Stereometrie

Stereometrie
Stereometrie
Obsah
6.
Stereometrie .................................................................................................................... 925
6.1 Polohové úlohy ............................................................................................................... 925
6.1.1
Řezy těles ................................................................................................................. 925
6.1.2
Průnik přímky s rovinou .......................................................................................... 942
6.1.3
Průnik přímky s povrchem tělesa ............................................................................ 947
6.2 Metrické úlohy ................................................................................................................ 951
6.2.1
Vzdálenost dvou bodů ............................................................................................. 951
6.2.2
Vzdálenost bodu od přímky ..................................................................................... 962
6.2.3
Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek .................................................................. 983
6.2.4
Vzdálenost bodu od roviny ...................................................................................... 994
6.2.5
Odchylka dvou přímek ............................................................................................ 999
6.2.6
Odchylka přímky od roviny ................................................................................... 1006
6.3 Objemy a povrchy těles ................................................................................................ 1011
6.3.1
Krychle .................................................................................................................. 1011
6.3.2
Kvádr, hranol ......................................................................................................... 1013
6.3.3
Válec ...................................................................................................................... 1031
6.3.4
Kužel ...................................................................................................................... 1039
6.3.5
Komolý kužel ........................................................................................................ 1043
6.3.6
Jehlan, komolý jehlan ............................................................................................ 1046
6.3.7
Koule a její části .................................................................................................... 1053
6.3.8
Komplexní úlohy ................................................................................................... 1064
Stránka 924
Stereometrie
6. Stereometrie
6.1 Polohové úlohy
6.1.1 Řezy těles
1. Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KLM podle následujícího zadání:
a)
c)
b)
d)
Řešení:
a)
b)
Stránka 925
Stereometrie
c)
d)
2. Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KLM podle následujícího zadání:
a)
c)
b)
d)
Stránka 926
Stereometrie
Řešení:
a)
b)
c)
d)
Stránka 927
Stereometrie
3. Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KLM podle následujícího zadání:
a)
c)
b)
d)
Řešení:
a)
b)
Stránka 928
Stereometrie
c)
d)
4. Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KLM podle následujícího zadání:
a)
c)
b)
d)
Stránka 929
Stereometrie
Řešení:
a)
b)
c)
d)
Stránka 930
Stereometrie
5. Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KLM podle následujícího zadání:
a)
c)
b)
d)
Řešení:
a)
b)
Stránka 931
Stereometrie
c)
d)
6. Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KLM podle následujícího zadání:
a)
c)
b)
d)
Stránka 932
Stereometrie
Řešení:
a)
b)
c)
d)
Stránka 933
Stereometrie
7. Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou KLM podle následujícího
zadání:
a)
c)
b)
d)
Řešení:
a)
b)
Stránka 934
Stereometrie
c)
d)
8. Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou KLM podle následujícího
zadání:
a)
c)
b)
d)
Stránka 935
Stereometrie
Řešení:
a)
b)
c)
d)
Stránka 936
Stereometrie
9. Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou KLM podle následujícího
zadání:
a)
c)
b)
d)
Řešení:
a)
b)
Stránka 937
Stereometrie
c)
d)
10. Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou KLM podle následujícího
zadání:
a)
c)
b)
d)
Stránka 938
Stereometrie
Řešení:
a)
b)
c)
d)
Stránka 939
Stereometrie
11. Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou KLM podle následujícího
zadání:
a)
c)
b)
d)
Řešení:
a)
b)
Stránka 940
Stereometrie
c)
d)
Stránka 941
Stereometrie
6.1.2 Průnik přímky s rovinou
1. Je dána krychle ABCDEFGH. Sestrojte průsečík:
a) Přímky SAHSBF rovinou ACH
b) Přímky FD rovinou ACH
c) Přímky SFGSBD rovinou ABSCG
d) Přímky ASCG rovinou SBCSCDG
Řešení:
a)



b)



c)



Přímka SAHSBF leží v rovině ABG
Průsečnice rovinABG a ACH je
přímka AH
Přímka SAHSBF protíná průsečnici
těchto rovin v bodě SAH, který je
tedy průsečíkem přímky SAHSBF a
roviny ACH
Přímka FD leží v rovině BFH
Průsečnice rovin BFH a ACH je
přímka SBDH
Přímka FD protíná průsečnici
těchto rovin v bodě P, který je tedy
průsečíkem přímky FD a roviny
ACH
Přímka SFGSBD leží v rovině
SBCSFGSEH
Průsečnice rovin SBCSFGSEH a
ABSCG je přímka KL
Přímka SFGSBD protíná průsečnici
těchto rovin v bodě P, který je
průsečíkem přímky SFGSBD a
roviny ABSCG
Stránka 942
Stereometrie


d)

Přímka ASCG leží v rovině ACG
Průsečnice rovin SBCSCDG a ACG
je přímka KG
Přímka ASCG protíná průsečnici
těchto rovin v bodě P, který je
průsečíkem přímky ASCG a roviny
ACG
2. Je dána krychle ABCDEFGH. Sestrojte průsečík roviny a přímky podle obrázku:
a)
c)
BH  KLM
S AB SGH  KLM
b)
Řešení:
a)
CE  KLM
d)
S AE SCG  AKL



Přímka BH leží v rovině DBF
Průsečnice rovin KLM a DBF je
přímka XY
Přímka BH protíná průsečnici
těchto rovin v bodě P, který je
průsečíkem přímky BH a roviny
DBF
Stránka 943
Stereometrie
b)



c)



d)



Přímka CE leží v rovině ACG
Průsečnice rovin KLM a ACG je
přímka XY
Přímka CE protíná průsečnici
těchto rovin v bodě P, který je
průsečíkem přímky CE a roviny
ACG
Přímka SABSGH leží v rovině
SABSCDSGH
Průsečnice
rovin
KLM
a
SABSCDSGH je přímka XY
Přímka SABSGH protíná průsečnici
těchto rovin v bodě P, který je
průsečíkem přímky SABSGH a
roviny SABSCDSGH
Přímka SAESCG leží v rovině ACG
Průsečnice rovin ALM a ACG je
přímka AX
Přímka SABSGH protíná průsečnici
těchto rovin v bodě P, který je
průsečíkem přímky SAESCG a
roviny ALM
3. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Sestrojte průsečík roviny a přímky podle
obrázku:
AX  DKV
a)
c)
S ABV  KLM
Stránka 944
Stereometrie
b)
Řešení:
a)
CX  KLM
d)
S AV S AC  KLM



b)



Přímka AX leží v rovině ACV
Průsečnice rovin KDV a ACV je
přímka SV
Přímka AX protíná průsečnici
těchto rovin v bodě P, který je
průsečíkem přímky AX a roviny
KDV
Přímka CX leží v rovině ACV
Průsečnice rovin KLM a ACV je
přímka KZ
Přímka CX protíná průsečnici
těchto rovin v bodě P, který je
průsečíkem přímky CX a roviny
KLM
Stránka 945
Stereometrie
c)



d)



Přímka SABV leží v rovině DBV
Průsečnice rovin KLM a DBV je
přímka XY
Přímka SABV protíná průsečnici
těchto rovin v bodě P, který je
průsečíkem přímky SABV a roviny
KLM
Přímka SAVSAC leží v rovině ACV
Průsečnice rovin KLM a ACV je
přímka XY
Přímka SAVSAC protíná průsečnici
těchto rovin v bodě P, který je
průsečíkem přímky SAVSAC a
roviny KLM
Stránka 946
Stereometrie
6.1.3 Průnik přímky s povrchem tělesa
1. Je dána krychle ABCDEFGH. Sestrojte průsečík krychle a přímky XY podle zadání:
a)
c)
b)
Řešení:
a)
d)


b)


Přímkou KL proložíme
rovinu kolmou k rovině
podstavy
přímka KL protíná řez
tělesa roviny v bodech XY,
které
jsou
současně
průsečíky této přímky s
tělesem
Přímkou KL proložíme
rovinu kolmou k rovině
podstavy
přímka KL protíná řez
tělesa roviny v bodech XY,
které
jsou
současně
průsečíky této přímky s
tělesem
Stránka 947
Stereometrie

c)


d)

Přímkou KL proložíme
rovinu kolmou k rovině
podstavy
přímka KL protíná řez
tělesa roviny v bodech XY,
které
jsou
současně
průsečíky této přímky s
tělesem
Přímkou KL proložíme
rovinu kolmou k rovině
podstavy
přímka KL protíná řez
tělesa roviny v bodech XY,
které
jsou
současně
průsečíky této přímky s
tělesem
2. Je dán jehlan ABCDV Sestrojte průsečík jehlanu a přímky KL podle zadání:
a)
c)
b)
d)
Stránka 948
Stereometrie
Řešení:
a)


b)


c)


Přímkou KL proložíme
rovinu kolmou k rovině
podstavy
přímka KL protíná řez tělesa
roviny v bodech XK, které
jsou současně průsečíky
této přímky s tělesem
Přímkou KL proložíme
rovinu kolmou k rovině
podstavy
přímka KL protíná řez tělesa
roviny v bodech XK, které
jsou současně průsečíky
této přímky s tělesem
Přímkou KL proložíme
rovinu kolmou k rovině
podstavy
přímka KL protíná řez tělesa
roviny v bodech XL, které
jsou současně průsečíky
této přímky s tělesem
Stránka 949
Stereometrie
d)


Přímkou KL proložíme
vhodnou rovinu
přímka KL protíná řez tělesa
roviny v bodech XY, které
jsou současně průsečíky
této přímky s tělesem
Stránka 950
Stereometrie
6.2 Metrické úlohy
6.2.1 Vzdálenost dvou bodů
1. Je dána krychle ABCDEFGH, pro kterou platí AB = 5 cm. Vypočítejte vzdálenost daných
bodů.
a) FD
c) BSDH
e) SAHSAB
b) BSAE
d) BSAH
f) SHBSAD
Řešení:
a) FD
Velikost úsečky BD:
BD  AB  AD
2
2
2
BD  52  52
2
BD  50  5 2 cm
Velikost úsečky FD:
FD  DH  DB
2
2

FD  52  5 2
2

2
2
FD  70 cm 8,4 cm
b) BSAE
Stránka 951
Stereometrie
Velikost úsečky BSAE:
1
AS AE   5  2,5
2
BS AE  52  2,52
2
BS AE  31, 25 cm
5,6 cm
c) BSDH
Velikost úsečky BD:
BD  AB  AD
2
2
2
BD  52  52
2
BD  50  5 2 cm
7,1 cm
Velikost úsečky BSDH:
BS DH  DS DH  DB
2
2

BS DH  2,52  5 2
2

2
2
BS DH  56, 25 cm = 7,5 cm
d) BSAH
Stránka 952
Stereometrie
Velikost úsečky AH:
AH  AB  AD
2
2
2
AH  52  52
2
AH  50  5 2 cm
7,1 cm
Velikost úsečky BSAH:
2
BS AH
2
 AS DH 
2

  AB
 2 
2
BS AH
2
5 2 
2
 
  5
 2 
BS AH  37,5 cm
6,1 cm
e) SAHSAB
Velikost úsečky AH:
AH  AB  AD
2
2
2
AH  52  52
2
AH  50  5 2 cm
7,1 cm
Velikost úsečky SABSAH:
2
S AB S AH
2
 AS AH   S AB 

 

2

  2 
2
2
BS AH
2
5 2 
2
 
  2,5
2


BS AH  18, 75 cm
4,3 cm
Stránka 953
Stereometrie
g) SHBSAD
Bod SBH je středem krychle, proto leží v rovině řezu krychle body SADSBCSEH
Velikost úsečky SADSBH:
2
S AD S BH
2
S S  S S 
  AD BC    AD EH 
2
2

 

2
S AD S BH  2,52  2,52
2
S AD S BH  12,5 cm 3,5 cm
2. Je dán kvádr ABCDEFGH, pro který platí AB = 4 cm, BC = 4 cm, AE = 6 cm.
Vypočítejte vzdálenost daných bodů.
a) BH
c) DSBF
e) SABSBG
b) ASBF
d) ASBG
f) SBGSBC
Řešení:
a) BH
Velikost úsečky BD:
BD  AB  AD
2
2
2
BD  42  42
2
BD  32  4 2 cm 5,7 cm
Stránka 954
Stereometrie
Velikost úsečky BH:
BH  BD  DH
2
2
BH 
2

32

2
2
 52
BH  57 cm
7,5 cm
b) ASBF
Velikost úsečky ASBF:
AS BF
2
 BF 
 AB  

 2 
2
2
AS BF  42  32
2
AS BF  25  5 cm
c) DSBF
Velikost úsečky BD:
BD  AB  AD
2
2
2
BD  42  42
2
BD  32  4 2 cm 5,7 cm
Stránka 955
Stereometrie
Velikost úsečky DSBF:
DS BF
2
 BF 
 BD  

 2 
DS BF 
2
2
2

32

2
 32
DS BF  41 cm
6,4 cm
d) ASBG
Velikost úsečky BG:
BG  BC  CG
2
2
2
BG  42  62
2
BG  52
7,2 cm
Velikost úsečky ASBG:
AS BG
AS BG
2
2
 BG 
 AB  

 2 
2
2
 52 
 4  

 2 
2
2
AS BG  29 cm
5,4 cm
Stránka 956
Stereometrie
e) SABSBG
Velikost úsečky BG:
BG  BC  CG
2
2
2
BG  42  62
2
BG  52
7,2 cm
Velikost úsečky ASBG:
2
S AB S BG
S AB S BG
2
2
 AB   BG 

 

 2   2 
 52 
 2  

 2 
2
2
2
S AB S BG  17 cm
4,1 cm
Stránka 957
Stereometrie
f) SAGSBC
Velikost úsečky SAGSBC:
2
S AG S BC
2
S S  S S 
  AD BC    BC FG 
2
2

 

2
S AG S BC  22  32
2
S AG S BC  13
3,6 cm
3. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, pro který platí AB = 4 cm, v = 5 cm.
Vypočítejte vzdálenost daných bodů.
a) AV
c) CSAV
b) VSAB
d) BSAV
Řešení:
a) AV
Velikost úsečky AC:
AC  AB  BC
2
2
2
AC  42  42
2
AC  32
5,7 cm
Stránka 958
Stereometrie
Velikost úsečky AV:
2
 AC 
2
AV  
 v
 2 
2
2
AS BG
2
 32 
2
 
  5
 2 
AS BG  33 cm
5,7 cm
b) VSAB
Velikost úsečky AC:
VS AB
2
 S AB SCD


2

2

  v2


VS AB  22  52
2
VS AB  29
5,4 cm
c) CSAV
Velikost úsečky AC:
AC  AB  BC
2
2
2
AC  42  42
2
AC  32  4 2
5,7 cm
Stránka 959
Stereometrie
Velikost úsečky AV:
2
 AC 
2
AV  
 v
 2 
2
2
 32 
2
AV  
  5
 2 
2
AV  33 cm 5,7 cm
Úhel při vrcholu A
tg 
v
AS AC
tg 
5

4 2
2
60,5
1, 7678
2
CS AV
CS AV
CS AV
2
 AV 
AV
 AC  
 cos 
  2 AC 
2
 2 
2


2
2
 33 
33
 
 cos 60,5
  2  4 2 
2
2


2
 4 2
2
 32  8, 25  16
CS AV  24, 25  4,9 cm
d) BSAV
Stránka 960
Stereometrie
Velikost úsečky AC:
AC  AB  BC
2
2
2
AC  42  42
2
AC  32  4 2
5,7 cm
Velikost úsečky AV:
2
 AC 
2
AV  
 v
2


