PDF z 25. 9. 2015

Lineárnı́ algebra v kombinatorice1
Jan Bok
Pavel Dvořák
Jan Horáček
Radek Hušek
Karel Král
Ladislav Láska
Honza Musı́lek
Stanislava Tlustá
Martina Vaváčková
Tomáš Gavenčiak (ed.)
25. zářı́ 2015
1 Tyto
poznámky k predmětu Lineárnı́ algebra v kombinatorice“ na MFF UK jsou roz”
pracované a mohou být nekompletnı́. Budete-li se chtı́t do jejich tvorby zapojit, ozvěte se na
[email protected].
Obsah
1 Lineárnı́ nezávislost
1.1 Sudo-licho města a skorodisjunktnı́ systémy podmnožin . . . . . . . . . . .
1.2 Dvouvzdálenostnı́ množiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Fisherova nerovnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
4
2 Skalárnı́ součin
2.1 Ortogonálnı́ doplněk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Sudo-sudo města . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Eulerovské a úplné bipartitnı́ podgrafy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
6
6
3 Shannonova kapacita a Lovászova ϑ funkce
3.1 Shannonova kapacita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Funkčnı́ reprezentace grafu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
12
4 Vlastnı́ čı́sla grafu
4.1 Vlastnı́ čı́sla matic . . . . . . .
4.2 Mooreovy grafy . . . . . . . . .
4.3 Silně regulárnı́ grafy . . . . . .
4.4 Rayleighův princip a proplétánı́
.
.
.
.
14
14
16
18
22
5 Náhodné procházky
5.1 Markovovské řetězce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Stabilnı́ distribuce a konvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
24
26
6 Expandéry
6.1 Expanze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Mixing lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Vzdálenostnı́ mocniny a zig-zag součin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
26
27
28
7 Perfektnı́ kódy
7.1 Samoopravné kódy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Lloydova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Vzdálenostně regulárnı́ grafy . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Charakteristické polynomy . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Lloydova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Vzdálenostně regulárnı́ grafy . . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Reprezentace vzdálenostně regulárnı́ch grafů polynomy
7.8 Charakteristické polynomy . . . . . . . . . . . . . . . .
7.9 Důkaz Lloydovy věty . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.10 Charakterizace perfektnı́ch kódů . . . . . . . . . . . . .
28
28
29
30
31
32
32
32
34
36
38
.
.
.
.
.
.
.
.
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
Lineárnı́ nezávislost
Definice
v1 , . . . , vn jsou lineárně nezávislé, jestliže neexistuje netriviálnı́ řešenı́
PVektory
n
rovnice i=1 αi vi = 0.
1.1
Sudo-licho města a skorodisjunktnı́ systémy podmnožin
Definice Bud’ X n-prvková množina a A1 , . . . , Am systém jejı́ch podmnožin takový, že
Ai 6= Aj pro i 6= j. Úloha A-B město se ptá, jak velké může být m, je-li |Ai | ∼ B a
|Ai ∩ Aj | ∼ A pro všechna i, j = 1, . . . , m, i 6= j.
V přı́padě sudo-licho města tedy máme omezenı́ na liché velikosti a sudé průniky.
Věta Pro sudo-licho město platı́ m ≤ n.
Důkaz Podmnožinu množiny X ztotožněme s jejı́m charakteristickým vektorem délky n a
označme A matici o rozměrech m × n, která má v i-tém řádku vektor ATi . Platı́
(
1, je-li i = j,
ATi Aj mod 2 =
(1)
0, je-li i 6= j,
tedy nad GF(2) máme

AT1
 AT 
 2
AAT =  ..  · A1 , A2 , . . . , Am = I,
 . 

(2)
ATm
speciálně rank(AAT ) = m. Jelikož každý sloupec matice AAT je lineárnı́ kombinacı́ sloupců
matice A, je rank(AAT ) ≤ rank(A) ≤ n. Tedy m ≤ n.
Věta Necht’ pro A1 , . . . , Am ⊆ X platı́ |Ai ∩ Aj | = 1 a Ai 6= Aj , i 6= j. Potom m ≤ n.
Důkaz Stejně jako v předchozı́m důkazu označme A matici charakteristických vektorů a
podı́vejme se na součin AAT , tentokrát však nad Q:


a1


..
AAT = 
(3)
 , kde ai = |Ai |.
.
am
1
1
Dokážeme-li, že tato matice je regulárnı́, zı́skáme kýženou nerovnost m ≤ n.
Všimněme si, že pro všechna i je ai ≥ 1, přičemž rovnost nastává nejvýše pro jedno
z nich. Můžeme tedy předpokládat, že pro i ≥ 2 platı́ ai ≥ a1 ≥ 1 (tedy ai ≥ 2). Odečtenı́m
prvnı́ho řádku od všech ostatnı́ch zı́skáme matici


a1
1
1
...
1



 1 − a1 a2 − a1



,
a3 − a1
B =  1 − a1
(4)

 ..

