Automaty a jazyky

Automaty a jazyky
Úvod
V historii i v současnosti matematiky a informatiky hrály a hrají důležitou roli předpisy
k řešení konkrétních úloh, např. předpisy pro čtyři základní aritmetické operace s přirozenými
čísly zapsanými v desítkové soustavě. Předpisy tohoto charakteru se zabýval počátkem
devátého století arabský matematik Abdalláh Muhammad ibn Músa, al-Chwárizmí (nebo alChorezmí) al-Madžúsí, latinské zkomolení části jeho jména uvedlo do evropských jazyků
slovo algoritmus. Známe-li etymologii slova, neznamená to, že bychom znali jeho význam.
Uveďme filosofické vymezení tohoto pojmu.
Algoritmem rozumíme přesný předpis, podle kterého máme vykonat v určitém pořadí konečný
počet operací, které vedou k řešení každé úlohy či každého problému daného typu.
Uveďme několik příkladů známých algoritmů.
(1) Výše zmíněné čtyři základní aritmetické operace s přirozenými čísly zapsané
v desítkové číselné soustavě (nebo v soustavě o jiném základu, např. 2).
(2) Stará čínská matematika měla pro řešení nejrůznějších typů úloh zásobu algoritmů,
které byly pečlivě předávány z generace na generaci. Ke zjištění, zda přirozené číslo n
je prvočíslo, měli čínští matematici jednoduchý algoritmus – stačilo zjistit, zda číslo n
dělí beze zbytku číslo 2n – 2. Pokud ano, jde o prvočíslo, pokud je zbytek nenulový,
jde o číslo složené. Tento algoritmus má jeden kaz, na který staří Číňané nepřišli – jde
o nesprávný algoritmus. Nejmenší číslo, které dává chybnou odpověď, je 341, protože
číslo 2341 – 2 je dělitelné číslem 341, ale 341 = 11 . 31, tzn. 341 není prvočíslo, ale
číslo složené. Existuje obrana proti takovým nepříjemným překvapením? Odpověď
nalezneme, srovnáme-li matematické tradice staré Číny se starou řeckou matematikou.
V Číně se uvedl předpis a dále se nezkoumal, tj. zasvěcenec předal algoritmus
zasvěcenci („program přehrál z paměti do paměti“) a ten jej začal používat.
V antickém Řecku následovala ještě fáze – proč algoritmus skutečně dělá to, co se
tvrdí? Tj. algoritmus doprovázel důkaz1.
(3) Již ve starověku známý Euklidův algoritmus popsat takto: Jsou-li m a n kladná
přirozená čísla, potom největšího společného dělitele čísel m a n určíme
v následujících postupných krocích.
1. krok – dělme číslo m číslem n. Zbytek dělení označme r (0 ≤ r < n).
2. krok – je-li r = 0, potom n je největší společný dělitel;
je-li r > 0, potom pokračujme třetím krokem.
3. krok – dosaďme za m číslo n a za n číslo r a opakujme postup od prvního
kroku.
Vymezení pojmu algoritmus, které jsme uvedli, slouží jako vodítko pro vyšetření, zda
konkrétní předpis je algoritmus. Možnosti takové „definice“ jsou z hlediska matematiky a
informatiky nedostatečné.
Problematika automatů a formálních jazyků, jimž je věnována tato kapitola, patří mezi nejdéle
studované a nejpodrobněji zpracované disciplíny tvořící matematickou informatiku. Dosažené
výsledky se uplatňují nejen při návrhu počítačů, ale i např. při studiu živých organismů.
Uveďme některé základní pojmy.
X je abeceda, jestliže X je konečná neprázdná množina symbolů, tj. X = {a1, a2, a3, a4,…, an}.
Symbolem ε označíme prázdný symbol. Některé abecedy mohou obsahovat i tento symbol.
Slovem v abecedě X rozumíme libovolný konečný řetězec sestavený ze symbolů abecedy X,
počet členů tohoto řetězce nazýváme délkou slova. Uvažujeme i prázdné slovo (tj. slovo délky
1
Tento algoritmus sebou nese poučení, jehož důležitost snad ani nelze dostatečně zdůraznit – i algoritmus, který
byl dlouhou dobu používán a testován, může být špatný. A to natolik špatný, že nejrozumnější náprava je jej
zahodit a hledat jiný algoritmus.
0), které označujeme Λ. Slovo A je podslovem slova B v abecedě X, jestliže slovo A tvoří
souvislý řetězec ve slově B. Jsou-li A a B slova v abecedě X, potom zřetězením slov A a B
rozumíme slovo AB. Jsou-li a a b symboly abecedy X, potom symbolem a2b3 označuje slovo
aabbb.
Symbolem X* označíme množinu všech slov v abecedě X a symbolem X+ označíme množinu
všech neprázdných slov v abecedě X, tj. X* = X+ U {Λ} a X* – {Λ} = X+.
Je-li X abeceda, potom L nazveme jazykem nad abecedou X, jestliže L je podmnožinou
množiny X*.
Ve smyslu tohoto označení je každý přirozený jazyk, např. i čeština, jazykem nad abecedou.
Řetězce tohoto jazyka jsou všechny správně utvořené české věty. Do příslušné abecedy patří
kromě všech symbolů české abecedy ještě všechna interpunkční znaménka a mezera (tj.
prázdný symbol ε). Jiným typem objektů, které je užitečné zkoumat aparátem formálních
jazyků, jsou programovací jazyky – řetězcem v příslušném jazyku je zpravidla každý
syntakticky správný program v příslušném jazyku.
Automaty
Teorie automatů vznikla primárně z impulsů nematematických. Samotný název automat nebo
adjektivum automatický označuje objekt nebo činnost, která probíhá v jednoduchých krocích,
které se opakují při řešení téže úlohy. Teorie automatů vznikla v rámci kybernetiky a přinesla
do matematiky nový pohled na různé problémy. Vývoj vedl k tomu, že se do středu zájmu
dostaly partie, které dříve stály na okraji.
Již ve starověku Herón Alexandrijský (žil nejspíše v 1. stol. n. l.), zvaný Méchanikos,
zkonstruoval automat na prodej „svěcené vody“ a automat na otvírání chrámových dveří. Tyto
mechanismy měly stejný funkční princip jako moderní prodejní automaty, tj. bezprostředně
po vhození vhodné mince vydaly příslušné množství vody nebo otevřely dveře. Simulovaly
nejjednodušší reakce organismů – nepodmíněné reflexy.
Teorie automatů vznikla ve třicátých letech dvacátého století. V r. 1936 definoval Turing
stroj, který se dnes nazývá Turingův stroj. Z dnešního hlediska jde o automat s nekonečnou
pamětí. My se budeme věnovat automatům s pamětí konečnou. V r. 1943 americký fyziolog
McCulloch a americký matematik Pitts vytvořili idealizovaný model neuronové sítě, který je
v jistém smyslu předobrazem automatu. Po r. 1950 vyšly první práce, ve kterých byl
definován konečný automat, touto problematikou se zabývali mj. Mealy a Moore. Od té doby
se teorie automatů rozvíjela někdy i velmi bouřlivým tempem.
Automaty můžeme zkoumat ze dvou hledisek – strukturálního a behavioristického.
Zkoumáme-li automat ze strukturálního hlediska, pak nás zajímá, z čeho je sestrojen, tj. jaké
součástky jsme při jeho výstavbě použili. Zajímalo by nás také jak minimalizovat množství
součástek, aby zařízení vykonávalo právě činnost, kterou si představujeme.
Vyšetřujeme-li automat z hlediska behavioristického2, zajímá nás jiná situace – prostředí
obklopující automat působí na něj prostřednictvím několika vstupních kanálů, automat na
vstupní signály reaguje a vydává výstupními kanály výstupní signály, jimiž zpětně působí na
okolní prostředí. Jde o to věnovat se závislosti mezi vstupními a výstupními signály (zkráceně
vstupy a výstupy). Při našem zkoumání vyjdeme z behavioristického hlediska (viz obr. 1).
vstupní
kanály
automat
výstupní
kanály
Obr. 1.
