ZLATÝ ŘEZ- konečná verze

Daniela Štrosová
ZLATÝ ŘEZ
„ Geometrie má dva poklady: Pythagorovu větu a zlatý řez. První má cenu zlata, druhý
připomíná spíše drahocenný kámen. “
— Johannes Kepler
Ale zatímco s Pythagorovou větou se žáci seznamují již na základní škole, pojem zlatého řezu
ustoupil poněkud do pozadí a doslova vymizel z našich učebních osnov. V době minulé však
sehrál významnou úlohu, daleko přesahující rámec matematiky.
Vzniklo mnoho literatury s návody, jak sestrojit s pomocí zlatého řezu nejkrásnější trojúhelník,
nejkrásnější půdorys budovy nebo tělo o nejkrásnějších proporcích. Říkalo se, že není dobrého
obrazu bez vědomého - či podvědomého - užití zlatého řezu v jeho rozvržení a kompozici.
Obrazy či sochy starých mistrů prý lze pomocí zlatého řezu rozebrat i do těch nejmenších
plošek. A to není všechno: bez důsledného použití zlatého řezu nevzniknou dobré housle ani
dobré drama. Ba ani to nestačí - zlatý řez je zákonem, projevujícím se i v přírodě například
v anatomii rostlin. Ano, zlatý řez má záhadnou vlastnost se vynořovat tam, kde jej nikdo
nečeká.
Pro začátek si zkuste udělat na sobě pokus: Na obrázku je osm pravoúhelníků. Nepospíchejte,
pozorně si je prohlédněte a pak vyberte ten, který se vám zdá nejlíbivější.
Rozhodli jste se pro pravoúhelník D? Zřejmě ano, a jestliže ne, pak při větším počtu pokusů
s vašimi známými dospějete k závěru, že se pro pravoúhelník D rozhodlo přibližně 75%
dotazovaných.
Proč zrovna tento pravoúhelník? Protože poměr délky a výšky tohoto čtyřúhelníka odpovídá
poměru zlatého řezu úsečky 1:0,618. Takovýto obrazec se nazývá zlatý obdélník (viz dále).
1
HISTORIE ZLATÉHO ŘEZU
Asi nejstarší zmínka o zlatém řezu pochází z doby starověkého Egypta. Matematické texty z té
doby se dochovaly na papyrech. Mezi nejznámější patří Rhindův papyrus, nyní častěji
nazývaný Ahmesovým papyrem (napsán někdy kolem 1788-1580 př.n.l.), obsahuje 84 úloh.
Tento papyrus tvrdí, že „v pyramidách je utajen tajemný kvocient, nazvaný seqt“. Tento seqt
objevili Řekové. Staří Řekové věřili, že uměřenost v umění i v životě vede ke zdraví a kráse.
V antice se zlatým řezem zabýval umělec Phidias (sochař, malíř, a architekt) a to již v 5. století
př. n. l. Postavil známý athénský Panthenón na Akropoli (viz dále), jehož základem je zlatý
obdélník (viz dále) a zlatý poměr nalezneme i na průčelí této stavby.
Ovšem první jednoznačnou definici tohoto čísla, pro které se později vžilo označení zlatý řez,
podal kolem roku 300 př. n. l. alexandrijský Euklides. Euklides definoval proporci, kterou
odvodil z obyčejného rozdělení úsečky způsobem, který označil rozdělení „v krajním
a středním poměru“. Popsal to následovně: „Úsečka se rozdělí v krajním a středním poměru
tehdy, když se celá má k delšímu dílu jako delší díl ke kratšímu.“ Euklides je známý především
díky svému dílu Základy, knihy, podle které studovali geometrii matematici až do 18. století.
I když se zlatý řez objevil už před naším letopočtem, skutečně populárním se stal teprve
v 19. a 20. st.n.l..Byl tehdy hromadně objevován, částečně asi díky sugestivitě svého názvu:
nejdříve v umění. Čím krásnější a klasičtější bylo umělecké dílo, tím spíše v něm byl hledán –
a nalézán – zlatý řez. Jedním z děl klasického umění je právě Parthenón na Akropoli.
