10.Vztahy mezi goniometrickými funkcemi, grafy goniometrických

10.Vztahy mezi goniometrickými funkcemi , grafy goniometrických funkcí,
úlohy o pravoúhlém trojúhelníku
I.Vztahy mezi goniometrickými funkcemi
Základní vztahy
1) sin 2 α + cos 2 α = 1
sin α
2)tgα =
cos α
cos α
3) cot gα =
sin α
4)tgα . cot gα = 1
Funkce dvojnásobného úhlu:
5) sin 2α = 2 sin α cos α
6) cos 2α = cos 2 α − sin 2 α
Příklady: Upravte
cos 2 x
1 − sin 2 x
= .....rozložíme podle a 2 − b 2 = (a + b)(a − b).....
a)
= ....... podle 1).. =
1 − sin x
1 − sin x
(1 + sin x)(1 − sin x)
π
= 1 + sin x podmínky: 1 − sin x ≠ 0..t. j. sin x ≠ 1...t. j.x ≠ + k .2π
1 − sin x
2
2
2
sin x
1 + cos x
sin x + (1 + cos x)
b)
+
= ...společný jmenovatel..
=
1 + cos x
sin x
sin x.(1 + cos x) )
sin 2 x + 1 + 2 cos x + cos 2 x
1 + 1 + 2 cos x
2 + 2 cos x
2(1 + cos x)
2
= .. podle 1)..
=
=
=
sin x(1 + cos x)
sin x(1 + cos x) sin x(1 + cos x) sin x(1 + cos x) sin x
podmínky: sin x ≠ 0..t. j.x ≠ 0 + 2π , cos x ≠ −1..t. j.x ≠ π + k .2π
2 sin x
2 sin x
2tgx
cos x
c)
= .. podle 2)... = cos x2 =
= ..odstraníme složený zlomek ,
2
2
1 + tg x
sin x cos x + sin 2 x
1+
cos 2 x
cos 2 x
2 sin x cos 2 x
podle 1) nahradíme sin 2 x + cos 2 x = 1.... =
.
= ....krátíme = 2 sin x. cos x =
cos x
1
podle 5)... sin 2 x
π
+ k .π
2
Cvičení: Upravte a udejte podmínky, za kterých mají dané výrazy smysl:
1 − cos 2 x
sin 2 x
1
1
a)
+
=
b)
+
=
2
sin 2 x
1 + cos 2 x
1 + tg x 1 + cot g 2 x
podmínky: cos x ≠ 0...t. j.x ≠
cos 2 x
cos 2 x
−
=
1 − sin x 1 + sin x
2 cos x − sin 2 x
=
e)
cos 2 x
c)
Výsledky: a) 2tgx
b) 1
sin 2 x + 2 sin x
=
sin 2 x
cos 2 x + sin 2 x
=
f)
1 − sin x
2 sin x
2 cos x
d)
e)
1 − cos x
1 + sin x
d)
c) 2sinx
f) 1+sinx
II. Grafy goniometrických funkcí
Základní rovnice y = a . sin ( b x + c )
a ….ovlivňuje výšku grafu
b…. ovlivňuje šířku grafu
c ….posunuje graf … + doprava , - doleva
Cvičení :
1) V 〈 0,2π 〉 sestrojte grafy funkcí a) y= sin x
c) y = 2 sin x
d) y = sin 0,5 x
2) V 〈 0,2π 〉 sestrojte grafy funkcí
a) y=cos x
b) y = cos x - 1
b) y= sin 2x
c) y = cos x + 2
3) V 〈−2π ,2π 〉
zakreslete grafy funkcí y = sin x , y = cos x
Určete všechna x z daného intervalu , pro která platí
a) sin x = 0
b) cos x = 1
c) sin x = 0
d) cos x = 0
4)V 〈 0,2π 〉 sestrojte grafy funkcí :
a) y= cos x
b) y= cos ( x −
π
4
)
c) y=cos ( x +
π
4
)
III.Řešení pravoúhlého trojúhelníku
Při řešení každé úlohy uděláme náčrtek, pro řešení úloh používáme definice goniometrických
funkcí a Pythagorovu větu.
Cvičení :
1. V kosočtverci je dána strana a = 15 cm , úhel sevřený stranami α = 42 0 . Vypočtěte
poloměr kružnice jemu vepsané ρ .
( ρ = 5,02cm)
2. Základny rovnoramenného lichoběžníku jsou a= 12 cm, c=14cm , rameno b=3cm.
Vypočtěte velikosti všech jeho vnitřních úhlů.
( 109029´ , 70031´ )
3. Sílu F = 64 N rozložte na dvě stejně veliké složky F1=F2 tak, aby ∠F1 F = ∠F2 F = 20 0
( F1=F2= 34,05 N )
4. Je dána kružnice k o středu S a poloměru r=65 cm . Dále je dán bod A tak, že
AS=115cm . Určete velikost úhlu, který spolu svírají tečny sestrojené z bodu A ke
kružnici k.
( 68050´)
5. Úhlopříčky obdélníku svírají úhel ω = 54 0 30′, delší strana a= 125 mm . Vypočtěte
délku úhlopříček a kratší stranu.
( u= 140,5 mm , b= 64,4 mm)
6. V pravidelném n-úhelníku je dán poloměr kružnice vepsané ρ = 55 cm. Vypočtete
poloměr kružnice opsané r a stranu n-úhelníku a , je-li n = 7 .
( r=61,1cm , a7=53 cm)
7. Velikost složky dvou navzájem kolmých sil Fx =35 N , složka Fx svírá s výslednicí
úhel 39040´. Určete velikost druhé složky Fy a velikost výslednice F .
( Fy= 29 N , F= 45,5 N )