Thesis - Physics.cz

Transkript

Thesis - Physics.cz

Slezská univerzita v Opavě
Filozoficko-přírodovědecká fakulta
Interakce mezonů
v hadronovém prostředí
a související procesy
Disertační práce
obor: Teoretická fyzika a astrofyzika
Vypracoval:
Josef Juráň
Opava 2008
Školitel:
Prof. Ing. Peter Lichard, DrSc.
Ústav fyziky, FPF SU Opava
Touto cestou bych rád poděkoval svému školiteli
Prof. Ing. Peteru Lichardovi, DrSc.
za všestrannou pomoc v průběhu mého studia. Především však za poskytnutí nesčetně
mnoha stimulujících konzultací a diskusí, jenž mě vždy vyvedly ze slepé uličky a motivovaly pokračovat dál.
Obsah
1 Úvod
7
2 Některé charakteristiky reakcí částic
2.1 Reakční výtěžek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Reakční výtěžek v reakci 1 + 2 + . . . + I → a + b . . .
2.3 Reakční výtěžek v reakci 1 + 2 + . . . + I → a + b + c .
2.4 Střední srážková frekvence . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Střední volná dráha . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Kolizní šířka netermalizované částice . . . . . . . . .
3 Mezon φ v hadronovém plynu
3.1 Střední kolizní šířka φ v reakci
∗
∗
φK → πK
φK ∗ → πKπ
φKπ → πK ∗
φKπ → πKπ
.
.
.
.
.
.
.
.
4 Kolizní šířka kaonu
4.1 Kolizní šířka kaonu v reakci Kπ → Kπ . . . . .
4.2 Kolizní šířka kaonu v reakci K K̄ → ππ . . . . .
4.3 Kolizní šířka kaonu v reakci KK → KK . . . .
4.4 Celková kolizní šířka kaonu v binárních reakcích
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
11
12
14
15
16
18
.
.
.
.
21
24
26
28
34
.
.
.
.
47
48
50
51
53
5 Produkce dileptonů v interakcích mezi piony
5.1 Elektron-pozitronová anihilace na čtyři piony . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Reakční výtěžek dileptonů v reakci 1 + 2 + . . . + I → l + ¯l v jednofotonové
aproximaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
57
6 Závěr
65
A Model amplitud reakcí
A.1 Lagrangiány . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Vertexy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Rozpadové šířky K a K ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
67
68
70
5
63
6
B Prohlášení a související publikace
B.1 Prohlášení autora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Prohlášení spoluautora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3 Electron-positron annihilation into four charged pions and the a1 ρπ Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.4 Joint description of the e+ e− annihilation into both four-pion channels .
71
71
72
Reference
93
73
87
Kapitola 1
Úvod
Dnešní velké urychlovače částic (jako např. Relativistic Heavy Ion Collider v Brookhaven
National Laboratory, USA nebo Super Proton Synchrotron v CERN, EU) dokáží urychlit
těžké ionty (např. zlata nebo olova) téměř na rychlost světla a jejich následnými srážkami
vytvořit velice horké a husté systémy mnoha částic. Tímto systémem může být hadronový
plyn nebo kvark-gluonová plazma, popř. jejich smíšený stav [1, 2, 3]. My se budeme
zabývat pouze hadronovým plynem. Počáteční stav takto vytvořeného systému může
být různý. Všeobecně je přijat názor, že se systém krátce po svém vzniku (t ≈ 10−23 s)
dostává do tepelné rovnováhy. To je způsobeno interakcemi mezi částicemi. V tomto
systému až několika tisíců částic probíhají různé reakce typu
1 + 2 + ... + I → a + b + ... + F
(1.1)
kde I, F je počet počátečních, resp. koncových částic. Celkový počet částic zúčastněných
v dané reakci (1.1) označme N , N = I + F . Interakcemi mezi částicemi systém spěje
k termodynamické rovnováze. Pak je počet přímých I → F a obrácených F → I reakcí
roven. Systém se s rostoucím časem rozpíná a chladne až nakonec interakce mezi částicemi
prakticky ustanou.
Takto vytvořené silně interagující systémy se studují pomocí různých částic (tzv.
sond) z nich pocházejících. Informace z nich získané pomáhají v rekonstrukci vývoje systému, tj. propojení pozorovaného konečného stavu a nepozorovatelné srážkové (kolizní)
historie. Podle typu požadované informace o systému volíme sondu a následně se snažíme registrovat její signál. Např. elektromagnetické signály [4, 5] jsou vhodné ke studiu
různých fází takto vytvořeného systému, protože jakmile jsou vytvořeny ihned opouštějí
systém. Naproti tomu hadrony silně interagují a dochází tedy k jejich srážkám a rozptylům v tomto expandujícím systému. Čili hadronové signály přinášejí informaci především
z doby, kdy je již systém ”průhledný” a k dalším srážkám téměř nedochází.
Vektorové mezony jsou vhodnými nástroji pro sondáž takového systému. Jsou to tzv.
rezonance. Rezonance je typ částice, která žije velmi krátce. Střední doba života je řádově
τ ≈ 10−23 s. Rezonance se rozpadají vlivem silné interakce a to různými způsoby, tzv.
kanály. Rezonanci lze přiřadit veličinu zvanou rozpadová šířka Γ, která je charakteristická
pro každou rezonanci. Se střední dobou života rezonance τ souvisí vztahem Γ = h̄τ −1 .
V tabulce 1.1 jsou uvedeny některé rezonance s jejich základními charakteristikami [6].
7
8
Úvod
Tabulka 1.1: Některé rezonance a jejich charakteristiky.
rezonance
hmotnost
m (MeV)
rozpad. šířka
Γ (MeV)
G
PC
I (J
rozpad. kanály
)
poměr (%)
1+ (1−− )
π π, ∼ 100
ρ(770)
775.5 ± 0.4
ω(782)
782.65 ± 0.12
8.49 ± 0.08
0− (1−− )
π + π − π 0 , 89.1
φ(1020)
1019.460 ± 0.019
4.26 ± 0.05
0− (1−− )
K + K − , 49.2
h1 (1170)
1170 ± 20
360 ± 40
0− (1+− )
ρ π, pozorován
b1 (1235)
1229.5 ± 3.2
142 ± 9
1+ (1+− )
ω π, dominantní
a1 (1260)
1230 ± 40
425 ± 1751)
1− (1++ )
ρ π, pozorován
J/Ψ(1S)
3096.916 ± 0.011
149.4 ± 1.0
kvant. čísla
0.0934 ± 0.0021
−
−−
0 (1
)
e+ e− , 5.94
Chování částic v hmotném prostředí je obecně jiné od chování ve vakuu [7, 8, 9, 10].
Částice nacházející se v takto vytvořeném hustém hmotném prostředí interaguje s ostatními částicemi systému přičemž dochází k mnohonásobným rozptylům, anihilaci, opětovné kreaci a dále pokud je částice nestabilní může dojít také k jejímu samotnému
rozpadu. Její kreace, propagace a případný rozpad může být velmi ovlivněn mnohočásticovou dynamikou systému. Dochází ke změně charakteristik částice jako např. hmotnostní posun nebo u nestabilní částice k rozšíření její rozpadové šířky. Proto znalost
chování vektorových mezonů při nenulových teplotách je důležitá pro systémy vytvořené
v ultrarelativistických srážkách těžkých iontů.
V horkém a hustém hadronovém plynu dochází mezi částicemi k mnoha srážkám.
Nejčastěji jsou počítány tyto srážky jako reakce, kde v počátečním a koncovém stavu vystupují dvě částice, tzv. binární reakce. Vystupuje-li však v počátečním stavu rezonance,
nemusí být tento přístup správný. Rezonanci totiž musíme přiřadit jistou pevnou hmotnost, která však může být ve skutečnosti značně rozmazána. Rezonance může s jistou
nenulovou pravděpodobností existovat i s jinou hmotností než nominální. Tato skutečnost se obvykle popisuje zavedením spektrálních funkcí rezonancí, které jsou však silně
modelově závislé. Proto je realističtější zahrnout i popis tvorby rezonance a to ve srážkách
stabilních částic. Tento způsob bere do úvahy i případné interference, které jsou jinak
ignorovány. Například těch částic, na které se rezonance nejčastěji rozpadá. Podobně,
vystupuje-li rezonance jako koncová částice nějaké reakce, dopouštíme se i zde jisté nepřesnosti. V experimentu se totiž v koncovém stavu rezonance nepozoruje, ale měří se
energie a hybnosti jejich rozpadových produktů. Proto je vhodné zahrnout rozpad rezonance i do teoretického popisu celého procesu. Obecně je tedy vhodnější počítat srážky
s rezonancemi jako vícečásticové reakce. Binární reakce mohou v těchto případech sloužit
jako první přiblížení.
Předkládaná práce je rozdělena do šesti kapitol. Po úvodu se v druhé kapitole obecně
věnujeme některým charakteristikám částice, které mají souvislost s pohybem částice
1)
Tato hodnota (i její chyba) je zprůměrována. Rozpadová šířka částice a1 (1260) je v [6] udávána jako
Γa1 = 250 − 600 MeV.
Úvod
9
v hmotném prostředí. Začínáme s veličinou zvanou reakční výtěžek. Z ní je dále odvozena střední srážková frekvence (neboli střední kolizní šířka) pro částici nacházející se
v tepelné rovnováze se systémem. Střední srážková frekvence je nalezena v konkrétních
případech reakcí typu (1.1) a to v procesech 2 → 2, 2 → 3, 3 → 2, 3 → 3 (tedy
I, F = 2, 3). Ze střední srážkové frekvence pak plyne další charakteristika tzv. střední
volná dráha částice. V případě procesu 2 → 2 je odvozena kolizní šířka částice se zadanou
energií. Získané vztahy jsou v následujících kapitolách aplikovány na konkrétní procesy.
Vše je počítáno na stromové úrovni. Ve třetí kapitole počítáme střední kolizní šířku φ
mezonu. Čtvrtá kapitola se podrobně věnuje výpočtu kolizní šířky kaonu se zadanou energií, která byla využita ve třetí kapitole. V páté kapitole se zmíníme o produkci dileptonů
v interakcích mezi piony. Konkrétně je spočten proces opačný a to anihilace elektronu
s pozitronem na čtyři piony. Tento výpočet slouží k určení Lagrangiánu a1 ρπ interakce.
Jeho určení představuje přípravu na výpočty reakčního výtěžku dileptonů z interakcí čtyř
pionů. Po této kapitole následuje závěr a dále příloha. Příloha A má souvislost s třetí
a čtvrtou kapitolou. Jsou v ní uvedeny výchozí Lagrangiány, jejich vertexy a dále rozpadové šířky pseudoskalárního a vektorového kaonu. Příloha B se váže k páté kapitole.
Jsou v ní dva články, které byly publikovány ve Physical Review D ; jmenovitě Electronpositron annihilation into four charged pions and the a1 ρπ Lagrangian a Joint description
of the e+ e− annihilation into both four-pion channels. Jejich stručné shrnutí je zahrnuto
v článku 5.1.
Pod pojmem souřadný systém tepelné lázně bude v dalším míněn těžišťový souřadný
systém spojený se systémem částic vytvořeným srážkami těžkých iontů. V něm je suma
všech tříhybností částic tvořících systém rovna nule. V dalším bude používána přirozená
soustava jednotek (h̄ = 1, c = 1). Veškeré výpočty byly naprogramovány v počítačovém
kódu jazyka Fortran 77, přičemž byly použity některé subrutiny cernovské knihovny
(zdroj: http://wwwasd.web.cern.ch/wwwasd/index.html).
10
Úvod
Kapitola 2
Některé charakteristiky reakcí částic
2.1
Reakční výtěžek
Jednou ze základních charakteristik reakce (1.1) je tzv. reakční výtěžek (angl. rate), ozn.
R. Ten udává počet interakcí (např. blíže specifikované reakce) za jednotku času a v jednotkovém objemu. Konvolucí pravděpodobnosti přechodu s hustotou stavů koncových
částic a hybnostní distribucí počátečních částic získáváme pro reakční výtěžek vztah
Z
R=
Z
dΦI
dΦF (2π)4 δ(PI − PF )
X
X
|MI→F |2 ,
(2.1)
λ1 ,...,λI λa ,...,λF
P
P
kde PI = Ii=1 pi , PF = Ff=a pf je celková počáteční, resp. koncová čtyřhybnost částic,
λn n = 1, . . . , N označují polarizace nebo spiny částic a MI→F je amplituda dané reakce.
Ta v sobě skrývá charakter interakce, která může být modelově závislá. V případě volného
plynu v termodynamické rovnováze lze psát
dΦI =
dΦF =
I
Y
d3 pi
i=1
F
Y
(2π)3
1
fi (Ei ),
2Ei
d3 pf 1
Ff (Ef ),
3
f =a (2π) 2Ef
kde Ei , pi (Ef , pf ) jsou energie, resp. hybnosti počátečních (resp. koncových) částic
v souřadném systému spojeném s tepelnou lázní. Dále
fn (En{j} ) =
1
{j}
(En −µn )/T
e
±1
n = 1, . . . , N
(2.2)
jsou Fermi–Diracovo (+) nebo Bose–Einsteinovo (–) obsazovací číslo částic n. To udává
střední počet částic v daném {j}-tém kvantovém stavu s příslušnou energií E {j} , kde
{j} může být množina kvantových čísel. Zde T je teplota tepelné lázně a µ je chemický
potenciál částice. Veličiny Ff (Ef ) = 1 ∓ ff (Ef ) jsou Fermi–Diracův snižující (–) nebo
Bose–Einsteinův zvyšující (+) faktor koncových částic. Ty se zde objeví z důvodu, že je-li
systém v termodynamické rovnováze, je počet reakcí I → F a k nim obrácených F → I
11
12
stejný. Vezmeme-li v úvahu, že amplituda reakce je pro proces přímý a obrácený stejná,
pak musí platit
f1 (E1 ) . . . fI (EI ) Fa (Ea ) . . . FF (EF ) = fa (Ea ) . . . fF (EF ) F1 (E1 ) . . . FI (EI ),
což lze přepsat na
e−EI /T e µI /T
e−E1 /T e µ1 /T
.
.
.
Fa (Ea ) . . . FF (EF ) =
1 ± e−(E1 −µ1 )/T
1 ± e−(EI −µI )/T
e−Ea /T e µa /T
e−EF /T e µF /T
...
F1 (E1 ) . . . FI (EI ).
(2.3)
1 ± e−(Ea −µa )/T
1 ± e−(EF −µF )/T
S použitím zákona zachování energie E1 + . . . + EI = Ea + . . . + EF a dále zákona
zachování chemického potenciálu µ1 +. . .+µI = µa +. . .+µF se nám zkrátí exponenciální
funkce v čitatelích. Levá i pravá strana je funkcí stejných proměnných. Pro konkrétní
přímou reakci jsou zafixovány počáteční energie E1 , . . . , EI . Příslušné energie koncových
částic Ea , . . . , EF se mohou měnit v souladu se zákonem zachování energie a hybnosti.
Pro zachování rovnosti stran v (2.3) musí platit
Ff (Ef ) =
1
1±
e−(Ef −µf )/T
f = a, . . . , F,
což lze upravit na tvar Ff (Ef ) = 1 ∓ ff (Ef ).
2.2
Reakční výtěžek v reakci 1 + 2 + . . . + I → a + b
Odvoďme nyní vztah pro reakční výtěžek v případě reakce, kde v koncovém stavu vystupují dvě částice, tedy
1 + 2 + . . . + I → a + b.
Přepišme vztah (2.1) na tvar
Z
R = (2π)
dΦI Fout ,
(2.4)
kde nyní konkrétně
Z
Fout =
Y
f =a,b
"
#
X X
d3 pf Ff (Ef )
3
−
P
)
|MI→2 |2
(2π)
δ(P
I
F
3
(2π) 2Ef
λ1 ,...,λI λa ,λb
(2.5)
a PF = pa +pb . Diracova funkce nám dává možnost provést částečnou integraci. Uvažujme
nyní těžišťový systém počátečních částic. K němu vztažené veličiny budeme označovat
hvězdičkou. Tedy P∗I = 0. Pak lze Diracovu funkci v (2.5) přepsat na tvar součinu dvou
Diracových funkcí
√
δ(PI∗ − p∗a − p∗b ) = δ( s − Ea∗ − Eb∗ ) δ(p∗a + p∗b ),
kde s je v těžišťovém systému počátečních částic kvadrátem jejich celkové energie. Druhá
Diracova funkce v tomto součinu nám umožní prointegrovat např. přes d3 p∗b , čili v amplitudě MI→2 se nahradí p∗b za −p∗a , ozn. M0I→2 . Element d3 p∗a přepíšeme na tvar
13
∗
∗
∗
∗
∗
p∗2
a dpa dΩa , kde pa = |pa | a dΩa je element prostorového úhlu koncové částice a v těžišťovém systému počátečních částic. V dalším využijeme relaci
δ[ϕ(p)] =
X δ(p − pj )
j
|ϕ0 (pj )|
,
kde se sumuje přes všechny jednoduché (jednonásobné) kořeny pj rovnice ϕ(p) = 0.
V našem případě má první Diracova funkce argument ve tvaru
ϕ(p∗a ) =
√
q
q
m2a + p∗2
a −
s−
m2b + p∗2
a ,
který má jen jeden kořen (ozn. p̂∗a ) a to
1 q
p̂∗a = √
λ(s, m2a , m2b ),
2 s
(2.6)
kde λ(x, y, z) je tzv. trojúhelníková funkce
λ(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 2xy − 2xz − 2yz.
(2.7)
Tedy
√
p̂∗a s
|ϕ
=
.
Ea Eb
Po dosazení a prointegrování přes dp∗a dostáváme
0
Fout
(p̂∗a )|
X X
p̂∗a Z
1
√
|M0I→2 |2 .
dΩ∗a Fa (Ea ) Fb (Eb )
=
3
(2π) 4 s
(2.8)
Celkově tedy pro reakční výtěžek získáváme vztah
R=
X X
1 Z
p̂∗a Z
√
dΦ
dΩ∗a Fa (Ea ) Fb (Eb )
|M0I→2 |2 ,
I
2
16π
s
(2.9)
kde energie koncových částic v systému tepelné lázně Ea , Eb jsou dány vztahy
i
1 h
∗
Ea,b = √ EI Ea,b
± PI .p∗a ,
s
(2.10)
kde EI a PI jsou celková energie a hybnost počátečních částic v systému termální lázně.
Připomeňme si zde, že energie koncových částic v jejich těžišťovém systému (neboli težišťovém systému počátečních částic) jsou konkrétním výběrem stavu počátečních částic
zafixovány a to
s ± m2a ∓ m2b
∗
√
.
=
Ea,b
2 s
Pro úplnost uvádíme ještě vztah pro hybnosti koncových částic v systému tepelné lázně
pa , pb
"
#
PI .p∗a
PI
∗
√ ± p∗a .
pa,b = √ Ea,b ±
s
EI + s
14
2.3
Reakční výtěžek v reakci 1 + 2 + . . . + I → a + b + c
Nyní odvodíme vztah pro reakční výtěžek v případě reakce, kde v koncovém stavu vystupují tři částice, tedy
1 + 2 + . . . + I → a + b + c.
S využitím vztahu (2.1) a (2.4) dostáváme pro tento případ
Z
"
Y
Fout =
f =a,b,c
#
X
X
d3 pf Ff (Ef )
(2π)3 δ(PI − PF )
|MI→3 |2 ,
3
(2π) 2Ef
λ1 ,...,λI λa ,λb ,λc
kde PF = pa + pb + pc . Přepišme Fout na tvar
Z
Fout =
d3 pa d3 pb d3 pc
δ(PI − pa − pb − pc ) × A,
Ea Eb Ec
(2.11)
kde A je zkratka pro
A=
X
X
1
F
(E
)
F
(E
)
F
(E
)
|MI→3 |2 .
a
a
b
b
c
c
3
6
2 (2π)
Pomocí relace mezi Diracovými funkcemi
δ(PI − pa − pb − pc ) = δ(PI − Pab − pc ) δ(Pab − pa − pb )
přidáme do (2.11) čtyřintegraci přes d4 Pab . K prointegrování přes dpa a d3 pb použijeme
stejného postupu jako v sekci 2.2. K tomu vybereme težišťový systém částic a a b. Veličiny vyjádřené vůči tomuto souřadnému systému budeme označovat dvěmi hvězdičkami,
(ab)∗∗ . Pak P∗∗
ab = 0. Po částečné integraci dostáváme
Z
kde Mab =
3 ∗∗
d3 p∗∗
a d pb
∗∗
∗∗
δ(Pab
− p∗∗
a − pb ) × A
Ea∗∗ Eb∗∗
→
Z
p̂∗∗
a
0
dΩ∗∗
a ×A,
Mab
q
2
Pab
je invariantní hmotnost systému částic a a b,
p̂∗∗
a =
1 q
2
λ(Mab
, m2a , m2b )
2Mab
∗∗
0
a dΩ∗∗
a je element prostorového úhlu částice a v těžišťovém systému (ab) . Ve výrazu A
∗∗
je p∗∗
b nahrazeno −pa . Dále vybereme težišťový systém částic a, b a c. Veličiny vyjádřené
vůči tomuto souřadnému systému budeme označovat jednou hvězdičkou, (abc)∗ . Pak P∗I =
∗
∗
∗
∗
∗
.
= Mab dMab /Eab
, kde dEab
dEab
přepíšeme na d3 Pab
0 a tedy P∗ab = −p∗c . Element d4 Pab
Po úpravě a dosazení výše uvedeného do (2.11) dojdeme ke vztahu
Z
Z
Fout =
dMab
Z
∗
d3 p∗c d3 Pab
0
∗∗
∗
∗
∗
dΩ∗∗
)
p̂
−
p
−
P
δ(P
a ×A.
a
c
ab
I
∗
Ec∗ Eab
3 ∗
∗
3 ∗∗
Analogicky dle předchozí integrace přes dp∗∗
a a d pb provedeme integraci přes dpc a d Pab .
Získáváme
Z
Z
1 Z
∗ ∗∗
∗
00
Fout = √
dMab p̂c p̂a
dΩc dΩ∗∗
a ×A ,
s
15
kde s je kvadrát celkové energie koncových částic v jejich těžišťovém systému,
1 q
2
p̂∗c = √
λ(s, Mab
, m2c )
2 s
a dΩ∗c je element prostorového úhlu částice c v těžišťovém systému koncových částic.
Ve výrazu A00 je P∗ab nahrazeno −p∗c . Celkově tedy pro reakční výtěžek získáváme vztah
Z
Z
Z
1
1 Z
∗
∗ ∗∗
dΩc dΩ∗∗
R = 3
dΦI √
dMab p̂c p̂a
a ×
2 (2π)5
s
X
Fa (Ea ) Fb (Eb ) Fc (Ec )
X
|M00I→3 |2 ,
(2.12)
kde v amplitudě reakce M00I→3 díky zákonům zachování došlo k následujícím substitucím:
∗∗
∗
∗
p∗∗
b → −pa a Pab → −pc . Energie a hybnosti koncových částic v systému tepelné lázně
Ea , Eb , Ec a pa , pb , pc jsou dány vztahy
i
1 h
∗∗
Eab Ea,b
± Pab .p∗∗
a ,
Mab
1
= √ [EI Ec∗ + PI .p∗c ] ,
s
"
#
Pab
Pab .p∗∗
a
∗∗
=
Ea,b ±
± p∗∗
a ,
Mab
Eab + Mab
"
#
PI .p∗c
PI
∗
√ + p∗c ,
= √ Ec +
s
EI + s
Ea,b =
Ec
pa,b
pc
kde EI a PI jsou celková energie a hybnost počátečních částic a Eab = Ea + Eb = EI − Ec
a Pab = pa + pb = PI − pc celková energie a hybnost systému částic a a b v systému
termální lázně.
2.4
Střední srážková frekvence
Jednou z charakteristik částice nacházející se v tepelné rovnováze se systémem je tzv.
střední srážková frekvence ν. Ta udává střední počet srážek dané částice za jednotku
času. S reakčním výtěžkem je tedy v relaci
νi =
R
,
ni
(2.13)
kde ni i = 1, . . . , I je hustota vyšetřované částice. Ta je dána vztahem
Z
ni = gi
d3 pi
fi (Ei ),
(2π)3
kde gi je degenerační stupeň částice daný relací
gi = (2Ii + 1) (2Ji + 1),
(2.14)
16
Obrázek 2.1: Závislost částicové hustoty pro vybrané částice na teplotě tepelné lázně s níž
jsou částice v tepelné rovnováze.
kde Ii je izospin a Ji spin studované částice. Částicová hustota je funkcí teploty systému,
která vystupuje v obsazovacím čísle částice. Na obr. 2.1 je částicová hustota vyobrazena
pro některé částice.
Střední kolizní šířka dané i−té částice Γi souvisí s její střední srážkovou frekvencí ν i
v soustavě jednotek SI vztahem
Γi = h̄ν i .
(2.15)
2.5
Střední volná dráha
Další charakteristickou veličinou pro částici pohybující se v tepelné lázni je tzv. střední
volná dráha λ. Ta udává střední vzdálenost mezi dvěmi po sobě jdoucími srážkami. Odvodíme ji na základě následující úvahy. Mějme částici pohybující se rychlostí v ve směru
osy x. Označme její srážkovou frekvenci jako ν. Ta udává počet srážek částice za jednotku času. Pak pravděpodobnost, že dojde ke srážce za infinitezimální časový úsek dt
lze psát jako ν dt. Pravděpodobnosti, že se částice nesrazí na své dráze do bodů x a x+dx
označme jako P (x) a P (x + dx). Pak platí
P (x + dx) = P (x) (1 − ν dx/v).
Parciální pravděpodobnost, že nedojde ke srážce na úseku délky dx je
dP (x, x + dx) = −P (x) ν dx/v.
17
Integrací získáme pravděpodobnost s jakou nedojde ke srážce na cestě do bodu x
P (x) = P (0) e−ν x/v .
Odtud plyne pro střední volnou dráhu částice se zadanou energií
λ=
v
.
ν
Pro termalizovanou částici máme střední volnou dráhu
λ=
v
.
ν
(2.16)
Její střední rychlost v v tepelné lázni je dána vztahem
Z
v = n−1 g
d3 p
p
f (E) ,
3
(2π)
E
kde n je hustota částice a g je její degenerační stupeň. Na obr. 2.2 je vyobrazena střední
rychlost vybraných částic. Pro dvě střední volné dráhy λ1 , λ2 z různých reakcí (jejichž
střední kolizní šířka se sčítá) je příslušná výsledná střední volná dráha dána redukovanou
střední volnou dráhou, tj. λ = λ1 λ2 /(λ1 + λ2 ). Obdobně pro λ.
Obrázek 2.2: Závislost střední rychlosti pro vybrané částice na teplotě tepelné lázně s níž
jsou částice v tepelné rovnováze.
18
2.6
Kolizní šířka netermalizované částice
V této části si odvodíme vztah pro kolizní šířku částice, která se pohybuje v tepelné lázni
