Úloha 1. Najděte největší přirozené číslo, které dělí výraz p 4 − 1 pro

TR
ko
Úloha 1. Najděte největší přirozené číslo, které dělí výraz p4 − 1 pro všechna
prvočísla p > 4.
Řešení. Jinými slovy hledáme největší společný dělitel a pro každé prvočíslo q
potřebujeme zjisti, v jaké nejmenší mocnině může být p4 − 1 dělitelné prvočíslem
q přes všechna p > 4. Je-li q > 4, je odpověď 0, protože p 6| p4 − 1. Zbývá q = 2
a q = 3. Rozložíme
p4 − 1 = (p2 − 1)(p2 + 1) = (p − 1)(p + 1)(p2 + 1).
Pro liché prvočíslo p bude každá z těchto tří závorek sudá a alespoň jedna ze
závorek (p − 1), (p + 1) dokonce dělitelná čtyřma. Proto bude p4 − 1 dělitelné
šestnácti, ale již nemusí být dělitelné číslem 32 (selže již p = 5). Podobně bude
alespoň jedna z těchto dvou závorek dělitelná třemi, protože p není dělitelné
třemi. Celkově tak p4 − 1 je dělitelné třemi, ale devíti již nemusí (selže již pro
p = 5). bude vždy dělitelné třemi. Odpověď tak je 16 · 3 = 48.
Úloha 2. Jsou dána reálná čísla a1 , a2 , . . . , an , jejichž součet je 0, ale součet
jejich absolutních hodnot je 1. Dokažte
|a1 + 2a2 + 3a3 + · · · + nan | ≤
n−1
2
Řešení. Stačí dokázat
a1 + 2a2 + 3a3 + · · · + nan ≤
n−1
,
2
tedy bez absolutní hodnoty okolo. To proto, že je-li výraz nalevo záporný, stačí
převrátit znaménka všem ai .
Označme k součet kladných ai a z součet záporných ai . Platí k + z = 0,
k − z = 1, tedy k = 1/2, z = −1/2. Můžeme odhadnout
a1 + 2a2 + 3a3 + · · · + nan ≤ nk + z =
což jsme chtěli dokázat.
n−1
,
2
Úloha 3. Konvexní geometrický útvar U má tu vlastnost, že pro každou přímku
p je kolmá projekce1 útvaru U na přímku p úsečkou o délce 1. Musí být už nutně
U kruhem?
Řešení. Nemusí, stejnou vlastnost zajistíme, když k e stranám rovnostranného
trojúhelníku o straně délky 1 přilepíme kruhové úseče se středem v opačném
bodě. Dohromady tyto úseče pokrývají úhel 180◦ , tedy pro každý směr se bude
jedna rovnoběžka dotýkat oblouku úseče a druhá procházet protějším vrcholem.
Úloha 4. Dokažte, že existuje nekonečně mnoho přirozených čísel, která nejdou
vyjádřit ve tvaru
a3 + b5 + c7 + d9 + e11 ,
kde a, b, c, d, e jsou přirozená čísla.
Řešení. Zvolme přirozené číslo N a shora odhadneme počet čísel menších než
N , které lze takto vyjádřit. Je-li
a3 + b5 + c7 + d9 + e11 < N,
musí
1
a < N 3,
1
b < N 5,
1
1
1
c < N 7,
1
1
d < N 9,
1
1
d < N 11 .
1
To dává celkově méně než N 3 · N 5 · N 7 , ·N 9 · N 11 = N 3043/3465 možností, co
dosazovat za (a, b, c, d, e). Pod N je proto alespoň
3043
N − 1 − N 3465
čísel, které nejdou vyjádřit, přičemž tento počet lze našováním N učinit libovolně
velký. Konkrétně pro dané n > 1 volíme N = n3465 a víme, že nevyjádřitelných
čísel najdeme
n3465 − 1 − n3043 > n3465 − n3044 > n(n3464 − n3043 ) > n.
1
Kolmá projekce vznikne tak, že každý bod X útvaru U nahradíme bodem přímky p, který
je nejblíže k X.
Úloha 5. Závaží mají postupně hmotnosti 1g, 2g, . . ., 200g. Tato závaží jsou
rozestavená na rovnoramennou váhu tak, že je sto na jedné misce, sto na druhé
a váha je vyvážená. Dokažte, že je možné vyměnit 50 závaží z jedné misky s 50
závažími z druhé, aby byla váha stále vyvážená.
Řešení. Dvojici závaží, která má součet 201 nazveme párem. Rozlišíme dva případy.
1. Na jedné misce vah je alespoň 25 celých párů. Stejný počet celých párů
bude i na druhé misce vah a každý pár váží stejně. Stačí proto prohodit
25 párů za 25 párů.
2. Na jedné misce vah je 50 závaží, které mají svůj doplněk do páru na druhé
misce vah. Pak stačí těmto 50 závaží přinést jejich doplňky na první misku
výměnou za nadbytečná závaží. Pak budou na obou miskách závaží spárovaná a proto budou obě vážit 201 · 50g.