2
Ze slova behaviour v britské angličtině nebo behavior v americké angličtině, které znamená chování.
Otázky tohoto typu se někomu mohou zdát na první pohled umělé. To je způsobeno jistou
dosti vžitou, ale mylnou představou o automatech. Podle této povrchní představy je automat
charakterizován právě tím, že vztah mezi vstupem a výstupem je velmi jednoduchý, např.
- vhodíme minci, vypadne krabička s filmem;
- vhodíme minci a restauraci zaplaví ryčná hudba;
- rozbijeme výlohu, začne houkat siréna atd.
Podobně se tvrdívá, že jeden z rozdílů mezi automatem a živým organismem lze
charakterizovat tím, že automat reaguje na stejné podněty stále stejně, zatímco reakce živého
organismu se na tytéž podněty měnívá. V učebnicích psychologie najdeme schéma uvedené
na obr. 2. Reakce organismu je spoluurčena ještě dalším faktorem, jímž je „intervenující“
proměnná. O vztahu mezi podnětem a reakcí např. u prodejních automatů není potřeba dlouze
uvažovat. Vztahy určené druhým z uvedených schémat jsou alespoň v nějaké formě
předmětem každodenních úvah každého z nás. Již v útlém věku pozorujeme, že druzí lidé
reagují na stejné podněty za různých okolností různě a to za okolností, které se navzájem liší
různým „stavem“ (náladou, novými zkušenostmi, únavou apod.) reagujícího člověka. Jinak
reaguje otec na první synovu pětku, jinak na pátou pětku. Jinak reaguje člověk (ve většině
případů) na první sklenku vína než na šestou. Jinak reaguje člověk v tramvaji na větu
z tlampače: Vystupte si, zatahujeme!, slyší-li ji poprvé v daném dnu, než když ji slyší tentýž
den počtvrté. Mnohdy je pro nás důležité uhodnout, jak druhý reaguje na opakovaný podnět
(Řekni to ještě jednou!). Bylo to právě chování člověka a chování živých organismů, které
daly impuls k rozvoji teorie automatů. I Turing navrhl své stroje tak, že je definoval na
základě analýzy činnosti živého výpočtáře, který pracuje algoritmicky.
podnět
reakce organismu
intervenující
reakce
proměnná
Obr. 2.
Růst významu samočinných počítačů jako impulsu k rozvoji teorie automatů je daleko
pozdějšího data. V dnešní době otázky, které souvisejí s počítači, zaujímají v teorii automatů
centrální postavení. Svůj význam si ovšem podržely i otázky biologicky motivované
(celulární automaty, otázky samoreprodukce automatů, modely zkoumání růstu jednoduchých
organismů atp.). Na konci 20. stol. nabyly na důležitosti i aplikace teorie automatů ve
společenskovědních oborech (stabilita systémů).
O automatech, kterými se budeme zabývat, lze obecně říci:
(a) Vstupní signály takového automatu budou prvky nějaké abecedy X (tzv. vstupní
abecedy). Budeme hovořit o vstupních symbolech.
(b) Výstupní signály (výstupní symboly) budou prvky abecedy Y (tzv. výstupní abecedy).
(c) Automat bude pracovat v diskrétní časové škále t0, t1, t2, … V každém časovém
okamžiku bude na vstupu jeden symbol ze vstupní abecedy X a automat vydá jeden
symbol z výstupní abecedy Y. V dalším budeme časové okamžiky značit přirozenými
čísly 0, 1, 2, … Okamžik t+1 označuje časový okamžik následující bezprostředně po
časovém okamžiku t.
(d) Reakce automatu bude určena obdrženým vstupním signálem a vnitřním stavem, ve
kterém se automat nachází.
(e) Předpokládáme, že se automat může nacházet v konečně mnoha vnitřních stavech.
Konečné automaty
Mealyho automatem3 (nebo automatem) rozumíme uspořádanou šestici
A = [Q, X, Y, q0, δ, λ],
kde Q je neprázdná konečná množina vnitřních stavů,
X je vstupní abeceda,
Y je výstupní abeceda,
q0 je počáteční vnitřní stav (q0 є Q),
δ je zobrazení nazývané přechodová funkce, která všem vnitřním stavům a všem prvkům
vstupní abecedy přiřazuje vnitřní stavy,
λ je zobrazení nazývané výstupní funkce, která všem vnitřním stavům a všem prvkům
vstupní abecedy přiřazuje prvky výstupní abecedy.
1. příklad
Uvažujme automat A takový, že Q = {q0, q1, q2}, kde q0 je počáteční vnitřní stav, vstupní
abeceda X = {0, 1}, výstupní abeceda Y = {a, b}, přechodová funkce δ je definována
δ(q0,0) = q1,
δ(q1,0) = q2,
δ(q0,1) = q0,
δ(q1,1) = q0,
výstupní funkce λ je definována
λ(q0,0) = b,
λ(q0,1) = b,
δ(q2,0) = q2,
δ(q2,1) = q2,
λ(q1,0) = b,
λ(q1,1) = b,
λ(q2,0) = a,
λ(q2,1) = a.
Tento automat lze reprezentovat několika způsoby.
(1) Tabulkami přechodové a výstupní funkce, tj.
δ
q0
q1
q2
0
q1
q2
q2
1
q0
q0
q2
λ
q0
q1
q2
0
b
b
a
1
b
b
a
(2) Smíšenou tabulkou pro přechodovou a výstupní funkci
δ, λ
0
1
q0
q1, b
q0, b
q1
q2, b
q0, b
q2
q2, a
q2, a
(2) Stavovým diagramem, což je orientovaný pojmenovaný multigraf, jehož vrcholy tvoří
vnitřní stavy, orientovaná hrana z vrcholu q do vrcholu q’ označená c/d vyjadřuje
hodnotu přechodové funkce δ(q, c) = q’ a λ(q, c) = d, kde c je prvek vstupní abecedy a
d je prvek výstupní abecedy (viz obr. 3).
Předpokládáme, že automat přijímá vstupní slovo od konce. Mějme např. vstupní slovo
0100101101, které lze také zapsat 0102101201. Automat A začíná svou činnost v počátečním
vnitřním stavu q0. Označme symbolem t časový okamžik, x(t) vstupní symbol v okamžiku t,
δ(t) vnitřní stav automatu v okamžiku t a λ(t) výstupní symbol v okamžiku t.
V čase t = 0 je automat A v počátečním vnitřním stavu q0 a na vstupu je poslední znak
vstupního slova 1.
V čase t = 1 automat zpracuje vstupní symbol 1 a vydá výstupní symbol λ(1) = λ(q0, 1) = b
(což je poslední znak výstupního slova), přejde do vnitřního stavu δ(1) = δ(q0, 1) = q0. a na
vstupu se objeví předposlední znak vstupního slova 0.
3
Také se používá termín konečný automat nebo konečný sekvenční stroj nebo krátce stroj.
V čase t = 2 automat zpracuje vstupní symbol 0 a vydá výstupní symbol λ(2) = λ(q0, 0) = b
(což je předposlední znak výstupního slova), přejde do vnitřního stavu δ(2) = δ(q0, 0) = q1. a
na vstupu se objeví další znak vstupního slova 1. V tabulce můžeme zapsat
t
0
1
2
x(t)
1
0
1
δ(t)
q0
q0
q1
λ(t)
b
b
V dalších časových okamžicích budeme postupovat analogicky až v čase t = 9 bude na vstupu
první znak vstupního slova 0, automat bude ve vnitřním stavu q2 a dostaneme se do časového
okamžiku t = 10, vydá výstupní symbol λ(10) = λ(q2, 0) = a (což je první znak výstupního
slova), přejde do vnitřního stavu δ(10) = δ(q2, 0) = q2. Zpracování celého vstupního slova
můžeme zapsat v tabulce
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x(t)
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
δ(t)
q0
q0
q1
q0
q0
q1
q0
q1
q2
q2
q2
λ(t)
b
b
b
b
b
b
b
b
a
a
Výstupní slovo je aabbbbbbbb (i výstupní slovo je vydáváno od konce), které lze také zapsat
a2b8. Všimněme si, že pro automat A platí – dostane-li se do vnitřního stavu q2, potom jej už
neopustí a ve vnitřním stavu q2 začne vydávat samá a.
