Úloha č. 1 : TROJÚHELNÍK Určení prostorových posunů stavebního

© Václav Čech, ČVUT v Praze, Fakulta stavební, 2008
Úloha č. 1 : TROJÚHELNÍK
Určení prostorových posunů stavebního objektu
Zadání :
Zjistěte posun bodu P do P´, umístěného na horní terase Stavební
fakulty. Základna je dána dvěma body A, B (obr. 1), které jsou umístěny na
chodníku u Chemicko-technologické fakulty. Obrazec ABP je zhruba
rovnoramenný trojúhelník (120, 120, 70 m).
Předpokládaná velikost posunů je p = 20 mm.
Mezní odchylka posunu δMp = 4.0 mm, δMh = 2.0 mm.
Na obr. 1 je zobrazena situace
A
⊕
+Y
α
β
⊕
B
β´
α´
A, B – body pozorovací
P, P´- body pozorované
H – bod kontrolní (výškový)
p – posun bodu P
H
γ

P
p
γ´

+X
P´
Obr. 1
Postup měření :
Délky stran da, db jsou přibližně 120 m, délka základny z je přibližně
70 m. Bod H je zajišťovací výškový bod.Na bodech A, B, a P, P´ se měří
vrcholové vodorovné úhly (vnitřní) a zenitové úhly ve třech skupinách.
Stanoviska A, B jsou po celou dobu měření stabilní. Stanoviska P a P´ jsou
stabilní v příslušné etapě. Měří se současně třemi teodolity, jeden je umístěn
na střeše, zbývající na chodníku (základna AB – obr. 1).
Cílové body na teodolitech jsou signalizovány kužely upevněnými na
nosičích Theo 010B. Současně se měří úhly α, β, a γ v základní etapě a úhly α
1
© Václav Čech, ČVUT v Praze, Fakulta stavební, 2008
´, β´, a γ´ v i-té etapě. Protože záměra mezi základnou AB a pozorovaným
bodem P (P´) je poměrně strmá, zavádí se oprava z nesvislosti točné osy
alhidády (oprava z libely). Čtou se oba konce bubliny trubicové libely a vypočte
se oprava ol.
ol =
kde
f 2n
.∑ ( l i − p i ). cot ζ
4n i = 1
(1)
f je citlivost libely – pro Theo 010 B je 6 mgon,
n je počet skupin,
ζ je zenitový úhel v gonech,
l,p je čtení levého a pravého konce bubliny.
Vybočení konce bubliny vně velkých rysek má znaménko +, dovnitř - .
Současně s vodorovnými směry se čtou zenitové úhly, které se měří na
hroty kuželů. Proto se musí určit ještě převýšení mezi točnou osou dalekohledu
a špičkou kuželu.
Zenitové úhly se opravují o zakřivení Země
oζ ≅ −
kde
d
oζ
d .ρ
d
≅ −
2R
200
je délka v metrech,
je oprava zenitového úhlu v mgon.
Na začátku a konci základní a i-té etapy se měří zenitové úhly na
kontrolní (výškový) bod H v jedné skupině (v obou polohách dalekohledu).
Převýšení mezi točnou osou dalekohledu a špičkou kuželu se určuje
současně pro všechny tři soupravy. Teodolity se postaví tak, aby tvořily zhruba
rovnostranný trojúhelník a horizonty přístrojů byly zhruba stejně vysoko. Potom
se měří vždy mezi dvěma teodolity, které se na sebe vzájemně zacílí (na
kolimátor). Změří se délka mezi červenými tečkami na nosnících, které jsou
v točné ose dalekohledu. Na tyto body a hroty kuželů se určí zenitové úhly.
Z vodorovné vzdálenosti mezi sousedními body točné osy dalekohledu a
zenitových úhlů na tyto body se vypočtou 2 x převýšení. Z těchto převýšení (s
vyrovnáním výškového pořadu) se vypočtou relativní výšky všech tří bodů.
Z těchto bodů se vypočte 2 x relativní výška hrotů kuželů a dále výška
vlastních kuželů.
Výškový rozdíl mezi body A, B je určen v příznivějších podmínkách a
v dvojnásobném počtu. Proto se považuje za relativně bezchybný a výška bodu
P (P´) se vyrovná průměrem z hodnot z bodů A a B.
2
© Václav Čech, ČVUT v Praze, Fakulta stavební, 2008
Vypočtou se trojúhelníkové uzávěry a odchylka se vyrovná na každý úhel.
Protínáním vpřed se vypočtou souřadnice bodů P a P´. Souřadnicová soustava