se zadanou energií. Budeme uvažovat pouze binární reakce, tj. 1 + 2 → a + b. Částice
č. 1 bude vyšetřovanou částicí. Nejprve uvažujme usměrněné toky srážejících se částic.
Jejich hustoty a rychlosti označme ρ1 a v1 , resp. ρ2 a v2 . Vyšetřujme srážky v konkrétním
objemu V po dobu t. Pak pro střední počet srážek n platí
n = ρ1 ρ2 |v1 − v2 | V t σ(p1 , p2 ),
kde σ(p1 , p2 ) je koeficient úměrnosti, který závisí na hybnostech počátečních částic p1
a p2 . Celkový počet částic č. 1 ve vyšetřovaném objemu je ρ1 V . Definujme srážkovou
frekvenci částice č. 1, ozn. ν1 , jako počet interakcí jedné částice č. 1 za jednotku času a
v jednotkovém objemu, tedy
n
ν1 =
.
ρ1 V t
Nyní uvažujme, že částice č. 2 tvoří tepelnou lázeň o teplotě T . Jejich rychlosti již nejsou
usměrněny. Srážková frekvence částice č. 1 způsobená částicemi č. 2 s hybnostmi v intervalu (p2 ,p2 +dp2 ) je
d3 ν1 = d3 n2 |v1 − v2 | σ(p1 , p2 ),
(2.17)
kde
d3 n2 = g2
d3 p2
f2 (E2 ).
(2π)3
Celkovou srážkovou frekvenci lze psát jako integrál (2.17) přes všechny hybnosti částice
č. 2
Z
d3 p2
ν1 = g2
f2 (E2 ) |v1 − v2 | σ(p1 , p2 ).
(2.18)
(2π)3
Střední počet srážek n je invariantem. Proto i veličina ρ1 ρ2 |v1 −v2 | σ(p1 , p2 ) je invariantem. Hustota částic stejně jako energie částic vystupuje v první komponentě příslušných
čtyřvektorů (čtyřproud, čtyřhybnost). Mají tedy stejné transformační vlastnosti. Proto i
veličina
I ≡ E1 E2 |v1 − v2 | σ(p1 , p2 )
je invariantem. Upravme ji na tvar |p1 E2 − p2 E1 | σ(p1 , p2 ). V těžišťovém systému počátečních částic pak lze invariant I zapsat
√
I = s p̂∗1 σ(s),
kde s je kvadrát celkové energie počátečních částic v jejich těžišťovém systému a
1 q
λ(s, m21 , m22 ),
p̂∗1 = √
2 s
kde λ(x, y, z) je trojúhelníková funkce daná vztahem (2.7). Srovnáním výše uvedených
vztahů pro I dostáváme
√ ∗
s p̂1
σ(s).
|v1 − v2 | σ(p1 , p2 ) =
E1 E2
19
Po dosazení do (2.18) získáme pro srážkovou frekvenci
√
g2 Z d3 p2
ν1 =
f2 (E2 ) s p̂∗1 σ(s).
3
E1 (2π) E2
(2.19)
Uveďme si ještě jiný vztah pro srážkovou frekvenci. Pro totální účinný průřez platí
Z
σ(s) =
dσ(s, Ω∗a )
dΩ∗a ,
∗
dΩa
kde z binárních reakcí pro nepolarizované svazky je pro diferenciální účinný průřez známo
dσ(s, Ω∗a )
1 p̂∗a 1 X X
=
|M1+2→a+b |2 .
∗
∗
2
dΩa
64π s p̂1 g1 g2 λ1 ,λ2 λa ,λb
Dále s využitím vztahu pro Fout (2.8), kde I = 2, a jeho identity s (2.5) lze vztah (2.19)
přepsat na tvar
Z
X X
1 Z
ν1 =
|M1+2→a+b |2 ,
dΦ2 dΦab (2π)4 δ(p1 + p2 − pa − pb )
2g1 E1
λ1 ,λ2 λa ,λb
(2.20)
kde význam veličin dΦ2 a dΦab je dán vztahy
d3 p2 1
f2 (E2 ),
(2π)3 2E2
Y d3 pf 1
=
Ff (Ef ).
3
f =a,b (2π) 2Ef
dΦ2 =
dΦab
Ze vztahu (2.20) se vychází v kapitole 4 při výpočtu kolizní šířky propagovaného kaonu.
Pro další použití si zde ještě provedeme jeho částečnou integraci. Přepišme ν1 na tvar
2π Z
ν1 =
dΦ2 Fout ,
2g1 E1
kde
Z
Fout =
Y
"
f =a,b
(2.21)
#
X X
d3 pf Ff (Ef )
(2π)3 δ(p1 + p2 − pa − pb )
|M1+2→a+b |2 .
3
(2π) 2Ef
λ1 ,λ2 λa ,λb
Využitím postupu v článku 2.2 dostáváme
Fout =
X X
1
p̂∗a Z
∗
√
F
(E
)
F
(E
)
|M1+2→a+b |2 ,
dΩ
a
a
b
b
a
3
(2π) 4 s
λ1 ,λ2 λa ,λb
kde dΩ∗a je element prostorového úhlu koncové částice a v těžišťovém systému počátečních
částic, p̂∗a je dáno vztahem (2.6) a energie koncových částic v systému tepelné lázně Ea , Eb
jsou dány (2.10). Dosazením Fout do vztahu (2.21) získáváme pro srážkovou frekvenci
částice se zadanou energií vztah
Z
Z
X X
1
p̂∗a
∗
√
ν1 =
dΦ
F
(E
)
F
(E
)
dΩ
|M1+2→a+b |2 .
2
a
a
b
b
a
32π 2 g1 E1
s
λ1 ,λ2 λa ,λb
(2.22)
Kolizní šířka netermalizované částice Γ1 je v přirozené soustavě jednotek rovna příslušné
srážkové frekvenci ν1 .
20
Kapitola 3
Mezon φ v hadronovém plynu
V této části se budeme zabývat některými vlastnostmi mezonu φ(1020), které jsme si
obecně popsali v předešlé kapitole. Jak již bylo řečeno, vektorové mezony hrají důležitou roli při studiu vlastností hmoty vytvořené ultrarelativistickými srážkami těžkých
iontů. V tomto směru má φ mezon jako sonda zvláštní postavení. Jeho výhodou je, že
se v hmotnostním spektru nekryje s podobnými částicemi, jako např. ρ(770) a ω(782).
Další výhodou je, že poskytuje oba signály; elektromagnetický i hadronový. Rozpadá se
především na kaonový pár (nabitý i nenabitý) a vzácněji pak na dileptony tj. e+ e− , µ+ µ−
(viz tabulka 3.1 [6]). Oba kanály byly detekovány na SPS v CERNu [11].
Tabulka 3.1: Některé rozpadové kanály mezonu φ(1020).
rozpadový kanál
větvící poměr (Γi /Γ)
K +K −
(49.2 ± 0.6) %
KL0
(34.0 ± 0.5) %
KS0
+ − 0
ρπ + π π π
(15.3 ± 0.4) %
ηγ
(1.301 ± 0.024) %
0
π γ
(1.25 ± 0.07) ×10−3
e+ e−
(2.97 ± 0.04) ×10−4
µ+ µ −
(2.86 ± 0.19) ×10−4
π+π−
(7.3 ± 1.3) ×10−5
Celková rozpadová šířka φ mezonu ve vakuu je Γ = 4.26 ± 0.05 MeV. Tedy střední
doba života je τ ∼ 1.55 × 10−22 s neboli c τ ∼ 46.3 fm. Čili doba života je relativně
dlouhá. Při srážkách těžkých iontů je transverzální velikost vzniklého systému zhruba
rovna R ' 1.2 fm × A1/3 , kde A je hmotnostní číslo projektilu (urychleného iontu).
Současné experimenty s těžkými svazky dosahují R okolo 10 fm. Meson φ je považován,
díky malému účinnému průřezu v procesech s nepodivnými hadrony, za málo interaktivní
částici. Podaří se mu projít celý systém bez toho, aby došlo ke srážce nebo rozptylu?
V hmotném prostředí o teplotách kolem hmotnosti pionu a výše dochází k rozšíření
rozpadové šířky částice díky intenzivní interakci s ostatními částicemi, poněvadž hustoty
21
22
jsou téměř jeden hadron/fm3 . Otázkou je, zda i střední volná dráha takové částice je
řádově femtometr. Lze totiž očekávat různé výsledky v závislosti na tom, jestli jeho
střední volná dráha je menší, stejná nebo větší než R. Celková střední volná dráha částice
je rovna součtu všech jejich dílčích středních volných drah příslušných různým reakcím.
Většinou je počítána z několika reakcí dávajících dominantní příspěvek.
Vlastnosti φ mezonu byly studovány v různých pracích. V práci [12] byla nalezena
pro teplotu T = 200 MeV střední kolizní šířka Γ = 27.4 MeV, čemuž odpovídá střední
volná dráha λ = 4.4 fm. V úvahu bylo vzato celkem 17 reakcí (a to srážky převážně
s π, K, ρ a dále s K ∗ , K1 , φ). Později byla práce rozšířena o srážky φ mezonu s baryony [13]. Díky nim se kolizní šířka modifikuje o 1–10 MeV při teplotě T = 170 MeV
v závislosti na chemickém potenciálu baryonů. V práci [14] byla kolizní šířka počítána
až z 28 reakcí. Hadronový plyn se skládal z částic K ∗ , K, ρ, π, ω a φ. Pořadí částic zde
udává výši příspěvku k celkové šířce, přičemž dominantní příspěvek mají srážky s K ∗ .
Bylo spočteno, že střední volná dráha při teplotách T > 170 MeV je λ < 2.4 fm. V poslední zde zmíněné práci [15] je nalezeno, že střední doba života φ mezonu je při velkých
teplotách zhruba 5–8 fm/c. Všechny tyto výsledky naznačují, že díky srážkám φ mezonu
s ostatními částicemi systému dochází k jeho rozpadu uvnitř systému.
Ve všech pracech byla střední kolizní šířka počítána z binárních reakcí, tj. φ+2 → a+b.
V úvodní kapitole jsme se zmínili, že pokud vystupuje v počátečním nebo koncovém
stavu rezonance, nemusí být toto přiblížení vhodné. Rezonanci totiž musíme přiřadit
jistou pevnou hmotnost, která však může být ve skutečnosti značně rozmazána. Proto je
vhodnější uvažovat tuto rezonanci jako systém složený z více částic. Přesněji řečeno, místo
pohybu částice φ v plynu obsahujícího rezonance X budeme počítat pohyb φ v plynu
obsahující částice, na které se rezonance X nejčastěji rozpadá. Místo reakcí s rezonancemi
budeme počítat reakce s více částicemi (a to v počátečním nebo i koncovém stavu).
Výpočty binárních reakcí s rezonancemi mohou v těchto případech sloužit jako první
přiblížení. V této kapitole bude naším cílem spočtení střední kolizní šířky φ mezonu
v reakcích 2 → 2, 2 → 3, 3 → 2 a 3 → 3. Jako základní reakci vezmeme
φK ∗ → πK ∗ .
(3.1)
V tomto procesu vystupuje rezonance1) K ∗ (892) v počátečním i koncovém stavu. Její
hmotnost je m = 893.83 ± 0.26 MeV, celková rozpadová šířka Γ = 50.55 ± 0.75 MeV2)
a rozpadá se téměř výhradně kanálem K ∗ → Kπ. Tuto rezonanci postupně nahradíme
dvojicí částic K a π. Nahrazení provedeme nejdříve pro K ∗ v koncovém stavu
φK ∗ → πKπ,
(3.2)
φKπ → πK ∗
(3.3)
φKπ → πKπ.
(3.4)
pak v počátečním stavu
a nakonec v obou stavech
1)
Mezon φ je také rezonance. Jeho rozpadová šířka je však o řád menší než rozpadová šířka K ∗ . Proto
zde mezon φ bereme v úzké aproximaci.
2)
Hmotnost a celková rozpadová šířka jsou zprůměrovány přes nábojové stavy částice.
23
Společným rysem všech reakcí s přidanou třetí částicí je posunutí prahové energie koncového, počátečního nebo obou stavů. Dále dochází k přídavným interferencím. Lze prohodit koncové piony nebo počáteční a koncový pion nebo kaon, popř. jejich kombinace.
Abychom lépe viděli, které diagramy v procesech se třemi částicemi hrají dominantní
roli, provedeme u těchto reakcí tři dodatečná dělení: 1) zahrnutí pouze diagramů, kde
rezonance K ∗ vzniká nebo zaniká s kanálem (příslušné veličiny opatříme indexem s),
2) zahrnutí všech diagramů s tříčásticovými vertexy (označení bez indexu), 3) k případu
2) přidáme i kontaktní členy z LφK ∗ Kπ (označeno indexem c). V případě reakce 2 → 3 přístup 1) a 2) splývá. Celkem tedy provedeme devět výpočtů střední kolizní šířky φ mezonu
(1x 2 → 2, 2x 2 → 3, 3x 3 → 2 a 3x 3 → 3).
K popisu interakce φ mezonu s pseudoskalárními a vektorovými mezony použijeme
Lagrangiány z [14], které jsou založeny na modelu skryté lokální symetrie [16]. Uvažujeme
pouze stromové diagramy. K tvorbě amplitud těchto diagramů potřebujeme příslušné
vertexy, propagátory a případně form faktory. Pravidla pro vertexy jsou popsány v příloze
A.2. Vyměňovanými částicemi budou pouze pseudoskalární a vektorový kaon. Používáme
propagátory ve tvaru
PK (s) = i
PKµν∗ (s) = i
h
1
i,
s − m2K + i mK ΓK (s) + Γcoll
K (mKv , EK ; T )
(3.5)
−g µν + P µ P ν /m2K ∗
,
s − m2K ∗ + i mK ∗ ΓK ∗ (s)
kde celkové rozpadové šířky ΓK (s), ΓK ∗ (s) jsou dány součtem sedmi, resp. osmi dílcoll
čích rozpadových šířek uvedených v příloze
√ A.3. Kolizní šířka kaonu ΓK (mKv , EK ; T )
je funkcí invariantní hmotnosti mKv = s a kinetické energie kaonu EK a dále teploty
tepelné lázně v níž se kaon pohybuje. Zahrnutí kolizní šířky kaonu do vztahu (3.5) je
nevyhnutelné. V procesech kde vystupují tři částice v počátečním nebo koncovém stavu
může totiž oproti případu φK ∗ → πK ∗ dojít k situaci, kdy vyměňovaný pseudoskalární
kaon se dostane na hmotovou nadplochu. Protože však rozpadová šířka ΓK (s) je v oblasti
s ' m2K nulová, protože ještě není otevřen žádný silný rozpadový kanál, dojde k znehodnocení výpočtů. V procesu φK ∗ → πK ∗ k tomuto nedochází, protože v s kanálu je
(mφ + mK ∗ )2 À m2K . V u kanálu platí
i
1 h
(s + m21 − m22 )(s + m2b − m2a ) ∓ λ1/2 (s, m21 , m22 ) λ1/2 (s, m2a , m2b ) ,
2s
kde trojúhelníková funkce λ(x, y, z) je dána vztahem (2.7) a m1 = mφ , m2 = mK ∗ , ma =
mπ , mb = mK ∗ . Tedy maximální hodnota umax < 0, viz obr. 3.1. Proto je nutné k samotné
rozpadové šířce ΓK (s) v (3.5) připočítat ještě kolizní šířku kaonu Γcoll
K (mKv , EK ; T ), která
je indukována srážkami virtuálního kaonu s ostatními částicemi prostředí. Jejímu výpočtu
se věnuje kapitola 4.
Form faktor, který obecně podchycuje nebodovost hadronů, používáme ve tvaru
2
2
umax
min (s) = m1 +mb −
F F (s) =
Λ2
,
Λ2 + |s − m2 |
kde pro parametr Λ používáme hodnotu 1 GeV [17]. Čím je jeho hodnota nižší, tím je
potlačení interakce vyšší. Tímto form faktorem se násobí propagátor každé vyměňované
24
Obrázek 3.1: Závislost maximální a minimální hodnoty invariantu u na invariantu s.
částice a to v libovolném kanálu, čímž se liší od form faktorů vázaných na vertex [18].
Jeho výhodou oproti ostatním používaným form faktorům je, že je symetrický vzhledem
k různým kanálům (spojitost pro všechny hodnoty s ∈ R). Dále nabývá pouze hodnot
z intervalu (0, 1i a je normován na rozpad na hmotové nadploše. Je to lorentzovský
invariant.
Při výpočtu jsou použity parametry z [6] (jako např. hmotnosti částic, jejich rozpadové
šířky, . . . ). Pokud existuje částice ve více nábojových stavech jsou parametry zprůměrovány. Ve všech zmíněných reakcích vystupují pouze bosonové částice. Je tedy použita
Bose–Einsteinova statistika. Chemický potenciál vystupující v příslušných obsazovacích
číslech (2.2) klademe, jak bývá zvykem, roven nule. To odpovídá skutečně neutrálnímu
prostředí, které vznikne srážkou částice a antičástice. V případě jiných srážek se pak předešlé výsledky násobí tzv. fugacitou. Výsledky jsou potom správné pouze v případě, že
je použita pro zúčastněné částice srážky Boltzmannova statistika. V ostatních případech
pak lze tento výsledek brát jako první přiblížení.
3.1
Střední kolizní šířka φ v reakci φK ∗ → πK ∗
V této části budeme počítat střední kolizní šířku φ mezonu indukovanou reakcí
φK ∗ → πK ∗ .
25
Podle (2.15) a s využitím (2.13) platí
Γφ = n−1
φ R2→2 ,
(3.6)
kde nφ je hustota φ mezonu v tepelné lázni daná vztahem (2.14) v němž gφ = 3, protože mezon φ je izosingletní vektorová částice. Průběh hustoty je znázorněn na obr. 2.1.
Pro R2→2 s využitím (2.9) dostáváme
R2→2 =
Z 3
X
d p1 d3 p2
p̂∗a Z
1
∗
√
f
(E
)
f
(E
)
dΩ
F
(E
)
F
(E
)
|M02→2 |2 .
1
1
2
2
a
a
b
b
a
16(2π)8
E1 E2
s
λ1 ,λ2 ,λb
Amplitudu reakce M02→2 dále značme jen jako M, její sumaci přes všechny dostupné
počáteční a koncové polarizace budeme značit sumací přes λm a nebudeme již dále vypisovat závislost některých veličin na energii či hybnosti. K vyčíslení tohoto integrálu
použijeme numerickou metodu Monte Carlo. Pro zjednodušení výpočtů zužitkujeme některé symetrie počátečního stavu. Bez újmy na obecnosti lze uvažovat, že φ se pohybuje
vždy ve směru jedné osy a dále, že ke srážce s K ∗ dochází vždy ve stejné rovině. Element
d3 p1 přepíšeme na p1 E1 dE1 dΩ1 . Pak lze úhlovou část ihned prointegrovat; získáme 4π.
Podobně element d3 p2 přepíšeme na p2 E2 dE2 dcos ϑ2 dϕ2 . Zde lze hned prointegrovat
přes dϕ2 ; získáme 2π. Pak pro R2→2 máme
Z
Z
Z
Z
X
1 Z
p̂∗a
∗
∗
√
R2→2 =
|M|2 .
dE
p
f
dE
p
f
F
F
dcos
ϑ
dcos
ϑ
dϕ
1
1
1
2
2
2
a
b
2
a
a
6
8(2π)
s
λm
(3.7)
Pro provedení integrace metodou Monte Carlo potřebujeme převést integrační objem
na jednotkový. K tomu poslouží substituce
E1 = m1 − T ln ξ1 ,
E2 = m2 − T ln ξ2 ,
dE1 = − ξT1 dξ1 ,
dE2 =
− ξT2
dξ2 ,
cos ϑ2 = 2 ξ3 − 1,
dcos ϑ2 = 2 dξ3 ,
cos ϑ∗a = 2 ξ4 − 1,
dcos ϑ∗a = 2 dξ4 ,
ϕ∗a
= 2π ξ5 ,
dϕ∗a
= 2π dξ5 ,
Z ∞
m1
Z ∞
m2
Z 1
−1
Z 1
−1
Z 2π
0
→
→
→
→
→
Z 0
1
Z 0
1
Z 1
0
Z 1
0
,
,
,
,
Z 1
0
(3.8)
,
kde ξ1 , . . . , ξ5 jsou nové integrační proměnné nabývající hodnoty z intervalu h0, 1i. Pro generaci čísel z tohoto intervalu jsou použity generátory s rovnoměrným rozložením náhodných čísel. Pro veličiny spojené s počátečními nebo koncovými částicemi jsou použity
jiné generátory. Teplota T vystupující v substitucích energií zajišťuje spolu s logaritmickou funkcí nerovnoměrnou generaci energií na intervalu hm, ∞), která je v korespondenci
s daným rozdělením energií v tepelné lázni o teplotě T . Vztah (3.7) lze pak přepsat na
R2→2 =
Z
Z
Z
X
p2
p1 Z
p̂∗a
T2 Z
√
dξ5
|M|2 .
dξ
dξ
dξ
dξ
f
f
F
F
4
2
3
1
1
2
a b
5
64π
ξ1
ξ2
s
λm
26
Obrázek 3.2: Feynmanovy diagramy reakce φK ∗ → πK ∗ . V s i u kanálu se vyměňuje K
nebo K ∗ . Celkem máme čtyři diagramy.
Zaměřme se nyní na amplitudu. Ta je v tomto případě indukována celkem čtyřmi
Feynmanovými diagramy, viz obr. 3.2. Dochází k výměně částice K nebo K ∗ v s nebo u
kanálu. Vezmeme-li v počátečním stavu kladně nabitý kaon, pak může docházet k těmto
konkrétním reakcím
φK ∗ + → π 0 K ∗ + ,
φK ∗ + → π + K ∗ 0 .
Počáteční kaon má však čtyři nábojové stavy, a to K ∗ + , K ∗ − , K ∗ 0 a K̄ ∗0 . Máme tedy
celkem 8 reakcí typu (3.1). Silná interakce je nábojově nezávislá. Pro kvadrát celkové
amplitudy tedy platí
|M|2 = 4 |MφK ∗ + →πK ∗ |2 = 12 |MφK ∗ + →π0 K ∗ + |2 ,
kde MφK ∗ + →π0 K ∗ + sestává ze čtyř interferujících amplitud (viz obr. 3.2). Výsledek numerické integrace je graficky znázorněn na obr. 3.3. Je vidět, že střední kolizní šířka
s teplotou monotónně roste. Pro teplotu T = 150 MeV je rovna 0.2470 ± 0.0004 MeV a
pro T = 200 MeV je Γφ = 1.892 ± 0.004 MeV.
3.2
Střední kolizní šířka φ v reakci φK ∗ → πKπ
Nyní nalezněme střední kolizní šířku φ mezonu pro reakci
φK ∗ → πKπ.
Analogicky dle předchozího (viz (3.6)) potřebujeme nyní vyjádřit R2→3 . S využitím (2.12)
dostáváme
R2→3 =
Z
Z
Z 3
X
1 Z
1
d p1 d3 p2
∗∗
∗
∗ ∗∗
√
F
F
F
|M|2 ,
dΩ
dΩ
p̂
f
f
dM
p̂
a
b
c
1
2
ab
a
c
a
c
5
11
2 (2π)
E1 E2
s
λ1 ,λ2
(3.9)
27
Obrázek 3.3: Střední kolizní šířka φ mezonu v reakci φK ∗ → πK ∗ jako funkce teploty
tepelné lázně v níž se φ pohybuje.
kde jsme již zkrátili zápis některých veličin jako v předchozím případě. K numerickému
zpracování tohoto integrálu reakčního výtěžku metodou Monte Carlo převedeme integrační objem opět na jednotkový. Substituce použité pro veličiny vážící se k počátečním
částicím se nemění, viz (3.8). S přidáním jedné koncové částice máme navíc tři stupně
volnosti a tedy tři nové proměnné. Substituce veličin koncových částic jsou následující
cos ϑ∗∗
a
= 2 ξ4 − 1,
dcos ϑ∗∗
a
= 2 dξ4 ,
ϕ∗∗
a = 2π ξ5 ,
dϕ∗∗
a = 2π dξ5 ,
cos ϑ∗c = 2 ξ6 − 1,
dcos ϑ∗c = 2 dξ6 ,
ϕ∗c
= 2π ξ7 ,
dϕ∗c
= 2π dξ7 ,
Z 1
−1
Z 2π
0
Z 1
Z
Mab = ma + mb + 4M ξ8 ,
kde 4M =
R2→3
√
dMab = 4M dξ8 ,
√
0
→
→
s−mc
ma +mb
,
Z 1
→
Z
−1
Z 2π
0
→
Z 1
0
1
0
,
Z 1
0
,
,
→
Z 1
0
,
s − mc − ma − mb . Vztah (3.9) lze pak přepsat na
X
p2 4M Z
p1 Z
T2 Z
∗ ∗∗
√
F
F
F
|M|2 .
dξ
p̂
dξ
f
f
dξ
p̂
=
a
b
c
2
1
1
2
4−8
c a
2(2π)7
ξ1
ξ2
s
λ1 ,λ2
28
Nyní k amplitudě daného procesu. Vezmeme-li v počátečním stavu kladně nabitý
kaon, pak může docházet k těmto konkrétním reakcím
φK ∗ + → π 0 K + π 0 ,
φK ∗ + → π 0 K 0 π + ,
φK ∗ + → π + K + π − .
Počáteční kaon existuje ve čtyřech nábojových stavech. Máme tedy celkem 12 reakcí typu
(3.2). Pro kvadrát celkové amplitudy platí
½
|M|2 = 4
¾
1
|MφK ∗ + →π0 K + π0 |2 + |MφK ∗ + →π0 K 0 π+ |2 + |MφK ∗ + →π+ K + π− |2 ,
2!
kde faktor 1/2! u první dílčí amplitudy zohledňuje identičnost pionů v koncovém stavu.
Tuto první reakci budeme brát za referenční reakci. Ta se může realizovat pomocí deseti
Feynmanových diagramů zobrazených na obr. 3.4. Provedeme rozdělení diagramů na dvě
skupiny. Diagramy vlevo označíme jako Ma (5 diagramů) a diagramy vpravo jako Mb
(5 diagramů). Pak
MφK ∗ + →π0 K + π0 = Ma + Mb
a tedy
½
|M|2 = 4
¾
1
|Ma + Mb |2 + 2 |Ma − Mb |2 + 4 |Mb |2 .
2!
Jak již bylo řečeno dříve, budeme provádět více výpočtů, abychom lépe viděli přínos
jednotlivých diagramů k celkovému výsledku. V tomto případě provedeme dva výpočty,
a to bez a s kontaktními diagramy (dolní řádek na obr. 3.4). Výsledek numerické integrace
je graficky znázorněn na obr. 3.5. Lze vidět, že kontaktní diagramy k celkové amplitudě
přispívají velice málo. Střední kolizní šířka φ mezonu je v tomto případě srovnatelná se
šířkou indukovanou základním procesem φK ∗ → πK ∗ .
3.3
Střední kolizní šířka φ v reakci φKπ → πK ∗
V pořadí třetí budeme počítat střední kolizní šířku φ mezonu příslušející reakci
φKπ → πK ∗ .
K vyjádření R3→2 použijeme (2.9) čímž získáváme
R3→2 =
Z 3
X
1
p̂∗a Z
d p1 d3 p2 d3 p3
√
f
f
f
dΩ∗a Fa Fb
|M|2 ,
1 2 3
5
11
2 (2π)
E1 E2 E3
s
λm
(3.10)
kde jsme opět zkrátili zápis některých veličin. Pro převod integračního objemu využijeme
substituce z procesu 2 → 2, viz (3.8). K nim přidáme pouze substituce vážící se k přidané
třetí počáteční částici. Opět máme navíc tři stupně volnosti a tedy tři nové nezávislé
29
Obrázek 3.4: Feynmanovy diagramy reakce φK ∗ → πKπ. Ve čtyřech horních diagramech
lze vyměňovaný K zaměnit za K ∗ . Spodní řádek jsou kontaktní diagramy. Celkem máme
deset diagramů. Diagramy vlevo a vpravo se liší záměnou koncových pionů.
30
Obrázek 3.5: Střední kolizní šířka φ mezonu v reakci φK ∗ → πKπ jako funkce teploty
tepelné lázně v níž se φ pohybuje. Index (c) znamená, že byly započítány také kontaktní
diagramy. Pro porovnání je zobrazen i základní proces φK ∗ → πK ∗ .
integrační proměnné. Substituce volíme následovně
E3 = m3 − T ln ξ6 ,
cos ϑ3 = 2 ξ7 − 1,
ϕ3 = 2π ξ8 ,
dE3 =
− ξT6
dξ6 ,
dcos ϑ3 = 2 dξ7 ,
dϕ3 = 2π dξ8 ,
Z ∞
m3
Z 1
−1
Z 2π
0
→
→
→
Z 0
1
Z 1
0
,
,
Z 1
0
,
Pak vztah (3.10) lze přepsat na
R3→2
Z
Z
X
p2 Z
p3
T3 Z
p1 Z
p̂∗a
√
dξ
|M|2 .
dξ
dξ
dξ
=
dξ
f
f
f
F
F
3−5
2
6
7,8
1
1
2
3
a
b
7
2(2π)
ξ1
ξ2
ξ6
s
λm
K reakci (3.3) budeme přistupovat ze třech různých hledisek: 1) nejdříve budeme
uvažovat, že počáteční K a π vytváří s kanálem rezonanci K ∗ (připneme s index), 2) nebudeme počáteční K a π vázat jen na s kanál (tzn. bude docházet k interferenci mezi
počátečním a koncovým pionem) a nebudeme brát kontaktní diagramy (označení bez
indexu), 3) k případu 2) přidáme kontaktní diagramy (připneme c index). S tím souvisí
tři rozdílné amplitudy reakcí.
31