Slovy lze popsat chování automatu A takto – automat vydává symbol b tak dlouho, dokud
není ve vstupním slovu dvakrát za sebou symbol 0, od takového okamžiku vydává pouze
symbol a.□
0/b
q0
q1
1/b
1/b
0/b
q2
1/a
0/a
Obr. 3.
Poznamenejme, že platí – je-li úloha řešitelná automatem, je také algoritmicky řešitelná (tj.
existuje algoritmus, který ji řeší). Opačné tvrzení obecně neplatí – existují algoritmicky
řešitelné úlohy, které nejsou řešitelné automaty.
Mějme automat A = [Q, X, Y, q0, δ, λ]. Indukcí definujeme zobecněnou přechodovou funkci δ+
a zobecněnou výstupní funkci λ+:
(a) Pro libovolný vnitřní stav q z Q a pro libovolný vstupní symbol x z X je
δ+
+
(q, x) = δ(q, x) a λ (q, x) = λ(q, x).
(b) Pro libovolný vnitřní stav q z Q, pro libovolný vstupní symbol x z X a pro libovolné
slovo P z X + je δ+(q, xP) = δ(δ+(q, P), x) a λ+(q, xP) = λ(δ+(q, P), x).
2. příklad
Uvažujme automat A z 1. příkladu. Určíme postupně δ+(q0, 0102101201) i λ+(q0, 0102101201).
δ+(q0, 1) = δ(q0, 1) = q0, λ+(q0, 1) = λ(q0, 1) = b;
δ+(q0, 01) = δ(δ+(q0, 1), 0) = δ(δ(q0, 1), 0) = δ(q0, 0) = q1,
λ+(q0, 01) = λ(δ+(q0, 1), 0) = λ(δ(q0, 1), 0) = λ(q0, 0) = b;
δ+(q0, 101) = δ(δ+(q0, 01), 1) = δ(q1, 1) = q0,
λ+(q0, 101) = λ(δ+(q0, 01), 1) = λ(q1, 1) = b;
δ+(q0, 1101) = δ(δ+(q0, 101), 1) = δ(q0, 1) = q0,
λ+(q0, 1101) = λ(δ+(q0, 101), 1) = λ(q0, 1) = b;
δ+(q0, 01101) = δ(δ+(q0, 1101), 0) = δ(q0, 0) = q1,
λ+(q0, 01101) = λ(δ+(q0, 1101), 0) = λ(q0, 0) = b;
δ+(q0, 101101) = δ(δ+(q0, 01101), 1) = δ(q1, 1) = q0,
λ+(q0, 101101) = λ(δ+(q0, 01101), 1) = λ(q1, 1) = b;
δ+(q0, 0101101) = δ(δ+(q0, 101101), 0) = δ(q0, 0) = q1,
λ+(q0, 0101101) = λ(δ+(q0, 101101), 0) = λ(q0, 0) = b;
δ+(q0, 00101101) = δ(δ+(q0, 0101101), 0) = δ(q1, 0) = q2,
λ+(q0, 00101101) = λ(δ+(q0, 0101101), 0) = λ(q1, 0) = b;
δ+(q0, 100101101) = δ(δ+(q0, 00101101), 1) = δ(q2, 1) = q2,
λ+(q0, 100101101) = λ(δ+(q0, 00101101), 1) = λ(q2, 1) = a;
δ+(q0, 0100101101) = δ(δ+(q0, 100101101), 0) = δ(q2, 1) = q2,
λ+(q0, 0100101101) = λ(δ+(q0, 100101101), 0) = λ(q2, 1) = a. □
Je zřejmé, že hodnotou zobecněné výstupní funkce λ+(q, P) je první znak výstupního slova,
který vydá automat začínající činnost ve vnitřním stavu q a zpracovávající neprázdné slovo P.
x(t)
δ
q(t+1)
Z
λ
y(t+1)
Z
y(t)
q (t)
Obr. 4
Na obr. 4. je uvedena interpretace Mealyho automatu z hlediska časové závislosti. Symbolem
δ je označeno zařízení realizující přechodovou funkci δ, symbolem λ zařízení realizující
výstupní funkci λ a symbolem Z zpožďovací člen, který vydává příslušný symbol o jeden
časový okamžik později.
Půjde nám o to zkonstruovat nejúspornější automaty, tzn. automaty, které mají nejméně
vnitřních stavů a řeší stejnou úlohu nebo stejný problém.
Mějme automat A = [Q, X, Y, q0, δ, λ].
Vnitřní stav q nazveme dosažitelný, jestliže q = q0 nebo existuje neprázdné slovo P ze vstupní
abecedy X takové, že δ+( q0, P) = q.
Jestliže není vnitřní stav dosažitelný, nazývá se nedosažitelný.
3. příklad
Uvažujme automat A takový, že Q = {q0, q1, q2, q3}, kde q0 je počáteční vnitřní stav, vstupní
abeceda X = {a, b} a výstupní abeceda Y ={0, 1}, který je definován smíšenou tabulkou
δ, λ
a
b
q0
q1, 0
q0, 0
q1
q1, 0
q3, 0
q2
q1, 0
q3, 0
q3
q1, 0
q0, 0
Vnitřní stavy q0, q1 a q3 jsou dosažitelné a vnitřní stav je q2 nedosažitelný, protože
(a) počáteční vnitřní stav q0 je vždy dosažitelný,
(b) δ(q0, a) = δ+(q0, a) = q1,
(c) δ+(q0, ba) = δ(δ+( q0, a), b) = δ(δ(q0, a), b) = δ(q1, b) = q3 a
(d) do vnitřního stavu q2 se ze počátečního vnitřního stavu q0 nedostaneme žádným
neprázdným slovem ze vstupní abecedy, neboť nefiguruje v žádné buňce smíšené tabulky. □
Mějme automaty A = [Q, X, Y, q0, δ, λ] a A1 = [1Q, X, Y, 1q0, 1δ, 1λ].
(1) Je- li q vnitřní stav automatu A a 1q vnitřní stav automatu A1, potom vnitřní stavy q a
1
q jsou behavioristicky ekvivalentní nebo b-ekvivalentní (což označíme q ≈ 1q), jestliže
pro všechna slova P z X+ platí λ+(q, P) = 1λ+(1q, P).
(2) Automaty A a A1 jsou behavioristicky ekvivalentní nebo zkráceně b-ekvivalentní (což
označíme A ≈ A1), jestliže
(a) q0 ≈ 1q0,
(b) ke každému vnitřnímu stavu q automatu A a existuje vnitřní stav 1q
automatu A1 takový, že q ≈ 1q a
(c) ke každému vnitřnímu stavu 1q automatu A1 a existuje vnitřní stav q
automatu A takový, že 1q ≈ q.
Je-li A = [Q, X, Y, q0, δ, λ] automat a je-li S množina všech dosažitelných vnitřních stavů
automatu A (tj. S je podmnožina množiny Q), potom automat B = [S, X, Y, q0, δ, λ], kde δ
(resp. λ) je přechodová (resp. výstupní) funkce vytvořená z funkce δ (resp. λ) tak, že
vynecháme nedosažitelné vnitřní stavy v definičním oboru, B ≈ A, přičemž automat B
neobsahuje nedosažitelné vnitřní stavy.
Jak zkonstruovat b-ekvivalentní automat, který neobsahuje žádný nedosažitelný vnitřní stav?
