8 Dynamika Soustav Těles

97
8-Dynamika Soustav Těles
8 Dynamika soustav těles-metoda uvolňování
Vyšetřování pohybu soustav těles vázaných kinematickými dvojicemi a vyšetřování
dynamických silových účinků působících na jednotlivá tělesa soustav tvoří základ dynamiky strojů
a mechanismů. Úlohy jsou v podstatě dvojího typu :
V úlohách vlastní dynamiky vyšetřujeme pohyb soustavy těles na základě daných akčních silových
účinků. Patří sem vyšetřování rozběhu a doběhu strojů, nerovnoměrnosti chodu strojů a metody
snižování nerovnoměrnosti chodu strojů.
V úlohách kinetostatiky se zpravidla vychází ze zadaného (požadovaného) pohybu. Vyšetřují se
akční silové účinky potřebné pro dosažení popř. udržení zadaného pohybu, reakce v kinematických
vazbách a vnitřní silové účinky, potřebné pro dimenzování.
Řešení pohybu soustav těles lze řešit v zásadě 3 základními způsoby:
1/ Uvolňováním jednotlivých těles ze soustavy a sestavením pohybových rovnic (ať již
Newtonovým nebo D´Alembertovým způsobem) pro jednotlivá tělesa. Vazby mezi tělesy se přitom
zohlední pomocí příslušných kinematických vztahů.
2/ Použitím věty o změně kinetické energie, zákonů zachování energie, hybnosti, momentu hybnosti
tak jak byli zmiňovány pro soustavu hmotných bodů.
3/ Použitím metod analytické mechaniky tj. aplikací principu virtuální práce, metodou redukce
hmotových a silových veličin, obecné rovnice dynamiky, Lagrangeových rovnic II. apod.
8.1
Sestavování pohybových rovnic pro rovinné soustavy s jedním stupněm
volnosti
Metoda uvolňování převádí řešení dynamických úloh soustavy těles na řešení dynamických
úloh jednotlivých uvolněných těles. Přitom se vychází buď z 2. Newtonova zákona nebo
z d´Alembertova principu. Princip metody uvolňování můžeme vyjádřit následující větou : Těleso
uvolněné ze soustavy těles (ve které je uvolněné těleso vázáno s ostatními tělesy kinematickými
dvojicemi) se pohybuje jako těleso volné, na které působí vnější (akční) síly a vazební (reakční) síly
od ostatních těles (včetně rámu). Metodu uvolňování hlavně používáme v případě, kdy nás zajímají
hodnoty reakcí (např. jsou-li od těchto hodnot závislé pasivní odpory).
Pohyb uvolněných těles je popsán souřadnicemi, které závisí na pohybu jednotlivých těles.
Nejčastějším případem soustav jsou rovinné soustavy s jedním stupněm volnosti. V tomto případě
pohyb soustavy je jednoznačně určen jen jednou souřadnicí. Na začátku řešení úlohy vybereme
jednu souřadnici jako základní (zobecněnou) a označíme ji q. Následně vyjádříme všechny
souřadnice xi, yi působišť akčních sil Fi a všechna pootočení φi akčních působících momentů Mi
pomocí těchto souřadnice tj. nalezneme vztahy xi(q,t), yi(q,t) a φi (q,t). Proderivováním těchto
závislostí podle času můžeme vypočítat rychlosti a zrychlení
xɺi ( q, qɺ , t ) , ɺɺ
xi ( q, qɺ , qɺɺ, t ) , yɺi ( q, qɺ , qɺɺ, t ) , ɺɺ
yi ( q, qɺ , t ) , ϕɺi ( q, qɺ , t ) , ϕɺɺi ( q, qɺ , t )
-97-
(8.1)
98
8-Dynamika Soustav Těles
Jestliže do pohybových rovnic každého uvolněného tělesa dosadíme za všechny rychlosti a
všechna zrychlení příslušné závislosti (8.1) a vyloučíme reakční silové účinky, dostaneme vlastní
pohybovou rovnici soustavy ve tvaru diferenciální rovnice druhého řádu
f ( F ix , Fiy , M i , q, qɺ , qɺɺ, t ) = 0 ,
(8.2)
kde F ix , F iy resp. Miz jsou souřadnice akčních sil resp. akčních momentů.
Ze složkových pohybových rovnic psaných do směru tečny k trajektorii pohybu středu
hmotnosti popř. z momentových rovnic k ose otáčení je možné přímo řešit pohyb bodů popř. těles,
těmto pohybovým rovnicím budeme dále říkat hlavní pohybové rovnice. Aby bylo možné tyto
hlavní rovnice hned získat, je nutné vhodně zvolit použitý souřadný systém (např. přirozený
souřadný systém s osami rovnoběžnými s tečnou a normálovou dráhy těžiště). U soustav bez
pasivních odporů pak jsou hlavní pohybové rovnice zároveň rovnicemi vlastními tj. neobsahují
reakce. Z takové soustavy vlastních pohybových rovnic je již pak poměrně snadné zjistit pomocí
vztahů (8.1) vlastní pohybovou rovnici pro celou soustavu. U vazeb s pasivními odpory hlavní
pohybové rovnice obsahují reakce, které určují velikost pasivních odporů (např. hodnotu normálové
složky tlaku u smykového tření). V tomto případě z hlavních pohybových rovnic dostaneme rovnice
vlastní, pokud všechny vazební síly se v nich vyskytující vyjádříme z ostatních pohybových rovnic
pomocí sil akčních.
-98-
99
8-Dynamika Soustav Těles
Příklad 8.1. Vozidlo s přímým pohonem zadní hnací nápravy (obr.8.4) má akcelerovat se
zrychlením a. Vypočítejte hnací moment M na hnací nápravě v závislosti na zrychlení a
maximálně možné zrychlení při rozjezdu vozidla. Je dána hmotnost karosérie m2 = 900 kg ,
hmotnost náprav m3 = m4 = 50 kg , momenty setrvačnosti náprav I 3 = I 4 = 4 ,5 kg m 2 a geometrické
veličiny r = 0 ,375 m , e1 = 2 m , e2 = 3 m , h = 0 ,5 m . Pasivní odpory zanedbejte.
x
2
m2a
a
T2
M
m2g
R 3y
R 4y
R 3x
R 4x
3
R 3y
M
r
R 4y
I4α
R 3x
m3a
4
R 4x
m4a
r
3
I3α
4
T4
T3
N4
N3
S2
ma
mg
2
h
P
I3α
T4
T3
I4α
N4
N3
e2
e1
e
Obr.8.1. Uvolnění vozidla s přímým pohonem zadní hnací nápravy.
-99-
100
8-Dynamika Soustav Těles
Řešení. Pro tři uvolněná tělesa (viz. obr.8.4) lze aplikací d´Alembertova principu sestavit
devět podmínek rovnováhy pro neznámé složky vnitřních reakcí R1 x , R1 y , R2 x , R2 y v rotačních
kinematických vazbách mezi nápravami a karosérií, pro složky vnějších reakcí N 3 , T3 , N 4 , T4 ve
valivých kinematických vazbách a hnací moment M . Omezíme-li se na výpočet hnacího momentu,
stačí sestavit hlavní pohybové rovnice uvolněných těles, tj. složkovou rovnici pro těleso 2 ve směru
pohybu
m2 a + R4 x − R3 x = 0 ,
(a)
a momentové rovnice pro nápravy k pólům valení
M − I 3 α − ( R3 x + m3 a ) r = 0 ,
( R3 x + m3 a ) r − I 4 α = 0 .
(b)
(c)
Za zobecněnou souřadnici zvolme x . Soustava má za předpokladu valení kol (tj. pro T3 < f 0 N 3 a
T4 < f 0 N 4 , kde f 0 je součinitel adheze) konstantní převod, z něhož vyplývá pro úhlové zrychlení
α kol následující výraz
x = rϕ
⇒ a = rα
⇒ α=
a
,
r
(d)
kde ϕ je úhel pootočení kol (platí ɺxɺ = a , ϕɺɺ = α ). Vyloučením reakce R1 x z hlavní pohybové rovnice (b) pomocí (a) a (c) a s ohledem na (d) dostaneme
I +I 

