Experimentální stanovení kritických otáček rotoru RotorKitu.

Stanovenı́ kritických otáček rotoru RotorKitu
s využitı́m systému PULSE
Katedra mechaniky, Fakulta aplikovaných věd
Západočeská univerzita v Plzni
Experimentálnı́ mechanika (KME/EXM)
Zpracoval: Štěpán Dyk
Pomocı́ systému PULSE experimentálně stanovı́me prvnı́ kritické otáčky rotoru RotorKitu, experimentálnı́ho zařı́zenı́, sestávajı́cı́ho z hnaného hřı́dele a nejrůznějšı́ch přı́davných elementů, jejichž připojenı́m lze měnit parametry tohoto
systému; jde o kotouče, ložiska, přı́davné nevývažky, apod. Dále lze měnit geometrické parametry, takže je možné vytvořit nejrůznějšı́ potřebné konfigurace.
V teoretické části bude rozebrán matematický model tzv. Lavalova rotoru,
z nějž zı́skáme předpis pro určenı́ prvnı́ch kritických otáček, a v části praktické
bude uveden návod, jak postupovat při sestavovánı́ měřicı́ho řetězce a při samotném měřenı́.
1
Teoretická část: Lavalův rotor
Nejprve odvodı́me s pomocı́ matematického modelu tzv. Lavalova rotoru analytický vztah pro určenı́ prvnı́ch kritických otáček rotoru.
Lavalův rotor1 je nejjednoduššı́m modelem, užı́vaným v dynamice rotorů.
Tento model sestává z hmotného kotouče na nehmotném hřı́deli. Důležitým předpokladem použitelnosti tohoto modelu proto je, aby poměr hmotnosti vlastnı́ho
hřı́dele a kotouče byl dostatečně malý. Hřı́del uvažujeme ohybově poddajný. Dále
předpokládáme, že kotouč rotuje stále v rovině kolmé na osu nedeformovaného
hřı́dele, jež se působenı́m sil vyvolaných rotacı́ a nevyváženostı́ nenaklápı́ - vliv
těchto sil tedy můžeme zanedbat. Tento předpoklad splňuje hřı́del s kotoučem
umı́stěným v polovině ložiskové vzdálenosti.
1
Pojmenovánı́ Lavalův rotor je užı́váno v Evropě, mimo ni je týž model nazýván jako Jeffcottův
rotor. Protože však prvnı́m, kdo demonstroval nadkritický provoz turbı́n, byl A. Föppl, objevujı́ se
též snahy nazývat tento model jako Föpplův model.
1
Stanovenı́ kritických otáček rotoru s využitı́m systému Pulse
2
V reálném přı́padě působı́ na rotor různá tlumenı́, at’ již tlumenı́ v ložiskových
podporách, anebo materiálová tlumenı́ hřı́dele. Jestliže tato tlumenı́ zanedbáme,
nazýváme pak rotor netlumeným Lavalovým rotorem.
1.1
Matematický model netlumené soustavy
Při tvorbě matematického modelu využijeme Lagrangeových rovnic. Zaved’me
y
z
y
w
yT
T
e u = wt
S
x
O
T
e
x
u = wt
yS
S
O
xS
xT
x
Obrázek 1: Model Lavalova rotoru
kartézský souřadnicový systém xyz tak, že osa z je totožná s osou nedeformovaného hřı́dele a osy x a y obě ležı́ v rovině kotouče (viz obrázek 1). Jak bylo uvedeno v úvodu této kapitoly, předpokládejme, že se hřı́del pohybuje stále v rovině
kolmé na osu nedeformovaného hřı́dele, jež se nenaklápı́, a můžeme tedy přejı́t
od prostorového problému k problému rovinnému (v rovině xy). Geometrický
střed průřezu hřı́dele označme S[xS , yS ]. V důsledku nehomogenity materiálu kotouče či jeho nepřesnému, excentrickému nasazenı́ na hřı́del nenı́ poloha těžiště
T [xT , yT ] v reálném přı́padě totožná s geometrickým středem průřezu hřı́dele S.
Vzdálenost mezi těžištěm a geometrickým středem hřı́dele označme jako excentricitu ε hřı́dele.
Podle obrázku 1 vpravo můžeme polohu těžiště T vyjádřit v rovině x, y pomocı́ polohového vektoru
xS (t) + ε cos(ωt)
rT (t) =
.
(1)
yS (t) + ε sin(ωt)
Pro rychlost pak platı́
ṙT (t) =
ẋS (t) − εω sin(ωt)
ẏS (t) + εω cos(ωt)
.