Jestliže množina vnitřních stavů automatu A obsahuje právě vnitřní stavy q0, q1,…, qn , stačí
vzít všechna neprázdná slova P ve vstupní abecedě, jejichž délka je maximálně n a množinu
všech vnitřních stavů automatu B tvoří
(a) počáteční vnitřní stav q0,
(b) všechny vnitřní stavy q’ automatu A, pro které platí δ+( q0, P) = q’.
4. příklad
Uvažujme automat A z 3. příkladu.
Automat A má čtyři vnitřní stavy, vypišme všechna neprázdná slova ve vstupní abecedě,
jejichž délka je 3:
a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, aab, aba, abb, baa, bab, bba a bbb.
Potom
δ+(q0, a) = q1, δ+(q0, b) = q0, δ+(q0, aa) = q1, δ+(q0, ab) = q1, δ+(q0, ba) = q3, δ+(q0, bb) = q0,
δ+(q0, aaa) = q1, δ+(q0, aab) = q1, δ+(q0, aba) = q0, δ+(q0, abb) = q1, δ+(q0, baa) = q3,
δ+(q0, bab) = q3, δ+(q0, bba) = q3, δ+(q0, bbb) = q0.
Tudíž množina všech vnitřních stavů automatu B je S = {q0, q1, q3} a smíšená tabulka má tvar
δ, λ
a
b
q0
q1, 0
q0, 0
q1
q1, 0
q3, 0
q3
q1, 0
q0, 0
□
Realizace Mealyho automatů
Booleovskou funkcí n proměnných (kde n je kladné přirozené číslo) rozumíme funkci f, která
všem slovům v abecedě {0, 1} délky n přiřazuje buď 0, nebo 1.
5. příklad
Definujme funkci f předpisem
f(000) = 0, f(001) = 0, f(010) = 0, f(011) = 1, f(100) = 0, f(101) = 1, f(110) = 0, f(111) = 0.
Jde o booleovskou funkci tří proměnných. □
Booleovská funkce n proměnných představuje pravdivostní ohodnocení výrokové formule
v disjunktivní normální formě s výrokovými proměnnými x1, x2, … , xn.
6. příklad
Vraťme se k 5. příkladu.
Funkční hodnotě f(011) = 1 odpovídá formule ─┐x1 Λ x2 Λ x3 a funkční hodnotě f(101) = 1
odpovídá formule x1 Λ ─┐x2 Λ x3, tudíž celé funkci f odpovídá formule
(─┐x1 Λ x2 Λ x3 ) v (x1 Λ ─┐x2 Λ x3).
kde x1, x2 a x3 jsou výrokové proměnné.□
Jestliže vstupní i výstupní abeceda obsahují jiné prvky než 0 a 1, je možné symboly těchto
abeced zakódovat pomocí slov v abecedě {0, 1}. Podobně můžeme zakódovat i vnitřní stavy
automatu.
7. příklad
Uvažujme automat A takový, že Q = {q0, q1, q2}, kde q0 je počáteční vnitřní stav, vstupní
abeceda X = {a, b, c} a výstupní abeceda Y = {0, 1}, který je definován smíšenou tabulkou
δ, λ
q0
q1
q2
a
q0, 0
q0, 0
q1, 0
b
q1, 0
q1, 1
q1, 1
c
q1, 0
q2, 1
q2, 1
Prvním krokem je zakódování vstupních symbolů a vnitřních stavů, výstupním symbolům
ponecháme v tomto případě jejich binární hodnoty. Vstupní symbol a zakódujeme slovem 00,
b slovem 01 a c slovem 11, podobně počáteční vnitřní stav q0 zakódujeme slovem 00, vnitřní
stav q1 slovem 10 a stav q2 slovem 11. Obecně může být volba kódování určena dodatečnými
vnějšími požadavky na navrhovaný systém, nebo může být ponechána na libovůli návrháře.
Ke kódování n-prvkové množiny je třeba volit slova délky k, kde k je nejmenší přirozené číslo
takové, že n ≤ 2k. Jestliže n není mocninou dvojky, budou některá slova délky k nevyužita.
V našem případě bude smíšená tabulka
δ, λ
00
01
10
11
00
00, 0
00, 0
10, 0
01
10, 0
10, 1
10, 1
10
-
11
10, 0
11, 1
11, 1
Prázdná políčka v tabulce vyznačují hodnoty přechodové a výstupní funkce nejsou výchozím
zadáním určeny, proto je možné je vyplnit libovolně. Jedno z možných doplnění je toto:
δ, λ
00
01
10
11
00
00, 0
10, 0
00, 0
10, 0
01
10, 0
10, 0
10, 1
10, 1
10
00, 0
10, 0
01, 0
11, 0
11
10, 0
10, 0
11, 1
11, 1
Výstupní funkce je booleovská funkce čtyř proměnných, kterou lze zapsat λ (q1, q2, x1, x2).
Metody umožňující co možná nejmenší kombinační sítě pro realizaci dané booleovské funkce
podrobně rozpracovány, ale přesahují trámec našeho kursu. Spokojme se schématem
výsledného sekvenčního obvodu na obrázku 5., kde symbolem Λ je označeno zařízení
realizující konjunkci, symbolem v zařízení realizující disjunkci a symbolem Z je označen
zpožďovací člen.
Samozřejmě změnou kódování i změnou v doplňování neurčených hodnot dostáváme
odlišnou realizaci, která se může podstatně lišit složitostí kombinačních sítí pro přechodovou i
výstupní funkci. □
x1
Λ
x2
v
Z
Z
y
Λ
Obr. 5
Mooreovy automaty
Uvedeme dva speciální typy automatů, které jsou vhodné pro řešení některých typů
problémů.
Mějme automat A = [Q, X, Y, q0, δ, λ].
A je Mooreův automat 1. typu, jestliže existuje zobrazení ν takové, že pro všechna q z množiny
vnitřních stavů Q a pro všechny vstupní symboly x z X je λ(q, x) = ν(q).
Mooreův automat 1. typu A zapisujeme A = [Q, X, Y, q0, δ, ν] a zobrazení ν nazýváme
značkovací funkce. Na stavovém diagramu snadno rozeznáme Mooreův automat 1. typu tak,
že všechny hrany vystupující z jednoho uzlu mají stejný výstupní symbol.
5. příklad
Automat A z 1. příkladu je Mooreův automat 1. typu. Stačí definovat značkovací funkci ν
takto: ν(q0) = λ(q0,0) = λ(q0,1) = b, ν(q1) = λ(q1,0) = λ(q1,1) = b, ν(q2) = λ(q2,0) = λ(q2,1) = a.□
x(t)
δ
q (t+1)
Z
q(t)
Obr. 6
ν
y(t)
Na obr. 6. je uvedena interpretace Mooreova automatu 1. typu z hlediska časové závislosti.
Symbolem δ je označeno zařízení realizující přechodovou funkci δ, symbolem ν zařízení
realizující značkovací funkci ν a symbolem Z zpožďovací člen, který vydává příslušný
symbol o jeden časový okamžik později.
Pro Mooreovy automaty 1. typu lze rozšířit zobecněnou přechodovou i zobecněnou výstupní
funkci i na prázdné slovo, nebudeme je uvádět, vzhledem k tomu, že pro naše účely jsou
nepotřebné.
Mějme automat A = [Q, X, Y, q0, δ, λ].
A je Mooreův automat 2. typu, jestliže existuje zobrazení μ takové, že pro všechna q
z množiny vnitřních stavů Q a pro všechny vstupní symboly x z X je λ(q, x) = μ(δ(q, x)).
Mooreův automat 2. typu A zapisujeme A = [Q, X, Y, q0, δ, μ] a zobrazení ν nazýváme
značkovací funkce. Na stavovém diagramu snadno rozeznáme Mooreův automat 2. typu tak,
že všechny hrany vstupující do jednoho uzlu mají stejný výstupní symbol.
