docCAPM atd.
download 
Stížnost Transkript
CAPM atd.
CAPM atd. Martin Šmı́d, [email protected], www.klec.cz/martin ÚTIA AV ČR listopad 2005 Obsah 1. Výběr portfolia 2. CAPM s bezrizikovým aktivem 3. Empirické ověřenı́ CAPM Domácı́ úkol Literatura E. Barucci. Financial Markets Theory. Springer, London, 2003. K. Cuthbertson. Quantitative Financial Economics. John Wiley & sons, New York, 1997. J. Dupačová, J. Hurt, and J. Štěpán. Stochastic Modelling in Economics and Finance. Kluwer, Dodrecht, 2002. Motto Má vůbec smysl zabývat se (matematickými) modely? Motto Má vůbec smysl zabývat se (matematickými) modely? Paul Krugman řı́ká In fact, we are all builders and purveyors of unrealistic simplifications. Some of us are self-aware: we use our models as metaphors. Others, including people who are indisputably brilliant and seemingly sophisticated, are sleepwalkers: they unconsciously use metaphors as models. Motto Má vůbec smysl zabývat se (matematickými) modely? Paul Krugman řı́ká In fact, we are all builders and purveyors of unrealistic simplifications. Some of us are self-aware: we use our models as metaphors. Others, including people who are indisputably brilliant and seemingly sophisticated, are sleepwalkers: they unconsciously use metaphors as models. Jinými slovy: rozhodujeme se bud’ vědomě nebo nevědomě, výběr je na nás! 1. Výběr portfolia Předpoklady ◮ Agenti ◮ ◮ ◮ M agentů Wi - současné bohatstvı́ i-tého agenta ui (W ) - užitek i-tého agenta z bohatstvı́ W 1. Výběr portfolia Předpoklady ◮ Agenti ◮ ◮ ◮ ◮ M agentů Wi - současné bohatstvı́ i-tého agenta ui (W ) - užitek i-tého agenta z bohatstvı́ W Aktiva ◮ ◮ N aktiv ri náhodný normalizovaný výnos i-tého aktiva 1. Výběr portfolia Předpoklady ◮ Agenti ◮ ◮ ◮ ◮ Aktiva ◮ ◮ ◮ M agentů Wi - současné bohatstvı́ i-tého agenta ui (W ) - užitek i-tého agenta z bohatstvı́ W N aktiv ri náhodný normalizovaný výnos i-tého aktiva i -tý agent řešı́ max w ∈RN ,w ·1=Wi Eui (r · w ) (předpokládejme existenci řešenı́) (1) Portfoliová hranice (PH) Střednı́ výnos a směrodatné odchylky všech možných portfoliı́ tvořı́ tvar viz obrázek (položená odmocněná parabola) Portfoliová hranice (PH) Střednı́ výnos a směrodatné odchylky všech možných portfoliı́ tvořı́ tvar viz obrázek (položená odmocněná parabola) 1. Je-li Eui (z) klesajı́cı́ s rostoucı́m Dz (D označuje rozptyl), pak optimálnı́ portfolio každého agenta ležı́ na tzv. portfoliové hranici (PH). Portfoliová hranice (PH) Střednı́ výnos a směrodatné odchylky všech možných portfoliı́ tvořı́ tvar viz obrázek (položená odmocněná parabola) 1. Je-li Eui (z) klesajı́cı́ s rostoucı́m Dz (D označuje rozptyl), pak optimálnı́ portfolio každého agenta ležı́ na tzv. portfoliové hranici (PH). 