sumasil

DALŠÍ TYPY VLN
Iontozvukové vlny (elektrostatické nízkofrekvenční vlny)
jsou podélné vlny podobné klasickému zvuku
⎛γk T ⎞
cs = = ⎜ B ⎟
k ⎝ M ⎠
ω
v plynu
1
2
plazma – zvuk pomalý pro elektrony, rychlý pro ionty
Hustota elektronů je v každém okamžiku v rovnováze s okamžitým potenciálem:
⎛ eΦ1 ⎞
⎛ eΦ1
⎞
ne = n0 exp ⎜
+ ... ⎟
⎟ = n0 ⎜1 +
⎝ k BTe ⎠
⎝ k BTe
⎠
eΦ1
n1 = n0
elektrony jsou izotermální ( γ = 1 )
k BTe
Elektrické pole lze odvodit i z požadavku zachování kvazineutrality–suma sil na
elektrony = 0
Vlny
1
eE1 = −e∇Φ1 = −
kT
n
1
∇pe1 = − B e ∇n1 = −ikk BTe 1
n0
n0
n0
⇒ E1
hydrodynamické rovnice pro iontovou tekutinu
iω ni1 = ni 0ikvi1
−iω Mvi1 = −
∇pi1
+ ZeE1
ni 0
n0
ni 0 =
Z
E1 = − ∇Φ = − ik Φ1
Poissonova rovnice není potřeba
−ε 0 ΔΦ1 = Zeni 0 − en1 = e ( Zni1 − n1 )
pomalý pohyb
vyjádříme
→
Φ1 =
kvazineutralita Zni1 = n1
k BTe
kT
n1 = B e Zni1
en0
en0
⇒ pohybová rovnice
Vlny
2
−iω Mni 0 vi1 = −ikγ i kBTi ni1 − ikkBTe Zni1 - pohyb iontů
iω ni1 = ni 0ikvi1
rovnice kontinuity
⇒disperzní vztah
⎛ γ i k BTi + Zk BTe ⎞ 2
⎟⋅k
M
⎝
⎠
ω2 = ⎜
cs2
obvykle ionty adiabatické γi = 5/3
Pokud je ZTe ≈ Ti , pak je silný bezesrážkový útlum na iontech,
fázová rychlost cs ≈ iontová tepelná rychlost
Iontozvukové vlny pro ZTe >> Ti
zvuková rychlost
cs
slabě tlumené
Zk BTe
M
Vlny
3
−1
λ
Použité plazmatické přiblížení neplatí pro velká k srovnatelná s De . Proto
odvodíme disperzní vztah bez plazmatického přiblížení:
∇E1 = −ΔΦ1 = k 2 Φ1 = e ( Zni1 − ne1 ) / ε 0
eΦ1
ne1 =
n0
k BTe
dosadíme do Poissonovy rovnice
⎛ 2 n0 e 2 ⎞ Zeni1
Φ1 ⎜ k +
⎟=
ε 0 k BTe ⎠
ε0
⎝
Φ1 =
Zeni1
ε0
λDe 2
1 + k 2 λDe 2
dosadíme potenciál Φ1 do pohybové rovnice iontů
Vlny
4
⎛ Zk BTe
γ i k BTi ⎞
1
=⎜
+
⎟
2
2
k ⎝ M 1 + k λDe
M ⎠
ω
1
2
Disperzní vztah iontozvukové vlny se při započtení odchylky od kvazineutrality
2
2
k
λ
liší jen členem
De ,
−1
k
>>
λ
nejjednodušší vztah pro
a Ti = 0
De
n0 Ze 2 ni 0 Z 2 e 2
ω =
=
= ω pi 2
ε0M
ε0M
2
… iontová plazmová frekvence
Vlny
5
Elmg. vlny v plazmatu bez vnějšího magnetického pole B0
Maxwellovy rovnice
převedeme na vlnovou rovnici
∂B1
∇ × E1 = −
∂t
∂E
1
∇ × B1 = ε 0 1 + j1
μ0
∂t
∂ 2 E1
∂j1
∇ × ∇ × E1 + ε 0 μ0 2 = − μ0
∂t
∂t
(
)
vyjádříme vysokofrekvenční proud
eE1
v e1 =
imeω
⇒
e 2 ne
j1 = i
E1
meω
hustota elektronů se nemění (kontinuita ⇒ n1= 0)