...
 .

0
1 − a1
0
am − a1
2
jejı́ž determinant spočteme z definice jako
det(B) = a1 ·
m
m Y
m
Y
X
(ai − a1 ) − (1 − a1 ) ·
(aj − a1 ).
i=2
(5)
i=2 j=2
j6=i
Protože 1 − a1 ≤ 0 a pro i ≥ 2 je ai − a1 > 0, dostáváme det(B) > 0. Tedy B je regulárnı́.
Přičtenı́ prvnı́ho řádku k ostatnı́m na regularitě zřejmě nic nezměnı́, a proto je i AAT
regulárnı́, což jsme chtěli dokázat.
Soubor podmnožin z předchozı́ věty se nazývá skorodisjunktnı́ systém podmnožin. Sudolicho města a skorodisjunktnı́ systémy podmnožin nynı́ využijeme ke konstrukci dolnı́ho
odhadu Ramseyova čı́sla.
Věta (Ramsey) Pro každé n ∈ N existuje N ∈ N takové, že každý graf G na aspoň N
vrcholech splňuje ω(G) ≥ n nebo α(G) ≥ n.
Vı́me, že R2 (n) = Nmin ≤ 2n−2
. Ukážeme nerovnost R2 (n) ≥ n−1
.
n−1
3
Věta (Dolnı́ odhad Ramseyova čı́sla) Existuje graf na n−1
vrcholech, který má kliku i
3
nezávislou množinu velikosti nejvýše n − 1.
Důkaz Bud’ X množina, |X| = n − 1. Sestrojı́me graf
X
G= V =
, E = {uv; |u ∩ v| = 1, u, v ∈ V } .
(6)
3
Klika v G je skorodisjunktnı́ systém podmnožin X, tedy ω(G) ≤ |X| = n − 1. Vrcholy
jsou nezávislé, pokud |a ∩ b| ∈ {0, 2}, tedy nezávislá množina v G je sudo-licho město a
α(G) ≤ |X| = n − 1.
1.2
Dvouvzdálenostnı́ množiny
Věta Necht’ a, b ∈ R+ a P1 , P2 , . . . , Pm jsou body v Rn takové, že platı́ |Pi Pj | ∈ {a, b},
i 6= j. Pak m ≤ (n+1)(n+4)
.
2
Důkaz Pro každé Pi definujme polynom fi : Rn → R předpisem
fi (x) = (kPi − xk2 − a2 )(kPi − xk2 − b2 ).
(7)
(
a2 b2 , pokud i = j,
fi (Pj ) =
0
jinak,
(8)
Platı́
a pro každé j = 1, . . . , m je
m
X
αi fi (Pj ) = αj a2 b2 = 0,
i=1
3
právě když αj = 0.
(9)
Polynomy f1 , . . . , fm jsou tedy lineárně nezávislé a dimhf1 , . . . , fm i = m.
Je-li x = (x1 , . . . , xn ) a Pi = (pi1 , . . . , pin ), můžeme fi rozepsat jako
fi (x) = (x1 − pi1 )2 + · · · + (xn − pin )2 − a2 (x1 − pi1 )2 + · · · + (xn − pin )2 − b2 . (10)
|P
{z
}
P
P
n
j=1
x2j −2
n
j=1
pij xj +
n
j=1
p2ij
Generátory prostoru hf1 , . . . , fm i jsou tedy také polynomy (x21 +· · ·+x2n )2 , (x21 +· · ·+x2n )xi ,
x2i , xi xj , xi a 1. Těchto polynomů je celkem
n
(n + 1)(n + 4)
1+n+n+
+n+1=
,
(11)
2
2
tedy m = dimhf1 , . . . , fm i ≤ (n+1)(n+4)
.
2
Množina {P1 , . . . , Pm } z předchozı́ věty se nazývá dvouvzdálenostnı́ množina.
Věta Necht’ {P1 , . . . , Pm } je dvouvzdálenostnı́ množina v Rn taková, že všechna Pi ležı́ na
jedné sféře. Pak platı́
n(n + 1)
n(n + 3)
≤ mmax ≤
.
2
2
(12)
Důkaz Nejprve ukážeme hornı́ odhad. Definujme fi stejně jako v důkazu předchozı́ věty.
Opět platı́ dimhf1 , . . . , fm i = m, ale za generujı́cı́ polynomy stačı́ vzı́t x2i , xi xj a xi , nebot’
na sféře je x21 + · · · + x2n konstantnı́. Generujı́cı́ch polynomů je n + n2 + n = n(n+3)
, tedy
2
n(n+3)
m≤ 2 .
Nynı́ ukážeme vhodnou konstrukcı́ dolnı́ odhad. Vezmeme ty body v Rn+1 , které majı́
