docDeskriptivní geometrie I Prezentace a podklady k pr edna s ka m
download 
Stížnost Transkript
Deskriptivní geometrie I Prezentace a podklady k pr edna s ka m
Deskriptivní geometrie I Prezentace a podklady k prednaskam Geometrická zobrazení v rovině Shodná zobrazení v rovině: identita, posunutí, rotace, středová souměrnost osová souměrnost posunutá souměrnost Podobná zobrazení v rovině: stejnolehlost Mozaika z Efesu ORNAMENT Různá dělení: Motivy, původ, struktura 1.Rozety (mandaly) 2.Frýzy (vlysy) 3.Tapety (rovinné mozaiky) Hledání symetrie Z hlediska struktury různé vzory, které vznikly ze stejného základu Arabský ornament – typ p6 S Dělení tapetových vzorů dle struktury 17 tapetových vzorů Krystalograf E. Fedorov poprvé v roce 1891 publikoval důkaz, že rovinných krystalografických grup je právě 17 Teprve později se danou problematikou zabývají matematici např. Pólya (1924) Nejmenší úhel rotace žádný rovnoběžník 180 o 120 o 90o obdélník šestiúhelník čtverec 60 o šestiúhelník Arabský ornament – typ p6m Parkety ze zámku Valtice – typ p4m Nejmenší úhel rotace žádný rovnoběžník osová souměrnost ne ano posunutá souměrnost s jinou osou než byla osa souměrnosti ano cm ne pm posunutá souměrnost ano pg ne p1 Nejmenší úhel rotace 180 o obdélník osová souměrnost ne ano posunutá souměrnost druhá osa souměrnosti ano středy rotace leží jen na ose souměrnosti ano cmm ne pmm ne pmg ano pgg ne p2 Který je navíc? Nejmenší úhel rotace 120 o šestiúhelník osová souměrnost ne ano středy rotace leží jen na ose souměrnosti ano p3m1 ne p31m p3 Nejmenší úhel rotace 90o čtverec osová souměrnost ne ano p4 osa souměrnosti ve 4 směrech ano p4m ne p4g Nejmenší úhel rotace 60 o šestiúhelník osová souměrnost ano p6m ne p6 OSOVÁ AFINITA V ROVINĚ Osová afinita v rovině je geometrické zobrazení v E2, pro které platí, že je jednoznačně určeno osou o a dvojicí odpovídajících si vlastních bodů A, A´ (neležících na ose o) a platí: • Spojnice odpovídajících si bodů jsou vzájemně rovnoběžné (určen směr afinity) • Všechny body osy jsou samodružné Osová souměrnost je specielní případ osové afinity. Vlastnosti afinity: • • • • Samodružné body, samodružné přímky Charakteristika afinity Vlastnosti incidence Zachování rovnoběžnosti (zobrazení nevlastního bodu) • Zachování dělicího poměru • Obraz rovinných útvarů Kuželosečky Kuželosečky jsou křivky, ve kterých rovina protíná kuželovou plochu Z této definice plyne, že kuželosečky jsou rovinné křivky. Podle polohy roviny vzhledem ke kuželové ploše vznikají různé druhy kuželoseček. Rozlišujeme: kuželosečky regulární – elipsa (kružnice), hyperbola, parabola Kuželosečky singulární – bod, přímka, dvě přímky Singulární kuželosečky Rovina řezu prochází vrcholem kuželové plochy Regulární kuželosečky http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/Uvod.html ELIPSA • Elipsa je množina všech bodů roviny, které mají od dvou pevných, navzájem různých bodů E, F této