové, že kBTi = 0,026 eV a fcBT2 = 0,26 eV.
a) Určete obsazení A/i a A/2.
b) Určete počet fotonů emitovaných spontánně v každé sekundě.
ÚLOHY
557
c) Určete koeficient zeslabení prostředí na vlnové délce Ao = 0,5 pm za přepokladu, že tok dopadajících fotonů je malý.
d) Načrtněte závislost koeficientu zeslabení na frekvenci, když vyjdete
ze schematického náčrtu průběhu důležitých parametrů.
e) Nalezněte hodnotu hustoty fotonového toku, při kterém poklesne koeficient zeslabení na polovinu (tj. saturační hustotu fotonového toku).
f) Načrtněte závislost hustoty prošlého fotonového toku <f>(d) na hustotě
dopadajícího fotonového toku 0(0) pro v = i>$ a v = VQ + AÍ/, když
<t>(0)/4>s < 1.
13.3-5 Zisk saturovaného zesilujícího prostředí. Uvažujte laserové zesilující
prostředí délky d = 10 cm s homogenně rozšířeným přechodem a se saturační
hustotou fotonového toku <f>s = 4 x 10 1 8 fotonů/cm 2 • s. Víme, že vstupní
hustota fotonového toku 0(0) = 4 x 10 1 5 fotonů/cm 2 • s dává na výstupu
hustotu fotonového toku (j>{d) = 4 x 10 1 6 fotonů/cm 2 • s.
a) Určete zisk Go systému při zesílení malého signálu.
b) Určete koeficient zesílení malého signálu 70 •
c) Jak velká je hustota fotonového toku, při níž koeficient zesílení klesne
5-krát?
d) Určete koeficient zesílení pro vstupní fotonovou hustotu <f>(0) = 4 x 10 1 9
fotonů/cm 2 • s. Je zisk systému za těchto podmínek větší, menší nebo stejný
jako zisk určený v části (a) pro malý signál?
*13.4-1
P o m ě r výkonu signálu k výkonu A S E . Nesaturovaný laserový zesilovač
délky d s koeficientem zesílení 70(1-") zesiluje vstupní signál 0s(O) o frekvenci v a vnáší zesílenou spontánní emisi (ASE) s rychlostí £sp (na jednotku
délky). Hustota fotonového toku zesíleného signálu je (f>s(d) a ASE na výstupu je 0ASE- Načrtněte závislost poměru <j>s(d)/4>ASE na součinu koeficientu
zesílení a délky zesilovače 7o(^)cf.
*13.4-2 Rozdělovači zákon fotonů zesíleného koherentního světla. Vhodným
modelem světla vystupujícího z laserového zesilovače je lineárně polarizovaná superpozice interferujícího tepelného a koherentního záření. O takovém
složeném záření je známé, že vykazuje náhodné fluktuace energie y/', pro
něž platí necentrální x 2 ~P r a v < iěpodobnostní rozdělení
>' ASE
V
I' ASE
pokud je doba měření dostatečně krátká.^ Io označuje modifikovanou Besselovu funkci, y/^ASE je střední energie ASE a # 5 je (konstantní) energie zesilovaného koherentního signálu.
a) Vypočítejte střední hodnotu a varianci (střední kvadratickou odchylku)
veličiny y/'.
t Viz např. B. E. A. Saleh, Photoelectron Statistics, Springei-Verlag, New York, 1978.
558
LASEROVÉ ZESILOVAČE
b) Ze vztahů (11.2-26) a (11.2-27) určete střední počet fotonů n a varianci a\
a ověřte platnost vztahu (13.4-4).
c) Ukažte s pomocí (11.2-25), že fotonové rozdělení je dáno vztahem
"ASE
eXP
(
V
"s
v němž Ln představuje Laguerreův polynom
a ns je střední počet fotonů signálu a OASE je střední počet fotonů zesílené
spontánní emise.
d) Pomocí počítače vyneste závislosti p(n) pro ňs/ň = 0; 0,5; 0,8 a 1, když
ň = 5 a ukažte tak, že pro ňs/ň — 0 přechází p(n) na Boseovo-Einsteinovo
rozdělení a pro ns/n = 1 na Poissonovo rozdělení.
K A P I T O L A
14
LASERY
14.1 TEORIE LASEROVÝCH OSCILACI
A. Optické zesílení a zpětná vazba
B. Podmínky vzniku laserových oscilací
14.2 VLASTNOSTI VÝSTUPNÍHO ZÁŘENÍ LASERU
A. Výkon
B. Spektrální složení
C. Prostorové rozložení a polarizace
D. Modová selekce
E. Charakteristiky nejběžnějších laserů
14.3 IMPULSNÍ LASERY
A. Způsoby získávání impulsního záření laserů
*B. Rozbor přechodových jevů
*C. Spínání činitele jakosti Q rezonátoru
D. Modová synchronizace
Arthur L. Schawlow (narozen 1921)
Theodore H. Maiman (narozen 1927)
Schawlow a Charles Townes v roce 1958 ukázali, že princip maseru lze rozšířit do optické oblasti.
V roce 1981 obdrželi společně s Nikolaasem Bloembergenem Nobelovu cenu. Maiman v roce 1960
experimentálně demonstroval první úspěšně pracující laser.
559
560
LASERY
Laser je optický oscilátor. Skládá se z rezonančního optického zesilovače, jehož výstupní signál se vrací zpětnou vazbou sfázovaný znovu do vstupu (obr. 14.0-1). Pokud
na vstupu není žádný signál, není ani výstupní signál, takže i signál zpětné vazby je
nulový. Takový stav však je nestabilní. Sebenepatrnější šum (s frekvenčními složkami spadajícími do frekvenčního pásma zesilovače), který nevyhnutelně vždy existuje,
může na vstupu iniciovat proces oscilací. Vstupní signál je zesílený a z výstupu je
vedený zpět na vstup, načež je znovu zesilován. Tento proces se neustále opakuje až
vznikne velký výstupní signál. Zvětšování signálu je omezeno saturací zisku zesilovače a systém dosahuje ustáleného stavu, ve kterém na rezonanční frekvenci zesilovače
vzniká výstupní signál.
Aby nastaly oscilace, musí být splněné dvě podmínky:
• Zisk zesilovače musí být větší než ztráty systému zpětné vazby, takže při jednom
oběhu smyčkou se zpětnou vazbou se dosahuje čistého zisku.
• Celková změna fáze při jednom oběhu musí být celočíselným násobkem 2TT, takže
signál zpětné vazby je sfázovaný s původním vstupním signálem.
Jsou-li tyto podmínky splněné, systém se stává nestabilním a začíná oscilovat.
S rostoucím výkonem oscilací se však začne uplatňovat saturace zesilovače a zisk
klesne pod svoji počáteční hodnotu. Stabilních podmínek je dosaženo při poklesu
zisku na hodnotu ztrát (obr. 14.0-2). Zisk právě kompenzuje ztráty, takže cyklus
zesílení a zpětné vazby se beze změny opakuje a ustaví se stacionární oscilace.
Protože zisk i změna fáze jsou funkcemi frekvence, jsou obě podmínky pro nasazení oscilací splněné pouze pro jednu, nebo několik frekvencí, které se nazývají
rezonančními frekvencemi oscilátoru. Oscilátor jako celek se skládá z následujících
částí:
• ze zesilovače s mechanismem saturace zesílení,
• ze systému zpětné vazby,
Zpětná vazba
Zesilovač
MAM
Napájení
Obrázek 14.0-1
Oscilátor je zesilovačem s kladnou zpětnou vazbou.
LASERY
561
Zisk
Výkon
Ustálený -výkon
Obrázek 14.0-2 Je-li počáteční zisk zesilovače větší než jeho ztráty, mohou nastat
oscilace. Potom se zesilovač saturuje a jeho zisk klesá. Když je jeho zisk právě rovný
ztrátám, je dosaženo ustáleného stavu.
• z mechanismu frekvenční selekce,
• ze zařízení pro vyvedení výstupního signálu.
Laser je optický oscilátor (obr. 14.0-3), jehož zesilovačem je čerpané aktivní
prostředí (viz kap. 13). Saturace zisku je základní vlastností laserových zesilovačů.
Zpětná vazba je zajištěná umístěním aktivního prostředí do optického rezonátoru,
ve kterém dochází k odrazům mezi zrcadly a který byl diskutován v kap. 9. Frekvenční
selekce je dosaženo rezonančním zesilovačem a také rezonátorem, který připouští
pouze určité mody. Vyvedení výstupního záření z rezonátoru je zajištěné tím, že
jedno ze zrcadel rezonátoru je částečně propustné.
Lasery se široce využívají v nejrůznějších vědeckých a technických aplikacích
včetně komunikační a počítačové techniky, zpracování obrazu, informačních pamětí,
holografie, litografie, opracování materiálů, v geologii, metrologii, při měření vzdáleností, v biologii a v klinické medicíně.
Tato kapitola je úvodem umožňujícím pochopit činnost laserů. V odst. 14.1 jsou
shrnuté vlastnosti laserových zesilovačů a laserových rezonátoru a jsou odvozené podmínky vzniku oscilací v laseru. Vlastnosti výstupního záření laseru (výkon, spektrální
složení, prostorové rozdělení a polarizace) jsou obsahem odst. 14.2, ve kterém jsou
uvedené také typické parametry různých druhů laserů. Zatímco výklad v odst. 14.1
a 14.2 se soustřeďuje především na kontinuální (cw) lasery, je odst. 14.3 věnovaný
funkci impulsních laserů.
Zrcadlo
Aktivní prostředí
Částečně
propustné
zrcadlo
Výstup
laseru
Obrázek 14.0-3 Laser se skládá z optického zesilovače (obsahujícího aktivní prostředí)
umístěného uvnitř optického rezonátoru. Výstupní záření je vyváděné částečně propustným zrcadlem.
562
LASERY
14.1 TEORIE LASEROVÝCH OSCILACI
Tuto část začneme shrnutím vlastností dvou hlavních částí laseru — zesilovače
a rezonátoru. I když jsme se jimi podrobně zabývali v kap. 13 a 9, považujeme
za účelné a vhodné zařadit přehled potřebných výsledků.
A.
Optické zesílení a zpětná' vazba
Laserové zesílení
Laserový zesilovač je úzkopásmový koherentní zesilovač světla. Zesílení se dosahuje
stimulovanou emisí v atomárních nebo molekulárních systémech při přechodech
mezi hladinami s inverzním obsazením (tj. s horní hladinou obsazenou více než dolní).
Pásmo zesilovače je určené šířkou čáry atomového přechodu nebo mechanismem
nehomogenního rozšíření, jakým může být Dopplerův jev v plynových laserech.
Laserový zesilovač je zařízení s prostorově rozloženým ziskem, charakterizovaným
koeficientem zesílení 7(1^) (přirozený logaritmus zisku na jednotkové délce), který určuje, jak rychle vzrůstá hustota fotonového toku (f> (nebo optická intenzita / = hi/<j>).
Je-li hustota fotonového toku <f> malá, je koeficient zesílení
Koeficient zesílení
malého signálu
. .
.
,.
'To('') = No°('>) = No—g(»),
(14.1-1)
kde
A/o = rovnovážná hustota inverzního obsazení hladin (koncentrace atomů v horním
energetickém stavu minus koncentrace atomů v dolním energetickém stavu);
A/o vzrůstá s rostoucí rychlostí čerpání,
o(y) = (\2/8Trtsp)g(v)
= efektivní průřez přechodu,
tsp = doba spontánního přechodu,
g(u) = funkce tvaru spektrální čáry přechodu,
A = vlnová délka v prostředí = Ao/n, kde n = index lomu.
Když hustota fotonového toku roste, přechází zesilovač do oblasti nelineárního
režimu. Nastává saturace a jeho zisk klesá. V prostředí s homogenním rozšířením
spektrálního přechodu se snižuje procesem zesilování počáteční inverze A/o až na N =
= A/ o /[I + <t>l<t>A^)\, kde
<t>a(y) = [ T s ( J ( í / ))~ 1 = saturační hustota fotonového toku,
r, = časová konstanta saturace, která závisí na dobách života zúčastněných
energetických hladin; v ideálním čtyřhladinovém systému je rs »
txp,
zatímco pro ideální tříhladinové schéma čerpání dostáváme r, « 2tsp.
Koeficient zesílení saturovaného zesilovače se tudíž redukuje na 7(1/) = No(u),
takže při homogenním rozšíření dostaneme
Saturovaný
koeficient zesílení
n
, ,=
'
7oH
-><->•'•>•
'•••>•
,-.. . , ,
• ;
v
Proces laserového zesílení přináší rovněž změnu fáze. Je-li tvar spektrální čáry
TEORIE LASEROVÝCH OSCILACÍ
563
+ (Ať/2)2] s šířkou Av, je změna fáze
lorentzovský g(v) = (AI//2-K)/[(V —
na jednotce délky v zesilovači
Koeficient fázového posunu
(Lorentzův tvar čáry)
(14.1-3)
Tento fázový posun je dodatečnou změnou fáze ke změně způsobené šířením v prostředí, ve kterém jsou laserové atomy. Koeficienty zesílení a fázového posunu jsou
pro Lorentzův tvar čáry znázorněné na obr. 14.1-1.
Zpětná vazba a ztráty: Optický rezonátor
Optická zpětná vazba se dosahuje umístěním aktivního prostředí do optického
rezonátoru. Ve Fabryově-Perotově rezonátoru tvořeném dvěma zrcadly vzdálenými
od sebe d je aktivní prostředí (o indexu lomu n), v němž se nacházejí aktivní atomy
zesilovače. Šíření vlnění prostředím vede ke změně fáze, která se na jednotce délky
rovná vlnovému číslu
Koeficient fázové
změny
k =
2-KV
(14.1-4)
Rezonátor rovněž přispívá ke ztrátám celého systému. Absorpce a rozptyl světla
v prostředí způsobují prostorově rozložené ztráty charakterizované koeficientem
zeslabení a s (ztráty na jednotku délky). Při jednom oběhu rezonátorem délky d
je pokles hustoty fotonového toku vyjádřený faktorem d#\d#2 exp(—2aHď), kde &\
a J?2 j s °u odrazivosti zrcadel. Celkové ztráty při jednom oběhu lze popsat celkovým
efektivně rozloženým koeficientem ztrát ar, jestliže položíme
exp(-2ard)
= J?iJ?2 exp(-2a,c/),
Koeficient
zesílení
A")
Koeficient
fázového
posunu
()
Obrázek 14.1-1 Spektrální závislost koeficientu zesílení a fázového posunu pro optické
zesilovače s Lorentzovým tvarem čáry.
564
LASERY
takže
(14.1-5)
Koeficient ztrát
kde ami reprezentuje příspěvek prvního zrcadla ke ztrátám a a,„2 druhého zrcadla.
Příspěvek obou zrcadel dohromady je
1 .
1
Jelikož aT reprezentuje celkovou ztrátu energie (nebo fotonů) na jednotku délky,
arc představuje ztráty v počtu fotonů za sekundu. Potom
(14.1-6)
aTc
je (střední) doba života fotonu v rezonátoru.
V rezonátoru se udržuje vlnění pouze na frekvencích, pro něž je změna fáze
při jednom oběhu celočíselným násobkem 2TT. V rezonátoru bez aktivních atomů (tj.
pasivní nebo prázdný rezonátor) je změna fáze při jednom oběhu určená jednoduchým
vztahem k2d = Aitvd/c = q2ir, což odpovídá modům s frekvencemi
= \, 2, ...,
(14.1-7)
kde vp = c/2d je frekvenční vzdálenost rezonátorových modů a c = CQ/TI je rychlost
světla v prostředí (obr. 14.1-2). Spektrální šířka (FWHM) těchto modů je
6" « ^ ,
H
(14.1-8)
'r-s
K-
A - i A AA
Odezva
rezonátoru
Obrázek 14.1-2 Rezonátorové mody jsou od sebe vzdálené o frekvenční rozdíl vp = c/2d
a mají šířku Su = upj-^ = l/2irTj,.
TEORIE LASEROVÝCH OSCILACÍ
565
kde & je jemnost rezonátoru (viz odst. 9.1A). Jestliže ztráty rezonátoru jsou malé,
je jeho jemnost velká a platí
& » ^ -
= 2TTTPUF.
(14.1-9)
B. Podmínky vzniku laserových oscilací
Aby laser osciloval (laseroval) musí být splněné dvě podmínky. Podmínka zesílení
určuje minimální rozdíl obsazení hladin a tím prahovou hodnotu čerpání nutnou
k laserování. Fázová podmínka určuje frekvenci (nebo frekvence), na níž laser osciluje.
Podmínka zesílení: Práh laseru
Nasazení laserových oscilací vyžaduje, aby koeficient zesílení malého signálu byl větší
než koeficient ztrát, tj.
Podmínka
, ,,
,. ,
prahového zesíleni
-
. i/>
7o( ) > o;,••
, .. . „ .
(14.1-10)
/
Podle (14.1-1) je koeficient zesílení malého signálu 7o(i ) úměrný rovnovážnému
rozdílu hustot obsazení A/o, který — jak víme z kap. 13 — vzrůstá s rostoucí
rychlostí čerpání R. Vztah (14.1-1) můžeme vskutku použít k převedení podmínky
(14.1-10) na podmínku pro inverzní obsazení hladin, tj. A/o = lo{v)/a{v) > aT/o{v).
Dostaneme tak podmínku
A/o > Nu
(14.1-11)
A/, = Jfc
(14.1-12)
ve které veličina
se nazývá prahový rozdíl obsazení nebo prahová inverze. Ten je úměrný a,, a určuje
minimální rychlost čerpání Rt potřebnou pro nasazení oscilací laseru.
Užitím (14.1-6) můžeme o r vyjádřit alternativně pomocí doby života fotonu,
a,. = 1/cTp, takže (14.1-12) bude mít tvar
Nt
= ^^ r .
(14.1-13)
Prahový rozdíl hustot obsazení je tedy přímo úměrný ar a nepřímo úměrný TP. Vyšší
ztráty (kratší doba života fotonu) vyžadují k dosažení oscilací laseru většího čerpání.
Konečně známý vztah pro účinný průřez přechodu o(y) — (A2/8ntsp)g(v) vede
k dalšímu vyjádření prahové inverze
Prahová inverze
8TT
ťs/,
A2c r,, ;
(14.1-14)
ze kterého je zřejmé, že Nt je funkcí frekvence v. Práh je nejnižší a laser začne
566
LASERY
nejsnadněji oscilovat na frekvenci odpovídající maximální hodnotě funkce tvaru čáry,
tj. na centrální frekvenci v = WQ. Pro Lorentzův tvar čáry platí g{vo) = 2/TTAU, takže
nejmenší prahovou inverzi nasazení oscilací dostaneme pro centrální frekvenci UQ:
Á-C
Tp
*..
(H.l-15)
Prahová inverze je přímo úměrná šířce čáry Av.
Jestliže navíc je šířka čáry přechodu určená pouze dobou života í s p , nabývá šířka
Ai/ hodnoty l/27rť sp (viz odst. 12.2D), takže (14.1-15) se zjednoduší na
Tento vztah ukazuje, že nejmenší prahový rozdíl obsazení nutný k dosažení oscilací
je jednoduchou funkcí vlnové délky A a doby života fotonu rp. Je zřejmé, že laserových oscilací se dosahuje tím obtížněji, čím kratší je vlnová délka, číselný příklad
7
3
s hodnotami Ao = 1 ^m, rp = 1 ns a s indexem lomu n — 1 dává Nt ~ 2,1 x 10 c m " .
Cvičení 14.1-1
Práh rubínového laseru
a) Absorpční koeficient rubínu ve středu čáry přechodu na vlnové délce
Ao = 694,3 nm za tepelné rovnováhy (tj. bez čerpání) při T = 300 K
je a(vo) = —7(fo) ~ 0,2 c m " 1 . Určete velikost efektivního průřezu
přechodu co = &(vo), je-li koncentrace iontů C r 3 + , v nichž uvedený
přechod nastává, No = 1,58 x 10 1 9 cm~ 3 .
b) Na tomto přechodu s Ao = 694,3 nm pracuje rubínový laser s výbrusem
z rubínu délky 10cm (indexu lomu n = 1,76) a průřezu l e m 2 . Oba
konce výbrusu jsou vyleštěné a pokovené, takže mají stejnou reflektivitu
80%. Za předpokladu, že nedochází k žádnému rozptylu a neuplatňují
se žádné další mechanismy ztrát, určete koeficient ztrát rezonátoru aT
a dobu života fotonu v rezonátoru TP.
c) Při čerpání laseru vzrůstá 7(^0) ze své počáteční hodnoty při tepelné
rovnováze —0,2 c m " 1 a když změní znaménko stává se koeficientem
zesílení. Určete prahovou inverzi Nt pro nasazení oscilací laseru.
Fázová podmínka: Frekvence laseru
Druhá podmínka oscilací vyžaduje, aby celková fázová změna světelné vlny vzniklá
při jednom oběhu v rezonátoru byla celočíselným násobkem 2TT, tj.
2kd + 2ip(v)d = 2-Kq,
q = 1, 2, . . . .
(14.1-17)
Je-li příspěvek od aktivních laserových atomů [2<p(v)d] zanedbatelně malý, dostaneme dělením rovnice (14.1-17) výrazem 2d stejný výsledek, jako jsme získali dříve
pro pasivní rezonátor: v = vq = q(c/2d).
TEORIE LASEROVÝCH OSCILACÍ
567
Je-li do rezonátoru vložené aktivní prostředí a uplatní se příspěvek 2(p(u)d,
vede řešení rovnice (14.1-17) k hodnotám frekvencí oscilací v'q, které jsou nepatrně
posunuté vůči frekvencím prázdného rezonátoru vq. Jak si ukážeme dále, frekvence
modů prázdného rezonátoru jsou slabě stahované směrem k centrální frekvenci
atomového přechodu.
*Stahování frekvence
Použijeme-li vztahu k = 2nv/c a výrazu (14.1-3) pro koeficient fázového posunu
v případě Lorentzova tvaru čáry ve fázové podmínce (14.1-17), dostaneme
(14.1-18)
Řešením této rovnice jsou frekvence oscilací v = v'q odpovídající příslušným modům uq pasivního rezonátoru. Protože rovnice je nelineární, je vhodné ji řešit graficky. Závislost levé strany rovnice (14.1-18), označené rp(v), na frekvenci je vynesená
na obr. 14.1-3 (je součtem přímkové závislosti odpovídající v a lorentzovskélio průběhu koeficientu fázového posunu schematicky znázorněného na obr. 14.1-1). Hodnoty
v = v'q, při nichž ip(v) = vq, lze určit graficky. Z obrázku je zřejmé, že frekvence uq
modů pasivního rezonátoru jsou vždy frekvenčně stahované směrem k centrální frekvenci VQ rezonančního prostředí.
Můžeme také získat přibližné analytické řešení rovnice (14.1-18,). Přepíšeme ji
ve tvaru
Av
).
(14.1-19)
Jestliže v = v' a i/q, je druhý člen na pravé straně (14.1-19) malý, takže v něm
Centrální frekvence
atomového přechodu
"q-l
Frekvence oscilací
Mody pasivního
rezonátoru
Ví
w-i
"b
i
i
"
Obrázek 14.1-3 Levá strana rovnice (14.1-18) označená ip{is) je vynesená v závislosti
na i/. Řešením rovnice (14.1-18) jsou frekvence v, pro něž TI>(I>) = v,r Frekvenci v:]
každého modu pasivního rezonátoru odpovídá frekvence v'q aktivního rezonátoru, která
je posunutá směrem k frekvenci maxima rezonanční čáry atomového přechodu.
568
LASERY
Koeficient zesílení
zesilovače
Mody pasivního
rezonátoru
Oscilační mody
laseru
Obrázek 14.1-4 Frekvence laserových oscilací leží blízko frekvencí modů pasivního
rezonátoru; jsou slabě posunuté směrem k centrální rezonanční frekvenci fg atomu.
můžeme v nahradit frekvencí vq, aniž bychom se dopustili velké nepřesnosti. Potom
C Vq
-
(14.1-20)
je explicitním vyjádřením závislosti oscilací v'q na frekvenci modů pasivního rezonátoru vq. Navíc při splnění stacionárních podmínek se rovná zesílení ztrátám, takže
j(vq) = ar ~ n/.^d = (2-K/C)SV, kde 6v je spektrální šířka modů pasivního rezonátoru. Dosazením tohoto vztahu do (14.1-20) dostaneme
(14.1-21)
Frekvence laseru
Frekvence pasivního rezonátoru vq jsou tedy stahovány k rezonanční frekvenci VQ
atomu s faktorem Sv/Av ze svých původních poloh (vq — VQ) vůči centrální frekvenci,
jak je znázorněné na obr. 14.1-4. Cím je mod rezonátoru ostřejší (jeho hodnota Sv
je menší), tím méně se uplatňuje efekt stahování frekvencí. Naopak užší rezonanční
•čára atomu (menší hodnota Av) vede k většímu stahování.
14.2
A.
VLASTNOSTI VÝSTUPNÍHO ZÁŘENÍ LASERU
Výkon
Hustota vnitřního fotonového toku
Laser čerpaný nad práh (No > Nt) vykazuje koeficient zesílení malého signálu 7o(i/)
větší než koeficient ztrát ar (viz 14.1-10). Laser tedy může začít oscilovat, jestliže
VLASTNOSTI VÝSTUPNÍHO ZÁŘENÍ LASERU
569
je splněná fázová podmínka (14.1-17). S rostoucí hustotou toku fotonů <p uvnitř
rezonátoru začne koeficient zesílení i(v) klesat v souladu s (14.1-2) pro prostředí
s homogenním rozšířením čáry. Pokud koeficient zesílení je větší než koeficient ztrát,
dále roste tok fotonů.
Když je nakonec saturovaný koeficient zesílení rovný koeficientu ztrát (nebo
N = Nt, což je ekvivalentní), přestává tok fotonů vzrůstat a oscilace dosahují ustáleného stavu. Výsledkem je nastavení zesílení na hodnotu ztrát. Hustota fotonového
toku uvnitř laseru při stacionárním režimu je tudíž určena tím, že (saturovaný) koeficient zesílení velkého signálu se rovná koeficientu ztrát, tj. 7o(i/)/[l + <P/<t>s{i/)] — ot
což dává
(14.2-1)
7o(") < a r .
Rovnice (14.2-1) udává stacionární hodnotu fotonového toku při laserových oscilacích.
Je to střední počet fotonů procházejících za jednu sekundu jednotkovou plochou
oběma směry, protože k saturaci přispívají fotony šířící se v obou směrech. Hustota
toku fotonů postupujících jedním směrem je tudíž <p/2. Při tomto zjednodušeném
postupu jsme zanedbávali spontánní emisi. Rovnice (14.2-1) určuje samozřejmě
střední hodnotu hustoty fotonového toku; dochází k náhodným fluktuacím okolo této
střední hodnoty (viz odst. 11.2).
Jelikož 7o(f) = No<x{y) a ar = Nt,a(v), můžeme (14.2-1) přepsat ve tvaru
Stacionární hustota
fotonového toku
uvnitř laseru
(14.2-2)
Zahájení činnosti
. laseru
Čas
Ustálený stav
ar Koeficient zesílení
yW> Koeficient ztrát
10
Hustota fotonového toku
Obrázek 14.2-1 Určení stacionární hustoty fotonového toku <f>. V okamžiku zahájení
funkce laseru je (p ~ 0, takže 7(1^) = Jíii^)- J**k oscilace v čase vzrůstají, rostoucí tfr způsobuje následkem saturace zesílení pokles 7(1/). Když 7 dosáhne ar, hustota fotonového
toku se přestane zvyšovat a je dosaženo stacionárních podmínek. Cím menší jsou ztráty,
tím větší je hodnota <p.
570
LASERY
cc Jo
o
A
Nt
N,
Čerpací rychlost
2W,
W Q
—*• Čerpací rychlost
Obrázek 14.2-2 Stacionární hodnoty rozdílu obsazení N a hustoty fotonového toku <p
v laseru jako funkce A/o (rozdíl obsazení v nepřítomnosti záření; A/o se zvětšuje s rostoucí
rychlostí čerpání /?). Laser začíná oscilovat, když No dosáhne Nt\ stacionární hodnota N
7
se potom saturuje a zakotvuje na hodnotě Nt [právě tak, jako 70ti ) je nastavené na aT].
Nad prahem je <j> úměrné Ng — Nt.
Pod prahem je hustota fotonového toku v laseru nulová; jakékoliv zvýšení rychlosti
čerpání se projeví vzrůstem toku spontánně emitovaných fotonů, nedochází však
k řízeným oscilacím. Nad prahem je stacionární hustota fotonového toku v laseru
přímo úměrná počátečnímu rozdílu obsazení No a tudíž vzrůstá s rychlostí čerpání R
[viz (13.2-10) a (13.2-22)]. Je-li No dvojnásobkem prahové hodnoty Nt, rovná se
hustota fotonového toku přesně saturační hustotě 0j(f) — hustotě fotonového toku,
při němž koeficient zesílení klesne na polovinu své maximální hodnoty. Na obr. 14.2-2
jsou závislosti rozdílu obsazení N a hustoty fotonového toku <p na A/o.
Výstupní hustota fotonového toku
Pouze část hustoty fotonového toku uvnitř laseru určená vztahem (14.2-2) opouští
rezonátor jako využitelné záření. Výstupní hustota fotonového toku 4>o je částí hustoty
vnitřního fotonového toku šířícího se proti zrcadlu 1 (0/2), která jím projde ven
z laseru. Je-li propustnost 1. zrcadla ď, je hustota výstupního fotonového toku
4>o = ^r-
(14.2-3)
Tomu odpovídá optická intenzita výstupního záření /o laseru
(14.2-4)
a výstupní výkon laseru potom je Po = /oA kde A je plocha příčného průřezu
laserového svazku. Tyto rovnice spolu s (14.2-2) umožňují explicitně vyjádřit výkon
laseru prostřednictvím <j>s(v), A/o, Nt, -3? a A.
Optimalizace laseru na maximální hustotu výstupního fotonového toku
Využitelná hustota fotonového toku na výstupu laseru snižuje hustotu vnitřního
fotonového toku a přispívá tudíž ke ztrátám laserového oscilátoru. Každý zásah
směřující ke zvýšení počtu fotonů vystupujících z rezonátoru (provedený v očekávání,
že se zvětší použitelné záření na výstupu laseru) má za následek vzrůst ztrát, takže
VLASTNOSTI VÝSTUPNÍHO ZÁŘENÍ LASERU
571
se sníží stacionární hustota fotonového toku uvnitř rezonátoru. Konečným výsledkem
může tedy být naopak snížení toku použitelného záření vystupujícího z laseru.
Ukážeme si, že existuje optimální propustnost 5f (0 < & < 1), při které je intenzita na výstupu laseru maximální. Výstupní hodnota fotonového toku <f>o = 3?(f>/2
je součinem propustnosti zrcadla & a hustoty vnitřního fotonového toku <j>/2 (v jednom směru). S rostoucím & klesá <j> následkem větších ztrát. V prvním extrémním
případě, když !7 = 0, má oscilátor nejmenší ztráty (maximální <j>), ale z laseru žádné
záření nevystupuje (<j>o = 0). Ve druhém extrému, kdy propustnost zrcadla je & = 1,
a
zvýšené ztráty vedou k tomu, že ar > 7o(f) (Nt > No) znemožňují tak oscilace laseru. V tomto případě je <fi = 0, takže opět <f>o = 0. Optimální hodnota 8f leží někde
mezi těmito dvěma extrémy.
Abychom ji nalezli, musíme explicitně vyjádřit závislost <j>o na 3F. Budeme
předpokládat, že záření vystupuje z laseru zrcadlem 1 s odrazivostí &i a propustností
-j7 = 1 — df\. Koeficient ztrát ar vyjádříme jako funkci .j7, když do (14.1-5) dosadíme
koeficient ztrát způsobených zrcadlem 1
^ J
^ ^ )
7
(14.2-5)
>
a tak získáme vztah
ar = as+ am2 - ±- ln(l - 3T),
(14.2-6)
Za
ve kterém pro koeficient ztrát způsobených druhým zrcadlem platí
Rovnici pro hustotu výstupního toku fotonů <j>o v závislosti na propustnosti výstupního zrcadla získáme ze vztahů (14.2-1), (14.2-3) a (14.2-6)
<Po = \<t>s-? [ L _ l n ( ° _ , ^ ) - l] '
90 = 2lo{v)d,
L = 2(as + amI)d.
(14.2-8)
Závislost if>o na 5f je vynesená na obr. 14.2-3. Za pozornost stojí, že hustota
výstupního fotonového toku přímo souvisí s koeficientem zesílení malého signálu.
Optimální propustnost -%p získáme, když derivaci (po podle S položíme rovnou nule.
Je-li J < 1 , můžeme užít aproximace ln(l — 3F) ~ — & a dostaneme
2
- L.
(14.2-9)
572
' LASERY
0.1
0.2
0.3
0.4
Propustnost zrcadla
Obrázek 14.2-3 Závislost výstupní hustoty stacionárního fotonového toku <po na propustnosti zrcadla 3?'• V tomto konkrétním případě byly zvolené hodnoty pro faktor zesílení
go = 2-yod = 0,5 a pro ztráty L = 2(a,+am2)d
= 0,02 (2%). Optimální propustnost ?op
pak činí 0,08.
Vnitřní hustota fotonů
Stacionární počet fotonů v jednotce objemu uvnitř rezonátoru n souvisí se stacionární
hustotou vnitřního toku fotonů (fotonů šířících se oběma směry) jednoduchým
vztahem
(14.2-10)
Názornost tohoto vztahu si snadno ukážeme pomocí váfce o základně A, délce c
a objemu cA (c je rychlost šíření světla v prostředí), jehož osa je rovnoběžná s osou
rezonátoru. V rezonátoru obsahujícím n fotonů v jednotce objemu připadá na takový
válec cAn fotonů. Tyto fotony postupují oběma směry rovnoběžně s osou rezonátoru
a vždy polovina z nich projde za každou sekundu jednou základnou válce. Jelikož
stejnou základnou válce projde také stejný počet fotonů v opačném směru, je hustota
fotonového toku (počet fotonů prošlých oběma směry jednotkou plochy za sekundu)
<j> = 2{\cAn)/A = cu, což dává právě vztah (14.2-10).
Hustota fotonů odpovídající stacionární hustotě vnitřního toku fotonů (14.2-2)
je
Stacionární hustota
fotonů
(14.2-11)
kde ns = <f>s(i/)/c je saturační hodnota hustoty fotonů. S použitím vztahů $.,(i/) =
= [T»^( 1 / )]~ 1 . " r = 7("), Oír = l/ér,, a j(v) = No(v) = N,o(v) lze (14.2-11) přepsat
VLASTNOSTI VÝSTUPNÍHO ZÁŘENÍ LASERU
573
ve tvaru
Stacionární hustota
fotonů
r=(A/o-W t ) —.
1~
No>Nt.
(14.2-12)
Tento vztah umožňuje jednoduchou a přímou interpretaci: (Wo — Nt) je rozdíl obsazení
(v jednotce objemu) přesahující prahovou hodnotu, (Wo — Nt)/rs představuje počet
fotonů vyzařovaných při stacionárnín režimu za jednotku času, který se rovná právě
počtu ztracených fotonů za jednotku času^/rp. Zlomek TV/TS udává poměr rychlostí
emise fotonů a jejich ztrát.
Při ideálních podmínkách čerpání čtyřhladinového systému dostaneme ze vztahů
3
(13.2-10) a (13.2-11) relace TS m tsp a No « Rtap, kde R je rychlost ( s ^ ^ c n r ) čerpám
atomů. Rovnici (14.2-12) lze pak přepsat ve tvaru
- =
(14.2-13)
R>
R-Rt,
v němž Rt = Nt/tsp je prahová hodnota rychlosti čerpání. Při stacionárních podmínkách je tedy celková rychlost ztrát hustoty fotonů /I/TP přesně rovná rychlosti čerpání
přesahující prahovou rychlost čerpání R — Rt.
Výstupní fotonový tok a účinnost
Jestliže jediným zdrojem ztrát rezonátoru (které jsou započtené v TP) je právě
propustnost výstupního zrcadla laseru a V je objem aktivního prostředí, dostaneme
z (14.2-13) pro celkový výstupní tok fotonů $o (fotony za sekundu)
0
(14.2-14)
= (/? - Rt)V,
Uplatňují-li se kromě ztrát spojených s výstupním zrcadlem laseru ještě jiné mechanismy ztrát, můžeme pro výstupní fotonový tok psát
Výstupní tok fotonů
z laseru
- Rt)V,
(14.2-15)
kde vyzařovací účinnost r|e je poměr ztrát, které souvisejí s vyvedením využitelného
světla a celkových ztrát rezonátoru a r .
Jestliže světlo vystupuje z laseru pouze zrcadlem 1, můžeme r\c vyjádřit pomocí (14.1-6) pro ar a (14.2-5) pro Q,„I:
<*ml
C
Oty
Je-li navíc .y = 1 Vyzařovací účinnost
1
(14.2-16)
1, dostaneme z (14.2-16)
(14.2-17)
když jsme definovali 1/ 7> = c/2d. Vztah (14.2-17) ukazuje, že vyzařovací účinnost r\c
574
LASERY
můžeme chápat jako poměr doby života fotonu a doby jeho jednoho oběhu v rezonátoru násobený propustností zrcadla. Výstupní výkon laseru potom činí Po = /w$o —
= j]ehv(R — Rt)V. Pomocí několika algebraických úprav se snadno přesvědčíme, že
tento výsledek souhlasí s výsledkem získaným z (14.2-4).
Ztráty mohou nastávat i dalšími mechanismy, např. nižší účinností čerpacího
procesu. Celková účinnost T| laseru (nazývaná také přístrojová účinnost či výkonová
účinnost) různých typů laserů je uvedená v tab. 14.2-1.
B.
Spektrální složení
Spektrální složení záření generovaného laserem je určené jak tvarem čáry atomového
přechodu aktivního prostředí (včetně homogenního nebo nehomogenního rozšíření),
tak mody rezonátoru. Vyplývá to z obou podmínek pro dosažení oscilací laseru:
• Podmínka zesílení vyžadující, aby počáteční koeficient zesílení zesilovače byl větší
než koeficient ztrát [70(v) > ar], je splněná pro všechny oscilace s frekvencemi
spadajícími do spojitého spektrálního pásu šířky B okolo atomové rezonanční
frekvence VQ [viz obr. 14.2-4(o)]. Šířka B roste s šířkou atomové čáry Ai/
/
;
a s velikostí poměru 7o(t o)/o r; přesné vztahy závisí na průběhu funkce tvaru
čáry 7oO>).
• Fázová podmínka vyžaduje, aby frekvence oscilací byla frekvencí rezonátorového
modu vq (při zjednodušujícím předpokladu, že stahování frekvencí je zanedbatelné). Šířka FWHM čáry každého modu je Su « vF/& [obr. 14.2-4(6)].
Z toho vyplývá, že jsou možné oscilace pouze na konečném počtu frekvencí
(1/1, i/2, ..., VM)- Počet možných modů* oscilací laseru je tudíž
r o <">
Zisk
(a)
<*r
Ztráty
Rezonátorové mody
(b)
V "1"2 •
Mody možných oscilací
Obrázek 14.2-4 (a) Laser může oscilovat pouze na frekvencích, na kterých je koeficient
zesílení větší nez koeficient ztrát (tečkovaná oblast). (6) Oscilace mohou nastat pouze
uvnitř šířky 8u rezonátořových modů (pro jednoduchost jsou znázorněné čarami).
Podélných modů jedné polarizace. (Pozn. překl.)
VLASTNOSTI VÝSTUPNÍHO ZÁŘENÍ LASERU
Počet možných
modů laseru
M « —,
"-'
575
(14 2-18)
\ • J
kde up — c/2d je přibližná vzdálenost mezi sousedními mody. Kolik modů z oněch M
možných modů skutečně nese optický výkon závisí na mechanismu rozšíření atomové
čáry. Dále uvidíme, že v prostředí s nehomogenním rozšířením osciluje všech M modů
(nicméně s různými výkony), zatímco v prostředí s homogenním rozšířením tyto mody
si do značné míry vzájemně konkurují, což stěžuje podmínky pro současné oscilace
více modů.
Dalo by se očekávat, že přibližná šířka FWHM každého laserového modu bude
« 5u. Ukazuje se však, že je daleko menší. Je limitována tzv. Schawlowovou-Townesovou šířkou čáry, která klesá nepřímo úměrně s optickým výkonem. Následkem
vnějších vlivů, jako jsou akustické a tepelné fluktuace zrcadel rezonátoru, jsou šířky
čar téměř všech laserů mnohem větší než Schawlowova-Townesova limitní hodnota,
lze se jí však přiblížit při pečlivě provedených experimentech.
Cvičení 14.2-1
Počet modů plynového laseru. Plynový laser s Dopplerovým rozšířením má koeficient zesílení daný Gaussovým spektrálním průběhem (viz
odst. 12.2D a cvičení 12.2-2) 70(1/) = 70(^0)exp[-(i/ - fo) 2 /2er|,], když
AJ/£> = (8 ln 2)1/2<7£> je celá šířka v polovině maxima čáry (FWHM).
a) Odvoďte výraz pro šířku pásma B možných oscilací v závislosti na Ai/£>
a na poměru 7o(t/o)/a,-, kde a,, je koeficient rezonátorových ztrát.
b) Laser He-Ne má šířku dopplerovsky rozšířené čáry Ai/p = 1,5 GHz
a koeficient zesílení ve středu čáry 70(^0) = 2 • 1 0 " 3 c m ~ 1 . Délka
rezonátoru laseru je d = 100 cm, odrazivosti zrcadel jsou 100% a 97%
(ostatní ztráty rezonátoru lze zanedbat). Určete počet M modů laseru
za předpokladu, že index lomu n = 1.
Prostředí s homogenním rozšířením spektrální čáry
Bezprostředně po nasazení oscilací se začnou vyvíjet všechny laserové mody, pro které
je počáteční zesílení větší než ztráty [obr. 14.2-5(a)]. V M modech je dosaženo hustot
fotonového toku <f>\, <j>2, •••, 4>M- Mody s frekvencí bližší k centrální frekvenci VQ
se rozvíjejí mnohom rychleji a dosahují větších hustot fotonového toku. Tyto fotony
interagují s prostředím a snižují zesílení tím, že zmenšují rozdíl obsazení hladin.
Saturované zesílení je
7(
„)
=
^M
,
l + YUtMÁ)
(14.2-19)
kde <t>s(vj) je saturovaná hustota fotonového toku příslušná modu j . O platnosti
vztahu (14.2-19) se můžeme přesvědčit rozborem podobným analýze, která vedla
ke vztahu (13.3-3). Saturované zesílení je znázorněné na obr. 14.2-5(6).
576
LASERY
Ib)
(c)
Obrázek 14.2-5 Vývoj oscilací v prostředí s ideálním homogenním rozšířením, (a) Bezprostředně po zahájení činnosti laseru začínají růst všechny mody s frekvencemi
v
V
ro n
\i 2i • • •) yjrfi P
ěž koeficient zesílení převyšuje koeficient ztrát. Přitom nejrychleji
rostou centrální mody. (b) Během krátké doby dojde k saturaci zesílení, takže centrální
mody nadále rostou, zatímco okrajové, pro něž jsou ztráty větší než zisk, jsou tlumené
a případně zanikají, (c) Nedochází-li k vypalování prostorových děr, zůstane pouze jediný
mod.
Protože koeficient zesílení se snižuje rovnoměrně v celém pásmu zesílení, stanou
se ztráty modů hodně vzdálených od centrální frekvence větší než zisk; výkon v těchto
modech klesá, zatímco výkon centrálních modů dále roste, i když s menší rychlostí.
Nakonec zůstane pouze jediný mod (nebo v symetrickém případě dva), pro nějž je
zisk rovný ztrátám a pro všechny ostatní mody jsou ztráty větší než zisk. Při splnění
ideálních stacionárních podmínek zůstává výkon tohoto preferovaného modu stabilní
a laserové oscilace na všech ostatních modech zanikají [obr. 14.2-5(c)]. Frekvence
tohoto modu leží těsně u VQ; hodnoty zisku konkurenčních modů leží pod úrovní ztrát.
Známe-li frekvenci preferovaného modu, můžeme spočítat hustotu jeho fotonového
toku ze vztahu (14.2-2).
Lasery s homogenním rozšířením ve skutečnosti však oscilují ve více modech,
protože různé mody mají v aktivním prostředí různá prostorová rozložení. Když
se ustaví oscilace v modu s frekvencí ležící nejblíže k frekvenci I/Q maxima čáry
(viz. obr. 14.2-5), může koeficient zesílení ještě převýšit koeficient ztrát v těch místech
aktivního prostředí, v nichž je elektrické pole stojaté vlny centrálního modu nulové.
Tento jev se nazývá vypálení prostorové díry (spatial hole burning). Následkem
tohoto jevu může laser začít oscilovat rovněž v dalším modu, jehož maxima prostorového rozložení pole leží v blízkosti nulových hodnot energie centrálního modu.
Prostředí s nehomogenním rozšířením přechodu
V prostředích s nehomogenně rozšířenými přechody představuje zesílení 7o(^) obálku,
kterou dostaneme složením čar zesílení různých souborů atomů (viz odst. 12.2D), jak
je znázorněné na obr. 14.2-6.
Bezprostředně po zahájení činnosti laseru je situace stejná jako v případě
homogenního rozšíření. Mody se ziskem větším než ztráty začínají vzrůstat a zesílení
klesá. Je-li frekvenční vzdálenost mezi mody větší než šířka Au atomových čar
VLASTNOSTI VÝSTUPNÍHO ZÁŘENÍ LASERU
577
Obrázek 14.2-6 Průběh nehomogenně rozšířené spektrální čáry je výsledkem skládání
velkého počtu atomových čar, které přísluší atomům s různými vlastnostmi nebo s různým
okolím.
jednotlivých složek, interagují různé mody s různými atomy. Atomy, jejichž spektrální
čára nekoinciduje se žádným modem, nejsou ovlivněné fotony v rezonátoru. Jejich
rozdíl obsazení tudíž zůstává nezměněný a jim příslušné zesílení zůstává na úrovni
(nesaturovaného) zesílení malého signálu. Atomy, jejichž frekvence koincidují s mody,
snižují inverzní obsazení a jim příslušné zesílení se saturuje — ve spektrálním
průběhu zesílení vznikají zářezy [obr. 14.2-7(a)]. Tento proces se nazývá vypálení
spektrálního zářezu nebo díry (spectral hole burníng). Šířka spektrálního zářezu
roste s druhou odmocninou hustoty fotonového toku Ai/„ = Ai/(1 + <fr/<t>sy/2, jak
jsme odvodili v (13.3-15).
Proces saturace vypalováním zářezu postupuje nezávisle pro různé mody, dokud
A 1,1 A
Frekvence
"9-1
(a)
(b)
Obrázek 14.2-7 (a) Laserové oscilace nastávají v prostředí s nehomogenním rozšířením
přechodu v každém modu, který nezávisle vypaluje zářez v celkovém spektrálním profilu
zesílení. Zesílení jednoho modu prostředím neovlivňuje zesílení ostatních modů. Centrální
mody využívají příspěvků většího počtu atomů a proto obsahují více fotonů než mody
okrajové. (6) Spektrum typického mnohamodového plynového laseru s nehomogenním
rozšířením.
578
LASERY
!•(.'
1
Zesílení
Obrázek 14.2-8 Vypálení zářezů v prostředí s Dopplerovým rozšířením. Vlnění frekvence vq saturuje obsazení atomů s rychlostmi v = ±c(fg/fo — 1) na obou stranách od centrální frekvence a vede k vypálení dvou zářezů v profilu zesílení.
není dosaženo ustáleného stavu, kdy pro každý mod je zesílení rovné ztrátám. Mody si
nemohou konkurovat, protože výkon získávají od různých a nikoliv od společných atomů. Mnoho modů osciluje nezávisle, přičemž centrální mody vypalují nejhlubší zářezy
a následkem toho nejvíce vzrůstají, což znázorňuje obr. 14.2-7(o). Spektrum typického
mnohamodového plynového laseru s nehomogenním rozšířením je na obr. 14.2-7(6).
Počet modů je obvykle větší než v prostředí s homogenním rozšířením, protože vypalování prostorové díry se uplatňuje u menšího počtu modů než spektrální vypalování.
*Vypalování spektrálního zářezu v prostředí s Dopplerovým rozšířením
Spektrální průběh čáry plynu při teplotě T je určený všemi dopplerovsky posunutými
emisemi jednotlivých atomů, které se pohybují různými rychlostmi (viz odst. 12.2D
a cvičení 12.2-2). Atom v klidu interaguje se zářením o frekvenci VQ. Atom pohybující
Ztráty aT Mody
rezonátoru
Výkon
modu q
Obrázek 14.2-9 Výkon jednomodove'ho laseru o frekvenci vH s dopplerovsky rozšířeným
prostředím, jehož koeficient zesílení je rozložený okolo centrální frekvence fo- Při frekvenci vH = 1/Q vykazuje místo maximálního výkonu Lambův zářez.
VLASTNOSTI VÝSTUPNÍHO ZÁŘENÍ LASERU
579
se rychlostí v proti směru šíření záření interaguje se zářením o frekvenci i/0(l 4- v/c),
zatímco atom pohybující se ve směru šíření záření interaguje se zářením o frekvenci WQ(\ — v/c). Protože radiační mody o frekvenci vq se šíří následkem odrazů mezi
zrcadly rezonátoru v obou směrech, interagují se dvěma soubory atomů: s atomy, které se pohybují rychlostí +v a s atomy s rychlostí —v takovou, že vq — I/Q = ±i/ov/c. To
znamená, že mod vq saturuje obsazení atomů na obou stranách od centrální frekvence a vypaluje dva zářezy v profilu zesílení, jak je znázorněné na obr. 14.2-8. Jestliže
vq = I/Q, je ovšem vypálen jediný zářez ve středu čáry.
Stacionární výkon modu roste s hloubkou zářezu (nebo zářezů) v profilu zesílení.
Jestliže měníme frekvenci vq směrem k VQ, hloubka zářezu vzrůstá tak, jak roste
výkon modu. Když se začne přibližovat modová frekvence vq k v0, začne však
mod interagovat s jedinou skupinou atomů místo se dvěma, takže oba zářezy
splynou do jednoho. Nižší počet využitelných aktivních atomů při vq = VQ má
za následek mírné snížení výkonu modu. Následkem toho má výkon modu v závislosti
na frekvenci vq tvar zvonové křivky s centrální prohlubní, která je známá pod názvem
Lambův zářez (obr. 14.2-9).
C.
Prostorové rozložení a polarizace
Prostorové rozložení
Prostorové rozložení světla vyzařovaného laserem závisí na geometrickém uspořádání
rezonátoru a na tvaru aktivního prostředí. Při teoretickém popisu laseru jsme až dosud nebrali v úvahu příčné prostorové jevy, protože jsme předpokládali, že rezonátor
je tvořený dvěma rovnoběžnými, rovinnými a nekonečně velkými zrcadly a že celý
prostor mezi nimi je vyplněný aktivním prostředím. Při takovémto idealizovaném geometrickém uspořádání vystupuje z laseru ve směru osy rezonátoru rovinná vlna. Jak
ale vyplývá z kap. 9, je rezonátor s rovinnými zrcadly vysoce citlivý na geometrické
nastavení.
Rezonátory laserů jsou obvykle tvořené kulovými zrcadly. V odst. 9.2 jsme viděli,
že rezonátory se sférickými zrcadly dávají gaussovské svazky (které byly podrobně
probrané v kap. 3). Laser s rezonátorem tvořeným sférickými zrcadly může generovat
záření ve tvaru gaussovského svazku.
Rovněž jsme si ukázali (v odst. 9.2D), že rezonátor se sférickými zrcadly zajišťuje hierarchii maži transversálními elektrickými a magnetickými mody označovanými TEM/.,n..,. Každá dvojice indexů (I, m) definuje příčný mod s příslušným prostorovým rozdělením. Transversální mod (0,0) je gaussovský svazek (obr. 14.2-10).
Mody s vyššími hodnotami l a m tvoří hermiteovské-gaussovské svazky (viz odst. 3.3
a obr. 3.3-2). Pro dané (l,m) definuje index q řadu podélných (axiálních) modů
stejného příčného prostorového rozdělení, ale různých frekvencí vq (mezi kterými je
vždy frekvenční vzdálenost podélných modů rovná vq = c/2d bez ohledu na / a m).
Rezonanční frekvence dvou souborů podélných modů příslušných dvěma různým příčným modům jsou obecně vůči sobě posunuté o určitý zlomek modové vzdálenosti up
[viz (9.2-28)].
Následkem rozdílného prostorového rozložení vykazují různé příčné mody různé
hodnoty zesílení a ztrát. Např. gaussovský mod (0,0) je nejvíce soustředěný okolo
optické osy a vykazuje tudíž nejmenší difrakční ztráty na okrajích zrcadel. Mod (1,1)
580
LASERY
Intenzita
laseru
Kulové zrcadlo
Kulové zrcadlo
Obrázek 14.2-10 Výstupní záření příčného modu (0,0) laseru s rezonátorem tvořeným
sférickými zrcadly má tvar Gaussova svazku.
má nulovou intenzitu v bodech na optické ose (viz obr. 3.3-2); jestliže tedy zakryjeme
centrální část laserového zrcadla malým stínítkem, podstatně to neovlivní mod (1,1),
zatímco ztráty modu (0,0) podstatně vzrostou. Mody vyšších řádů jsou rozložené
ve větším objemu a mohou tudíž mít větší zesílení. Tato rozdílnost mezi ztrátami
a zesílením různých příčných modů při různých geometrických uspořádáních je důvodem jejich konkurenčního uplatnění při vzniku laserových oscilací, jak znázorňuje
obr. 14.2-11.
V laserech s homogenním rozšířením má nejsilnější mod tendenci potlačit zesílení všech ostatních modů, ale prostorové vypalování děr může způsobit, že osciluje
několik podélných modů. Příčné mody mohou mít podstatně odlišná prostorová rozdělení, takže mohou snadněji oscilovat současně. Mody, jejichž energie je soustředěná
do určité příčné prostorové oblasti, v ní saturují atomární zesílení a tím v ní vypalují prostorové díry. Dva příčné mody, které se prostorově nepřekrývají, mohou
TEMOiO
Mody (1,1
Mody (0,0)
Výstupní
záření laseru
Obrázek 14.2-11
TEM,
Zesílení a ztráty dvou příčných modů, v našem případě modů (0,0)
mody příslušné vždy určitému příčnému modu.
VLASTNOSTI VÝSTUPNÍHO ZÁŘENÍ LASERU
581
existovat současně, aniž by si konkurovaly, protože svou energii získávají od různých
atomů. Částečné prostorové překrytí různých příčných modů a pohyb atomů (jaký je
v plynech) vedou k modové konkurenci.
Často potřebujeme, aby lasery pracovaly v jediném příčném modu; obvykle to
bývá Gaussův mod (0,0), protože má nejmenší průměr svazku a lze jej fokusovat
na nejmenší plochu (viz kap. 3). Oscilace v modech vyšších řádů mohou být na druhé
straně požadované při generování velkých optických výkonů.
Polarizace
Každý mod (/, m, q) má dva stupně volnosti odpovídající dvěma nezávislým ortogonálním polarizacím. Na tyto dvě polarizace pohlížíme jako na dva nezávislé mody.
Následkem válcové symetrie rezonátorů s kulovými zrcadly mají oba polarizační mody
se stejnými hodnotami / am stejné prostorové rozložení. Jestliže vlastnosti rezonátorů
a aktivního prostředí vedou ke stejným hodnotám zesílení a ztrát pro obě polarizace, bude laser oscilovat v obou modech současně, nezávisle a se stejnou intenzitou.
Výstupní záření laseru je v tom případě nepolarizované (viz odst. 10.4).
Nestabilní rezonátory
Ačkoliv dosavadní výklad byl zaměřený na konfigurace laserů se stabilními razonátory
(viz obr. 9.2-3), skýtají nestabilní rezonátory řadu předností v případě, že lasery
generují velké výkony. Patří mezi ně: (1) Následkem většího modového objemu
přispívá k výstupnímu výkonu laseru větší část objemu zesilujícího prostředí; (2) Větší
výstupní výkon je dosahován v příčných modech vyšších řádů oproti příčným modům
nižších řádů, jak tomu bývá v případě stabilních rezonátorů; (3) Větší výstupní výkon
při minimálním poškození zrcadel rezonátorů následkem toho, že se užívají úplně
odrážející zrcadla a záření z laseru vystupuje kolem jejich okrajů (toto uspořádání
rovněž umožňuje chladit optické elementy vodou a dosáhnout tak větších optických
výkonů bez jejich poškození).
D.
Modová selekce
Mnohamodový laser může generovat záření v jednom modu, jestliže do rezonátorů
vložíme element, který vnese dostatečně velké ztráty, aby nedošlo k oscilacím v nežádoucích modech.
Výběr laserového přechodu
Aktivní prostředí s více přechody (atomovými čarami), na nichž je čerpáním dosaženo
inverze obsazení, bude dávat na výstupu laseru záření na více čarách. Určitou čáru
oscilací lze vybrat, když do rezonátorů vložíme hranol, jak je schematicky naznačeno
na obr. 14.2-12. Hranol je nastavený takovým způsobem, že pouze světlo požadované
vlnové délky dopadá na zrcadlo s velkou odrazivostí přesně kolmo a může se tudíž
odrazit zpět a podílet se na procesu zpětné vazby. Natáčením hranolu lze vybrat
požadovanou vlnovou délku. Např. iontový argonový laser je často v rezonátorů
vybavený otočným hranolem umožňujícím vybrat jednu ze šesti obvyklých čar, které
leží mezi 488 nm v modré a 514,5nm v modrozelené oblasti spektra. Hranolu lze užít
pouze v případech, kdy od vybrané čáry jsou ostatní dostatečně frekvenčně vzdálené.
582
LASERY
Zrcadlo
s vysokou
odrazivostí
\
Hranol
.... .
Eliminovaná
čára
Výstupní zrcadlo
„
\
,,
Aktivní prostředí
Clona
f
1
Výstup laseru
Obrázek 14.2-12 Určitou atomovou čáru lze vybrat pomocí hranolu umístěného do rezonátoru. Selekci příčných modů je možné provést prostorovou clonou přesného tvaru
a velikosti.
Nelze jej použít např. pro selekci jednoho podélného modu; sousední mody leží tak
blízko, že disperze při lomu hranolem je neumožňuje rozlišit.
Selekce příčných modů
Protože různé příčné mody mají různá prostorová rozdělení, lze nežádoucí mody
selektivně potlačit vložením clony určitého tvaru do rezonátoru (obr. 14.2-12). Rovněž
zrcadla lze vyrobit tak, aby preferovala určitý příčný mod.
Výběr polarizace
Z nepolarizovaného světla lze získat světlo polarizované polarizátorem. Přitom je výhodnější vložit polarizátor do rezonátoru, než mimo něj. Při užití vnějšího polarizátoru se ztrácí polovina výkonu vyzařovaného laserem. Světlo vystupující z externího
polarizátoru může také obsahovat šum pocházející z výkonových fluktuací mezi oběma polarizačními mody (modové přeskoky). Vnitřní polarizátor vnáší vysoké ztráty
pro jednu polarizaci, takže v odpovídajícím modu oscilace vůbec nezačnou. Zesílení
aktivního prostředí je zcela využité právě pro preferovanou polarizaci. Vnitřní polarizátor se obvykle realizuje Brewsterovými okénky (viz odst. 6.2 a cvičení 6.2-1)
způsobem znázorněným na obr. 14.2-13.
Brewsterovo
okénko
odrazivostí
Aktivní
prostředí
Brewsterovo
okéako
Polarizované
výstupní
záření laseru
Výstupní
zrcadlo
Obrázek 14.2-13 Brewsterova okénka v plynovém laseru zajišťují lineárně polarizované
záření laserového svazku. Světlo polarizované v rovině dopadu (vlna TM) prochází
okénkem skloněným pod Brewsterovým úhlem bez reflexních ztrát. Kolmo polarizovaný
mod (TE) má ztráty způsobené odrazem a následkem toho nezačne oscilovat.
VLASTNOSTI VÝSTUPNÍHO ZÁŘENÍ LASERU
583
Selekce podélných modů
Lze vybrat také jediný podélný mod. Počet podélných modů laseru s nehomogenním
rozšířením (např. plynový laser s Dopplerovýni rozšířením) je roven počtu rezonátorových modů připadajících na frekvenční pásmo B, ve kterém je zesílení aktivního
prostředí větší než ztráty (viz obr. 14.2-4). Existují dva způsoby dosažení oscilací
laseru v jediném podélném modu:
• Zvýšení ztrát na takovou úroveň, že osciluje pouze mod s největším ziskem. To
má ovšem za následek, že mod, na němž laser osciluje, je sám slabý.
• Zvětšení frekvenční vzdálenosti podélných modů vp = c/2d zmenšením délky
rezonátoru. S tím je ovšem spojené zkrácení délky aktivního prostředí, tím i jeho
objemu a tudíž i zmenšení dosažitelného výkonu laseru. V některých případech
je tonto postup nepoužitelný. Např. v iontovém argonovém laseru je Ai/p =
= 3,5 GHz. Je-li potom B = AVQ a n = 1, je M = AVD/(C/2CI), takže k tomu,
aby laser pracoval na jediném podélném modu by musel být rezonátor kratší
než zhruba 4,3 cm.
Aby bylo možné měnit frekvenční vzdálenost rezonátorových modů, byla vyvinutá řada způsobů využití frekvenčně selektivních elementů v dutině rezonátoru:
Etalon
Hř-
Zrcadlo
s vysokou
odrazivostí
Aktivní prostředí
Výstupní zrcadlo
Zisk
Rezonátorové
ztráty
I H 1 1 1 I ! I I I I I 1 1Rezonátorové
mody
A
A
A
Mody
etalonu
Výstupní
záření laseru
Obrázek 14.2-14 Výběr podélných modů etalonem umístěným v rezonátoru. Oscilace
nasadí na frekvencích koincidence rezonátorového a etalonového modu; oba mody musí
samozřejmě ležet uvnitř spektrálního oboru, v němž zesílení prostředí převyšuje ztráty.
584
LASERY
• Modovou selekci umožňuje v rezonátoru umístěný nakloněný etalon (Fabryův-Perotův rezonátor) mezi jehož zrcadly je vzdálenost d\ mnohem menší (je velmi
tenký) než mezi zrcadly laserového rezonátoru (obr. 14.2-14). Frekvenční vzdálenost mezi mody etalonu c/2d\ > B, takže pouze jediný mod etalonu může ležet
v pásmu zesílení laseru. Etalon je provedený tak, že jeden z jeho modů koinciduje s podélným modem rezonátoru a vykazuje největší zesílení (nebo to platí
pro některý jiný požadovaný mod). Etalon lze jemně ladit mírným nakláněním,
změnou jeho teploty nebo malými změnami jeho tloušťky d\ piezoelektrickým
nebo jiným měničem. Mírné sklonění etalonu vůči ose rezonátoru zabraňuje, aby
světlo odražené od jeho povrchů nedopadlo na zrcadla rezonátoru a nevznikaly
tak nežádoucí dodatečné rezonance. Aby byla zajištěná frekvenční stabilita, je
etalon obvykle teplotně stabilizovaný.
• K výběru modů lze též využít složených (vícezrcadlových) rezonátoru. Několik
konfigurací je znázorněno na obr. 14.2-15. Modové selekce lze dosáhnout prostřednictvím dvou vázaných rezonátoru různých délek [obr. 14.2-15(a)]. Rezonátor na obr. 14.2-15(6) se skládá ze dvou vázaných dutin s vlastním zesilujícím
prostředím — v podstatě jde o dva vázané lasery. Je to konfigurace použitá
v tzv. uspořádání C 3 (cleaved-coupled-cavity) polovodičového laseru, který bude
probíraný v kap. 16. Další způsob využívá rezonátor vázaný na interferometr
[obr. 14.2-15(c)]. Teorie vázaných rezonátoru a rezonátoru vázaného na interferometr není předmětem našeho výkladu.
E. Charakteristiky nejběžnějších laserů
Laserové zesilování a oscilace jsou široce rozšířené. Nastávají v nejrůznějších prostředích zahrnujících pevné látky (krystaly, skla a vlákna), plyny (atomů, iontů, molekul
a excimerů), kapaliny (organické a anorganické roztoky) a plasmu (lasery pracující
v rtg oblasti). Aktivní prostředí lze vytvořit také prostřednictvím energetických hladin elektronů v magnetickém poli, jak je tomu v případě laserů s volnými elektrony.
(a)
(b)
í
Obrázek 14.2-15 Selekce podélných modů prostřednictvím (a) dvou vázaných rezonátoru
(jeden je pasivní a druhý aktivní); (b) dvou vázaných aktivních rezonátoru; (c) vázaného
rezonátoru a interferometru.
VLASTNOSTI VÝSTUPNÍHO ZÁŘENÍ LASERU
585
Pevnolátkové lasery
V odst. 13.2C jsme se poněkud podrobněji zabývali některými pevnolátkovými
laserovými zesilovači: rubínem, Nd3+:YAG, Nd3+:sklo a Er3+:křemenné vlákno.
Jestliže tato aktivní prostředí jsou vložena do optického rezonátoru, který zajišťuje
zpětnou vazbu, začnou se chovat jako laserové oscilátory.
Široce užívaný je zejména Nd3+:YAG (energetické hladiny Nd3+:YAG jsou
na obr. 13.2-11). Protože se v něm uplatňuje čtyřhladinový systém, je jeho práh
řádově menší než u rubínu. Lze jej opticky čerpat na jeho horní laserovou hladinu
polovodičovou laserovou diodou, jak ukazuje schéma na obr. 13.2-8, a Nd3+:YAG
tak slouží jako účinný kompaktní zdroj laserového záření vlnové délky 1,064 ^m
napájený z baterie. Krystaly Nd 3 + : YAG velmi malých délek zhruba desetin milimetru
pracují jako jednofrekvenční (mikročipové) lasery. Navíc záření neodymového laseru
může při průchodu krystalem pro generování druhé harmonické (viz odst. 19.2A)
zdvojnásobit svoji frekvenci; výsledkem je silný zdroj záření v zelené oblasti spektra
na vlnové délce 532 nm.
Protože přechody v Nd 3 + pocházejí od vnitřních elektronů, které jsou dobře stíněné od vlivů okolí, lze dosáhnout laserových oscilací v blízkosti vlnové délky 1,06/mi
při jeho zabudování (jako nečistoty) do nejrůznějších hostitelských materiálů včetně
skel různých typů, fluoridu ytrito-litného (LÍYF4 = YLF) a ytrito-skandio-galitého
granátu (YSGG). Nahrazení hliníku skaiidiem v YAG vede přibližně ke dvojnásobnému zvětšení účinnosti; gallium se přidává pro zlepšení podmínek při pěstování
krystalu. Ionty Nd 3 + lze dokonce rozpustit v oxichloridu selenu (SeOCl2) a dostaneme tak laser, jehož aktivním prostředím je kapalina s Nd 3 + . Přechody v ostatních
iontech vzácných zemin vykazují podobné vlastnosti.
Křemenné vlákno dotované vzácnou zeminou může při zvláštním uspořádání rezonátoru pracovat jako laser v jediném podélném modu (viz obr. 13.2-8). Příkladem je
laser s 5 m dlouhým Er3+:křemenným vláknem pracující ve Fabryově-Perotově konfiguraci. V uspořádání se zrcadlem s odrazivostí 99% na jednom konci a 4% na druhém
(pouze Fresnelův odraz) je na výstupu výkon přibližně 8mW při čerpání polovodičovou diodou s výkonem 90 mW na vlnové délce 1,46 /zm. Je možné konstruovat také
dutiny ve tvaru vláknového kruhového rezonátoru nebo s vláknovými smyčkovými odražeči. Lasery s dotovaným křemenným vláknem mohou pracovat v impulsním režimu
v konfiguracích se spínáním jakosti Q nebo s modovou synchronizací (viz odst. 14.3).
Při teplotě 300 K se tento systém chová jako tříhladinový, zatímco při 77 K je čtyřhladinový. Toto rozlišení je důležité, protože v tříhladinovém systému existuje pro dosažení minimálního prahu optimální délka vlákna, kdežto ve čtyřhladinovém systému
je prahový výkon nepřímo úměrný délce aktivního vlákna.