Obrázek 3.6: Feynmanovy diagramy reakce φKπ → πK ∗ , kde počáteční K a π vytvářejí
rezonanci K ∗ v s kanálu. Díky výměně K a K ∗ máme celkem čtyři diagramy.
První z nich získáme následovně. V počátečním stavu uvažujme kladně nabitý vektorový kaon. Ten se dá vytvořit dvěmi způsoby. Jako vázaný stav K + a π 0 nebo K 0 a π + .
Může tedy docházet k těmto čtyřem reakcím
φK + π 0
φK + π 0
φK 0 π +
φK 0 π +
→
→
→
→
π0K ∗+,
π+K ∗0,
π0K ∗+,
π+K ∗0.
Feynmanovy diagramy libovolné z uvedených reakcí jsou znázorněny na obr. 3.6.
Vezmeme-li opět v úvahu, že podobně mohou interagovat další tři nábojové stavy vektorového kaonu a zohledníme Clebsch–Gordanovy koeficienty příslušných vázaných stavů
tvořících K ∗ , získáme v tomto případě pro kvadrát celkové amplitudy vztah
|Ms |2 = 4
4
X
2
2
|Mm
s | = 36 |MφK + π 0 →π 0 K ∗ + | .
m=1
Ke konstrukci amplitudy v druhém případě budeme uvažovat v počátečním stavu
kladný pseudoskalární kaon K + . Pak dochází k těmto reakcím
φK + π 0
φK + π 0
φK + π −
φK + π −
φK + π +
→
→
→
→
→
π0K ∗+,
π+K ∗0,
π0K ∗0,
π−K ∗+,
π+K ∗+.
Máme tedy v tomto případě celkem 20 reakcí typu (3.3). Za referenční amplitudu zvolme
první amplitudu MφK + π0 →π0 K ∗ + . Feynmanovy diagramy referenční amplitudy jsou znázorněny na obr. 3.6 a obr. 3.7. Opět provedeme rozdělení diagramů na dvě skupiny.
32
Obrázek 3.7: Feynmanovy diagramy reakce φKπ → πK ∗ , kde počáteční K a π nevytvářejí
rezonanci K ∗ v s kanálu. Díky výměně K a K ∗ máme celkem čtyři diagramy.
Obrázek 3.8: Feynmanovy kontaktní diagramy reakce φKπ → πK ∗ . Celkem máme dva
diagramy. Ty se liší pouze záměnou počátečního a koncového pionu.
33
Obrázek 3.9: Střední kolizní šířka φ mezonu v reakci φKπ → πK ∗ jako funkce teploty
tepelné lázně v níž se φ pohybuje. Index (s) znamená, že byly uvažovány pouze diagramy,
kde počáteční kaon a pion vytvoří rezonanci K ∗ v s kanálu; křivka bez indexu bere
v úvahu i ostatní kanály; index (c) znamená, že byly započítány také kontaktní diagramy.
Pro porovnání je zobrazen i základní proces φK ∗ → πK ∗ .
Diagramy na obr. 3.6 označíme jako Ma a na obr. 3.7 jako Mb . Pak
MφK + π0 →π0 K ∗ + = Ma + Mb .
Sumací všech kvadrátů pěti, resp. dvaceti dílčích amplitud získáváme pro kvadrát celkové
amplitudy
n
o
|M|2 = 4 |Ma + Mb |2 + 2 |Ma − Mb |2 + 2 | − Ma + Mb |2 + 4 |Ma |2 + 4 |Mb |2 .
(3.11)
Amplituda reakce třetího případu se od druhého liší pouze přítomností kontaktních
Feynmanových diagramů, viz. obr. 3.8. Předefinujeme veličiny Ma a Mb . K Ma přidáme
diagram vlevo na obr. 3.8 a k Mb diagram vpravo. Pak pro kvadrát celkové amplitudy
|Mc |2 lze použít vztah (3.11).
Výsledek numerické integrace je graficky znázorněn na obr. 3.9. Opět kontaktní členy
prakticky nepřispívají. Vyjma prvního případu (kdy je rezonance K ∗ tvořena s kanálem)
je střední kolizní šířka φ mezonu z reakce φKπ → πK ∗ o něco větší než v předešlých
dvou případech.
34
3.4
Střední kolizní šířka φ v reakci φKπ → πKπ
V posledním případě budeme počítat střední kolizní šířku φ mezonu indukovanou reakcí
φKπ → πKπ.
K vyjádření R3→3 použijeme (2.12) čímž získáváme
R3→3 =
Z 3
1
1 Z
d p1 d3 p2 d3 p3
√
f
(E
)
f
(E
)
f
(E
)
dMab p̂∗c p̂∗∗
1
1
2
2
3
3
a ×
26 (2π)14
E1 E2 E3
s
Z
Z
dΩ∗c
dΩ∗∗
a Fa (Ea ) Fb (Eb ) Fc (Ec )
X
|M|2 ,
(3.12)
λ1
kde jsme zkrátili označení celkové amplitudy reakce. K integraci (3.12) metodou Monte
Carlo využijeme substituce použité v předešlých případech. Provedeme jejich přeznačení
a pro přehlednost je zde vypisujeme
E1 = m1 − T ln ξ1 ,
E2 = m2 − T ln ξ2 ,
cos ϑ2 = 2 ξ3 − 1,
E3 = m3 − T ln ξ4 ,
cos ϑ3 = 2 ξ5 − 1,
ϕ3 = 2π ξ6 ,
dE1 = − ξT1 dξ1 ,
dE2 =
− ξT2
dξ2 ,
dcos ϑ2 = 2 dξ3 ,
dE3 =
− ξT4
dξ4 ,
dcos ϑ3 = 2 dξ5 ,
dϕ3 = 2π dξ6 ,
Mab = ma + mb + 4M ξ7 ,
dMab = 4M dξ7 ,
cos ϑ∗∗
a = 2 ξ8 − 1,
dcos ϑ∗∗
a = 2 dξ8 ,
ϕ∗∗
a
= 2π ξ9 ,
cos ϑ∗c = 2 ξ10 − 1,
ϕ∗c = 2π ξ11 ,
dϕ∗∗
a
= 2π dξ9 ,
dcos ϑ∗c = 2 dξ10 ,
dϕ∗c = 2π dξ11 ,
Z ∞
m1
Z ∞
m2
Z 1
−1
Z ∞
m3
Z 1
−1
Z 2π
0
→
→
→
→
→
Z 0
1
Z 0
1
Z 1
0
1
0
0
Z 1
−1
Z 2π
0
→
→
→
,
0
,
→
ma +mb
Z 1
Z 1
→
,
Z 1
→
Z √s−mc
−1
Z 2π
,
,
Z 0
Z 1
,
0
0
0
,
,
,
Z 1
0
0
,
Z 1
Z 1
Z 1
,
√
kde 4M = s − mc − ma − mb . Máme tedy celkem 11 nezávislých integračních proměnných. Jejich dosazením do (3.12) dostaneme
R3→3
Z
Z
p1
p2
p3
4M Z
T3 Z
dξ1 f1 (E1 ) dξ2 f2 (E2 ) dξ4 f3 (E3 ) √
dξ7 p̂∗c p̂∗∗
=
a ×
2(2π)9
ξ1
ξ2
ξ4
s
Z
Z
dξ5,6
dξ8−11 Fa (Ea ) Fb (Eb ) Fc (Ec )
X
λ1
|M|2 .
(3.13)
35
Jako v předešlém případě budeme i zde k reakci (3.4) přistupovat ze třech různých
hledisek. Začneme však nejobecnějším případem, kdy bereme v úvahu všechny možné
diagramy. Uvažujme v počátečním stavu kladný kaon K + . Může probíhat těchto osm
reakcí
φK + π 0
φK + π 0
φK + π 0
φK + π −
φK + π −
φK + π −
φK + π +
φK + π +
→
→
→
→
→
→
→
→
π0K +π0,
π0K 0π+,
π−K +π+,
π0K 0π0,
π−K +π0,
π−K 0π+,
π0K +π+,
π+K 0π+.
Za referenční amplitudu zvolíme první amplitudu. Její Feynmanovy diagramy jsou znázorněny na obr. 3.10 až obr. 3.14. Je jich celkem 44. Dochází zde k prohazování počátečního a koncového kaonu, také počátečního a koncového pionu a navíc dvou koncových
pionů a dále k různým kombinacím těchto výměn. Jak už jsme viděli dříve, ne všechny
amplitudy daných reakcí jsou indukovány všemi Feynmanovými diagramy. To jestli Feynmanův diagram pro danou reakci existuje či nikoliv rozhoduje především zákon zachování
náboje a podivnosti. V tabulce 3.2 je uvedeno, které Feynmanovy diagramy se pro danou
reakci realizují. Vystupují v ní čísla {1, 0, -1}, které charakterizují příslušnou amplitudu
dané reakce vůči amplitudě referenční reakce. Jsou to tedy koeficienty relativní realizace rc. Koeficient ’1’ znamená, že se daná amplituda realizuje se stejným znaménkem
jako amplituda referenční reakce, ’0’ znamená, že příslušná amplituda neexistuje a ’-1’
k
m-té
znamená, že se realizuje s opačným znaménkem. Celkový relativní koeficient CCm
k
amplitudy k-té reakce sestává ještě z Clebsch-Gordanova koeficientu CG . Tedy
k
CCm
= rckm CGk
m = 1, . . . 44,
k = 1, . . . 8
k
k
a platí CCm
= CCm+16
pro každou reakci k, kde m = 1, . . . , 16, protože příslušné diagramy se liší pouze záměnou vyměňovaného K za K ∗ , což koeficienty nezmění.
V případě referenční reakce se při konstrukci její celkové amplitudy uplatní všech 44
diagramů. Kvadrát této amplitudy je pak určen 990-ti nezávislými dílčími interferenčními
členy. Pro zbývajících sedm reakcí se interferenční členy opakují až na jistou konstantu
k
a případně faktoru identity F I k (podchydanou celkovými relativními koeficienty CCm
cující nerozlišitelnost koncových pionů). Součtem všech těchto konstant dané interference
i-té a j-té amplitudy příslušné reakce pro všech osm reakcí získáme interferenční faktor
Ci,j , který nám ulehčí výpočet celkové amplitudy. Tento interferenční faktor je tedy dán
relací
Ci,j =
8
X
(CGk )2 F I k rcki rckj
i = 1, . . . , 44,
j = i, . . . , 44.
k=1
Kvadrát celkové amplitudy vystupující ve vztahu (3.13) je pak dán součtem všech 990-ti
dílčích interferenčních členů
|Mc |2 = 4 (|Mac |2 + |Mbc |2 ),
(3.14)
36
Obrázek 3.10: Feynmanovy diagramy reakce φKπ → πKπ. Ve všech diagramech lze
vyměňovaný K zaměnit za K ∗ . Celkem máme tedy osm diagramů. Diagramy vlevo a
vpravo se liší záměnou koncových pionů.
37
vyměňovaný K zaměnit za K ∗ . Celkem máme na této straně tedy dvanáct diagramů.
Diagramy vlevo a vpravo se liší záměnou koncových pionů.
38
vyměňovaný K zaměnit za K ∗ . Celkem máme na této straně tedy dvanáct diagramů.
Diagramy vlevo a vpravo se liší záměnou koncových pionů.
39
Obrázek 3.13: Feynmanovy kontaktní diagramy reakce φKπ → πKπ. Celkem máme
na této straně šest diagramů. Diagramy vlevo a vpravo se liší záměnou koncových pionů.
40
Obrázek 3.14: Feynmanovy kontaktní diagramy reakce φKπ → πKπ. Celkem máme
na této straně tedy šest diagramů. Diagramy vlevo a vpravo se liší záměnou koncových
pionů.
41
Tabulka 3.2: Souhrn relativních koeficientů realizace rc Feynmanových diagramů v reakcích typu 3 → 3. Koeficient ’1’ znamená, že se daná amplituda realizuje se stejným
znaménkem jako amplituda referenční reakce, ’0’ znamená, že příslušná amplituda neexistuje a ’-1’ znamená, že se realizuje s opačným znaménkem. Platí rcm = rcm+16 , kde
m = 1, . . . , 16 pro každou reakci 1–8. Vedle číselného označení diagramu je uveden odkaz
na příslušný obrázek. Písmenka jsou v daném obrázku přiřazována jednotlivým diagramům zleva doprava a dolů.
číslo reakce
1
2
3
4
5
6
7
8
√
√
√
√
C-G koeficient (CG)
1
2 2
2 2 2 2 2 2 2
faktor identity (F I) 1/2!
1/2!
1/2!
2
CG · F I
1/2
2
4
1
4
8
4
4
Feyn. diagram
relativní koeficient realizace (rc)
1
obr. 3.10 a
1
1
0
1
1
1
0
0
2
obr. 3.11 a
1
1
0
-1
0
0
0
1
3
obr. 3.11 c
1
1
1
1
0
1
-1
0
4
obr. 3.11 e
1
1
1
1
0
1
-1
0
5
obr. 3.10 b
1
-1 1
1
-1
0
0
0
6
obr. 3.11 b
1
-1 -1
-1
1
0
1
1
7
obr. 3.11 d
1
-1 0
1
0
0
1
0
8
obr. 3.11 f
1
-1 0
1
0
0
1
0
9
obr. 3.10 c
1
1
0
1
1
1
0
0
10
obr. 3.12 a
1
1
0
-1
0
0
0
1
11
obr. 3.12 c
1
1
1
1
0
1
-1
0
12
obr. 3.12 e
1
1
1
1
0
1
-1
0
13
obr. 3.10 d
1
-1 1
1
-1
0
0
0
14
obr. 3.12 b
1
-1 -1
-1
1
0
1
1
15
obr. 3.12 d
1
-1 0
1
0
0
1
0
16
obr. 3.12 f
1
-1 0
1
0
0
1
0
33
obr. 3.13 a
1
1
0
1
1
1
0
0
34
obr. 3.13 c
1
1
0
-1
0
0
0
1
35
obr. 3.13 e
1
1
1
1
0
1
-1
0
36
obr. 3.13 b
1
-1 1
1
-1
0
0
0
37
obr. 3.13 d
1
1 -1
-1
1
0
1
1
38
obr. 3.13 f
1
-1 0
1
0
0
1
0
39
obr. 3.14 a
1
1
1
1
-1
0
0
0
40
obr. 3.14 c
1
-1 0
1
0
0
1
0
41
obr. 3.14 e
1
1 -1
-1
1
0
1
1
42
obr. 3.14 b
1
1
0
1
1
1
0
0
43
obr. 3.14 d
1
1
1
1
0
1
-1
0
44
obr. 3.14 f
1
1
0
-1
0
0
0
1
počet diagramů
44
44 22 44 18 16 26 12
42
kde
|Mac |2
=
44
X
Ci,i |Mi |2 ,
i=1
|Mbc |2 =
43 X
44
X
Ci,j 2 Re(Mi M∗j ),
i=1 j=i+1
√
kde Mi je 2-násobek příslušné i-té referenční amplitudy.
Amplitudu případu, kdy neuvažujeme kontaktní členy získáme z výše odvozené amplitudy (3.14) nulováním interferenčního faktoru Ci,j = 0 pro i, j = 33, . . . , 44. Tím
vypneme 12 kontaktních členů (viz obr. 3.13 a obr. 3.14) a máme tedy celkem 528 dílčích
interferenčních členů.
Přejděme nyní k nejjednoduššímu případu procesu 3 → 3, kde uvažujeme, že obě
původní rezonance K ∗ z procesu 2 → 2 nahrazujeme systémem částic K a π v s kanálu.
Zde dochází k výměně koncových pionů (ty nenaruší požadovaný s kanál) a dále k výměně
počáteční a koncové soustavy Kπ. Uvažujme v počátečním stavu kladně nabitý kaon K ∗ + .
Tomu odpovídá vázaný stav K + π 0 nebo K 0 π + . Může tedy docházet k těmto reakcím
φK + π 0
φK + π 0
φK + π 0
φK 0 π +
φK 0 π +
φK 0 π +
→
→
→
→
→
→
π0K +π0,
π0K 0π+,
π+K +π−,
π0K +π0,
π0K 0π+,
π+K +π−.
I zde lze nahradit počáteční K ∗ + jeho dalšími třemi nábojovými stavy. Pro kvadrát
celkové amplitudy platí
|Ms |2 = 4 |Mφ(Kπ)+ →πKπ |2 = 12 |MφK + π0 →πKπ |2 ,
kde
|MφK + π0 →πKπ |2 =
1
|MφK + π0 →π0 K + π0 |2 + |MφK + π0 →π0 K 0 π+ |2 + |MφK + π0 →π+ K + π− |2 .
2!
První reakci budeme brát za referenční. Ta je indukována osmi Feynmanovými diagramy.
Ty jsou znázorněny na obr. 3.10. Opět provedeme jejich rozdělení na dvě skupiny. Diagramy vlevo označíme jako Ma (4 diagramy) a diagramy vpravo jako Mb (4 diagramy).
Pak
MφK + π0 →π0 K + π0 = Ma + Mb
a tedy
1
|Ma + Mb |2 + 2 |Ma − Mb |2 + 4 |Mb |2 .
2!
Výsledek numerické integrace je graficky znázorněn na obr. 3.15. Nejmenší kolizní
šířka φ mezonu je opět dána případem, kdy uvažujeme rezonanci K ∗ jako vázaný nebo
|MφK + π0 →πKπ |2 =
43
Obrázek 3.15: Střední kolizní šířka φ mezonu v reakci φKπ → πKπ jako funkce teploty
tepelné lázně v níž se φ pohybuje. Index (s) znamená, že byly uvažovány pouze diagramy, kde počáteční nebo koncový kaon a pion vytvoří rezonanci K ∗ v s kanálu; křivka
bez indexu bere v úvahu i ostatní kanály; index (c) znamená, že byly započítány také
kontaktní diagramy. Poslední zmíněná křivka je za účelem vyhlazení aproximována polynomem třetího stupně – modrá tečkovaná křivka. Pro porovnání je zobrazen i základní
proces φK ∗ → πK ∗ .
rozpadající se systém částic K a π. Bereme-li v úvahu všechny dostupné diagramy, pak
v tomto případě je kolizní šířka φ mezonu oproti základní reakci φK ∗ → πK ∗ přibližně
2.3 krát větší. Přičemž kontaktní diagramy tomuto navýšení prakticky nepřispívají. Příslušná křivka je na obr. 3.15 zvlněna. Je to dáno kompromisem mezi přesností a výpočetním časem. Proto je za účelem vyhlazení křivka aproximována polynomem třetího
stupně.
Pro celkové srovnání jsou na obr. 3.16 nahoře znázorněny jednotlivé střední kolizní
šířky φ mezonu ze všech čtyř počítaných reakcí. Jsou brány pouze reakce s kontaktními
diagramy (kromě základní reakce φK ∗ → πK ∗ , kde kontaktní diagramy nejsou). V případě reakce φKπ → πKπ je místo příslušné křivky zobrazena její aproximace polynomem
třetího stupně (jako na obr. 3.15).
Na obr. 3.16 dole je zobrazena střední volná dráha φ mezonu odpovídající příslušným
reakcím. Připomeňme si, že střední volná dráha souvisí se střední kolizní šířkou částice
vztahem λ = v/Γ, viz (2.16), kde v je střední rychlost částice. Průběh střední rychlosti
φ mezonu je zobrazen na obr. 2.2.
44
Obrázek 3.16: Střední kolizní šířka (nahoře) a střední volná dráha φ mezonu indukována
uvedenými reakcemi jako funkce teploty tepelné lázně v níž se φ mezon pohybuje.
45
Na závěr uvádíme tabulku 3.3, která shrnuje numerické hodnoty střední kolizní šířky
φ mezonu ze všech počítaných reakcí pro dvě vybrané teploty tepelné lázně, jmenovitě
T = 150 MeV a T = 200 MeV. Všimněme si, že pro reakci φKπ → πKπ při teplotě
T = 200 MeV (mimo případ s indexem s) je střední kolizní šířka φ mezonu srovnatelná
s jeho rozpadovou šířkou Γφ = 4.26 ± 0.05 MeV. Ostatní kolizní šířky jsou při této teplotě
zhruba poloviční.
Tabulka 3.3: Střední kolizní šířka φ mezonu z daných reakcí pro teplotu tepelné lázně
T = 150 MeV a T = 200 MeV. U každé reakce je uveden i jejich celkový počet realizací.
Při výpočtu metodou Monte Carlo byla pro všechny reakce použita stejná sekvence jednoho miliónu náhodných čísel. Pro zajímavost vypisujeme u každé reakce i orientační čas
výpočtu.
reakce
index
φK ∗ → πK ∗
∗
φK → πKπ
počet
střední kolizní šířka (MeV)
čas
T = 150 MeV
T = 200 MeV
výpočtu
8
0.2470 ± 0.0004
1.904 ± 0.004
5s
12
0.2375 ± 0.0015
1.940 ± 0.013
105 s
φK ∗ → πKπ
c
12
0.2387 ± 0.0015
1.952 ± 0.013
118 s
φKπ → πK ∗
s
16
0.2233 ± 0.0013
1.873 ± 0.011
52 s
20
0.2879 ± 0.0016
2.124 ± 0.011
206 s
φKπ → πK ∗
∗
c
20
0.2903 ± 0.0016
2.142 ± 0.011
206 s
φKπ → πKπ
s
24
0.2155 ± 0.0042
1.871 ± 0.026
20 m
32
0.5114 ± 0.0099
4.528 ± 0.148
5h
32
0.5201 ± 0.0101
4.606 ± 0.150
5h
φKπ → πK
φKπ → πKπ
φKπ → πKπ
c
46
Kapitola 4
Kolizní šířka kaonu
Kaon je z hlediska silných interakcí považován za stabilní částici. Rozpadová šířka ΓK (s)
je v oblasti s ' m2K nulová, protože není otevřen žádný silný rozpadový kanál. V některých reakcích se však vyměňovaný virtuální kaon může občas dostat na hmotovou
nadplochu, což pak z principu znemožní výpočet. Probíhá-li reakce v hmotném prostředí, získává virtuální kaon ve svém propagátoru imaginární část, která má souvislost
s kolizní šířkou částice. Konstantní šířka ΓK ∼ 20 MeV byla použita např. v [19]. Volba
této velikosti se opírá o výsledky uvedené v práci [20], která se zabývala modifikací vlastností kaonu v horkém hadronovém prostředí. Nekonstantní kolizní šířka Γcoll
K (E, T ) byla
použita např. v [12]. Ta je funkcí celkové energie částice a dále teploty tepelné lázně v níž
se částice pohybuje. Zde však není řečeno, co se pod celkovou energií virtuální částice
myslí. Není jasná vazba mezi energií-hybností-hmotností virtuální částice. Navíc uvedená
kolizní šířka platí pouze pro kolineární srážky částic.
coll
V této kapitole přistupujeme
√ ke kolizní šířce kaonu ΓK (mKv , EK ; T ) jako funkci invariantní hmotnosti mKv = s a kinetické energie EK = E − mKv virtuálního kaonu a
dále teploty tepelné lázně T v níž se kaon pohybuje. Celková energie kaonu E je dána absolutní hodnotou ze součtu energií všech částic v jednom z vertexů s virtuálním kaonem,
P
E = | j Pj0 |. Tuto kolizní šířku jsme využili v kaonovém propagátoru (3.5), kde se místo
coll
rozpadové šířky ΓK (s) dosazuje celková šířka Γtot
K (s) = ΓK (s)+ΓK (mKv , EK ; T ). Celková
kolizní šířka Γcoll
K (mKv , EK ; T ) je dána součtem všech dílčích kolizních šířek z různých reakcí. V našem případě budeme uvažovat pohyb kaonu v termální lázni pionů a kaonů.
Kolizní šířku spočteme pouze z dominantních procesů typu K + 2 → a + b. Konkrétně
pro Kπ → Kπ, K K̄ → ππ a KK → KK. Vztah pro kolizní šířku netermalizované
částice indukovanou binárními reakcemi je odvozen v článku 2.6. Přepišme vztah (2.22)
(Γcoll
K = νK ) pro náš případ na tvar
Γcoll
K =
Z
1
32π 2 g(EK + mKv )
Z
p̂∗
dΦ2 √a Fa (Ea ) Fb (Eb ) dΩ∗a |MK+2→a+b |2 ,
s
kde stupeň degenerace v dalším klademe g = 1, protože kaon je pseudoskalární částice a
dΦ2 =
d3 p2 1
f2 (E2 ).
(2π)3 2E2
Výpočet provedeme opět metodou Monte Carlo. Uvažujme pohyb kaonu ve směru jedné
osy a dále, že ke srážce s druhou částicí dochází v jedné rovině. Analogicky s postupem
47
48
v článku 3.1 a využitím substitucí
E2 = m2 − T ln ξ1 ,
− ξT1
dE2 =
dξ1 ,
cos ϑ2 = 2 ξ2 − 1,
dcos ϑ2 = 2 dξ2 ,
cos ϑ∗a
dcos ϑ∗a
= 2 ξ3 − 1,
ϕ∗a = 2π ξ4 ,
= 2 dξ3 ,
dϕ∗a = 2π dξ4 ,
Z ∞
m2
Z 1
−1
Z 1
−1
Z 2π
0
→
→
→
→
Z 0
1
Z 1
0
Z 1
0
,
,
,
Z 1
0
,
získáváme pro kolizní šířku kaonu vztah
Γcoll
K =
T
32π 3 (EK + mKv )
Z
dξ1
Z
Z
p2
p̂∗
f2 (E2 ) √a Fa (Ea ) Fb (Eb ) dξ2 dξ3,4 |MK+2→a+b |2 ,
ξ1
s
kde ξ1 , . . . , ξ4 jsou nové integrační proměnné nabývající hodnoty z intervalu h0, 1i. Používáme generátory s rovnoměrným rozložením náhodných čísel v tomto intervalu. V dalším
se budeme zabývat amplitudou pro výše uvedené reakce.
4.1
Kolizní šířka kaonu v reakci Kπ → Kπ
Uvažujme, že je počáteční kaon kladně nabitý. Pak je celková amplituda indukována
těmito šesti reakcemi
K +π0
K +π0
K +π−
K +π−
K +π−
K +π+
→
→
→
→
→
→
K +π0,
K 0π+,
K +π−,
K −π+,
K 0π0,
K +π+.
(4.1)
(4.2)
(4.3)
(4.4)
(4.5)
(4.6)
Na obr. 4.1 jsou symbolicky vyobrazeny Feynmanovy diagramy příslušných procesů. V s
a u kanálu dochází k výměně K ∗ a v t kanálu se vyměňuje ρ mezon. Konkrétní zastoupení
jednotlivých diagramů v reakcích (4.1)–(4.6) je shrnuto v tabulce 4.1. Čísla v ní znamenají
relativní velikost vůči s a u amplitudě reakce (4.1) a t amplitudě reakce (4.5). Kvadrát
celkové amplitudy je dán součtem dílčích kvadrátů z jednotlivých procesů. Výsledná
kolizní šířka kaonu je graficky znázorněna na obr. 4.2 pro dvě různé teploty tepelné lázně
v níž se kaon pohybuje, jmenovitě T = 150 MeV a T = 200 MeV. Pro nulovou invariantní
hmotnost kaonu má křivka kolizní šířky pík, který s rostoucí hmotností ustupuje vlevo a
jeho maximum nepatrně roste. Kolizní šířka kaonu s jeho rostoucí invariantní hmotností
roste. Vyjma při nižších hodnotách invariantní hmotnosti a vyšších hodnotách kinetické
energie, kde je zpočátku tendence klesající. Dále lze vidět, že s rostoucí teplotou tepelné
lázně roste i kolizní šířka kaonu.
49
Obrázek 4.1: Feynmanovy diagramy reakce Kπ → Kπ.
Tabulka 4.1: Zastoupení jednotlivých Feynmanových diagramů na obr. 4.1 v reakcích
(4.1)–(4.6).
reakce
(4.1)
s kanál
1
t kanál
0
u kanál
1
(4.2) (4.3) (4.4)
√
2
2
2
√
− 2
-1
0
√
− 2
0
2
(4.5)
0
1
2
(4.6)
√
− 2
√
2
√
2
Obrázek 4.2: Závislost kolizní šířky kaonu Γcoll
K na jeho kinetické energii EK pro vybrané
invariantní hmotnosti (mKv = 0, 0.5, 1, 3, 5 GeV) při teplotě tepelné lázně T = 150 MeV
(vlevo) a T = 200 MeV.
50
4.2
Kolizní šířka kaonu v reakci K K̄ → ππ
V tomto případě je celková amplituda indukována následujícími třemi reakcemi
K +K − → π0π0,
K +K − → π+π−,
K + K̄ 0 → π + π 0 .
(4.7)
(4.8)
(4.9)
Na obr. 4.3 jsou symbolicky vyobrazeny Feynmanovy diagramy příslušných procesů. V t a
u kanálu dochází k výměně K ∗ a v s kanálu se vyměňuje ρ mezon. Konkrétní zastoupení
jednotlivých diagramů v reakcích (4.7)–(4.9) je shrnuto v tabulce 4.2. Čísla v ní znamenají
relativní velikost vůči t a u amplitudě reakce (4.7) a s amplitudě reakce (4.8). Kvadrát
celkové amplitudy je dán opět součtem dílčích kvadrátů z jednotlivých procesů. Výsledná
kolizní šířka kaonu je graficky znázorněna na obr. 4.4 pro dvě různé teploty tepelné lázně
v níž se kaon pohybuje. Ostrý pík vznikající v nule je zapříčiněn tím, že i v limitě nulové
celkové energie virtuálního kaonu může proces probíhat, protože mK > 2mπ . Pík má
v nule konečnou hodnotu.
Obrázek 4.3: Feynmanovy diagramy reakce K K̄ → ππ.
(4.7)–(4.9).
reakce
(4.7)
(4.8)
s kanál
0
1
t kanál
1
2
(4.9)
√
− 2
√
− 2
u kanál
1
0
0
51
4.3
Kolizní šířka kaonu v reakci KK → KK
V tomto posledním uvažovaném případě je celková amplituda dána těmito pěti reakcemi
K +K +
K +K −
K +K −
K +K 0
K + K̄ 0
→
→
→
→
→
K +K +,
K +K −,
K 0 K̄ 0 ,
K +K 0,
K + K̄ 0 .
(4.10)
(4.11)
(4.12)
(4.13)
(4.14)
Na obr. 4.5 jsou symbolicky vyobrazeny Feynmanovy diagramy příslušných procesů.