2
2
 32 
2
AV  
  5
 2 
2
AV  33 cm 5,7 cm
Velikost úsečky VSAB
VS AB
2
 AB 
 AV  

 2 
VS AB 
2

33

VS AB  29
Úhel při vrcholu A
2
 22
5, 4 cm
tg 
VS AB
tg 
29
2, 6926
2
69, 6

Velikost úsečky BSAV
2
2
AS AB
2
BS AV
2
 AS AB
2
 AV 
AV

 cos 
  2 AS AB 
2
 2 
2
BS AV
BS AV
2
2
 33 
33
 2  
 cos 69, 6
  2  2 
2
2


2
 4  8, 25  4
BS AV  8, 25  2,9 cm
Stránka 961
Stereometrie
6.2.2 Vzdálenost bodu od přímky
1. Je dána krychle ABCDEFGH, pro kterou platí AB = 5 cm. Vypočítejte vzdálenost daného
bodu od dané přímky.
a) B, EH
d) B, AH
g) A, SEFSBF
b) B, FG
e) B, EG
h) C, SAESBF
c) B, DH
f) C, BD
i) G, ESBF
Řešení:
a) B, EH
Velikost úsečky BE:
BE  AB  AE
2
2
2
BE  52  52
2
BE  50
7,1 cm
b) B, FG
Velikost úsečky BF:
BF  5 cm
Stránka 962
Stereometrie
c) B, DH
Velikost úsečky BD:
BD  AB  AD
2
2
2
BD  52  52
2
BD  50
7,1 cm
d) B, AH
Velikost úsečky AB:
AB  5 cm
e) B, EG
Stránka 963
Stereometrie
Velikost úsečky BE:
EG  GB  BE
BE  AB  AE
2
2
2
BE  52  52
2
BE  50
7,1 cm
BE  GB  BE
7,1 cm
Velikost úsečky BS:
 AG 
BS  BE  

 2 
2
BE 
2
2
2

50

2
 50 
 

 2 
BE  37,5
2
6,1 cm
f) C, BD
Velikost úsečky BD:
BD  AB  AD
2
2
2
BD  52  52
2
BD  50
7,1 cm
Velikost úsečky CS:
 DB 
CS  CD  

 2 
2
 50 
BE  5  

 2 
2
2
2
2
2
BE  12,5
3,5 cm
Stránka 964
Stereometrie
g) A, SEFSBF
Velikost úsečky AF:
AF  AB  BF
2
2
2
AF  52  52
2
AF  50
7,1 cm
Velikost úsečky AS:
3
AF
4
3
AS 
50
4
AS 
5,3 cm
h) C, SAESBF
Stránka 965
Stereometrie
Velikost úsečky CSBF:
CS BF
2
 BF 
 BC  

 2 
2
2
AF  52  2,52
2
AF  31, 25
5,6 cm
i) G, ESBF
Velikost úsečky CSBF:
 BF 
S BF G  FG  

 2 
2
2
2
S BF G  52  2,52
2
S BF G  31, 25
5,6 cm
2. Je dán kvádr ABCDEFGH, pro který platí AB = 4 cm, BC = 4 cm, AE = 6 cm.
Vypočítejte vzdálenost daného bodu od dané přímky.
a) A,BC
e) H,AC
i) C,HB
b) B,EF
f) A,FC
j) C,SBFSFG
c) C,AE
g) B,FA
d) C,EF
h) SAG,BF
Řešení:
a) A,BC
Velikost úsečky A,B:
Stránka 966
Stereometrie
C , S BF  AB
C , S BF  4 cm
b) B,EF
Velikost úsečky BF:
BF  AE
BF  6 cm
c) C,AE
Velikost úsečky AC:
AC  AB  BC
2
2
2
AC  42  42
2
AC  32  4 2 cm 5,7 cm
Stránka 967
Stereometrie
d) C,EF
Velikost úsečky CF:
CF  BC  BF
2
2
2
CF  42  62
2
CF  52
7,2 cm
e) H, AC
Velikost úsečky DB:
DB  AB  AD
2
2
2
DB  42  42
2
DB  32  4 2 cm 5,7 cm
Stránka 968
Stereometrie
Velikost úsečky HS:
 AC 
HS  AH  

 2 
2
 32 
HS  6  

 2 
2
2
2
2
2
HS  44 cm
6, 6 cm
f) A, FC
Velikost úsečky AC:
AC  AB  BC
2
2
2
AC  42  42
2
AC  32  4 2 cm 5,7 cm
Velikost úsečky AF:
AF  AB  AE
2
2
2
AF  42  62
2
AF  52 cm
7, 2 cm
Stránka 969
Stereometrie
Velikost úsečky FS:
Trojúhelník ACF je
vypočítáme jeho výšku:
 AC 
FS  FC  

 2 
2
FS 
2
2
2

52
FS  44
Velikost úsečky AP:
rovnoramenný,

2
 32 
 

 2 
2
6, 6 cm
Můžeme například využít podobnosti
trojúhelníků FSC a APC. (Pravoúhlé
trojúhelníky se stejným úhlem při vrcholu
C).
FSC APC
FS
AP

FC
AC
AP 
FS
 AC
FC
AP 
44
. 32
52
5, 2 cm
g) B, FA
Velikost úsečky AF:
AF  AB  AE
2
2
2
AF  42  62
2
AF  52 cm
7, 2 cm
Stránka 970
Stereometrie
Velikost úsečky
BP:
Úsečka BP je výškou pravoúhlého trojúhelníka ABF. Spojením
Euklidových vět o výšce a odvěsně je možné ze známých údajů
tuto výšku vypočítat:
2
BP  AP  PF
2
AB 
AB  AP  AF  AP 

AF 

2
BF

2
BF  PF  AF  PF 
AF 
2
BP 
2
BP 
BP 
AB
AF
2

BF
AF
2
AB  BF
2

AF
2
2
AB  BF
AF
46
52
3,3 cm
h) SAG, BF
Velikost úsečky DB:
DB  AB  AD
2
2
2
DB  42  42
2
DB  32  4 2 cm 5,7 cm
Velikost úsečky SAGP:
Bod SAG je bod, ve kterém se půlí tělesové
úhlopříčky, tedy i úhlopříčka HB.
DB
S AG 
2
48
S AG 
3,5 cm
2
Stránka 971
Stereometrie
i) C, HB
Velikost úsečky DB:
DB  AB  AD
2
2
2
DB  42  42
2
DB  32  4 2 cm 5,7 cm
Velikost úsečky HB:
Bod SAG je bod, ve kterém se půlí tělesové
úhlopříčky, tedy i úhlopříčka HB.
2
2
2
HB  DB  DH
HB 
2

32

2
HB  68
 62
8,2 cm
Velikost úsečky HC:
HC  DC  DH
2
2
2
HC  42  62
2
HC  52 cm
Velikost úsečky CP:
7, 2 cm
Úsečka CP je výškou pravoúhlého
trojúhelníka HCB. Spojením Euklidových
vět o výšce a odvěsně je možné ze
známých údajů tuto výšku vypočítat:
Stránka 972
Stereometrie
PC  HP  PB
2
2
HC 
HC  HP  HB  HP 

HB 

2 
BC 
2
BC  PB  HB  PB 
HB 
2
PC 
2
BP 
BP 
HC
2
HB

BC
2
HB
HC  BC
2

HB
2
2
HC  BC
HB
52  4
68
3,5 cm
j) C, SBFSFG
Velikost úsečky CP:
Z obrázku
a
z podobnosti
pravoúhlých
trojúhelníků se společným úhlem při vrcholu C je
zřejmé, že platí:
CP  3  CX
Velikost úsečky CX:
Úsečka CX je výškou pravoúhlého trojúhelníka
SCGSBCC. Spojením Euklidových vět o výšce a
odvěsně je možné ze známých údajů tuto výšku
vypočítat:
S BC SCG  S BC C  CSCG
2
2
2
S BC SCG  22  32
2
S BC SCG  13
3, 6 cm
Stránka 973
Stereometrie
Velikost úsečky SCGSBC
S BC SCG  S BC C  CSCG
2
2
2
S BC SCG  22  32
2
S BC SCG  13
Velikost úsečky CX:
3, 6 cm
CX  S BC X  XSCG
2
S BC C  S BC X  S BC SCG
2
SCG C  XSCG  S BC SCG
2
S BC C
CX 
2
CX 
CX 
Velikost úsečky CP:
2
S BC SCG

SCG C
2
S BC C 
 S BC X 

S BC SCG 

2 
SCG C 
 XSCG 
S BC SCG 
2
S BC SCG
S BC C  SCG C
2

S BC SCG
2
2
S BC C  SCG C
S BC SCG
23
13
1, 7 cm
CP  3  CX
CP  3 
6
13
5 cm
3. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, pro který platí AB = 4 cm, v = 5 cm.
Vypočítejte vzdálenost daného bodu od dané přímky.
a) V, BC
d) B, DV
g) SAC, CV
b) B, AV
e) SBV, CV
h) D, SAVSCV
c) V, AC
f) SBV, DV
Řešení:
a) V, BC
Stránka 974
Stereometrie
Velikost úsečky VSBC:
VS BC
2
 S AD S BC


2

2

  v2


VS BC  22  52
2
VS BC  29
5,4 cm
b) B, AV
Velikost úsečky VSAB:
VS AB
2
 S AB SCD


2

2

  v2


VS AB  22  52
2
VS AB  29
Velikost úsečky AV:
5,4 cm
2
 AC 
2
AV  
 v
 2 
2
2
 32 
2
AV  
  5
 2 
2
AV  33 cm 5,7 cm
Stránka 975
Stereometrie
Velikost úsečky BP:
Můžeme například využít podobnosti
trojúhelníků ABP a ASABV. (Pravoúhlé
trojúhelníky se stejným úhlem při vrcholu
A).
ABP AS ABV
AB
AV

BP 
BP 
BP
VS AB
AB
AV
 VS AB
4
. 29
33
3, 7 cm
c) V, AC
Velikost úsečky VS:
Velikost úsečky VS je výška jehlanu:
VS  v  5 cm
d) B, DV
Stránka 976
Stereometrie
Velikost úsečky BD:
BD  AB  AD
2
2
2
BD  42  42
2
BD  32
5,7 cm
Velikost úsečky BV:
2
 BD 
2
BV  
 v
2


2
2
 32 
2
BV  
  5
 2 
2
BV  33 cm 5,7 cm
Velikost úsečky DP:
Můžeme například využít podobnosti
trojúhelníků BPD a BSBDV. (Pravoúhlé
trojúhelníky se stejným úhlem při vrcholu
B).
BPD BS BDV
BD
BV

DP 
BP 
DP
VS BD
BD
BV
 VS BD
32
.5
33
4,9 cm
e) SBV, CV
Stránka 977
Stereometrie
Velikost úsečky VSBC:
VS BC
2
 S AD S BC


2

2

  v2


VS BC  22  52
2
VS BC  29
Velikost úsečky BV:
5,4 cm
2
 BC 
2
BV  
 v
 2 
2
2
 32 
2
BV  
  5
 2 
2
BV  33 cm 5,7 cm
Velikost úsečky CP:
Můžeme například využít podobnosti
trojúhelníků BCP a BSBCV. (Pravoúhlé
trojúhelníky se stejným úhlem při vrcholu
B).
BCP BS BCV
BC
BV

CP 
CP
VS BC
BC
BV
 VS BC
4
 29 3, 7 cm
33
Z obrázku a z podobnosti pravoúhlých
trojúhelníků VPC aVXSCV se společným
úhlem při vrcholu V vyplývá, že:
1
XSCV   PC , neboť platí:
2
1
VSCV   VC
2
Tedy:
1
XSCV   PC
2
1 4
XSCV  
 29 1,9 cm
2 33
CP 
Velikost úsečky CP:
Stránka 978
Stereometrie
f) SBV, DV
Velikost úsečky BD:
BD  AB  AD
2
2
2
BD  42  42
2
BD  32
5,7 cm
Velikost úsečky BV:
2
 BD 
2
BV  
 v
 2 
2
2
 32 
2
BV  
  5
 2 
2
BV  33 cm
Velikost úsečky DP:
5,7 cm
Můžeme například využít podobnosti
trojúhelníků BPD a BSBDV. (Pravoúhlé
trojúhelníky se stejným úhlem při vrcholu
B).
BPD BS BDV
BD
BV

DP 
DP
VS BD
BD
BV
 VS BD
32
.5 4,9 cm
33
Z obrázku a z podobnosti pravoúhlých
trojúhelníků VPD aVXSDV se společným
úhlem při vrcholu V vyplývá, že:
1
XS DV   PD , neboť platí:
2
BP 
Velikost úsečky SDVX:
Stránka 979
Stereometrie
VS DV 
1
 VD
2
Tedy:
1
XS DV   PD
2
1 32
XS DV  
 5 2,5 cm
2 33
g) SAC, CV
Velikost úsečky AC:
AC  AB  BC
2
2
2
AC  42  42
2
AC  32  4 2
5,7 cm
Velikost úsečky CV:
2
 AC 
2
CV  
 v
 2 
2
2
 32 
2
CV  
  5
2


2
CV  33 cm
5,7 cm
Stránka 980
Stereometrie
Velikost úsečky AV:
Můžeme například využít podobnosti
trojúhelníků SACCP a VSACC. (Pravoúhlé
trojúhelníky se stejným úhlem při vrcholu C).
S AC CP VS AC C
S AC C
CV

S AC P 
S AC P
VS AC
S AC C
 VS AC
CV
32
2 5
33
BP 
2,5 cm
h) D, SAVSCV
Velikost úsečky BD:
BD  AB  AD
2
2
2
BD  42  42
2
BD  32
Umístění bodu P:
5,7 cm
Z podobnosti trojúhelníků vyplývá, že bod
P půlí úsečku SACV. Proto:
v
VP   2,5 cm
2
Stránka 981
Stereometrie
Velikost úsečky DP:
2
 DB   v 
DP  
  
2

 2
2
2
2
 32   5  2
DP  
   
 2  2
2
DP  14, 25
3,8 cm
Stránka 982
Stereometrie
6.2.3 Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek
1. Je dána krychle ABCDEFGH, pro kterou platí AB = 5 cm. Vypočítejte vzdálenost daných
rovnoběžných přímek.
a) AB, EF
c) DB, HF
b) EF, DC
d) SEHSFG, CD
Řešení:
a) AB, EF
Velikost úsečky BD:
AD  5 cm
b) EF, DC
Velikost úsečky CF:
CF  BC  BF
2
2
2
BD  52  52
2
BD  50  5 2 cm
7,1 cm
Stránka 983
Stereometrie
c) DB, HF
Velikost úsečky BF:
BF  5 cm
d) SEH, SFG,CD
Velikost úsečky BF:
CS FG
2
 GF 
 CG  

 2 
2
2
BD  52  2,52
2
BD  31, 25
5,6 cm
2. Je dán kvádr ABCDEFGH, pro který platí AB = 4 cm, BC = 4 cm, AE = 6 cm.
Vypočítejte vzdálenost daných rovnoběžných přímek:
a) AB, EF
c) DB, HF
e) GSFB, SHDA
b) EF, DC
d) SEHSFG, CD
f) SFBSCG, EH
Stránka 984
Stereometrie
Řešení:
a) AB, EF
Velikost úsečky BF:
BF  6 cm
b) EF, DC
Velikost úsečky CF:
CF  BC  CG
2
2
2
BG  42  62
2
BG  52
7,2 cm
Stránka 985
Stereometrie
c) DB, HF
Velikost úsečky BF:
BF  6 cm
d) SEHSFG, CD
Velikost úsečky SFGC:
S FG
2
 FG 
 CG  

 2 
2
2
BG  62  22
2
BG  40
6,3 cm
Stránka 986
Stereometrie
e) GSBF, SDHA
Velikost úsečky ASBF:
AS BF
2
 BF 
 AB  

 2 
2
2
BG  42  32
2
BG  25  5 cm
ASBF  SBF G  GSDH  SDH A
Velikost úsečky AC:
AC  AB  BC
2
2
2
AC  42  42
2
AC  32  4 2 cm 5,7 cm
Velikost úsečky AG:
AG  AC  CG
2
AG 
2
2

32
AG  68
Velikost úsečky SDHSBF
Velikost úsečky SBFP

2
2
 62
8,2 cm
Velikost úsečky SDHSBF je rovna velikost
úhlopříčky podstavy tedy:
SDH SBF  32  4 2 cm 5,7 cm
Pro výpočet můžeme například porovnat
obsah kosočtverce, pro který můžeme
využít vztahy:
e f
S
 S  av
2
Stránka 987
Stereometrie
AG  S DH S BF
2
68  32
S
2
S  23,3 cm 2
S
v
S
a
68  32
2
v
4, 7 cm
5
S BF P 4, 7 cm
f) SFBSCG, EH
Velikost úsečky ESBF:
ES BF
2
 BF 
 EF  