M = r  m2 + m3 + m4 + 3 2 4  a .
r


(e)
Největšího možného zrychlení při rozjezdu se dosáhne při plném využití adheze mezi koly hnací
nápravy a vozovkou, tj. při splnění podmínky T3 = Tmax
T3 = f 0 N 3 ,
(f)
kde f 0 je součinitel adheze mezi koly hnací nápravy a vozovkou. Ze složkové rovnice nápravy 3 ve
směru pohybu vozidla a z rovnic (a) a (c) vyplývá
I 

T3 = m3 a + R1 x =  m2 + m3 + m4 + 42  a .
r 

(g)
Z momentové podmínky rovnováhy pro celou soustavu k pólu P kola 4 (viz. obr.8.1) vypočítáme
normálovou složku reakce
N3 =
I3 + I4  
1

 m g e2 +  m h +
 a .
e
r
 

Z podmínky (f) potom plyne výraz pro maximální možné zrychlení vozidla
-100-
(h)
101
a max =
8-Dynamika Soustav Těles
f 0 m g e2
I e
I +I
m e + 4 2 − f0 m h − f0 3 4
r
r
.
(i)
kde m = m2 + m3 + m4 . Hnací moment odpovídající tomuto zrychlení je
I +I 
f 0 m g e2

.
M max = r  m + 3 2 4 
r

 me + I4 e − f m h − f I3 + I4
0
0
r2
r
(i)
Pro f 0 = 0 ,6 je a max = 3 ,64 m s − 2 a M max = 1454 N m .
Příklad 8.2. Vyšetřete pohyb tělesa uloženého na válcích, jsou-li geometrické a hmotnostní
veličiny tělesa 4 i válců 2, 3 dány (obr.8.2).
x
4
a
r
r
2
β
3
m4a
4
a
T2
i = 2, 3
N2
e
m4g
Ni
T3
N3
Ti
Riy
Rix
i
mig
Iiα
Mči
-101-
Obr.8.2. Uvolnění jednotlivých těles při vyšetřování pohybu tělesa 4.
102
8-Dynamika Soustav Těles
Řešení. Pro tři uvolněná tělesa můžeme sestavit devět podmínek dynamické rovnováhy pro
neznámé složky vnitřních reakcí N 2 , T2 , N 3 , T4 , vnějších reakcí R2 x , R2 y , R3 x , R3 y a pro
zrychlení a posuvného pohybu tělesa 4 po válcích 2, 3. Složkové rovnice tělesa 4 mají tvar
m4 g sin β − T2 − T3 − m4 a = 0 ,
(a)
N 2 + N 3 − m4 g cos β = 0 .
Složkové a momentová rovnice k ose otáčení válce 2 :
T2 + m2 g sin β − R2 x = 0 ,
R2 y − m2 g cos β − N 2 = 0 ,
(b)
T2 r − N 2 e − I 2 α − M č 2 = 0 ,
složkové a momentová rovnice ose otáčení válce 3 :
T3 + m3 g sin β − R3 x = 0 ,
R3 y − m3 g cos β − N 3 = 0 ,
(c)
T3 r − N 3 e − I 3 α − M č 3 = 0 .
Vzhledem k podmínkám R2 y >> R2 x a R3 y >> R3 x , které platí pro malý úhel β , aproximujeme
momenty čepového tření výrazy
M č 2 = f č rč ( R2 y + 0 ,4 R2 x ) ,
(d)
M č 3 = f č rč ( R3 y + 0 ,4 R3 x ) .
Soustava má konstantní převod (odvalování tělesa 4 po válcích 2, 3), z něhož plyne
a = rα .
(e)
Ze soustavy rovnic (b), resp. (c) vyloučením složek reakcí R2 x , R2 y , resp. R3 x , R3 y plyne pro
tečnou složku T2 , resp. T3 vnitřní reakce výraz
T2 =
N 2 ( e + f č rč ) + f č rč m2 g ( cos β + 0 ,4 sin β ) + I 2 α
,
r − 0 ,4 f č rč
(f)
T3 =
N 3 ( e + f č rč ) + f č rč m3 g ( cos β + 0 ,4 sin β ) + I 3 α
.
r − 0 ,4 f č rč
(g)
Dosazením (f) a (g) do první rovnice (a) a s uvážením vztahu (e) obdržíme pro zrychlení tělesa 4
následující výraz
3
m4 g (( r − 0 ,4 f č rč ) sin β − ( e + f č rč ) cos β ) +
a=
∑f
1
m4 ( r − 0 ,4 f č rč ) +
r
-102-
č
i=2
3
∑I
i=2
rč mi g ( cos β + 0 ,4 sin β )
.
i
103
8-Dynamika Soustav Těles
Řešení v uvedeném tvaru je správné, jen pokud je splněna podmínka odvalování tělesa 4 po
válcích 2 a 3, tj. pokud platí
T2 ≤ f 0 N 2 ,
T3 ≤ f 0 N 3 ,
kde f 0 je součinitel adheze mezi tělesem 4 a válci 2, 3.
Příklad 8.3. Sestavte pohybovou rovnici čtyřkloubového mechanismu využitím převodu a
derivace převodu mezi hnanou klikou 4 a hnací klikou 2 (viz. obr.8.3). Na kliku 2 působí hnací
moment M 2 a na kliku 4 zátěžný moment M 4 . Hmotnost těhlice 3 zanedbejte.*)
S
r3
ϕ3
3
.
π − ϕ4 + ϕ3
S
.
r4
ϕ2 − ϕ3
2
M2
4
r2
ϕ4
ϕ2
L
M4
I2α2
I4α4
Obr 8.3. K sestavení pohybové rovnice čtyřkloubového mechanismu.
Řešení. Za nezávislou souřadnici zvolme úhel
ϕ2
natočení hnací kliky. Z geometrických parametrů
r2 , r3 , r4 ,
L vyplývá převod p4 ( ϕ 2 ) a derivace převodu p4′ ( ϕ 2 ) . Úhlové zrychlení hnané kliky 4 je podle (1.3)
α 4 = α 2 p4 ( ϕ 2 ) + p4′ ( ϕ 2 ) ω 22 .
Při zanedbání hmotnosti těhlice 3 je jí přenášená osová síla S . Kliky 2, 4 rotují nerovnoměrně kolem svých hlavních os
setrvačnosti. Hlavní pohybové rovnice uvolněných klik mají tvar
M 2 − I 2 α 2 − S r2 sin ( ϕ 2 − ϕ 3 ) = 0 ,
S r4 sin ( ϕ 4 − ϕ 3 ) − I 4 α 4 − M 4 = 0 .
*)
V pohonech různých strojů bývá čtyřkloubový mechanismus vřazen mezi hnací část pohonu a hnanou část pohonu.
Pokud v hnané nebo hnací části pohonu nejsou vřazeny další převodové mechanismy, lze obě části pohonu redukovat
na příslušné kliky. Zanedbání hmotnosti těhlice 3 je pak opodstatněné, neboť momenty setrvačnosti I 2 a I 4 jsou velké.
-103-
104
8-Dynamika Soustav Těles
Vyloučením osové síly S dostaneme pohybovou rovnici mechanismu ve tvaru


r2 sin ( ϕ 2 − ϕ 3 )
p4 ( ϕ 2 )  α 2 +
 I 2 + I4
r4 sin ( ϕ 4 − ϕ 3 )