Ve všech kanálech dochází k výměně ρ, ω a φ mezonu. Konkrétní zastoupení jednotlivých diagramů v reakcích (4.10)–(4.14) je shrnuto v tabulce 4.3. Čísla v ní znamenají
relativní velikost vůči s a t amplitudě reakce (4.11) a u amplitudě reakce (4.10). Čísla
psaná tučně označují reakce, kde se vyměňuje nabitý ρ mezon. Čísla psaná normálně indikují výměnu neutrálního ρ, ω a φ mezonu. Celkem máme 24 amplitud. Kvadrát celkové
amplitudy je dán opět součtem dílčích kvadrátů z jednotlivých reakcí. Výsledná kolizní
šířka kaonu je graficky znázorněna na obr. 4.6 pro dvě různé teploty tepelné lázně v níž se
kaon pohybuje. Chování kolizní šířky kaonu je obdobné s předchozími případy. S rostoucí
invariantní hmotností kaonu roste i jeho kolizní šířka. Ta roste i s přibývající teplotou
tepelné lázně. Co se týče velikosti je tato šířka menší než šířka z reakce Kπ → Kπ a větší
než šířka z reakce K K̄ → ππ.
52
Obrázek 4.5: Feynmanovy diagramy reakce KK → KK.
(4.10)–(4.14). Tučná čísla indikují diagramy s výměnou nabitého ρ mezonu.
reakce
(4.10)
(4.11)
(4.12)
(4.13)
(4.14)
s kanál
0
1
1
0
2
t kanál
-1
1
2
-1
1
u kanál
1
0
0
2
0
4.4
53
Celková kolizní šířka kaonu v binárních reakcích
Celková kolizní šířka kaonu v binárních reakcích K + 2 → a + b je v našem případě dána
součtem tří dílčích kolizních šířek, jmenovitě z reakcí Kπ → Kπ, K K̄ → ππ a KK →
KK. Výsledná šířka je pro dvě různé teploty zobrazena na obr. 4.7. Při výpočtu střední
Obrázek 4.7: Závislost celkové kolizní šířky kaonu Γcoll
na jeho kinetické energii EK
K
pro vybrané invariantní hmotnosti (mKv = 0, 0.5, 1, 3, 5 GeV) při teplotě tepelné lázně
T = 150 MeV (vlevo) a T = 200 MeV.
kolizní šířky φ mezonu není kolizní šířka virtuálního kaonu počítána přímo. Z důvodu
zkrácení výpočetního času je kolizní šířka kaonu napočtena dopředu. Pro invariantní
hmotnost mKv < 0 je Γcoll
K nulová. V opačném případě je kolizní šířka dopočtena lineární
aproximací z hodnot v předem napočtených bodech. Ty jsou uvedeny v tabulce 4.4.
Tabulka 4.4: Zvolené dělení pro výpočet Γcoll
K (mKv , EK ; T )
rozsah
mKv
0.0 − 1.0 0.0 − 1.0
1.0 − 5.0
(GeV)
EK
0.0 − 1.0 1.0 − 3.5
0.0 − 3.5
počet bodů
mKv
21
11
9
EK
21
6
8
diference
mKv
0.05
0.1
0.5
(GeV)
EK
0.05
0.5
0.5
54
Kapitola 5
Produkce dileptonů v interakcích
mezi piony
V této kapitole se stručně zmíníme o produkci dileptonů. Pod pojmem dilepton rozumíme
pár lepton l a antilepton ¯l, např. elektron a pozitron. Název dilepton je spjat s produkcí
páru lepton a antilepton při vysokoenergetických srážkách těžkých iontů. Při těchto srážkách vznikají horké a husté systémy tisíců částic. Jejich interakcemi vznikají mimo jiné
také dileptony. Ty jsou buď produkovány samostatně nebo spolu s dalšími částicemi.
Mohou vznikat ze srážek nebo z rozpadů částic. Pocházejí-li dileptony ze srážek částic,
pak hovoříme o tzv. přímých dileptonech. Jejich detekcí získáváme informaci o vlastnostech systému vytvořeného vysokoenergetickou srážkou těžkých iontů. Dileptony mohou
pocházet ze dvou zdrojů: (i) kvark-gluonová plazma, (ii) hadronový plyn.
Zabývejme se dále reakčním výtěžkem dileptonů z hadronového plynu. Kreaci dileptonů lze počítat např. z binárních reakcí jako např. πρ → e+ e− , π 0 ω → e+ e− , π 0 φ → e+ e−
[21] nebo πa1 → e+ e− , ρ+ ρ− → e+ e− [22]. Rezonance v počátečních stavech jsou zde
brány v tzv. úzké aproximaci. Jak již bylo zmíněno v úvodu, bylo by vhodnější počítat
tyto srážky s rezonancemi jako srážky s více částicemi v počátečním stavu. To z toho
důvodu, že takto lépe vystihneme tu skutečnost, že rezonance nemusí mít vždy svou
nominální hmotnost a dále podchytíme případné interference, ke kterým může ve vícečásticových systémech snadněji docházet. Každá rezonance ve výše uvedených srážkách
se dá nahradit systémem pionů. Reakční výtěžky dileptonů pro některé třípionové reakce
typu 1 + 2 + 3 → l + ¯l a 1 + 2 → 3 + (l + ¯l) byly spočteny např. v [23]. V dalším se
omezíme pouze na reakce
π1 + π2 + . . . + πI → l + ¯l.
Tedy v počátečním stavu uvažujeme pouze piony. Ty jsou v hustém a horkém hadronovém
plynu téměř vždy obsaženy. Dileptony mohou vznikat ze srážek libovolného počtu pionů,
I ∈ N\{1}. Například srážka dvou pionů může vytvořit ρ mezon, který se konvertuje
na foton a ten se dále rozpadá na dilepton. Nebo srážka tří pionů může probíhat přes
rezonanci ω nebo φ. Srážka čtyř pionů může probíhat i přes výměnu dvou fotonů. Ta byla
+ −
+ − + −
+ −
+ − + −
však
√ pozorována v reakci e e → π π π π a e e → K K π π až při vyšších
( s ≈ 10 GeV) energiích [24, 25]. Některé vybrané procesy jsou zachyceny na obr. 5.1.
Nedávný NA60 experiment naměřil s nebývalou přesností produkci mionových dilep55
56
Produkce dileptonů v interakcích mezi piony
Obrázek 5.1: Některé procesy produkce dileptonů ve srážkách pionů π1 +π2 +. . .+πI → l+¯l
na stromové úrovni.
57
tonů (tzv. dimionů) v In-In kolizích [26]. To zvýšilo obecný zájem o produkci dileptonů,
neboť přesný experiment je vždy výzvou teoretickým modelům. Nadbytek produkce dimionů v těchto spektrech při invariantních hmotnostech M > 0.9 GeV je připisováno
čtyřpionovým anihilacím [27]. V současné době jsou však teoretické výpočty reakčních
výtěžků dileptonů z hadronového plynu se čtyřmi piony v počátečním stavu omezeny
neznalostí interakčního Lagrangiánu a1 ρπ [28, 29]. Proto jsme se nejdříve místo samotného výpočtu produkce dileptonů zaměřili na bližší určení tohoto Lagrangiánu. K tomuto
účelu jsme navrhli způsob jak tento interakční Lagrangián najít a tím udělat předpovědi
produkce dileptonů spolehlivější. Idea spočívá ve fitování modelu a1 ρπ interakce na experimentální data účinného průřezu opačného procesu. Tedy procesu anihilace elektronu
s pozitronem na čtyři piony. Účinný průřez této reakce byl změřen několika laboratořemi
(např. viz [30, obr. 10]). Výsledky fitování modelu s volnými parametry na tato data
byly publikovány ve dvou článcích, které vyšly ve Physical Review D. Oba jsou součástí
přílohy B. Shrnutí těchto výsledků přináší následující článek.
5.1
Elektron-pozitronová anihilace na čtyři piony
Jak již bylo řečeno, omezená znalost a1 ρπ interakce vede v případě produkce dileptonů
ze čtyřpionové anihilace na nespolehlivé předpovědi. Proto jsme měli snahu nalézt uspokojivý model a1 ρπ interakce. Výsledky našeho snažení, které dále shrnujeme, byly publikovány ve dvou článcích
• Electron-positron annihilation into four charged pions and the a1 ρπ Lagrangian,
• Joint description of the e+ e− annihilation into both four-pion channels.
Zabývali jsme se v nich především úkolem zpřesnění modelu a1 ρπ interakce.
Nejdříve k samotné částici a1 (1260) [6]. Jedná se o axiální vektorovou izovektorovou částici s kvantovými čísly I G (J P C ) = 1− (1++ ). Její hmotnost je 1230 ± 40 MeV.
Rozpadová šířka není určena přesně. Leží v mezích Γa1 = 250 − 600 MeV. Možné rozpady a1 (1260) jsou např. ρπ, ρ(1450)π, σπ, f0 (1370)π, f2 (1270)π, K K̄ ∗ (892) + c.c. a πγ.
Všechny tyto rozpadové kanály byly pouze viděny. Jejich větvící poměry nejsou známy.
Částice a1 (1260) vystupuje např. v těchto procesech: i) hadronový rozpad ρ(1700) → a1 π,
ii) elektromagnetická anihilace e+ e− → π + π − π + π − , iii) slabý rozpad τ − → ντ π − π − π + .
Interakci částic a1 , ρ a π modelujeme následujícím fenomenologickým Lagrangiánem
ga ρπ
L = √1 (L1 cos θ + L2 sin θ) ,
2
(5.1)
kde ga1 ρπ a θ jsou volné parametry modelu,
L1 = Aµ · (Vµν × ∂ ν φ) ,
L2 = Vµν · (∂ µ Aν × φ)
(5.2)
(5.3)
a Vµν = ∂µ Vν − ∂ν Vµ . Izovektor obsahující polní operátory příslušející mezonu ρ je
označen jako Vµ , podobně pro π a a1 je označení φ a Aµ . Členy (5.2) a (5.3) jsou
58
používány v různých kombinacích, popř. i samotné. Z výše uvedeného Lagrangiánu plyne
pro rozpadovou šířku a1 → ρπ vztah
Γa1 →ρπ = ga21 ρπ f (sin θ).
Podrobnější relace je dána vztahy (2.7) a (2.8) v článku B.3. Dále předpokládáme, že
tato dílčí šířka reprezentuje celkovou šířku a1 . Volné parametry ga1 ρπ a sin θ určíme
ze dvou požadavků: i) zpětné získání správné rozpadové šířky Γa1 , ii) nejlepší možný
fit na experimentální data účinného průřezu reakce e+ e− → 4π. Anihilace elektronu
s pozitronem na čtyři piony má dva kanály: i) nabitý e+ e− → π + π − π + π − a ii) smíšený
e+ e− → π + π − π 0 π 0 . Oba kanály byly studovány několika autory, ale vždy byl vybrán model s fixními parametry. Některé dosud použité hodnoty parametru sin θ ukazuje tabulka
VII v článku B.3. Experimentální data nabitého kanálu jsou přesnější. Proto nejdříve
fitujeme model na tato data.
Fit na data nabitého kanálu
V tomto případě počítáme nejdříve excitační křivku1) pomocí tří existujících modelů,
ozn. ESK [31], PB/HG [32] a AK [33]. Tyto modely uvažují v intermediálních stavech
pouze piony a ρ mezony. Vybrali jsme dvě sady experimentálních dat: CMD-2 data [34]
(celkem 11 dat2) pokrývající oblast 0.765 − 0.970 GeV) a BaBar data [35] (celkem 144
dat pokrývající oblast√0.6125 − 4.4500 GeV). Energetickou oblast jsme rozdělili na dvě
části: i) nízké energie s < 1 GeV, zde patří CMD-2 data a dále data BaBar do 1 GeV
(ozn. BaBar-LE, 16 dat) a ii) vyšší energie, kde bereme pouze BaBar data v jejich celém
rozsahu. Excitační křivku spočtenou na základě třech existujících modelů porovnáváme
nejdříve se samotnými CMD-2 daty a dále je kombinujeme s BaBar-LE daty. V tomto
případě není v originálních modelech žádný volný parametr. Výsledky s těmito modely
jsou neuspokojivé, neboť dostáváme χ2 /NDF > 9. Proto tyto modely doplňujeme o intermediální stavy s a1 , popsané Lagrangiánem (5.1). Protože je rozpadová šířka Γa1 známa
nepřesně, bereme v úvahu postupně její tři hodnoty, jmenovitě 250, 400 a 600 MeV.
Fit provádíme opět na CMD-2 data a pak na souhrn dat CMD-2 a BaBar-LE. Nakonec
přidáváme další experimentální dato, a to poměr D-vlny ku S-vlně amplitudy rozpadu
a1 → ρπ, ozn. D/S ratio [36]. Všechny výsledky jsou uvedeny v tabulkách I až III v článku
B.3. Zde pro ukázku přepisujeme tabulku č. III jako tabulku 5.1. Je vidět, že zahrnutí
intermediálních stavů s a1 zlepší fit výrazně. Dokonce samotný model3) s a1 (poslední
sloupec v tabulce 5.1) popisuje experimentální data lépe než původní modely uvažující
intermediálními stavy ρ a π mezonů. Jejich zahrnutí však převážně zlepšuje fit. Z tabulky
je dále patrno, že preferovaná rozpadová šířka a1 je Γa1 = 600 MeV. Příslušné hodnoty
optimálního parametru sin θ vyplývající z jednotlivých fitů na příslušná experimentální
data shrnují tabulky 5.2 a 5.3 a dále tabulka 5.4, která je v článku B.3 označena jako
tabulka IV. Čísla v závorkách udávají chybu.
1)
Excitační křivkou rozumíme závislost účinného průřezu dané reakce na vstupní energii kolidujících
částic (na invariantu s).
2)
Dvě první data jsme již vyřadili, protože dávají pouze horní hranici účinného průřezu.
3)
Samotným modelem a1 rozumíme model, který nebere v úvahu intermediální stavy původních modelů AK, PB/HG a ESK. Je to model daný pouze Lagrangiánem (5.1).
59
Tabulka 5.1: χ2 /NDF z fitu modelů na data účinného průřezu CMD-2 a BaBar-LE doplněná datem D/S ratio (celkem 28 dat).
Γa1 (MeV)
ESK PB/HG
AK
pouze a1
250
3.66
1.95
1.99
1.96
400
1.98
1.34
1.33
1.48
600
1.65
1.20
1.18
1.41
Tabulka 5.2: Hodnoty optimálního sin θ z fitu na CMD-2 data.
Γa1 (MeV)
ESK
PB/HG
AK
pouze a1
250
0.4062(27) 0.4289(35) 0.4276(33)
0.4330(43)
400
0.4363(27) 0.4663(46) 0.4644(43)
0.4728(61)
600
0.4681(36) 0.5109(65) 0.5080(61)
0.5213(91)
Tabulka 5.3: Hodnoty optimálního sin θ z fitu na CMD-2 data a BaBar-LE data.
Γa1 (MeV)
ESK
PB/HG
AK
pouze a1
250
0.4041(20) 0.4255(24) 0.4243(23)
0.4290(28)
400
0.4343(21) 0.4617(31) 0.4600(29)
0.4671(38)
600
0.4655(26) 0.5043(43) 0.5019(41)
0.5129(54)
Tabulka 5.4: Hodnoty optimálního sin θ z fitu na CMD-2 data a BaBar-LE data doplněná
datem D/S ratio.
Γa1 (MeV)
ESK
PB/HG
AK
pouze a1
250
0.4092(33) 0.4278(32) 0.4267(32)
0.4312(35)
400
0.4352(24) 0.4624(34) 0.4608(32)
0.4679(39)
600
0.4659(27) 0.5046(44) 0.5022(41)
0.5132(55)
60
Popis excitační křivky procesu e+ e− → π + π − π + π − při nízkých energiích je blízce
vázán s rozpadovou šířkou procesu ρ0 → π + π − π + π − viz vztah (2.14) v článku B.3.
Za jistých podmínek platí
σe+ e− →π+ π− π+ π− (s) = f (s) Γρ0 →π+ π− π+ π− (s).
Experimentální hodnota je Γρ0 →π+ π− π+ π− (m2ρ ) = (2.8 ± 1.4 ± 0.5) keV. Tato rozpadová
šířka, jak plyne z nalezeného optimálního parametru sin θ pro daný model a pro danou
šířku Γa1 z fitu na CMD-2 data a BaBar-LE data doplněná datem D/S ratio, je uvedena
v tabulce V v článku B.3. Achasov a Kozhevnikov zdůrazňují [33], že tato rozpadová
šířka není dobře experimentálně definovaná, protože vyžaduje zprůměrování přes energetický interval, v kterém však rychle roste. Proto je pro porovnávání vhodnější veličinou
excitační křivka.
Při fitu excitační křivky na data vyšších energií (BaBar data až do 4.5 GeV) uvažujeme pouze rozpadovou šířku Γa1 = 600 MeV. Při těchto energiích je již nutné vzít v úvahu
i těžší ρ rezonance. Konkrétně počítáme s rezonancemi ρ(1450) a ρ(1700). Do modelu
jsou zahrnuty prostřednictvím form faktoru (4.1) v článku B.3. S tím souvisí zavádění
nových volných parametrů modelu. Výsledky fitu jsou shrnuty v tabulce VI v článku
B.3. V úvahu bylo vzato také experimentální dato D/S ratio. Z tabulky je patrno, že
dosažený fit pro všechny modely je výborný. Dva ze tří originálních modelů ovlivňují
samotný model a1 jen nepatrně. Intermediální stavy s a1 mezonem zde hrají dominantní
roli.
Fit na data smíšeného kanálu
Za experimentální data v tomto případě byla vybrána SND data [37] (celkem 35 dat
pokrývající oblast 0.980 − 1.380 GeV). Existují i další data, která pokrývají větší energetickou oblast (více v článku B.4), ale ta nejsou ještě oficiálně zpřístupněna. Výpočet
excitační křivky na SND data provádíme nejdříve pro samotný model a1 , protože v případě fitu na data nabitého kanálu vyšších energií popisuje tento model sám příslušná data
výborně. Parametry modelu jsou fixní (dány posledním sloupcem v tabulce VI v článku
.
B.3). Dosažený výsledek χ2 /NDF = 59 je však katastrofální. Je žádoucí přidat k amplitudě tohoto procesu další příspěvky. Nejčastěji je počítáno s intermediálními stavy s ω
mezonem. I my tak učiníme. Jejich popis provádíme pomocí dvou modelů. První popis
je dán modelem ESK, druhý pak modelem ozn. jako PL [23]. Oba modely ωρπ interakce
neobsahují žádné volné parametry. Nyní je však možné opět parametry ve form faktoru
(4) v článku B.4 považovat za volné. To z toho důvodu, že charakter interakce je oproti
samotnému modelu a1 jiný. Stavy s výměnou mezonů a1 a ω interferují. Příslušné parametry jsou odlišeny, od těch v nabitém kanálu, čárkou. Výsledek je zobrazen v tabulce
I v článku B.4. Pro model ESK (tedy model a1 doplněný intermediálními stavy s ω popsané ESK modelem) není možné najít uspokojivý fit. Ve snaze zlepšit tento výsledek
bereme v úvahu také intermediální stavy s mezonem h1 (1170). Jeho základní vlastnosti
jsou uvedeny v tabulce 1.1. Interakční Lagrangián částic h1 , ρ a π modelujeme podobným způsobem jako interakci částic a1 , ρ a π (viz vztah (8) v článku B.4). Model má
tedy dva další volné parametry, které získáme ze stejných požadavků jako v případě a1 ρπ
61
interakce, tj. reprodukce rozpadové šířky Γh1 a nejlepší možný fit na SND data. Společné
parametry modelů, tedy parametry, které vystupují v popisu dat účinného průřezu nabitého i smíšeného kanálu, jsou fixní. Volné jsou pouze parametry ve form faktoru (4)
v článku B.4 a parametr sin η vystupující v interakčním h1 ρπ Lagrangiánu. Výsledek
fitu obsahuje tabulka II v článku B.4. Je vidět, že zahrnutí částice h1 (1170) zlepšilo fit
výrazně v případě ESK modelu. V případě PL modelu je výsledek také lepší, ale zlepšení
není tak výrazné jako v případě ESK modelu.
Fit na data obou kanálů
Nyní provedeme simultánní fit obou kanálů reakce e+ e− → 4π. Excitační křivku nabitého
kanálu fitujeme na BaBar data [35] a to samotným modelem a1 . Excitační křivku smíšeného kanálu fitujeme na SND data [37] a to modelem PL (tedy intermediální stavy s a1 ,
h1 a ω). Data doplníme o experimentální dato D/S ratio. To je společné oběma kanálům.
Celkem máme 180 dat. Rozpadovou šířku a1 volíme opět Γa1 = 600 MeV. Nyní ve společném modelu nedržíme žádný parametr fixní. Máme celkem patnáct volných reálných
parametrů; z nich čtyři se váží k nabitému procesu, pět k smíšenému procesu a šest parametrů je společných pro oba procesy. Získáváme fit s χ2 /NDF = 1.06, čemuž odpovídá
tzv. confidence level 28.4%. Optimální hodnoty parametrů shrnuje tabulka III v článku
B.4. Ty jsou víceméně kompatibilní s hodnotami získanými z jednotlivých samostatných
fitů. Excitační křivky jednotlivých kanálů v porovnání s příslušnými experimentálními
daty jsou zachyceny na obr. 5.2.
Hlavním cílem prováděných fitů bylo bližší určení volných parametrů ga1 ρπ a sin θ
interakčního Lagrangiánu (5.1). Parametr ga1 ρπ plyne z fixnuté rozpadové šířky Γa1 a
z parametru sin θ. V tabulce 5.5 uvádíme souhrn dosažených hodnot pro parametr sin θ
v případě fitu samotného modelu a1 na různé kombinace experimentálních dat. Z tabulky
plyne, že parametr sin θ leží v intervalu (0.43, 0.52). Simultánní fit obou kanálů dává
.
hodnotu sin θ = 0.47.
Tabulka 5.5: Hodnoty parametru sin θ nalezené v případě fitu samotného modelu a1
na různé kombinace experimentálních dat. Čísla v závorkách udávají chybu.
Γa1 (MeV)
sin θ
kanál
data
250-600
0.4330(43)–0.5213(91)
nabitý
CMD-2
250-600
0.4290(28)–0.5129(54)
nabitý
CMD-2 + BaBar-LE
250-600
0.4312(35)–0.5132(55)
nabitý
CMD-2 + BaBar-LE + D/S ratio
600
0.4603(28)
nabitý
BaBar + D/S ratio
600
0.4662(52)
smíšený
BaBar + SND + D/S ratio
62
Obrázek 5.2: Porovnání excitačních křivek nabitého (nahoře) a smíšeného kanálu reakce
e+ e− → 4π s příslušnými experimentálními daty účinného průřezu. Excitační křivky jsou
dány společným modelem získaným ze simultánního fitu obou kanálů na data účinného
průřezu doplněná o D/S ratio (celkem 180 dat).
5.2
63
Reakční výtěžek dileptonů v reakci 1+2+. . .+I →
l + l¯ v jednofotonové aproximaci
Zaměřme se nyní na reakční výtěžek, který je obecně dán vztahem (2.1). Zabývejme se
produkcí dileptonů v reakci
1 + 2 + . . . + I → l + ¯l,
kde v počátečním stavu uvažujeme libovolné částice. V případě dvou částic v koncovém
stavu přechází obecný vztah pro reakční výtěžek na tvar (2.9), kde a = l, b = ¯l. Leptony
po svém vzniku ihned opouštějí systém. Nepodílejí se tedy na udržování termodynamické
rovnováhy systému a proto Fl (El ) = Fl̄ (El̄ ) = 1. V případě produkce dileptonů tedy
pro reakční výtěžek dileptonů z reakce I → l + ¯l získáváme vztah
1 Z
p̂∗l Z
R=
dΦI √
dΩ∗l
16π 2
s
X
X
|M0I→ll̄ |2 .
(5.4)
λ1 ,...,λI λl ,λl̄
V případě výměny jednoho fotonu v tomto procesu lze tento vztah dále zjednodušit.
Maticový element má v tomto případě strukturu (viz obr. 5.3)
MI→ll̄ = Aµ (p1 , . . . , pI ; p) B µ (p; pl , pl̄ ),
kde p je čtyřhybnost virtuálního fotonu. Skalární část fotonového propagátoru zahrneme
do druhého členu.
Obrázek 5.3: Struktura maticového elementu procesu 1+2+. . .+I → l+ ¯l v jednofotonové
aproximaci.
Uvažujme nyní hypotetickou reakci, při které vzniká foton γ ∗ s nenulovou hmotností4) ,
tedy reakci
1 + 2 + . . . + I → γ ∗.
Amplitudu tohoto procesu pak lze psát jako MI→γ ∗ = Aµ ²µ (λ), kde ²µ (λ) je polarizační
vektor tohoto masivního fotonu s polarizací λ. Přepišme reakční výtěžek (5.4) na tvar
Z
R = 2π
dΦI
X
(−Aµ A∗ν ) T µν ,
(5.5)
λ1 ,...,λI
4)
Procesy s těžkými fotony jako prostředek k vyšetřování dileptonových procesů byly uvažovány např.
v pracích [23, 38, 39].
64
kde zavedený tenzor T µν je pak dán vztahem
T µν =
X
1 p̂∗l Z
∗
√
(−B µ B ∗ν ).
dΩ
l
32π 3 s
λl ,λ
(5.6)
l̄
µ
Explicitní vyjádření B má v tomto případě tvar
e
B µ = − 2 ū(pl , λl ) γ µ v(pl̄ , λl̄ ).
p
Díky relacím ū(p/ − m) = 0 a (p/ + m)v = 0 platí pµ B µ = 0. Tedy také pµ T µν = 0. Podobně
i pν T µν = 0. Veličina B µ je obecně funkcí čtyřhybností pµ , pµl a pµl̄ . V amplitudě reakce
ve vztahu (5.4) jsou však tyto čtyřhybnosti svázány. Amplituda v sobě zahrnuje zákony
zachování. Z výše uvedeného plyne, že obecný tvar pro tenzor T µν lze psát ve tvaru
¶
µ
T
µν
= g
µν
pµ pν
T (M 2 ),
−
2
M
(5.7)
kde M 2 = p2 je kvadrát hmotnosti dileptonu a T (M 2 ) je nějaká skalární funkce, jejíž
tvar budeme dále hledat. Spočtením stopy tohoto vztahu získáváme pro funkci T (M 2 )
vazbu s tenzorem T µν ve tvaru
1
T (M 2 ) = Tµµ .
(5.8)
3
K nalezení této stopy nejdříve provedeme sumaci přes polarizace dileptonu ve vztahu
−B µ B ∗ν . Získáme
X
(−B µ B ∗ν ) = −4
λl ,λl̄
´
e2 ³ µ ν
ν µ
µν
2 µν
p
p
+
p
p
−
(p
p
)g
−
m
g
,
l l̄
l l̄
p4 l l̄
kde m je hmotnost příslušného leptonu. Provedením stopy tohoto vztahu a dále využitím
e2 = 4πα a 2 pl pl̄ = M 2 − 2m2 dostáváme