 2 
2
2
BG  42  32
2
BG  25  5 cm
3. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, pro který platí AB = 4 cm, v = 5 cm.
Vypočítejte vzdálenost daných rovnoběžných přímek:
a) BC, AD
b) BC, SAVSDV
c) BV, SBCSCV
d) AC, SAVSCV
Stránka 988
Stereometrie
Stránka 989
Stereometrie
Řešení:
a) BC, AD
Velikost úsečky AB:
AB  4 cm
b) BC, SAVSDV
Velikost úsečky SADV:
 S AD S BC
S ADV  

2

2
2

  v2


S ADV  22  52
2
S ADV  29
5,4 cm
Stránka 990
Stereometrie
Velikost úhlu :
tg  
v
S AD S
5
2
  68, 2
tg  
Velikost úsečky SBCP:
Kosinova věta:
2
S BC
2
S V 
S V
  AD   v 2  2  AD  v  cos 
2
 2 
2
S BC
S BC
2
 29 
29
2
 
 5  cos 68, 2
  5  2 
2
 2 
2
22,3 cm
c) BV, SBCSCV
Velikost úsečky VSBC:
VS AB
2
 S BC S AD


2

2

  v2


VS AB  22  52
2
VS AB  29
5,4 cm
Stránka 991
Stereometrie
Velikost úsečky BD:
BD  AB  AD
2
2
2
BD  42  42
2
BD  32
Velikost úsečky BV:
5,7 cm
2
 BD 
2
BV  
 v
2


2
2
 32 
2
BV  
  5
 2 
2
BV  33 cm
Velikost úsečky SBCX:
5,7 cm
Můžeme například využít podobnosti
trojúhelníků BCX a BSBCV. (Pravoúhlé
trojúhelníky se stejným úhlem při vrcholu A).
BCX BS BCV
BC
BV

CX 
CX
VS BC
BC
BV
 VS BC
4
. 29 3, 7 cm
33
Z obrázku a z podobnosti pravoúhlých
trojúhelníků se společným úhlem při vrcholu
B je zřejmé, že platí:
CX
S BC X 
2
CX
S BC X 
2
4
. 29
33
S BC X 
1,9 cm
2
CX 
Velikost úsečky SBCP:
Stránka 992
Stereometrie
d) AC, SAVSCV
Velikost úsečky VS:
Velikost úsečky VS je výška jehlanu:
VS  v  5 cm
Velikost úsečky SP:
Z obrázku a z podobnosti pravoúhlých
trojúhelníků se společným úhlem při
vrcholu A je zřejmé, že platí:
VS
SP 
2
5
SP   2,5 cm
2
Stránka 993
Stereometrie
6.2.4 Vzdálenost bodu od roviny
1. Je dána krychle ABCDEFGH, pro kterou platí AB = 5 cm. Vypočítejte vzdálenost daného
bodu od dané roviny.
a) E, BCG
b) E, HFA
c) B, FGSAE
d) G, BFH
e) F, SEFSBFSFG
f) SHB, SEFSBFSCG
Řešení:
a) E, BCG
Velikost úsečky EF:
EF  4 cm
b) E, HFA
Stránka 994
Stereometrie
Velikost úsečky ES:
EG  EF  FG
2
2
2
EG  42  42
2
EG  32
ES 
Velikost úsečky AS:
5,7 cm
EG
2
32
ES 
2
2,8 cm
AS  AE  ES
2
2
2
 32 
AS  4  

 2 
2
EG  24
Velikost úsečky EP:
2
2
4,9 cm
Úsečka EP je výškou pravoúhlého
trojúhelníka AES. Spojením Euklidových
vět o výšce a odvěsně je možné ze
známých údajů tuto výšku vypočítat:
2
PE  AP  PS
2
AE 
AE  AP  AS  AP 

AS 

2 
SE 
2
SE  PS  AS  PS 
AS 
2
AE SE
AE  SE
PE 


2
AS
AS
AS
2
2
2
2
2
BP 
BP 
AE  SE
AS
4
32
2
24
2,3 cm
Stránka 995
Stereometrie
c) B, FGSAE
Velikost úsečky SAGP:
SP 
S1S2
SP 
4
 2 cm
2
2
d) G, BFH
Velikost úsečky SAGP:
EG  EF  FG
2
2
2
EG  42  42
2
EG  32
GP 
5,7 cm
EG
2
32
GP 
2
2,8 cm
Stránka 996
Stereometrie
e) F, SEFSBFSFG
Velikost úsečky SAGP:
HF  EF  GH
2
2
2
HF  42  42
2
Velikost úsečky XSBF:
HF  32 5,7 cm
Z podobnosti trojúhelníků vyplývá, že:
HF
FX 
4
32
FX 
 1, 4 cm
4
2
2
2
XS BF  FX  FS BF
2
XS BF
2
XS BF
 32 
2
 
  2
 4 
 6 cm
Velikost úsečky FP:
Úsečka EP je výškou pravoúhlého trojúhelníka
AES. Spojením Euklidových vět o výšce a
odvěsně je možné ze známých údajů tuto
výšku vypočítat:
Stránka 997
Stereometrie
PF  XP  PS BF
2


XS BF


2
S BF F 
 PS BF 
XS BF 
XF  XP  XS BF  XP 
2
S BF F  PS BF  XS BF
2
PF 
2
PF 
PF 
XF
2
XS BF

S BF F
2
XS BF
XF
2
XF  S BF F
2

XS BF
2
2
XF  S BF F
XS BF
32
2
4
6
0,5 cm
f) SHB, SEFSBFSCG
Bod SBH leží přímo v rovině
SEFSBFSCG.
SHB , SEF S BF SCG  0 cm
Stránka 998
Stereometrie
6.2.5 Odchylka dvou přímek
1. Je dána krychle ABCDEFGH o hraně a = 10cm. Vypočtěte odchylku přímek:
a) AH a BG
c) BG a BC
e) HB a HG
f) BG a AB
b) EA a DC
d) DF a DB
Řešení:
a) AH a BG
AH || BG
b) EA a DC
bodem A vedeme rovnoběžku s DC = AB  EA  AB  EA  DC 
c) BG a BC
BG je úhlopříčka na čtverci BCGF  odchylka je 45°
Stránka 999
Stereometrie
d) DF a DB
10
1

10 2
2
  3515´
tg 
e) HG a HB
10
1

10 2
2
  5444´
cotg  
f) BG a AB
BG  AB
Stránka 1000
Stereometrie
2. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, kde |AB|= 8 cm, v = 12cm. Vypočtěte
odchylku přímek:
a) AV a VC
c) AV a BC
b) DB a VD
d) AB a DV
Řešení:
a) AV a VC
  4 2
tg   
 2  12

2
 2514 '
  5028'
b) DB a VD
12
4 2
  6445'
tg 
Stránka 1001
Stereometrie
c) AV a BC
Bodem A vedeme rovnoběžku s BC:
AV  32  144  4 11
cos  
4
   7227 '
4 11
d) AB a DV
Bodem D vedeme rovnoběžku s AB:
AV  32  144  4 11
cos  
4
   7227 '
4 11
3. Je dán kvádr ABCDEFGH s rozměry |AB| = 6 cm, |BC| = 10 cm, |AE| = 15 cm. Vypočtěte
odchylku přímek:
a) AD a AF
d) BG a ED
b) HB a CG
e) AF a HC
c) DC a AF
Stránka 1002
Stereometrie
Řešení:
a) AD a AF
  90
b) HB a CG
Bodem B vedeme rovnoběžku s CG:
HF  100  36
HF  2 34
2 34
15
  3751'
tg 
Stránka 1003
Stereometrie
c) DC a AF
15
6
  6812'
tg 
d) BG a ED
Bodem C vedeme rovnoběžku s DE:

5
tg 
2 7,5
  6723'
Stránka 1004
Stereometrie
e) AF a HC
tg

3
2 7,5
  4336 '

Stránka 1005
Stereometrie
6.2.6 Odchylka přímky od roviny
1. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. |AB| = 6 cm, v = 10 cm. Vypočtěte odchylku:
a) přímky VB od roviny ABC
b) přímky VS od roviny BCV
c) přímky AB od roviny ADV
Řešení:
a) VB od ABC
10
3 2
  67
tg 
b) VS od BCV
3
10
  1642 '
tg 
Stránka 1006
Stereometrie
c) AB od ADV
3
10
  7318'
tg 
2. Je dán kvádr ABCDEFGH, který má hrany |AB| = 5 cm, |BC| = 8 cm, |AE| = 10 cm.
Vypočtěte odchylku:
a) přímky DF od roviny ABC
b) přímky DF od roviny BCG
c) přímky ED od roviny DCG
d) přímky HB od roviny ABF
Řešení:
a) DF od ABC
DB  25  64  89
10
89
  4640 '
tg 
Stránka 1007
Stereometrie
b) DF od BCG
CF  64  100  2 41
5
2 41
  3759 '
tg 
c) ED od DCG
5
10
  2634 '
tg  
Stránka 1008
Stereometrie
d) HB od ABF
EB  25  100  5 5
tg  
8
5 5
  3535'
3. Je dána krychle ABCDEFGH o hraně 5 cm. Vypočtěte odchylku:
a) přímky EG od roviny DCG
b) přímky HB od roviny BCG
c) přímky DB od roviny ACE
d) přímky EG od roviny AHF
Řešení:
a) EG od DCG
  45
Stránka 1009
Stereometrie
b) HB od BCG
tg  
5
5 2
  3515'
c) DB od ACE
  90
d) EG od AHF
5
2,5  2
  5444 '
tg  
Stránka 1010
Stereometrie
6.3 Objemy a povrchy těles
6.3.1 Krychle
1. Vypočítejte délku hrany a objem krychle, je-li její povrch S = 952,56 cm2.
Řešení:
S  6a 2


 6a 2  952,56  a 2  158, 76  a  12, 6 cm
2
S  952,56 cm 

V  a3
V  12, 63  2000,38 cm3
Délka hrany krychle je 12,6 cm a objem 2000,38 cm3.
2. Objem krychle je 10 648 cm3. Vypočítejte její hranu a povrch krychle.
Řešení:
V  a3


3
  a  10648  a  22 cm
V  10648 cm 

S  6a 2
3
S  6  223  2904 cm 2
Hrana krychle měří 22 cm, její povrch je 2 904 cm2.
3. Jsou dány dvě krychle, délky jejich hran jsou v poměru 2 : 3 . Povrch první krychle je
o 120 cm3 menší než povrch druhé krychle. Jaká bude délka hrany třetí krychle, pokud
víme, že součet objemů první a druhé krychle je roven objemu třetí krychle.
Řešení:
 V1   2 x 3  8 x 3
V a 
3
3
V2   3x   27 x
3
S1  6  2 x   24 x 2 

2

S 2  6  3x   54 x 2   54 x 2  24 x 2  120  30 x 2  120  x  2

S 2  S1  120

a1  4 cm; a2  6 cm
2
V  43  63  280 cm3
a  3 280  6,54 cm
Délka hrany třetí krychle je 6,54 cm.
Stránka 1011
Stereometrie
4. Dvě nádoby tvaru krychle o hranách délky 0,6 m a 0,82 m nahraďte jedinou ve tvaru
krychle tak, aby měla objem jako obě původní krychle dohromady. Jaký je její povrch?
Řešení:
a1  0, 6 m 
3
3
  V1  0, 6  0, 216 m
3
V1  a1

a2  0,82 m 
3
3
  V2  0,82  0,55 m
3
V2  a2

V  V1  V2
V  0, 216  0,55  0, 766
V  a 3  a  3 V  a  3 0, 766  0,915 m3
S  6a 2
S  6  0,9122  5 m 2
Povrch nové krychle je 5 m2.
Stránka 1012
Stereometrie
6.3.2 Kvádr, hranol
1. Poměr délek hran kvádru je 2 : 5 : 7 , povrch kvádru je 1 062 cm2. Vypočítejte objem
kvádru.
Řešení:
S  2  ab  ac  bc   S  1062 cm 2

  2  ab  ac  bc   1062 
a : b : c  2 : 5 : 7  a  2 x  b  5 x  c  7 x 
 2  2 x  5 x  2 x  7 x  5 x  7 x   1062 
 2 10 x 2  14 x 2  35 x 2   1062 
 2  59 x 2  1062  118 x 2  1062 
 x2  9  x  3
a  2  3  6 cm
b  5  3  15 cm
c  7  3  21 cm
V  abc
V  6 15  21  1890 cm3
Objem kvádru je 1 890 cm3.
2. Objem kvádru je 7 500 cm3, poměr délek stran je 3: 4 : 5 . Vypočítejte povrch kvádru.
Řešení:
V  abc  V  7500 cm3

3
  3x  4 x  5 x  7500  60 x  7500 
a : b : c  3 : 4 : 5  a  3x  b  4 x  c  5 x 
 x3  125  x  5
a  15 cm
b  20 cm
c  25 cm
S  2  ab  ac  bc 
S  2 15  20  15  25  20  25   2350 cm 2
Povrch kvádru je 2 350 cm2.
Stránka 1013
Stereometrie
3. Bazénu tvaru kvádru pojme 2 940 hl vody. Hloubka vody 3,5 m. Určete rozměry dna, je-li
jedna strana o 5 m kratší než druhá.
Řešení:
294  a   a  5   3,5
/ : 3,5
84  a 2  5a
a 2  5a  84  0
D   5   4 1  84   25  336  361
2
5  361 5  19

2
2
a1  12 cm
a1,2 
a2  7 nevyhovuje zadání
b  12  5  7 cm
Rozměry dna jsou 12 m a 7 m.
4. Koryto z kamene tvaru kvádru o výšce 40 cm má rozměry a = 80 cm, b = 30 cm. Tloušťka
stěny je 4 cm. Vypočítejte hmotnost koryta, jestliže hustota materiálu je 2000 kg/m3.
Řešení:
V  a b c
V  2940 hl  294000 l  294000 dm3  294 m3
c  3,5 m
b  a 5
V  a bc
m   V
  2000 kg/m3
V  V1  V2
a1  80 cm  0,8 m
a2  80  2  4  72 cm  0, 72 m
b1  30 cm  0,3 m
b2  30  2  4  22 cm  0, 22 m
c1  40 cm  0, 4 m
c2  40  4  36 cm  0,36 m
V1  0,8  0,3  0, 4  0, 096 m3
V2  0, 72  0, 22  0,36  0, 057 m3
V  0, 096  0, 057  0, 039 m3
m V 
m  2000  0, 039  78 kg
Hmotnost koryta je 78 kg.
Stránka 1014
Stereometrie
5. Vypočtěte povrch kvádru, jehož objem je 672 cm3 a délky hran a = 8 cm a b = 6 cm.
Řešení:
V  672 cm 2 

a  8 cm
672

 14 cm
  672  8  6  c  c 
48
b  6 cm


V  abc
S  2  ab  bc  ac 
S  2  8  6  6 14  8 14   2  244  488 cm 2
Povrch kvádru je 488 cm2.
6. Vypočtěte tloušťku plechu z mědi, má-li hmotnost 4,26 kg a rozměry 1,8 m a 90 cm.
Hustota mědi je 8 700 kg/m3.
Řešení:
m   V
a  1,8 m
b  90 cm  0,9 m
  8700 kg/m3
m  4, 26 kg
V
m

4, 26
 4,897 104 m3
8700
V  abc
V
0, 0004897  1,8  0,9  c
c
0, 0004897
 0, 000302 m  0,302 mm
1,8  0,9
Plech má tloušťku 0,302 mm.
7. Podstava kolmého hranolu je obdélník, jehož dvě sousedící strany jsou v poměru 4 : 5 .
Tělesová úhlopříčka má od roviny podstavy odchylku 45°. Výška je o 32 cm větší než
delší strana obdélníku. Určete velikosti hran hranolu.
Řešení:
a :b  4:5
c  b  32
  45
a  4x
b  5x
c  5 x  32
us2  a 2  b 2  us2   4 x    5 x   16 x 2  25 x 2  41x 2  us  x 41
2
tg 
2
c
5 x  32
 tg45 
us
x 41
Stránka 1015
Stereometrie
x 41  5 x  32
x 41  5 x  32
x