se volí podle náčrtu situace.
Z pravoúhlých souřadnic P a P´ se vypočtou polární souřadnice posunu
tj. směr a velikost, které se porovnají s hodnotou určenou milimetrovým
měřítkem přímým měřením na přípravku.
Výškový posun, tj. rozdíl výšek horizontu přístroje v základní (P) a i-té
etapě (P´) se porovná s výškovým rozdílem zjištěným při zaměření kontrolního
(výškového) bodu H v základní a i-té etapě.
Rozbory přesnosti :
Přesnost měřených veličin :
Jestliže je vodorovný úhel měřen ve dvou polohách, pak pro THEO 010 B
platí
σω= 0,7 mgon .
(2)
Jelikož tyto úhly budou v měřeném trojúhelníku vyrovnány, vypočte se
směrodatná odchylka vyrovnaného úhlu
ν
σ
= σ ω . 2 = 0,57 mgon .
3
ω
(3)
Směrodatná odchylka zenitového úhlu ve dvou polohách je
σ
ζ
=
0,7mgon
2
= 0,5mgon .
(4)
Měření posunů je relativní (vztažené k základní etapě), postačí tedy určit
délku základny s poměrně malou přesností. Pro délku základny z = 70 m,
předpokládaný posun p = 20 mm a směrodatnou odchylku posunu např. σP =
0.2 mm, je směrodatná odchylka měření délky základny
σz = z . σP / p = 0.7 m.
Této přesnosti lze dosáhnout tachymetrickým měřením délek, kde platí
d
σ d =
≅ 0,25m .
300
Avšak pro dosažení shodných výsledků výšek HP, (HP´) ve zvoleném
relativním systému ze stanoviska A a B s přesností ≤ 0,001 m je nutno délku
základny měřit přesněji podle následujícího odvození
h = z . cotg ζ ; po derivaci rovnice podle dvou proměnných (převod na
skutečné chyby) bude
εh = εz . cotg ζ – z . εζ/(ς . sin2 ζ) Přejdeme-li na směrodatné odchylky
σ2h=σ2z . cotg2ζ + z2 . σ2ζ/(ς2 . sin4ζ)
Druhý výraz pro z = 70000 mm
3
© Václav Čech, ČVUT v Praze, Fakulta stavební, 2008
σζ = 0,5/√‾6 = 0,2 mgon
ζ = 97,8 gon (102,2 gon) dosahuje hodnot 0,048 mm
a lze jej zanedbat. Řešením rovnice
σh=σz . cotgζ dostáváme, že σz = 0,0145 m.
Rozbor přesnosti před měřením – poloha :
σ
kde
σTxy
δMp
up
2
Txy
=
δ
Mp
up. 2
4,0
= 1,13mm ,
2,5.1,4
=
(5)
je zadaná směrodatná souřadnicová odchylka,
- mezní polohová odchylka posunu,
- koeficient spolehlivosti pro dvourozměrnou chybu P ≅ 90%,
- dvě etapy měření
a pro rovnoramenný trojúhelník platí vzorec
σ
kde
d
ω
v
σϖ
Txy
=
d .ν σ ω
,
ρ . sin 2ω
(6)
je délka strany
- úhel při základně
- směrodatná odchylka vyrovnaného úhlu.
Pro obecný trojúhelník platí
σ
Txy
=
(d
2
A
+ d B2
)
1
2
.σ
ω
ρ . 2 . sin (α + β
)
.
Z rovnice (6) a směrodatné souřadnicové odchylky lze vypočítat
směrodatnou odchylku vyrovnaného vodorovného úhlu
ν
σ
Tω
=
σ
Txy
.ρ . sin 2ω
(7)
d
Např. pro d ≅ 120 m, z ≅ 70 m a
mgon.
α (β) ≅ = 81 gon je
v
σTϖ = 0,33
Z této hodnoty se vypočte směrodatná odchylka měřeného úhlu v jedné
skupině
4
© Václav Čech, ČVUT v Praze, Fakulta stavební, 2008
σ
Tω
=
ν
σ
Tω
2
=
3
0,33
= 0,41mgon.
.
0,81
(8)
Počet opakování n je
2
 0,7 
n= 
 = 2,9 ≅ 3.
 0,41 
(9)
Vodorovné úhly se měří ve třech skupinách.
Rozbor přesnosti před měřením – výška.
Přesnost základní a i-té etapy je stejná, potom směrodatná odchylka
převýšení měřeného v i-té etapě je
σ
kde
Th
=
δ
Mh
up. 2
=
2
= 0,71mm,
2.1,4
(10)
2 - vyplývá z rozdílu dvou etap (základní a i-té).
Převýšení mezi horizonty přístroje na základně A(B) a určovaným bodem
P je
kde
hp = d.cotg ζ - k ,
d je vodorovná vzdálenost
ζ - zenitový úhel na hrot kuželu (jedna skupina),
k - převýšení mezi hrotem kuželu a točnou osou dalekohledu na cílovém
bodě.
Směrodatná odchylka převýšení vypočtená ze zenitového úhlu měřeného
ve třech skupinách
σ
h
=
d .σ ζ