Vedle rubínu, Nd 3 + a Er 3 + se často setkáváme s opticky čerpanými pevnolátkovými zesilovači a oscilátory využívajícími alexandrit (Cr3+:Al2BeO4), který umožňuje ladění ve vlnovém intervalu od 700 nm do 800 nm; Ti3+:Al2C>3 (Ti:safír) laditelný
v ještě širším pásu od 660 nm do 1180 nm a Er3+:YAG pracující často na vlnové
délce 1,66/zm.
Plynové lasery
Pravděpodobně nejrozšířenějším typem laserového oscilátoru je plynový laser.
Cervenooranžové, zelené a modré svazky plynových laserů s náplní He-Ne nebo
586
LASERY
Ar+ nebo He-Cd jsou již všeobecně známé (energetické hladiny He a Ne jsou
na obr. 12.1-3). Laser s náplní Kr + dává snadno stovky miliwatů optického výkonu
na vlnových délkách rozložených od 350 nm v ultrafialové do 647 nm v červené
spektrální oblasti. Může pracovat současně na několika frekvencích a vyzařovat „bílé
laserové světlo". Plynové lasery mohou pracovat na nesčetném množství dalších čar.
Malé lasery He-Ne jsou tak všedním a laciným zařízením, že se užívají jako ukazovátka
při přednáškách a v obchodech ve čtecích zařízeních čárového kódu.
Molekulární plynové lasery, jako je CO2 (energetické hladiny CO2 jsou
na obr. 12.1-1) a CO, které pracují ve střední části infračervené oblasti spektra,
vykazují vysokou účinnost a mohou vyzařovat velkou energii. Navíc mohou laserovat
na většině molekulárních přechodů v infračervené oblasti; dokonce obyčejná voda
v plynném stavu (H2O) laseruje na několika frekvencích v daleké infračervené části
spektra.
Nejdůležitějšími plynovými lasery pro ultrafialovou oblast jsou excimerové
lasery. Excimery (např. KrF) existují pouze v excitovaných elektronových stavech,
protože v základním stavu se jejich složky odpuzují. Dolní laserová hladina je
tudíž vždy neobsazená, což má za následek snadné vytvoření inverzního obsazení.
Halogenidy vzácných plynů ve vzbuzeném stavu vznikají snadno, protože chemické
vlastnosti excitovaného atomu vzácného plynu jsou podobné atomu alkalického kovu,
který se snadno slučuje s halogeny.
Kapalinové lasery
Význam kapalinových barvivových laserů spočívá především v jejich laditelnosti. Aktivním prostředím barvivového laseru je roztok organického barviva v alkoholu
nebo ve vodě (na obr. 12.1-4 je schéma energetických hladin molekuly barviva). Polymethinová barviva umožňují generovat záření v červené nebo blízké infračervené oblasti (~ 0,7 až 1,5 fJ-m), xanthenová barviva laserují ve viditelné části (500 až 700nm),
kumarinová barviva vyzařují v modrozelené oblasti (400 až 500 nm) a scintilátorová
barviva laserují v ultrafialové části spektra (< 400 nm). Např. rhodamin-6G lze ladit
v intervalu vlnových délek od 560 nm do 640 nm.
Plasmové rentgenové lasery
V posledním desetiletí se podařilo realizovat několik různých typů rentgenových
laserů. Dosažení laserové činnosti v rentgenové části spektra je obtížné z několika
důvodů. Prahový rozdíl obsazení Nt podle (14.1-14) je úměrný 1/\2TP. S klesající
vlnovou délkou \ je tedy stále obtížnější dosáhnout prahu. Dále je technicky obtížné
vyrobit pro rtg oblast vysoce kvalitní zrcadla, protože indexy lomu různých materiálů
se mezi sebou příliš neliší. Proto se musí dielektrická zrcadla připravovat z velkého
počtu vrstev a přitom je koeficient rezonátorových ztrát aT velký a doba života fotonu
v rezonátoru r p malá. V blízké budoucnosti však lze očekávat zdokonalení optických
elementů pro rtg spektrální oblast.
První přesvědčivé laserové činnosti v rentgenové oblasti bylo dosaženo při dramatickém experimentu, který provedli v r. 1980 vědci v Lawrence Livermore National
Laboratory (LLNL). Podzemní jaderný výbuch byl zdrojem rentgenových paprsků,
které pak sloužily k čerpání atomů v soustavě kovových tyčí. Rentgenový laserový
impuls byl vyzářený dříve než následkem výbuchu došlo k odpaření celé aparatury.
VLASTNOSTI VÝSTUPNÍHO ZÁŘENÍ LASERU
587
V Princeton Plasma Physics Laboratory (PPPL) v New Jersey bylo aktivní
prostředí rentgenového laseru tvořené pevným uhlíkovým terčem. Bylo tak možné
provádět série kontrolovaných experimentů. Impuls trvající 50 ns s energií 300 J
z laseru CO2 pracujícího na vlnové délce 10,6 ^/m byl fokusován na uhlíkový terč.
Infračervený laserový impuls je zdrojem tak velkého tepla, že z některých atomů
uhlíku jsou odtržené všechny elektrony, takže vzniká plasma úplně ionisovaných
c+
uhlíků ( C ) , která slouží k čerpání. Plasma je radiálně udržovaná magnetickým
polem. Ochlazování plasmy po skončení laserového impulsu má za následek zachycení
5+
elektronů na orbitách 9 = 3 vodíkupodobného iontu C . Protože současně jsou málo
obsazené orbity q = 2, je výsledkem inverzní obsazení hladin (viz obr. 12.1-2).
Jak vyplývá z (12.1-6) je přechod elektronů z q = 3 na q = 2 spojený s emisí
rentgenového fotonu o energii
2/i 2
V 2 2 32
Pro Z = 6 dostaneme energii fotonu 68 eV a vlnovou délku Ao = (1,24/68) //m =
= 18,2 nm. Tyto spontánně vyzářené fotony způsobují stimulovanou emisi rentgenových fotonů z dalších atomů a výsledkem je zesílená spontánní emise (ASE - amplified
spontaneous emission). Při těchto experimentech bylo dosaženo hodnoty součinu koeficientu zesílení a délky odpovídající jednomu průchodu jd KS 6, takže podle (13.1-7)
G
byl zisk G ~ e . Výsledkem bylo generování 20 ns trvajícího impulsu měkkého rentgenového záření ASE s výkonem 100 kW, energií 2mJ a s divergencí 5mrad.
V LLNL byl později použit gigantický laserový systém NOVA s N d 3 + ve skle
k odpaření tenkých folií z tantalu nebo wolframu, takže vznikly niklupodobné
ionty T a 4 5 + nebo W 4 0 + a výsledkem byl 250 ps dlouhý laserový impuls rentgenového
záření o vlnových délkách kratších než Ao = 4,3 nm.
Rentgenové lasery mají aplikační využití v rentgenové mikrolitografii při přípravě další generace polovodičových čipů s ještě větší hustotou a při dynamickém
zobrazování a holografii jednotlivých buněčných struktur v biologických systémech.
Lasery s volnými elektrony
Lasery s volnými elektrony (FEL - free electron laser) využívají magnetického
pole ondulátoru, tvořeného periodickou soustavou magnetů střídavé polarity. Aktivním prostředím je svazek relativistických elektronů, které se pohybují v poli ondulátoru. Elektrony nejsou vázané na atomy, ale nejsou ani úplně volné, protože jejich
pohyb je ovlivňovaný polem ondulátoru. Vlnovou délku emise lze v širokém oboru ladit změnou energie elektronů ve svazku a změnou periody magnetického pole.
V závislosti na konkrétním provedení mohou FEL emitovat záření o vlnových délkách od vakuové ultrafialové až do daleké infračervené oblasti spektra. Uvedeme jen
několik příkladů FEL: ultrafialový FEL na Pařížské Univerzitě pracuje v okolí vlnové
délky 0,2 /xm; do viditelné oblasti zasahuje FEL na Stanford University (Kalifornie),
který pracuje v oboru vlnových délek od 0,5 do 10 fim; ve střední infračervené oblasti
(od 9 do 40/LÍIB) pracuje FEL v Los Alarnos National Laboratory (LANL) v Novém
Mexiku; konečně v daleké infračervené oblasti (od 400 do 1000/um) pracuje FEL
na Kalifornské Univerzitě (Santa Barbara).
588
LASERY
Přehled vybraných laserových přechodů
V tabulce 14.2-1 jsou uvedené v pořadí podle rostoucí vlnové délky typické parametry
a charakteristiky některých nejznámějších laserových přechodů. Jsou uvedené také
intervaly vlnových délek, v nichž dochází k laditelným laserovým přechodům, celkové
účinnosti a výstupní výkony různých laserů.
Efektivní průřez přechodu, spontánní doba života a šířka atomové čáry řady
těchto laserových přechodů jsou obsažené v tab. 13.2-1. Spektrální šířka výstupního
záření laseru je obecně o mnoho řádů menší než šířky atomových čar uvedené
v tab. 13.2-1; příčinou je dodatečná frekvenční selektivita rezonátoru. V některých
laserových systémech nelze spojitě udržet inverzní obsazení a pracují proto pouze
v impulsním režimu.
Tabulka 14.2-1 Typické charakteristiky a parametry některých nejznámějších plynových (g), pevnolátkových (s), kapalinových (I) a plasmových (p) laserových přechodů
Laserové prostředí
Přibližná
Jedno- (S)
nebo
Kontinuální hodnota
více- (M) (cw) nebo
celkové
Výstupní
Vlnová délka modový
impulsní
účinnosti výkon nebo
Schéma
přechodu Ao
režim
režim"
T)(%)''
energiec energ. hladin
18,2 nm
C 5 +(p)
Excimer ArF (g)
193 nm
Excimer KrF (g)
248 nm
He-Cd (g)
442 nm
Ar+ (g)
515 nm
Barvivo
rhodamin-6G (1) 560-640 nm
He-Ne (g)
633 nm
Kr+_(g)
647 nm
Rubín (s)
694 nm
3+
Ti :A1 2 O 3 (s)
0,66-1,18 /mi
3
Nd +:sklo (s)
1,06 /im
Nd3+:YAG (s)
1,064/xm
Barevná centra
v KF (s)
1,25-1,45^111
He-Ne (g)
3,39 iim
FEL (LANL)
9-40 lim
CO 2 (g)
10,6/im
H 2 O (g)
118,7 ^m
HCN (g)
336,8 iun
M
M
M
S/M
S/M
S/M
S/M
S/M
M
S/M
M
S/M
S/M
S/M
M
S/M
S/M
S/M
impuls
impuls
impuls
cw
cw
cw
cw
cw
impuls
cw
10"°
1
1
0,1
0,05
0,005
0,05
0,01
0,1
0,01
cw
1
0,5
cw
cw
0,005
0,05
impuls
impuls
cw
cw
cw
0,5
10
0,001
0,001
2mJ
obr. 12.1-2
500 mJ
500 mJ
10 mW
10W
100 mW
lmW
500 mW
obr. 12.1-4
obr. 12.1-3
5J
10W
obr. 13.2-9
50 J
obr. 13.2-11
obr. 13.2-11
10W
500 mW
lmW
lmJ
obr. 12.1-3
100W
10/iW
obr. 12.1-1
lmW
"Lasery označené „cw" mohou pracovat rovněž v impulsním režimu; lasery označené „impuls"
obvykle pracují v impulsním režimu.
''Celková (nebo též přístrojová) účinnost je poměr výkonu výstupního záření a vstupního elektrického
příkonu (v případě impulsních laserů poměr výstupní energie a vstupní elektrické energie). Rekordně
vysoké celkové účinnosti (~ 65%) dosahují polovodičové diodové lasery, o nichž pojednává kap. 16.
'-Výstupní výkon (pro cw režim) a výstupní energie v jednom impulsu (pro impulsní režim)
konkrétních laserů leží v širokém intervalu hodnot (Často proto, že se v širokém rozmezí mění délky
impulsů); jsou uvedené typické hodnoty.
IMPULSNÍ LASERY
14.3
A.
589
IMPULSNÍ LASERY
Způsoby získávání impulsního záření laserů
Nejprostším způsobem, jak získat impulsy záření z laseru, je použití kontinuálního
(cw) laseru a externí uzávěrky nebo modulátoru, který propustí záření pouze během
požadovaného krátkého časového intervalu. Tato jednoduchá metoda však má dvě
zřejmé nevýhody. První nevýhodou je nízká účinnost, protože v době mezi jednotlivými impulsy se energie vyzařovaná laserem blokuje (a tudíž se ztrácí). Druhou pak
je skutečnost, že špičkový výkon impulsů nemůže přesáhnout hodnotu stálého výkonu
kontinuálního zdroje, jak ukazuje obr. 14.3-l(a).
Účinnější metodou získávání impulsů je zapínání a vypínání samotného laseru
vnitřní modulací, takže energie nashromážděná v době mezi impulsy je vyzářená
během impulsu. Energie se může hromadit buďto v rezonátoru ve formě světla,
které je periodicky vypouštěné ven, nebo v atomárním systému ve formě inverzního
obsazení a energie se periodicky uvolňuje, když systém může oscilovat. Tyto způsoby
umožňují generovat krátké laserové impulsy se špičkovým výkonem větším než je
konstantní výkon kontinuálních laserů, jak ukazuje obr. 14.3-1(6).
Pro vnitřní modulaci laserového záření se nejčastěji užívá některý ze čtyř
následujících způsobů: spínání zisku, spínání jakosti Q dutiny, otevírání dutiny
a modová synchronizace. Těmi se budeme postupně zabývat.
Spínání zisku
Tato poměrně jednoduchá metoda je založená na kontrolovaném zapínání a vypínání
čerpání (obr. 14.3-2). Např. v impulsním rubínovém laseru čerpaném výbojkou
je čerpání (výbojka) periodicky zapínané na krátkou dobu elektrickým impulsem.
Během zapnutého čerpání přesáhne koeficient zesílení hodnotu koeficientu ztrát a je
generované laserové záření. Většina impulsních polovodičových laserů využívá spínání
zisku, protože lze snadno modulovat čerpací elektrický proud (viz kap. 16). Doby
náběhu a dosvitu laserového impulsu dosahované při spínání zisku jsou odvozené
v odst. 14.3B
Modulátor
Modulátor
Špičkový výkon
Špičkový výkon
"JI
Průměrný
výkon
r cw výkon
(a)
Ib)
Obrázek 14.3-1 Porovnání výstupního záření impulsních laserů (a) s vnějším modulátorem a (6) s vnitřním modulátorem.
590
LASERY
JUUL
Zisk
Ztráty
.erpani
'JULJLJL
Výstupní
záření
laseru
Obrázek 14.3-2
Spínání zisku.
Spínání jakosti Q dutiny
V této metodě jsou laserové oscilace periodicky znemožňované zvyšováním ztrát
rezonátoru (zhoršováním činitele jakosti Q rezonátoru) pomocí modulované absorpce
uvnitř rezonátoru (obr. 14.3-3). Spínání Q se tedy realizuje spínáním ztrát. Protože
čerpání probíhá stále s konstantním výkonem v čase, hromadí se v době velkých
ztrát energie v atomech ve formě akumulované inverzní populace. Když se při sepnutí
sníží ztráty, uvolní se velká akumulovaná inverzní populace vyzářením intenzivního
(obvykle krátkého) impulsu záření. Rozbor této metody je v odst. 14.3C.
Otevírání dutiny.
Tato technika získávání impulsů je založená na hromadění fotonů (místo rozdílu
obsazení) v rezonátoru během doby, kdy laser nemá vyzařovat a na jejich uvolnění
během doby vyzařování laseru. Od spínání jakosti Q, kdy jsou modulované ztráty,
se liší tím, že se mění propustnost zrcadla (viz obr. 14.3-4). Systém pracuje podobně
jako nádoba, do níž se konstantní rychlostí nalévá hadicí voda. Když se nádoba
naplní vodou, odstraní se náhle její dno, takže všechna voda je naráz vypuštěná.
Dno nádoby se hned vrátí zpět a proces se může opakovat. Konstantní tok vody
se tím převádí na impulsní tok. V případě laseru s otvíráním dutiny odpovídá
nádobě rezonátor, hadici s vodou konstantní čerpání a dnu nádoby výstupní zrcadlo
rezonátoru. V době, kdy laser nemá vyzařovat je znemožněné jakékoliv unikání
světla, včetně světla užitečného, z rezonátoru. Výsledkem jsou zanedbatelné ztráty
rezonátoru mající za následek rostoucí optický výkon uvnitř laserového rezonátoru.
Fotony se hromadí v rezonátoru a nemohou z něj unikat. Zrcadlo je náhle úplně
odstraněné (např. stočením z osy rezonátoru) a tím se na dobu vyzařování zvětší jeho
Modulovaný
absorbér
Ztráty
-.. .
Zisk
~JLA_A_A_.
Výstupní
záření
laseru
Obrázek 14.3-3
Spínání činitele jakosti Q rezonátoru.
IMPULSNÍ LASERY
591
Zisk
I
L
Ztráty
lil
Propustnost
zrcadla
1
Výstupní
záření laseru
Obrázek 14.3-4 Otevírání dutiny. Odstraněním jednoho ze zrcadel jsou nashromážděné
fotony z rezonátoru vypuštěné jako užitečné záření.
propustnost na 100%. Když akumulované fotony opouštějí rezonátor, náhlé zvýšení
ztrát zastavuje oscilace. Výsledkem je silný impuls laserového záření. Rozbor metody
otevírání dutiny zde nebudeme provádět, jelikož těsně souvisí se spínáním jakosti Q:
časové změny zesílení a ztrát jsou podobné, o čemž se lze přesvědčit porovnáním
obr. 14.3-4 a 14.3-3.
Modová synchronizace
Synchronizace modů se liší od tří předchozích způsobů. Generování laserových
impulsů se dosahuje vazbou modů laseru a jejich vzájemným sfázováním. Takovým
způsobem se mohou chovat např. podélné mody mnohamodového laseru, který
osciluje na frekvencích ekvidistantně rozložených s mezimodovou frekvencí c/2d.
Jestliže tyto složky jsou sfázované, mají vlastnosti Fourierových složek periodické
funkce a tvoří tudíž sled periodických impulsů. Vazba mezi mody se dosahuje
periodickou modulací ztrát uvnitř rezonátoru. Modová synchronizace bude probraná
v odst. 14.3D.
*B.
Rozbor přechodových jevů
Analytický popis činnosti impulsních laserů vyžaduje pochopení dynamiky procesu
laserových oscilací, tj. jejich časového průběhu při zahájení a ukončení laserových
oscilací. Stacionární řešení získaná v předchozích kapitolách nejsou pro tyto účely
adekvátní. Proces laserování je závislý na dvou veličinách: na počtu fotonů v jednotce
objemu v rezonátoru n{ť) a na objemové hustotě rozdílu obsazení hladin atomů
N(t) = A/2(í) - N-í(t); obě jsou funkcí času t.
Rychlostní rovnice hustoty fotonů
Pro hustotu fotonů n platí rychlostní (kinetická) rovnice
(14.3-1)
592
LASERY
První člen na pravé straně představuje ztráty fotonů způsobené jejich unikáním
z rezonátoru, které probíhají s rychlostní konstantou rovnou převrácené hodnotě
doby života fotonu v rezonátoru 1/TP. Druhý člen představuje celkový zisk fotonů,
který probíhá s rychlostí NW{ a má původ ve stimulované emisi a absorpci. Wi =
= 4><?(y) = cno(y) je hustota pravděpodobnosti indukované absorpce nebo emise.
Předpokládáme, že spontánní emise je zanedbatelně malá. Pomocí vztahu Nt =
= aT/a(v) = l/crpo(v), ve kterém Nt je prahová inverzní populace [viz (14.1-3)],
můžeme psát cr(v) = l/crpNt a dostaneme
Dosazením do rovnice (14.3-1) dostaneme jednoduchou diferenciální rovnici pro hustotu n
Rychlostní rovnice
pro hustotu fotonů
án
n
N n
dť
T„
N, To
(14.3-2)
Pokud je N > Nt, bude dsz/dt kladné a n poroste. Při dosažení stacionárního stavu
(d^/dť = 0) je N = Nt.
Rychlostní rovnice pro rozdíl obsazení
Dynamické chování rozdílu populace /V(ť) závisí na způsobu čerpání. V této části
se budeme zabývat tříhladinovým schématem čerpání (viz odst. 13.2B). Rychlostní
rovnice pro obsazení horní energetické hladiny přechodu je podle (13.2-5)
(14.3-3)
když předpokládáme, že TI = tsp. R je rychlost čerpání, o níž předpokládáme, že
nezávisí na rozdílu obsazení N. Jestliže celkovou koncentraci atomůrt/2+ A/i označíme
symbolem Na, takže A/j = (Na — N)/2 a W2 = (A/a + /V)/2, dostaneme diferenciální
rovnici pro rozdíl obsazení N = A/2 — A/j
dí
tsp
(14.3-4)
tsp
ve které A/o = 2Rtsp — A/a [viz (13.2-22)]. Dosazením výše odvozeného vztahu Wi =
= /z/NtTp do (14.3-4) dostaneme
Rychlostní rovnice
pro rozdíl obsazení
hladin
(tříhladinový systém)
d/V
dí
A/n
N
*sp
N n
Nt
- 2—
(14.3-5)
Třetí člen na pravé straně rovnice (14.3-5) je až na znaménko dvojnásobkem druhého
členu na pravé straně (14.3-2). To odpovídá skutečnosti, že generováním jednoho
IMPULSNÍ LASERY
593
fotonu při indukovaném přechodu se snižuje obsazení hladiny 2 o jeden atom
a současně se zvyšuje obsazení hladiny 1 o jeden atom, takže rozdíl obsazení se sníží
o dva atomy.
Rovnice (14.3-2) a (14.3-5) jsou vázané nelineární diferenciální rovnice, jejichž
řešením dostaneme přechodové vlastnosti hustoty fotonů n(ť) a rozdílu populace N(t).
Jestliže položíme d/V/dí = 0 a d^/dť = 0, dostaneme N — Nt &n — {N0-Nt)(Tp/2tsp).
To jsou právě stacionární hodnoty N a n, které jsme získali již dříve, což zřejmě
potvrzuje vztah (14.2-12), když dosadíme TS = 2tsp, jak pro tříhladinové schéma
čerpání vyžaduje rovnice (13.2-23).
Cvičení 14.3-1
Rychlostní rovnice pro rozdíl obsazení ve čtyřhladinovém systému. Odvoďte rychlostní rovnici pro rozdíl populace čtyřhladinového systému, ve kterém platí n
tsp. Vysvětlete, proč vymizí faktor 2, který vystupuje v rovnici (14.3-5).
Spínání zisku
Spínání zisku se provádí zapínáním a vypínáním rychlosti čerpání R; to je zase ekvivalentní modulaci rozdílu obsazení při malém signálu A/o = 2Rtsp - Na. Schematický
obrázek typického časového vývoje rozdílu obsazení N(t) a hustoty fotonů n{ť) při impulsním režimu laseru způsobeném změnami A/o je na obr. 14.3-5. V celém procesu
je zřejmých několik stádií:
• Při ť < 0 je rozdíl populace N(t) = Noa menší než prahová hodnota inverze A/ť
a oscilace nemohou nastat.
_erpani
"o*
N(t) Rozdíl obsazení
Ztráty
N,
Mtt
Hustota fotonů
Obrázek 14.3-5 Časový vývoj rozdílu obsazení W(í) a hustoty fotonů «(t) při čerpání
pravoúhlým impulsem, kterým se /Vy náhle nejdříve zvětší z nízké hodnoty A/ou na vysokou
hodnotu NQI, a potom se sníží zpět na nízkou hodnotu Wy,,.
594
LASERY
• Čerpání se zapne v čase í = O a tím se skokem zvětší NQ Z podprahové
hodnoty Noa na hodnotu A/o<, nad prahem. Následkem toho začne vzrůstat rozdíl
obsazení N(t). Pokud však bude N(t) < Nt, bude hustota fotonů n = 0. V této
oblasti bude mít rovnice (14.3-5) tvar d/V/dť = (No — N)/tsp, což ukazuje, že N(t)
bude exponenciálně růst s časovou konstantou tsp k rovnovážné hodnotě Nob• Jakmile v čase t = t\ dosáhne N{i) prahové hodnoty Nt, začnou laserové oscilace
a^(í) vzrůstá. Následkem toho se bude inverzní obsazení snižovat a N(t) poroste
s menší rychlostí. S rostoucím niť) proces snižování N(t) převládne a N(t)
začne klesat k hodnotě Nt. Nakonec dosáhne hodnoty Nt, při níž n[í) dosáhne
stacionární hodnoty.
• Čerpání se přeruší v okamžiku t = Í2 a tím se sníží A/o na původní hodnotu NoaN(ť) klesá k hodnotě Nga a 7z{i) klesá k nule.
Přesný průběh nárůstu a poklesu n(t) získáme numerickým řešením rovnic
(14.3-2) a (14.3-5). Závisí na hodnotách tsp, TP, Nt stejně jako na A/o0 a A/0(, (viz
úloha 14.3-1).
*C.
Spínání činitele jakosti Q rezonátoru
Impulsní režim laseru při spínání činitele jakosti rezonátoru se dosahuje přepínáním
koeficientu ztrát rezonátoru ar z velké hodnoty v časovém intervalu, kdy laser nemá
vyzařovat, na malou hodnotu v době, kdy vyzařovat má. Toho lze dosáhnout různými
způsoby, např. umístěním modulátoru, který periodicky zvyšuje ztráty, v rezonátoru.
Jelikož prahová inverze Nt laseru je úměrná koeficientu ztrát rezonátoru ar [viz
(14.1-12) a (14.1-5)], je výsledkem přepnutí aT na nižší hodnotu snížení Nt z vysoké
hodnoty Nta na nízkou hodnotu Ntb, jak ukazuje obr. 14.3-6. Při spínání Q je
tedy modulované Nt, zatímco NQ zůstává neměnné, oproti spínání zisku, kdy je
modulované A/o a neměnné zůstává Nt (viz obr. 14.3-5). Rozdíl obsazení a hustota
fotonů se v čase chovají následujícím způsobem:
• V čase í = 0 je zapnuté čerpání, takže se skokem změní A/o. Ztráty jsou udržované
• Ztráty
—No Čerpání
Nit)
Inverzní
obsazení
Hustota
fotonů
Obrázek 14.3-6 činnost laseru se spínáním činitele jakosti Q. Průběhy prahové inverze Nt (je úměrná rezonátorovým ztrátám), parametru čerpán! A/o, rozdílu obsazení N(t)
a hustoty fotonů /^(í).
IMPULSNÍ LASERY
595
na dostatečně vysoké úrovni (Nt = Nta > No), aby laser nemohl začít oscilovat.
Rozdíl obsazení N(t) tudíž vzrůstá (s časovou konstantou tsp). Ačkoliv se tak
prostředí stane zesilovačem s velkým ziskem, jsou ztráty dostatečně velké, aby
nedošlo k oscilacím.
• V okamžiku t = t\ se náhle sníží ztráty, takže Nt se zmenší na hodnotu Nti < ft/g.
Oscilace tedy mohou začít a hustota fotonů prudce vzrůstá. Přítomnost záření
způsobí snižování inverzní populace (saturace zisku), takže A/(í) začne klesat.
Když A/(í) klesne pod hodnotu A/tt, převládnou znovu ztráty nad ziskem a hustota fotonů rychle poklesne (s časovou konstantou řádově rovnou době života
fotonu v rezonátoru).
• Při ť = Í2 se znovu nastaví velké ztráty a během následujícího dlouhého časového
intervalu se tak může vytvořit inverzní obsazení pro další impuls. Celý proces se
periodicky opakuje, takže je generovaná periodická řada optických impulsů.
Nyní budeme řešit úlohu, jak určit špičkový výkon, energii, šířku a tvar optického
impulsu generovaného laserem se spínáním Q v ustáleném impulsním režimu. Vyjdeme ze dvou základních rychlostních rovnic (14.3-2) pro/z(t) a (14.3-5) pro N(t), které
budeme řešit v časovém intervalu od i; do íy, kdy laser vyzařuje, jak je vyznačeno
na obr. 14.3-6. Úlohu lze samozřejmě řešit numericky. Jestliže však předpokládáme, že
první dva členy na pravé straně rovnice (14.3-5) jsou zanedbatelné, úloha se podstatně zjednoduší a lze získat analytické řešení. Takový přepoklad je oprávněný, jestliže
čerpání i spontánní emise jsou zanedbatelné ve srovnání s působením indukovaných
přechodů během krátkého časového intervalu od i; do tf. Tato aproximace je použitelná, je-li šířka generovaných optických impulsů mnohem kratší než í.VJ). Za těchto
okolností mají (14.3-2) a (14.3-5) tvar
(14.3-6)
(14.3-7)
Jsou to dvě vázané diferenciální rovnice pro n(ť) a A/(í) s počátečními podmínkami
» = 0a)V = IViV čase č = í;. V době od i; do í/ je Nt nastavené na pevnou nízkou
hodnotu Na.
Dělením (14.3-6) rovnicí (14.3-7) dostaneme jedinou diferenciální rovnici spojující n a N
dW~2\N
''
(14.3-8)
jejíž integrací získáme
(14.3-9)
596
LASERY
Při počátečních podmínkách n = 0, když N = /V,;, nakonec dostaneme
(14.3-10)
Impulsní výkon
Podle rovnic (14.2-10) a (14.2-3) je hustota vnitřního fotonového toku (zahrnující
oba směry šíření) daná vztahem ^ = « c a hustota vnějšího toku fotonů vystupujících
zrcadlem 1 (s propustností -3?) je pak <J>Q = \3fnc. Za přepokladu, že hustota
fotonového toku je konstantní na celé ploše A průřezu výstupního svazku, je výstupní
optický výkon
Po = hvAfo = -hvc^An = hv&Ž-Vn,
(14.3-11)
kde V = Ad je objem rezonátoru. Podle (14.2-17) za předpokladu, že & <g 1, je podíl
rezonátorových ztrát spojených s vyvedením použitelného světla na výstupu laseru,
roven r\e w S^(c/2d)rp, takže dostaneme
„y
Po = r\chv—.
(14.3-12)
Interpretace této rovnice je snadná: činitel nV/Tp je počet fotonů, které se ztrácejí
za jednotku času z rezonátoru.
Špičkový výkon impulsu
Jak jsme ukázali v předešlém textu a na obr. 14.3-6 dosahuje^ špičkové hodnoty/z,,,
když N = Nt = Ntb- Tento závěr můžeme potvrdit dosazením á/z/át = 0 do rovnice
(14.3-6), což vede bezprostředně ke vztahu N = Nt. Jeho dosazením do (14.3-10) pak
získáme
Spojením tohoto výsledku s (14.3-11) dostaneme pro špičkový výkon
PP = huSr±VM„.
(14.3-14)
Je-li Ni 7$> Nt, což platí v případě impulsů s velkým špičkovým výkonem, je
Ni <C 1, načež z rovnice (14.3-13) dostaneme
(14.3-15)
IMPULSNÍ LASERY
597
Špičková hustota fotonů je tedy rovná jedné polovině počáteční hodnoty rozdílu hustot obsazení hladin. V tom případě je špičkový výkon vyjádřený zvlášť jednoduchým
vztahem
Špičkový výkon
impulsu
(14.3-16)
Energie impulsu
Energie impulsu je určená vztahem
E=
Podí,
který lze s pomocí rovnice (14.3-11) přepsat ve tvaru
2d
Jt.
d/V.
2d
(14.3-17)
Využijeme-li při úpravě (14.3-17) vztahu (14.3-7), dostaneme
" dW
(14.3-18)
a po integraci
(14.3-19)
Konečný rozdíl obsazení Nf určíme dosazením n = 0 a N = Nf do (14.3-10)
a získáme
/V, _ Ni - Nf
(14.3-20)
Dosazením tohoto výsledku do (14.3-19) dostaneme
Energie impulsu
při spínání Q
(14.3-21)
Je-li Ni > Nf, E ss \hvST{cj1d)VrvNi,
jak lze očekávat. Zbývá vypočítat Ns
z rovnice (14.3-20). Můžeme postupovat tak, že ji přepíšeme ve tvaru Y exp(—Y) =
= Xexp{-X),
kde X = N:/Nt a Y = Nf/N,. Při daném X = A/,://V( můžeme Y
snadno určit numericky nebo pomocí grafu na obr. 14.3-7.
598
LASERY
Obrázek 14.3-7 Grafický postup určení Ns ze zadaného /V;; X = Ní/Nt a Y = Nf/Nt.
Při daném X — X\ je na svislé ose hodnota Xi exp(—Xi). Protože hledané řešení Y\
splňuje rovnici Ví exp(—Ví) = X\ exp( —Xi), musí mu příslušet stejná hodnota na svislé
ose.
Šířka impulsu
Hrubý odhad doby trvání impulsu (jeho délky nebo také šířky) získáme dělením energie impulsu jeho špičkovým výkonem. Vyjdeme-li z (14.3-13), (14.3-14) a (14.3-21),
dostaneme
Šířka impulsu
Timi>uls
" r í ) A/,;/A/ ( -ln(A/,;/A/ ( )-ť
(14.3-22)
Když je Ni > Nt a N-, > Nf je 7i m p „i 8 « TV.
Tvar impulsu
Tvar optického impulsu, stejně jako všechny parametry impulsu uvedené výše, lze
získat numerickou integrací rovnic (14.3-6) a (14.3-7). Příklady výsledných průběhů
impulsů jsou na obr. 14.3-8.
Cvičení 14.3-2
Impulsní rubínový laser.
Uvažujte rubínový laser diskutovaný ve cvičení 14.1-1 na str. 566. Jestliže tento laser nyní pracuje v režimu se spínáním Q
takovým, že na konci čerpacího cyklu (tj. v čase í = í; na obr. 14.3-6) je
rozdíl obsazení A/,; = 6/V(, určete pomocí obr. 14.3-8 přibližný tvar laserového impulsu a přibližné hodnoty jeho šířky, špičkového výkonu a celkové
energie.
D.
Modová synchronizace
Laser může oscilovat v mnoha podélných modech, jejichž frekvence jsou ekvidistantně
rozložené s mezimodovou vzdáleností up — c/2d. I když tyto mody obvykle oscilují
nezávisle (tzv. režim volně oscilujících modů), lze vnějším zařízením dosáhnout jejich
svázání a sfázování. Na jednotlivé mody se potom můžeme dívat jako na složky
IMPULSNÍ LASERY
599
Obrázek 14.3-8 Typické tvary impulsů při spínání jakosti Q získané numerickým integrováním aproximativnícli rychlostních rovnic. Hustota fotonů r/(ť) je normovaná vzhledem
k prahovéhu rozdílu obsazení Nt = Nftj a čas í je normovaný vůči době života fotonu rp.
S rostoucím poměrem Ni/Nt se impulsy zužují a dosahují větších špičkových hodnot.
V limitním případě Ni/Nt S> 1 se blíží špičková hodnota«(í) hodnotě i/Vj.
Fourierova rozvoje periodické funkce s periodou 7> = l/vp = 2tf/c, která v tomto
případě představuje řadu periodicky se opakujících impulsů. Po vyšetření vlastností
takového pravidelného sledu impulsů generovaného při modové synchronizaci se
věnujeme metodám sfázování modů mezi sebou.
Vlastnosti sledu impulsů při modové synchronizaci
Budeme-li každý laserový mod aproximovat uniformní rovinnou vlnou postupující ve
směru osy z rychlostí c = CQ/U, můžeme vyjádřit celkovou komplexní vlnovou funkci
pole ve tvaru součtu
(14.3-23)
U(z, t) =
kde
= v$ + qvF,
9 = 0, ±1, ±2,
(14.3-24)
je frekvence modu q a Aq je jeho komplexní obálka. Pro jednoduchost budeme
předpokládat, že mod q = 0 koinciduje s centrální frekvencí VQ atomové čáry. Velikost
\Aq\ můžeme určit ze známého spektrálního průběhu zesílení a rezonátorových ztrát
(viz odst. 14.2B). Jelikož v prostředí s nehomogenním rozšířením mody interagují
s odlišnými skupinami atomů, jsou jejich fáze arg{ Aq } náhodné a statisticky nezávislé.
600
LASERY
Dosazením (14.3-24) do (13.3-23) dostaneme
U(z, ť) = £/ t
exp
c
í -
c
(14.3-25)
kde komplexní obálka £/{i) je funkcí
(14.3-26)
7> = ^ = ^ .
(14.3-27)
Komplexní obálka .c/(í) V (14.3-26) je periodickou funkcí s periodou Tp a x/(í — z je)
je periodickou funkcí z s periodou cT> = 2rf. Jestliže vhodně vybereme velikosti a fáze
komplexních koeficientů Aq, může mít £/(<) tvar periodické řady úzkých impulsů.
Uvažujme např. M modů (q = 0, ±1, ±2, ..., ±5, takže M = 25+1) se stejnými
komplexními koeficienty Aq = A, q = 0, ±1, ±2, ..., ± 5 . Potom platí
_
= s
= A-
V
kde x = exp(j2nt/Tp) (podrobněji viz odst. 2.6B). Po několika algebraických
úpravách lze s/(t) vyjádřit ve tvaru
sin(
sm
Pro optickou intenzitu I(z,t) = |x/(i — z/c)\2 potom dostaneme
Na obr. 14.3-9 je vidět, že se jedná o periodickou funkci času.
Průběh sledu laserových impulsů generovaných při modové synchronizaci tedy
závisí na počtu modů M, který je úměrný šířce atomové čáry Ai>. Délka impulsu
r
imi>uis je tudíž nepřímo úměrná spektrální šířce atomové čáry Au. Jestliže M ~
« AV/VF, je Timpuis = Tp/M « 1/AiA Protože šířka Av může být značně velká,
lze při modové synchronizaci generovat velmi úzké laserové impulsy. Poměr mezi
špičkovou a střední intenzitou se rovná počtu modů M, který může být rovněž velký.
Perioda impulsů v řadě za sebou je Tp = Id je. Je to právě doba jednoho
oběhu při dvou odrazech v rezonátoru. Na světlo generované laserem s modovou
synchronizací se můžeme vskutku dívat jako na jediný úzký impuls fotonů, který se
odráží mezi zrcadly rezonátoru (viz obr. 14.3-10). Při každém odrazu na výstupním
zrcadle část fotonů vystupuje z rezonátoru ve tvaru světelného impulsu. Výstupní
IMPULSNÍ LASERY
601
Intenzita
Obrázek 14.3-9 Průběh intenzity periodické řady impulsů, která je výsledkem součtu M
laserových modů stejných velikostí a fází. Každý impuls má šířku A/-krát menší než je
perioda Tp a špičkovou intenzitu M-krát větší než je průměrná intenzita.
impulsy jsou v prostoru od sebe vzdálené c(2d/c) = 2d a jejich šířka je c/impuis =
= 2d/M.
Vlastnosti laserových impulsů generovaných při modové synchronizaci jsou shrnuté v tab. 14.3-1.
Konkrétním příkladem pro nás bude laser s Nd 3 + :sklo pracující na vlnové
délce Ao = 1,06/im. Má index lomu n = 1,5 a šířku spektrální čáry Ai/ =
= 3 x 10 1 2 Hz. Šířka impulsu tedy vychází Ti m , ni i s = 1/ Aw ~ 0,33 ps a jeho prostorová
délka </i,npUis zz 67/im. Je-li délka rezonátoru d = 10 cm, je vzdálenost mezi mody
vp = c/2d = 1 GHz, což znamená, že počet modů M = Av/vp = 3000. Špičková
intenzita je tudíž 3000-krát větší než střední intenzita. V prostředí se širokými
spektrálními čarami je k získání krátkých impulsů modová synchronizace obecně
výhodnější než spínání jakosti Q. Na druhé straně plynové lasery mají většinou úzké
atomové čáry, takže v nich modovou synchronizací nelze získat ultrakrátké impulsy.
Optická
závěrka
"impuls
Rezonátor
-T-
•2d-
Obrázek 14.3-10 Impuls v modově synchronizovaném laseru se odráží mezi zrcadly
rezonátoru. Při každém dopadu na výstupní zrcadlo jím část záření projde ve tvaru
krátkého optického impulsu. Prošlé impulsy jsou v prostoru od sebe vzdálené Id a šíří
se rychlostí c. Závěrka se otevírá, pouze když impuls dopadá na zrcadlo a právě na dobu
trvání impulsu. Za těchto okolností není sled periodických impulsů optickou závěrkou
vůbec ovlivňovaný. Každému jinému rozložení vlnění v rezonátoru odpovídají větší ztráty
a proto laser nemůže oscilovat.
602
LASERY
Tabulka 14.3-1
Charakteristické vlastnosti sledu impulsů při modové synchronizaci
Časová perioda
Šířka impulsu
Prostorová perioda
Délka impulsu
Střední intenzita
Špičková intenzita
Tp = —
"""impuls
=
= "
M
Mvp
2rf
2d_
impuls = c T i l n p u l s = —
M
2
/ = M\A\
2
2
Ip = M \A\ = Ml
I když výše získané vztahy byly odvozené pro speciální případ, kdy mody
mají stejné amplitudy a fáze, podobné výsledky dostaneme i výpočtem založeným
na realističtějších vlastnostech laseru.
Cvičení 14.3-3
Modelování vzniku impulsů při modové synchronizaci. Napište počítačový program pro grafické znázornění závislosti intenzity I(t) = |x/(í)| 2
vlnění, jehož obálka £/(i) je určená součtem (14.3-26). Předpokládejte, že
počet modů M = 11 a komplexní koeficienty Aq volte postupně následujícími způsoby:
a) Koeficienty stejných velikostí a stejných fází (výsledek by měl být stejný
s výsledkem předchozího příkladu).
b) Koeficienty s velikostmi podle Gaussova spektrálního průběhu 1^4,1 =
= exp[— j(<?/5)2] a se stejnými fázemi.
c) Koeficienty stejných velikostí a a náhodných fází (hodnoty fází získejte
pomocí generátoru náhodných čísel tak, že budou náhodně rozložené
rovnoměrně mezi 0 a 2n).
Metody modové synchronizace
Již jsme si ukázali, že při sfázování velkého počtu M modů vzniká v rezonátoru úzký
obří impuls fotonů, který se odráží mezi zrcadly. Prostorová délka impulsu je M-krát
menší než dvojnásobek rezonátorové délky. Otázkou zůstává, jak lze synchronizovat
mody, aby měly stejnou fázi (sfázovat mody). Nyní si ukážeme, že toho lze dosáhnout
pomocí modulátoru nebo závěrky, které se umístí v rezonátoru.
Předpokládejme, že uvnitř rezonátoru je umístěná optická závěrka (např. elektrooptická nebo akustooptická závěrka, o kterých pojednávají kap. 18, 20 a 21),
která v zavřeném stavu blokuje světlo po celou dobu až na časový úsek, v němž jí
prochází impuls a kdy je zcela otevřená (obr. 14.3-10). Protože impuls může projít,
nemá na něj vložená závěrka žádný vliv a celý sled impulsů prochází bez jakéhokoliv
rušení. Jestliže jednotlivé mody nejsou sfázované, mají různé fáze dané náhodnými
podmínkami v okamžiku nasazení oscilací. Jestliže se náhodou stane, že fáze budou
mít stejné hodnoty, vznikne složením modů obří impuls, který vloženou závěrkou
IMPULSNÍ LASERY
603
nebude ovlivňován. Každá jiná kombinace fází by vedla k rozložení pole, které by bylo
závěrkou úplně nebo částečně blokované a tím by se zvětšily ztráty systému. Znamená
to, že při vložení závěrky s výše uvedeným režimem činnosti mohou začít laserovat
pouze mody se stejnými fázemi. Laser tedy bude čekat na příznivé nastavení takových
fází a jakmile oscilace začnou, budou pokračovat ve stavu sfázovaných modů.
Celý problém lze objasnit také matematicky. Optické pole musí splňovat vlnovou
rovnici a okrajové podmínky kladené rovněž vloženou závěrkou. Mnohamodové
optické pole (14.3-23) skutečně splňuje vlnovou rovnici při libovolné kombinaci fází.
V případě stejných fází splňuje současně okrajovou podmínku tvořenou závěrkou;
musí tedy být jediným řešením.
K modové synchronizaci lze užít také pasivní závěrku tvořenou saturovatelným
absorbujícím prostředím. Látka se saturovatelnou absorpcí (viz odst. 13.3B) je
prostředím, jehož absorpční koeficient klesá, když roste intenzita světla, které jím
prochází; znamená to, že intenzivní impulsy propouští s relativně malou absorpcí
a absorbuje slabé impulsy. Oscilace pak mohou nastat, když fáze různých modů jsou
vzájemně uspořádané tak, že mody tvoří intenzivní impuls, který je schopen projít
pasivní závěrkou. Aktivní a pasivní závěrky se užívají také pro modovou synchronizaci
v aktivních prostředích s homogenním rozšířením.
Příklady laserů s modovou synchronizací
V tab. 14.3-2 je přehled některých laserových prostředí, v nichž lze dosáhnout režimu
modové synchronizace; jsou řazené podle rostoucí šířky impulsu. Tabulka dokumentuje velký rozsah šířek generovaných impulsů, které se mohou i při použití stejného aktivního prostředí podstatně lišit — závisí na metodě modové synchronizace.
Např. lasery s rhodaminem 6G mohou být konstruované v konfiguraci s kruhovým
rezonátorem při tzv. kolizním impulsním režimu (CPM—colliding pulse mode).
Vstřícně postupující ultrakrátké laserové impulsy se setkávají právě ve velmi tenkém
proudu barviva, které slouží jako saturovatelné prostředí. Pouze během krátké doby,
kdy impulsy současně procházejí tenkým absorpčním prostředím je intenzita zvýšená a ztráty jsou minimalizované. Při správném umístění aktivního prostředí vůči
Tabulka 14.3-2 Typické šířky impulsů některých modově synchronizovaných laserů s homogenním (H)
a nehomogenním (N) rozšířením
šířka čáry
přechodu" Au
Aktivní prostředí laseru
Ti 3 +:A1 2 O 3
Rhodamin-6G
Nd 3 +:sklo
Er3"^ :křemenné vlákno
Rubín
Nd3+:YAG
Ar+
He-Ne
CO2
H
H/N
N
H/N
H
H
N
N
N
100 THz
5THz
3 THz
4THz
60GHz
120 GHz
3,5 GHz
1,5 GHz
60MHz
"Šířky čar přechodů Au jsou převzaté z tab. 13.2-1.
Teoretická šířka
impulsu
TjIupuis = X/Au
10 fs
200 fs
333 fs
250 fs
16 ps
8ps
286 ps
667 ps
16ns
Experimentálně
dosažená
šířka impulsu
30 fs
500 fs
500 fs
7ps
10 ps
50 ps
150 ps
600 ps
20 ns
604
LASERY
saturovatelnému prostředí lze dosáhnout šířky impulsu menší než 25 fs. V běžných
uspořádáních se dosahuje mnohem větších šířek impulsů ( « 500fs).
LITERATURA
Knihy a články věnované teorii laseru
Viz také seznam literatury ke kapitole 13.
Knihy o laserech
C. A. Brau, Free-Electron Lasers, Academie Press, (Mando, FL, 1990.
F. P. Schafer, ed., Dye Lasers, Springer-Verlag, New York, 3. vyd. 1990.
R. C E l t o n , X-Ray Lasers, Academie Press, Orlando, FL, 1990.
N. G. Basov, A. S. Bashkin, V. I. Igoshin, A. N. Oraevsky a A. A. Shcheglov, Chemical
Lasers, Springer-Verlag, New York, 1990.
P. K. Das, Lasers and Optical Engineering, Springer-Verlag, New York, 1990.
A. A. Kaminskii, Laser Crystals, Springer-Verlag, New York, 2. vyd. 1990,
N. G. Douglas, Millimetre and SubmilUmetre Lasers, Springer-Verlag, New York,
1989.
P. K. Cheo, ed., Handbook of Solid-State Lasers, Marcel Dekker, New York, 1988.
P. K. Cheo, ed., Handbook of Molecular Lasers, Marcel Dekker, New York, 1987.
L. F. Mollenauer a J. C. White, eds., Tunable Lasers, Springer-Verlag, Berlin, 1987.
T. C. Marshall, Free Electron Lasers, Macmillan, New York, 1985.
P. Hammerling, A. B. Budgor a A. Pinto, eds., Tunable Solid State Lasers,
Springer-Verlag, New York, 1985.
C. K. Rhodes, ed., Excimer Lasers, Springer-Verlag, Berlin, 2. vyd. 1984.
G. Brederlow, E. Fill a K. J. Witte, The High-Power Iodine Laser, Springer-Verlag,
Berlin, 1983.
D. C. Brown, High Peak Power Nd:Glass Laser Systems, Springer-Verlag, Berlin,
1981.
S. A. Losev, Gasdynamic Laser, Springer-Verlag, Berlin, 1981.
A. L. Bloom, Gas Lasers, R. E. Krieger, Huntington, NY, 1978.
E. R. Pike, ed., High-Power Gas Lasers, Institute of Physics, Bristol, England, 1975.
C. S. Willett, Introduction to Gas Lasers: Population Inversion Mechanisms, Pergamon Press, New York, 1974.
R. J. Pressley, Handbook of Lasers, Chemical Rubber Company, Cleveland, OH,
1971.
D. C. Sinclair a W. E. Bell, Gas Laser Technology, Holt, Rinehart and Winston, New
York, 1969.
L. Allen a D. G. C. Jones, Principles of Gas Lasers, Plenům Press, New York, 1967.
C. G. B. Barrett, Gas Lasers, McGraw-Hill, New York, 1967.
W. V. Smith a P. P. Sorokin, The Laser, McGraw-Hill, New York, 1966.
LITERATURA
605
Knihy věnované aplikacím laserů
F. J. Duarte a L. W. Hillman, Dye Laser Principles with Applications, Academie
Press, Orlando, FL, 1990.
P. G. Cielo, Optical Techniques for Industrial Inspection, Academie Press, New York,
1988.
W. Guimaraes, C. T. Lin a A. Mooradian, Lasers and Applications, Springer-Verlag,
Berlin, 1987.
H. Koebner, Industrial Applications oj Lasers, Wiley, New York, 1984.
W. W. Duley, Laser Processing and Analysis oj Materials, Plenům Press, New York,
1983.
H. M. Muncheryan, Principles and Practice oj Laser Technology, Tab Books, Blue
Summit, PA, 1983.
F. Durst, A. Mellino a J. H. Whitelaw, Principles and Practice oj Laser-Doppler
Anemometry, Academie Press, New York, 1981.
L. E. Drain, The Laser Doppler Technique, Wiley, New York, 1980.
M. J. Beesley, Lasers and Their Applications, Halsted Press, New York, 1978.
J. F. Ready, Industrial Aplications oj Lasers, Academie Press, New York, 1978.
W. E. Kock, Engineering Applications oj Lasers and Holography, Plenům Press, New
York, 1975.
F. T. Arecchi a E. O. Schultz-Dubois, eds., Laser Handbook, vol. 2,
North-Holland/Elsevier, Amsterdam/New York, 1972.
S. S. Charschan, ed., Lasers in Industry, Van Nostrand Reinhold, New York, 1972.
J. W. Goodman a M. Ross, eds., Laser Applications, vols. 1-5, Academie Press, New
York, 1971-1984.
S. L. Marshall, ed., Laser Technology and Applications, McGraw-Hill, New York,
1968.
D.Fishlock, ed., A Guide to the Laser, Elsevier, New York, 1967.
Zvláštní vydání časopisů
Speciál issue on laser technology, Lincoln Laboratory Journal, vol. 3, no. 3, 1990.
Speciál issue on novel laser systém optics, Journal oj the Optical Society oj America B, vol. 5, no. 9, 1988.
Speciál issue on solid-state lasers, IEEE Journal oj Quantum Electronics, vol. QE-24,
no. 6, 1988.
Speciál issue on nonlinear dynamics of lasers, Journal oj the Optical Society oj
America B, vol. 5, no. 5, 1988.
Speciál issue on lasers in biology and medicíně, IEEE Journal oj Quantum Electronics, vol. QE-23, no. 10, 1987.
Speciál issue on free electron lasers, IEEE Journal oj Quantum Electronics,
vol. QE-23, no. 9, 1987.
Speciál issue on the generation of coherent XUV and soft-X-ray radiation, Journal
oj the Optical Society oj America B, vol. 4, no. 4, 1987.
Speciál issue on solid-state laser materials, Journal oj the Optical Society of America B, vol. 3, no. 1, 1986.
606
LASERY
Speciál issue: "Twenty-five years of the laser", Optica Acta (Journal of Modem
Optics), vol. 32, no. 9/10, 1985.
Speciál issue on ultrasensitive laser spectroscopy, Journal of the Optical Society of
America B, vol. 2, no. 9, 1985.
Third speciál issue on free electron lasers, IEEE Journal of Quantum Electronics,
vol. QE-21, no. 7, 1985.
Speciál issue on infrared spectroscopy with tunable lasers, Journal of the Optical
Society of America B, vol. 2, no. 5, 1985.
Speciál issue on lasers in biology and medicine, IEEE Journal of Quantum Electronics, vol. QE-20, no. 12, 1984.
Centennial issue, IEEE Journal of Quantum Electronics, vol. QE-20, no. 6, 1984.
Speciál issue on laser materials interactions, IEEE Journal of Quantum Electronics,
vol. QE-17, no. 10, 1981.
Speciál issue on free electron lasers, IEEE Journal of Quantum Electronics,
vol. QE-17, no. 8, 1981.
Speciál issue on laser photocliemistry, IEEE Journal of Quantum Electronics,
vol. QE-16, no. 11, 1980.
Speciál issue on excimer lasers, IEEE Journal of Quantum Electronics, vol. QE-15,
no. 5, 1979.
Speciál issue on quantum electronics, Proceedings of the IEEE, vol. 51, no. 1, 1963.
Články
E. Desurvire, Erbium-Doped Fiber Amplifiers for New Generations of Optical
Communication Systems, Optics & Photonics News, vol. 2, no. 1, pp. 6-11,
1991.
K.-J. Kim a A. Sessler, Free-Electron Lasers: Present Status and Future Prospects,
Science, vol. 250, pp. 88-93, 1990.
G. New, Femtofascination, Physics World, vol. 3, no. 7, pp. 33-37, 1990.
P. F. Moulton, Ti:Sapphire Lasers: Out of the Lab and Back In Again, Optics &
Photonics News, vol. 1, no. 8, pp. 20-23, 1990.
R. D. Petrasso, Plasmas Everywhere, Nature, vol. 343, pp. 21-22, 1990.
S. Suckewer a A. R. DeMeo, Jr., X-Ray Laser Microscope Developed at Princeton,
Princeton Plasma Physics Laboratory Dígest, May 1989.
H. P. Freund a R. K. Parker, Free-Electron Lasers, Scientific American, vol. 260,
no. 4, pp. 84-89, 1989.
P.Urquhart, Review of Rare Earth Doped Fibre Lasers and Amplifiers, Institution of
Electrical Engineers Proceedings - Part J, vol. 135, pp. 385-407, 1988.
D. L. Matthews a M. D. Rosen, Soft X-Ray Lasers, Scientific American, vol. 259,
no. 6, pp. 86-91, 1988.
C. A. Brau, Free-Electron Lasers, Science, vol. 239, pp. 1115-1121, 1988.
R. L. Byer, Diodě Laser-Pumped Solid-State Lasers, Science, vol. 239, pp. 742-747,
1988.
J, A. Pasour, Free-Electron Lasers, IEEE Circuits and Devices Magazíne, vol. 3,
no. 2, pp. 55-64, 1987.
ÚLOHY
607
J. G. Eden, Photochemical Processing of Semiconductors: New Applications for
Visible and Ultraviolet Lasers, IEEE Circuits and Devices Magazíne, vol. 2.
no. 1, pp. 18--24, 1986.
J. F. Holzricher, High-Power Solid-State Lasers, Nature, vol. 316, pp. 309-314, 1985.
W. L. Wilson, Jr., F. K. Tittel a W. Nighan, Broadband Tunable Excimer Lasers,
IEEE Circuits and Devices Magazíne, vol. 1, no. 1, pp. 55-62, 1985.
P. Sprangle a T. Coífey, New Sources of High-Power Coherent Radiation, Physics
Today, vol. 37, no. 3, pp. 44-51, 1984.
A. L. Schawlow, Spectroscopy in a New Light, (Nobel lecture), Reviews of Modem
Physics, vol. 54, pp. 697-707, 1982.
P. W. Smith, Mode Selection in Lasers, Proceedings of the IEEE, vol. 60, pp. 422-440,
1972.
L. Allen a D. G. C. Jones, Mode Locking in Gas Lasers, in Progress in Optics, vol. 9,
E. Wolf, ed., North-Holland, Amsterdam, 1971.
P. W. Smith, Mode-Locking of Lasers, Proceedings of the IEEE, vol. 58,
pp. 1342-1359, 1970.
D. R. Herriott, Applications of Laser Light, Scientific American, vol. 219, no. 3,
pp. 141-156, 1968.
C. K. N. Patel, High-Power Carbon Dioxide Lasers, Scientific American, vol. 219,
no. 2, pp. 22-33, 1968.
A. Lempicki a H. Samelson, Liquid Lasers, Scientific American, vol. 216, no. 6,
pp. 80-90, 1967.
Literatura v českém jazyce
Viz literaturu ke kap. 13.
M. Vrbová a kol., Lasery a moderní optika, Prométheus, Praha, 1994.
ÚLOHY
14.2-1 Počet podélných modů. Rezonátor argonového laseru je dlouhý 100 cm.
Index lomu n = 1.
a) Určete frekvenční vzdálenost i/p mezi rezonátorovými mody.
b) Určete počet podélných modů, ve kterých může oscilovat laser, je-li
FWHM dopplerovsky rozšířené čáry Aurj = 3,5 GHz a koeficient ztrát je
rovný polovině špičkové hodnoty koeficientu zesílení malého signálu.
c) Jaká by měla být délka d rezonátoru, aby laser pracoval v jediném
podélném modu? Jaká by měla být tato délka pro laser CO 2 , který má
mnohem menší šířku dopplerovsky rozšířené čáry ÁV£> = 60MHz, při
stejných ostatních podmínkách?
14.2-2 Nestabilita frekvence laserových modů. Laser He-Ne má následující
parametry: (1) Rezonátor se zrcadly odrazivostí 97% a 100% a se zanedbatelnými vnitřními ztrátami; (2) Dopplerovsky rozšířený atomový přechod
s šířkou AI/D = 1,5 GHz; (3) Špičkový koeficient zesílení při malém signálu
70(i/()) = 2,5 x 10~ 3 cm~'. Následkem malých teplotně indukovaných změn
608
LASERY
délky rezonátoru se posouvají v čase frekvence podélných modů. Nalezněte přípustné intervaly délek rezonátoru, při nichž laser bude vždy oscilovat
v jednom nebo dvou (ne však ve více) podélných modech. Index lomu n = 1.
14.2-3 Výběr modů pomocí etalonu. Plynový laser s Dopplerovým rozšířením
pracuje na vlnové délce 515 nm s rezonátorem, jehož zrcadla jsou od sebe
vzdálená 50 cm. Doba života fotonu v rezonátoru je 0,33 ns. Spektrální
interval, ve kterém laser může oscilovat, má šířku B = 1,5 GHz. Index lomu
n — 1. Aby bylo možné vybrat jeden mod, prochází světlo etalonem (pasivní
Fabryův-Perotův rezonátor), jehož zrcadla jsou vzdálená od sebe d a který
má jemnost 3?. Etalon působí jako filtr. Navrhněte vhodné hodnoty d a &.
Je lepší umístit etalon dovnitř nebo vně laserového rezonátoru?
14.2-4 Modové výkony mnohamodového laseru. Laser He-Ne pracující v mnohamodovém režimu na vlnové délce Ao = 632,8 nm dává na výstupu mnohamodový výkon 50 mW. Má nehomogenně rozšířený profil čáry zesílení
s Dopplerovou šířkou AI^D = 1,5 GHz a index lomu n — 1. Rezonátor je
dlouhý 30 cm.
a) Určete počet podélných modů laseru, jestliže maximální hodnota koeficientu zesílení při nízkém signálu je dvojnásobkem koeficientu ztrát.
b) Určete výkon nejsilnějšího modu, jestliže zrcadla jsou nastavena tak, aby
jeho intenzita byla maximální.
14.2-5 Výstupní záření jednomodového plynového laseru. Uvažujme 10 cm
dlouhý plynový laser pracující ve středu čáry na vlnové délce 600 nm v jediném podélném a jediném příčném modu. Odrazivosti zrcadel jsou 3t-\ = 99%
a 3?2 = 100%. Index lomu n = 1 a efektivní plocha průřezu výstupního
2
1
svazku je l m m . Koeficient zesílení při malém signálu 70(^0) = 0,1 cm"
19
2
a saturační hustota fotonového toku <j>s = 1,43 x 10 fotonů/cm • s.
a) Určete koeficienty prostorově rozložených ztrát am\ a a,„2 příslušné
každému ze zrcadel. Za předpokladu, že as = 0, určete koeficient ztrát
rezonátoru aT.
b) Nalezněte dobu života fotonu TP.
c) Určete velikost výstupní hustoty fotonového toku <po a výstupní výkon Po14.2-6 Prahový rozdíl obsazení hladin argonového laseru. Laser s ionty Ar +
má rezonátor délky 1 m se zrcadly odrazivosti 98% a 100%. Jiné ztrátové mechanizmy jsou zanedbatelné. Vlnová délka maxima čáry atomového
přechodu je Ao = 515 nm, spontánní doba života tsp = 10 ns a šířka čáry
A A = 0,003 nm. Dolní energetická hladina má velmi krátkou dobu života,
takže její obsazení můžeme považovat za nulové. Průměr oscilujícího modu je 1 mm. Určete (a) dobu života fotonu a (b) prahový rozdíl obsazení
pro nasazení laserových oscilací.
14.2-7 Propustnost laserového rezonátoru. Monochromatické světlo z laditelného zdroje záření prochází optickým rezonátorem laseru, který není čerpán.
Frekvenční závislost změřené propustnosti je na obr. P14.2-7.
ÚLOHY
609
(••-200 MHz-*|
2 MHz
5xlO 1 4 Hz
Obrázek P14.2-7
"
Propustnost laserového rezonátoru.
a) Určete délku rezonátoru, dobu života fotonu a prahový koeficient zesílení
laseru. Předpokládejte, že index lomu n = 1.
b) Předpokládejte, že centrální frekvence laserového přechodu je 5 x 10 1 4 Hz
a vyneste frekvenční závislost propustnosti, když laser nyní bude Čerpaný,
ne však dostatečně, aby nastaly laserové oscilace.
14.2-8 Rychlostní rovnice čtyřhladinového laseru. Uvažujte čtyřhladinový
laser s aktivním objemem V = 1 cm 3 . Hustota obsazení horní hladiny je A/2
a dolní /Ví a N = N2 — N\. Rychlost čerpání je taková, že stacionární rozdíl
obsazení A/, když nenastává stimulovaná emise a absorpce, je A/o. Hustota
fotonů je n a doba života fotonu je TP. Napište rychlostní rovnice pro N2,
A/i, N &/i prostřednictvím A/o, efektivního průřezu přechodu a(v) a časových
veličin tsp, TI, T2, T21 a TV. Určete stacionární hodnoty N a/z.
*14.3-1 Přechodové vlastnosti laseru se spínaným zesílením.
a) Zaveďte nové proměnné X — njrp, Y = N/Nt a normovaný čas s = t/rp
a ukažte, že rychlostní rovnice (14.3-2) a (14.3-5) budou mít tvar
^ = a(Y0 -Y)~
as
2XY,
kde a — Tp/tsp a YQ = A/0/A/t.
b) Napište počítačový program pro řešení těchto dvou rovnic při zapnutí
a vypnutí. Předpokládejte, že Yó j e přepnuté z 0 na 2, aby laser pracoval
a z 2 na 0, aby pracovat přestal. Dále předpokládejte, že oscilace zahájí
v čase t = 0 počáteční velmi malý fotonový tok odpovídající X — 10~ 5 .
Přemýšlejte o možném původu tohoto toku. Určete přechodové doby, ve
3
3
kterých probíhá spínání pro a = 10~~ , 1 a 10 . Vysvětlete význam získaných
výsledků.
* 14.3-2 Výkon rubínového laseru se spínáním Q. Rubínový laser se spínáním jakosti Q pracuje s rubínovým výbrusem délky 15 cm o příčném prů2
řezu 1 cm v rezonátoru délky 20 cm. Odrazivosti zrcadel činí J?i = 0,95
3+
10
3
a ^ 2 = 0,7. Hustota iontů C r je 1,58 x 10 atomů/cm a efektivní prů2O
2
řez přechodu <r(vo) = 2 x 10~ cm . Laser je čerpaný tak, že počáteční
610
LASERY
obsazení horní hladiny je 1019 atomu/cm3 a obsazení spodní hladiny je zanedbatelné. Čerpací pás (hladina 3) leží u w 450 nm a přechod z hladiny 3
na hladinu 2 probíhá rychle. Doba života hladiny 2 je ~ 3ms.
a) Při jakém čerpacím výkonu je obsazení horní hladiny 1019 cm" 3 ?
b) Jaký je výkon spontánního záření před tím, než dojde k sepnutí Q?
c) Určete špičkový výkon, energii a šířku impulsu generovaného při sepnutí Q.
*14.3-3 Činnost laseru s otvíráním dutiny. Nakreslete průběhy prahového
rozdílu obsazení W< (který je úměrný ztrátám), rozdílu obsazení N(t), vnitřní
hustoty fotonů n{ť) a vnější hustoty toku fotonů <po(t) v průběhu dvou cyklů
činnosti impulsního laseru s otevíráním dutiny.
14.3-4 Modová synchronizace při lorentzovském rozložení amplitud. Předpokládejte, že obálka modů modově synchronizovaného laseru je
q = —co, ..., co
a jejich fáze jsou stejné. Odvoďte výrazy pro následující parametry generovaného sledu impulsů:
a) Střední výkon.
b) Špičkový výkon.
c) Šířka impulsu (FWHM).
14.3-5 Generování druhé harmonické. K získání záření druhé harmonické
frekvence se často užívají krystaly s nelineárními optickými vlastnostmi, jak
bude vysvětleno v kap. 19. V tomto procesu se mění dva fotony o frekvenci v
na jeden foton o frekvenci Iv. Předpokládejme, že takový krystal je umístěný uvnitř laserového rezonátoru společně s aktivním prostředím zesilujícím
na frekvenci v. Frekvence v a Iv odpovídají dvěma modům rezonátoru. Je-li
rychlost přeměny na druhou harmonickou C,n{s"1 • m~3) a rychlost vzniku fotonů při laserovém procesu (čistý výsledek procesů stimulované emise
a absorpce) je £^(s~ x • m~3), kde ( a £ jsou konstanty, napište rychlostní
rovnice pro hustoty fotonů n na frekvenci v a no, na frekvenci 2v. Předpokládejte, že doba života fotonů o frekvenci v je rv a fotonů o frekvenci 2v
je TP2- Nalezněte stacionární hodnoty n
K A P I T O L A
15
FOTONY
V POLOVODIČÍCH
v
/•
15.1 POLOVODIČE
A.
B.
C.
D.
E.
F.
*G.
Energetické pásy a nosiče náboje
Polovodičové materiály
Koncentrace elektronů a děr
Generování, rekombinace a injekce
Přechody
Heteropřechody
Kvantové jámy a supermřížky
15.2 INTERAKCE FOTONŮ S ELEKTRONY A DÍRAMI
A. Mezipásová absorpce a emise
B. Rychlosti absorpce a emise
C. Index lomu
William P. Shockley (1910-1989), vlevo,
Walter H. Brattain (1902-1987), uprostřed
a John Bardeen (1908—1991), vpravo, se podíleli v roce 1956 na Nobelově ceně za objev využití
polovodičů k zesilování elektrických signálů (tranzistorový jev).