41  5  32
32
 22,9
1, 4
a  4  22,9  91, 6 cm
x
b  114,5 cm
c  146,5 cm
Délky stran jsou a  91,6 cm, b  114,5 cm, c  146,5 cm .
8. Vypočtěte povrch kvádru, je-li objem V = 540,8 cm3. Strana a = 12,6 cm, b = 7,4 cm.
Řešení:
V  540,8 cm3 

a  12, 6 cm 
540,8
 5,8 cm
  540,8  12, 6  7, 4  c  c 
12,
6

7,
4
b  7, 4 cm


V  abc
S  2  ab  ac  bc 
S  2 12, 6  7, 4  12, 6  5,8  7, 4  5,8   418, 48 cm 2
Povrch kvádru je 418,48 cm.
9. Výška pravidelného čtyřbokého hranolu je 20 cm, odchylka tělesové úhlopříčky od roviny
podstavy je 60°. Vypočtěte objem hranolu.
Řešení:
tg 60 
20
20
 us 
 11,55 cm
us
tg 60
us  a 2  11,55  a 2  a 
11,55
 8,16 cm
2
V  abc
V  8,162  20  1331, 72 cm3
Objem hranolu je 1331,72 cm3.
Stránka 1016
Stereometrie
10. Jaká je hmotnost železné tyče o délce 2 m, je-li jejím průřezem obdélník o rozměrech
23 mm a 16 mm? Hustota železa je 7 800 kg/m3.
Řešení:
a2m
b  23 mm  0, 023 m
c  16 mm  0, 016 m
  7800 kg/m3
m   V
V  abc
V  2  0, 023  0, 016  0, 74 m3
m  7800  0, 75  5,93 kg
Hmotnost tyče je 5,93 kg.
11. Závaží ve tvaru kvádru má rozměry 350 cm, 15 dm a 650 mm. Vypočítejte, kolik
plechovek barvy spotřebujete k nátěru, je-li na 3 m2 potřeba 1 plechovka.
Řešení:
a  350 cm  3,5 m
b  15 dm  1,5 m
c  650 mm  0, 65 m
S  2  ab  ac  bc 
S  2(3,5 1,5  3,5  0, 65  1,5  0, 65)  17 m 2

3 m2 ...................1 plechovka 
17 1
 5, 67  6 plechovek
 x 
2
3
17 m .................x plechovek 

Na nátěr musíme koupit 6 plechovek barvy.
12. Délky hran kvádru jsou v poměru 2 : 3: 5 , tělesová úhlopříčka má délku ut  608 .
Vypočtěte objem kvádru v cm.
Řešení:
a : b : c  2 : 3 : 5  a  2 x  b  3x  c  5 x 
2

2
2
2
ut  608
  608   2 x    3x    5 x  

ut2  a 2  b 2  c 2

 608  4 x 2  9 x 2  25 x 2 
 608  38 x 2  x 2 
608
 16
38
x1  4
x2  4 ... nevyhovuje
Stránka 1017
Stereometrie
a  8 cm
b  12 cm
c  20 cm
V  abc
V  8 12  20  1920 cm3
Objem kvádru je 1 920 cm2.
13. Kvádr má objem 64 cm3. Jeho plášť má dvojnásobný povrch než jedna ze čtvercových
podstav. Jakou délku má tělesová úhlopříčka?
Řešení:
V  500 cm3

2
  2a  4  a  v  a  2v
S pl  4  a  v 
V  a2  v
S pl  2a 2
500   2v   v  500  4v3  v3 
2
us  a 2
us  10 2  14,14 cm
ut2  us2  v 2
500
 125
4
v  5 cm
a  10 cm
ut2  14,142  52  224,94
ut  15 cm
Tělesová úhlopříčka měří 15 cm.
14. Pravidelný šestiboký hranol je vysoký 3 cm. Poloměr kružnice opsané podstavě je 12 cm.
Vypočtěte jeho objem.
Řešení:
V  Sp v
12 10,39
 62,34 cm 2
2
Sp  6 S
S
v  3 cm
r  12 cm
r  vr
S 
2
S p  6  62,34  374, 04 cm 2
2
r
v  r  
2
2
2
vr  12  62  108
2
r
2
V  Sp v
V  374, 04  3  1122,12 cm3
vr  10,39 cm
Objem hranolu je 1122,12 cm3.
Stránka 1018
Stereometrie
15. Vypočítejte objem pravidelného čtyřbokého hranolu o délce podstavné hrany 8 cm, jehož
tělesová úhlopříčka svírá s rovinou podstavy úhel o velikosti 48°.
Řešení:
V  a2  v
us  a 2
us  8 2  11,31 cm
tg48 
v
us
v  11,31  tg 48  12,56 cm
V  82 12,56  803,84 cm3
Objem hranolu je 803,84 cm3.
16. Krabice tvaru kvádru s rozměry 4  7  9 dm je naplněná keramickou hlínou. Pokud
krabici postavíme na dno s kratšími rozměry, bude hlína sahat do výšky 45 cm. Do jaké
výšky bude sahat hlína, pokud postavíme krabici na dno 40 × 90 cm?
Řešení:
V  abc
V  40  70  45  126000 cm3
V 126000
v

 35 cm
ac 40  90
Hlína sahá do výšky 35 cm.
17. Do modelu čtyřhranné nádrže se vejde 275 l, plocha podstavy tohoto modelu je 220 dm2.
Skutečná nádrž má mít podstavu o rozloze 0,00198 km2. Jaký objem má skutečná nádrž?
Řešení:
0, 00198 km 2  1980 m 2
220 dm 2  2, 2 m 2
k 2  1980 : 2, 2  900
k  30
275 : 220  1, 25 dm  0,125 m
0,125  30  3, 75 m
V  3, 75 1980  7425 m3
Objem nádrže ve skutečné velikosti je 7 425 m3.
Stránka 1019
Stereometrie
18. Těleso tvaru šestibokého hranolu má výšku 2,4 m a délku podstavné hrany 90 cm.
a) Vypočtěte nejdelší možnou vzdálenost dvou vrcholů hranolu. Údaj uveďte
v decimetrech.
b) Kolik metrů čtverečních budeme potřebovat na potažení pláště tohoto hranolu?
Řešení:
a)
v 2   2a   x 2
2
242   2  9   x 2
2
576  324  x 2
900  x 2
x  30 dm
Nejdelší možná vzdálenost dvou vrcholů hranolu je 30 decimetrů.
b) S pl  6av
S pl  6  0,9  2, 4  12,96 m 2
Na potažení pláště budeme potřebovat 12,96 m2.
19. Venkovní květináč tvaru pravidelného šestibokého hranolu má podstavu s obsahem
120 cm2. Určete výšku květináče, pokud víte, že se do něho přesně vejde obsah třiceti
čtyřdecových nádob.
Řešení:
120 cm 2  1, 2 dm 2
30  4  120 dcl  12 l
12  1, 2  v
v  10 dm
Výška květináče je 10 dm, tj. 1 m.
20. Určete objem kvádru, pokud víte, že jeho délky stran jsou v poměru 3: 5: 7 a jehož
povrch je 568 dm2.
Řešení:
S  2  ab  ac  bc 
S  2  3x  5 x  3x  7 x  5 x  7 x   2  71x  142 x
S
568

4
142 142
a  3  4  12 dm
x
b  5  4  20 dm
c  7  4  28 dm
V  abc
V  12  20  28  6720 dm3
Objem kvádru je 6720 dm3.
Stránka 1020
Stereometrie
21. Zahradní jezírko má tvar pravidelného šestibokého hranolu o výšce 60 cm, je-li zcela
zaplněno, vejde se do něho 60 hektolitrů vody. Určete délku jeho podstavné hrany.
Řešení:
V  S pv
60 hl  6000 l
V
Sp 
v
6000
Sp 
 1000 dm 2
6
av
S p  6 a  3ava
2
2
3
a
a  v     va 
a
2
2
2
2
a
S p  3a
3
3 2
3 2
a 3
a  1000  3
a  a  19, 61 dm
2
2
2
Délka podstavné hrany je přibližně 19,61 dm.
22. Součet obsahů tří stěn kvádru, které mají společný vrchol je 1175 cm2. Rozměry kvádru
jsou v poměru 5 : 4 : 3 . Vypočtěte délku hran kvádru.
Řešení:
S  ab  ac  bc
S  5 x  4 x  5 x  3x  4 x  3x  20 x 2  15 x 2  12 x 2  47 x 2
1175  47 x 2
x  25  5 cm
a  5 x  25 cm
b  4 x  20 cm
c  3x  15 cm
Rozměry kvádru jsou 25 cm, 20 cm a15 cm.
23. Petra chce zabalit tři dárky, našla si krabice tvaru kvádru, jedna krabice má rozměry 3 dm,
28 cm a 7 dm a zbylé dvě krabice jsou stejné s rozměry 15 cm, 25 cm a 4 dm. Kolik rolí
balicího papíru musí koupit a kolik za ně zaplatí, jestliže jedna role balicího papíru vystačí
na 1,5 m2 a stojí 20 Kč?
Řešení:
S  2  ab  ac  bc 
S1  2  30  28  30  70  28  70   9800 cm 2
S2  2 15  25  15  40  25  40   3950 cm 2
x  S1  2S2  9800  2  3950  17700 cm 2  1, 77 m 2
Petra potřebuje koupit 2 role balicího papíru, za který zaplatí 40 korun.
Stránka 1021
Stereometrie
24. Bazén tvaru kvádru má rozměry dna 70 dm a 250 dm. Jaká je výška bazénu, víme-li, že
pokud je bazén naplněn 34 cm pod okraj vejde se do něho 280 m3 vody?
Řešení:
V  abc
V
c
ab
280
c
 1, 6 m
7  25
v  1, 6  0,34  1,94 m  194 cm
Výška bazénu je 194 cm.
25. Kolik bude stát barva, která je potřeba na vymalování pokoje i se stropem. Pokoj je
dlouhý 3,8 m, široký je 3,2 m a vysoký 255 cm. Barva se prodává po 10 kg, jedno balení
stojí 435 Kč a vystačí na 35 m2. Pokoj se musí vymalovat dvakrát a dveře s oknem
v tomto pokoji zabírají plochu 3,395 m2.
Řešení:
S  S p  S pl
S  ab  2ac  2bc
S  3,8  3, 2  2  3,8  2,55  2  3, 2  2,55  47,86 m 2
x  2   47,86  3,395   2  44, 465  88,93 m 2
y  88,93 : 35  2,54 3 desetikilová balení
z  3  435  1305 Kč
Barva potřebná na vymalování pokoje bude stát 1305 Kč.
26. Vypočítejte povrch a objem tělesa na obrázku. Těleso je složené z krychle a kvádru tak, že
krychle má stejnou šířku jako kvádr.
Řešení:
S  ab  2bc  2ac   a  b  b  5b 2
S  23 10  2 10  9  2  23  9   23  10  10  5 102  1454 cm 2
V  abc  b3
V  23 10  9  103  3070 cm3
Povrch tělesa je 1454 cm2 a objem tělesa je 3070 cm3.
Stránka 1022
Stereometrie
27. 6 truhlíků je potřeba osadit muškáty. Truhlík má tvar kvádru, délka je 50 cm, šířka 15 cm
a výška 11 cm. Kolik bude stát hlína do truhlíků, pokud 8,5 litrů hlíny stojí 37 Kč?
Řešení:
V  abc
V  5 1,5 1,1  8, 25 dm3  8, 25 l
6  8, 25  49,5 dm3  49,5 l
49,5 : 8,5  5,82
6  37  222 Kč
6 sáčků
Hlína do truhlíků bude stát 222 Kč.
28. Posypová sůl je uskladněná v nádobě tvaru kvádru s rozměry dna 1,9 m a 120 cm.
Vypočítejte vrstvu soli, pokud víte, že dovezení soli stálo 235 Kč a 1 dm3 soli stojí 0,55
Kč. Celková částka za sůl a dovezení soli byla 1 301 Kč.
Řešení:
1301  235  1066 Kč
1066 : 0,55  1938,18 dm3
V  abc
V
c
ab
1938,18
c
 8,5 dm
19 12
Vrstva soli je 85 cm.
29. Na stavbu zahradního domečku je potřeba dopravit 4 500 prken ze smrkového dřeva.
Rozměry jednoho prkna jsou 380 cm a 2,5 dm, tloušťka prkna je 25 mm. Nákladní auto
uveze náklad o hmotnosti 2,4 tuny. Hustota vysušeného dřeva je 440 kg/m 3. Kolikrát bude
muset auto jet, aby požadovaný počet prken převezlo?
Řešení:
V  abc
V  3,8  0, 25  0, 025  0, 02375 m3
m

V
m  V
m  440  0, 02375  10, 45 kg
4500 10, 45  47025 kg  47, 025 t
47, 025 : 2, 4  19,593 20 aut
Na převezení prken je potřeba, aby auto jelo 20 krát.
Stránka 1023
Stereometrie
30. Nádrž tvaru kvádru bez horní podstavy s rozměry dna 56 cm a 3,8 dm je naplněná vodou
0,15 m pod okraj, výška vody v nádrži je 42 cm. Vypočtěte objem tělesa, které se do vody
potopilo, jestliže voda stoupla o 0,4 dm. Vnitřní část nádrže se musí natřít, vypočtěte,
kolik decilitrů barvy bude potřeba, pokud 1 l barvy vystačí na 2,2 m2. Nátěry se musí
provést dva.
Řešení:
V  abc
V  56  38  4  8512 cm3
Objem tělesa je 8 512 cm3.
v  42  15  57 cm
S  ab  2ac  2bc
S  56  38  2  56  57  2  38  57  12844 cm 2
12844  2  25688 cm 2  2,5688 m 2
2,5688 : 2, 2  1,1676 l  11, 676 dcl
Na dva nátěry potřebujeme 11,676 dcl barvy.
31. Trám z borového dřeva má na průřezu tvar rovnoramenného lichoběžníku se základnami
o délce 42 cm a 32 cm, ramena mají délku 17 cm. Délka trámu je 3,9 m. Vypočítejte
hmotnost trámu, je-li hustota borového dřeva po vysušení 510 kg/m3. Kolik litrů mořidla
bude potřeba na natření trámu, 1 litr mořidla vystačí na 1,3 m2.
Řešení:
x   42  32  : 2
x  5 cm
va  b 2  x 2
va  17 2  52
Sp 
16, 248 cm
 a  c   va
2
 42  32  16, 248  601,178 cm 2
Sp 
2
V  S p  vh
V  601,178  390  234459, 42 cm3  0, 23445942 m3
m   V
m  510  0, 23445942  119,574 kg
Hmotnost trámu je přibližně 120 kg.
Stránka 1024
Stereometrie
S p  601,178 cm 2
S  2S p  S pl
S pl  avh  cvh  2bvh
S  2  601,178  42  390  32  390  2 17  390  43322,356 cm 2  4,3322356 m 2
4,3322356 :1,3  3,3324 l
Na namoření trámu bude potřeba 3,33 l mořidla.
32. Koupelna tvaru kvádru má délku 3 m, šířku 2,5 m a výšku 246 cm. Celá podlaha a stěny
do dvou třetin výšky budou obložené kachličkami. Koupelna je bez oken a rozměry dveří,
které vedou do koupelny, jsou 90 cm a 190 cm. Majitel má na nákup kachliček k dispozici
6 000 Kč. Může si koupit kachličky za cenu 288 Kč na 1m2?
Řešení:
S p  ab  S p  3  2,5  7,5 m 2
2
 246  164 cm
3
S pl  3 1, 64  2  2,5 1, 64  2  0,9 1,9  18, 04  1, 71  16,33 m 2
S  7,5  16,33  23,83 m 2
x  23,83  288  6863, 04 Kč
Při ceně 288 za 1m2 dojde k překročení plánovaného rozpočtu o 863 korun.
33. Pravidelný trojboký hranol má všechny hrany shodné. Obsah pláště hranolu je 108 dm2.
Určete jeho povrch.
Řešení:
S pl  3  a 2
a
S pl

