Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s príklady)

Transkript

Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Příklady
Regresní model s fixními a náhodnými efekty
(s příklady)
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Sůva P.
29.4.2010
www.matfyz.cz/pavel.suva
nebo
www.petra.burdejova.matfyz.cz
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s příklady)
Panelové dáta
Příklady
Obsah
1
2
3
4
5
Panelové dáta
Čo sú panelové dáta:
Výhody a nevýhody
Základný model
Formulácia
Odhad parametrov
Formulácia
Odhad parametrov
Testy specifikace modelu
Model a odhad parametrov
Príklad
Příklady
Aerolinky
Kriminalita (s výstupy)
Panelové dáta
Příklady
Výhody a nevýhody
Základný model
Čo sú panelové dáta
časové rady + prierezové dáta
|
{z
}
"Prierezové dáta v priebehu času"
Napríklad:
Michigan Panel Study of Income Dynamics (PSID).
pozorovných zhruba 7000 rodín a 65000 jedincov, spytovaní
peridicky od r.1968 do súčasnosti
,→ široké
orientácia k analýze prierezových dát
,→ krátke
Panelové dáta
Příklady
Výhody a nevýhody
Základný model
Výhody
rozvoj techník pre odhad, nové
teorické výsledky
skúmanie problémov, ktoré č.rady
ani prier.data nevedia
kontrola individuálnych odlišností
Príklad: Cigaretový dopyt v USA (Baltagi and Levin (1992))
okrem času a príjmu existujú aj časovo/prierezovo
invarianté premenné (náboženstvo,reklama..)
lepšia schopnost’ študovat’ dynamiku zmien
Príklad: nezamestnanost’ (Baltagi and Levin (1992))
možná konštrukcia zložitejších modelov
Panelové dáta
Příklady
Výhody a nevýhody
Základný model
Nevýhody
návrh a zber dát
(napr: zlá spolupráca,
pokrytie...)
⇒ deformácia chýb meraní
Problémy výberu:
vlastná vol’ba: napr.dôvodu nezamestnanosti
bez odpovede
úbytok (príp.zmena) dotazovaných
závislost’ v rámci prierezu (napr: krajiny)
Panelové dáta
Příklady
Výhody a nevýhody
Základný model
Motivačný príklad:
Data CORNWELL.RAW (z Cornwell and Trumball, 1994)
Údaje o kriminalite z okrskov Severnej Karolíny
(1981-1987).
Celkom 90 okrskov.
O každom 21 premenných v každom roku.
Vybrané regresory
úroveň kriminality
pravdepodobnost’ uväznenia
pravdepodobnost’ zatknutia
priemerná tvrdost’ trestu
pravdepodobnost’ odsúdenia
počet policistov na obyvatel’a
Príklad si vypočítame na záver....
Panelové dáta
Příklady
Výhody a nevýhody
Základný model
Základný model:
yit = x 0 it β + z 0 i α + it
kde:
xit obsahuje K regresorov
xit neobsahuje konštantú zložku (intercept)
zi obsahuje individuálne efekty
Na základe odlišných prístupov k zložke zi máme rozličné
prípady:
Klasická regresia (angl. Pooled data)
zi obsahuje iba konštantú zložku
OLS
=⇒ konzistentý a eficientný odhad α a β
Panelové dáta
Příklady
Výhody a nevýhody
Základný model
Základný model:
Fixné efekty
zi nepozorovaná, ale korelovaná s xit
OLS
=⇒ odhad β nie je nestranný ani konzistentný (následok
vynechania premenných)
prepis pomocou αi = z 0 i α:
yit = x 0 it β + αi + it ,
člen αi nám špecifikuje danú skupinu
! "fixný"= nemenný v čase, nie nestochastický
Panelové dáta
Příklady
Výhody a nevýhody
Základný model
Základný model:
Náhodné efekty
predpokladáme, že nepozorovaná (avšak formulovaná)
jednotlivá rôznorodost’ je nekorelovaná s obsiahnutými
premennými
prepis
yit = x 0 it β + α + ui + it ,
ui náhodná zložka špecifická pre každú skupinu
Panelové dáta
Příklady
Formulácia
Odhad parametrov
Model s fixnými efektami - formulácia
yi = Xi β + iαi + i
,→ αi neznámy parameter, ktorý odhadujeme
,→ yi a Xi vektory T pozorovaní pre i-tú zložku
,→ i vektor jednotiek T × 1
,→ i vektor disturbancií T × 1
Maticovo:
   

Y1
X1
i 0
 ..   .. 
0 0
 .   . 
  =  β + 

.
 ..   .. 
0 ..
 .   . 
0 ···
Yn
Xn
···
···
..
.
···
   
α1
1
0



.
..   ... 
0



 
+
..   . 
  
.   ..   ... 
i
αn
n
Panelové dáta
Příklady
Formulácia
Odhad parametrov
Model s fixnými efektami - formulácia
Maticovo:
Y 







X 

1
1
i
 
. 

 .. 
0
. 



. 
. 


 =  β + 
. 
 . 
0
. 
 . 
.
.
0
Yn
Xn
···
···
0
0
.
.
.
···
.
.
.
···
   
 α1
1
0
 .   . 
0  .   . 
 .   . 
 + 
.
   
