Nestandardní zápisy £ísel

Nestandardní zápisy £ísel
Edita Pelantová a ’t¥pán Starosta, Praha
Abstrakt
V £lánku p°edstavujeme pozi£ní numera£ní systémy s necelo£íselnou bází,
porovnáváme jejich vlastnosti s klasickými soustavami a na p°íkladu ukazujeme
jejich vyuºití k dláºd¥ní prostoru.
Problém, jak zapisovat £ísla, °e²í lidstvo od nepam¥ti. Pozi£ní zápis, kdy stejný
symbol, nap°. 2, pouºitý na r·zných místech vyjad°uje jednou po£et dva, jindy po£et
dv¥ st¥, byl umoºn¥n vynálezem symbolu
ºe úloha vynásobit £ísla
79
a
37
0
pro nic . I malému ²kolákovi je jasné,
zapsaná v desítkové soustav¥ je jednodu²²í, neº
násobit tato £ísla zapsaná °ímským zp·sobem LXXIX a XXXVII. P°esto se pozi£ní
zápis prosadil v Evrop¥ aº ve 13. století. V tomto p°ísp¥vku se nechceme v¥novat
dávné minulosti, to p°íslu²í historik·m matematiky. Chceme v²ak ukázat, jak moc
obecné pozi£ní zápisy £ísel se studují dnes.
V b¥ºném ºivot¥ pouºíváme zápis £ísel v desítkové soustav¥. Kaºdé p°irozené
k
k−1
£íslo x lze zapsat jako xk (10) + xk−1 (10)
+ xk−2 (10)k−2 + . . . + x1 (10) + x0 , kde
cifry
x,
xj
jsou z mnoºiny symbol·
{0, 1, 2, . . . , 9}.
Chceme-li zapsat záporné celé £íslo
tak zapí²eme v desítkové soustav¥ jeho absolutní hodnotu
|x|
a p°ed tento zápis
dáme znaménko minus. Jak s£ítat a násobit £ísla v desítkové soustav¥ nás nau£ili
uº ve ²kole. Algoritmy pro tyto operace vyºadují, abychom si zapamatovali tabulky
výsledk· sou£tu dvou cifer a výsledk· sou£inu dvou cifer.
Kaºdé reálné £íslo
x ∈ R
lze vyjád°it ve tvaru
n
P
x = ±
xk (10)k ,
kde
k=−∞
xk ∈ {0, 1, 2, . . . , 9},
a zapsat
zápisu uº vyºaduje pov¥domí
(x)10 = ±xn . . . x1 x0 , x−1 x−2 . . .. Pochopení tohoto
o konvergenci v R a navíc algoritmy na s£ítání a
násobení, jak nás je ve ²kole nau£ili, um¥jí stejn¥ pracovat jenom s £ísly, které
mají kone£n¥ mnoho nenulových cifer ve svém zápisu, tj. jenom s £ísly
(x)10 =
±xn . . . x1 x0 , x−1 x−2 . . . x−m .
Je dob°e známo, ºe bázi
β = 10
v p°edchozím povídání m·ºeme zam¥nit za li-
bovolné celé p°izené £íslo v¥t²í neº jedna. Tím ovlivníme mnoºinu pot°ebných cifer.
V soustav¥ s bází
operací
+
a
×
β=2
si vysta£íme jen se dv¥ma ciframi
0
a
1.
Tabulka výsledk·
dvou cifer je snadná k zapamatování. V této soustav¥ pracují skoro
v²echny po£íta£e, protoºe technicky realizovat pouze dva symboly
0
a
1
je snadné.
Prof. Ing. Edita Pelantová, CSc., Katedra matematiky FJFI, ƒVUT v Praze, Trojanova 13,
120 00 Praha 2, e-mail: [email protected], Ing. ’t¥pán Starosta, Katedra teoretické
informatiky FIT, ƒVUT v Praze, Thákurova 9 160 00 Praha 6, e-mail: [email protected]
∗
1
Pozi£ní zápis komplexních £ísel
Komplexní £ísla jsou obvykle vyjád°ena jako
sloºku
y
x + iy
a reálnou sloºku
x
a imaginární
zapisujeme jako reálná £ísla, tedy obvykle v desítkové soustav¥. Násobení
dvou komplexních £ísel probíhá podle vzore£ku pro výpo£et reálné a imaginární
sloºky sou£inu. Odd¥lování reálné a imaginární £ásti pro po£ítání není v²ak ²ikovné.
V roce 1965 Walter Penney, zam¥stnanec ministerstva obrany USA, publikoval jeden
a p·l stránkový £lánek [14] a v n¥m následující v¥tu.
V¥ta 1. Nech´ β = i − 1. Kaºdé komplexní £íslo z ∈ Z[i] := {a + ib | a, b ∈ Z} lze
jednozna£n¥ zapsat ve tvaru
n
X
z=
zk β k ,
kde
zk ∈ {0, 1} .
k=0
Prvky
Z[i]
se obvykle nazývají gaussovská celá £ísla. Místo sumy budeme pouºí-
vat zápis
(z)β = zn zn−1 . . . z1 z0 • .
V n¥m se vyskytují pouze dv¥ cifry
0 a 1. Nepot°ebujeme pouºívat ºádné znaménko
±. Tabulka pro násobení cifer 0 a 1 je jednoduchá. Do tabulky pro sou£et dvou cifer
2
3
4
pot°ebujeme doplnit 1 + 1. Protoºe β = i − 1, β = −2i, β = 2 + 2i, β = −4, . . . ,
3
2
platí 2 = β + β , tj. (2)β = 1100•. Tedy se£íst 1 + 1 na k -té pozici sou£tu dvou
°et¥zc· znamená napsat na k -tou pozici nulu a na pozice k + 2 a k + 3 p°i£íst cifru
1. P°edve¤me si to na p°íklad¥ 3 + 1 = 4, zapsáno v bázi β .
1
1
1
1 1 0
1 1 1
1
1
2
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1 1 0 1
1
1 1 0 2
1 1 0 0
1 1 0 0
2 2 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
• = (3)β
• = (1)β
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• = (4)β
D·kaz Penneyovy v¥ty je jednoduchý.