108
 6 dm
3
3
av
S  2 a  S pl  ava  S pl
2
va  3a  3  6  10,392 dm
S  6 10,392  108  170,3538 dm 2
Povrch hranolu je 170,36 dm2.
34. Učebna má 7 m, šířku 5,5 m a výšku 3,8 m. Kolik studentů by mohlo být do učebny
umístěno, mají-li podle předpisů připadnout na 1 studenta aspoň 3 m3 vzduchu.
Řešení:
V  abc
V  7  5,5  3,8  146,3 m3
146,3 : 3  48, 76 48 studentů
Do učebny může být umístěno 48 studentů.
Stránka 1025
Stereometrie
35. Délky hran kvádru jsou v poměru 5 : 7 : 4 a jeho objem je 3780 cm3. Určete povrch
kvádru.
Řešení:
V  abc
3780  5 x  7 x  4 x  140 x 3
3780
3
140
a  5  3  15 cm
x
3
b  7  3  21 cm
c  4  3  12 cm
S  2  ab  ac  bc 
S  2 15  21  15 12  21 12   1494 cm 2
Povrch kvádru je 1 494 cm2.
36. Kolik pytlů cementu se spotřebuje na vybetonování sloupu vysokého 3,5 m. Sloup má
průřez tvaru pravidelného šestiúhelníku s hranou délky 18 dm. Na 1 m3 betonu je třeba
3,5 kg cementu, jeden pytel váží 25 kg.
Řešení:
3a
2
av
3a 3 3a 2
S p  6 a  3ava  3a

2
2
2
2
3 3 18
Sp 
 841, 77 dm 2
2
V  S pv
va 
V  841, 77  35  29461,95 dm3  29, 46195 m3
29, 46195  3,5  103,116825 kg
103,116825 : 25  4,1246 5 pytlů cementu
Na vybetonování sloupu je potřeba necelých 5 pytlů cementu.
Stránka 1026
Stereometrie
37. Kvádr má jednu podstavnou hranu o 2,3 dm delší než druhou. Úhlopříčný řez kvádru
kolmý k rovině podstavy je čtverec s obsahem 42,25 dm2. Vypočítejte objem a povrch
kvádru.
Řešení:
a  b  2,3
u 2  42, 25  u  6,5 dm
u 2  a 2   a  2,3
2
6,52  a 2  a 2  4, 6a  5, 29  2a 2  4, 6a  36,96  0  a 2  2,3a  18, 48  0
a  3,3 dm
b  3,3  2,3  5,5 dm
c  6,5 dm
V  abc
V  3,3  5,5  6,5  117,975 dm3  117975 cm3
S  2  ab  ac  bc 
S  2  3,3  5,5  3,3  6,5  5,5  6,5   150, 7 dm 2  15070 cm 2
Objem kvádru je 117 975 cm3, povrch je 15 070 cm2.
38. Kolik dm3 betonu je potřeba na výrobu podstavce tvaru hranolu. Příčný řez hranolem má
tvar rovnoramenného lichoběžníku se základnami délek 15 cm a 80 mm, rameno má délku
90 mm. Délka podstavce je 17 dm.
Řešení:
a  1,5 dm; c  0,8 dm; r  0,9 dm; v  17 dm
V
 a  c  va v
2
a  c 
va  r  

 2 
2
2
 1,5  0,8  
va  0,9  
  0,829 dm
2


1,5  0,9   0,829 17  16,9116 dm 2
V
2
2
2
Na výrobu podstavce je potřeba 16,9116 dm2 betonu.
Stránka 1027
Stereometrie
39. Dřevěný trám má objem 1,59 m3. Vypočítejte délku trámu, víme-li, že příčný řez trámu
má tvar složený z pravoúhlého lichoběžníku a obdélníku. Obdélník má rozměry 35 cm
a 4,5 dm. Lichoběžník má základny 3,5 dm a 20 cm, výšku 150 mm.
Řešení:
a  0,35 m, b  0, 45 m; c  0, 2 m; va  0,15 m
V  S pv
v
Sp 
V
Sp
 a  c  va  ab
2
 0,35  0, 2   0,15  0,35  0, 45  0,19875 m 2
Sp 
2
1,59
v
8 m
0,19875
Dřevěný trám má délku 8 m.
40. Rovnoramenný trojúhelník s délkou základny 1 dm a úhlem proti základně 99°20´ je
podstavou kolmého hranolu. Obsah pláště tohoto hranolu je roven součtu obsahů jeho
podstav. Vypočítejte objem tohoto hranolu.
Řešení:
S pl  2 S p
2 zvz
 zvz
2
v
tg   z
0,5 z
vz  0,5 z  tg  0,5 1  tg4020´ 0, 42 dm = 4,2 cm
zv  2av 
vz
a
v
0, 42
a z 
 0, 649 dm
sin  sin 4020´
1  v  2  0, 649  v  1 0, 42
sin  
2, 298v  0, 42
v  0,182 dm
zvz
v
2
1  0, 42
V
 0,182  0, 03822 dm3  38, 22 cm 3
2
V
Objem hranolu je 38,22 cm3.
Stránka 1028
Stereometrie
41. Určete kolik obkladaček je potřeba na obložení bazénu tvaru čtyřbokého hranolu o délce
25 m, šířce 7 m a hloubce 1,65 m, rozměry obkladačky jsou 15 x 20 cm. Na odpad se musí
počítat s 9 %. Výsledek zaokrouhli na desítky.
Řešení:
S  S p  S Pl
S  ab  2  a  b  v
S  25  7  2  25  7  1, 65
S  280, 6 m 2
So  0,15  0, 2  0, 03 m 2
S : So  280, 6 : 0, 03  9353,3 9354 obkladaček
9 % z 9354  841,86 842
9354  842  10196 10200
Na obložení bazénu potřebujeme asi 10 200 dlaždic.
42. Dárková krabička tvaru pravidelného šestibokého hranolu je vysoká 65 mm a víko má
strany dlouhé 20 cm. Kolik dm2 plechu je třeba na její zhotovení, jestliže musíme přidat na
záložky 8 % materiálu?
Řešení:
2
a
va  BS   
2
va 
2
2
a
BS   
2
2
va  202  102  300  17,3 cm
ava
 3ava
2
S p  3  20 17,3  1038 cm 2
Sp  6
S pl  o p v  6av
S pl  6  20  6,5  780 cm 2
S  2S p  S pl
S  2 1038  780  2856 cm 2  28,56 cm 2
28,56 1, 08  30,8448 cm 2
Na zhotovení dárkové krabičky je potřeba 30,8448 dm2 plechu
Stránka 1029
Stereometrie
43. Kolik litrů vody se vejde do nádoby tvaru čtyřbokého hranolu, jestliže podstava má tvar
rovnoramenného lichoběžníku. Rovnoběžné strany lichoběžníku mají délku 9 cm
a 150 mm a ramena mají délku 0,9 dm. Výška nádoby je 18 cm.
Řešení:
x  15  9  : 2
x  3 cm
va  b 2  x 2
va  92  32
Sp 
8, 49 cm
 a  c  va
2
 9  15  8, 49  101,86 cm 2
Sp 
2
V  S p  vh
V  101,86 18  1833,84 cm 3 1,8 l
Do nádoby se vejde 1,8 l vody.
Stránka 1030
Stereometrie
6.3.3 Válec
1. Kolika sudů tvaru válce o průměru 60 cm a výšce 1,2 m je zapotřebí k vyprázdnění
cisterny tvaru válce o průměru 1,4 m a délce 4,3 m?
Řešení:
V   r 2v
d1  0, 6 cm  0, 6 m
r1  0,3 m
v1  1, 2 m
V1    0,33 1, 2
V1  0,34 m 3
d 2  1, 4 m
r2  0, 7 m
V2    0, 73  4,3
V2  6, 62 m 3
V2 : V1  6, 62 : 0,34  178,3
K vyprázdnění cisterny bude zapotřebí 179 sudů.
2. Vypočtěte hmotnost zlaté medaile, má-li průměr 6 cm a tloušťku 3 mm. Hustota zlata je
19 290 kg/m3.
Řešení:
m   V
V   r 2v
  19290 kg/m3
d  6 cm  0, 06 m
r  0, 03 m
v  3 mm  0, 003 m
V    0, 032  0, 003
V  8,5 106 m3
m  19290  8,5 106  0,16 kg
Stránka 1031
Stereometrie
3. Malý motocykl má vrtání válce 38 mm, zdvih pístu 44 mm. Vypočtěte objem válce v cm3.
Řešení: Vrtání válce znamená průměr, zdvih pístu výšku válce.

V   r 2v

d  38 mm  3,8 cm 
2
3
V   1,9  4, 4  49,5 cm
r  1,9

v  44 mm  4, 4 cm 
Objem válce je 49,5 cm3.
4. Na zemi leží dvě polena tvaru válce. Délka prvního polena je dvakrát větší než druhého,
ale průměr je jen poloviční. Které z nich má větší hmotnost? (Předpokládáme, že obě mají
stejnou hustotu.)
Řešení: m   V . Hustota je stejná, proto stačí porovnat objem polen.
V1    r12  v1
V2    r2 2  v2
v1  2v2  d1 
d2
r
 r1  2
2
2
r22
 r22v2
 r2 
V1       2v2    2v2 
 V1  V2
4
2
2
2
Větší hmotnost má kratší poleno.
5. Vypočtěte rozměry válcové nádoby o objemu 5 l, je-li její výška rovna dvojnásobku
průměru podstavy.
Řešení:
V  5 l = 5 dm3 

5
2
3
V   r 2v
  5    r  4r  4 r  5  r  3
4
v  2d  v  4r 

r  0, 74 dm
v  4  0, 74  2,96 dm
Válcová nádoba má poloměr 0,74 dm a výšku 2,96 dm.
Stránka 1032
Stereometrie
6. Obvod podstavy rotačního válce je stejně velký jako jeho výška. Vypočítej povrch válce,
je-li jeho objem 480 cm3.
Řešení:
V   r 2v

480

2
2 3
 2,9 cm
o  2 r 
  480   r  2 r   480  2 r  r  3
2 2
  v  2 r 
ov 

v  2  2,9  18, 22 cm
S  2 r  r  v 
S  2  2,9  2,9  18, 22   384,83 cm 2
Povrch válce je 384,83 cm2.
7. Část kmene je tvaru rotačního válce. Kmen je šikmo seříznutý a má obvod 94,2 cm.
Výška kmene na kratší straně je 105 cm a na delší straně 12,5 dm. Vypočítejte objem
seříznutého kmene.
Řešení:
v1  125 cm; v2  125  105  20 cm
o  2 r
o 94, 2

 15 cm
2
2
 r 2 v2
 2v  v 
V   r 2 v1 
  r2  1 2 
2
 2 
r
 2 125  20 
3
3
V   152 
  25875  81247,5 cm  81, 2475 dm
2


Objem kmene je 81,25 dm3.
8. Potrubí kruhového průřezu má průměr 160 mm. Potrubím teče voda rychlostí 2,5 m/s.
Jaké množství vody proteče tímto potrubím za dvě hodiny.
Řešení:
r  0, 08 m; v  18000 m
V   r 2v
2 h  2  60 min  2  3600 s  7200 s
v  2,5  7200  18000 m
V    0, 082 18000  361, 728 m3  361728 dm3  361728 l = 3617, 28 hl
Potrubím za dvě hodiny proteče 3 617,28 hl vody.
Stránka 1033
Stereometrie
9. Nádoba tvaru válce má obsah podstavy a obsah pláště v poměru 3: 5 . Osový řez válce je
obdélník s úhlopříčkou délky 390 mm. Kolik litrů vody se vejde do této nádoby?
Řešení:
u  39 dm
S p   r 2 
6v
2
  S p : S pl   r : 2 rv  r : 2v  3 : 5  r 
5
S pl  2 rv 
 2r 
2
 v2  u 2
2
 12v 
2
2

  v  39
 5 
144v 2  25v 2  1521  25
169v 2  38025
v 2  225
v  15 cm  1,5 dm
6v 6 15

 18 cm  1,8 dm
5
5
V   r 2v
r
V   1,82 1,5  15, 26 dm3  15, 26 l
Objem nádoby je 15,26 l.
10. Osovým řezem válce je čtverec o obsahu 256 cm2. Vypočtěte objem válce.
Řešení:
S  256 cm 2 
2
  a  256  a  16 cm
2
S a

r  8 cm
v  16 cm
V   r 2v
V    82 16  3216,99 cm3
Objem válce je 3216,99 cm2.
11. Kolik hektolitrů vody proteče za hodinu gumovou hadicí o průměru 6 cm, teče-li voda
rychlostí 2,3 m/s.
Řešení: Výška válce h se rovná dráze. 1 h  3600 s, r  3 cm  0,03 m
h  v t
h  2,3  3600  8280 m
V   r2  h
V    0, 032  8280  23, 4 m3  23400 dm3  23400 l  234 hl
Stránka 1034
Stereometrie
12. O kolik centimetrů se zvedne hladina při dešti v kádi tvaru válce s průměrem 120 cm
a v hranaté nádrži tvaru krychle s hranou délky 10 dm, pokud víme, že spadne 0,5 hl na
1 m2 .
Řešení:
0,5 hl  50 l
V  abc
V
50 1
c

  0,5 dm  5 cm
ab 100 2
V obou případech spadne 5 cm vody.
13. Nádoba tvaru válce má výšku 25 cm a průměr podstavy 15 cm. Nádoba je částečně
naplněna vodou, voda sahá do výšky 160 mm. Určete, zda voda přeteče, ponoříme-li do ní
železnou kuličku o průměru 130 mm.
Řešení:
4
4
VK   r 3   3,14  6,53  1149, 76 cm3
3
3
2
S p   r  3,14  7,52  176, 625 cm 2
v  1149, 76 :176, 625  6,5 cm
16  6,5  22,5 cm  25 cm
Voda z nádoby nepřeteče, stoupne přibližně o 6,5 cm a bude 2,5 cm pod okraj nádoby.
14. Je dán válec s obsahem podstavy 56 cm2, poloměr podstavy má stejnou velikost
jako výška válce. Určete povrch válce.
Řešení:
S p   r 2  56
r v
S  2  S p  S pl  2 r 2  2 rv  2 r 2  2 r 2  4 r 2  4  S p  4  56  224 cm 2
Povrch válce je čtyřnásobek obsahu podstavy, tj. 224 cm2.
15. Železná tyč je dlouhá 475 cm a má průměr 19,4 mm. Vypočítejte její hmotnost. (hustota
železa je 7,87 g/cm³). Výsledek zaokrouhlete na setiny.
Řešení:
19, 4 mm  1,94 cm
V   r 2v  3,14  0,97 2  475  1403,35235 cm3
m  1403,35235 : 7,87  178,31669 g 178,32 g
Hmotnost tyče je 178,32 gramů.
Stránka 1035
Stereometrie
16. Zařízení zpracovávající granulát má válcovitý zásobník s průměrem 60 cm a výškou
16 dm. Kolikrát se musí celé zařízení za osmihodinovou pracovní dobu naplnit, jestliže
spotřebuje 2,2 kg za minutu a 1 kg granulátu má objem 1 dm3?
Řešení:
60 cm  6 dm
V   r 2v  3,14  32 16  452,16 dm3  452,16 kg
2, 2 kg...........1min
x  452,16 : 2, 2  205,527 min
8 hod  480 min
480 : 205,527  2,335 2
Celé zařízení se za směnu naplní 2 krát.
17. Truhlář opracovává dřevěnou tyč tvaru válce. Původní rozměry tyče - poloměr 8 cm,
délka tyče je 4 m. Opracováním vytvořil tyč s průměrem o 12 milimetrů menším, než byla
původní tyč. Délka zůstala zachovaná. Určete, o kolik procent se zmenšil povrch tyče bez
bočních stěn.
Řešení:
S pl  2 rv
S pl  2  3,14  8  400  20096 cm 2
r1  8  1, 2 : 2  7, 4 cm
S pl1  2  3,14  7, 4  400  18588,8 cm 2
20096 cm 2 .........100 %
18588,8 cm 2 ....... x %
x  1858880 : 20096  92,5 %
Povrch tyče bez bočních stěn se zmenšil o 7,5 %.
18. Silničáři pokládají asfalt na silnici v délce 130 m, válec, který používají, se na této dráze
otočí přibližně dvacetkrát. Jaký je průměr válce a plocha, která válcuje povrch, pokud je
šířka válce 3 m?
Řešení:
130 : 20  6,5 m  o   d
d  6,5 : 3,14  2,07 m
S  2 rv  2  3,14  1,035  3  19, 4994 m 2
Průměr válce je 2,07 m a plocha, která válcuje je 19,4994 m2.
Stránka 1036
Stereometrie
19. Nádoba tvaru válce je naplněná vodou do výšky 25 dm, průměr nádoby je 16 dm. Pokud
ponoříme do válce krychli, stoupne hladina vody o 5 dm. Určete, kolik centimetrů měří
ponořené hrana krychle. Rozměr zaokrouhlete na celek.
Řešení:
V   r 2v  3,14  64  5  1004,8 dm2
a  3 1004,8  10,0159 dm  100,159 cm 100 cm
Hrana krychle měří přibližně 100 cm.
20. Kmen stromu zbavený kůry tvaru rotačního válce se má opracovat tak, že polovina válce
bude mít tvar rotačního kužele a druhá část zůstane bez opracování. Jakou část objemu
neopracovaného kmene tvoří výsledný útvar?
Řešení:
V    r2 v
V1  VV  VK
VV 
  r2 v
2
1
v 1
VK     r 2      r 2  v
3
2 6
2
 r v 1
  r2 v  1    r2 v 4 2
2
V1 
   r 2  v 
 1   
     r 2  v  V
2
6
2
2
3 3
3
 3
Výsledný útvar tvoří dvě třetiny objemu neopracovaného kmene.
21. Kmen stromu zbavený kůry tvaru rotačního válce se má opracovat tak, že polovina válce
bude mít tvar rotačního kužele a druhá část zůstane bez opracování. Obvod kmene je
16 dm a výška opracované části je 18 dm. Jaký je povrch opracované části tvaru rotačního
kužele?
Řešení:
o  2 r
o
r
2
16
r
 2,54 dm
2
S pl   rs
s2  v2  r 2
s 2  182  2,542
s 2  330, 4516
s  18,178 dm
S pl    2,54 18,178  144,980 dm 2
Povrch opracované části je 144,98 dm2.
Stránka 1037
Stereometrie
22. Rotační válec s poloměrem 90 mm byl provrtán podél osy tak, že jeho hmotnost byla
75 % původní hmotnosti. Určete tloušťku stěny takto vzniklého dutého válce.
Řešení:
V   r2
V    92  254,34 cm3
0, 25  254,34  63,585 cm3
r1 
V
r1 
63,585