Tr 
X
(−B µ B ∗ν ) =
λl ,λl̄
´
16απ ³ 2
2
M
+
2m
.
M4
Dosaďme tento vztah do stopy ze vztahu (5.6). Při integraci přes prostorový úhel dΩ∗l využijeme skutečnosti, že dosazovaný vztah na tomto úhlu nezáleží. Pak s využitím vztahu
(5.8) nakonec pro funkci T (M 2 ) získáváme
s
4m2
α M 2 + 2m2
.
1
−
T (M 2 ) =
3π
M4
M2
Vraťme se nyní k reakčnímu výtěžku. Amplituda MI→γ ∗ je kalibračně invariantní a tedy
platí Aµ pµ = 0. Pro její kvadrát sesumovaný přes polarizace masivního fotonu platí
P
2
∗µ
µν
ve tvaru (5.7) do reakčního
λ |MI→γ ∗ | = −Aµ A . Toho využijeme při dosazení T
výtěžku (5.5). Pro reakční výtěžek tak dostáváme vztah
Z
R = 2π
dΦI |MI→γ ∗ |2 T (M 2 ),
kde nadtržení amplitudy reakce označuje sumaci přes polarizace masivního fotonu a počátečních částic. Jsou-li některé počáteční částice nerozlišitelné, násobí se reakční výtěžek
dodatečným faktorem podchycující tuto skutečnost.
Kapitola 6
Závěr
Ve druhé kapitole byly odvozeny některé charakteristiky částic vystupující při popisu
chování částic v hmotném prostředí. Mezi nimi byla odvozena střední kolizní šířka částice pohybující se v tepelné lázni s danou teplotou. Ta byla ve třetí kapitole spočtena
konkrétně pro čtyři reakce v nichž vystupoval φ mezon v počátečním stavu. Výsledná
střední kolizní šířka φ mezonu je znázorněna na obr. 3.16. Jsou započteny i kontaktní
diagramy, tj. diagramy obsahující vertex čtyř částic. Jejich přínos k celkové kolizní šířce
je však nepatrný. Při jejich zanedbání klesne kolizní šířka o méně než 1 % u reakcí
φK ∗ → πKπ a φKπ → πK ∗ a o méně než 2 % u reakce φKπ → πKπ (pro všechny
uvažované teploty). Střední kolizní šířka s rostoucí teplotou monotónně roste. Výsledky
pro různé reakce jsou si zhruba rovny až na jeden případ. Tím je reakce, kde vystupují
v počátečním i koncovém stavu tři částice. Její křivka je přibližně 2.3 krát výš než křivky
ostatních reakcí. To naznačuje, že rezonance K ∗ není tak úzká jak se obecně předpokládá.
Místo pohybu φ mezonu v termalizovaném plynu sestávajícího z částic K ∗ by bylo vhodnější uvažovat plyn sestávající z pseudoskalárních pionů a kaonů. Jak zde bylo spočteno,
tyto rozdílné přístupy mohou vést na více než stoprocentně rozdílné výsledky. Bylo by
zajímavé spočítat další reakce v nichž vystupuje rezonance K ∗ , popř. i jiné rezonance.
Ve čtvrté kapitole byla spočtena kolizní šířka pseudoskalárního kaonu se zadanou
energií. Kromě závislosti této kolizní šířky na energii jsme uvažovali také závislost na invariantní hmotnosti tohoto kaonu a dále na teplotě prostředí v němž se kaon pohybuje.
Kolizní šířku jsme počítali pouze z binárních reakcí. Celková kolizní šířka kaonu byla
v našem případě aproximována jako součet třech kolizních šířek a to z reakcí Kπ → Kπ,
K K̄ → ππ a KK → KK. Největší příspěvek dává kolizní šířka z první reakce. Výsledná
šířka je pro dvě různé teploty tepelné lázně zachycena na obr. 4.7. Lze říci, že s rostoucí
invariantní hmotností kaonu roste i jeho kolizní šířka. Ta také roste při vzrůstající teplotě tepelné lázně. Takto spočtená kolizní šířka kaonu byla využita ve třetí kapitole. Tam
se, při výpočtu střední kolizní šířky φ mezonu v reakcích se třemi částicemi v počátečním nebo koncovém stavu, dostával vyměňovaný kaon na hmotovou nadplochu. Protože
se kaon nerozpadá silnou interakcí a jeho rozpadová šířka je tedy rovna nule, je nutné
do imaginární části jeho propagátoru zahrnout kolizní šířku. Uveďme zde ještě, že pokud
nepoužijeme kolizní šířku kaonu v základní reakci φ + K ∗ → π + K ∗ je výsledek téměř
shodný jako když ji použijeme. Relativní chyba je menší než jedno procento pro všechny
uvažované teploty tepelné lázně.
65
66
Závěr
V páté kapitole jsme se zmínili o produkci dileptonů v interakcích mezi piony. Konkrétně byla spočtena anihilace elektronu s pozitronem na čtyři piony. Tento výpočet byl
především zaměřen na bližší určení interakčního Lagrangiánu částic a1 , ρ a π, resp. jeho
parametru sin θ. Tento úkol představuje přípravu na výpočty reakčního výtěžku dileptonů z interakcí čtyř pionů. Bylo nalezeno, že parametr sin θ leží v intervalu (0.43, 0.52).
.
Simultánní fit obou kanálů dává hodnotu sin θ = 0.47 s relativní chybou ∼ 1%. K přesnějšímu určení tohoto parametru by mohly přispět BaBar data [24], která pokrývají široký
energetický interval. Tato data nyní existují pouze v tzv. preliminary formě. Jsou kompatibilní s námi použitými SND daty. Bylo by také zajímavé přibrat do simultánního fitu
další proces, např. rozpad τ − → ντ π − π − π + . Náš model a1 ρπ interakce byl použit při výpočtu produkce dimionů v relativistických jaderných srážkách [40]. V této kapitole byl
dále odvozen vztah pro reakční výtěžek dileptonů v reakci 1+2+. . .+I → l+ ¯l. V případě
výměny jednoho fotonu v této reakci byl tento reakční výtěžek dále zjednodušen.
Jak jsme se již zmínili v úvodu, v horkém a hustém hadronovém plynu dochází mezi
částicemi k mnoha srážkám. Ve třetí a páté kapitole jsme si ukázali, že pokud vystupuje
v počátečním nebo koncovém stavu nějaké reakce rezonance, je vhodné počítat tyto
reakce s rezonancemi jako vícečásticové reakce. Ty nám lépe podchytí správný popis
tvorby a rozpadu rezonance v dané reakci než přístup binárních reakcí. Úzkou aproximaci
rezonance lze brát pouze jako první přiblížení.
Příloha A
Model amplitud reakcí
A.1
Lagrangiány
V této části jsou shrnuty Lagrangiány z [14] použité v této práci. Je použito následující
kompaktní maticové značení polních operátorů π, ρ, K a K ∗