r sin ( ϕ 2 − ϕ 3 )
r sin ( ϕ 2 − ϕ 3 )
+ I4 2
p4′ ( ϕ 2 ) ω 22 = M 2 − M 4 2
,
r4 sin ( ϕ 4 − ϕ 3 )
r4 sin ( ϕ 4 − ϕ 3 )
přičemž využijeme zdvihových závislostí
ϕ3 ( ϕ2 ) , ϕ4 ( ϕ2 ) ,
odvozených v kinematice. Z kinematického řešení
čtyřkloubového mechanismu, např. metodou rozkladu v pólu relativního pohybu
P42 , vyplývá pro převod p4 ( ϕ 2 )
výraz
p4 ( ϕ 2 ) =
r2 sin ( ϕ 2 − ϕ 3 )
.
r4 sin ( ϕ 4 − ϕ 3 )
Pohybovou rovnici můžeme proto zapsat též ve tvaru
[ I 2 + I 4 p42 ( ϕ 2 ) ] α 2 + I 4 p4 ( ϕ 2 ) p4′ ( ϕ 2 ) ω 22 = M 2 − M 4 p4 ( ϕ 2 ) .
Pohybová rovnice není řešitelná v uzavřeném tvaru a lze ji řešit některou z numerických metod integrace.
V některých případech (např. při respektování některých případů pasivních odporů nebo u soustav s proměnnými
převody), je pohybová rovnice (8.2) nelineární. Její řešení je pak nutné (až na speciální případy) provést numerickou
integrací s uvážením příslušných počátečních podmínek. Výsledkem integrace pohybové rovnice (8.2) jsou závislosti
q ( t ) , qɺ ( t ) , qɺɺ ( t ) , které popisují pohyb v souřadnici q . Vyšetření pohybu ostatních členů soustavy těles pak
dostaneme ze zdvihových závislostí
xi ( q ), yi ( q ), ϕi ( q ) a uvážení vztahů (8.1).
V úlohách, které vedou k řešení nelineárních algebraických rovnic s nelinearitou způsobenou pasivními odpory,
můžeme aplikovat iterační metodu. Její princip spočívá ve vyjádření pasivních odporů v pohybových rovnicích ze
známých složek reakcí, vypočítaných v předcházejícím iteračním kroku. Prvním krokem je řešení při zanedbání těch
pasivních odporů, jež vedou k nelinearitě. Protože pasivní odpory jsou zpravidla relativně malé, iterační metoda rychle
konverguje. Vzhledem k rychlé konvergenci iterační metody i k nepřesnému vyjádření parametrů pasivních odporů
v praxi zpravidla vyhovuje řešení v prvních dvou až třech krocích. Vysvětlení metody uvolňování s uvážením
nelineárních pasivních odporů si ukážeme na následujícím příkladu 8.4.
-104-
105
8-Dynamika Soustav Těles
Příklad 8.4 Zdvihací mechanismus je rozbíhán konstantním hnacím momentem
koly s úhlem ozubení β. Uvažujte tření v čepech
M . Převod je realizován ozubenými
α3
R 2y
α2
I3 α3
M
M
r2
r´ 3
r3
R 2x
N
2
M č2
2
m2 g
3
I3 α3
β
M č3
a
R 3y
N
R 3x
r4
m3 g
α4
3
4
F
M č4
F
I4 α4
F1
y
S
5
4
S
m5 g
5
m4 a
-m 5 a
m4 g
m5 g
Obr. 8.4. Zdvihací mechanismus – sestavení pohybových rovnic metodou uvolnění.
-105-
M č4
106
8-Dynamika Soustav Těles
y středu volné kladky a zaveďme jeho zrychlení
Za nezávislou souřadnici zvolme vertikální souřadnici
a = ɺyɺ . Protože zdvihací mechanismus je mechanismem s konstantními převody, úhlová zrychlení uvolněných těles
jsou typu
α i ( a ) , konkrétně
α2 =
2 r3'
a,
r2 r3
α3 =
2a
,
r3
α4 =
a
.
r4
(a)
Aplikací d´Alembertova principu sestavíme pohybové rovnice uvolněných těles. Hmotnost závěsného háku přitom
zanedbáme. Při respektování momentů
M č i čepových tření pohybové rovnice mají následující tvar
− R2 x − N sin β = 0 ,
pro těleso 2:
R2 y + N cos β − m2 g = 0 ,
(b)
M − r2 N cos β − I 2 α 2 − M č 2 = 0 ,
pro těleso 3 :
− R3 x − N sin β = 0 ,
R3 y − N cos β − F − m3 g = 0 ,
(c)
r3' N cos β − F r3 − I 3 α 3 − M č 3 = 0 ,
pro těleso 4 :
F + F1 − S − ( a + g ) m4 = 0 ,
( F − F1 ) r4 − I 4 α 4 − M č 4 = 0 ,
(d)
pro těleso 5 :
S − ( a + g ) m5 = 0 .
(e)
Jak je známo ze statiky, momenty čepového tření jsou dány výrazy
M č 2 = f č 2 rč 2
R22x + R22y ,
M č 3 = f č 3 rč 3
R32x + R32y ,
(f)
M č 4 = f č 4 rč 4 S ,
kde
f č a rč jsou součinitele čepových tření a příslušné poloměry čepů.
Soustava patnácti rovnic (a) až (f) obsahuje osmnáct neznámých veličin. Vlastní pohybová rovnice pro případ
bez pasivních odporů (první krok řešení) vyplývá z pěti hlavních pohybových rovnic uvolněných těles a má tvar
M =
( m4 + m5 )
2

r2 r3
r3'
I r r 
r2
(
a
+
g
)
+
2
I
+ 2 I3
+ 4 ' 2 2 3  a,

2
'
r2 r3
r2 r3
r3
r3 r4


odkud plyne
-106-
107
M−
a=
( m4 + m5 )
2
8-Dynamika Soustav Těles
r2 r3
g
r3'
m4 + m5 r2 r3
r3'
I r r
r2
+
2
I
+ 2 I3
+ 4' 2 23
2
'
2
r2 r3
r2 r3
r3
r3 r4
.
(g)
Střed volné kladky se závažím se tedy rozbíhá za předpokladu
m4 + m5 r2 r3
m + m5 r2 r3
g >0 ⇒ M > 4
g,
'
2
2
r3
r3'
M−
rovnoměrně zrychleným pohybem. Z výrazů (a) vyplývají úhlová zrychlení a z pohybových rovnic (b) až (e) pro
f č i = 0 , i = 2, 3, 4 reakce vazeb. Při respektování momentů čepového tření je soustava rovnic (a) až (f) v důsledky
prvních dvou rovnic v (f) nelineární. Je proto numericky výhodné vyjádřit složky reakcí v (f) pro výpočet momentů
čepového tření na základě řešení bez pasivních odporů a z hlavních pohybových rovnic jednotlivých uvolněných těles
vypočítat zrychlení v druhém kroku řešení
m4 + m5 r2 r3
r
r2 r3
g − M č 2 − M č 3 2' − M č 4
'
2
r3
r3
2 r3' r4
a=
.
m4 + m5 r2 r3
r3'
I 4 r2 r3
r2
+ 2 I2
+ 2 I3
+ '
2
r2 r3
r2 r3
r3'
r3 r4 2
M−
Z výrazů (a) vyplývají úhlová zrychlení a z pohybových rovnic (b) až (e) reakce vazeb v druhém kroku
(h)
řešení.
U soustav s proměnným převodem s výhodou využíváme převodových funkcí (převodů) zjištěných pomocí
kinematiky
pi ( q ) =
d xi
,
dq
resp.
pi ( q ) =
d ϕi
,
dq
xi jsou souřadnice posuvného pohybu a ϕ i jsou úhlové výchylky rotačního pohybu těles. Derivacemi podle
nezávislé souřadnice q dostaneme derivace převodů
kde
pi′ ( q ) =
d p i ( q ) d 2 xi
=
,
dq
dq2
resp.
pi′ ( q ) =
d pi ( q ) d 2ϕ i
=
.
dq
dq2
Složky rychlostí a zrychlení posuvného pohybu těles, resp. úhlové rychlosti a úhlová zrychlení rotačního pohybu těles,
jsou dány vzorci
vi ≡ xɺi =
dx dq
= pi ( q ) qɺ ,
dq dt
(8.3a)
d pi ( q ) d q
d qɺ
ai ≡ vɺi ≡ ɺxɺi =
qɺ + pi ( q )
= pi ( q ) qɺɺ + pi′ ( q ) qɺ 2 ,
dq
dt
dt
ω i ≡ ϕɺ i =
dx dq
= pi ( q ) qɺ ,
dq dt
(8.3b)
d pi ( q ) d q
d qɺ
α i ≡ ωɺ i ≡ ϕɺɺi =
qɺ + pi ( q )
= pi ( q ) qɺɺ + pi′ ( q ) qɺ 2 .
dq
dt
dt
-107-
108
8-Dynamika Soustav Těles
Kinetostatické řešení soustav v případě nelineárních převodů si ukážeme na klikovém mechanismu
M na klice 2 pro udržení konstantní úhlové rychlosti ω 2 kliky a
Příklad 8.5. Určete silovou dvojici o momentu
výpočet reakcí ve vazbách. Předpokládejte danou hnací sílu
F ( ϕ 2 ) , působící na píst. Pasivní odpory a tíhové síly
zanedbejte.
e1
a 3y
A
r
M
3
ω 2 = konst.
2
e
a 3x
α3
T3
ϕ3
ϕ2
C
F ( ϕ2 )
a4
4
B
x4
r+e
R Ax
R Ay
I3α3
R Ax
2
T3
R Ay
-m 3 a 3x
-m 3 a 3y
S
F2
r2
T2
R By
F ( ϕ2 )
R Bx
R Bx
R Cx
M
-m 4 a 4
B
R Cy
R By
3
4
N
Obr.8.5a. Kinetostatické řešení klikového mechanismu.
-108-
109
8-Dynamika Soustav Těles
Pro určení setrvačných účinků na jednotlivé členy budeme zřejmě potřebovat vyjádřit zrychlení
složky zrychlení
a4 pístu 4,
a3 x , a3 y středu hmotnosti ojnice 3 a její úhlové zrychlení α 3 (vzhledem k rámu nebo pístu) rotace.
Za nezávislou souřadnici zvolme úhel
ϕ2
natočení kliky z její horizontální polohy. Aplikací vzorců z (8.3) pro
qɺɺ = ωɺ 2 = 0 dostaneme
ω 3 = p3 ( ϕ 2 ) ω 2 ,
α 3 = p3′ ( ϕ 2 ) ω 22 ,
a4 = p4′ ( ϕ 2 ) ω 22 .
Z kinematického analytického řešení vyplývá
1
1

