19. Planimetrie

Aktualizováno 9:31 dop. 1.5.2007
19. Planimetrie
_______________________________________________________________________________
1) Podobná zobrazení v rovině, Euklidovy věty, Pythagorova věta
2) Konstrukce algebraických výrazů, čtvrtá geom. úměrná, Eukl. a Pythagorova věta
3) Úhly obvodové, středové, úsekové
4) Shodná zobrazení v rovině
5) Stejnolehlost, stejnolehlost kružnic
6) Množiny bodů daných vlastností
7) Konvexní množiny
_______________________________________________________________________________
1) Podobná zobrazení v rovině, Euklidovy věty, Pythagorova věta
a) Dvě rovnoběžné tětivy v kružnici o poloměru 6 cm mají délky 6 cm a 10 cm. Určete jejich
vzdálenost
b) Vypočítejte délky stran pravoúhlého trojúhelníku ABC (s pravým úhlem u vrcholu C), je-li
dáno ta= 8 cm, tb= 12 cm.
c) Vypočtěte délku tětivy v kružnici o poloměru r = 10 cm, víte-li, že tětiva dělí průměr k ní
kolmý v poměru 2:3.
d) Kosočtverec je dán svým obsahem S = 150 cm2 a poměrem úhlopříček e:f = 3:4. Vypočtěte
jeho výšku, délku strany a úhlopříček.
e) Dvě tětivy kružnice k = ( S; r = 7 cm) se protínají kolmo v bodě X. Určete vzdálenost SX,
je-li │AB│ = 6 cm a │CD│ = 10 cm.
f) Vypočítejte obsah rovnoramenného lichoběžníku, jehož základny mají délky a = 22 cm,
c = 12 cm, je-li jeho výška je o 1 cm menší než délka ramene.
2) Konstrukce algebraických výrazů, čtvrtá geom. úměrná, Eukl. a Pythagorova věta
Jsou dány úsečky délky a, b ,c ,d. Sestrojte úsečku délky x:
a2
e) x = a 2 + b 2 + c 2 - d 2
a) x =
b
b 2 .c
f) x =
b) x = c.d
2a
a2 - b2
a+b
2
a + bc
d) x =
a
c) x =
g) x = 4 abcd
h) x =
abc
d
3) Úhly obvodové, středové, úsekové
a) Určete velikost obvodového úhlu příslušného k oblouku, jehož délka je
i) 3/5 délky kružnice
ii) 5/8 délky kružnice
b) Vypočtěte velikost vnitřních úhlů v trojúhelníku, který dostanete, spojíte-li na ciferníku
hodinek body vyznačující 1, 5, 8.
c) Dokažte, že spojnice bodů, které vyznačují na ciferníku hodin 1, 6 a 5, 8 jsou k sobě kolmé.
d) Sestrojte množinu všech bodů, z nichž je vidět úsečku AB ( │AB│= 5 cm ) pod úhlem
i) 30°
ii) 45°
iii) 60°
iv) 90°
v) 150°
e) Je dán čtverec ABCD. Na jeho obvodu najděte bod X tak, aby z něho bylo vidět jeho
úhlopříčku AC pod úhlem 120°.
f) Je dána úsečka AB, │AB│ = 4 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, v nichž γ = π/3,
vc = 3 cm.
Aktualizováno 9:31 dop. 1.5.2007
4) Shodná zobrazení v rovině
a) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno c = 7 cm, va = 6,5 cm, a + b = 12,5 cm.
b) Je dána přímka p, přímka a║p a přímka c různoběžná s p. Sestrojte čtverec ABCD, jehož
vrchol A leží na a, C na c a úhlopříčka BD na p.
c) Jsou dány přímky a║b a bod M. Sestrojte kružnici, která se dotýká přímek a, b a prochází
bodem M.
d) Jsou dány dvě rovnoběžné přímky a, b a mimo ně bod C. Sestrojte rovnostranný trojúhelník
ABC tak, aby jeho vrcholy A, B ležely po řadě na přímkách a, b.
e) Jsou dány soustředné kružnice k1 = (O, r1), k2 = (O, r2), r1 > r2 a bod C ležící uvnitř k2.
Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby bod A ležel na k1 a bod B ležel na k2.
f) Jsou dány soustředné kružnice k1 = (O, r1), k2 = (O, r2), r1 > r2 a bod S ležící na menší z nich.
Sestrojte rovnoběžník ABCD se středem S, jehož vrcholy leží na daných kružnicích.
5) Stejnolehlost, stejnolehlost kružnic
a) Ve stejnolehlosti se zvoleným středem S zobrazte útvar:
i) v H(S, 5/3) sestrojte obraz rovnoběžníku ABCD
ii) v H(S, -3/4) sestrojte obraz trojúhelníku ABC
b) Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, v nichž │AC│:│BC│= 5 : 4, γ = 60°, vc = 5 cm.
c) Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém platí a : b : c =_3 : 5 : 6 a poloměr kružnice
trojúhelníku opsané je r = 7 cm.
d) Do daného ostroúhlého trojúhelníku ABC vepište čtverec KLMN tak, aby KL leželo na AB,
bod M ležel na BC a bod N ležel na AC.
e) Jsou dány kružnice k1 = (O1; 2,5 cm), k2 = (O2; 1,5 cm). Určete středy a koeficienty
stejnolehlostí, v nichž je obrazem kružnice k1 kružnice k2. Dále sestrojte společné tečny
kružnic k1, k2.
i) │O1O2│= 6 cm ii) │O1O2│= 4 cm iii) │O1O2│= 3 cm iv) │O1O2│= 1 cm
f) Užitím stejnolehlosti z kusu plechu tvaru kruhové výseče vyřízněte co největší kruh.
6) Množiny bodů daných vlastností
a) Je dána kružnice k(S; r). Určete množinu středů všech kružnic, které se dotýkají kružnice
k a procházejí bodem S.
b) Najděte množinu všech bodů, z nichž vidíme danou úsečku pod úhlem větším než 45° a
menším než 60°.
c) Jsou dány dva různé body A, B. Určete množinu všech vrcholů X všech tupých úhlů AXB.
d) Jsou dány dvě rovnoběžky a, b . Najděte množinu všech bodů X, které mají od přímky a
dvojnásobnou vzdálenost než od přímky b.
e) Určete množinu všech bodů, které mají od bodů A[1 ; 1], B[5 ; 1] poměr vzdáleností 3 : 1.
f) Bod M se pohybuje tak, že součet čtverců jeho vzdáleností od počátku O[0;0] a od bodu
A[4 ; 0] je stále roven 16. Určete jeho dráhu.
7) Konvexní množiny
a) Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které platí a = 5 cm, vb = 4,5 cm, tc = 5,5 cm.
b) Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které platí b = 6 cm, vb = 1,5 cm, va = 4 cm.
c) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dán jeho obvod o = 12 cm a úhly α = 60°, β = 45°.
d) Sestrojte čtyřúhelník ABCD, je-li a = 6,5 cm, α = 60°, γ = 90°, δ = 105°, e = 8 cm.
e) Sestrojte lichoběžník ABCD, je-li dáno a = 5,5 cm, c = 3 cm, úhlopříčka e = 4,5 cm, úhel
úhlopříček ω = 110°.
Aktualizováno 9:31 dop. 1.5.2007
f) Sestrojte obdélník ABCD, je.li dán součet strany a úhlopříčky a + u = 12,5 cm a úhel
úhlopříček ω = 52°.