(
)
využijeme identity ∇ × ∇ × A = grad divA − ΔA
Vlny
6
e 2 ne ∂E1
∂j1
∂E1
1 ∂ 2 E1
−ΔE1 + 2
= − μ0
= − μ0σ
= −i μ0
2
∂t
∂t
c ∂t
meω ∂t
ωp
⎛ 2 ω2 ⎞
ω 2 tr ω 2 ⎛
iσ ⎞
2
⎟
⎜ k − 2 ⎟ E1 = − 2 E1 ⇒ k = 2 ε r = 2 ⎜1 +
c ⎠
c
c
c ⎝ ω ε0 ⎠
⎝
2
2
tr
2
2
2
2
k
=
ω
μ
ε
ε
=
ω
(1
−
ω
/
ω
)
/
c
0 0 r
p
´
2
2
ω
ε r tr (ω ) = 1 − p2
ω
ω 2 = ω p2 + c2k 2
ω
2
2
2
v
=
=
c
+
ω
/
k
p
fázová ϕ k
2
ω
<
ω
→
k
<0
p
pro
ε = ε 0ε r tr
dω
2
2
v
/
/ vϕ
=
=
c
k
ω
=
c
grupová g dk
vlna se nešíří, do plazmatu proniká pouze
skin-efektem
pro ω → ω p +
k → 0 a dochází k úplnému odrazu (mezní frekvence)
Vlny
7
nc =
ε 0 meω 2
e2
ne
Re(ε r ) = 1 −
nc
= 1021cm-3
nc = 1019 cm-3
nc = 1015 cm-3
nc
nc - kritická hustota
→
→
→
λ=1,06 μm (Nd-laser)
λ=10,6 μm (CO2-laser)
λ=1,06 cm (cm vlny)
Elektron-iontové srážky způsobí absorpci vlny – srážková (collisional) absorpce
je také nazývána absorpce mechanismem inverzního brzdného záření (inverse
bremsstrahlung absorption).
Pokud je νei efektivní frekvence srážek elektronu s ionty ⇒ relativní permitivita
2
2
ω
ω
ν
ε r tr (ω ) = 1 − 2 p 2 + i ei 2 p 2
ω + ν ei
ω ω + ν ei
s kladnou imaginární částí
Vlny
8
Vlnový vektor má pak imaginární část, která vede k útlumu vlny ve směru šíření.
Při srážce elektronu s iontem se uspořádaná oscilační rychlost elektronů mění na
neuspořádanou tepelnou rychlost a vlna musí elektronu dodat chybějící energii
oscilace v poli – dojde k absorpci vlny
Kolmý dopad elmg. vlny na rovinné plazma
Permitivita závisí jen na souřadnici x (εr = εr(x)) a vlnový vektor je ve směru osy x
∂B
rot E +
=0
rot rot = grad div − Δ
∂t
rot B − μ 0
∂D
=0
∂t
div D = 0 = ε div E + E∇ε
0
−1
pokud charakteristický čas změn hustoty τ >> ω
∂2 E
ΔE − μ0ε 0ε r 2 = 0
∂t
⇒ div E = 0
∂
→ −iω
∂t
ε r ( x, t ) → ε r ( x )
E ∼ e − iωt
Vlny
9
2
∂2 E ω 2
ω
2
ε
0
+
E
=
⇒
k
= 2 εr
r
2
2
∂x
c
c
stacionární vlnová rovnice
∇ε
λ
pokud ε << 1 ⇒ ε pomalu proměnné v prostoru
WKB přiblížení
E = E+ ( x ) e ∫
i k dx
− i k dx
+ E− ( x ) e ∫
ω2
⎡
⎤
2
⎢
∂E
∂ E ⎥ i k dx
∂k
E '' = ⎢ −k 2 E+ + 2ik + + i E+ + 2+ ⎥ e ∫ + ...
∂x
∂x
∂x ⎥
⎢ 0. řád
2. řád ⎦
1. řád
⎣
ε r E+
0. řád
−k E+ =
1. řád
∂E+
∂k
2ik
+ i E+ = 0
∂x
∂x
2
c
2
splněno
E ∼ k
−1
2
∼ εr
−1
4
Vlny 10
E=
E0+
4
εr
e∫
i k dx
+
E0−
4
εr
− i k dx
e ∫
WKB řešení (žádný odraz !!)