x4 ( ϕ 2 ) = r  1 + − cos ϕ 2 − cos ϕ 3
λ
λ

ϕ 3 = arcsin ( λ sin ϕ 2 ) ,
kde
λ=

 ,
r
,
e
a tudíž pro převody platí
p3 ( ϕ 2 ) =
d ϕ3
=
d ϕ2
p3′ ( ϕ 2 ) =
d 2ϕ 3
=
d ϕ 22
p4 ( ϕ 2 ) =

d x4
λ
= r  sin ϕ 2 +
d ϕ2
2

p4′ ( ϕ 2 ) =
λ cos ϕ 2
1 − ( λ sin ϕ 2 ) 2
,
λ ( λ 2 − 1 ) sin ϕ 2
( 1 − ( λ sin ϕ 2 ) 2 ) 3
,
sin 2 ϕ 2
1 − ( λ sin ϕ 2 ) 2

,


d 2 x4
cos 2 ϕ 2 + λ 2 sin 4 ϕ 2 

.
=
+
r
cos
ϕ
λ
2
d ϕ 22

( 1 − ( λ sin ϕ 2 ) 2 ) 3 
Souřadnice středu hmotnosti S 3 ojnice v souřadnicové soustavě ( C, x, y ) jsou
x3 = r cos ϕ 2 + e1 cos ϕ 3 ,
y3 = r sin ϕ 2 − e1 sin ϕ 3 ,
odkud po dvojí derivaci podle času dostaneme výrazy pro složky zrychlení středu hmotnosti ojnice ve tvaru
a3 x = − r ω 2 cos ϕ 2 − e1 ( ω 32 cos ϕ 3 + α 3 sin ϕ 3 ) ,
a3 y = − r ω 2 sin ϕ 2 + e1 ( ω 32 sin ϕ 3 − α 3 cos ϕ 3 ) .
Pro vyjádření setrvačných účinků na ojnici rozložíme její obecný rovinný pohyb ve středu hmotnosti základním
rozkladem na unášivý posuvný pohyb a relativní rotační pohyb. Potom aplikací d´Alembertova principu sestavíme
podmínky rovnováhy uvolněných těles (obr.8.2). Napíšeme je ve tvaru vhodném pro přímý výpočet reakcí
těleso 2 (klika) :
RC x = RA x − S F2 cos ϕ 2 ,
-109-
110
8-Dynamika Soustav Těles
RC y = RA y + S F2 sin ϕ 2 ,
M = r ( R A x sin ϕ 2 + R A y cos ϕ 2 ) ,
kde
C),
S
F2 = m2 r2ω22 je setrvačná síla působící na kliku, r2 je vzdálenost těžiště T 2 kliky od osy rotace (bod
m2 je hmotnost kliky a ω 2 je úhlová rychlost otáčení kliky.
těleso 3 (ojnice) :
R A x = RB x + m3 a3 x ,
R A y = RB y − m3 a3 y ,
RB y =
RB x e sin ϕ 3 + m3 e1 ( a3 x sin ϕ 3 + a3 y cos ϕ 3 ) − I 3 α 3
e cos ϕ 3
,
těleso 4 (píst) :
RB x = F ( ϕ 2 ) − m4 a4 ,
N = RB y .
Z předcházejících rovnic je zřejmé, že reakce a moment
M pro udržení konstantní úhlové rychlosti ω 2 kliky jsou
F ( ϕ 2 ) , ale explicitně i na úhlu ϕ 2 pootočení kliky. Algoritmus numerického řešení
spočívá v postupném výpočtu veličin ϕ 3 , p3 , p4 , p3′ , p4′ , a4 , ω 3 , α 3 , a3 x , a3 y , RB x až M pro různé úhly
závislé nejen na hnací síle
ϕ2
s jistým krokem
∆ϕ 2 v daném rozsahu natočení kliky.
Z hlediska zjednodušení algoritmu numerického řešení je účelné nahradit ojnici dvěma hmotnými body
mA ,
mB v čepech A , B a korekčním momentem setrvačnosti I k (tj. momentem setrvačnosti tělesa složeného ze 2 bodůviz obr. 8.5b).
F SA
R Ax
mA
2
R Ay
Ikα3
R By
3
R Bx
mB
F SB
Obr.8.5b Nahrazení ojnice dvěma hmotnými body a korekčním momentem
setrvačnosti.
-110-
111
8-Dynamika Soustav Těles
Setrvačné účinky na ojnici jsou pak ekvivalentně nahrazeny setrvačnými silami působícími na hmotné body a
setrvačnou dvojicí příslušející korekčnímu momentu setrvačnosti (viz. obr.1.3). Z podmínek rovnováhy uvolněné
ojnice pak vyplývá
R A x = RB x − FSB − FSA cos ϕ 2 ,
R A y = RB y + FSA sin ϕ 2 ,
RB y =
kde
( RB x − FSB ) e sin ϕ 3 − I k α 3
e cos ϕ 3
,
FSA = m A r ω 22 , FSB = mB a4 jsou setrvačné síly působící na hmotné body m A , mB . Podmínky rovnováhy pro
uvolněná tělesa 2 a 4 zůstávají nezměněné. Algoritmus řešení se však zjednoduší tím, že odpadne výpočet veličin
ω3 ,
a3 x , a3 y .
8.2 Použití vět o pohybu hmotných bodů
V některých problémech řešení pohybu soustav těles je výhodné použít věty o změně
kinetické energie, celkové mechanické energie, hybnosti, momentu hybnosti a o pohybu středu
hmotnosti.
8.2.1
Použití věty o změně mechanické energie
Za předpokladu působením potenciálových sil byl pro hmotné body integrací pohybových rovnic
odvozen zákon zachování mechanické energie Podle něj platí
W = Ek ( qɺ ) + E p ( q ) = Ek ( qɺ0 ) + E p ( q0 )
Proderivováním tohoto vztahu podle času můžeme tedy zase dojít k rovnici pohybové
(8.4a)
dW dEk dE p
ɺ ɺɺ )
=
+
= 0 = f ( q,q,q
(8.4b)
dt
dt
dt
V technické praxi často všechny pracovní síly (včetně sil potenciálových) a všechny
pracovní momenty závisí jen na polohových souřadnicích. Je tomu tak v případech, kdy můžeme
zanedbat nebo definovat práci pasivních odporů (v těchto případech působení pasivních odporů
můžeme zahrnout do sil pracovních). Pak je výhodná aplikace věty o změně kinetické energie.
Změnu kinetické energie během určitého přemístění soustavy těles pak totiž můžeme vyjádřit
pomocí práce sil a silových dvojic působících na soustavu tj. platí
B
B
∆ Ek = E − E = ∑ ∫ Fi dr + ∑ ∫ M j d ϕ j
B
k
A
k
i
j
A
(8.5)
A
U soustav s jedním stupněm volnosti zavedeme zobecněnou souřadnici q , jež popisuje
polohu soustavy. Pak můžeme vyjádřit souřadnice všech bodů těles a pootočení těles pomocí
závislostí xi ( q ), yi ( q ) a ϕ j ( q ) , vztahy mezi rychlostmi bychom dostali proderivováním těchto
vztahů. Vztah (8.5) pak vede obecně k diferenciální rovnici prvního řádu typu
f ( Fxi ,Fyi , M j , q , qɺ ) = 0 ,
-111-
(8.6)
112
8-Dynamika Soustav Těles
jejíž řešení je snadnější než řešení diferenciálních rovnic druhého řádu typu (8.2). Výsledkem
řešení rovnice (8.6) je závislost qɺ ( q ) rychlosti na poloze. Vyšetření rychlosti ostatních členů
soustavy těles pak vypočítáme pomocí příslušných převodních vztahů. Zvlášť výhodná je aplikace
věty o změně kinetické energie na soustavy s konstantními převody, kdy tato rovnice má
jednoduchý tvar. Jako aplikaci uvedeme výpočet závislosti rychlosti břemena (středu volné kladky)
na obecné souřadnici y při zdvihání břemena z klidu zdvihacím ústrojím.
Příklad 8.6 Určete závislost rychlosti zdvíhání břemene z klidu pro zdvíhací mechanismus dle obr.
8.6. Hnací moment M při rozběhu uvažujte konstantní a pasivní odpory zanedbejte.
α3
α2
I3
M
r2
R3
r3
2
I2
3
a
4
r4
α4
m4 , I4
y
5
G = m5 g
Obr.8.6. Zdvihací mechanismus – aplikace věty o změně kinetické energie.
-112-
113
8-Dynamika Soustav Těles
Kinetická energie soustavy je dána výrazem
EK =
1
1
1
1
I 2 ϕɺ 22 + I 3 ϕɺ 32 + I 4 ϕɺ 42 + ( m4 + m5 ) yɺ 2 ,
2
2
2
2
(a)
kde ϕ i jsou úhly natočení jednotlivých členů. Zdvihací ústrojí je soustavou s konstantními převody.
Úhlové rychlosti a úhly natočení hřídelů jsou
ϕɺ 2 =
2 R3
2 R3
v ⇒ ϕ2 =
y,
r2 r3
r2 r3
ϕɺ3 =
2v
r3
ϕɺ4 =
v
r4
⇒ ϕ3 =
⇒ ϕ4 =
2y
,
r3
(b)
y
.
r4
Vztah (a) pro kinetickou energii soustavy můžeme s využitím vztahů (b) přepsat do tvaru
1   2 R3
EK =  I 2 
2   r2 r3