2. Je-li navı́c Eui (z) rostoucı́ s rostoucı́m Ez, jsou-li indiferenčnı́ křivky √ Kx = {(Ez, Dz) : z je n.v., ui (z) = x} striktně konvexnı́ a je-li Dr regulárnı́, pak je optimálnı́ portfolio určeno jednoznačně. Portfoliová hranice (PH) Střednı́ výnos a směrodatné odchylky všech možných portfoliı́ tvořı́ tvar viz obrázek (položená odmocněná parabola) 1. Je-li Eui (z) klesajı́cı́ s rostoucı́m Dz (D označuje rozptyl), pak optimálnı́ portfolio každého agenta ležı́ na tzv. portfoliové hranici (PH). 2. Je-li navı́c Eui (z) rostoucı́ s rostoucı́m Ez, jsou-li indiferenčnı́ křivky √ Kx = {(Ez, Dz) : z je n.v., ui (z) = x} striktně konvexnı́ a je-li Dr regulárnı́, pak je optimálnı́ portfolio určeno jednoznačně. Poznámky ◮ Předpoklady (1) a (2) jsou splněny napřı́klad když ◮ ◮ ◮ ui je kvadratická rostoucı́ konkávnı́ (tj. pokud ui (z) = az − bz 2 , a, b > 0) r má normálnı́ rozdělenı́ a ui je rostoucı́ konkávnı́ diferencovatelná platı́ jiné omezujı́cı́ podmı́nky na rozdělenı́ r a/nebo užitkovou funkci ui , viz [Barucci(2003)] Poznámky ◮ Předpoklady (1) a (2) jsou splněny napřı́klad když ◮ ◮ ◮ ◮ ui je kvadratická rostoucı́ konkávnı́ (tj. pokud ui (z) = az − bz 2 , a, b > 0) r má normálnı́ rozdělenı́ a ui je rostoucı́ konkávnı́ diferencovatelná platı́ jiné omezujı́cı́ podmı́nky na rozdělenı́ r a/nebo užitkovou funkci ui , viz [Barucci(2003)] Pro optimálnı́ portfolio se předepsaným střidnı́m výnosem Existuje analytický vzorec . Poznámky ◮ Předpoklady (1) a (2) jsou splněny napřı́klad když ◮ ◮ ◮ ui je kvadratická rostoucı́ konkávnı́ (tj. pokud ui (z) = az − bz 2 , a, b > 0) r má normálnı́ rozdělenı́ a ui je rostoucı́ konkávnı́ diferencovatelná platı́ jiné omezujı́cı́ podmı́nky na rozdělenı́ r a/nebo užitkovou funkci ui , viz [Barucci(2003)] ◮ Pro optimálnı́ portfolio se předepsaným střidnı́m výnosem Existuje analytický vzorec . ◮ Předpokládali jsme možnost krátkých prodejů, analogická tvrzenı́ však platı́ i pokud je zakážeme Poznámky ◮ Předpoklady (1) a (2) jsou splněny napřı́klad když ◮ ◮ ◮ ui je kvadratická rostoucı́ konkávnı́ (tj. pokud ui (z) = az − bz 2 , a, b > 0) r má normálnı́ rozdělenı́ a ui je rostoucı́ konkávnı́ diferencovatelná platı́ jiné omezujı́cı́ podmı́nky na rozdělenı́ r a/nebo užitkovou funkci ui , viz [Barucci(2003)] ◮ Pro optimálnı́ portfolio se předepsaným střidnı́m výnosem Existuje analytický vzorec . ◮ Předpokládali jsme možnost krátkých prodejů, analogická tvrzenı́ však platı́ i pokud je zakážeme ◮ Regularita matice Dr nenı́ omezujı́cı́. Singularita totiž implikuje replikaci výnosů (tj. stejný výnos dosáhneme i po vyžazenı́ ”replikovaných” veličin) nebo arbitráž (tj nenı́ co řešit, stačı́ nakoupit nekonečné množstvı́ arbitřážnı́ho portfolia a máme nekonečný zisk). Předpoklady ◮ Aktiva ◮ ◮ ◮ 1 Existuje bezrizikové aktivum ((ozn. rf jeho výnos a r̄ vektor aktiv včecně b.a., indexovaného nulou) rozptylová matice rizikových aktiv V = Dr je regulárnı́ každé portfolio na eficientnı́ hranici (hornı́ půlka PH) má většı́ střednı́ výnos než b.a. Asi se ptáte, kde se v (1) objevuje cena? Odpověd’ znı́: skrývá se ve výnosu - rj = Rj /pj kde Rj výnos z jednotky aktiva) Předpoklady ◮ Aktiva ◮ ◮ ◮ ◮ Agenti ◮ 1 Existuje bezrizikové aktivum ((ozn. rf jeho výnos a r̄ vektor aktiv včecně b.a., indexovaného nulou) rozptylová matice rizikových aktiv V = Dr je regulárnı́ každé portfolio na eficientnı́ hranici (hornı́ půlka PH) má většı́ střednı́ výnos než b.a. agenti jsou averznı́ k riziku (≡ ui je konkávnı́ 1 ≤ i ≤ M) Asi se ptáte, kde se v (1) objevuje cena? Odpověd’ znı́: skrývá se ve výnosu - rj = Rj /pj kde Rj výnos z jednotky aktiva) Předpoklady ◮ Aktiva ◮ ◮ ◮ ◮ Agenti ◮ ◮ Existuje bezrizikové aktivum ((ozn. rf jeho výnos a r̄ vektor aktiv včecně b.a., indexovaného nulou) rozptylová matice rizikových aktiv V = Dr je regulárnı́ každé portfolio na eficientnı́ hranici (hornı́ půlka PH) má většı́ střednı́ výnos než b.a. Dále ◮ ◮ agenti jsou averznı́ k riziku (≡ ui je konkávnı́ 1 ≤ i ≤ M) platı́ jedna z podmı́nek zaručujı́cı́, že optimálnı́ portfolio každého agenta ležı́ na PH (viz 1) existuje tržnı́ rovnováha (ekvilibrium), t.j. existuje vektor p ∈ RN+1 tak, že P (i) portfolia všech agentů jsou optimálnı́ ve smyslu (1) 1 M m (ii) kde wi je portfolio i-tého agenta a w̄ m je tržnı́ i =1 wi = w̄ portfolio všech aktiv na trhu (včetně bezrizikového) (např. pokud ui jsou striktně konkávnı́ spojité + technické předpoklady, viz [Barucci(2003), kpt. 1]) 1 Asi se ptáte, kde se v (1) objevuje cena? Odpověd’ znı́: skrývá se ve výnosu - rj = Rj /pj kde Rj výnos z jednotky aktiva) Separace do dvou fondů (s b. a.) Necht’ µ ≥ rf . Lze předpokládat Wi = 1 (stačı́ použı́t jiné měřı́tko). Úloha min w̄ ∈RN+1 ,w̄ ′ ·1=1,E(w̄ ·r̄)=µ D(w̄ · r̄ ), (+) Separace do dvou fondů (s b. a.) Necht’ µ ≥ rf . Lze předpokládat Wi = 1 (stačı́ použı́t jiné měřı́tko). Úloha min w̄ ∈RN+1 ,w̄ ′ ·1=1,E(w̄ ·r̄)=µ D(w̄ · r̄ ), (+) je zjevně ekvivalentnı́ min w ∈RN ,w̄ ′ ·1=1,E(w ·r +(1−w ′ 1)rf )=µ w ′ Vw (++). Separace do dvou fondů (s b. a.) Necht’ µ ≥ rf . Lze předpokládat Wi = 1 (stačı́ použı́t jiné měřı́tko). Úloha min w̄ ∈RN+1 ,w̄ ′ ·1=1,E(w̄ ·r̄)=µ D(w̄ · r̄ ), (+) je zjevně ekvivalentnı́ min w ∈RN ,w̄ ′ ·1=1,E(w ·r +(1−w ′ 1)rf )=µ Řešenı́(++): wµ = w ′ Vw (µ − rf )V −1 (Er − rf · 1) , Arf2 − 2Brf + C (++). A = 1′ V −1 1, B = 1′ V −1 (Er ), C = (Er )′ V −1 (Er ). (pomocı́ Lagrangeových multiplikátorů, viz literatura) Separace do dvou fondů (s b. a.) Necht’ µ ≥ rf . Lze předpokládat Wi = 1 (stačı́ použı́t jiné měřı́tko). Úloha min w̄ ∈RN+1 ,w̄ ′ ·1=1,E(w̄ ·r̄)=µ D(w̄ · r̄ ), (+) je zjevně ekvivalentnı́ min w ∈RN ,w̄ ′ ·1=1,E(w ·r +(1−w ′ 1)rf Řešenı́(++): wµ = w ′ Vw (++). )=µ (µ − rf )V −1 (Er − rf · 1) , Arf2 − 2Brf + C A = 1′ V −1 1, B = 1′ V −1 (Er ), C = (Er )′ V −1 (Er ). (pomocı́ Lagrangeových multiplikátorů, viz literatura) ′ ⇒ řešenı́ (+): w̄ µ = δ, (1 − δ)w t , δ =1− (µ − rf )(B − Arf ) , Arf2 − 2Brf + C wt = V −1 (Er − rf · 1) . B − Arf Separace do dvou fondů (pokr.) Protože w t je řešenı́m (+) (pro µ = µt = (C − Brf )/(B − Arf )), máme: Větu o separaci do dvou fondů: Každé eficientnı́ portfolio (tj. ležı́cı́ na EH) sestává s určitého množstvı́ b.a. a určité váhy w t . Separace do dvou fondů (pokr.) Protože w t je řešenı́m (+) (pro µ = µt = (C − Brf )/(B − Arf )), máme: Větu o separaci do dvou fondů: Každé eficientnı́ portfolio (tj. ležı́cı́ na EH) sestává s určitého množstvı́ b.a. a určité váhy w t . Důsledek: w̄ m = (c, dw t ) pro nějaká c, d ≥ 0 Separace do dvou fondů (pokr.) Protože w t je řešenı́m (+) (pro µ = µt = (C − Brf )/(B − Arf )), máme: Větu o separaci do dvou fondů: Každé eficientnı́ portfolio (tj. ležı́cı́ na EH) sestává s určitého množstvı́ b.a. a určité váhy w t . Důsledek: w̄ m = (c, dw t ) pro nějaká c, d ≥ 0 viz [Dupačová et al.(2002)Dupačová, Hurt, and Štěpán] CAPM Na čem závisı́ prémie za riziko? Po úpravách dostaneme ρt Er − rf′ · 1 = 2 (µt − rf ) | {z } σt riz prémie kde σt2 = D(w t · r ) = ′ µt − rf , B − Arf ρt = cov(r − rf′ · 1, w t · r ) = Er − rf′ · 1 B − Arf Dodatky ◮ Exisutje CAPM pro přı́pad pouze rizikových aktiv. Dodatky ◮ Exisutje CAPM pro přı́pad pouze rizikových aktiv. ◮ + dalšı́ modifikace. Dodatky ◮ Exisutje CAPM pro přı́pad pouze rizikových aktiv. ◮ + dalšı́ modifikace. ◮ Mı́sto výnosů w t se bere akciový index. Dodatky ◮ Exisutje CAPM pro přı́pad pouze rizikových aktiv. ◮ + dalšı́ modifikace. ◮ Mı́sto výnosů w t se bere akciový index. ◮ Za rf se obyčjeně berou státnı́ pokladničnı́ poukázky Dodatky ◮ Exisutje CAPM pro přı́pad pouze rizikových aktiv. ◮ + dalšı́ modifikace. ◮ Mı́sto výnosů w t se bere akciový index. ◮ Za rf se obyčjeně berou státnı́ pokladničnı́ poukázky ◮ Koeficienty βi se odhadujı́ pomocı́ regrese. Test CAPM Z předchozı́ho máme Er = β(µt − rf ) + 1′ · rf , β ∈ RN neboli r = β(rt − rf ) + 1′ · rf + ǫ, kde rt je výnos wt β ∈ RN , Eǫ = 0, Test CAPM Z předchozı́ho máme Er = β(µt − rf ) + 1′ · rf , β ∈ RN neboli r = β(rt − rf ) + 1′ · rf + ǫ, β ∈ RN , Eǫ = 0, kde rt je výnos wt Označme rfτ , r τ , rtτ , ǫτ - hodnoty přı́slušných veličin v čase τ , 1 ≤ τ ≤ T. Jsou-li ǫ1 , ǫ2 , . . . nezávislé (nebo platı́-li jiná podobná hypotéza), pak jsou historické průměry výnosů jsou konzistentnı́mi odhady střednı́ch hodnot. Test CAPM Z předchozı́ho máme Er = β(µt − rf ) + 1′ · rf , β ∈ RN neboli r = β(rt − rf ) + 1′ · rf + ǫ, β ∈ RN , Eǫ = 0, kde rt je výnos wt Označme rfτ , r τ , rtτ , ǫτ - hodnoty přı́slušných veličin v čase τ , 1 ≤ τ ≤ T. Jsou-li ǫ1 , ǫ2 , . . . nezávislé (nebo platı́-li jiná podobná hypotéza), pak jsou historické průměry výnosů jsou