π≡ √

K≡
K+
K
0
π0
2 π−
√
2 π+
−π 0


ρ0
ρµ ≡  √ µ −
2 ρµ
,

,

K̄ ≡ (K − K̄ 0 ),
Kµ∗ ≡ 
Kµ∗ +
Kµ∗ 0
√
2 ρ+
µ
−ρ0µ

,

,
K̄µ∗ ≡ (Kµ∗ − K̄µ∗0 ).
Používáme konvenci, že kladně označený operátor obsahuje anihilační operátor příslušné
kladně nabité částice a kreační operátor záporně nabité částice. Operátor K 0 , K ∗ 0 obsahuje
anihilační operátor částice K 0 , resp. K ∗ 0 a kreační operátor K̄ 0 , resp. K̄ ∗0 . A opačně
pro hermitovsky sdružené operátory. Používáme Lagrangiány
ag
1
(K̄ρµ ∂ µK − ∂ µK̄ρµ K),
4 1 + cA
ag
1
= i
ωµ (K̄∂ µK − ∂ µK̄K),
4 1 + cA
ag 1 + 2 cV
φµ (K̄∂ µK − ∂ µK̄K),
= −i √
2 2 1 + cA
ag 1 + cV
√
= i
(∂ µK̄ π Kµ∗ − K̄µ∗ π ∂ µK + K̄µ∗ ∂ µ π K − K̄ ∂ µ π Kµ∗ ),
4 1 + cA
√
3 a g3
1
=
²µνλσ (K̄ ∂µ ρν ∂λ Kσ∗ + ∂λ K̄σ∗ ∂µ ρν K),
2
16π mρ 1 + cA
√
3 a g3
1
=
²µνλσ ∂µ ων (K̄∂λ Kσ∗ + ∂λ K̄σ∗ K),
2
16π mρ 1 + cA
√
3 a g 3 1 + 2 cW Z µνλσ
²
∂µ φν (K̄∂λ Kσ∗ + ∂λ K̄σ∗ K),
= √ 2
8 2π mρ 1 + cA
LρKK = i
LωKK
LφKK
LK ∗ Kπ
LρK ∗ K
LωK ∗ K
LφK ∗ K
67
68
Příloha
LK ∗ K ∗ π =
LρK ∗ K ∗ =
LωK ∗ K ∗ =
LφK ∗ K ∗ =
LφK ∗ Kπ =
√
3 a g 3 1 + 2 cW Z µνλσ
√
²
(∂µ K̄ν∗ π ∂λ Kσ∗ ),
16π 2 mρ
1 + cA
o
gn
(∂µ K̄ν∗ − ∂ν K̄µ∗ )ρµ K ∗ν − K̄ ∗µ (∂µ ρν − ∂ν ρµ )K ∗ν − K̄ ∗ν ρµ (∂µ Kν∗ − ∂ν Kµ∗ ) ,
i
2
o
gn µ
i
ω (∂µ K̄ν∗ − ∂ν K̄µ∗ )K ∗ν − ω µ K̄ ∗ν (∂µ Kν∗ − ∂ν Kµ∗ ) − (∂µ ων − ∂ν ωµ )K̄ ∗µ K ∗ν ,
2
o
g n
−i √ φµ (∂µ K̄ν∗ − ∂ν K̄µ∗ )K ∗ν − φµ K̄ ∗ν (∂µ Kν∗ − ∂ν Kµ∗ ) − (∂µ φν − ∂ν φµ )K̄ ∗µ K ∗ν ,
2
2
cV
ag
φµ (K̄µ∗ π K + K̄ π Kµ∗ ).
− √ √
4 2 1 + cA
Použité hodnoty parametrů jsou následující:
a = 2, g = 5.89, cA = 0.49, cV = 0.36, cW Z = −0.1.
A.2
Vertexy
Zde uvádíme pravidla pro vertexy, které jsou součástí amplitud reakcí, použité v této
práci. Vertexy již zahrnují faktor −i vystupující při konstrukci matice reakce S, z které
se pravidla odvozují. Pravidla jsou odvozena za předpokladu, že všechny částice z vertexů vycházejí. Pro vcházející částici mění její čtyřhybnost znaménko. Dále jsou zavedeny
konstanty cK , cK ∗ , cπ , cρ . Konstanta cK = ±1; zápornou hodnotu nabývá pokud částice
K1 ∈ { vcházející K + , vcházející K 0 , vycházející K − , vycházející K̄ 0 }, tedy když daná
částice ve vertexu snižuje podivnost. Konstanta cK ∗ = ±1; zápornou hodnotu nabývá pokud částice K1∗ nebo K ∗ ∈ { vcházející K ∗ + , vcházející K ∗ 0 , vycházející
K ∗ − , vycházející
√
K̄ ∗0 }, podivnost s touto částicí opět klesá. Konstanta
cπ ∈ {1, 2, −1} záleží na nábo√
jovém stavu pionu; pokud je pion nabitý cπ = 2; zápornou hodnotu nabývá pokud se
ve vertexu sejdou pouze neutrální částice. Stejným způsobem závisí na nábojovém stavu
ρ konstanta cρ . V dalším označujeme symbolem X částici z množiny X ∈ {ρ, ω, φ}.
Pro vertex částic XKK
µ
(pK1 , pK2 ) = i cK gXKK (pK1 − pK2 )µ ,
VXKK
kde
gρKK = cρ gωKK ,
ag
1
gωKK =
,
4 1 + cA
ag 1 + 2 cV
gφKK = − √
.
2 2 1 + cA
Pro vertex částic K ∗ Kπ
VKµ∗ Kπ (pK , pπ ) = i cK ∗ cπ gK ∗ Kπ (pK − pπ )µ ,
kde
gK ∗ Kπ =
ag 1 + cV
√
.
4 1 + cA
Příloha
69
Pro vertex částic XK ∗ K
VXνσν Kσ∗ K (pX , pK ∗ ) = i gXK ∗ K εµνλσ pX µ pK ∗ λ ,
kde
gρK ∗ K = cρ gωK ∗ K ,
√
1
3 a g3
,
gωK ∗ K = −
2
16π mρ 1 + cA
√
3 a g 3 1 + 2 cW Z
gφK ∗ K = − √ 2
.
8 2π mρ 1 + cA
Pro vertex částic K ∗ K ∗ π
µνλσ
pK1∗ µ pK2∗ λ ,
VKνσ1ν
∗ K ∗ π (pK ∗ , pK ∗ ) = i cπ gK ∗ K ∗ π ε
1
2
2σ
kde
gK ∗ K ∗ π
√
3 a g3
=−
(1 + 2 cW Z ).
16π 2 mρ
Pro vertex částic XK ∗ K ∗
VXµνλ
= i cK ∗ gXK ∗ K ∗
∗
∗ (pX , pK ∗ , pK ∗ )
µ K1ν K
1
2
2λ
h
i
g µν (pX − pK1∗ )λ + g νλ (pK1∗ − pK2∗ )µ + g λµ (pK2∗ − pX )ν ,
kde
gρK ∗ K ∗ = cρ gωK ∗ K ∗ ,
g
gωK ∗ K ∗ = − ,
2
g
gφK ∗ K ∗ = √ .
2
Prohození pořadí XK1∗ K2∗ libovolných dvou částic změní celkové znaménko vertexu. Je-li
vertex v amplitudě dvakrát, nehraje pak toto prohození roli.
Pro vertex částic φK ∗ Kπ
VφK ∗ Kπ = i cπ gφK ∗ Kπ ,
kde
ag 2
cV
.
gφK ∗ Kπ = − √ √
4 2 1 + cA
Pro úplnost uvedeme ještě vertex částic ρππ
µ
Vρππ
(pπ1 , pπ2 ) = i cρππ gρππ (pπ1 − pπ2 )µ ,
kde
gρππ = g
a cρππ = ±1; zápornou hodnotu nabývá tehdy, když se pro částici π1 uplatní: a) operátor
π̂ + zároveň s operátorem ρ̂0 , b) operátor π̂ − zároveň s operátorem ρ̂+ nebo c) operátor π̂ 0
zároveň s operátorem ρ̂− . Tento vertex plyne z Lagrangiánu Lρππ = −i g/2 Tr[ρµ π ∂ µ π].
70
Příloha
A.3
Rozpadové šířky K a K ∗
Z výše uvedených Lagrangiánů plyne pro parciální rozpadové šířky částice K, jako funkce
kvadrátu její invariantní hmotnosti s, následující vztahy
3a2 g 2
1
p∗ 3 (s, mK , mρ )
,
ΓK→Kρ (s) =
32π (1 + cA )2
m2ρ
a2 g 2
1
p∗ 3 (s, mK , mω )
,
32π (1 + cA )2
m2ω
a2 g 2 (1 + 2 cV )2 p∗ 3 (s, mK , mφ )
ΓK→Kφ (s) =
,
16π (1 + cA )2
m2φ
ΓK→Kω (s) =
3a2 g 2 (1 + cV )2 p∗ 3 (s, mK ∗ , mπ )
,
32π 1 + cA
m2K ∗
27ag 6
1
∗
ΓK→K ρ (s) =
p∗ 3 (s, mK ∗ , mρ ),
5
2
2
1024π mρ (1 + cA )
ΓK→K ∗ π (s) =
ΓK→K ∗ ω (s) =
9ag 6
1
p∗ 3 (s, mK ∗ , mω ),
5
2
1024π mρ (1 + cA )2
ΓK→K ∗ φ (s) =
9ag 6 (1 + 2 cW Z )2 ∗ 3
p (s, mK ∗ , mφ )
512π 5 m2ρ (1 + cA )2
a pro částici K ∗
a2 g 2 (1 + cV )2 p∗ 3 (s, mK , mπ )
,
32π 1 + cA
s
1
9ag 6
p∗ 3 (s, mK , mρ ),
ΓK ∗ →Kρ (s) =
5
2
2
1024π mρ (1 + cA )
ΓK ∗ →Kπ (s) =
ΓK ∗ →Kω (s) =
1
9ag 6
p∗ 3 (s, mK , mω ),
3072π 5 m2ρ (1 + cA )2
ΓK ∗ →Kφ (s) =
9ag 6
(1 + 2 cW Z )2 ∗ 3
p (s, mK , mφ ),
1536π 5 m2ρ (1 + cA )2
ΓK ∗ →K ∗ π (s) =
(1 + 2 cW Z )2 ∗ 3
9ag 6
p (s, mK ∗ , mπ ),
1024π 5 m2ρ
1 + cA
ΓK ∗ →K ∗ ρ (s) =
g 2 p∗ 2 (s, mK ∗ , mρ ) + 3 (m2K ∗ + m2ρ + m2K ∗ m2ρ /s) ∗ 3
p (s, mK ∗ , mρ ),
8π
m2K ∗ m2ρ
g 2 p∗ 2 (s, mK ∗ , mω ) + 3 (m2K ∗ + m2ω + m2K ∗ m2ω /s) ∗ 3
p (s, mK ∗ , mω ),
24π
m2K ∗ m2ω
g 2 p∗ 2 (s, mK ∗ , mφ ) + 3 (m2K ∗ + m2φ + m2K ∗ m2φ /s) ∗ 3
∗
∗
p (s, mK ∗ , mφ ).
ΓK →K φ (s) =
12π
m2K ∗ m2φ
ΓK ∗ →K ∗ ω (s) =
Hybnost p∗ (s, ma , mb ) je dána vztahem (2.6). Všechny rozpadové šířky souhlasí se šířkami
uvedenými v [14, příloha B] kromě třech posledních. Navíc je vzata v úvahu i rozpadová
šířka ΓK→K ∗ π (s).
Příloha B
Prohlášení a související publikace
B.1
Prohlášení autora
Prohlašuji tímto, že můj osobní přínos k společným pracím Electron-positron annihilation into four charged pions and the a1 ρπ Lagrangian a Joint description of the e+ e−
annihilation into both four-pion channels spočívá především v nezávislém zhotovení numerických procedur a samostatném provedení výpočtů.
V Opavě dne 16. června 2008.
...................................
RNDr. Josef Juráň
71
72
Příloha
B.2
Prohlášení spoluautora
Potvrzuji tímto, že přínos RNDr. Josefa Juráně k pracím Electron-positron annihilation
into four charged pions and the a1 ρπ Lagrangian a Joint description of the e+ e− annihilation into both four-pion channels je relevantní. Souhlasím s jeho prohlášením na předešlé straně a také se zahrnutím obou zmíněných prací do jeho disertační práce Interakce
mezonů v hadronovém prostředí a související procesy.
V Opavě dne 16. června 2008.
...................................
Prof. Ing. Peter Lichard, DrSc.
Příloha
B.3
73
Electron-positron annihilation into four charged
pions and the a1ρπ Lagrangian
Peter Lichard and Josef Juráň
Physical Review D 76, 094030 (2007)
arXiv: hep-ph/0601234v2
74
Příloha
PHYSICAL REVIEW D 76, 094030 (2007)
Electron-positron annihilation into four charged pions and the a1 Lagrangian
Peter Lichard1,2 and Josef Juráň1
1
Institute of Physics, Silesian University in Opava, Bezručovo nám. 13, 746 01 Opava, Czech Republic
Institute of Experimental and Applied Physics, Czech Technical University, Horská 3/a, 120 00 Prague, Czech Republic
(Received 27 January 2006; revised manuscript received 23 August 2007; published 29 November 2007)
2
The excitation curve of e e annihilation into four charged pions in the 770 region is calculated
using three existing models with mesons and pions in intermediate states supplemented by Feynman
diagrams with the a1 1260 intermediate states. A two-term phenomenological Lagrangian of the a1 interaction is used. The mixing angle is determined by fitting the e e ! cross section data
of the Novosibirsk CMD-2 Collaboration and also its combination with the low-energy part of the
BABAR Collaboration data. It is shown that the inclusion of the a1 intermediate states succeeds in
obtaining a good agreement with the data on both cross section and the 0 ! decay width.
When moving to energies above 1 GeV, the 1450 and 1700 resonances are taken into account to get
excellent agreement with the BABAR data over the full energy range up to 4.5 GeV.
DOI: 10.1103/PhysRevD.76.094030
PACS numbers: 13.30.Eg, 12.39.Fe, 13.25.Jx, 13.66.Bc
I. INTRODUCTION
The task of describing the excitation curve of the
e e ! reaction at low energies is closely
related to the investigation of the energy-dependent decay
width of the four-pion decay of 770. The validity of the
factorization of the cross section into the 770 production and decay parts is generally assumed on the basis of
the vector meson dominance (VMD) hypothesis [1]. The
assumption of factorization allows experimentalists to determine a particular partial decay width at the nominal
770 mass on the basis of measurement of the e e
annihilation cross section into the corresponding final state
at the corresponding energy. The current experimental
value
0 ! 2:8 1:4 0:5 keV
was obtained in that way [2]. In this work, we will also
assume a one-to-one correspondence between the cross
section and the energy-dependent decay width at the
same energy, ignoring the complications which may appear
if some conditions are not met [3]. Needless to say that the
evaluation of the decay width is less demanding technically
and computationally than that of the cross section (fivedimensional quadrature instead of the eight-dimensional
one in the case of four-body final states).
The cross section of the e e annihilation into the
2 2 and 20 final states was considered by
Decker, Heiliger, Jonsson, and Finkemeier [4] in conjunction with the conserved-vector-current-related decays of
the lepton. The intermediate states of their model contained 770, a1 1260, and a scalar-isoscalar two-pion
resonance. In the two-charged-two-neutral case also the
!782 was included. The a1 vertex factors were
adopted from the study of the three-pion decay of the lepton by Isgur, Morningstar, and Reader [5]. Czyż and
Kühn [6] constructed a Monte Carlo generator of the
reaction e e ! 4. The hadronic matrix elements
were used in the form suggested in [4], corrected only for
some minor deficiencies. To check the soundness of their
1550-7998= 2007=76(9)=094030(12)
approach, Czyż and Kühn calculated also the excitation
curves of the nonradiative reactions e e ! and e e ! 20 in qualitative agreement with
available data. Ecker and Unterdorfer [7,8] performed the
first calculation of the processes e e ! 4 and !
4 with the correct structure to Op4 in the low-energy
expansion of the standard model extrapolated to the resonance region. To get a good description of the e e !
cross section up to 1 GeV, they had to include
as an additional contribution the a1 exchange. They circumvented the a1 Lagrangian ambiguity by choosing a
special relation among the individual coupling constants.
The four-pion decays of the 770 are generally considered a convenient test ground of the low-energy effective theories of the interactions of mesons and pions. In
the past, several papers appeared that calculated the corresponding partial decay widths [9–13]. Moreover, Achasov
and Kozhevnikov [12,13] argued that the four-pion decay
widths of 770 are not experimentally well defined because they require the averaging over a mass interval in
which they rise rapidly. They therefore calculated, in addition to the decay widths 0 ! , 0 !
0 0 , ! 30 , and ! 2 0 ,
the e e ! reaction cross section as a function of incident energy (excitation curve) and compared it
to the CMD-2 data [2] from Novosibirsk.
With respect to the role of the axial-vector meson
a1 1260 in the four-pion decays of 0 , the situation is
somewhat controversial. On one side, the intermediate
states containing the a1 1260 were either ignored [9–13]
or shown [11] to have little influence on the four-pion
decay widths of 770.1 On the other side, the analysis
of the differential distributions of charged pions coming
1
Ecker and Unterdorfer [7,8] also included the a1 contribution
when calculating the 0 ! 4 branching fractions, but it is
impossible for us to assess its role because they did not show
results without it.
094030-1
© 2007 The American Physical Society
PETER LICHARD AND JOSEF JURÁŇ
from the e e annihilation in the energy range 1.05–
1.38 GeV demonstrated the dominance of the a1 1260
intermediate states [14]. Given the large width of a1 1260
(a1 250 to 600 MeV [15]) it would be surprising if the
role of the a1 -meson diminished so fast outside the above
range, which is not too far from the 770 mass.
Moreover, the a1 1260 meson was shown to be important
in the four-pion decays of the -lepton [4,16,17], which are
in a sense isospin counterparts of the four-pion final states
in the e e annihilation. Recently, the paper of Achasov
and Kozhevnikov appeared [18] that included the intermediate states with the a1 meson using the generalized
hidden local symmetry model [19]. This increased the
0 ! 2 2 decay width from 0.94 keV to 1.59 keV
assuming the nominal mass of the a1 resonance, see Table I
in [18]. Unfortunately, the authors of [18] do not provide
the comparison with the e e ! 2 2 cross section,
which has a greater discriminatory value than the decay
width alone [12,13].
The present work was triggered by our interest in the
electromagnetic probes in relativistic heavy-ion collisions.
The production of prompt dileptons and photons has for a
long time been considered a powerful tool for investigating
the properties of dense systems created in the hadronic and
nuclear collisions [20,21]. The interest of the heavy-ion
community in dilepton production has recently been
boosted by very precise dimuon data by the CERN/NA60
Collaboration [22]. The prompt dileptons and photons can,
in principle, originate from two sources: (i) quark-gluon
plasma and (ii) hadron gas. The theoretical calculations of
the dilepton and photon yield from the latter are hampered
by the not uniquely known Lagrangian of the a1 interaction [23,24]. We suggest one way to relieve this problem
and make the predictions of the dilepton and photon production from hadron gas more reliable. The results of the
present work have already been utilized [25] in the evaluation of the dimuon production rate in In-In collisions at
158 A GeV.
A way of narrowing the uncertainty interval in dilepton
production from the hadron gas was advocated a long time
ago by Li and Gale [26]. They checked the feasibility of the
dilepton rate calculation in, e.g., !0 collisions, by comparing the inverse process (e e annihilation into the !0
final state) with the available experimental data. Li and
Gale also considered the e e annihilation into four pions
in the narrow a1 width approximation, i.e., as process
e e ! a1 . In the present work we handle it as a genuine four-final-pion process, considering not only the a1 intermediate states but also other intermediate states following from various models based on the chiral perturbation theory.
In this paper we investigate the role of the a1 1260
resonance in the e e annihilation into four charged pions
and in the four-charged-pion decays of 770 in more
detail. We supplement three existing models, which con-
sider only and in intermediate states (diagrams (a) and
(b) in Fig. 1), with the a1 contribution (diagrams (d) in
Fig. 1). Those three models are (1) the model of Eidelman,
Silagadze, and Kuraev [10], (2) one of the models considered by Plant and Birse [11], and (3) the model of Achasov
and Kozhevnikov [12,13]. We will consider only the final
state with all charged pions, for which the experimental
data are best. The difference between the approach of
Achasov and Kozhevnikov [18] and ours lies mainly in
the a1 Lagrangian. In [18], the generalized hidden local
symmetry Lagrangian was chosen, whereas we choose a
more phenomenological two-term Lagrangian, which is
often used in a different branch of the particle physics.
Its individual terms and their specific combinations appeared in many papers computing the dilepton and photon
production rate from a thermalized meson gas. In this
paper we consider the mixing angle between the two terms
as a free parameter and will determine its value by fitting
the excitation curve of the e e ! reaction.
In order to evaluate the amplitude induced by the eight
diagrams of Fig. 1(d) we have to choose a Lagrangian of
the a1 interaction. For this choice, there are basically
two approaches in the literature. One explores well-defined
theoretical concepts to build dynamical models, the free
parameters of which are then fixed by comparison with
observed masses and decay widths. See, e.g., Refs. [23,27–
34].
In other, more phenomenological, approaches the authors simply chose for the a1 Lagrangian various ex-
FIG. 1. Selected Feynman diagrams describing decay 0 !
094030-2
ELECTRON-POSITRON ANNIHILATION INTO FOUR . . .
pressions built from the field operators and compatible
with the fundamental conservation laws. Such
Lagrangians, after fixing their coupling constants, were
then used to calculate various observable quantities, see,
e.g., [35–38]. In some approaches [5,39], the vertex factors
were written directly without showing the corresponding
Lagrangian. From the fact that different authors pick different Lagrangians one might get the impression that the
choice of Lagrangian is not very important and that various
Lagrangians lead to identical, or at least similar, results.
This is not true, and the observable quantities may be very
sensitive to the choice of the a1 Lagrangian, as was
demonstrated, e.g., by Song [23]. The discussion of the a1
phenomenology with emphasis on the photon and dilepton
production from a hot meson gas can be found in Ref. [24].
With so many a1 effective Lagrangians, it is interesting to learn which Lagrangian is preferred experimentally.
This would require constructing a general Lagrangian with
a set of free parameters and fixing them by comparing all
possible observables with the existing data. Of course, such
a program is very ambitious. In this paper we are going to
do something much simpler. Below, we choose a twocomponent Lagrangian and determine its two free parameters by requiring that the decay width of a1 1260 be
reproduced and the best possible fit obtained for the excitation curve of the e e ! reaction. Even
this restricted program cannot be accomplished completely. First, the width of a1 1260 is not reliably known.
We will consider three values from the range given in the
Particle Data Group tables [15], namely, 250, 400, and
600 MeV. Second, the result of the fit will depend also
on the basic and intermediate state model to which we
add the a1 contribution. Nevertheless, we will show that
the inclusion of the a1 intermediate states is necessary for
obtaining good agreement with the e e ! excitation curve.
Following the suggestion of T. Barnes [40] we also
include the ratio of the D-wave and S-wave amplitudes
of the a1 ! decay as a fitted quantity. The importance
of the D=S ratio for selecting among the a1 Lagrangians
was stressed in a different context in [24]. We use the
experimental value D=S 0:14 0:11 [41], which
was obtained by genuine partial wave analysis of the
reaction p ! p. We consider the other values
which exist in literature strongly model biased. They were
obtained by fitting the three-pion mass spectrum in the
decay ! 3 using the model of Isgur, Morningstar,
and Reader [5] and then calculating the D=S ratio from the
optimal parameters of the model.
II. ORIGINAL MODELS, MODIFICATIONS, AND
ADDITIONS
As we already stated, we will complement three existing
models of the four-pion decays, which consider only intermediate states with mesons and pions, with the inter-
mediate states containing the axial-vector resonance
a1 1260. We must admit that our choice of models is
rather arbitrary. Moreover, we took the models as they
appeared in the literature and did not check their compatibility with chiral symmetry and with the constraints on
coupling of resonances to the pions [42,43].
Those three models are characterized below.
A. Model of Eidelman, Silagadze, and Kuraev (ESK)
This model [10] is based on the effective chiral
Lagrangian by Brihaye, Pak, and Rossi [44], which was
investigated also in [45]. It follows from that Lagrangian
that all (a) and (b) diagrams depicted in Fig. 1 contribute to
the 0 ! decay rate. Their amplitudes (in
the notation slightly different from ours) are shown in the
paper. Our usage of this model will differ from the original
paper in three respects: (1) We add a1 diagrams of
Fig. 1(d). (2) We use a different value of the parameter
k , defined in [10]. Instead of 0.55 we set k 0:5, which
follows from the Kawarabayashi-Suzuki-RiazuddinFayyazuddin (KSRF) relation [46], to be in conformity
with other two models. (3) We replace the scalar part of
the -meson propagator with fixed mass and fixed width by
the prescription
P s s
M2 s
i
;
im s
(2.1)
which uses the running mass squared M2 s and the
energy-dependent total width s from Ref. [47].
The last point deserves more comments. The denominator of our propagator (2.1) is an analytic function in the s
plane with a cut running from 4m2 to infinity, as required
by general principles. This property differs (2.1) from most
of the formulas used in the literature. The real function
M2 s is calculated from s using a once subtracted
dispersion relation, which guarantees that the condition
M2 m2 m2 is satisfied. A further condition
dM2 s 0
(2.2)
ds sm2
is not fulfilled automatically and serves as a test that all
important contributions to the total -meson width s
have properly been taken into account. See [47] for details.
If we replace the m accompanying s in Eq. (2.1) by
p
s, as it is done in some existing formulas, the condition
(2.2) cannot be satisfied for any reasonable choice of s.
The running mass approach [47] takes into account, in
addition to the basic two-pion decay channel, several
channels (!0 , K K , K 0 K 0 , and ) which open
as the resonance goes above its nominal mass. It also
considers structure effects described by the strong form
factors. In these two respects it differs from other approaches that appeared in the literature [48–50].
Gounaris and Sakurai [48] considered only the two-pion
094030-3
0
contribution to the total width of the resonance and
ignored structure effects. Vaughn and Wali [49] took into
account the strong form factor, but again ignored higher
decay channels. Melikhov, Nachtmann, Nikonov, and
Paulus [50] included the K K and K 0 K 0 channels, but
did not consider the strong form factors.
We will use the propagator (2.1) not only in conjunction with the ESK model, but also with the other ones. This
is the main reason why our results calculated within the
original models (i.e., without the a1 intermediate states)
and presented below differ slightly from the results quoted
in the original papers.
B. One of the models of Plant and Birse (PB/HG)
Plant and Birse [11] investigated several models of the
four-pion decays of 0 770. One of them (labeled HG) is a
corrected version of the model by Bramon, Grau, and
Pancheri [9], which was based on the hidden gauge theory
of Bando et al. [51]. The 22 contact terms, see
diagram (b1) in Fig. 1, are missing in this approach. The
amplitude of the (a1) diagram is different from that in work
by Eidelman, Silagadze, and Kuraev [10] by a factor ( 1=2). The amplitudes of (a2) and (b2) diagrams are equal to
their ESK counterparts.
C. Model of Achasov and Kozhevnikov (AK)
Achasov and Kozhevnikov [12,13] studied the four-pion
decays of 770, five-pion decays of !782, and the
processes related to them. Namely, the e e annihilation
into the four- and five-pion final states and the four-pion
decays of the lepton. They used the Weinberg Lagrangian
[52] obtained upon the nonlinear realization of chiral symmetry. From their rather extensive work we adopt their
prescriptions for the amplitudes (a1), (a2), and (b2) of
the 0 ! decay. The contact amplitude
(b1) is again vanishing. Achasov and Kozhevnikov used
a fixed-mass, variable-width formula for the -meson
propagator.
D. a1 Lagrangian and the amplitude of the diagrams
containing the a1 meson
We choose the following interaction among the a1 , ,
and fields
ga L p1 L1 cos L2 sin;
(2.3)
2
where ga1 and are yet undetermined parameters,
L 1 A V @ ;
(2.4)
L 2 V @ A ;
(2.5)
and V @ V @ V . The isovector composed of the
-meson field operators is denoted by V , similar objects
for and a1 are and A , respectively. We write
1
1 p c yc ;
2
i
2 p c yc ;
2
3 n ;
and assume that c contains the annihilation operators of
the positive pion and creation operators of the negative
pion. n is the operator of neutral pion field.
A specific combination of terms (2.4) and (2.5) appeared
in the pioneering work by Wess and Zumino [27]. Term