 3.ρ . sin 2 ζ

2

 +σ


2
2
k
=
 1,2.10 5.0,50 

 + 0,2 2 = 0,64mm .
4
 1,7.6,4.10 .0,90 
Mezní rozdíl mezi měřením tam a zpět je
δ M∆ h = 2,5. 2 .σ h ≅ 2,3mm.
Mezní výškový uzávěr v trojúhelníku
5
(11)
(12)
© Václav Čech, ČVUT v Praze, Fakulta stavební, 2008
δ
kde
3
MUh
= 2,5. 3 σ
2
h
≅ 2,0mm.
(13)
2 znamená tři strany měřené tam a zpět.
Rozbor přesnosti při měření :
Testují se tři rozdíly mezi dvěma skupinami vodorovného a zenitového
úhlu. Vzhledem k tomu, že měření provádí studenti, je vhodné volit koeficient
spolehlivosti up = 2,5, tj. p = 99%. Testují se rozdíly mezi skupinami 1-2, 1-3 a
2-3.
Mezní rozdíl vodorovného úhlu (rov. 3) je
δMω = 2,5. 2 .0,57 = 2,0mgon .
Mezní rozdíl zenitového úhlu (rov. 4) je
δMζ = 2,5. 2 .0,5 = 1,8mgon .
Rozbor přesnosti po měření :
Testují se trojúhelníkové uzávěry :
Mezní uzávěr úhlový (rov. 8)
δMUϖ = 2,5. 3.0,4 = 1,7 mgon .
Mezní uzávěr výškový (rov. 11)
δMUh = 2,5. 3.0,64 = 2,8mm.
Vzhledem ke studentským měřením se volí up = 2,5 (p = 99%).
Určení převýšení mezi točnou osou dalekohledu a špičkou kuželu hk.
• H
špička kužele
hk
ζH
točná osa
•
dalekohledu
A
ζB
d
dš
•
B
točná osa dalekohledu
Obr. 2
hk = d.(cotg ζ
H
- cotg ζ B ),
kde d je vodorovná vzdálenost,
6
(14)
© Václav Čech, ČVUT v Praze, Fakulta stavební, 2008
ζ
H
,ζ
B
- zenitové úhly ( ζ ≅ 100 gon).
Směrodatná odchylka převýšení bodů B, H (hH), za předpokladu, že
zenitové úhly jsou zhruba 100 gon, bude
σ
k
= d .σ ζ . 2 .
(15)
Pro d ≅ 6 m, σ ζ = 2,0 mgon a převýšení h měřené tam a zpět je σ k = 0,2
mm. (viz rov. 11). Protože hodnota k se určuje ze všech tří kužílků, je vhodné
toto měření provádět současně u všech tří kužílků, propojené do uzavřeného
výškového trojúhelníku. Tím se dostává kontrola měření
σ
kU
= 0,2. 3 = 0,35mm.
(16)
Postup měření v praxi.
V praxi je tento postup nereálný, neboť body P jsou upevněny na
objektu a jsou nepřístupné. Řeší se to tak, že pozorovacích bodů je více (např.
A, B, C). Protože jejich poloha může být ovlivněna posunem sledovaného
objektu, volí se další systém bodů (ověřovacích např. 1,2).
• P
A
•
7
© Václav Čech, ČVUT v Praze, Fakulta stavební, 2008
• C
B
•
• 2
1
•
Obr. 3
Nezávislá kontrola určení posunů.