I u Cheopsovy pyramidy, Dómu ve Florencii a – samozřejmě u Mony Lisy byl zlatý řez také
objeven.
Problémem je jen, že od žádného umělce (pokud jsou vůbec známi) se nedochovalo jediné
zprávy, že by zlatý řez znali nebo záměrně používali. Jinak je tomu u francouzského architekta
Le Corbusiera (přelom 19. a 20. století), který jako první předpokládal, že člověk je vystavěn
podle zlatého řezu, a že pokud domy a nábytek musí odpovídat lidským proporcím, tak musí
být konstruovány též podle zlatého řezu.
Názvy „zlatý řez“nebo také „zlatý poměr“ se užívají až od 19. století. V současné době
ustoupila, snad trochu neprávem, teorie zlatého čísla do pozadí. Jednou z mála osobností
zabývající se touto problematikou ve 20. století byl francouz Matila Ghyka, který vydal dvě
knihy (1931,1946). V obou dílech se zabývá výskytem zlatého čísla v přírodě i v architektuře,
jeho vlastnostmi a využitím od starověkého Egypta přes antiku až po současnost.
V dnešní době o přítomnosti zlatého čísla svědčí například „pyramida v Louvre“ (prosklená
budova z 80. let 20. století sloužící jako vstupní brána do galerie) nebo budova La Géode
v Paříži (největší panoramatické kino na světě). Tohoto poměru se dnes využívá také ve
fotografii, plastické chirurgii a v dalších odvětvích, kde je kladen důraz mimo jiné na estetiku.
2
La Géode v Paříži
Louvre v Paříži
MATEMATICKÉ VYJÁDŘENÍ ZLATÉHO ŘEZU
Uvažte úsečku AB. Rozdělte ji bodem C tak, že poměr delší části ke kratší bude stejný jako
celá úsečka k delší části (Euklides).
AC AB
=
Matematicky zapíšeme tuto skutečnost jako: CB AC
Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat jednotkovou úsečku CB a k ní hledat vhodnou
délku úsečky AC. Označme tedy |AC|=x.
x x +1
=
x .
Potom dostáváme: 1
Po vynásobení celé rovnice výrazem x, kde zřejmě x≠0 (neboť je to délka úsečky) a po
elementárních úpravách dostaneme: x²-x-1=0.
Po vyřešení této kvadratické rovnice dostaneme její kořeny:
1+ 5
x1 =
(≈ 1,61803...) x2 = 1 − 5
2
2
,
Ale víme, že délka úsečky nemůže být záporná, druhý kořen tedy pro nás nemá smysl.
Velikostí úsečky AC, kterou musíme zvolit, je tedy druhý kořen
1+ 5
x2 =
= 1,618033...
2
.
Při dělení úsečky v tomto poměru říkáme, že jsme ji rozdělili zlatým řezem nebo též ve zlatém
poměru a označujeme jej ϕ [fí].
KONSTRUKCE ZLATÉHO ŘEZU
3
Jak se prakticky hledá bod C, který úsečku AB dělí ve zlatém poměru? Samozřejmě to lze
narýsovat. Rozhodně mi ale přijde zajímavější, poradit si tentokrát bez rýsovacích potřeb. Ne
vždy je totiž musíme mít u sebe a ne každý s nimi umí pracovat bezchybně.
Mějme čtvercový papír se stranou délky AB. Tuto délku
volíme tak, aby byla rovna velikosti úsečky, kterou chceme
zlatým řezem rozdělit. Papír přeložíme napůl a zase rozevřeme.
Střed strany protilehlé ke straně AB označíme D. Přehneme
papír úhlopříčně po úhlopříčce DB a opět rozevřeme. Vrchol
protilehlý k vrcholu A označíme C.
Potom
víme,
DB = a 2 +
CD =
že:
2
a
2
tedy
2
a
5a
a
=
= ⋅ 5
4
4
2
Vrchol C přiložíme na přehyb BD tak, aby úsečka CD
splývala s částí úsečky BD.