dvě souřadnice jedničkové a všechny ostatnı́ nulové. Vzdálenost dvou bodů s jedničkami
na
√
různých pozicı́ch je 2 a vzdálenost dvou bodů s jednou jedničkou společnou je 2. Skutečně
se tedy jedná o dvouvzdálenostnı́ množinu.
Pro všechna Pi platı́
n+1
X
p2ij
=2 a
j=1
n+1
X
pij = 2,
(13)
j=1
tedy body P1 , . . . , Pm (m = n+1
= n(n+1)
) ležı́ na jedné sféře v Rn+1 a zároveň v jedné
2
2
nadrovině dimenze n. Průnikem této sféry a této nadroviny je hledaná sféra v Rn .
1.3
Fisherova nerovnost
Věta (Fisherova nerovnost) Mějme hranově disjunktnı́ rozklad úplného grafu Kn na m
úplných bipartitnı́ch grafů. Pak m ≥ n − 1.
Důkaz Označme B1 , . . . , Bm úplné bipartitnı́ grafy v rozkladu Kn . Dále označme Xi , Yi
partity grafu Bi a Ai = ((Ai )jk ) matici o rozměrech n × n indexovanou vrcholy grafu Kn
a definovanou následovně:
(
1, pokud j ∈ Xi a k ∈ Yi ,
(Ai )jk =
(14)
0 jinak.
4
Nulové řádky matice Ai odpovı́dajı́ vrcholům grafu Kn mimo partitu Xi , zatı́mco jedničky
v nenulových řádcı́ch odpovı́dajı́ sousedům vrcholů z Xi . Protože Bi je úplný bipartitnı́
graf, majı́ všechny vrcholy z Xi stejné sousedy. Všechny nenulové řádky jsou tedy stejné a
matice Ai má hodnost 1.
Položme A = A1 + . . . + Am . Protože každá hrana grafu Kn náležı́ právě jednomu Bi ,
má matice A = (ajk ) jedničku právě na jednom z mı́st ajk nebo akj . Na diagonále A jsou
samé nuly. Z předchozı́ch pozorovánı́ vyplývá, že A + AT je matice incidence Kn , tedy
A + AT = J − I, kde J je matice samých jedniček.
Ukážeme, že rank(A) ≥ n − 1. Pro spor předpokládejme, že rank(A) ≤ n − 2. Přidánı́m
řádku samých jedniček k matici A vytvořı́me matici A0 , pro kterou platı́ rank(A0 ) ≤ n − 1.
Protože A0 nemá plnou hodnost, existuje netriviálnı́ lineárnı́ kombinace jejı́ch sloupců, která
dává nulový vektor. Necht’ jsou jejı́ koeficienty zaznamenány ve vektoru x = (x1 , . . . , xn )T .
Tedy P
A0 x = 0 a rovněž Ax = 0. Protože v poslednı́m řádku matice A0 jsou samé jedničky,
platı́ ni=1 1 · xi = 0, a tedy i Jx = 0. Počı́tejme dvěma způsoby:
xT (A + AT )x = xT Ax + xT AT x = xT 0 + 0T x = 0,
n
X
T
T
T
T
T
T
T
x (A + A )x = x (J − I)x = x Jx − x Ix = x 0 − x x = − x2i < 0,
(15)
(16)
i=1
což je spor. Tedy rank(A) ≥ n − 1.
Zároveň platı́, že rank(A) ≤ rank(A1 ) + · · · + rank(Am ), protože prostor řádkových vektorů matice A je generován řádkovými vektory matic A1 , . . . , Am . To nám dává nerovnost
n − 1 ≤ rank(A) ≤ m.
2
Skalárnı́ součin
Definice Skalárnı́m součinem vektorů
x = (x1 , . . . , xn )T a y = (y1 , . .P
. , yn )T z vektorového
P
n
prostoru Fn rozumı́me čı́slo hx, yi = i=1 xi yi ∈ F (přı́padně hx, yi = ni=1 xi yi pro F = C).
2.1
Ortogonálnı́ doplněk
Definice Necht’ M ⊆ Fn . Množinu M ⊥ = {x | ∀a ∈ M : hx, ai = 0} nazveme ortogonálnı́m
doplňkem M .
Definice Součet podprostorů hM i a hN i (symbol hXi značı́ lineárnı́ obal X) definujeme