8. příklad
Uvažujme automat A takový, že Q = {q0, q1, q2}, kde q0 je počáteční vnitřní stav, vstupní
abeceda X = {0, 1}, výstupní abeceda Y = {a, b}, který je reprezentován smíšenou tabulkou
pro přechodovou a výstupní funkci
δ, λ
0
1
q0
q2, b
q1, b
q1
q2, a
q0, a
q2
q1, b
q2, a
Tento automat je Mooreovým automatem 2. typu se značkovací funkcí μ definovanou
předpisem
μ(q0) = a, μ(q1) = b, μ(q2) = b.
Každý snadno ověří, že takto definovaná značkovací funkce vyhovuje požadavkům na
Mooreovy automaty 2. typu. Automat je možné jednodušeji reprezentovat tabulkou
δ
0
1
μ
q0
q2
q1
a
q1
q2
q0
b
q2
q1
q2
b
kterou budeme nazývat mooreovská tabulka tohoto automatu. □
x(t)
q(t+1)
δ
q(t)
μ
y(t)
Z
Obr. 7
Na obr. 7. je uvedena interpretace Mooreova automatu 2. typu z hlediska časové závislosti.
Symbolem δ je označeno zařízení realizující přechodovou funkci δ, symbolem μ zařízení
realizující značkovací funkci μ a symbolem Z zpožďovací člen, který vydává příslušný
symbol o jeden časový okamžik později.
I pro Mooreovy automaty 2. typu lze rozšířit zobecněnou přechodovou i zobecněnou výstupní
funkci i na prázdné slovo. Uveďme, jak jsou tyto funkce definovány.
Mějme Mooreův automat 2. typu A = [Q, X, Y, q0, δ, λ] se značkovací funkcí μ. Indukcí
definujeme zobecněnou přechodovou funkci δ* a zobecněnou výstupní funkci λ*
(a) Pro libovolný vnitřní stav q z Q a pro libovolný vstupní symbol x z X je
δ*(q, Λ) = q a λ*(q, Λ) = μ(q).
(b) Pro libovolný vnitřní stav q z Q a pro libovolné slovo P z X + je δ*(q, P) = δ+(q, P) a
λ*(q, P) = λ+(q, P).
Z hlediska technické realizace jsou Mooreovy automaty 2. typu důležitější než Mealyho
automaty i Mooreovy automaty 1. typu. Mealyho automaty jsou výhodnější pro řešení většiny
úloh.
Zdá se, že Mooreovy automaty 1. i 2. typu řeší méně úloh než Mealyho automaty. Položme si
otázku, zda umí Mealyho automaty a Mooreovy automaty 2. typu řešit stejné úlohy. Protože
Mooreovy automaty 1. a 2. typu jsou Mealyho automaty, potom každá úloha řešená
Mooreovými automaty je řešitelná Mealyho automaty. Ukáže se, že ke každému Mealyho
automatu lze zkonstruovat Mooreův automat 2.typu, který řeší stejnou úlohu.
Platí:
Ke každému Mealyho automatu A existuje Mooreův automat 2. typu M takový, že A ≈ M.
Jak zkonstruovat k Mealyho automatu b-ekvivalentní Mooreův automat 2. typu?
Vezme-li smíšenou tabulku Mealyho automatu, ve kterém je vnitřní stav qi v různých buňkách
spojen např. s právě třemi výstupními symboly a, b a c, rozdělíme vnitřní stav qi na tři různé
vnitřní stavy qi,a, qi,b a qi,c. Je-li vnitřní stav qi spojen s jediným nebo žádným výstupním
symbolem, potom vnitřní stav qi ponecháme. Hodnoty značkovací funkce μ pro jednotlivé
vnitřní stavy budou výstupní symboly, pokud je vnitřní stav ve smíšené tabulce spojen
s výstupním symbolem, a náhodně vybraný výstupní symbol, pokud vnitřní stav není spojen
s žádným výstupním symbolem. Zbývá ještě jeden problém. Který vnitřní stav zvolit jako
počáteční? Počátečním stavem Mooreova automatu 2. typu můžeme zvolit (v případě, že se
počáteční vnitřní stav q0 rozdělí na více vnitřních stavů) kterýkoli vnitřní stav, který vznikl ze
stavu q0.
9. příklad
Uvažujme automat A takový, že Q = {q0, q1, q2}, kde q0 je počáteční vnitřní stav, vstupní
abeceda X = {0, 1} a výstupní abeceda Y = {a, b}, který je definován smíšenou tabulkou
δ, λ
0
1
q0
q1, b
q0, b
q1
q2, b
q0, b
q2
q2, a
q2, a
K tomuto automatu sestrojíme b-ekvivalentní Mooreův automat 2. typu M.
Jediný vnitřní stav, který nevyhovuje definici Mooreova automatu 2. typu, je vnitřní stav q2
(viz buňky smíšené tabulky se žlutým pozadím). Z vnitřního stavu q2 vzniknou dva vnitřní
stavy q2,a a q2,b. Smíšená tabulka automatu M je
δ, λ
0
1
q0
q1, b
q0, b
q1
q2,b, b
q0, b
q2,a
q2,a, a
q2,a, a
q2,b
q2,a, a
q2,a, a
Uděláme-li mooreovskou tabulku se značkovací funkcí μ, má tabulka tvar
δ
0
1
μ
q0
q1
q0
b
q1
q2,b
q0
b
q2,a
q2,a
q2,a
a
q2,b
q2,a
q2,a
b
□
10. příklad
Uvažujme automat A takový, že Q = {q0, q1, q2, q3, q4, q5}, kde q0 je počáteční vnitřní stav,
vstupní abeceda X = {a, b, c} a výstupní abeceda Y = {0, 1}, který je definován smíšenou
tabulkou
δ, λ
a
b
c
q0
q2, 1
q1, 0
q1, 1
q1
q2, 0
q0, 0
q3, 0
q2
q1, 1
q3, 1
q4, 0
q3
q2, 0
q4, 1
q0, 1
q4
q5, 1
q2, 1
q4, 1
q5
q5, 1
q5, 1
q4, 1
Sestrojíme b-ekvivalentní Mooreův automat 2. typu. Ze smíšené tabulky je zřejmé, že definici
Mooreova automatu 2. typu neodpovídají všechny vnitřní stavy kromě q5, které se všechny
rozpadnou na dva vnitřní stavy qi,0 a qi,1 pro i = 0, 1, 2, 3 a 4. Jako počáteční vnitřní stav
zvolíme q0,0. Mooreovská tabulka b-ekvivalentního Mooreova automatu 2. typu je
δ
a
b
c
μ
q0,0
q2,1
q1,0
q1,1
0
q0,1
q2,1
q1,0
q1,1
1
q1,0
q2,0
q0,0
q3,0
0
q1,1
q2,0
q0,0
q3,0
1
q2,0
q1,1
q3,1
q4,0
0
q2,1
q1,1
q3,1
q4,0
1
q3,0
q2,0
q4,1
q0,1
0
q3,1
q2,0
q4,1
q0,1
1
q4,0
q5
q2,1
q4,1
0
q4,1
q5
q2,1
q4,1
1
q5
q5
q5
q4,1
1
□
Již jsme uvedli, že budeme automaty minimalizovat tak, aby neobsahovaly zbytečné vnitřní
stavy. První stavy, které jsme označili za zbytečné, byly nedosažitelné vnitřní stavy. Dalšími
typy stavů, které jsou z hlediska výpočtu zbytečné, jsou vnitřní stavy, které stejným výstupem
reagují na stejná slova vstupní abecedy.
Mějme Moreovy automaty 2. typu A = [Q, X, Y, q0, δ, λ] a A1 = [1Q, X, Y, 1q0, 1δ, 1λ].
(1) Je- li q vnitřní stav automatu A a 1q vnitřní stav automatu A1, potom vnitřní stavy q a
1
q jsou mooreovsky ekvivalentní nebo m-ekvivalentní (což označíme q ≈ 1q), jestliže
pro všechna slova P ze vstupní abecedy4 X platí λ*(q, P) = 1λ*(1q, P).