2

4I
I
 + 23 + 42 + m4 + m5
r3
r4


 v2.

(c)
Pracovními silovými účinky jsou moment M a tíha ( m4 + m5 ) g . Podle věty o změně kinetické
energie dostaneme
1   2 R3
 I2 
2   r2 r3

2


4I
I
 + 23 + 42 + m4 + m5  v 2 = M ϕ 2 − ( m4 + m5 ) g y .
r3
r4


Využitím zdvihové závislosti ϕ 2 ( y ) (viz. první rovnice ze soustavy (b)) v předcházející rovnici
dostaneme za předpokladu
M−
m4 + m5 r2 r3
m + m5 r2 r3
g >0 ⇒ M > 4
g,
2
R3
2
R3
hledanou závislost rychlosti břemena na obecné souřadnici y ve tvaru
v=


4 R3
 M r r − 2 ( m4 + m5 ) g  y
2 3


2
 2 R3 
4I
I
 + 23 + 42 + m4 + m5
I 2 
r3
r4
 r2 r3 
.
8.2.2 Použití zákonů zachování hybnosti a momentu hybnosti
Hybnost (moment hybnosti k bodu nebo k ose) soustavy těles je roven součtu hybností
jednotlivých těles (momentů hybností k témuž bodu nebo k téže ose). Změna hybnosti (momentu
hybnosti k bodu nebo k ose) za určitou dobu je dána celkovým impulsem (impulsmomentem
-113-
114
8-Dynamika Soustav Těles
k témuž bodu nebo k téže ose) vnějších silových účinků za uvedenou dobu. Aplikace vět o změně
hybnosti nebo o změně momentu hybnosti je výhodná jen v případech, kdy všechny vnější silové
účinky jsou funkcí času nebo jsou v určitých směrech souřadných os konstantní. Výsledkem řešení
jsou závislosti rychlostí těles na čase. Věty o změně hybnosti jestliže jednotlivá tělesa konají při
sledovaném ději posuvné pohyby, věty o změně momentu hybnosti při rotačních pohybech členů
soustavy soustavy.
Příklad 8.7. Určete závislost rozběhu pohonného ústrojí s třecí spojkou (viz. obr.8.7).
Předpokládejte rozběh konstantním hnacím momentem M 1 působící na kotouč I 1 při konstantním
zátěžném momentu M 2 na kotouči I 2 . Počáteční kinematické podmínky v čase t = 0 na počátku
sepnutí třecí spojky jsou ϕ 1 = ϕ 2 = 0 , ϕɺ1 = ω10 , ϕɺ 2 = ω 20 , přičemž ω10 > ω 20 . Dále určete dobu T
potřebnou na vyrovnání úhlových rychlostí obou kotoučů, společné úhlové rychlosti ω kotoučů
v okamžiku ukončení prokluzu třecí spojky a ztracenou energie během rozběhu.
TŘECÍ
SPOJKA
I1
I2
ϕ2
ϕ1
M1
M2
Obr.8.7. Schématické znázornění pohonného ústrojí s třecí spojkou.
Pro jednoduchost řešení uvažujeme konstantní moment M S přenášený spojkou během prokluzu.
Předpokládejme, že momenty splňují podmínky M 1 > M 2 , M S > M 2 . Aplikací věty o změně
momentu hybnosti na uvolněné kotouče k společné ose rotace mezi okamžikem sepnutí spojky
( t = 0 ) a ukončení prokluzu ( t = T ) dostaneme rovnice
I 1 ( ω − ω10 ) = ( M 1 − M S ) T ,
I 2 ( ω − ω 20 ) = ( M S − M 2 ) T ,
(a)
z nichž vypočítáme neznámé veličiny
T=
I 1 I 2 ( ω10 − ω 20 )
,
( I1 + I 2 ) M S − I1 M 2 − I 2 M 1
M − MS
M − M2
ω = ω10 + 1
T = ω 20 + S
T.
I1
I2
(b)
Ztracenou energii během rozběhu pohonného zařízení určíme z rozdílů kinetických energií na
počátku a na konci děje, tj.
-114-
115
EZTR = ∆ EK =
8-Dynamika Soustav Těles
I 1 ω102 + I 2 ω 202 I 1 + I 2 2
ω .
−
2
2
(c)
Poznamenejme, že jednu z rovnic (a) jsme mohli nahradit rovnicí
( I 1 + I 2 ) ω − I 1 ω10 − I 2 ω 20 = ( M 1 − M 2 ) T ,
(d)
která je vyjádřením věty o změně momentu hybnosti celé soustavy. Z rovnice (d) je ihned zřejmé,
že v případě M 1 = M 2 společná úhlová rychlost kotoučů nezávisí na momentu přenášeném třecí
spojkou a je rovna
ω=
I 1 ω10 + I 2 ω 20
,
I1 + I 2
takže ztracená energie potom je
EZTR
I ω2 +I ω2 I +I
= ∆ EK = 1 10 2 20 − 1 2
2
2
I 1 I 2 ω102 − 2 ω10 ω 20 + ω 202
=
2
I1 + I 2
2
 I 1 ω10 + I 2 ω 20 