(2.4) alone was used by Xiong, Shuryak, and Brown [39] in
their study of the photon production from meson gas.
Janssen, Holinde, and Speth [37] picked the term (2.5)
when they evaluated the amplitude of the scattering.
Another combination of (2.4) and (2.5) appeared in the
calculation of dilepton production from meson gas by
Song, Ko, and Gale [53].
The Lagrangian (2.3) leads to the following factor for the
0
vertex in which an incoming a
1 (index ), an outgoing (index ), and an outgoing meet
ga V pa1 ; p ; p p1 fcosp p
p p g
2
sinp p
g:
a1 pa1 p g
(2.6)
0 The a
vertex acquires an extra minus sign. The
1 0 evaluation of the decay rate of a
1 ! using vertex
(2.6) is straightforward.
a1 !0 g2a1 1=2 m2a1 ; m2 ; m2 Rm2a1 ; m2 ; m2 ;
192m3a1
(2.7)
where
x; y; z x2 y2 z2 2xy 2xz 2yz
and
y
Rx; y; z x y z2 x y z2 cos2 2x
2x z2 yx z 2y
cos sin
x y z2 2xy
sin2 :
If we assume the charge independent a1 coupling constant and masses of and a1 , the width of the decay a
1 !
0 is obtained from (2.7) by changing just the pion
mass. Formula
a1 a1 !0 a1 ! 0
(2.8)
enables us to find the coupling constant ga1 for given a1
and sin. Because each of the diagrams of Fig. 1(d) contains two a1 vertices, the overall sign of the Lagrangian
(2.3) is not important and we can assume a non-negative
cos.
A question arises whether the narrow -width approximation used above is accurate enough for the purpose of
determining the ga1 coupling constant. Achasov and
094030-4
Kozhevnikov [18] showed that the a1 decay width calculated as a1 ! came out larger than that calculated
as a1 ! 3 using the same coupling constant ga1 .
We have examined this issue, too, using our twocomponent Lagrangian (2.3) and got that the a1 !
3=a1 ! ratio is smaller than unity (like in [18])
for sin & 0:2 and sin * 0:65. In the remaining interval,
which contains all the values of sin that will be met in our
calculations, this ratio is greater than one. Moreover, we
have found that if one takes into account the strong form
factors in the a1 and vertices, the results of both
approaches become almost identical. This can be explained
as follows. According to the Kokoski and Isgur [54] formula, which will be shown later, the strong form factor in a
particular decay vertex is a decreasing function of the
three-momentum of an outgoing particle in the rest frame
of the parent particle. In the a1 ! 3 decay the intermediate mass of is mostly smaller than its nominal mass,
which means higher momenta of particles emerging from
the a1 vertex. In addition, the a1 ! 3 width is further
reduced by the form factor in the vertex.
Let us now turn to the amplitude of the a1
diagrams in Fig. 1(d) for the decay 0 p !
p1 p2 p3 p4 . We first introduce the notation
qi p pi ;
sij r2ij ;
rij pi pj ;
(2.9)
and then write the amplitude in the form
M d Jd; ;
0
where is the polarization vector of the decaying and
Jd; 1 P12 P34 1 P14 1 P23 V q4 ; p; p4 P
a1 q4 V q4 ; r12 ; p3 g p2 p1 P s12 :
Here, Pij denotes the operator that interchanges fourmomenta pi and pj . The axial-vector meson propagator
P
a1 q i
g
1
m2a1
q q
q2 m2a1 ima1 a1
(2.10)
is chosen in a simple fixed-mass, fixed-width form. Here,
we are going to consider the four-pion system with invariant energies less than 1 GeV. The invariant mass of the
p
three-pion system, which is equal to q2 , is thus limited by
0.86 GeV. Achasov and Kozhevnikov [18] showed that the
a1 decay width is negligible in that energy range. Referring
to their finding we set a1 0 in Eq. (2.10). The scalar part
of the propagator is again used in the form (2.1).
E. Technicalities
The complete amplitude of the 0 ! decay is
M J ;
(2.11)
0
where is the polarization vector of the decaying and
J Ja; Jb; Jd; :
Four-vectors Ja; and Jb; describe the contributions from
(a) and (b) diagrams in a particular model and Jd; is the
contribution from (d) diagrams. The sum over the -meson
polarizations of the amplitude (2.11) squared is given by
X
p p
jM j2 g (2.12)
J J :
2
m
This formula is more complicated than that used in [10],
because the four-vectors Ja; and Jb; of PB/HG and AK
models do not satisfy the transversality condition J p 0. We used the algebraic manipulation program REDUCE
[55] to express the sum (2.12) in terms of six invariants sij ,
i < j, j 2, 3, 4 defined in (2.9). Of course, only
P five of
them are independent and we used the identity i<j sij m2 8m2 for the checks in the process of evaluation of
the decay width. When calculating the excitation curve, m2
is replaced by s, the square of the incident energy.
When calculating the decay width of an unpolarized
parent particle, we may take advantage of the spherical
symmetry of the problem and choose the following kinematic configuration: (1) The parent particle a is at rest.
(2) The summed momentum p12 of particles 1 and 2 points
in the direction of the z axis. (3) The individual momenta
p1 and p2 lie in the xz plane. Then the following formula,
written in a general case with arbitrary masses and spins, is
valid:
Z ma m3 m4
Z ma m12
N
dm12 p1
dm34 p12 p3
6
2
162 ma m1 m2
m3 m4
Z1
Z 2
Z1
d cos1
d cos3
d’3 jMj2 :
(2.13)
1
1
0
The last quantity is the amplitude squared, averaged over
the initial spin states, and summed over the final spin states.
The factor N takes into account the identity of the final
particles and equals 1=4 in our case. The asterisk denotes
the momentum in the corresponding
rest frame (1–2 or 3–
p q2
4), p jpj, and mij sij pi pj .
For evaluation of the integrals in (2.13) we used a
sequence of the five one-dimensional Gauss-Legendre
quadratures of the 16th order. We prefer this method to
Monte Carlo integration because we use the result of the
integration in a minimization procedure and therefore we
require that the same value of the optimized variable
(Lagrangian mixing angle) yield always the same value
of the minimized function, which would not be satisfied
with the Monte Carlo integration. Nevertheless, we
checked our computer code by evaluating the decay width
for a particular value of the mixing angle using a com-
094030-5
pletely independent code based on the Monte Carlo
method.
To convert the calculated decay width into the cross
section, we start with the formula
s
s:
4 s s 4
Using
s 2
4m2 3=2
1 jF sj2 ;
3s
s
where F s is the contribution of the resonance to the
pion form factor, and
g2 W
4m2 3=2
s 1 s
48
p
with W s, we arrive at
4 2 1
4 s jF sj2 4 s:
(2.14)
g
W3
We further use the VMD expression for the dielectron
decay width of 0
4m 2
e e (2.15)
g
3
and get
4 s 12e e
jF sj2 4 s:
m W 3
(2.16)
If we set, following Achasov and Kozhevnikov [13],
F s m2
;
D s
(2.17)
where the inverse -meson propagator D s is defined in
Eq. (2.2) of [13], we reproduce their Eq. 3.1.
In our opinion, Eq. (2.16) overestimates the cross section
if the experimental value of e e is used. The reason is
that the dielectron decay width calculated from (2.15) is
smaller than the experimental value. We will therefore
stick with formula (2.14).
We utilize the scalar part of the -meson propagator
(2.1) to write our ansatz for the -meson contribution to the
pion form factor
F s M2 s
M2 0
:
s im s
(2.18)
As shown in [47], this formula gives the correct value of
the mean square radius of the pion. The form factor (2.17)
fails in this test.
For the coupling constant we use the same value as in
[11–13], namely g 5:89. This value is compatible with
what follows from the KSRF relation [46] (5:900 0:011).
Both values are a little lower than g 6:002 0:015
calculated from the -meson width.
III. LOW-ENERGY RESULTS (W < 1 GeV)
We deal with the excitation curves of the reaction
e e ! calculated in three different models
(ESK, PB/HG, AK) supplemented with the a1 diagrams in
Fig. 1(d). We first fit them to the CMD-2 data [2] by
varying the sine of the mixing angle , defined in (2.3),
for the three fixed values of the width of the a1 1260
meson. We did not consider the first two points in the
CMD-2 data, because they give only upper bounds of the
cross section. The ratios of the usually defined 2 to the
number of degrees of freedom (NDF), which characterize
the quality of the fit, are shown in Table I. The last row in
Table I shows the values of 2 =NDF that indicate how well
(or badly) the original models without a1 agree with the
data. No free parameter is involved in the latter case.
Table I shows that the ratio 2 =NDF is always greater
than one. In what follows, we shall therefore multiply the
statistical errors of the quantities obtained in the process of
minimization by the square root of that ratio.
The inspection of Table I shows that the inclusion of the
a1 contribution greatly improves the agreement with the
data. The interference between the original diagrams and
the new ones is important, the results of the combined
model are better than those of the a1 diagrams alone.
The best results (lowest 2 ) are obtained with the AK
model supplemented with the a1 intermediate states.
To investigate the sensitivity of our results to the input
data, we combine the CMD-2 data [2] and the low-energy
(s < 1 GeV2 ) part of the BABAR data [56] (BABAR-LE
in what follows) into a new set and repeat the calculations.
The results are shown in Table II. Their comparison with
the results obtained from the CMD-2 data alone shows two
important differences: (i) The agreement of all models with
data, characterized by 2 =NDF, is now better. It indicates
that the CMD-2 and BABAR-LE data are compatible, so
the increased number of data points does not bring proportional increase of 2 . (ii) Whereas merging of the a1
diagrams with the PB/HG or AK model improves the fit,
adding the ESK model diagrams to the pure a1 contribution
leads to the opposite effect.
Next, we add the D=S ratio [41] to the set of fitted
experimental values and repeat the calculations. The reTABLE I. 2 =NDF of the fits to the CMD-2 cross section data
(11 data points).
a1 (MeV)
ESK [10]
PB/HG [11]
AK [12,13]
Only a1
250
400
600
Only , 1.60
1.53
1.61
17.6
1.34
1.37
1.41
15.0
1.28
1.30
1.31
14.8
1.68
1.82
1.94
094030-6
2
TABLE II. =NDF of the fits to the combined CMD-2 and
BABAR-LE cross section data (27 data points).
a1 (MeV)
ESK [10]
PB/HG [11]
AK [12,13]
Only a1
250
400
600
Only , 1.42
1.48
1.55
9.4
1.20
1.21
1.22
10.4
1.19
1.18
1.19
10.3
1.32
1.39
1.44
TABLE III. 2 =NDF of the fits to the CMD-2 and BABAR-LE
cross section data and to the D=S ratio (28 data points).
a1 (MeV)
250
400
600
ESK [10]
PB/HG [11]
AK [12,13]
Only a1
3.66
1.98
1.65
1.95
1.34
1.20
1.99
1.33
1.18
1.96
1.48
1.41
sults are shown in Table III. The salient feature of those
results is a clear preference of the highest assumed value
(600 MeV) of the total a1 width.
In Figs. 2 – 4, we show the comparison of the combined
set of data with the excitation curves calculated in all three
models supplemented with the a1 diagrams in Fig. 1(d).
The same comparison for the a1 diagrams alone is depicted
in Fig. 5.
In Table IV we can see the values of sin together with
their errors (defined in the usual way [57]) obtained from
the fit to the CMD-2 and BABAR-LE cross section data
and to the D=S ratio. As we mentioned above, three differ-
FIG. 2. Excitation curves calculated in the original (without a1
meson) and expanded ESK model compared to the CMD-2 and
BABAR-LE data. The D=S ratio was also used in fit.
meson; dash-dotted curve close to the abscissa) and expanded
PB/HG model compared to the CMD-2 and BABAR-LE data.
The D=S ratio was also used in fit.
ent values of the a1 1260 width are assumed. Table V
compares the experimental value of the 0 !
decay width [2] with the results obtained
meson; dash-dotted curve close to the abscissa) and expanded
AK model compared to the CMD-2 and BABAR-LE data. The
D=S ratio was also used in fit.
094030-7
virtual photon and then convert into four pions. We include
two resonances: 0 1450 and 00 1700. We assume that the decay of those resonances into four pions is
governed by the same Feynman diagrams as that of 770,
with all coupling constants scaled by the same factor
(different for 0 and 00 ). This assumption implies that
the four-pion decay widths of 0 and 00 have the same
shape in W as that of 770. They only differ from it by
constant factors. The simplifying assumption we have
made allows us to use the same cross section formula
(2.14) as in the low-energy case, with F s replaced by
Fs F s F0 s F00 s;
(4.1)
where F s differs from (2.18) by including also
0 ! s into the total decay width of 770,
F s 0
FIG. 5. Excitation curves calculated from the a1 diagrams
only, compared to the CMD-2 and BABAR-LE data. The D=S
ratio was also used in fit.
TABLE IV. Values of sin from the fit to the CMD-2 and
BABAR-LE data and to the D=S ratio.
a1 (MeV)
ESK [10]
PB/HG [11] AK [12,13]
250
400
600
0.4092(33)
0.4352(24)
0.4659(27)
0.4278(32)
0.4624(34)
0.5046(44)
Only a1
0.4267(32) 0.4312(35)
0.4608(32) 0.4679(39)
0.5022(41) 0.5132(55)
TABLE V. Decay width 0 ! (keV) calculated in various models using sin from the fits to the CMD-2
and BABAR-LE data and to the D=S ratio. Experimental value is
2:8 1:4 0:5 keV [2].
a1 (MeV)
ESK [10]
PB/HG [11]
AK [12,13]
Only a1
250
400
600
Only , 4.28(01)
2.81(01)
1.94(02)
16.2
3.16(25)
3.55(28)
3.77(30)
0.59
2.70(23)
3.03(26)
3.22(27)
0.89
4.52(30)
5.08(32)
5.39(37)
from various models under the same conditions. The results for both quantities obtained with other data sets
(CMD-2 only, CMD-2 and BABAR-LE) are very similar.
When we want to get a good description of the data on
the e e annihilation to four charged pions at energies
above 1 GeV, we should consider also the contribution
from diagrams where higher resonances couple to the
m20 s im0 0
;
(4.2)
and a similar expression holds also for F00 s. Constants and not only include the coupling constants’ modification
factors mentioned above, but also account for the fact that
the couplings of 0 and 00 to photon differ from that of
770, which is fixed by VMD. Unknown complex parameters and will be determined, together with the
masses and widths of 0 and 00 and other two parameters
mentioned later on, by fitting the experimental excitation
function.2
Another effect that has to be taken into account when
dealing with higher energies is connected with the structure of the strongly interacting particles. Our decay amplitudes have been derived under the assumption that the
pions, ’s, and a1 ’s, are elementary quanta of the corresponding quantum fields. But this assumption is justified
only when their mutual interaction is soft. When the momenta of the mesons which enters a specific interaction
vertex get higher, the contribution of that vertex to the
amplitude becomes smaller than in the case of the pointlike
participants. This effect is usually described by strong form
factors. Given the present status of the strong interaction
theory, we have to turn to models. For example, in the
chromoelectric flux-tube breaking model of Kokoski and
Isgur [54], the vertex describing a two-body decay is
modified by the factor expfp2 =122 g, where p is
the three-momentum magnitude of the decay products in
the parent particle rest frame and 0:4 GeV. For decay
of the meson with a (non-nominal) mass W into two on2
IV. HIGH-ENERGY RESULTS (W UP TO 4.5 GeV)
m20
When we replaced (2.18) by (4.1) in the low-energy region
and kept the form-factor parameters as determined in the highenergy fit, we got the results that differed slightly from those in
Sec. III. If we varied also those parameters when fitting the lowenergy data, they acquired unphysical values (masses of 0 and
00 around 1 GeV). It may signify that some contribution
important at low energies (scalar resonances) is still missing in
our approach.
094030-8
mass-shell pions, this form factor can be written as
s s0
FKI s exp ;
(4.3)
482
where s W 2 and s0 is the threshold value of s (4m2 in the
two-pion decay). The complete amplitude of the four-pion
decay of 0 contains many vertices, some of them with
more than three incoming/outgoing particles. Applying the
Kokoski-Isgur factor to each of them would be cumbersome and would require additional assumptions in the case
of more complicated vertices. We will therefore assign an
‘‘effective’’ strong form factor of the form (4.3) to the
complete amplitude of the decay 0 ! , but
with s0 16m2 . When fitting the experimental excitation
curve, will be considered as another parameter. With the
masses and widths of 0 and 00 , complex parameters and
, and with the sine of the mixing angle there are ten real
parameters to be determined by fitting the e e !
cross section data of the BABAR
Collaboration [56].
In the following, we assume the a1 decay width of
600 MeV, for which the results of all models at energies
below 1 GeV were best. The same value was used in the a1
propagator (2.10).
The resulting optimized values of the parameters listed
above and their MINUIT [57] errors are shown in Table VI
for the three different models supplemented with the a1 intermediate states and for the latter alone. Mutual comparison of the 2 =NDF ratios clearly shows that the presence of the a1 intermediate states is crucial for obtaining
good agreement of the calculated excitation curve with
data. They provide a good fit even if taken alone. Adding
the diagrams with ’s and ’s in the intermediate states
does not change the quality of the fit if their amplitudes are
taken from the PB/HG and AK models. On the other hand,
the inclusion of the amplitudes of the ESK model brings
some deterioration of the fit. The values of parameter do
not differ very much from the value advocated in [54] for
the three-line vertices, which indicates that the effectivestrong-form-factor approach we have chosen (4.3) is reaTABLE VI. Results of the fit to the BABAR cross section data
and to the D=S ratio (145 data points) for a1 600 MeV.
Model
2 =NDF
ESK [10]
PB/HG [11]
AK [12,13]
Only a1 1.21
1.12
1.12
1.12
sin
0.4474(22)
0.4592(28)
0.4588(27)
0.4603(28)
(GeV)
0.3505(89)
0.3665(97)
0.3657(97)
0.3695(98)
m0 (GeV)
1.419(12)
1.439(13)
1.438(13)
1.442(13)
0 (GeV)
0.564(20)
0.568(21)
0.568(21)
0.566(21)
Re
0.1038(41)
0.1145(51)
0.1144(51)
0.1149(53)
Im
0:03911
0:01912 0:02112 0:01513
m00 (GeV)
1.903(21)
1.923(24)
1.922(24)
1.926(24)
00 (GeV)
0.247(38)
0.284(44)
0.283(44)
0.290(45)
Re
0:001611 0:000217 0:000317
0.0002(18)
Im
0:0037394 0:005412 0:005412 0:005613
FIG. 6. Theoretical excitation curve compared with the
BABAR data [56]. The D=S ratio was also used in fit. The result
of the pure a1 model is shown. The other models combined with
a1 intermediate states provide almost identical curves.
sonable. The values of the sine of the mixing angle are
somewhat lower than those at low energies. The central
values of the masses and widths of 0 and 00 are a little
different from those listed in [15], but differences are
acceptable keeping in mind relatively large errors.
The graphical comparison of the excitation curve calculated from the model containing only the diagrams with the
a1 intermediate states, shown in Fig. 1(d), with experimental data [56] is presented in Fig. 6. The excitation
curves of other models (ESK, PB/HG, AK) combined
with the a1 contribution differ only slightly and are not
shown.
V. CONCLUSIONS AND COMMENTS
Our low-energy results show that the inclusion of the
a1 intermediate states is of vital importance for obtaining
a good agreement with the experimental data on the cross
section of the reaction e e ! as a function
of the incident energy (see Tables I, II, and III or Figs. 2 –
4,). The 2 =NDF ratio gets much smaller if a particular
model is supplemented with the diagrams containing the a1
resonance in the intermediate states. Viewing from another
perspective, the pure a1 model provides relatively good
agreement with the cross section data, much better than
each of the three models without the a1 intermediate
states. (See Tables mentioned above and Fig. 5.) Adding
the diagrams from the original models to the pure a1 model
improves the fit in the case of the PB/HG and AK models,
but worsens it in the case of the ESK model. Unfortunately,
094030-9
2
the =NDF ratio remains greater than one everywhere. It
may be the consequence of our ignoring some important
contributions, perhaps those with a scalar resonance considered in [4,6]. The original models ESK, PB/HG, and AK
do not contain any scalar resonances. We also have not
included them as our main concern was the role of the a1
resonance. It is also possible that the a1 Lagrangian
should contain more terms than considered in (2.3).
Using the D=S ratio as an additional data point is
important. It can discriminate among various models. In
our case it increases the separation of the ESK model from
the others. It also strongly prefers larger values of the
assumed a1 width. In calculations without the D=S ratio
we were able to find a value of sin for each a1 that led to
an acceptable fit to the e e ! 2 2 cross section.
However, the lowest value of a1 is excluded if we add the
D=S ratio to the fitted data (see Table III).
As to the partial decay width of 0 ! , the
conclusion is not so categorical. Two models (PB/HG and
AK) in their original forms provided results that were a
little smaller, but did not contradict strongly the experimental value with its large errors. Only the original ESK
model gave too large a figure, which was in a clear disagreement with the experimental value. The inclusion of
the a1 intermediate states brought all values into the
interval given by the experimental value and its errors
summed linearly, see Table V. It must be said that the
pure a1 model gives the decay widths that are close to
the one-sigma upper limit or even beyond it.
We originally hoped that our study would tell us the
form of the a1 Lagrangian. But with respect to the
a1 Lagrangian, no clear picture can be inferred from
the low-energy results yet. The optimal values of the sine
of the mixing angle, see Table IV, are from a broad interval
and depend not only on the choice of the original model to
which the a1 diagrams are added, but also on the assumed
value of the a1 width. The optimized values of sin
squeeze into interval 0:40; 0:51.
The quality of the fit over the whole energy range of the
BABAR experiment [56], as measured by the 2 =NDF
ratio, seems to be better than that at low energies. But a
more careful investigation in terms of the confidence level,
which takes into account 2 and NDF separately, shows
equal quality of those two fits. The values of sin are
compatible with those found at low energies, sin 2
0:41; 0:47 (lower boundary is obtained from the fits
where a1 250 MeV was used). They occupy a narrower
interval, what can be explained by lesser importance of
subdominant diagrams with only and mesons in the
intermediate states.
It is interesting to compare our estimates of the mixing
parameter sin, defined in Eq. (2.3), with its values that
have been used so far, see Table VII. The values in the first
and fifth row simply reflect the fact that Lagrangians in
Refs. [37–39] contained just one term. The remaining rows
TABLE VII. Survey of the mixing parameter sin for various
versions of two-component a1 Lagrangian (2.3) that appeared
in literature.
No.
1
2
3
4
5
sin
Reference
0
0.2169
0.5582
0.6308
1
0.40 – 0.51
0.41– 0.47
[38,39]
[23,24,53]
[58]
[23,24,59]
[37]
Our low-energy fits
Our all-energy fits
refer to various sets of four fundamental parameters (m0 , g,
, and ) of the model in which the vector and axial-vector
mesons were included as massive Yang-Mills fields of the
SU2 SU2 chiral symmetry [23]. The model built on
previous works [28–30]. Our mixing parameter is related
to the parameters 1 and 2 of that model, which can be
expressed in terms of the four fundamental parameters
using Eqs. (2.9) and (2.10) in [23]. The formula is very
simple:
2
sin q
:
21 22
In [23], the fundamental parameters of the massive YangMills model were determined using the experimental values of the masses and width of the and a1 mesons. This
procedure is not unique; there are two solutions. The
corresponding mixing parameter is shown in the second
and fourth row of Table VII. Row 3 corresponds to an
ad hoc choice of fundamental parameters made in [58].
The last two rows show the range of our results obtained
from various models (ESK, PB/HG, AK) and various
assumed values of a1 (250, 400, and 600 GeV).
Unfortunately, there is no overlap with the rows above.
The issue definitely requires more attention. The phenomenological models may be improved by including other
intermediate states, perhaps those with scalar resonances.
The parameters of the massive Yang-Mills model may be
tuned by using richer experimental input (a1 ! and
D=S ratio as in [24,32]) and more realistic formulas for
relating theoretical parameters to experimental quantities,
e.g., calculating the a1 width as a1 ! 3 instead of a1 !
.
Our failure to obtain a more precise value of the mixing
