piala fa

2,1.
Znovu si zopakujte definice z~k1adn!ho systemu funkc! Z, z~ladn!ho
funkcion~lu A na
Z i definici z~ladn!ho prostoru (Z,A). Uv~domte ai,
jakym zp~sobem se roz~!r! zSk1adn! system Z s funkcion~lem A na system
~ vAech integrovate1nYch funkc! s kone~ .abatraktn!m LebesgueovYm integr~lem A
Zhruba re~eno - nejdr!ve se z~ladn! system Z /kter,y je pr!liA "uzkY"
/rozA!r! na AirA! obor funkc! Z * a pro funkce z tohoto systemu se definuje "pi'irozenYm" zp~sobem integrel A • FoU se pro 1ibovolnou funkci definuje jej! horn! a doln! integr~l '"
Af, ~f a v, pHpade, ze tyto dv~ hOdnoty
sp1Yvaj! a jsou kone~ne, i'!~e, ze f 1ez! v systemu Je • Spo1e~nou hodnotu Af a Af pak nazveme abstraktnim LebesguBovYm integr~lem funkce f .
~
Odtud jiZ 1ehko
utvorime aysUm funkc!:e * a system m~rite1nYch funkc!A •
Kone~n~ m~zeme definovat system m~i'ite1nYch mnoZin m. a inte¢l pres 11bovolnou mnozinu z tohoto systemu.
Schematicky by bylo mozno cel1 postup
zn~zornit 'asi ~sledovn~:
z~kladn!
prostor
prvn! rozA!i'en! pomoc! monotonn!ch
1imitn!ch pi'echod~
definice horn!ho a doln!ho inte¢lu
z 1ibovo1ne funkce
definice oboru funkc! s kone~ abstraktnim LebesgueovYm inte¢lem
ue*,
A)
definice oboru funkc! s abstraktn!m Lebesgueov,fa integr'lem /kter,t m~!e mit i nekone~nou hodnotul
system vAech
m~i'ite1nYch
mno!in
integr'l pi'es mii'itelne mno!iny
- 30 -
Jednotliv~ kroky, definice i jejich opravnen! je zapotreb! si veimi podrobne
rozmyslet. AI si celou teorii projdete, pOkuste ai ji ilustrovat na nekteram
z konkratn!ch pi'!kla~ 2,5 - 2,23.
Rozhodnete, zda nl!.sleduj!c! mnolliny tunlcc! tvoH Zlikladn!
(p
je libovolna nepr4zdn8 mno!ina):
Z
je syst~m viiech kone/!-
tj. systolm
Z
sastolv4 z jedin~ tunlcce
E S( P) i
bl Z = { f E S(P);
identicky
cl Z = {
f =
° na
rovn~
r E S(( 0, 1T»
z },
nule na
Z
tj.
f je kone/!n4 na r
.njchre4lnjch funkc! na P ,
al Z = { f
syst~m
},
P ,
; f( x) = a. aimt, a prob!M mnoUnu viiech rdWch
/!!sel } ,
dl Z = { t E StEl'
el Z = S(P) , tj.
II Z
={ f
g/ Z = {
hi
Z
il
Z
Z
E S(P)
r E
={ f
={ f
t
S(P)
SY8t~m
je
El},
viiech funkc! na
P ,
r
je kone/!na a nez4porna na
I
je kone/!na a z'porna us. P } ,
existuje vlastn! derivace
E StEl' ;
E S(P) i
je spojit4 v
f
je omezen4 na
P
}.
rv
P }
r' v El} ,
pHpadech ai, b/, c/, d/, il tvor!
v pr!padl!
lZ' 2 Z ' v pHpade r/, hi nen! splneno 3 Z
o
J
Definujme
syst~m
Z na intervalu
fEZ, pr4ve kdy!
f
(0,1)
je spojit' na
syst~mu
Z deIinujme
- 31 -
Af
e/, g/ nan! sp lniino
takto:
(0,1)
a existuje kone/!na
11m f(x) •
x->o+
Pro funkce ze
,
= lim
f(x)
x->o+
Ukdte, ze
tvo~! z~kladn! syst~m
a/ Z
hi funkc1on~1 A
funkc!,
4A' 5A' 6A ,
A nespbuje axiom 7A •
cl f'unkc1on41
splnuje axiomy
Jak4 by byla s1 tuace, kdybychom ayst~m Z 1 funkc10Ml
ate jnl! - ale na uzavhn~m 1nterval U
0,1> ?