.
.   . 
. 
 .   . 
.
.
i
αn
n
↓
označme di dummy premennú indikujúcu i-tú zložku
↓
y = X d 1 d2 · · ·
dn
β
·
+
α
↓
označme D maticu [d1 d2 · · · dn ]
↓
LSDV model
(least square dummy variable)
y = Xβ + Dα + ,
je klasickým regresným modelom
Panelové dáta
Příklady
Formulácia
Odhad parametrov
Odhad pro model s fixními efekty
Předpoklady klasického modelu lineární regrese ⇒ klasický
OLS-odhad s regresní maticí (D, X) (též „LSDV-odhad“).
Problém: K + n sloupců reg, matice, n může být obrovské.
Řešení: Rozdělená regrese – odhadneme nejprve vekor β
zvlášt’, poté dopočítáme odhad α
Obecný výsledek:
Při regresi y = X1 β 1 + X2 β 2 + lze OLS-odhad vektorů
parametrů β1 a β2 spočítat jako
−1
b1 = (X01 X1 )
X01 (y − X2 b2 ) ,
−1 −1
−1
b2 = X02 I − X1 (X01 X1 ) X01 X2
X02 I − X1 (X01 X1 ) X01 y .
Panelové dáta
Příklady
Formulácia
Odhad parametrov
Pro nás tedy:
−1 0
b = X0 Md X
X Md y ,
kde Md = I − D(D0 D)−1 D0 .



Md = 

IT ×T − T1 iT i0T
0
..
.
IT ×T
0
0
− T1 iT i0T
..
.
...
...
...
..
.
0
0
..
.
0
IT ×T − T1 iT i0T





Md je idempotentní ⇒ odhad je odhadem v regresi Md y na Md X.
Z tvaru matice Md vidíme: jedná se o regresi prvků (yit − ȳi• ) na
(xit − x̄i• ), kde ȳi• x̄i• jsou přes čas zprůměrovaná pozorování
příslušných hodnot i-tého objektu.
Panelové dáta
Příklady
Formulácia
Odhad parametrov
Postup: získáme odhad b vektoru parametrů β, poté
dopočítáme odhad vektoru parametrů α jako
a = (D0 D)−1 D0 (y − Xb).
Interpretace: Z modelu yit = αi + β 0 xit + it odečtením průměrů
ȳi• = αi + β 0 (x̄i• ) + ¯i• dostaneme model
yit − ȳi• = β 0 (xit − x̄i• ) + it − ¯i• ,
v němž už se nevyskytují efekty αi .
OLS metodou odhadneme β (odhadem je b). Odhadem αi je
ai = ȳi• − b0 x̄i• .
Panelové dáta
Příklady
Formulácia
Odhad parametrov
Vlastnosti odhadu
Odhad b vektoru parametrů β je konzistení pro nT → +∞.
Odhad a vektoru parametrů α je konzistení pro T → +∞.
Rozptyl odhadu:
c (b) = s2 X0 Md X −1 ,
var
kde
2
s =
Pn
i=1
PT
2
t=1 eit
.
nT − n − K
Přitom eit = yit − ai − x0 it b = (yit − ȳi• ) − (xit − x̄i• )0 b.
Dále platí
var (ai ) =
σ2
+ x̄0i• var (b) x̄i• .
T
Panelové dáta
Příklady
Formulácia
Odhad parametrov
Testování podmodelu
Podmodel: jednotlivé objekty mají všechny stejný fixní efekt.
F-test
H0 : y = inT α0 + Xβ + ,
testová statistika: F =
H1 : y = Dα + Xβ + .
(RSSr − RSSur ) / (n − 1)
,
(RSSur ) / (nT − n − K )
H
F ∼0 Fn−1,nT −n−K
RSSur . . . reziduální součet čtverců modelu (H1 ),
RSSr . . . reziduální součet čtverců modelu (H0 ).
Panelové dáta
Příklady
Formulácia
Odhad parametrov
Fixní časové efekty
Fixní efekty pro každý časový okamžik:
- dalších T dummy prom.,
- analogie analýzy rozptylu dvojného třídění bez interakcí.
Společný intercept pro všechna pozorování ⇒ model
yit = µ + αi + γt + β 0 xit + i t.
P
P
Lin. podm.: ni=1 αi = 0 a Tt=1 γt = 0 ⇒ odhadnutelnost.
Odhady metodou nejmenší čtverců:
¯•• máme
z regrese yit − ȳi• − ȳ•t + ȳ¯•• na xit − x̄i• − x̄•t + x̄
¯•• ,
m = ȳ¯•• − b0 x̄
¯•• ,
ai = ȳi• − ȳ¯•• − b0 x̄i• − x̄
¯•• .
ct = ȳ•t − ȳ¯•• − b0 x̄•t − x̄
Panelové dáta
Příklady
Formulácia
Odhad parametrov
Model s náhodnými efektami - motivácia
Základný model: yit = x 0 it β + z 0 i α + it
Model
s fixnými efektami
?
Možnosť
korelovanosti
zi a xi
Striktná
nekorelovanosť
zi a xi
vieme
? vhodné
možnosť modelovať rozdiely
modelovať jednotlivé špecif. členy
medzi zložkami ako parametrické
ako náhodné rozdelené
vzhľadom k prierez. zložkám
zmeny regresnej funkcie.
Panelové dáta
Příklady
Formulácia
Odhad parametrov
Model s náhodnými efektami - fomulácia
Základný model: yit = x0 it β + z0 i α + it
preformulujeme na:
yit = x0 it β + E z0 i α + z0 i α − E z0 i α +it .
{z
}
| {z } |
α
ui
α - str.hodnota nepozorovanej rôznorodosti
- samostatná konštantná zložka
ui - náhodná rôznorodost’ (špecifická pre i-tú zložku)
- konštantná v čase!
⇒ máme lineárny regresný model, so zloženými disturbanciami, ktorý už môže byt’
konzistentne (nie však eficientne) odhadnutý metódou OLS.
Panelové dáta
Příklady
Formulácia
Odhad parametrov
Pre vzniknutý model yit = x0 it β + α + ui + it
d’alej predpokladajme:
E[it |X]
E 2it |X E ui2 |X E it uj |X E it ujs |X E ui uj |X
=
=
=
=
=
=
E [it |X ] = 0
σ2
σu2
0 ∀i, j a t
0 ak t 6= s alebo i 6= j
0 ak i 6= j
Panelové dáta
Příklady
Formulácia
Odhad parametrov
Označme:
ηit = it + ui
η i = [ηi1 , ηi2 , . . . , ηiT ]0
a
⇓ nová formulácia modelu
yit = x0 it β + α + ui + it
| {z }
ηit
E[it |X]
E 2it |X 2
E
ui |X E it uj |X E it ujs |X E ui uj |X
=
=
=
=
=
=
E [it |X ] = 0
σ2
σu2
0 ∀i, j a t
0 ak t 6= s ∨ i 6= j
0 ak i 6= j









