CASSINIHO KˇRIVKA A OV´AL, BERNOULLIHO LEMINSK´ATA

CASSINIHO KŘIVKA A OVÁL,
BERNOULLIHO LEMINSKÁTA
HISTORIE
Giovanni Domenico Cassini (1625 - 1712) byl jeden z nejvýznamějšı́ch astronomů v historii, který zjistil spoustu informacı́ o slunečnı́ soustavě - periody rotace a velikosti blı́zkých
planet nebo třeba přesné dráhy měsı́ců Jupitera a Saturnu (jehož jeden měsı́c je po Cassinim
pojmenován). Právě při jeho astronomickém pozorovánı́ a výzkumu, kdy studoval relativnı́
pohyby Země a Slunce, jako prvnı́ v roce 1680 vyšetřil křivku později po něm pojmenovanou. Věřil, že Slunce obı́há po dráze Cassiniho oválu kolem Země, která je umı́stěná
v jednom z ohnisek. Největšı́ podı́l na prozkoumánı́ Cassiniho křivky ale má francouzský
matematik Joseph Alfred Serret (1819 - 1885).
Speciálnı́m přı́padem křivky je Cassiniho ovál, jehož speciálnı́ variantou je Bernoulliho
lemniskáta. Jacob Bernoulli (1654 - 1705) publikoval v roce 1694 v Acta Eruditorumon článek o křivce ve tvaru “8” nebo stuhy (odtud název - z latinského lemniscus, což
znamená “přı́věšek stuhy”). Bernoulli si ale tehdy nebyl vědom toho, že právě popisuje
speciálnı́ přı́pad křivky popsané před 14 lety Cassinim. Obecné vlastnosti lemniskáty objevil a popsal italský matematik Giulio Carlo de’ Toschi di Fagnano (1682 - 1766). Carl
Friedrich Gauss (1777 - 1855) a Leonhard Euler (1707 - 1783) vyšetřili později délku
oblouku křivky což vedlo na eliptické integrály.
CASSINIHO KŘIVKA
Cassiniho křivka je algebraickou křivkou vyššı́ho stupně (tj. křivka, jejı́ž rovnici můžeme
vyjádřit polynomem vyššı́ho stupně), jejı́ rovnice je obecně:
n
Y
ri = a
i=1
Pokud je tento polynom regulárnı́, můžeme napsat jejı́ polárnı́ rovnici:
rn = 2 cos nϕ +
a−1
rn
nebo
r
r=
n
cos nϕ ±
1
q
a − sin2 nϕ
(1)
kde
• r je poloměr - vektor spojujı́cı́ střed křivky a bod na nı́ ležı́cı́ (r je funkce r(ϕ))
• ϕ je úhel odpovı́dajı́cı́ přı́slušnému bodu
• a, n jsou konstantnı́ parametry
Pro různé velikosti parametru a dostaneme samozřejmě různé tvary křivky. . .
• Pro a < 1 je křivka složená z n částı́.
• Pro a > 1 jde jedinou uzavřenou křivku.
• Pro a = 1 přejde rovnice v rovnici sinusouidové křivky - křivky, kde vzájemnný vztah
mezi mocninou poloměru a úhlem je vyjádřen funkcı́ sinus:
rn = sin nϕ
◦ Pro n = 2 nazveme křivku Cassiniho oválem.
2
(2)
V následujı́cı́ tabulce je seznam některých sinusoidových křivek (rovnice (2)) pro různé
volby parametru n a pod tabulkou obrázky jednotlivých křivek.
n
-2
-1
-1/2
-1/3
0
křivka
n křivka
hyperbola
1/3 Cayleyova sextika
přı́mka
1/2 kardoida
parabola
1 kružnice
Tschirnhausenova kubika 2 Bernoulliho lemniskáta
logaritmická spirála
3 Kiepertova křivka
3
CASSINIHO OVÁL
Zvolı́me si pevně dva body F1 a F2 a libovolnou konstantu a = b2 . Cassiniho oválem je
množina bodů P splňujı́cı́ch bipolárnı́ rovnici
r1 · r2 = b2
(3)
kterou můžeme vyjádřit také takto:
|F1 , P | · |F2 , P | = a
slovně vzjádřeno - jde o množinu bodů, pro něž součin vzdálenostı́ od dvou pevně zvolených bodů (ohnisek) je konstantnı́. Tato definice je analogická definici elipsy, ve které
pouze nahradı́me součet vzdálenostı́ součinem. Proto bývá také někdy tato křivka nazývána
Cassiniho elipsou nebo také cassinoidem. Mnoho zajı́mavých křivek bychom dostali analogicky pro 3 a vı́ce ohnisek a množinu bodů jejichž součin vzdálenostı́ od nich je konstantnı́,
ale ty nejsou předmětem této kapitoly.