Pn
k
Ozna£me S :=
k=0 zk β | zk ∈ {0, 1} . Z°ejm¥
ºe S = Z[i]. K tomu sta£í ov¥°it, ºe
a)
b)
1, −1, i, −i ∈ S a
S je uzav°ená v·£i
operaci s£ítání.
2
S ⊂ Z[i]. Chceme v²ak ukázat,
β 4 = −4 a (4)β = 111010000•,
nahlédneme, ºe (i)β = 11• a (−i)β = 111•.
a)
Jelikoº
je
( β44 )β = 11101• = (−1)β .
b) Uza°enost vzhledem ke s£ítaní lze odvodit z faktu, ºe pouºití pravidla
nem¥ní sou£et cifer v zápisech
(x)β
a
Jednodu²e
2• 7→ 1100•
(y)β , které chceme se£íst a navíc, jak jsme vid¥li
na p°íklad¥ sou£tu 3+1, nevyhovující hodnoty cifer (tedy ty, co nejsou 0 ani 1) se
p°esouvají v zápisu víc doleva. A to nem·ºe pokra£ovat do nekone£na.
z ∈ Z[i]
D·kaz jednozna£nosti vyjád°ení £ísla
v bázi
β = i−1
vyuºívá toho,
ºe polynom minimálního stupn¥ s celo£íselnými koecienty, který má β za ko°en, je
2
polynom x + 2x + 2. Kdyby n¥které z ∈ Z[i] m¥lo dva r·zné zápisy v bázi β , pak
bylo ko°enem nenulového polynomu s koecienty v {−1, 0, 1}, a tento polynom
2
by m¥l být násobkem polynomu x + 2x + 2, coº není moºné. Tím je d·kaz hotov. β
by
Mnoºina
s maximáln¥
1
S p°edstavuje komplexní £ísla, která lze zapsat v bázi β
βn
1
místy za zlomkovou te£kou •. Mnoºina Fin(β) = ∪n∈N n Z[i] pak
β
1
Z[i]
βn
n
=
£ísla, která lze zapsat v bázi
β
pomocí kone£n¥ mnoha cifer.
1
Fin(β) je hustá v C, a
Fin(β). Tro²ku
tedy kaºdé komplexní £íslo je limitou n¥jaké posloupnosti s £leny ve
z
práce dá dokázat, ºe kaºdé komplexní £íslo
k
X
z=
zj β j
lze reprezentovat jako nekone£nou °adu
s koecienty
zj ∈ {0, 1} .
j=−∞
Vra´me se ke gaussovským celým £ísl·m. Jejich rozvoj v bázi
β
nehledáme tak
naivn¥, jak jsme to d¥lali v p°ípad¥ £ísla 4. Sta£í se inspirovat algoritmem pro hle-
β ∈ N. Tak nap°íklad p°i hledání
k
1
koecient· aj ∈ {0, 1, , . . . , 6} pro zápis £ísla 278 = ak 7 + . . . + a1 7 + a0 v bázi
β = 7, vidíme, ºe £íslo 278 a a0 musejí mít stejný zbytek po d¥lení £íslem 7. Tedy
a0 = 5. Protoºe 278 − a0 = 273 = 7 × 39 = 7 × (ak 7k−1 + . . . + a1 ), sta£í te¤ vyjád°it
v sedmi£kové soustav¥ £íslo 39. Jeho poslední cifru a1 získáme stejn¥, tedy a1 = 4,
dání zápisu p°irozeného £ísla v soustav¥ s bází
coº je zbytek po d¥lení £ísla 39 sedmi£kou. A tak pokra£ujeme dál.
Vysta£ili jsme si s ciframi
£íslem
7.
I na mnoºin¥
Z[i]
0, 1, , . . . , 6,
d·leºitou roli norma komplexního £ísla
sdruºené k £íslu
protoºe pokryjí v²echny zbytky po d¥lení
lze denovat d¥lení se zbytkem. P°i popisu zbytk· hraje
N (z) = zz ,
kde
z
zna£í £íslo komplexn¥
z.
V¥ta 2. Nech´ β = a + ib ∈ Z[i], kde a a b jsou nesoud¥lná. Ke kaºdému z ∈ Z[i]
existuje
y ∈ Z[i]
a zbytek
r∈R
tak, ºe
z = βy + r,
kde
R = {0, 1, . . . , N (β) − 1}
Tato v¥ta pochází od Gausse [9] a její obdobu lze vyslovit i pro p°ípad, kdy
a
b
jsou soud¥lná. Základ
β = i−1
z v¥ty 1 má normu
1V
2.
a
Mnoºina zbytk·, a tedy
£eském textu se b¥ºn¥ pouºívá v dekadické soustav¥ desetinná £árka k odd¥lení koecient·
u záporných mocnin základu, v obecných soustavách pouºíváme zna£ení mezinárodní, a to psaní
tlusté te£ky •, kterou nazveme zlomková te£ka.
3
mnoºina cifer, je
R = {0, 1}.
Stejnou metodou, jakou jsme hledali rozvoj £ísla
v bázi 7, m·ºeme hledat rozvoj gaussovských celých £ísel v bázi
278
i − 1.