E ηit2 |X = σ2 + σu2
E[ηit ηis |X] = σu2 ak t 6= s
E ηit ηjs |X = 0
∀t a s, ak i 6= j
Panelové dáta
Příklady
Formulácia
Odhad parametrov
Model s náhodnými efektami - variančná matica
Pre i-tú zložku máme teda maticu Σ = E [ηi ηi0 |X ] v tvare:
 2
σ + σu2
 σu2

Σ=
..

.
σu2
σu2
2
σ + σu2
σu2
σu2
..
.
···
···
σu2
σu2
σu2
σu2
···
σ2 + σu2



 = σ2 IT + σu2 iT i0 T

Pozorovania i a j sú nezávislé ⇒ variančná matica disturbancií V


Σ 0 ··· 0
0 Σ · · · 0 


V=.
 = In ⊗ Σ
..

 ..
.
0
···
Σ
Panelové dáta
Příklady
Formulácia
Odhad parametrov
Odhad pro model s náhodnými efekty
Nestadardní tvar varianční matice ⇒ použijeme Aitkenův (GLS)
odhad
−1 β̂ = X 0 V −1 X
X 0 V −1 y .
Varianční matice vektoru η = u + má tvar V = In ⊗ Σ.
Pro nalezení přípustného Aitkenova (FGLS) odhadu třeba najít
konzistentní odhad matice Σ.
Σ = σ2 IT ×T + σu2 iT i0T
⇒
Σ̂ = σ̂2 IT ×T + σ̂u2 iT i0T .
Jak nalézt konzistentní odhady σ̂2 a σ̂u2 ?
Panelové dáta
Příklady
Formulácia
Odhad parametrov
Konzistentní odhady σ̂2 a σ̂u2
Jak nalézt konzistentní odhady σ̂2 a σ̂u2 ?
Jedna z možností:
1. odhadneme model pomocí OLS-metody
2. z reziduí η̂ vypočteme konzistentní odhad σ̂η2 = σ̂2 + σ̂u2
jako:
σ̂η2 =
n X
T
X
1
η̂it2 .
nT − K
i=1 t=1
Panelové dáta
Příklady
Formulácia
Odhad parametrov
3. odhadneme σc2 = E(ηit ηis ), t 6= s: zřejmě platí
E
T
−1
X
T
X
!
ηit ηis
t=1 s=t+1
=
T
−1
X
T
X
σc2 = σc2
t=1 s=t+1
T
−1
X
(T − t) = σc2
t=1
T (T − 1)
2
⇒ lze konzistentně odhadnout
σ̂c2 =
1
n T (T2−1) − K
n T
−1 X
T
X
X
η̂it η̂is .
i=1 t=1 s=t+1
4. dopočítáme σ̂2 = σ̂η2 − σ̂u2 .
−1
Z těchto odhadů lze napočítat matice Σ̂, Σ̂
a tedy i Aitkenův odhad β̂ vektoru β.
, V̂−1
Panelové dáta
Příklady
Formulácia
Odhad parametrov
Jiný způsob:
1. provedeme odhad OLS-metodou v modelu
yit − ȳi• = β 0 (xit − x̄i• ) + it − ¯i• .
2. odhadneme σ2 pomocí pozorování objektu i jako
s2 (i)
PT
− ēi• )2
.
T −K −1
t=1 (eit
=
3. tyto odhady poté zprůměrujeme – získáme odhad
s̄2
Pn
=
− ēi• )2
.
nT − nK − n
i=1
PT
t=1 (eit
Panelové dáta
Příklady
Formulácia
Odhad parametrov
4. korekce stupňů volnosti (původní počet odpovídá situaci
odhadu všech parametrů pro každé i zvlášt’)
Pn PT
(eit − ēi• )2
2
.
σ̂ = i=1 t=1
nT − K − n
5. V modelu
ȳi• = α + β 0 x̄i• + ui + ¯i•
máme n „průměrných reziduí“
∗∗i = ¯i• + ui = ȳi• − α − β 0 x̄i• .
Tato jsou nezávislá s rozptylem
2
var (∗∗i ) = σ∗∗
=
σ2
.
σu2
Panelové dáta
Příklady
Formulácia
Odhad parametrov
Odhad pro model s náhodnými efekty
Odhadneme modelu ȳi• = α + β 0 x̄i• + ui + ¯i• a jeho reziduí
2
σ̂∗∗
=
e0∗∗ e∗∗
n−K
a
σ̂e2
.
T
⇒ opět získáváme konzistentní odhad matice Σ.
2
σ̂u2 = σ̂∗∗
−
Panelové dáta
Příklady
Formulácia
Odhad parametrov
Testování na přítomnost náhodných efektů
Breusch, Pagan (1980): Test založený na Lagrangeových
multiplikátorech
LM-test
H0 : σu2 = 0,
H1 : σu2 6= 0