A
<
~
Bul1 Z mnozina vilech funkc! definovanych na 1ntervalu
f"{ x) = ax, tj.
={
Z
Pro
f" E S ({O,l»
f"{x) = ax
f" e Z ,
;
= ax
=a •
f"{ x)
definujme
Af"
definoval1
(O,l)
pro
xe{O,l)}
kde
f"+
tvaru
Dokazte, Ze
1/
(Z,A)
2/
ZR = Z U{f"+oo},
tvor! z4kladn! proator,
,
e, 00 }
zK = Z U {
resp.
t -00
je f"tmkce rovnli 1dent1cky
resp.
-
na
00
+00
rc,n
, Af"-00 = -00
,:e*= Z* = A ,
f.g eA
, g eA #
31
-r.;
41
:£
51
f" lOA
61
jed1n4 ml!riteln4 mnozina je pr4zdn4 mnozina,
=+00
= Z
7/ f '" g
81 ('O,l) ~
91
~
f" = g
m ,
x = 1nf" A , potom
A '" fa , ozna<!me
'" A = +
(tl.
hi
(itA = x- l
*
(O,l) ,
CU{O,l) =+00
al
f" e Z
na
,
~
bud A C (O,l) ,
10*I
00
,
00
=°
je-l1
x
je-l1
x>
°,
m1n (f" ,1) E Z ,
11*1 f" eA ~ pro kaZd~ c E ~
je { x E (O,l)
f{x)
> c} E
;(+
1 E~
Iv1z vl!tu 56/ ,
1" =
12*1 f E,:e ,
f"
V
luvlldomte a1 vilak, ze
Necht aystem
f" E Z
pro
~
Z
1=°
(O,~)
<~,
<~ , 1)
1) ¢ 17t, v1z vl!tu 121 •
je stejn$ jako ve cv1~en! 2,5 , tj.
f € S ({O,l»
a existuje
x E (O,l) •
Pro 11bovolnou
V
fEZ
polozme
Af =
kEEl
tak,
lie
f'(x) = kx
°.
Dokazte, ita
11
(Z,A)
21
ZR=ZU{f+ oo}
f"_ 00
je v
tvoH z4kladni prostor,
zKU{f_ oo}
/def1n1cefUnkc!
p~edchoz!m cv1lSen! 2,5/,
- 32 -
f+ oo
•
m
3/ Af+ oo = Af_ oo = 0 ,
4/
Je = Je*= A = S
5/
ka~d8 mno~ina
6/
t E S
7/
f,gE S «0,1»
v
«0,1»
«0,1» ,
(0,1) je metite1na a nulova,
=*frv 0
==+
f
Af = 0
a
g ,
N
8*/ fEZ
~ min (f,l) E Z ,
9*/ f E ~
==+
min (f,l) E ie
Bull Z system veech funkci definovanjch nS c i n t e r v a l u
kx , tj.
f(x)
=
=
Z
Pro fEZ,
Dokazte, ze
1/
(Z,A)
2/
ZR
<0,1»)
{f E S (
f(x)
= kx
Af
po1o~me
=k
pro
x €
=Z U
{f1} ,
rovna + 00
ZK
,
=Z u
resp.
>
0
~
f (: Z *
f( 0)
<
0
~
f
4/
.Ie =
Z,
5/
m = {2I}
1/ (Z,A)
,
{ f 2 } , kde· f 1 ' resp.
- 00
na
'Af = +
00
f Z * , t,t
£* = z * =
= -
(0,1),
5/ f
6/
, tj. jedina metitelna
> 0 ~. f ¢ Z * ,
< 0 ==+ f ¢ Z * ,
+9 f(O) =
:fE Je
7/ A €
8/ A €
=
=f 2 ( 0 ) =0
mno~ina
je prazdna
mno~ina.
p~edchozim p~iklade
tvoti zak1adni prostor,
E
de
je funkce
A
1 } , ZK = Z u { f 2 } ,kde funkce
definovany stejne jako V p~. 2,7 ,
4/ f
f2
00
2/ zR = Z U [ f
f(O)
<0,1) } •
•
Definujme zak1sdni system funkci Z stejne jako v
2,7. Pro 1ibovolnou fEZ po1o~me Af = 0 •
Dokszte, ze
3/ f(O)
tvaru
tvoti zak1sdni prostor ,
f(O)
3/
= kx
f( x)
i
<0,1)
==+
~f = -00
0
Af· = 0 ,
m ,
10/ 0 € A =9 !1A = + 00
11/ f rv g #
12 *i fEZ
~
13*/· f E J'!: ~
,
Af = + 00
:e*= A ~ S « 0,1» ,
m 4=9 A C (0,1) /tj. kdyz
m ==+ caA = 0 ,
9/ P = (0,1) ~
jsou
f(O) = g(O) ,
min (f ,1) € Z ,
min (f,l) G £:
- 33 -
0
¢
A /
,
,
~
Z = ( £ E S(E l )
de£inuJeme A£
£(0) •
Bud
s
Je konstantn! na
=
Pro l1bovolnou
El } .
