CT_MK_2_O vhodnosti uziti - black

Text pro učitele
Téma:
Pořadí zařazení námětu:
Název:
Autor:
Geometrické modelování
2.
O vhodnosti užití různých typů modelů těles
Marie Kupčáková
Pod pojmem modelování těles, případně 3D modelování, se studentům téměř
bezvýhradně vybaví počítačový model tělesa, a to pokud možno s živou grafikou. Ale tři
dimenze prostorových útvarů, včetně jejich vlastností, vymodelujeme snáz a přirozeněji
v reálu. Jaké typy modelů můžeme využívat?
Školní modely
Ve školních kabinetech padá prach na trojrozměrné modely těles. Některé jsou dřevěné,
jiné plastové, drátěné atp. Stálo by za to vytáhnout je z vitrín a vdechnout jim nový život.
Také v novém století najdou své adresáty, kteří je budou zkoumat, přemýšlet nad nimi,
objevovat vlastnosti, které nemusejí být pro každého na první pohled zřejmé.
Modely kvádrů
Když máme na mysli školní pomůcky, mluvíme o modelech plných, papírových a
drátěných.
Modely krychlí
Předškolák si hraje s plastovými stavebnicemi, kterým lze odklápět výplně ve stěnách,
jiné stavebnice mají tyčinky jako hrany a zvláštní spojky na vrcholy, velmi oblíbený je soubor
Geomag atd.
Modely krychlí
Použitý materiál zřejmě nebude pro klasifikaci modelů nejdůležitější. Zvolíme obecnější
kriterium, které odliší stupně abstrakce modelování. U každého typu se pak zamyslíme nad
tím, co od něj očekáváme a kdy jej použijeme.
Ideální model tělesa
Podle prof. Vopěnky je ideálním modelem tělesa ten ze světa „idejí“1. Každá „materie“
už s sebou přináší nějakou nedokonalost, například stěny mnohostěnů nemusí být absolutně
rovné atp.
1
Vopěnka, P.: Úhelný kámen evropské vzdělanosti a moci, Praha 2001
„Toto je zvláštní mechanický hlavolam, který jsem před
časem dostal, ale nevím, kdo ho vymyslel. Sestává ze dvou kusů
dřeva, pevně spojených. Na dvou stěnách, které jsou vzadu,
jsou kusy spojeny stejně. Jak se podařilo kusy spojit?“1
Napsal Henry Dudeney (1857–1930) k hlavolamu číslo 177.
Dokážeme si domyslet, že ve všech stěnách jsou stejné
lichoběžníkové zářezy. Jak ale oba kusy krychle od sebe
oddělit?
Jednou nám byl tento hlavolam předložen na vysoké škole na semináři z deskriptivní
geometrie. Vzpomínám, jak nás potrápil, ale vyřešili jsme jej („v hlavě“); kusy krychle od
sebe bez problémů oddělíme diagonálním tahem.
K hlavolamu jsem se vrátila o třicet let později a vyráběla jej pro časopis abc jako
papírový model.2
Model
hlavolamu
řešení
Dudeneyova
Problém však nebyl v jeho chytrém vyřešení, ale v papíru samém. Přesvědčila jsem se, že
pouze ve světě idejí – v hlavě - není hmota na překážku, úsečku lze vložit do úsečky, stěna
„klouže“ ve stěně.
Ten, kdo sám něco takového nevyráběl, si možná neuvědomí, že lichoběžníkový zářez
spodního kusu a lichoběžníkový výstupek horního kusu nemohou být v reálném – skutečném,
neideálním modelu shodné. Bohužel, v takovém hmotném světě žijeme a i papír je materie.
Všechny modely, vyjma těch ideálních, už budou mít nějakou „chybu“.
Plný model tělesa
S tímto typem modelu geometrického tělesa se můžeme nečekaně setkat v přírodě, na
náměstí i ve stánku ... Je docela dobré dávat žákům za úkol sbírat takové fotozáběry.
