Deformace pevných těles

DEFORMACE
PEVNÝCH TĚLES
Modely těles v mechanice:
tuhé těleso (dokonale tuhé těleso):
- působením vnějších sil nemění tvar ani objem
- vnitřní síly mezi molekulami nekonečně velké
pevné těleso:
- změna tvaru působením vnějších sil : DEFORMACE
- všechna skutečná tělesa
pružné pevné těleso (elastické těleso):
- pevné těleso, které se působením vnějších sil dočasně deformuje, avšak po
odstranění vnější síly se samovolně vrací do původního tvaru a velikosti
nepružné pevné těleso (plastické těleso)
Základní požadavky na pružná pevná tělesa:
homogenita: těleso má stejné mechanické vlastnosti v každém bodě
izotropie: těleso má stejné mechanické vlastnosti ve všech směrech
HOOKŮV ZÁKON
- r. 1678
- odvozen na základě zkušeností
„Deformace je přímo úměrná deformující síle“
resp.: „Deformace je úměrná napětí materiálu.“
Robert Hooke
NAPĚTÍ:
σ=
dF
dS
...
deformované těleso je ve stavu napjatosti
⇒ jednotka: Pa, rozměr jednotky: kg.m-1. s-2
normálové napětí
σn =
dFn
dS
tečné napětí
σt =
dFt
dS
... síla působí kolmo k ploše
... má charakter tahu nebo tlaku
... síla působí podél plochy
... způsobuje změnu jednoho geometrického
útvaru tělesa v útvar jiný
(např. krychle v kosý hranol apod.)
PRUŽNOST V TAHU A TLAKU
délkové prodloužení:
∆l = l − l 0 = k
Fl0
S
součinitel protažení (konstanta úměrnosti)
⇒ schopnost tělesa se deformovat
⇒ jednotka Pa-1
∆l
F
=k
l0
S
relativní (poměrné) prodloužení ε
normálové napětí σn
ε = kσ n
matematické
vyjádření Hookeova
zákona pro
deformaci v tahu
k=
ε=
1
σn
E
1
E
modul pružnosti v tahu (Youngův modul) [Pa]
Příčné zkrácení:
... změna průřezu tyče při namáhání v tahu
Poměrné příčné zkrácení η :
Poměrné zúžení:
η =−
a − a0
∆a
=−
a0
a0
2
(a − a0 )2 − a 20
S − S0
∆S
∆a ∆a 0
−
=−
=−
= −2
+ 2 =& 2η
S0
S0
a0
a2
a
0
za předpokladu:
Dle Hookova zákona:
F
0
∆a 2
0
a
η = k1σ n
1
∆l
F
ε = , k = ,σn =
l0
E
S
η = k1εE = µε =
2
→0
0
součinitel příčného zkrácení
1
1
ε=
σn
m
mE
Poissonovo číslo (Poissonův poměr)
konečné rozměry
namáhané tyče:
⎛ σ ⎞
l = l0 (1 + ε ) = l0 ⎜1 + n ⎟
E ⎠
⎝
⎛ σ ⎞
a = a0 (1 − η ) = a0 ⎜1 − n ⎟
⎝ mE ⎠
Pružnost v tlaku:
stlačovaná tyč se:
- podélně zkracuje
- příčně rozšiřuje
Všechny vztahy pro deformaci v tahu se užívají i pro deformaci v tlaku.
Křivka deformace:
Hookův zákon platí pouze při malých
deformacích, obecně:
ε = ε (σ n )
mez
pevnosti
mez kluzu
mez pružnosti
mez úměrnosti
O-A: oblast pružné deformace
A: mez úměrnosti
A-B: oblast dopružování
B: mez pružnosti
C: mez kluzu
C-D: oblast tečení materiálu
D-E: oblast zpevnění materiálu
E: mez pevnosti
B-E: oblast plastické deformace
OBJEMOVÁ PRUŽNOST
-změna objemu pružného tělesa při působení všestranného tlaku
- např. těleso ponořené do kapaliny
původní rozměr kvádru: V0 = a0b0 c0
konečný rozměr kvádru:
a = a0 (1 − ε + 2η )
V = abc , kde
b = b0 (1 − ε + 2η )
c = c0 (1 − ε + 2η )
změna délky hrany a:
- působením tlaku na stěny bc se zkrátí o hodnotu a0 ε
- působením tlaku na stěny ab se rozšíří o hodnotu a0η
- působením tlaku na stěny ac se rozšíří o hodnotu a0η
Deformace způsobené tlakem se sčítají!
výsledné zkrácení hrany: a0 ε - a0η - a0η = a0 (ε - 2 η)
konečná délka hrany: a0 - a0 (ε - 2 η) = a0 (1 - ε + 2 η)
konečný rozměr kvádru:
V = abc = a0 b0 c0 (1 − ε + 2η )3 =
[
(
)
= V0 1 − ε 3 + 8η 3 + 3 − ε + ε 2 + 2η + 4η 2 + 2ε 2η − 4εη 2 − 12εη
]
lze zanedbat
V = V0 [1 − 3(ε − 2η )]
relativní zmenšení objemu:
−
V − V0
∆V
1 ⎞ 3(m − 2)
⎛σ
=−
= 3(ε − 2η ) = 3⎜ n − 2 ⎟ =
σ n.
V0
V0
E
m
mE
⎝
⎠
ε=
úbytek !!!
Pro kapaliny:
−
1
σn
E
η=
∆V 3(m − 2)
=
σ n = pγ
V0
mE
3(m − 2)
=γ
mE
součinitel stlačitelnosti
σn = p
K=
1
1
ε=
σn
m
mE
1
γ
=
mE
3(m − 2 )
modul objemové pružnosti [Pa]
PRUŽNOST VE SMYKU
... vzájemné posouvání jednotlivých vrstev namáhaného materiálu
... beze změny vzdálenosti mezi vrstvami
• upevněná spodní podstava
• působení tečné síly Ft
• posunutí horní hrany o vzdálenost u
S
Z Hookova zákona:
Ft
Ft
1
u = k b = k b = kσ t b = σ t b
S
ac
G
1
součinitel smyku (střihu)
modul pružnosti ve smyku [Pa]
G=
k
tečné napětí
u
1
pro malé deformace: γ = = σ t relativní (poměrné) posunutí ⇒ „zkos“
b G
γ ≅ tgγ
(střižný úhel)
PRUŽNOST VE ZKRUTU (TORZE)
... těleso tvaru rotačního válce (tyč, drát, vlákno...)
... horní podstava upevněna
... volný konec stáčen silovou dvojicí
... jednotlivé vodorovné vrstvy se po sobě smýkají a stáčí proti
původní poloze
... dolní podstava válce se zkroutí o úhel ϕ
poměrné posunutí pro malé deformace: γ =
γ ≅ tgγ
poměrné posunutí je přímo úměrné tečnému napětí: γ =
úhel stočení φ : ϕ =
1 2l
M
G πr 4
V technické praxi: hnací hřídele
strojů, lisů, vrtáků...
rϕ
l
rϕ 1
= σt
l
G
velikost silového momentu kroutící dvojice sil
(torzní moment)
Materiál
Modul pružnosti
v tahu
E (1010 Pa)
Stlačitelnost
(10-12 Pa-1)
Modul pružnosti
ve smyku
G (1010 Pa)
Hliník
Měď
Železo
7,18
12,34
21,19
13,3
7,1
6,3
2,69
4,55
7,95