Takže:
BC = BD − CD =
a
a a
⋅ 5− = ⋅
2
2 2
(
)
5 −1
Obdobně přiložíme vrchol A na přehyb BD tak, aby úsečka AB splývala s částí úsečky BD:
Potom:
AC = AB − BC = a −
a
⋅
2
(
)
5 −1 =
(
a
⋅ 3− 5
2
)
AC AB
=
Podle matematického vyjádření zlatého řezu víme, že CB AC nebo-li po dosazení:
AB
BC
=
a
2
(
a
=
) a(
5 −1
2a
)
5 −1
⋅
5 +1
5 +1
=
(
)
2 5 +1
5 +1
=
=ϕ
5 −1
2
4
(
(
)
)
a
5 −1
5 −1 3 + 5
= 2
=
⋅
=
a
AC
−
+
3
5
3
5
3− 5
2
BC
(
)(
)
5 −1 ⋅ 3 + 5
2 5+2
5 +1
=
=
=ϕ
9−5
4
2
Nyní nám tedy bod C dělí úsečku AB ve zlatém řezu tak, že úsečka BC je větším dílem úsečky
AB. A to i bez pomoci všude přítomných rýsovacích potřeb =).
Pokud ale se vám to zdá, že to nikdy nemůže být tak přesné jako podle kružítka a pravítka,
máte (bohužel?) pravdu. Proto zde uvedu ještě přesnou konstrukci.
Chceme najít bod C, který bude úsečku AB dělit ve zlatém poměru:
Uvažujme úsečku AB = a . Z bodu B na ni vztyčíme kolmici s bodem M tak, že
BM =
a
2
Následně sestrojíme bod N , jako průsečík úsečky AM a oblouku k , který je částí kružnice se
a
středem v bodě M a poloměrem r = MB =
2
Nyní již můžeme sestrojit bod C . Ten bude ležet na průsečíku úsečky AB a oblouku l , který
je částí kružnice se středem v bodě A a poloměrem r = AN
Bod C dělí úsečku AB ve zlatém poměru.
Důkaz by byl podobný jako u předchozí
konstrukce, proto ho tu uvádět nebudu.
5
Kdyby ovšem nastala situace, kdy máte doplnit úsečku AC bodem B tak, aby bod C dělil
úsečku AB ve zlatém poměru, nezoufejte. I pro to existuje řešení:
Úsečku AC doplníme na čtverec ACDE a označíme F její střed. Opíšeme oblouk k se
středem v bodě F a poloměrem FD . Průsečík tohoto oblouku s polopřímkou AC je hledaný
bod B .
VLASTNOSTI ZLATÉHO ŘEZU
Zlatý řez má mnoho zajímavých vlastností, například se vyskytuje
v pravidelném pětiúhelníku. Pentagram je pěticípá hvězda nakreslená jedním
tahem, která má sice chybu na kráse, neboť ji křižují čáry a oddělují ramena
od středu (a vytváří tak další pravidelný pětiúhelník uvnitř), ale vzdálenosti mezi vrcholy jsou
v poměru zlatého řezu. Pentagram měli Řekové ve velké úctě, neboť názorně představoval to,
co neuměli vyjádřit číselným poměrem. Zlatý řez využíváme také ke konstrukci pravidelného
pětiúhelníka, neboť poměr úhlopříčky a strany pravidelného pětiúhelníka je zlatý.
Zajímavost: Pravděpodobně si to neuvědomujete, ale
s pětiúhelníkem se setkáváte také vždy, když si zavazujete
tkaničky. Bylo by to vidět, kdybychom měli ploché tkaničky
a uzel bychom zatáhli až do konce. Sledujte uvázání uzlu na
proužku papíru. Sestrojíme přesný pětiúhelník, na jehož
průsvitu vidíme pěticípou hvězdu.
Obdélník, jehož poměr stran odpovídá zlatému řezu, lze rozdělit na
čtverec a obdélník, jehož poměr stran opět odpovídá zlatému řezu.
Je to tzv. zlatý obdélník.
Číselné vyjádření zlatého řezu je asi 1,6180339887... .
6
ZLATÝ ŘEZ V PŘÍRODĚ
Zlatý řez se v přírodě vyskytuje ve formě Fibonacciho posloupnosti. Pro upřesnění, co to vůbec
je Fibonacciho posloupnost:
Byla poprvé popsána italským matematikem Leonardem Pisano, známým také jako Fibonacci
(přelom 12. a 13.století), k popsání růstu populace králíků.