roviny, konstantní součet vzdáleností, větší než je vzdálenost daných dvou bodů. • Body E, F nazýváme ohniska elipsy. Elipsa C M N a b A E S A,B hlavní vrcholy elipsy D C,D vedlejší vrcholy elipsy /EM/+/MF/ = 2a EM,MF jsou průvodiče bodu a = /AS/ =/SB/ AB je hlavní osa elipsy b = /CS/ =/SD/ CD je vedlejší osa elipsy e = /ES/ =/SF/ excentricita e F B Ohniskové vlastnosti elipsy V1: Tečna elipsy půlí vnější úhel průvodičů dotykového bodu. V2: Normála elipsy půlí vnitřní úhel průvodičů bodu elipsy. Vrcholová kružnice elipsy V3: Množinou všech pat kolmic spuštěných z ohniska elipsy k jejím tečnám je kružnice se středem S a poloměrem a. Řídící kružnice elipsy V4: Množinou všech bodů souměrně sdružených s jedním ohniskem elipsy podle jejich tečen je kružnice se středem v druhém ohnisku a poloměrem 2a. Sdružené průměry V5: Tečny elipsy sestrojené v krajních bodech jednoho průměru jsou rovnoběžné s průměrem sdruženým. Ovál Rys z reálného gymnázia v Praze (kuželosečky mají společná ohniska) HYPERBOLA • Hyperbola je množina všech bodů roviny, které mají od dvou pevných, navzájem různých bodů E, F této roviny, konstantní rozdíl vzdáleností, menší než je vzdálenost daných dvou bodů. • Body E, F nazýváme ohniska hyperboly. a1 Hyperbola a2 M Q e b a E A S B F A,B hlavní vrcholy hyperboly a asymptoty hyperboly /EM/-/MF/ = 2a EM,MF jsou průvodiče bodu a = /AS/ =/SB/ AB je hlavní osa hyperboly b je vedlejší osa hyperboly e = /ES/ =/SF/ excentricita Ohniskové vlastnosti hyperboly V1: Tečna hyperboly půlí vnější úhel průvodičů dotykového bodu. V2: Normála hyperboly půlí vnitřní úhel průvodičů. Vrcholová kružnice hyperboly V3: Množinou všech pat kolmic spuštěných z ohniska hyperboly k jejím tečnám je kružnice se středem S a poloměrem a. Řídící kružnice hyperboly V4: Množinou všech bodů souměrně sdružených s jedním ohniskem hyperboly podle jejich tečen je kružnice se středem v druhém ohnisku a poloměrem 2a. Cathedral of Brasilia, Oscar Niemeyer, 1958 Karel Hubáček, Ještěd, 1973 Ch. Taylor, Canada Place, Londýn, 2002 PARABOLA • Parabola je množina všech bodů roviny, které mají od daného bodu F a od dané přímky d této roviny stejné vzdálenosti, bod F neleží na přímce d. • Bod F nazýváme ohniskem paraboly a přímku d řídící přímkou paraboly. • Vzdálenost ohniska od řídící přímky se nazývá parametr paraboly. Parabola d v M Q V F o QM,FM jsou průvodiče bodu V je vrchol paraboly o = VF je osa paraboly Ohniskové vlastnosti paraboly V1: Tečna paraboly půlí vnější úhel průvodičů dotykového bodu. V2: Normála paraboly půlí vnitřní úhel průvodičů. Vrcholová tečna paraboly V3: Množinou všech pat kolmic spuštěných z ohniska paraboly k jejím tečnám je vrcholová tečna. Řídící přímka paraboly V4: Množinou všech bodů souměrně sdružených s ohniskem paraboly podle jejich tečen je řídící přímka. Subtangenta V5: Subtangenta paraboly je půlena vrcholem. Barcelona Strauss, Golden Gate Bridge, San Francisco Sarinen, Gateway