Laboratorní práce č

Truhlář Michal
3. 12. 2005
Laboratorní práce č.9
Úloha č. 8
T = 23,1° C
ϕ = 30%
p = 97,9kPa
Závislost indexu lomu skla na vlnové délce světla
Měření indexu lomu refraktometrem:
Úkol: - Proveďte justaci hranolu a změřte jeho lámavý úhel.
- Metodou minimální deviace změřte index lomu skla nejméně pro čtyři spektrální čáry.
- Určete materiálové konstanty a nakreslete disperzní křivku.
Teorie: Při průchodu stětelného paprsku rozhraním dvou isotropních
prostředí dochází mimo odraz světla také k jeho lomu. Tento
jev je popsán Snellovým zákonem.
n
sin α
= 2
(1)
sin β
n1
Všechny látky vykazují disperzi tj. závislost lomu na vlnové
délce světla λ . V oblasti normální disperze je tato závislot
popsána vztahem
B C
n = A+ 2 + 4 + ⋅⋅⋅⋅
(2)
λ
λ
kde A, B, C jsou materiálové konstanty. Ke studiu disperze, tj. stanovení indexu lomu
látky pro různé vlnové délky a stanovení materiálových konstant, využíjeme jako
disperzní soustavy hranolu.
Na trojboký hranol vyrobený ze zkoumané látky nechceme dopadat rovnoběžný svazek
paprsků. Ten se na lámavých plochách láme, takže směr vystupujícího paprsku se liší od
směru
paprsku
dopadajícího.
Z principálních
důvodů
není možné stanovit pro
zvolenou vlnovovou délku
index lomu ze vztahu (1).
Jednou
z nejpřesnějších
metod stanovení veličiny n
je
metoda
minimální
deviace.
δ mezi
Úhel
směrem
paprsku dopadajícím na disperzí soustavu a paprskem vystupujícm z této soustavy se
nazývá deviace. Z druhého obrázku vyplývá, že:
δ = ϕ1+ ϕ 2
(3)
a pro lámavý úhel hranolu ω platí
ω = β1+ β2
(4)
Dále je zřejmé že:
α1 = β1+ ϕ1
δ = ϕ1+ ϕ2
(5.1)
(5.2)
α2= β2+ϕ2
ω = β1+ β 2
Z toho dostaneme závyslost pro výpočet odchýlení paprsku δ :
δ = α1+α2−ω
(6)
Je zřejmé, že úhel Je zřejmé že úhel α 2 nějak závisí na úhlu dopadu na hranol α 1 . Odchýlení δ
je minimální, když je jeho derivace nulová (lze odvodit, že není maximální, tady to však bylo
ověřeno při měření.)
dα 1
dδ
= 1+
= 0
(7)
dα 1
dα ω
1
Diferencovaný Snellův zákon s indexem lomu vzduchu blízkým jedné a skla n tu má podobu:
cos α 1 dα 1 = n ⋅ cos β 1 dβ 1
cos α 2 dα
Diferencováním vztahu ω = β 1 + β
vyjde
2
= n ⋅ cos β 2 dβ 2
dostaneme dβ 1 = − dβ 2 . Dosazením do Snellova zákona
(8)
2
dα 2
cos β 2 cos α 1
= −
⋅
dα 1
cos β 1 cos α 1
dδ
To je možné dosadit pro vztah pro
:
dα 1
(9)
cos α 1 cos α 2
1 − sin 2 α 1 1 − sin 2 α 2
=
⇒
=
(10)
cos β 1 cos β 2
1 − sin 2 β 1 1 − sin 2 β 2
Dále je možné opět využít Snellův zákon pro tato rozhraní:
sin α
= n
(11)
sin β
Po dosazení do předchozího vztahu vyjde
1 − n 2 ⋅ sin 2 β 1 1 − n 2 ⋅ sin 2 β 2
=
(12)
1 − sin 2 β 1
1 − sin 2 β 2
Protože úhly β 1 a β 2 jsou ostré, vyplývá z této rovnosti β 1 = β 2 a také α 1 = α 2 . Po dosazení do
Snellova zákona platí pro tento případ s úhlem minimální deviace δ min
1
13)
sin ( ω + δ min )
sin α 1
2
n=
=
sin β 1
1 
sin  ⋅ ω 
2  probíhalo nepřímo. Pro šest
Měření úhlu minimální deviace
vlnových délek byla určena poloha minimální deviace při
dvou polohách hranolu na goniometru uspořádání bylo jako na
obrázku, měření bylo dvakrát opakováno a použity byly
aritmetické průměry. Pro úhel minimální deviace platí tento
vztah:
ϕ −ϕ2
(14)
δ min = 1
2
Vztah plyne z toho, že nulový úhel byl někde mezi hodnotami
pro jednu a druhou polohu hranolu na goniometru.