1: E Z
Dokazte, ze
li
tvoi'! z~kladn! prostor,
(Z,A)
= Z
2/ ZR
U {
identieky roVM
==+
3/ £ ~ S(El )
5/
m={
xEE
Je £unkee
....
XEE
,
l
0, El } , tJ. Jedine m~i'1telne mnoziny Jsou pmzdn~ mnoZina
¢ m.
~
Bud Z = { £ e
El ' pi'icemz
° , CUE1
=1
,
;tA = 1 •
S ( (0,1) )
x E (0,1)
pro
El '
A£ = in£ rex)
rex) ,
l
£+ 00 /£_00 /
na
* =A,
eu-(0) =
I 2.10~1
£-oo} ,kde
{
I - 00 I
A£ =. eup
a eely prostor
6/ A
= ZU
+ 00
*
£=Z
4/£=Z,
'lJ'-
£+oo} ,
£
Je
konecoo
rex)
a
=
°
pro deehna
s viJimkou snad konecneho poctu boM } ,
L...
A£ =
£ € Z de£inujme
/ Jedn~
rex)
XE(O,l>
se
konecnY soucet
0
/ •.
Doj<azte, ze
1/ (Z ,A)
21
tvoi'!
°
rex) >
z~adn!
prostor,
xE
pro neepocetni! mnoho
<0,1>
~
....
A£ = + 00
~Jist~te neJdi'!ve eharakterist1ku systemu ZR a uvMomte ai,
ze
°
rex) (
31 Jedinll.
int: 0 = +
pro
nulov~
00
neepocetn~
mnoho
mnoZina Je
pmzdn~
41 ~ = { £ E S «0,1»
.L...
a
51 £ €
61A =
I£(x)/
XE<O,l>
:t:
~
{£
--ll ,
rex) ~
;
<
+
°
£(0,1)
~
....A£ = -
,
00
mnoZina,
pouze pro epocetn~ mnoho
xE(O,l)
oo} ,
L..
At: =
rex)
x E (0,1>
E S
X
«0,1»
,
£( x) il
°
pouze pro
spocetn~
mnoho
x E(O,l)},
7/
m
8/ A E
= { A C (0,1)
m
;
~ ("A = + 00
A
je spoce~ }
,je-li
(UA = n ,Je-li
A
A
nekonecoo spoce~,
konecoo a
9/ A C (0,1) Je neepoce~ ~ itA = + 00
u
pmvi!
n
prvJcd ,
•
epoce~ nepmzdmi mnoUna, nechl Z = { 1: E S (P) ; £ je
konecoo na P, £ ~
pouze na koneene podlllnoliini! z},
£ E Z de£inujme
A1: = L. 1:( x) / jednll. sa 0 konel!Dt &Oueet!
XEP
P
Pro
,
°
- 34 -
255)5 Z3
Dokal te. 1te
11 (Z,A) tvoi':C z'Jcladn:! proetor
2/ f·~ 0
P
=+
n--je-li
P
={ ~. X2'
< n.
j
3/ A
ES
(P)
=+
> n
j =
•
pro
P
~ 0
P
je ml!ritelna •
={ f
fEZ
E S (P);
definujme. Af
f+ e
=>
a
•
je-l1
14 nekonel!n8
•
je-l1
},\
dvoubodova mnoUna.
Z
t" c :e R
f+
=+ ("},\ = + 00
C" 14 = n
5/ Me P
Pro
definujme
pro
potom
» t JI •
f j
kaldQ podmnolina
Bua
2) ••••• } •
= s(P)
Iff
·\2.12.1
f E
f j (xn) = min (j; f(xn»
f j E Z.
~/
zR
na
P
f
={ a,
konel!n8 a ma pravll
n
3~ •
prvkd.
b}, necbt
p}.
je konel!n8 na
=f
pouUje se vllts
(a) + 2f(b).