 =
I1 + I 2


1 I1 I 2
=
( ω10 − ω 20 ) 2 .
2 I1 + I 2
-115-
(c)
116
8-Dynamika Soustav Těles
8.2.3 Použití věty o pohybu středu hmotnosti soustavy těles
Větu o pohybu středu hmotnosti soustavy těles je výhodné aplikovat v případech, kdy výslednice
vnějších sil v určitém směru je rovna nule.
Příklad 8.8. Určete závislost pohybu neusměrněného mechanického vibrátoru (viz. obr.8.8) volně
položeného na hladkou vodorovnou desku. Počáteční souřadnice celé soustavy xT je dána.
V ustáleném stavu předpokládejte rovnoměrnou rotaci nevývažku úhlovou rychlostí ω .
Řešení: Všechny vnější síly (tíhové m1 g , m2 g a reakce N 1 , N 2 ) mají shodný vertikální směr tj.
jejich složky v horizontálním směru x jsou nulové. Z definice středu hmotnosti pak za předpokladu
počáteční klidové polohy pro horizontální pohyby těžiště T soustavy těles 1 (rám s motorem) a 2
(rotující nevývažek) vyplývá
m1 x1 + m2 x2 = ( m1 + m2 )xT ,
kde x1 a x2 , jsou souřadnice těžiště rámu s motorem a nevývažku. Z obr. 8.8 je zřejmé že platí
x2 = x1 + r sin ω t .
Pro pohybu těžiště desky vibrátoru tedy platí
x1 = xT −
m1
r sin ω t ,
m1 + m2
kde r je excentricita nevývažku.
T2
1
r
T
N1
T1
2
m1g
N2
m2g
x1
xT
x2
Obr.8.8. Mechanický vibrátor s excentricky uloženým nevývažkem.
-116-
117
8-Dynamika Soustav Těles
8.3 Metoda redukce silových a hmotových veličin
V případě velkého počtu členů je při metodě uvolňování i velký počet sestavovaných
pohybových rovnic. Pokud nás nezajímají hodnoty reakcí, studovaná soustava těles má jeden stupeň
volnosti a zajímáme se jen o kinematiku některého z členů, je vhodné použití metody redukce.
Pohyb soustavy s jedním stupněm volnosti lze vyjádřit pohybem myšleného členu, který se
pohybuje shodně se zvoleným reálným členem soustavy. Na tento zvolený člen redukujeme
všechny hmoty i všechny pracovní silové účinky. Těleso, na které provádíme redukci, může konat
buď rotační pohyb (obr.8.9) nebo posuvný pohyb (obr.8.10), příklady konkrétnáích strojních
zařízení jsou na obr. 8.11 a obr. 8.12.
Vycházíme přitom z věty o změně kinetické energie soustavy těles ve tvaru
d EK
= PP ,
dt
kde PP je výkon pracovních silových účinků.
M red
I red
F red
q=ϕ
m red
q=x
Obr.8.10. Redukce na člen konající translační pohyb
Obr.8.9. Redukce na člen konající rotační pohyb
Rychlosti všech těles mechanické soustavy s jedním stupněm volnosti lze vyjádřit ve tvaru
qɺ i ( q , qɺ ) , kde q je
polohová souřadnice členu o jehož kinematiku se zajímáme tj. na který provádíme redukci. Kinetická energie soustavy
těles pak může být vyjádřena při redukci na rotující člen ve tvaru
Ek ( q , qɺ ) =
1
I red ( q ) qɺ 2 ,
2
(8.7)
1
mred ( q ) qɺ 2 ,
2
(8.8)
nebo při redukci na posouvající člen ve tvaru
Ek ( q , qɺ ) =
kde
I red ( q ) je redukovaný moment setrvačnosti soustavy při redukci na rotující základní člen nebo mred ( q ) je
redukovaná hmotnost soustavy při redukci na posouvající člen.
Výkon všech pracovních silových účinků lze při redukci na rotující člen vyjádřit ve tvaru
PP ( t , q , qɺ ) = M red ( t , q , qɺ ) qɺ ,
nebo při redukci na posouvající člen ve tvaru
-117-
(8.9)
118
8-Dynamika Soustav Těles
PP ( t , q , qɺ ) = Fred ( t , q , qɺ ) qɺ ,
kde
(8.10)
M red ( t , q , qɺ ) je redukovaný moment při redukci na rotující člen nebo Fred ( t , q , qɺ ) je redukovaná síla při
redukci na posouvající člen.
Potřebné redukované veličiny určíme z rovnosti kinetických energií skutečné a redukované
soustavy
[ Ek ] skutečná = [ Ek ] redukovaná
,
(8.11)
] redukovaný
(8.12a)
a z rovnosti výkonů skutečné a redukované soustavy
[
] skutečný = [
P
P
Můžeme také použít rovnost mezi virtuální prací (viz kap. 9) skutečně působících sil a virtuální
práce redukovaného silového účinku tj.
[
] skutečná = [
δA
δA
] redukovaná
(8.12b)
V případech kdy všechny působící síly jsou konzervativní, lze místo vztahů (8.12) vycházet z rovnosti potenciálních
energií skutečné a redukované soustavy
[E ]
p
skutečná
[ ]
= Ep
redukovaná
.
(8.13)
Derivací kinetické energie ve tvaru (8.7) resp. (8.8), dostaneme
d Ek
1 d I red ( q ) 3
= I red ( q ) qɺɺ qɺ +
qɺ ,
dt
2
dq
(8.14)
d Ek
1 d mred ( q ) 3
= mred ( q ) qɺɺ qɺ +
qɺ .
dt
2
dq
(8.15)
resp.
Dosazením (8.9) a (8.14), resp. (8.10) a (8.15) do rovnice (8.6), dostaneme vlastní pohybovou rovnici soustavy při
redukci na rotující člen ve tvaru
I red ( q ) qɺɺ +
1 d I red ( q ) 2
qɺ = M red ( t , q , qɺ ) ,
2
dq
(8.16)
resp. při redukci na posouvající člen ve tvaru
mred ( q ) qɺɺ +
1 d mred ( q ) 2
qɺ = Fred ( t , q , qɺ ) .
2
dq
-118-
(8.17)
119
3
a)
8-Dynamika Soustav Těles
b)
F(ϕ)
m
M red
I red
q=ϕ
M
R
x
e
S
O
1
ϕ
2
Obr.8.11. a) Vačkový mechanismus ; b) - redukce mechanismu na rotační člen 2
Pohybové rovnice (8.16) nebo (8.17) jsou nelineární diferenciální rovnice 2.řádu. Jsou tudíž integrovatelné v uzavřeném
tvaru jen ve speciálních případech funkcí
M red , I red , resp. Fred , mred . V případě soustav těles s pasivními odpory
jsou mezi pracovními silami odporové (třecí) síly, které jsou obecně funkcí reakcí. Příslušná pohybová rovnice by tedy
nebyla vlastní pohybovou rovnicí. Uvedenou potíž u soustav těles s pasivními odpory lze u některých jednoduchých
soustav odstranit, jestliže se podaří vyjádřit příslušnou reakci přímo akčními silami nebo přibližným vyjádřením vlivu
pasivních účinků, např. výkonem pasivních odporů jako podílu výkonu hnacích sil, popř. pomocí účinností.
K výraznému zjednodušení vlastní pohybové rovnice pro redukovaný člen dochází u soustav
s konstantními převody, u nichž I red , resp. mred nezávisí na zobecněné souřadnici q. Pohybové
rovnice (8.16), resp. (8.17) se pak zřejmě zjednoduší do tvaru
I red ϕɺɺ = M red ,
(8.18)
mred qɺɺ = Fred .
(8.19)
resp.
Aplikaci metody redukce pro případ soustavy s konstantními převody si ukážeme si ukážeme na
následujícím příkladě
Příklad 8.8 Určete zrychlení břemene u zdvihacího ústrojí (viz. obr.8.12).
Řešení: Jako základní (redukční) člen si zvolíme posouvající se břemeno 5.
-119-
120
8-Dynamika Soustav Těles
Kinetická energie soustavy je dána výrazem
EK =
1
1
1
1
I 2 ϕɺ 22 + I 3 ϕɺ 32 + I 4 ϕɺ 42 + ( m4 + m5 ) yɺ 2 ,
2
2
2
2
(a)
kde ϕ i jsou úhly natočení jednotlivých členů. Zdvihací ústrojí je soustavou s konstantními převody.
Úhlové rychlosti a úhly natočení hřídelů jsou
ϕɺ 2 =
2 R3
2 R3
v ⇒ ϕ2 =
y,
r2 r3
r2 r3
ϕɺ3 =
2v
r3
ϕɺ4 =
v
r4
⇒ ϕ3 =
⇒ ϕ4 =
2y
,
r3
y
.
r4
Vztah (a) pro kinetickou energii soustavy můžeme s využitím vztahů (b) přepsat do tvaru
-120-
(b)
121
8-Dynamika Soustav Těles
α3
a)
b)
α2
I3
M
r2
2
I2
Fred
R3
r
3
mred
a
4
q=y
r4
α4
m4 , I4
y
5
m5
Obr.8.12. Schéma zdvihacího mechanismu – a), redukce na posouvající člen 5 - b)
1   2 R3
EK =  I 2 
2   r2 r3

