Chirp signál

Vlastnosti Fourierovy transformace
Linearita – Fourierova transformace je lineární (všechny druhy :-) ), je tedy homogenní a aditivní
Homogenita: změna amplitudy v časové oblasti způsobí stejnou změnu amplitudy ve frekvenční oblasti
Aditivita: něco přidám v časové oblasti a přidá se to i ve frekvenční (nezávisle)
Komprese / expanze
Když signál „natáhnu“ v časové oblasti, smrskne se mi ve frekvenční a obráceně
Příklad: gaussovka (jejím obrazem je opět gaussovka)
Posunutí v časové oblasti
Při posunutí v časové oblasti zůstává magnituda stejná a mění se pouze fáze
Jaká informace je ukryta ve fázi?
Vezmu jednoduchý signál, provedu DFT, převedu do polárních souřadnic, postupně nahradím magnitudu a
fázi náhodnými čísly a následně zrekonstruuji zpět do časové oblasti (IDFT)
Ve fázi je dobře vidět poloha hran. Proč? Hrana v časové oblasti vznikne, když na stejném místě roste
současně hodně sinusovek – musí mít stejnou fázi → zobecnění: hodně informace o tvaru signálu v časové
oblasti je schováno ve fázi. Naopak na fázi moc nezáleží u signálů, kde na tvaru moc nezáleží a informace je
schovaná ve frekvencích, např. audio signál.
% vygeneruji jednoduchy signal
clear all
x(1:50) = 0;
x(51:100) = linspace(0.9,1.2,50);
x(101:299) = 0;
% provedu DFT a prevod do polarnich souradnic
[ReX ImX] = DFT(x);
[XMag, XPha] = RectToPolar(ReX,ImX);
% nahodna faze z intervalu –pi / pi
XPha0 = (rand(1,length(XMag))-0.5)*2*pi;
% rekonstrukce jen z magnitudy
[X2r X2i]
= PolarToRect(XMag,XPha0);
x2 = IDFT(X2r, X2i);
% rekonstrukce jen z faze
XMag0 = rand(1,length(XMag));
[X3r X3i] = PolarToRect(XMag0,XPha);
x3 = IDFT(X3r, X3i);
% a ted spolecne namalujeme
subplot(3,1,1); plot(x); title('originalni signal');
subplot(3,1,2); plot(x2) title('rekonstrukce z magnitudy');
subplot(3,1,3); plot(x3) title('rekonstrukce z faze');
Periodicita signálu – v časové oblasti
DFT považuje časový signál za periodický. Když něco uděláme se spektrem, před převedením zpět do časové
oblasti, může být výsledný časový signál delší, nevejde se do daného počtu vzorků. Příklad – cirkulární
konvoluce (přednáška o aplikacích – konvoluce pomocí DFT)
Periodicita signálu – ve frekvenční oblasti
Záporné frekvence – od -0,5 do 0 vzorkovací frekvence
Zrcadlový obraz: magnituda sudá, fáze lichá
Záporná frekvence, co je to za podivnost?
Amplitudová modulace
Modulace – spojení (merging) dvou signálů
Amplitudová modulace – násobení
Obálka nosné = původní signál
Násobení v časové oblasti = konvoluce ve
frekvenční
Nosná je puls → výsledek konvoluce je posun
Výsledek ve frekvenční oblasti
• Nosná zůstane
• Spektrum originálu se tam objeví
• Objeví se ještě něco dalšího!
•
Co to je? Negativní frekvence!
Více o modulacích v PDF GenerováníSignálu
Totéž v Matlabu
% amplitudova modulace - ukazka zapornych frekvenci
clear all;
[Y,FS,NBITS]=wavread('mechanika2.wav');
y2 = Y';
Y2 = fft(y2);
delka = length(y2);
delkaS = length(y2) / FS;
% delka signalu v sekundach
% vytvoreni nosne (na frekvenci napr. ctvrtiny
vzorkovacky originalu)
t = linspace(0,delkaS,delka);
nosna = sin(FS/4*2*pi*t);
NOS = fft(nosna);
% amplitudova modulace - nasobeni signalu v casove
oblasti
hloubkamodulace = 1;
am = nosna .* (1 + hloubkamodulace * y2);
% tomu by mela odpovidat konvoluce ve frekvencni
% a protoze jadro je puls, tak se to jen posune a zjevi
% se zaporne frekvence
AM = fft(am);
% a ted uz to jen namalujeme
subplot(3,1,1);
plot(abs(Y2(1:delka/2)));
axis([0 delka/2 0 max(abs(Y2))]);
title('frekvence audio');
subplot(3,1,2);
plot(abs(NOS(1:delka/2)));
axis([0 delka/2 0 max(abs(NOS))]);
title('frekvence nosna');
subplot(3,1,3);
plot(abs(AM(1:delka/2)));
axis([0 delka/2 0 3000]);
title('frekvence amplitudove modulace');
Užitečné dvojice
Každému signálu v časové oblasti odpovídá nějaký signál ve frekvenční oblasti a obráceně. Existují dvojice
(časová/frekvenční) které jsou užitečnější než jiné. Například obdélníkovému pulsu odpovídá funkce sinc,
gaussovce gaussovka, atd.