Dokalte, 1te:
1/ (Z,A) tvoi':C z'Jcladn:! proetor,
ezR
2/ f
4otf.> - 00
na
P
fe'l!-qi!J f<+oo
3/
= z. A = S (P)
4/ A - Je* # II ,
na
P,
•
5/ kaldS podmnolina
je mlli'iteln8, pi'i l!eml
:e
=0,
c"-( II)
Bua
opllt
necht
Pro
P
Z
r
(Ii
fa} =1
C"{b} = 2
•
(P)
definujme
je konel!n8 na
t
Af
=f
•
~P = 3
•
P = { a,b },
dvoubodova mnol1na.
={ rES
E Z
P
a f( b) = 0 }.
(a).
Dokalte. Ie:
1/ (Z,A) tvo!':! zBkladn:! proetor,
2/
zR
=
z
v {fl}.
tekto:
> 0 -+
<0 ~
3. feb)
feb)
4/
Je =
Z ,
'l1' =Z U{ f 2 t,
flea) = + 00
f
¢
Z
f
¢
Z
*•
je
~f = - 00
Je* = z * = A
'!I' (b) = 1 .
~ '1' = 1. '1' = + 00
=
'Af = + 00
*,
5/ definujeme-li funkci
,
kde' fl' f 2 jeou definov8ny
f 2(a) = - 00 , fl(b). f 2(b)
0 •
,
,
sP pi'edpisem
5"(a)
= + 00
a pi'eeto
,
5"; A
6/ jedin~ mlli'1teln~ mnoUny jeou II , {a} , pi'i l!eml
cU (16)
=0 •
cU { a} =
- 35 -
1 ,
7/ mnoUny
{b },
yr
81 je-l1 .ftmkce
su1i
su1i
Jsou nemlli'1 telnl!
P
cUi b} = ~P = +
00
,
rovna 1dent1clcy + 00
na
P , je
P = (-1,0) U (0,1), de.finujme .ftmkce 9"1 ,9"2
°
= °
9"l(x) =
pro
x E(-l,O) ,
9"2(x)
pro
x E (0,1'>,
9"l(x) = x
9"2(x)
£ € Z,
.f =
8
9" 1
1
= x
r
~A
•
takto:
pro
x E (0,1>,
pro
x E(-l,O).
a 1 ' ~ E E1
Z = { £ € S (P) ; ex1stuJi
£=a l9'1+ a29"2
Pro
8
tak, lie
P }.
na
+ a 2 9"2
de.f1nujme
A.f = a
•
1
Dokallte, lie:
1/ (Z,A) tvo:l'i z~ladni prostor,
2/ £EZR ~ bui'ito £ E Z, nE!bo £=+00
na
(0 ,1> ,
nebo
na
(0 ,1> ,
anebo
.f =
£=+00
41 .f E
ie ,
51 £ E A
s
£ = K'9?
(P);
K.~
£ =
na
£ = K.
¢9
6/MEm#Mn (0,1>
na (0,1>,
~
(0,1)
S1
a
na
< -1,0)
a
na
P •
£ = k 9"f
£ = + 00
#
l1bovolna na
£
(-l,O)},
A£ = K
na (0,1> ,kde
=(6
< -1,0)
ZK I
Charakterizujte obdobnll systl!m.funkci
3/:e ,= { .f E
K.~
na
KE E
*
1
,
.f l1bovo1na na
(-1,0) ,
MC(-l,O) ,
7/I4Em~IoI=0 ,
~
81 £'" g
=g
£
(0,1)
,
m
91 P ,
101 pro
xA = in.f {A n ro.i»
= + 00
,je-1i x =
A
1,
= x
je-l1 xA
AC P ,ozna/!me
(U-A
(fLA
De.finujme
na
P,
9".,
] ,
°,
> °.
A
potom
stejnll jako v pi'edchozim cv1c. 2.14.
Su1i
Z = { t € S (P) ; ex1stuJe
Pro
.f E Z,
.f = k.
~
kEEl
de.finujme
tak, ie
.f = k.
~
na
p}
A£ = k •
DOkaite, ie:
11 (Z,A) tvo!'i zakladni prostor,
2/ £ E ZR #
.f E Z
bu1ito
°
anebo
£ = + 00
£ =
na <-1,0) ,
obdobnll charakteri sujte
31 Je =
Z ,
Je* =
*
Z ..
41 necht pro nlljakl!
t ;
Z*, A£
je-l1 pro nejakl!