611
612
FOTONY V POLOVODIČÍCH
Elektronika je založena na procesech, které umožňují kontrolované řídit tok elektronů,
kdežto fotonika využívá procesů, které umožňují ovládat tok fotonů. Ke vzájemnému
spojení elektroniky a fotoniky dochází v optoelektronických polovodičových prvcích,
ve kterých fotony generují pohyblivé elektrony a elektrony generují a kontrolují tok
fotonů. Kompatibilita polovodičových optoelektronických a elektronických prvků vedla v posledních letech k podstatnému pokroku jak v optoelektronice tak elektronice.
Polovodiče jsou užívány jako optické detektory, zdroje (luminiscenční diody a lasery),
zesilovače, vlnovody, modulátory, senzory a nelineární optické prvky.
Polovodiče absorbují a emitují fotony při přechodech mezi dovolenými hladinami
energie v souladu s obecnou teorií interakce mezi fotony a atomy popsanou v kapitole 12. Jak jsme tam stručně naznačili, polovodiče mají vlastnosti, které jsou v určitém
smyslu jedinečné:
• Polovodičový materiál si nelze představit jako skupinu navzájem se neovlivňujících atomů, z nichž každý má své vlastní energetické hladiny. Výsledkem uspořádání atomů do kondenzovaného stavu je vytvoření souboru energetických hladin
reprezentujícího celý systém.
• Energetické hladiny polovodičů se shlukují do skupin těsně uspořádaných hladin,
které tvoří pásy. Neuplatňují-li se tepelné excitace (při T = OK), jsou tyto pásy
buď plně obsazeny nebo jsou úplně prázdné. Nejvyšší zaplněný pás se nazývá
valenční a prázdný pás nad ním je nazýván vodivostním. Oba tyto pásy jsou
vzájemně odděleny zakázaným pásem.
• Při tepelné nebo optické excitaci může elektron získat energii, která způsobí jeho
přeskok z valenčního pásu přes zakázaný pás do vodivostního pásu (elektron
po sobě zanechá prázdný stav nazývaný díra). Rovněž může existovat opačný
proces. Elektron může klesnout z vodivostního do valenčního pásu a zaplnit tam
prázdný stav (za předpokladu, že existuje). Tento proces se nazývá rekombinace
elektronu a díry. Máme tedy dva druhy částic, které mohou přenášet elektrický
náboj a které mohou interagovat s fotony: elektrony a díry.
Pro činnost téměř všech polovodičových optoelektronických prvků jsou základní
dva procesy:
• Absorpcí fotonu se může vytvořit pár elektron-díra. Pohyblivé nosiče náboje
vzniklé absorpcí mohou měnit elektrické vlastnosti materiálu. Na jednom takovém jevu, fotovodivosti, je založena funkce určitých polovodičových fotodetektorů.
• Rekombinace elektronu o díry může vést k emisi fotonu. Na tomto procesu je
založena činnost polovodičových zdrojů záření. Spontánní zářivá rekombinace
elektronů a děr je základním procesem při generování světla v luminiscenčních
diodách. Zdrojem fotonů v polovodičových laserech je stimulovaná rekombinace
elektronů a děr.
V odstavci 15.1 začneme přehledem vlastností polovodičů, které jsou důležité
POLOVODIČE
613
v polovodičové fotonice; očekává se, že čtenář je seznámen se základními principy
fyziky polovodičů. Odstavec 15.2 je úvodem do optických vlastností polovodičů.
Pomocí teorie zářivých přechodů v atomu uvedené v kapitole 12 je zde probrána
zjednodušená teorie absorpce, spontánní emise a stimulované emise.
Tuto a následující dvě kapitoly lze považovat za jeden celek. Kapitola 16
pojednává o polovodičových optických zdrojích jako je luminiscenční dioda a laserová
dioda. Kapitola 17 je věnována polovodičovým detektorům fotonů.
15.1
POLOVODIČE
Polovodič je krystalická nebo amorfní pevná látka, jejíž elektrická vodivost se nachází mezi vodivostí kovů a izolátorů a lze ji podstatně ovlivnit změnou teploty nebo
obsahem příměsí v materiálu či dopadajícím světlem. Jedinečná struktura energetických hladin polovodičových materiálů vede ke speciálním elektrickým a optickým
vlastnostem, jak je dále popsáno v této kapitole. V elektronických prvcích je jako
polovodičový materiál přednostně využíván křemík (Si), ale pro fotoniku jsou nejdůležitější polovodičové sloučeniny jako arsenid galia (GaAs) (viz odst. 15.1B, kde jsou
uvedeny údaje o dalších polovodičových materiálech).
A.
Energetické pásy a nosiče náboje
_
Energetické pásy v polovodičích
Atomy v pevné látce mají mezi sebou dostatečně silné interakce, takže v ní nelze
uvažovat atomy jednotlivě. Valenční elektrony nejsou připoutány k jednotlivým atomům, ale patří k systému atomů jako celek. Řešení Schrodingerovy rovnice pro energii
elektronu v periodickém potenciálu vytvořeném souborem atomů v krystalové mříži
q eV
Si
Vodivostní pás
(a)
i -
1.42 eV
Obrázek 15.1-1
T '
5
-5
10
-10
-15
-15
i
i
>
1 1 1 1 >
T ~_
1 1
i
Vodivostní pás
1.11 eV "
i
LU
1 Valenční
^ p á s
- 5
eV
GaAs
(b)
Energetické pásy: (a) v Si a (6) v GaAs.
614
FOTONY V POLOVODIČÍCH
ukazuje, že dochází k rozštěpení atomových energetických hladin a ke vzniku energetických pásů (viz odst. 12.1). Každý pás obsahuje velké množství těsně u sebe ležících
diskrétních hladin, které mohou být aproximovány kontinuem. Valenční a vodivostní
pás jsou navzájem odděleny pásem „zakázaných" energií šířky Eg (viz obr. 15.1-1),
který se krátce nazývá zakázaný pás a hraje významnou roli při určování elektrických a optických vlastností materiálů. Materiály se zaplněným valenčním pásem
a širokým zakázaným pásem (> 3eV) jsou elektrickými izolanty; ty materiály, u kterých dochází k podstatnému překryvu mezi valenčním a vodivostním pásem nebo
u kterých je vodivostní pás zhruba zpoloviny zaplněn, jsou elektrickými vodiči (viz
obr. 12.1-5). Šířka zakázaného pásu polovodičů leží zhruba v rozmezí od 0,1 do 3eV.
Elektrony a díry
V souladu s Pauliho vylučovacím principem žádné dva elektrony nemohou obsadit stejný kvantový stav. Nejprve se obsazují hladiny s nižší energií. V elementárních
polovodičích, jako Si a Ge, připadají na každý atom čtyři valenční elektrony; valenční
pás obsahuje takový počet kvantových stavů, že bez tepelných excitací (T = OK) je
zcela zaplněn a vodivostní pás je úplně prázdný. V důsledku toho materiál nevede
elektrický proud.
Při nárůstu teploty některé elektrony budou tepelně excitovány do prázdného
vodivostního pásu, ve kterém je dostatek neobsazených stavů (viz obr. 15.1-2). Tam
se mohou elektrony uplatnit jako pohyblivé nosiče; mohou se přemisťovat v krystalové mříži pod vlivem přiloženého elektrického pole a tím přispívat k elektrickému
proudu. Odchodem elektronu z valenčního pásu vzniká současně prázdný kvantový
stav, který dovoluje souboru elektronů zbylých ve valenčním pásu, aby si vlivem přiloženého elektrického pole vyměňovaly mezi sebou místa. Výsledkem je pohyb souboru
elektronů zbylých ve valenčním pásu. Tento pohyb můžeme považovat za rovnocenný
pohybu díry, zbylé po odešlém elektronu, ale v opačném směru. Díra se proto chová
jako by měla kladný náboj +e. Výsledkem každé excitace elektronu přes zakázaný pás
je vznik volného elektronu ve vodivostním pásu a volné díry ve valenčním pásu. Dvě
nabité částice se mohou působením přiloženého elektrického pole pohybovat a podílet se tak na elektrickém proudu. Polovodivé chování má materiál, jehož vodivost
Uj
Vodivostní^
pás
c
o
O)
Zakázaný pás Eg
i?
<5
Valenční
pás
Obrázek 15.1-2
Elektrony ve vodivostním a díry ve valenčním pásu při T > OK.
POLOVODIČE
615
ostře vzrůstá s teplotou tak, jak vzrůstá počet tepelně generovaných pohyblivých
nosičů.
Vztahy mezi energií a hybností
Mezi energií E a hybností elektronu p ve vakuu platí vztah £ = p2/2m0 =
h2k2/2m0,
kde p je velikost hybnosti a A; je velikost vlnového vektoru k = p/ň spojeného
31
s vlnovou funkcí elektronu a mg je hmotnost elektronu (9,1 x 10~ kg). Vztah mezi
E a k je parabolický.
Pohyb elektronů ve vodivostním pásu a děr ve valenčním pásu se děje s různou dynamikou. Řídí se Schrodingerovou rovnicí, ve které má průběh potenciálu periodu krystalové mříže. Vztahy mezi E a k jsou znázorněny pro Si a GaAs
[100]
[lil]
[100]
GaAs
Obrázek 15.1-3 Řezy plochou £(k) pro Si a GaAs podél krystalových směrů [111] a [100].
616
FOTONY V POLOVODIČÍCH
E,,
£ ř =1.42eV
GaAs
Obrázek 15.1-4 Aproximace závislosti E na k parabolou u dna vodivostního pásu
a u vrcholu valenčního pásu.
na obr. 15.1-3. Energie £ je periodickou funkcí složek (Jbj, k2, k3) vektoru k, s periodami (TT/O! , 7r/o2,7r/a3), kde oi, o2, o3 jsou mřížkové konstanty krystalu. Na obr. 15.1-3
jsou znázorněny řezy plochou E(k) ve dvou různých směrech k. Energie elektronu ve vodivostním pásu nezávisí jen na velikosti jeho hybnosti, ale také na směru,
ve kterém se pohybuje krystalem.
Efektivní hmotnost
Blízko dna vodivostního pásu je možno vztah mezi EaJt aproximovat parabolou
E=EC
h2k2
2mc'
(15.1-1)
kde Ec je energie dna vodivostního pásu a mc je konstanta představující efektivní
hmotnost elektronu ve vodivostním pásu (viz obr. 15.1-4). Podobně blízko vrcholu
POLOVODIČE
Tabulka 15.1-1
617
Průměrné efektivní hmotnosti elektronů a děr v Si a GaAs
Si
GaAs
0,33
0,07
0,5
0,5
valenčniho pásu
E = Ev - ^ - ,
2m.„
(15.1-2)
kde Ev = Ec — Eg je energie vrcholu valenčniho pásu a mv je efektivní hmotnost díry
ve valenčním pásu. Efektivní hmotnost .obecně závisí na krystalové orientaci a na
konkrétních vlastnostech pásu, který uvažujeme. Typické hodnoty poměru střední
efektivní hmotnosti ke hmotnosti volného elektronu mo jsou pro Si a GaAs uvedeny
v tabulce 15.1-1.
Polovodiče s přímým a nepřímým pásem zakázaných energií
Polovodiče, u kterých maximu valenčniho pásu a minimu vodivostního pásu odpovídá stejná hybnost (stejné k), se nazývají materiály s přímým zakázaným pásem.
Polovodiče, které tuto podmínku nesplňují, jsou známy jako polovodiče s nepřímým
zakázaným pásem. Odlišnost je významná; přechod mezi vrcholem valenčniho pásu a dnem vodivostního pásu v polovodiči s nepřímým zakázaným pásem vyžaduje
podstatnou změnu hybnosti elektronu. Jak je zřejmé z obr. 15.1-4, Si je polovodičem
s nepřímým zakázaným pásem, naproti tomu GaAs je polovodičem s přímým zakázaným pásem. Dále uvidíme, že polovodiče s přímým zakázaným pásem (jako GaAs)
mají vysokou účinnost emise fotonů, kdežto polovodiče s nepřímým zakázaným pásem
(jako Si) nemohou být používány jako účinné zdroje světla.
B.
Polovodičové materiály
Tabulka 15.1-2 představuje vybranou část periodické tabulky prvků, s některými
důležitými prvky pro polovodičovou elektroniku a optoelektroniku. Významné jsou
jak elementární polovodiče, tak polovodičové sloučeniny.
Tabulka 15.1-2
Část periodické tabulky
II
zinek
kadmium
rtuť
IV
III
(Zn)
(Cd)
(Hg)
hliník
galium
indium
(AI)
(Ga)
(In)
křemík
germanium
V
(Si)
(Ge)
fosfor
arsen
antimon
VI
(p)
(As)
(Sb)
síra
selen
telur
(S)
(Se)
(Te)
618
FOTONY V POLOVODIČÍCH
Elementární polovodiče
Některé prvky ze IV. skupiny periodické tabulky prvků jsou polovodiče. Nejvýznamnějšími jsou křemík (Si) a germanium (Ge). V současnosti je většina komerčních elektronických prvků a integrovaných obvodů připravována z Si. Oba tyto
materiály však nejsou použitelné pro přípravu polovodičových zdrojů záření v důsledku jejich nepřímého zakázaného pásu. Nicméně oba materiály jsou široce využívány
pro přípravu detektorů fotonů.
Binární polovodiče
Sloučeniny vzniklé kombinací prvků III. skupiny, jako je hliník (AI), galium (Ga)
nebo indium (In), s prvky V. skupiny, jako je fosfor (P), arsen (As) nebo antimon (Sb),
jsou významnými polovodiči. Z výše jmenovaných prvků lze připravit devět binárních
sloučenin, které jsou uvedeny v tabulce 15.1-3. Pro každou sloučeninu je uvedena šířka zakázaného pásu Eg, vlnová délka odpovídající zakázanému pásu \g = hco/Eg (což
je vlnová délka fotonu o energii Eg ve vakuu) a typ zakázaného pásu (přímý nebo nepřímý). Šířky zakázaných pásů a mřížkové konstanty lze rovněž nalézt na obr. 15.1-5.
Řada těchto sloučenin je užívána jako detektory a zdroje fotonů (luminiscenční diody a lasery). Nejvýznamnějším binárním polovodičem pro optoelektronické prvky je
arsenid galia (GaAs). Rovněž vzrůstá význam GaAs (ve srovnání s Si) pro přípravu
rychlých elektronických prvků a obvodů.
Tabulka 15.1-3 Vybrané elementární a binární polovodiče III—V. Jejich šířka zakázaného pásu E,f při
T = 300 K, odpovídající vlnová délka Ay = hco/Eg a typ zakázaného pásu (I = nepřímý, D = přímý)
Energie
zakázaného pásu
Ey (eV)
Odpovídající
vlnová délka
A, (/mi)
Ge
Si
0,66
1,11
1,88
1,15
AIP
AlAs
AlSb
GaP
GaAs
GaSb
InP
InAs
InSb
2,45
2,16
1,58
2,26
1,42
0,73
1,35
0,36
0,17
0,52
0,57
0,75
0,55
0,87
1,70
0,92
3,5
7,3
Materiál
Typ
D
D
D
D
D
POLOVODIČE
Vlnová délka odpovídající
zakázanému pásu A s ((im)
0.6
2 1.5
1 0.9 0.8 0.7
0.5
10
1.5
2.0
619
0.5
2.5
Šířka zakázaného pásu Es (eV)
Obrázek 15.1-5 Mřížkové konstanty, šířky zakázaného pásu a jim odpovídající vlnové
délky pro Si, Ge a devět binárních sloučenin III-V. Údaje o ternárních sloučeninách lze
získat pomocí spojnice bodů odpovídajících binárním sloučeninám. Např. Al : r Gai_ J : As
odpovídají body ležící na spojnici mezi GaAs a AlAs. Při změně x od 0 do 1 se bod
pohybuje podél spojnice'od GaAs k AlAs. Protože tato spojnice je téměř horizontální,
Al x Gai_ : c As je mřížkou přizpůsoben ke GaAs. Plné čáry označují přímý zakázaný pás,
čárkované nepřímý. Materiál může mít pro jednu hodnotu molárního zlomku x přímý
zakázaný pás a pro jinou nepřímý zakázaný pás. Kvaternární sloučenina je znázorněna
bodem v oblasti vymezené čtyřmi binárními sloučeninami, které ji vytvářejí. Např.
sloučenina (Ini_ x Ga :J .)(Asi_. y P. y ) je znázorněna stínovanou plochou s vrcholy InAs, InP,
GaP a GaAs; vodorovná čára vycházející z InP znázorňuje sloučeniny, které jsou mřížkou
přizpůsobené k tomuto materiálu.
Ternární polovodiče
1 -x
Sloučeniny vytvořené ze dvou prvků III. skupiny a jednoho prvku V. skupiny
(nebo jednoho prvku III. skupiny a dvou prvků V. skupiny) jsou významnými ternárními polovodiči. Např. (Al x .Gai_ : , : )As je ternární sloučenina s vlastnostmi mezi
AlAs a GaAs v závislosti na molámím zlomku x (x znamená podíl atomů Ga nahrazených atomy AI v GaAs). Šířka zakázaného pásu Eg se v tomto materiálu mění
mezi 1,42 eV pro GaAs a 2,16 eV pro AlAs, podle toho jak se mění x mezi 0 a 1.
Tomuto materiálu odpovídá na obr. 15.1-5 čára spojující GaAs a AlAs. Protože tato čára je téměř horizontální, je Al:rGai_:,.As mřížkově přizpůsoben ke GaAs (tzn.,
620
FOTONY V POLOVODIČÍCH
že mají stejnou mřížkovou konstantu). Znamená to, že vrstva daného složení může narůst na vrstvě jiného složení, aniž by vzniklo v materiálu pnutí. Kombinace
AlsGai-xAs/GaAs je nejvýznamnější strukturou pro přípravu běžných luminiscenčních diod (LED) a polovodičových laserů. Další polovodičové sloučeniny III-V různého složení a typu zakázaného pásu (přímý, nepřímý) jsou vyznačeny v diagramu
mřížková konstanta — šířka zakázaného pásu na obr. 15.1-5.
Kvaternární polovodiče
Tyto sloučeniny jsou tvořeny dvěma prvky III. skupiny a dvěma prvky V. skupiny.
Kvaternární polovodiče oproti ternárním polovodičům nabízejí více možností pro přípravu materiálů zadaných vlastností, protože poskytují další stupeň volnosti. Za příklad může posloužit kvaternární polovodič (Ini_ I Ga x )(Asi_ ! / P J / ), jehož zakázaný
pás se mění mezi 0,36 eV (InAs) a 2,26 eV (GaP) tak, jak se mění molární zlomky
x a y mezi 0 a 1. Stínovaná plocha v obr. 15.1-5 ukazuje oblasti Eg realizovatelné
s použitím těchto sloučenin. Pro molární zlomky x a y, které vyhovují podmínce y =
= 2,16(1 — x), (Ini_ I Ga x )(Asi_ ! / P ! ; ) je velice dobře mřížkou přizpůsoben ke GaP
a proto je na něm běžně připravován. Tyto polovodiče se využívají k přípravě polovodičových laserů a detektorů.
Sloučeniny obsahující prvky II. skupiny (např. Zn, Cd, Hg) a VI. skupiny
periodické tabulky (např. S, Se, Te) vytvářejí rovněž užitečné polovodiče, zvláště
pro oblast vlnových délek kratších než 0,5 /mi a delších než 5,0/^m jak je patrné
z obr. 15.1-6. Například HgTe a CdTe jsou dobře mřížkově přizpůsobené, takže
ternární polovodič Hg^Cdi-^Te je užitečným materiálem pro přípravu detektorů
fotonů střední oblasti infračerveného spektra. Pro tuto oblast jsou také užívány
sloučeniny typu IV-VI jako Pb x Sni_ a; Te a Pbi-Sni-^Se. Využívají se při nočním
vidění, tepelném zobrazování a dlouhovlnných optických komunikacích.
Dotované polovodiče
Elektrické a optické vlastnosti polovodičů mohou být podstatně ovlivněny dotováním,
tj. přidáním malého kontrolovaného množství speciálně vybraných příměsí, které
změní koncentraci pohyblivých nosičů náboje v rozmezí až několika řádů. Nahrazením
vlastních atomů v krystalové mříži atomy s přebytečnými valenčními elektrony
(nazývanými donory) vznikne nadbytek pohyblivých elektronů; materiál se potom
nazývá polovodič typu n. Tímto způsobem atomy z V. skupiny (např. P nebo As)
nahrazující některé atomy ze IV. skupiny v elementárních polovodičích nebo atomy ze
VI. skupiny (např. Se nebo Te) nahrazující některé atomy z V. skupiny v polovodičích
typu III-V způsobí, že vznikne materiál typu n. Obdobně může být připraven
materiál typu p užitím příměsových atomů s menším počtem valenčních elektronů.
Takové příměsi nazýváme akceptory. Výsledkem je nadbytek děr. Nahrazením
POLOVODIČE
10 5
b.b
1 '"
Vlnová délka odpovídající
zakázanému pásu \g (/jm)
.5
2 1.5
1 .9.8 .7 .6
i li 11 i | i 1 1 1
iCdTe
621
.4
6.4 - HgTe
•x;
6.2 ^ZnTe
6.0 _HgSe
^ ^
5.8 ZnSe\
5.6 -
1
1
0
1
1
2
3
Šířka zakázaného pásu EtJ (eV)
Obrázek 15.1-6 Mřížkové konstanty, šířky zakázaných pásů a jiní odpovídající vlnové
délky některých významných binárních sloučenin typu II-VI.
některých atomů IV. skupiny v elementárních polovodičích atomy ze III. skupiny
(např. B nebo In) nebo nahrazením některých atomů III. skupiny v binárních
polovodičích typu III-V atomy ze II. skupiny (např. Zn nebo Cd) vede ke vzniku
materiálu typu p. Atomy ze IV. skupiny se chovají jako donory ve III. skupině
a jako akceptory v V. skupině, proto mohou způsobit vznik jak elektronů tak děr
v materiálech typu III-V.
Polovodiče, které nejsou dotovány (tj. vysoce čisté) se nazývají intrinsické
(vlastní), kdežto dotované polovodiče se nazývají extrinsické (nevlastní). V intrinsickém polovodiči jsou koncentrace pohyblivých elektronů a děr totožné, n = p =
= n,;, kde n.,; roste s teplotou exponenciálně. V polovodiči typu n je koncentrace
pohyblivých elektronů (majoritní nosiče) mnohem větší než koncentrace děr (minoritní nosiče), tj. n ^> p. Opačně je tomu v polovodičích typu p, ve kterých jsou
díry majoritními nosiči a p > n . Dotované polovodiče mají při pokojové teplotě koncentraci majoritních nosičů zhruba rovnou koncentraci dotujících příměsi.
C.
Koncentrace elektronů a děr
Ke stanovení koncentrace nosičů (elektronů a děr) jako funkce energie je třeba znát:
• Hustotu dovolených energetických hladin (hustotu stavů).
• Pravděpodobnost obsazení každé z těchto hladin.
622
FOTONY V POLOVODIČÍCH
Hustota stavů
Kvantový stav elektronu v polovodičovém materiálu je charakterizován jeho energií
£, jeho vlnovým vektorem k [jehož velikost zhruba souvisí s E podle vztahu (15.1-1)
nebo (15.1-2)] a jeho spinem. Stav elektronu je popsán vlnovou funkcí vyhovující
určitým okrajovým podmínkám.
Elektron u dna vodivostního pásu lze přibližně popsat jako částici o hmotnosti
mc uzavřenou do trojrozměrné krychlové krabice (o hraně d) s dokonale odrážejícími
stěnami, tj. do trojrozměrné nekonečné pravoúhlé potenciálové jámy. Řešení ve tvaru
stojaté vlny vyžaduje, aby složky vlnového vektoru k = (kx,ky,kz)
nabývaly
diskrétních hodnot k = (qiir/d,q2ft/d,q3ir/d), kde modová čísla qi, q?, q$ jsou
kladná celá čísla. Tento výsledek je trojrozměrným zobecněním jednorozměrného
případu diskutovaného ve cvičení 12.1-1. Koncový bod vektoru k musí ležet v bodech
mříže, jejíž kubická jednotková buňka má rozměr n/d. V k-prostoru tedy připadá
na jednotkový objem (d/n)3 bodů. Počet stavů, jejichž vlnové vektory mají velikost
mezi 0 a k, je určen počtem bodů ležících uvnitř kladného oktantu koule o poloměru k
[o objemu =s (|)47rfc3/3 = nk3/6]. V důsledku dvou možných hodnot spinu elektronu
odpovídají každému bodu v k-prostoru dva stavy. V objemu d3 je tedy přibližně
takových bodů 2(TTk3/'6)/U/d)3 = (k3/Z-K2)d3, čemuž odpovídá (k3/3n2) bodů
v jednotce objemu. Z toho vyplývá, že počet stavů s vlnovým číslem elektronu mezi
k a k + Ak připadajících na jednotkový objem je g(k)Ak = [(d/dA;)(A:3/37r2)] AA; =
= (k2/yr2)Ak, takže pro hustotu stavů platí
Hustota stavů
(k) = —.
e
(15.1-3)
Toto odvození je shodné s postupem, kterým jsme stanovili počty modů v trojrozměrném elektromagnetickém rezonátoru (viz odst. 9.1C). V případě elektromagnetických modů existují dva stupně volnosti spojené s polarizací pole (tj. dvě hodnoty
spinu fotonu), kdežto v případě polovodiče existují dvě hodnoty spinu spojené se stavem elektronu. V rezonátorové optice se dovolená elektromagnetická řešení pro k
převedou na dovolené frekvence pomocí lineárního vztahu mezi frekvencí a vlnovým
číslem v = ck/2n. Na druhé straně ve fyzice polovodičů se dovolená řešení pro k
převedou na dovolené energie pomocí kvadratických vztahů mezi energií a vlnovým
číslem (15.1-1) a (15.1-2).
Jestliže gc(E)AE představuje počet hladin ve vodivostním pásu ležících mezi E
a £ + AE, potom v důsledku jednoznačného vztahu (15.1-1) mezi E a k, hustoty
QC(E) a g{k) musí spolu souviset vztahem gc(E)dE = g(k)dk. Hustota dovolených
stavů o energii £ ve vodivostním pásu je tedy gc{E) = g(k)/{dE/dk). Podobně
hustota dovolených stavů ve valenčním pásuje g„(E) = g(k)/(dE/dk), kde £ je dáno
vztahem (15.1-2). Užijeme-li kvadratické vztahy mezi £ a A: (15.1-1) a (15.1-2) platné
blízko hran vodivostního a valenčního pásu pro výpočet derivace dE/dk,-dostaneme
POLOVODIČE
623
(15.1-4)
Hustota stavů
u hran pásů
(15.1-5)
Odmocninova závislost se objeví následkem kvadratického vztahu mezi energií a vlnovým číslem pro elektrony a díry v blízkosti hran pásů. Závislost hustoty stavů na
energii je znázorněna na obr. 15.1-7. Je nulová u hrany pásu, vzrůstá od této hodnoty a nárůst závisí na efektivní hmotnosti elektronů a děr. Hodnoty mc a m„ pro Si
a GaAs uvedené v tabulce 15.1-1 jsou vlastně střední hodnoty vhodné pro výpočet
hustoty stavů.
Pravděpodobnost obsazení
Jestliže se neuplatňují tepelné excitace (při T = OK), elektrony obsadí nejnižší
možné energetické hladiny v souladu s Pauliho vylučovacím principem. Valenční pás
je potom zcela zaplněn (neexistují žádné díry) a vodivostní pás je zcela prázdný
(neobsahuje žádné elektrony). Při zvýšení teploty jsou některé elektrony excitovány,
přeskočí z valenčního do vodivostního pásu a zanechají po sobě neobsazené stavy
ve valenčním pásu (díry). Zákony statistické fyziky stanoví, že při teplotě T za
podmínky tepelné rovnováhy je pravděpodobnost obsazení daného stavu o energii
E elektronem dána Fermiho rozdělovači funkcí
f(E) =
Fermiho funkce
exp[(E-Ef)/kBT}+ť
(15.1-6)
eAE)
ta)
Ib)
Hustota stavů
k)
Obrázek 15.1-7 (a) Rez diagramem E — k (např. ve směru složky ki, kdy složky ki
a &3 se nemění). (f>) Dovolené hladiny energií (pro všechna k). (c) Hustoty stavů u hran
vodivostního a valenčního pásu. g,(E)dE je počet kvantových stavů s energií mezi E
a E + dfř, připadajících na jednotkový objem ve vodivostním pasu. Q„ lze analogicky
interpretovat pro valenční pás.
624
FOTONY V POLOVODIČÍCH
kde kB je Boltzmannova konstanta (při T = 300 K, fcBT = 0,026 eV) a £/ je konstanta známá jako Fermiho energie nebo Fermiho hladina. Této funkci se také říká
Fermiho-Diracovo rozdělení. Hladina energie £ je buď obsazena [s pravděpodobností /(£)] neboje prázdná [s pravděpodobností 1 — /(£)]. Pravděpodobnosti /(E)
a 1 — /(£) závisí na energii £ v souladu s (15.1-6). Funkce f(E) sama o sobě nepředstavuje rozdělení pravděpodobnosti a její integrací nedostaneme jednotku; je spíše
posloupností pravděpodobností obsazení za sebou jdoucích energetických hladin.
Protože /(£/) = ÍJ při jakékoli teplotě T, Fermiho hladina představuje energetickou hladinu, pro kterou je pravděpodobnost obsazení 1/2 (jsou-li tam dovolené
stavy). Fermiho funkce monotónně klesá s E (obr. 15.1-8). Při T = OK je /(£) = 0
pro E > Ef a £ = 1 pro £ < £/. Z toho je patrný význam Ef. odděluje od sebe
obsazené a neobsazené stavy při T = OK. Jelikož /(£) je pravděpodobnost obsazení hladiny s energií £ elektronem, 1 — /(£) je pravděpodobnost, že tato hladina je
prázdná, tj. že je obsazena dírou (jestliže £ leží ve valenčním pásu). Takže pro hladinu
0 energii £:
/(£) = pravděpodobnost obsazení elektronem,
1 — /(£) = pravděpodobnost obsazení dírou (valenční pás).
Tyto funkce jsou symetrické vzhledem k Fermiho hladině.
Je-li £ - Ef > JfcBT, /(£) « exp[-(£ - Ef)/kBT], takže výběžek Fermiho funkce v oblasti vysokých energií zasahující do vodivostního pásu exponenciálně klesá
s rostoucí energií. Fermiho funkce je potom úměrná Boltzmannovu rozdělení, které
popisuje exponenciální závislost podílu atomů excitovaných na danou energetickou
hladinu (viz odst. 12.1B). V důsledku symetrie, je-li £ < £/ a £/ — £ > k^T,
1 — /(£) w exp[—(£/ — E)/k#T]; tj. pravděpodobnost obsazení hladiny dírou ve va-
T>0K
0
0.5
1
/(£)
0.5
1
/(£)
Obrázek 15.1-8 Fermiho funkce f{E) je pravděpodobnost, že hladina o energii E je
obsazena elektronem; 1 — f(E) je pravděpodobnost, že je prázdná. Ve valenčním pásu
1 — / ( £ ) je pravděpodobnost, že hladina o energii E je obsazena dírou. Při T = OK
/ ( £ ) = 1 pro £ < Eg a / ( £ ) = 0 pro £ > Ef, tj. žádné elektrony nejsou ve vodivostním
pásu a žádné díry ve valenčním pásu.
POLOVODIČE
625
y
Ev
>(£)
Koncentrace nosičů
Obrázek 15.1-9 Koncentrace elektronů TI(£) a děr p(E) jako funkce energie E v intrinsickém polovodiči. Celkové koncentrace elektronů a děr jsou n a p .
lenčním pásu se exponenciálně zmenšuje, když energie klesá dostatečně hluboko pod
Fermiho hladinu.
Koncentrace nosičů při tepelné rovnováze
Nechť n(£)AE je počet elektronů a p(£)A£ počet děr v jednotkovém objemu
s energií mezi £ a £ +A£. Hustoty nosičů n(E) ap(£) získáme vynásobením hustoty
stavů pro energetickou hladinu £ pravděpodobností obsazení hladiny elektronem nebo
dírou, takže
n(£) = gc(E)f(E),
p(£) = <?,,(£)/[! - /(£)].
(15.1-7)
Koncentrace (počet na jednotkový objem) elektronů ve vodivostním pásu n a děr ve
valenčním pásu p obdržíme integrací
p=
" p(£)d£.
(15.1-8)
V intrinsickém (čistém) polovodiči při libovolné teplotě platí n = p, protože
tepelnou excitací vždy vzniká pár elektron a díra. Fermiho hladina musí proto mít
takovou hodnotu, aby n = p. Jestliže m„ = mc, funkce n(£) a p(£) jsou symetrické,
Ef musí ležet přesně ve středu zakázaného pásu (obr. 15.1-9). Ve většině intrinsických
polovodičů leží Fermiho hladina opravdu v blízkosti středu zakázaného pásu.
Schéma pásové struktury, Fermiho funkce a rovnovážné koncentrace elektronů
a děr pro dopovaný polovodič typu n je na obr. 15.1-10 a pro dopovaný polovodič typu p na obr. 15.1-11. Nadbytečné elektrony donorů leží na hladině £D, která
se nachází těsně pod dnem yodivostního pásu, do kterého mohou snadno přejít. Je-li
například ED = 0,01 eV, bude při pokojové teplotě (knT = 0,026 eV) většina elektronů tepelně vybuzena do vodivostního pásu. V důsledku tohoto přerozdělení elektronů
se Fermiho hladina [na které /(£/) = | ] posune nad střed zakázaného pásu. V polovodičích typu p leží akceptorová hladina ve vzdálenosti £4 nad vrcholem valenčního
626
FOTONY V POLOVODIČÍCH
Donorová hladina
Koncentrace
nosičů
Obrázek 15.1-10 Schéma pásové struktury, Fermiho funkce / ( £ ) a koncentrace pohyblivých elektronů n(£) a děr p(E) v polovodiči typu n.
E,
i
Akceptorová hladina
Koncentrace
Obrázek 15.1-11 Schéma pásové struktury, Fermiho funkce /(E) a koncentrace pohyblivých elektronů n(F) a děr p(E) v polovodiči typu p.
pásu, takže Fermiho hladina se nachází pod středem zakázaného pásu. Naše pozornost je zaměřena na pohyblivé nosiče v dotovaném polovodiči. Tyto materiály jsou
samozřejmě elektricky neutrální, což je zajištěno rovnováhou mezi pohyblivými nosiči
náboje a nepohyblivými ionizovanými akceptory a donory, takže podmínka elektrické neutrality je tvaru u + NA = P 4- No- NA a Nr> jsou koncentrace ionizovaných
akceptorů a donorů.
Cvičení 15.1-1
Aproximace Fermiho funkce exponenciálou.
Pro E-Ef
> kBT je
možno Fermiho funkci f(E) aproximovat exponenciální funkcí. Obdobně
pro Ej — E 3> A:rjT může být exponenciální funkcí aproximována funkce
1 — f(E). Tyto podmínky jsou splněny, když Fermiho hladina leží uvnitř
POLOVODIČE
627
zakázaného pásu nejméně ve vzdálenosti několika hodnot kBT od hran
pásů (při pokojové teplotě kBT « 0,026 eV a Eg = 1,11 eV v Si a 1,42 eV
v GaAs). Použitím těchto aproximací, které jsou platné jak pro intrinsický
tak extrinsický polovodič, ukažte, že z (15.1-8) dostaneme
kde Wc = 2{2-KmckBT/h2fl2
a Nv = 2(2Trni,,kBT/h2)3/2. Jestliže Ef je
těsně u vodivostního pásu a mc = mv, ověřte, že u > p. Je-li naopak E/
blízko u valenčního pásu, ukažte, že p > n.
Zákon působení hmotnosti
Z rovnice (15.1-10a) je patrné, že součin
(mcm„)3'2 exp ( --£=)
(15.1-10b)
nezávisí na poloze Fermiho hladiny Ef uvnitř zakázaného pásu ani na poloze příměsových hladin za předpokladu, že platí aproximace Fermiho funkce exponenciálou.
Konstantní součin koncentrací se nazývá zákon působení hmotnosti. Pro intrinsický polovodič n = p = n,;. Kombinací tohoto vztahu a (15.1-10a) dostaneme
Intrinsicka
koncentrace nosicu
^
(/v w
}
i/2 e
(_ ^ x ^ )
v
n l
-T '
(15.1-11)
v
'
odkud je patrné, že intrinsicka koncentrace elektronů a děr roste s teplotou exponenciálně. Zákon působení hmotnosti můžeme přepsat do tvaru
Zákon působení
hmotnosti
np =
(15.1-12)
Hodnoty n.,; pro různé materiály nejsou stejné v důsledku rozdílných šířek
zakázaných pásů a různých efektivních hmotností. Pro Si a GaAs jsou hodnoty
intrinsické koncentrace nosičů při 300 K uvedeny v tabulce 15.1-4.
Zákon působení hmotnosti je výhodný pro stanovení koncentrací elektronů a děr
v dotovaných polovodičích. Uvažme např. slabě dotovaný materiál typu n s koncentrací elektronů n přibližně rovnou koncentraci Njr,. Užitím zákona působení hmotnosti
je možno stanovit koncentraci děr p = nj/No. Známe-li n a p, můžeme stanovit Fermiho hladinu pomocí (15.1-8). Pokud Fermiho hladina leží uvnitř zakázaného pásu
628
FOTONY V POLOVODIČÍCH
Tabulka 15.1-4
Intrinsické koncentrace v Si a GaAs při T = 300 K°
3
n, (cm" )
Si
GaAs
10
1,5 x 10
6
1,8 x 10
"Dosazením hodnot mc a mv z tabulky 15.1-1 a hodnot Eg z tabulky 15.1-3 do
vztahu (15.1-11) neobdržíme přesně hodnoty n^ uvedené zde, protože vztah
(15.1-11) je pouze přibližný.
ve vzdálenosti nejméně několika k&T od hran pásů, můžeme k jejímu přímému určení
použít přibližný vztah (15.1-9).
Jestliže Fermiho hladina leží uvnitř vodivostního (nebo valeiičního) pásu, materiál je označován jako degenerovaný polovodič. V tomto případě aproximace
Fermiho funkce exponenciálou není možná, takže np ^ nf. Koncentrace nosičů se
v tomto případě musí stanovit numericky. Jestliže je polovodič silně dotován, příměsová hladina se rozšíří v příměsový pás, který se může vnořit do vodivostního
(valenčního) pásu a vznikne tak výběžek pásu. Toto vede ke zmenšení efektivní
šířky zakázaného pásu.
Kvazirovnovážná koncentrace nosičů
Pravděpodobnosti obsazení hladin a koncentrace nosičů uváděné v předchozích
odstavcích platí pouze pro polovodič, který je v tepelné rovnováze. Když se poruší
tepelná rovnováha, přestávají platit. Nicméně existují situace, při kterých jsou
elektrony ve vodivostním pásu v tepelné rovnováze samy mezi sebou a stejně tak
díry ve valenčním pásu, ale elektrony a díry nejsou ve vzájemné tepelné rovnováze.
K takové situaci může např. dojít, když vnějším elektrickým proudem nebo tokem
Koncentrace
nosičů
Obrázek 15.1-12 Polovodič v kvazirovnováze. Pravděpodobnost obsazení vybrané energetické hladiny E ve vodivostním pásu elektronem je dána Fermiho funkcí /<;(£), ve které
vystupuje Fermiho hladina Ejc. Pravděpodobnost obsazení vybrané energetické hladiny E ve valenčním pásu dírou je dána funkcí 1 —/„(£), ve které vystupuje Fermiho
hladina Ej„. u(£) a p(E) jsou koncentrace elektronů a děr. Obě mohou být velké.
POLOVODIČE
629
fotonů dochází s velikou rychlostí k mezipásovým přechodům, takže se nestačí ustavit
rovnováha mezi pásy. Tato situace, známá jako kvazirovnováha, nastává, jestliže
relaxační doby pro přechody uvnitř každého pásu jsou mnohem kratší než relaxační
12
doba přechodů mezi dvěma pásy. Běžně bývá relaxační doba uvnitř pásu < 10~ s,
9
zatímco pro zářivou rekombinaci elektronu s dírou je relaxační doba w 10~ s.
Za takových podmínek je vhodné užít Fermiho funkci odděleně pro každý pás;
Fermiho hladiny pro vodivostní pás £/ c a pro valenční pás £/„ se nazývají kvaziFermiho hladinami (obr. 15.1-12). Leží-li Efc uvnitř vodivostního pásu a E/„ uvnitř
valenčního, mohou být koncentrace jak elektronů tak děr velmi velké.
Cvičení 15.1-2
Určení kvazi-Fermiho hladin ze známé koncentrace elektronů a děr
a) Je známa koncentrace elektronů n a děr p v polovodiči při T = OK.
Užitím (15.1-7) a (15.1-8) ukažte, že pro kvazi-Fermiho hladiny platí
b) Přesvědčte se, že tyto vztahy přibližně platí při libovolné ,teplotě T,
jestliže n a p jsou tak velké, že £/ c — Ec 3> k^T a E„ - E/v » k&T, tj.
jestliže kvazi-Fermiho hladiny leží hluboko ve vodivostním a valenčním
pásu.
D.
Generování, rekombinace a injekce
Generování a rekombinace při tepelné rovnováze
Tepelná excitace elektronů z valenčního do vodivostního pásu vede ke generování
párů elektron-díra (obr. 15.1-13). Při tepelné rovnováze musí být proces generování
Rekombinace
Obrázek 15.1-13
Generování a rekombinace páru elektron a díra.
630
FOTONY V POLOVODIČÍCH
současně doprovázen opačným procesem. Opačný proces nazýváme rekombinace
elektronu a díry a dochází při něm k přechodu elektronu z vodivostního pásu
do valenčního, kde se zaplní díra (obr. 15.1-13). Energie uvolněná tímto přechodem
může vést k emisi fotonu a potom tento proces nazýváme zářivá rekombinace. Může
však dojít i k nezářivé rekombinaci prostřednictvím řady nezávislých, současně
probíhajících procesů, kdy dochází k předání energie kmitům mříže (vzniká jeden
nebo více fononů) nebo jinému volnému elektronu (Augerova rekombinace).
Rekombinace může rovněž probíhat nepřímo přes rekombinační centra a pasti.
Uvnitř zakázaného pásu leží totiž hladiny spojené s poruchami mříže, jakými jsou
hluboké cizí příměsi, bodové poruchy, dislokace a hranice zrn. Příměsi a defekty se
mohou uplatnit buď jako rekombinační centra, jestliže jsou schopné stejně zachycovat
jak elektrony tak díry, nebo pasti, jestliže zachycení jednoho typu nosičů je pravděpodobnější (obr. 15.1-14). Nepřímá rekombinace může být jak zářivá tak nezářivá.
Protože rekombinačního procesu se účastní společně elektrony a díry, je rychlost
rekombinace úměrná součinu koncentrací elektronů a děr
rychlost rekombinace = rnp,
(15.1-14)
kde r (cm3/s) je parametr elektron-děrové rekombinace, který závisí na charakteristikách materiálu včetně jeho složení a defektů a na teplotě; relativně slabě závisí
na dotování.
Když rychlosti generování a rekombinace jsou v rovnováze, ustaví se rovnovážná
koncentrace elektronů no a děr po- V ustáleném stavu musí být rychlost rekombinace
rovna rychlosti generování. Jestliže Go je rychlost tepelného generování párů elektrondíra při dané teplotě, potom v tepelné rovnováze je
Součin koncentrací elektronů a děr noPo = GQ/T je přibližně stejný, ať je materiál
typu n, p či intrinsický. Takto nj = GQ/T vede přímo k zákonu působení hmotnosti
no Po = TI? . Na tento zákon lze pohlížet jako na důsledek rovnováhy mezi generováním
a rekombinaci nosičů při tepelné rovnováze.
Obrázek 15.1-14 Rekombinace elektronu a díry přes poruchové centrum ležící hluboko
uvnitř zakázaného pásu.
POLOVODIČE
631
Injekce elektronů a děr.
Polovodič v tepelné rovnováze s koncentracemi nosičů no a po má stejné rychlosti
generování a rekombinace GQ = ruoPo- Nechť dojde k dodatečnému generování párů
elektronu a díry ustálenou rychlostí R (počet párů na jednotkový objem za jednotkový
čas) nějakým vnějším injekčním (netepelným) mechanismem. Potom se ustaví nový
ustálený stav s koncentracemi nosičů n = no + An a p = po + Ap. Samozřejmě
An = Ap, protože elektrony a díry jsou generovány v párech. Porovnáním nových
vztahů pro rychlost generování a rekombinace dostaneme
Go + R = mp.
(15.1-15)
Dosazení Go = rnoPo do (15.1-15) vede ke vztahu
2
R = r(np - n o po) = r(u 0 An + p 0 An + An ) = rAn(n 0 + Po + An),
který můžeme přepsat do tvaru
(15.1-16)
/?=—,
kde
T
—^
= f 7
Z-T-
(15.1-17)
r[(n o -f p o ) + A n ]
Pro takové injekční rychlosti, při kterých An < % + po,
Rekombinačni
doba života
nadbytečných nosičů
1
.
r(n
°
+ Po)
..
(15.1-18)
V materiálu typu n, ve kterém n 0 > po, je rekombinačni doba života T SS l/rn 0 nepřímo úměrná koncentraci elektronů. Podobně pro materiál typu p, ve kterém po >• no,
dostaneme r « 1/rpo. Takováto jednoduchá formulace problému není možná, jestliže
se při rekombinaci podstatným způsobem uplatňují pasťové hladiny.
Parametr r je možno považovat za rekombinačni dobu života nadbytečných
injektovaných párů elektronů a děr. Toto je hned pochopitelné, uvědomíme-Ii
si, že koncentrace injektovaných nosičů se řídí rychlostní rovnicí
d(An) _
dí
p
An
r '
která je podobná (13.2-2). V ustáleném stavu, kdy d(An)/dí = 0, platí vztah
(15.1-16), který je obdobou vztahu (13.2-10). Jestliže v čase íy je najednou vypnut
zdroj injektující nosiče (R klesne na nulu), potom An exponenciálně klesá s časovou
konstantou r, tj. Ati(ť) = An(ío)exp[—(t - <O)/T]. Na druhé straně při silné injekci
je r samo o sobě závislé na An, jak je zřejmé z (15.1-17), takže rychlostní rovnice je
nelineární a pokles An již není exponenciální.
632
FOTONY V POLOVODIČÍCH
Jestliže známe rychlost injekce R, můžeme určit ustálenou koncentraci injektovaných nosičů pomocí
(15.1-19)
A n = RT
a následně stanovit celkové koncentrace nosičů n = Ro+An a p = p o +An. V případě
kvazirovnováhy lze dále ke stanovení kvazi-Fermiho hladin užít vztah (15.1-8). Kvazirovnováha není v rozporu s vyrovnanými procesy generování a rekombinace, které
jsme předpokládali výše; pouze vyžaduje, aby časy nutné pro ustavení rovnováhy
uvnitř pásu byly kratší oproti rekombinační době r.
Tento způsob rozboru problému bude užitečný pro popis polovodičových luminiscenčních diod a polovodičových laserových diod, jejichž funkce je založena na zvýšené
emisi světla injekcí nosičů (viz kapitola 16).
Cvičení 15.1-3
Injekce párů elektron-díra v GaAs. Předpokládejme, že páry elektron
a díra jsou injektovány do GaAs typu n (Eg « 1,42 eV, mc ~ O,O7mo,
mv as 0,5m0) rychlostí R = 1023 ( c m " 3 - s " ' ) . Koncentrace elektronů
při tepelné rovnováze je n 0 = 101Gcm~3. Jestliže rekombinační parametr
r = 1CT11 cm3/s a T = 300 K, určete:
a) rovnovážnou koncentraci děr po,
b) rekombinační dobu života T,
c) ustálenou koncentraci nadbytečných nosičů Au,
d) vzdálenost mezi kvazi-Fermiho hladinami Ejc — E/„ za předpokladu, že
Vnitřní kvantová účinnost
Vnitřní kvantová účinnost T|.; je v polovodičovém materiálu definována jako
poměr rychlosti zářivé rekombinace elektronů a děr k celkové (zářivé i nezářivé)
rychlosti rekombinace. Tento parametr je důležitý, protože určuje účinnost generování
světla v polovodičových materiálech. Celková rychlost rekombinace je dána (15.1-14).
Jestliže parametr r je možno rozdělit na zářivou a nezářivou část r = r,. + r.„,., pro
vnitřní kvantovou účinnost platí
* = T = dr^-
(151 20)
-
Vnitřní kvantovou účinnost lze také vyjádřit pomocí rekombinačních dob života
r, které jsou nepřímo úměrné r [viz (15.1-18)]. Zavedeme-li doby života při zářivé
a nezářivé rekombinaci jako r,. a T,„. , můžeme psát
i = - +—.
T
Tr
T„.r
(15.1-21)
POLOVODIČE
Vnitřní kvantová účinnost je potom T,./T = (1/TT)/(1/T),
T
Tli = r—
Vnitřní kvantová
účinnost
r
=
633
nebo-li
Tnr
(15.1-22)
TT + rnr
Doba života při zářivé rekombinaci je určena rychlostmi absorpce a emise fotonů,
jak ukážeme v odst. 15.2B. Její hodnota závisí na koncentraci nosičů a materiálovém
parametru r,.. Při nízkých a středních rychlostech injekce
7
r
(15.1-23)
,
Tv(n o +po)
v souhlase s (15.1-18). Doba života při nezářivé rekombinaci má podobnou závislost.
Jestliže však nezářivá rekombinace probíhá přes poruchy uvnitř zakázaného pásu,
potom hodnota r„, je citlivější na koncentraci těchto poruch než na koncentraci
elektronů a děr.
Přibližné hodnoty rychlostí rekombinace a dob života v Si a GaAs jsou uvedeny
v tabulce 15.1-5. Hodnoty pro r r a r,. byly stanoveny pro materiál typu n s koncentrací
17
3
15
3
nosičů 10 cm~ při 300K a r„, pro materiál s koncentrací poruch 10 cm~ .
Všechny hodnoty jsou uvedeny s řádovou přesností.
V Si je doba života při zářivé rekombinaci o několik řádů větší než celková doba
života, protože Si má nepřímý zakázaný pás. To vede k malé hodnotě vnitřní kvantové
účinnosti. Na druhé straně se v GaAs více uplatňují zářivé přechody (GaAs má přímý
zakázaný pás) a vnitřní kvantová účinnost je tudíž velká. GaAs a další materiály
s přímým zakázaným pásem jsou proto vhodné pro přípravu struktur emitujících
záření na rozdíl od Si a dalších materiálů s nepřímým zakázaným pásem.
E.
Přechody
Přechody mezi různě dotovanými oblastmi téhož polovodičového materiálu se nazývají homopřechody. Důležitým příkladem je přechod p — n, který probereme
nejdříve. O přechodech mezi různými polovodičovými materiály, které se nazývají
heteropřechody, pojednáme později.
Tabulka 15.1-5 Přibližné hodnoty rychlostí zářivé rekombinace r>, rekombinačních dob života
a vnitřních kvantových účinností T)v v Si a GaAs."
3
r, (cm /s)
Si
GaAs
15
10"
ll1
10"
T,.
10
ras
100 ns
T,,,.
T
T^
100 ns
100 ns
100 ns
50 ns
ÍO"0
0,5
"Za podmínky, kdy dotování, teplota a koncentrace poruch jsou specifikovány v textu.
634
FOTONY V POLOVODIČÍCH
Typ p
c
o
Typ n
J3
.
"Sb
E
Ol
11
mm
Poloha
Obrázek 15.1-15 Energetické hladiny a koncentrace nosičů v navzájem oddělených
polovodičích typu p a typu n.
Přechod p-n
Přechod p—n je liomopřechod mezi polovodičem typu p a typu n. Chová se jako dioda,
která může v elektronice sloužit jako usměrňovač, logická propust, regulátor napětí
(Zenerova dioda) či varaktorová dioda v mikrovlnných obvodech; v optoelektronice
jako luminiscenční dioda (LED), laserová dioda, fotodetektor a sluneční článek.
Přechod p — n se skládá z oblastí typu p a n vytvořených ve stejném monolitním
polovodičovém materiálu. Nejprve si představme obě oblasti odděleně (obr. 15.1-15).
Oblast typu p má dostatek pohyblivých děr (majoritní nosiče) a mnohem méně pohyblivých elektronů (minoritní nosiče); oblast typu n má naopak dostatek pohyblivých elektronů a mnohem méně děr. Oba typy nosičů proudu vykonávají nepřetržitě
ve všech směrech neuspořádaný tepelný pohyb.
Jestliže přivedeme obě tyto oblasti do kontaktu (obr. 15.1-16), v materiálu dojde
postupně k vytváření nového stavu:
• Elektrony a díry difundují z míst o vysoké koncentraci do míst s nízkou koncentrací. Elektrony tedy difundují z oblasti typu n do oblasti typu p a zanechávají po
sobě kladně nabité nepohyblivé donory. V oblasti typu p rekombinují s dírami.
Obdobně díry difundují z oblasti typu p do oblasti typu n a zanechají po sobě
záporně nabité nepohyblivé akceptory. V oblasti typu n rekombinují s elektrony.
Tento difuzní proces nemůže pokračovat neomezeně, protože dochází k porušení
nábojové rovnováhy v těchto dvou oblastech.
• Výsledkem je vytvoření úzké oblasti na obou stranách přechodu, která je silně
ochuzena o pohyblivé nosiče náboje. Tato oblast se nazývá ochuzená vrstva
a obsahuje pouze nepohyblivé náboje (kladné donory na straně typu n a záporné
akceptory na straně typu p). Tloušťka ochuzené vrstvy je v každé oblasti nepřímo
úměrná koncentraci dotujících příměsí.
POLOVODIČE
635
-Ochuzená vrstvaP
-Z-
v;
Elektrické pole
LU
Obrázek 15.1-16 Přechod p — n v tepelné rovnováze při T > 0 K. Ochuzená vrstva, energetické pásové schéma a koncentrace (v logaritmickém měřítku) pohyblivých elektronů
n(x) a děr p(z) jako funkce polohy x. Difuznímu napětí VQ odpovídá energie eVb, kde e
je velikost náboje elektronu.
• Nepohyblivé náboje vytvářejí v ochuzené vrstvě elektrické pole, směřující z oblasti n do oblasti p. Toto vnitrní pole zablokuje difúzi dalších pohyblivých
nosičů přes přechod.
• Ustavení rovnovážných podmínek vede k vytvoření výsledného potenciálového
rozdílu Vo mezi dvěma stranami ochuzené oblasti, přičemž strana n má vyšší
potenciál než strana p.
• Vnitřní potenciál Vo (též nazývaný difuzní potenciál) způsobí, že elektrony na
straně n mají nižší potenciální energii než elektrony na straně p. Výsledkem je
zahnutí energetických pásů, které je patrné z obr. 15.1-16. V tepelné rovnováze
existuje pouze jedna Fermiho funkce pro celou strukturu, takže Fermiho hladiny
v oblasti p a oblasti n se musí navzájem vyrovnat.
• Přechodem neteče žádný výsledný proud. Difuzní a driftové proudy se navzájem
vykompenzují nezávisle pro elektrony a pro díry.
Přechod s přiloženým napětím
Potenciálový rozdíl mezi oblastmi typu p a typu n je možno měnit přiložením vnějšího
potenciálu. Jeho změnou bude ovlivněn tok majoritních nosičů, takže přechod lze
použít jako „hradlo". Přiložíme-li na přechod napětí v přímém směru, tj. kladné
napětí V na straně p (obr. 15.1-17), vzroste potenciál na straně n, takže vytvoříme
elektrické pole působící proti vnitřnímu poli. Přítomnost vnějšího elektrického pole
způsobí odchylku od rovnovážného stavu a poruší se vyrovnám' Fermiho hladin
v oblasti p a v oblasti n. Dvě Fermiho hladiny £/,. a Efv V ochuzené vrstvě potom
odpovídají kvazirovnovážnému stavu.
636
FOTONY V POLOVODIČÍCH
Ji
v
v.
Š?
LU
n
m
Nadbytečné
elektrony
M_
Nadbytečné díry
Obrázek 15.1-17 Energetické pásové schéma a koncentrace nosičů v přechodu p — n
zapojeném v přímém směru.
Výsledkem zapojení přechodu v přímém směru je snížení potenciálového schodu
o hodnotu eV. Proud majoritních nosičů se zvýší s exponenciálním faktorem
exp(eV/kjjT), takže výsledný proud i = isexp(eV/kBT) — i„, kde i, je konstanta.
Nadbytečné majoritní díry, které vstupují do oblasti n, a nadbytečné majoritní
elektrony, které vstupují do oblasti p, se tam stávají minoritními nosiči a postupně
rekombinují s majoritními. Jejich koncentrace proto klesá se vzdáleností od přechodu,
jak je patrné z obr. 15.1-17. Tento proces se nazývá injekce minoritních nosičů.
Jestliže na přechod p — n je přiloženo napětí V ve zpětném směru, tj. záporné
napětí na straně p a kladné na straně n, výška potenciálového schodu vzroste
o hodnotu eV, čímž je omezen tok majoritních nosičů. Odpovídající proud pak
obsahuje člen exp(eV/k^T), kde V je záporné; tj. proud se sníží. Pro výsledný proud
platí i = i., exp(eV/fcriT) — i,, takže ve zpětném směru protéká jen malý proud
velikosti ss i„, je-li | F | > kBT/e.
Přechod p — n se tedy chová jako dioda s voltampérovou (i —V) charakteristikou
Ideální
charakteristika diody
(15.1-24)
jak je zřejmé z obr. 15.1-18.
Informace o odezvě přechodu p - n n a přiložené střídavé napětí můžeme získat
řešením soustavy diferenciálních rovnic popisujících procesy difúze elektronů a děr,
jejich driftu (vlivem vnitřního a vnějšího elektrického pole) a rekombinace. Tyto
procesy jsou důležité pro určení spínacích vlastností diody, tj. rychlosti, s níž může
dioda pracovat. Modelově lze tuto situaci obvykle vystihnout pomocí náhradního
schématu diody, ve kterém jsou k ideální diodě paralelně připojeny dvě kapacity:
POLOVODIČE
637
i
/
's
1
\
(a)
Ib)
0
0
v
(c)
Obrázek 15.1-18 (a) Napětí a proud v přechodu p — n. (b) Schematické znázornění
obvodu s diodou p — n. (c) Ideální voltampérová charakteristika diody s přechodem p — n.
kapacita přechodu a difuzní kapacita. Pro stanovení času potřebného ke změně
nepohyblivých kladných a záporných nábojů uložených v ochuzené vrstvě vlivem
změn přiloženého napětí je rozhodující kapacita přechodu. Pro tloušťku I ochuzené
vrstvy vychází, že je přímo úměrná (Vó — V) 1 / 2 ; narůstá při napětí přiloženém
ve zpětném směru (záporné V) a klesá při napětí přiloženém v přímém směru
(kladné V). Kapacita přechodu C = eA/l (kde A je plocha přechodu) je proto
nepřímo úměrná (Ko - V) 1 / 2 . Kapacita přechodu diody zapojené ve zpětném směru
je menší (a doba odezvy RC je tedy kratší) než pro diodu zapojenou v přímém směru.
Závislosti C na V se využívá k přípravě napěťově řízených kondenzátorů (varaktorů).
Injekci minoritních nosičů v diodě zapojené v přímém směru lze popsat pomocí
difuzní kapacity, která závisí na době života minoritních nosičů a na proudu
protékajícím diodou.
Dioda s přechodem p-i-n
Dioda s přechodem p — i — n (obr. 15.1-19) je připravována tak, že mezi oblastí
p a oblastí n se vytvoří vrstva intriusického (nebo lehce dotovaného) polovodiče.
V důsledku toho na každé straně přechodu dojde k rozšíření ochuzené vrstvy
o vzdálenost, která je nepřímo úměrná koncentraci dotujících příměsí. Ochuzená
oblast přechodu p — i proniká hluboko do oblasti i. Stejně tak ochuzená vrstva
přechodu i — n se značně rozšíří do oblasti i. Výsledkem je, že dioda p — i — n se
chová jako přechod p — ns ochuzenou vrstvou zahrnující veškerou intrinsickou oblast.
Energie elektronu, hustota nepohyblivých nábojů a elektrické pole v diodě p — i — n
při tepelné rovnováze jsou patrné z obr. 15.1-19. Jedna z výhod užití diod s tlustou
ochuzenou vrstvou spočívá v malé kapacitě přechodu a tedy rychlé odezvě. Z těchto
důvodů jsou jako polovodičové fotodiody výhodnější diody p — i — n oproti diodám
p — n. Tlustá ochuzená vrstva rovněž umožňuje zachycení větší části dopadajícího
záření, tedy vzrůst fotodetekční účinnosti (viz odst. 17.3B).
F.
Heteropřechody
Přechody mezi různými polovodičovými materiály se nazývají heteropřechody. Jejich vývoj byl umožněn užitím moderních metod pěstování tenkých polovodičových
638
FOTONY V POLOVODIČÍCH
Ochuzená vrstva
1 1 1 1 1
o.
í
+
n
Elektrické pole
Energie
elektronu
Hustota nepohyblivých
nábojů
Hodnota
elektrického pole
u
/
R
\
X
,
X
Obrázek 15.1-19 Energie elektronu, hustota fixních nábojů a velikost intenzity elektrického pole v diodě p — i — n při tepelné rovnováze.
vrstev. Heteropřechody se užívají v moderních tranzistorech bipolárních a unipolárních (FET — field-effect transistor) a v optických zdrojích a detektorech. Poskytují
rozsáhlé možnosti ke zlepšení a zdokonalení elektronických a optoelektronických prvků. Zvláště ve fotonice může být vrstvení různých polovodičových materiálů na sebe
výhodné z několika důvodů:
• Na přechodech mezi materiály s různými zakázanými pásy vznikají lokalizované
skoky v energetickém pásovém schématu. Bariéry vytvořené nespojitostmi v průběhu potenciální energie zabraňují vstupu buď elektronů nebo děr do určitých
vymezených oblastí. Této vlastnosti se využívá např. v přechodu p — n ke snížení
podílu minoritních nosičů na proudu a tím ke zvýšení injekční účinnosti (viz obr.
15.1-20).
• Nespojitosti v energetickém pásovém schématu vytvořené dvěma heteropřechody
mohou být využity k uzavření nosičů náboje v požadovaném prostoru. Např.
vrstva materiálu s úzkým zakázaným pásem může být umístěna mezi dvě vrstvy
materiálu s širokým zakázaným pásem, jak je patrné ze struktury p — p — n
(složené z heteropřechodu p - p a heteropřechodu p - n) na obr. 15.1-20. Tato
dvojitá heterostruktura je účinně využívána při přípravě laserových diod jak
vysvětlíme v odst. 16.3.
• Heteropřechody jsou výhodné pro vytváření nespojitosti v energetickém pásovém schématu, které v určitých oblastech prostoru urychlují nosiče. Dodatečná
kinetická energie, která je naráz předána nosiči, může být využita k výraznému
zvýšení pravděpodobnosti nárazové ionizace ve vícevrstvé lavinové fotodiodě (viz
odst. 17.4A).
• Polovodiče s různým typem zakázaného pásu (přímý a nepřímý) mohou být
v některých prvcích využity k vymezení oblastí, kde dochází k emisi světla. Pouze
POLOVODIČE 6 3 9
p
3
C
o
p
'//////////////.
n
V////////////,
v
LU
V/////////////,
'///////////S,
Obrázek 15.1-20 Dvojitá heterostruktura p—p — n. Střední vrstva má užší zakázaný
pás oproti vnějším vrstvám. Při rovnováze se Fermiho hladiny navzájem vyrovnají,
takže hrana vodivostního pásu ostře poklesne v přechodu p - p a v přechodu p — n
ostře poklesne hrana valenčního pásu. Parametrem charakterizujícím heterostrukturu je poměr rozdílu energií vodivostních pásů k rozdílu energií valenčních pásů
(v angličtině označovaný jako band offset). Když je prvek zapojen v přímém směru,
tyto skoky působí jako bariéry, které uzavřou injektované minoritní nosiče. Např.
elektronům Ínjektovaným z oblasti n je zabráněno difundovat za bariéru u přechodu
p — p. Podobně dírám Ínjektovaným z oblasti p není umožněno difundovat za bariéru u přechodu p — n. Tato dvojitá heterostruktura tudíž nutí elektrony a díry
obsadit úzkou společnou oblast. To je podstatné pro účinnost injekčních laserových
diod (viz odst. 16.2 a 16.3).
polovodiče s přímým zakázaným pásem mohou účinně emitovat světlo (viz odst.
15.2).
Polovodiče lišící se šířkou zakázaného pásu mohou být využity k výběru oblastí
ve struktuře jednoho prvku, ve kterých bude docházet k absorpci světla. Polovodičové materiály, jejichž zakázaný pás je větší než energie dopadajících fotonů,
budou průhledné a působí jako „okno".
Heteropřechody z materiálů s různými indexy lomu mohou být využity k vytvoření optických vlnovodů, které vážou a řídí pohyb fotonů.
640
*G.
FOTONY V POLOVODIČÍCH
Kvantové jámy a supermřížky
Heterostruktury složené z tenkých vrstev polovodičových materiálů se připravují
epitaxními technologiemi, tj. mřížkově přizpůsobená vrstva jednoho polovodičového
materiálu se připraví na jiném materiálu pomocí technik jako jsou epitaxe z molekulárních svazků (MBE — molecular-beam epitaxy), epitaxe z kapalné fáze (LPE
liquid-phase epitaxy) a epitaxe z plynné fáze (VPE — vapor-phase epitaxy), jejíž variantou je nanášení vrstev z metaloorganických komponent (MOCVD — metal-organic chemical vapor deposition). MBE užívá molekulárních svazků prvků, které dopadají na vhodně připravený substrát v ultravysokém vakuu, LPE využívá chlazení
taveniny, která je ve styku s podložkou a při MOCVD jsou zaváděny do růstového
reaktoru plyny. Při MBE je složení a dopování jednotlivých vrstev určováno a ovlivňováno rychlostí dopadajících molekul a teplotou na povrchu podložky. Vrstvy mohou
být tvořené dokonce jedinou atomovou rovinou.
Jestliže tloušťka vrstvy je srovnatelná nebo je menší než de Broglieova vlnová
délka termalizovaných elektronů (tj. elektronů v pásu při tepelné rovnováze, např.
v GaAs je de Broglieova vlnová délka ~ 50nm), nelze dále používat vztah mezi energií a hybností platný pro objemové krystaly. Podstatné výhody při aplikacích ve fotonice přinášejí tři typy struktur: kvantové jámy, kvantové dráty a kvantové tečky.
Odpovídající vztahy mezi energií a hybností budou pro tyto struktury odvozeny v následujícím textu. Jejich aplikace jsou uvedeny v dalších kapitolách (viz odst. 16.3B
a 17.4A).
Kvantové jámy
Kvantová jáma je vlastně dvojitý heteropřechod, jehož strukturu vytváří ultratenká
(< 50 nm) vrstva polovodičového materiálu se zakázaným pásem menším než jaký
má materiál, který ji obklopuje (obr. 15.1-21). Jako příklad může sloužit tenká
vrstva GaAs obklopená AlGaAs (viz obr. 12.1-8). Toto uspořádání (sendvič) vede
ve vodivostním a valenčním pásu k vytvoření pravoúhlých potenciálových jam,
uvnitř kterých jsou uzavřeny elektrony a díry: elektrony v jámách vodivostního pásu
a díry v jámách valenčního pásu. Dostatečně hlubokou potenciálovou jámu můžeme
aproximovat jámou nekonečně hlubokou (viz obr. 12.1-9).
Energetické hladiny E,, částice o hmotnosti m (mc pro elektrony a mv pro díry)
uzavřené do jednorozměrné pravoúhlé jámy o šířce d jsou určeny řešením časově
nezávislé Schródingerovy rovnice. Ze cvičení 12.1-1 vychází
E
,
,
, , , ,
M
Jako příklad uvedeme dovolené hladiny energie elektronů v nekonečně hluboké GaAs
jámě (mc = 0,07mo) o šířce d = 10 nm, které nabývají hodnot Eq = 54, 216,
486, ... meV. Připomeňme, že při T = 300 K je k^T = 26meV. Menší šířka jámy
vede k většímu odstupu mezi hladinami.
