Pravděpodobnostní výpočty

PRAVDĚPODOBNOSTNÍ VÝPOČTY
Pravděpodobnostní výpočty provádíme za předpokladu, že zkoumané termíny jsou nezávislé
náhodné veličiny s normálním rozdělením. Tento předpoklad je splněn zpravidla u projektů
s velkým počtem činností. Zdůvodnitelný je zejména u doby trvání celého projektu. Podle
centrální limitní věty platí, že rozdělení náhodné veličiny T , která je součtem velkého počtu
nezávislých shodně rozdělených náhodných veličin tij, se blíží normálnímu rozdělení
N T ; σ 2 (T ) .
Výpočet pravděpodobnosti dodržení plánovaného termínu
Tato pravděpodobnost se určí pomocí hodnot distribuční funkce Φ( x ) normovaného
(
)
normálního rozdělení N(0;1). Nejprve se musí náhodná veličina Tn(0 ) transformovat na
normovanou proměnnou
U =
(0)
(0)
− Tn
σ (T n ( 0 ) )
Tn
.
Potom
P (Tn
( 0)
⎛ T pl ( 0 ) − Tn ( 0 )
≤ T pl ) = Φ⎜
⎜ σ (T ( 0) )
n
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
(1)
(0 )
Pokud je plánovaný konec dřívější než střední hodnota doby trvání projektu ( T pl < T n ),
argument funkce Φ ( x ) ve vzorci (1) je záporný. Hodnotu distribuční funkce normovaného
normálního rozdělení počítáme podle vztahu Φ (− u ) = 1 − Φ (u ), u > 0 . Pravděpodobnost
dodržení tohoto termínu bude menší než 50%.
(0 )
Pokud je plánovaný konec shodný se střední hodnotou doby trvání projektu ( T pl = T n ),
pravděpodobnost dodržení termínu bude 50%.
(0 )
Pokud je plánovaný konec pozdější než střední hodnota doby trvání projektu ( T pl > T n ),
pravděpodobnost dodržení termínu je větší než 50%.
Příklad 1:
Střední hodnota doby trvání projektu je 40,33 týdnů s rozptylem 3,43. S jakou
pravděpodobností bude projekt ukončen nejpozději v čase 42 týdnů?
⎛ 42 − 40,33 ⎞
⎟ = Φ (0,90 )´= 0,8159
P T9(0 ) ≤ 42 = Φ⎜⎜
⎟
3
,
43
⎝
⎠
V tabulce distribuční funkce normovaného normálního rozdělení k příslušnému argumentu
najdeme pravděpodobnost.
Projekt bude ukončen nejpozději ve 42 týdnu s pravděpodobností 81,59%.
(
)
Příklad 2:
Střední hodnota doby trvání projektu je 40,33 týdnů s rozptylem 3,43. S jakou
pravděpodobností bude projekt ukončen nejpozději v čase 39 týdnů?
⎛ 39 − 40,33 ⎞
⎟ = Φ(− 0,72 )´= 1 − Φ (0,72) = 1 − 0,7642 = 0,2358
P T9(0 ) ≤ 39 = Φ⎜⎜
⎟
3
,
43
⎝
⎠
(
)
Projekt bude ukončen nejpozději ve 39 týdnu s pravděpodobností 23,58%.
Určení doby trvání projektu při zvolené míře rizika
Tuto dobu lze stanovit rovněž s využitím tabulek funkce Φ ( x ) . Je-li velikost rizika r
v procentech, v tabulce distribuční funkce normovaného normálního rozdělení najdeme
argument t, pro který funkce Φ (t ) nabývá hodnoty 1 − 0,1r .
Odpovídající dobu trvání projektu T zjistíme ze vztahu :
T −T
,
t=
σ (T )
ze kterého vyjádříme dobu trvání projektu T:
T = T + tσ (T ).
(2)
Příklad 3:
Střední hodnota doby trvání projektu je 40,33 týdnů s rozptylem 3,43. Určete dobu realizace
projektu, která bude dodržena s rizikem 20%.
20tiprocentnímu riziku odpovídá 80tiprocentní pravděpodobnost. Pro tuto pravděpodobnost
zjistíme argument distribuční funkce t = 0,84. Po dosazení do vzorce (2) zjistíme
požadovanou dobu T = 40,33 + 0,84 3,43 = 41,88 . S 80ti procentní pravděpodobností
můžeme očekávat, že projekt skončí dříve než v čase 41,88 týdne.
SIMULACE
Simulace je proces, během něhož počítač napodobuje reálné situace. Neznámý parametr se
nevypočte žádnými vzorci, nýbrž napodobováním běhu reálného systému na počítači.
Simulace se věnuje systémům pravděpodobnostním a dynamickým, neboť právě ty jsou pro
analytické řešení složité. S modelem se provádí experiment, nastavují se různé parametry
modelu a zjišťuje se jeho chování. V simulačním modelu jde o statistický experiment.
Výsledek matematického modelu je přesný, výsledkem simulačního modelu je odhad. Bez
výpočetní techniky by nebylo možné rozsáhlé výpočty realizovat.