Plný model ztrácí nejméně informací o tělese, proto by se měly představy geometrických
pojmů odvíjet právě od tvarů ze dřeva, z modelíny, hlíny atp.
1
Dudeney, H. E.: Matematické hlavolamy a hříčky, Olympia, Praha 1995
Kupčáková, M.: Kalamář, ABC – časopis generace XXI. století, č. 14, roč. 46 (2001), s. 24,
26
2
Panská skála
U tohoto způsobu modelování musíme být shovívaví a považovat modely mírně
deformované za vyhovující. Tak jako jsme pochválili čtyřleté děti, které vytvořily skupinku
geometrických těles (všechny výtvory na fotografii jsou autentické ).
Žáci mohou modelovat válce; kruhový kolmý (rotační) a šikmý eliptický válec. Případně
kvádr a kolmý osmiboký hranol.
Při vytváření správných představ o kuželosečkách studentům pomůže skutečné „sekání“
„kužele“.
Šikovní žáci a studenti mohou řešit následující úkol:
Odřežte hrany i vrcholy krychle tak, aby ve stěnách a na pozicích všech hran zůstaly čtverce.
Mnohostěn patří mezi archimédovské a nazývá se
rombokuboktaedr.
Povrchový model s pevnou polohou a tvarem stěn
Další stupeň abstrakce bude směřovat k modelům,
kterým bude scházet „výplň“, budou duté, budou
modelovat pouze povrch; z koule se stane kulová
plocha, z mnohostěnu mnohostěnná plocha.
Na fotografii je stylizovaný papírový model právě
zmíněného rombokuboktaedru. 1
1
Kupčáková, M.: Krabička se skrytým víčkem, ABC – časopis generace XXI. století, č. 15,
roč. 45 (2000), s. 19
V Litomyšli
Mnohdy se na první pohled ani nepozná, zda model
je či není dutý...
Herci - siláci - pak nad hlavu v potu tváře zvedají
makety těžkých předmětů ...
Také v geometrickém modelování se může tento vtip uplatnit. Na fotografii je vlevo
krystal hessonitu, vpravo jeho papírový
model - v podobě geometrického tělesa
zvaného dvanáctistěn kosočtverečný,
kterému byl záměrně dán design tohoto
kamene.1
Při zahajování olympijských her 2000 v Sydney se shora snesl jiný obrovský dvanáctistěn
– dodekaedr (z řečtiny). Je to také konvexní mnohostěn, také má v každém vrcholu tři
sbíhající
se
shodné
mnohoúhelníky, ty však mají
podobu
pravidelných
pětiúhelníků. Zdánlivě pevný
plný model se nad zemí
rozdělil na dvě části, dolní se
rozložila
a
vytvořila
obrovskou síť skořepiny, horní
část sloužila jako pódium pro
účinkující a její boční stěny
jako projekční plochy.
1
Kupčáková, M.: Granátotvar, ABC – časopis generace XXI. století, č. 23, roč. 50 (2005), s.
29
Konstrukce papírových modelů je vhodnou problémovou úlohou, která přirozeným
způsobem motivuje přesnost a pečlivost práce, vyžaduje řešení planimetrických úloh, rozvíjí
technické konstrukční myšlení, připravuje správné pochopení učiva o povrchu těles.1
Sestavit papírový model znamená: sestrojit síť tělesa (rozvinout povrch do roviny),
promyšleně umístit záložky na slepení tak, aby každé dvě hrany byly spojeny, avšak podél
každé slepené hrany byla maximálně jedna záložka. Tvar záložky přitom závisí na tvaru
stěny, do které se vlepí. Síť, tedy i konstrukce papírového modelu, nemívá jediné řešení.
(Zkuste objevit, kolik existuje různých sítí krychle.)
Námět: Uschlá křídlatka japonská je ozdobena všemi osmi konvexními a vybranými
čtyřmi nekonvexními deltastěny.