A
DB
(0,1,),
"",
,
xoE <-1,0)
= + 00
je
t(x
o)
>
,
xoE '(-1',0)
- 36 -
t(x < 0,
o)
je
t,
0, potom
z*,
y .. - 00
,
b/
Af = - 00
(specililne aby 1.f = 0) ,
Ar
(spec1alne aby
N
c/
= +00
N
N
e/ NAf = 2,
P
fEZ
Af
= -1 •
= El x <0,1>. Definujme zlikladni system funkci
~
a/
<
fE
l
1/
(z ,A)
2/
f
tvoi'{ zakladni prostor
r' *
.3/
x E El ~
je konstantni (pi'1pouitime 1
b/ £(x,O)
je lebesgueovakt mei'itelnB v El ,
obdobne charakter1sujte systemy zR,
,.Ie ,.lie*,
4/
m
eA
#
a/
= { 14 x
~,
BUll. M = {l,
Z
: 00)
'l1'
<0,1)
; kde
14 C El
5/<O,l>X<o,~>¢m, {[x,x]e
={ £
3' ~, .... } ,
E S (E ) ;
f
l
£ E Z
definujme
Af =
L
,
£ (!)
absolutne konvern
guje}
v
Ie':
1/ (Z,A)
tvoi'i zakladni prostor (do.kaz, Ie funkc10nal A spJiiuje
axiom 7A je ponekud obtHnejliil)
co by se stalo v pi'ipade, kdybychom poftadoval1 pouze konvergenc1
2/ f
m :
E2; xe<o,l)};
t (~) •
n=l
Doka~te,
jelebesgueovskY mei'itelnB },
necht
kone~n8
je
00
Pro
takto:
x € El ~ r'*(y) je konstantni na
0,1> ,
c/ f(x,O) E C
/defin1c1 systBmu Cr viz za vetou 46/.
l
fEZ def1nujme Af = (R)
t(x,O) dx •
Doka~te, ~e:
~
Z
f E S(P) ,
b/
Pro
,
Af = -1,
d/
Bud
=0)
Af
N
~
° na mno!t1ne
3/A= S(E
l)
~
M
£
(~)
t
?
> - 00
v El
~ £
e ZR
,
,
4/ kalda podmnolina
5/ B C El
~
C'" B =
CUB =
El
je mei'ltelnB,
+ 00
v pi'ipade, Ie mno!t1na
B n 14
je
n
v pi'ipade, Ie mno!t1na
B n 14
m8 prave
- 37 -
nekone~n8,
n
prvko..
={ t
6/ ZR
€ S(E 1 )
00
> - 00
t
E1
na
8/ f
12,18~1
Bud
P
tv
g
~
..
< + 00
f!:.
n=l
IXn
Bua
Z
Pro
fEZ
=
+00
'
M.
l1bovoln8 neprazelna mnoUna, bud
14 = {~. ~, x 3·, ••• }. BUdte
(1)
n
N" 14 = II
na mno!1nl!
t = g
1) konverguje
f (-n
zK,
charakter1zujte obdobnl! eystem
N je nulova
L
n=1
'f:. t
n=l
ab801utnl! anebo
7/ mno!1na
a
MC P
Ot'n E E1 '
spol!etaa, necht
~
an
0
a necht
•
= { f € S (P)
f
def~ujme
je omezena na
f:.
Af =
n=1
an f(:I<c)
-~
Dokaitte, ite:
11 (Z ,A)
tvoi'! z8kladn:! prostor,
2/ udejte charakter1stiku syetllmO. ZR,
3/ 11bovoln8 podmnozina
(je-l1
4/ B C 'P'9ctl B
= f;1
(v jakllm
1 2 , 19 . 1 Bud
Pro
je
ml!~1te1nli
Be P,
an • Ca
B" 14 = II
5/ B C P,
P
p~:!padl!
~
B
'l!' ,
je
CaE Z I)
(lm) ,
je nulova
1ze toto tvrzen:! obratlt?)
Z = C1 (system vliech spoj1t!ch tunkc:! v
f e Z definujme Af = rroi,
B1
e kcmpaktn:!m noe1l!em).
Dokaitte, its :
1/ (Z,A) tvor:! z8klaeln:! prostor,
2/ funkc1ona1
tj.
A
je nav:!c multipl1kativn:!,
A (f.g) = Af • Ag pro
f,
gE Z ,
3/ fEZ * ~ Af = f (0),
= =f
4/ f E S(E1) ~ !l Af
5/ f e £' .. rto) E B1 '
6/ .:e
A
S(B
,
1)
*=
=
7/ kaitdli podmnoZins
8/ f '" g
~
Bud
Pro
(0),
#
f(O)
~
je ml!~1te1nli, p~1 lieu
<0,">
11 (Z,A)
=
= g(O).