2
2
Pn PT
t=1 eit
nT
 i=1

Test. statistika: LM =
− 1 ,
 Pn PT
2
2 (T − 1)
i=1
t=1 eit
H
LM ∼0 χ21
eit . . . rezidua z běžného OLS-odhadu.
Panelové dáta
Příklady
Príklad
Volba modelu
Mezi modely s fixními efekty a modely s náhodnými efekty
a odhady jejich parametrů jsou mnohé rozdíly.
=⇒ Nabízí se otázka:
KTERÝ MODEL BYCHOM MĚLI POUŽÍT??
Z praktického hlediska je model s náhodými efekty
vhodnější než regrese s dummy proměnnými v případě
modelu s fixními efekty.
Na druhou stranu, není možné vyšetřovat individuální
efekty automaticky jako náhodné:
Pokud by existovala korelace mezi vysvětlujícími
proměnnými a náhodnými efekty, byl by Aitkenův odhad β̂
nekonzistetní!
Panelové dáta
Příklady
Príklad
Idea Hausmanova testu
Hausman (1978): Test specifikace modelu
Regresory a efekty nekorelované =⇒ odhady b a β̂ jsou
oba konzistentní (a β̂ je neeficientní).
Regresory a efekty korelované =⇒ b je konzistentní,
zatímco β̂ je nekonzistentní.
Test je tedy založen na rozdílu odhadů b − β̂.
Pro test je důležitá kovariance vektoru rozdílu (b − β̂):
cov[(b − β̂)] = var[b] + var[β̂] − cov[b, β̂] − cov[b, β̂]
(1)
Panelové dáta
Příklady
Príklad
Důležitý Hausmanův poznatek
Kovariance eficientního odhadu s jeho rozdílem s
neeficientním odhadem je rovna nule.
=⇒ Za platnosti nekorelovanosti platí:
cov[b, (b − β̂)] = var[b] − cov[b, β̂] = 0
cov[b, β̂] = var[b]
(2)
Dosazením (2) do (1) získáme:
var[(b − β̂)] = var[b] − var[β̂] = Ψ
Panelové dáta
Příklady
Príklad
Hausmanův test
Hausmanův test
H0 : E(ci |X i ) = E(ci ) = 0
H1 : E(ci |X i ) 6= E(ci ) = 0
testová statistika W = (b − β̂)0 Ψ−1 (b − β̂)
H
Waldova statistika W ∼0 χ2 (K − 1)
Matici Ψ odhadneme maticí
\
\ − var[
Ψ̂ = var[b]
β̂],
\=
kde var[b]
0
1 2
−1
N s (X̂ i X̂i )
\
a var[
β̂] =
0
1 2
−1
N s (X̃ i X̃ i ) ,
t-tý řádek matice X̂ i = je x it − x i ,
t-tý řádek matice X̃ i = je x it − λx i
(3)
λ=1−
√
µ.
Panelové dáta
Příklady
Príklad
t-test
β j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . jednotlivý parametr, který chceme testovat
Hausmanův t-test
H0 : E(ci |X ij ) = E(ci ) = 0
H1 : E(ci |X ij ) 6= E(ci ) = 0
testová statistika t = (bj − β̂ j )/{[σ(bj )]2 − [σ(β̂ j )]2 }1/2
H
t ∼0 N(0, 1).
σ(bj ), σ(β̂ j ) směrodatné odchylky příslušné složky odhadů b,β̂.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . odhadneme standartními postupy.
Panelové dáta
Příklady
Príklad
F-test
Pro testování více parametrů je možno použít F-test:
x̃ it = x it − λx i y˜it = yit − λyi
w it . . . . . . . . . . . . . . . . .vektor o rozměrech 1 × M , podmnožina x it
=⇒ Rozšířený model:
ỹit = x̃ it β + w it ξ + ˜it
(4)
ξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vektor o rozměrech M × 1
Hausmanův F-test
H0 : ξ = 0
H1 : : ξ 6= 0
SSRr −SSRur NT −K −M
testová statistika F =
M
SSRur
H
t ∼0 FM,NT −K −M .
SSRr . . . . . . . . . . . . . pomocí b, SSRur . . . . . . . . . . . . . z modelu (4).
Panelové dáta
Příklady
Príklad
Pôvodný tvar lineárneho modelu pre panelové dáta:
yit = x0it β + z0i α + it
Náhodné efekty ⇒ nepozorované efekty zi musia byt’
nekorelované s premennými xit ⇒ hlavný nedostatok
Model s náhodnými efektami môže obsahovat’ pozorované,
v čase sa nemeniace charatkeristiky (napr. demografické)
Model s fixnými efektmi ⇒ charakteristiky sú absorbované do
fixných efektov
Houseman a Taylor(1981) -prekonat’ problém s korelovanost’ou,