jako
hM i + hN i = {u + v | u ∈ hM i, v ∈ hN i} = hM ∪ N i.
Pozorovánı́ Pro M, N ⊆ Fn platı́:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
dim M ⊥ = n − dimhM i,
⊥
(M ⊥ ) = hM i,
(hM i ∩ hN i)⊥ = M ⊥ + N ⊥ ,
(hM i + hN i)⊥ = M ⊥ ∩ N ⊥ ,
hM i + M ⊥ = Fn .
5
(17)
Věta (Dimenze spojenı́ a průniku) Pro podprostory U, V ⊆ Fn platı́
dim(U + V ) + dim(U ∩ V ) = dim U + dim V.
(18)
Všimněme si, že pro tři podprostory už předchozı́ pozorovánı́ neplatı́. Máme-li napřı́klad
v rovině tři přı́mky p, q, r procházejı́cı́ počátkem, pak dim(p + q + r) = 2, zatı́mco dim p +
dim q + dim r − dim(p ∩ q) − dim(p ∩ r) − dim(q ∩ r) + dim(p ∩ q ∩ r) = 3.
Důsledek Necht’ U, V ⊆ Fn jsou podprostory, pro které platı́ dim U + dim V > n. Pak
dim U ∩ V ≥ 1, tedy existuje u 6= 0, u ∈ U ∩ V .
Důsledek V prostorech, ve kterých je skalárnı́ součin opravdu skalárnı́m součinem, tedy
hx, xi =
6 0 pro x 6= 0, platı́ navı́c U ∩ U ⊥ = {0}.
Napřı́klad v GF(2)2 je h(1, 1), (1, 1)i = 0, tedy (1, 1) ∈ h(1, 1)i ∩ h(1, 1)i⊥ .
2.2
Sudo-sudo města
V následujı́cı́ větě zachováme značenı́ z kapitoly o lineárnı́ nezávislosti.
Věta Pro sudo-sudo město platı́ mmax = 2bn/2c .
Důkaz Nejprve sestrojı́me sudo-sudo město o velikosti m = b n2 c. Rozdělı́me prvky množiny
X do dvojic (pokud jeden přebývá, odložı́me ho stranou a dále se jı́m nebudeme zabývat) a
za A1 , . . . , Am vezmeme všechny neprázdné podmnožiny množiny X, které obsahujı́ z každé
dvojice bud’ oba prvky, nebo žádný. Takových podmnožin je 2bn/2c a evidentně se jedná
o sudo-sudo město.
Nynı́ ukážeme nerovnost m ≤ b n2 c. Necht’ M = {A1 , A2 , . . . , Am } je co do inkluze
maximálnı́ sudo-sudo město. Ztotožnı́me-li množiny Ai s jejich charakteristickými vektory,
pak pro všechna i, j ∈ {1, . . . , n} je hAi , Aj i mod 2 = 0. Tedy M je vektorový prostor nad
GF(2), nebot’ platı́:
∅ ∈ M,
∀u ∈ M, ∀c ∈ GF(2) : c · u ∈ M,
∀x, ∀u, v ∈ M : hx, u + vi = hx, ui + hx, vi = 0 + 0 = 0,
∀u, v ∈ M : hu + v, u + vi = hu, ui + 2hu, vi + hv, vi = 0 + 0 + 0 = 0.
Pokud x ∈ M , pak také x ∈ M ⊥ , a tedy M ⊆ M ⊥ . To znamená, že
dim M ≤ dim M ⊥ = n − dim M,
ekvivalentně dim M ≤
jnk
2
.
(19)
Jelikož M ⊆ GF(2)n a dim M ≤ b n2 c, je |M | = m ≤ 2bn/2c .
2.3
Eulerovské a úplné bipartitnı́ podgrafy
Definice Necht’ G = (V, E) je souvislý graf. Spanning podgraf (česky též napnutý“ pod”
graf) grafu G je graf obsahujı́cı́ všechny vrcholy a některé hrany G.
Spanning podgraf ztotožnı́me s jeho charakteristickým vektorem délky |E|. Sčı́tánı́
spanning podgrafů nad GF(2) je realizováno symetrickou diferencı́.
6
Tvrzenı́ Množina VG všech spanning podgrafů G je vektorový prostor nad GF(2).
Definice Eulerovský spanning podgraf grafu G je takový spanning podgraf, který má
všechny stupně sudé.
