l b b l • rozsah slyšitelných frekvencí: 1.2 – 120 kHz • velryba beluga

• velryba
l b beluga
b l
• rozsah slyšitelných frekvencí: 1.2 – 120 kHz
Klishin et al. Aquatic Mammals 26, 212-228 (2000)
Odraz vlnění
f  x  vt 
• obecná vlna
y  f  x  vt   g  x  vt 
 f  x  vt 
x
•x=0y=0
g  vt    f vt 
x
y  f  x  vt   f  x  vt 
x
x
Stojaté vlnění
• odraz periodické vlny
y  f  x  vt   f  x  vt 
f x  vt   ei t  x / v 
 f  x  vt   ei t  x / v 
x 

it

  2ei t sinkx
y 2e sin
 v 
• uzlyy
x
v
 kx   n
x n

2
n  0,1,2,3,
Stojaté vlnění
módy
• vlny v ohraničené oblasti
n 1
• struna délky L upevněná na obou koncích
1  2 L 1  0
x 

it

  2ei t sinkx
y 2e sin
 v 
n2
2  L 2  20
n3
2
3  L 3  30
3
n4
1
2  L 4  40
2
• uzly musí být v x = 0 a x = L
L
v
k
k
 kL   n
n  1,2,3, 
n
L
2

n 
2L
n  1,2,3, 
n
n  n
0  
v
L
v
 n0
L
n  1,2,3,
základní
ákl d í frekvence
f k
Stojaté vlnění
• vlny v ohraničené oblasti
• struna délky L upevněná na obou koncích
x 

it

  2ei t sinkx
y 2e sin
 v 
• uzly musí být v x = 0 a x = L
L
v
k
k
 kL   n
n  1,2,3, 
n
L
2

n 
2L
n  1,2,3, 
n
n  n
0  
v
L
v
 n0
L
n  1,2,3,
základní
ákl d í frekvence
f k
Stojaté vlnění
n  n
v
 n0
L
v
0  
L
n  1,2,3, 
základní frekvence
rychlost šíření vlny ve struně
v
Ft

Ft – napěťová síla struny
 – hmotnost struny na jednotku délky
základní frekvence
0 

L
Ft

Chladniho obrazce na ozvučné
desce kytary
Stojaté vlnění
• tón D4
kalimba
• 293.7
293 7 H
Hz
kytara
y
D. Chapman, Acoustic’ 08 Paris
Stojaté vlnění
1.5
• tón D4
kalimba
1.0
• 293.7
293 7 H
Hz
y
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-1.5
0
2
4
6
8
10
12
14
10
12
14
t (ms)
1.5
kytara
y
1.0
y
0.5
0.0
-0.5
-1.0
10
-1.5
0
2
4
6
8
t (ms)
Fourierova řada
• periodickou funkci můžeme napsat jako součet harmonických vln
f t   f t  T 
• Fourierova řada

a0 
f t     an cosnt    bn sin nt 
2 n 1
n 1
jediný nenulový člen
am
2
2

T
1
T
t 0 T

t0
1
f t  cosmt dt 
T
t 0 T

t0
a0
1
cosmt dt 
2
T
1

T
t 0 T
t 0 T
1




a
cos

t
cos
m

t
d
t



t 1
T
0
1




b
cos

t
sin
m

t
d
t



t 1
T
0
t 0 T
b
m
t0
t 0 T
2
mt dt  
a
cos
m

t0
cosmt sin mt dt  
Fourierova řada
• periodickou funkci můžeme napsat jako součet harmonických vln
f t   f t  T 
• Fourierovy koeficienty
• Fourierova řada
f t  



a0
  an cosnt    bn sin nt 
2 n 1
n 1
2
T
2
a0 
T
t 0 T
2
an 
T
t 0 T
2
bn 
T
t 0 T
 f t  dt
t0
 f t cosnt  dt
t0
 f t sinnt  dt
t0
Fourierova řada
• příklad: obdélníkové kmity
4
an  0
b2 n  0
b2 n 1 
2n  1
4
1
1
 4  1
f t    sin
i  t  sin
i 3 t  sin
i 5 t    
sin
i 2n  1t 