Z mnoitina vilech funkc:! na
tvaru
f € Z dafinujme Af· (R)J" f(x)dx.
Dokaitte, ite:
<;«- II
f(x) = a.s1nx.
I)
je z8k1acln:! p1"Oetor,
2/ a podejte charakteristiku &yetllma
- 38 -
zR, zK,
L 1
ex (0)
,
mnoUna viieeh pi'iroze~eh a!ael, necht
P
Z .. ( t E 5(1')
je koneana,
t
j
t(n) =
° pro viieehna
a vi jimkou soad kone1!nlSho poatu }.
Pro t E Z definujema At =
ten) Ijedn8 se
n=l
Dokallte, lie
L
0 konea~
n E P
souaet/.
11 (Z,A) tvoi'! z4kladn! prostor,
2/ f fE ZR #
31 t
€
it
t)
- 00
ten)
co
~
L
#
n=l
°
It(n) I
na
P
a existuje
n ~ N ,
kdykoliv
<
:e =9 At = n=l
L f(o)
+ 00
wk, lie
N
,
00
41 f E
51 A
=
5(P)
,
,
61 kalldlS podmnozina
P
je mlli'1teln8 laemu je rovno
~ Id
pro 14 C P? I.
Jak lze interpretovat funkee na mnoUnll P? Charakter1sujte potom ayst'm
funkc! 5e !
Pomoe! tohoto cviaen! a vllty 42 dokallte naeleduj!e! zaj:Cmevou vlltu z teorie i'ad Iviz tlSlI V.Jam!k, D1tereneial.n! poaet II, kap. III, §2, pozn.l/:
"Bu1\. dana i'ada rel!.ln$eh a!sel
f..
n=l
~
a n+ = max (an,O) ,
,oznaama
a~ = max (-an,O). Potom i'ada ~ 'a
00
i'ady
L.
n=l
+
00
a;; , ii=l
)" ~
00
= ~ an -
konverguje abeolutnll, pravll kdyll
n=l
n
co
konvsrguj!. V tomto pi'!padl! pak je L an =
n=l
co
~ a~
."
Jako deli! aplikaei viz pi'!klad 8,21.
Definujme mnozinu
P
a zakladn! ayetlSm Z
stejnll jakO v pi'edchoz!m cviAt =
f~n). Dokallte, lie
aen! 2,21. Pro l1bovolnou t € Z polozme
n=l
(Z,A) tvoi'! zakladn! proetor a podejte charakter1stiku eystemO. Z
f:.
*, :e ,
~
*,
Jl , 1dt
I
/Viz tell pi'. 2,18/.
Bud (a ,b) C E l ,bud
Z mnoZina viiech spoji t;;'ch tunkc~ na in1l8rvalu
(a,b>. Pro l1bovolnou
se
Z definujme
At= ( R ) ! t .
Ukallte, lie (Z,A) tvoi'i zakladn! proetor.
Uvazujme nyn! (a,b) = (0,1) a tunkce
f:
f(x) = 1
pro
x E (0,1)
g:
g( x) =
pro
x E (0,1)
h:
h(x)= 0
pro
x E (0, ~
+00
f(O)
,
>,
°
g(O)
=
=0
h(~)
=- 21
, hex)
(1- ,
2
Ukc~te,
lie viiechny tyto funkce lez! v
Defihujme Mole funkci ';:> ,
- 39 -
•
1).
=21
?J (x)
.. 0
pro
x € (~,l>
'l!
#
C
9'(x) ..
j
€(-
00
~
pro
,0> .
,m. .
z*, f£ ,:£*, A
.se*(a,b),
5e (a,b),
Z .. C1
ukalte, Ie rN;
I
=C
Pou!ijeme-li nyn! teorii abstrektn!ho roz~!reni, obdrl!me
Jalr! bude vztah tllchto syst~mO. k syst~-
9yst~my
mdm
~>, 9't~)
x€<O,
A(a,b), ~ " - k 'syst<lmdm vzoiklim rod!renim
Af" (R)..( f
a
(toto je tlll§! otaZkat.