Arch, St. Louise, 1987 • http://15122.fa.cvut.cz/?page=cz,nekterezakladni-konstrukce-a-navody Deskriptivní geometrie Promítací metody Definice promítání • Promítání je zobrazení prostoru na rovinu, popřípadně na jinou plochu (například válcovou nebo kulovou) Promítání na rovinu • Je dán bod S, který se nazývá střed promítání a rovina ρ , která se nazývá průmětna. Bod S neleží v průmětně. • Zobrazení, které každému bodu v prostoru různému od bodu S přiřadí průsečík přímky AS s průmětnou, se nazývá promítání. • Nevlastní bod • Nevlastní přímka • Nevlastní rovina • Je-li střed promítání S vlastní bod, nazýváme promítání středové. • Je-li střed promítání S nevlastní bod, nazýváme promítání rovnoběžné. (tj. „bod S posuneme do nekonečna“) Promítání • Rovnoběžné promítání Rozlišujeme pravoúhlé a kosoúhlé • Středové promítání specielní případ je lineární perspektiva Rovnoběžná promítání • Pravoúhlá promítání: Kótované promítání Mongeovo promítání Pravoúhlá axonometrie • Kosoúhlá promítání Kosoúhlé promítání, specielní případ Vojenská perspektiva Vlastnosti rovnoběžného promítání • Rovnoběžným průmětem bodu je bod. • Rovnoběžným průmětem přímky rovnoběžné se směrem promítání je bod, rovnoběžným průmětem přímky, která nemá směr promítání je přímka. • Rovnoběžným průmětem roviny, která je rovnoběžná se směrem promítání je přímka, rovnoběžným průmětem roviny, která nemá směr promítání je celá průmětna. • Rovnoběžné promítání zachovává incidenci. • Rovnoběžné promítání zachovává rovnoběžnost. • Rovnoběžné promítání zachovává dělicí poměr. • … Metrické vlastnosti • Průmět úsečky • Průmět pravého úhlu • Průmět mnohoúhelníku, kružnice Kótované promítání Mongeovo promítání Pravoúhlá axonometrie Č. 5 SCHODIŠTĚ VOJTĚCH DVOŘÁK 2000/01 FA ČVUT Kosoúhlé promítání Vojenská perspektiva Vojenská perspektiva Lineární perspektiva z Z O X x Y y z Z O X x Y y z z Z Z S O O Y X y x S=S1 X x S1 Y y 120 q=32 nadhled z O x y 120 q=32 nadhled z O x y 120 q=32 nadhled z O x y z V O x Q R y ŘEZY TĚLES Kaplička v Bílce Valencie, oceánografické muzeum Singulární kuželosečky Rovina řezu prochází vrcholem kuželové plochy Regulární kuželosečky Ch. Taylor, Canada Place, Londýn, 2002 S S DG I, 13. přednáška ZRCADLENÍ ZRCADLENÍ ÍNELDACRZ ZRCADLENÍ ZRCADLENÍ DG I, 13. přednáška ZRCADLENÍ DG I, 13. přednáška Bod, ve kterém se světelný paprsek odráží od zrcadla lze najít podle principu úhel odrazu = úhel dopadu. S A A’ S’ ³ ZRCADLENÍ DG I, 13. přednáška Místo konstrukce bodu odrazu světelného paprsku zobrazujeme bod souměrný s daným bodem podle roviny zrcadla. Bodem vedeme kolmici k rovině zrcadla. Sestrojíme průsečík kolmice s rovinou zrcadla. Naneseme vzdálenost bodu od roviny zrcadla na kolmici za průsečík. Obraz přímky rovnoběžné s rovinou zrcadla je rovnoběžný s rovinou zrcadla. Průsečík přímky různoběžné s rovinou zrcadla a jejího obrazu leží v rovině zrcadla. S A A’ S’ Az ³ Deskriptivnı́ geometrie I, FA ČVUT, ZS 