Ve struktuře představující kvantovou jámu na obr. 15.1-21 jsou elektrony (a díry)
omezeny ve směru osy a; na pohyb uvnitř úseku o délce d\ (šířka jámy). Přitom se
POLOVODIČE
641
Objemový
krystal
(c)
(b)
(a)
Obrázek 15.1-21 (a) Geometrické uspořádání struktury kvantové jámy. (í>) Schéma
energetických hladin pro elektrony a díry v kvantové jámě. (c) Závislost energie E na k
v rovině /c2 — £3. Energie podpášu jsou označeny jejich kvantovým číslem q\ = 1, 2, ....
Vztahu mezi E a t pro objemový polovodič odpovídají čárkované křivky.
mohou volně šířit v rovině kolmé k ose x (c^, dz ~S> d\). Takže v rovině y — z se chovají
jako by byly v objemovém polovodiči. Vztah mezi energií a hybností je tvaru
2m c
2m,.
2m c
kde k\ = qin/di, k2 = q^K / d2, &3 = q^-n/dz a 91, 92, 93 = 1, 2, .... Jelikož </i <C
< c/2, c/3, nabývá fci diskrétních od sebe dobře oddělených hodnot, kdežto diskrétní
hodnoty k2 a £3 leží těsně u sebe a je možno na ně pohlížet jako na kontinuum. To
znamená, že vztah mezi energií a hybností je
E=EC
n2k2
2mc'
= l, 2, 3,
(15.1-26)
kde k je velikost dvourozměrného vektoru k = (&2, £3) ležícího v rovině y—z. Každému
kvantovému číslu 91 odpovídá podpás mající nejnižší energii Ec+Eq\. Podobné vztahy
platí pro valenční pás.
Vztah mezi energií a hybností v objemovém polovodiči je dán rovnicí (15.1-1),
ve které je k velikost třírozměrného vlnového vektoru k = (fci, £2, £3). Základní rozdíl
spočívá v tom, že v kvantové jámě nabývá k\ dobře oddělených diskrétních hodnot.
Z toho plyne důležitý výsledek, že hustota stavů spojená se strukturou kvantových
jam se liší od hustoty stavů pro objemový materiál, která se stanoví z velikosti
642
FOTONY V POLOVODIČÍCH
třírozměrného vlnového vektoru o složkách k\ = qiir/d, ki = q2ir/d, k$ — qiir/d
pro d\ = di = d3 = d. V tomto případě [viz (15.1-3)] g(k) = k2/TT2 na jednotkový
objem, což dává hustotu stavů ve vodivostním pásu [viz (15.1-4) a obr. 15.1-7]
3/2
-{E-Ec)l'\
E>0.
(15.1-27)
Pro strukturu kvantové jámy získáme hustotu stavů z velikosti dvourozměrného
vlnového vektoru (k2, ks). Na každé kvantové číslo q\ proto připadá stavů g(k) = k/n
stavů na jednotku plochý v rovině y — z a, tedy k/ndi na jednotkový objem. Hustoty
QC(E) a g(k) spolu souvisí vztahem gc{E) d£ = g(k) dk = \k/-Kdi)dk. Nakonec užitím
vztahu (15.1-26) mezi E a k dostaneme dE/dk = h2k/mc, ze kterého plyne
gc(E)=
u
E>
= l, 2, . . . .
(15.1-28)
Pro každé kvantové číslo 91 je tedy hustota stavů v jednotkovém objemu
konstantní, když £ > Ec + Eq\. Celková hustota stavů je součtem hustot pro každou
hodnotu qi, takže získáme schodovitý průběh patrný z obr. 15.1-22. Každý stupeň
schodiště odpovídá různým kvantovým číslům q\ a může být považován za podpás
uvnitř vodivostního pásu (obr. 15.1-21). Dna těchto podpášu se postupně zvyšují
tak, jak rostou jejich kvantová čísla. Pomocí vztahů (15.1-27) a (15.1-25) lze ukázat,
že při E = Ec + Eqi je hustota stavů pro kvantové jámy stejná jako hustota stavů
v objemovém polovodiči. Hustota stavů ve valenčním pásu má podobný schodovitý
průběh.
Na rozdíl od objemového polovodiče má struktura kvantové jámy značnou
hustotu stavů na nejnižší dovolené hladině ve vodivostním pásu i na nejvyšší dovolené
hladině ve valenčním pásu. Tato vlastnost významně ovlivňuje optické vlastnosti, což
bude diskutováno v odst. 16.3G.
1 £2
Objemový
krystal
Hustota stavů g(E)
Obrázek 15.1-22 Hustota stavů pro strukturu kvantové jámy (plně) a pro objemový
polovodič (čárkovaně).
POLOVODIČE
643
Vícenásobné kvantové jámy a supermřížky
Vícenásobné vršte vně struktury různých polovodičových materiálů, které se vzájemně střídají, nazýváme vícenásobné kvantové jámy (MQW — multiquantum-well),
viz obr. 15.1-23. Mohou být připravovány tak, že šířka zakázaného pásu se mění
s polohou různými způsoby (viz např. obr. 12.1-8). Jsou-li energetické bariéry mezi
přilehlými jámami dostatečně tenké, mohou jimi elektrony snadno tunelovat (kvantově mechanický průnik), diskrétní energetické hladiny se rozšíří do miniaturních pásů
a o takovéto struktuře vícenásobných kvantových jam hovoříme jako o struktuře
supermřížky. Vícenásobné struktury kvantových jam se užívají v laserech, fotodetektorech a nelineárních optických prvcích. Typická struktura MQW se může skládat
ze 100 vrstev, z nichž každá má tloušťku « lOnm a obsahuje zhruba 40 atomových
rovin, takže celková tloušťka struktury je =s 1 um. Takovou strukturu lze vyrobit
v aparatuře pro přípravu pomocí molekulárních svazků (MBE) přibližně za 1 hodi-
Kvantové dráty a kvantové tečky
Polovodičový materiál ve tvaru tenkého drátu o obdélníkovém průřezu obklopený
materiálem s větší šířkou zakázaného pásu se nazývá kvantový drát (obr. 15.1-24).
Drát se chová jako potenciálová jáma, která omezuje elektrony (a díry) ve dvou
směrech (x,y). Za předpokladu, že je průřez drátu d\d2, je vztah mezi energií
a hybností ve vodivostním pásu
E=EC + Eql
t,2-
(15.1-29)
2mr: '
kde
h2(q2ir/d2)2
2m c
2fTlr
= l, 2, ...
(15.1-30)
a A; je složka vlnového vektoru ve směru osy z (podél osy drátu).
Každá dvojice kvantových čísel (91,92) je spojená s energetickým podpásem
majícím hustotu stavů g(k) = 1/TT na jednotkovou délku drátu a tudíž \j-nd\d2
Obrázek 15.1-23
a GaAs.
Vícenásobná struktura jam připravená střídáním vrstev AlGaAs
644
FOTONY V POLOVODIČÍCH
;—
(b)
(a)
(c)
Idl
Obrázek 15.1-24 Hustota stavů pro různá uspořádání omezující pohyb elektronů: (a) objemový krystal; (6) kvantová jáma; (c) kvantový drát; (d) kvantová tečka. Vodivostní
a valenční pásy se štěpí do překrývajících se podpášu, které se postupně zužují tak, jak
je pohyb elektronů omezován ve více dimenzích.
na jednotkový objem. Odpovídající hustota stavů (na jednotkový objem) závisí na
energii E vztahem
E > Ec + Eql + Eq2
QC{E)=
všude jinde,
92 = 1 , 2 , ....
(15.1-31)
Jsou to funkce klesající s hodnotou energie, jak je patrné z obr. 15.1-24(c). Energetické
podpasy jsou v kvantovém drátu užší než podpasy v kvantové jámě.
Ve struktuře kvantových teček jsou elektrony omezeny ve všech třech směrech
uvnitř kvádru o objemu C/1C/2C/3. Energie je proto kvantována do hodnot
E = Ec
kde
INTERAKCE FOTONŮ S ELEKTRONY A DÍRAMI
ITTÍ,.
Eq2 =
645
QITI' ^I)
2mc
2mc
9i> 92, 93 = 1, 2,
(15.1-32)
Dovolené energetické hladiny jsou diskrétní a dobře od sebe oddělené, takže hustota
stavů představuje posloupnost delta funkcí při dovolených energiích, jak je patrné na
obr. 15.1-24(c2). Kvantové tečky se často nazývají umělými atomy. I kdyby obsahovaly
řádově desítky tisíc silně interagujících skutečných atomů, lze v principu získat
předem zvolené diskrétní energetické hladiny kvantových teček vhodným návrhem
struktury.
15.2
INTERAKCE FOTONŮ S ELEKTRONY A DÍRAMI
Nyní budeme vyšetřovat základní optické vlastnosti polovodičů zvláště s ohledem
na procesy absorpce a emise, které jsou důležité pro pochopení činnosti zdrojů
a detektorů fotonů.
Při absorpci a emisi fotonů se může uplatnit řada mechanismů. Mezi nejdůležitější patří:
• Přechody mezipásové (pás-pás). Při absorpci fotonů dojde k přechodu elektronů z valenčního pásu do vodivostního pásu a vznikne pár elektron-díra
[obr. 15.2-l(a)]. Rekombinace elektronu s dírou vede naopak k emisi fotonu.
Mezipásové přechody se mohou uskutečnit i za účasti jednoho nebo více fononů.
Fonon je kvazičástice nesoucí kvantum energie tepelných kmitů mříže.
• Přechody mezi příměsí a pásem (příměs-pás). Při absorpci fotonu dojde k přechodu elektronu mezi donorovou (nebo akceptorovou) hladinou a vodivostním
(nebo valenčním) pásem v dotovaném polovodiči. V materiálu typu p může například nízkoenergetický foton způsobit přechod elektronu z valenčního pásu na
r- EA = 0.088 eV
Eg
10.66 eV
(b)
ta)
tc)
Obrázek 15.2-1 Příklady procesů absorpce a emise fotonů v polovodiči, (a) Mezipásové
přechody v GaAs mohou vést k absorpci nebo emisi fotonů o vlnové délce < A,, =
= hco/E;l = 0,87 yum. (6) Absorpce fotonu o vlnové délce A^ = hctf/EA — 14 fim vede
k přechodu elektronu z valenčního pásu na akceptorovou hladinu v Ge dotovaném Hg
(Ge:Hg). (c) Přechody volných nosičů uvnitř vodivostního pásu.
646
FOTONY V POLOVODIČÍCH
Vlnová délka (/mi)
10
I
10?
1.0
0.5
0.2
6
10
105
Z
104
O
1O3 _
Mezipásové
přechody
102 _
-Q
<
10 -
0.01
0.1
1.0
Energie fotonu (eV)
Obrázek 15.2-2 Změřený koeficient optické absorpce a v závislosti na energii dopadajících fotonů pro Si a GaAs v tepelné rovnováze při T = 300 K. Šířka zakázaného pásu
E;J je 1,11 eV pro Si a 1,42 eV pro GaAs. Si je relativně propustný v oblasti \o ~ 1,1 až
12 /im, kdežto GaAs je relativně propustný v oblasti A„ ss 0,87 až 12 //m (viz obr. 5.5-1).
akceptorovou hladinu, kde se zachytí [obr. 15.2-1(6)]. Vznikne tak díra ve valenčním pásu a ionizovaný akceptorový atom. Nebo naopak díra může být zachycena
na ionizovaném akceptoru; výsledkem je, že elektron přejde z akceptorové hladiny do valenčního pásu, kde rekombinuje s dírou. Odpovídající energie se může
uvolnit buď zářivě (ve formě emitovaného fotonu) nebo nezářivě (ve formě fononů). Mohou se uskutečňovat i jiné typy přechodů spojené s rekombinačními
centry a pastmi jak je patrné z obr. 15.1-14.
• Přechody volných nosičů (vnitropásové). Absorbovaný foton může předat svou
energii elektronu v některém z pásů, což způsobí, že elektron obsadí vyšší
neobsazený stav uvnitř téhož pásu. Pro vodivostní pás je tento proces znázorněn
na obr. 15.2-l(c). Následuje proces termalizace, při kterém elektron postupně
klesá ke dnu vodivostního pásu tak, jak ztrácí svou energii srážkami s fonony
(energie se přemění na vibrační energii krystalové mříže).
• Fononové přechody. Dlouhovlnné fotony mohou přímo vybudit kmity mříže; tj.
vzniknou fonony.
INTERAKCE FOTONŮ S ELEKTRONY A DÍRAMI
647
• Excitonové přechody. Absorpce fotonu může vést ke vzniku páru elektronu a díry,
které jsou od sebe sice vzdálené, ale vzájemně vázané Coulombovskou interakcí.
Tato dvojice připomíná vodíkový atom s tím rozdílem, že místo protonu se v něm
nachází díra a nazývá se exciton. Při rekombinaci elektronu s dírou může dojít
k emisi fotonu a tak k zániku excitonu.
Tyto všechny přechody přispívají k celkovému absorpčnímu koeficientu, jehož
průběh pro Si a GaAs je na obr. 15.2-2 a ve větším zvětšení pro řadu polovodičových
materiálů na obr. 15.2-3. Pro energie fotonů větší než je šířka zakázaného pásu
dominují v absorpci mezipásové přechody, na kterých je založena většina fotonických
prvků. Spektrální oblast, ve které materiál přechází ze stavu, kdy je relativně dobře
propustný {hu < Eg), do stavu, kdy silně absorbuje (hu > E9), se nazývá absorpční
hrana. Polovodiče s přímým zakázaným pásem mají absorpční hranu strmější než
polovodiče s nepřímým zakázaným pásem, jak je vidět z obr. 15.2-2 a 15.2-3.
A.
Mezipásová absorpce a emise
Nejprve se přehledně seznámíme s jednoduchou teorií přímé mezipásové absorpce
a emise, přičemž nebudeme uvažovat vliv ostatních druhů optických přechodů.
Vlnová délka
654 3
105
= 111 1
2
1.5
1.1 1.0 0.9
1
0.8
1
1 1 1
0.7
0.6
1
0.5
1
1
InSb^,
10"
103
c
>u
Q.
O
r /
InP
/
_
/
:
102 r
10
/
InAs
Si
/
í
1 , | i |
0.2 0.4 0.6 0.8
i
1.0
,/ |
1.2
GaA 5
\
1.4
1 GaP
, 1 , 1 1 1 , / , 1 . 1 , 1
1.6
1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8
Energie fotonu (eV)
Obrázek 15.2-3 Absorpční koeficient v závislosti na energii dopadajících fotonů pro Ge,
Si, GaAs a další vybrané binární polovodičové materiály III-V při T = 300 K v okolí absorpční hrany. (Použito závislostí z publikace G. E. Stillman, V. M. Robbins a N. Tabatabaie, III-V Compounds Semiconductor Devices: Optical Detectors, IEEE Transactions
on Electron Devices, vol. ED-31, str. 1643-1655, © 1984 IEEE)
:
648
FOTONY V POLOVODIČÍCH
5.0 3.0 2.0 1.5
1.0 0.9 0.8
1 1 1 1
1 1 1
0.7
1
0.5
1
0.6
1
-jG.
1
1
InAs
1 iGaP
InP C
1
1
GaAs
InAs
1
GaP
| AlAs
GaAs
GaSbl
|
|Ge
1
0.2 0.4 0.6
1
0.8
|
1.0
1Si
1
1.2
1
1.4
1
1.6
1.8
2.0
1
2.2
1
2.4
Eg (eV)
Obrázek 15.2-4 Šířka zakázaného pasu E9 a odpovídající vlnová délka \y pro vybrané
elementární polovodiče a binární, ternární a kvaternární polovodiče typu III-V. Stínované
oblasti vymezují složení, při kterém má materiál přímý zakázaný pás.
Vlnová délka odpovídající šířce zakázaného pásu
Přímá mezipásová absorpce a emise se může uplatnit pouze při frekvencích, pro které
energie fotonu hv > Eg. Minimální potřebná frekvence je pro tento případ vg =
= Eg/h a odpovídají vlnová délka As = co/vg = hco/Eg. Je-li šířka zakázaného pásu
zadána v eV (což je obvyklejší než v joulech), je vlnová délka v /mi odpovídající šířce
zakázaného pásu dána vztahem
Vlnová délka \
odpovídající Eg (eV)
(15.2-1)
Vlnová délka A9 odpovídající šířce zakázaného pásu se v anglické literatuře označuje
bandgap wavelength nebo cutoff wavelength. Její hodnoty jsou uvedeny pro řadu
polovodičových materiálů v tab. 15.1-3 a na obr. 15.1-5 a 15.1-6. Xg je možno nastavit
na určitou hodnotu v širokém rozsahu vlnových délek (od infračervené po viditelnou
oblast spektra) tím, že použijeme ternárních a kvaternárních sloučenin III-V různého
složení jak je zřejmé z obr. 15.2-4.
Absorpce a emise
Při absorpci fotonu s vhodnou energií (hv > Eg) může dojít k excitaci elektronu
z valenčního do vodivostního pásu. Vznikem páru elektron-díra [obr. 15.2-5(a)]
dojde ke zvýšení koncentrace pohyblivých nosičů náboje v pásech a tím i ke zvýšení
elektrické vodivosti. Materiál se chová jako fotovodič s vodivostí úměrnou toku fotonů.
Tento jev je užíván k detekci světla, které je věnována kap. 17.
Výsledkem deexcitace elektronu z vodivostního do valenčního pásu (rekombinace
elektronu a díry) může být spontánní emise fotonu s energií hv > Efl [obr. 15.2-5(6)]
INTERAKCE FOTONŮ S ELEKTRONY A DÍRAMI
649
:: M/W
\
11 i 1111111 n 111 111
lot
Ib)
fcl
Obrázek 15.2-5 (a) Absorpce fotonu vedoucí ke vzniku páru elektron-díra. Tento proces
se užívá při detekci záření. (6) Výsledkem rekombinace páru elektron-díra je spontánní
emise fotonu. Na tomto principu pracují luminiscenční diody (LED), (c) Rekombinace
elektronu a díry může být vyvolána fotonem při stimulované emisi fotonu se stejnou
energií. Stimulovaná emise je základním procesem uplatňujícím se v polovodičových
injekčních laserech.
nebo stimulovaná emise fotonu (viz odst. 12.2) Druhý případ může nastat za předpokladu, že je přítomný foton s energií hv > EfJ [obr. 15.2-5(c)]. Spontánní emise
je základním jevem, na kterém jsou založeny luminiscenční diody (LED), o kterých
pojednáme v odst. 16.1. Na stimulované emisi je založena činnost polovodičových
zesilovačů a laserů, jak uvidíme v odst. 16.2 a 16.3.
Podmínky pro absorpci a emisi
• Zachování energie. Aby mohlo dojít k absorpci nebo emisi fotonu s energií
hv, musí Existovat dva dovolené stavy E\ a £2, které jsou od sebe vzdáleny
právě o hodnotu energie hv (£j leží ve valenčním a £2 ve vodivostním pásu).
Například při emisi fotonu následkem rekombinace elektronu s dírou elektron
ležící na hladině £2 interaguje s dírou ležící na hladině £1 tak, že se zachová
energie, tj.
£2 — £1 = hv.
(15.2-2)
Zachování hybnosti. Při procesu absorpce nebo emise fotonu musí být rovněž
zachována hybnost, takže P2 —p\ = hv/c = h/\, neboli 1(2 — ki = 2TT/A. Velikost
hybnosti fotonu h/\ je velice malá ve srovnání s oborem hodnot, kterých může
nabývat hybnost elektronů a děr. Pro všechny dovolené stavy elektronů a děr
v polovodiči leží jejich vlnový vektor v intervalu délky 2TT/a (od —-n/a do 7r/o),
650
FOTONY V POLOVODIČÍCH
kde mřížková konstanta o je mnohem menší než vlnová délka A, takže kz — k\ =
= 2-K/\ -C 27r/o. Z této nerovnosti je zřejmé, že hybnost elektronu a hybnost
díry jsou téměř stejné. Této podmínce kz w k\ říkáme výběrové pravidlo
pro vlnový vektor. Přechodům, které vyhovují tomuto výběrovému pravidlu,
odpovídají v obr. 15.2-5 vertikální úsečky, kdy změny k jsou při použitém měřítku
zanedbatelné.
• Energie a hybnost elektronu a díry při interakci s fotonem. Z obr. 15.2-5 je patrné,
že zachování energie a hybnosti vyžaduje, aby foton s frekvencí v interagoval
jen s elektrony a dírami majícími určité vybrané energie a hybnosti, které
spolu navzájem souvisí vztahy (15.1-1) a (15.1-2). Užitím těchto vztahů, kdy
aproximujeme závislost £ na k pro vodivostní a valenční pás dvěma parabolami,
a při dosazení £c — £„ = Eg, je možno vztah (15.2-2) přepsat do tvaru
£2 - £i =
h Eg +
ZTnlt
= hv,
(15.2-3)
ZTTlc
odkud
k2 = "^-(hv - Eg),
(15.2-4)
kde
— = — + —.
(15.2-5)
mT
mv
mc
Dosazením (15.2-4) do (15.1-1) pro energie hladin £i a £2, které se uplatní
při interakci s fotonem, dostaneme
Energie
I
~
elektronu a díry,
£2 = Ec + —(hv - Eg),
c
které mohou
m
£
E
interagovat
i = « - ~(hu
~ Ef) = E? ~ hvs fotonem hv
I
"
I
(15.2-6)
(15.2-7)
Ve speciálním případě, kdy mc = m„, obdržíme £2 = Ec + ^(hv — Eg), jak
vyžaduje symetrie.
• Opticky sdružená hustota stavů. Nejprve za podmínek zachování energie a hybnosti stanovíme v polovodiči s přímým zakázaným pásem hustotu stavů g(v),
se kterými může interagovat foton mající energii hv. Tato veličina v sobě zahrnuje hustotu stavů jak ve valenčním tak vodivostnim pásu a nazýváme ji opticky sdružená hustota stavů. Jednoznačný vztah mezi £2 a v vyjádřený rovnicí (15.2-6) nám dovoluje snadno stanovit vztah mezi g(v) a hustotou stavů ^(£2) ve vodivostnim pásu, užijeme-li g(:(£2)d£2 = g(u)áv, z čehož g(v) =
iv)pc(E2), takže
(u) = ^ec{E2).
e
(15.2-8)
INTERAKCE FOTONŮ S ELEKTRONY A DÍRAMI
651
Obrázek 15.2-6 Hustota stavů, se kterými interaguje foton s energií his, která
narůstá s hv — E:J podle odmocninového zákona.
Užitím (15.1-4) a (15.2-6) konečně získáme počet stavů připadajících na jednotkový objem a jednotkovou frekvenci:
Opticky sdružená hustota
stavů
(15.2-9)
který je zachycen na obr. 15.2-6. Jednoznačné přiřazení mezi E\ a v v (15.2-7)
spolu s f?„(£i) určeným (15.1-5) vede k výrazu shodnému s (15.2-9).
• Emise fotonu je málo pravděpodobná v polovodičích s nepřímým zakázaným pásem. Zářivá rekombinace elektronu a díry je téměř neuskutečnitelná v polovodičích s nepřímým zakázaným pásem. Je to způsobeno tím, že přechody ze dna
vodivostniho pásu do vrcholu valenčního pásu (kde se elektrony a díry nejčastěji
vyskytují) vyžadují změnu hybnosti, která nemůže být zajištěna emisí fotonu.
K zachování hybnosti může dojít pouze za účasti fononu. Fonony mohou mít
relativně velkou hybnost, ale jsou pro ně typické malé energie (w 0,01 až 0,1 eV;
viz obr. 15.2-2), takže jejich přechody se uskutečňují v diagramu E — k horizontálně (viz obr. 15.2-7). V konečném výsledku se zachovává hybnost, i když není
E,
Fonon
I III I IIII I1 IIII I I III II IIIII III
Obrázek 15.2-7 Emise fotonu v polovodiči s nepřímým zakázaným pásem. Rekombinace elektronu ze dna vodivostniho pásu s dírou u vrcholu valenčního pásu vyžaduje změnu energie a hybnosti. Energie se může předat fotonu, ale pro zachování
hybnosti je nutná účast jednoho nebo více fononu. Tento typ vícečásticové interakce
je málo pravděpodobný.
652
FOTONY V POLOVODIČÍCH
splněno výběrové pravidlo pro vlnový vektor. Protože emise za pomoci fononu
znamená účast tří částic (elektron, foton, fonon), je její pravděpodobnost nepatrná. Tak Si, který je polovodičem s nepřímým zakázaným pásem, má podstatně
nižší rychlost zářivé rekombinace oproti GaAs, který je polovodičem s přímým
zakázaným pásem (viz tab. 15.1-5). Si proto vykazuje ve srovnání s GaAs nízkou
účinnost emise.
• Absorpce fotonu je pravděpodobná i v polovodiči s nepřímým zakázaným pásem.
Ačkoli k absorpci fotonu v polovodičích s nepřímým zakázaným pásem je také
zapotřebí, aby byla zachována energie a hybnost, lze toho snadno dosáhnout
dvoustupňovým procesem (obr. 15.2-8). Elektron je nejprve excitován na vyšší
energetickou hladinu uvnitř vodivostního pásu vertikálním přechodem. Následně
rychle zrelaxuje ke dnu vodivostního pásu procesem nazývaným termalizace,
při kterém se jeho hybnost předává fononům. Díry se chovají obdobně. Jelikož
proces probíhá postupně, není třeba současné přítomnosti tří částic a není tedy
nepravděpodobný. Si je proto účinným detektorem fotonů stejně jako GaAs.
B. Rychlosti absorpce a emise
Nyní budeme pokračovat v určení hustot pravděpodobností emise nebo absorpce
fotonu s energií hv v polovodičovém materiálu při přímých mezipásových přechodech.
Zákony zachování energie a hybnosti ve tvaru (15.2-6), (15.2-7) a (15.2-4) určují
energie Ex a £2 a hybnost Tik elektronů a děr, se kterými může foton interagovat.
Hustoty pravděpodobnosti emise nebo absorpce závisí na třech faktorech: pravděpodobnosti obsazení, pravděpodobnosti přechodů a hustotě stavů. Postupně je uváPravdepodobnosti obsazení
Aby mohlo dojít k emisi nebo absorpci fotonu, jsou obsazovací podmínky při
přechodech mezi diskrétními energetickými hladinami £1 a £2 následující:
Absorpce
fotonu
MfWV-»-
JI
Termalizace
11IIIII1111111II111III
Obrázek 15.2-8 Absorpce fotonu v polovodiči s nepřímým zakázaným pásem. Foton generuje vertikálním přechodem excitovaný elektron a díru; nosiče potom rychle přecházejí
ke dnu vodivostního pásu a vrcholu valenčního pásu za vzniku fononů. Jelikož proces je
postupný, není nepravděpodobný.
INTERAKCE FOTONŮ S ELEKTRONY A DÍRAMI
653
Podmínka emise: Stav ve vodivostním pásu s energií £2 je zaplněn (elektronem)
a stav ve valenčním pásu s energií £1 je prázdný (tj. zaplněn dírou).
Podmínka absorpce: Stav ve vodivostním pásu s energií £2 je prázdný a stav
ve valenčním pásu s energií £1 je zaplněn.
Pravděpodobnosti, že tyto obsazovací podmínky jsou splněny pro různé hodnoty £1 a £2, lze stanovit z odpovídajících Fermiho funkcí / c (£) a /„(£) spojených
s vodivostním a valenčním pásem polovodiče, který je v kvazirovnováze. Pravděpodobnost fe{v), že je splněna podmínka pro emisi fotonu s energií hv, je součin pravděpodobností, že horní stav je zaplněn a že dolní stav je prázdný (jsou to nezávislé
děje), tj.
(15.2-10)
£1 a £2 souvisí s v pomocí (15.2-6) a (15.2-7). Podobně pravděpodobnost fa{v), že
je splněna podmínka pro absorpci fotonu, je
(15.2-11)
Cvičení 15.2-1
Za jakých podmínek je rychlost emise větší než rychlost absorpce fotonu
a) Ukažte, že v polovodiči, který je v tepelné rovnováze, je vždy fc{v)
menší než fa(v), takže rychlost emise fotonu nemůže převýšit rychlost
jeho absorpce.
b) Ukažte, že v polovodiči, který je v kvazirovnováze (£/ t ^ Ejv),
je při zářivých přechodech probíhajících mezi stavem o energii £0
ve vodivostním pásu a stavem £1 ve valenčním pásu o stejném k
pravděpodobnější emise oproti absorpci, pokud vzdálenost mezi kvaziFermiho hladinami je větší než energie fotonu, tj. jestliže
Podmínka pro
převládající emisi
. _ r . ^ u„
£/,:
- £/,, > hv.
r
(15.2-12)
Co vyplývá z této podmínky pro polohu £/,. vůči £c a £/,, vůči £„?
Pravděpodobnosti přechodů
Splnění obsazovací podmínky pro emisi nebo absorpci ještě neznamená, že k emisi
nebo absorpci skutečně dojde. Tyto procesy se řídí pravděpodobnostními zákony
interakce mezi fotony a atomárními systémy probranými v odst. 12.2A až C (viz
též cvičení 12.2-1). Jestliže je použijeme pro polovodiče, jsou tyto zákony vyjádřeny
v obecné formě pomocí vztahů pro emisi (nebo absorpci) do úzkého pásma frekvencí
mezi v a v + dv:
654
FOTONY V POLOVODIČÍCH
Zářivý přechod mezi dvěma diskrétními hladinami Ei a E2 je charakterizo2
ván účiaiiým průřezem přechodu o{v) = (\ /8ntsp)g(u),
kde v je frekvence,
tsp je střední doba spontánní emise a g(v) je funkce tvaru čáry (leží symetricky kolem frekvence přechodu VQ = (E 2 — E\)/h, má šířku A v a jednotkovou
plochu). V polovodičích hraje roli tsp střední doba zářivé elektron-děrové
rekombinace rT diskutovaná v odst. 15.ID, takže
M
^
(15.2-13)
'
• Jestliže je splněna obsazovací podmínka pro emisi, hustota pravděpodobnosti (za jednotku času) spontánní emise fotonu do libovolného
vhodného zářivého modu v úzkém frekvenčním pásmu mezi v a v + dv
je
P,p(u)du = —g(u)du.
(15.2-14)
Tr
• Jestliže je splněna obsazovací podmínka pro emise a zároveň je přítomno záření se spektrální hustotou toku fotonů <f>„ (počet fotonů na jednotku plochy, za jednotku času a v jednotkovém intervalu frekvencí) při
frekvenci v, hustota pravděpodobnosti (za jednotku času) stimulované
emise jednoho fotonu do úzkého frekvenčního pásma mezi v a v + dv
je
Wi(v)dv = 0„ff(i/)di/ = <j)v
OTrr
g(u)dv.
(15.2-15)
Jestliže je splněna obsazovací podmínka pro absorpci a zároveň je přítomno záření se spektrální hustotou toku fotonů 4>v o frekvenci v, hustota pravděpodobnosti absorpce fotonu z úzkého frekvenčního pásma v
a i> + di> je také dána vztahem (15.2-15).
Protože každý přechod má jinou střední frekvenci i^o a protože uvažujeme
soubor takovýchto přechodů, přesně vyznačíme střední frekvenci přechodu tak, že
budeme psát g^v) místo g{v)- V polovodičích má homogenní rozšíření funkce tvaru
čáry g„o{y) spojené s dvojicí energetických hladin obecně svůj původ ve srážkách
elektronů s fonony. Jako typický příklad pro funkci tvaru čáry lze uvést Lorentzovo
rozdělení [viz (12.2-27) a (12.2-30)] se šířkou Ai/ « l/7rT2, kde střední doba mezi
srážkami elektronu a fononu T2 je řádově pikosekundy. Např. jestliže T2 = 1 ps, potom
Au = 318 GHz, čemuž odpovídá energetická šířka tiAv ~ 1,3 meV. Rozšíření hladin
související se střední dobou zářivé rekombinace je ve srovnání s rozšířením následkem
srážek zanedbatelné.
INTERAKCE FOTONŮ S ELEKTRONY A DÍRAMI
655
Celkové rychlosti emisních a absorpčních přechodů
Rychlosti spontánní emise, stimulované emise a absorpce fotonu s energií hv (počet fotonů za sekundu na 1 Hz a na 1 cm3 polovodiče) mezi dvěma energetickými hladinami
vzdálenými od sebe £2 — E\ = IIVQ lze obdržet následovně. Odpovídající hustotu pravděpodobnosti přechodu Psv{u) nebo Wi(v) [viz vztahy (15.2-14) nebo (15.2-15)] vynásobíme odpovídající pravděpodobností obsazení fc{vo) nebo /a(^o) [viz (15.2-10) nebo
(15.2-11)] a hustotou stavů, které mohou interagovat s fotonem Q{V0) [viz (15.2-9)].
Celkovou rychlost přechodu pro všechny dovolené frekvence VQ můžeme vypočítat
integrací přes v$.
Například rychlost spontánní emise při frekvenci v je dána vztahem
= /
(") =
Jestliže rozšíření následkem srážek Au je podstatně menší než šířka funkce
_fe(i/o)g(fo), což je obvyklé, může být ^„oM aproximována pomocí 6(1/ — i/0),
v důsledku čehož se nám vztah pro rychlost přechodu zjednoduší na rsp(v) =
= {^lTr)Q{v)fc{v)- Rychlost stimulované emise a absorpce obdržíme obdobným
způsobem, takže platí vztahy:
Rychlosti
spontánní emise,
stimulované emise
a absorpce
(15.2-16)
(15.2-17)
(15.2-18)
Tyto rovnice společně se vztahy (15.2-9) až (15.2-11) dovolují vypočítat rychlosti
spontánní emise, stimulované emise a absorpce při přímých mezipásových přechodech
(počet fotonů za sekundu na 1 hertz a na lem 3 ) za přítomnosti záření o střední
spektrální hustotě fotonů <f>v (počet fotonů za sekundu na lem 2 a na 1 hertz).
Součiny g(u)fe(i/) a g(v)}a{v) jsou obdobou součinů rozdělovači funkce a počtu
atomů v jednotce objemu na horní hladině g(v)N2 a dolní hladině g(u)N-í, které jsme
používali v kapitolách 12 až 14 při studiu emise a absorpce v atomových systémech.
Stanovení pravděpodobností obsazení fd^) a fa(v) vyžaduje znalost kvaziFermiho hladin E/c a E/„. Prostřednictvím kontrolovaných změn těchto dvou parametrů (např. přiložením vnějšího napětí k přechodu p — n) lze měnit emisní a absorpční rychlosti a tím nastavit vhodné podmínky pro funkci různých fotonických
prvků. Základním získaným výsledkem je rovnice (15.2-16), která popisuje činnost
luminiscenčních diod (LED), tj. polovodičových zdrojů fotonů založených na spontánní emisi (viz odst. 16.1). Rovnice (15.2-17) je použitelná pro polovodičové optické
zesilovače a injekční lasery, které pracují na základě stimulované emise (viz odst. 16.2
až 16.3). Rovnice (15.2-18) je vhodná pro polovodičové detektory fotonů, jejichž funkce je založena na absorpci fotonů (viz kap. 17).
656
FOTONY V POLOVODIČÍCH
Spektrální hustota spontánní emise při tepelné rovnováze
Polovodič v tepelné rovnováze má pouze jednu Fermiho funkci, takže (15.2-10)
přejde do tvaru fe(v) = /(E2HI — /(Ei)]. Jestliže Fermiho hladina leží uvnitř
zakázaného pásu a je vzdálena od hran pásů alespoň o několik ksT, může být
použita aproximace Fermiho funkce exponenciálou, /(E2) ~ exp[—(E2 —
a 1 - /(Ei) « exp[-(E/ - Ei)/fcBT], v důsledku čehož fe{y) « exp[-(E2 -
«„,.«„(-£).
(15.2-19)
Dosazením (15.2-9) pro g(v) a (15.2-19) pro fc(u) do (15.2-16) dostaneme
(15.2-20)
kde
(15.2-21)
je parametr, který roste s teplotou exponenciálně. Rychlost spontánní emise, která
je vynesena v závislosti na hv v obr. 15.2-9, je určena dvěma faktory: odmocninovou
závislostí na hv — Eg, která souvisí s hustotou stavů, a exponenciálně klesající funkcí
spojenou s Fermiho funkcí.
Rychlost spontánní emise může vzrůst, zvětšíme-li fe(v)- V souladu s (15.2-10)
je toho možno dosáhnout, když materiál záměrně vychýlíme z tepelné rovnováhy
takovým způsobem, že fc(E->) se zvětší a fv{E\) se zmenší. To vyžaduje nadbytek
jak elektronů tak děr, což je základním požadavkem pro činnost luminiscenčních diod
(LED), jak je diskutováno v odst. 16.1.
Obrázek 15.2-9 Spektrální hustota rychlosti přímé mezipásové spontánní emise ^,(1;)
(fotony za sekundu na Hz na cm 3 ) polovodiče v tepelné rovnováze v závislosti na hv.
Spektrum má nízkofrekvenční mez při v = Ey jh a jeho šířka je zhruba
INTERAKCE FOTONŮ S ELEKTRONY A DÍRAMI
657
Koeficient zesílení při kvazirovnováze
Koeficient zesílení 7o(^) odpovídající rychlostem stimulované emise a absorpce určeným vztahy (15.2-17) a (15.2-18) lze určit tak, že uvážíme válec jednotkového průřezu
a délky dz, na který dopadá ve směru osy z záření mající spektrální hustotu toku
fotonů <j>„ (jak je patrné z obr. 13.1-1). Jestliže 4>„{z) a <p„{z) + d<f>„(z) jsou spe
rální hustoty toku fotonů, které vstupují a vystupují z válce, pak d<j>u{z) musí být
spektrální hustota toku záření emitovaného z vnitřku válce. Přírůstek počtu fotonů
připadající na jednotkový objem, na jednotkové frekvenční pásmo a za jednotkový
čas je počet fotonů získaný za jednotkový čas, v jednotkovém frekvenčním pásmu
a z jednotkové plochy [rs«(i') — rai(u)] vynásobený tloušťkou válce dz. Dosazením
z (15.2-17) a (15.2-18) dostaneme
^
^
^
( l / )
[
/ e ( l / )
" /«(")]*"(*) = -»>(")*.<(*)•
(15.2-22)
Koeficient zesílení je proto
/
7o(* ) = ~—Q{v)fg{v),
Koeficient zesílení
(15.2-23)
kde Fermiho faktor inverze je dán vztahem
fy(v)
= fc(v) - fa(v) = / C (E 2 ) - /„(EO,
(15.2-24)
jak je možné nahlédnout z (15.2-10) a (15.2-11), když £i a £2 souvisí s v vztahy
(15.2-6) a (15.2-7). Užitím (15.2-9) může být koeficient zesílení vyjádřen ve tvaru
70(1/) = £>i(/i!/- Eg)1'2fg(v),
hv > Eg,
(15.2-25a)
kde
i" Tr
(15.2-25b)
Znaménko a spektrální průběh Fermiho inverzního faktoru fg(y) určují polohy
kvazi-Fermiho hladin E/<: a £/„, které jsou závislé na stupni excitace nosičů v polovodiči. Jak bylo ukázáno ve cvičení 15.2-1, tento faktor je kladný (čemuž odpovídá
inverze obsazení a dosažení zisku) pouze tehdy, když E/c — Efv > hv. Tato podmínka
může být splněna a zesílení dosaženo, když jsou v polovodiči pomoc! vnějšího zdroje energie elektrony dostatečně vybuzeny (viz odst. 16.2). To je fyzikální podstata
funkce polovodičových optických zesilovačů a injekčních laserů.
658
FOTONY V POLOVODIČÍCH
Vlnová délka Ao( /mi)
1
5. 0.5 xlO
4
0.5
0.4
-
1
Obrázek 15.2-10 Vypočtený absorpční koeficient a(v) (cm" ) pro přímé mezipásové
přechody v závislosti na energii dopadajících fotonů hu (eV) a jejich vlnové délce Xo (^m)
pro GaAs. Získaný průběh je možno porovnat s experimentálními výsledky uvedenými
na obr. 15.2-3, kde jsou patrné všechny mechanizmy absorpce.
Absorpční koeficient při tepelné rovnováze
Polovodič, který je v tepelné rovnováze, má pouze jednu Fermiho hladinu £/ = Ejc =
— Efv, takže
fc(E) = /„(£) = f(E) =
exp[(E-Ef)/kBT]+ť
(15.2-26)
Faktor fg(v) = fc(E2) - /„(Ei) = {{E2) - /(^í) < 0, takže koeficient zesíleníu 70(1^)
je vždy záporný [jelikož £2 > E\ a /(£) je monotónně klesající funkce £]. Toto platí
při libovolné poloze Fermiho hladiny Ef. Polovodič v tepelné rovnováze, ať čistý nebo
dotovaný (intrinsický nebo extrinsický), vždy zeslabí procházející světlo. Absorpční
koeficient a(v) = —jo{v) je tedy dán vztahem
Absorpční
koeficient
(15.2-27)
kde £1 a £ 2 jsou určené vztahy (15.2-7) a (15.2-6) a D\ se stanoví pomocí (15.2-25b).
Leží-li Ef uvnitř zakázaného pásu a současně je vzdálena od hran pásů alespoň o několikanásobek JfcB7\ potom /(£i) fs 1, /(E 2 ) « 0 a tedy [/(£i) - /(£ 2 )] « 1.
V tomto případě je příspěvek přímých mezipásových přechodů k absorpčnímu koeficientu
«(«/) «
\/2 c2m3r'2
1
-
Eg)1'-.
(15.2-28)
S rostoucí teplotou klesá rozdíl /(£i) —/(£ 2 ) pod hodnotu jedna, takže absorpční koeficient se zmenšuje. Průběh závislosti daný rovnicí (15.2-28) je znázorněn pro GaAs
na obr. 15.2-10, když při výpočtu bylo použito hodnot n = 3,6, mc = O,O7mo,
INTERAKCE FOTONŮ S ELEKTRONY A DÍRAMI
659
31
mv = 0,5mo, mo = 9,1 x 10 kg a stupeň dotování byl takový, že T,. = 0,4 ns (tato hodnota se liší od hodnoty uvedené v tab. 15.1-5, která odpovídá jinému stupni
dotování), Eg = 1,42eV a teplota byla zvolena tak, aby [/(Ei) — f(E2)] ss 1.
Cvičení 15.2-2
Vlnová délka odpovídající maximální mezipásové absorpci. Ze vztahu
(15.2-28) stanovte vlnovou délku (ve vakuu) \p, při které absorpční koeficient polovodiče v tepelné rovnováze dosahuje maximální hodnoty. Vypočtěte
hodnotu \p pro GaAs. Uvědomte si, že tento výsledek platí pouze pro přímé
mezipásové přechody.
C.
Index lomu
Při návrhu mnoha fotonických prvků, zvláště těch, které se užívají jako optické
vlnovody, prvky integrované optiky a laserové diody, je důležitá možnost přípravy
polovodiče s určitou hodnotou indexu lomu. Polovodičové materiály jsou disperzní,
tzn. index lomu závisí na vlnové délce. Index lomu vskutku souvisí s absorpčním
koeficientem a(i/), protože reálná a imaginární část susceptibility musí vyhovovat
Kramersovým-Krónigovým relacím (viz odst. 5.5B a odst. B.l v dodatku B). Index
lomu rovněž závisí na teplotě a stupni dotování, jak je zřejmé z křivek pro GaAs
na obr. 15.2-11.
Indexy lomu vybraných elementárních a binárních polovodičů při udaných podmínkách a pro vlnovou délku odpovídající zakázanému pásu jsou uvedeny v tabulce
15.2-1.
Tabulka 15.2-1 Indexy lomu vybraných polovodičových materiálů při T = 300 K a pro energie fotonu
odpovídající zhruba šířce zakázaného pásu těchto materiálů (his ss E,j)a
Materiál
Elementární polovodiče
Ge
Si
Binární polovodiče III-V
AIP
AlAs
AlSb
GaP
GaAs
GaSb
InP
InAs
InSb
Index lomu
4,0
3,5
3,0
3,2
3,8
3,3
3,6
4,0
3,5
3,8
4,2
"Indexy lomu ternárních a kvaternárních polovodičů je možno aproximovat hodnotami
získanými lineární interpolací mezi hodnotami indexů lomu jejich složek.
660
FOTONY V POLOVODIČÍCH
3.8
Vlnová délka (/im)
0.9
0.8
1
1
1
0.7
\
i
3.7 -
J 3.6
/
Vysoce čistý GaAs
F
3.5
'
Eg
«=1.6xl0 1 9 crn-3
.i =6.7x1018 cm-3
1
1
1
1
1.8
1.7
1.4
1.5
1.6
Energie fotonu (eV)
Obrázek 15.2-11 Index lomu vysoce čistého GaAs a GaAs typu p a typu n při 300 K
v závislosti na energii fotonů (vlnové délce). Výběžek na křivce vysoce čistého GaAs při
energii odpovídající šířce zakázaného pásu souvisí s volnými excitony. (Použito výsledků
z H. C. Casey, Jr., and M. B. Panish, Heterostructure Lasers, part A, Fundamentol
Principles, Academie Press, New York, 1978.)
3.4
1.2
1
1.3
LITERATURA
Knihy o fyzice polovodičů a polovodičových prvcích
B. G. Streetman, Solid State Electronic Devices, Prentice-Hall, Englewood Cliffs,
NJ, 3.vyd. 1990.
S. Wang, Fundamentals of Semiconductor Theory and Device Physics, Prentice-Hall,
Englewood Cliffs, NJ, 1989.
E. S. Yang, Microelectronic Devices, McGraw-Hill, New York, 1988.
K. Hess, Advanced Theory of Semiconductor Devices, Prentice-Hall, Englewood
Cliffs, NJ, 1988.
C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York, 6.vyd. 1986.
D. A. Fraser, The Physics of Semiconductor Devices, Clarendon Press, Oxford, 4.vyd.
1986.
S. M. Sze, Semiconductor Devices: Physics and Technology, Wiley, New York, 1985.
K. Seeger, Semiconductor Physics, Springer-Verlag, Berlin, 2. vyd. 1982.
S. M. Sze, Physics of Semiconductor Devices, Wiley, New York, 2. vyd. 1981.
O. Madelung, Introduction to Solid State Theory, Springer-Verlag, Berlin, 1978.
R. A. Smith, Semiconductors, Cambridge University Press, New York, 2. vyd. 1978.
N. W. Ashcroft a N. D. Mermin, Solid State Physics, Holt, Rinehart and Winston,
New York, 1976.
A. van der Ziel, Solid State Physical Electronics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs,
NJ, 3.vyd. 1976.
D. H. Navoň, Electronic Materials and Devices, Houghton Miíflin, Boston, 1975.
LITERATURA
661
W. A. Harrison, Solid State Theory, McGraw-Hill, New York, 1970.
C. A. Wert a R. M. Thomson, Physics of Solids, McGraw-Hill, New York, 1970.
J. M. Ziman, Principles of the Theory of Solids, Wiley, New York, 1968.
A. S. Grove, Physics and Technology of Semiconductor Devices, Wiley, New York,
1967.
Knihy o optoelektronice
J. Wilson a J. F. B. Hawkes, Optoelectronics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ,
2. vyd. 1989.
M. L. Cohen a J. R. Chelikowski, Electronic Structure and Optical Properties of
Semiconductors, Springer-Verlag, New York, 2. vyd. 1989.
J. Gowar, Optical Communication Systems, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ,
1984.
H. Kressel, ed., Semiconductor Devices for Optical Communications, Springer-Verlag, New York, 2. vyd. 1982.
T. S. Moss, G. J. Burrell aB.EUis, Semiconductor Opto-electronics, Wiley, New York,
1973.
J. I. Pánkové, Optical Processes in Semiconductors, Prentice-Hall, Englewood Cliffs,
NJ, 1971; Dover, New York, 1975.
Knihy o heterostrukturách a kvantových jámách
C. Weisbuch a B. Vinter, Quantum Semiconductor Structures, Academie Press,
Orlando, FL, 1991.
F. Capasso, ed., Physics of Quantum Electron Device, Springer-Verlag, New York,
1990.
R. Dingle, Applications of Multiquantum Wells, Selective Doping, and Super-Lattices, Academie Press, New York, 1987.
F. Capasso a G. Margaritondo, eds., Heterojunction Band Discontinuities, North-Holland, Amsterdam, 1987.
H. C. Casey, Jr. a M. B. Panish, Heterostructure Lasers, part A, Fundamental
Principles, Academie Press, New York, 1978.
H. C. Casey, Jr. a M. B. Panish, Hetero structure Lasers, part B, Materials and
Operating Characteristics, Academie Press, New York, 1978.
H. Kressel a J. K. Butler, Semiconductor Lasers and Heterojunction LEDs, Academie
Press, New York, 1977.
A. G. Milnes a D. L. Feucht, Heterojunctions and Metal-Semiconductor
Junctions,
Academie Press, New York, 1972.
Specializovaná čísla časopisů
Speciál issue on quantum -well heterostructures and superlattices, IEEE Journal of
Quantum Electronics, vol. QE-24, no. 8, 1988.
Speciál issue on semiconductor quantum wells and superlattices: physics and applications, IEEE Journal of Quantum Electronics, vol. QE-22, no. 9, 1986.
662
FOTONY V POLOVODIČÍCH
Články
E. Corcoran, Diminishing Dimensions, Scientific American, vol. 263, no. 5, pp.
122-131, 1990.
D. A. B. Miller, Optoelectronic Applications of Quantum Wells, Optícs and Photonics
News, vol. 1, no. 2, pp. 7-15, 1990.
S. Schmitt-Rink, D. S. Chemla, a D. A. B. Miller, Linear and Nonlinear Optical
Properties of Semiconductor Quantum Wells, Advances in Physics, vol. 38, pp.
89-188, 1989.
W. D. Goodhue, Using Molecular-Beam Epitaxy to Fabricate Quantum-Well Devices,
Lincoln Laboratory Journal, vol. 2, no. 2, pp. 183-206, 1989.
S. R. Forrest, Organic-on-Inorganic Semiconductor Heterojunctions: Building Block
for the Next Generation of Optoelectronic Devices?, IEEE Circuits and Devices
Magazine, vol. 5, no. 3, pp. 33-37, 41, 1989.
A. M. Glass, Optical Materials, Science, vol. 235, pp. 1003-1009, 1987.
L. Esaki, A Birďs-Eye View on the Evolution of Semiconductor Superlattices and
Quantum Wells, IEEE Journal of Quantum Electronics, vol. QE-22, pp.
1611-1624, 1986.
D. S. Chemla, Quantum Wells for Photonics, Physics Today, vol. 38, no. 5, pp.
56-64, 1985.
Literatura v českém jazyce
C. Kittel, Úvod do fyziky pevných látek, Academia, Praha, 1985.
H. Frank, Fyzika a technika polovodičů, SNTL-Nakladatelství technické literatury,
Praha, 1990.
ÚLOHY
15.1-1 Fermiho hladina v intrinsickém polovodiči. Při tepelné rovnováze platí
pro koncentrace nosičů vztahy (15.1-9a) a (15.1-9b):
(a) Určete výraz pro Fermiho hladinu Ej intrinsického polovodiče a ukažte,
že leží uprostřed zakázaného pásu jen v tom případě, že efektivní hmotnost
elektronů me je přesně rovna efektivní hmotnosti děr m„.
(b) Určete výraz pro Fermiho hladinu v dotovaném polovodiči jako funkci
stupně dotování a Fermiho hladiny určené v části (a).
15.1-2 Rekombinace elektronů a děr při silné injekci. Uvažujte rekombinaci
elektronů a děr při tak silné injekci párů nosičů, že doba života nadbytečných
. párů elektron-díra může být aproximována vztahem T = 1/rAn, kde r
je rekombinační parametr materiálu a An je přebytek koncentrace nosičů
generovaných injekcí. Za předpokladu, že zdroj injekce nosičů R je vypnut
v čase í = řo, nalezněte analytický výraz pro An(í), který ukazuje, že pokles
se řídí mocninnou závislostí a nikoli exponenciální.
ÚLOHY
663
*15.1-3 Energetické hladiny v kvantové jámě GaAs/AlGaAs. (a) Nakreslete
pásové energetické schéma pro strukturu vícenásobných kvantových jam
GaAs/AlGaAs za předpokladu, že AlGaAs má složení Alo.3Gao.7As. Šířka
zakázaného pásu GaAs Eg = 1,42 eV; šířka AlGaAs roste nad tuto hodnotu
o « 12,47 meV na každé 1%, o které se zvýší koncentrace AI. V důsledku
vlastností těchto dvou materiálů je hloubka kvantové jámy ve vodivostním
pásu zhruba 60% z celkového rozdílu šířek zakázaných pásů, což je součet
hloubek jam ve vodivostním a valenčním pásu.
(b) Předpokládejme, že kvantová jáma ve vodivostním pásu má hloubku
určenou v části (a) a stejné energetické hladiny jako čtvercová jáma znázorněná na obr. 12.1-9(6), pro kterou (mV0d2/2ti2)1/2 = 4, kde Vo je hloubka
jámy. Najděte celkovou šířku jámy d v GaAs. Efektivní hmotnost elektronu
ve vodivostním pásu GaAs mc ~ O,O7mo = 0,64 x 10~31 kg.
15.2-1 Platnost aproximace pro rychlost absorpce nebo emise. Aproximace
9vo{v) ~ 6(1/ — VQ) bylo použito pro určení rychlosti spontánní emise pomocí
integrálu
r„v{v)= j \—g„a{v)\ íc
J
\Jr
J
(a) Zakreslením funkcí g„o{v), fd^o) a f?(fo) při T = 300 K a porovnáním
jejich šířek ukažte, že tato aproximace je pro GaAs platná. Rozšíření čáry
v GaAs je způsobeno srážkami se střední dobou T2 ~ 1 ps.
(b) Zopakujte část (a) pro rychlost absorpce při tepelné rovnováze.
15.2-2 Maximální rychlost spontánní emise při tepelné rovnováze, (a) Polovodič je v tepelné rovnováze. Určete energii fotonu huv, pro kterou rychlost
spontánní emise při přímých mezipásových přechodech dosahuje maximální
hodnoty. Předpokládá se, že Fermiho mez leží uvnitř zakázaného pásu a je
vzdálena od hran pásů o několikanásobek k^T.
(b) Ukažte, že rychlost spontánní emise v maximu (počet fotonů za sekundu
na hertz a cm3) je dána vztahem
(c) Jaký vliv na tento výsledek má dotování?
(d) Za předpokladu, že TT = 0,4 ns, mc = 0,07mo, m„ = O,5mo a Ea =
= 1,42 eV, nalezněte maximální rychlost spontánní emise pro GaAs při
T = 300K.
15.2-3 Rychlost zářivé rekombinace při tepelné rovnováze, (a) Ukažte, že
integrací rychlosti spontánní emise při přímých mezipásových přechodech
přes všechny emisní frekvence (počet fotonů za sekundu a z cm3) dostaneme
664
FOTONY V POLOVODIČÍCH
za předpokladu, že Fermiho hladina leží uvnitř zakázaného pásu alespoň
několik kBT od hran pásů. [Poznámka: /0°° a ^ e " " * dx = (VTF/2)M" 3 / 2 -]
(b) Porovnejte tento výsledek s přibližnou hodnotou rychlosti, kterou obdržíte tak, že vynásobíte hodnotu v maximu získanou v úloze 15.2-2 přibližnou
šířkou frekvenčního pásma 2k#T/h, která vyplývá z obr. 15.2-9.
(c) Ve vztahu (15.1-10b) položte fenomenologicky stanovenou rychlost rovnovážné zářivé rekombinace rrnp = TVTV2 (počet fotonů za sekundu z cm3)
zavedenou v odst. 15. ID rovnou rychlosti odvozené pro přímé mezipásove
přechody v části (a). Pro rychlost zářivé rekombinace obdržíte vztah
(d) S pomocí výsledku z části (c) spočítejte hodnotu rT pro GaAs
při T = 300K, když použijete hodnot mc = O,O7mo, m, = O,5mo
a r , = 0,4 ns. Získanou hodnotu porovnejte s hodnotou uvedenou v tabulce
15.1-5 na str. 633 (rT « l(T 1 0 cm 3 /s).
K A P I T O L A
16
POLOVODIČOVÉ ZDROJE
FOTONŮ
16.1 LUMINISCENČNÍ DIODY
A. Injekční elektroluminiscence
B. Charakteristiky luminiscenčních diod
16.2 POLOVODIČOVÉ LASEROVÉ ZESILOVAČE
A. Zesílení
B. Čerpání
C. Heterostruktury
16.3 POLOVODIČOVÉ INJEKČNÍ LASERY
A.
B.
C.
D.
E.
F.
*G.
Zesílení, zpětná vazba a oscilace
Výkon
Spektrální složení
Prostorové rozložení
Selekce modů.
Charakteristiky typických laserů
Lasery s kvantovými jámami
Realizace polovodičových iujekčních laserů byla ohlášena v r. 1962 téměř současně nezávislými výzkumnými týmy ze společností General Electric, IBM a z Lincoln Laboratory Massachusettského technologického institutu.
665
666
POLOVODIČOVÉ ZDROJE FOTONŮ
Polovodičové materiály mohou emitovat záření v důsledku elektron-děrové rekombinace. Materiály schopné emitovat takové záření jej nevysílají při pokojové teplotě,
neboť koncentrace tepelně vybuzených elektronů a děr jsou příliš nízké k tomu, aby
mohly vyvolat detekovatelný zářivý tok. Lze ovšem použít vnější zdroj energie k vybuzení dostatečného počtu elektron-děrových párů tak, aby mohlo vzniknout relativně intenzivní spontánní rekombinační záření čili luminiscence. Výhodný způsob,
jak toho dosáhnout, je zapojit přechod p — n v propustném směru, což má za následek injekci elektronů a děr do téže prostorové oblasti; výsledné rekombinační záření
se pak nazývá injekční elektroluminiscence.
Luminiscenční dioda (LED, z angl. light-emitting diod) je v propustném směru
polovaný přechod p —ra,vyrobený z polovodiče s přímými přechody zakázaného pásu,
který emituje záření ve formě injekční elektroluminiscence [obr. 16.0-l(a)]. Jestliže
napětí v propustném směru vzroste nad určitou hodnotu, počet elektronů a děr
v oblasti přechodu se může zvýšit natolik, že se dosáhne populační inverze, načež
stimulovaná emise (tj. emise indukovaná přítomnými fotony) převáží nad absorpcí.
Přechod se pak dá použít jako diodový laserový zesilovač [obr. 16.0-1(6)] nebo,
s příslušnou zpětnou vazbou, jako injekční laserová dioda [obr. 16.0-l(c)].
Polovodičové fotonové zdroje, ať již ve formě LED či injekčních laserů, slouží jako
(a)
Ib)
Obrázek 16.0-1 Polovodičová dioda s přechodem p — n, polovaná v propustném směru
a pracující jako (a) LED, (6) polovodičový optický zesilovač a (c) polovodičový injekční
laser.
LUMINISCENČNÍ DIODY
667
velmi účinné elektron-fotonové měniče. Jejich výhodou je snadná modulace ovládáním
injektovaného proudu. Pro úspěšné užití v mnoha aplikacích jsou důležitými faktory
jejich malé rozměry, vysoká účinnost i spolehlivost a kompatibilita s elektronovými
systémy. Mezi takové aplikace patří světelné indikátory, displeje, skanovací a čtecí
systémy, tiskárny a optické vláknové systémy pro přenos informací/komunikační
systémy; optické záznamové systémy jako např. přehrávače kompaktních disků.
Tato kapitola je věnována studiu luminiscenčních diod (odst. 16.1), polovodičovým laserovým zesilovačům (odst. 16.2) a polovodičovým injekčním laserům
(odst. 16.3). Přitom se vychází z látky vyložené v kap. 15. Při analýze polovodičového laserového zesílení a oscilací se využívá přístupů vypracovaných v kap. 13
a 14.
16.1
A.
LUMINISCENČNÍ DIODY
Injekční elektroluminiscence
Elektroluminiscence při tepelné rovnováze
Elektron-děrová zářivá rekombinace má za následek emisi záření z polovodičového
materiálu. Za pokojové teploty je však koncentrace tepelně excitovaných elektronů
a děr tak malá, že generovaný tok fotonů je velmi malý.
Příklad 16.1-1. Emise fotonů z GaAs při tepelné rovnováze. Za pokojové teploty je intrinsická koncentrace elektronů a děr v GaAs n.; ~
~ 1,8 x 10° cm" 3 (viz tab. 15.1-4). Protože parametr zářivé elektron-děrové
rekombinace r,. ~ 10~ 10 cm 3/s (jak je uvedeno pro určité podmínky v tabulce 15.1-5), rychlost elektroluminiscenčních přechodů je r,.np = r,.n| w
~ 324 fotonů/cm3 • s, jak je diskutováno v odst. 15.ID. Použijeme-li pro
šířku zakázaného pásu GaAs hodnotu Eg = 1,42 eV = 1,42 x 1,6 x 10~19 J,
tato rychlost emise odpovídá optické hustotě výkonu = 324 x 1,42 x 1,6 x
x 10~19 ~ 7 x 10~17W/cm3. Tudíž 2 pm silná vrstva GaAs vyzařuje intenzitu / ~ 1,5 x 10~20W/cm2, která je zanedbatelná. Světlo emitované
z vrstvy GaAs silnější než asi 2 fim podléhá reabsorpci.
Při tepelné rovnováze nelze tuto intenzitu podstatným způsobem zvýšit (či snížit) dotováním materiálu. Podle zákona působení hmotností obsaženého v (15.1-12)
je součin np udržován na hodnotě n 2 , pokud materiál není příliš silně dotován, takže rychlost rekombinace r.,.np = r,.n2 závisí na úrovni dotování pouze prostřednictvím r,.. Pro vysokou rychlost rekombinace je požadován hojný výskyt elektronů
a také děr; v polovodiči typu n je n veliké, ale p malé, zatímco v polovodiči typu p
je tomu naopak.
668
POLOVODIČOVÉ ZDROJE FOTONŮ
Elektroluminiscence při injekci nosičů
Rychlost emise fotonu lze značně zvýšit použitím vnějších prostředků k vytvoření
nadbytečných elektron-děrových párů. Lze toho dosáhnout např. ozářením materiálu
světlem, ale obvykle se toho dosahuje zapojením diody s přechodem p — n v propustném směru, takže dochází k injekci párů nosičů do oblasti přechodu. Tento proces
je zobrazen na obr. 15.1-17 a bude vysvětlen v odst. 16.1B. Rychlost emise fotonů
3
lze vypočítat z rychlosti injekce elektron-děrových párů R (pár/cm • s), kde R hraje
roli rychlosti laserového čerpání (viz odst. 13.2). Tok fotonů <ř (fotony za sekundu),
generovaný v objemu V polovodičového materiálu, je přímo úměrný rychlosti injekce
párů nosičů (viz obr. 16.1-1).
Označíme rovnovážné koncentrace elektronů a děr v nepřítomnosti čerpání no
a po a použijeme n = no + An a p = po + Ap k označení ustálené koncentrace
nosičů při čerpání (viz odst. 15.ID). Nadbytečná koncentrace elektronů An je přesně
rovna nadbytečné koncentraci děr Ap, protože elektrony a díry jsou vytvářeny v párech. Předpokládáme, že přebytečné elektron-děrové páry rekombinují s pravděpodobností 1/T, kde r je celková doba (zářivá i nezářivá) elektron-děrové rekombinace.
V ustáleném stavu musí být rychlost generování (čerpání) rovna přesně rychlosti rekombinace, takže R = An/r. Nadbytečná koncentrace nosičů v ustáleném stavu je
tudíž úměrná rychlosti čerpání, tj.
(16.1-1)
An = RT.
Pro dostatečně nízké rychlosti injekce nosičů máme, jak je vysvětleno v odst. 15.ID,
r ~ l/r(no + po), kde r je parametr (zářivé a nezářivé) rekombinace, takže R ~
KS rAn(n 0 + Po).
Fotony jsou však generované pouze při zářivé rekombinaci a vnitřní kvantová
účinnost TI,; = r,/r = T/TT, definovaná v (15.1-20) a (15.1-22) vyjadřuje právě tu
skutečnost, že pouze část rekombinačních aktů je svou podstatou zářivá. Injekce RV
párů nosičů za sekundu tudíž vede ke generování toku fotonů $ = T|,;/?V (foton/s),
(16.1-2)
Injektované nosiče
(rychlost R)
Vyzařované fotony
Obrázek 16.1-1 Spontánní emise fotonů při elektron-děrové zářivé rekombinaci, jak se
může vyskytnout v zapojení v propustném směru přechodu p — n.
LUMINISCENČNÍ DIODY
669
Vnitřní tok fotonů $ je úměrný rychlosti injekce párů nosičů R a tudíž ustálené
koncentraci nadbytečných elektron-děrových párů An.
Vnitřní kvantová účinnost T|,; je klíčovým faktorem pro stanovení použitelnosti
takovéhoto elektron-fotonového měniče. K výrobě LED (a injekčních laserů) se
obvykle používají polovodiče s přímým zakázaným pásem, protože mají T|,; podstatně
větší než polovodiče s nepřímým zakázaným pásem (např. % =Í 0,5 pro GaAs, zatímco
pro Si je T|; R; 10~5, viz. tab. 15.1-5). Vnitřní kvantová účinnost r|; závisí na dotování,
na teplotě a na koncentraci defektů v materiálu.
Příklad 16.1-2. Injekční elektroluminiscenční emise z GaAs. Za určitých podmínek je pro GaAs r = 50ns a T|,: = 0,5 (viz tab. 15.1-5), takže stacionární nadbytečná koncentrace injektovaných elektron-děrových
párů An = 1017 cm""3 dá vzniknout koncentraci fotonového toku
T|,;An/r ~ 1024 fotonů/cm3 • s. To odpovídá hustotě optického výkonu
RÍ 2,3 x 105W/cm3, jestliže uvažujeme fotony s energií zakázaného pásu
Eg = 1,42 eV. Vrstva GaAs silná 2^tm tudíž emituje optickou intenzitu
« 46W/cm2, což je 1021 krát větší intenzita nežli intenzita vysílaná při tepelné rovnováze v příkladu 16.1-1. Za těchto podmínek je výkon vyzařovaný
ze součástky o ploše 200/xm x 10 fim roven « 0,9 mW.
Spektrální hustota elektroluminiscenčních fotonů
Spektrální hustotu injekční elektroluminiscence lze stanovit použitím teorie přímé
mezipásové emise, vyložené v odst. 15.2. Rychlost spontánní emise ^(u) (počet
fotonů za sekundu najeden hertz v jednotkovém objemu) je, jak vyplývá z (15.2-16),
'ipí") = -0(")/c("),
(16.1-3)
kde ry je doba zářivé elektron-děrové rekombinace. Optická sdružená hustota stavů
pro interakci s fotony o frekvenci v je dle (15.2-9) rovna
kdeTO,,souvisí s efektivními hmotnostmi děr a elektronů vztahem l/m,. = l/m„ +
+ l/m c [dáno v (15.2-5)] a Eg je šířka zakázaného pásu. Podmínka emise [daná
vztahem (15.2-10)] dává
(16.1-4)
což je pravděpodobnost toho, že stav vodivostního pásu o energii
E2 = E,: + — (hu - E„)
(16.1-5)
670
POLOVODIČOVÉ ZDROJE FOTONŮ
je obsazen o současně stav valenčního pásu o energii
£1 = E-> — hu
(16.1-6)
je prázdný, jak vyplývá z (15.2-6) a (15.2-7) a je znázorněno na obr. 16.1-2. Rovnice
(16.1-5) a (16.1-6) zaručují splnění zákona zachování energie a hybnosti. Fermiho
funkce fc(E) = l/{exp[(£ - Efc)/kBT] + 1} a fv(E) = l/{exp[(E - Efv)/kBT] +
+ 1}, které vystupují v (16.1-4) s kvazi-Fermiho hladinami Efc a £/„, se vztahují
k vodivostnímu a valenčnímu pásu a platí pro případ kvazi-rovnováhy.
Spektrální rozložení r sp (t < ) je určeno parametry polovodiče Eg, rT, mv a mc
a teplotou T, jestliže jsou zadány kvazi-Fermiho hladiny £/ c a E/„. Ty jsou zase
určeny koncentracemi elektronů a děr, danými rovnicemi (15.1-7) a (15.1-8), tj.