angle of the a1 Lagrangian suggests that it is necessary
to make a simultaneous fit to data about several physical
processes. The natural candidates are the e e annihilation into various four-pion final states, the decay of the lepton into neutrino and three or four pions, and the exclusive hadronic reactions of the type investigated, e.g., in
[37].
094030-10
ACKNOWLEDGMENTS
P. L. is indebted to David Kraus for useful discussions.
We thank Professor T. Barnes for useful correspondence.
This work was supported by the Czech Ministry of
[1] Y. Nambu, Phys. Rev. 106, 1366 (1957); W. R. Frazer and
J. R. Fulco, Phys. Rev. Lett. 2, 365 (1959); J. J. Sakurai,
Ann. Phys. (N.Y.) 11, 1 (1960); Y. Nambu and J. J.
Sakurai, Phys. Rev. Lett. 8, 79 (1962); 8, 191(E) (1962);
M. Gell-Mann, D. Sharp, and W. Wagner, ibid. 8, 261
(1962); J. J. Sakurai, Currents and Mesons (University of
Chicago Press, Chicago, IL, 1969).
[2] R. R. Akhmetshin et al., Phys. Lett. B 475, 190 (2000).
[3] P. Lichard, Acta Phys. Slovaca 49, 215 (1999).
[4] R. Decker, P. Heiliger, H. H. Jonsson, and M. Finkemeier,
Z. Phys. C 70, 247 (1996).
[5] N. Isgur, C. Morningstar, and C. Reader, Phys. Rev. D 39,
1357 (1989).
[6] H. Czyż and J. H. Kühn, Eur. Phys. J. C 18, 497 (2001).
[7] G. Ecker and R. Unterdorfer, Eur. Phys. J. C 24, 535
(2002).
[8] G. Ecker and R. Unterdorfer, Nucl. Phys. B, Proc. Suppl.
121, 175 (2003).
[9] A. Bramon, A. Grau, and G. Pancheri, Phys. Lett. B 317,
190 (1993).
[10] S. I. Eidelman, Z. K. Silagadze, and E. A. Kuraev, Phys.
Lett. B 346, 186 (1995).
[11] R. S. Plant and M. C. Birse, Phys. Lett. B 365, 292 (1996).
[12] N. N. Achasov and A. A. Kozhevnikov, Phys. Rev. D 61,
077904 (2000).
056011 (2000).
[15] W.-M. Yao et al., J. Phys. G 33, 1 (2006).
[16] A. E. Bondar, S. I. Eidelman, A. I. Milstein, and N. I. Root,
Phys. Lett. B 466, 403 (1999).
[17] K. W. Edwards et al., Phys. Rev. D 61, 072003 (2000).
034015 (2005); Yad. Fiz. 69, 314 (2006) [Phys. At. Nucl.
69, 293 (2006)].
[19] M. Bando, T. Fujiwara, and K. Yamawaki, Prog. Theor.
Phys. 79, 1140 (1988).
[20] E. L. Feinberg, Nuovo Cimento A 34, 391 (1976).
[21] E. Shuryak, Phys. Lett. B 78, 150 (1978); Yad. Fiz. 28, 796
(1978) [Sov. J. Nucl. Phys. 28, 408 (1978)].
[22] R. Arnaldi et al. (NA60 Collaboration), Phys. Rev. Lett.
96, 162302 (2006).
[23] C. Song, Phys. Rev. C 47, 2861 (1993).
[24] S. Gao and C. Gale, Phys. Rev. C 57, 254 (1998).
[25] J. Ruppert, C. Gale, T. Renk, P. Lichard, and J. I. Kapusta,
arXiv:0706.1934.
[26] G.-Q. Li and C. Gale, Phys. Rev. Lett. 81, 1572 (1998);
Phys. Rev. C 58, 2914 (1998); Nucl. Phys. A 638, c491
(1998).
Education, Youth, and Sports under Contract
No. MSM6840770029, No. MSM4781305903, and
No. LC07050.
[27] J. Wess and B. Zumino, Phys. Rev. 163, 1727 (1967).
[28] H. Gomm, Ö. Kaymakcalan, and J. Schechter, Phys. Rev.
D 30, 2345 (1984).
[29] B. R. Holstein, Phys. Rev. D 33, 3316 (1986).
[30] U. G. Meissner, Phys. Rep. 161, 213 (1988).
[31] N. Kaiser and U. G. Meissner, Nucl. Phys. A 519, 671
(1990).
[32] P. Ko and S. Rudaz, Phys. Rev. D 50, 6877 (1994).
[33] B. A. Li, Phys. Rev. D 52, 5165 (1995).
[34] J. Smejkal, E. Truhlı́k, and H. Göller, Nucl. Phys. A 624,
655 (1997).
[35] T. N. Pham, C. Roiesnel, and T. N. Truong, Phys. Lett. B
78, 623 (1978).
[36] J. H. Kühn and A. Santamaria, Z. Phys. C 48, 445 (1990).
[37] G. Janssen, K. Holinde, and J. Speth, Phys. Rev. C 49,
2763 (1994).
[38] K. Haglin, Phys. Rev. C 50, 1688 (1994).
[39] L. Xiong, E. Shuryak, and G. E. Brown, Phys. Rev. D 46,
3798 (1992).
[40] T. Barnes (private communication).
[41] S. U. Chung et al. (BNL/E852 Collaboration), Phys. Rev.
D 65, 072001 (2002).
[42] G. Ecker, J. Gasser, H. Leutwyler, A. Pich, and E. de
Rafael, Phys. Lett. B 223, 425 (1989).
[43] G. Ecker, J. Gasser, A. Pich, and E. de Rafael, Nucl. Phys.
B321, 311 (1989).
[44] Y. Brihaye, N. K. Pak, and P. Rossi, Nucl. Phys. B254, 71
(1985); Phys. Lett. B 164, 111 (1985).
[45] E. A. Kuraev and Z. K. Silagadze, Phys. Lett. B 292, 377
(1992).
[46] K. Kawarabayashi and M. Suzuki, Phys. Rev. Lett. 16, 255
(1966); 16, 384(E) (1966); Riazuddin and Fayyazuddin,
Phys. Rev. 147, 1071 (1966).
[47] P. Lichard, Phys. Rev. D 60, 053007 (1999).
[48] G. J. Gounaris and J. J. Sakurai, Phys. Rev. Lett. 21, 244
(1968).
[49] M. T. Vaughn and K. C. Wali, Phys. Rev. Lett. 21, 938
(1968).
[50] D. Melikhov, O. Nachtmann, V. Nikonov, and T. Paulus,
Eur. Phys. J. C 34, 345 (2004).
[51] M. Bando, T. Kugo, S. Uehara, K. Yamawaki, and T.
Yanagida, Phys. Rev. Lett. 54, 1215 (1985); M. Bando,
T. Kugo, and K. Yamawaki, Nucl. Phys. B259, 493 (1985).
[52] S. Weinberg, Phys. Rev. 166, 1568 (1968).
[53] C. Song, C. M. Ko, and C. Gale, Phys. Rev. D 50, R1827
(1994).
[54] R. Kokoski and N. Isgur, Phys. Rev. D 35, 907 (1987).
[55] A. C. Hearn, Reduce User’s Manual, Version 3.6 (The
Rand Corporation, Santa Monica, 1995). See also http://
094030-11
www.reduce-algebra.com/.
[56] B. Aubert et al. (BABAR Collaboration), Phys. Rev. D 71,
052001 (2005).
[57] F. James and M. Roos, Comput. Phys. Commun. 10, 343
(1975).
[58] S. Turbide, R. Rapp, and C. Gale, Int. J. Mod. Phys. A 19,
5351 (2004).
[59] S. Turbide, R. Rapp, and C. Gale, Phys. Rev. C 69, 014903
(2004).
094030-12
Příloha
B.4
87
Joint description of the e+e− annihilation into
both four-pion channels
Josef Juráň and Peter Lichard
Physical Review D 78, 017501 (2008)
arXiv: 0802.4229v2
88
Příloha
Joint description of the eþ e annihilation into both four-pion channels
Josef Juráň1 and Peter Lichard1,2
1
Institute of Physics, Silesian University in Opava, Bezručovo náměstı́ 13, 746 01 Opava, Czech Republic
Institute of Experimental and Applied Physics, Czech Technical University, Horská 3/a, 120 00 Prague, Czech Republic
(Received 27 February 2008; revised manuscript received 22 May 2008; published 7 July 2008)
2
The eþ e ! þ 0 0 reaction cross section as a function of the incident energy is calculated using
a model that is an extension of our recently published model of the eþ e annihilation into four charged
pions. The latter considered the intermediate states with the , , and a1 mesons and fixed the mixing
angle of the a1 Lagrangian and other parameters by fitting the cross section data. Here we supplement
the original intermediate states with those containing !ð782Þ and h1 ð1170Þ, but keep unchanged the values
of those parameters that enter both charged and mixed channel calculations. The inclusion of ! is vital for
obtaining a good fit to the cross section data, while the intermediate states with h1 further improve it.
Finally, we merge our models of the eþ e ! þ 0 0 and eþ e ! þ þ reactions and
obtain a simultaneous good fit.
DOI: 10.1103/PhysRevD.78.017501
PACS numbers: 13.30.Eg, 12.39.Fe, 13.25.Jx, 13.66.Bc
The electron-positron annihilation into four pions has
been theoretically studied by several authors [1–5].
Assuming the one-photon approximation and vector meson
dominance, this process goes via the ð770Þ meson and its
recurrences. If some conditions on the rho-decay amplitude into four pions are met [6], the cross section of the
eþ e annihilation into four pions at invariant energy W
can be expressed in terms of the decay width of a meson
with mass W into four pions [3,7]. Some of the models of
the four-pion decay of the meson [3,8–10] can thus be
conveniently utilized when determining the excitation
function of the eþ e annihilation into four pions.
In our recent work [7] we calculated the excitation
function of the eþ e annihilation into four charged pions
and compared it to the existing data. We confirmed the
conclusion of several experimental and theoretical papers
[2,4,5,11,12] that the axial-vector isovector resonance
a1 ð1260Þ plays an important role. The new feature of our
approach was that we did not take some a priori chosen
Lagrangian of the a1 interaction, but considered a twocomponent Lagrangian that contained two parameters: a
mixing angle and an overall coupling constant. We varied
the mixing angle in an effort to get the best fit to the data.
The coupling constant was determined for each mixing
angle from the given total width of the a1 resonance.
Besides the intermediate states with the a1 resonance, we
considered also those with only pions and ’s as given in
various theoretical schemes [3,8–10]. They influence the
calculated cross section mainly in the rho mass region.
However, the quality of the fit throughout the energy region
covered by the BABAR experiment [13] has improved only
slightly.
As far as the eþ e annihilation cross section data are
concerned, the situation in the þ 0 0 sector is worse
than in the þ þ one. The data coming from
various experimental groups did not agree with one another
very well; see, e.g., Fig. 10 in [14]. It is good news that the
1550-7998= 2008=78(1)=017501(4)
latest published data by the SND Collaboration at BINP in
Novosibirsk [15] agree well with the newest BABAR
[14,16] and CMD-2 [14,17] data. Unfortunately, those
data are still preliminary and publicly unavailable
[18,19]. We can therefore use only the SND data, which
cover the energy interval from 980 to 1380 MeV. The
statistical errors are combined with the 8% systematic error
[15] in quadrature.
We will first compare the cross section data to a simple
pure-a1 model, which is characterized by four Feynman
diagrams depicted in Fig. 1. The model is an obvious
modification of the model used in [7], which is defined
by a two-component a1 interaction Lagrangian
ga (1)
L a1 ¼ p1ffiffiffi ðL1 cos þ L2 sinÞ
2
where
L 1 ¼ A ðV @ Þ;
(2)
L 2 ¼ V ð@ A Þ;
(3)
and V ¼ @ V @ V . The isovector composed of the
-meson field operators is denoted by V ; similar objects
for and a1 are and A , respectively. The sine of the
mixing angle sin ¼ 0:4603ð28Þ was determined in [7] by
FIG. 1. Two Feynman diagrams of a pure-a1 model of
eþ e ! þ 0 0 . Two others can be obtained by exchanging 0 ’s.
017501-1
Ó 2008 The American Physical Society
BRIEF REPORTS
þ PHYSICAL REVIEW D 78, 017501 (2008)
þ
þ
fitting the e e ! cross section data from
the BABAR Collaboration [13] supplemented with the experimental value of the D=S ratio in the a1 ! decay
[20]. The value of the coupling constant ga1 follows from
sin and the total width of the a1 meson, which was chosen
at 600 MeV.
Also defining our model is the form factor generated by
the ð770Þ, 0 ð1450Þ, and 00 ð1700Þ resonances,
FðsÞ ¼ F ðsÞ þ F0 ðsÞ þ F00 ðsÞ:
(4)
As far as the individual contributions on the right-hand side
are concerned, we refer the reader to formulas in [7]. Here
we only note that the complex parameters and as well
as the masses and widths of the 0 and 00 resonances
hidden in F0 and F00 were determined by fitting the
four-charged-pion BABAR data [13].
The last ingredient of our model is connected with the
structure of the strongly interacting particles. Each vertex
is usually modified by a strong form factor to soften the
interaction. In [7], we used a simplified approach. We
merged all form factors to one, effective, strong form factor
of the Kokoski-Isgur [21] type, which multiplies the total
annihilation amplitude
s s0
FKI ðsÞ ¼ exp ;
(5)
482
where s0 ¼ 16m2 . The value of ¼ 0:3695ð98Þ GeV follows from the fit to the BABAR data [13]. The same form
factor is also used here.
When calculating the eþ e ! þ 0 0 excitation
curve in the pure-a1 model, we keep all the parameters at
values determined in [7]. The result 2 ¼ 2076 for 35 data
points is disastrous. A poor result for the pure-a1 model
clearly signifies that an additional contribution to the amplitude of the electron-positron annihilation into two
charged and two neutral pions is needed. The intermediate
states with the ! meson, considered already by Renard in
1969 [1] and later by other authors [3–5,9,11], are an
obvious choice.
We will pursue two different ways of including the
intermediate states with the ! meson. First, we adopt the
approach of Eidelman, Silagadze, and Kuraev (ESK) [9],
who used the anomalous part of the chiral Lagrangian [22–
24] to describe the ! and !3 vertices. The Feynman
diagrams are shown in Figs. 2 and 3. The second approach
(PL) [25] is more phenomenological. It does not consider,
like [3,11], the !3 contact term. The Lagrangian
L! ¼ G! ð@ ! Þð @ V Þ
FIG. 2. The generic Feynman diagram describing the ! contribution to eþ e ! þ 0 0 . The other five diagrams are
obtained by obvious modifications.
sponding quantity in [9] by only about 2.6%, so the main
difference between the two approaches lies in the diagrams
with the !3 contact terms. To check the soundness of our
approach, we performed two tests.
First, we calculated the width of the radiative decay
! ! 0 assuming the strength of the 0 coupling, as
it follows from the normalization of the pion form factor,
L 0 ¼
em2 0
A :
g
(7)
The calculated branching fraction of ð9:48 0:28Þ% differs a little from the current experimental value Bð! !
0 Þ ¼ ð8:90þ0:27
0:23 Þ% [26].
Second, we determined the strength of the ! coupling
from the ! ! eþ e decay width and used it in calculating
the rate of the 0 ! decay. The result, expressed in
terms of the 0 mean lifetime, ¼ ð7:7 0:4Þ 1017 s
agrees well with the experimental value of ð8:4 0:6Þ 1017 s.
What remains unsettled is a possible transfer-momentum-squared (t) dependence of the coupling. In fact, the
experimental width of the 0 ! eþ e decay, where t ¼
m2 , requires about 20% stronger coupling than that indicated in (7). The latter gives good results for the t ¼ 0
processes ! ! 0 and 0 ! . Our derivation [7] of
the eþ e ! 4 cross section formula used the standard
0 coupling (7) and assumed that all the t dependence is
absorbed in the form factor. We use the same approach
here.
Now, we can also vary the form-factor parameters and
, as the structure of the intermediate states is different
from the pure-a1 model. We will distinguish them from the
þ þ case by primes. There is no free parameter
(6)
has the same form as in [3,9,11]. But now, the coupling
constant G! is determined from the ! ! 3 decay
width, taking into account the value of the ! coupling constant g as it follows from the ! decay
width, g2 ¼ 35:77 0:24. We get G2! ¼ ð216:2 3:0Þ GeV2 . The value of G! is higher than the corre-
FIG. 3. One of the two Feynman diagrams with the contact
!3 term. Another is obtained by exchanging 0 ’s.
017501-2
BRIEF REPORTS
connected with the ! intermediate states. The results are
shown in Table I.
In an effort to further improve the agreement of our
model with data, we include the intermediate states with
the isoscalar axial-vector meson h1 ð1170Þ. The corresponding Feynman diagrams can be obtained from those
in Fig. 2 by replacing ! with h1 . The interaction
Lagrangian is again assumed in a two-component form
similar to (1) but respecting the isoscalar character of
h1 ð1170Þ,
gh L h1 ¼ p1ffiffiffi ðLa cos þ Lb sinÞ;
3
(8)
L a ¼ h ðV @ Þ;
(9)
L b ¼ @ h ðV Þ:
(10)
where
In the following, the sine of the mixing angle will be
varied to achieve the best possible description of the cross
section data. For each sin the coupling constant will be
determined from the condition that the total width of the
h1 ð1170Þ, calculated as ðh1 ! Þ, should be equal to
360 MeV. While fitting the eþ e ! þ 0 0 data the
mixing angle of the a1 Lagrangian (1) is kept fixed at
the value determined in the þ þ case, as it represents a universal process-independent parameter. The results of the fit are shown in Table II for both approaches to
the intermediate states with !. It is clear that the inclusion
of the h1 intermediate states greatly improves the confidence level of the model with ! described by the ESK
scheme. The confidence level of the model utilizing the PL
scheme for ! also rises, but because it was already high in
the a1 þ ! model, the inclusion of the intermediate states
with h1 is not necessary. The excitation curves are compared to data in Fig. 4.
Following the idea that a simultaneous fit to more processes may lead to a more precise value of the mixing angle
of the a1 Lagrangian, we are now going to perform a
joint fit to the eþ e ! þ þ and eþ e !
þ 0 0 cross section data. We merge the pure-a1
model of our previous paper [7] with the a1 þ ! þ h1
model described here. For the ! intermediate states we
TABLE I. Fitting the a1 þ ! model to the
þ 0 0 cross section data (35 data points).
eþ e !
Approach to !
PL [25]
2 =NDF
CL (%)
Re 0
Im 0
Re 0
Im 0
ESK [9]
2.19
0.01
0:52ð25Þ
1:27ð25Þ
0:79ð34Þ
0.953(97)
0.82
74.9
0:36ð27Þ
1:05ð32Þ
0:71ð37Þ
0.628(79)
TABLE II. Fitting the a1 þ ! þ h1 model to the eþ e !
þ 0 0 cross section data (35 data points).
Approach to !
2 =NDF
CL (%)
sin
Re 0
Im 0
Re 0
Im 0
ESK [9]
PL [25]
1.18
22.4
0.3434(36)
0.092(62)
0.028(22)
0.022(71)
0:030ð58Þ
0.80
77.8
0.3433(46)
0.102(74)
0.035(23)
0.028(86)
0:049ð65Þ
will use the PL version, which describes the data better
than ESK. Simultaneous handling of both four-pion channels enables us to use a more correct description of the
ð770Þ part of the electromagnetic form factor [4], namely,
F ðsÞ ¼
M2 ð0Þ
~ ðsÞ
M2 ðsÞ s im ;
(11)
where M ðsÞ is the running mass of the meson calculated
in [27]. The total decay width of the 0 meson,
~ ðsÞ ¼ ðsÞ þ þ þ ðsÞ þ þ 0 0 ðsÞ; (12)
now includes not only the contribution of several two- and
three-body decay channels ðsÞ given in [27], but also the
contributions from both four-pion decay modes. Similarly
to [7] we also consider the masses and widths of 0 and 00
as free parameters. They have the same values in both
channels, as well as the a1 Lagrangian mixing parameter sin and the parameter of the strong form factor (5).
FIG. 4. Comparison of the a1 þ ! þ h1 model with the
eþ e ! þ 0 0 data for two approaches to !.
017501-3
BRIEF REPORTS
Besides those six common parameters, there are two sets of
parameters specific for each of the two four-pion annihilation channels. The charged-pion-channel set contains
four real parameters entering the electromagnetic form
factor (4). The four form-factor parameters in the mixedpion channel are distinguished from those in the
þ þ channel by primes. The fifth parameter in
the mixed-pion channel is the h1 Lagrangian mixing
parameter sin. All together, this makes 15 real free
parameters.
In Table III we present the optimized values of all free
parameters. The corresponding confidence level is 28.4%.
If we compare them with those obtained in individual
models (Table II here and Table VI in [7]), we can say
that they are in good agreement. Only the error domains of
m0 , m00 , and do not overlap, but the disagreement is
very small. The excitation curves of individual reactions do
not visually differ from those obtained when fitting the two
models separately and are not shown.
Unfortunately, our goal to narrow the interval of the
a1 Lagrangian mixing parameter and thus make the
calculations of the dilepton and photon production from
hadron gas more reliable (see the analysis in [28]) has not
been reached. The uncertainty of sin is larger than that
obtained in [7]. We hope that the situation will improve
when more precise cross section data in the mixed-pion
channel are available. The identification of the essential
contributions to the eþ e annihilation into four pions is
[1] F. M. Renard, Nuovo Cimento A 64, 979 (1969).
[2] R. Decker, P. Heiliger, H. H. Jonsson, and M. Finkemeier,
Z. Phys. C 70, 247 (1996).
077904 (2000); 62, 056011 (2000).
[4] H. Czyż and J. H. Kühn, Eur. Phys. J. C 18, 497 (2001).
[5] G. Ecker and R. Unterdorfer, Eur. Phys. J. C 24, 535
(2002); Nucl. Phys. B, Proc. Suppl. 121, 175 (2003).
[6] P. Lichard, Acta Phys. Slovaca 49, 215 (1999).
[7] P. Lichard and J. Juráň, Phys. Rev. D 76, 094030 (2007).
[8] A. Bramon, A. Grau, and G. Pancheri, Phys. Lett. B 317,
190 (1993).
[9] S. I. Eidelman, Z. K. Silagadze, and E. A. Kuraev, Phys.
Lett. B 346, 186 (1995).
034015 (2005); Yad. Fiz. 69, 314 (2006) [Phys. At. Nucl.
69, 293 (2006)].
[13] B. Aubert et al. (BABAR Collaboration), Phys. Rev. D 71,
052001 (2005).
[14] V. P. Druzhinin, arXiv:0710.3455.
[15] M. N. Achasov et al., Zh. Eksp. Teor. Fiz. 123, 899 (2003)
TABLE III. Joint fit of the pure-a1 model of eþ e !
þ þ and the a1 þ !ðPLÞ þ h1 model of eþ e !
þ 0 0 to a combined set of the cross section data and the
D=S ratio (180 data points).
Quantity
2
=NDF
m0 (GeV)
0 (GeV)
m00 (GeV)
00 (GeV)
sin
(GeV)
sin
Value
1.06
1.383(16)
0.551(21)
1.883(18)
0.237(35)
0.4662(52)
0.3617(70)
0.336(11)
Quantity
Re
Im
Re
Im
Re
Im
Re
Im
0
0
0
0
Value
0.088(73)
0.024(22)
0.025(81)
0:011ð74Þ
0.171(14)
0.045(29)
0.0002(14)
0:0050ð12Þ
important for the reliable assessment of the dilepton production by the four-pion annihilation in heavy ion collisions [29]. A new result of our work is the mixing angle of
the h1 Lagrangian sin 0:34. It may help in investigating the role of the h1 ð1170Þ resonance in thermal
production of dileptons and photons from hadron gas,
which has been ignored so far.
We thank T. Barnes, A. Denig, and S. I. Eidelman for
useful correspondence. This work was supported by the
Czech Ministry of Education, Youth and Sports under
Contract No. MSM6840770029, No. MSM4781305903,
and No. LC07050.
[JETP 96, 789 (2003)].
[16] A. Petzold (BABAR Collaboration), Report No. SLACPUB-12844, 2007.
[17] I. B. Logashenko, Nucl. Phys. B, Proc. Suppl. 162, 13
(2006).
[18] A. Denig (private communication).
[19] S. I. Eidelman (private communication).
[20] S. U. Chung et al. (BNL/E852 Collaboration), Phys. Rev.
D 65, 072001 (2002).
[22] J. Wess and B. B. Zumino, Phys. Lett. 37B, 95 (1971); E.
Witten, Nucl. Phys. B223, 422 (1983).
[23] M. Bando, T. Fujiwara, and K. Yamawaki, Prog. Theor.
Phys. 79, 1140 (1988); M. Bando, T. Kugo, and K.
Yamawaki, Phys. Rep. 164, 217 (1988).
[24] E. A. Kuraev and Z. K. Silagadze, Phys. Lett. B 292, 377
(1992).
[29] J. Ruppert, C. Gale, T. Renk, P. Lichard, and J. I. Kapusta,
Phys. Rev. Lett. 100, 162301 (2008).
017501-4
Reference
[1] K. Werner, Phys. Rep. 232, 87 (1993).
[2] P. Braun-Munzinger and J. Wambach, arXiv: 0801.4256v1 (2008).
[3] E. Shuryak, arXiv: 0804.1373v1 (2008).
[4] H. Hees, arXiv: 0804.4493v1 (2008).
[5] D. K. Srivastava, arXiv: 0805.3401v2 (2008).
[7] G. E. Brown and M. Rho, Phys. Rev. Lett. 66, 2720 (1991); Phys. Rep. 363, 85
(2002).
[8] C. M. Ko and G. Q. Li, J. Phys. G 22, 1673 (1996).
[9] R. Rapp and J. Wambach, Adv. Nucl. Phys. 25, 1 (2000).
[10] E. V. Shuryak and G. E. Brown, Nucl. Phys. A 717, 322 (2003).
[11] S. V. Afanasiev et al. (NA49 Collaboration), Phys. Lett. B 491, 59 (2000); C. Quintans et al. (NA50 Collaboration), J. Phys. G 27, 405 (2001); C. Quintans et al.
(NA50 Collaboration), J. Phys. G 28, 1809 (2002); D. Jouan et al., J. Phys. G 30,
S277 (2004).
[12] K. Haglin, Nucl. Phys. A 584, 719 (1995).
[13] W. Smith and K. L. Haglin, arXiv: nucl-th/9710026v1 (1997).
[14] L. Alvarez-Ruso and V. Koch, Phys. Rev. C 65, 054901 (2002).
[15] K. L. Haglin, arXiv: nucl-th/0404069v1 (2004).
[16] M. Bando, T. Kugo, and K. Yamawaki, Nucl. Phys. B 259, 493 (1985).
[17] A. Bourque, C. Gale, arXiv: 0802.2738v1 (2008).
[19] C. M. Ko and D. Seibert, Phys. Rev. C 49, 2198 (1994).
93
94
Reference
[20] E. Shuryak and V. Thorsson, Nucl. Phys. A 536, 739 (1992).
[21] C. Gale and P. Lichard, Phys. Rev. D 49, 3338 (1994).
[22] C. Song, C. M. Ko, and C. Gale, Phys. Rev. D 50, R1827 (1994).
[24] A. Petzold (BaBar Collaboration), Report No. SLAC-PUB-12844, 2007.
[25] M. Davier, M. Peskin, and A. Snyder, arXiv: hep-ph/0606155v1 (2006).
[26] R. Arnaldi et al. (NA60 Collaboration), Phys. Rev. Lett. 96, 162302 (2006); S. Damjanovic et al. (NA60 Collaboration), Nucl. Phys. A 783, 327 (2007).
[27] H. Hees and R. Rapp, Phys. Rev. Lett. 97, 102301 (2006).
[28] C. Song, Phys. Rev. C 47, 2861 (1993).
[30] V. P. Druzhinin, arXiv: 0710.3455v1 (2007).
[31] S. I. Eidelman, Z. K. Silagadze, and E. A. Kuraev, Phys. Lett. B 346, 186 (1995).
[33] N. N. Achasov and A. A. Kozhevnikov, Phys. Rev. D 61, 077904 (2000); N. N. Achasov and A. A. Kozhevnikov, Phys. Rev. D 62, 056011 (2000).
[34] R. R. Akhmetshin et al., Phys. Lett. B 466, 392 (1999); R. R. Akhmetshin et al.,
Phys. Lett. B 475, 190 (2000).
[35] B. Aubert et al. (BaBar Collaboration), Phys. Rev. D 71, 052001 (2005).
[36] S. U. Chung et al. (BNL/E852 Collaboration), Phys. Rev.D 65, 072001 (2002).
[37] M. N. Achasov et al., Zh. Eksp. Teor. Fiz. (123), 899 (2003) [JETP 96, 789 (2003)].
[38] V. N. Baier and V. A. Khoze, J. Exptl. Theoret. Phys. 48, 946 (1965) [Soviet Physics
JETP 21, 629 (1965)].
[39] V. Balek, N. Pišútová, J. Pišút, Acta Phys. Slov. 41, 224 (1991).
[40] J. Ruppert, C. Gale, T. Renk, P. Lichard, and J. I. Kapusta, Phys. Rev. Lett. 100,
162301 (2008) [arXiv: 0706.1934v3].

Thesis - Physics.cz

Transkript

Podobné dokumenty

Regionální cenové hladiny v ČR - teorie, metodika

Folie 1

Jak_nám_vládne_symetrie

White Power - Národně vzdělávací institut

Výroční zpráva 2009 - Ústav jaderné fyziky AV ČR, v. v. i.