Množinu všech eulerovských spanning podgrafů G označme εG . Součtem dvou eulerovských podgrafů je zřejmě opět eulerovský podgraf, tedy εG je podprostorem VG .
Lemma Platı́ dim εG = |E| − n + 1, kde n = |V |.
Důkaz Necht’ T je libovolná kostra grafu G. Pro každou hranu e ∈ E(G)\E(T ) existuje
právě jedna elementárnı́ kružnice Ke určená touto hranou. Množina
KT = {Ke | e ∈ E(G)\E(T )}
(20)
je lineárně nezávislá, nebot’ pro e ∈ E(G)\E(T ) má kružnice Ke jako jediná nenulovou
e-tou souřadnici.
Pro L ∈ εG položme
X
L0 =
Ke .
(21)
e∈E(L)\E(T )
Graf L+L0 neobsahuje žádné hrany mimo kostru a současně je součtem eulerovských grafů,
tedy je nutně eulerovský. Jediným eulerovským podgrafem kostry je 0, což znamená, že
L + L0 = 0 a L = L0 . Tedy KT tvořı́ bázi εG a platı́ dim εG = |Kt | = |E| − n + 1.
Definice Úplný bipartitnı́ spanning podgraf grafu G je řez v G.
Množinu všech úplných bipartitnı́ch spanning podgrafů G označme βG .
7
Lemma Množina βG tvořı́ podprostor VG , jehož množinou generátorů jsou všechny hvězdy
v G. Platı́ dim βG = n − 1.
Důkaz Každý úplný bipartitnı́ spanning podgraf je součtem hvězd ze všech vrcholů jedné
z jeho partit. K nahlédnutı́, že součet dvou úplných bipartitnı́ch spanning podgrafů je opět
úplný bipartitnı́ spanning podgraf, stačı́ oba grafy rozepsat na součet hvězd.
Všimněme si, že součet hvězd ze všech vrcholů G je 0, ovšem libovolných n − 1 hvězd už
tvořı́ lineárně nezávislou množinu. Netriviálnı́ lineárnı́ kombinace n − 1 hvězd s koeficienty
v GF(2) je totiž jen součet několika (aspoň jedné a nejvýše n − 1) z nich. Ten nenı́ nikdy
nulový, nebot’ v G existuje hrana, pro niž se v lineárnı́ kombinaci vyskytuje hvězda z právě
jednoho z jejı́ch koncových vrcholů. Tedy dim βG = n − 1.
Věta Platı́ ε⊥
G = βG .
Důkaz Bud’ H ∈ εG , u ∈ V (G) a Su hvězda z vrcholu u. Protože
hH, Su i = degH u mod 2 = 0,
platı́ hH, Bi = 0 pro všechna B ∈ βG , a tedy H ∈ βG⊥ , což dává inkluzi εG ⊆ βG⊥ .
Naopak, každý spanning podgraf H, pro který je hH, Su i = 0, má nutně všechny stupně
sudé, a je tedy eulerovský. Proto je rovněž βG⊥ ⊆ εG a věta je dokázána.
Věta Je-li M podprostorem GF(2)n , pak (1, . . . , 1) ∈ M + M ⊥ .
Důkaz Je-li dim(M ∩ M ⊥ ) = 0, pak dim(M + M ⊥ ) = n, tedy zřejmě platı́ (1, . . . , 1) ∈ M .
Jestliže dim(M ∩ M ⊥ ) > 0, pak existuje x = (x1 , . . . , xn ) ∈ M ∩ M ⊥ , x 6= 0. Dále
hx, (1, . . . , 1)i =
n
X
xi =
i=1
n
X
x2i = hx, xi = 0,
(22)
i=1
tedy (1, . . . , 1)⊥x a nutně platı́ (1, . . . , 1) ∈ M + M ⊥ .
Důsledek Každý souvislý graf lze zapsat jako symetrickou diferenci eulerovského podgrafu
a hranového řezu.
Důkaz V prostoru VG je podle předchozı́ věty G = (1, . . . , 1) ∈ εG + βG , tedy existujı́ grafy
H ∈ εG a B ∈ βG takové, že H + B = G.
3
3.1
Shannonova kapacita a Lovászova ϑ funkce
Shannonova kapacita
Definice Domečkový součin grafů G a H je graf G H takový, že:
V (G H) = {(u, v) | u ∈ V (G), v ∈ V (H)}