Qc(E)fc(E) dE = n = no + Au;
/
E
r"
(16.1-7)
/
g„(E)[l - /.„(£)] dE = p = po + An.
J — OG
Hustoty stavů v blízkosti hran vodivostního a valenčního pásu jsou podle (15.1-4)
a (15.1-5)
no a po značí koncentrace elektronů a děr v tepelné rovnováze (bez injekce) a An =
= Rr je stacionární koncentrace injektovaných nosičů. Pro dostatečně slabou injekci,
fa
Ec
Ev
Obrázek 16.1-2 Spontánní emise fotonů jako výsledek rekombinace elektronu o energii
£2 s dírou o energii E\ = E2 — hu. Přechod je znázorněn vertikální šipkou, protože hybnost
hu/c odnášená fotonem je v měřítku obrázku zanedbatelná.
LUMINISCENČNÍ DIODY
671
takovou, že Fermiho hladiny leží v zakázaném pásu a jsou vzdáleny od hran pásů
o hodnotu rovnou několika násobkům k^T, lze Fermiho funkce aproximovat jejich
exponenciálními výběžky. Pro tok spontánních fotonů (integrovaný přes všechny
frekvence) pak dostanenme ze spektrální hustoty rychlosti rsp(u) výraz
$ = V r
Jo
rsp(u) du =
V{m
;l;
v2ft3/
3
ň rr
(kBT) '* exp
kBT
který lze snadno obdržet extrapolací výsledku úlohy 15.2-3.
Růst čerpací rychlosti R vede k růstu Au a tudíž k posuvu Efc směrem
k vodivostnímu pásu (nebo hlouběji do vodivostního pásu) a posuvu £/.„ směrem
k valenčnímu pásu (nebo hlouběji do něho). Důsledkem je zvýšení pravděpodobnosti
fc{E2) obsazení energetického stavu vodivostního pásu Ei elektronem a zvýšení
pravděpodobnosti 1 — /„(£i), že stav E\ valenčního pásu nebude obsazený (čili
obsazený dírou). Konečným výsledkem pak je, že pravděpodobnost splnění podmínky
emise fe{v) = /c(£2)[l ~~ fv(Ei)] roste s /?, čímž se zvyšuje rychlost spontánní emise
(16.1-3) i tok spontánních fotonů $ uvedený výše.
Cvičení 16.1-1
Kvazi-Fermiho hladiny čerpaného polovodiče
a) Ukažte, že za ideálních podmínek při T = 0 K, kdy neprobíhá tepelné
generování elektron-děrových párů [viz obr. 16.1-3(a)], souvisí kvaziFermiho hladiny s koncentrací injektovaných elektron-děrových párů
An vztahy
Efc = EC + (3* 2 ) 2 / 3 -^-(An) 2 / 3
ÁTTÍQ
Efv = £„ - (3^ 2 ) 2 /3^L ( A n ) 2/3 )
takže
Efc - Efv = E9 + ( 37 r 2 ) 2 / 3 j H A n ) 2
kde An > no.po- Za těchto podmínek všechny elektrony An obsazují
nejnižší dovolené energetické hladiny ve vodivostním pásu a všechny díry Ap obsazují nejvyšší dovolené hladiny ve valenčním pásu. Porovnejte
s výsledky cvičení 15.1-2.
b) Načrtněte průběh funkcí fc(v) a r s l ) (f) pro dvě hodnoty An. Určete
závislost r s p (^) na teplotě, když uvážíte vliv teploty na Fermiho funkce,
672
POLOVODIČOVÉ ZDROJE FOTONŮ
jak je znázorněný na obr. 16.1-3(b).
(a)
Obrázek 16.1-3 Energetické pásy a Fermiho funkce polovodiče v kvazirovnováze (a) při T = 0 K a (i>) při T > 0 K.
Cvičení 16.1-2
Spektrální hustota injekční elektroluminiscence při slabé injekci. Pro
dostatečně slabou injekci, kdy Ec — Efc 3> k^T a £/„ — Ev ^> k^T, lze
Fermiho funkce aproximovat jejich exponenciálními výběžky. Ukažte, že
rychlost luminiscence pak lze vyjádřit vztahem
rsp(u) = D{hv - Eg)1'3 exp ( -
kde
D =
exp
Efc - Efv - Ea
kBT
je exponenciálně rostoucí funkce rozdílu kvazi-Fermiho hladin E;c — Ejv.
Spektrální hustota rychlosti spontánní emise je znázorněna na obr. 16.1-4;
má přesně týž tvar jako spektrální hustota při tepelné rovnováze ukázaná na obr. 15.2-9, ale její amplituda je zvětšena faktorem D/DQ =
= exp[(Efc — £/,,)/A;BT], který může při injekci dosahovat značné hodnoty. V tepelné rovnováze platí Ejl: = E/„, takže znovu dostáváme (15.2-20)
a (15.2-21).
LUMINISCENČNÍ DIODY
Obrázek 16.1-4 Spektrální hustota rychlosti rSp(v) (fotony za sekundu na
3
hertz na cm ) injekční elektroluminiscence způsobené přímými mezipásovými
přechody v závislosti na hu podle (16.1-9), za podmínky slabé injekce.
Cvičení 16.1-3
Šířka spektrálního průběhu elektroluminiscence.
a) Ukažte, že spektrální hustota emitovaného záření popsaná pomocí
(16.1-9) dosahuje maximální hodnoty na frekvenci vv určené vztahem
Frekvence
maxima
hvv = Eg
(16.1-10)
b) Ukažte, že plná šířka v polovině maxima (FWHM) spektrální hustoty
je
Spektrální
šířka (Hz)
A v ••
l,8kBT
(16.1-11)
c) Ukažte, že této šířce odpovídá rozšíření ve vlnových délkách AA »
~ lfiX^kuT/hc,
kde A,, = c/i/v. Vyjádříme-li k&T v eV a vlnovou
délku v fim, pak platí
A A « l,45A^fcBT.
(16.1-12)
d) Vypočítejte Au a AA při T = 300 K pro A,, = 0,8/im a A,, = 1,6 fim.
673
674
POLOVODIČOVÉ ZDROJE FOTONŮ
+V
p
n
Bfu
Poloha
Obrázek 16.1-5 Energetický diagram silně dotovaného přechodu p — n s napětím V
přiloženým v propustném směru. Čárkované linie představují kvazi-Fermiho hladiny,
vzájemně posunuté následkem přiloženého napětí. Současný hojný výskyt elektronů
a děr v oblasti přechodu má za následek intenzivní elektron-děrovou zářivou rekombinaci
(injekční elektroluminiscenci).
B.
Charakteristiky luminiscenčních diod
Jak jasně vyplývá z předchozí diskuse, současný výskyt elektronů a děr podstatně
zvětšuje tok fotonů, spontánně emitovaných z polovodiče. Koncentrace elektronů je
velká v materiálu typu n a děr v typu p, avšak k dosažení intenzivního záření je
nutné, aby velké množství elektronů i děr bylo v téže prostorové oblasti. Splnění
této podmínky lze snadno dosáhnout v oblasti přechodu propustně polované diody
s přechodem p — n (viz odst. 15.1E). Jak je ukázáno na obr. 16.1-5, napětí přiložené
v propustném směru vhání díry ze strany p a elektrony ze strany n procesem injekce
minoritních nosičů do společné oblasti přechodu, kde rekombinují a dochází k emisi
fotonů.
Luminiscenční dioda (LED) je přechod p-n zapojený v propustném směru s vysokou pravděpodobností zářivé rekombinace injektovanýcli minoritních nosičů. Obvykle jde o polovodičový materiál s přímým zakázaným pásem, který zajišťuje vysokou
kvantovou účinnost. V tomto odstavci stanovíme výstupní výkon, spektrální složení
a prostorovou strukturu záření emitovaného z LED a odvodíme výrazy pro účinnost,
proudovou citlivost a dobu odezvy.
Vnitřní tok fotonů
Schematická představa jednoduché diody s přechodem p — n je znázorněna na obr.
16.1-6. Injekční stejnosměrný proud i způsob! vzrůst stacionární koncentrace nosi-
LUMINISCENČNÍ DIODY
675
Obrázek 16.1-6 Jednoduchá LED s napětím přiloženým v propustném směru. Z oblasti
přechodu jsou spontánně emitovány fotony.
čů An a výsledkem je zářivá rekombinace v aktivní oblasti o objemu V.
Protože celkový počet nosičů procházejících za sekundu oblastí přechodu je i/e,
kde e je elementární náboj elektronu, je rychlost injekce nosičů (čerpání) jednoduše
(nosiče za sekundu v 1 cm3)
R
= ^r-
(16.1-13)
Rovnice (16.1-1) říká, že An = RT, COŽ vede ke stacionární koncentraci nosičů
An =
V
(16.1-14)
Podle (16.1-2) je generovaný tok fotonů $ roven T|.;/?V, COŽ S použitím (16.1-13) dává
Vnitřní tok fotonů
(16.1-15)
Touto jednoduchou a intuitivně pochopitelnou rovnicí se řídí produkce fotonů elektrony v LED: zlomek T|.; injektovaného elektronového toku i/e (elektrony za sekundu) se
mění na fotonový tok. Vnitřní kvantová účinnost •% je prostě poměr generovaného
toku fotonů k toku injektovaných elektronů.
Výstupní tok fotonů a účinnost
Tok fotonů generovaný v přechodu je vyzařován izotropně do všech směrů, avšak tok
vystupující ze součástky závisí na směru emise. To lze snadno ukázat, budeme-li uva-
676
POLOVODIČOVÉ ZDROJE FOTONŮ
žovat tok fotonů procházející materiálem v jednom ze tří možných směrů, označených
v geometrii obr. 16.1-7 jako paprsky A, B a C:
• Tok fotonů šířící se ve směru paprsku A je zeslabován faktorem
(16.1-16)
•ni =exp(-a/i),
kde a je absorpční koeficient materiálu typu n a l\ vzdálenost od přechodu k povrchu součástky. Kromě toho odraz při kolmém dopadu na rozhraní polovodičvzduch způsobí, že pouze zlomek záření
2
(n ~ I)
(n + 1) 2
4w
(n + 1) 2
(16.1-17)
prochází do vzduchu, přičemž n je index lomu polovodičového materiálu [viz
Fresnelovy vzorce (6.2-14)]. Pro GaAs je n = 3,6, takže T|2 = 0,68. Celková
propustnost pro tok fotonů postupující ve směru paprsku A je tudíž r\A = T^T),.
Tok fotonů šířící se směrem paprsku B má v materiálu delší dráhu a tudíž je
silněji absorbován; má též větší reflexní ztráty. Tedy r\B < i\A.
Tok fotonů emitovaný do směrů ležících vně kužele s (kritickým) úhlem 6C =
= arcsin(l/n), které jsou reprezentovány paprskem C, se v ideálním materiálu
totálně odráží a vůbec nevystupuje ven [viz (1.2-5)]. Část emitovaného záření
ležící uvnitř tohoto kužele je
/2
(16.1-18)
Tedy pro n = 3,6 může projít ven pouze 3,9% celkového generovaného toku
fotonů. Pro rovnoběžnostěn s indexem lomu n > \/2 je poměr isotropně generované zářivé energie, která může z materiálu vystoupit, k celkové generované
Obrázek 16.1-7 Ne všechno záření generované v LED z ní vystupuje. Paprsek A
se částečně odráží. Paprsek B je odrážen silněji. Paprsek C leží vně kritického úhlu
a tedy podléhá úplnému vnitřnímu odrazu, takže v ideálním případe nemůže ze
struktury uniknout ven.
LUMINISCENČNÍ DIODY
677
2
zářivé energii roven 3[1 — (1 — 1/n ) ], jak je ukázáno ve cvičení 1.2-6. Ovšem
v reálných LED fotony emitované mimo kritický úhel mohou být absorbovány
a reemitovány do směrů uvnitř tohoto úhlu, takže v praxi lze předpokládat, že
T|3 bude větší nežli hodnota určená pomocí (16.1-18).
Výstupní tok fotonů $o je spojen s vnitřním tokem fotonů výrazem
$0
(16.1-19)
=
kde T\C je celková vyzařovací účinnost s jakou vnitřní fotony vystupují ze struktury
LED a T)J dává do spojení vnitřní tok fotonů s tokem injektovaných elektronů. Jediná
kvantová účinnost zahrnující oba druhy ztrát je vnější kvantová účinnost T|ex
Vnější kvantová
účinnost
(16.1-20)
Výstupní tok fotonů v (16.1-19) lze tedy zapsat jako
(16.1-21)
Vnější tok fotonů
t| e x je jednoduše poměr vnějšího toku fotonů k iiijektovanému toku elektronů. Protože
čerpací rychlost v oblasti přechodu se obecně lokálně mění, bude tak činit i generovaný
tok fotonů.
Výstupní optický výkon Po luminiscenční diody souvisí těsně s výstupním tokem
fotonů. Každý foton má energii hv, takže
Výstupní výkon
(16.1-22)
Po =
Ačkoliv TI, může v určitých LED dosahovat hodnot blízkých jedné, T)OX je obecně mnohem menší nežli jedna, v zásadě z důvodů reabsorpce záření v součástce a existence
vnitřních odrazů na rozhraních. Důsledkem je, že vnější kvantová účinnost běžně
dostupných LED, např. takových, které se používají v kapesních kalkulátorech, je
typicky menší než 1%.
Jiným parametrem kvality je celková kvantová účinnost T) (celková účinnost
přeměny energie, také zvaná přístrojová účinnost), která je definována jako poměr
vysílaného optického výkonu PQ k dodávanému elektrickému výkonu,
hv
(16.1-23)
kde V je úbytek napětí na součástce. Pro běžné LED je hv ss eV a běžně dostáváme
678
POLOVODIČOVÉ ZDROJE FOTONU
Proudová citlivost
Proudová citlivost 3R světelné diody je definována jako poměr vyzářeného optického
výkonu k injekčnímu proudu i, tj. 3? = Po/i- S použitím (16.1-22) dostaneme
Po
hv>$0
(16.1-24)
Jestliže Ao vyjádříme v fim, platí pro proudovou citlivost ve W/A vztah
Proudová citlivost LED
(W/A), (Ao v um)
(16.1-25)
Například je-li Ao = 1,24/im, je 0? = r\ex v jednotkách W/A; kdyby účinnost T|ex
byla rovna jedné, bylo by možné získat z injekčního proudu 1 mA maximální optický
výkon 1 mW. Jak je však uvedeno výše, typické hodnoty T|ex pro LED leží v intervalu
od 1 do 5%, takže proudové citlivosti LED se pohybují od 10 do 50/iW/mA.
Podle (16.1-22) by měl být výstupní výkon Po úměrný injekčnímu proudu i.
V praxi však tento vztah platí pouze v omezeném intervalu. Pro konkrétní prvek,
jehož charakteristika (vztah mezi optickým výkonem a proudem) je ukázána na
obr. 16.1-8, je emitovaný optický výkon úměrný injekčnímu čerpacímu proudu pouze
pro proudy menší než asi 75 mA. V tomto intervalu má proudová citlivost konstantní
hodnotu okolo 25//W/mA, jak vyplývá ze směrnice křivky. Pro větší čerpací proudy
přímá úměrnost přestává platit následkem saturace; proudová citlivost již není
konstantní, nýbrž klesá s rostoucím čerpacím proudem.
Spektrální složení
Spektrální hustota rsp(v) záření spontánně emitovaného z polovodiče v kvazi-rovnováze byla stanovena v závislosti na koncentraci injektovaných nosičů ve cvičeních
c
o
o.
o
0
100
200
Čerpací proud i (mA)
Obrázek 16.1-8 Optický výstupní výkon konkrétní LED v závislosti na injekčním
(čerpacím) proudu.
LUMINISCENČNÍ DIODY
679
16.1-2 a 16.1-3. Stejný postup lze aplikovat na elektroluminiscenční záření emitované z LED, v níž jsou vytvořeny kvazi-rovnovážné podmínky injekčním proudem
v přechodu p — n.
V podmínkách slabého čerpání, kdy kvazi-Fermiho hladiny leží v zakázaném pásu
a jsou vzdáleny alespoň o několik násobeků k&T od hran pásů, dosahuje spektrální
hustota své maximální hodnoty na frekvenci vp = (Eg+k^T/2)/h (viz cvičení 16.1-3).
Podle (16.1-11) a (16.1-12) je šířka FWHM spektrální hustoty Au « l,SkBT/h (Ai/ =
= lOTHz pro T = 300 K) a je nezávislá na v. Šířka vyjádřená pomocí vlnové délky
závisí na A vztahem
Spektrální šířka (/im)
(16.1-26)
AA « 1,45 Xl
kde kuT je vyjádřeno v eV, vlnová délka v fim a Xp = c/up.
Úměrnost mezi AA a Xp je zřejmá z obr. 16.1-9, na kterém jsou změřené
spektrální hustoty v závislosti na vlnových délkách pro několik LED emitujících
ve viditelné a blízké infračervené oblasti. Jestliže např. \p = 1/im při T = 300K,
z (16.1-26) plyne AA « 36 nm.
Materiály pro LED
LED pracují ve spektrálním oboru od blízké ultrafialové do infračervené oblasti, jak
dokládá obr. 16.1-9. V blízké infračervené oblasti je mnoho binárních polovodičových
materiálů, které slouží, díky svému přímému zakázanému pásu, jako vysoce účinné
materiály pro přípravu LED. Mezi binární materiály typu III-V patří (jak ukazuje
tab. 15.1-3 a obr. 15.1-5) GaAs (A„ = 0,87//m), GaSb (1,7 /xm), InP (0,9
Zelená
GaP:N
Fialová
GaN-
0.3
Blízká infračervená
Žlutá
GaAs 1 4 P 8 6
Červena
-GaP:ZnO
-GaAs.6P.4
\
0.4
0.5
I)
\
In 72Ga.28As.60P.40
Oranžová
0.6
0.7
0.8
GaAs
I
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
Vlnová délka Ao {inu)
Obrázek 16.1-9 Spektrální hustoty záření polovodičových LED s různou šířkou zakázaného pásu v závislosti na vlnové délce, špičkové intenzity jsou normovány na stejnou
hodnotu. Vzrůstající spektrální šířka čáry je důsledkem její úměrnosti \^r (Upraveno
podle S. M. Sze, Physics oj Serniconductor Devices, Wiley, New York, 2. vydání 1981.)
680
POLOVODIČOVÉ ZDROJE FOTONŮ
InAs (3,5 /jm) a InSb (7,3 /mi). Také ternární a kvaternární sloučeniny mají přímý
zakázaný pás v širokém oboru svého složení (viz obr. 15.1-5). Tyto materiály mají
výhodu, že jejich emisní vlnovou délku lze nastavit změnou složení. Mezi sloučeninami
typu III-V zasluhují zvláštní pozornost ternární AlxGai_xAs (0,75 až 0,87um)
a kvaternární Ini-xGaxAsi-yP,, (1,1 až 1,6/mi).
Pro kratší vlnové délky (v ultrafialové oblasti a pro většinu viditelného spektra)
jsou typické materiály jako GaN, GaP a GaAsi_xPx, a to navzdory jejich nízké
vnitřní kvantové účinnosti. Tyto materiály se často dotují prvky, které zvyšují
zářivou rekombinaci tím způsobem, že slouží jako rekombinační centra. LED emitující
modré světlo lze také připravit použitím luminoforu, který přeměňuje fotony z blízké
infračervené oblasti vysílané LED z GaAs (viz. obr. 12.4-2) na fotony vyšší frekvence.
Doba odezvy
Doba odezvy LED je v zásadě určena dobou života r injektovaných minoritních
nosičů, které jsou odpovědné za zářivou rekombinaci. Pro dostatečně malé injekční
rychlosti R lze injekční nebo rekombinační proces popsat lineární diferenciální rovnicí
prvního řádu (viz odst. 15.ID) a tudíž odezvou na sinusové signály. Experimentálně
se nejvyšší frekvence, při níž lze LED efektivně modulovat, snadno stanoví měřením výstupního světelného výkonu v závislosti na frekvenci sinusového elektrického
proudu. Jestliže injekční proud předpokládáme ve tvaru i = io + i\ cos(fiť), kde i\
je dostatečně malé, takže vyzařovaný optický výkon P se mění lineárně s injekčním
proudem, chová se vyzařovaný optický výkon jako P = Po + P\ cos(ftí + ip).
Příslušnou přenosovou funkci, definovanou jako 7ť(fž) = (Pi/ii)exp(j(p)> předpokládáme ve tvaru
^
(16.1-27)
který je charakteristický pro obvod s odporem a kapacitou. Doba odezvy LED
je T (sekundy) a její 3-dB šířka pásma je B = 1/2-KT (HZ). Rozšíření lze tudíž
dosáhnout snížením doby odezvy T, která podle vztahu 1/T = 1/r,. + 1/TTII. zahrnuje
příspěvek jak od zářivé doby rT tak i od nezářivé doby T„„.. Ovšem zkrácení T„,
implikuje nežádoucí snížení vnitřní kvantové účinnosti % = r /TT. Je tudíž žádoucí
maximalizovat součin vnitřní kvantové účinnosti a šířky pásma i}{B = \/2-KTT místo
maximalizace samotné šířky pásma. To vyžaduje zmenšení pouze zářivé doby života
T,. aniž by se snižovalo *r n r , čehož lze dosáhnout pečlivým výběrem polovodičového
materiálu a úrovně dotování. Typické doby odezvy LED leží v intervalu 1 až 50 ns
s odpovídající šířkou pásma řádově stovek MHz.
Struktura součástek
LED mohou být konstruovány buď v plošně vyzařující nebo hranově vyzařující
konfiguraci (obr. 16.1-10). Plošně emitující LED emituje záření z plochy součástky
rovnoběžné s rovinou přechodu. Záření emitované z protilehlé plochy je pohlceno
substrátem a ztraceno nebo — což je výhodnější — se odráží od kovového kontaktu
(to je možné při použití průhledného substrátu). Hranově emitující LED vysílá záření
z hrany oblasti přechodu. Tato struktura se také obvykle používá pro diodové lasery,
LUMINISCENČNÍ DIODY
la)
Obrázek 16.1-10
681
(b)
(a) Plošně vyzařující LED. (b) Hranově vyzařující LED.
ačkoliv se začínají stále více používat plošně emitující laserové diody (SELD —
surface-emitting laser diodes). Plošně vyzařující LED jsou obvykle účinnější nežli
hranově emitující. LED s heterostrukturami popsanými v odst. 16.2C vykazují
nejlepší parametry.
Příklady struktur plošně emitujících LED jsou na obr. 16.1-11. Konfigurace
ploché diody GaAsi-:,^ na GaAs substrátu je ukázána na obrázku 16.1-ll(a).
Vrstva GaAsi-^Py s odstupňovaně se měnícím složením, umístěná mezi substrát
a vrstvu typu n, zmenšuje rozdíl mezi mřížkovými konstantami. Zakázaný pás GaAs
je menší nežli energie fotonu emitovaného červeného světla, takže záření emitované
směrem k substrátu je pohlcováno. Pro zvýšení vnější kvantové účinnosti je možno
Kov
Kov
Kov
SiOj
Izolátor
Vrstva
i-/y,
s proměnným
složením
GaAs
Obrázek 16.1-11
typu.
GaAs
Substrát
SiO 2
Izolátor
(b)
(a) LED z GaAsi_.,:P,: v konfiguraci ploché diody. (6) LED Burrusova
682
POLOVODIČOVÉ ZDROJE FOTONŮ
použít transparentního substrátu, např. GaP, ve spojení s reflektujícím kontaktem.
Tzv. Burrusova LED, ukázaná na obr. 16.1-ll(ř>), využívá ke směrování záření
bezprostředně z oblasti přechodu vyleptané jamky. Tato struktura je specielně vhodná
pro účinné navázání emitovaného záření do optického vlákna, které lze umístit
do těsné blízkosti aktivní oblasti (viz obr. 22.1-5).
Prostorové rozložení emitovaného záření
V daleké zóně je prostorové rozložení záření pocházejícího z plošně emitující LED
podobné rozložení lambertovského zářiče; intenzita se mění jako cos 6, kde 9 je úhel
směru paprsku od normály roviny emise. Intenzita klesá na poloviční hodnotu při
0 = 60°. Na LED se často umísťují čočky z epoxidové pryskyřice, které toto úhlové
rozložení snižují. Různě tvarované čočky mění úhlové rozložení emitovaného záření
specifickým způsobem, jak je schematicky ukázáno na obr. 16.1-12.
Záření vysílané hranově emitujícími LED (a laserovými diodami) má obvykle
užší úhlové rozložení. Toto rozložení lze často dobře modelovat funkcí coss(0), kde
s > 1. Jestliže např. s = 10, intenzita klesne na poloviční hodnotu pro 6 ~ 21°.
Elektronické obvody
LED je obvykle napájena proudovým zdrojem, jak je schematicky ukázáno na obr.
16.1-13(o) nebo např. zdrojem konstantního napětí v sérii s odporem, což je znázorněno na obr. 16.1-13(6). Emitované záření lze snadno modulovat (buď analogově
nebo digitálně) modulováním injekčního proudu. Příklady takových obvodů jsou analogový obvod na obr. 16.1-13(c) a digitální obvod na obr. 16.1-13(cř). Činnost těchto
obvodů lze zlepšit přidáním napěťově řízených proudových regulátorů, impedančním
přizpůsobením a obvody nelineární kompenzace. Navíc je možno snížit fluktuace intenzity emitovaného záření pomocí optické zpětné vazby, která řídí injekční proud
podle intenzity emitovaného záření.
16.2
POLOVODIČOVÉ LASEROVÉ ZESILOVAČE
Princip činnosti polovodičového laserového zesilovače je stejný jako u jiných laserových zesilovačů: vytvoření populační inverze, která zajistí převahu stimulované emise
nad absorpcí. Populační inverze se obvykle realizuje injekčním elektrickým proudem
Přechody
(o)
Přechod
Přechod
tb)
(c)
Obrázek 16.1-12 Prostorové rozložení záření plošně vyzařujících LED: (a) lambertovské
rozložení plošně vyzařující LED bez použití čoček; (b) rozložení u LED s hemisférickou
čočkou; (c) rozložení u LED s parabolickou čočkou.
POLOVODIČOVÉ LASEROVÉ ZESILOVAČE
vvww*
683
Vstupní
signál
(o)
Datový vstup
Napájení
(b)
(d)
Obrázek 16.1-13 Různé obvody, jichž lze užít k napájení LED. Jsou to (a) ideální ss
proudový zdroj; (6) ss proudový zdroj realizovaný zdrojem konstantního napětí v sérii
s odporem; (c) tranzistorově řízená proudová injekce do LED pro analogovou modulaci
emitovaného záření; (d) tranzistorové spínání proudu injektovaného do LED k digitální
modulaci emitovaného záření.
v diodě p — n; napětí v propustném směru vyvolá injekci párů nosičů do oblasti
přechodu, kde rekombinují při stimulované emisi.
Teorie polovodičového laserového zesilovače je poněkud složitější nežli teorie vyložená v kap. 13 pro jiné laserové zesilovače vzhledem k tomu, že dochází k přechodům mezi pásy složenými z velmi těsně uspořádaných energetických hladin, nikoliv
k přechodům mezi vzdálenými diskrétními hladinami. Nicméně pro srovnání můžeme
pohlížet na polovodičový laserový zesilovač jako na čtyřhladinový laserový systém
(viz obr. 13.2-6), ve kterém horní dvě hladiny leží ve vodivostním pásu a dolní dvě
hladiny ve valenčním pásu.
Teorii laserového zesilovače vypracovanou v kap. 13 lze rozšířit na polovodičové struktury pomocí výsledků uvedených v kap. 15. V tomto odstavci použijeme
výsledky odvozené v odst. 15.2, abychom obdrželi výrazy pro zisk a šířku pásma
polovodičových laserových zesilovačů. Uvedeme také přehled čerpacích schémat užívaných k dosažení populační inverze a stručně probereme běžně používané polovodičové zesilovací struktury. Teoretické základy polovodičových laserových zesilovačů
684
POLOVODIČOVÉ ZDROJE FOTONŮ
jsou výchozím bodem pro vysvětlení činnosti injekčních laserů v odst. 16.3.
Většina polovodičových laserových zesilovačů vyráběných v současné době je
konstruována pro optické komunikační systémy v pásmu 1,3-1,55 ^m a to jako neregenerativní opakovače, optické předzesilovače nebo úzkopásmové elektricky laditelné
zesilovače. Ve srovnání se zesilovači na křemenných vláknech dotovaných E r 3 + mají
polovodičové zesilovače jak výhody, tak i nevýhody. Jsou menší a snadno se zabudují
do optoelektronických integrovaných obvodů. Jejich šířka pásma může dosahovat až
lOTHz a to je vyšší hodnota nežli u vláknových zesilovačů. Negativním rysem polovodičových zesilovačů je to, že mají často větší vazební ztráty (typicky 3 až 5 dB na
jednu vazební plochu) nežli vláknové zesilovače. Kromě toho působí obtíže teplotní
nestabilita a citlivost na polarizaci záření.
Má-li polovodičový laserový zesilovač pracovat jako jednoprůchodová širokopásmová součástka (tj. jako zesilovač s postupnou vlnou), musí se pečlivě minimalizovat
odrazy na výstupních plochách. Pokud se tak nestane, vzniknou mnohonásobné reflexe a profil zisku bude modulován mody rezonátoru; to může také vést k oscilacím,
které pak ovšem nepřipustí možnost řízeného zesílení. Doba odezvy je určena složitou
dynamikou nosičů; v současnosti je nejkratší doba odezvy ~ 100 ps.
A.
Zesílení
Záření o frekvenci v může interagovat s nosiči v polovodičovém materiálu s přímým zakázaným pásem prostřednictvím mezipásových přechodů za předpokladu,
že v > Eg/h. Dopadající fotony mohou být absorbovány a mohou tak generovat
elektron-děrové páry, nebo mohou produkovat dodatečné fotony následkem stimulované elektron-děrové rekombinační emise (viz obr. 16.2-1). Je-li emise pravděpodobnější nežli absorpce, výsledkem je čistý optický zisk a materiál může sloužit jako
koherenční optický zesilovač.
Výrazy pro rychlost absorpce fotonů r.A\^(v) a pro rychlost stimulované emise
rst(v) udávají vztahy (15.2-18) a (15.2-17). Tyto veličiny závisí na spektrální hustotě
toku fotonů </>„, kvantově mechanické síle přechodu v uvažovaném materiálu (která je
implicitně obsažena v hodnotě zářivé doby rr. elektron-děrové rekombinace), optické
sdružené hustotě stavů g(v) a na pravděpodobnostech obsazení hladin pro emisi fc(v)
a absorpci /<,(")•
Optická sdružená hustota stavů g(v) je určena relacemi mezi E a k pro elektrony
a pro díry a zachováním energie a hybnosti. S pomocí parabolické aproximace pro
závislost E na k v blízkosti hran vodivostního a valenčního pásu bylo ukázáno
v (15.2-6) a (15.2-7), že energie elektronů a děr, které interagují s fotonem o energii hv
jsou
E2 = Ec+7^(hv-Ell),
El = E2-hv,
(16.2-1)
kde mc a m„ jsou jejich efektivní hmotnosti a l/m., = l/m,.. + l/m„. Pro výslednou
sdruženou optickou hustotu stavů nosičů interagujících s fotony o energii hv byl
odvozen vztah [viz (15.2-9)]
e(y) = {2ml\/
(hv - Eu)l'\
hv > E,,.
(16.2-2)
POLOVODIČOVÉ LASEROVÉ ZESILOVAČE
Stimulovaná emise
Absorbce
T
685
Ar
Eg
.1
I III I IIII I III I I IIII
1111111i 1111111111 .
(a)
(b)
Obrázek 16.2-1 (a) Absorpce fotonu vede ke generování elektron-děrového páru. (6)
Elektron-děrová rekombinace může být indukována fotonem; výsledkem je stimulovaná
emise identického fotonu.
Je zřejmé, že g(v) roste s odmocninou přebytku energie fotonu nad šířkou zakázaného
pásu.
Pravděpodobnosti obsazení fc.{v) a /„(V) jsou určeny čerpací rychlostí prostřednictvím kvazi-Fermiho hladin E/,: a E/„. fc{v) je pravděpodobnost toho, že stav vodivostního pásu o energii £2 je obsazen elektronem a stav valenčnílio pásu o energii
Ej je obsazen dírou. Na druhé straně fn{v) je pravděpodobnost toho, že stav vodivostního pásu o energii £3 je prázdný a stav valenčnílio pásu o energii E\ je obsazen
elektronem. Fermiho faktor inverze
E2) -
f„(Ei)
(16.2-3)
představuje stupeň populační inverze. fu(v) závisí jak na Fermiho funkci pro vodivostní pás /,..(£) = l/{exp[(£ - Ef,.)/kBT] + 1}, tak i na Fermiho funkci pro valenční
pás / „ ( £ ) = l/{exp[(£ - Ef„)/kBT] + 1}. Je funkcí teploty a kvazi-Fermiho hladin
Efc a Ef„, které jsou zase určeny čerpací rychlostí. Protože principiálně je možno
v polovodičovém laserovém zesilovači dosáhnout úplné populační inverze [/(/(f) = 1],
chová se zesilovač jako čtyřhladinový systém.
Výsledky uvedené výše byly zkombinovány v (15.2-23) do výrazu pro koeficient
zesílení 7o(^) = [^tí") — r>\\>(v)]/<l>i/, ve tvaru
Koeficient zesílení
(16.2-4)
Ze srovnání (16.2-4) s (13.1-4) je zřejmé, že veličina pO')/</('•') hraje u polovodičového
686
POLOVODIČOVÉ ZDROJE FOTONŮ
laserového zesilovače roli veličiny Ng{v) u jiných laserových zesilovačů.
Šířka pásma zesilovače
Podle (16.2-3) a (16.2-4) poskytuje polovodičové prostředí výsledné optické zesílení
na frekvenci v pokud / C (E 2 ) > fv{Ei). Naopak je-li / C (E 2 ) < /„(Ei), je výsledkem
absorpce. Tedy polovodičový materiál v tepelné rovnováze (nedotovaný či dotovaný)
nemůže zesilovat, ať by byla teplota jakákoliv; je to proto, že Fermiho hladiny vodivostního a valenčního pásu mají stejnou hodnotu (E/ c = Efv = Ef). K vzájemnému
oddělení Fermiho hladin obou pásů a k dosažení zesílení je zapotřebí vnějšího čerpání.
Podmínka / C (E 2 ) > /„(Ei) je ekvivalentní požadavku, aby energie fotonu byla
menší nežli vzdálenost mezi kvazi-Fermiho hladinami, tj. hv < E;c — E/„, jak je
ukázáno ve cvičení (15.2-1). Samozřejmě energie fotonu musí být větší nežli šířka
zakázaného pásu {hv > Eg), má-li dojít k laserovému zesílení pomocí mezipásových
přechodů. Jestliže tedy čerpací rychlost je dostatečně vysoká k tomu, aby vzdálenost
mezi kvazi-Fermiho hladinami překročila energii zakázaného pásu Eg, může prostředí
působit jako zesilovač pro optické frekvence v pásmu
Šířka pásma
zesilovače
^
h
<
y
<
- ^ - ^
h
Pro hv < Eg je prostředí transparentní, zatímco pro hv > Efc — Efv jde o útlumový
prvek namísto zesilovače. Rovnice (16.2-5) ukazuje, že šířka pásma zesilovače roste
s Efc — E/„, tedy s úrovní čerpání. V tomto smyslu se tento zesilovač liší od atomového
laserového zesilovače, který má nenasycenou šířku pásma Av nezávislou na úrovni
čerpání (viz obr. 13.1-2).
Výpočet vlastního zesílení se značně zjednoduší, jestliže lze zanedbat tepelné
excitace (tj. T = OK). Fermiho funkce jsou pak jednoduše / C (E 2 ) = 1 pro E2 < E/c
a 0 jinde; f„{Ex) = 1 pro E^ < Efv a 0 jinde. V tomto případě je Fermiho faktor
inverze
Na obr. 16.2-2 jsou schematické závislosti funkcí g(i/), f,,{v) a koeficientu zesílení
7o(i/), ukazující jak 7o(i^) mění znaménko a stává se koeficientem ztrát pro hv >
> Efc — E/.„. Závislost 7o(i') na v~2, vyplývající z faktoru A2 v čitateli (16.2-4), je
dostatečně pomalá a může být zanedbána. Nenulová teplota vyhlazuje funkce fg(v)
a
7o(f), jak ukazují čárkované křivky na obr. 16.2-2.
Závislost koeficientu zesílení na čerpání
Koeficient zesílení 7o(^) zvětšuje svou šířku i svou velikost s rostoucí čerpací rychlostí R. Podle (16.1-1) konstantní čerpací rychlost R (počet injektovaných nadbytečných
elektron-děrových párů v 1 cm 3 za sekundu) vede ke stacionární koncentraci injektovaných elektron-děrových párů A n = Ap = Rr, kde r je doba elektron-děrové
rekombinace (která zahrnuje zářivý i nezářivý příspěvek). Znalost celkové stacionární koncentrace elektronů a děr n = no + An a p = po 4 Ap dovoluje určit pomocí
POLOVODIČOVÉ LASEROVÉ ZESILOVAČE
Efc-Efv
Eg
+1
687
hv
\
\
\
hv
- 1 --
í
/
Zesílení
Ztráty
-
o
Eg
^
\
\
\
hv
\
\
\
Obrázek 16.2-2 Závislost sdružené optické hustoty stavů Q(V), Fermiho faktoru inverze
fa(v) a koeficientu zesílení 7o(^) na energii při T = 0 K (plné křivky) a při pokojové
teplotě (čárkované křivky). U fotonů s energií mezi Eg a Efc — Efv dochází k laserovému
zesílení.
(16.1-7) Fermiho hladiny Ejc a £/,,. Jakmile známe Fermiho hladiny, můžeme podle
(16.2-4) počítat koeficient zesílení. Závislost 7o(i/) na An a tudíž na R je ilustrativně probrána v příkladu 16.2-1. Nástup saturace zisku a šumové vlastnosti polovodičových laserových zesilovačů jsou podobné jako u ostatních zesilovačů, jak bylo
probráno v odst. 13.3 a 13.4.
Příklad 16.2-1. Laserový zesilovač InCaAsP. Vzorek I1i0.72Ga0.28As0.0P04
s Eg = 0,95 eV pracuje jako polovodičový laserový zesilovač při pokojové teplotě (T = 300 K) na Ao = 1,3/jm. Vzorek není dotován, ale má
residuální koncentraci ss 2 x 10 1 7 cm~ 3 donorů a akceptorů, zářivou dobu elektron-děrové rekombinace r r ~ 2,5 ns. Efektivní hmotnost elektronů
je m,: « 0,06mo a děr mv w 0,4m o , index lomu je n « 3,5. Při zadané
stacionární koncentraci injektovaných nosičů An. (která je určena rychlostí
injekce R a celkovou rekombinační dobou r) lze vypočítat koeficient zesílení 7o(i^) pomocí (16.2-4) a (16.1-7). Obr. 16.2-3 ukazuje, že šířka pásma
688
POLOVODIČOVÉ ZDROJE FOTONŮ
zesilovače a špičková hodnota koeficientu zesílení ip rostou s An. Energie,
při které nastává maximum zesílení také roste s An, jak můžeme očekávat
z chování zobrazeného na obr. 16.2-2. Navíc minimální energie, při které
300
1.0
0.90
0.92
0.94
(a)
0.96
1.5
2.0
hv (eV)
(b)
Obrázek 16.2-3 (a) Vypočtený koeficient zesílení iu(v) InGaAsP laserového
zesilovače jako funkce energie fotonu hv. Parametrem je koncentrace injektovaných nosičů An (T = 300 K). Frekvenční pásmo, v němž dochází k zesílení
(lokalizované v okolí 1,3/xin), se s rostoucím An rozšiřuje. Pro největší zobrazenou hodnotu An činí plná šířka pásma zesilovače 15THz, což odpovídá
v energi 0,06 eV a ve vlnové délce 75 mu. (Převzato z N. K. Dutta, Calculated
Absorption, Emission, and Gain in Ino.72Gao.2sAso.cPo.4, Journal of Applied Physics, vol. 51, str. 6095-6100, 1980.) (6) Vypočtený špičkový koeficient
zesílení j r jako funkce An. Pro nejvyšší hodnotu An je špičkový koeficient
zesílení R; 270 c m " 1 . (Převzato z N. K. Dutta a R. J. Nelson, The Čase of Auger Recombination in Ini_ : r Ga ; e As,jPi_,j, Journal of Applied Physics, vol. 53,
str. 74-92, 1982.)
zesílení nastupuje, s rostoucím An mírně klesá v důsledku existence stavů
ve výběžcích pásů, které zmenšují šířku zakázaného pásu. Při největší uvedené hodnotě An (An = 1,8 x 10 18 cm~ 3 ) jsou zesilovány fotony s energií
mezi 0,91 a 0,97 eV. To odpovídá plné šířce pásma zesilovače 15 THz a intervalu vlnových délek 75 nm, který je velký ve srovnání s většinou atomárních
šířek čar (viz tab. 13.2-1). Vypočtená špičková hodnota koeficientu zisku
7;, = 270 cm" 1 při této hodnotě An je taktéž vysoká ve srovnání s většinou
POLOVODIČOVÉ LASEROVÉ ZESILOVAČE
689
atomárních laserových zesilovačů.
Přibližný špičkový koeficient zesílení
Složitá závislost koeficientu zesílení na koncentraci injektovaných nosičů do jisté
míry komplikuje analýzu polovodičového zesilovače (i laseru). Z tohoto důvodu se
běžně používá empirický přístup, při kterém se předpokládá, že špičková hodnota
koeficientu zisku -yp závisí lineárně na An pro hodnoty An blízké pracovnímu bodu.
Jak ukazuje příklad na obr. 16.2-3(6), tato aproximace je rozumná, je-li 7^ velké.
Závislost špičkového koeficientu zesílení 7,, na An může pak být modelována lineární
rovnicí
Špičkový koeficient zesílení
(lineární aproximace)
(16.2-7)
která je zobrazena na obr. 16.2-4. Parametry a a An^ se vybírají tak, aby vyhovovaly
následujícím limitním hodnotám:
• Když An = 0 je j p = —a, kde a představuje absorpční koeficient polovodiče
bez injekčního proudu.
• Když An = An^ je j p = 0. Tudíž Anj- je koncentrace injektovaných nosičů
proudu, při níž je emise právě v rovnováze s absorpcí a prostředí je tedy
transparentní.
Příklad 16.2-2. Laserový zesilovač InGaAsP. Závislost špičkového koeficientu zesílení 7y, na An pro InGaAsP, ukázanou na obr. 16.2-3(6), lze
aproximovat lineárním vztahem ve tvaru (16.2-7) s parametry An^ ~
1,25 x 10 1 8 cm"
: = 600 cm" 1 . Pro An = l,4An T = 1,75 x 1018 cm
Zesílení
o
Ztráty
Obrázek 16.2-4 Špičková hodnota koeficientu zesílení 7Í( jako funkce koncentrace injektovaných nosičů An v aproxiniativním lineárním modelu, a představuje absorpční
koeficient bez injekce, zatímco Anp je koncentrace injektovaných nosičů, pfi které jsou
emise a absorpce právě v rovnováze. Plně vytažená část přímky souhlasí s realističtějšími
výpočty uvažovanými v předchozím odstavci.
690
POLOVODIČOVÉ ZDROJE FOTONŮ
dává tento lineární model hodnotu špičkového zesílení 7 P = 240 cm x.
Pro krystal InGaAsP o délce d = 350/um to odpovídá celkovému zisku
exp(-ypd) ~ 4447 čili 36,5 dB. Musíme však mít na mysli, že vazební ztráty
jsou typicky 3 až 5dB na plošku.
Zvyšování koncentrace injektovaných nosičů nad hodnotu ATVT odpovídající
optické propustnosti materiálu vede k tomu, že polovodič se mění ze silného absorbéru
záření [/9(i^) < 0] v zesilovač záření s vysokým ziskem [fg(v) > 0]. Táž vysoká
pravděpodobnost přechodu, která činí polovodič dobrým absorbérem, podmiňuje jeho
schopnost být dobrým zesilovačem, jak vyplývá ze srovnání (15.2-17) a (15.2-18).
B. Č erpani
Optické čerpání
Čerpání lze uskutečnit vnějším zářením, což je znázorněno na obr. 16.2-5, za předpokladu, že energie fotonu je dostatečně veliká (> Eg). Čerpací fotony jsou v polovodiči
absorbovány a generují páry nosičů. Generované elektrony relaxují ke dnu vodivostního pásu a díry k vrcholku valenčního pásu. Je-li relaxační doba uvnitř pásu mnohem
kratší ve srovnání s relaxační mezipásovou dobou, což je obvyklé, může se ustavit
stacionární populační inverze mezi pásy podle odst. 13.2.
Čerpání elektrickým proudem
Praktičtějším způsobem čerpání polovodiče je injekce elektronů a děr v silně dotovaném přechodu p — nv diodě. Stejně jako u LED (viz odst. 16.1) je přechod propustně
polován, takže do oblasti přechodu jsou injektovány minoritní nosiče (elektrony do oblasti p a díry do oblasti n). Energetická pásová struktura propustně polovaného silně
dotovaného přechodu p — n je na obr. 16.1-5. Kvazi-Fermiho hladiny vodivostního
pásu Efc a valenčního pásu £/„ leží uvnitř odpovídajících pásů a v oblasti přechodu
Čerpací
TOIWV*
foton
Foton vstupního
WWWV*Fotony
signálu MAMA/*-VWVWV*- výstupního signálu
Obrázek 16.2-5
Optické čerpání polovodičového laserového zesilovače.
POLOVODIČOVÉ LASEROVÉ ZESILOVAČE
691
existuje kvazirovnováha. Kvazi-Fermiho hladiny jsou navzájem dostatečně vzdáleny,
takže je dosaženo populační inverze a v pásmu o šířce Eg < hv < Efc — E;v lze obdržet uvnitř aktivní oblasti zesílení. Tloušťka / aktivní oblasti je důležitým parametrem
diody, který je určen v zásadě difuzní délkou minoritních nosičů na obou stranách
přechodu. Typické hodnoty I pro InGaAsP jsou 1 až 3 fixa..
Jestliže je elektrický proud i injektován plochou A = wd, kde w je šířka a d
výška prvku, do objemu IA (obr. 16.2-6), pak stacionární rychlost injekce nosičů
je /? = í/elA = Jjel za sekundu v jednotkovém objemu, kde J = i/A je injekční
proudová hustota. Výsledná koncentrace injektovanych nosičů je pak
elA
= —J.
el
(16.2-8)
Koncentrace injektovanych nosičů je tudíž přímo úměrná injekční proudové
hustotě a závislosti z obr. 16.2-3 a 16.2-4, kde An je parametrem. Závislosti mohou
mít stejně dobře za parametr J. Ze vztahů (16.2-7) a (16.2-8) vyplývá, že v přiblížení
lineární aproximace, implicitně obsažené v (16.2-7), je špičkový koeficient zesílení
lineárně závislý na injekční proudové hustotě J, tzn.
Špičkový koeficient
zesílení
(16.2-9)
Proudová hustota JT nutná k dosažení optické transparentnosti vzorku je dána
Výstupní fotony
-*—
' • * •
p
n
X
Vstupní fotony 1
i
i
i
i
i
d
'
1
1
<
P l o c h a
A
Obrázek 16.2-6 Geometrické uspořádání jednoduchého laserového zesilovače. Nosiče
náboje putují kolmo k přechodu p — n, kdežto fotony se šíří v rovině přechodu.
POLOVODIČOVÉ ZDROJE FOTONŮ
zesí ení
692
cOJ
koefici
+J
Zesílení
i-
0
Current density J
/JT
>
o
'5.
Ztráty
—a
Obrázek 16.2-7 Špičkový optický koeficient zesílení -yp jako funkce proudové hustoty J
v aproximativním lineárním modelu. Když J = JT je materiál opticky transparentní
a nevykazuje zisk ani ztráty.
vztahem
Transparentní
proudová hustota
JT =
el
An T ,
(16.2-10)
kde r|,: = T/T.,- představuje opět vnitřní kvantovou účinnost.
Je-li J — 0, pak špičkový koeficient zesílení 7,, = —a se stává absorpčním
koeficientem, jak je zřejmé z obr. 16.2-7. Je-li J = JT, je 7 = 0 a materiál je
transparentní, nezesiluje ani nezeslabuje světlo. Výsledného zesílení lze dosáhnout
jen když injekční proudová hustota překročí hodnotu JT- Všimněte si, že JT je
přímo úměrné tloušťce přechodu /, takže při užší aktivní oblasti lze dosáhnout nižší
hodnoty transparentní proudové hustoty JT- Tato úvaha je důležitá při navrhování
polovodičových zesilovačů (a laserů).
Příklad 16.2-3. Laserový zesilovač InGaAsP. Diodový zesilovač InGaAsP
pracuje při 300 K a má následující parametry: r, = 2,5 ns, r|,: = 0,5, A117 =
= 1,25 x 10 1 8 cm" 3 a a = 600C11-T1. Přechod má tloušťku / = 2//m, délku
d = 200 fim a šířku w = 10 /íin. Podle (16.2-10) je proudová hustota nutná
k dosažení transparentnosti polovodiče JT = 3,2 x 104 A/cm2. Mírně vyšší
proudová hustota J = 3,5 x 104 A/cm2 poskytuje podle (16.2-9) špičkový
koeficient zesílení fp ~ 56 cm" 1 . Zisk zesilovače je potom G = exp("ird) =
= exp(l,12) « 3. Protože však plocha přechodu je A = wd = 2xlO~ 5 cm2, je
zapotřebí k vytvoření požadované proudové hustoty dosti silného injekčiiího
proudu i = JA — 700 mA.
POLOVODIČOVÉ LASEROVÉ ZESILOVAČE
693
Motivace pro heterostruktury
Kdyby bylo možno zredukovat tloušťku aktivní oblasti v příkladu 16.2-3 ze 2 fini např.
na 0,1 jim, zmenšila by se proudová hustota JT dvacetkrát na mnohem přijatelnější
hodnotu 1600A/cm2. Jelikož by byl čerpán úměrně menší objem, zesilovač by
mohl poskytnout tentýž zisk s daleko menší injekční proudovou hustotou. Zmenšení
tloušťky aktivní oblasti však představuje problém, protože difuzní délky elektronů
a děr v InGaAsP činí několik fim; nosiče by měli tudíž tendenci difundovat z takové
malé oblasti ven. Existuje způsob jak lze nosiče uzavřít v aktivní oblasti, jejíž
tloušťka je menší než jejich difuzní délky? Odpověď zní ano, použijeme-li prvek
s heterostrukturou. Takové prvky také umožňují omezit světelný svazek do aktivní
oblasti menší nežli je jeho vlnová délka — a to je další podstatná výhoda.
C. Heterostruktury
Z (16.2-9) a (16.2-10) je zřejmé, že špičkový koeficient zesílení 7 P laserové zesilovací
diody se mění nepřímo úměrně s tloušťkou / aktivní oblasti. Je tudíž výhodné použít
nejmenší možnou tloušťku. Aktivní oblast je definována difuzní vzdáleností minoritních nosičů na obě strany od přechodu. V uspořádání s dvojitou heterostrukturou
jsou vytvořené na obou stranách přechodu p — n heteropřechody s potenciálními
bariérami, čímž se vytvoří potenciálová jáma omezující vzdálenost, do které mohou
minoritní nosiče difundovat. Bariéry přechodu definují tu oblast prostoru, v níž jsou
uzavřeny minoritní nosiče, takže lze dosáhnout aktivní oblasti o tloušťce / až 0,1 /xm.
(Ještě tenčí oblasti, okolo 0,01 fim, lze dosáhnout v laserech s kvantovými jámami,
které budou diskutovány v odst. 16.3G.)
Bude-li materiál aktivní vrstvy mít index lomu mírně větší nežli index lomu
vrstev obklopujících přechod, lze současně docílit elektromagnetického prostorového
omezení zesilovaného optického svazku — tato struktura bude působit jako optický
vlnovod (viz kap. 7).
Realizace dvojité heterostruktury tudíž požaduje tři vrstvy různých materiálů
s přizpůsobenými mřížkovými konstantami (viz obr. 16.2-8):
Vrstva 1: typ p, zakázaný pás Efli, index lomu ni.
Vrstva 2: typ p, zakázaný pás Efl2, index lomu n?.
Vrstva 3: typ n, zakázaný pás £fl3, index lomu 113.
Materiály se vybírají takovým způsobem, že Efl\ a £,,3 jsou větší nežli E,,2, aby
bylo dosaženo uzavření nosičů, zatímco ni je větší nežli ni a JI3 k prostorovému
omezení záření. Aktivní vrstva (vrstva 2) se připravuje zcela tenká (0,1 až 0,2 pm)
pro minimalizaci proudové hustoty transparentnosti JT a maximalizaci špičkového
koeficientu zesílení 7,,. Stimulovaná emise nastává v oblasti přechodu p — n mezi
vrstvami 2 a 3.
Dvojitá heterostruktura má následující výhody:
• Vyšší zisk zesilovače při dané proudové hustotě, vyplývající ze zmenšené tloušťky
aktivní vrstvy [viz (16.2-9) a (16.2-10)]. Injektované minoritní nosiče zůstávají
uvnitř tenké aktivní vrstvy mezi dvěma bariérami heteropřechodu a nemohou
difundovat do okolních vrstev
• Vyšší zisk zesilovače vyplývá z prostorového omezení záření na aktivní vrstvu
následkem jejího vyššího indexu lomu. Aktivní prostředí působí jako optický
vlnovod.
694
POLOVODIČOVÉ ZDROJE FOTONŮ
1
Výstupní fotony
Vstupní fotony
I
I
I
I
Bariéra "I
1_Obrázek 16.2-8 Energetická pásová struktura a index lomu jako funkce souřadnice pro
polovodičový laserový zesilovač s dvojitou heterostrukturou.
Nižší ztráty plynou z toho, že vrstvy 1 a 3 nepohlcují vedené fotony, protože
jejich zakázané pásy jsou širší nežli energie fotonu (tj. hv = Eg2 < Eg\, Egs).
Uvedeme dva příklady laserových zesilovačů s dvojitou heterostrukturou:
Laserový diodový zesilovač InGaAsP/InP s dvojitou heterostrukturou. Aktivní
vrstvou je Ini-^Ga^Asi-yPj,, zatímco obklopující vrstvy jsou InP. Hodnoty
poměrného zastoupení x a y se vybírají takovým způsobem, aby materiály
měly stejnou mřížkovou konstantu. Tím jsou hodnoty x & y omezeny na interval
hodnot, pro které Egi odpovídá pásmu 1,1-1,7/im.
Laserový diodový zesilovač GaAs/AlGaAs s dvojitou heterostrukturou. Aktivní
vrstva (vrstva 2) je vyrobena z GaAs (£92 = 1,42 eV, 712 = 3,6). Obklopující
vrstvy (1 a 3) jsou vyrobeny z Al x Gai_. T As s Eg > 1,43 eV a n < 3,6 (o 5 až 10%).
Tento zesilovač pracuje typicky v pásmu vlnových délek 0,82 až 0,88/im při
použití AlGaAs s x = 0,35 až 0,5.
16.3
A.
POLOVODIČOVÉ INJEKCNI LASERY
Zesílení, zpětná vazba a oscilace
Polovodičový injekční laser je polovodičový zesilovač opatřený optickou zpětnou vazbou. Jak bylo diskutováno v předcházejícím odstavci, je polovodičový laserový zesilo-
POLOVODIČOVÉ INJEKČNÍ LASERY
695
vač silně dotovaným přechodem p — n, polovaným v propustném směru, vyrobeným
z polovodičového materiálu s přímým zakázaným pásem. Injekční proud je dostatečně vysoký k zajištění optického zisku. Zpětná vazba je vytvořena zrcadly, která se
obvykle získají štípáním polovodičového materiálu podél krystalových ploch. Velký
rozdíl indexu lomu mezi krystalem a vzduchem, který jej obklopuje, působí, že štěpné
plochy hrají roli zrcadel. Krystal polovodiče tudíž současně plní funkci zesilujícího
prostředí i optického rezonátoru, jak je znázorněno na obr. 16.3-1. Za předpokladu, že je koeficient zesílení dostatečně vysoký, mění zpětná vazba optický zesilovač
na optický oscilátor (laser). Prvek se nazývá polovodičový injekční laser či laserová
dioda.
Laserová dioda (LD) je podobná světelné diodě (LED), probírané v odst. 16.1.
V obou součástkách je zdrojem energie elektrický proud injektovaiiý do přechodu
p — n . Záření emitované LED je však generováno spontánní emisí, zatímco záření
LD vzniká stimulovanou emisí.
V porovnání s ostatními typy laserů má injekční laser řadu výhod: malé rozměry,
vysokou účinnost, integrovatelnost s elektronickými součástkami a snadné čerpání
i modulaci injekčním elektrickým proudem. Spektrální šířka čáry polovodičového
laseru je však typicky větší nežli u ostatních laserů.
Analýzu podmínek laserových oscilací a vlastností emitovaného záření začneme
stručným zopakováním základních výsledků pro polovodičový laserový zesilovač
a optický rezonátor.
Odrazná plocha
(štípaná)
Plocha
Odrazná plocha
(štípaná)
Obrázek 16.3-1 Injekční laser je přechod p — n polovaný v propustném směru, se dvěma
rovnoběžnými povrchy které působí jako reflektory.
696
POLOVODIČOVÉ^Z-DROJE FOTONŮ
Laserový zesilovač
Koeficient zesílení 70 {y) polovodičového laserového zesilovače má špičkovou hodnotu 7 P přibližně úměrnou koncentraci injektovaných nosičů, a ta je zase úměrná injekční proudové hustotě J. Tedy podle vztahů (16.2-9) a (16.2-10) znázorněných na
obr. 16.2-7,
7, ~ a (-£• - l),
JT = —
An T ,
(16.3-1)
kde TV je doba zářivé elektron-děrové rekombinace, TI,; = T/TT je vnitřní kvantová
účinnost, / je tloušťka aktivní oblasti, a je absorpční koeficient v tepelné rovnováze,
ATVT je koncentrace injektovaných nosičů a JT proudová hustota nutná k tomu, aby
se polovodič právě stal opticky transparentním.
Zpětná vazba
Zpětnou vazbu obvykle tvoří štěpné krystalové plochy nebo dva leštěné rovnoběžné
povrchy krystalu kolmé k rovině přechodu. Aktivní oblast přechodu p — n zobrazená
na obr. 16.3-1 pak také slouží jako optický rezonátor s rovinnými zrcadly, který má
délku d a plochu průřezu Iw. Pro polovodičové materiály jsou typické velké hodnoty
indexu lomu, takže na rozhání polovodič-vzduch je vysoká reflektivita
,=
/n
Vra +
(16.3-2)
[viz (6.2-14) a tab. 15.2-1]. Jestliže je tedy zisk prostředí dostatečně vysoký, může
nespojifost indexu lomu sama o sobě zajistit dostatečnou,odrazívost povrchů a není
zapotřebí vnějších zrcadel. Např. pro GaAs n = 3,6 dává (16.3-2) J# = 0,32.
Ztráty v rezonátoru
Základní příčinou rezonátorových ztrát je částečná reflexe na površích krystalu. Tyto
ztráty odpovídají výstupnímu užitečnému laserovému záření. Rezonátor délky d má
koeficient reflexních ztrát [viz (9.1-18)]
a,„. = a, M + a,„ 2 = — ln ^ - ~ - ;
(16.3-3)
jestliže oba povrchy mají stejnou reflektivitu č#\ — J?2 = &, pak a,„ = (l/c/)ln(l/,#).
Celkový koeficient ztrát je
aT = as +aln,
(16.3-4)
kde a, popisuje ostatní mechanizmy ztrát, včetně absorpce na volných nosičích
v polovodičovém materiálu (viz obr. 15.2-2) a rozptyl na optických nehomogenitách.
as roste s rostoucí koncentrací nečistot a s rostoucí nedokonalostí na rozhraních
heterostruktur. Může dosáhnout hodnot od 10 do 100 cm" 1 .
Samozřejmě člen —a ve výrazu pro koeficient zesílení (16.3-1), odpovídající
absorpci v materiálu, také podstatně přispívá ke ztrátám. Tento příspěvek je však
POLOVODIČOVÉ INJEKČNÍ LASERY
697
započítán v čistém špičkovém koeficientu zesílení -yp vyjádřeném vztahem (16.3-1).
To je zřejmé z výrazu (15.2-23) pro 7o(^) , který je úměrný fg{v) = fe{v) — fa{v)
(tj. rozdílu stimulované emise a absorpce).
Jiný důležitý příspěvek ke ztrátám má původ v úniku optické energie mimo aktivní vrstvu zesilovače (ve směru kolmém k rovině přechodu). Ten může být škodlivý
zejména tehdy, je-li tloušťka / aktivní oblasti malá. Záření pak postupuje tenkou zesilující vrstvičkou (aktivní oblastí), která je obklopena ztrátovým prostředím, takže
ztráty jsou velmi citelné. Tento problém lze zmírnit použitím dvojité heterostruktury (viz odst. 16.2C a obr. 16.2-8), ve které je střední vrstva vyrobena z materiálu
s vyšším indexem lomu, působícím jako vlnovod, do kterého je soustředěna optická
energie.
Ztráty způsobené bočním únikem optické energie lze fenomenologicky popsat
faktorem prostorového omezení F, který představuje podíl optické energie uvnitř
aktivní oblasti (obr. 16.3-2). Za předpokladu, že energie mimo aktivní oblast je zcela
ztracena, faktorem T se redukuje koeficient zesílení nebo, — což je ekvivalentní —
faktorem 1/r se zvětšuje koeficient ztrát. Rovnici (16.3-4) pak musíme přeformulovat
tak, aby zahrnovala toto zvětšení, takže
(16.3-5)
Existují v zásadě tři typy laserových diodových struktur, založené na mechanismu použitém pro zamezení úniku nosičů nebo záření v laterálním směru (tj. omezení
energie v rovině přechodu): velkoplošný (v němž není použit žádný mechanismus
pro laterální omezení), typ s vedením zesílením (ve kterém je pro omezení pou-
Index lomu — * < * * ť
i
(a)
(b)
Obrázek 16.3-2 Prostorové rozložení laserového záření ve směru kolmém k rovině
přechodu pro (a) homostrukturní a (6) heterostrukturní lasery.
698
POLOVODIČOVÉ ZDROJE FOTONŮ
žito laterálních změn zesílení) a typ s vedením indexem lomu (ve kterém jsou
pro omezení využity lateráliií změny indexu lomu). Obecně se dává přednost laserům
s vedením indexem lomu, a to z důvodu jejich výborných vlastností.
Podmínka zesílení: laserový práh
Podmínka nástupu laserových oscilací požaduje, aby zisk převážil nad ztrátami,
7 P > aT, jak udává (14.1-10). Prahový koeficient zesílení je tedy roven aT. Položíme-li
v (16.3-1) 7 P = ar a J = Jt, dostaneme prahovou injekční proudovou hustotu
Prahová proudová
hustota
Jt =
gT + g
JT,
(16.3-6)
kde tranparentní proudová hustota
Transparentní
proudová hustota
(16.3-7)
je proudová hustota která působí, že prostředí se stává opticky transparentním.
Prahová proudová hustota souvisí s transparentní proudovou hustotou činitelem
(a.,. + a)/o, který je větší než jedna a pro a ^> ar je ssl. Protože proud i = JA, kde
A = wd je plochou aktivní oblasti, můžeme definovat proud požadovaný k dosažení
transparentnosti prostředí vztahem ÍT = JTA a prahový proud k nasazení laserových
oscilací it = JtA.
Prahová proudová hustota Jt je klíčovým parametrem charakterizujícím činnost
laserové diody; nižší hodnota Jt značí vyšší kvalitu. Podle (16.3-6) a (16.3-7) se Jt
minimalizuje maximalizací vnitřní kvantové účinnosti T|,: a minimalizací koeficientu
o
a.
o
Homostruktura
_c
g
,/ Dvojitá heterostruktura
Tloušťka aktivní vrstvy
Obrázek 16.3-3 Závislost prahové proudové hustoty Jt na tloušťce aktivní vrstvy /. Laser
s dvojitou heterostrukturou vykazuje nižší hodnotu Jt nežli homostrukturní laser a jeho
provoz je tudíž výhodnější.
POLOVODIČOVÉ INJEKČNÍ LASERY
699
ztrát v rezonátoru ar, koncentrace injektovaných nosičů Ani- nutné k dosažení
transparentnosti a tloušťky aktivní oblasti 1. Jakmile však zmenšíme / pod určitou
mez, zvětší se koeficient ztrát ar, protože klesne faktor prostorového omezení F
[viz (16.3-5)]. Tedy J< klesá se zmenšováním / dokud nedosáhne své minimální
hodnoty, a další snižování I působí růst Jt (viz obr. 16.3-3). V laserech s dvojitou
heterostrukturou však faktor omezení pro nižší hodnoty I zůstává blízký jedničce,
protože se aktivní vrstva chová jako optický vlnovod (viz obr. 16.3-2). Výsledkem je
nižší minimální hodnota Jt, což ukazuje obr. 16.3-3, a tudíž lepší parametry činnosti.
Snížení J< je názorně ukázáno v následujících příkladech.
Protože parametry ATÍT a a v (16.3-1) silně závisí na teplotě, platí totéž pro
prahovou proudovou hustotu Jt a frekvenci, na níž zesílení dosahuje špičkové hodnoty.
Z toho plyne, že ke stabilizaci laserového výstupu je zapotřebí ovládání teploty. Často
se také řízenou změnou provozní teploty provádí frekvenční ladění.
Příklad 16.3-1. Prahový proud homostrukturní laserové diody InGaAsP.
Uvažujeme homostrukturní polovodičový injekční laser InGaAsP se stejnými materiálovými parametry jako v příkladech 16.2-1 a 16.2-2: ATIT =
18
3
1
= 1,25 x 10 cm- , a = 600cm" , rr = 2,5ns, n = 3,5 a T|,: = 0,5
při T = 300 K. Předpokládejme, že rozměry přechodu jsou d = 200 ^m,
w — 10 /im a / = 2 /im. Proudová hustota nutná k dosažení optické propustnosti pak výpočtem vychází JT = 3,2 x 104 A/cm2. Stanovíme nyní prahovou proudovou hustotu pro laserové oscilace. Pomocí (16.3-2) dostáváme, že
povrchová reflektivita je & = 0,31. Odpovídající koeficient ztrát na zrcadlech je a,„ = (l/d)ln(l/é?) = 59cm" 1 . Budeme-li předpokládat, že koeficient ztrát způsobených ostatními efekty je stejný, tj. a.s = 59 cm" 1 , a že faktor omezení F « 1, bude koeficient celkových ztrát a, = 118 cm""1. Prahová
proudová hustota tedy bude Jt = [(a.,. + a)/a]JT = [(118 + 600)/600] x
x [3,2 x 104] = 3,8 x 104 A/cm2. Odpovídající prahová hodnota proudu je
it = Jtwd as 760mA, což je hodnota dosti velká. Homostrukturní lasery se
již nepoužívají, protože tak vysoké proudy dovolují spojitou činnost jen při
ochlazení laserů dosti hluboko pod T = 300 K, aby byl zajištěn odvod tepla.
Příklad 16.3-2. Prahový proud pro heterostrukturnf laserové diody
InGaAsP. Věnujme nyní pozornost polovodičovému injekčnímu laseru
InGaAsP/InP s dvojitou heterostrukturou (viz obr. 16.2-8) s týmiž parametry a rozměry jako v příkladu 16.3-1, s jedinou výjimkou, kterou je tloušťka aktivní vrstvy, která je nyní / = 0,1 (im místo 2 fini. Jestliže budeme předpokládat dokonalé omezení záření (F = 1), můžeme použít stejnou hodnotu
koeficientu ztrát v rezonátoru a,.. Transparentní proudová hustota se pak
zmenší dvacetkrát na hodnotu JT = 1600 A/cm2 a prahová proudová hustota dosahuje rozumnější hodnoty Jt — 1915 A/cm2. Odpovídající prahový
proud je it = 38 mA. Toto výrazné snížení prahového proudu umožňuje spojitou činnost laserové diody s dvojitou heterostruktorou za pokojové teploty.