Konvexní dvacetistěn
Nekonvexní dvacetistěn
Stella octangula
Favoritem bývá stella octangula (zcela vpravo), jejíž síť studenti hledají a vytvářejí si
vlastní modely.
Mezi žáky jsou méně známé konstrukce sítí papírových modelů oblých těles.
Síť rotačního válce o poloměru podstavy r a výšce v tvoří obdélník a dva kruhy. Kruhy mají
poloměr r, rozměry obdélníka jsou v a 2πr. Úsečku délky πr sestrojíme třeba pomocí tzv.
Kochańského rektifikace: sestrojíme tečnu kružnice a k ní kolmý dotykový průměr, dále
polopřímku s počátkem ve středu kružnice tak, aby svírala s průměrem úhel 30°. Od
průsečíku s tečnou naneseme třikrát poloměr r.
1
Kupčáková, M.: Geometrie ve světě dětí i dospělých, Gaudeamus 2009, 3. vydání, ISBN
978-80-7041-683-9
Koncový bod spojíme s druhým krajním bodem průměru. Délka této úsečky je přibližně
rovna polovině délky kruhového oblouku, tedy πr .
Poznámka: Konstrukce je natolik „nepřesná“, že pokud bychom rektifikovali (napnuli jako
úsečku) kružnici o poloměru 84 cm, byla by nepřesnost 0,1 mm!
Síť rotačního kužele,který má poloměr podstavy r a délku strany s, tvoří kruh a kruhová
výseč. Poloměr kruhu je r, poloměr kruhové výseče je s a velikost středového úhlu ϕ v míře
r
stupňové je ϕ = 360° ⋅ .
s
Povrch koule nelze rozvinout do roviny, a neexistuje tedy ani síť koule, ani přesný
papírový model. Přesto bychom někdy potřebovali již existující kouli polepit papírem a
vymodelovat třeba glóbus. Pak lze použít přibližný model; sestrojíme úsečku délky 2πr = o,
rozdělíme ji na 12 shodných dílů, v každém
získaném bodě sestrojíme oblouk o poloměru
10
o . Získané „dvojúhelníky“ budou na kouli
12
modelovat ty části zemského povrchu, které se
nacházejí mezi dvěma poledníky, jejichž rozdíl
je
30°.
Na podobném principu bylo vymodelováno
velikonoční vajíčko – rotační vejčitý elipsoid,
jehož povrch se “vytvoří“, až když jej roztočíme
pomocí provázku procházejícího osou.1
Modely flexibilních mnohostěnů
U papírových (povrchových) nekonvexních mnohostěnů se může stát, že vzájemná
poloha stěn nezůstane v prostoru pevná. Při manipulaci s modelem se z hran stanou panty
a model bude při stisku pružit, aniž by byl narušen tvar stěn. Tak jak to vidíme na obrázcích,
kde je prostorová betlémská hvězda – tedy flexibilní nekonvexní dvacetičtyřstěn.2
Takovéto skupině prostorových útvarů se říká flexory, popřípadě flexibilní mnohostěny, i
když to jsou opět pouze mnohostěnné plochy.
1
Kupčáková, M.: Vajíčko od princezny Koloběžky, ABC – časopis generace XXI. století, č. 6,
roč. 47 (2002), s.19, 26
2
Kupčáková, M.: Betlémská hvězda, ABC – časopis generace XXI. století, č. 25, roč. 49
(2004), s. 48, 55
Žebrové modely s pevnými vrcholy
Opět se vrátíme k rombokuboktaedru.
Na obrázku je jeho slavný žebrový model od Leonarda
da Vinci.
V abstrakci modelování geometrických těles jsme
postoupili opět dál – vypustili jsme povrch. Zůstaly pouze
hrany, avšak s pevnou vzájemnou polohou v prostoru,
podobně jako u skutečně drátěných modelů, které jsou svařené ve vrcholech.. Existují takové
pomůcky, které mají vytvořené typy vrcholů a tyčinky jako hrany. Poloha vrcholů i hran
v prostoru je pak stále pevná.