 u1 = u2 , v1 ∼ v2 (sousedı́)
E(G H) = {((u1 , v1 ), (u2 , v2 ))}
v1 = v2 , u1 ∼ u2


v1 ∼ v2 , u1 ∼ u2
Motivacı́ ke zkoumánı́ Shannonovy kapacity grafu může být posı́lánı́ zpráv. Potřebujemeli kód, který opravı́ jednu chybu, můžeme na C5 najı́t pouze dvě kódová slova (α(C5 ) = 2).
8
Naproti tomu, α(C5 C5 ) = 5 > 22 . Posı́lánı́ zpráv ve většı́ch blocı́ch tedy může být
efektivnějšı́.
Definice Shannonova kapacita grafu:
Θ(G) = sup(α(Gi ))1/i
i≥1
Lemma Θ(G H) ≥ Θ(G) · Θ(H)
Důkaz Vezměme si maximálnı́ nezávislou množinu v G a maximálnı́ nezávislou množinu
v H. Z vlastnostı́ domečkového součinu plyne, že mezi vrcholy G H zkombinovanými
z těchto dvou nezávislých množin nepovede žádná hrana a tudı́ž budou tvořit nezávislou
množinu velikosti alespoň α(G) · α(H).
Pozorovánı́ Θ(Gi ) ≥ Θ(G)i
Důkaz Postupnou iteracı́ lemmatu.
Definice Ortonormálnı́ reprezentace grafu G je funkce ρ : V (G) → Rd , kρ(v)k = 1. Pro
každé (u, v) 6∈ E(G) platı́ ρ(u)⊥ρ(v), neboli hρ(u), ρ(v)i = 0.
Definice Lovászova theta funkce:
1
2
v∈V (G) hρ(v), e1 i
ϑ(G, ρ) = max
Vezmeme si reprezentaci grafu C5 ta se skládá z pěti vektorů v1 , . . . , v5 a jednoho
speciálnı́ho vektoru e1 , vůči kterému budeme ostatnı́ vztahovat. Protože se jedná o ortonormálnı́ reprezentaci, musı́ každé dva nesousednı́ vrcholy z C5 svı́rat pravý úhel. Představı́me
si paraplı́čko“, kde vektor e1 tvořı́ držadlo a vektory v1 , . . . , v5 jsou okolo něj a tvořı́ dráty
”
deštnı́ku. Představme si dále, že deštnı́k roztahujeme, dokud nebudou každé dva nesousednı́ dráty svı́rat pravý úhel. Pak můžeme spočı́st úhel mezi dráty a držadlem, který vyjde
1
hρ(v), e1 i = 5− 4 . Z toho:
√
ϑ(C5 , ρ) = 5
e1
Definice ϑ(G) = min ϑ(G, ρ)
ρ ONR
√
Z toho plyne ϑ(C5 ) ≤ 5. Kdybychom ještě znali vztah mezi Θ(G) a ϑ(G), měli bychom
vyhráno. Tuto charakterizaci přinášı́ následujı́cı́ věta.
Věta Θ(G) ≤ ϑ(G)
Důkaz K důkazu věty budeme potřebovat dvě pomocná lemmata.
Lemma (O vztahu ϑ a α) Necht’ H je graf a ρ nějaká jeho ortonormálnı́ reprezentace. Pak
α(H) ≤ ϑ(H, ρ).
9
Důkaz Necht’ A je nějaká nezávislá množina H. Zřejmě vektory ρ(v) pro v ∈ A tvořı́
ortonormálnı́ systém vektorů. Přáli bychom si odhadnout, jak velký bude skalárnı́ součin
hρ(v), e1 i2 , z čehož nám vztah vyplyne.
Necht’ u je libovolný vektor a bi jsou vektory ortonormálnı́ báze. Chceme-li vyjádřit
vektor u proti bázi bi , zı́skáme i-tou souřadnici skalárnı́m součinem hbi , ui (můžeme si to
představovat tak, že z vektorů bi složı́me matici přechodu). Použijeme-li Pythagorovu větu,
zı́skáme:
2
||u|| =
d
X
hbi , ui2
(23)
i=1
Pokud aplikujeme tento poznatek na vektory ρ(v) rozšı́řené na bázi (což jistě lze), a vektor
e1 , rovnost se změnı́ na nerovnost (nezajı́majı́ nás přidané vektory) a s vědomı́m, že všechny
vektory máme ortonormálnı́, zı́skáme:
X
1 = ||u||2 ≥
hρ(v), e1 i2
(24)
v∈A
Tedy existuje alespoň jeden vrchol w, že hρ(w), e1 i2 ≤ 1/|A|.