2


4I
I
1
 + 23 + 42 + m4 + m5  v 2 = mred v 2 ,
r3
r4
2


(c)
odkud pro redukovanou hmotnost mred plyne
mred
 2 R3
= I 2 
 r2 r3
2

4I
I
 + 23 + 42 + m4 + m5 = konst . .
r3
r4

(d)
Zanedbáme-li pasivní odpory, výkon pracovních silových účinků M a ( m4 + m5 ) g je dán vztahem
-121-
122
8-Dynamika Soustav Těles
PP = M ϕɺ 2 − ( m4 + m5 ) g v ,
(e)
což využitím prvního výrazu ze soustavy (b) dává


2 R3
− ( m4 + m5 ) g  v ,
PP =  M
r2 r3


(f)
a tudíž podle (8.10) platí
Fred = M
2 R3
− ( m4 + m5 ) g .
r2 r3
(g)
Dosazením výrazů (g) a (e) do pohybové rovnice (8.19) dostaneme pohybovou rovnici zdvihacího
ústrojí
  2R
3
 I 2 
r
r
  2 3
2

4I
I
 + 23 + 42 + m4 + m5
r3
r4


2 R3
a=M
− ( m4 + m5 ) g .
r2 r3

(h)
Z ní pro konstantní hnací moment M vyplývá a = konst . Rozběh zdvihacího ústrojí je tedy pro
M
2 R3
m + m5 r2 r3
− ( m4 + m5 ) g > 0 ⇒ M > 4
g,
r2 r3
2
R3
(ch)
rovnoměrně zrychleným pohybem.
Příklad 8.9. Vyšetřete dobu rozběhu předlohové převodovky (obr.8.13), která je poháněna
konstantním hnacím momentem M 2 působícím na vstupní hřídel 2 z klidu na požadované otáčky
n2 ( min − 1 ). Výstupní hřídel 4 je zatížen konstantním momentem M 4 . Pasivní odpory neuvažujte.
z4
M4
ϕ4
4
z3
ϕ3
3´
3
z´3
2
M2
ϕ2
z2
Obr.8.13. Schématické znázornění předlohové převodovky.
-122-
123
8-Dynamika Soustav Těles
Řešení. Za základní (redukční) člen vybereme vstupní hřídel 2, který koná rotační pohyb.
Kinetická energie soustavy je dána výrazem
EK =
1
1
1
I 2 ϕɺ 22 + I 3 ϕɺ 32 + I 4 ϕɺ 42 .
2
2
2
Uvážíme-li, že platí
ϕɺ3 =
z2
ϕɺ 2 ,
z3
ϕɺ4 =
z3′
z z′
ϕɺ 3 = 2 3 ϕɺ 2 ,
z4
z3 z4
potom můžeme pro kinetickou energii psát
2
 z2 
1
 + I4
EK =  I 2 + I 3 
2
z3 


2
 z2 z3′   2 1

  ϕɺ 2 = I red ϕɺ 22 ,
z
z
2
 3 4  
odkud pro redukovaný moment setrvačnosti plyne
2
I red
 z 
= I 2 + I 3  2  + I 4
 z3 
2
 z 2 z3′ 

 = konst .
 z 3 z4 
Zanedbáme-li pasivní odpory, které jsou závislé na rychlostních a akceleračních poměrech
mechanismu, je výkon pracovních silových účinků (zde dvojic M 2 a M 4 )

z z′ 
PP = M 2 ϕɺ 2 − M 4 ϕɺ4 =  M 2 − M 4 2 3  ϕɺ 2 = M red ϕɺ2 ,
z3 z4 

odkud vyplývá pro redukovaný moment výraz
M red = M 2 − M 4
z2 z3′
.
z3 z4
Protože převodové ústrojí je soustavou s konstantními převody, pohybová rovnice má tvar (8.18).
Z ní dostaneme úhlové zrychlení vstupního hřídele
α ≡ ϕɺɺ2 =
M red
=
I red
M2 − M4
z2 z3′
z3 z 4
2
I 2 + I3
 z2 
 z2 z3′ 

 + I4 

 z3 
 z3 z 4 
2
.
Za předpokladu
M2 − M4
z2 z3′
z z′
> 0 ⇒ M2 > M4 2 3 ,
z3 z4
z3 z4
je rozběh rovnoměrně zrychlený a potřebný čas pro dosažení otáček n2 je
-123-
124
8-Dynamika Soustav Těles
2
2
 z 
 z z′ 
I 2 + I 3  2  + I 4  2 3 
π n2 π n2
 z3 
 z3 z4 
tR =
=
.
z2 z3′
30 α 2
30
M2 − M4
z3 z4
Poznámka. Při respektování pasivních odporů ozubených převodů, vyjádřených účinnostmi η23 a
η34 , vyjdeme z představy o toku výkonu. Setrvačné dvojice − I 2 α 2 , − I 3 α 3 , − I 4 α 4 působící na
jednotlivé hřídele, se projevují jako vnější zátěžné dvojice. Zanedbáme-li pasivní odpory, rovnost
výkonu přivedeného a odvedeného lze zapsat ve tvaru
M 2 ω2 = ( M 4 + I4 α 4 ) ω4 + I3 α 3 ω3 + I 2 α 2 ω2 .
Při respektování účinností ozubených převodů je výkon hnacího momentu zvětšen na
M 2 ω2 =
M 4 + I4 α4
η23 η34
I3 α 3 ω3
ω4 +
η23
+ I2 α 2 ω2 .
Hnací moment M 2 , potřebný pro překonání zátěžného momentu a setrvačných dvojic, lze po
vyjádření převodů zapsat ve tvaru
M2 =
M4
η23 η34
z 2 z3′ 
I
+  I2 + 3
η23
z 3 z4 

2
 z2 
I4

 +
 z3  η23 η34
 z 2 z3′ 


z
z
3
4


2

 α2 ,

odkud vyplývá zpřesněný výraz pro úhlové zrychlení α 2
α2 =
M2 −
M4
η23 η34
z 2 z3′
z3 z4
2
I  z 
I4
I 2 + 3  2  +
η23  z3  η23 η34
 z2 z3′ 