Impuls / konstanta (viz slide komprese/expanze – komprese na puls, expanze na konstantu)
Funkce sinc / Obdélníkový puls
clear all
t = linspace(-10,10);
y = sinc(t);
subplot(2,2,1)
plot(t,y); axis tight
xlabel('Cas (sec)');ylabel('Amplituda');
title('Funkce sinc')
Y = fft(y);
subplot(2,2,2)
Ym = abs(Y(1:length(Y)/2));
f = linspace(0,0.5,length(Ym));
plot(f,Ym); axis tight
xlabel('Frekvence (Hz)');ylabel('Amplituda');
title('Spektrum funkce sinc')
from = -100; to = 100; points = 1500;
t = linspace(from,to,points);
y = sinc(t);
subplot(2,2,3)
plot(t,y); axis tight
xlabel('Cas (sec)');ylabel('Amplituda');
title('Funkce sinc')
Y = fft(y);
subplot(2,2,4)
Tvz = (to-from)/points;
fvz = 1/Tvz;
Ym = abs(Y(1:length(Y)/2));
f = linspace(0,0.5*fvz,length(Ym));
plot(f,Ym); axis tight
xlabel('Frekvence (Hz)');ylabel('Amplituda');
title('Spektrum funkce sinc')
sinc(a ) =
sin (π a )
πa
Obdélníkový puls / funkce sinc
Cvičení:
• pořádně prozkoumejte funkci sinc, bude se nám hodit do budoucna (proč asi ?)
• vyzkoušejte další dvojice (trojúhelník, gaussovka, …, využijte matlabovské funkce tripuls apod. – viz help)
Chirp signál
Chrip signál je užitečná věcička v aplikacích jako je radar. Jeho frekvenční odezva vypadá následovně:
) α i + β i . Z toho jsme schopni vygenerovat
Magnituda je konstantní, fáze klesá podle vztahu Faze(i=
příslušné ReX a ImX složky (potřebujeme PolarToRect funkci) a následně pomocí IDFT i impulsní odezvu:
2
IDFT
⇒
Když tedy do systému s takovou odezvou pustíme jednu delta funkci, dostaneme divoký signál který začíná na
nízkých frekvencích, které se postupně zvyšují. K čemu je to dobré ?
Chirp signál je reverzibilní, když pustíme chirp signál do antichirp systému, dostaneme zpátky jediný puls.
Antichirp signál bude mít opět magnitudu konstantní a fázi obrácenou. Docílíme toho tak, že převrátíme zleva
doprava impulsní odezvu.
DFT
⇒
Převrácená impulsní odezva
A k čemu to teda je ????
ReX a ImX vypadají podobně, co ta fáze ???
Aplikace chirp signálu
Radar: vezmu směrovou anténu a vypustím z ní krátký impuls rádiových vln. Ta letí a letí, až narazí na
nepřátelské letadlo a vrátí se. Vlna letí rychle, čím je impuls delší, tím je horší rozlišení (1 mikrosekunda je cca
300 m), takže potřebuji co nejkratší impuls. Aby vlna doletěla (a detekovatelná část se odrazila), potřebuji do ní
nacpat určité množství energie. Čím víc, tím líp.
Co nejvíc energie × co nejkratší puls ⇒ shoří mi to
Řešení: využiji chirp signál ! Napřed mám impuls, než odletí z antény tak ho přehodím na chirp, dostanu zpátky
chirp, ten převedu zpátky na impuls a můžu nepřítele sejmout raz dva.
Cvičení: prozkoumejte chirp signál
Vygenerujte podobné obrázky jako v přednáškových slidech