Aº dosud vypadá situace v
Z[i] velice podobn¥ jako v Z. V Z lze za základ zvolit
β ∈ Z, β > 1 (a dokonce i β < −1). ƒtená°e jist¥ napadlo, pro£ jsme si
vybrali v Z[i] bázi β = i − 1 a ne β = i + 1. I toto gaussovské £íslo má normu 2
a po d¥lení dva moºné zbytky 0 a 1. D·vod je jednoduchý. Pro β = i + 1 by v¥ta
1 neplatila. To zjistíme tak, ºe −1 ani −i se nám nepoda°í v této bázi vyjád°it.
Kdybychom totiº cht¥li na výpo£et posledního koecientu v rozvoji £ísla −i v bázi
β = i + 1 pouºít v¥tu 2, dostaneme −i = β(−i) + 1, a tedy v dal²ím kroku máme
hledat op¥t rozvoj stejného £ísla −i, a tak dokola.
Na otázku, s kterými bázemi β je vhodné pracovat v gaussovských celých £íslech,
libovolné
odpovídá následující v¥ta z [12]. Op¥t ji vyslovíme v jednodu²²í form¥.
V¥ta 3. Nech´ β = a + ib ∈ Z[i], a, b nesoud¥lná. Pak kaºdé z ∈ Z[i] lze zapsat
ve tvaru
z=
n
X
zk β k ,
kde
zk ∈ {0, 1, . . . , N (β) − 1},
k=0
tehdy a jen tehdy, kdyº
β = −n ± i
pro n¥jaké
n ∈ N, n > 1.
Algoritmus pro hledání rozvoje £ísla 278 v soustav¥ se sedmi£kovým základem
pouºíval zbytky po d¥lení základem
7.
Takový algoritmus je vhodný, kdyº chceme
hledat rozvoj celého £ísla. Nehodí se v²ak k tomu, abychom na²li rozvoj £ísla
π
v sedmi£kové soustav¥. Na hledání rozvoj· libovolných reálných kladných £ísel slouºí
hladový algoritmus
pro hledání rozvoje v bázi
β > 1:
k
Pro zadané x ∈ R, x > 0, nalezneme maximální k ∈ Z takové, aby β 6 x, a poloºíme
xk = b βxk c. Z volby k plyne, ºe 1 6 xk < β a £íslo x lze napsat jako x = xk β k + y ,
k
kde 0 6 y < β . Je-li y = 0, kon£íme, jinak stejný postup pouºijeme na £íslo y . Tuto
proceduru opakujeme, ale nemusíme se zastavit po kone£ném po£tu krok·. Získáme
tak kone£ný nebo nekone£ný °et¥zec cifer z mnoºiny
{m ∈ Z | 0 6 m < β}
a £íslo
x
zapsané jako
x = xk β k + xk−1 β k−1 + xk−2 β k−2 + . . .
Nap°. £íslo
π
v sedmi£kové soustav¥
(π)7 = 3 • 06634 . . ..
Co brání pouºití hladového algoritmu pro hledání rozvoje komplexních £ísel?
k
Na C nám schází rozumné uspo°ádání pro porovnání β 6 x. V roce 1989 na²el
Thurston [17] jednoduchou obdobu hladového algoritmu pro komplexní £ísla.
V¥ta 4. Nech´ β ∈ C, |β| > 1 je báze, A ⊂ C je kone£ná mnoºina cifer a V ⊂ C je
omezená mnoºina obsahující ve svém vnit°ku
0.
Pokud
βV ⊂ V + A := {v + a | v ∈ V, a ∈ A} ,
pak kaºdé
z∈C
lze zapsat ve tvaru
z = zk β k + zk−1 β k−1 + zk−2 β k−2 + . . .
4
, kde
zj ∈ A
pro kaºdé
j 6 k.
D·kaz. Protoºe
V
vhodnou mocninou
obsahuje ve svém vnit°ku 0, kaºdé z ∈ C m·ºeme vyd¥lením
β k dostat do V . Proto sta£í v¥tu dokázat pro z ∈ V . Z podmínky
βV ⊂ V + A najdeme k £íslu βz £íslo z1 ∈ V a cifru a1 tak, ºe βz = z1 + a1 , tj.
z = aβ1 + zβ1 . A analogicky najdeme z2 a cifru a2 tak, ºe βz1 = z2 + a2 , tj. z1 = aβ2 + zβ2 .
a
a
z
Po dosazení pak z = 1 + 22 + 22 . Zkonstruujeme tak posloupnost cifer an a £ísel
β
β
β
zn ∈ V takovou, ºe pro kaºdé n platí
a1 a2
an
zn
+ 2 + ... + n + n .
z=
β
β
β
β
Jelikoº je
V
omezená a
|β| > 1,
je
lim βznn = 0.
Okamºit¥ nás napadne, zda by nebylo moºné vyuºít p°edchozí v¥tu k d·kazu
β = i − 1 a abeced¥ A = {0, 1}.
Sta£ilo by najít n¥jaké okolí nuly V tak, aby (i − 1)V ⊂ V ∪ (V + 1). Kdybychom
se omezili na n¥jakou slu²nou mnoºinu V s plochou µ(V ), tak mnoºina (i − 1)V
má plochu 2µ(V ), a tu máme pokrýt dv¥ma kopiemi V a V + 1 p·vodní mnoºiny.
Aº na n¥jaké hrani£ní body by musela platit rovnost (i − 1)V = V ∪ (V + 1).
Hned je jasné, ºe jako V nem·ºe slouºit kruh, protoºe kruh dvojnásobné plochy
reprezentovatelnosti komplexních £ísel
z∈C
v bázi
nepokryjeme dv¥ma p·vodními kruhy. A stejn¥ nevhodné jsou i dal²í mnoºiny, jejichº
obrázek si v ruce na£rtneme. Z toho v²ak nelze usoudit, ºe vhodné
V
neexistuje.