konzistentnı́mi odhady střednı́ch hodnot. Test má dva kroky 1. Odhad β 2. Zjištěnı́, zda β vyhovujı́ CAPM Přesněji Testujeme platnost modelu ri = β(rt − rf ) + rf + ǫi , 1≤i ≤N Přesněji Testujeme platnost modelu ri = β(rt − rf ) + rf + ǫi , 1≤i ≤N 1. Pro každé 1 ≤ i ≤ N z rovnic riτ − rt = αi + βi (rtτ − rfτ ) + rfτ + ǫτi , 1≤τ ≤T odhadneme αi , βi (za rt vezmeme hodnotu burzovnı́ho indexu, za rf SPP nebo třeba nějaký úrokový index). Pokud některé αi vyjde významně nenulové, svědčı́ to proti modelu. Přesněji Testujeme platnost modelu ri = β(rt − rf ) + rf + ǫi , 1≤i ≤N 1. Pro každé 1 ≤ i ≤ N z rovnic riτ − rt = αi + βi (rtτ − rfτ ) + rfτ + ǫτi , 1≤τ ≤T odhadneme αi , βi (za rt vezmeme hodnotu burzovnı́ho indexu, za rf SPP nebo třeba nějaký úrokový index). Pokud některé αi vyjde významně nenulové, svědčı́ to proti modelu. 2. Z rovnic r̄i = ψ0 + ψ1 β̂i + υi , 1 ≤ i ≤ N, kde β̂i je odhad βi z prvnı́ho kroku, odhadneme ψ0 , ψ1 a sledujeme, . . zda ψ0 = r̄f , ψ1 = r̄t − r̄f , kde x̄ znamená časový průměr x. Ekonometrické poznámky Ekonometrické poznámky Ad 1. Jak odhadovat β? Standardnı́ předpoklad, že cov ǫi , (rt , rf ), neplatı́. Rovnice z kroku 1. však lze transformovat tak, že se tento probém nevyskytne [Barucci(2003)] Ekonometrické poznámky Ad 1. Jak odhadovat β? Standardnı́ předpoklad, že cov ǫi , (rt , rf ), neplatı́. Rovnice z kroku 1. však lze transformovat tak, že se tento probém nevyskytne [Barucci(2003)] Ad 2. Spı́še heuristika (bereme zde odhady parametrů mı́sto jejich skutečných hodnot). Zadánı́ semestrálnı́ práce Odhadněte βi u některé akcie z trhu SPAD (každý student jiné). Pro odhad použijte alespoň 100 pozorovánı́. Za bezrizikový výnos vezměte přı́slušnou hodnotu indexu PRIBOR, za tržnı́ (tangenciálnı́) portfolio vezměte index PX50. Vyhodnot’te výsledky regrese (R 2 , F -statistiku a obě t-statistiky) a jejich implikace pro platnost modelu CAPM. Výsledky zašlete alespoň týden před termı́nem zkoušky na adresu [email protected].
Podobné dokumenty
Přístupnější model oceňování opcí | Cvičení 6
Oceňovánı́ opcı́ je poměrně komplikované. U jiných derivátů, napřı́klad forwardů nebo futures, u kterých při (rizikově neutrálnı́m1 ) oceňovánı́ stačı́ stanovit očekávanou hodnot...
|Najade Sprint|
Obrázek 1.2: Diagram původnı́ho produkčnı́ho schématu firmy
8/0/Rozvrh Ano
Vyučovací jazyk Čeština, Angličtina, Němčina
Complete results in PDF
Magus 4 S - www.macpara.com
PMAG
UP Targa 3 ML - Spaelti AG
SPAL
Mercury S - www.axispara.cz - Heliasport
AXIS
Magus25-Digifuchs.ch-Arcoconsulting
AVA
UP Targa 3 ML-Vaude-Fly&Glide-Titanic
GIN BOOM...
Europass Curriculum Vitae
“Sweet love” – (music video) dir. A.K. Pondikas – editor // The Claim
“Tanec” – (short film docu) dir. V. Polášek– editor // FMK UTB
“Ekologie” – (animated short adv.) dir. O. Dostál – editor // FM...