Stačı́ totiž vzı́t takový vrchol w ∈ A, že hρ(w), e1 i2 je minimálnı́ a dostáváme:
X
hρ(v), e1 i2 ≥ |A| · hρ(w), e1 i2
1≥
(25)
v∈A
Dosadı́me-li do zlomku z definice ϑ, zı́skáme odhad α(G) = |A| ≤ ϑ(H, ρ), což jsme
chtěli dokázat.
Lemma (O součinu ϑ) Necht’ H1 a H2 jsou grafy, a ρi jejich ortonormálnı́ reprezentace.
Potom existuje ortonormálnı́ reprezentace ρ silného součinu H1 H2 , pro niž platı́ ϑ(H1 H2 , ρ) = ϑ(H1 , ρ1 ) · ϑ(H2 , ρ2 ).
Důkaz Zadefinujme si funkci ρ pro vrcholy vi následovně:
ρ(v) = ρ1 (v1 ) ⊗ ρ2 (v2 )
(26)
Kde operace ⊗ je tenzorový součin vektorů, tedy pro x ∈ Rn a y ∈ Rm je výsledek vektor
z ∈ Rmn , který obsahuje všechny součiny xi yi .
Přı́klad Mějme vektory (a1 , a2 ) a b1 , b2 ). Potom:
(a1 , a2 ) ⊗ b1 , b2 ) = (a1 b1 , a1 b2 , a2 b1 , a2 b2 ).
(27)
Zbývá pouze ověřit, že dělá správnou věc. Podı́vejme se tedy nejdřı́ve na skalárnı́ součin:
hx ⊗ y, x0 ⊗ y 0 i = hx, x0 i · hy, y 0 i
10
(28)
Pokud levou a pravou stranu zvlášt’ rozepı́šeme, je vidět, že roznásobenı́m sum napravo
zı́skáme sumu nalevo a rovnost tedy platı́:
!
!
X
X
X
(29)
xi x0i
yj yj0
(xi yj ) · (x0i yj0 ) =
i
ij
j
Zde již jednoduchou úvahou zjistı́me, že ρ je stále ortonormálnı́ reprezentace: zjevně pro
kolmé vektory jsou jejich tenzorové součiny opět kolmé, a všechny vektory si zachovajı́
délku 1. Nynı́ se stačı́ podı́vat, co se stane s ϑ funkcı́, rozepišme si ji ted z definice:
ϑ(H1 H2 , ρ) =
1
2
v∈V (H1 H2 ) hρ(v), e1 i
max
1
2
v∈V (H1 H2 ) hρ1 (v1 ) ⊗ ρ2 (v2 ), e11 ⊗ e12 i
1
=
max
2
2
v∈V (H1 H2 ) hρ1 (v1 ), e11 i · hρ2 (v2 ), e12 i
1
1
= max
2 · max
2
v1 ∈V (H1 ) hρ1 (v1 ), e11 i
v2 ∈V (H2 ) hρ2 (v2 ), e12 i
=
max
= ϑ(H1 , ρ1 ) · ϑ(H2 , ρ2 )
A lemma je dokázáno.
Důkaz (Věty o vztahu Θ a ϑ)
α(Gi ) ≤ ϑ(Gi ) ≤ ϑ(G)i
Prvnı́ nerovnost plyne z lemmatu o vztahu ϑ a α. Druhá plyne z opakovaného použitı́
lemmatu o součinu ϑ.
p
Lemma (O dvojité kapacitě) Θ(G + G) ≥ 2|G|
Důkaz Ukážeme, že α((G + G)2 ) ≥ 2|G|.
VG+G = {v1 , ..., vn , v10 , ..., vn0 }
Vezeme graf (G + G)2 a najdeme v něm nezávislou množinu A:
(
)
(v1 , v10 ), (v2 , v20 ), . . .
A=
(v10 , v1 ), (v20 , v2 ), . . .
Velikost A je zřejmě 2|G| a z definice Shannonovy kapacity dostaneme:
p
Θ(G + G) ≥ 2|G|
11
3.2
Funkčnı́ reprezentace grafu
Definice Necht’ G je graf, X množina, F těleso a F : X → F systém funkcı́. Pak pro vrchol
v mějme cv ∈ X a fv ∈ F, že fv : X → F a platı́:
1. fv (cv ) 6= 0
2. uv ∈
/ EG ⇒ fu (cv ) = 0
Jinými slovy, pro funkci fa vrcholu a platı́, že vrchol dostane vždy nenulový prvek a jeho
nesousedi vždy nulový. O sousedech nehovořı́me nic.
Definice Dimenzi F definujeme jako dim L({fv }), tedy chápeme funkce jako vektorový
prostor.
Lemma (O vztahu α a dim F) G má reprezentaci F, pak α(G) ≤ dim F.
Důkaz Necht’ A je nezávislá v G. Pak {fa }a∈A je lineárně nezávislá, stejně jako {ca }a∈A .
Vyhodnotı́m reprezentujı́cı́ funkci v bodech A.