(2)
Stanovenı́ kritických otáček rotoru s využitı́m systému Pulse
3
Matematický model sestavı́me použitı́m Lagrangeových rovnic obyčejného
typu. Zavedeme-li Lagrangián L = Ek − Ep jako rozdı́l kinetické energie Ek
a energie potenciálnı́ Ep , můžeme psát Lagrangeovy rovnice ve tvaru
d ∂L
∂L
−
= Qi , i = 1, 2,
(3)
dt ∂ q˙i
∂qi
kde q1 = xS , q2 = yS jsou zobecněné souřadnice popisujı́cı́ polohu středu hřı́dele
v rovině xy a Qi jsou zobecněné vnějšı́ sı́ly (zı́skané např. pomocı́ principu virtuálnı́ch pracı́.)
Uvažujme, že úhlová rychlost otáčenı́ hřı́dele ω = konst. Úhel natočenı́ hřı́dele
ϑ = ωt nezávisı́ na zobecněných souřadnicı́ch. Na hřı́del necht’ působı́ v těžišti
T vnějšı́ sı́la F . Virtuálnı́ posunutı́ bodu T je δq = [δxS , δyS ]T , virtuálnı́ práce
sı́ly F = [Fx , Fy ]T působı́cı́ v bodě T je δW = Fx δxS + Fy δyS , a zobecněné sı́ly
.
Qi = ∂δW
∂δqi
Pro dosazenı́ do Lagrangeových rovnic (3) je potřeba vyjádřit kinetickou a potenciálnı́ energii kotouče na hřı́deli. Kinetická energie je zde dána vztahem
1
1
Ek = mv 2 = m{ẋ2S + ẏS2 + ε2 ω 2 + 2εω[−ẋS sin(ωt) + ẏS cos(ωt)]},
2
2
(4)
kde jsme pouze rozepsali druhou mocninu rychlosti středu kotouče S jako v 2 =
ṙ2 = (ẋ2T + ẏT2 ) a upravili. Pro potenciálnı́ (deformačnı́) energii Ep hřı́dele platı́
1
Ep = k(x2S + yS2 ),
2
(5)
kde k je ohybová tuhost hřı́dele.
Jak je ukázáno na obrázku 2, mohli bychom uvažovat obecně anizotropnı́
hřı́del, tj. hřı́del s různými ohybovými tuhostmi kx a ky ve směrech os x a y.
V takovém přı́padě by pak potenciálnı́ energie (5) byla vyjádřena ve tvaru Ep =
1
k x2 + 12 ky yc2 a i v dále uvedených vztazı́ch bychom snadno mohli nahradit ohy2 x c
bovou tuhost k odpovı́dajı́cı́mi ohybovými tuhostmi v přı́slušných směrech. Pro
jednoduchost však budeme uvažovat, že je hřı́del izotropnı́, a tedy kx = ky = k.
Za předpokladu konstantnı́ úhlové rychlosti ω = konst. dostáváme po provedenı́ přı́slušných derivacı́ v Lagrangeových rovnicı́ch (3) matematický model
Lavalova rotoru
mẍS + kxS = mεω cos(ωt) + Fx (t),
mÿS + kyS = mεω sin(ωt) + Fy (t).
(6)
Řešenı́ soustavy rovnic (6) jako soustavy obyčejných diferenciálnı́ch rovnic 2.
řádu budeme hledat jako součet homogennı́ho a partikulárnı́ho řešenı́. Homogennı́
Stanovenı́ kritických otáček rotoru s využitı́m systému Pulse
4
y
kx
m
ky
x
Obrázek 2: Model rotoru se znázorněnı́m tuhostı́ kx a ky pro anizotropnı́ hřı́del
rovnice přı́slušejı́cı́ soustavě (6) budou mı́t tvar
mẍS + kxS = 0
mÿS + kyS = 0
(7)
a popisujı́ tzv. volné kmitánı́ hřı́dele.
1.1.1
Volná rotace
Řešenı́ homogennı́ch rovnic přı́slušejı́cı́ch modelu s izotropnı́m hřı́delem (6), tj.
rovnic (7), předpokládáme v exponenciálnı́m tvaru xS (t) = xS0 est , yS (t) =
yS0 est , kde xS0 a yS0 jsou počátečnı́ výchylky středu kotouče rotoru. Řešı́me-li
tyto rovnice pro s ∈ C, dosazenı́m do (7) dostáváme soustavu ve tvaru
(ms2 xS0 + kxS0 )est = 0,
(ms2 yS0 + kyS0 )est = 0.
(8)
Absolutnı́ hodnota s, která vyhovuje netriviálnı́mu řešenı́ soustavy (8), souhlası́
s vlastnı́ frekvencı́ Ω nerotujı́cı́ho systému
r
k
Ω=
.
(9)
m
Zı́skáváme dvě dvojice komplexně sdružených vlastnı́ch čı́sel ±iΩ, po jejichž dosazenı́ do předpokládaného řešenı́ a po úpravách vidı́me, že toto řešenı́ odpovı́dá
odezvám dvou neprovázaných harmonických oscilátorů
xS (t) = xS (0) cos(Ωt) + Ω1 ẋS (0) sin(Ωt),
yS (t) = yS (0) cos(Ωt) + Ω1 ẏS (0) sin(Ωt).