700
B.
POLOVODIČOVÉ ZDROJE FOTONŮ
Výkon
Vnitřní tok fotonů
Když proudová hustota laseru vzroste nad prahovou hodnotu (tj. J > Jt), špičkový
koeficient zesílení zesilovače 7p překročí koeficient ztrát a,.. Stimulovaná emise pak
převáží nad absorpcí a ostatními ztrátami v rezonátoru, takže, vzniknou oscilace
a může dojít k růstu toku fotonů $ v rezonátoru. Podobně jako u jiných laserů
s homogenním rozšířením při zvyšování toku fotonů nastoupí saturace a populační
rozdíl se začne zmenšovat [viz (14.1-2)]. Obr. 14.2-1 ukazuje, že koeficient zesílení pak
začne klesat dokud se nevyrovná s koeficientem ztrát, čímž se dosáhne ustáleného
stavu.
V analogii s vnitřní hustotou toku fotonů a s vnitřní hustotou počtu fotonů
u ostatních typů laserů [viz (14.2-2) a (14.2-13)] je ustálený vnitřní tok fotonů $
úměrný rozdílu mezi rychlostí čerpání R a prahovou čerpací rychlostí Rt. Protože
podle (16.2-8) je R oc i a Rt oc it, můžeme $ psát jako
Ustálený vnitřní tok
fotonů v laseru
$=
r
u
1
'
i —
p
* < it-
(16.3-8)
Tudíž stacionární vnitřní tok fotonů v laseru (fotony generované uvnitř aktivní oblasti
za sekundu) je roven toku elektronů (což je počet injektovaných elektronů za sekundu)
převyšujícímu prahový proud, násobenému vnitřní kvantovou účinností T};.
Vnitřní laserový nadprahový výkon souvisí jednoduše s vnitřním tokem fotonů
$ vztahem P = hu$, takže dostáváme
Vnitřní laserový výkon
Ao {jaa)i P (W), i (A)
(16.3-9)
za předpokladu, že AQ je vyjádřeno v ^m, i v ampérech a P ve wattech.
Výstupní tok fotonů a účinnost
Výstupní tok fotonů z laseru $o J e součinem vnitřního toku fotonů $ s vyzařovací
účinností r\e [viz (14.2-16)], která je dána poměrem ztrát způsobených užitečným
průchodem světla zrcadly ku celkovým rezonátorovým ztrátám a,.. Jestliže se využije
pouze záření propouštěné zrcadlem 1, pak TI,, = a„,i/a,.; jestliže se na druhé straně
využije záření prošlého oběma zrcadly, je pak T)C = aln/ar. Pakliže v druhém případě
mají obě zrcadla stejnou odrazivost J?, dostaneme TIC = [(l/d) ln(l/^)]/a r . Výstupní
laserový fotonový tok je tudíž dán výrazem
Výstupní tok fotonů
z laseru
I -
It
(16.3-10)
POLOVODIČOVÉ INJEKČNÍ LASERY
701
Z (16.3-10) je zřejmé, že přímá úměrnost mezi výstupním tokem fotonů z laseru a injektovaným nadprahovým tokem elektronů je charakterizována vnější diferenciální
kvantovou účinností
Vnější diferenciální
kvantová účinnost
(16.3-11)
T|d tedy představuje rychlost, s jakou se mění výstupní fotonový tok při změně
nadprahového injektovaného toku elektronů, tj.
(16.3-12)
T
Laserový výstupní nadprahový výkon je Po = hv$0 — \d(i ~ it)(hv/e), což lze
tedy zapsat ve tvaru
Laserový výstupní výkon
Ao ( H . Po (W), i (A)
= T) d (i - l )
1 24
(16.3-13)
za předpokladu, že Ao je vyjádřeno v /mi. Výstupní výkon v závislosti na injektovaném
(čerpacím) proudu i je zobrazen jako přímka na obr. 16.3-4, s parametry it ~ 21 mA
a T)(/ = 0,4. Je to tzv. světelná charakteristika laseru. Plná křivka na obr. 16.3-4
reprezentuje údaje získané z obou výstupních stran polovodičového injekčního laseru
InGaAsP pracujícího na vlnové délce 1,3 /um. Shoda mezi výše uvedenou jednoduchou
teorií a údaji je velmi dobrá a jasně ukazuje, že emitovaný optický výkon skutečně
roste lineárně s čerpacím proudem (v tomto příkladě v intervalu od 23 do 73 mA).
20
40
60
80
Čerpací proud i (mA)
Obrázek 16.3-4 Ideální (přímka) a reálná (plná křivka) světelná charakteristika laseru
s vnořenou heterostrukturou (viz obr. 16.3-7), která zajišťuje účinné vedení indexem lomu.
InGaAsP injekční laser pracoval na vlnové délce 1,3 ^m. Nelinearity, které zde vyložená
jednoduchá teorie nebere v úvahu, působí saturaci optického výstupního výkonu pro
proudy větší nežli asi 75 mA (nezobrazeno).
702
POLOVODIČOVÉ ZDROJE FOTONŮ
Z (16.3-13) je zřejmé, že směrnice světelné charakteristiky nad prahem je dána
výrazem
d=
®
lír
=
^^7
^°
(/Un)> P
°
(W)>
*
(A)
^'
(16.3-14)
Kd se nazývá diferenciální citlivost laseru (W/A); představuje poměr přírůstku optického výkonu k nadprahovému přírůstku elektrického proudu. Pro údaje
z obr. 16.3-4 je dP 0 /di ^ 0,38 W/A.
Celková účinnost (výkonová účinnost) r\ je definována jako poměr výkonu
záření emitovaného laserem k elektrickému vstupnímu výkonu iV, kde V je propustné
napětí přiložené na diodu. Protože Po = r\d(i — it)(hi//e), dostáváme
Celková účinnost
'H = ^
1 - ^ I —.
(16.3-15)
Při činnosti dostatečně vysoko nad prahem, kdy platí i > i, a pro eV « hu,
což je obvykle splněno, dostáváme r\ « r\d. Data zobrazená na obr. 16.3-4 tudíž
dávají celkovou účinnost r\ ~ 40%, která je větší nežli pro kterýkoliv jiný typ laseru
(viz tab. 14.2-1). Tato hodnota je poněkud nižší nežli k dnešnímu datu uváděná
rekordní hodnota činící ~ 65%. Elektrický výkon, který se nepodaří proměnit na
záření, se transformuje v teplo. Protože laserové diody ve skutečnosti produkují
značné množství tepla, připevňují se obvykle k chladiči, který pomáhá odvádět teplo
a stabilizovat teplotu.
Shrnutí
U polovodičových injekčních laserů rozeznáváme čtyři účinnosti: vnitřní
kvantovou účinnost Ti; = rT/r — T/TT, která vyjadřuje skutečnost, že
pouze zlomek elektron-děrových rekombinačních aktů je svou podstatou
zářivý; vyřazovací účinnost i)c, která bere v úvahu tu skutečnost, že pouze
část záření vyšlého z dutiny je využitelná; vnější diferenciální kvantovou
účinnost T)d = T^TI,;, která bere v úvahu obě výše uvedené skutečnosti;
výkonovou účinnost T), která je celkovou účinností. Mírou kvality laseru je
také diferenciální citlivost 3í,/ (W/A).
POLOVODIČOVÉ INJEKČNÍ LASERY
703
Příklad 16.3-3. Laserová dioda InGaAsP s dvojitou heterostrukturou.
Uvažujeme opět příklad 16.3-2 pro polovodičový injekční laser s dvojitou
1
1
heterostrukturou InGaAsP/InP; T^ = 0,5, am — 59cm" , ov = 118 cm""
a it = 38mA. Jestliže se využije záření z obou výstupních plošek, je vyzařovací účinnost T)e = dm/otr = 0,5, zatímco vnější diferenciální kvantová
účinnost je r\d = T|eT],: = 0,25. Při Ao = 1,3 /xm je diferenciální citlivost
tohoto laseru dPo/di = 0,24 W/A. Jestliže např. i — 50mA, dostáváme
i — it = 12 mA a Po = 12 x 0,24 = 2,9 mW. Porovnání těchto čísel s výsledkem na obr. 16.3-4 ukazuje, že laser s dvojitou heterostrukturou má vyšší
práh, nižší účinnost a diferenciální citlivost nežli laser s vnořenou heterostrukturou. To ilustruje lepší parametry laseru s vnořenou heterostrukturou
a s vedením indexem lomu oproti laseru s dvojitou heterostrukturou s vedením zesílením.
Porovnání činnosti laserové diody a LED
Laserové diody vysílají záření i pod prahem, jak je zřejmé z obr. 16.3-4. Toto záření
vzniká spontánní emisí, která byla prostudována v odst. 16.1 v souvislosti s LED,
ale která je zanedbávána v uvedené teorii laseru. Při podprahovém provozu pracuje
polovodičová laserová dioda jako hranově vyzařující LED. Skutečně většina LED jsou
prosté hranově vyzařující prvky s dvojitou heterostrukturou. Laserové diody s injekcí
dostatečně silnou k tomu, aby stimulovaná emise převládla nad spontánní emisí, ale
se slabou zpětnou vazbou mající za následek vysoký práh laserování, se nazývají
superluminiscenční diody.
Jak bylo diskutováno v odst. 16.1, u LED existují čtyři účinnosti: vnitřní
kvantová účinnost T|,:, která vyjadřuje tu skutečnost, že pouze část elektron-děrových
rekombinačních aktů je svou podstatou zářivá; vyzařovací účinnost r\c, která odráží
tu skutečnost, že pouze malý zlomek záření generovaného v oblasti přechodu může
vystoupit ven z materiálu s vysokou hodnotou indexu lomu; vnější kvantová účinnost
•Hei = jn,-'nC! která bere v úvahu obě výše uvedené skutečnosti; a výkonová účinnost r\,
která je celkovou účinností. Jako míra kvality LED se používá také citlivost Jř.
Existuje jednoznačná korespondence mezi veličinami T|,;, r\e a r\ u LED a laserové
diody. Navíc existuje korespondence mezi r\cx a r\d, 9ř a5řj a i a (i — it). Přednosti
laseru vyplývají ze skutečnosti, že i\e může být mnohem větší nežli u LED. Důvodem
je skutečnost, že laser pracuje na základě stimulované (nikoli spontánní) emise, což
má několik důležitých následků. Stimulovaná emise v prvku pracujícím nad prahem
směruje laserové paprsky kolmo k povrchu materiálu, přičemž jsou minimální ztráty.
To poskytuje tři výhody: zesílení namísto absorpce, vyloučení úplného zpětného
odrazu paprsků, jelikož dopadají na vnitřní rozhraní materiálu kolmo (a tudíž
pod úhlem menším nežli kritický úhel), a vysokou pravděpodobnost pro paprsky
vystoupit ven z výstupní plochy jako užitečné záření, když podstupují mnohonásobné
odrazy v dutině. Naproti tomu záření LED je absorbováno a odráženo a má pouze
omezenou možnost úniku; pokud neuspěje, je ztraceno. Konečným výsledkem je, že
laserová dioda nad, prahem má hodnotu rij (typicky ss 40%) mnohem vyšší, nežli je
hodnota T)e.,. (typicky ss 2%) u LED, což je zřejmé ze srovnání obr. 16.3-4 s obr. 16.1-8.
704
C.
POLOVODIČOVÉ ZDROJE FOTONŮ
Spektrální složení
Spektrální složení generovaného laserového záření je ovlivňováno třemi faktory, jak
vyplývá z diskuse v odst. 14.2.B:
• Spektrální šířkou B, uvnitř které má aktivní prostředí koeficient zesílení malého
signálu 7o(^) větší nežli koeficient ztrát ar.
• Homogenním nebo nehomogenním mechanismem rozšíření čáry (viz odst. 12.2D).
• Mody rezonátoru, zejména přibližnou frekvenční vzdáleností mezi podélnými
mody vp = c/2d, kde d je délka rezonátoru.
Polovodičové lasery mají následující charakteristické vlastnosti:
• Spektrální šířka pásma koeficientu zesílení je relativně velká, protože k přechodům dochází mezi dvěma energetickými pásy, nikoli mezi dvěma diskrétními
energetickými hladinami.
• Protože procesy uvnitř pásu jsou velmi rychlé, mají polovodiče tendenci k homogennímu rozšíření spektrálních přechodů. Nicméně prostorové vypalování děr
dovoluje současné oscilace mnoha podélných modů (viz odst. 14.2.B). Prostorové vypalování děr se obvykle uplatňuje v krátkých dutinách, kterým odpovídá
několik málo period stojatých vln. To umožní, že pole různých podélných modů,
rozložených podél osy rezonátoru, se relativně málo překrývají, takže může dojít
k částečnému prostorovému vypalování děr.
• Délka polovodičového resonátoru d je podstatně menší, než tomu bývá u většiny
jiných laserů. Frekvenční vzdálenost sousedních modů rezonátoru up = c/2d je
tudíž relativně velká. Nicméně se jich obecně vejde mnoho do širokého pásu B,
v němž zesílení malého signálu překračuje ztráty (počet možných laserových
modů je M=B/vp).
Příklad 16.3-4. Počet podélných modů v laseru InGaAsP. Krystal
InGaAsP (n R; 3,5) o délce d = 400 /un má mody rezonátoru vzdáleny
vp = c/2d = co/2nd w 107 GHz. V blízkosti centrální vlnové délky
Ao w 1,3/mi této frekvenční vzdálenosti odpovídá vzdálenost ve vlnových
délkách ve vakuu XF, kde AF/AO = vpjw, takže \p = \sjVpjv = \%/2nd ss
w 0,6 nm. Jestliže je spektrální šířka B = 1,2 THz (odpovídající šířce ve
vlnových délkách 7nm), pak může oscilovat přibližně 11 podélných modů.
Typické spektrální složení skládající se z jednoho příčného modu a zhruba 11
podélných modů je na obr. 16.3-5. Celková spektrální šířka polovodičových
injekčních laserů je větší nežli u většiny ostatních, zejména plynových laserů
(viz tab. 13.2-1). Pro zmenšení počtu modů najeden by se délka rezonátoru
d musela zmenšit tak, aby platilo B = c/2d, což by vyžadovalo dutinu
o délce d « 36 fim.
POLOVODIČOVÉ INJEKČNÍ LASERY
1.29
1.30
Vlnová délka
Ao (um)
705
1.31
Obrázek 16.3-5 Spektrální složení záření laseru InGaAsP s vnořenou heterostrukturou a s vedením indexem lomu, pracujícího na vlnové délce 1,3//ni.
Toto složení je značně užší a má odlišný tvar ve srovnání s případem LED
InGaAsP emitující K 1,3 /tm, ukázaným na obr. 16.1-9. Počet modů klesá se
vzrůstem injekčního proudu; mody nejblíže k maximu zesílení zvyšují svůj výkon, zatímco postranní mody se saturují. (Převzato z R. J. Nelson, R. B. Wilson, P. D. Wright, P. A. Barnes a N. K. Dutta, CW Electrooptical Properties
of InGaAsP (A = 1,3 pm) Burried-Heterostructure Lasers, IEEE Journal oj
Quantum Electronics, vol. QE-17, str. 202-207, ©1981 IEEE.)
Přibližná šířka čáry každého podélného modu je ~ 0,01 nm (to odpovídá několika
GHz) pro lasery s vedením zesílením, ale obecně je mnohem užší (« 30 MHz) pro
lasery s vedením indexem lomu.
D. Prostorové rozložení
Podobně jako u jiných laserů lze oscilace polovodičových injekčních laserů klasifikovat
pomocí příčných a podélných modů. V odst. 14.2C byly použity k charakterizaci
prostorového rozložení v příčném směru indexy (/,m), zatímco index q byl použit
k popisu změny rozložení pole ve směru postupu vlny či k popisu časového chování. Ve
většině jiných laserů leží laserový svazek zcela v aktivním prostředí, takže prostorové
rozložení různých modů je určeno tvary zrcadel a jejich vzdáleností. V systémech
s kruhovou symetrií mohou být transverzální mody popsány pomocí laguerreovskýchgaussovských nebo výhodněji hermiteovských-gaussovských svazků (viz odst. 9.2D).
Situace u polovodičových laserů je rozdílná, protože laserový svazek se šíří i mimo
aktivní vrstvu. Příčné mody jsou mody dielektrického vlnovodu tvořeného různými
vrstvami polovodičové diody.
Příčné mody lze určit pomocí teorie vyložené v odst. 7.3 pro optický vlnovod
s pravoúhlým průřezem o rozměrech / a w. Jestliže //Ao je dostatečně malé (což
obvykle bývá u laserů s dvojitou heterostrukturou), vlnovod dovolí pouze jeden mod
ve směru kolmém k rovině přechodu. Ovšem w je obyčejně větší než Ao, takže vlnovod
bude obsahovat několik modů ve směru rovnoběžném s rovinou přechodu, jak je
ukázáno na obr. 16.3-6. Mody ve směru rovnoběžném s rovinou přechodu se nazývají
laterální mody. Cím větší je poměr W/\Q, tím větší je počet možných laterálních
modů.
706
POLOVODIČOVÉ ZDROJE FOTONŮ
1
4
r>
f
Obrázek 16.3-6 Schematické znázornění prostorového rozložení optické inenzity různých
vlnových modů (Z, m) = (1,1), (1, 2) a (1,3) laseru.
Protože laterální mody vyššího řádu mají širší prostorové rozložení, jsou méně
omezeny; jejich ztrátový koeficient aT je tudíž větší nežli koeficient modů nižšího řádu.
Tedy některé mody nejvyššího řádu nedosáhnou splnění oscilačních podmínek; jiné
budou oscilovat s nižším výkonem nežli základní mod (nejnižšího řádu). K dosažení
vysokého výkonu na jediném prostorovém modu je nutno zmenšit počet modů vlnovodu zmenšením šířky w aktivní vrstvy. Takto dosažené zmenšení plochy přechodu
vede také ke snížení prahového proudu.
Příkladem konstrukce využívající laterálně omezené aktivní vrstvy je laser
s vnořenou heterostrukturou, ukázaný na obr. 16.3-7. Materiál s nižším indexem
lomu na obou stranách aktivní oblasti vytváří v tomto laseru (i v jiných laterálně
omezených laserech) laterální omezení a uplatní se vedení indexem lomu.
Kov
p + -AlGaAs
Kontaktní vrstva
SiO 2
Izolátor
n-GaAs
Substrát
Obrázek 16.3-7 Schematický náčrt AlGaAs/GaAs polovodičového injekčního laseru
s vnořenou heterostrukturou. Šířka přechodu w je typicky I až 3 [J.my takže se uplatňuje
účinné vedení indexem lomu.
POLOVODIČOVÉ IIMJEKČNÍ LASERY
Obrázek 16.3-8
707
Úhlové rozložení optického svazku vyzařovaného laserovou diodou.
Rozložení dalekého pole.
Laserová dioda s aktivní vrstvou o rozměrech I a w emituje záření, které má ve velké
vzdálenosti úhlovou divergenci ss Ao/7 (rad) v rovině kolmé k přechodu a w Ao/w
v rovině rovnoběžné s přechodem (viz obr. 16.3-8). (Připomeňme z odst. 3.1B, že
např. pro gaussovský svazek o průměru 2WQ je úhel divergence 9 « (2/TT)(AO/2WO) =
= AO/TTWO, jestliže 6 <g 1). Úhlová divergence určuje strukturu dalekého pole (viz
odst. 4.3). Protože polovodičový injekční laser má malé rozměry aktivní vrstvy, je
charakterizován úhlovou divergencí větší nežli má většina ostatních laserů. Jestliže
např. / = 2 fim, w = 10 /im a Ao = 0,8/xm, vypočtené úhly divergence jsou ~ 23°
a ~ 5°. Záření z laserové diody s jediným transverzálním modem, která má w menší,
má dokonce ještě větší divergenci. Prostorové rozložení záření dalekého pole uvnitř
úhlu vyzařování závisí na počtu příčných modů a na jejich optických výkonech.
Vysoce asymetrické eliptické rozložení záření laserové diody ztěžuje kolimaci svazku.
E.
Selekce modů.
Jednofrekvenční provoz
Jak bylo výše naznačeno, polovodičový injekční laser může pracovat v jediném
příčném modu při zmenšení rozměrů aktivní vrsrvy (Z a w), která tak funguje jako
jednomodový vlnovod. Jednofrekvenčního provozu lze dosáhnout zmenšením délky d
rezonátoru na takovou hodnotu, že frekvenční vzdálenost mezi sousedními podélnými
mody překročí spektrální šířku zesilujícího prostředí.
Jiné metody dosažení jednomodove činnosti zahrnují použití vícezrcadloveho rezonátoru, diskutovaného v odst. 14.2D a ilustrovaného na obr. 14.2-15. Laserová dioda
s dvojitým rezonátorem (laser se složeným rezonátorem) může být připravena vyštípnutím mezery kolmé k aktivní vrstvě, jak je ukázáno na. obr. 16.3-9. Tak vzniknou
dvě spřažené dutiny, takže struktura je známa jako laser se štípanou zdvojenou
dutinou [laser (C3)—cleaved-coupled-cavity laser] Stojaté vlnění v laseru musí splňovat hraniční podmínky na površích obou dutin, takže podléhá přísnějšímu výběru,
708
POLOVODIČOVÉ ZDROJE FOTONŮ
Obrázek 16.3-9
3
Laser se štípanou zdvojenou dutinou (C ).
který pak může splňovat pouze jediná frekvence. V praxi je použitelnost této techniky
omezena tepelnou stabilitou dutiny.
Alternativním přístupem je nahrazení štěpných povrchů, obvykle používaných
jako zrcadla, frekvenčně selektivními reflektory jako např. mřížkami rovnoběžnými
s rovinou přechodu [obr. 16.3-10(a)]. Mřížka je periodická struktura, která odráží
záření pouze tehdy, jestliže mřížková konstanta A splňuje podmínku A = gA/2, kde
q je celé číslo (viz odst. 2.4B). Takové mřížky se nazývají rozprostřené Braggovy
reflektory a přístroj je znám pod zkratkou laser DBR (angl. distributed Bragg
reflector).
Další alternativou je umístění mřížky přímo do sousedství aktivní vrstvy. K tomu
se používá prostorově modulovaný vlnovod, znázorněný na obr. 16.3-10(6). Mřížka
pak působí jako rozprostřený reflektor, nahrazující lokální reflektory tvořené zrcadly
p p n
\ \ \
p
\
Aktivní
vrstva
/
i_
A '
Difrakčnl
mřížky
p
p
\
J
j
n
\
\
Tý/
&"i•
K
Aktivní
vrstva
Vlnovodná
. vrstva
Difrakínl
- mřížka
-
Obrázek 16.3-10 (a) Vnější difrakční mřížky slouží jako zrcadla v laseru s rozprostřenými
Braggovými reflektory, (b) Laser s rozprostřenou zpětnou vazbou obsahuje periodickou
vrstvu působící jako rozprostřený reflektor.
POLOVODIČOVÉ INJEKČNÍ LASERY
709
Fabryova-Perotova rezonátoru laseru. Povrchy krystalu jsou pokryty antireflexními
vrstvami pro minimalizaci povrchových odrazů. Tato struktura je známa jako laser s rozprostřenou zpětnou vazbou (laser DFB—distributed-feedback laser).
DFB lasery dosahují úzké spektrální šířky až lOMHz (bez modulace) a poskytují
modulační šířku pásma hluboko do oblasti GHz. Používají se v mnoha aplikacích
včetně komunikací optickými vlákny v oboru vlnových délek 1,3-1,55 /un,
F.
Charakteristiky typických laserů
Polovodičové lasery pracují na vlnových délkách od blízké ultrafialové do vzdálené
infračervené oblasti, jak je ukázáno na obr. 16.3-11. Pracují s výstupními výkony
dosahujícími 100 mW, ale matice či řetězce laserových diod (s těsně uspořádanými
aktivními oblastmi) poskytují úzké koherentní svazky s výkony převyšujícími 10W.
Stále častěji se lze setkat s povrchově vyzařujícími laserovými diodami.
Laserové diody emitující ve viditelném pásmu se obvykle vyrábějí z Gao.5Ino.5P
a generují záření s Ao ~ 670 nm. Používají struktur s vedením zesílením nebo
s vedením indexem lomu. Výstupní výkony při spojitém provozu (cw) jsou typicky
« 5mW při T = 300 K; běžně dostupná součástka může pracovat při napětí 2,1 V
B'1-xSb,
1-í t1-xfcH
(AI J C Ga 1 _ J t )ylni_ ) ,Ph—!
C d S x S e i _ x h-H
0.1
0.5
1
5
10
50
100
Vlnová délka (/mi)
Obrázek 16.3-11 Složené materiály používané pro polovodičové lasery. Obor vlnových
délek, na kterých polovodičové lasery pracují, se prostírá od blízké ultrafialové do vzdálené
infračervené oblasti. Polovodičové lasery pracující na Ao > 3 /mi vyžadují obvykle chlazení
pod T = 300 K. Některé z těchto materiálů musí být čerpané opticky nebo elektronovým
svazkem.
710
POLOVODIČOVÉ ZDROJE FOTONŮ
a proudu 85 mA. Při využití indexem lomu řízeného laterálního omezení bylo dosaženo
výkonů až 50 mW. Ve srovnání s 5mW He-Ne laserem emitujícím na 633 nm má
GalnP laser podstatně vyšší účinnost a značně menší rozměry. Lasery pracující spojitě
za pokojové teploty na 584 nm (žlutá oblast) lze připravit z AlInP namísto GalnP.
V blízké infračervené oblasti se často používají ternární a kvaternární materiály
s přímým zakázaným pásem, neboť u nich lze ladit vlnovou délku volbou složení
a je možný provoz za pokojové teploty. Ke konečnému přesnému nastavení výstupní
vlnové délky lze použít teplotního ladění. Podobně jako u LED mají obzvláštní
důležitost Al^Gai-zAs (Ao = 0,75 až 0,87/an) a Ini-^GaiAsi-^P;, (Ao = 1,1
až 1,6 lim).
Laserové diody mohou také pracovat ve střední infračervené oblasti, i když v tom
případě je pro účinný provoz nutné chlazení. V širokém intervalu od 3 do 35 /mi
se používají sloučeniny typu II-VI s přímým zakázaným pásem jako Hg^Cdi-mTe
a materiály IV-VI jako Pb^Siii-xTe. Lasery Bii-^Sbi provozované za velmi nízkých
teplot emitují až do « 100 /mi.
*G. Lasery s kvantovými ja'mami
Již dříve bylo zdůvodněno, že prahovou proudovou hustotu laseru lze snížit zmenšením tloušťky aktivní vrstvy. Probrali jsme princip, který se využívá v heterostrukturách k uzavření elektronů a fotonů v aktivní vrstvě. Když je tloušťka aktivní vrstvy
dostatečně malá (tj. menší nežli de Broglieova vlnová délka v tepelné rovnováze elektronů), začínají hrát velmi výraznou roli prostorové kvantové efekty. Protože aktivní
vrstva ve dvojité heterostruktuře má menší šířku zakázaného pásu nežli obklopující
vrstvy, struktura působí jako kvantová jáma (viz odst. 15.1G) a laser se nazývá laser
s jedinou kvantovou jámou (angl. single- quantum well — SQW) nebo jednoduše laser
s kvantovou jámou.
Pásová struktura a závislost energie na hybnosti (vztah mezi E a k) jsou
u kvantové jámy odlišné od objemového materiálu. Vodivostní pás se štěpí na velký
počet subpásů značených kvantovými čísly q = 1, 2,..., z nichž každý má svou vlastní
relaci mezi energií a impulsem i hustotu stavů. Dna těchto subpásů mají energie
Ec + Eq, kde Eq = h'(qn/l)2/2mc, q — 1, 2, ..., jsou energie elektronů s efektivní
hmotností mc v jednorozměrné kvantové jámě o šířce / (viz obr. 15.1-21 a 15.1-22;
qi a d\ v kap. 15 odpovídají zde q a 1). V každém subpásů závisí energie Eu na k
parabolicky a je v něm konstantní hustota stavů nezávislá na energii. Celková hustota
stavů vodivostního pásu QC(E) má tudíž stupňovité rozložení [viz (15.1-28)] se skoky
při energiích Ec+Eq, q = 1, 2,.... Valenční pás má podobné subpásy u energií E„ — E'q,
kde E'q — h2(qir/l)2/2mv jsou energie díry s efektivní hmotností mv v kvantové jámě
o šířce 1.
Interakce fotonů s elektrony a děrami v kvantové jámě probíhají formou přechodů mezi vodivostními a valenčními pásy, při nichž se zachovává energie a hybnost.
Přechody musí také zachovávat kvantové číslo q, jak je znázorněno na obr. 16.3-12;
splňují podobná pravidla jako přechody mezi vodivostním a valenčním pásem v objemovém polovodiči. Výrazy pro pravděpodobnosti přechodů a pro koeficient zesílení v objemovém materiálu (viz odst. 15.2) lze použít pro strukturu s kvantovou
jámou, nahradíme-li jednoduše energii zakázaného pásu Ea energií mezery mezi subpásy Egq = Eg + Eq + Eq a užijeme-li konstantní hustotu stavů namísto hustoty, která
POLOVODIČOVÉ INJEKČNÍ LASERY
/
/
711
/
1
,
hv
ta)
Ib)
Obrázek 16.3-12 (o) Závislost £ nafcpro různé subpásy. (6) Optická sdružená hustota
stavů pro kvantovou jámu (schodovitá křivka) a pro objemový polovodič (čárkovaná
křivka). První skok nastává u energie E9\ = Eg + Ej + £J (kde E\ je nejnižší energie
elektronu a E[ díry v kvantové jámě).
se mění s odmocninou z energie. Celkový koeficient zesílení je součtem koeficientů
zesílení pocházejících ze všech subpásů (5 = 1,2,...).
Hustota stavů
Uvažujme přechody mezi dvěma subpásy s kvantovým číslem q. Aby byly splněny
zákony zachování energie a hybnosti, interaguje foton o energii hv se stavy s energiemi
£ = Ec + Eq + (mr/mc)(hi/ — Egq) v horním subpásu a E — hv v dolním subpásu.
Optická sdružená hustota stavů Q(V) souvisí s gc(E) vztahem g(v) = (dE/dv)gc(E) =
= {hmT/mc)gc(E). Z (15.1-28) vyplývá, že
g(v) =
2mr
HT'
hv > Eg
Eq,
(16.3-16)
jinde.
Zahrnutím přechodů mezi všemi subpásy q = 1, 2, ... dospějeme ke schodovitému
tvaru g(v) se stupni při energiích rovnajících se energetickým vzdálenostem mezi
subpásy s týmž kvantovým číslem (obr. 16.3-12).
Koeficient zesílení
Koeficient zesílení laseru je dán obvyklým výrazem [viz (15.2-23)]
A2
87TT.,.
(16.3-17)
ve kterém Fermiho inverzní faktor fa{v) závisí na kvazi-Fermiho hladinách a na
teplotě a je stejný pro lasery s objemovým materiálem i pro lasery s kvantovou
712
POLOVODIČOVÉ ZDROJE FOTONŮ
jámou. Hustota stavů g(u) se však, jak jsme ukázali, pro oba případy liší. Frekvenční
závislosti Q{V), fg(v) a jejich součinu jsou pro kvantovou jámu i pro objemový dvojitý
heteropřechod ukázány na obr. 16.3-13. Laser s kvantovou jámou má menší špičkový
koeficient zesílení a užší spektrální rozložení.
Na obr. 16.3-13 se předpokládá, že při energiích menších nežli E/c — £/„ se
vyskytuje na schodovité funkci Q{V) pouze jeden stupeň. Tak je tomu při obvyklých
injekčních podmínkách. Maximální koeficient zesílení 7 m pak lze určit dosazením
fg(u) = 1 a Q{V) - 2mr/hl do (16.3-17), což dává
7m =
X2mT
2TTM
'
(16.3-18)
Vztah mezi koeficientem zesílení a proudovou hustotou
Zvýšení injekční proudové hustoty J vede ke vzrůstu koncentrace nadbytečných elektronů a děr A n a tedy také ke zvětšení vzdálenosti mezi kvazi-Fermiho hladinami
Efc — Efv. Vliv tohoto zvětšení na koeficient zesílení 7o(^) můžeme odhadnout z diagramů na obr. 16.3-13. Pro dostatečně malé J je zesílení nulové. Při takovém J , kdy
Efc — Ef.„ právě převyšuje mezeru Eg\ mezi subpásy q = 1, začíná prostředí zesilovat.
Špičkový koeficient zesílení prudce vzroste a dojde k jeho nasycení na hodnotu 7,,,.
Obrázek 16.3-13 Hustota stavů g{v), Permiho inverzní faktor S,,(y) a koeficient zesílení 7o(f) v kvantové jámě (plné křivky) a v objemové struktuře (čárkované křivky).
POLOVODIČOVÉ INJEKČNÍ LASERY
713
-Si
55
v
Objemový
materiál DH
J
JT1
JT2
Proudová hustota J
Obrázek 16.3-14 Schematické závislosti mezi špičkovým koeficientem zesílení ~fy a proudovou hustotou J v laseru s kvantovou jámou a s objemovou dvojitou heterostrukturou.
Další růst J zvětšuje šířku spektrálního průběhu zesílení, nikoli jeho špičkovou hodnotu. Jestliže dále zvyšujeme J až k bodu, kdy E/c — E/„ překročí mezeru £32 mezi
subpásy q = 2, špičkový koeficient zesílení zvětší skokem svoji hodnotu atd. Spektrální průběh zesílení tedy může být docela široký, což poskytuje u těchto laserů možnost
ladění v širokých mezích. Schematické závislosti -yp na J pro laser s kvantovou jámou
a laser s objemovou heterostrukturou jsou na obr. 16.3-14. Laser s kvantovou jámou
má mnohem menší hodnotu JT (proudová hustota požadovaná k dosažení optické
transparentnosti), ale jeho zesílení se nasytí na nižší hodnotě.
Prahová proudová hustota pro nasazení oscilací v laseru s kvantovou jámou
(QW—aiigl. quantum-welt) je podstatně nižší nežli u objemového laseru s dvojitou
heterostrukturou (DH—angl. double-heterostructure), protože laser QW má užší
aktivní vrstvu. Dalšími přednostmi laserů QW jsou užší spektrum koeficientu zesílení,
menší šířka čáry laserových modů, možnost dosažení vyšších modulačních frekvencí
a menší závislost na teplotě.
Porovnejme tloušťku aktivní vrstvy laseru s jedinou QW, která činí typicky
10 nm, s tloušťkou vrstvy 100 nm u laseru DH a s 2 fiia u zastaralých polovodičových
laserů s homopřechodem. Prahové proudy u laserů SQW jsou zhruba « 0,5 mA,
zatímco u laserů DH činí 20 mA (viz obr. 16.3-4). Spektrální šířka záření emitovaného
laserem SQW je obvykle < lOMHz, což je podstatně méně nežli spektrální šířka
u laserů DH. Výstupní výkon laseru s jedinou kvantovou jámou je omezen na hodnotu
okolo 100 mW, při vyšších hodnotách může dojít k poškození výstupní plochy laseru.
Avšak matice AlGaAs/GaAs laserů s kvantovou jámou mohou emitovat až 50W
nekoherentního spojitého optického výkonu z linie o rozměrech 1 ^ím x 1 cm, a stávají
se výbornými kandidáty pro boční čerpání laserů na pevné fázi, jakými jsou např.
Nd 3+ :YAG (viz odst. 13.2). Stojí za zmínku, že celková kvantová účinnost T| takových
řetězců je > 50% a diferenciální kvantová účinnost i\d může překročit 80%.
Byly vyrobeny také polovodičové lasery v konfiguraci kvantových drátů (viz
odst. 15.1G). Pro prvky, u nichž jsou / a w ~ 10 nm, očekáváme prahové proudy
< 0,1 mA. Řetězce laserů s kvantovými tečkami by mohly nabídnou ještě nižší prahové
proudy.
714
POLOVODIČOVÉ ZDROJE FOTONŮ
Lasery s mnohonásobnými kvantovými jámami
Koeficient zesílení lze zvýšit použitím paralelně uspořádaných kvantových jam. Tato
struktura, zobrazená na obr. 16.3-15, je známa jako laser s mnohonásobnými kvantovými jámami (laser MQW—aiigl. multiquantum-well). Zisk laseru MQW s TV-jámami
je iV-krát větší nežli zesílení každé z jam. Spravedlivé porovnání vlastností laserů QW
a MQW ovšem vyžaduje, aby oba typy byly napájeny stejným proudem. Přepokládejme, že do jediné kvantové jámy je injektována hustota nadbytečných nosičů An
a jáma má špičkový koeficient zesílení */p. Do každé z N jam ve struktuře mnohonásobných kvantových jam bude pak injektováno pouze An/N nosičů. Protože zesílení
závisí na An nelineárně, je koeficient zesílení každé jámy roven £~fp/N, kde £ může
být menší či větší nežli 1 v závislosti na provozních podmínkách. Celkové zesílení
poskytované laserem MQW je Nfá^p/N) = £"fp. Není zřejmé, která z obou struktur
bude vykazovat vyšší zesílení. Ukazuje se, že při nízkých proudových hustotách je
lepší struktura s jedinou kvantovou jámou, zatímco při vysokých proudových hustotách je lepší struktura s mnohonásobnými kvantovými jámami (avšak s faktorem
menším než N).
Lasery s pnutou vrstvou
Jakkoliv se to může zdát překvapivé, může mít mechanické napětí příznivý vliv
na činnost polovodičových injekčních laserů. Lasery s pnutou vrstvou mohou
mít lepší vlastnosti a mohou pracovat na jiných vlnových délkách, než které lze
získat kompozičním laděním. Tyto lasery se vyrábějí z polovodičových materiálů
typu III-V v konfiguraci s jedinou kvantovou jámou i s mnohonásobnými jámami.
Aktivní vrstva se záměrně vybírá takovým způsobem, aby měla odlišnou mřížkovou
konstantu než mají obklopující vrstvy; mřížky tedy nejsou vzájemně přizpůsobeny.
Je-li aktivní vrstva dostatečně tenká, mohou se v ní přizpůsobit vzdálenosti mezi
atomy meziatomovým vzdálenostem v obklopujících vrstvách a tím v ní vznikne
mechanické napětí (je-li vrstva příliš silná, nepřizpůsobí se a vytvoří se v ní dislokace).
Například aktivní vrstva InGaAs v laseru InGaAs/AlGaAs s pnutou vrstvou má
mřížkovou konstantu podstatně větší nežli je mřížková konstanta obklopujících vrstev
\
AlGaAs
GaAs
Obrázek 16.3-15
\
Substrát GaAs
AlGaAsP laser s mnohonásobnými kvantovými jámami s / = 10 nm.
POLOVODIČOVÉ INJEKČNÍ LASERY
715
AlGaAs. Tenká vrstvička InGaAs tedy podléhá dvouosé kompresi v rovině vrstvičky,
zatímco meziatomové vzdálenosti ve směru kolmém k vrstvičce jsou větší ve srovnání
s jejich obvyklou hodnotou.
Mechanickým napětím se mění pásová struktura třemi výraznými způsoby:
(1) zvětšuje se šířka zakázaného pásu Eg; (2) snímá se degenerace pásů těžkých
a lehkých děr v bodě k = 0; (3) valenční pás se stává anizotropním, takže ve směru
rovnoběžném s rovinou vrstvy má nejvyšší pás malou efektivní hmotnost, zatímco
v kolmém směru má nejvyšší pás velkou efektivní hmotnost.
To může podstatným způsobem zlepšit činnost laserů, především měnit laserovou
vlnovou délku prostřednictvím závislosti Eg na napětí. Za druhé může přítomnost
napětí snížit prahovou proudovou hustotu. Dosažení populační inverze požaduje, aby
vzdálenost mezi kvazi-Fermiho hladinami byla větší nežli šířka zakázaného pásu, tj.
Efc - Efv > Eg. Snížená hmotnost díry vede k posunutí £/,, do valenčního pásu,
v důsledku čehož se dosáhne uvedené podmínky při nižším injekčním proudu.
InGaAs lasery s pnutou vrstvou se vyrábějí v mnoha různých konfiguracích
a s použitím velkého množství omezujících materiálů, včetně AlGaAs a InGaAsP.
Pracují v širokém intervalu vlnových délek od 0,9 do 1,55/xm. Jako speciální příklad uveďme laser s konfigurací MQW, skládající se z několika 2nm silných vrstviček kvantových jam I1io.7sGao.22As, vzájemně oddělených 20 nm silnými bariérami
a 40 nm silnými vrstvami z InGaAsP zajišťujícími uzavření fotonů a nosičů náboje,
který pracuje na Ao = 1,55 /mi se submiliampérovým prahovým proudem. Jiným příkladem je GalnP/InGaAlP laser QW s pnutou vrstvou, který vyzařuje více než 1/2W
na 634 nm.
Matice plošně emitujících laserových diod s kvantovými jámami
Plošně emitující laserové diody (SELD) s kvantovými jámami se setkávají s rostoucím
zájmem, neboť je lze připravit s vysokou plošnou hustotou na polovodičové destičce
makroskopických rozměrů. Na jediném čipu 1 cm2 GaAs byla připravena matice asi
1 milionu miniaturních elektricky čerpaných plošně emitujících laserových diod QW
s vertikálními válcovými dutinami (průměr « 2/xm, výška ~ 5,5 /mi), jejichž emisní
0 Qjj ^J 9§ vy^Ě ÍJljjjř
i
•j
Obrázek 16.3-16 Mikrofotografie malé části matice laserů s kvantovými jámami a vertikálními rezonančními dutinami o průměrech mezi 1 a 5 fim, pořízená skanujícím elektronovým mikroskopem. (Podle J. L. Jewell et a/., Low Threshold Electrically-Pumped
Vertical-Cavity Surface-Emitting Micro-Lasers, Optics News, vol. 15, no. 12, str. 10-11,
1989.)
716
POLOVODIČOVÉ ZDROJE FOTONŮ
vlnová délka leží v okolí 970 nm. Tyto unikátní prvky mají pro spojitý provoz při
T = 300 K práh it ~ 1,5 mA a vnější diferenciální kvantovou účinnost -nd « 16 % při
jediné výstupní ploše. Snímek části takové matice, pořízený elektronovým skanujícím
mikroskopem, je na obr. 16.3-16. Výstupní paprsky s kruhovým průřezem lze snadno
navázat do optických vláken. V poslední době byl laserový práh prvků tohoto typu
snížen na « 0,2 mA. Jejich velmi malý aktivní objem ( « 0,05 fJ.ni3) může v zásadě
dovolit snížit práh až na
LITERATURA
Knihy a články o teorii laseru
Viz seznam literatury ke kap. 13.
Knihy a články o fyzice polovodičů
Viz seznam literatury ke kap. 15.
Knihy o luminiscenčních diodách a polovodičových injekčních laserech
Y. Yamamoto, ed., Coherence, Amplifications, and Quantum Effects in Semiconductor Lasers, Wiley, New York, 1991.
P. K. Cheo, ed., Handbook oj Solid-State Lasers, Marcel Dekker, New York, 1988.
G. P. Agrawal a N . K. Dutta, Long-Wavelength Semiconductor Lasers, Van Nostrand
Reinhold, New York, 1986.
R. K. Willardson a A. C. Beer, eds., Semiconductors and Semimetals, vol. 22, Lightwave Communications Technology, W. T. Tsang, ed., part B, Semiconductor
Injection Lasers, I, Academie Press, New York, 1985.
R. K. Willardson a A. C. Beer, eds., Semiconductors and Semimetals, vol. 22, Lightwave Communications Technology, W. T. Tsang, ed., part C, Semiconductor
Injection Lasers, II and Light Emitting Diodes, Academie Press, New York,
1985.
H. Kressel, ed., Semiconductor Devices for Optical Communication, Springer-Verlag,
Berlin, 2. vyd. 1982.
G. H. B. Thomson, Physics of Semiconductor Lasers, Wiley, New York, 1981.
H. C. Casey, Jr., a M. B. Panish, Heterostructure Lasers, part A, Fundemental
Principles, Academie Press, New York, 1978.
H. C. Casey, Jr., and M. B. Panish, Heterostructure Lasers, part B, Materials and
Operating Characteristics, Academie Press, New York, 1978.
H. Kressel a J. K. Butler, Semiconductor Lasers and Heterojunction LEDs, Academie
Press, New York, 1977.
E. W. Williams a R. Halí, Luminescence and the Light Emitting Diodě, Pergamon
Press, New York, 1977.
A. A.Bergh a P. J. Dean, Light Emitting Diodes, Clarendon Press, Oxford, 1976.
C. H. Gooch, Injection Electrolumínescent Devices, Wiley, New York, 1973.
R. W. Campbell a F. M. Mims III, Semi-Conductor Diodě Lasers, Howard Sams,
Indianapolis, IN, 1972.
LITERATURA
717
Zvláštní čísla časopisů
Speciál issue on laser technology, Lincoln Labomtory Journal, vol. 3, no. 3, 1990.
Speciál issue on semiconductor diodě lasers, IEEE Journal of Quantum Electronics,
vol. QE-25, no. 6, 1989.
Speciál issue on semiconductor lasers, IEEE Journal of Quantum Electronics,
vol. QE-23, no. 6, 1987.
Speciál issue on semiconductor quantum wells and superlattices: physics and applications, IEEE Journal of Quantum Electronics, vol. QE-22, no. 9, 1986.
Speciál issue on semiconductor lasers, IEEE Journal of Quantum Electronics,
vol. QE-21, no. 6, 1985.
Speciál issue on optoelectonics, Physics Today, vol. 38, no. 5, 1985.
Speciál issue on light emitting diodes and long-wavelength photodetectors, IEEE
Transactions on Electron Devices, vol. ED-30, no. 4, 1983.
Speciál issue on optoelectronics devices, IEEE Transactions on Electron Devices,
vol. ED-29, no. 9, 1982.
Speciál issue on light sources and detectors, IEEE Transactions on Electron Devices,
vol. ED-28, no. 4, 1981.
Speciál issue on quaternary compound semiconductor materials and devices — sources and detectors, IEEE Journal of Quantum Electronics, vol. QE-17, no. 2,
1981.
Speciál joint issue on optoelectronic devices and circuits, IEEE Transaction on
Electron Devices, vol. ED-25, no. 2, 1978.
Speciál issue on semiconductor lasers, IEEE Journal of Quantum Electronics,
vol. QE-6, no. 6, 1970.
Články
J. Jewell, Surface-Emitting Lasers: A New Breed, Physics World, vol. 3, no. 7,
pp. 28-30, 1990.
R. Baker, Optical Amplification, Physics World, vol. 3, no. 3, pp. 41-44, 1990.
D. A. B. Miller, Optoelectronic Applications of Quantum Wells, Optics and Photonics
News, vol. 1, no. 2, pp. 7-15, 1990.
J. L. Jewell, A. Scherer, S. L. McCall, Y. H. Lee, S. J. Walker, J. P. Harbison
a L. T. Florez, Low Threshold Electrically-Pumped Vertical-Cavity Surface-Emitting Micro-Lasers, Optics News, vol. 15, no. 12, pp. 10-11, 1989.
A. Yariv, Quantum Well Semiconductor Lasers Are Taking Over, IEEE Circuits and
Devices Magazíne, vol. 5, no. 6, pp. 25-28, 1989.
G. Eisenstein, Semiconductor Optical Amplifiers, IEEE Circuits and Devices Magazíne, vol. 5, no. 4. pp. 25-30, 1989.
D. Welch, W. Streifer a D. Scifres, High Power, Coherent Laser Diodes, Optics News,
vol. 15, no. 3, pp. 7-10, 1989.
G. P. Agrawal, Single-Longitudinal-Mode Semiconductor Lasers, in Progress in
Optics, E. Wolf, ed., vol. 26, North-Holland, Amsterdam, 1988.
M. Ohtsu a T.Tako, Coherence in Semiconductor Lasers, in Progress in Optics,
E.Wolf, ed., vol. 25, North-Holland, Amsterdam, 1988.
718
POLOVODIČOVÉ ZDROJE FOTONŮ
I. Hayashi, Future Prospects of the Semiconductor Laser, Optics News, vol. 14, no. U),
pp. 7-12, 1988.
M. Ettenberg, Laser Diodě Systems and Devices, IEEE Circuits and Devices Magazíne, vol. 3, no. 5, pp. 22-26, 1987.
G. L. Harnagel, W. Streifer, D. R. Scifres a D. F. Welch, Ultrahigh-Power Semiconductor Diodě Laser Arrays, Science, vol. 237, pp. 1305-1309, 1987.
Y. Suematsu, Advances in Semiconductor Lasers, Physics Today, vol. 38, no. 5,
pp. 32-39, 1985.
D. Botez, Laser Diodes are Power-Packed, IEEE Spectrum, vol. 22, no. 6, pp. 43-53,
1985.
A. Mooradian, Laser Linewidth, Physics Today, vol. 38, no. 5, pp. 42-48, 1985.
3
W. T. Tsang, The C Laser, Scientific American, vol. 251, no. 5, pp. 149-161, 1984.
S. Kobayashi a T. Kimura, Semiconductor Optical Amplifiers, IEEE Spectrum,
vol. 21, no. 5, pp. 26-33, 1984.
F. Stern, Semiconductor Lasers: Theory, in Laser Handbook, F. T. Arecchi
a E. O. Schultz-Du Bois, ed., North-Holland, Amsterdam, 1972.
Z historie
R. D. Dupuis, An Introduction to the Development of the Semiconductor Laser, IEEE
Journal of Quantum Electronics, vol. QE-23, pp. 651-657, 1987.
N. G. Basov, Quantum Electronics at the P. N. Lebedev Physics Institute of the
Academy of Sciences of the USSR (FIAN), Soviet Physics-Uspechi, vol. 29,
pp. 179-185, 1986 [Uspěchi Fizičeskich Nauk, vol. 148, pp. 313-324, 1986].
J. K. Butler, ed., Semiconductor Injection Lasers, IEEE Press, New York, 1980.
N. G. Basov, Semiconductor Lasers, in Nobel Lectures in Physics, 1963-1970,
Elsevier, Amsterdam, 1972.
T. M. Quist, R. H. Rediker, R. J. Keyes, W. E. Krag, B. Lax, A. L. McWhorter
a H. J. Zeiger, Semiconductor Maser of GaAs, Applied Physics Letters, vol. 1,
pp. 91-92, 1962.
N. Holonyak, Jr. a S. F. Bevacqua, Coherent (Visible) Light Emission from
Ga(Asi_ a: P x ) Junctions, Applied Physics Letters, vol. 1, pp. 82-83, 1962.
M. I. Nathan, W. P. Dumke, G. Burns, F. H. Dill, Jr. a G. Lasher, Stimulated
Emission of Radiation from GaAs p — n Junctions, Applied Physics Letters,
vol. 1, pp. 62-64, 1962.
R. N. Halí, G. E. Fenner, J. D. Kingsley, T. J. Soltys a R. O. Carlson, Coherent Light
Emission from GaAs Junctions, Physical Review Leiters, vol. 9, pp. 366-368,
1962.
R. J. Keyes a T. M. Quist, Recombination Radiation Emitted by Gallium Arsenide,
Proceedings of the IRE, vol. 50, pp. 1822-1823, 1962.
N. G. Basov, O. N. Krokhin a Yu. M. Popov, Production of Negative-Temperature
States in p--n Junctions of Degenerate Semiconductors, Soviet Physics—JETP,
vol. 13, pp. 1320-1321, 1961 [Žurnál Eksperimentalnoj i Těoretičeskoj Fiziki
(SSSR), vol. 40, pp. 1879-1880, 1961].
M. G. A. Bernard a G. Duraffourg, Laser Conditions in Semiconductors, Physica
Status Solidi, vol. 1, pp. 699-703, 1961.
ÚLOHY
719
J. von Neumann ukázal v nepublikovaných výpočtech, zaslaných v září 1953 E. Tellerovi, že je v zásadě možné narušit rovnovážnou koncentraci nosičů v polovodiči
a tak získat zesílení světla stimulovanou emisí, např. rekombinací elektronů a děr
injektovaných do přechodu p — n [viz J. von Neumann, Notes on the PhotonDisequilibrium-Amplification Scheme (JvN), Sept. 16, 1953, IEEE Journal of
Quantum Electronics, vol. QE-23, pp. 658-673, 1987].
Literatura v českém jazyce
J. Ctyroký, I. Hiittel, J. Schrófel a L. Šimánková, Integrovaná optika, SNTL-Nakladatelství technické literatury, Praha, 1986
J. Misek a L. Kratěna, Optoelektronika, Populární přednášky o fyzice, svazek 29,
SNTL-Nakladatelství technické literatury, Praha, 1979
ÚLOHY
16.1-1
Spektrální šířky záření LED. Odhadněte spektrální šířky LED vyrobených z Ino.72Gao.28Aso.oPo.4, GaAs a GaAso.6Po.4 ze spekter zobrazených
na obr. 16.1-9 v jednotkách nm, Hz a eV. Srovnejte tyto hodnoty s výsledky
výpočtů podle vzorců daných ve cvičení 16.1-3.
16.1-2 Vyzařovací kvantová účinnost L E D . Odvoďte vztah pro vyzařovací
účinnost TI,, vyvedení vnitřního nepolarizovaného záření z LED, když vezmete v úvahu úhlovou závislost Fresnelovy reflexe na rozhraní polovodičvzduch (viz odst. 6.2).
16.1-3 Navázání záření z LED do optického vlákna. Vypočítejte jaká část
optického výkonu emitovaného LED, který se naváže do optického vlákna
se skokovým profilem indexu lomu, s numerickou aperturou ve vzduchu
NA = 0,1 a indexem lomu jádra n = 1,46 (viz odst. 8.1). Předpokládejte,
že LED má rovinný povrch, index lomu n = 3,6 a úhlovou vyzařovací
výkonovou charakteristiku úměrnou cos 4 (0). Předpokládejte dále, že LED
je v kontaktu s jádrem vlákna a že vyzařovací plocha je menší nežli plocha
jádra.
16.2-1 Šířka pásma polovodičového laserového zesilovače. S použitím údajů
na obr. 16.2-3(a) vyneste závislost celkové šířky pásma InGaAsP zesilovače
na koncentraci injektovaných nosičů An. Nalezněte přibližný lineární výraz
pro tuto šířku pásma jako funkci A n a vyneste do grafu koeficient zesílení
zesilovače v závislosti na šířce pásma.
16.2-2
Špičkový koeficient zesílení při T = OK. (a) Ukažte, že koeficient
zesílení 7o(f/) dosahuje špičkové hodnoty 7 P při T = OK na frekvenci v =
= (Efc - Efv)/h.
(b) Získejte analytický výraz pro špičkový koeficient zesílení j p v závislosti
na koncentraci injektovaných nosičů A n při T = 0 K.
(c) Vyneste do grafu závislost 7,, na A n pro InGaAsP zesilovač (Ao =
= 1,3/mi, n — 3,5, rr = 2,5 ns, mc = O,O6mo, m„ = O,4TOO) pro hodnoty A n
v rozmezí 1 x 10 1 8 až 2 x 1 0 1 8 c m " 3 .
(ďj Porovnejte výsledky s údaji na obr. 16.2-3(6).
720
POLOVODIČOVÉ ZDROJE FOTONŮ
-
3
sf
300
•M a
• 200
>o —
100
I
0.5
1.0
1.5
2.0
18
Au (10 cm-3)
(b)
Obrázek P16.2-3 (Převzato z M- B. Peuiish, Heterostructure Injection Lasers, Proceedings oj the IEEE, vol. 64, str. 1512-1540, ©1976 IEEE).
*16.2-3 Koeficient zesílení zesilovače GaAs. Laserový zesilovač GaAs typu p
(Eg =s l,40eV, mc — O,O7mo, m„ = O,5mo) s indexem lomu n = 3,6 pracující
za pokojové teploty (T = 300 K), je dotován (p 0 = 1,2 x 1018 cm" 3 ) tak, že
doba zářivé rekombinace r , » 2 ns.
(o) Pomocí vztahů (16.2-2)-(16.2-4) vypočítejte koeficient zesílení 7o(^)
v závislosti na energii fotonu hv, je-li dána ustálená koncentrace injektovaných nosičů Au (která je určena rychlostí injekce R a celkovou rekombinační
dobou T) za, předpokladu, že T = OK.
(fe) Proveďte týž výpočet za použití počítače, budete-li předpokládat T =
= 300K.
(c) Pro oba případy vyneste do grafu závislost špičkového koeficientu zesílení
na. An.
(d) Za použití aproximativního lineárního modelu stanovte koeficient ztrát a
a koncentraci ATVT, která přísluší optické transparentnosti.
(e) Pro oba případy vyneste celkovou šířku pásma zesilovače (v Hz, nm
a eV) jako funkci An.
(/) Porovnejte vaše výsledky s křivkami koeficientu zesílení a špičkového
koeficientu zesílení vypočtenými Panishem a zobrazenými na obr. P16.2-3.
16.2-4 Zmenšení šířky zakázaného pásu následkem stavů ve výběžcích pásů. Zmenšení zakázaného pásu A£9 plynoucí z existence stavů ve výběžcích
pásů v InGaAsP a GaAs lze empiricky vyjádřit vztahem
AE,(eV) » (-1,6
+n1/3),
ÚLOHY
721
3
kde n a p jsou koncentrace nosičů (cm ) získané dotováním, injekcí nosičů
nebo oběma způsoby současně.
(a) Pro typ p InGaAsP a GaAs nalezněte koncentraci p, která vede k redukci
zakázaného pásu přibližně o 0,02 eV.
(6) Pro dotovaný InGaAsP a GaAs nalezněte hustotu injektovaných nosičů
An, která vede k zúžení zakázaného pásu přibližně o 0,02 eV. Předpokládejte, že rii je zanedbatelné.
(c) Vypočítejte Eg + AEg a porovnejte výsledek s energií, při níž koeficient
zesílení na obr. 16.2-3(a) dosahuje na nízkofrekvenční straně nulové hodnoty.
16.2-5 Zisk a šířka pásma zesilovače. GaAs má intrinsickou koncentraci nosičů
n.; = 1,8 x 106 cm" 3 , rekombinační dobu života r = 50 ns, šířku zakázaného
pásu Eg = 1,42 eV, efektivní hmotnost elektronu mc = O,O7mo a efektivní
hmotnost díry ra„ = O,5mo- Předpokládejte T = OK.
(a) Pro zesilovač GaAs o délce d = 200 ^m, šířce w = 10 /mi a tloušťce
1 = 2 /xm stanovte centrální frekvenci, šířku pásma a špičkový koeficient
zesílení, jestliže je čepán proudem 1 mA.
(b) Určete počet telefonických hovorů, které lze současně přenášet ve výše
vypočtené šířce pásma, jestliže každý hovor vyžaduje šířku pásma 4kHz.
(c) Určete rychlost přenosu informace (v bit/s) zesilovačem, jestliže každý
hovorový kanál vyžaduje 64 kbit/s.
16.2-6 Účinný průřez přechodu. Určete efektivní průřez přechodu o{v) pro
GaAs jako funkci An při T = OK. Pravděpodobnost přechodu je 4>a(v), kde
<p je hustota toku fotonů. Proč je účinný průřez přechodu pro polovodičový
laserový zesilovač užívaný méně než v případě jiných laserových zesilovačů?
*16.2-7 Spektrální profil zesílení. Uvažujte zesilovač InGaAsP (n = 3,5) na
vlnové délce 1,55 fim v konfiguraci na obr. 16.2-6 s identickými antireflexními
vrstvami na vstupní i výstupní ploše. Vypočítejte maximální refiektivitu
každé plochy, při níž se bude měnit koeficient zesílení následkem frekvenční
závislosti Fabryovy—Perotovy propustnosti maximálně o 10% [viz (9.1-29)].
16.3-1 Závislost výstupního výkonu na indexu lomu. Ve výstupním toku
fotonů $o daném (16.3-10) identifikujte členy, které závisí na indexu lomu
krystalu.
16.3-2 Podélné mody. Do diody InGaAsP se zakázaným pásem Eg = 0,91 eV
a indexem lomu n = 3,5 je injektován takový proud, že rozdíl mezi Fermiho
hladinami je Ejc — £/„ = 0,96 eV. Určete maximální počet longitudinálních
modů, které mohou oscilovat, jestliže rezonátor má délku d = 250 /jm a je
bezztrátový.
16.3-3 Minimální zesílení nutné k oscilacím laseru. Krystal InGaAsP dlouhý
500 jim pracuje na vlnové délce, jíž přísluší index lomu n = 3,5. Určete
koeficient zesílení požadovaný k tomu, aby se vykompenzovaly reflexní ztráty
na rozhraních krystalu. Zanedbejte rozptyl a jiné ztráty.
*16.3-4 Vzdálenost modů, jestliže index lomu závisí na vlnové délce. Frekvenční vzdálenost modů laserové diody je komplikována tím, že index lomu
722
POLOVODIČOVÉ ZDROJE FOTONŮ
závisí na vlnové délce [tj. n = n(Ao)]. Laserová dioda o délce d = 430 ^m osciluje na centrální vlnové délce Ac = 650 nm. Uvnitř emisního pásu můžeme
předpokládat, že n(Ao) je lineárně závislý na Ao [tj. n(Ao) — no — a(Ao — Ac),
kde no = n(A c ) = 3,4 a a = |dn/dAo|j.
(a) Experimentálně bylo zjištěno, že vzdálenost mezi laserovými mody
s vlnovou délkou v blízkosti Ac je AA « 0,12 nm. Vysvětlete, proč to
neodpovídá obvyklé vzdálenosti modů vp = c/2d.
(b) Odhadněte hodnotu koeficientu a.
(c) Objasněte jev stahování modů v plynovém laseru a srovnejte jej s výše
popsaným efektem v polovodičových laserech.
K A P I T O L A
17
POLOVODIČOVÉ
DETEKTORY FOTONŮ
17.1 VLASTNOSTI POLOVODIČOVÝCH
A. Kvantová účinnost
B. Citlivost
C. Doba odezvy
FOTODETEKTORŮ
17.2 FOTOODPORY
17.3 FOTODIODY
A. Fotodioda p-n
B. Fotodioda p-i-n
C. Fotodiody s heterostrukturou
D. Matice detektorů
17.4 LAVINOVÉ FOTODIODY
A. Princip činnosti
B. Zisk a citlivost
C. Doba odezvy
17.5 ŠUM FOTODETEKTORŮ
A. Fotoelektronový šum
B. Šum zesilovacího procesu
C. Šum elektrického obvodu detektoru
D. Poměr signálu k šumu a citlivost přijímače
Heinrich Hertz (1857-1894) objevil v r. 1887
fotoemisi.
Siméon Poisson (1781-1840) odvodil pravděpodobnostní rozdělení, popisující šum fotodetektoru.
723
724
POLOVODIČOVÉ DETEKTORY FOTONŮ
Fotodetektor je zařízení, které měří fotonový tok nebo optický výkon tím způsobem,
že přeměňuje energii absorbovaných fotonů do měřitelné formy. Fotografický film je
pravděpodobně nejběžnějším fotodetektorem. Obvykle se používají dva základní typy
fotodetektorů: tepelné detektory a fotoelektrické detektory:
• Tepelné detektory jsou založeny na principu přeměny energie fotonu na teplo.
Většina tepelných detektorů je však poměrně málo efektivní a relativně pomalá
následkem doby, nutné ke změně jejich teploty. Z tohoto důvodu se nehodí
pro většinu aplikací ve fotonice.
• Fotoelektrické detektory jsou založeny na fotoefektu, při kterém následkem
absorpce fotonů v určité látce dojde přímo k elektronovým přechodům na hladinu
vyšší energie a k vytvoření pohyblivých nosičů náboje. Působením elektrického
pole se tyto nosiče přemisťují a vytvářejí měřitelný elektrický proud.
V této kapitole se budeme zabývat pouze fotoelektrickými detektory.
Existují dva typy fotoelektrického jevu: vnější a vnitřní. V prvním případě se
jedná o fotoelektronovou emisi, kdy se světlem generované elektrony dostanou
z látky ven jako volné elektrony. V případě druhého procesu se jedná o fotovodivost,
kdy excitované nosiče zůstávají uvnitř látky, kterou je obvykle polovodič, a zvyšují
její vodivost.
Vnější fotoefekt: fotoelektronová emise
Jestliže je energie fotonů osvětlujících povrch látky ve vakuu dostatečně velká, může
se excitovaný elektron dostat přes potenciálovou bariéru na povrchu látky do vakua
jako volný elektron. Celý proces, nazývaný fotoelektronová emise, je znázorněn
na obr. 17.0-l(a). Foton s energií hv, dopadající na povrch kovu, uvolňuje elektron
z částečně zaplněného vodivostního pásu. Zákon zachování energie vyžaduje, aby
Volný elektron
Volný elektron
Hladina vakua.
Hladina vakua
i£
Vodivostní pás
ÍT
Foton
w
hi/
Fermiho mez.
Vodivostní pás
(a)
Obrázek 17.0-1
1
Foton
Fermiho mez
j
hv
Valenční pás
(bí
Fotoelektronová emise (a) z kovu a (6) z polovodiče.
i
w
POLOVODIČOVÉ DETEKTORY FOTONŮ
725
elektrony emitované z hladin pod Fermiho energií, kde je jich mnoho, měly nejvyšší
kinetickou energii
£,„ax = hv-W,
(17.0-1)
kde výstupní práce W vyjadřuje energetický rozdíl mezi energií elektronu ve stavu
klidu ve vakuu (hladina vakua) a Fermiho energií v látce. Rovnice (17.0-1) je známa
jako Einsteinův vztah pro fotoemisi. Nejvyšší energii, danou vztahem (17.0-1), může
elektron získat pouze tehdy, jestliže je původně na Fermiho hladině; uvolnění hlouběji
ležícího elektronu vyžaduje dodatečnou energii nutnou k dosažení Fermiho meze
a snižuje tak kinetickeu energii uvolněného elektronu. Nejnižší výstupní práce kovu
(Cs) je asi 2 eV, takže optické detektory založené na vnějším fotoelektrickém jevu
v čistých kovech jsou použitelné pouze ve viditelné a ultrafialové spektrální oblasti.
Fotoelektrická emise z polovodiče je schematicky znázorněna na obr. 17.0-1(6).
Fotoelektrony jsou obvykle uvolňovány ze silně zaplněného valenčního pásu. Obdobně
jako ve vztahu (17.0-1) platí
Em*x = hu-(Eg
+ X),
(17.0-2)
kde Eg je šířka zakázaného pásu a x J e elektronová afinita látky (energetický
rozdíl mezi hladinou vakua a dnem vodivostního pásu). Energie En + x může být
pro určité materiály až 1,4 eV (např. NaKCsSb, základ fotokatody S-20), takže
polovodičové fotoemisní detektory mohou pracovat v blízké infračervené, právě tak
jako ve viditelné a ultrafialové spektrální oblasti. Navíc byly vyvinuty polovodičové
fotokatody s negativní afinitou, ve kterých leží dno vodivostního pásu v objemu
materiálu nad hladinou vakua, takže k dosažení emise stačí, aby hv převyšovalo Eg
(na povrchu polovodiče se pásy ohýbají, takže vodivostní pás zde ve skutečnosti leží
pod hladinou vakua). Tyto detektory jsou proto citlivé do poněkud delších vlnových
délek v infračervené oblasti, vykazují zlepšenou kvantovou účinnost a snížený temný
proud. Pro blízkou infračervenou oblast jsou také vhodné fotokatody jako S-l,
sestavované z více vrstev nebo z nehomogenních materiálů.
Fotodetektory založené na fotoelektrické emisi jsou obyčejně v provedení vakuové trubice nazývané fotonka. Elektrony jsou emitovány s povrchu fotoemisního
materiálu (katody) a pohybují se k elektrodě (anodě), která je na vyšším elektrickém
potenciálu [obr. 17.0-2(a)]. Výsledkem pohybu elektronů mezi katodou a anodou je
elektrický proud v obvodu, úměrný fotonovému toku. Fotoemitované elektrony mohou dopadat na povrch dalších elektrod pokrytých kovem nebo polovodičem, na tzv.
dynody, odkud jsou procesem sekundární emise emitovány kaskády elektronů. Výsledkem je násobení původně generovaného elektrického proudu faktorem až 107.