2012/13 13. přednáška – str. 1 Zrcadlenı́ S – oko A – osvětlený bod A′ S′ ζ – rovina zrcadla Az 1 MP Je dána úsečka AB (A[0 ; 6 ; 7], B[−3 ; 6 ; 6]) a rovina zrcadla ζ(4 ; 3 ; 5). Zobrazte zrcadlení úsečky AB, tj. sestrojte obraz úsečky v rovinné souměrnosti podle roviny ζ. nζ2 A2 x12 B2 O12 A1 B1 pζ1 x nα D L A I C K B J z 2 y mα V PA je zobrazena krychle ABCDIJKL, jejíž stěna ABCD leží ve vodorovné rovině α. Zobrazené části nárysné a bokorysné stopy roviny α ohraničují roh bazénu. Břeh je v rovině α, hladina leží v půdorysně π(x,y). Sestrojte zrcadlový obraz krychle a břehu. Deskriptivnı́ geometrie I, FA ČVUT, ZS 2012/13 13. přednáška – str. 2 x = ζ1 xo X A B O Z z 3 C Y y yo V PA je zobrazena židle se čtvercovým půdorysem ABCD, která stojí na půdorysně π(x,y). Rovina zrcadla je nárysna ν(x,z). Sestrojte zrcadlový obraz židle. Deskriptivnı́ geometrie I, FA ČVUT, ZS 2012/13 13. přednáška – str. 3 Deskriptivnı́ geometrie I, FA ČVUT, ZS 2012/13 4 13. přednáška – str. 4 A4 na výšku Pozn.: Zadání příkladu je předtištěno na str. 5. LP: H[9 ; 18], vh = 12, d = 26 Zobrazte krychli ABCDIJKL, v jejíž stěně BCJK je vepsána kružnice. Dále zobrazte zrcadlení krychle, rovina zrcadla ζ je kolmá k základní rovině π. (Stačí viditelné čáry.) R1 R∈π Q∈π |ZR| = 20 ABCD ⊂ π Q1 ζ1 C 1 = K1 D1 = L1 10 16 10 B1 = J1 A1 = I1 z1 = σ1 3 8 2 8 Z1 = H1 5 A4 na šířku Pozn.: Zadání je předtištěno na str. 6. LP: H[16 ; 14], vh = 7, d = 26 Je dána krychle ABCDIJKL (drátěný model); stěna ABCD leží v rovině α, která je rovnoběžná se základní rovinou π a je 3 cm nad π. V rovině α je okraj bazénu, přímka b; stěna bazénu je svislá. Rovina vodní hladiny je 2 cm nad π. Zobrazte krychli, okraj bazénu, čáru vodní hladiny ve svislé stěně bazénu a zrcadlové obrazy. C 1 = K1 D1 = L1 b1 10 B1 = J1 10 4 30◦ 6 7 Z1 = H1 A1 = I1 1 z1 = σ1 Deskriptivnı́ geometrie I, FA ČVUT, ZS 2012/13 13. přednáška – str. 5 Ro Qo ζ1o Do Co H h L K I J R Q C D ζ1 Bo Ao B A Z d D/2 z 13. přednáška – str. 6 Ao1 z U D L d D/2 Z H I A K C V J B h Deskriptivnı́ geometrie I, FA ČVUT, ZS 2012/13 13. přednáška – str. 7 Jz Lz Dz z U b D L d D/2 Z H I A Az Cz C K Kz V J B Bz h Deskriptivnı́ geometrie I, FA ČVUT, ZS 2012/13 Deskriptivnı́ geometrie I, FA ČVUT, ZS 2012/13 6 13. přednáška – str. 8 A3 na šířku LP: H[16 ; 18], vh = 8, d = 26 Je dána místnost tvaru krychle ABCDIJKL o straně 40, čtvercové podlaze je vepsána kružnice k(R,20). A CDLK je zrcadlo. Pozorovatel stojí ve dveřích, šířka dveří je 10, výška je 15. Ve stěně Zobrazte část místnosti a kružnice. Dále zobrazte zrcadlové obrazy objektů. D1 = L1 C 1 = K1 40 k1 14 Z1 = H1 z1 = σ1 R1 26 A1 = I1 10 5 S1 5 20 Pozn.: Předtisky na stranách 9 a 10 jsou zmenšeny pro tisk na formát A4. B1 = J1 13. přednáška – str. 9 h z Z Do d D/2 Ro ko H Co Deskriptivnı́ geometrie I, FA ČVUT, ZS 2012/13 13. přednáška – str. 10 Do D D/2 d Z H T To Ro R k ko C z h Co Deskriptivnı́ geometrie I, FA ČVUT, ZS 2012/13