~
nakter~
lZ - 3Z ' 4A - 7A
jinYm1, s n1mi ekvivalentn!m1:
Ukal!te, Ie
Z axiomd
=+
al
<3 Z)
~
(f € Z
bl
<3 zl
#
(f,g € Z
cl
(5A )
#
(fE Z
by mohly byt nahrazeny
min(f ,0) E Z) ,
c+ max(f,g) €
=+ Alfl ~O) •
Z, min (f,g) E
z),
Dokazte, Ie plat!:
al
b/
f €
'l!-
f E
zR
~ Af .. io£ Ag,
=+ Af = sup Ah,
f € S(P)
>
g E Z ,
g = f
hE Z ,
hif
,
~
1.f = inf Ag,
g
~ s ,
g E Z
Af = sup Ah,
h ~ f,
hE Z
~
h E
u-;;.ka!te, Ie pIa t!:
~
*
h ~ f . . Ah ~ 1.f~ •
'l!-,
Dokalte, Ie plat!:
00
g =
L I f n I -+ g
a/
f
b/
f n E ZR,
c/
f, g E ~
A(max(f,g»
+ A(min(f,g»
= Af + Ag ,
d/
s,
min(Af ,Ag)
~ A(min( f ,g»
•
n E Z,
g
.n=l
f
n
=+
E :t:*=+
Necht
~,~
Hecht
~C
z:'
~
=+
0
€ ZR ,
f:
f E 'l!
n=l n
,
jsou <iva zakladn1 sysUmy funkc1 ned lII1o!1nou
Z:!C
vatu pro systamy .
~.
zf,
~=~ •
Potom
~. I
p.
Dokalte a vyslovte obdobnou
Ve v§ech deU1ch pf'1kladech - al do kepi toly 7 - pi'eclpokl-'Mme, Ie
Z .. C , Af .. (R) ' - f
r
II
'
r
DokazuJte n'eleduJ1c1 tvrzen1:
al
f(x) =1
pro
1E(O,l),
f
;
f(x) =0
'l!,
f E
Je •
jindev
~~f; Z,
fE'll',
Af =1
r-;rzen1 dokezujte pf'mo z def'1n1c i pCllaoc1 charakteriet1k jednotliv!ch
sya"t<lm - viz napf'. vUe:~,
- 40 -
b/ .t(x) = 1
pro
r;, 'l!-,
c/ t(x) = 1
pro
E1 ~ .t; Z, r E zR,
interval (a,b) Je omezen$, Ar = b - a ,
.t(x) = 0
x E(a,b),
.t f. Z++
Jinde v
.t(x) = 0
x E (0,1>,
Jinda v
z", r ff:t:,
B1".t;
Ar = 1 ,
=1
dl r(x)
pro
e/ f(O) .. +
00
,
x E E1 " f f. ZR - 7!', Af
rex) = 0 pro x ~ 0 ... r
r-;" protoIe pla ti implikace
= + GO
~*,
¢
,
r
~ f <+ 00
f E 7!'
E
:e,
Ar ..
0
vliude, nemdle byt
rE7!',
b/ necht existuJi
fnE Z,
fn/,f, potom exiatuJe
a
tak, Ie n ~ no ' x E (+ 0)
tedy t41 nemdle byt f E ZR ,
cl zi'e Jmi!
=+
rn(x)
>3
no
a
>
Ar =
0
e >0
b~ tedy
=:if- .(+) n
g(O) .. +00, g(x)
, definu,jme flJnkci
1 .
pro
xE
(3n +!
;
1
7)
n = 0,1,2 •••.. ,
g( x) = 0
pro
potom
1/
x E
<1,
+ 00
g
),
sud4 flJnkce v
~,
g E ZR ,
2/ Ag = E, ,
3/
g
~
r •
r
el pOd1e vi!ty 52 UI 1ehko uk4iete, Ie
r E:II;,
~
pro x ~ 0
Ar = 0 ,
= l,r(x) = 0
=+
f tj.
gI rex)
= + 00 pro xE(O,l), f(x) = 0
rE'l!, r¢ r, A.t .. +00 ,
hI
= -
.f( x)
x E ~ :at r E
pro
00
fE 7!',
Jinda
r - zR
,~
O.
f
¢ zR ,
v E1 ~ ftj. Z ,
,tedy A.t = -
00
Dokal:te, Ie:
coax
al ---z
¢ Z *,
d/
bl
81nx
¢ Z *,
e/
c/
x
l+x
1
~
er! ,
e-~ E zR
'I z * ,
[tvrzeni dokdte pf'!mo z definic
12,30.1
z,
tV
i poulitim vi!ty 47
•[
DOkalte, l:e:
al
A sinx
N
=-
Ax = - 00
~
00
,
,
rr-ukaUe, Ie plaU:
A ainx=
+00
,
g ~
aim
N
Ax=+OO
g E ZR,
- 41 -
=+
Ag
0
(oddvodni!tel) ,
N
dl ukUeme, Ie Ar = 0
takto:
s/ reO)
8>
= + 00~
•.