Polohová :
Bod P a P´ jsou trvale stabilizované a jejich vzájemná poloha je známa.
Výšková :
Z bodu P (P´) se zaměří výškově bod H v obou etapách. Výškový rozdíl
je potom výškový posun.
Seznam přístrojů a pomůcek :
Pozn.: Je uveden seznam pro zaměření úlohy jednou četou. Potřebný min.
počet studentů v jedné četě je 2 x 3 = 6.
teodolit ZEISS Theo 010 B ( s mostem přes vidlici)
stativ ZEISS skládací
cílový kužel k zašroubování do mostu
tachymetrická lať (stačí díl 2 m dlouhý)
deštník (základna je ve stínu)
pásmo ocelové
přípravek pro simulaci posunů
zápisník pro měření vodorovných úhlů ve 3 skupinách
8
3 ks
3 ks
3 ks
1 ks
1 ks
1 ks
1 ks
3 ks
© Václav Čech, ČVUT v Praze, Fakulta stavební, 2008
podložka pod zápisník
psací potřeby
kalkulačka
9
© Václav Čech, ČVUT v Praze, Fakulta stavební, 2008
Úloha č. 1 : TROJÚHELNÍK - dodatek
Rozbory přesnosti :
Přesnost měřených veličin :
Jestliže je vodorovný úhel měřen ve dvou polohách, pak pro THEO 010 B
platí
σω= 0,7 mgon .
(2)
Jelikož tyto úhly budou v měřeném trojúhelníku vyrovnány, vypočte se
směrodatná odchylka vyrovnaného úhlu
ν
σ
= σ ω . 2 = 0,57 mgon .
3
ω
(3)
Směrodatná odchylka zenitového úhlu ve dvou polohách je
σ
ζ
=
0,7mgon
2
= 0,5mgon .
(4)
Měření posunů je relativní (vztažené k základní etapě), postačí tedy určit
délku základny s poměrně malou přesností. Pro délku základny z = 70 m,
předpokládaný posun p = 20 mm a směrodatnou odchylku posunu např. σP =
0.2 mm, je směrodatná odchylka měření délky základny
σz = z . σP / p = 0.7 m.
Této přesnosti lze dosáhnout tachymetrickým měřením délek, kde platí
d
σ d =
≅ 0,25m .
300
Avšak pro dosažení shodných výsledků výšek HP, (HP´) ve zvoleném
relativním systému ze stanoviska A a B s přesností ≤ 0,001 m je nutno délku
základny měřit přesněji podle následujícího odvození
h = z . cotg ζ ; po derivaci rovnice podle dvou proměnných (převod na
skutečné chyby) bude
εh = εz . cotg ζ – z . εζ/(ς . sin2 ζ) Přejdeme-li na směrodatné odchylky
σ2h=σ2z . cotg2ζ + z2 . σ2ζ/(ς2 . sin4ζ)
Druhý výraz pro z = 70000 mm
σζ = 0,5/√‾6 = 0,2 mgon
ζ = 97,8 gon (102,2 gon) dosahuje hodnot 0,048 mm
a lze jej zanedbat. Řešením rovnice
σh=σz . cotgζ dostáváme, že σz = 0,0145 m.