V roce 1981 Hutchinson [11] dokázal následující v¥tu.
V¥ta 5. Pro libovolná kontrahující zobrazení 2 f1 , . . . , fr : Rn 7→ Rn existuje jediná
neprázdná kompaktní mnoºina
C ⊂ Rn
taková, ºe
C = f1 (C) ∪ . . . ∪ fr (C) .
β = i − 1 nám tato v¥ta aplikovaná na dv¥ kontrahující zobrazení komplexní
z+1
1
1
z
a f2 (z) =
zaru£í existenci V s vlastností V = V ∪ (V + 1).
roviny f1 (z) =
β
β
β
β
Jak V vypadá? Na to odpoví pohled do d·kazu Hutchinsonovy v¥ty. Nejd°íve
n
se ukáºe, ºe na prostoru v²ech kompaktních podmnoºin R , který je vybavený
Hausdorovou metrikou, je zobrazení F : X 7→ f1 (X) ∪ . . . ∪ fr (X) také konPro
trahující. A pak uº sta£í pouºít Banachovu v¥tu o pevném bod¥ kontrahujícího
zobrazení. Pevný bod lze zkonstruovat jako limitu iterací kontrahujícího zobrazení
na libovolnou po£áte£ní kompaktní mnoºinu. Takºe sta£í vzít nap°. V0 kruh. Pak
k
iterace F (V0 ) s dostate£n¥ velkým k bude velice blízká hledané mnoºin¥ V , viz
obr. 1. Tato mnoºina má fraktální hranici. Na druhé stran¥, kdyº uº víme, ºe kaºdé
β = i − 1 a abeced¥ {0, 1} reprezentovat, sta£í poloºit
V = {z ∈ C | (z)β = 0 • a1 a2 a3 . . .}. Z°ejm¥ pro komplexní rovinu platí C = Z[i] + V ,
a tedy rovinu lze periodicky vydláºdit kopiemi fraktální dlaºdice V .
Problém s hledáním vhodné mnoºiny V je zp·soben tím, ºe na pokrytí βV jsme
povolili jenom dv¥ kopie V . Kdybychom zv¥t²ili dostate£n¥ abecedu, pokryjeme βV
snadno. Na obr. 2 je zobrazena jiná volba mnoºiny V : β násobek mnoºiny V je
pokryt 5 kopiemi V posunutými o prvky abecedy {0, 1, −1, i, −i}.
komplexní £íslo lze v bázi
2 Kone£ná
mnoºina kontrahujících zobrazení na úplném metrickém prostoru se obecn¥ nazývá
iterated function system systém iterovaných funkcí, tento koncept byl zaveden v [11] a £asto
slouºí ke konstrukci fraktálních mnoºin.
5
Obrázek 1: Mnoºiny
V
a
V +1
spl¬ující vlastnost
(a)
(b)
Obrázek 2: (a) Jiná volba mnoºiny
Mnoºina
(i − 1)V
pokryta
(i − 1)V = V ∪ (V + 1).
5
kopiemi
V , vyobrazena
V.
je také mnoºina
(i − 1)V .
(b)
Soustavy, ve kterých je pouºito více cifer, neº je nutné, se nazývají redundantní. ƒísla v nich nemají jednozna£ný zápis. Velkým kladem redundantních soustav je, ºe umoº¬ují p°i s£ítání dvou °et¥zc· zpracovávat v²echny pozice paraleln¥, tj. máme-li dostatek procesor·, rychlost, jakou získáme sou£et dvou £ísel,
6
nezávisí na délce °et¥zc·. První algoritmus pro paralelní s£ítání navrhl Avizienis
v roce 1961, kdy p°edstavy o pouºití libovolného po£tu procesor· byly hodn¥ vzdálené realit¥. Jeho algoritmus pracoval s desítkovou soustavou a t°inácti ciframi
{−6, −5, . . . , −1, 0, 1, . . . , 5, 6},
2
viz [2].
Soustavy s iracionální bází
Pro zjednodu²ení situace se omezíme na reprezentace reálných £ísel. Jako bázi
β > 1.
zvolíme libovolné reálné £íslo
β
si
Pozorný £tená° si v²iml, ºe popsaný hladový
algoritmus nevyºaduje, aby báze byla p°irozeným £íslem. Soustavy s necelo£íselným
základem za£al jako první studovat Alfréd Rényi v [15]. P°edpokládejme v této
β∈
/ N. Cifry, které hladový algoritmus pro zápis kladného £ísla pouºívá,
0, 1, . . . , bβc.
kapitole, ºe
jsou
√
1+ 5
, tj. zlatý °ez, v¥t²í z ko°en· kvadratické
2
2
rovnice x = x + 1. Obvykle se zna£í φ a my toto zna£ení nadále pouºijeme. Rozvoje
k
k−1
£ísel s tímto základem budou vyuºívat cifry 0 a 1. Protoºe φ = φ
+φk−2 pro kaºdý
P°íklad 6.
index
Uvaºujme základ
k ∈ Z,
β =
hladový algoritmus nep°ipustí, aby dva sousední koecienty
xk−1
a
xk−2
byly oba jedni£ky. To je rozdíl oproti dvojkové soustav¥, kde ºádná kombinace
2
cifer není v zápisu £ísel zakázaná. Hledejme rozvoj £ísla x = 2. Protoºe φ 6 2 < φ ,
−2
hladový algoritmus dává x1 = 1 a 2 = x1 φ+y , kde pro zbytek y platí y = 2−φ = φ .