2
Měření:
a) lámavý úhel:
ϕ1
°
158°26’46‘‘
154°16’58‘‘
152°28’27‘‘
149°29’58‘‘
146°11’24‘‘
ϕ
ω
2
°
59°59’49‘‘
59°30’ 7‘‘
60° 0’13‘‘
60° 0’ 7‘‘
60° 0’11‘‘
ω = 59° 54'5,4"
°
38°26’35‘‘
34°17’05‘‘
32°28’40‘‘
29°30’05‘‘
26°11’35‘‘
Lámavý úhel mnou měřeného hranolu byl ω = ( 59° 54'5,4"± 0° 7'44") s relativní chybou 0,2%
b) index lomu skla pro pět spektrálních čar:
Vlnové délky spekter světla:
404,6nm
fialová
435,8nm
modrá
546,1nm
zelená
576,9nm
žlutá
623,4nm
červená
barva
fialová
modrá
zelená
žlutá
červená
minimální deviace
pro první úhel
pro druhý úhel
ϕ1
ϕ2
ϕ1
ϕ2
°
°
°
°
145°37’00” 42°38‘10“ 145°36’28“ 42°38‘11“
145°14’11” 43°30‘24“ 145°14‘23“ 43°30‘01“
142°28‘22“ 45°14‘52“ 142°28‘23“ 45°14‘57“
142°10‘29“ 45°32‘45“ 142°10‘32“ 45°32‘30“
141°50‘39“ 45°52‘20“ 141°50‘29“ 45°52‘14“
pro třetí úhel
ϕ1
ϕ2
°
°
145°36‘26“ 42°37‘57“
145°14‘11“ 43°30‘12“
142°28‘19“ 45°15‘07“
142°10‘26“ 45°32‘37“
141°50‘30“ 45°53‘31“
δ min
ϕ2
n
°
°
°
fialová
146°36'38,1" 42°38' 6,00" 52°59'16,08"
1,6691902320
modrá
145°14'15,0" 43°30'12,35" 50°22' 1,33"
1,6484415645
zelená
142°28'21,3" 45°14'58,67" 48°36'41,35"
1,6257013530
žlutá
142°10'28,9" 45°32'37,32" 48°18'55,79"
1,6226737040
červená
141°50'32,6" 45°52'41,66" 47°58'55,49"
1,6192502030
• Velikosti úhlů ϕ 1 a ϕ 2 jsou brány jako aritmetické průměry z předchozí tabulky
• Velikost úhlu ω je brána z prvního výpočtu, tedy ω = ( 59° 54'5,4"± 0° 7'44,27")
Velikost index lomu je závislá na vlnové délce světla.
barva
ϕ1
3
c) materiálové konstanty a disperzní křivka
1,675
Namerené hodnoty
Disperzní krivka
1,670
1,665
Disperzní krivka je polinom 2.rádu,
2
kde X = 1/λ
2
Y = 2,0353 - 0,00137 X + 1,13065E-6 X
1,660
Index lomu skla
1,655
Koeficienty:
A = 2,0353
B = -0,00137
-6
C = 1,13065
1,650
1,645
1,640
1,635
1,630
1,625
1,620
1,615
400
425
450
475
500
525
550
Vlnová délka svetla / nm
575
600
625
B C
+
+ ⋅⋅⋅
λ2 λ4
Materiálové konstanty byly určeny programem Microcal Origin jako
A = 2,0353 B = -0,00137 a C = 1,13065 -6
n = A+
Materiálové vztahy:
(2)
d) Index lomu kapalin pomocí abbého kulového refraktometru
Na závěr byl ještě měřen index lomu dvou kapalin (lihu a vody) pomocí Abbého kulového
refraktometru. Využívá se toho, že při osvětlení horní části polokoule ze všech směrù (úhel
dopadu až 90_) se světelné paprsky dostanou jen do jisté části polokoule { kulové výseče. Z
vrcholového úhlu je možné určit index lomu zkoumané látky. Úhel byl určen dalekohledem,
kterým bylo možné posouvat po povrchu polokoule. Nitkovým křížem byla určena hranice světla
a tmy. U Abbého refraktometru se tedy využívá Snellova zákona, při tom je vždy α = 90°
n
sin α
= 2
(15)
sin β
n1
sklo v
βm
vzduch
líh
voda
líh
Voda
refraktometru
natočení
úhel lomu
0°
34°18’
60°
34°35‘
120°
35°43‘
180°
36°34‘
240°
36°14‘
300°
35°10‘
úhel lomu
úhel lomu
index lomu
50°21
‘
50°43
‘
51°45
‘
52°36
‘
52°17
‘
51°18
‘
49°04
‘
49°16
‘
50°23
‘
51°15
‘
50°52
‘
49°58
‘
1,774540861
1,761790801
1,712981659
1,678534708
1,691832569
1,736241260
4
index lomu
index lomu
1,366319611
1,340616694
1,363669103
1,335005493
1,345233499
1,319557378
1,333452513
1,309063173
1,338316732
1,312319610
1,355015474
1,329388462
β
m
= 35° 25'40"
n S = 1,725986976
5
n L = 1,350334489
n V = 1,324325135
Index lomu skla použitého v Abbého refraktometru n S = (1,726 ± 0,016) s relativní chybou 0,9% .
n1 = sin β ⋅ n2
Pro index lomu vody a lihu platí vztah:
Index lomu lihu je n L = (1,3503 ± 0,0055) s relativní chybou 0,4%
Index lomu vody je nV = (1,3243 ± 0,0052) s relativní chybou 0,4%
Závěr:
Za úkol bylo stanovení lámavého úhlu hranolu, který byl změřen jako
ω = ( 59° 54'5,4"± 0° 7'44") , s relativní chybou 0,2% . Za předpokladu, že daný úhel byl
rovnostraný, je toto měření docela správné.
Dalším úkolem bylo stanovení indexu lomu tohoto hranolu pro alespoň čtyři různé
spektrální čáry. Jednotlivé výsledky jsou v tabulce u příslušného měření.
Z naměřených hodnot byly pak stanoveny pomocí programu Microcal Origin
materiálové konstanty A = 2,0353 B = -0,00137 a C = 1,13065 -6 .
Doplňkovou úlohou pak bylo staovení indexu lomu dvou kapalin pomocí Abbého
refraktometru. Teroretický předpoklad je splněn při úhlu α = 90° , ale na mnou
používaném refraktometru byl tento požadavek mírně porušen. Pro líh byl stanoven
index lomu n L = (1,3503 ± 0,0055) s relativní chybou 0,4% . A pro vodu pak
nV = (1,3243 ± 0,0052) s relativní chybou 0,4%
6