(10)
Vidı́me, že vlastnı́ frekvence Lavalova rotoru Ω je nezávislá na úhlové rychlosti ω a že tato vlastnı́ frekvence odpovı́dá vlastnı́ frekvenci nerotujı́cı́ho systému.
Pohyb popsaný homogennı́m řešenı́m (10) označujeme jako volnou rotaci.
Tento pohyb závisı́ pouze na počátečnı́ch podmı́nkách (na počátečnı́ch amplitudách a počátečnı́ch rychlostech).
Stanovenı́ kritických otáček rotoru s využitı́m systému Pulse
1.2
5
Určenı́ prvnı́ch kritických otáček
Pro určenı́ prvnı́ch kritických otáček budeme tedy vycházet ze vztahu (9). Hmotnost m reprezentuje hmotnost hřı́dele s kotoučem a k je ohybová tuhost hřı́dele.
Určeme nynı́ tento koeficient.
Uvažujme hřı́del jako nosnı́k na dvou podporách, který má kruhový průřez
a jehož geometrické a materiálové konstanty jsou známy. Pomocı́ teorie přı́činkových koeficientů lze potom pro ohybovou tuhost k hřı́dele odvodit vztah
k=
3 Eπd4
,
4 l3
(11)
kde E je modul pružnosti hřı́dele v tahu, d je průměr hřı́dele a l je jeho ložisková
vzdálenost.
S pomocı́ vztahů (9) a (11) jsme tedy schopni pouze na základě materiálových
a geometrických konstant rotoru určit jeho tuhost.
2
Praktická část
Pro realizaci nejrůznějšı́ch měřenı́ v oblasti experimentálnı́ mechaniky lze volit
z velkého množstvı́ metod a prostředků. V oblasti experimentálnı́ modálnı́ analýzy
či experimentálnı́ho vyšetřovánı́ vibracı́ mechanických soustav se v současné době
Obrázek 3: Analyzátor PULSE
nabı́zejı́ modernı́ výpočetnı́ systémy, zaměřené speciálně na konkrétnı́ problematiku z tohoto oboru. Jednı́m z podobných systémů je PULSE, zařı́zenı́ firmy Brüel
& Kjaer pro analýzu vibracı́ a vyšetřovánı́ problémů akustiky (viz obrázek 3).
2.1
Elementy měřicı́ho řetězce
Krátký přehled nejpoužı́vanějšı́ch součástı́ měřicı́ho řetězce (snı́mačů, kabelů, budičů, apod.) a jejich základnı́ch vlastnostı́ je k nalezenı́ v dokumentu Experimentálnı́ výzkum vibracı́. Dalšı́mi přı́stroji, použı́vanými v našı́ úloze, budou;
Stanovenı́ kritických otáček rotoru s využitı́m systému Pulse
6
Anylyzátor PULSE fy Brüel & Kjaer, který sloužı́ pro sběr a zpracovánı́ naměřených dat.
Rotor Kit: experimentálnı́ zařı́zenı́, tvořené v základnı́ konfiguraci jednı́m hnaným hřı́delem, k němuž lze dodatečně připojovat nejrůznějšı́ přı́davné součásti (kotouče, ložiska, nevývažky, apod.).
Převodnı́k RK4 Proximitor assembly: sloužı́ jako ’rozcestnı́k’ signálových cest.
Kontroler RK4 Rotor Kit Motor speed control: Jednotka pro regulaci rychlosti
otáčenı́ rotoru RotorKitu.
Softwarovou část - zpracovánı́ a vizualizaci dat - budeme realizovat v prostředı́
Pulse LabShop.
2.2
Zapojenı́
V jednotlivých krocı́ch nynı́ ukážeme, jakým způsobem je provedeno zapojenı́
měřicı́ho řetězce pro úlohu stanovenı́ kritických otáček rotoru. Toto zapojenı́ schématicky zachycuje obrázek 4. Obrázky 5 a 6 ukazujı́ jednotlivé elementy měřicı́ho
řetězce.
1. Do poloviny ložiskové vzdálenosti2 hřı́dele RotorKitu umı́stı́me kotouč,
jehož hmotnost (a hmotnost hřı́dele) si předem zjistı́me. Do blı́zkosti kotouče umı́stı́me rám se snı́mači výchylek.
2. Koaxiálnı́ kabely vedoucı́ od snı́mačů výchylek zapojı́me do zadnı́ho panelu převodnı́ku PROXIMITOR ASSEMBLE, např. do vstupů 3 a 4., a do
vstupu 1 zapojı́me kabel vedoucı́ od čı́tače otáček (tj. snı́mač blı́zký hřı́deli
motoru). Na témže zadnı́m panelu propojı́me pomocı́ jednoduchých kabelů
výstupy označené VT− a COM se shodně nadepsanými vstupy na kontroleru
rychlosti MOTOR SPEED CONTROL.