2
Poslední rovnost plyne ze vztahu φ = φ + 1. V dal²ím kroku hladového algoritmu
dostaneme uº nulový zbytek a algoritmus se zastaví. Získali jsme tak vyjád°ení
2 = φ+φ−2 , coº obvykle zapisujeme (2)φ = 10•01. V rozvoji celého £ísla 2 se uplatní
i záporné mocniny báze. Tento jev se u soustav s celo£íselnou bází
β
nevyskytoval.
To vedlo k zavedení nových celých £ísel v £lánku [4].
Pro obecný základ
β -rozvojem
β >1
se denují mnoºiny
β -celých
£ísel a £ísel s kone£ným
jako
Zβ = {±x | x ∈ R, x > 0 a (x)β = xk xk−1 . . . x0 •} a Fin(β) =
Je-li základ
[ 1
Z .
n β
β
n∈N
β ∈ N, mnoºina Zβ = Z. Jinak je Zβ 6= Z. Pro v²echny základy
Zβ diskrétní a relativn¥ hustá, tj. nemá vlastní hromadné body a
je v²ak mnoºina
vzdálenosti mezi nejbliº²ími sousedy jsou omezené. Nap°. pro zlatý °ez má mnoºina
Zφ mezi sousedy dva r·zné typy mezer, a to mezeru délky 1 a mezeru délky φ1 ,
3
viz obr. 3. Je-li báze β = , vzdálenosti mezi sousedy nabývají nekone£n¥ mnoha
2
hodnot.
Zájem o mnoºinu
Zφ
vzrostl mezi fyziky po objevu kvazikrystal·, tj. pevných
látek, jejichº difrak£ní obrázky lokáln¥ vykazují p¥ti£etnou rota£ní symetrii. Tato
symetrie se u krystal· nem·ºe vyskytovat. Objev prvního kvazikrystalu se datuje
rokem 1982, kdy Shechtman se spolupracovníky prudce zchladili slitinu hliníku a
manganu, viz [16]. Od té doby byly objeveny i dal²í pevné látky s krystalogracky
zakázanými lokálními symetriemi, a to osmi£etnou a dvanácti£etnou. Dnes pouºívané
7
Obrázek 3: N¥kolik nejmen²ích nezáporných
φ-celých
£ísel.
matematické modely kvazikrystal· popisují koordináty atom· pomocí mnoºiny
(v p°ípad¥ p¥ti£etné symetrie) namísto mnoºiny
Z
Zφ
v klasických krystalech, viz [4].
1 + 1 = 2 má v bázi
φ rozvoj s nenulovými ciframi i za zlomkovou te£kou. Pro základ β ∈
/ N platí obecn¥,
ºe Zβ + Zβ 6⊂ Zβ . Z aritmetického hlediska je v²ak uspokojující, kdyº sou£et dvou
Vid¥li jsme, ºe mnoºina
Zφ
není uzav°ená na sou£et, jelikoº
£ísel s kone£ným rozvojem má také kone£ný rozvoj. To uº implikuje, ºe sou£in dvou
£ísel s kone£ným rozvojem má také kone£ný rozvoj. Ani tato vlastnost v²ak není
samoz°ejmá, jak dokazuje následující v¥ta, která pochází od Frougny a Solomyaka
[8].
V¥ta 7. Nech´ pro bázi β > 1 platí Fin(β) + Fin(β) ⊂ Fin(β). Pak β je algebraické
celé £íslo a v²echny jeho sdruºené ko°eny jsou v absolutní hodnot¥ men²í neº jedna.
P°ipome¬me, ºe £íslo β nazýváme algebraickým, je-li ko°enem n¥jakého polyf (x) = xd + ad−1 xd−1 + . . . + a1 x + a0 , kde ak ∈ Q. Takovýchto polynom·
nomu
je víc, ale jenom jeden mezi nimi má minimální stupe¬, tomu °íkáme minimální
polynom £ísla
β.
β.
Ostatním ko°en·m minimálního polynomu se °íká sdruºené k £íslu
Stupn¥m algebraického £ísla
β
se rozumí stupe¬ jeho minimálního polynomu.
Jsou-li koecienty minimálního
√ polynomu celo£íselné, nazýváme β algebraické celé
1+ 5
je algebraické celé £íslo s minimálním polynomem
£íslo. Nap°. zlatý °ez φ =
2
√
x2 − x − 1 a k n¥mu sdruºený ko°en je φ0 = 1−2 5 .
Snadno se ukáºe, ºe algebraické celé £íslo β > 1, jehoº sdruºené ko°eny jsou
v absolutní hodnot¥ men²í neº jedna, má následující vlastnost: existuje
λ 6= 0 takové,
ºe
lim kλβ n k = 0,
(1)
n→∞
kde
kxk
zna£í vzdálenost
x
od nejbliº²ího celého £ísla. Algebraická £ísla
β > 1
s vlastností denovanou (1) se nazývají Pisotova £ísla. Na druhé stran¥ lze ukázat,
ºe kaºdé algebraické Pisotovo £íslo je algebraické celé a jeho sdruºené ko°eny jsou
v absolutní hodnot¥ men²í neº jedna. V¥tu 7 bychom tedy mohli vyslovit i ve tvaru,
ºe uzav°enost
Fin(β)
na s£ítání vynucuje, aby základ
£íslo. Mnoºina Pisotových £ísel, obvykle se zna£í
β
byl algebraické Pisotovo
S,
má zajímavé vlastnosti: je uza3
v°ená, její minimální prvek je reálný ko°en polynomu x − x − 1 (jeho hodnota je
β = 1, 32471 . . .),
S má nekone£n¥ mnoho hromadných bod·, nejmen²í
φ, atp., pro dal²í podrobnosti odkazujeme £tená°e na [5].
mnoºina
hromadný bod je zlatý °ez
Dlouholetou nevy°e²enou otázkou (Pisot·v Vijayaraghavan·v problém) je existence
£ísla s vlastností (1), které by nebylo algebraické.