zahrnút’ v čase nemenné charakteristiky
Panelové dáta
Příklady
Príklad
Východiskový model
yit = x01it β 1 + x02it β 2 + z01i α1 + z02i α2 + it + ui
β = (β 01 , β 02 )
zi sú pozorovatel’né efekty
nepozorovatel’né efekty sú zahrnuté v náhodnej veličine ui
x1it → K1 premenných, v čase meniace, nekorelované s ui
x2it → K2 premenných, v čase meniace, korelované s ui
z1i → L1 premenných, v čase nemeniace, nekorelované s ui
z2i → L2 premenných, v čase nemeniace, korelované s ui
Panelové dáta
Příklady
Príklad
Odhad pre Hausmanov a Taylorov model
Predpoklady
E[ui ] = E[ui |x1it , z1i ] = 0 avšak E[ui |x2it , z2i ] 6= 0
Var [ui |x1it , x2it , z1i , z2i ] = σu2
Cov [it , ui |x1it , x2it , z1i , z2i ] = 0
Var [it + ui |x1it , x2it , z1i , z2i ] = σ 2 = σ2 + σu2
Corr [it + ui , is + ui |x1it , x2it , z1i , z2i ] = ρ = σu2 /σ 2
OLS, GLS nie sú konzistentné ⇒ použijeme odhad založený na
inštrumentálnych premenných.
Autori navrhujú nasledujúci postup pomocou ktorého obdržíme
konzistentý a eficientný odhad parametrov modelu:
Panelové dáta
Příklady
Príklad
Postup odhadu
1.KROK:
Odchylky od priemerov Uvážime odchylky od skupinových priemerov
čím odstránime čast’ disturbancie, ktorá je korelovanú s x2it
yit − ȳi. = (x1it − x̄1i )0 β 1 + (x2it − x̄2i )0 β 2 + it − ¯i
⇒ β môžeme konzistentne odhadnút’
Tento odhad je vlastne LSDV odhad β založený na x1 , x2 .
⇒ 1.krok: LSDV odhad β
Vypočítame reziduá
Odhad reziduálneho rozptylu s2 je konzistentný odhad σ2
Panelové dáta
Příklady
Príklad
Postup odhadu
2.KROK
Z reziduí eit vypočítame priemery pre jednotlivé skupiny
Dostaneme:
eit∗ = ēi. , i = 1, . . . , n, t = 1, . . . , T .
Regresia eit∗ na z1 a z2 s inštrumentami z1 a x1 dá konz. odhad α.
Odhad reziduálneho rozptylu je konzistentný odhad σu2 + σ2 /T
3.KROK
Pomocou predchádzajúcich odhadov odhadneme:
s
σ2
θ=
2
σ + T σu2
Pôvodný model sa potom v d’alšom kroku transformuje pomocou θ̂
Panelové dáta
Příklady
Príklad
Postup odhadu
4.KROK:
w0it = (x01it , x02it , z01i , z02i ), zapíšeme do W
Model transformujeme:
w∗it 0 = w0it − (1 − θ̂)w̄0i , yit∗ = yit − (1 − θ̂)ȳi
Transformované dáta zapíšeme do matice W∗ a vektora y∗
Odhad Hausman a Taylor
Za inštrumentálne premenné vezmeme:
v0it = [(x1it − x̄1i )0 , (x2it − x̄2i )0 , z01i , x01i ]
Všetky zapíšeme do matice V a dostaneme odhad:
0
(β̂ , α̂0 )IV = [(W ∗0 V )(V 0 V )−1 (V 0 W ∗ )]−1 [(W ∗0 V )(V 0 V )−1 (V 0 y ∗ )]
Panelové dáta
Příklady
Príklad
The returns to schooling
Študujeme ekonomický úžitok vzdelávania:
závislá premenná: log(mzda)
ekonomické benefity vzdelávania sú korelované s latentnými,
nemeratel’nými charakteristikami
vrodené schopnosti, inteligencia, vytrvalost’
Nezávislé premenné
Skúsenosti = Vek-Vzdelávanie(čas v rokoch)-5
Vzdelávanie
Zlé zdravie = 1-zlý zdravotný stav, 0-dobrý zdravotný stav
Rasa = 1-beloch, 0-nebeloch
Odbory = 1-člen odborov, 0-nie
Nezamestnaný = 1-v min. roku nezamestnaný, 0-zamestnaný
Panelové dáta
Příklady
Príklad
Korelovanost’ ⇒ problém s modelom s náhodnými efektami Alternatívou je
model s fixnými efektami, ale:
Datové štruktúry často obsahujú vel’a užitočných v čase nemenných
premenných
Samotné vzdelanie je v čase nemenná premenná!!!
⇒ Fixné efekty s LSDV odhadom nevhodné
Odhady-nevhodné
Súbor 750 mužov (25-55) pozorovaných v rokoch 1968 a 1972
Zahrnieme ešte absolútny člen a indikátor roku