 4,5 cm  45 mm
r2  r  r1  90  45  45 mm
Tloušťka stěny je 45 mm.
23. Rotační válec byl provrtán podél osy tak, že jeho hmotnost byla 75 % původní hmotnosti.
Určete tloušťku stěny takto vzniklého dutého válce.
Řešení:
V   r2
0, 25  V  0, 25 r 2
r1 
r1 
0, 25  V

0, 25 r 2

 0,5r
Stránka 1038
Stereometrie
6.3.4 Kužel
1. Objem nálevky tvaru kužele o poloměru 8 cm je 680 cm3. Jaká je její výška?
Řešení:
 r 2v

, V  680 
  82  v
3  680
v
 10,15 cm
3
  680 
3
64

r  8 cm

V
Výška nálevky je 10,15 cm.
2. Ze železné tyče ve tvaru hranolu o rozměrech 5,6 cm, 4,8 cm, 7,2 cm je třeba vyrobit co
největší rotační kužel.
a) vypočítejte jeho objem
b) vypočítejte odpad
Řešení:
a)
V
 r 2v
3
Ze tří možných kuželů musíme vybrat ten, který má největší poloměr.
d  4,8 cm
r  2, 4 cm
v  7, 2 cm
V
  2, 42  7, 2
b) V  abc
3
 43, 43 cm3
V  5, 6  4,8  7, 2
V  193,54 cm3
odpad = Vhranolu – Vkužele
193,54  43, 43  150,11
Objem kužele je 43,43 cm3, odpad činí 150,11 cm3.
3. Střecha věže má tvar kužele o průměru podstavy 6 m. Velikost odchylky od roviny
podstavuje 75°. Vypočtěte spotřebu barvy na její natření, spotřebuje-li se 1 kg barvy na
8 m2. Střecha se bude natírat dvakrát.
Řešení:
S pl   rs
r  3 cm
3
3
s
 11,59 cm
s
cos 75
S pl    3 11,59  109, 23 cm 2
cos 75 
Stránka 1039
Stereometrie
Spotřeba:
1 kg...8 m2

109, 23


x

 13, 65

8
x kg...109, 23 m2 

Budeme natírat dvakrát:
13,65  2  27,3
Na nátěr potřebujeme 27,3 kg barvy.
4. Hromada písku má tvar rotačního kužele, výška hromady je 1,9 m a obvod hromady na
zemi je 10,36 m. Kolik m3 písku je na hromadě?
Řešení:
v  1,9 m; o  10,36 m
1
V   r 2v
3
o  2 r
o 10,36

 1, 649 m
2
2
1
V   1, 6492 1,9  5, 41 m3
3
r
Na hromadě je 5,41 m3 písku.
5. Povrch kužele je 933,1 cm2. Osovým řezem je rovnostranný trojúhelník. Vypočítejte
objem kužele.
Řešení:
s  20 cm
v2  s2  r 2
v  202  102  17,32 cm
V
 r 2v
3
 102 17,32 5441, 24
V

 1813, 75 cm3
3
3
Objem kužele je 1 813,75 cm3.
Stránka 1040
Stereometrie
6. Plášť rotačního kužele je 879 cm2, obsah podstavy je 452 cm2. Určete odchylku strany od
roviny podstavy.
Řešení:
 2
452
S pl  879  S p  452   r  452  r    12 cm

S pl   rs  S p   r 2  
879
 rs  879  12 s  879  s 
 23,32 cm

12
r
cos  
s
12
cos  
   59
23,32
Odchylka strany od rovin podstavy je 59°.
7. Lampa tvaru kužele má být potažena látkou. Obvod podstavy je 150 cm a výška je 0,4 m.
Kolik metrů látky se spotřebuje, jestliže na záhyby je potřeba 10 % navíc?
Řešení:
o  2 r
150  2 r  r 
150
 23,88 cm
2
s  402  23,882  2170, 2544  46,58 cm
S pl   rs  3,14  23,88  46,58  3492, 71 cm 2
1,10  S pl  1,10  3492, 71  3841,981 cm 2
Na výrobu lampy je přibližně potřeba 3842 cm2 látky.
8. Zjistěte, jaký je povrch těžítka tvaru rotačního kužele, víte-li, že poměr velikosti obsahu
pláště daného kužele a obsahu jeho podstavy je 13:12. Tělesová výška kužele je 5 cm.
Řešení:
S pl   rs 
 rs 13 s 13
13
  rs :  r 2  13 :12  2     s   r
2 
 r 12 r 12
12
S p   r 
2
 13 
2
2
 r   r 5
 12 
169 2
 r  r 2  52
144
25r 2  144  25
r 2  144  r  12 cm, s  13 cm
S  S pl  S p   rs   r 2   12 13  122   300    942 cm 2
Povrch těžítka je 942 cm2.
Stránka 1041
Stereometrie
9. Osovým řezem rotačního kužele je rovnoramenný trojúhelník s obsahem 270 cm2, úhel při
hlavním vrcholu má velikost 50°. Vypočítejte objem a povrch kužele.
Řešení:
ava
2
a
a
a
tg   2  va  2 
va
tg  2  tg 
St 
a
St 
a
a2
2tg 

 a  4tg   St
2
4tg 
2
a
s     va2
2
s  11, 222  24, 077 2  26,562 cm
S   r (r  s )  
aa

  s
22

S   11, 44  (11, 44  26,562)  1365,126 cm 2
a  4  tg 25 270  22, 44 cm
va 
22, 44
 24, 077 cm
2  0, 466
2
1
1 a
V   r 2 v   va
3
3 4
1 22, 442
V  
 24, 077  3172, 49 cm 3
3
4
Objem kužele je 3172,49 cm3 a povrch je 1365,126 cm2.
10. Sto padesát dopravních kuželů má být natřeno bílou a oranžovou barvou v poměru 1:1.
Obvod podstavy kužele je 98,5 cm a výška je 0,45 m. Kolik jaké barvy se spotřebuje,
jestliže 1 kg barvy vystačí na 7,5 m2 plochy? Podstava kužele se nenatírá.
Řešení:
o  2 r
o
2
98,5
r
 15, 684 cm
2
r
s  v2  r 2
s  0, 452  0,157 2  0, 227149  0, 4766 m  47, 66 cm
S pl   rs
S pl    0,15684  0, 4766  0, 234714 m 2
x  150  S pl : 7,5  150  0, 234714 : 7,5  4, 694 kg
Na natření 150 kuželů potřebujeme 2,347 kg bílé a 2,347 kg oranžové barvy.
Stránka 1042
Stereometrie
6.3.5 Komolý kužel
1. Jako ozdoba zábradlí budou použity dřeva tvaru komolého kužele. Obvod větší podstavy
je 38 cm a menší podstavy 24 cm, výška ozdoby je 6 cm. Těchto ozdob bude potřeba 65
na každou stranu zábradlí. Kolik barvy se spotřebuje na natření všech ozdob, pokud 1 kg
barvy natřeme 3 m2?
Řešení:
o  2 r
o
2
o
38
r1  1 
 6, 05 cm
2 2
o
24
r2  2 
 3,82 cm
2 2
r
S pl   (r1  r2 ) v 2  (r1  r2 ) 2
S pl   (6, 05  3, 82) 62  (6, 05  3,82) 2  198,378 cm 2
x  2  65 198,378  25789 cm 2  2,5789 m 2
y  2,5789 : 3  0,8596 kg
Na natření ozdob je potřeba 0,8596 kg barvy.
2. Určete výšku rotačního komolého kužele, který má objem 412 dm3, poloměr dolní
podstavy má 81 cm a poloměr horní podstavy má 34 cm.
Řešení:
V
v
r
3
2
1
 r1r2  r22 
v
3V
  r  r1r2  r22 
v
3  412
1236

 3,7592 dm
2
 8,1  8,1  3, 4  3, 4  328,7894
2
1
2
Výška komolého kužele je 3,7592 dm.
Stránka 1043
Stereometrie
3. Kmen tvaru komolého rotačního kužele je 3 m dlouhý, na tlustším konci má obvod 0,9 m,
na tenčím konci 0,6 m. Z kmene se má vytesat trám čtvercového průřezu, který je shodný
se čtvercem vepsaným do menší podstavy. Vypočtěte objem odpadu.
Řešení:
VK 
v
r
3
2
1
 r1r2  r22 
o  2 r
r1  0,143 m
r2  0, 095 m
VK 
 3
3
 0,143
2
a 2  a 2   2r2 
 0,143  0, 095  0, 0952   0,1352 m 3
2
a  2r22  2  0, 0952  0,134 m
VKv  a 2 v
VKv  0,1342  3  0, 053868 m 3
0,1352  0, 053868  0, 081 m3  81 dm3
Odpad má objem 81 dm3
4. Starý komín je potřeba odstranit a sutiny odvést na rekultivaci. Kolik nákladních aut,
musíme použít na odvoz, pokud jedno auto odveze najednou 10 tun. Komín má tvar
dutého rotačního komolého kužele - dolní podstavy s průměry 3,2 m a 2,0 m a horní
podstavy s průměry 1,7 m a 1,2 m. Výška komínu je 32 m. Hustota zdiva je 1 600 kg/m-3.
Řešení:
r1  1, 6 m; r2  0,85 m;   1600 kg/m3 ; v  32 m
V
v
3
r
2
1
 r1r2  r22 
  32
1, 62  1, 6  0,85  0,852   155, 49 m3
3
  32 2
V2 
1  1 0, 6  0, 62   65, 646 m3
3
V  V1  V2  155, 49  65, 646  89,84 m3
V1 
m  89,84 1600  143744 kg  143744 t
143, 744 :10  14, 3744 15 aut
Na odvoz sutin bude potřeba 15 nákladních aut.
Stránka 1044
Stereometrie
5. Kolik čtverečních metrů látky bude potřeba na výrobu lampy tvaru rotačního kužele
s poloměry podstav 1,6 dm a 60 mm, výška stínítka je 2,4 dm.
Řešení:
r1  0,16 m; r2  0, 06 m; v  0, 24 m
S   r12   r22    r1  r2  v 2   r1  r2 
2
S    0,162    0, 062    0,16  0, 06  0, 242   0,16  0, 06   0, 271296 m3
2
Na výrobu lampy bude potřeba 0,271296 m3 látky.
Stránka 1045
Stereometrie
6.3.6 Jehlan, komolý jehlan
1. Je dán kolmý pravidelný čtyřboký jehlan, a = 7 cm, s = 10 cm. Vypočítejte objem.
Řešení:
V
a 2 vt
3
2
u
s     vt2
2
2
ua 2
u  7 2  9,89 cm
u
 4,95
2
vt  102  4,952  8, 69 cm
7 2  8, 69
V
 141,94 cm3
3
Objem jehlanu je 141,94 cm3.
2. Vypočtěte objem kolmého jehlanu, jehož boční hrana o délce 8 cm svírá se čtvercovou
podstavou úhel o velikosti 72°.
Řešení:
a 2 vt
V
3
v
sin   t
s
v
sin 72  t  vt  8  sin 72  7, 6 cm
8
u
u
cos   2 
s 2s
u  2 s cos 
u  2  8  cos 72  4,94 cm
ua 2
u
2
4,94
a
 3, 49 cm
2
3, 492  7,3
V
 29, 64 cm3
3
a
Objem jehlanu je 29,64 cm3.
Stránka 1046
Stereometrie
3. Vypočítejte povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, je-li výška 24 cm a boční hrana
s = 38 cm.
Řešení:
S  a 2  4S trojúhelníku
2
u
38  24   
2
u2
 1444  576
4
u2
 868  u 2  3472  u  58,92 cm
4
ua 2
2
2
u
2
58,92
a
 41, 63 cm
2
a
2
a
s     vs2
2
2
vs  382  20,822  31, 79 cm
a  vs
2
41, 63  31, 79
St 
 677, 6 cm 2
2
2
S  41, 63  4  677, 6  4443, 46 cm 2
St 
Povrch jehlanu je 4443,46 cm2.
4. Podstavou kolmého jehlanu je kosočtverec s úhlopříčkami délky 120 mm a 0,7 dm. Délka
boční hrany jehlanu je 0,16 m. Jaký je objem a povrch tohoto jehlanu?
Řešení:
e  12 cm; f  7 cm; h  16 cm
1
1
V  S p v  efv
3
6
2
e
v  h 2     162  62  14,832 cm
2
1
V  12  7 14,832  207, 648 cm 3
6
2
e  f 
a     
2  2 
2
2
2
2
e  f 
a        62  3,52  6,946 cm
2  2 
Stránka 1047
Stereometrie
2
a
va  h     162  3, 47 2  16,37 cm
2
av
ef
ef
S  S p  S pl   4 a   2ava
2
2
2
12  7
S
 2  6,946 16,37  269, 412 cm 2
2
2
Objem jehlanu je 207,648 cm3 a povrch jehlanu je 269,448 cm2.
5. Čtyřboký jehlan obdélníkové podstavy, kde a = 16 cm, b = 20 cm má boční hranu c = 26
cm. Vypočtete povrch jehlanu.
Řešení:
S  S P  S pl
Sp  a b
S p  16  20  320 cm 2
S pl  2S1  2S 2
S1 
16  vs 2
2
vs1  262  82
vs1  24, 74
16  24, 74
 197,92 cm 2
2
20  vs 2
S2 
2
S1 
vs 2  262  102  24 cm
20  24
 240 cm 2
2
S pl  2 197,92  2  240  875,84 cm 2
S2 
S  320  875,84  1195,84 cm 2
Povrch jehlanu je 1195,84 cm2.
6. Je dána krychle ABCDEFGH s hranou délky 6 cm. Vypočítejte povrch pláště a objem
čtyřbokého jehlanu ABCDE.
Řešení:
S pl  2 
a2
a 2 a
 2
 a2 1  2
2
2