Existují profily hustoty (permitivity), kde WKB řeší úlohu přesně
Okolí kritického bodu – ε → 0 - WKB neplatí
nalezneme řešení pro lineární profil hustoty ne
νc
v kritické ploše
relativní permitivita ε r = −ax + iS
kde
ω
Hustota plazmatu tedy roste ve směru osy x – pole musí jít k 0 pro x →∞
S=
∂ E ω
+ 2 ( −ax + iS ) E = 0
2
∂x
c
2
2
⎛ω ⎞
ξ =⎜ ⎟
⎝ ca ⎠
2
3
( −ax + iS )
⇒
d 2E
+ξE = 0
2
dξ
Vlny 11
Existuje přesné řešení splňující okrajovou podmínku
Ai = Airyho funkce
E = 3 C Ai ( −ξ )
⎧ 12 ⎡ ⎛ 2 3 2 ⎞
⎛ 2 3 2 ⎞⎤
⎪Cξ ⎢ J 13 ⎜ ξ ⎟ + J − 13 ⎜ ξ ⎟ ⎥
⎠
⎝3
⎠⎦
⎪
⎣ ⎝3
=⎨
⎪C ( −ξ ) 12 ⎡ I ⎛ 2 ( −ξ ) 3 2 ⎞ + I ⎛ 2 ( −ξ ) 3 2 ⎞ ⎤
⎟ − 13 ⎜
⎟⎥
⎢ 13 ⎜ 3
⎪
3
⎠
⎝
⎠⎦
⎣ ⎝
⎩
Re(ξ) > 0
Re(ξ) < 0
S=0 (bez absorpce) - minima = 0
Vlny 12
Šikmý dopad vlny a rezonanční absorpce
Permitivita závisí jen na souřadnici x (εr = εr(x)) a vlnový vektor
k = kx + k y = kx +
2
2
2
2
ω2
c
2
sin 2 θ 0
2
Re
ε
=
sin
θ0
(
)
r
bod odrazu
E ⎪⎫
⎬
B ⎪⎭ TE vlna =
s-polarizace
B ⎪⎫
⎬
E ⎪⎭ TM vlna =
p-polarizace
p-polarizace
E ⋅∇ε ≠ 0
div E ≠ 0
Vlny 13
d 2 B 1 d ε dB ω 2
2
−
+
−
ε
sin
θ0 ) B = 0
2
2 ( r
dx
ε dx dx c
Ex = −
ky B
ωμ0ε
=−
sin θ0
⋅
B
μ0ε 0 ε r
Rezonanční absorpce
v kritické ploše singularita
t → l (příčná elmg. vlna se mění v podélnou plazmovou)
- l nemůže z plazmatu uniknout – absorpce srážkami nebo bezesrážkově
v principu lineární jev – existuje i při malých
intenzitách I
ν
2
2
3
→
0
A
=
f
q
q
=
k
L
sin
θ0
(
)
(
)
0
při ω
θ0 → 0 Ex x → 0 kolmý dopad – není Ex
c
L → ∞ Ex
xc
→ 0 bod odrazu daleko od xc
Vlny 14
1
B ( xc )
2 (π cos θ 0 ) 2
≅ 1
1
3
B0
1
k0 L ) 6
3 Γ
(
3
( )
q << 1
(pro malá q)
⎛ 2 ⎞
A = q ⎜1 − q ⎟
⎝ 3 ⎠
q >> 1
⎛ 4 32 ⎞
⎛ 8 32 ⎞
A = 2 exp ⎜ − q ⎟ − exp ⎜ − q ⎟
⎝ 3
⎠
⎝ 3
⎠
maximální A ≈ 0.5
při q ≈ 0.65
νc
ε x =i
srážky ( c )
ω
E z ( xc ) =
sin θ 0
νc
ω
B ( xc ) ⋅
1
ε 0 μ0
Vlny 15
Šířka maxima Δ
n − nc ν c
=
nc
ω
νc
⇒ Δ= L
ω
Δ
L
Absorbovaná energie
Δ /2
2
ν ei 2
νc ω
ω ν c sin 2 θ 0 2
2 ⎛ν c ⎞
W=
E dz
Ez ( xc ) ⋅ Δ =
B ( xc ) c ⋅ ⎜ ⎟ L
2
∫
ω c
c −Δ /2 ω
c ω ⎛ν c ⎞
⎝ω ⎠
⎜ ⎟
⎝ω ⎠
ω
W = ω cB 2 ( xc ) × L sin 2 θ 0
nezávisí na ν c
Vlny 16
Teplé plazma (prostorová disperze podélného pole)
⎤
3vTe 2 ⎡
1 ∇ε r
D = ε r E + 2 ⎢grad div E −
div E ⎥
ε0
c ⎣
3 εr −1
⎦
Plazmová vlna se šíří z kritické plochy do řidšího plazmatu, při poklesu hustoty
roste vlnové číslo k a klesá tedy vϕ tak, až se stane srovnatelnou s tepelnou
rychlostí ⇒ Landaův útlum (urychluje elektrony ven z plazmatu)
1
tr
Při vyšších intenzitách se plazmová vlna tlumí nelineárním mechanismem lámání
vln (wavebreaking) – energie je předána malé skupině tzv. „horkých (rychlých)
elektronů“. Elektrony jsou urychlovány jak do terče, tak i k hranici plazmatu
s vakuem, kde se ale většina elektronů odrazí v elektrostatickém poli dvojvrstvy
(„sheath“) zpět do terče.