Modelujeme:
ako klasický model lin. regresie → OLS odhad: 0,0669
ako model s náhodnými efektami → GLS odhad: 0,0676
Obe hodnoty nízke
Panelové dáta
Příklady
Príklad
Premenné
Skúsenosti
Zlé zdravie
Nezamestnaný
Čas
Skúsenosti
Nezamestnaný
Rasa
Odbory
Konštanta
Vzdelanie
x1
x2
z1
z2
HT/IV-GLS
0,0217
-0,0278
-0,559
NR
-0,0278
0,1227
NR
0,1246
HT/IV-GLS
-0,0388
NR
0,0241
-0,0560
-0,0175
0,2240
NR
0,2169
Hausmanov test
LSDV s 3 premennými ⇒ χ2 štatistika má tri stupne volnosti
⇒ 95% kritická hodnota = 7,81
GSL
20.2
HT/IV-GLS(1)
2.24
HT/IV-GLS(2)
0
Panelové dáta
Příklady
Aerolinky
Aerolinky
Panelové dáta
Příklady
Aerolinky
Aerolinky
Nákladová funkce leteckých společností
Data: údaje o 6 amerických leteckých společnostech za 15 let (1970-1984).
Pro celkové náklady Greene([3]) navrhl jednoduchý model:
log costit = β1 + β2 log outputit + β3 log fuel priceit +
+β4 log load factorit + it
output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . je měřen v příjmu za míli na cestujícího.
load factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . míra využití kapacity letadel.
odhad OLS
log costit = 9.5169(0.22924) + 0.88274(0.013255) log outputit +
0.45398(0.020304) log fuel priceit
−1.62751(0.34540) log load factorit + it
R 2 = 0.9882898
s2 = 0.015528
e 0 e = 1.335442193
Panelové dáta
Příklady
Aerolinky
Aerolinky - modely s fixními efekty
Autoři model modifikovali o odhadli parametry pro tři verze modelů s fixními
efekty:
Efekty specifické pro firmy (celkem tedy 6 efektů)
Efekty specifické pro čas. období (=roky - celkem 15)
Model kombinující dva výše uvedené (tj. 6 + 15 = 25)
Tabulka výsledných odhadů těchto tří modelů (pro srovnání také odhad OLS):
Model
β1
β2
β3
β4
R2
OLS
9.517
0.882
0.453
-1.627
0.988
(0.229)
(0.013)
(0.0203)
(0.345)
Efekty - Firmy
0.919
0.417
-1.070
0.9974
0.0036
(0.030)
(0.015)
(0.202)
a1 , . . . , a6
9.706
9.665
9.497
9.891
9.730
Efekty - Čas.obd.
0.868
-0.484
-1.954
0.990
0.017
(0.015)
(0.364)
(0.442)
c1 , . . . , a 8
20.496
20.578
20.656
20.741
21.200
c9 , . . . , c15
21.829
22.114
22.465
22.651
22.616
Efekty 12.667
0.817
0.168
-0.882
0.998
Firmy i čas. obd.
(2.081)
(0.032)
(0.163)
(0.262)
a1 , . . . , a6
0.128
0.065
-0.189
0.134
-0.093
c1 , . . . , a8
-0.374
-0.319
-0.277
-0.223
-0.154
c9 , . . . , c15
0.047
0.091
0.207
0.285
0.301
s2
0.015
9.793
21.411
22.552
0.0027
-0.046
-0.108
0.300
21.503
22.537
21.654
-0.077
0.319
-0.021
Panelové dáta
Příklady
Aerolinky
Aerolinky - modely s fixními efekty - testy specifikace
Přítomnost efektů specifických pro jednotlivé společnosti v
modelu otestujeme F-testem:
F [5, 81] =
(0, 997434 − 0, 98829)/5
= 57, 164
(1 − 0, 997431)/81
Kritická hodnota statistiky F na 95% hladině je 2, 327
⇒ Test signifikatně svědčí pro přítomnost firemních efektů.
Testová statistika pro přítomnost efektů pro dané roky vyjde
F [14, 72] = 1, 170 < než krit. hodnota 1, 832.
⇒ Nemůžeme potvrdit přítomnost časově specif. efektů.
Pokud ovšem vyjdeme z modelu, který již obsahuje firemní
efekty, a otestujeme jej na přítomnost časových efektů,
dostaneme F [14, 67] = 3, 149, t.j. > kritická hodnota 1, 842.
Panelové dáta
Příklady
Aerolinky
Aerolinky - modely s náhodnými efekty
Test na přítomnost náhodných efektů (Breusch-Pagan)
Vektor průměrů reziduí jednotlivých firem je:
e = (0, 0687; −0, 0139; −0, 1942; 0, 1527; −0, 0215; 0, 0081)