(2) Automaty A a A1 jsou mooreovsky ekvivalentní nebo zkráceně m-ekvivalentní (což
označíme A ≈ A1), jestliže
(a) q0 ≈ 1q0,
4
Tj. včetně prázdného slova Λ.
(b) ke každému vnitřnímu stavu q automatu A a existuje vnitřní stav 1q
automatu A1 takový, že q ≈ 1q a
(c) ke každému vnitřnímu stavu 1q automatu A1 a existuje vnitřní stav q
automatu A takový, že 1q ≈ q.
Poznamenejme, že předcházející definici lze použít i v případě A = A1, tj. lze hovořit i o mekvivalenci vnitřních stavů jednoho Mooreova automatu 2. typu.
Mějme Moreovy automaty 2. typu A = [Q, X, Y, q0, δ, λ] a A1 = [1Q, X, Y, 1q0, 1δ, 1λ].
Řekneme, že A1 je redukt automatu A, jestliže
(a) A1 neobsahuje nedosažitelné vnitřní stavy,
(b) Pro libovolné vnitřní stavy q a q’ automatu A1 platí: jestliže q ≈ q’, potom q = q’ a
(c) A1 ≈ A.
Jak sestrojit redukt Mooreova automatu 2. typu A = [Q, X, Y, q0, δ, λ] se značkovací funkcí μ?
(1) Odstraníme nedosažitelné vnitřní stavy.
(2) Použijeme algoritmus redukce5, tj.
(a) pro každý vnitřní stav q automatu A vytvoříme množinu r0(q) takovou, že
obsahuje všechny vnitřní stavy q’ takové, že μ(q) = μ(q’), vznikne
množina R0 = { r0(q); q є Q}, která obsahuje množiny vnitřních stavů se
stejnou hodnotou značkovací funkce, tzn. počet prvků množiny R0 je
maximálně roven počtu prvků výstupní abecedy;
(b) předpokládáme, že jsme pro libovolné přirozené číslo6 k sestrojili množiny
rk(q) pro libovolný vnitřní stav q automatu A a množinu Rk = { rk(q); q є Q}.
Sestrojíme množiny rk+1(q) pro libovolný vnitřní stav q automatu A a množinu
Rk+1 = { rk+1(q); q є Q}.
Pro vnitřní stav q’ automatu A platí: q’ є rk+1(q) právě tehdy, jestliže q’ є rk(q)
a současně pro libovolný symbol x vstupní abecedy X je δ(q’, x) є rk(δ(q, x)).
(c) Po konečně mnoha krocích (maximální počet kroků je dán počtem prvků
množiny vnitřních stavů automatu A) musí nastat Rl = Rl+1. Množinu Rl
v reduktu zvolíme jako množinu vnitřních stavů, jako počáteční vnitřní stav
zvolíme množinu rl(q0).
Algoritmus redukce lze popsat takto:
(a) Sestrojíme množinu R0 a položíme k := 0.
(b) Sestrojíme množinu Rk a provedeme přiřazení k := k + 1.
(c) Jestliže Rk ≠ Rk+1, opakuje se operace (b), jinak se pokračuje operací (d).
(d) Jako výsledná množina se označí Rk.
11. příklad
Uvažujme Mooreův automat 2. typu A takový, že Q = {q0, q1, q2, q3, q4, q5}, kde q0 je
počáteční vnitřní stav, vstupní abeceda X = {0, 1} a výstupní abeceda Y = {0, 1}, který je
definován mooreovskou tabulkou
δ
0
1
μ
q0
q1
q1
0
q1
q2
q1
1
q2
q3
q3
1
q3
q4
q1
0
q4
q5
q1
1
q5
q3
q3
1
Automat A neobsahuje nedostižné vnitřní stavy.
Přistoupíme k použití algoritmu redukce.
5
6
Jde vlastně o rozklad množiny vnitřních stavů na třídy m-ekvivalence.
Uvažujeme přirozená čísla včetně 0.
1. krok – R0 = {{q0 , q3}, {q1, q2, q4, q5}}, protože
μ(q0) = μ(q3) = 0 a μ(q1) = μ(q2) = μ(q4) = μ(q5) = 1.
2. krok – R1 = {{q0 , q3}, {q1, q4}, {q2, q5}}, protože
(a) δ(q0, 0) = q1, δ(q3, 0) = q4,
tj. δ(q0, 0) є {q1, q2, q4, q5}, δ(q3, 0) є {q1, q2, q4, q5} a
δ(q0, 1) = δ(q3, 1) = q1,
tj. δ(q0, 1) є {q1, q2, q4, q5}, δ(q3, 1) є {q1, q2, q4, q5};
(b) δ(q1, 0) = q2, δ(q4, 0) = q5,
tj. δ(q1, 0) є {q1, q2, q4, q5}, δ(q4, 0) є {q1, q2, q4, q5} a
δ(q1, 1) = δ(q4, 1) = q1,
tj. δ(q1, 1) є {q1, q2, q4, q5}, δ(q4, 1) є {q1, q2, q4, q5};
(c) δ(q2, 0) = δ(q5, 0) = q3,
tj. δ(q2, 0) є {q0 , q3}, δ(q5, 0) є {q0 , q3} a
δ(q2, 1) = δ(q5, 1) = q3,
tj. δ(q2, 1) є {q0 , q3}, δ(q5, 1) є {q0 , q3}.
Neboť R0 ≠ R1, musíme pokračovat dále.
3. krok – R2 = {{q0 , q3}, {q1, q4}, {q2, q5}}, protože
(a) δ(q0, 0) є {q1, q4}, δ(q3, 0) є {q1, q4} a
δ(q0, 1) є {q1, q4}, δ(q3, 1) є {q1, q4};
(b) δ(q1, 0) є {q2, q5}, δ(q4, 0) є {q2, q5} a
δ(q1, 1) є {q1, q4}, δ(q4, 1) є {q1, q4};
(c) δ(q2, 0) є {q0 , q3}, δ(q5, 0) є {q0 , q3} a
δ(q2, 1) є {q0 , q3}, δ(q5, 1) є {q0 , q3}.
Neboť R1 = R2, algoritmus redukce ukončí činnost.
Pro redukt A1 automatu A množina vnitřních stavů Q obsahuje vnitřní stavy:
q0 = {q0 , q3}, q1 = {q1, q4}, q2 = {q2, q5}.
Mooreovská tabulka reduktu A1 má tvar (δ je přechodová funkce reduktu a μ značkovací
funkce reduktu)
δ
0
1
μ
q0
q1
q1
0
q1
q2
q1
1
q2
q0
q0
1
□
Poznámka. Algoritmus redukce lze použít i na zjištění m-ekvivalence dvou Mooreových automatů 2. typu. Pro jeden z automatů
přejmenujeme vnitřní stavy tak, aby tyto automaty neměly žádný společný vnitřní stav, mooreovské tabulky napíšeme pod sebe. Potom
v jednotlivých množinách po použití algoritmu redukce musí být alespoň jeden vnitřní stav každého z automatů, přičemž počáteční vnitřní
stavy musí být ve stejné množině.
Jazyky rozpoznávané automaty
Jestliže L je jazyk nad abecedou X, potom L je rozpoznatelný konečným automatem, jestliže
existuje Mooreův automat 2. typu A = [Q, X, {0, 1}, q0, δ, λ] takový, že pro libovolné slovo P
abecedy X platí:
P patří do jazyka L právě tehdy, jestliže λ*( q0, P) = 1.
Uvedeme příklady jazyků a pro zjednodušení budeme předpokládat, že jde o jazyky nad
abecedou X = {a, b}.