Vlny 17
Nelinearity při šíření elektromagnetických vln v plazmatu
ωp
e 2 ne
εr = 1−
= 1− 2
2
ε 0 meω
ω
2
A.
→ me
me =
– relativistická nelinearita
me 0
v2
1− 2
c
me 0
≈
2
e 2 EL
1−
2 me 2 c 2ω 2
(pro vosc >> vTe)
2
2
⎛
e ne
1 e EL ⎞
εr = 1−
⎜1 −
⎟
2
2 2 2
⎜
ε 0 me 0ω ⎝ 4 me 0 c ω ⎟⎠
2
pokud v osc << c
nelinearita
⇒
2
2
∼
E
/
ω
∼ Iλ2
δε
L
- kvadratická nelinearita – permitivita roste
s kvadrátem pole
Vlny 18
B.
→ ne -
změnu hustoty způsobí pond. síla nebo grad tlaku
a) ponderomotorická nelinearita
ρ
ρ
2
2
ε 0∇ E = −
ε 0∇ EL
Fp = −
2 ρc
4 ρc
Fp − ∇p = 0
Ponderomotorická síla vytlačuje plazma z oblasti intenzivního pole ⇒
vznikne grad hustoty ⇒ grad tlaku.
V rovnováze grad tlaku vyrovnává pond. sílu:
2
ε 0 EL
ne
2
−
ε 0∇ EL − k BTe∇ne = 0
)
ne = n0 exp (−
⇒
4nc
4k BTe nc
pro malé I – kladná kvadratická nelinearita
2
2
∼
E
/
n
~
I
λ
L
c
δε
b) tepelná – v maximu pole se plazma nejvíce zahřeje a hustota se sníží, aby byl
tlak konstantní
Vlny 19
Projevy nelinearity
A. Vznik filamentů (intenzivních zón uvnitř laserového svazku)
2
ε
=
ε
+
ε
E
2
L
Kvadratické prostředí R
Vlna E = E0 cos ( k0 x − ω t )
E z
δE z
Porucha (pro jednoduchost periodická ve směru kolmém k E)
δ E = ⎡⎣ e1 ( x ) cos ( k0 x − ω t ) + e2 ( x ) sin ( k0 x − ω t ) ⎤⎦ ⋅ cos(k⊥ y )
e1 je složka poruchy ve fázi s hlavní rovinnou vlnou
ε = εL + ε2
(E +δ E)
2
1
= ε L + ε 2 E0 2 + ε 2 e1 ( x ) E0 cos( k⊥ y )
2
εm
porucha pole vyvolává poruchu permitivity periodickou v y
Vlny 20
k0 2 =
ω2
c
2
označení
εm
vlnový vektor v homogenním prostředí
Δ = ∂ 2 / ∂x 2 + (∂ 2 / ∂y 2 + ∂ 2 / ∂z 2 ) = ∇ 2 + ∇ 2⊥
2
∂δ E
ω
2ik0
+ ∇ ⊥2 δ E + 2 δε E0 = 0
∂x
c
2
de2
ω
−2k0
− k⊥ 2 e1 + 2 ε 2 E0 2 e1 = 0
dx
c
de1
− k⊥ 2 e2 = 0
2k0
dx
Předpoklad:
e1 ( x ) ∼ e
kx
vlnová rovnice pro poruchu
rozepsaná po složkách
~cos (k0x- ωt)
~sin (k0x- ωt)
k⊥
k =±
2k0
ω2
c2
ε 2 E0 2 − k⊥ 2
Čím větší intenzita záření, tím užší poruchy mohou narůstat
Vlny 21
max. růst
ω ε 2 E0 2
k =
4 c εm
ω2
2
2
=
k
E
ε
2 0
pro ⊥
2c 2
Laserový svazek se nakonec rozpadne do několika intenzivních zón - při
pozorování z boku se tvoří vlákna (filamenty)
B.