Jak je již napsáno výše, Cassiniho ovál je speciálnı́m přı́padem Cassiniho křivky, kdy
parametr n = 2. Jedná se o bicirkulárnı́ kvartiku (bicirkulárnı́ znamená, že je složena ze
dvou smyček; kvartika je algebraická křivka 4.stupně, tj. křivka, kterou můžeme vyjádřit
polynomem stupně 4), jejı́ž implicitnı́ rovnice je pro F1 = [f, 0] a F2 = [−f, 0]:
((x + a)2 + y 2 ) · ((x − f )2 + y 2 ) = b4 ,
nebo ekvivalentnı́ vyjádřenı́ (x2 + y 2 + f 2 )2 − 4f 2 x2 = b4
Také jde o křivku, která má dvě osy souměrnosti a je i středově symetrická (středem je
bod ležı́cı́ v polovině vzdálenosti mezi ohnisky). Jejı́ polárnı́ rovnice je:
r2 = 2 cos 2ϕ +
4
a−1
r2
(4)
Hodnota parametru a v polárnı́ rovnici určuje tvar oválu. . .
• Pro a < 1 jde o dvě spojité uzavřené vejčité útvary souměrné podle středu křivky
• Pro a > 1 jde o jednu spojitou uzavřenou křivku
• Pro a < 2 je ovál uprostřed prohlý
• Pro a > 2 se tvar oválu blı́žı́ kružnici (čı́m většı́ a, tı́m bude tvar kružnici bližšı́)
Pro a = 1 dostáváme speciálnı́ přı́pad Cassiniho oválu - Bernoulliho leminskátu.
Známe i jinou polárnı́ rovnici Cassiniho oválu, za použitı́ parametů a i b:
r4 + a4 − 2a2 r2 cos(2ϕ) = b4
kde můžeme pro r2 vyřešit kvadratickou rovnici
p
p
2a2 cos(2ϕ) ± 4a4 cos2 (2ϕ) − 4(a4 − b4 )
2
r =
= a2 cos(2ϕ) ± a4 (cos2 (2ϕ) − 1) + b4 =
2
s q
4
b
2
2
2
4
4
= a cos(2ϕ) ± b − a sin (2ϕ) = a (cos(2ϕ) ±
− sin2 (2ϕ))
a
5
Pro a < b ohraničuje křivka oblast o ploše
Zπ/4
1
1
S = r2 dϕ = 2 ·
2
2
2
2
2
r dϕ = a + b E
a2
b2
−π/4
kde integrál byl spočten pro polovinu křivky a vynásoben dvěma (křivka je symetrická) a
E(x) je eliptický integrál druhého druhu.
Jsme schopni najı́t i parametrickou rovnici Cassiniho oválu
r
M
· (cos t, sin t)
2
kde
M = 2a2 · cos(2t) +
p
(−a4 + b4 ) + a4 cos(2t)2
pro 0 < t ≤ 2π a a < b (pro a > b tato parametrizace negeneruje celou křivku).
ŘEZ ANULOIDEM
Cassiniho ovál můžeme najı́t jako speciálnı́ přı́pad průniku anuloidu a roviny rovnoběžné
s osou anuloidu (obecně jsou takto vzniklé křivky nazývány spirické). Zvolı́me poloměr c
kružnice, která tvořı́ anuloid, vzdálenost středu libovolné tvořı́cı́ kružnice anuloidu od osy
je d. Průsečı́k anuloidu s rovinou√rovnoběžnou s osou anuloidu a vzdálenou od nı́ o c je
Cassiniho ovál, kde a = d a b2 = 4cd, kde a je polovina vzdálenosti mezi ohnisky.
Vı́me, že pro vysoké hodnoty konstanty c se tvar křivky blı́žı́ kružnici. I takový výsledek
řezu anuloidem můžeme najı́t - pokud bude poloměr trubice většı́ než vzdálenost středu
trubice od osy, tak nebude mı́t tento anuloid uprostřed otvor a bude sám sebe protı́nat.
Čı́m většı́ pak bude poloměr trubice, tı́m bude tvar anuloidu bližšı́ kouli a proto se také
jeho řez bude blı́žit kružnici.
