KMA-MMAN1

Úlohy pro samostatnou práci
KMA-MMAN1
12
1. Určete intervaly monotónnosti funkce; uveďte, kde je funkce rostoucí a kde klesající:
1
2x
, d) y = x2 −ln x.
a) y = 2x3 −3x2 −12x+4, b) y = (x−1)3 (2x+3)2 , c) y =
ln x
10
2. Bez použití druhé derivace určete lokální extrémy funkce, ověřte pomocí druhé derivace:
x
x
a) y = 4x − x2 , b) y = x2 e− 2 , c) y =
.
1+x
3. Určete globální extrémy funkce:
1
a) y = x3 − 2x2 + 3 na h−1; 2i,
D π 3π E
.
na − ;
2 2
b) y =
x2
1
na h−0, 5; 0, 5i,
−1
c) y = 2x + cos 2x
4. Rozhodněte o konvexnosti, konkávnosti a inflexních bodech funkce:
x2
a) y = x5 − 10x2 + x + 3, b) y = 2
, c) y = tg x,
x −1
d) y = cos x, e) y = sh x, f ) y = arctg x, g) y = x3 − 27x2 .
5. Určete asymptoty funkce:
¶
µ
1
1
a) y = 2x − arccos , b) y = x ln e + ,
x
x
c) y =
x3
.
2(1 + x)2
Řešení:
µ
3
−∞; −
2
À
1. a) Rostoucí na (−∞; −1i a h2; +∞), klesající na h−1; 2i, b) rostoucí na
À
¿
¶
¿
1
3 1
a
, c) rostoucí na he; +∞), klesající na (0; 1) a (1; ei,
; +∞ , klesající na − ;
2
´ 2 2
³ √ E
D√
5; +∞ , klesající na 0; 5 .
d) rostoucí na
2. a) LMax pro x = 2,
b) LMin pro x = 0 a LMax pro x = 4,
c) ∅.
3. a) GMax pro x = 0 a GMin pro x = 2, b) GMax pro x = 0 a GMin pro x = ± 12 ,
π
π
c) GMax pro x = a GMin pro x = − .
2
2
4. a) Konkávní (−∞; 1i, konvexní h1; +∞), inflexe pro x = 1 b) konvexní
(−∞; −1)
D
´
π
a (1; +∞), konkávní (−1; 1), inflexe se nevyskytuje, c) konvexní 0 + kπ; + kπ ,
2
³ π
E
D π
E
π
konkávní − + kπ; 0 + kπ , inflexe pro x = kπ, d) konkávní − + 2kπ; + 2kπ ,
2
2
¿ 2
À
3
π
π
konvexní
+ 2kπ; π + 2kπ , inflexe pro x = 2 + kπ, e) konkávní (−∞; 0i, konvexní
2
2
h0; +∞), inflexe pro x = 0, f ) konkávní h0; +∞), konvexní (−∞; 0i, inflexe pro x = 0,
g) konkávní (−∞; 9i, konvexní h9; +∞), inflexe pro x = 9.
5. a) y = 2x −
π
,
2
1
1
b) x = − , y = x + ,
2
e
1
c) x = −1, y = x − 1.
2
Dobrovolná úloha G: Pro jakou hodnotu parametru α je funkce y = x4 + αx3 + 1,5x2 + 1
konvexní na celé reálné ose?