12. příklad
Uvažujme jazyk L = Ø, tzn. tento jazyk neobsahuje žádné slovo. Potom např. Mooreův
automat 2. typu A = [{q0}, {a, b}, {0, 1}, q0, δ, λ], který rozpoznává tento jazyk, je definován
mooreovskou tabulkou
δ
a
b
μ
q0
q0
q0
0
□
13. příklad
Mějme jazyk L = {Λ}, tzn. tento jazyk obsahuje pouze prázdné slovo. Potom např. Mooreův
automat 2. typu A = [{q0, q1}, {a, b}, {0, 1}, q0, δ, λ], který rozpoznává tento jazyk, je
definován mooreovskou tabulkou
δ
q0
q1
a
q1
q1
b
q1
q1
μ
1
0
□
14. příklad
Mějme jazyk L = {a}, tzn. tento jazyk obsahuje pouze slovo a délky 1. Potom např. Mooreův
automat 2. typu A = [{q0, q1, q2}, {a, b}, {0, 1}, q0, δ, λ], který rozpoznává tento jazyk, je
definován mooreovskou tabulkou
δ
a
b
μ
q0
q1
q2
0
q1
q2
q2
1
q2
q2
q2
0
Analogicky lze řešit úlohu pro jazyk L = {b}, jen znaky a a b si vymění roli v Mooreově
automatu 2. typu. □
15. příklad
Uvažujme jazyk L obsahující právě všechna slova v abecedě X, která jsou délky alespoň 2,
která začínají a končí stejným symbolem.
Potom např. Mooreův automat 2. typu A = [{q0, q1, q2, q3, q4, q5, q6}, {a, b}, {0, 1}, q0, δ, λ],
který rozpoznává tento jazyk, je definován mooreovskou tabulkou
δ
a
b
μ
q0
q1
q2
0
q1
q3
q4
0
q2
q6
q5
0
q3
q3
q4
1
q4
q3
q4
0
q5
q6
q5
1
q6
q6
q5
0
□
16. příklad
Uvažujme jazyk L obsahující právě všechna slova v abecedě X, která končí podslovem abba.
Potom např. Mooreův automat 2. typu A = [{q0, q1, q2, q3, q4, q5}, {a, b}, {0, 1}, q0, δ, λ],
který rozpoznává tento jazyk, je definován mooreovskou tabulkou
δ
a
b
μ
q0
q1
q2
0
q1
q2
q3
0
q2
q2
q2
0
q3
q2
q4
0
q4
q5
q2
0
q5
q5
q5
1
□
17. příklad
Uvažujme jazyk L obsahující právě všechna slova v abecedě X tvaru an bn, kde n je přirozené
číslo7 (tj. L obsahuje slova sudé délky8, jejichž první polovina jsou samá a a druhá polovina
samá b). Tento jazyk není rozpoznatelný konečným automatem. Proč? Kdyby automat měl
např. 7 vnitřních stavů, potom vezmeme slovo a8 b8. V tomto případě si automat musí nejprve
zapamatovat, že slovo končí osmi znaky b, k tomu je potřeba 8 vnitřních stavů. Obecněji –
obsahuje-li automat n vnitřních stavů, potom stačí vzít slovo an+1 bn+1.□
Kdybychom místo abecedy X = {a, b} zvolili jinou abecedu, je zřejmé, že úvahy by byly
analogické jako v předcházejících příkladech.
Jazyky a gramatiky
Přepisovací systém9 nad abecedou X je konečná množina P přepisovacích pravidel, kde každé
přepisovací pravidlo má tvar A → B, kde A a B jsou slova v abecedě X.
Jsou-li T a U slova v abecedě X,
(a) řekneme, že přepisovací systém P přímo přepíše T na U (a zapíšeme T => U), jestliže
existují slova C a D z abecedy X a přepisovací pravidlo A → B z P tak, že T = CAD a
U = CBD,
(b) řekneme, že přepisovací systém P přepíše T na U (a zapíšeme T => U), jestliže buď
T = U, nebo existují slova T1, T2,…, Tn (kde n ≥ 1) taková, že
T => T1 => T2 => …=> Tn = U.
18. příklad
Mějme oblíbenou abecedu X = {a, b}. Přepisovací systém P tvoří dvě přepisovací pravidla
(1) ab → ba,
(2) ba → ab.
Potom např.
aabba => aaabb,
protože
aabba =>(2) aabab =>(2) aabab
(pro větší přehlednost skupina symbolů, kterou přepisujeme, je vyznačena tučně a znak pro
bezprostřední přepsání je opatřen číslem použitého pravidla). Také je
aabba => abbaa,
protože
aabba =>(1) ababa =>(1) abbaa.
Na první pohled je vidět, že tento přepisovací systém může přepsat každé slovo T v abecedě X
na libovolné slovo U v této abecedě se stejným počtem výskytů symbolů a a b jako má U. □
Gramatika typu 0 nebo zkráceně gramatika je uspořádaná čtveřice G = [Y, X, s, P], kde Y a X
jsou disjunktní10 abecedy, s je symbol abecedy Y a P je přepisovací systém nad abecedou XUY
takových, že na levé straně každého přepisovacího pravidla je alespoň jeden symbol
z abecedy Y.
Y se nazývá abeceda neterminálů11, X je abeceda terminálů12 a s z Y je počáteční symbol.
Řekneme, že jazyk L(G) je generován gramatikou G nebo L(G) je jazyk typu 0, jestliže
obsahuje právě všechna slova W v abecedě X taková, že s => W.
Tedy jazyk generovaný gramatikou je tvořen všemi slovy v terminální abecedě, která lze
odvodit z počátečního symbolu.
19. příklad
7
Znovu upozorňujeme, že 0 považujeme za přirozené číslo, proto jazyk L obsahuje i slovo a0 b0 = Λ.
0 považujeme za sudé číslo.
9
Někdy se také nazývá produkční systém.
10
Tzn. X ∩ Y = Ø.
11
Jinak lze říci i množina proměnných.
12
Jinak lze říci, že jde o množinu konstant.
8
Mějme gramatiku G = [{s}, {a, b}, s, P], kde přepisovací systém P tvoří tři přepisovací
pravidla
(1) s → asb,
(2) s → ε.
Je zřejmé, že jazyk L(G) generovaný gramatikou G obsahuje právě všechna slova tvaru an bn,
kde n je přirozené číslo. □
V předcházejícím příkladu byla dvě přepisovací pravidla se stejnou levou stranou, pro
jednoduchost je budeme zapisovat dohromady
s → asb │ ε.
Poznámka. Gramatika, kterou jsme definovali, se také nazývá generativní gramatika. Existuje i duální pojem – analytická gramatika. Ta je
tvořena stejnou uspořádanou čtveřicí se změnou u přepisovacího systému P je přepisovací systém nad abecedou XUY takových, že na pravé
straně každého přepisovacího pravidla je alespoň jeden symbol z abecedy Y.
Jazyk L(G) je rozpoznáván gramatikou G, jestliže obsahuje právě všechna slova W v abecedě X taková, že W => s.
Je zřejmé, že ke každé generativní gramatice existuje analytická gramatika rozpoznávající tentýž jazyk a naopak ke každé analytické
gramatice existuje generativní gramatika generující tentýž jazyk.
Analytickou gramatikou nezískáváme nic nového.
Mějme gramatiku G = [Y, X, s, P].
(1) G je gramatika typu 1 nebo kontextová gramatika, jestliže každé přepisovací pravidlo
z P je tvaru AyB → ACB, kde A a B jsou slova z abecedy XUY, y je symbol
z neterminální abecedy Y a C je neprázdné slovo z abecedy XUY, přičemž jedinou
výjimkou může být pravidlo s → ε, jehož výskyt znamená, že se symbol s nemůže
vyskytovat na pravé straně žádného přepisovacího pravidla z P.
(2) G je gramatika typu 2 nebo bezkontextová gramatika, jestliže P obsahuje pouze
pravidla tvaru y → C, kde C je slovo z abecedy XUY, y je symbol z neterminální
abecedy Y.