8
Pisotova £ísla hrají v numera£ních systémech d·leºitou roli: je-li základ
sotovo £íslo, pak mnoºina
β -celých
β
Pi-
£ísel má pouze kone£n¥ mnoho r·zných mezer
mezi sousedními prvky [18]. Navíc posloupnost t¥chto mezer lze generovat p°episovacími pravidly [7].
Demonstrujme to na p°íklad¥ zlatého °ezu. Zde, jak jsme jiº zmínili, mezi sousedy
jsou mezery dvojího typu: mezera délky 1, tu ozna£me písmenem A,
1
, tu ozna£me písmenem B . Opakovan¥ budeme p°episovat slova
φ
v binární abeced¥ {A, B} pomocí p°episovacích pravidel A zam¥¬ za AB a B
v mnoºin¥
Zφ
a mezera délky
zam¥¬ za
A ,
p°i£emº za£neme s jednopísmenným slovem
A.
Postupn¥ dostáváme:
A 7→ AB 7→ ABA 7→ ABAAB 7→ ABAABABA 7→ ABAABABAABAAB 7→ . . .
Kaºdé dal²í slovo má jako svojí p°edponu p°edchozí slovo, takºe nekone£ným p°episováním získáme nekone£n¥ dlouhé slovo, které kóduje posloupnost mezer v mnoºin¥
Zφ , srovnej s obr. 3. Navíc délky generovaných slov jsou postupn¥ 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .,
tedy Fibonacciho £ísla. Numera£ní soustava se základem zlatý °ez úzce souvisí se soustavou, ve které se p°irozená £ísla vyjád°ují pomocí Fibonacciho £ísel pro tento ú£el
F0 = 1, F1 = 2 a Fn = Fn−1 + Fn−2 pro kaºdé n = 2, 3, 4, . . .. Libovolné m ∈ N lze vyjád°it ve tvaru m = Fkn + Fkn−1 + . . . + Fk0 , p°i£emº ki − 1 > ki−1
pro kaºdé i = 1, 2, . . . , n. Tedy zápis nedovoluje pouºít dv¥ sousedící Fibonacciho
denovaných jako
£ísla. Tomuto zápisu, zavedenému v [19], se °íká Zeckendorfova reprezentace £ísla.
Pro dal²í souvislosti, nap°. mezi provád¥ním aritmetických operací s £ísly zapsanými
v bázi
3
φ
a v Zeckendorfov¥ reprezentaci, odkazujeme £tená°e na [10].
Pisotova £ísla a aperiodická dláºd¥ní prostoru
Dal²í hezkou vlastností pisotovského základu
β
je souvislost takového numera£ního
systému s dláºd¥ním prostoru.
n
Dláºd¥ní prostoru R je dáno kone£nou mnoºinou
D
dlaºdic, jejichº kopiemi lze
vyplnit celý prostor bez mezer a toho, aby se dlaºdice p°ekrývaly. Up°esn¥me, ºe
n
dlaºdicí D ∈ D se rozumí kompaktní mnoºina s neprázdným vnit°kem v R taková,
ºe
D
se shoduje s uzáv¥rem svého vnit°ku; kopie dlaºdice D je mnoºina x + D
x ∈ Rn ; dv¥ kopie dlaºdic se nep°ekrývají, pokud ºádný vnit°ní bod
pro n¥jaké
jedné dlaºdice nepat°í jiné dlaºdici. Rozhodnout o dané kone£né mnoºin¥
D, zda její
pomocí lze vydláºdit prostor, je obecn¥ velice obtíºna úloha.
Pro názornost ukáºeme, jak vyuºít kubickou iracionalitu k vydláºd¥ní roviny.
3
2
Uvaºujme kubický polynom x − x − x − 1. Jeden jeho ko°en je β = 1, 83929 . . .,
dal²í dva ko°eny tvo°í komplexn¥ sdruºená £ísla
neº
pro
γ
a
γ
v absolutní hodnot¥ men²í
1. ƒíslo β je tedy Pisotovo. Numera£ní systém pouºívá cifry 0 a 1, a protoºe
β platí β 3 = β 2 + β + 1, hladový algoritmus nep°ipustí, aby β -rozvoj n¥jakého
£ísla obsahoval t°i po sob¥ jdoucí jedni£ky. Platí tedy
Fin(β) =
n
±
n
X
o
xk β m, n ∈ Z, xi ∈ {0, 1} a xi+2 xi+1 xi 6= 111 .
k
k=m
9
D•1
D•
D•11
Obrázek 4: Dlaºdice
D• , D•1
D•11 .
a
Ke konstrukci dláºd¥ní roviny budeme vyuºívat pouze nezáporné prvky
Fin(β).
Ty
lze rozd¥lit disjunktn¥ do spo£etn¥ mnoha mnoºin podle toho, jaká posloupnost
0
a
1
se vyskytuje v jejich zápise za zlomkovou te£kou. Nech´ tedy
{0, 1}, který neobsahuje
zna£me R a poloºme
v abeced¥
°et¥zc·
w
je °et¥zec
t°i po sob¥ jdoucí jedni£ky. Mnoºinu takových
T•w = {x > 0 | (x)β = xk xk−1 . . . x1 x0 • w}
pro kaºdé
w ∈ R.
w prázdný °et¥zec, tj. za zlomkovou te£kou nejsou ºádné
cifry, je T• = Zβ ∩ [0, +∞).