Žebrový model pravidelného čtyřbokého jehlanu má své výsostné stanoviště na III.
nádvoří Pražského hradu.
Monolit z mrákotínské žuly na III. hradním nádvoří o celkové výšce 15 m a 50 cm,
postavený při příležitosti desetiletého trvání Masarykovy republiky 1928 jako památník
obětem první světové války - zhotovil jej podle návrhu Josipa Plečnika architekt Rothmajer
Památník, jehož podstavec se jmény padlých je z liberecké žuly, byl doplněn 13. května 1996.
Tehdy byla na vrchol osazena dva metry vysoká ocelová konstrukce jehlanu pozlacená
plátkovým zlatem.
Tomuto typu modelů se tedy říká
drátěné, případně žebrové. Lze je však
vyrábět i z papíru.
Na obrázku je papírový kalendář na
rok 2006 na pravidelně vybarveném
dodekaedru.1
Vedle kalendáře je na fotografii model, kterému jsme vyřezali plochy uvnitř a stala se z
něj žebrová varianta – v ní vidíme i hrany tak zvaně „neviditelné“.
Tento typ má zároveň tu výhodu, že můžeme zkoumat a
vytvářet něco uvnitř.
Hranový model dodekaedru s fóliovými stěnami slouží
jako malá voliéra pro vymodelované papírové ptáky.2
V dalším modelu je patrný prostorový vztah mezi
dodekaedrem a krychlí (hexaedrem), kterou lze dovnitř vložit.3
Třetí posloužil jako vánoční ozdoba, ale zároveň
zprostředkoval informaci o tom, že duálním mnohostěnem k
dodekaedru je pravidelný dvacetistěn (ikosaedr) – jeho vrcholy
leží ve středech stěn dvanáctistěnu. 4
1
Kupčáková, M.: Kalendář na rok 2006, ABC – časopis generace XXI. století, č. 1, roč. 51
(2006), s. 28
2
Kupčáková, M.: Pátý pravidelný mnohostěn, ABC mladých techniků a přírodovědců, č. 23,
roč. 42 (1998), str. d1
3
Kupčáková, M.: Hra v kostky, ABC – časopis generace XXI. století, č. 24, roč. 48 (2003), s.
32, 34
4
Kupčáková, M.: Ozdoba na stromeček, ABC – časopis generace XXI. století, č. 25, roč. 47
(2002), s. 19, 25
Hranové a kloubové modely mnohostěnů
Modelům vytvořeným z hran a vrcholů můžeme říkat třeba hranové modely. Takový
model si snadno uděláme z párátek a kuliček modelíny. Na obrázku je fotografie dodekaedru.
Lze používat i stavebnici Geomag.
Přecházíme k modelům, ve kterých vrcholy přestanou být pevné a stanou se z nich
klouby (vyjma čtyřstěnu), proto jim můžeme říkat kloubové.
Výchozí krychle se
šikmým tlakem
proměňuje
v rovnoběžnostěn.
Rotací horní podstavy se dostaneme k méně
známému geometrickému tvaru, kterým je
prizmatoid.
Kloubové modely nejsou závislé na pevné konfiguraci připraveného vrcholu, hrany
můžeme připojovat pod potřebným úhlem.
Modely abstraktních mnohostěnů
I když je to podivné, prostorový útvar, ke kterému jsme dospěli výše, lze také považovat
za model krychle, přesněji řečeno abstraktní krychle, ve které budou zachovány vrcholy,
hrany, stěny a incidenční vztahy.
Abstraktním modelem krychle by byl třeba i průmět
krychle z jejího středu na kulovou plochu, která by jí byla
opsána.
Popřípadě všechny stěny i hrany krychle budou
„vtaženy“ dovnitř (počítačový model je na obrázku).