(3) G je gramatika typu 3 nebo regulární gramatika, jestliže každé pravidlo z P je buď
tvaru y → Wx, nebo y → W, kde W je slovo z abecedy X, y a x jsou symboly
z neterminální abecedy Y.
(4) Jazyk typu 1 (resp. 2, resp. 3) nebo kontextový (resp. bezkontextový, resp. regulární),
jestliže je generován nějakou kontextovou (resp. bezkontextovou, resp. regulární)
gramatikou.
Poznámka. Použití kontextového pravidla AyB → ACB a bezkontextového pravidla y → C má stejný efekt – neterminál y se přepíše na C,
ostatní části slova zůstanou zachovány. V prvním případě dojde k tomu jen tehdy, jestliže y je obklopeno slovy A a B, tj. možnost přepsat y
na C je závisí na kontextu, ve kterém se y vyskytuje. Ve druhém případě přepsání y na kontextu nezávisí. Toto pozorování vysvětluje, proč se
gramatiky typu 1 nazývají kontextové a gramatiky typu 2 bezkontextové.
Každý regulární jazyk je bezkontextový, každý bezkontextový jazyk je kontextový, každý
kontextový jazyk je typu 0.
Uvedli jsme jazyky rozpoznatelné automaty. Lze je nějakým způsobem zařadit do výše
uvedené hierarchie13 jazyků? Ano, platí:
jazyk je rozpoznatelný automatem právě tehdy, jestliže jde o regulární jazyk.
Jak sestrojit gramatiku G k Mooreovu automatu 2. typu A = [Q, X, {0, 1}, q0, δ, λ] se
značkovací funkcí μ?
Gramatika G = [Q, X, q0, P], tzn. množina vnitřních stavů Q je abeceda neterminálů, vstupní
abeceda X je abeceda terminálů, počáteční vnitřní stav q0, je počáteční symbol. Přepisovací
systém P bude obsahovat pravidla
q → aq’, jestliže δ(q, a) = q’ a
q → ε, jestliže μ(q) = 1.
20. příklad
Uvažujme Mooreův automat 2. typu A = [{q0, q1, q2, q3, q4, q5}, {a, b}, {0, 1}, q0, δ, λ], který
definován mooreovskou tabulkou
δ
a
b
μ
13
Námi uvedená hierarchie jazyků se nazývá Chomského hierarchie.
q0
q1
q2
0
q1
q2
q3
0
q2
q2
q2
0
q3
q2
q4
0
q4
q5
q2
0
q5
q5
q5
1
Ze 16. příkladu víme, že rozpoznává jazyk L obsahující právě všechna slova v abecedě {a, b},
která končí podslovem abba. Gramatika G bude mít
neterminální abecedu {q0, q1, q2, q3, q4, q5},
terminální abecedu {a, b},
počáteční symbol je q0 a
přepisovací systém P obsahuje pravidla
(1) q0 → aq1 │ bq2,
(2) q1 → aq2 │ bq3,
(3) q2 → aq2 │ bq2,
(4) q3 → aq2 │ bq4,
(5) q4 → aq5 │ bq2,
(6) q5 → aq5 │ bq5 │ ε.
□
Bezkontextové gramatiky jsou vhodné i ke konstrukci programovacích jazyků. Uvedeme dva
příklady některých konstrukcí.
21. příklad
Uvedeme definici čísel v nějakém programovacím jazyku. Počáteční symbol bude neterminál
[číslo], neterminály budou všechna slova či sousloví uvedená v hranatých závorkách a
terminální abeceda bude {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, +, – , ., 10}. Přepisovací systém gramatiky
obsahuje pravidla
(1) [číslo] → [číslo bez znaménka],
(2) [číslo] → + [číslo bez znaménka],
(3) [číslo] → – [číslo bez znaménka],
(4) [číslo bez znaménka] → [desetinné číslo],
(5) [číslo bez znaménka] → [exponentová část],
(6) [číslo bez znaménka] → [desetinné číslo] [exponentová část],
(7) [desetinné číslo] → [celé číslo bez znaménka],
(8) [desetinné číslo] → [desetinná část],
(9) [desetinné číslo] → [celé číslo bez znaménka] [desetinná část],
(10)[exponentová část] → 10[celé číslo],
(11)[desetinná část] → .[celé číslo],
(12)[celé číslo] → [celé číslo bez znaménka],
(13)[celé číslo] → + [celé číslo bez znaménka],
(14)[celé číslo] → – [celé číslo bez znaménka],
(15)[celé číslo bez znaménka] → [číslice],
(16)[celé číslo bez znaménka] → [celé číslo bez znaménka] [číslice],
(17)[číslice] → 0 │ 1 │ 2 │ 3 │ 4 │ 5 │ 6 │ 7 │ 8 │ 9.
Je zřejmé, že lze tím způsobem vygenerovat slova představující čísla.
Cvičení
(1) Sestrojte automat A se vstupní abecedou X = {a, b, c}, výstupní abecedou Y = {0, 1} a
počátečním vnitřním stavem q0 takový, že
(a) vydá 1 při prvním výskytu podslova abbab ve vstupním slovu, jinak vydává
0;
(b) vydá 1 při každém výskytu podslova abbab ve vstupním slovu, jinak vydává
0;
(c) vydává 1 po prvním výskytu podslova abbab ve vstupním slovu, jinak vydává
0.
(2) Sestrojte automat A se vstupní abecedou X = {a, b}, výstupní abecedou Y = {0, 1} a
počátečním vnitřním stavem q0 takový, že
(a) první symbol výstupního slova je 1, jestliže vstupní slovo končí podslovem
ababba, a první symbol výstupního slova je 0, jestliže vstupní slovo končí
podslovem ababba, jinak vydává jakýkoli výstupní symbol;
(b) první symbol výstupního slova je 1, jestliže vstupní slovo začíná podslovem
ababba, a první symbol výstupního slova je 0, jestliže vstupní slovo začíná
podslovem ababba, jinak vydává jakýkoli výstupní symbol.
(3) Podle výsledků cvičení (1) a (2) rozhodněte, které automaty jsou Mooreovy automaty
1. typu a které Mooreovy automaty 2. typu.
Výsledky cvičení
(1) (a)
δ, λ
q0
q1
q2
q3
q4
q5
a
q0, 0
q2, 0
q0, 0
q2, 0
q5, 1
q5, 0
b
q1, 0
q1, 0
q3, 0
q4, 0
q1, 0
q5, 0
c
q0, 0
q0, 0
q0, 0
q0, 0
q0, 0
q5, 0
δ, λ
q0
q1
q2
q3
q4
a
q0, 0
q2, 0
q0, 0
q2, 0
q2, 1
b
q1, 0
q1, 0
q3, 0
q4, 0
q1, 0
c
q0, 0
q0, 0
q0, 0
q0, 0
q0, 0
δ, λ
q0
q1
q2
q3
q4
q5
a
q0, 0
q2, 0
q0, 0
q2, 0
q5, 1
q5, 1
b
q1, 0
q1, 0
q3, 0
q4, 0
q1, 0
q5, 1
c
q0, 0
q0, 0
q0, 0
q0, 0
q0, 0
q5, 1
(b)
(c)
(2) (a)
δ, λ
q0
a
q2, 0
b
q1, 0
q1
q2
q3
q4
q5
q6
q7
q1, 0
q1, 0
q1, 0
q5, 0
q6, 0
q7, 1
q7, 1
q1, 0
q3, 0
q4, 0
q1, 0
q1, 0
q1, 0
q7, 1
(b)
δ, λ
a
b
q0
q1, 0
q0, 0
q1
q1, 0
q2, 0
q2
q1, 0
q3, 0
q3
q4, 0
q0, 0
q4
q1, 0
q5, 0
q5
q6, 1
q3, 0
q6
q1, 0
q2, 0
(3) Automaty z výsledků cvičení (1) (c), (2) (a) a (b) jsou Mooreovy 2. typu, žádný není
Mooreův 1. typu.