6
BERNOULLIHO LEMNISKÁTA
Lemniskáta je speciálnı́ přı́pad Cassiniho oválu, je to množina
bodů, jejichž součin vzdálenostı́
od dvou pevně zvolených ohnisek je rovna konstantě
vzdálenosti ohnisek. Implicitnı́ rovnice má tvar
|F1 F2 |
2
2
, tj. druhé mocnině poloviny
((x − b)2 + y 2 ) · ((x + b)2 + y 2 ) = b4
nebo po několika úpravách
(x2 + y 2 )2 = 2b2 (x2 − y 2 )
7
(5)
Nejobecněji lze lemniskátu popsat jako řez anuloidu který má rovnici
p
(b − (x2 + y 2 ))2 + z 2 = a2
rovinou y = b − a. Po dosazenı́ a úpravě dostáváme
(x2 + y 2 )2 = 4b(ax2 + (a − b)z 2 )
což ve speciálnı́m přı́padě a =
b
2
vede na (změnili jsme z na y)
(x2 + y 2 )2 = 2b2 (x2 − y 2 )
což je shodná rovnice s rovnicı́ (5) a 2b je vzdálenost ohnisek.
Polárnı́ rovnice Bernoulliho lemniskáty je
r2 = a2 cos(2ϕ)
kde a je konstanta, která se lišı́ od poloměru anuloidu o
, 5π
).
jen pro ϕ ∈ (− π4 , π4 ) a ϕ ∈ ( 3π
4
4
(6)
√
2. Tato rovnice je definována
Parametrická rovnice je
a cos t
1 + sin2 t
a sin t cos t
y=
1 + sin2 t
x=
(7)
bipolárnı́ rovnice
r1 r2 =
a2
2
(8)
Lemniskáta může být také popsána jako obálka kružnic, které majı́ středy na rovnoosé
hyperbole a které procházejı́ středem hyperboly. Jde také o inverznı́ křivku k hyperbole (v kruhové inverzi podle kružnice se středem ve středu hyperboly a procházejı́cı́
jejı́mi ohnisky), proto se jı́ také někdy řı́ká hyperbolická lemniskáta. Na dalšı́ straně jsou
dva obrázky, na kterých je hezky vidět lemniskáta jako obálka kružnic na hyperbole.
Kružnice jsou vykresleny v rozdı́lném vzájemném rozestupu, jednou jsou lépe vidět jednotlivé kružnice, podruhé naopak výsledná obalová křivka.
8
9
PLOCHA A DALŠI VLASTNOSTI LEMNISKÁTY
Plocha, kterou lemniskáta vytyčuje má obsah
1
S = 2(
2
Z
r2 dϕ) = a2
Zπ/4
cos(2ϕ)dϕ = a2
−π/4
Délka oblouku se spočı́tá
s(t) =
√
Za
2a
1
p
3 − cos(2t)
0
dt
Délka celé křivky pak vede na eliptický integrál
Za
s=4
0
Z1
dr
q
1−
r 4
a
= 4a
0
Γ2
√
1
p
dt = 2 2aK √ = √4 a = 4aE(t) =
4
2
2π
(1 − t )
1
= 5.2441151086 · a
Pro velikost parametru a = 1 je délka křivky s svázána s Gaussovou konstantou M vztahem
. Čı́slo L = 2s (v některých zdrojı́ch L = 4s ) nazýváme konstanta lemniskáty a
s = 2π
M
hraje u lemniskáty analogickou roli, jako π v kružnici. L=2.6221
˙
a můžeme jı́ vyjádřit za
R∞ z−1 −t
použitı́ funkce gamma (objevila se již výše v integrálu Γ(z) = t e dt).
0
Křivost a tečný úhel jsou
√
3 2 cos t
κ= p
a 3 − cos(2t)
τ = 3 tan−1 (sin t)
Konstrukce tečny a normály je vidět na následujı́cı́m obrázku.
10
KONSTRUKCE LEMNISKÁTY
Bernoulliho lemniskáta může být vygenerována jako kisoida dvou kružnic (kisoida je křivka,
kterou generujeme pomocı́ dvou jiných křivek postupem, který je popsán nı́že pro dvě
kružnice). Postup konstrukce je následovný:
1. Narýsujeme kružnici o poloměru r.
2. Zvolı́me libovolný bod O ve vzdálenosti
√
2r od středu kružnice
3. Zvolı́me takovou polopřı́mku, aby měla počátek v bodě O a protı́nala kružnici.
Průsečı́ky s kružnicı́ označı́me P1 a P2 .
4. Množina bodů P , které ležı́ na této polopřı́mce a vzdálenost OP je rovná vzdálenosti
P1 P2 je jednou smyčkou lemniskáty, druhou zı́skáme stejným postupem s druhou
kružnicı́, která bude s prvnı́ souměrná podle bodu O.
Pro zajı́mavost - obrázek s logem k filmu Stroj času (The Time Machine, 2002), které
obsahuje hodiny stočené do tvaru Bernoulliho lemniskáty.
11
POUŽITÉ OBRÁZKY:
• “The Time Machine” logo - www.impawards.com
12