Předpokládejme, že:
o První měsíc se narodí jediný pár.
o Nově narozené páry jsou produktivní od
druhého měsíce svého života.
o Každý měsíc zplodí každý produktivní pár
jeden další pár.
o Králíci nikdy neumírají, nejsou nemocní atd.
o Jsou v uzavřeném prostoru, do kterého
nezasahuje nikdo zvenku.
Celkem mu pak vyšlo, že počet dospělých párů
roste následovně:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,...
Pravidlo je jednoduché, první dva členy jsou dány, jednička a jednička, každý další člen je pak
součtem dvou členů předcházejících. To ale zdaleka nebylo všechno! Řada čísel před ním se
vyznačovala zvláštností. Poměr dvou jejích následujících členů 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8,
21/13, 34/21, 55/34, 89/55, ... se neodvratně blížil k číslu 1.61803398. Ke zlatému číslu.
Podle Fibonacciho posloupnosti se však nemnoží pouze králíci. Podobně se množí například
i včely.
Fibonacciho čísla můžeme nalézt také v počtech okvětních kvítků, kupříkladu: 3 (lilie,
kosatec), 5 (karafiát), 8 (stračka), 13 (blatouch). Ještě zásadnější se však zdá být struktura
rozmístění semen v semenících květin ( slunečnice...), semen šišek, kaktusů, ananasu,
uspořádání listů některých květin nebo schránek mořských korýšů.
slunečnice
okvětní lístky růže
7
uspořádání listů – fibonacciho čísla
ananas =>
Dalším projevem zlatého řezu v přírodě je logaritmická spirála (viz obrázek), která nemění tvar
a roste stejně do délky i do šířky.
Jejím projevem je růst neživých částí živého tvora.
Můžou to být vlasy, nehty, zobáky, zuby, rohy, parohy
nebo schránky měkkýšů. Mírně ohnutý sloní kel
i hustě točená ulitka plže jsou v tomto ohledu
příbuzné. Turovitým kopytníkům, mezi které patří
i náš hovězí dobytek a ovce, rostou rohy do spirály.
Nebývá to vždy na
první pohled zřetelné,
neboť obyčejně jsou
jen částí jednoho závitu spirály, ale některé jsou přímo ukázkou
prostorové logaritmické spirály, např. africký kudu (druh
antilopy). Spirálu najdeme v klu slona nebo zubu narvala.
<= Kudu
Schránka hlavonožce nautila je ilustrací logaritmické spirály. Nejlépe se o tom přesvědčíme na
průřezu ulity. Logaritmická spirála je příznačná pro neživé části živého organismu ulity plžů.
A to není všechno. Také hmyz, když se blíží ke světlu, tak opisuje logaritmickou spirálu.
Pohybuje se tak, aby světlo viděl stále pod stejným úhlem.
8
Schránka plže
Hlavonožec Nautilus (loděnka)
ZLATÝ ŘEZ V UMĚNÍ
Lidské oko hodnotí tvary užívající zlatého řezu jako krásné. Není příliš jasné proč, avšak i bez
teoretického zdůvodnění této vlastnosti umělci velice rádi využívají. Jde především
o architekturu, malířství, fotografii a sochařství.
Při kompozici malířského díla nebo při vytváření fotografického záběru se umělec podvědomě
řídí pravidly vycházejícími ze zlatého řezu. Důležité prvky jsou například často umisťovány
právě do místa dělícího obraz na čtyři části, přičemž
dvě horizontální části jsou v poměru zlatého řezu,
podobně vertikální. Mezi významná díla užívající
tohoto principu můžeme zařadit Poslední večeři
páně Leonarda da Vinciho, který je rozdělen bílým
ubrusem.
Poslední večeře páně
Leonardo se též pokoušel zařadit mezi důležité osobnosti architektury. A ačkoli se jako
architekt nikdy neprosadil, architekturu propojil se stavbou lidského těla – všiml si, že lidské
tělo má viditelné proporce.