Denujme zobrazení mnoºiny Fin(β) ∩ [0, +∞) do C p°edpisem
Speciáln¥, je-li
x=
n
X
xk β k 7→ x0 =
k=m
n
X
xk γ k .
k=m
Pro £tená°e sb¥hlého v algeb°e dodejme, ºe p°i°azení
zmem
σ
mezi algebraickými t¥lesy
Protoºe sdruºený ko°en
nezáporných
β -celých
γ
nenulové
Q(β)
a
x 7→ x0
je denováno izomor-
Q(γ).
je v absolutní hodnot¥ menºí neº jedna, je obraz v²ech
(T• )0 = {x0 = σ(x) | x > 0, x ∈ Zβ }, mnoºina
£ísel, tj.
C. Uzáv¥r této mnoºiny se nazývá centrální dlaºdice p°íslu²ející k Pisotovu
£íslu β , zna£í se D• a je znázorn¥n na obr. 4. O této dlaºdici bylo ukázáno [1], ºe je
uzáv¥rem svého vnit°ku a ºe hranice D• má Lebesgueovu míru 0. Nyní uº m·ºeme
omezená v
popsat dláºd¥ní celé gaussovské roviny. Denujme dlaºdice
D•w := {x0 | x ∈ T•w }
pro kaºdé
w ∈ R,
kde pruh nad mnoºinou zna£í její uzáv¥r v klasické eukleidovské metrice na
dláºd¥ní je na obr. 5. Toto dláºd¥ní má následující vlastnosti:
10
C. ćst
Obrázek 5: ƒást dláºd¥ní gaussovské roviny dlaºdicemi
a)
Kaºdá dlaºdice
D•w
D• , D•1
je posunutou kopií jedné ze t°í r·zných dlaºdic
a
D•11 .
D• , D•1 nebo
D•11 .
b)
Kaºdá dlaºdice po zv¥t²ení faktorem
1
se dá poskládat z kopií
γ
Od·vodn¥me tyto vlastnosti. Mnoºinu °et¥zc·
R
jedni£ky lze totiº napsat jako disjunktní sjednocení
R} ∪ {110w | w ∈ R}.
Z denice mnoºiny
T•0w = T• + •0w ,
a
D•11 .
neobsahující t°i po sob¥ jdoucí
R = {0w | w ∈ R} ∪ {10w | w ∈
p°ímo plyne
T•10w = T•1 + •00w ,
T•110w = T•11 + •000w ,
(x)β = •w. A tedy dlaºdice D•0w je
posunutou kopií dlaºdice D• , dlaºdice D•10w je kopií D•1 a dlaºdice D•110w je kopií
D•11 . Pro od·vodn¥ní vlastnosti b) si sta£í uv¥domit, ºe β1 T• je mnoºinou £ísel, která
1
mají za zlomkovou te£kou nanejvý² jednu cifru. Proto z°ejm¥
T = T• ∪ T•1 , coº
β •
kde
•w
T•w
D• , D•1
ztotoº¬ujeme s £íslem
x,
pro které
vyjád°eno v dlaºdicích znamená
1
D• = D• ∪ D•1 .
γ
1
T = T•11 ∪ T•01 = T•11 ∪ T•
β •1
dostaneme dal²í ²kálovací identity. Vlastnost
Obdobn¥ ze vztah·
T• + •011
11
+ •01 a β1 T•11 = T•011 =
b) se nazývá sob¥podobnost
D•1
D•
D•01
Obrázek 6: Základní trojice dlaºdic odpovídající ko°enu rovnice
x3 = x2 + 1 .
dláºd¥ní a dává návod, jak z centrální dlaºdice D• postupným ²kálováním faktorem
1
nagenerovat dláºd¥ní celé roviny.
γ
Konstrukci mnoºin D•w , kterou jsme práv¥ popsali, lze provést pro kaºdé Pisod−1
tovo £íslo β stupn¥ d. Tyto mnoºiny budou tvo°it pokrytí prostoru R
, nemusejí
v²ak tvo°it dláºd¥ní prostoru, a to kv·li p°ekryv·m. Na otázku, kdy tvo°í dláºd¥ní,
odpovídá £áste£n¥ následující v¥ta z [1], která spojuje geometrické a aritmetické
vlastnosti numera£ního systému.
V¥ta 8. Nech´ β > 1 je Pisotova jednotka3 stupn¥ d > 2 a R mnoºina v²ech
kone£ných °et¥zc· vyskytujících se v
w probíhá R,
Fin(β).
kde
V p°ípad¥, ºe mnoºiny
stupni
β
β -rozvojích reálných £ísel. Pak mnoºiny D•w ,
Rd−1 práv¥ tehdy, kdyº Fin(β) + Fin(β) ⊂
tvo°í dláºd¥ní prostoru
D•w
tvo°í dláºd¥ní, je po£et r·zných dlaºdic roven alespo¬
a závisí na mnoºin¥ °et¥zc·, které se vyskytují v rozvojích £ísel v bázi
Nap°. nejmen²í Pisotovo £íslo
β,
β.
které je kubické, generuje dláºd¥ní s p¥ti r·z-
nými dlaºdicemi. R·znost dlaºdic nevylu£uje, ºe jedna dlaºdice je násobkem jiné.
je posunutou γD• . Zajímavé je dláºd¥ní pomocí ku3
2
bické iracionality, která je ko°enem rovnice x = x + 1, viz obr. 6. V²echny dlaºdice
Nap°. na obr. 4 vidíme, ºe
D•11
jsou pouze kopiemi centrální dlaºdice v r·zných velikostech.
Zásadní rozdíl mezi dláºd¥ním roviny pomocí dlaºdice
pisu komplexních £ísel v bázi
β = i − 1,
V , které jsme získali p°i zá-
a dláºd¥ním konstruovaném pro Pisotovo
£íslo je, ºe Pisotova £ísla dávají aperiodická dáºd¥ní, tedy dláºd¥ní nelze posunout
o n¥jaký vektor tak, aby se krylo s p·vodním dláºd¥ním.