statistika LM =
Pn
nT
 i=1
 Pn
2 (T − 1)
P
T
t=1
i=1
PT
eit
2
2
t=1 eit
2

− 1 = 334, 85.
Kritická hodnota χ21 rozdělení na 95% hladině je 3, 84
⇒ Zamítáme nulovou hypotézu a můžeme usuzovat přítomnost
náhodných efektů v datech.
Panelové dáta
Příklady
Aerolinky
Výpočet složek rozptylu v modelu s náhodnými efekty
Výpočtem dostaneme odhady σ2 a σu2 :
σ̂2 =
0.2926222
= 0.0036126,
90 − 9
ˆ σ 2 = 1.335442 = 0.015528,
σ2 +
u
90 − 4
σ̂u2 = 0.015528 − 0.0036126 = 0.0199158.
Panelové dáta
Příklady
Aerolinky
Následující tabulka shrnuje odhady parametrů pro
model s náhodnými efekty pro firmy
model s náhodnými efekty pro firmy i jednotlivé roky
Model
OLS
Efekty - firmy
Efekty firmy i čas. období
β1
9.517
(0.2292)
9.6106
(0.2028)
β2
0.883
(0.0133)
0.90412
(0.0246)
β3
0.454
(0.0203)
0.42390
(0.0138)
β4
-1.628
(0.3453)
-1.0646
(0.1993)
9.799
(0.8791)
0.8433
(0.0258)
0.3876
(0.0685)
-0.9294
(0.2572)
R2
0.989
s2
0.0156
σu2 = 0.011916
σ2 = 0.003613
σu2 = 0.0142291
σ2 = 0.00264
σv2 = 0.0551958
Panelové dáta
Příklady
Aerolinky
Aerolinky - Hausmanův test
Odhady variančních matic
Odhady variančních matic var[b] a var[β̂] vyjdou následovně:


0.0008934 −0.0003178 −0.001884
\ =  −0.0003178 0.0002310 −0.0007686 
var[b]
−0.001884 −0.0007686
0.04068