Tuto svou představu vyjádřil ve své slavné kresbě
Vitruviova muže z roku 1489. V ní se velmi přiklonil
k Vitruviovi, který napsal:
„...Přirozeným středem lidského těla je pupek.
Položí-li se člověk naznak s roztaženýma rukama
i nohama a umístí-li se střed kružítka na jeho pupek,
bude se čára opsané kružnice dotýkat prstů obou rukou
i nohou. Stejně tak jako se podává na lidském těle
obrazec kružnice, dá se na něm zjistit i obraz čtverce.“
9
Zlatý řez je však statická hodnota. Je to jakýsi ideální průměr a každý člověk s ním není na
milimetr totožný. A navíc platí pro jakéhosi oboupohlavního člověka, protože je průměrem
hodnot naměřených u žen i u mužů. Ve skutečnosti je hodnota 0,618 u mužů trochu menší
a u žen větší. Děvčata by měla mít delší nohy a chlapci v poměru k svojí výšce více vyvinutou
horní hrudní část.
Mezi základní kameny fotografické techniky patří kompozice. Obdélníkový tvar fotografie
umožňuje různé umístění fotografovaného předmětu ve scéně. Vhodnou kompozicí můžete
plně využít prostor, který fotografie nabízí, a vyjádřit i svůj subjektivní názor. Jedním
z nástrojů, který vám pomůže při komponování scény, je zlatý řez.
Častá je středová kompozice, kdy fotografovaný předmět je přímo v centru fotografie. Taková
kompozice je statická, klidná ale někdy může být i nudná. Kolem předmětu bývá zbytečně moc
nic neříkajícího místa, anebo naopak by nebylo na škodu některé straně dodat volný prostor.
Lepší by bylo umístit předmět, který chcete fotografovat, na
jiné místo na fotografii. Umístěním předmětu do zlatého
řezu oživíte fotografii, dodáte jí tak „něco“ dynamického.
=>
Vyznavači zlatého řezu hledali oporu pro svá tvrzení v plánech architektur všech dob
i slohů. Největší památník zlatého řezu vidí někteří badatelé v Cheopsově pyramidě.
Tvrdí, že podstava této pyramidy se má
k jejímu plášti jako plášť k jejímu celému
povrchu. Je-li c výška boční stěny, a polovina
strany podstavy a h výška pyramidy, je podle
Pythagorovy věty:
Staří Řekové zlatý řez znali a architekti Itkinos a Kaligrates ho mohli použít při stavbě chrámu
Parthenón na Akropoli.
Parthenón je typický dórský chrám s osmi sloupy zepředu
i zezadu a je nepochybně nejkrásnějším chrámem postaveným
tímto stylem. Do průčelí Parthenónu můžeme nakreslit část
pravidelného desetiúhelníka, který má souvislost se zlatým
poměrem.
10
Řekové viděli v číslech krásu a milovali ušlechtilé tvary. Své
pokračovatele našli i mnohem později např. v gotice při stavbě
chrámu Notre-Dame v Paříži, v kompozici fasád chrámů ruské
architektury 12. století, v dílech architekta
Le Corbusiera nebo v architektuře budovy Organizace spojených
národů v New Yorku (viz obrázek). Zlatý řez však nelze
prokázat obecně a nelze hovořit o jeho jakési všeobecně platné
umělecké přednost i před jinými proporcemi.
Jak již bylo uvedeno na začátku, zlatý řez se objevuje všude, kde ho nikdo nečeká. Myslím si,
že by se dalo vyjmenovat více příkladů, více obrázků, ale je to zbytečné. Každý, kdo hledá,
najde.
Ještě poznámku na konec, pokud by vás téma zlatý řez více zaujalo, velice doporučuji si přečíst
knížku Šifra mistra Leonarda od Dana Browna, kde se například dozvíte více o zlatém řezu
v lidském těle či o dílech Leonarda da Vinciho.
POUŽITÁ LITERATURA
http://cs.wikipedia.org/wiki/Zlat%C3%BD_%C5%99ez
http://www.volny.cz/zlaty.rez/diplomka.html
http://is.muni.cz/th/128853/pedf_m/dipl.prace_Kotkova.pdf
http://is.muni.cz/th/106232/prif_m/diplomovaprace.pdf
11
12