Také fotbalový míč1 přestane mít při nafukování
věrnou podobu ořezaného ikosaedru, jeho hrany i stěny
se prohnou, budou mít jiný tvar, ale stále stejnou
vzájemnou polohu v prostoru.
Dokonce i dětské modely, které jsme viděli na
začátku, by bylo možné považovat za modely
abstraktní.
Počítačové modely
Počítačová terminologie nabízí „modely těles“, i když nic skutečně trojrozměrného se za
nimi neskrývá.
Existuje celá řada zajímavých internetových adres, kde naleznete klasifikaci
geometrických těles, jejich vyobrazení v rovnoběžném promítání (v axonometrii) i
v perspektivě. Některé stránky mají živou grafiku, je tedy možno pomocí myši tělesa otáčet.
Stále dokonalejší počítačová grafika umožňuje sestrojovat tzv. drátové modely útvarů i
realistické obrázky objektů v perspektivě a barvě.
Můžete však modelovat sami. Například souřadnice vrcholů osmicípé hvězdy lze lehce
vyvodit; lze ji vepsat do krychle, hrany hvězdy jsou stěnovými úhlopříčkami krychle.
Poznámka: Mnohostěn zvaný Keplerova stella octangula - hvězda osmicípá - vzniká
z pravidelného osmistěnu (oktaedru) tak, že se nad každou jeho stěnu doplní pravidelný
1
Kupčáková, M.: Míč Euro 2000, ABC – časopis generace XXI. století, č. 12, roč. 45 (2000),
s. 21
čtyřstěn. Poprvé si tohoto mnohostěnu povšiml na konci patnáctého století františkánský
mnich a významný matematik té doby Luca Pacioli a nazval mnohostěn octahedron elevatus
solidus, protažený osmistěn plný.
V názvu je skryt vznik tělesa: začneme jej modelovat od pravidelného osmistěnu, který je
uvnitř, jeho stěny protáhneme, až se znovu protnou.
Těleso lze tedy chápat i jako sjednocení devíti pravidelných mnohostěnů – 1 oktaedru a 8
tetraedrů.
Jan Kepler (1571–1630) mnohostěn zřejmě znovu objevil a dal mu název stella
octangula, hvězda osmicípá – podle počtu „cípů“, tedy vrcholů.
Sestrojený počítačový model můžeme otáčet. Uvedené obrázky jsou počítačovými
pravoúhlými průměty stelly octanguly. (Pokud si budete skutečně prohlížet hranový model,
některé z těchto pohledů rozhodně neuvidíte – víte které?)
Obdobně zajímavé rovnoběžné průměty mají různé polohy dodekaedru .
Projekce a kresby
Většinu informací o prostorových útvarech, které se nenacházejí v našem dosahu,
získáváme pomocí zrakových vjemů, z dvojrozměrných obrázků. I ty lze považovat za
modely.
Můžeme vyzkoušet třeba kresby mnohostěnů,
které jsme modelovali v předcházejících odstavcích.
Například kresba rombokuboktaedru ve volném
rovnoběžném promítání není úplně triviální.
Vyzkoušíme také kresbu stelly octanguly: Protože hvězda osmicípá vzniká sjednocením
pronikajících se pravidelných čtyřstěnů, jejichž hrany jsou stěnovými úhlopříčkami krychle,
dokážeme ji nakreslit také v obecné rovnoběžné projekci, ve které se ani přední stěna krychle
nezobrazí jako čtverec: Pozorně zaznamenáme všechny polohové a incidenční vztahy a útvar
nakreslíme podle barevně vykreslených kroků.
Pokud umíme nakreslit krychli v perspektivě, pak do ní snadno zobrazíme i takový složitý
útvar.
Tento typ modelů bychom mohli dále dělit na další podskupiny – od způsobů zobrazení
až po nejabstraktnější diagramy. Ztratila se však už ta nejdůležitější vlastnost těles – jejich
třetí rozměr.