3
5
  n 1 2n  1

a0 
f t     an cosnt    bn sin nt 
2 n 1
n 1
2

T
Fourierova řada
10 členů řady
• příklad: obdélníkové kmity
4
an  0
b2 n  0
b2 n 1 
2n  1
4
1
1
 4  1
f t    sin
i  t  sin
i 3 t  sin
i 5 t    
sin
i 2n  1t 

3
5
  n 1 2n  1
1.4


a
f t   0   an cosnt    bn sin nt 
2 n 1
n 1
2

T
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Fourierova řada
100 členů řady
• příklad: obdélníkové kmity
4
an  0
b2 n  0
b2 n 1 
2n  1
4
1
1
 4  1
f t    sin
i  t  sin
i 3 t  sin
i 5 t    
sin
i 2n  1t 

3
5
  n 1 2n  1
1.4


a
f t   0   an cosnt    bn sin nt 
2 n 1
n 1
2

T
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Dopplerův jev
• Christian Doppler, Praha 1842
• pohybující se zdroj vlnění
• zdroj v klidu
• zdroj v pohybu
• perioda vlnění: T0
• perioda vlnění: T
• frekvence: f0 = 1 / T0 = v / 0
• frekvence: f = 1 / T = v / 
  0  vsT0
0  vT0
vsT0
f  f0
v
v  vs
Dopplerův jev
• Christian Doppler, Praha 1842
• zdroj se pohybuje k nám:
• frekvence:
v
f  f0
v  vs
• vlnová délka:
  0  vsT0
• zdroj se pohybuje od nás:
• frekvence:
f k
• vlnová délka:
f  f0
v
v  vs
  0  vsT0
pozorovatel
zdroj
d j
vp
vs
vs  0
vs  0
• frekvence vlnění
vp  0
vp  0
f  f0
v  vp
v  vs
Dopplerův jev
• frekvence vlnění
f  f0
v  vp
v  vs
pozorovatel
zdroj
vs
• zdroj se pohybuje ke stojícímu pozorovateli rychlostí zvuku
vs  v
vp  0
f 
• zdroj se pohybuje od stojícího pozorovatele rychlostí zvuku
vs  v
vp  0
1
f  f0
2
• zdroj
d j se pohybuje
h b j ke
k stojícímu
jí í
pozorovateli
li rychlostí
hl í převyšující
ř š jí í rychlost
hl zvuku
k
vs  v
vp  0
f 0
vp
Rudý a modrý posuv
• absorbční spektra hvězd
pozorovatel
zdroj
vs
• rudý
ý pposuv – hvězda letící od nás
• modrý posuv – hvězda letící k nám

vp
Mechanika kontinua - napětí
• spojité prostředí – kontinuum
• objemové síly – působí současně na všechny částice kontinua (např. tíhová síla)
• plošné
l š é síly
íl – působí
ů bí na povrchh studované
t d
é části
čá ti kontinua
k ti
a způsobují
ů b jí jeho
j h deformaci
d f
i
• napětí

 dF

dS
S
z

F
• jednotky
j d tk Pascal
P
l [Pa]
[P ] = N
Nm-22
síla působící na malý plošný
element dělená jeho plochou
y
x
Mechanika kontinua - napětí



• napětí

 dF

dS
n


• znaménková konvence
• tažné napětí  > 0
• normálové napětí


dF
n  n
dS
(kolmo na plochu)
• tečné (smykové) napětí

 dFt
 
dS
(v rovině plochy)
• kompresní napětí  < 0
Mechanika kontinua - napětí
• tenzor napětí
  xx  xy  xz 


  yx  yy  yz 




zy
zz 
 zx
 xy   yx
 xz   zx
 yz   zy
• čistě tahové složky (tlakové) složky:
 xx ,  yy ,  zz
• smykové složky:
 xy , xz , yz
Mechanika kontinua - napětí
• tenzor napětí
  xx  xy  xz 