S pl  36  1  2  86,9 cm 2
a 2 v 62  6

 72 cm3
3
3
Povrch pláště čtyřbokého jehlanu ABCDE je 86, 9 cm2. Objem čtyřbokého jehlanu
ABCDE je 72 cm3.
V
Stránka 1048
Stereometrie
7. Vypočítejte výšku pravidelného čtyřstěnu s hranou délky 26 dm. Výšku zaokrouhlete na
dvě platné číslice.
Řešení:
a
a  v  
2
2
va2 
2
2
a
3 2
3
a  va 
a
4
2
2
2 3 
a   
a   v 2
3 2 
1
2
v2  a2  a2  a2
3
3
2
v
v
2 a
6

a
3
3
6
 26  21, 228 dm
3
21 dm
Výška pravidelného čtyřstěnu je přibližně 21 dm.
8. Vypočtěte objem pravidelného pětibokého jehlanu, jehož podstavě lze opsat kružnici
s poloměrem 15,6 cm. Výška tělesa je 2,5 dm.
Řešení:
V
S pv
3
av
Sp  5 a
2
  360 :10  36
a  2r sin   2 15, 6  0,5877  18,34 cm
va  r cos   15, 6  0,81  12, 62 cm
1 18,34 12, 62
V  5
 25  4821,891 cm 3
3
2
Objem jehlanu je 4821,891 cm3.
Stránka 1049
Stereometrie
9. Kolik čtverečních metrů kanadského šindele je potřeba na pokrytí věže tvaru pravidelného
čtyřbokého jehlanu. Hrana podstavy je 60 dm a výška věže je 900 cm. Na překrytí a odpad
se počítá 5 % krytiny navíc.
Řešení:
a  60 dm = 6 m
v  900 cm = 9 m
av
S  4  a  2ava
2
a
va  v   
2
2
2
2
6
va  92     81  9  9, 48 m
2
S  2  6  9, 48  113, 76 m 2
n  1, 05 113, 76  119, 448 m 2
Na věž je potřeba 119,448 m2 kanadského šindele.
10. Kompostér má tvar pravidelného čtyřbokého komolého jehlanu. Dolní podstava má délku
strany 4,8 m a horní podstava má stranu délky 33 dm. Odchylka bočních stěn a roviny
podstavy je 70°. Jak je vysoký kompostér?
Řešení:
x   a  c  : 2   4,8  3,3 : 2  1,5 : 2  0, 75 m
v
x
v  x  tg 
tg  
v  0, 75  tg 70  0, 75  2, 7474
206 cm
1
V  v( S1  S1S 2  S 2 )
3
1
V   2, 06  (4,82 + 4,82  3,32 +3,32 )=27,298 m3
3
Výška kompostéru je 2,06 m a jeho objem je 27,298 m3.
Stránka 1050
Stereometrie
11. Vypočtěte povrch a objem pravidelného čtyřbokého komolého jehlanu, má-li dolní
podstava hranu délky 4,8 dm, horní podstava 440 mm a stěnová výška je 24 cm.
Řešení:
a  4,8 dm = 48 cm
c  440 mm = 44 cm
va  24 cm
 a  c  va  a 2  c 2  2
 a  c  va  a 2  c 2
2
S  2   48  44   24  482  44 2  8656 cm 2
S 4
 ac 
2
v 
  va
2


2
2
 ac 
 48  44 
2
v  v 
  24  
  23,916 cm
 2 
 2 
1
V  v S1  S 2  S1S 2
3
1
V  23,916 2304  1936  2304 1936
3
V  50638,144 cm3
2
2
2
a




Povrch komolého kužele je 8 656 cm2 a objem je 50 638,144 cm3.
12. Silo zabudované do země má tvar pravidelného čtyřbokého komolého jehlanu, podstavné
hrany mají délku 100 dm a 140 dm, boční stěny mají od podstavy odchylku 45°.
a) Kolik krychlových metrů bylo vykopáno při budování sila?
b) Kolik krychlových metrů betonu je třeba namíchat, má-li být tloušťka betonu 1,5 cm?
Řešení:
a) Kolik krychlových metrů bylo vykopáno při budování sila?
x  (a  c) : 2  (14  10) : 2  4 : 2  2 m
v
x
v  x  tg
tg 
v  2  tg45  2 1  2 m


1
V  v S1  S1S 2  S 2
3
1
V   2  102 + 102 142 +142 = 290,6 m3  291 m3
3


Vykopáno bylo 291 m3 zeminy.
Stránka 1051
Stereometrie
b) Kolik krychlových metrů betonu je třeba namíchat, má-li být tloušťka betonu 1,5 dm?
 a  c  va  a 2  2 a  c v
S  a2  4 

 a
2
va  v 2  x 2  22  22  2,828 m
S  102  2  10  14   2,828  235,764 m 2
V  S  vt
V  235,764  0,15  35,364 m 3
Bude potřeba namíchat 35,364 m3 betonu.
Stránka 1052
Stereometrie
6.3.7 Koule a její části
1. Vypočtěte objem, poloměr a povrch stříbrné koule, která je určena jako cena pro vítěze.
g
Koule má hmotnost m = 9,6 dkg,   10, 49 3 .
cm
Řešení:
m  9, 6 dkg  960 g
V
m
V
960
 91,52 cm3
10, 49

4
3V 3 3  91,52
VK   r 3  r  3

 2, 796 cm
3
4
4
S  4 r 2
S  4  2, 7962  98,189 cm 2
Objem stříbrné koule je 91,52 cm3, poloměr koule je 2,796 cm a povrch koule je 98,189
cm2.
2. Objem koule je 7238,23 cm3. Vypočítejte její povrch.
Řešení:
4 r 3
 V  7238, 23 cm3
3
3
4 r
3  7238, 23
 7238, 23  r  3
 12 cm
3
4
S  4 r 2
V
S  4 122  1809,56 cm 2
Povrch koule je 1809,56 cm2.
3. Povrch koule je 3217 cm2. Vypočtěte její objem.
Řešení:
S  4 r 2  S  3217 cm 2
4 r 2  3217  r 
3217
 16 cm
4
4 r 3
3
4 163
V
 17157, 28 cm3
3
V
Objem koule je 17 157,28 cm3.
Stránka 1053
Stereometrie
4. Poloměr koule je 2 dm a hmotnost 2 kg. Vypočítejte její hustotu.
Řešení:
m
V
r  2 dm  0, 2 m

4 r 3
3
4  0, 23
V
 0, 034 m 3
3
2

 58,8 kg  m 3
0, 034
V
Hustota koule je 58,8 kg  m3 .
5. Určete hmotnost duté bronzové kuličky, je-li její vnější průměr 6 cm, tloušťka stěny
3 mm, hustota   8800 kg  m3 .
Řešení:
r1  3 cm  0, 03 m 
4  0, 033

3
 0, 000113 m3
  V1 
4 r1
3
V1 

3

r2  0, 027 m 
4  0, 0273

3

V

 0, 0000824 m3
4 r2 
2
3
V2 

3

V  V1  V2
V  0, 000113  0, 0000824  0, 0000306 m3
m   V
m  8800  0, 0000306  0, 27 kg
Kulička má hmotnost 0,27 kg.
6. Ze tří kovových koulí o poloměrech r1  6 cm, r2  8 cm a r3  10 cm byla ulita jediná.
Vypočítejte její povrch.
Řešení:
4 r 3
 V  V1  V2  V3
3
4  63
V1 
 904, 78 cm3
3
4  83
V2 
 2144, 66 cm3
3
4 103
V3 
 4188, 79 cm3
3
V
Stránka 1054
Stereometrie
V  904, 78  2144, 66  4188, 79
V  7238, 23 cm3
4 r 3
7238, 23 
3
3  7238, 23
r3
 12 cm
4
S  4 r 2
S  4 122  1809,56 cm 2
Povrch nové koule je 1809,56 cm2.
7. Koule je vepsána do válce tak, že se dotýká obou jeho podstav i pláště. Vypočtěte poměr
objemů obou těles.
Řešení:
VV   r 2 v 
2
3
  VV   r  2r  2 r
v  2r

3
4 r
VK 
3
4 r 3 2 r 3
VV : 2VK  2 r 3 :

 3: 2
4 r 3
3
3
Poměr válce ke kouli je 2:3.
8. Vypočtěte povrch a objem krychle, která je opsána kouli o průměru 24 cm.
Řešení:
d  24 cm
ukrychle  24 cm
uk  a 3
24  a 3
24
a
 13,86 cm
3
V  a3
V  13,863 cm3  2660, 4 cm3
S  6a 2
S  6 13,862  1152, 6 cm 2
Povrch krychle je 1 152,6 cm2 a objem 2 660,4 cm3.
Stránka 1055
Stereometrie
9. Kolikrát se zvětší objem koule, zvětšíme-li její poloměr čtyřikrát?
Řešení:
3
4 r 3 
4 r´3 4  4r 
4  64r 3 64  4  r 3




3   V ´
3
3
3
3

r´ 4r 
V
Objem se zvětší 64x.
10. Vypočtěte povrch a objem koule, která je vepsána do krychle o úhlopříčce délky 126 mm.
Řešení:
u  126 mm
4
V   r3
3
S  4 r 2
u 126

 89,1 mm
2
2
a
89,1
r r
 44,55 mm
2
2
4
V    44,553  370,37 mm 3
3
S  4  44,552  24940, 21 mm 2
ua 2a
Povrch koule je 24 940,21 mm2 a objem 370,37 mm3.
11. Nádrž na vodu tvaru koule má objem 300 hl. Vypočítejte spotřebu materiálu v m2 na jeho
výrobu, počítáme-li s 12 % materiálu navíc na spoje a odpad.
Řešení:
V  300 hl  30000 l  30000 dm3  30 m3 
4 r 3
3  30

3

30

r 3
 1,93 m

4 r
3
4

V

3

2
S  4 r
S  4 1,932  46,81 m 2
46,81 m 2 .....100% 
46,81112
 52, 43 m 2
 x 
2
100
xm
.....112% 
Spotřebujeme 52,42 m2 materiálu.
Stránka 1056
Stereometrie
12. Vypočtěte objem a povrch koule vepsané do krychle o délce hrany 8 dm.
Řešení:
r  8 : 2  4 dm
4
4
V   r 3   3,14  43  267,9466 dm3
3
3
2
S  4 r  4  3,14  42  200,96 dm 2
13. Vypočtěte objem koule vepsané do krychle o délce hrany a.
Řešení:
4
4  a  4 a 3  a 3
V   r3     

3
3 2
38
6
3
14. Vypočtěte objem, poloměr a povrch zlaté koule o hmotnosti 0,45 kg (hustota zlata je
19,30 g/cm³).
Řešení:
VK 
m


450
 23,32 cm3
19,3
3V
4
3  23,32
VK   r 3  r  3 K  3
 2,36 cm
3
4
4
S  4 r 2  4  2,362  69,954 cm 2
15. Je dána koule. Poloměr koule je 0,6 m. Určete, kolikrát větší je objem koule, která má
trojnásobný poloměr.
Řešení:
r1  0,6 m
r2  3  0,6  1,8 m
4
4
V1   r13   3,14  0,63  0,90432 m3  904,32 dm 3
3
3
4
4
V2     r23   3,14  1,83  24, 41664 m 3  24416,64 dm 3
3
3
V2 : V1  24416,64 : 904,32  27
Větší koule má přibližně 27krát větší objem.
16. Je dána koule, která má objem 10 litrů. Jaký je průměr koule? Výsledek uveďte
v centimetrech a zaokrouhlete na desetiny.
Řešení:
10 l  10 dm3  10 000 cm3
4
3V 3 3 10000
V   r3  r  3

 13,3673 cm 13, 4 cm
3
4
4 
d  2r  26,8 cm
Průměr koule je přibližně 26,8 cm.
Stránka 1057
Stereometrie
17. Objem koule je 150 cm3. Určete její povrch.
Řešení:
4
3V 3 3 150
V   r3  r  3

 3, 296 cm
3
4
4
S  4 r 2  4  3, 2962  136,501 cm 2
Povrch koule je 136,501 cm2.
18. Povrch koule je 200 cm2. Určete její objem.
Řešení:
S  4 r 2  r 
S
200

= 3,99 cm
4
4
4
4
V   r 3    3,993  265,94 cm3
3
3
Objem koule je 265,94 cm3.
19. Kulička je vyrobena ze stlačitelného materiálu. Stlačením z ní vyrobíme kuličku, která má
poloviční průměr než původní kulička. Jak se změní objem kuličky?
Řešení:
4
4  d  d3
V   r3     
3
3 2
6
d
d1  
3
3
3
2V  4  d   d  d

1
 
d 
3  4  3  42
48
r1 
4 
d3 d3 1
V : V1 
:

6
48 8
3
Objem bude osmkrát menší než u původní kuličky.
20. Vypočtěte povrch Země, předpokládáme-li, že má tvar koule a délka rovníku 40 075 km.
Řešení:
o 40075

 6381,369 km
2
2
S  4 r 2  4  6381,3692 511466691 km 2
o  2 r  r 
Povrch Země je 511 466 691 km2.
Stránka 1058
Stereometrie
21. Vypočtěte objem Země, předpokládáme-li, že má tvar koule a povrch Země je
511 466 691 km2.
Řešení:
S  4 r 2  r 
S
511466691

 6381,368 km
4
4
4
4
V   r 3    6381,3683  1, 087952562 1012 km3
3
3
Objem Země je 1,087952562.1012 km3.
22. Ze tří železných koulí s objemy V1 = 28 cm3, V2 = 48 cm3 a V3 = 68 cm3 byla ulita jediná
koule. Určete její povrch.
Řešení:
V  V1  V2  V3  28  48  68  144 cm3
4
3V 3 3 144
V   r3  r  3