•
g
I2,31·1 sua
D Dirichletova tUDkce v .~ 'llJ.
D(x) .. 0 pro x iraci0D4ln1).
pro
D(x)- 1
x
raci0D41D1 ,
Dokal!te, l!e:
a/ D; Z *,
-=
'.
b/ AD~O,
c/ AD
0 •
IrK ddkazu posledn1ho
tvrzen1 mus1te dClk4zat po~e Vlastn08ti
1n£111l8 toto:
g ~ D
1) g E ZR,
=+
Ag i: 0
2) ke kal!dlSmu E, > 0 ex1stuje takovli f'unkce g E ZR , l!e g ~ D
a Ag < E, , toto u]ga1tt8 nlis1edovnl! - bUCi E. > 0 11 bovolnlS a1s1o;
protolte mnol!1na rsc1onaln1ch a1se1 je v E1 spoaetnli, be j1
erovnat do poe1oupnosti {~,~,x3'"'' }. Okolo kdd'ho Xn
opUte interval
ce
f'
n
(Xn - ~. Xn
In -
2
tekto:
f'n(x) = 1
x E In ,
pro
+
+)
2
tn - 0
Potom - napr. podle 2,28 b - je
f' EzRa
n.
g = L f'n ' dostlivlime
n=l
.
00
Po1ol!1me-11
zR
(X)
g E
jJ)
g~D,
a def'1nujte f'Unk-
j1nde v
~.
Af' = ~.
211-1
(viz 2,26. b) ,
7) Ag=2~
d/
D",O, te~ D E ~
a
AD" 0 •
1IV1z pi'edchoz:! Debe vlitu 52 , tlSlt 5,6
12,32.1 awl
q>
x E (0,1> ,
x =
O. Po1ol!me f'(x)
~
, kde
= ~;
p, q
---.JI
j80U celli ne80udlilmi a181a ,
pro ostatn1
x E E
l
.,ua
,f'(x) .. O.
(f' je tzv. R1emannOVD f'Unkce).
Donltte, Ite:
1/
f'
je spojltli v keltdiSm lrac10D4ln1m bodl!,
2/ v kal!d'm rac1onli1Dim bodli interva1u (0,1> mli oatr' lokli1n1
max1Jllum,
3/ f' E zK (ukal!te primo z def'1nice 1 charall:ter1stilQ'
r."
4/ Af''' 0 ,
5/
ex1stuje
r
.,
(R)!f'(x)dx .. 0
ukaltte pi'imo al pomoc1 vlit,r 57--=J
6/ Ex1stuje
(N)!"t
· al
(ZN)
- 42 -
f'f'?
auCi 0 C ~
otrri'eDll _oUna. Potom
Co E zR , doblte I
n-Libovolnou oteTfenou _o~1nu v 1 1 lze vyj'df~t jako sjednocenf
spolletn4ho syst4mu otevi'eD$ch di8junktnfch interveld, pouUjte
2 ,28b • 2 ,2 6b
--.:.JJ
* je Af = ~Af Iviite 10/. Obr4t1 t toto tvrzenf nelze, tj.
Je-l1 f
N
je-l1 pro nejBkou f'unkc1
f Af" NAf, pak nemu81 jeitii bit f € ~ *
'"
Ivzhledem k viiU 36 je pak pochop1
telnii f A I. 11veCime DIl81edujfd pHklad.
e:e ,
f
au! N C ~ lebesgu8OVsk;y nemiii'1telDll _oUne, necht f'unkce
1dent1cky rovne 5 ne 1 1 , potom
11
!
(~ + f)
21 ~ + f
=A (~
+ f)
= + 00
,
tjA .
Dob!te I Vlf:l.mniite 81 tIS! pi'. 2,13 •
12
,35.1Rozhodniite, zde plat! n4s1edujfcf 1mpl1bce:
al f E ~ , f;a 0 ... fEzR,
b/
c/
dI
e/
f/
=+ f E ~ll,
fn ....... t =+ f e zR (f E i ' , ~*, A ) ,
f n e i ' , f n......... f =+ f E '11-,
t e AI'1 ' Igl ~ t ne 14 =+ g eA M '
* , If I ~ g na 14 ~ f € :£.I'f*
fEA"1 , g€£,.,
fEi',
R
fnE Z ,
f~O
'.
- 43 -
,
t
je