3. Propojı́me výstup kotroleru rychlosti s RotorKitem (silnějšı́ černý kabel vystupujı́cı́ ze zadnı́ho panelu) a pomocı́ koaxiálnı́ho kabelu mezi výstupem na
zadnı́m panelu a snı́mačem otáček u rotoru motoru RotorKitu realizujeme
zpětnou vazbu mezi oběma zařı́zenı́mi.
4. Výstupy 3 a 4 na přednı́ desce převodnı́ku PROXIMITOR ASSEMBLE
připojı́me na vstup analyzátoru PULSE (vstupy 1 a 2).
5. Pomocı́ sı́t’ového kabelu propojı́me analyzátor PULSE s počı́tačem.
2
Aby uspořádánı́ rotoru vyhovovalo předpokladům výše odvozeného modelu Lavalova rotoru.
Stanovenı́ kritických otáček rotoru s využitı́m systému Pulse
PULSE
síťový
kabel
7
PC
(Pulse Labshop)
In 1
In 2
čítač
očátek
probe 3
3
probe 2
2
probe 1
V TCOM
V TCOM
speed
probe
snímače
výchylky
RK4 MOTOR
SPEED
CONTROL
Výstup
k RotorKitu
PROXIMITOR
ASSEMBLY
ROTORKIT
silný černý kabel
šedý kabel - zpětná vazba pro řízení rychlosti otáček
Obrázek 4: Schéma zapojenı́ měřicı́ho řetězce pro úlohu měřenı́ kritických otáček
rotoru RotorKitu
2.3
Ovládánı́
Pro ovládánı́ rychlosti otáčenı́ rotoru budeme užı́vat zařı́zenı́ RK4 RotorKit Motor
speed control. Pomocı́ páčkového přepı́nače můžeme vybrat mezi polohami
slow-roll: pomalý běh rotoru,
ramp: možnost lineárně vzrůstajı́cı́ch otáček od aktuálnı́ hodnoty až k hodnotě
nastavené potenciometrem Max speed setpoint (zrychlenı́ nastavı́me pomocı́ potenciometru ramp rate [RPM/min],
stop: zastavený chod rotoru.
Na zadnı́ desce přı́stroj zapneme a vybereme polohu slow-roll.
Stanovenı́ kritických otáček rotoru s využitı́m systému Pulse
8
3
2
1
Obrázek 5: Experimentálnı́ zařı́zenı́ RotorKit a ovládacı́ prvky; (1) Rotorkit, (2)
RK4 Rotor Kit Motor speed control, (3) RK4 Proximitor assembly
Obrázek 6: Čelnı́ deska analyzátoru PULSE
2.4
Měřenı́
Nejprve zapneme analyzátor PULSE. Pomocı́ ikony v nabı́dce Start spustı́me
prostředı́ PULSE Labshop. Z nabı́dky New Project vybereme možnost Open existing project a otevřeme soubor C:\vyuka\Rotorkit.pls s hotovou softwarovou šablonou pro úlohu měřenı́ kritických otáček RotorKitu. Po otevřnı́ zvolı́me
v levé liště Měřenı́>Orbity.
Pomocı́ klávesy F2 (activate template) načteme připojené snı́mače a klávesou
F5 můžeme začı́t s měřenı́m.
Postupně zvyšujeme rychlost otáčenı́ rotoru a současně sledujeme velikost orbity, která může mı́t např. tvar, jaký je naznačen na obrázku 7. Když se úhlová
rychlost otáčenı́ ω rotoru začne blı́žit kritické úhlové rychlosti Ω, rotor se rozkmitá
(i viditelně) - v momentě, kdy bude rozkmitánı́ rotoru největšı́, zaznamenáme
Stanovenı́ kritických otáček rotoru s využitı́m systému Pulse
9
Obrázek 7: Ukázka orbit zaznamenaných v prostředı́ PULSE Labshop pro různé
otáčky rotoru RotorKitu
hodnotu otáček na displeji ovladače rychlosti. Otáčky za minutu n převedeme
na úhlovou rychlost ω pomocı́ vztahu
ω=
πn
.
30
(12)
Při přejı́žděnı́ kritické úhlové rychlosti si povšimněme změny fáze - měnı́ se
směr hlavnı́ch poloos ”elipsy”, na nı́ž střed hřı́dele kmitá. Nynı́ můžeme srovnat hodnotu kritických otáček teoreticky vypočtenou na základě modelu Lavalova
rotoru podle vztahu (9) s výsledky experimentu vyčı́slenými podle (12).