  yx  yy  yz 




zy
zz 
 zx
 xy   yx
 xz   zx
 yz   zy
• napětí v obecné rovině:
  x    xx  xy  xz  x 
 
   
    y     yx  yy  yz  y 
 
   


zy
zz  z 
 z   zx


  σv
   x , y , z 


 1
Mechanika kontinua - napětí
• tenzor napětí
  xx  xy  xz 


  yx  yy  yz 




zy
zz 
 zx
 xy   yx
 xz   zx
 yz   zy
z
• hlavní roviny
 1 0 0 


 0 2 0 
0 0  
3

• 1, 2 , 3 - hlavní napětí
p
 xyy
1
y
x
Mechanika kontinua - napětí
• jednoosá napjatost
z
  yy
x
• dvojosá napjatost
  xx
 yy   yy
 xx
y
• trojosá napjatost
 zz
  xx
 yy   yy
 xx
  zz
tenzor napětí
σ
0 0

 0  yy
0 0

0

0
0 
  xx 0

 0  yy
 0
0

0

0
0 
0 
  xx 0


 0  yy 0 
 0
0  zz 

 yy
Mechanika kontinua - deformace
• deformace vede k posunutí částic kontinua



• posunutí u  r   r
u x 1  u x u x 
 


x 2  x
x 
u y 1  u y u y 

 

• deformace ve směru osy y:  yy 
y 
y 2  y
u z 1  u z u z 


 

• deformace ve směru osy z: zz

z 2  z
z 
• deformace ve směru osy x:  xx 
ux
y

r'
• deformace způsobené normálovými napětími
 uy
u

r
x
Mechanika kontinua - deformace
• deformace smykovými napětími
• deformace ve směru osy x:  yx
ux

 tg
y
p
posunutí
ve
směru osy x
plocha, v které se posunutí
děje, je kolmá na osu y
• deformace
d f
ve směru
ě osy y:  xy 
uy
x
 tg
t 
Mechanika kontinua - deformace
• deformace smykovými napětími
+
+
• xy a –yx dohromady
• xy a yx dohromady
• rotace,, ale žádná deformace
•p
prostý
ý smyk
y
 xy   yx
Mechanika kontinua - deformace
• deformace smykovými napětími
• deformace ve směru osy x:  yx
• malé deformace
ux

 tg
y
tg  
u
 yx  x   yx
y
 xy 
• deformace
d f
ve směru
ě osy y:  xy 
uy
x
 tg
t 
u y
x
  xy
 xyy   yyx   xyy   yyx
• úhel smyku
 xy
1  u x u y 

  xy  

2  y
x 
Mechanika kontinua - deformace
• tenzor malých deformací:
  xx

ε    yx

 zx
1  ui u j 
 ij  

2  x j xi 



• posunutí bodu s polohovým vektorem r při deformaci: u  ε r
 u x    xx
  
 u y     yx
u  
 z   zx
 xy  xz  x 
 
 yy  yz  y 
 zy  zz  z 
 xy  xz 

 yy  yz 
 zy  zz 
 xyy   yyx
 xz   zx
 yz   zy
Mechanika kontinua - deformace
• tenzor malých deformací
  xx

ε    yx

 zx
 xy  xz 

 yy  yz 
 zy  zz 
 xy   yx
 xz   zx
 yz   zy
1  ui u j 

 ij  
2  x j xi 
xx – relativní změna délkyy elementu,, kterýý byl
y před
p
deformací rovnoběžný
ý s osou x
yy – relativní změna délky elementu, který byl před deformací rovnoběžný s osou y
zz – relativní změna délky elementu,
elementu který byl před deformací rovnoběžný s osou z
xy – je rovna polovině úhlu o který se deformací změní pravý úhel mezi elementy
původně
ů d ě rovnoběžnými
běž ý i s osou x a y
xz – je rovna polovině úhlu o který se deformací změní pravý úhel mezi elementy původně
rovnoběžnými s osou x a z
yz – je rovna polovině úhlu o který se deformací změní pravý úhel mezi elementy původně
rovnoběžnými s osou y a z