0.0006059 −0.0002089 −0.001450
\
var[
β̂] =  −0.0002089 0.00018897 −0.002141 
−0.001450
−0.002141
0.03973
Panelové dáta
Příklady
Aerolinky
Aerolinky - Hausmanův test
Fixní či náhodné efekty?
Testová statistika Hausmanova testu vyjde W = 4.16.
Kritická hodnota χ2 (3) je 7.814
⇒ nemůžeme zamítnout nulovou hypotézu nekorelovanosti efektů s
ostatními regresory.
Vzhledem k výsledku Breush-Paganovu LM-testu, který svědčil o
přítomnosti individuálních efektů v datech, se jako nejlepší volba jeví
některý z modelů s náhodnými efekty.
Panelové dáta
Příklady
Aerolinky
Kriminalita
Data CORNWELL.RAW (z Cornwell and
Trumball, 1994)
Údaje o kriminalitě z okrsků
Severní Karolíny z let 1981-1987.
Celkem 90 okrsků.
O každém 21 proměnných
v každém roce.
Vybrané regresory
crmrte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . úroveň kriminality.
prbarr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pravděpodobnost zatčení.
prbconv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pravděpodobnost odsouzení.
prbpris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pravděpodobnost uvěznění.
avgsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . průměrná tvrdost trestu.
polpc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .počet policistů na obyvatele.
Panelové dáta
Příklady
Aerolinky
OLS odhad
Modely jsme odhadovali
v programu R.
balíček plm.
Základní model
log crmrteit = β1 + β2 log prbarrit + β3 log prbconvit + β4 log prbprisit +
β5 log avgsenit + β6 log polpcit + it
Odhad metodou OLS
log crmrteit = −2.20690 − 0.72151 log prbarrit − 0.54930 log prbconvit +
0.23794 log prbprisit − 0.06517 log avgsenit + 0.36251 log polpcit + it
R 2 = 0.5658
Panelové dáta
Příklady
Aerolinky
Kriminalita - modely s fixními efekty
Model s fixními efekty pro jednotlivé okrsky (n = 90, T = 7, K = 5, N = 630)
Oneway (individual) effect Within Model
Call:
plm(formula = log(crmrte) ~ log(prbarr) + log(prbconv) + log(prbpris) +
log(avgsen) + log(polpc), data = E, model = "within")
Balanced Panel: n=90, T=7, N=630
Coefficients :
Estimate Std. Error t-value Pr(>|t|)
log(prbarr) -0.383564
0.033468 -11.4606 < 2.2e-16 ***
log(prbconv) -0.306005
0.021858 -13.9994 < 2.2e-16 ***
log(prbpris) -0.195510
0.033364 -5.8598 4.633e-09 ***
log(avgsen)
0.035710
0.026125
1.3669
0.1717
log(polpc)
0.413792
0.027470 15.0635 < 2.2e-16 ***
Odhady individuálních efektů pro okrsky
1
3
55
87
113
115
165
185
Estimate Std. Error
-1.58021
0.17444
-2.09820
0.20408
-1.76908
0.16656
-2.00526
0.18215
-2.91151
0.17605
-3.86749
0.15368
-1.32267
0.17825
-2.51018
0.16846
t-value
-9.0586
-10.2812
-10.6214
-11.0090
-16.5375
-25.1652
-7.4205
-14.9003
Pr(>|t|)
< 2.2e-16
< 2.2e-16
< 2.2e-16
< 2.2e-16
< 2.2e-16
< 2.2e-16
1.168e-13
< 2.2e-16
***
***
***
***
***
***
***
***
Panelové dáta
Příklady
Aerolinky
Kriminalita - modely s fixními efekty
Model s fixními efekty pro jednotlivé období
Oneway (time) effect Within Model
Call:
plm(formula = log(crmrte) ~ log(prbarr) + log(prbconv) + log(prbpris) +
log(avgsen) + log(polpc), data = E, effect = "time", model = "within")
Coefficients :
log(prbarr) -0.719497
0.036766 -19.5694 < 2.2e-16
log(prbconv) -0.545677
0.026369 -20.6940 < 2.2e-16
log(prbpris) 0.247528
0.067228
3.6819 0.0002315
log(avgsen) -0.086721
0.057921 -1.4972 0.1343351
log(polpc)
0.365980
0.030026 12.1888 < 2.2e-16
***
***
***
***
Odhady individuálních efektů pro roky
81
82
83
84
85
86
87
Estimate Std. Error
-2.08248
0.25163
-2.07731
0.24508
-2.12594
0.24545
-2.19125
0.24265
-2.16050
0.24238
-2.12454
0.24583
-2.10947
0.24815
t-value
-8.2760
-8.4760
-8.6615
-9.0304
-8.9135
-8.6424
-8.5009
Pr(>|t|)
2.220e-16
< 2.2e-16
< 2.2e-16
< 2.2e-16
< 2.2e-16
< 2.2e-16
< 2.2e-16
***
***
***
***
***
***
***
Panelové dáta
Příklady
Aerolinky
Kriminalita - modely s fixními efekty - testy
Testování H0 : všechny objekty mají stejný efekt.
F-test
F-test pro efekty pro okrsky:
F = 40.6938, df1 = 89, df2 = 535, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: unstability
F-test pro efekty pro roky:
F = 1.0061, df1 = 6, df2 = 618, p-value = 0.4202
alternative hypothesis: unstability
BP LM-test
LM-test pro efekty pro okrsky:
chisq = 933.6709, df = 1, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: significant effects
LM-test pro efekty pro roky:
chisq = 0.0881, df = 1, p-value = 0.7666
alternative hypothesis: significant effects
=⇒ V datech jsou pouze individuální efekty pro okrsky, časové efekty nikoli.
Panelové dáta
Příklady
Aerolinky
Kriminalita - model s náhodnými efekty
Oneway (individual) effect Random Effect Model
(Swamy-Arora’s transformation)
Effects:
var std.dev share
idiosyncratic 0.021557 0.146822 0.1935
individual
0.089870 0.299783 0.8065
theta: 0.81798
Coefficients :
(Intercept)
log(prbarr)
log(prbconv)
log(prbpris)
log(avgsen)
log(polpc)
-1.929549
0.177325 -10.8814 < 2.2e-16 ***
-0.448619
0.032643 -13.7433 < 2.2e-16 ***
-0.346943
0.021446 -16.1776 < 2.2e-16 ***
-0.187747
0.034809 -5.3936 6.905e-08 ***
0.027675
0.027494
1.0066
0.3141
0.418495
0.026990 15.5058 < 2.2e-16 ***
Panelové dáta
Příklady
Aerolinky
Kriminalita - modely s fixními efekty - testy
Porovnání modelů
Model
OLS
Fixní efekty
pro okrsky
Fixní efekty
pro roky
Náhodné efekty
β1
-2.2069
(0.0238)
-1.9295
(0.1772)
β2
-0.7215
(0.0367)
-0.3835
(0.0334)
-0.7194
(0.0367)
-0.4486
(0.0326)
β3
-0.5493
(0.0262)
-0.3060
(0.0218)
-0.5456
(0.0263)
-0.3469
(0.0214)
β4
0.2379
(0.0664)
-0.1955
(0.0333)
0.2475
(0.0672)
-0.1877
(0.0348)
β5
-0.0651
(0.0553)
0.0357
(0.0261)
-0.0867
(0.0579)
0.0276
(0.0274)
β6
0.3625
(0.0299)
0.4137
(0.0274)
0.3659
(0.0300)
0.4184
(0.0269)
σ2 = 0.1468
σu2 = 0.2997
Hausmanův test
Hausman Test
data:log(crmrte) ~ log(prbarr) + log(prbconv) + log(prbpris) + log(avgsen) +log(polpc)
chisq = 179.2846, df = 5, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: one model is inconsistent
=⇒Model s náhodnými efekty není vhodné použít.
=⇒Ideální je model s fixními efekty pro jednotlivé okrsky.
Panelové dáta
Příklady
Aerolinky
Zdroje
[1] Baltagi, B. H. (2005): Econometric Analysis of Panel Data.
John Wiley & Sons Ltd, Chichester.
[2] Cipra T. (2008): Finanční ekonometrie.
Ekopress, Praha.
[3] Greene, W. H. (2002): Econometric Analysis.
Macmillam Press, New York.
[4] Wooldridge, J. M. (2001): Econometric Analysis of Cross Section
and Panel Data. MIT Press, Cambridge, Massachusetts.
Prezentáciu možné stiahnut’ na:
www.matfyz.cz/pavel.suva
www.petra.burdejova.matfyz.cz

Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s príklady)

Transkript

Podobné dokumenty

Efekty - Audified

behringer - Audiopro sro

itinerář výpravy , trasy přechodu , mapy, navigace, jízdní řády

fólie B

masurare

SA ZK - ÚM FSI VUT

Pareti termo

Skripta

Dve aplikace bayesovsky´ch sıtı