 3, 25 cm
3
4
4
S  4 r 2  4  3, 252  132, 665 cm 2
Povrch koule je 132,665 cm2.
23. Z koule o poloměru 0,82 dm je oddělena úseč. Výška úseče odpovídá jedné čtvrtině
průměru koule. Určete povrch a objem kulové úseče.
Řešení:
d  2  r  2  8, 2  16, 4 cm
v
1
d  4,1 cm
4
 2   r  v   r 2    r 2   r  v   8, 22   8, 2  4,1  50, 43  7,101 cm
2
2
2
S   2  2 rv    7,1012  2  8, 2  4,1  22, 2971  211,1336  233, 43 cm 2
V
v
 3
6
2
 v2  
  4,1
6
 3  7,101
2
 4,12   360, 647 cm3
Povrch kulové úseče je 233,43 cm2 a objem je 360,647 cm3.
24. Vypočtěte objem kulové úseče a povrch vrchlíku, je-li poloměr koule, jíž jsou součástí
12,6 cm, a výška úseče je 3,8 cm.
Řešení:
 2   r  v   r 2    r 2   r  v   12, 62  12, 6  3,8   9, 017 cm
2
V
v
 3
6
2
2
 v2  
  3,8
 3  9, 017
2
2
 3,82   513, 789 514 cm3
6
S  2 rv  2 12,6  3,8  300,6864 301 cm2
Objem kulové úseče je 514 cm3 a povrch vrchlíku je 301 cm2.
Stránka 1059
Stereometrie
25. Z polokoule s průměrem 328 mm odřízneme úseč s výškou 0,96 dm. Určete objem
a povrch kulové vrstvy a obsah kulového pásu, které vzniknou odříznutím této úseče.
Řešení:
r  16, 4 cm; v  9, 6 cm
 2  r 2  v 2  16, 42  9, 62  13, 297 cm
v
V
 312  322  v2     9, 6  3 16, 42  3 13, 2972  9, 62   7181, 66 cm3
6
6
S1  2 rv  2 16, 4  9, 6  988, 7232 cm 2
S2  12   22  2 rv   16, 42   13, 297 2  988, 7232  2388, 44 cm 2
Objem kulové vrstvy je 7 182 cm3, povrch je 2 388 cm2, obsah kulového pásu je 989 cm2.
26. Je dána koule s poloměrem 5 dm. Vypočtěte objem kulové vrstvy, která má poloměr horní
podstavy 3 dm a dolní podstavy 40 cm.
Řešení:
r  5 dm; 1 =3 dm;  2 =4 dm
x12  12  r 2
x1  r 2  12  52  32  4 dm
x2  r 2   22  52  42  3 dm
menší kulová vrstva:
v  x1  x2  4  3  1 dm
V
v
 3
6
2
1
 3 22  v 2  
 1
6
3  3
2
 3  42  12   39, 77 dm3
větší kulová vrstva:
v  x1  x2  4  3  7 dm
V
 7
6
3  3
2
 3  42  7 2   454, 253 dm3
Objem menší kulové plochy je 39,77 dm3 a větší kulové plochy je 454,253 dm3.
27. Jaký je objem a povrch kulové výseče, víme-li, že kulová úseč, která je součástí této
kulové výseče má poloměr podstavy 60 mm a výšku 0,2 dm.
Řešení:
  6 cm; v  2 cm
 x  2
2
 x 2   2   x  2   x 2  36  x 2  4 x  4  x 2  36  4 x  32  x  8
2
r  8  2  10 cm
2
2
400
V   r 2 v   102  2 
 418, 6 419 cm3
3
3
3
S   r  2v      10  2  2  6   100 314 cm 2
Objem kulové výseče je přibližně 419 cm3, povrch kulové výseče je přibližně 314 cm2.
Stránka 1060
Stereometrie
28. Konvexní skleněná čočka je složená ze dvou nestejně vysokých kulových úsečí. Průměr
obou úsečí je 6 cm, výška jedné úseče je 0,5 cm a druhé 0,8 cm. Vypočtěte hmotnost
čočky, pokud víte, že hustota skla je 2,5 g/cm3.
Řešení:
r  30 mm; v  5 mm
V1 
v
 3r
6
 8
V2 
2
 v2  
 3  30
2
 5
6
 3  30
2
 52   7130, 42 mm3  7,13 cm3
 82   11571,946 mm3  11,57 cm3
6
V  V1  V2  7,13  11,57  18, 701 cm3
m  V  18, 701 2,5  46, 754 g
Čočka má hmotnost 46,754 gramů.
29. Určete objem kulové úseče, jejíž výška je 7,3 cm, je-li obsah jejího vrchlíku 2,88 dm2.
Řešení:
S  2 rv  r 
S
2 v

288
 6, 282 cm
2  7,3
rv
 2   v  r   r 2    r 2   v  r   6, 2822   7,3  6, 282   6,19899 6, 2 cm
2
V
v
 3
6
2
2
 v2  
  7,3
6
 3  6, 2
2
2
 7,32   644,146 cm3
Objem kulové úseče je přibližně 644 cm3.
30. Jaký je objem vody v nádobě tvaru polokoule s poloměrem 4,3 dm, je-li hladina vody 5
cm pod okrajem kotle.
Řešení:
 2  x 2  r 2    r 2  x 2  432  52  42, 708 cm
v
V
 3 2  v2     38 3  42, 7082  382   137534,59 cm3  137, 6 l
6
6
V nádobě je 137,6 l vody.
31. Kružnice s poloměrem 123 mm dělí kouli na dvě kulové úseče. Koule má průměr 3,72
dm. Vypočtěte povrch a objem větší kulové úseče.
Řešení:
 2  x 2  r 2  x  r 2   2  18, 62  12,32  13,952 cm
v  r  x  18, 6  13,95  32,55 cm
S   2  2 rv   12,32  2 18, 6  32,55  475, 05  3802,1004  4277,1504 cm 2
v
  32,552
V
3 2  v 2  
3 12,32  32,5522   25783,345 cm3


6
6
Povrch větší kulové úseče je 4277,1504 cm2 a objem je 25 783,345 cm3.
Stránka 1061
Stereometrie
32. Určete objem a povrch kulové vrstvy, je-li poloměr jedné hraniční kružnice 132 mm a
průměr druhé kružnice je 2 dm. Průměr koule je 52 cm.
Řešení:
x12  12  r 2  x1  r 2  12
x1  262  13, 22  501, 76  22, 4 cm
x2  262  102  576  24 cm
menší kulová vrstva
v  x2  x1  24  22, 4  1, 6
v
 3
6
 3 22  v 2  
 1, 6
 3 22  v 2  
  46, 4
3 13, 22  3 102  1, 62   691, 03cm3
6
S  12   22  2 rv   13, 22   102  2  26 1, 6  1122,3616 cm 2
větší kulová vrstva
v  x2  x1  24  22, 4  46, 4 cm
V
v
2
1
3 13, 22  3 102  46, 42   72257, 4455 cm3
6
S  12   22  2 rv   13, 22   102  2  26  46, 4  8441, 43 cm 2
V
 3
6
2
1
Kružnice ohraničují dvě kulové vrstvy – menší a větší. Menší kulová vrstva má objem
691 cm3 a povrch 1 123 cm2. Větší kulová vrstva má objem 72 257 cm3 a povrch
8 441 cm2.
33. Určete objem kulové vrstvy, jejíž kulový pás má obsah 120 cm2 a průměr větší podstavy je
1,6 dm. Kulová vrstva je součástí koule s poloměrem 10 cm.
Řešení:
S  2 rv  v 
S
2 r

120
 1,9 cm
2 10
x12  12  r 2  x1  r 2  12  102  82  6 cm
x2  x1  v  6  1,9  7,9 cm
 2  r 2  x22  102  7,92  6,13 cm
V
v
 3
6
2
1
 3 22  v 2  
 1,9
6
3  8
2
 3  6,132  1,92   306,593 cm3
Objem kulové vrstvy je 307 cm3.
Stránka 1062
Stereometrie
Stránka 1063
Stereometrie
6.3.8 Komplexní úlohy
1. Kolik
a) hran má pět krychlí dohromady?
b) hran má nepravidelný pětiboký hranol?
c) stěn má pravidelná osmiboký jehlan?
d) stěn má hranol (počítejte i podstavy), pokud víme, že má 48 hran?
Řešení:
a) Kolik hran má pět krychlí dohromady?
5  (4  4  4)  60
b) Kolik stěn má pravidelný osmiboký jehlan?
8
c) Kolik hran má nepravidelný pětiboký hranol?
5  5  5  15
d) Kolik stěn má hranol (počítejte i podstavy), pokud víme, že má 48 hran?
48 : 3  16
16  2  18 stěn
2. Zjistěte, zda se vejde kulička o průměru 65 mm do sklenice tvaru válce. Výška sklenice je
12 cm a její objem je 492,6 cm3?
Řešení:
V   r 2v  r 
V
r
 v
492, 6
 3, 62 cm
 12
d  2r  7, 24 cm
Kulička se do sklenice vejde, protože má průměr menší než je průměr sklenice.
3. Hlavolam tvaru válce má vnitřní průměr podstavy 1,5 dm. Do hlavolamu je natěsno
vložený dřevěný tvar složený z krychle a pravidelného čtyřbokého jehlanu. Délka hrany
krychle je rovna výšce jehlanu. Jaký je objem vloženého dřevěného tvaru?
Řešení:
a 2  a 2  1,52  2a 2  2, 25  a  1, 0606 dm
VK  a 3  1,1930 dm3
1
1
VJ  a 2  v  a 3  0,3977 dm3
3
3
V  VK  VJ  1,1930  0,3977  1,59 dm3
Objem vloženého dřevěného tvaru je 1,59 dm3.
Stránka 1064
Stereometrie
4. Čokoládové koule s hračkou lze koupit ve 3 různých variantách po 2 kusech nebo po
3 kusech, případně po 4 kusech v balení. Výrobce je prodává v obalu tvaru válce, koule
jsou v obalu natěsno, aby se nerozbily. Při kolika kusech vyplňují čokoládové koule 2/3
objemu prodejního obalu?
Řešení:
4
VK   rK3
3
VV   rV2v
rV  rK
2 2
4
 rV v  x   rK3
3
3
2
3
rV v  x  2  rK
v  x  2  rK
x
v
2 rK
x2
v
4r
 K 2
2 rK 2 rK
x 3
v
6r
 K 3
2 rK 2 rK
x4
v
8r
 K 4
2 rK 2 rK
Dvě třetiny obalu čokoládových koulí jsou vyplněny ve všech třech variantách.
5. Je dán válec, který má stejný obsah pláště i podstavy. Válec těsně nasuneme do kvádru se
čtvercovou podstavou. V jakém poměru bude výška kvádru a délka podstavné hrany?
Řešení:
S pl  S p
2 rv   r 2
r  2v
a  2 r  2  2v  4v
1: 4
Výška válce a délka podstavné hrany je v poměru 1:4.
Stránka 1065
Stereometrie
6. Do krychle s hranou délky a je vepsán čtyřboký jehlan, jehož podstavou je stěna krychle a
hlavním vrcholem jehlanu je střed protější stěny krychle. Určete povrch jehlanu.
Řešení:
S  a2  4
ava
 a 2  2ava
2
2
5a 2 a
a
va  a 2    

5
4
2
2
a
S  a 2  2a
5  a2  a2 5  a2 1  5
2




Povrch jehlanu je a 2 1  5 .
7. Pro odstraňování ropných havárií se používají speciální hmoty, které jsou schopny
odstraňovat ropu z hladiny. 1 cm2 této hmoty je schopen pojmout až 21 g ropy. Surovina,
ze které se hmota vyrábí, je původně ve tvaru krychle. Z krychle o hraně 1 m se vyrobí
bez materiálových ztrát směs kuliček s průměrem 2 mm. Kolik kuliček lze přibližně
připravit ze tří takových krychlí a kolik ropy tyto kuličky pojmou?
Řešení:
K  krychle, k  koule
VK  a 3  10003  106 mm3
4
4
Vk   r 3   13 4,1867 mm3
3
3
6
VK : Vk  10 : 4,1867  238851, 6 238851 kuliček
Sk  4 r 2  4 12  12,56 mm 2
3  23885112,56  716553 12,56  8999905, 68 8999906 mm 2
89999  21  1889979 g  1889,979 kg 1,89 t
89999 cm 2
Ze tří krychlí se připraví přibližně 716 553 kusů kuliček a z hladiny se odstraní 1,89 t
ropy.
8. Vypočtěte objem a povrch koule vepsané do krychle o délce hrany 10 cm.
Řešení:
4

VK   r 3 
4

3
3
3
  VK    5  523,3 cm
a
3

r

2
2
SK  4 r   d 2   102  314 cm2
Objem koule je 523,3 cm3 a povrch je 314 cm2.
Stránka 1066
Stereometrie
9. Vypočtěte objem a povrch koule vepsané do krychle o délce hrany a.
Řešení:
3
4
4  a  4 a3
a3
VK   r 3      

3
3 2
3 8
6
2
2
2
S K  4 r   d   a
10. Vypočtěte povrch koule, do které je vepsána krychle o délce hrany a.
Řešení:
u2 
r


2
2a  a 2  u  3a
u
3a

2
2
2
 3a 
3a 2
S K  4 r  4 

4

 3 a 2

4
 2 
2
Povrch koule je 3 a 2 .
11. Podstava kolmého čtyřbokého jehlanu je obdélník s rozměry 60 cm a 4 dm, délka boční
hrany je 1 m. Jehlan rozdělíme rovinou rovnoběžnou s podstavou na dvě části tak, aby
vznikla dvě tělesa se stejným objemem. Určete výšku obou těles.
Řešení:
a  4 dm; b  6 dm; h  10 dm
u  a 2  b 2  42  62  7, 211 dm
2
u
v  h 2     102  3, 62  9,33 dm
2
1
V  abv  74, 64 dm3
3
V
V1  V2   37,32 dm3
2
a1  6 x; b1  4 x; v1  9,33 x
1
V1  a1b1v1
3
1
6 x  4 x  9,33x  37,3  74, 64 x 3  37,3  x 3  0, 4997  x  0, 79 dm
3
a1  6 x  6  0, 79  4, 74 dm
b1  4 x  4  0, 79  3,16 dm
v1  9,33 x  9,33  0, 79  7,37 dm
v2  9,33  7,37  1,96 dm
Komolý jehlan má výšku 1,96 dm a jehlan 7,37 dm.
Stránka 1067
Stereometrie
12. Násypný trychtýř je vyrobený z nerezového materiálu, skládá se z plášťů dvou
pravidelných čtyřbokých hranolů a pravidelného čtyřbokého komolého jehlanu. Větší
hranol má délku strany 40 dm a výšku 100 cm. Menší hranol má stranu i výšku délky 2 m.
Jako spojovací článek mezi hranoly je komolý jehlan s výškou 50 dm. Kolik m2 nerezu je
potřeba na jeho zhotovení? Na záhyby se počítá 10 % materiálu navíc.
Řešení:
a1  4 m; vH 1  1 m; a2  2 m; vH 2  2 m; c  2 m; vk  5 m
S H  4avH
S H 1  4  4 1  16 m 2
S H 2  4  2  2  16 m 2
SK  4
 a  c  va
2
 2  a  c  va
2
2
a c
4 2
va      vK2      52  26  5, 09 m
 2 2
2 2
S K  2   4  2   5, 09  61, 08 m 2
S  2 16  61, 08  93, 08 m 2
93, 08 1,1  102,388 m 2
Na výrobu trychtýře bude potřeba 102,388 m2 plechu.
13. Jaký je poměr objemů tří rotačních těles – válec, kužel, polokoule. Tělesa mají stejný
poloměr podstavy a stejnou výšku.
Řešení:
1
2
VV   r 2v; VK   r 2v; VP   r 3
3
3
1
2

VV : VK : VP   r 2 v :  r 2 v :  r 3 
3 1 3 2 3
3
3
  r : r : r  3 :1: 2
3
3

r v
Poměr objemů rotačních těles je 3:1:2.
Stránka 1068
Stereometrie
14. Nádoba na uskladnění řepkového oleje má tvar cisterny s čely tvaru kulového vrchlíku.
Vnitřní průměr cisterny je 240 cm, délka cisterny bez vrchlíků je 8 m. Kulové vrchlíky
jsou součástí kulové plochy, jejíž střed je v těžišti cisterny. Kolik litrů oleje se vejde do
této cisterny?
Řešení:
r  12 dm; v  80 dm;   12 dm; v  80 dm
VV   r 2 v   122  80  36172,8 dm3  36172,8 l
2
2
v
v
     r 2  r   2     122  402  41, 761 dm
2
2
2
v
vv  r     41, 761  40  1, 761 dm
2
v
 1, 761
VKÚ  v  3 2  vv2  
3 122  1, 7612   400,984 dm3  400,984 l

6
6
V  VV  2VKÚ  36172,8  2  400,984  36974, 769 l
Do cisterny se vejde 36 988,42 l oleje.
15. Vypočítejte, kolik metrů vlny se vejde do klubka s průměrem 12 cm, víme-li, že průměr
vlákna vlny je 1,8 mm.
Řešení:
r  6 cm; rv  0,18 cm
4
4
VK   r 3    63  904,32 cm
3
3
V
904,32
VV   rv 2v  v  V 2 
 8888,8 cm  88,8 m
 rv   0,182
V klubku je přibližně 89 metrů vlny.
16. Činka na posilování se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče tvaru válce. Tyč má průměr
3,2 cm a délku 6 dm. Činka má hmotnost 60 kg. Jaký je průměr koulí, jestliže víme, že
hustota materiálu je 7,8 gramu na centimetr krychlový.
Řešení:
r  1, 6 cm; v  60 cm;   7,8 g/cm3 ;
VV   r 2 v   1, 62  60  482,3 cm3
mV  VV    482,3  7,8  3761,97 g  3, 762 kg
60  3, 762  56, 238 kg
56, 238 : 2  28,119 kg = 28119 g
28119 : 7,8  3605 cm3
3V
4
3  3605
VK   rk 3  rk  3 K  3
 9,51 cm
3
4
4
d  2rk  2  9,51  19, 02 cm
Průměr koulí na čince je přibližně 19 cm.
Stránka 1069