Autofokuzace (samofokuzace - self-focusing)
Laserový svazek se fokusuje jako celek – při kvadratické nelinearitě se pro velké I
dříve vytvoří filamenty
Vlnová rovnice (εL je lineární a Δε nelineární část permitivity)
1 ∂2
ΔE − 2 2 ⎡⎣( ε L + δε ) E ⎤⎦ = 0
c ∂t
E = Ψ ( x, y, z , ξ ) exp ( ikx − iω t )
ξ =t−
x
vg
Vlny 22
Ψ je pomalu proměnná komplexní amplituda vlny
∂
⎛
2⎞
2 δε
Ψ
⎜ 2ik + ∇ ⊥ ⎟ Ψ = − k
εL
∂x
⎝
⎠
parabolická rovnice
k2 = ω2εL/c2
Ψ rozepíšeme na reálnou amplitudu a
fázi
Rozepíšeme na rovnici pro amplitudu a fázi
Ψ = A exp ( iϕ )
∂ 2
k
A = −∇ ⊥ ( A2∇ ⊥ϕ ) …
∂x
popisuje transport energie
1
k ⎛ ∇ ⊥ 2 A δε ⎞
∂
2
ϕ + ( ∇ ⊥ϕ ) − ⎜ 2 + ⎟ = 0
2k
2⎝ k A
ε ⎠
∂x
difrakce
Pro kolymovaný svazek
tvar vlnoplochy
refrakce
∇⊥ϕ = 0
Vlny 23
K samofokuzaci kolymovaného svazku dochází, pokud je refrakce větší než
difrakce
∇⊥2 A
δε
>− 2
ε
k A
⎛ r2 ⎞
A = A0 exp ⎜ − 2 ⎟
Pro Gaussovský svazek
⎝ 2a ⎠
1 ∂ ⎛ ∂ ⎞
∇ 2⊥ =
⎜r ⎟
V cylindrické geometrii je
r ∂r ⎝ ∂r ⎠
ε 2 A0 2
2
> 2 2
a podmínka pro samofokuzaci má tvar
εL
k a
2 2
A
Protože 0 a ∼ P , k samofokuzaci dochází, pokud je výkon svazku P > P0 –
prahový výkon pro samofokuzaci [pro relativistickou NL je P0 17.5 ( nc / ne ) GW ].
V ideální situaci by se podle uvedených rovnic Gaussovský svazek sfokuzoval do
bodového ohniska, ale v okolí ohniska neplatí přiblížení pomalu proměnné
amplitudy.
Vlny 24
Elmg. vlny v plazmatu s vnějším magnetickým polem B0
A.