3 Minimání
polynom £ísla β má absolutní £len ±1.
12
4
Záv¥r
Studium pozi£ních systém· p°iná²í °adu hezkých matematických problém·, které
zasahují do teorie £ísel a topologie. Praktických vyuºití pozi£ních soustav s necelo£íselným základem zatím není mnoho. Krom¥ jiº zmín¥ných model· kvazikrystal·
je pozoruhodná dal²í aplikace numera£ní soustavy se základem
φ,
zlatý °ez. Ta po-
slouºila Daubechiesové a spol. k robustnímu kódování analogového signálu, viz [6].
Naopak pozi£ní soustavy s celo£íselným základem a roz²í°enou mnoºinou cifer,
tedy soustavy umoº¬ující paralelní zpracování cifer daného £ísla, se dnes b¥ºn¥ vyuºívají ve víceprocesorových aritmetických jednotkách. Ty se uplat¬ují hlavn¥ p°i
algoritmech pro ²ifrování, které pracují s velkými £ísly, nap°. metoda RSA. O t¥chto
soustavách jsme se zmínili jenom krátce. Do pov¥domí ²ir²í odborné ve°ejnosti totiº
vstoupily samy kv·li slavné chyb¥ procesoru Pentium odhalené v roce 1997. Pentium (tenkráte ale i dnes) pouºívá pro d¥lení algoritmus SRT a redundantní soustavu
se základem
β=4
a p¥ti ciframi
{−2, −1, 0, 1, 2},
viz [13].
Ná² p°ísp¥vek se v¥nuje pouze pozi£ním zápis·m £ísel. Tím nechceme °íct, ºe jiné
neº pozi£ní systémy nejsou d·leºité. Nap°. zápis reálného £ísla pomocí °et¥zového
zlomku, tj. ve tvaru
a0 +
1
a1 +
1
a2 + a1 ...
,
kde
a0 ∈ Z
a
ai ∈ N
pro
i > 1,
(2)
3
je nenahraditelný p°i racionálních aproximacích iracionálních £ísel. V matematické
literatu°e lze nalézt r·zná zobecn¥ní °et¥zových zlomk·. Jedno z nich, zavedeno Bernatem [3], p°ipou²tí v zápisu (2) jako koecienty
φ-celá
£ísla, tj.
ai ∈ Zφ .
Zajímavé
výsledky o °et¥zových zlomcích by v²ak samy sta£ily na dlouhý £lánek.
Pod¥kování:
Tato práce byla podpo°ena grantem Studentské grantové sout¥ºe
ƒVUT £. SGS11/162/OHK4/3T/14.
Literatura
[1] Akiyama, S.: On the boundary of self ane tilings generated by Pisot numbers,
J. Math. Soc. Jap.
54
(2002), 283308.
[2] Avizienis, A.: Signed-digit number representations for fast parallel arithmetic,
IRE Trans. Electron. Comput.
10
(1961), 389400.
[3] Bernat, J.: Continued fractions and numeration in the Fibonacci base, Discrete Math.
306
(2006), 28282850.
[4] Burdík, ƒ., Frougny, Ch., Gazeau, J. P., Krejcar, R.: Beta-integers as
natural counting systems for quasicrystals, J. Phys. A-Math. Gen.
64496472.
13
31
(1998),
[5] Boyd, D. W.: Pisot and Salem numbers in intervals on the real line, Math.
Comput.
32
(1978), 12441260.
[6] Daubechies, I., Güntürk, C.S., Wang, Y., Yilmaz, Ö.: The golden ratio
encoder, IEEE Trans. Inform. Theory
[7] Fabre, S.: Substitutions et
137
56
β -systèmes
(2010), 50975110.
de numération, Theor. Comput. Sci.
(1995), 219236.
[8] Frougny, Ch., Solomyak, B.: Finite beta-expansions, Ergod. Theor. Dyn.
Syst.
12
(1992), 713723.
[9] Gauss, C. F.: Werke, Teubner (1900).
[10] Graham, R. L., Knuth, D. E., Patashnik, O.: Concrete Mathematics: A
Foundation for Computer Science, 2nd ed., 1994, Addison-Wesley.
[11] Hutchinson, J.: Fractals and self-similarity, Indiana Univ. Math. J.
30
(1981), 713747.
[12] Katai, I., Szabó, J.: Canonical number systems, Acta Sci. Math.
37
(1975),
255280.
[13] Muller, J.-M.: Elementary Functions, Algorithms and Implementation, 2nd
ed., 2006, Birkhauser, Boston.
[14] Penney, W.: A binary system for complex numbers, J. ACM
12
(1965),
247248.
[15] Rényi, A.: Representations for real numbers and their ergodic properties, Acta
Math. Acad. Sci. Hung.
8
(1957), 477493.
[16] Shechtman, D., Blech, I., Gartias, D., Cahn, J. W.: Metallic phase with
Long-range orientational order and no translation symmtery, Phys. Rev. Lett.
53
(1984), 19511953.
[17] Thurston,
W.
P.:
Groups,
tilings,
and
nite
state
automata,
AMS
Colloquium Lecture Notes, American Mathematical Society, Boulder, 1989.
[18] Schmidt, K.: On periodic expansions of Pisot numbers and Salem numbers,
Bull. London Math. Soc.
12
(1980), 269278.
[19] Zeckendorf, E.: Représentation des nombres naturels par une somme des
nombres de Fibonacci ou de nombres de Lucas, Bull. Soc. Roy. Sci. Liège
(1972), 179182.
14
41