Toto zařízení, znázorněné na obr. 17.0-2(6) se nazývá fotonásobič.
Moderním zobrazovacím prvkem, který využívá tohoto principu, je mikrokanálková destička. Sestává z milionů kapilár (s vnitřním průměrem ~ 10 /xm) ve skleněné
destičce tloušťky ~ 1 mm. Obě čela destičky jsou pokryta tenkou kovovou vrstvou,
která má funkci elektrod, na které je přiloženo napětí [obr. 17.0-2(c)]. Vnitřní stěny
každé kapiláry jsou pokryty materiálem s vysokým koeficientem sekundární emise a vytvářejí tak spojitou dynodu, která násobí fotoelektronový proud emitovaný
v daném místě [obr. 17.0-2(á)]. Lokální fotonový tok v obrazu tak může být rychle
726
POLOVODIČOVÉ DETEKTORY FOTONŮ
Fotokatoda
Fotokatoda
Kaskáda
A n o d a
elektronů
Dynody
(b)
lal
Zobrazující
fotokatoda
Kaskáda
elektronů
Kapiláry
M
Id)
Obrázek 17.0-2 (a) Fotonka. (6) Fotonásobič s polopropustnou fotokatodou. (c) Průřez
mikrokanálkovou destičkou, (d) Jednotlivá kapilára v mikrokanálkové destičce.
přeměněn na přímo měřitelný elektronový proud. Navíc může být elektronový proud
zpětně přeměněn na (zesílený) optický obraz pokrytím zadní elektrody elektroluminiscenčním materiálem. Výsledkem je zesilovač obrazu.
Vnitřní fotoefekt
Mnohé moderní fotonové detektory pracují na základě vnitřního fotoefektu, při kterém fotoexcitované nosiče (elektrony nebo díry) zůstávají uvnitř vzorku. Nejvýznamnějším vnitřním fotoefektem je fotovodivost. Fotovodivostní detektory jsou založeny
přímo na světlem indukovaném vzrůstu elektrické vodivosti, který se pozoruje téměř
na všech polovodičových materiálech. Absorpce fotonu ve vlastním polovodiči má
za následek generování volného elektronu, excitovaného z valenčního do vodivostního
pásu (obr. 17.0-3). Současně je generována díra ve valenčním pásu. Přiložení elektrického pole na materiál vede k transportu elektronů i děr materiálem a k následnému
vzniku elektrického proudu v elektrickém obvodu detektoru.
Polovodičová fotodioda jako detektor, představovaná přechodem p — n, je také
založena na vnitřním fotoefektu. Fotony absorbované v ochuzené vrstvě generují
elektrony a díry, na které působí lokální elektrické pole uvnitř vrstvy. Oba typy nosičů
driftují opačným směrem. Takovýto transport vyvolá elektrický proud ve vnějším
POLOVODIČOVÉ DETEKTORY FOTONŮ
727
Elektron
Foton
E,
s
www-*hv
Obrázek 17.0-3
-f-0
J_
Fotogenerování elektron-děrového páru v polovodiči.
obvodu.
Některé fotodetektory zahrnují vnitřní zesilovací mechanismy, takže fotoelektrický proud může být uvnitř detektoru fyzikálními procesy zesílen a signál tím snadněji
detekován. Jestliže je elektrické pole v ochuzené vrstvě fotodiody zvýšeno přiložením
dostatečně silného napětí na přechod v závěrném směru, generované elektrony a díry
mohou získat energii dostatečnou k tomu, aby v procesu nárazové ionizace uvolnily
další elektrony a díry v této vrstvě . Prvky, ve kterých se uplatňuje tento proces vnitřního zesí/emjsou známy jako lavinové fotodiody (APD -avalanche photodiodes).
Takové detektory mohou být užívány společně s laserovými zesilovači (viz kap. 13
a 16), ve kterých se optický signál zesílí již před detekcí, anebo místo nich. Každý
z těchto zesilovacích mechanismů ovšem zavádí svůj vlastní druh šumu.
Stručně shrnuto, polovodičové fotoelektrické detektory s vnitřním ziskem zahrnují následující tři základní procesy:
• Generování: Absorbované fotony generují volné nosiče.
• Transport: Přiložené elektrické pole vede k pohybu těchto nosičů, jehož výsledkem je elektrický proud v obvodu.
• Zesílení: Vysoké elektrické pole v APD dodává nosičům energii dostatečnou k tomu, aby nárazovou ionizací uvolňovaly další nosiče. Tímto vnitřním zesilovacím
procesem se zvyšuje citlivost detektoru.
Tato kapitola je věnována třem typům polovodičových detektorů: fotoodporům,
fotodiodám a lavinovým fotodiodám. Všechny jsou založeny na generování nosičů
vnitřním fotoelektrickým jevem. V odst. 17.1 je probráno několik důležitých obecných
vlastností těchto detektorů, jako je kvantová účinnost, citlivost a doba odezvy.
Vlastnosti fotoodporů jsou probrány v odst. 17.2. Funkce fotodiod a lavinových
fotodiod je popsána v odst. 17.3 a 17.4.
K tomu, abychom určili výkonnost fotodetektorů v různých aplikacích, je třeba
porozumět jejich šumovým vlastnostem, které jsou vyloženy v odst. 17.5. Existuje
několik zdrojů šumu ve výstupním obvodu fotoelektrického detektoru: fotonová
podstata samotného světla (fotonový šum), proces přeměny fotonů na fotogenerované
nosiče (fotoelektronový šum), generování sekundárních nosičů v procesu vnitřního
zesílení (šum zesilovacího procesu) a šum elektrického obvodu detektoru. V této
kapitole je zařazena stručná diskuse výkonnosti optických přijímačů; v odst. 22.4
se vrátíme k tomuto bodu ve spojení s výkonností optických vláknových sdělovacích
systémů.
728
POLOVODIČOVÉ DETEKTORY FOTONŮ
17.1
VLASTNOSTI POLOVODIČOVÝCH FOTODETEKTORŮ
Určitá základní pravidla se týkají všech polovodičových fotodetektorů. Dříve než
se budeme podrobně zabývat konkrétními detektory, které nás zajímají, vyšetříme
obecně kvantovou účinnost, citlivost a dobu odezvy fotoelektrických detektorů.
Polovodičové fotodetektory a polovodičové zdroje fotonů představují navzájem
inverzní zařízení. Detektory přeměňují dopadající fotonový tok na výstupní elektrický
proud; zdroje dosahují opaku. Stejný materiál se často používá pro přípravu obou
typů zařízení. Parametry výkonnosti detektorů, diskutované v tomto odstavci, mají
vždy své protipóly u zdrojů, které byly obsahem kap. 16.
A.
Kvantová účinnost
Kvantová účinnost fotodetektorů T) (0 < T) < 1) je definována jako pravděpodobnost, že jeden foton dopadající na čidlo generuje pár nosičů, které přispívají
k proudu detektorem. Jestliže současně dopadá mnoho fotonů, jak je tomu téměř
ve všech případech, "n je rovno poměru toku generovaných párů elektron-díra, které přispívají k proudu detektorem, k dopadajícímu toku fotonů. Všechny dopadající
fotony nevytvářejí elektron-děrové páry, protože všechny nejsou absorbovány. To je
znázorněno na obr. 17.1-1. Některé fotony prostě nejsou pohlceny v důsledku náhodné povahy absorpčního procesu (rychlost absorpce fotonů v polovodiči byla odvozena v odst. 15.2B). Jiné se mohou odrazit od povrchu detektoru a dále tak snížit
kvantovou účinnost. Navíc, některé páry elektron-díra, vytvořené v blízkosti povrchu
detektoru, rychle rekombinují kvůli velké koncentraci rekombinačních center v těchto
místech a nemohou tak přispívat k proudu detektorem. Konečně, jestliže světlo není
správně fokusováno na aktivní plochu detektoru, jsou ztraceny další fotony. Tento
případ ovšem není obsažen v definici kvantové účinnosti, neboť souvisí spíše s používáním detektoru než s jeho vnitřními vlastnostmi.
Kvantovou účinnost je tedy možno vyjádřit vztahem
Kvantová účinnost
TI =
(1
-
- exp(-arf)],
(17.1-1)
Fotony
T
Fotocitlivá oblast
Obrázek 17.1-1
7
Dopadající
I fotonový tok
Odražený
fotonový tok
Procházející
fotonový tok
Vliv absorpce na kvantovou účinnost T|.
VLASTNOSTI POLOVODIČOVÝCH FOTODETEKTORŮ
729
kde ž# je optická výkonová odrazivost povrchu, £ je faktor vyjadřující podíl párů
elektron-díra, které přispívají k proudu detektorem, a je koeficient absorpce materiálu
(cm" 1 ) diskutovaný v odstavci 15.2B a d je tloušťka fotodetektoru. Vztah (17.1-1)
je součinem tří faktorů:
• První faktor (1 — ^) představuje vliv odrazivosti na povrchu detektoru. Odrazivost může být snížena nanesením antireflexní vrstvy.
• Druhý faktor £ udává podíl elektron-děrových párů, které nezrekombinují na povrchu a přispívají k užitečnému fotoproudu. Povrchová rekombinace se dá snížit
pečlivou přípravou krystalu a jeho povrchu.
• Třetí faktor JQ e~ax dx/ J^° e~°* dx = [1 — exp(—ad)], představuje relativní
část fotonového toku absorbovaného v objemu materiálu. Detektor by měl mít
dostatečně velkou tloušťku d, aby byl tento faktor maximální.
Je třeba poznamenat, že v definici kvantové účinnosti někdy nebývá zahrnuta
odrazivost povrchu, takže je nutno ji uvažovat odděleně.
Závislost T\ na vlnové délce
Kvantová účinnost T| je funkcí vlnové délky v zásadě proto, že koeficient absorpce a
závisí na vlnové délce (viz obr. 15.2-2). Pro detekční materiály přicházející v úvahu
je T| velké vždy v určité spektrální oblasti, určené charakteristikami materiálu.
Pro dostatečně velké Ao je T\ malé, neboť k absorpci nemůže dojít, jestliže je
Ao > A9 = hco/Eg (energie fotonu potom nestačí na překonání zakázaného pásu).
Vlnová délka A9, odpovídající šířce zakázaného pásu představuje dlouhovlnnou
mez citlivosti polovodičového materiálu (viz kap. 15). Reprezentativní hodnoty Eg
a A9 vybraných vlastních polovodičů jsou na obr. 15.1-5 a 15.1-6 (viz také tab. 15.1-3).
Pro dostatečně nízké hodnoty A(, účinnost T| také klesá, neboť většina fotonů je
potom absorbována v blízkosti povrchu čidla (např. pro a = 10 4 cm - 1 je většina
světla absorbována na vzdálenosti l/a = 1 /mi). Rekombinační doba života je blízko
povrchu velmi krátká, takže fotogenerované nosiče zrekombinují dříve, než jsou
odvedeny do obvodu.
B.
Citlivost
Citlivost vyjadřuje vztah mezi elektrickým proudem, protékajícím detektorem a výkonem dopadajícího světla. Kdyby každý foton generoval jeden fotoelektron, pak by
fotonový tok $ (počet fotonů za sekundu) vytvořil elektronový tok $, odpovídající
fotoelektrickému proudu nakrátko ip — e<ř. Optický výkon P = hv<& (W) na frekvenci v by potom dával elektrický proud ip = eP/hu. Jelikož relativní podíl fotonů,
které vytvářejí fotoelektrony je T| a nikoliv jednotka, je elektrický proud dán vztahem
:
^
= »P.
(171-2)
Koeficient úměrnosti 5Fř mezi elektrickým proudem a optickým výkonem se definuje jako citlivost detektoru 3í. 3ř = ip/P se měří v jednotkách A/W a je dána
730
POLOVODIČOVÉ DETEKTORY FOTONŮ
vztahem
Citlivost fotonového
detektoru (A/W)
(17.1-3)
(A o v jim)
5R roste s Ao, neboť foto elektrické detektory jsou citlivé na fotonový tok, nikoliv
na optický výkon. Jak Ao roste, je daný optický výkon přenášen více fotony, a ty
vytvářejí více elektronů. Oblast, ve které 3? vzrůstá s Ao je ovšem omezená, jelikož
•n závisí na vlnové délce a klesá jak pro krátké, tak pro dlouhé vlny. Na tomto
místě definovanou citlivost detektoru (A/W) je důležité rozlišovat od citlivosti
luminiscenční fotodiody (W/A), definované v odstavci (16.1-25).
Citlivost se může snižovat, jestliže na detektor dopadá příliš velký optický výkon.
Je to způsobeno saturací detektoru, která omezuje lineární dynamický rozsah,
ve kterém odezva detektoru roste lineárně s dopadajícím optickým výkonem.
Řádový odhad velikosti citlivosti se dostane dosazením T| = 1 do (17.1-3), takže
3R = 1 A/W, t.j. 1 nW —> 1 nA pro A„ = 1,24 jim. Lineární růst citlivosti s vlnovou
délkou je v závislosti na hodnotě r\ znázorněn na obr. (17.1-2). Je vidět, že Sř také
roste lineárně s r\ při pevné vlnové délce Ao. Citlivost S? tepelných detektorů nezávisí
na Ao, neboť tyto detektory reagují přímo na optický výkon a nikoliv na fotonový
tok.
Čidla s vnitřním ziskem
Vztahy uvedené výše jsou založeny na předpokladu, že každý nosič přispívá nábojem e
do obvodu detektoru. Mnoho zařízení ovšem vytváří v obvodu náboj q odlišný
od e. Takováto zařízení se nazývají detektory s vnitřním ziskem. Zisk G se rovná
průměrnému počtu elektronů v obvodu, generovanému párem fotogenerovaných
1.2
1.0
0.8
0.6
O 0.4
0.2
I
0.8
I
1.0
I
1 i
1.2
Vlnová délka Ao
I
(H
1.4
J_
I
1.6
Obrázek 17.1-2 Závislost citlivosti 5ř (A/W) na vlnové délce A„ s kvantovou účinností r|
jako parametrem. 3? = 1 A/W při A„ = 1,24 fim, když je TI = 1.
VLASTNOSTI POLOVODIČOVÝCH FOTODETEKTORŮ
731
nosičů. G je třeba odlišit od T|, které se rovná pravděpodobnosti, že dopadající foton
vytvoří detekovatelný pár nosičů. Zisk, který se definuje vztahem
(17.1-4)
G= -,
e
může být, jak se v zápětí ukáže, větší nebo menší než jednotka. Obecnější výrazy
pro fotoproud a citlivost jsou tedy
9
Fotoproud
Citlivost v případě
vnitřního zisku (A/W),
(A o v
ip
-lib
— T|(
Sř-
c
Gf\e
hv
n
hv
K
-Gv
~ G T 1 1,24-
(17.1-5)
(17.1-6)
Další užitečné parametry chování fotodetektorů, jako je poměr signálu k šumu
a citlivost zařízení, musíme odložit až za rozbor šumových vlastností detektorů
v odst. 17.5.
C.
Doba odezvy
Na první pohled se zdá, že když foton vytvoří elektron-děrový pár v materiálu
fotodetektorů, náboj generovaný ve vnějším obvodu bude 2e, neboť se jedná o dva
nosiče náboje. Ve skutečnosti se generuje náboj e, jak se v dalším ukáže. Navíc
není náboj dodávaný do vnějšího obvodu pohybem nosiče v materiálu detektoru
předán okamžitě, ale v průběhu určitého časového intervalu. Vypadá to, jakoby
pohyb nabitých nosičů v materiálu vytahoval zvolna náboj z vodiče na jedné straně
prvku a strkal ho do vodiče na druhé straně, takže každý náboj procházející vnějším
obvodem je rozprostřen v čase. Tento jev je znám jako rozšíření průletové doby. Je
to důležitý faktor, omezující operační rychlost všech polovodičových fotodetektorů.
Uvažujme elektron-děrový pár generovaný (např. absorpcí fotonu) v libovolném
místě x v polovodiči šířky w, na který je přiloženo napětí V, jak je znázorněno
na obr. 17.1-3(a). Omezíme se pouze na pohyb ve směru x. Nosič s nábojem Q (díra
s nábojem Q = e nebo elektron s nábojem Q = -e), který se pohybuje rychlostí v(t)
ve směru x vytvoří ve vnějším obvodu proud daný vztahem
Ramoův vztah
(17.1-7)
Tento důležitý vztah, nazývaný Ramoův teorém, je možno dokázat propočtem
energie. Jestliže náboj urazí vzdálenost da; za čas dí vlivem elektrického pole velikosti
E = V/w, je vykonaná práce —QEdx = —Q{V/w)dx. Tato práce se musí rovnat
energii dodávané vnějším obvodem i(t)V dt. Takže platí i(í)Vdí = —Q(V/w)dx,
z čehož plyne i(t) = —(Q/w)(dx/dt) = -(Q/w)v(t), jak bylo uvedeno.
732
POLOVODIČOVÉ DETEKTORY FOTONŮ
Ut)
1
1
v
Ut)
ev/,lw evelw
Ut)
(w-x)/ve
(w-x)/ve
x v
lk
(a)
(b)
Obrázek 17.1-3 (a) Elektron-děrový pár je generován v místě z. Díra se pohybuje doleva
rychlostí V)L a elektron doprava rychlostí ve. Proces končí, když nosiče dospějí na okraj
materiálu. (6) Děrový proud i}L(t), elektronový proud ie{t) a celkový proud i(t) vyvolaný
v obvodu. Celkový náboj v obvodu je e.
Jestliže se jedná o rovnoměrně rozložený náboj s hustotou g místo jednoho
bodového náboje Q, je celkový náboj gAw, kde A je plocha průřezu vzorku, takže
vztah (17.1-7) dává i(t) = -(gAw/w)v{t) = -gAv(t), z čehož dostaneme hustotu
proudu ve směru x jako: J(t) = -i(t)/A = gv(t).
V elektrickém poli E driftuje v polovodiči nosič náboje se střední rychlostí
v = fiE,
(17.1-8)
kde n je pohyblivost nosiče. Takže J = aE, kde a — fig je vodivost.
Předpokládáme-li, že díra se pohybuje s konstantní rychlostí v/, směrem doleva
a elektron se pohybuje s konstantní rychlostí ve doprava, bude podle (17.1-7) děrový
proud i),. = —e{—vu)/w a elektronový proud ie = —(—e)ve/w, jak je znázorněno
na obr. 17.1-3(6). Každý nosič přispívá k proudu, pokud se pohybuje. Jestliže nosiče
pokračují ve svém pohybu dokud nedosáhnou okraje vzorku, díra se pohybuje po dobu
x/vh a elektron po dobu (w - x)/ve [viz obr. 17.1-3(a)]. V polovodičích je obecně vc
větší než v/,, takže celkové rozšíření průletové doby činí x/vi,.
Celkový náboj q indukovaný ve vnějším obvodu se rovná součtu plochy pod ic
a pod i;,
v x
v w- x
X
W — X
q =e h
1- e e
=e
w
w
W Vh
W
V
e
jak bylo uvedeno. Výsledek nezávisí na souřadnici místa x, kde je elektron-děrový
pár vytvořen.
Jak je vidět z obr. 17.1-4, je rozšíření průletové doby dokonce ještě výraznější, jestliže jsou elektron-děrové páry generovány v materiálu rovnoměrně. Celkové
FOTOODPORY
Ne(ve+vh)/w
Nevjw
0
\
+
Nevhlw
=
\
NeVh/w
\
WVL
I
733
0
wv.
í
0
WV.
WVL.
1
Obrázek 17.1-4 Děrový proud ih(t), elektronový proud ie(t) a celkový proud i(t) indukovaný v obvodu elektron-dérovými páry, generovanými N fotony, rovnoměrně rozloženými
mezi 0 a w (viz úloha 17.1-4). Výběžek v celkovém proudu je způsoben pohybem děr.
Na i(t) je možno pohlížet jako na funkci impulsové odezvy (viz dodatek B) rovnoměrně
osvětleného detektoru, ve kterém dochází k rozšíření průletové doby.
rozšíření průletové doby je pro ví, < ve rovno w/vi,., nikoliv x/vu- Je to proto, že
rovnoměrné osvětlení vytváří páry nosičů všude, včetně místa x — w, odkud musí
díry urazit největší vzdálenost, aby mohly rekombinovat v místě x = 0.
Jiné omezení rychlosti odezvy detektoru představuje časová konstanta RC, daná
odporem R a kapacitou C fotodetektoru a jeho obvodu. Kombinace odporu a kapacity
vede k integraci proudu na výstupu detektoru a tím k prodloužení funkce impulsové
odezvy. Funkce impulsové odezvy je v případě rozšíření doby průletem a současně
časovou konstantou RC určena konvolucí i(t) na obr. 17.1-4 s exponenciální funkcí
(1/RC) exp(—t/RC) (viz dodatek B, odst. B.l). Různé typy fotodetektoru mají další
specifická omezení rychlosti odezvy; těmi se budeme zabývat na příslušném místě
výkladu.
Závěrem poznamenejme, že fotodetektory z určitého materiálu a dané struktury
vykazují často konstantní součin zisku a šířky pásma. Zvýšení zisku má za následek
pokles šířky pásma a naopak. Tato vzájemná souvislost mezi citlivostí a frekvenční
odezvou má původ v době, potřebné k rozvinutí procesu zesílení.
17.2
FOTOODPORY
Při absorbci fotonů v polovodiči dochází ke generování pohyblivých nosičů náboje
(elektron-děrového páru na každý absorbovaný foton). Elektrická vodivost materiálu
stoupá úměrně s fotonovým tokem. Elektrické pole vnějšího zdroje napětí, přiložené
na materiál, způsobí transport elektronů a děr. To vede k měřitelnému proudu
v obvodu, jak je znázorněno na obr. 17.2-1. Fotoodporové detektory pracují tak,
že zaznamenávají buď fotoelektrický proud ip, úměrný fotonovému toku $, nebo
pokles napětí na zatěžovacím odporu R zapojeném v sérii s detektorem.
Polovodičový materiál mívá tvar destičky nebo tenké vrstvy. Přívodní kontakty,
anoda i katoda, jsou často umístěny na stejném povrchu materiálu a mají hřebenovité
uspořádání, aby byla osvětlena co největší plocha fotovodiče při zachování minimální
průletové doby (viz obr. 17.2-1). Jestliže má materiál podložky dostatečnou šířku
zakázaného pásu (aby neabsorboval), může světlo dopadat také ze spodní strany
detekční struktury.
Vzrůst vodivosti vyvolaný fotonovým tokem $ (foton za sekundu), osvětlujícím
v polovodiči objem wA (viz obr. 17.2-1), lze vypočítat následovně. Část T| dopadajícího fotonového toku je absorbována, a vede ke vzniku nadbytečných elektron-děrových
734
POLOVODIČOVÉ DETEKTORY FOTONŮ
Elektrody.
Obrázek 17.2-1 Fotoodporový detektor. Fotogenerované páry nosičů se pohybují vlivem
přiloženého napětí V a vytvářejí fotoproud ip úměrný dopadajícímu fotonovému toku.
Znázorněná struktura prolínajících se elektrod je navržena tak, aby propustila maximum
světla na polovodič a detektor měl současně co největší frekvenční šířku pásma (minimalizovanou průletovou dobu).
párů. Rychlost vytváření párů R (v jednotce objemu) je tedy R = r$>/wA. Jestliže T značí dobu života nadbytečných nosičů, potom se elektrony ztrácejí s rychlostí
An/r, kde An je koncentrace fotoelektronů (viz kap. 15). V ustáleném stavu jsou
obě rychlosti stejné, (R = ATI/T), takže An = iyr$/wA. Vzrůst koncentrace nosičů
náboje vede k růstu vodivosti podle vztahu
(17.2-1)
kde nc je elektronová a nu děrová pohyblivost. Zvýšení vodivosti je tedy úměrné
fotonovému toku.
Jelikož je hustota fotoelektrického proudu rovna Jp = AaE, vc = /j,cE a v>,. =
= fii,.E, kde E je elektrické pole, vztah (17.2-1) dává Jp — [er|T(vc + V),)/wA]$, což
odpovídá elektrickému proudu ip = AJV = [et|T(vc + v;,)/w]$. Je-li v/, < vc a r c =
= w/ve, platí
iv w er|—<p.
(17.2-2)
Jak uvádíme dále, odpovídá poměr T/TC V (17.2-2) zisku fotodetektoru G = T/TC
v (17.1-5).
Zisk
Citlivost fotoodporu je dána vztahem (17.1-6). Detektor vykazuje vnitřní zisk, který
je, jednoduše řečeno, výsledkem rozdílných hodnot rekombinační a průletové doby.
Předpokládejme, že se elektrony pohybují rychleji než díry (viz obr. 17.2-1) a že
rekombinační doba je velmi dlouhá. Jelikož elektrony a díry se přemisťují na opačné
strany fotoodporu, urazí elektron svou dráhu dříve než díra. Požadavek spojitosti
FOTOODPORY
735
proudu přinutí vnější obvod dodat okamžitě jiný elektron, vstupující do prvku
z přívodu na levé straně. Nový elektron se pohybuje rychle doprava a opět urazí
svou dráhu dříve, než se díra dostane na levou stranu čidla. Tento proces pokračuje
tak dlouho, až elektron rekombinuje s dírou. Absorpce jednoho fotonu tak může vést
k tomu, že elektron projde vnějším obvodem několikrát. Je možno očekávat, že počet
průchodů elektronu do skončení celého procesu bude
G = L,
(17.2-3)
'e
kde T je doba rekombinace nadbytečných nosičů náboje a re = w/ve je průletová
doba elektronu vzorkem. Náboj dodaný do obvodu jediným elektron-děrovým párem
je v tomto případě q — Ge > e, takže prvek vykazuje vnitřní zisk.
Doba rekombinace nadbytečných nosičů může být ovšem značně krátká, takže
nosiče rekombinují dříve než dosáhnou okraje materiálu. To může nastat, když je
pro rekombinaci k dispozici dostatek nosičů opačného typu. V tom případě je r < re
a zisk je menší než jedna, takže nosiče přispívají do obvodu v průměru pouze zlomkem
elektronového náboje e. Náboj se samozřejmě zachovává a množství existujících párů
nosičů dodává do obvodu celočíselný počet nábojů elektronu.
Zisk fotoodporu G = T/TC je možno si představit jako poměr průměrné vzdálenosti, kterou proběhne excitovaný nosič než dojde k jeho rekombinaci, k délce vzorku.
Průletová doba TC závisí na rozměrech prvku a na přiloženém napětí vztahem (17.1-8);
typické hodnoty w = 1 mm a ve = 107 cm/s dávají re ~ 10~8 s. Rekombinační doba T
může být v závislosti na polovodičovém materiálu a na jeho dotování [viz (15.1-17)]
v rozmezí od 10~13s do několika sekund. Zisk G tak může nabývat hodnot menších
i větších než jedna ve velmi širokém intervalu, v závislosti na parametrech materiálu,
rozměrech detekčního prvku a na přiloženém napětí. Zisk fotoodporu nemůže být
v zásadě větší než 106 následkem omezení, která jsou způsobena proudy omezenými
prostorovým nábojem, nárazovou ionizací a dielektrickým průrazem.
Spektrální odezva
Spektrální citlivost fotoodporu je v podstatě určována závislostí r\ na vlnové délce, jak
jsme viděli v odst. 17.1A. Různé vlastní polovodiče mají odlišnou dlouhovlnnou mez,
jak vyplývá z kap. 15. Užívají se též ternární nebo kvaternární polovodiče. Detektory
na principu fotoodporů, využívající mezipásových přechodů, mohou na rozdíl od detektorů založených na vnější fotoemisi pracovat daleko do infračervené oblasti. Užití
detektorů na vlnových délkách větších než asi 2 /jm ovšem vyžaduje chlazení čidla,
Tabulka 17.2-1
Vybrané nevlastní polovodičové materiály, jejich aktivační energie a dlouhovlnná mez
Polovodič : dotující atom
Ge:Hg
Ge:Cu
Ge:Zn
Ge:B
Si:B
EA
(eV)
0,088
0,041
0,033
0,010
0,044
\A
(/xm)
14
30
38
124
28
736
POLOVODIČOVÉ DETEKTORY FOTONŮ
aby se v těchto materiálech s úzkým zakázaným pásem co nejvíce omezila tepelná
excitace elektronů do vodivostního pásu.
V ještě dlouhovlnnější oblasti je možno využít k detekci nevlastní fotovodiče. Nevlastní fotovodivost využívá přechody na hladiny energie ležící v zakázaném pásu.
Dochází k ní, když foton interaguje s elektronem vázaným na donor a vytváří volný
elektron a vázanou díru [nebo naopak, když interaguje s dírou vázanou na akceptor
a vytváří volnou díru a vázaný elektron, jak je znázorněno na obr. 15.2-l(fc)]. Hladiny donorů a akceptorů v zakázaném pásu dotovaného polovodiče mohou mít velmi
nízké aktivační energie EA- V takovém případě činí dlouhovlnná mez A ,4 — KCOJEATyto detektory musí být chlazeny, aby se zamezilo teplotní excitaci; často se chladí
na teplotu 4 K kapalným heliem. Vybrané hodnoty EA a A^ jsou uvedeny pro některé
nevlastní polovodičové materiály v tab. 17.2-1.
Spektrální průběh citlivosti několika nevlastních fotoodporových detektorů je
na obr. 17.2-2. Citlivost stoupá téměř lineárně s Ao v souladu s (17.1-6), dosahuje
maxima při hodnotě mírně pod dlouhovlnnou mezí A ,4 a potom rychle klesá. Kvantová
účinnost těchto detektorů může být dosti vysoká (např. r\ w 0,5 pro Ge:Cu), ačkoliv
zisk bývá za normálních pracovních podmínek nízký (např. G ss 0,03 pro Ge:Hg).
Doba odezvy
Doba odezvy fotoodporu je ovšem omezena průletovou dobou a časovou konstantou
RC obvodu, jak bylo uvedeno v odst. 17.ÍC. Doba odezvy daná transportem nosičů
se přibližně rovná době rekombinace T, takže frekvenční šířka pásma B je nepřímo
úměrná T. Jelikož zisk G je podle (17.2-3) úměrný T, prodloužení r zvyšuje zisk, což
je příznivé, ovšem také snižuje šířku pásma, což je nežádoucí. Součin zisku a šířky
pásma GB je tak zhruba nezávislý na T a dosahuje typicky hodnot až a; 10°.
17.3
A.
FOTODIODY
Fotodioda p-n
tlivost
Jako v případě fotoodporu je i funkce fotodiod založena na fotogenerovaných nosičích
náboje. Fotodioda je tvořena přechodem p-n (viz odst. 15.1E), jehož závěrný proud
Ge:H(>.
-v
>
\^~\
III
Kelat ivni
u
/
2
/
yf\
, /
)S \ 1 1 1 VH 1
4
10
'
1
Ge:Zn
\
\
i i
20
i
40
.
Vlnová délka Ao (/im)
Obrázek 17.2-2 Relativní citlivost v závislosti na vlnové délce \o (^ni) pro tři nevlastní
Ge dotované infračervené fotoodporové detektory.
FOTODIODY
737
stoupá, když dochází k absorpci fotonů. Ačkoliv jsou fotodiody p — n nebo p — i — n
rychlejší než fotoodpory, nevykazují zisk.
Uvažujme osvětlený p—n přechod s napětím přiloženým v závěrném směru podle
obr. 17.3-1. Fotony jsou všude absorbovány s absorpčním koeficientem a. Kdekoliv
se absorbuje foton, je generován elektron-děrový pár. Ovšem pouze tam, kde existuje
elektrické pole, mohou být transportovány nosiče náboje v určitém směru. Jelikož je
elektrické pole v přechodu p — n pouze v oblasti ochuzené vrstvy, je třeba generovat
nosiče právě zde.
Existují v zásadě tři oblasti, kde je možno generovat elektron-děrové páry:
• Elektrony a díry generované v ochuzené vrstvě (oblast 1) driftují působením
elektrického pole rychle v opačných směrech. Jelikož elektrické pole míří vždy
ve směru n — p, elektrony se pohybují na stranu n a díry na stranu p. Fotoproud
ve vnějším obvodu proto teče vždy v závěrném směru (z n do p oblasti). Každý
pár nosičů generuje ve vnějším obvodu elektrický proudový impuls o ploše e
(G = 1), neboť v ochuzené vrstvě nedochází k rekombinaci.
• Elektrony a díry generované daleko od ochuzené vrstvy (oblast 3) nemohou
být transportovány, neboť zde není elektrické pole. Náhodně putují, dokud
neanihilují rekombinaci. Nepřispívají k proudu ve vnějším obvodu.
• Elektron-děrové páry generované mimo ochuzenou vrstvu, ovšem v její blízkosti
(oblast 2), se mohou do této oblasti dostat náhodnou difúzí. Elektron přicházející
ze strany p je rychle transportován přes přechod a přispívá tak nábojem e
do vnějšího obvodu. Díra přicházející z oblasti n působí obdobně.
Fotodiody se vyrábějí z mnoha polovodičových materiálů uvedených v tabulce
15.1-3 a také z terciárních nebo kvaternárních sloučenin jako InGaAs a InGaAsP.
často jsou konstruovány tak, že světlo dopadá na přechod p — n kolmo, nikoliv
rovnoběžně. Dodatečný difuzní proud nosičů v ochuzené oblasti v takovém případě
zvyšuje T|, tento efekt je však kompenzován zmenšenou tloušťkou materiálu, což
naopak vede ke snížení r\.
Fotony
3
i
ď
J©
f
p
2
i
2
3
V
_ 7 tó
\r
/V©
n
Elektrické pole
E
Obrázek 17.3-1 Fotony osvětlený idealizovaný přechod p — n s napětím v závěrném
směru. 1 - driftová oblast, 2 - difuzní oblast.
738
POLOVODIČOVÉ DETEKTORY FOTONŮ
1
*=o-
T.
Obrázek 17.3-2
Typická fotodioda a její závislost proudu i na napětí V.
Doba odezvy
Jak vyplývá z rozboru v odst. 17.1C, průletová doba nosičů driftujících skrz ochuzenou vrstvu (wd/ve pro elektrony, w^/vi, pro díry) a časová konstanta RC obvodu se
projeví na době odezvy fotodiody. Výsledný proud obvodem je pro elektron-děrový
pár generovaný v místě z znázorněn na obr. 17.1-3(6) a pro rovnoměrné generování
elektron-děrových párů na obr. 17.1-4.
Ve fotodiodách se objevuje navíc další příspěvek k době odezvy, pocházející
z difúze. Nosiče generované mimo ochuzenou vrstvu, ale dostatečně blízko ní, potřebují určitý čas, aby se do ní difúzí dostaly. Ve srovnání s driftem to je poměrně
pomalý proces. Maximální doby, které jsou pro tento proces k dispozici, jsou ovšem
doby života fotonosičů (TP pro elektrony v p oblasti a r„ pro díry v n oblasti). Jak
se ukáže v dalším výkladu, vliv difuzni doby je možno snížit použitím diody typu
p — i — n.
Fotodiody jsou nicméně rychlejší než fotoodpory, neboť silné pole v ochuzené
oblasti dodává fotogenerovaným nosičům velkou rychlost. Navíc nejsou ovlivněny
mnoha záchytnými procesy, vyskytujícími se ve fotoodporech.
Vp[fvp2
WWWr**
•i
4-2
Obrázek 17.3-3
Fotodioda v zapojení naprázdno.
FOTODIODY
739
iMMMr*- ¥
<l>=0
<t>2
Obrázek 17.3-4
Zapojení fotodiody nakrátko.
Zapojení
Jako elektronická součástka má fotodioda závislost proudu i na napětí V vyjádřenu
vztahem
ilustrovaným na obr. 17.3-2. Ten popisuje obvyklou závislost i na V přechodu p — n
[viz (15.1-24)], ke které je přidán fotoproud —ip, úměrný fotonovému toku.
Fotodiodu je možno zapojit třemi klasickými způsoby: naprázdno (fotonapěťové zapojení), nakrátko a v závěrném směru (fotovodivostní zapojení). V zapojení
naprázdno (obr. 17.3-3) generuje světlo v ochuzené vrstvě elektron-děrové páry. Nadbytečné elektrony uvolněné na straně vrstvy n rekombinují s dírami na straně p a naopak. Výsledkem je nárůst elektrického pole, které vede k fotonapětí Vv na detektoru,
rostoucímu s růstem fotonového toku. Tak se zapojují na příklad sluneční články.
(a)
Obrázek 17.3-5 (a) Zapojení fotodiody v závěrném směru bez zatěžovacího odporu
a (b) se zatěžovacím odporem. Pracovní bod leží na čárkované přímce.
740
POLOVODIČOVÉ DETEKTORY FOTONŮ
Citlivost fotovoltaické fotodiody se v tom případě udává ve V/W, místo v A/W. Zapojení nakrátko (V = 0) je znázorněno na obr. 17.3-4. Proud nakrátko je dán prostě
fotoproudem ip. Konečně, napětí k fotodiodě může být připojeno v závěrném směru, neboli ve „fotovodivostním" zapojení podle obr. 17.3-5(a). Jestliže je do obvodu
sériově zařazen zatěžovací odpor, dostaneme provozní podmínky podle obr. 17.3-5(6).
Na fotodiody se obvykle přikládá velké závěrné napětí z následujících důvodů:
• Velké závěrné napětí vytváří silné elektrické pole v přechodu, které zvětšuje
driftovou rychlost nosičů a tím zkracuje průletovou dobu.
• Velké závěrné napětí zvětšuje šířku ochuzené vrstvy, čímž redukuje kapacitu
přechodu a zlepšuje časovou odezvu.
• Zvětšená šířka ochuzené vrstvy znamená větší fotocitlivou plochu, což umožňuje
zachytit více světla.
B.
Fotodioda p-i-n
Fotodioda p — i — n má jako detektor řadu předností oproti fotodiodě p — n. Dioda
p — i — n je tvořena přechodem p — n, který má vrstvu s vlastní vodivostí (obvykle
slabě dotovanou), uzavřenou mezi vrstvy p a n (viz odst. 15.1E). Může být zapojena
různými způsoby, jak bylo vysvětleno v předcházejícím odstavci. Na obr. 17.3-6 je
průběh energie, rozložení náboje a elektrické pole při zapojení v závěrném směru.
Takováto struktura slouží k rozšíření oblasti s elektrickým polem, vlastně k rozšíření
ochuzené vrstvy.
Fotodiody s p — i — n strukturou mají následující přednosti:
• Rozšíření ochuzené vrstvy součástky (ve které se generované nosiče pohybují
driftem) zvětšuje plochu, která slouží k zachycování světla.
• Rozšíření ochuzené vrstvy redukuje kapacitu přechodu a tím i časovou konstantu
RC. Na druhé straně se šířkou ochuzené vrstvy roste průletová doba.
^^
n
i
p
Energie
elektronu
Hustota
nepohyblivých
nábojů
Elektrické
pole
•n
z
-y
X
Obrázek 17.3-6 Struktura fotodiody p — i — n, průběh energie elektronu, rozdělení
náboje a elektrického pole. Světlo může dopadat na detektor kolmo nebo rovnoběžně
s přechodem.
FOTODIODY
741
• Snížení poměru mezi délkou difúze a délkou driftu v součástce vede k většímu
podílu té složky fotogenerovaného proudu, dané rychlejším procesem driftu.
Dosažitelné doby časové odezvy v desítkách ps odpovídají frekvenční šířce
pásma ss 50GHz. Na obr. 17.3-7 je citlivost dvou komerčně dostupných křemíkových
fotodiod p — i — n ve srovnání s ideální diodou. Všimněte si, že maximum citlivosti
nastane pro vlnové délky podstatně kratší, než je vlnová délka odpovídající šířce
zakázaného pásu polovodiče. Důvodem je to, že křemík je materiál s nepřímou
absorpční hranou. K intenzivním přechodům s absorpcí fotonu vlastně dochází až
mezi valenčním pásem a těmi stavy ve vodivostním pásu, které leží dosti vysoko
nade dnem vodivostního pásu (viz obr. 15.2-8).
C. Fotodiody s heterostrukturou
Fotodiody s heterostrukturou, tvořené ze dvou polovodičových materiálů s různou
šířkou zakázaného pásu, mohou vykázat přednosti ve srovnání s přechody p — n
vyrobenými z jednoho materiálu. Heteropřechody obsahující materiál s velkou šířkou
zakázaného pásu (Eg > hv) mohou využít například jeho propustnosti k tomu, aby
minimalizovaly optickou absorpci mimo ochuzenou oblast. Materiál s velkou šířkou
zakázané zóny se potom nazývá okénkem. Použití různých materiálů také poskytuje
větší míruflexibilityv parametrech součástek. Za zmínku stojí zvláště těchto několik
materiálů (viz obr. 15.1-5 a 15.1-6):
• Al^Gai-^As/GaAs (mřížka AlGaAs je přizpůsobena mřížce substrátu GaAs)
se hodí pro oblast vlnových délek 0,7 až 0,87 /zm.
• Ino.53Gao.47As/InP pracuje na 1,65/mi v blízké infračervené oblasti (Eg =
0,75 eV). Typické hodnoty citlivosti a kvantové účinnosti detektorů vyrobených
z tohoto materiálu jsou 5ř « 0,7 A/W a T) = 0,75. Vlnová délka odpovídající
zakázanému pásu může být změnou složení naladěna do oblasti 1,3 — 1,6/mi,
důležité pro optické vláknové spoje.
1.0
Ideální křemíková
fotodioda
0.8 —
Citl IVO
4-»
VI
'
i
i Typické křemík
i
/
i
0.6
y^
i
0.4
\
0.2 Si
^r
i
/ / /
/
f
i
1
0.5
i
ii
Vlnová délka
1
X\
i y\
1.0
. fotodiody
/
•
.
•
I
,
1.5
Ao ( H
Obrázek 17.3-7 Citlivost v závislosti na vlnové délce
fotodiodu a dvě komerční křemíkové fotodiody p — i — n.
pro ideální křemíkovou
742
POLOVODIČOVÉ DETEKTORY FOTONŮ
je materiál velmi užitečný pro střední infračervenou oblast
spektra. Je to díky tomu, že HgTe i CdTe mají téměř shodnou mřížkovou
konstantu a mohou tedy vytvářet směsné krystaly libovolného složení. Na tomto
materiálu je možno složením ladit šířku zakázaného pásu ve spektrální oblasti
od 3 do 17 /im.
• Zvláštní pozornost zaslouží kvaternární materiály jako Ini_ I Ga x Asi_yP 3 ,/InP
a Gai_ x Al x As^Sbi-y/GaSb, které se hodí pro oblast 0,92 až 1,7 /xm, neboť čtvrtý
prvek přináší další stupeň volnosti, díky kterému je možno dosáhnout souladu
mřížkových konstant při různých, složením určených hodnotách Eg.
Fotodiody se Schottkyho kontaktem
Fotodiody kov-polovodič (nazývané též fotodiody se Schottkyho kontaktem)
jsou tvořeny heteropřechodem kov-polovodič. Místo oblasti typu p (nebo typu n) fotodiody s přechodem p—nse použije tenká poloprůhledná kovová vrstva. Tenká vrstva
je někdy tvořena sloučeninou kovu s polovodičem, která se chová jako kov. Struktura
se Schottkyho kontaktem a její pásové schéma jsou znázorněny na obr. 17.3-8.
Fotodiody se Schottkyho kontaktem jsou užitečné z několika důvodů:
• Všechny polovodiče nelze připravit jako typ p i typ n. Na těchto materiálech jsou
Schottkyho součástky obzvláště zajímavé.
• Polovodiče používané pro detekci viditelného a ultrafialového záření, kdy energie
fotonů značně přesahuje šířku pásu zakázaných energií, mají vysoký absorpční
koeficient. To vede k silné povrchové rekombinaci a ke snížení kvantové účinnosti.
V přechodu kov-polovodič je bezprostředně pod kontaktem ochuzená vrstva,
vylučující povrchovou rekombinaci.
• Rychlost odezvy fotodiod s přechodem p — n a p — i — n je částečně omezována
pomalým difuzním proudem, spojeným s fotogenerovanými nosiči, vytvořenými
v těsné blízkosti mimo ochuzenou vrstvu. Jednou z možností, jak snížit tuto
w-x
w
•Je
-*Q>\_^^
•Ev
Polovodič
(a)
Ib)
Obrázek 17.3-8 (a) Struktura a (b) energetické pasové schéma fotodiody se Schottkyho
kontaktem, vytvořené nanesením kovu na polovodič typu n. Tyto fotodetektory jsou
citlivé na fotony s energií větší než je výška Schottkyho bariéry, hv > W — x- Schottkyho
fotodiody je možno připravit z mnoha materiálů, jako je Au na Si typu n (citlivé
ve viditelné oblasti) nebo silicid platiny (PtSi) na Si typu p (citlivé ve spektrální oblasti
sahající od blízké ultrafialové až po infračervenou).
FOTODIODY
743
nežádoucí absorpci, je snížit tloušťku jedné z vrstev přechodu. Toho je ovšem
třeba dosáhnout, aniž by se podstatně zvýšil sériový odpor součástky, neboť jeho zvýšení má za nežádoucí následek pokles rychlosti v důsledku vzrůstu časové
konstanty RC. Součástka se Schottkyho bariérou toho dosáhne díky nízkému
odporu kovu. Struktury se Schottkyho kontaktem jsou navíc součástkami pracujícími s majoritními nosiči a je jim proto vlastní rychlá odezva a velká frekvenční
šířka pásma. Snadno lze dosáhnout časové odezvy v oblasti pikosekund, odpovídající šířce pásma « 100 GHz.
Reprezentativní hodnoty kvantové účinnosti pro detektory se Schottkyho kontaktem a fotodiody p — i — n jsou uvedeny na obr. 17.3-9; T| se pro pečlivě připravené
Si součástky s antireflexní vrstvou může blížit jednotce.
D.
Matice detektorů
Jednotlivý fotodetektor zaznamenává dopadající fotonový tok jako funkci času.
Matice obsahující velký počet fotodetektorů může naopak současně zaznamenávat
fotonové toky (jako funkce času) v mnoha bodech prostoru. Takové detektory tedy
dovolují vytvořit elektronickou verzi optického obrazu. Jeden typ takového detektoru,
mikrokanálková destička, již byl popsán [viz obr. 17.0-2(c)].
Moderní mikroelektronické technologie umožňují vyrábět další typy matic, obsahujících velké počty jednotlivých polovodičových fotodetektorů, nazývaných z an1.0
Au-Si
0.8
InSb
0.6
Ag-ZnS
O 0.4
c
0.2
0.1
0.2
0.4
0.6 0.8 1
Vlnová délka
2
(H
6
8 10
Obrázek 17.3-9 Kvantová účinnost T) několika fotodiod v závislosti na vlnové délce Ao ( ^ m ) . Fotodiody p — i — n z Si lze vyrábět s téměř jednotkovou kvantovou účinností,
jestliže je na povrchu součástky nanesena antireflexní vrstva. Optimální citlivost ternárních a kvaternárních fotodetektorů p — i — n je možno naladit na požadovanou vlnovou
délku jejich složením (je zobrazena kvantová účinnost InGaAs v určitém rozsahu vlnových
délek). Dlouhovlnné fotodetektory (např. InSb) musí být chlazeny, aby se minimalizovala
tepelná excitace. (Převzato z S. M. Sze, Physics of Semiconductor Devices, Wiley, New
York, 2. vyd. 1981.)
744
POLOVODIČOVÉ DETEKTORY FOTONŮ
Odečítací obvod
fa)
- Řada pixelů
Přenosová brána CCD
Světelné
stínění
-SiO2
-Uzávěr kanálu
Ochranný kruh
Vnořený kanál CCD
Obrázek 17.3-10 (a) Rohový úsek matice 160 x 244 PtSi/Si fotodiod se Schottkyho
bariérou. Každý pixel má rozměry 40 pm x 80 jim. Částečně jsou vidět odečítací obvody.
(Otištěno se svolením W. F. Kosonocky.) (6) Průřez jednotlivým pixelem v radě CCD.
Světelné stínění zabraňuje generaci fotonosičů v přenosovém hradle CCD a ve vnořeném
kanálu. Ochranný kruh minimalizuje špičky temného proudu a uzávěr kanálu omezuje
náboj odpovídající signálu v bočním směru. (Převzato z B.-Y. Tsaur, C. K. Chen
a J. P. Mattia: PtSi Schottky-Barrier Focal Plane Arrays for Multispectral Imaging
in Ultraviolet, Visible and Infrared Spectral Bands. IEEE Electron Device Letters, vol. 11,
str. 162-164, 1990, copyright © IEEE.)
gličtiny převzatým slovem pixely. Na obr. 17.3-10 je příklad matice téměř 40000 miniaturních fotodiod se Schottkyho kontaktem PtSi na typu p Si. Detektor je citlivý
v širokém spektrálním pásmu, od blízké ultrafialové oblasti do zhruba 6 jum v infračervené oblasti, což odpovídá výšce Schottkyho bariéry asi 0,2 eV. Kvantová účinnost
•n se pohybuje v ultrafialové a viditelné oblasti (od Ao = 290 nm do asi 900 nm),
ve které energie fotonu převyšuje šířku zakázaného pásu Si, mezi 35% a 60%. Na
těchto vlnových délkách vytváří světlo, prošlé vrstvou PtSi, v materiálu Si množství
elektron-děrových párů (to je znázorněno na obr. 17.3-8(6) pro Schottkyho kontakt
FOTODIODY
745
s polovodičem typu n ). Pro delší vlnové délky, odpovídající energiím fotonů nižším
než je šířka zakázaného pásu křemíku, fotogenerované páry vznikají absorpcí ve vrstvě PtSi a T| zvolna klesá z hodnoty asi 3% při 1,5 /im na asi 0,02% při 6/mi. Kvůli
nízké výšce Schottkyho bariéry musí být matice na všech vlnových délkách chlazena
na 77 K. Podobné matice byly nedávno připraveny z PtSi na Si typu n; ty mají vyšší
bariéru a mohou proto pracovat bez chlazení, jsou však citlivé pouze v ultrafialové
a viditelné části spektra. Běžně se též užívají detektory s vrstvou IrSi.
Vlivem osvětlení se nosiče s dostatečnou energií (díry v případě typu p) dostanou
přes Schottkyho bariéru do Si. Zbývající záporný náboj (úměrný počtu fotonů absorbovaných v daném pixelu) se akumuluje na PtSi elektrodě. Elektronická část detekčního procesu se završí přenesením záporného náboje z PtSi elektrody do nábojově
vázaných obvodů (CCD - charge-coupled-device), sloužících jako odečítací struktury. Přenosové hradlo CCD [obr. 17.3-10(6)] zajišťuje, aby se náboj v určeném čase
přenesl do vnořeného kanálu CCD. Do této doby již bylo vyvinuto mnoho různých
struktur elektrod a taktovacich schémat pro periodické odečítání náboje akumulovaného každým pixelem, které tak vytvářejí tok elektronických dat, představujících
obraz.
Multispektrální zobrazovací schopnosti CCD matice detektorů se Schottkyho
kontaktem podobné matici popsané výše jsou ilustrovány na obr. 17.3-11. Je zobrazeno záření šálku kávy částečně naplněného teplou vodou, soustředěné čočkou na matici
detektorů. V levé části obrázku je infračervené zobrazení (v rozsahu vlnových délek
od 3 do 5/mi), kdežto vpravo je obraz ve viditelném světle, získaný při pokojovém
osvětlení na vlnových délkách kratších než ss 2 /mi. Infračervený obraz jasně ukazuje,
že vršek šálku a jeho ouško jsou chladnější než zbytek. Fotocitlivými prvky v CCD
matici nemusí být pouze diody se Schottkyho kontaktem; užívají se též fotodiody
(a)
<b)
Obrázek 17.3-11 (a) Infračervený a (6) viditelný obraz šálku kávy částečně naplněného
teplou vodou, získaný detektorem tvořeným CCD maticí 160 x 244 prvků PtSi/Si
se Schottkyho kontaktem chlazeným na pracovní teplotu 77 K a umístěným v ohniskové
rovině. (Převzato z B.-Y. Tsaur, C. K. Chen a J. P. Mattia: PtSi Schottky-Bariier Focal
Plane Arrays for Multispectral Imaging in Ultraviolet, Visible and Infrared Spectral
Bands, IEEE Electron Device Letters, vol. 11, str. 162-164, 1990, copyright © IEEE.)
746
POLOVODIČOVÉ DETEKTORY FOTONŮ
17.4
LAVINOVÉ FOTODIODY
Lavinová fotodioda (APD - avalanche photodiode) přeměňuje každý detekovaný
foton na kaskádu pohybujících se párů nosičů. Slabý světelný signál tak vytvoří dostatečný proud, který lze snadno zaznamenat elektronickým systémem následujícím
za APD. Čidlo je tvořeno fotodiodou, na kterou je přiloženo vysoké závěrné napětí, takže v přechodu existuje silné elektrické pole; nosiče náboje jsou urychlovány
a získávají energii, postačující k excitaci nových nosičů nárazovou ionizací.
A. Princip činnosti
Chování typického elektron-děrového páru v ochuzené vrstvě APD je znázorněno
na obr. 17.4-1. V místě 1 dojde k absorpci fotonu a vytvoření elektron-děrového
páru (elektron ve vodivostním a díra ve valenčním pásu). Elektron je urychlován
působením silného elektrického pole a zvyšuje tak svou energii vzhledem ke dnu
vodivostního pásu. Urychlovací proces je stále přerušován náhodnými srážkami
s mřížkou, při kterých ztrácí část získané energie. Tyto konkurenční procesy způsobí,
že elektron dosáhne určité střední saturované rychlosti. Má-li štěstí a získá-li někdy
v průběhu tohoto procesu energii větší než Eg, může nárazovou ionizací generovat
druhý elektron-děrový pár (řekněme v bodě 2). Tyto dva elektrony jsou potom
urychlovány opět elektrickým polem a každý z nich může způsobit další nárazovou
ionizaci. Díry generované v místě 1 a 2 jsou také urychlovány a pohybují se doleva.
Každá díra, která získá dostatečnou energii, může rovněž generovat nárazovou ionizací
elektron-děrový pár, jak je např. znázorněno v místě 3.
Ionizační koeficienty
Schopnost elektronů a děr ionizovat nárazem se charakterizuje ionizačními koeficienty ac a a i,. Tyto veličiny, představují pravděpodobnost ionizace na jednotkové
>
o
Obrázek 17.4-1 Schematické znázornění procesu lavinového násobení v lavinové fotodiodě.
LAVINOVÉ FOTODIODY
747
délce dráhy (počet ionizací na jednotkové délce, cm 1 ) ; převrácené hodnoty l/a c
a l/a;,, udávají střední vzdálenost mezi dvěma po sobě následujícími ionizacemi. Ionizační koeficienty rostou s intenzitou elektrického pole v ochuzené vrstvě (neboť ta
způsobuje zrychlení) a klesají s rostoucí teplotou součástky. Dochází k tomu, protože
s rostoucí teplotou roste četnost srážek a tím se snižuje možnost, že nosič získá energii
postačující k ionizaci. V dalším budeme předpokládat jednoduchý případ, že ae a a;,
jsou konstanty nezávislé na místě a předcházející historii nosiče.
Důležitým parametrem, charakterizujícím výkon APD, je ionizační poměr
Jestliže díry dostatečně neionizují [tj. když je au « a t ( i « 1)], je většina ionizací
způsobena elektrony. Lavinový proces na obr. 17.4-1 pak postupuje v zásadě zleva
doprava, tj. ze strany p na stranu n. Končí poněkud později, než se všechny elektrony
dostanou na stranu n ochuzené vrstvy. Jestliže naopak elektrony i díry ionizují
srovnatelně často (/£ ~ 1), potom ty díry, které se pohybují doleva, generují elektrony
pohybující se doprava, které naopak generují další díry pohybující se doleva atd.
v nekonečné smyčce. Ačkoliv tato zpětná vazba zvyšuje zisk detektoru (tj. celkový
náboj generovaný v obvodu připadající na pár fotonosičů q/e), je přesto nežádoucí
z několika důvodů:
• Zabírá čas a tím zužuje frekvenční šířku pásma detektoru.
• Jedná se o náhodný proces, zvyšující šum detektoru.
• Může to být nestabilní proces, vedoucí k lavinovému průrazu.
Proto je vhodné vyrábět APD diody z materiálů, ve kterých může nárazovou
ionizaci působit pouze jeden typ nosičů (buď elektrony nebo díry). Mají-li např.
elektrony vyšší ionizační koeficient, potom se optimálního stavu dosáhne injekcí
elektronu z fotogenerovaného páru nosičů na straně p ochuzené vrstvy v materiálu
s co nejnižším &. Jestliže jsou injektovány díry, potom by díra z fotogenerovaného
páru nosičů měla být injektována na stranu n ochuzené vrstvy a materiál by měl mít
/t co největší. Ideální případ, kdy dojde k násobení jednoho typu nosičů se dosáhne
při / = 0 nebo oo.
Konstrukce
Podobně jako v případě jakékoliv fotodiody, mělo by geometrické uspořádání APD
zajistit maximální absorpci fotonů např. provedením ve tvaru struktury p — i — n.
Oblast, ve které dochází k násobení, by naopak měla být tenká, aby se co nejvíce omezila možnost vzniku lokalizovaných nekontrolovatelných lavin (nestabilit nebo
mikroplazmatu), které vznikají působením silného elektrického pole. Vyšší homogenity elektrického pole se dá dosáhnout v tenké oblasti.
Tyto dva protichůdné požadavky vyžadují takovou konstrukci APD, ve které je
oblast absorpce oddělena od oblasti násobení [SAM - separate-absorption-multiplication]. Její funkce se dá nejsnadněji pochopit, uvažujeme-li materiál s £ ~ 0
(např. křemík). Fotony jsou absorbovány v široké oblasti s vlastní vodivostí, nebo jen
slabě dotované. Fotoelektrony přes tuto oblast driftují vlivem slabého elektrického
pole a nakonec vniknou do tenké vrstvy, v níž vlivem silného elektrického pole dochází
748
POLOVODIČOVÉ DETEKTORY FOTONŮ
Hustota náboje
Elektrické pole
Obrázek 17.4-2
k lavinovému násobení. Toho se dá dosáhnout v APD se strukturou p+ — ir — p — n+,
znázorněnou na obr. 17.4-2. K absorpci fotonů dochází ve velmi široké oblasti n, což
je velmi slabě dotovaná oblast p. Elektrony driftují oblastí TT do tenkého přechodu
p—n+, kde na ně působí tak silné pole, že dojde k jejich lavinovému násobení.
Závěrné napětí přiložené na součástku je tak velké, aby ochuzená oblast pronikla
skrz oblast p a n až do kontaktní vrstvy p + .
*Vícevrstvé součástky
Šum vlastní procesu násobení v diodě APD je možno alespoň v principu zredukovat
využitím vícevrstvé lavinové fotodiody. Na obr. 17.4-3 je energetické schéma jedné
takové struktury nazývané stupňovitá APD. Třístupňová součástka je zobrazena jak
bez přiloženého pole, tak v závěrném zapojení. Šířka zakázaného pásu se změnou
složení mění na vzdálenosti ss 10 nm z nižší hodnoty Eg\ (např. GaAs) na vyšší
hodnotu E92 (např. AlGaAs). Díky vlastnostem materiálu nedochází k ionizaci
indukované dírami, takže je snížena hodnota ionizačního poměru /t. Mezi další
potenciální přednosti takových detektorů patří oddělené oblasti násobení (v místech
skoků hrany vodivostního pásu), nízké pracovní napětí, které minimalizuje tunelování
a rychlá časová odezva jako důsledek zkrácení doby nutné na vytvoření laviny.
Součástky tohoto typu se stupňovitou šířkou pásu zakázaných energií se ovšem
obtížně vyrábějí.
B. Zisk a citlivost
Dříve než určíme zisk lavinové fotodiody, ve které oba typy nosičů působí násobení,
obrátíme se na jednodušší případ násobení jednoho typu nosičů (elektronů) (a;, = 0,
£ = 0). Nechť Jc{x) na obr. 17.4-4 je hustota elektrického proudu přenášeného
elektrony v místě x. Na vzdálenosti dx vzroste proud o střední hodnotu
dJc(x) = ac Jc(x)dx,
LAVINOVÉ FOTODIODY
749
(a)
hv
mim*-
(b)
Obrázek 17.4-3 Energetické pasové schéma stupňovité APD (a) bez napětí a (6) s napětím přiloženým v závěrném směru. Stupně ve vodivostním pásu zajišťují, aby k ionizaci elektronů docházelo na vymezených místech. (Podle článku F. Capasso, W. T. Tsang
a G. F. Williams: Staircase Solid-State Photoinultipliers and Avalanche Photodiodes with
Enhanced Ionization Rates Ratio. IEEE Vransactions on Electron Devices, vol. ED-30,
str. 381-390, 1983, copyright © IEEE.)
takže dostaneme diferenciální rovnici
dJ c
—
,
Tf
=aeJe{x),
jejímž řešením je exponenciální funkce Jc{x) = J c (0) exp(aca;). Zisk G =
potom bude
G = exp(aciv).
Je(w)/Je(0)
(17.4-1)
Hustota elektrického proudu roste exponenciálně se součinem ionizačního koeficien-
Obrázek 17.4-4 Exponenciální vzrůst hustoty elektrického proudu
s jedním typem nosičů.
případě APD
750
POLOVODIČOVÉ DETEKTORY FOTONŮ
Injektovaný elektron
Obrázek 17.4-5 Konstantní součet hustot elektronového a děrového proudu v rovině,
proložené v libovolném místě x.
tu ae a šířky w vrstvy, ve které dochází k násobení.
Úloha lavinového násobení obou typů nosičů vyžaduje znát jak hustotu elektronového proudu Je(x), tak i děrového proudu Jh(x). Předpokládá se, že do oblasti
násobení jsou vstřikovány pouze elektrony. Jelikož však ionizace dírami také dodává
elektrony, je růst Je(x) popsán diferenciální rovnicí
dJe
——
= ae Je(x) + ahJi,(x).
dx
(17.4-2)
V důsledku elektrické neutrality platí dJe/dx = —dJ/,/dx, takže součet Je(x) + J;,(x)
musí zůstat pro všechna x za ustálených podmínek konstantní. To je zřejmé z obr.
17.4-5; celkový počet nosičů náboje, procházejících libovolnou rovinou je nezávisle
na poloze konstantní. Na obrázku jsou znázorněné čtyři případy ionizace nárazem
a celkem pět průchodů elektronů a děr každou rovinou.
Jelikož předpokládáme, že v místě x = w nejsou injektovány žádné díry, máme
Jh(w) = 0 a platí
Jc(x) + J,,(x) = Je(w),
(17.4-3)
jak je znázorněno na obr. 17.4-6. V (17.4-2) můžeme tedy J/,_(x) vyloučit a dostaneme
Jetw)
Obrázek 17.4-6 Růst elektronového a děrového proudu vlivem lavinového násobení.
751
LAVINOVÉ FOTODIODY
— - = {oie - ah)Jc(x) + ahJe(w).
(17.4-4)
Z této diferenciální rovnice prvního řádu snadno spočteme zisk fotodetektoru G —
= Je{w)/Je(0). Pro ae ^ ah je výsledkem G = (ae-ak)/{ae
exp[-(ae-ah)w]-ah},
což dává
Zisk APD
(17.4-5)
Exponenciální růst (17.4-1), odvozený v případě násobení pouze jednoho typu nosičů,
odpovídá /í = 0. Když je /f = oo, bude zisk jednotkový, neboť jsou vstřikovány
pouze elektrony a ty se již nenásobí. Pro /í = 1 není výraz (17.4-5) definován a zisk
se dostane přímo ze vztahu (17.4-4); výsledek je potom G = 1/(1 — aew). Když je
aew = 1, dochází k nestabilitě. Závislost zisku na aew pro několik hodnot ionizačního
poměru £ je na obr. 17.4-7. Citlivost 5R se dostane dosazením (17.4-5) do obecného
vztahu (17.1-6).
Pro přípravu APD přicházejí v úvahu materiály stejné jako pro fotodiody s tou
výhradou, že musí mít co možná nejnižší (nebo nejvyšší) hodnotu ionizačního poměru
/ . Na bázi křemíku byly vyrobeny APD s hodnotami £ sníženými až na 0,006,
vykazující vynikající vlastnosti ve spektrální oblasti 0,7 až 0,9 £tm.
C.
Doba odezvy
Vedle průletové doby, difúze a konstanty RC, které určují časovou odezvu fotodiod,
se v APD projevuje ještě další jev prodlužující tuto dobu, nazvaný charakteristická
doba lavinového násobení. Časová odezva APD s násobením obou typů nosičů je
na obr. 17.4-8 zobrazena prostřednictvím sledování dráhy fotoelektronu generovaného
na okraji absorbující oblasti (v bodě 1). Elektron driftuje (střední saturovanou)
rychlostí vc, takže oblasti, v níž nastává násobení (bod 2), dosáhne za dobu průletu
wa/ve. Také v oblasti násobení se elektron pohybuje rychlostí ve. Nárazovou ionizací
tvoří elektron-děrové páry. Řekněme, že v místech 3 a 4 generuje další dva elektronděrové páry. Díry se pohybují na opačnou stranu se svou (saturovanou) rychlostí v;,.
Také díry mohou vyvolat nárazovou ionizaci vedoucí k vytvoření elektron-děrového
páru, jak je na obrázku nakresleno v místech 5 a 6. Výsledné nosiče mohou také
Obrázek 17.4-7 Růst zisku G v závislosti na šířce vrstvy, ve které dochází k násobení
počtu nosičů, pro několik hodnot ionizačního poměru / a za předpokladu čistě elektronové
injekce.
hv
;!
1
MM/V -*-
Absorpční
biast
I •°
ÍÉ
m
Oblast
násobení
I
_J
(a)
Elektronový
proud j e (í)
Děrový
proud t/,(ť)
I
I T T
-H
1
1
1
1
h-
(b)
Obrázek 17.4-8 (a
představují elektrony,
páry se tvoří v oblasti
*
„ .
proud ic(t) vyvolaný v obvodu. Každý pár nosičů indukuje v obvodu náboj e. Celkový indukovaný náboj q, určený plochou pod křivkou
i<:{t) + 4 ( 0 . J e r o v e n Ge- Tento graf představuje zobecnění obr. 17.1-3, který platí pro jediný elektrou-děrový pár.
ŠUM FOTODETEKTORŮ
753
samy způsobit nárazové ionizace a podpořit tak zpětnou vazbu. Celý proces je
ukončen, když poslední díra opustí oblast násobení (v místě 7) a přeš driftovou oblast
se dostane do bodu 8. Výsledná doba T nutná pro celý proces (mezi body 1 a 8) je
rovna součtu doby průletu (z 1 do 2 a ze 7 do 8) a charakteristické doby lavinového
násobení v lavinové fotodiodě, označené Tm
w±+wi
T=
Ve
( 1 7 4
.6)
Vh
Protože nárazová ionizace představuje náhodný proces, nabývá náhodných hodnot i doba lavinového násobení r,„. Ve zvláštním případě / = 0 (kdy díry nevyvolávají ionizaci) se její maximální hodnota snadno odvodí z obr. 17.4-8 jako
W
"'
,
T,n = — : H
Ve
W
m
Vh
•
fi-7
A
^
(17.4-7)
V případě vysokého zisku G a při elektronové injekci s ionizačním poměrem 0 <
< /ř < 1 dostaneme řádový odhad průměrné hodnoty r,„ vynásobením prvního členu
v (17.4-7) činitelem G/k:
Vh
Přesnější teorie je dosti složitá.
Příklad 17.4-1. Charakteristický čas lavinového násobení v křemíkové
lavinové fotodiodě. Uvažujte Si APD s parametry wj = 50/j.m, wm =
= 0,5 /im, ve = 107cm/s, vh = 5 x 106 cm/s, G = 100 a /k = 0,1. Vztah
(17.4-7) dává T,„ = 5 + 10 = 15 ps, kdežto (17.4-6) dává r = 1515 ps =
= 1,51 ns. Na druhé straně, (17.4-8) dává r,„ = 60 ps, takže ze vztahu
(17.4-6) máme r = 1560ps = 1,56ns. Ve fotodiodě p — i — n se stejnými
hodnotami Wd, ve a V), je doba průletu Wd/ve + wj/vi, a 1,5 ns. Tyto hodnoty
se příliš neliší, neboť r,„. nabývá v křemíkovém detektoru poměrně nízkých
hodnot.