pokud E B0
k ⊥ B0 (šíření kolmo k magnetickému poli)
B0 neovlivní vlnu - vlna řádná (ordinary)-O
E ⊥ B0 vlna mimořádná
(extraordinary) - X
ovlivněna polem B0
=> v1 y ⇒ v1 y × B0 → v1x ⇒ jx ⇒ Ex
Elektrické pole není kolmé na směr šíření
Vlny 25
−iω me v1x = −e ( Ex + v1 y B0 )
j1x = −en0 v1x
−iω me v1 y = −e ( E y − v1x B0 )
j1 y = −en0 v1 y
Příčný proud závisí i na podélné složce elektrického pole
Napíšeme vlnovou rovnici pro Ey a pro Ex rovnici pro x-ovou složku rot(H)
e 2 n0
ωc ⎞
⎛
2
2
k
ω
ε
μ
E
i
ωμ
j
i
μ
iE
Ex ⎟
−
=
=
−
(
y
0 0) y
0 y
0
2 ⎜
ω ⎠
⎛ ωc ⎞ ⎝
me ⎜1 − 2 ⎟
⎝ ω ⎠
ωε 0 Ex = − ijx =
ωc ⎞
⎛
iE
Ey ⎟
+
x
2 ⎜
ω
ω
⎛ ωc ⎞ ⎝
⎠
me ⎜1 − 2 ⎟
⎝ ω ⎠
−i
e 2 n0
po dosazení za Ex do vlnové rovnice vypočteme
ω p2 ω 2 − ω p2
εr = 1− 2 2
permitivitu plazmatu pro vlnu X
ω ω − ωh2
Vlny 26
εr
permitivita ε r = ±∞
pro ω = ωh
1⎡
2
2⎤
4
ω
ω
ω
ω
=
−
+
+
ε
=
0
L
c
c
p
pro
permitivita r
⎦
2⎣
1⎡
2
2⎤
4
ω
ω
ω
ω
=
+
+
c
p
ω
a pro R 2 ⎣ c
⎦
pro ω → ωh − nastává rezonance ( k → ∞ ) ⇒ úplná absorpce vlny
bod ω → ω L + je mezní frekvence ( k → 0 )⇒ úplný odraz vlny
B.
k B0 (šíření podél magnetického pole)
Levotočivá (L vlna)
ω p2 1
εr = 1− 2
ωL - mezní frekvence,
ω 1 + ωc
ω
šíření pro ω > ωL
permitivita pro R vlnu
Vlny 27
Pravotočivá (R vlna) – cyklotronová rotace elektronů je pravotočivá - rezonance!!
ω p2 1
εr = 1− 2
ω 1 − ωc
šíří se pro ω > ω R a
ω
pro ω < ω c (hvizdy) – rezonance pro ωc
CMA diagram
(pro elektromagnetické vlny)
Obsahuje
• hranice mezi jednotlivými
oblastmi typů šíření
• svisle – šíření podél B,
vodorovně – kolmo k B
• závislost fázové rychlosti
na směru šíření
• přechod mezi typy vln
při změně směru šíření
Vlny 28
Iontové elektromagnetické vlny (hydromagnetické vlny)
– existují jen v přítomnosti B0
a) k B0 – Alfvénova vlna
ik × E1 = iω B1
1
μ0
elektronová hustota
ik × B1 + iωε 0 E1 = n0 e ( vi − v e )
0 = −eE1 − ev e × B0
−iω M i vi = ZeE1 + Zevi × B0
vex = 0
v ey =
E1 × B0
B0 2
pohybové rovnice
E×B drift
Vlny 29
viy = −i
ZeB0
Ω
vix = −i c vix
ωM i
ω
ZeE1x
vix = i
⎛ Ω c2 ⎞
ω M i ⎜1 − 2 ⎟
⎝ ω ⎠
Ωc =
2
Ze
n0
2
ω pi =
ε0M i
ZeB0
Mi
iontová plazmová frekvence
dosadíme proud do vlnové rovnice ⇒disperzní vztah
ω =
pro ω << Ω c
2
1−
k 2 v A2
2
2
iontová cyklotronová
⎛v ⎞
1+ ⎜ A ⎟
⎝ c ⎠
2
kde
k 2c 2
ω2
v A2 =
ω pi 2
+ 2
=0
2
Ωc − ω
c 2Ωc 2
ω pi
2
=
c 2 B0 2ε 0
ρM
Alfvénova rychlost
z
YB ( z , t ) = ∫
By ( z ′, t )
B0
dz ′
v B = −iωYB = −
ω By
k B0
By =
k
ω
Ex
YB posun polohy siločáry, vB rychlost pohybu siločáry
Vlny 30
Ex
⇒ vB = −
= vD
B0
Plazma se pohybuje stejnou rychlostí jako siločára
Magnetické siločáry jsou „zamrzlé v plazmatu“
Alfvénovy vlny – příčné vlny „na struně“ Struna ≅ magnetická siločára
(Hannes Alfvén – Nobelova cena – 1970)
k ⊥ B0 – magnetozvuková vlna
E ⊥ B0
b)
disperzní vztah pro studené plazma
2
2
k
v
2
2
A
k
v
ω2 =
≈
A
vA 2
1+ 2
c
v A 2 + cs 2
2
2
2
≈
k
v
+
c
ω =k
(
A
s )
2
v
pro Te ≠ 0 působí navíc tlak
1+ A2
c
2
2
Vlny 31