 z 3 z4 
2
.
Sestavení pohybové rovnice uvedenou metodou pro případ nekonstantního převodu si ukážeme na
příkladě vačkového mechanismu.
Příklad 8.10. Na vačkový hřídel o momentu setrvačnosti I o k ose rotace působí konstantní hnací
moment M o (obr.8.14a). Se zvedákem se posouvá těleso o celkové hmotnosti m . Zvedák je zatížen
silou F , která závisí na úhlu pootočení hřídele.
Řešení: Za základní (redukční) člen zvolíme vačkový hřídel 2, tj. provedeme redukci na rotační člen
(viz. obr.8.14b). Zdvihová závislost x ( ϕ ) mezi zvedákem a vačkovým hřídelem je dána vztahem
(viz. obr.8.14a)
x ( ϕ ) = R + e sin ϕ ,
(a)
odkud pro převod plyne
-124-
125
p (ϕ ) =
8-Dynamika Soustav Těles
d x (ϕ )
= e cos ϕ .
dϕ
(b)
Kinetická energie soustavy je
EK =
1
1
I o ϕɺ 2 +
m xɺ 2 ,
2
2
(c)
potom uvážíme-li, že platí
xɺ =
d x (ϕ ) d x (ϕ ) dϕ
d x (ϕ )
=
= p ( ϕ ) ϕɺ =
= e ϕɺ cos ϕ ,
dt
dϕ
dt
dϕ
(d)
lze kinetickou energii soustavy psát ve tvaru
EK ( ϕ , ϕɺ ) =
I O + m p 2 ( ϕ ) 2 I O + m ( e cos ϕ ) 2 2 1
ϕɺ =
ϕɺ = I red ( ϕ ) ϕɺ 2 .
2
2
2
(e)
Redukovaný moment setrvačnosti I red ( ϕ ) vačkového mechanismu tedy je
I red ( ϕ ) = I o + m p 2 ( ϕ ) = I o + m ( e cos ϕ ) 2 .
(f)
Zanedbáme-li pasivní odpory, které jsou závislé na rychlostních a akceleračních poměrech
mechanismu, výkon pracovních silových účinků M , F ( ϕ ) , m g je
PP = M ϕɺ − ( m g + F ( ϕ )) xɺ ,
(g)
což s využitím převodu p ( ϕ ) dává
PP = [ M − ( m g + F ( ϕ )) p ( ϕ ) ] ϕɺ = M red ( ϕ ) ϕɺ ,
(h)
takže redukovaný moment M red ( ϕ ) všech pracovních silových účinků tedy je
M red ( ϕ ) = M − ( m g + F ( ϕ )) p ( ϕ ) = M − ( m g + F ( ϕ )) e cos ϕ .
(ch)
Dosazením výrazů (e), (f) do obecně platné rovnice (8.16) dostaneme vlastní pohybovou rovnici
vačkového mechanismu ve tvaru
[ I O + m p 2 ( ϕ ) ] ϕɺɺ + m p ( ϕ ) p′ ( ϕ ) ϕɺ 2 = M − ( m g + F ( ϕ )) p ( ϕ ) ,
(i)
kde derivace převodu p′ ( ϕ ) je dána výrazem
p′ ( ϕ ) =
d p (ϕ )
= − e sin ϕ .
dϕ
(j)
Řešením pohybové rovnice (i) při daných počátečních podmínkách t = 0 , ϕ = ϕ0 , ϕɺ = ϕɺ0 = ω 0 je
závislost úhlu pootočení vačkového hřídele na čase, tj. ϕ = ϕ ( t ) .
Pokud chceme vyjádřit závislost úhlové rychlosti ω vačkového hřídele na jeho úhlu otočení ϕ ,
aplikujeme větu o změně kinetické energie. Využijeme přitom vztahu (b). Dostaneme
-125-
126
1
1
I red ( ϕ ) ω 2 − I red ( ϕ0 ) ω02 =
2
2
8-Dynamika Soustav Těles
ϕ
∫M
red
(ϕ ) dϕ ,
(k)
ϕ0
což po úpravě dává
ω=
I red ( ϕ0 ) 2
2
ω0 +
I red ( ϕ )
I red ( ϕ )
ϕ
∫M
red
(ϕ ) dϕ ,
(l)
ϕ0
kam za redukovaný moment M red ( ϕ ) všech pracovních silových účinků dosadíme výraz (e).
Příklad 8.11. Sestavte pohybovou rovnici pro vačku 2 u vačkového mechanismu s vratnou
pružinou o tuhosti k (viz. obr.8.15). Předpětí S0 pružiny ve spodní úvrati zvedáku a hnací moment
M na vačkovém hřídeli jsou dány. Vačka má válcový tvar o poloměru r a je excentricky uložena
s excentricitou e . Hmotnost tělesa spojeného se zvedákem je m3 . Pasivní odpory zanedbejte.
a)
3
b)
m3
M red
I red
1
q=ϕ
M
r
x
e
O
T
ϕ
2
m2
Obr.8.15 Vačkový mechanismus s pružinou - a), redukce mechanismu na rotační člen -b).
-126-
127
8-Dynamika Soustav Těles
Řešení. Za základní (redukční) člen vybereme vačkový hřídel 2, který koná rotační pohyb.
Kinetická energie soustavy je dána výrazem
EK =
1
1
1
1
( IT + m2 e2 ) ϕɺ 2 + m3 xɺ 2 = I O ϕɺ 2 + m3 xɺ 2 ,
2 2
2
2
IO
který využitím zdvihové závislosti
x = r + e sin ϕ
⇒
xɺ = e ϕɺ cos ϕ
(a)
přepíšeme do tvaru
I O + m3 ( e cos ϕ ) 2 2 1
EK =
ϕɺ = I red ( ϕ ) ϕɺ 2 ,
2
2
odkud pro redukovaný moment setrvačnosti plyne
I red ( ϕ ) = I O + m3 ( e cos ϕ ) 2 .
(b)
Výkon pracovních sil a dvojic
PP = M ϕɺ − [ ( m2 + m3 ) g + S0 + k e ( 1 + sin ϕ ) ] xɺ ,
nabývá použitím zdvihové závislosti tvar
PP = { M − [ ( m2 + m3 ) g + S0 + k e ( 1 + sin ϕ ) ] e cos ϕ } ϕɺ = M red ϕɺ ,
odkud dostaneme redukovaný moment
M red = M − [ ( m2 + m3 ) g + S0 + k e ( 1 + sin ϕ ) ] e cos ϕ .
(c)
Protože vačkový mechanismus má proměnný převod mezi zvedákem a vačkou, pohybová rovnice
má tvar (8.16). Dosazením výrazů (b) a (c) do rovnice (8.16) dostaneme pohybovou rovnici
vačkového mechanismu ve tvaru,
ϕɺɺ − e 2
m3 cos ϕ sin ϕ
M − [ ( m2 + m3 ) g + S0 + k e ( 1 + sin ϕ ) ] e cos ϕ
ϕɺ 2 =
.
2
I O + m3 ( e cos ϕ )
I O + m3 ( e cos ϕ ) 2
Pohybová rovnice je nelineární diferenciální rovnicí druhého řádu. Její řešení v uzavřeném tvaru
není možné, lze ji řešit některou z numerických metod integrace.
-127-
128
8-Dynamika Soustav Těles
Postup při sestavení pohybové rovnice pomocí metody redukce při konstantních převodech:
1-Ověříme, zda soustava má 10 volnosti.
2- Do pracovního schématu zakreslíme všechny pracovní silové účinky
3-Analyzujeme vazby, není – li některá ideální, příslušný vazební silový účinek zahrneme do
pracovních
4-Soustavou myšleně pohneme. Zakreslíme vektory virtuálních přemístění δ rj ,δϕ j v místech
působišť pracovních sil a pracovních momentů
5- Pokud redukujeme na i-tý člen soustavy, který je translační, pak jeho virtuální posunutí
δ ri = δ rred = δ r zvolíme jako základní. Všechna zbylá posunutí vyjádříme pomocí tohoto
základního tj. nalezneme vztahy δrj = fj (δr ) a δϕ j = f j ( δ r ) . Pokud redukujeme na rotační člen,
pak jako základní bereme pootočení tohoto členu δϕi = δϕred = δϕ a nalezneme vztahy
δ rj = f j ( δϕ
)
a δϕ j = f j ( δϕ ) . Přitom používáme geometrické souvislosti mezi souřadnicemi,
podmínku valení a kinematické vztahy mezi rychlostmi bodů nebo úhlovými rychlostmi těles
6- Napíšeme vztah pro kinetickou energii celé soustavy (jednotlivé rychlosti přitom vyjádříme
pomocí rychlosti redukovaného členu) a členu redukovaného. Z rovnosti obou energií tj. ze vztahu
[ Ek ] skutečná = [ Ek ] redukovaná zjistíme hodnotu redukované hmotnosti resp. redukovaného momentu
setrvačnosti
7- Napíšeme vztah pro virtuální všech práci všech pracovních sil a pracovních momentů
působících v rámci dané soustavy, přitom se řídíme pravidly pro skalární násobení vektorů sil a
vektorů virtuálních přemístění znázorněných na pracovním schématu. Z rovnosti obou virtuálních
prací tj. ze vztahu [ δ A ] skutečná = [ δ A ] redukovaná zjistíme redukovanou sílu resp. redukovaný
moment. Vzhledem k tomu, že u konstantních převodů jsou vztahy mezi rychlostmi a virtuálními
posunutími stejné, můžeme redukovanou sílu resp. redukovaný moment určit také z rovnosti
výkonů tj. ze vztahu [ P ] skutečný = [ P ] redukovaný
8- V případě redukce na translační člen pak zjistíme zrychlení členu na který byla prováděna
redukce ze vztahu
-128-
129
8-Dynamika Soustav Těles
Kontrolní otázky
1) Z čeho vychází řešení soustav těles metodou uvolňování?
2) Kdy je výhodné použití zákona zachování energie, kdy zákona zachování hybnosti nebo
momentu hybnosti?
3) Co je to vlastní pohybová rovnice
4) Co je principem metody redukce, jak zjišťujeme redukované hmotnostní charakteristiky a jak
redukované silové účinky?
5) Kolik stupňů volnosti musí mít soustava aby bylo možné použít metodu redukce?
-129-