17.5
SUM FOTODETEKTORŮ
Fotodetektor je zařízení, které měří fotonový tok nebo optický výkon. V ideálním
případě reaguje na fotonový tok $ (optický výkon P = hv<&) generováním proudu,
úměrného dopadajícímu toku iv = T|e$ = KP [viz (17.1-2)]. Ve skutečnosti detektor generuje náhodný elektrický proud i, jehož velikost kolísá okolo střední hodnoty
i = ip = T|e$ = SRP. Tyto náhodné fluktuace, považované za šum, jsou charakterizovány směrodatnou odchylkou a.;., kde of = ((i — i)2}. Proud s nulovou střední
hodnotou (i = 0) má směrodatnou odchylku totožnou se střední kvadratickou (rms)
Šířkou, tj. Oi = (i2)1'2.
754
POLOVODIČOVÉ DETEKTORY FOTONŮ
V procesu detekce fotonů se uplatňuje několik zdrojů šumu:
• Fotonový šum. Nejpodstatnější zdroj šumu je spojen s náhodnými fluktuacemi
v toku samotných dopadajících fotonů. Jak bylo probráno v odst. 11.2, popisují
se obvykle Poissonovým statistickým rozdělením.
• Foto elektronový šum. Ve fotonovém detektoru s kvantovou účinností TI < 1 generuje jednotlivý foton s pravděpodobností r\ elektron-děrový pár a s pravděpodobností 1 — TI se mu to nezdaří. Jelikož náhodnost je obsažena již v podstatě
procesu generování nosičů, je tento proces zdrojem šumu.
• Šum zesilovacího procesu. Proces zesílení, vedoucí k vnitřnímu zisku, ke kterému
dochází v některých fotodetektorech (jako je APD), je náhodným procesem.
Každý zaznamenaný foton generuje náhodný počet G nosičů, s průměrnou
hodnotou G, ale s nejistotou, která závisí na podstatě zesilovacího mechanismu.
• Šum elektrického obvodu detektoru. K šumu rovněž přispívají různé součástky
v elektrickém obvodu optického detektoru, jako jsou odpory a tranzistory.
Tyto čtyři zdroje šumu jsou schematicky znázorněny na obr. 17.5-1. Signál
dopadající na detektor (vstupní signál) obsahuje vlastní fotonový šum. Fotoelektrický
jev přemění fotony na fotoelektrony. Během tohoto procesu poklesne střední hodnota
signálu s činitelem r\. Šum klesá také, ale méně než signál; poměr signálu k šumu
pro fotoelektrony je tak nižší než byl pro dopadající fotony. Jestliže detektor pracuje
s vnitřnímu ziskem, je zesilován jak signál, tak i fotoelektronový šum. Navíc je tím
přidán šum vlastní zesilovacímu procesu. Nakonec elektrický obvod, který na výstupu
dává měřený proud, vnáší šum obvodu detektoru.
K charakterizování optického přijímače* jako součásti informačního přenosového
Obvodový šum
Fotoelektronový šum \
Fotonový šum ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ A ^ ^
Obvodový šum
Šum zesílení
Fotoelektronový šum'
Fotonový šum
\
Detekovaný
signál
Vstupní
signál
Fotoefekt
a sběr proudu
Fotoefekt
Sběr proudu
(a)
(b)
Obrázek 17.5-1 Signál a různé zdroje šumu v případě (a) fotodetektoru bez vnitřního
zisku (např. fotodiody p — i — n) a (b) fotodetektoru se ziskem (např. lavinové fotodiody).
Pozn. překl.: Autoři zahrnují pod pojeni optický přijímač samotný optický detektor (čidlo), jeho
napájecí elektrický obvod a případně i předzesilovač.
ŠUM FOTODETEKTORÚ
755
systému se používají následující veličiny:
• Poměr signálu k šumu (SNR - signal-to-noise ratío). SNR náhodné proměnné
je definován vztahem SNR = (střední hodnota)2/variance; SNR proudu i je tedy
I2/CT2, kdežto SNR počtu fotonů je SNR = n 2 /a 2 .
• Prahová citlivost, definovaná jako taková střední hodnota signálu, která dává
jednotkový poměr signálu k šumu, SNR = 1.
• Citlivost přijímače, která je podobně jako prahová citlivost definována jako signál, odpovídající předepsané hodnotě SNR = SNRo. Obvykle se nevybírá SNRo = 1, ale vyšší hodnota, aby se zajistila dostatečná přesnost (např.
SNR0 = 10 až 103, což odpovídá 10 až 30dB).
Nyní přistoupíme k odvozem výrazu pro poměr signálu k šumu (SNR) v případě
optického detektoru s uvedenými zdroji šumu. Další zdroje šumu, které zde nebyly
explicitně uvedeny, zahrnují šum pozadí a šum temného proudu. Šum pozadí
představuje fotonový šum spojený se světlem, které dopadá na detektor z vnějších
zdrojů v okolí vlastního zdroje signálu, jako je např. sluneční světlo nebo světlo hvězd.
Šum pozadí je obzvláště omezující při detekci ve střední a vzdálené infračervené
oblasti spektra, neboť předměty, které mají pokojovou teplotu, vyzařují v této oblasti
značné množství tepelného záření (viz obr. 12.3-4). Fotodetektory také generují šum
temného proudu. Ten, jak vyplývá z názvu, se pozoruje i bez přítomnosti světla.
Šum temného proudu vzniká náhodnou generací elektron-děrových párů tepelnou
excitací nebo tunelováním. Dále též neuvažujeme jevy spojené se svody a proudový
šum kontaktů, tzv. šum 1//.
A.
Fotoelektronový šum
Fotonový šum
Jak bylo vysvětleno v odst. 11.2, fotonový tok spojený s daným optickým výkonem
P není ve své podstatě přesně definovaný. Jeho střední hodnota $ = P/hv (foton/s)
náhodně kolísá v souladu se zákony pravděpodobnosti v závislosti na podstatě světelného zdroje. Počet fotonů n zaznamenaných v časovém intervalu 7 je náhodný,
se střední hodnotou ň = $ 7 . Počet fotonů světla ideálního laseru nebo tepelného
zdroje se spektrální šířkou mnohem větší než je 1/7 splňuje Poissonovo pravděpodobnostní rozdělení, podle něhož a\ = ~ň. Fluktuace spojené s průměrným počtem 100
fotonů tak vedou k tomu, že skutečný počet fotonů leží přibližně v rozsahu 100 ± 10.
Poměr signálu k šumu n2/o\2 fotonového toku je tedy
Poměr signálu k šumu
fotonového toku
SNR = 7?
(17.5-1)
a nejmenší zjistitelný počet fotonů je n = 1. Při době pozorování 7 = 1 fis a vlnové
délce \„ = 1,24 /im to odpovídá prahové citlivosti 0,16 pW. Citlivost přijímače, daná
velikostí signálu nutného k dosažení poměru SNR = 103 (30dB), je 1000 fotonů.
Jestliže časový interval 7 = 10 ns, odpovídá to citlivosti 1011 foton/s, nebo citlivosti
přijímače 16 nW (pro A„ = 1,24/xm).
756
POLOVODIČOVÉ DETEKTORY FOTONŮ
Fotoelektronový šum
Foton, dopadající na fotodetektor charakterizovaný kvantovou účinností T|, buď
s pravděpodobností T| generuje náboj (tj. uvolní fotoelektron nebo vytvoří fotoelektron-děrový pár), nebo k jeho vytvoření s pravděpodobností 1 — T| nedojde. Předpokládá se, že v proudu fotonů dochází ke generování náhodně, takže střední dopadající
fotonový tok $ (foton/s) vyvolá střední fotoelektronový tok T|$ (fotoelektron/s). Počet fotoelektronů zaznamenaných v časovém intervalu T se rovná náhodnému číslu m
se střední hodnotou
7ň = T|7J,
(17.5-2)
kde n = $ T je střední počet fotonů dopadajících ve stejném časovém intervalu T.
Jestliže pro fotony platí Poissonovo rozdělení, platí i pro fotoelektrony, jak lze zjistit
rozborem podobným jako v odst. 11.2D. Z toho plyne, že variance počtu fotoelektronů
je potom přesně rovna Tří, takže
2
<r,„. = m = Tin.
(17.5-3)
Z tohoto vztahu je zřejmé, že fotoelektronový šum a fotonový šum se nedají sčítat.
Náhodnost skrytá v počtu dopadajících fotonů, představující základní zdroj
šumu, se kterým se musíme vyrovnat při využití světla k přenosu signálu, má
za následek, že poměr signálu k šumu v počtu fotoelektronů je
Poměr signálu k šumu
fotoelektronů
SNR = ní = T)7J.
(17.5-4)
Prahová citlivost detekce fotoelektronů pro SNR = 1 odpovídá m = r\n = 1 (tj.
jeden fotoelektron nebo 1/T| fotonů). Citlivost přijímače pro SNR = 103 činí 1000
fotoelektronů nebo 1000/r| fotonů.
Sum fotoproudu
Nyní prošetříme vlastnosti elektrického proudu i(t) vyvolaného v obvodu náhodným
tokem fotoelektronů se střední hodnotou T|$. DO rozboru zahrneme vliv fotonového
šumu, fotoelektronového šumu, charakteristické doby časové odezvy detektoru a odezvy vnějšího obvodu (filtrace). Každý fotoexcitovaný elektron-děrový pár vytváří
ve vnějším obvodu fotodetektoru impuls elektrického proudu s nábojem (plochou) e
v trvání r p (obr. 17.5-2). Výsledkem fotonového toku dopadajícího na fotodetektor
je potom tok elektrických impulsů, které skládáním dohromady vytvářejí elektrický
proud i(t). Náhodné kolísání fotonového toku se přeměňuje na fluktuace elektrického
proudu. Jestliže dopadající fotony splňují Poissonovo rozdělení, jsou tyto fluktuace
známy jako výstřelový šum. V obecnějším případě detektoru se ziskem G je v každém
impulsu generován náboj q = Ge.
Dříve než nalezneme analytické řešení, ukážeme jednoduchým způsobem, že
fotoproud i v obvodu se šířkou pásma B, generovaný fotonovým tokem <ř, může být
určen pomocí charakteristického časového intervalu T = 1/(2B) (rozlišovací doba
obvodu) a nalezením vztahu mezi náhodným počtem fotoelektronů m připadajících
ŠUM FOTODETEKTORŮ
757
Fotony
Fotoelektrony
Proudové impulsy
Elektrický proud
(výstřelový šum)
Obrázek 17.5-2 Elektrický proud v obvodu fotodetektoru představuje superpozici elektrických impulsů, z nichž každý je spojen s detekovaným fotonem. Impulsy na obrázku mají exponenciální průběh, ale ve skutečnosti mohou mít libovolný tvar (viz např.
obr. 17.1-3(6) a 17.1-4).
na tento interval a fotoproudem i(t), kde ť je časový okamžik odpovídající konci
intervalu T. V případě pravoúhlých proudových impulsů s dobou trvání T je proud
spojen s náhodně proměnným počtem fotoelektronů vztahem i = (e/T)m, takže jeho
střední hodnota a variance jsou dány vztahy
•í-(£
kde Tň = t|$ T = -n$/(2B) je počet fotoelektronů zaznamenaných v časovém intervalu
T = 1/(25). Dosazením of„ = Tň do Poissonova zákona dostaneme střední hodnotu
a varianci fotoproudu:
Střední hodnota
fotoproudu
i = er|$
(17.5-5)
Variance fotoproudu
? = 2eiB.
(17.5-6)
Z toho plyne, že poměr signálu k šumu SNR = i2/crf pro fotoelektrický proud bude
Poměr signálu k šumu
pro fotoproud
(17.5-7)
SNR je přímo úměrný fotonovému toku $ a nepřímo úměrný frekvenční šířce pásma
B elektrického obvodu.
758
POLOVODIČOVÉ DETEKTORY FOTONŮ
Příklad 17.5-1. SNR (poměr signálu k šumu) a citlivost celého přijímače.
Pro i = IO11A a B = 100 MHz je tr,; « 0,57 nA, což odpovídá
poměru signálu k šumu SNR = 310 nebo 25 dB. V každém časovém intervalu 1/(2B) = 5ns je zaznamenáno v průměru 310 fotoelektronů. Prahová
citlivost detekce fotonového toku je $ = 2B/r\ a citlivost celého přijímače
3
U
je pro SNR = 10 rovna $ = 1 0 0 0 ( 2 S / T ) ) = 2 X 1 0 / T ) (foton/s).
Nyní dokážeme platnost vztahů (17.5-5) a (17.5-6) v případě proudových impulsů
libovolného tvaru.
Odvození střední hodnoty a variance fotoproudu
Předpokládejme, že dopad fotonu v čase í = 0 vyvolá ve vnějším obvodu elektrický
impuls h(t) s plochou e. Fotoelektron generovaný v čase íj potom vyvolá posunutý
impuls h(t — ti). Jestliže je časová osa rozdělena na krátké časové intervaly Aí, bude
pravděpodobnost, že k dopadu fotonu dojde v takovém intervalu rovna p = T|$Aí.
Elektrický proud i v čase i lze zapsat ve tvaru
i(t) = Y2 Xih(t - /Aí),
(17.5-8)
i
kde Xi má buď hodnotu 1 s pravděpodobností p, nebo 0 s pravděpodobností (1 — p).
Proměnné {Xi} jsou nezávislé. Střední hodnota X; je 0 x (1 — p) + 1 x p = p. Její
střední kvadratická hodnota je {Xf) = O2 x (1 — p) + I 2 x p = p. Střední hodnota
součinu XiXu je p 2 jestliže / ^ k a p jestliže / = k. Střední hodnota proudu i(ť) a jeho
střední kvadratická hodnota jsou nyní určeny následovně:
^
(17.5-9)
i
(i2) = ^ ^ ( X , X A : > / i ( í - lAt)h(t
-
kAt)
Jestliže dosadíme p = T|$Aí a provedeme limitu Aí -+ 0, přejdou součty v integrály
a místo (17.5-9) a (17.5-10) dostaneme
,oc
i = r\$
Jo
h{t) dí = eT|$
(i2) = (eri*) 2 -)- TI* ^
Jo
h2(t) dí.
(17.5-11)
(17.5-12)
Dále plyne, že variance i je a2 = (i 2 ) — (i)2, neboli
<7?=T)* í
Jo
h2(t)dt.
(17.5-13)
ŠUM FOTODETEKTORŮ
759
Jestliže definujeme
dostaneme konečně (17.5-5) a (17.5-6).
Parametr B definovaný vztahem (17.5-14) představuje frekvenční šířku pásma
celého detektorového obvodu. To lze snadno ověřit všimneme-li si, že Fourierova
transformace funkce impulsové odezvy lineárního systému h(t) je rovna její přenosové
funkci fi^). Plocha pod funkcí h(t) je prostě H(Q) — e. Podle Parsevalova teorému
2
[viz (A. 1-7) v dodatku A] je plocha pod funkcí /i (í) rovna ploše pod symetrickou
2
funkcí \H(v)\ , takže
Jo
(17.5-15)
7ť(0)
Veličina B tedy představuje spektrální šířku ekvivalentního výkonu funkce 1^(^)1
(tj. frekvenční šířku pásma celého detekčního obvodu), v souladu se vztahem (A.2-10)
v dodatku A. Tak například, když H(v) = 1 pro —i/c < v < vc a 0 všude jinde,
(17.5-15) dává B = vc.
Tyto vztahy lze použít pro všechny typy fotoelektrických detektorů bez vnitřního zisku (jako jsou fotonky a polovodičové fotodiody). Použití uvedených vztahů
vyžaduje znalost šířky pásma detektoru, jeho elektrického obvodu a zesilovače; B se
určí dosazením přenosové funkce celého systému do vztahu (17.5-15).
B.
Sum zesilovacího procesu
Střední hodnota a variance fotoproudu detektoru s daným pevným ziskem G se
dostane záměnou e ve vztazích (17.5-5) a (17.5-6) za q = Ge:
hv
e22G22r\B$.
r
a\ = 2eGiB = 2e
(17.5-16)
(17.5-17)
Poměr signálu k šumu, daný vztahem
á
=7fí
?§ '
(175 18)
-
potom nezávisí na G, neboť jak střední hodnota proudu i, tak jeho směrodatná
odchylka cr,; jsou v důsledku vnitřního zesílení vynásobeny součinitelem G.
Tento jednoduchý výsledek neplatí, jestliže je zisk sám o sobě náhodnou veličinou, jako je tomu v případě fotonásobiče, fotoodporu a lavinové fotodiody. Odvození
střední hodnoty a variance fotoproudu podané v předcházejícím odstavci je třeba
760
POLOVODIČOVÉ DETEKTORY FOTONŮ
zobecnit o započtení náhodnosti v G. Elektrický proud ve vztahu (17.5-8) musí být
potom zapsán ve tvaru
ve kterém — stejně jako dříve — Xi nabývá hodnoty 1 s pravděpodobností p =
= T|$AÍ, a nulové hodnoty s pravděpodobností 1 — p. Zavedli jsme veličiny Gi,
které jsou nezávislými náhodnými čísly, představujícími zisk příslušný fotoelektronděrovému páru, generovanému v Z-tém časovém intervalu. Celý proces je znázorněn
na obr. 17.5-3. Jestliže náhodná proměnná Gi má střední hodnotu (G) — G a střední
2
kvadratickou hodnotu (G ), dává obdobný rozbor, který vedl ke vztahům (17.5-8)
až (17.5-14)
Střední hodnota
fotoproudu (detektor
s náhodným ziskem)
(17.5-19)
i =- eGr\$,
Variance fotoproudu
(detektor s náhodným ziskem)
(17.5-20)
= 2eGlBF,
ve kterém
Faktor zvýšení šumu
F
<G2)
(G) 2
(17.5-21)
se nazývá faktor zvýšení šumu.
Faktor zvýšení šumu souvisí s variancí vnitřního zisku <JQ vztahem F =
= 1 +cr 2 7 /(G) 2 . V případě konstantního zisku je a% = 0 a F = 1, takže (17.5-20)
Fotoelektrony
•
•—•
G2
•
• >-
G4
Náhodně násobené
fotoelektrony
Uti
Elektrický proud
-V
is=JL^.l._>^_.L^- Ut)
Obrázek 17.5-3 Každý fotoelektron-děrový pár v detektoru s vnitřním ziskem generuje
náhodný počet G/ elektron-derových párů, z nichž každý vytváří v obvodu detektoru
impuls elektrického proudu o ploše eGj. Celkový elektrický proud i(ť) je superpozicí
těchto impulsů.
ŠUM FOTODETEKTORŮ
761
se vlastně redukuje na (17.5-17). Když je zisk náhodnou veličinou, a^ > 0 a F > 1;
obě veličiny rostou s rostoucími fluktuacemi zisku. Výsledný elektrický proud i je
potom více zašuměný než pouze při výstřelovém šumu.
V případě zisku s náhodnými fluktuacemi dostaneme pro poměr signálu k šumu
i2 /a2 vztah
Poměr signálu
k šumu (detektor
s náhodným ziskem)
SNR =
n
-
^
= ^ ^ - = ^,
(17.5-22)
kde 7ř7 označuje střední počet fotoelektronů zachycených v čase T = 1/(2B). Tento
výraz je F krát menší v porovnání s případem konstantního zisku; snížení SNR plyne
z náhodnosti procesu vnitřního zesílení.
Faktor zvýšení šumu lavinové fotodiody
Jestliže jsou fotoelektrony injektovány na okraj ochuzené vrstvy APD, ve které
dochází k rovnoměrnému zesilování, je zisk G systému dán vztahem (17.4-5). Závisí
na ionizačním koeficientu elektronů a c , na ionizačním poměru diody / =a;,/a,,
a také na šířce oblasti w, v níž dochází k násobení nosičů. Úplnější odvození, uvažující
náhodnost spojenou s procesem zisku, dává výraz pro střední kvadratickou hodnotu
zisku (G2) a tím i pro faktor zvýšení šumu fotodiody F. Toto obecnější odvození vede
k výrazu pro střední hodnotu zisku G, který je shodný s výrazem (17.4-5). Jak se
ukazuje, faktor zvýšení šumu souvisí se střední hodnotou zisku a ionizačním poměrem
vztahem
Faktor zvýšení šumu
Ar-.r^
pro A P D
/.r , a
r = £ ( j
+ vll
iW o
>
— Ar)\Z—=).
y
-\
^ '
í l 7 q
,M
'
v(l/.b-zj)
Tato závislost je na obr. 17.5-4.
Výraz (17.5-23) platí, jestliže jsou injektovány elektrony na rozhraní ochuzené
vrstvy. Ovšem jak elektrony, tak díry mají schopnost vyvolávat nárazovou ionizaci.
Jestliže jsou injektovány pouze díry, platí stejný výraz, avšak £ je nahrazeno faktorem
1//Í. Příspěvek k šumu pocházející od procesu vnitřního zesílení se minimalizuje
injektováním typu nosiče s vyšším ionizačním koeficientem a přípravou struktury
s co nejnižší možnou hodnotou / v případě injekce elektronů, nebo s co nejvyšší
hodnotou £, jsou-li injektovány díry. Ionizační koeficienty obou typů nosičů se tedy
musí od sebe co nejvíce lišit.
Vztah (17.5-23) platí, když se jedním typem nosičů vyvolává násobení počtu
nosičů obou typů, neboť oba typy nosičů mají schopnost nárazové ionizace, i když
je injektován pouze jeden z nich. Jestliže jsou současně injektovány elektrony i díry,
dostane se celkový výsledek jako součet obou dílčích případů.
Šum zesilovacího procesu, který se projevuje v běžných APD, má dva zdroje:
náhodnost v místě, kde může dojít k ionizaci a zpětnou vazbu procesu spojenou
se skutečností, že oba typy nosičů mohou vyvolávat nárazové ionizace. První zdroj
šumu se projevuje i tehdy, kdy může docházet k násobení počtu pouze jednoho typu
762
POLOVODIČOVÉ DETEKTORY FOTONŮ
1000
100
-
E
5
2
10
100
1000
Střední hodnota zisku G
Obrázek 17.5-4 Faktor zvýšení šumu F_lavinové fotodiody v případě injekce elektronů,
v závislosti na střední hodnotě zisku G a pro různé hodnoty ionizačního poměru /'.
Při injekci děr je třeba zaměnit /• za 1//-.
nosičů; to dává minimální hodnotu F = 2 faktoru zvýšení šumu při velkých středních
hodnotách zisku G, jak je zřejmé z (17.5-23) dosazením £ = 0, jestliže G konverguje
k velkým hodnotám. Druhá příčina šumu (zpětná vazba) je potenciálně škodlivější,
protože může vést k mnohem většímu růstu F. Ve fotonásobiči máme pouze jeden typ
nosičů (elektrony) a k ionizaci dochází vždy pouze na dynodach, takže zde neexistuje
náhodnost v místě procesu. Pro fotonásobiče obecně platí 1 < F < 2.
Příklad 17.5-2. Faktor zvýšení šumu v křemíkové lavinové fotodiodě.
V křemíkové APD s injekcí elektronů, která má A: w 0,1 a G — 100, je
faktor zvýšení šumu F = 11,8. Použití APD tedy zvyšuje střední hodnotu
detekovaného proudu lOOx, ovšem současně se snížením poměru signálu
k šumu faktorem 11,8. V dalším odstavci ovšem ukážeme, že díky dalšímu
příspěvku k šumu pocházejícímu od elektrického obvodu detektoru může
použití APD vést ke zlepšení celkového poměru signálu k šumu.
*Faktor zvýšení šumu pro vícevrstvou lavinovou fotodiodu
Oba zdroje šumu v procesu zesílení (náhodnost v místě a zpětná vazba) mohou být
vyloučeny použitím vícevrstvé struktury v konstrukci lavinové fotodiody. Jedním příkladem takové struktury je na obr. 17.4-3 znázorněná stupňovitá struktura s gradientem zakázaného pásu. Elektron ve vodivostním pásu může získat .energii postačující
na nárazovou ionizaci pouze na určitých místech (na hranách stupňů), což vylučuje
ŠUM FOTODETEKTORŮ
763
náhodnost v lokalizaci generování. Zpětnovazební šum je omezen vlivem nespojitosti
okraje valenčního pásu, která je v takovém směru, že nepodporuje nárazovou ionizaci
a měla by proto vést k nízké hodnotě / . Teoreticky lze dosáhnout zcela bezšumový
proces násobení počtu nosičů (F = 1). Jak již ovšem bylo řečeno, detektory tohoto
typu jsou výrobně nesmírně náročné.
C. Šum elektrického obvodu detektoru
Další šum vnáší elektronický obvod spojený s optickým detektorem. Obvodový šum je
výsledkem tepelného pohybu nabitých nosičů v odporech a jiných prvcích, při kterém
dochází k dissipaci energie (tepelný šum) a dále je výsledkem fluktuací nosičů náboje
v tranzistorech, použitých v zesilovači elektrického signálu z optického detektoru.
Tepelný šum
Tepelný šum (nazývaný také Johnsonův šum nebo Nyquistův šum) pochází
z náhodného pohybu nosičů v odporových elektrických materiálech při konečných
teplotách; tento pohyb vyvolává náhodný elektrický proud i(t) dokonce i bez vnějšího
zdroje elektrické energie. Tepelný elektrický proud v odporu R je tedy náhodnou
funkcí i(t), jejíž střední hodnota (i(í)) = 0, tj. proud teče se stejnou pravděpodobností
v obou směrech. Variance proudu o? (která je shodná se střední kvadratickou
hodnotou, neboť střední hodnota vymizí) roste s teplotou T.
Úvahami založenými na statistické mechanice, které budou vysvětleny v dalším výkladu, lze ukázat, že v odporu R se při teplotě T projevuje náhodný elektrický proud i(t), charakterizovaný výkonovou spektrální hustotou (definovanou
v odst. 10.1B)
kde / značí frekvenci. V oblasti / -C kBT/h, která má zásadní význam, neboť
kBT/h = 6,25 THz při pokojové teplotě, platí exp(hf/kBT) ss 1 + hf/kBT, takže
Si(f) » AknT/R.
(17.5-25)
Variance elektrického proudu je dána integrálem z výkonové spektrální hustoty
přes všechny frekvence ležící uvnitř frekvenčního pásma B obvodu, tj.:
S,:(/)d/.
Když je B -C kBT/h,
Variance tepelného
proudového šumu
odporu R
dostáváme
• 4kBTB/R.
(17.5-26)
Jak je znázorněno na obr. 17.5-5, odpor R se při teplotě T v obvodu se šířkou
pásma B chová jako bezšumový odpor zapojený paralelně se zdrojem proudového
šumu, který má nulovou střední hodnotu a varianci a] určenou vztahem (17.5-26).
764
POLOVODIČOVÉ DETEKTORY FOTONŮ
Obrázek 17.5-5 Odpor R při teplotě T je ekvivalentní bezšumovému odporu zařazenému
2
paralelně se zdrojem proudového šumu s variancí a"? = (i ) » 4k%TB/R, kde B je šířka
frekvenčního pásma obvodu.
Příklad 17.5-3. Tepelný šum odporu. Směrodatná odchylka tepelného
proudového šumu odporu o velikosti 1 kfi při teplotě T = 300 K v obvodu
se šířkou pásma B = 100 MHz činí a; » 41 nA.
*Odvození výkonové spektrální hustoty tepelného šumu
Nyní odvodíme vztah (17.5-24) a ukážeme, že elektrický výkon spojený s tepelným
šumem v odporu se rovná elektromagnetickému výkonu, vyzařovanému jednorozměrným černým tělesem. Ukazuje se, že člen hf/[exp(hf/kjiT) — 1] ve vztahu (17.5-24)
je roven střední energii E elektromagnetického modu s frekvencí / (symbol v je
rezervován pro optické frekvence) v tepelné rovnováze při teplotě T [viz (12.3-8)].
Tuto rovnici je tedy možno přepsat jako Sj(f)R = 4f. Elektrický výkon, rozptýlený průchodem šumového proudu i v odporu R, je (i2)R = o}R, takže člen Si{f)R
představuje hustotu elektrického výkonu (na jeden Hz) rozptýleného tepelným proudovým šumem i(t) v R. V dalším ukážeme, že 4£ je hustota výkonu vyzařovaného
jednorozměrným černým tělesem.
Jak bylo probráno v odst. 12.3B, systém atomů v dutině v tepelné rovnováze
s elektromagnetickými mody vyzařuje záření se spektrální hustotou energie Q(V) =
= M(i/)E, kde M(u) = 8nv2/c3 je trojrozměrná hustota modů a spektrální hustota
optické intenzity je cg(y). Ačkoliv se nosiče náboje pohybují v odporu všemi směry,
pouze pohyb ve směru toku přispívá k proudu obvodem. Hustota modů pro jeden
rozměr je M(f) = 4/c modů/m • Hz [viz (9.1-7)], takže příslušná hustota energie je
£•(/) — M(f)E = 4E/c a spektrální hustota vyzařované intenzity je cg(f) = 4E, jak
bylo řečeno.
Parametry obvodového šumu: optické přijímače limitované odporem a zesilovačem
Ukazuje se, že je vhodné různé zdroje šumu v obvodu (tepelný šum v odporech, šum
v tranzistorech a dalších součástkách) zahrnout do jediného náhodného proudového
zdroje iT na vstupu přijímače, dávajícího stejný celkový šum na výstupu přijímače
(obr. 17.5-6). Střední hodnota i,, je nulová a variance af je závislá na teplotě, šířce
pásma přijímače, parametrech obvodu a typu zařízení.
ŠUM FOTODETEKTORŮ
765
•
n
Obvod
se šumem
Obrázek 17.5-6 Šum v detekčním obvodu přijímače je možno nahradit jedním náhodným
proudovým zdrojem se směrodatnou odchylkou ay.
Dále je vhodné zavést bezrozměrný parametr obvodového šumu
IBe
(17.5-27)
ve kterém B je šířka pásma přijímače a 7" = 1/(2.6) je jeho rozlišovací doba. Jelikož o>
je směrodatná odchylka elektrického proudového šumu, je crr/e směrodatná odchylka
elektronového toku (elektron/s) podmíněná obvodovým šumem a uq = (or/e)T
tedy znamená směrodatnou odchylku rozdělení elektronů zaznamenaných za dobu T,
odpovídající obvodovému šumu. Jak bude zřejmé z odst. 17.5D, parametr obvodového
šumu aq představuje zásadní charakteristiku kvality přijímacího optického obvodu.
Optický detekční obvod zahrnující fotodiodu v sérii se zatěžovacím odporem RL
a následujícím zesilovačem je znázorněn na obr. 17.5-7. Tento jednoduchý obvod
se označuje jako limitovaný odporem, jestliže proudový šum obvodu pocházející
z teplotního šumu zatěžovacího odporu podstatně převyšuje příspěvky od jiných
zdrojů. Zesilovač je potom možno považovat za bezšumový a variance proudu
obvodového šumu je jednoduše aj. = 41CBTB/RL- Bezrozměrný parametr obvodového
šumu definovaný vztahem (17.5-27) je tedy
\!/2
K bezšumovému
~° zesilovači
Obrázek 17.5-7
Optický přijímač limitovaný odporem.
(17.5-28)
766
POLOVODIČOVÉ DETEKTORY FOTONŮ
a je nepřímo úměrný druhé odmocnině z frekvenční šířky pásma B.
Příklad 17.5-4. Parametr obvodového šumu. Odpor Ri = 50 O generuje při pokojové teplotě v obvodu se šířkou pásma B — 100 MHz náhodný
proud se směrodatnou odchylkou ov = 0,18/iA. Tomu odpovídá hodnota
bezrozměrného parametru obvodového šumu oq ~ 5700.
Optické detekční systémy s kvalitním nízkošumovým zesilovačem mohou mít nižší parametry obvodového šumu než vykazují přijímače limitované odporem. Uvažujme
přijímač s tranzistorem řízeným elektrickým polem (FET — field effect transistor).
Je-li možno zanedbat šum pocházející z vysokého vstupního odporu zesilovače, bude
přijímač omezen tepelným šumem kanálu, spojujícího emitor a kolektor FET tranzistoru. Při použití ekvalizéru k vyrovnání vysokých frekvencí, utlumených kapacitní
vstupní impedancí obvodu, bude parametr obvodového šumu za pokojové teploty
a pro typické součástky v obvodu roven
Parametr obvodového
šumu (obvod
se zesilovačem s FET)
,,
a
~
1
l"
u
IQ V JJ Z )
(17.5-29)
Je-li např. B = 100 MHz, potom je aq = 100. To je podstatně méně, než činí parametr
obvodového šumu odporově limitovaného zesilovače s odporem 50 íí se stejnou šířkou
pásma. Parametr obvodového šumu aq roste s B následkem vlivu ekvalizéru.t
Optické detekční systémy, které používají zesilovače s bipolárními tranzistory
mají naopak parametr obvodového šumu aq nezávislý na šířce pásma B v širokém
rozsahu frekvencí.t Za předpokladu, že jsou užity vhodné tranzistory v optimálním
zapojení, činí aq pro šířky pásma mezi 100 MHz a 2GHz typicky w 500.
D.
Poměr signálu k šumu a citlivost přijímače
Nejjednodušší veličinou k posouzení kvality detekce je poměr signálu k šumu (SNR).
SNR proudu na vstupu bezšumového obvodu znázorněného na obr. 17.5-6 je dán
jako poměr střední kvadratické hodnoty proudu a součtu variancí jednotlivých zdrojů
šumu, tj.:
Poměr signálu
k šumu optického
přijímače
SNR= — =
2eG~iBF + a}.
2
2e G~r]B<í>F
(17.5-30)
První člen v obou jmenovatelích představuje šum fotoelektronového proudu a procesu
vnitřního zesílení fotodetektoru [viz (17.5-20)], druhý člen popisuje obvodový šum.
Pro detektor bez zisku je G = 1 a F = 1. Bezšumový obvod nezmění poměr signálu
k šumu, přestože signál zesílí.
Další podrobnosti viz S. D. Personick, Optical Fiber Transmission Systems, Plenům Press, New
York, 1981, Sec. 3.4; parametr atJ je v citované práci označen Z/2.
ŠUM FOTODETEKTORŮ
767
Cvičení 17.5-1
Poměr signálu k šumu v optickém přijímači limitovaném odporem. Nechť
optický přijímač na obr. 17.5-7 používá ideální fotodiodu p — i — n (r\ = 1)
a odpor RL je 50 fž za pokojové teploty (T = 300 K). Šířka pásma je
B = 100 MHz. Při jaké velikosti fotonového toku $ je variance proudu
daná fotoelektronovým šumem rovna varianci proudu dané tepelným šumem
odporu? Jaký je příslušný optický výkon pro Ao = 1,55 /mi?
Ukazuje se, že je užitečné vyjádřit SNR v (17.5-30) pomocí středního počtu
fotonů m, zaznamenaných v průběhu rozlišovací doby T = 1/(2B) přijímače
(17.5-31)
a parametru obvodového šumu aq = a,/2Be. Výsledný výraz je
Poměr signálu k šumu
optického přijímače
(17.5-32)
Rovnici (17.5-32) je možno jednoduše interpretovat. V čitateli je čtverec střední
hodnoty počtu násobením zesílených fotoelektronů zaznamenaných během rozlišovací
doby přijímače T = 1/(2B). Ve jmenovateli je součet variancí počtu fotoelektronů
a počtu elektronů z obvodového šumu, zaznamenaných za dobu T. Pro fotodiodu
s nulovým ziskem je G = F = 1, takže (17.5-32) se zjednoduší na
Poměr signálu k šumu
optického přijímače
bez zisku
(17.5-33)
Vzájemné velikosti m a cr^ určují relativní význam fotoelektronového a obvodového
šumu. Nyní je zřejmé, v jakém smyslu charakterizuje parametr aq výkonnost obvodu optického přijímače. Když je např. oq = 100, bude obvodový šum dominovat
nad fotoelektronovým šumem, pokud bude střední počet fotoelektronů zaznamenaných během rozlišovací doby nižší než 10000.
Nyní dále vyšetříme závislost SNR na fotonovém toku $, frekvenční šířce
pásma obvodu B, parametru <Jq obvodového šumu přijímače a zisku G. To nám
umožní posoudit, kdy je výhodné použít lavinovou fotodiodu a jak vybrat vhodný
předzesilovač pro daný fotonový tok. V tomto rozboru budeme vycházet z výrazů
pro SNR daných vztahy (17.5-30), (17.5-32) a (17.5-33).
768
POLOVODIČOVÉ DETEKTORY FOTONŮ
Závislost SNR na fotonovém toku
Závislost SNR na Tň = r\$/2B ukazuje, jak se SNR mění s fotonovým tokem $.
Uvažujme nejprve fotodiodu bez zisku, kdy platí vztah (17.5-33). Nastávají dva
zajímavé případy:
• Limitování obvodovým šumem: Jestliže je $ dostatečně nízký, takže m C ^
($ <C 2B<7q/r\), je fotonový šum zanedbatelný a převažuje obvodový šum, který
dává
(17.5-34)
Limitování fotonovým šumem: Jestliže je fotonový tok dostatečně silný, takže
m > ^ ($ > 2B0q/r\), je možno zanedbat člen s obvodovým šumem, což vede
ke vztahu
(17.5-35)
SNR « Tň.
Pro malá m je tedy SNR úměrný m2 a tím i $ 2 , kdežto pro vysoká m je úměrný m
a tím i <ř, jak je vidět na obr. 17.5-8. Pro všechny úrovně osvětlení roste SNR s růstem
dopadajícího fotonového toku $; více světla zlepšuje výkon optického přijímače.
Kdy je výhodné použít lavinovou fotodiodu
NyníjDorovnáme dva přijímače shodné až na to, že jeden nezesiluje a druhý má vnitřní
zisk G (např. APD), vedoucí k faktoru zvýšení šumu F . Pro dostatečně malé ~m (nebo
fotonový tok $) převládá obvodový šum. Zesílení fotoproudu nad úroveň obvodového
šumu by mělo zlepšit SNR a přijímač s APD bude potom výhodnější. Pro dostatečně
velké Tň (nebo fotonový tok) je obvodový šum zanedbatelný. Zesílení fotoproudu se
potom projeví vyšším šumem zesilovacího procesu a tím i snížením SNR. V takovém
případě je výhodnější fotodioda. Z porovnání vztahů (17.5-32) a (17.5-33) plyne,
105
SNR
Oq= 10
103
100
10
10
103
105
Obrázek 17.5-8 Poměr signálu k šumu (SNR) v závislosti na střední hodnotě počtu
fotoelektronů připadajících na rozlišovací dobu přijímače m = T|$/2B. Jsou znázorněny
závislosti pro dvě hodnoty parametru obvodového šumu fotodiody a,r
ŠUM FOTODETEKTORŮ
769
že SNR přijímače s APD je vyšší než pro přijímač s fotodiodou, když je m <
< a2q(l - l/G2)/(F - 1). Pro G > 1 je APD výhodnější, jestliže je m < a2q/(F - 1).
Není-li tato podmínka splněna, je použití APD spíše kompromisem, než aby vedlo
ke zvýšení výkonnosti přijímače. Když je např. aq velmi malé, je ze vztahu (17.5-32)
zřejmé, že poměr signálu k šumu SNR = Tň/F v případě APD je horší než v případě
fotodiody, kdy je SNR = Tň. Závislost SNR na m je pro dva typy přijímačů vynesena
na obr. 17.5-9.
Závislost SNR na zisku lavinové fotodiody
APD je výhodné použít v případě dostatečně slabých fotonových toků, kdy je Tň <
< o\l{F - 1). Optimální zisk APD se pak určí ze vztahu (17.5-32):
G'Tň
SNR =
(17.5-36)
Faktor zvýšení šumu lavinové fotodiody F je podle (17.5-23) sám o sobě funkcí G.
Po dosazení dostaneme
SNR =
G"Tň
+ (1 - /f)(2G" - G) +
(17.5-37)
kde /í je ionizační poměr nosičů v APD. Tento vztah je vynesen na obr. 17.5-10 pro
Tň = 1000 a aq = 500. V případě APD s násobením jednoho typu nosičů (/ = 0) SNR
105
SNR
103
Fotodioda
10
10
103
105
Obrázek 17.5-9 SNR v závislosti na m = T)$/2_B pro přijímač s fotodiodou (plná čára)
a pro přijímač s APD se střední hodnotou zisku G = 100 a faktorem zvýšení šumu F = 2
(čárkovaná křivka), spočítaný podle vztahu (17.5-32). Parametr obvodového šumu je
v obou případech a,t = 100. Pro nízké úrovně fotonového toku (limitování obvodovým
šumem) dává APD vyšší SNR než fotodioda. Pro vysoké úrovně fotonového toku
(limitování fotonovým šumem) převyšuje fotodioda přijímač s APD. Přechod mezi oběma
oblastmi je dán hodnotou Tň ~ a\]/(F — 1) = 10 4 .
770
POLOVODIČOVÉ DETEKTORY FOTONŮ
103
102
SNR
10
10
103
102
Obrázek 17.5-10 Závislost SNR na střední hodnotě zisku G lavinové fotodiody pro několik hodnot ionizačního poměru /•, jestliže m = 1000 aCT,= 500.
roste s růstem zisku a případně se nasytí. V případě APD s násobením obou typů
nosičů {A- > 0) SNR také roste s rostoucím ziskem, ale dosahuje maxima pro optimální
hodnotu zisku a potom klesá v důsledku rychlého vzrůstu příspěvku šumu zesilovacího
procesu. Obecně tedy existuje optimální hodnota zisku APD.
Závislost SNR na frekvenční šířce pásma přijímače
Vztah mezi SNR a šířkou pásma B je obsažen implicitně ve výrazu (17.5-30). Je
určován závislostí variance obvodového šumu o2r na B. Uvažujme tri typy přijímačů:
1
• Přijímač limitovaný odporem vykazuje a ,, oc B [viz (17.5-26)], takže
(17.5-38)
SNR oc B~
1
2
Přijímač se zesilovačem s FET splňuje aq oc B / [viz (17.5-29)], takže aT =
= 2eBoq oc B 3 / 2 . To naznačuje, že závislost SNR na B v (17.5-30) nabude
tvaru
SNRoc(B + s.B3)-1,
(17.5-39)
kde s je konstanta.
• Zesilovač s bipolárním tranzistorem má parametr obvodového šumu aq téměř
nezávislý na B. Je tedy aT oc B a (17.5-30) má tvar
SNR oc {B + s ' 5 2 ) " 1 ,
(17.5-40)
kde s' je konstanta.
Tyto vztahy jsou schematicky znázorněny na obr. 17.5-11. SNR vždy klesá
s rostoucím B. Pro dostatečně úzké šířky pásma B se SNR všech typů optických
l
detekčních systémů mění jako B~ . Pro velké šířky pásma klesá SNR systémů,
užívajících FET nebo bipolární tranzistory, se šířkou pásma ostřeji.
ŠUM FOTODETEKTORŮ
771
SNR
l/B 2
Obrázek 17.5-11 Dvojitá logaritmická závislost SNR na šířce pásma B pro tři typy
optických přijímačů.
Citlivost přijímače
Citlivost přijímače je definována jako minimální fotonový tok <řo a jemu odpovídající
optický výkon Po = hv$0 a střední počet fotoelektronů Trio = r\<&o/2B, který je nutný
k dosažení stanovené hodnoty SNRo poměru signálu k šumu. Veličina Tňo může být
určena řešením vztahu (17.5-32) pro SNR = SNRo- Rozebereme si pouze případ
přijímače s jednotkovým ziskem, obecnější řešení ponecháme do cvičení.
Řešením kvadratické rovnice (17.5-33) dostaneme pro TŤÍQ:
mo = ~ [SNR0
4a 2 SNR 0 ) 1 / 2 ]
(17.5-41)
Dostáváme dva limitní případy:
Citlivost
přijímače
Limitovaný
fotonovým šumem
/
\
Limitovaný
/
obvodovým šumem y
2
<J
SNRo \
4 J
m0 = SNR 0 ,
(17.5-42)
2
q
SNRo \
4 J
mQ = (SNR 0 ) 1 / 2 a r ;
(17.5-43)
Příklad 17.5-5. Citlivost přijímače Předpokládejme, že SNRo = 10 4 ,
což odpovídá přijatelnému poměru signálu k šumu 40 dB. Jestliže je parametr obvodového šumu přijímače o,t <C 50, je přijímač limitován fotonovým šumem a má citlivost Trio = 10000 fotoelektronů na rozlišovací dobu. V pravděpodobnějším případě, kdy je oq ^> 50, je citlivost přijímače ss 100crf/. Když je např. o,s = 500, je citlivost Trio = 50000, což odpovídá 2B7ň0 = 10s£f fotoelektron/s. Citlivost na dopadající optický výkon
Po = 2£í7ř>o/ii'/r| = 105f?/i^/r| závisí přímo úměrně na šířce pásma. Je-li
B = 100 MHz a T) = 0,8, je na vlnové délce A„ = 1,55 /zm citlivost přijímače
Po«l,6/iW.
772
POLOVODIČOVÉ DETEKTORY FOTONŮ
Bipolární
transistor
o
Omezení fotonovým šumem
I
I
I
I
I
B
Obrázek 17.5-12 Dvojitá logaritmická závislost citlivosti přijímače Třío (nejmenší střední
počet fotoelektronů připadajících na rozlišovací dobu T = 1/2B, zajišťující minimální
stanovený poměr signálu k šumu SNRo) na šířce pásma B pro tři typy přijímačů. Křivky
se blíží limitně k fotonovému šumu pro hodnoty B, pro které je a% -c SNRo/4. V limitě
fotonového šumu (tj. když je obvodový šum zanedbatelný), platí mo = SNRo ve všech
případech.
Při používání vztahu (17.5-41) k určení citlivosti přijímače se nesmí zapomínat,
že parametr obvodového šumu aq je obecně funkcí šířky pásma B:
Přijímač limitovaný odporem:
Zesilovač s FET:
Zesilovač s bipolárním tranzistorem:
aq <x B ~ 1 / / 2
aq oc B1'2
oq nezávisí na B
Závislost citlivosti mo na šířce pásma B je pro tyto přijímače na obr. 17.5-12.
Optimální výběr systému tedy závisí částečně i na šířce pásma B.
Cvičení 17.5-2
Citlivost přijímače s lavinovou fotodiodou
Odvoďte výraz analogický
(17.5-41) pro citlivost přijímače, ve kterém je zabudována APD vykazující
zisk G a faktor zvýšení šumu F. Ukažte, že v limitním případě zanedbatelného obvodového šumu se citlivost přijímače zjednoduší na
7Ť>o = .F • SNR 0 .
LITERATURA
Knihy
Viz též literaturu ke kap. 15.
J. D. Vincent, Fundamentals of Jnfrared Detector Operation
York, 1990.
N. V. Joshi, Photoconductivity, Marcel Dekker, New York,
P. N. J. Dennis, Photodetectors, Plenům Press, New York,
A. van der Ziel, Noise in Solid State Devices and Circuits,
York, 1986.
and Testing, Wiley, New
1990.
1986.
Wiley-Interscience, New
LITERATURA
773
R. K. Willardson a A. C. Beer, eds., Semiconductors and Semimetals, vol. 22, Lightwave Communications Technology, W. T. Tsang, ed., part D, Photodetectors,
Academie Press, New York, 1985.
E. L. Dereniak a D. G. Crowe, Optical Radiation Detectors, Wiley, New York, 1984.
R. W. Boyd, Radiometry and the Detection of Optical Radiation, Wiley, New York,
1983.
W. Budde, ed., Physical Detectors of Optical Radiation, Academie Press, New York,
1983.
M. J. Buckingham, Noise in Electron Devices and Systems, Wiley, New York, 1983.
R. J. Keyes, ed., Optical and Infrared Detectors, vol. 19, Topics in Applied Physics,
Springer-Verlag, Berlin, 2. vyd. 1980.
D. F. Barbe, ed., Charge Coupled Devices, vol. 39, Topics in Applied Physics,
Springer-Verlag, Berlin, 1980.
R. W. Engstrom, RCA Photomultiplier Handbook (PMT-62), RCA Electro Optics
and Devices, Lancaster, PA, 1980.
B. O. Seraphin, ed., Solar Energy Conversion: Solid-State Physics Aspects, vol. 31,
Topics in Applied Physics, Springer-Verlag, Berlin, 1979.
R. H. Kingston, Detection of Optical and Infrared Radiation, Springer-Verlag, New
York, 1978.
B. Saleh, Photoelectron Statistics, Springer-Verlag, New York, 1978.
A. Rose, Concepts in Photoconductivity and Allied Problems, Wiley-Interscience,
New York, 1963; R. E. Krieger, Huntington, NY, 2. vyd. 1978.
M. Cardona a L. Ley, eds., Photoemission in Solids, vol. 26, Topics in Applied
Physics, Springer-Verlag, Berlin, 1978.
R. K. Willardson a A. C. Beer, eds., Semiconductors and Semimetals, vol. 12,
Infrared Detectors II, Academie Press, New York, 1977.
J. Mort a D. M. Pai, eds., Photoconductivity and Related Phenomena, Elsevier, New
York, 1976.
R. K. Willardson a A. C. Beer, eds., Semiconductors and Semimetals, vol. 5, Infrared
Detectors, R. J. Keyes, ed., Academie Press, New York, 1970.
A. H. Sommer, Photoemissive Materials, Wiley, New York, 1968.
Zvláštní čísla časopisů
Speciál issue on quantum well heterostructures and superlattices, IEEE Journal of
Quantum Electronics, vol. QE-24, no. 8, 1988.
Speciál issue on semiconductor quantum wells and superlattices: physics and applications, IEEE Journal of Quantum Electronics, vol. QE-22, no. 9, 1986.
Speciál issue on light emitting diodes and long-wavelength photodetectors, IEEE
Transactions on Electron Devices, vol. ED-30, no. 4, 1983.
Speciál issue on optoelectronic devices, IEEE Transactions on Electron Devices,
vol. ED-29, no. 9, 1982.
Speciál issue on light sources and detectors, IEEE Transactions on Electron Devices,
vol. ED-28, no. 4, 1981.
Speciál issue on quaternary compound semiconductor materials and devices - sources
and detectors, IEEE Journal of Quantum Electronics, vol. QE-17, no. 2, 1981.
774
POLOVODIČOVÉ DETEKTORY FOTONŮ
Speciál joint issue on optoelectronic devices and circuits, IEEE Transactions on
Electron Devices, vol. ED-25, no. 2, 1978.
Speciál joint issue on optical electronics, Proceedings of the IEEE, vol. 54, no. 10,
1966.
Články
D. Parker, Optical Detectors: Research to Reality, Physics World, vol. 3, no. 3,
pp. 52-54, 1990.
S. R. Forrest, Optical Detectors for Lightwave Communication, in Optical Fiber
Telecommunications II, S. E. Miller a I. P. Kaminow, eds., Academie Press,
New York, 1988.
G. Margaritondo, 100 Years of Photoemission, Physics Today, vol. 44, no. 4,
pp. 66-72, 1988.
F. Capasso, Band-Gap Engineering: From Physics and Materials to New Semiconductor Devices, Science, vol. 235, pp. 172-176, 1987.
S. R. Forrest, Optical Detectors: Three Contenders, IEEE Spectrum, vol. 23, no. 5,
pp. 76-84, 1986.
M. C. Teich, K. Matsuo a B. E. A. Saleh, Excess Noise Factors for Conventional and
Superlattice Avalanche Photodiodes and Photomultiplier Tubes, IEEE Journal
of Quantum Electronics, vol. QE-22, pp. 1184-1193, 1986.
D. S. Chemla, Quantum Wells for Photonics, Physics Today, vol. 38, no. 5,
pp. 56-64, 1985.
F. Capasso, Multilayer Avalanche Photodiodes and Solid-State Photomultipliers,
Laser Focus/Electro-Optics, vol. 20, no. 7, pp. 84-101, 1984.
P. P. Webb a R. J. Mclntyre, Recent Developments in Silicon Avalanche Photodiodes,
RCA Engineer, vol. 27, pp. 96-102, 1982.
H. Melchior, Detectors for Lightwave Communication, Physics Today, vol. 30, no. 11,
pp. 32-39, 1977.
P. P. Webb, R. J. Mclntyre a J. Conradi, Properties of Avalanche Photodiodes, RCA
Review, vol. 35, pp. 234-278, 1974.
R. J. Keyes a R. H. Kingston, A Look at Photon Detectors, Physics Today, vol. 25,
no. 3, pp. 48-54, 1972.
H. Melchior, Demodulation and Photodetection Techniques, in F. T. Arecchi a E. O.
Schulz-Dubois, eds., Laser Handbook, vol. 1, North-Holland, Amsterdam, 1972,
pp. 725-835.
W. E. Spicer a F. Wooten, Photoemission and Photomultipliers, Proceedings of the
IEEE, vol. 51, pp. 1119-1126, 1963.
Literatura v českém jazyce
C. Kittel, Úvod do fyziky pevných látek, Academia, Praha, 1985.
H. Frank, Fyzika a technika polovodičů, SNTL - Nakladatelství technické literatury,
Praha, 1990.
J. Šavel a kol., Přenos informací na optických kmitočtech, SNTL - Nakladatelství
technické literatury, Praha, 1982.
ÚLOHY
775
J. Ctyroký, I. Hiittel, J. Schrófel a L. Šimánková, Integrovaná optika, SNTL Nakladatelství technické literatury, Praha, 1986.
ÚLOHY
17.1-1 Vliv odrazivosti na kvantovou účinnost. Určete činitel (1 — 3P) ve výrazu pro kvantovou účinnost v případě nepolarizovaného světelného svazku,
dopadajícího ze vzduchu kolmo a pod úhlem 45° k povrchu Si, GaAs a InSb
(viz odst. 6.2 a tab. 15.2-1 na str. 659).
17.1-2 Citlivost. Nalezněte největší citlivost ideálního polovodičového detektoru
(s jednotkovou kvantovou účinností a jednotkovým ziskem), vyrobeného
z materiálu (a) Si; (b) GaAs; (c) InSb.
17.1-3 Průletová doba. Předpokládejte podle obr. 17.1-3, že foton vytvoří elektron-děrový pár v místě x = w/3, že ve = 3vh (v polovodičích je ve obecně
větší než v;,.), a že nosiče na kontaktu zrekombinují. Nalezněte pro každý
typ nosiče velikosti proudů í/, a ie a doby trvání proudů T;, a TC. Vyjádřete
výsledek ve veličinách e, w a ve. Ověřte, že celkový náboj indukovaný
v obvodu je e. Načrtněte časový průběh proudů pro ve = 6 x 107 cm/s a w =
= 10 fj.m.
17.1-4 Proudová odezva na rovnoměrné osvětlení. Uvažujme polovodičový
materiál (jako na obr. 17.1-3), vystavený v í = 0 impulsu světla, který
generuje TV elektron-děrových párů rovnoměrně rozdělených mezi 0 a w.
Nechť rychlosti elektronů a děr v materiálu jsou ve a v/,.. Ukažte, že
pro děrový proud platí
ř
NeV{t
ih{t) = <
w2
\ 0,
+
w
- - vh
pro jiné hodnoty t,
zatímco pro elektronový proud
W2
( 0,
W
0 < f <
~
"
Ve,
pro jiné hodnoty t,
a že celkový proud potom je
i
w i
Tyto proudy jsou znázorněny na obr. 17.1-4. Ověřte, že elektrony i díry
přispívají k obvodovému proudu každý nábojem Ne/2, takže výsledný
generovaný náboj činí Ne.
776
POLOVODIČOVÉ DETEKTORY FOTONŮ
*17.1-5 Dvoufotonové detektory. Uvažujte svazek fotonů s energií hv a s hustotou fotonového toku <j> (foton/cm2 • s), dopadající na polovodičový detektor
se šířkou pásu zakázaných energií hu < Eg < 2hv, takže jednotlivý foton nemá energii dostatečnou k tomu, aby excitoval elektron z valenčního
do vodivostního pásu. Dva fotony mohou ovšem náhodně dodat elektronu
potřebnou energii společně. Předpokládejte, že v takovémto detektoru se indukuje proudová hustota Jp = (<f>2, kde C je konstanta. Ukažte, že citlivost
dvoufotonového detektoru (A/W) je dána vztahem 5Č = [C,j{hco)2]\2oPIA,
kde P je optický výkon a A je osvětlená plocha detektoru. Podejte fyzikální
vysvětlení úměrnosti \2O a P/A.
17.2-1 Obvod fotoodporu. Fotoodpor se často zapojuje do série se zatěžovacím
odporem R a zdrojem ss napětí V, přičemž se měří napětí Vp na zátěži R.
Načrtněte závislost V.p na P, jestliže je vodivost detektoru úměrná optickému
výkonu P. Za jakých podmínek bude tato závislost lineární?
17.2-2 Fotovodivost. Koncentrace vlastních nosičů náboje v Si je n; = 1,5 x
x 1010 cm" 3 a rekombinační doba fotoexcitovaných nosičů r = 10 ^s. Určete
procentuální vzrůst vodivosti vzorku, jestliže se v jednotce objemu vzorku
osvětleného světlem s vlnovou délkou Ao = 1 fim absorbuje optický výkon
1 mW/cm3. Kvantová účinnost T) = ^.
17.3-1 Kvantová účinnost fotodiody. Impuls světla obsahující 6 x 1012 fotonů
s vlnovou délkou Ao = 1,55//m vytváří na kontaktech fotodiody p — i — n
v průměru 2 x 1012 elektronů. Určete kvantovou účinnost T| a citlivost 5ř
fotodiody na této vlnové délce.
17.4-1 Kvantová účinnost lavinové fotodiody. Běžná APD se ziskem G = 20
pracuje na vlnové délce \o = 1,55/xm. Vypočítejte její kvantovou účinnost,
jestliže je její citlivost na této vlnové délce 3fř = 12 A/W. Jaký je výstupní
proud detektoru, jestliže na něj dopadá fotonový tok $ = 1010 foton/s
s touto vlnovou délkou?
17.4-2 Zisk lavinové fotodiody. Ukažte, že APD s ionizačním poměrem /(• = 1,
jako např. germanium, má zisk daný vztahem G = 1/(1 — aew), kde ae
je elektronový ionizační koeficient a w je šířka vrstvy, ve které dochází
k lavinovému násobení. [Poznámka: Jestliže je £ = 1, rovnice (17.4-5)
nedává správnou hodnotu zisku.]
17.5-1 Faktor zvýšení šumu lavinové fotodiody s jedním typem nosičů.
Ukažte, že faktor zvýšení šumu APD, v níž se vstřikují pouze elektrony
a nedochází k násobení počtu nosičů dírami (/ů = 0), je F ~ 2 pro všechny
hodnoty zisku. Využijte vztah (17.4-5) k důkazu, že střední velikost zisku
je potom G = exp(aew). Spočítejte citlivost křemíkové APD pro fotony
s energií rovnou šířce zakázaného pásu £fl za předpokladu, že T| = 0,8 a zisk
G = 70. Najděte faktor zvýšení šumu pro křemíkovou APD, ve které dochází
k lavinové ionizaci oběma typy nosičů, když / = 0,01. Výsledek porovnejte
s hodnotou F ~ 2 pro limitní případ násobení jednoho typu nosičů.
*17.5-2 Zisk ve vícevrstvé lavinové fotodiodě. Použijte Bernoulliho zákon
pravděpodobnosti a ukažte, že střední velikost zisku APD s vícevrstvou
strukturou při násobení jednoho typu nosičů je G = (1 + P)', kde P je
ÚLOHY
777
pravděpodobnost nárazové ionizace v každém stupni a Z je počet stupňů.
Ukažte, že výsledek se pro P —> 0 a Z -+ oo redukuje na výraz odvozený
pro běžnou APD.
*17.5-3 Faktor zvýšení šumu pro jednostupňový fotonásobič. Odvoďte výraz
pro faktor zvýšení šumu F jednostupňového fotonásobiče za předpokladu,
že počet sekundárních elektronů emitovaných na jeden dopadající primární
elektron splňuje Poissonovo rozdělení se střední hodnotou <5.
*17.5-4 Faktor zvýšení šumu pro fotoodpor. Jak jsme viděli v odst. 17.2, zisk
fotoodporu G = T/TC, kde T je rekombinační doba nadbytečných elektronděrových párů a r c je průletová doba elektronu vzorkem. G je náhodná
veličina, neboť r je možno považovat za náhodné. Ukažte, že exponenciální
funkce hustoty pravděpodobnosti pro náhodnou dobu rekombinace P(r) =
= (l/f)exp(—r/ř) dává faktor zvýšení šumu F = 2, potvrzující, že
generačně-rekombinační šum degraduje SNR faktorem 2.
17.5-5 Šířka pásma RC obvodu. S použitím definice šířky pásma vztahem
(17.5-14) ukažte, že obvod s funkcí impulsové odezvy h{ť) = (e/r) exp(—ť/r)
má šířku pásma B = l/4r. Jaká je šířka pásma RC obvodu? Určete tepelný
proudový šum při T = 300 K odporu R = 1 kfž připojeného ke kondenzátoru
s kapacitou C = 5 pF.
17.5-6 Poměr signálu k šumu v přijímači s lavinovou fotodiodou. Kolikrát
se změní poměr signálu k šumu v přijímači s lavinovou fotodiodou se středním ziskem G = 100, jestliže se ionizační poměr / zvýší z / = 0,1 na 0,2?
Předpokládejte, že obvodový šum je zanedbatelný. Ukažte, že když je střední
hodnota zisku G > l a > 2 ( l - •£)/<£, je SNR zhruba nepřímo úměrný G.
n.b-1
Šum v přijímači s lavinovou fotodiodou. Optický přijímač s APD má
tyto parametry: kvantovou účinnost r\ = 0,8; střední zisk G = 100; ionizační
poměr A- = 0,5; zatěžovací odpor Ri = 1 kfž; šířku pásma B = 100 kHz;
temný plus svodový proud = 1 nA. Na detektor dopadá optický signál
s vlnovou délkou Ao = 0,87jxm a výkonem 10 nW. Určete směrodatnou
odchylku různých šumových proudů a SNR. Předpokládejte, že variance
šumu temného a svodového proudu splňuje stejný vztah jako šum fotoproudu
a že přijímač je odporově limitován.
17.5-8 Optimální zisk lavinové fotodiody. Přijímač s fotodiodou p — i — n
má poměr variance obvodového šumu k varianci fotoelektronového šumu
rovný 1000. Určete optimální střední hodnotu zisku nutnou k dosažení
maximálního poměru signálu k šumu a odpovídající zvýšení SNR, jestliže
se místo fotodiody použije APD s ionizačním poměrem / = 0,2.
17.5-9 Citlivost přijímače. Určete citlivost přijímače (tj. optický výkon nutný
k dosažení SNR = 103) pro fotodetektor s kvantovou účinností T| = 0,8
při A„ = 1,3 /íiu v obvodu se šířkou pásma B = 100 MHz, jestliže je obvodový
šum nulový. Přijímač měří elektrický proud i.
17.5-10 Porovnání šumu tří typů fotodetektorů. Uvažujte tři fotodetektory
v sérii se zátěžovým odporem 50 ft při teplotě 77 K (teplota kapalného
dusíku), které se mají použít v optickém systému na vlnové délce 1 /um
778
POLOVODIČOVÉ DETEKTORY FOTONŮ
s šířkou pásma 1 GHz: (1) fotodiodap — i — ns kvantovou účinností T) = 0,9;
(2) APD s kvantovou účinností T) = 0,6, ziskem G = 100 a ionizačním
poměrem /ů = 0; (3) 10-stupňový vakuový fotonásobič s kvantovou účinností
T) = 0,3, celkovým středním ziskem G = 4 1 0 a celkovou variancí zisku
(a) Najděte pro každý detektor SNR pro fotoproud, jestliže je detektor
osvětlován fotonovým tokem 10 10 s~ 1 .
(b) Kterým z detektorů je signál zjistitelný?
*17.5-11 Fotonásobič s jedinou dynodou. Uvažujte fotonásobič s kvantovou účinností r| = 1 a pouze jedinou dynodou. Na katodu dopadá světlo hypotetického fotonového zdroje, jehož pravděpodobnost, že se bude pozorovat n fotonů
v časovém intervalu T = 1,3 ns je dána vztahem
I 0,
v ostatních případech.
Když na dynodu dopadne jeden elektron, jsou emitovány dva nebo tři
sekundární elektrony, které postupují k anodě. Pravděpodobnostní rozdělení
pro koeficient zisku P{G) je
'
!
. 0,
0=3
v ostatních případech.
Je tedy dvakrát pravděpodobnější, že budou emitovány tři elektrony než
dva.
(a) Spočítejte SNR vstupujících fotonů a výsledek srovnejte s případem
Poissonova rozdělení počtu fotonů se stejnou střední hodnotou.
(b) Najděte pravděpodobnostní rozdělení počtu fotoelektronů p(m) a SNR
fotoelektronů.
(c) Najděte střední hodnotu zisku (G) a střední kvadratickou hodnotu zisku
(G2).
(d) Najděte faktor zvýšení šumu F.
(e) Najděte střední hodnotu anodového proudu i v obvodu s frekvenční
šířkou B = 1/2T.
(f) Najděte citlivost tohoto fotonásobiče na vlnové délce X„ = 1,5/mi.
(g) Vysvětlete, proč nelze pro určení a\ použít vztah (17.5-20).
Bahaa E. A. Saleh, Malvin Carl Teich
ZÁKLADY FOTONIKY, svazek 3
Podle anglického originálu Fundamentals of Photonics vydaného
nakladatestvím John Wiley & Sons, Inc.
(New York/Chichester/Brisbane/Toronto/Singapore)
přeložili a za jazykovou správnost odpovídají
RNDr. Miloslav Dušek (kap. 11), prof. RNDr. Pavel Hóschl, DrSc. (kap. 15)
doc. RNDr. Jaroslav Pantoflíček, CSc. (kap. 13 a 14), doc. RNDr. Ivan
Pelant, DrSc. (kap. 12 a 16), doc. RNDr. Milan Zvára, CSc. (kap. 17)
Vědečtí redaktoři překladu - doc. RNDr. Jaroslav Pantoflíček, CSc.
prof. RNDr. Jan Peřina, DrSc.
Vydal
MATFYZPRESS
vydavatelství
Matematicko-fyzikální fakulty
Univerzity Karlovy
Ke Karlovu 3,
121 16 Praha 2
jako svou 10. publikaci.
Obálku navrhl Petr Kubát.
Z předloh připravených v systému T^X M. Jakubem
vytisklo Reprostředisko MFF UK.
Vydání první.
Praha 1995
ISBN 80-85863-05-7
ISBN 80-85863-00-6 (soubor)
ISBN 80-85863-01-4 (1. sv.)
ISBN 80-85863-02-2 (2. sv.)
Orig.: ISBN 0-471-83965-5 (John Wiley & Sons, Inc.
New York/Chichester/Brisbane/Toronto/Singapur)
DŮLEŽITÉ KONSTANTY
Rychost světla ve vakuu
Permitivita vakua
Permeabilita vakua
Náboj elektronu
Hmotnost elektronu
Planckova konstanta
Boltzmannova konstanta
c„
e„
fi„
e
m„
h
kB
2,9979 x
8,8542 x
1,2566 x
1,6022 x
9,1095 x
6,6262 x
1,3807 x
10" m/s
12
10- F/m
lO^H/m
19
10" C
31
10" kg
34
10" J . s
23
10" J/K
PŘEDPONY JEDNOTEK
kilo
mega
giga
tera
(k)
(M)
(G)
(T)
=
=
=
=
3
10
6
10
9
10
12
10
milí
mikro
nano
piko
femto
atto
(m)
(ju)
(n)
(P)
(f)
(a)
=
=
=
=
=
=
3
10"
10""
9
102
10-'
15
10"
18
ÍO'
FREKVENCE, VLNOVÁ DÉLKA A ENERGIE FOTONU
hv(J)
Energie fotonu
hv
(eV)
Frekvence
v
—(cm"1)
Vlnová délka
v (Hz)
105
io-ia
10*
1014
10-20
01
103
10
7" při 300 K [
""* "~icč
Příklad: Foton o frekvenci K = 3 X 1 0 ' 4 H Z má vlnovou délku A„ = 1 fim a energii
E= 1,99 x 1 0 " 1 9 J = 1,24 eV= 10 000 cm"1