f1 (c1 ) f1 (c2 ) . . .


(30)
M = f2 (c1 ) f2 (c2 ) . . .
..
.
Matice M bude mı́t na diagonále nenuly a všude jinde nuly. Tı́m pádem jsou jejı́ řádky
lineárně nezávislé a jejı́ dimenze je |A|. Navı́c zjevně dim M ≤ dim F.
Lemma (O dimenzi součinu reprezentacı́) Pokud G1 má reprezentaci F1 , G2 reprezentaci
F2 nad stejným tělesem, pak G = G1 G2 má reprezentaci F,pro kterou platı́ dim F ≤
dim F1 · dim F2 .
Důkaz Definujeme:
X = X 1 × X2
c(v1 ,v2 ) = (cv1 , cv2 )
f(v1 ,v2 ) ((x1 , x2 )) = fv1 (x1 ) · fv2 (x2 )
Ověřı́me, že výše uvedené je funkčnı́ reprezentace a vezmeme si B1 bázi F1 a B2 bázi
F2 . Pak {b1 ⊗ b2 }b1 ∈B1 ,b2 ∈B2 generuje celý prostor F a tudı́ž:
dim F ≤ |B1 | · |B2 | = dim F1 · dim F2
Lemma (O vztahu Θ a dim F) G má reprezentaci F, pak Θ(G) ≤ dim F.
Důkaz
Θ(G) = sup α(Gi )1/i ≤ sup(dim f.r.(Gi ))1/i ≤ sup dim f.r.(G) = dim f.r.(G)
i
i
i
Prvnı́ nerovnost plyne z lemmatu o vztahu α a dim F, druhá z lemmatu o dimenzi
součinu reprezentacı́.
12
Věta Existuje G, H, že Θ(G + H) > Θ(G) + Θ(H)
Důkaz Zvolı́m G takový, že VG = S3 , S = {1, . . . , s} a EG = {(A, B) : |A ∩ B| = 1}.
Reprezentaci vytvořı́me nad tělesem F = Z2 , X = Zs2 :
cA = charakteristický vektor A
X
fA (x) =
xa
a∈A
Ověřı́me, že se jedná o funkčnı́ reprezentaci a všimneme si, že každá funkce fA je
kombinace třı́ funkcı́ bi (x) = xi , přičemž počet funkcı́ bi je s.
dim f.r.(G) ≤ s
⇒
Θ(G) ≤ s
Dále pro H = G zvolı́me reprezentaci pro F = R, X = Rs :
cA = charakteristický vektor A
X
fA (x) = (
xa ) − 1
a∈A
Opět ověřı́me, že se jedná o funkčnı́ reprezentaci.
dim f.r.(G) ≤ s + 1
⇒
Θ(G) ≤ s + 1
s s
Θ(G + G) ≥ 2
> 2s + 1 ≥ Θ(G) + Θ(G)
3
Prvnı́ nerovnost platı́ z lemmatu o dvojité kapacitě a ostrou nerovnost musı́me splnit,
aby věta platila. Zvolı́me si tedy s ≥ 16.
Definice Obecná poloha vektorů množiny Ň v Rd je taková, že libovolná podmnožina
velikosti ≤ d je lineárně nezávislá.
Definice Lokálně obecná poloha vektorů reprezentace v Rd na grafu G jsou takové vrcholy,
že ρ(N (v)) jsou lineárně nezávislé.
Věta Pro G s |G| = n jsou následujı́cı́ tvrzenı́ ekvivalentnı́:
1. G má ortogonálnı́ reprezentaci v Rd v obecné poloze.
2. G má ortogonálnı́ reprezentaci v Rd v lokálně obecné poloze.
3. G je (n − d)-souvislý.
13
4
4.1
Vlastnı́ čı́sla grafu
Vlastnı́ čı́sla matic
Definice Necht’ A je čtvercová matice. Potom pokud pro nějaké λ a x netriviálnı́ platı́, že
Ax = λx řı́káme, že λ je vlastnı́ čı́slo A a x je vlastnı́ vektor přı́slušı́cı́ k λ.
Definice Spektrum matice A je množina jejı́ch vlastnı́ch čı́sel. Značı́me Sp(A) = {λ1 , . . . , λn }.
Definice Podprostorem generovaným vlastnı́m čı́slem λ rozumı́me Vλ = {u|Au = λu}.
Geometrická násobnost λ je poté dimenze tohoto prostoru Vλ .
Tvrzenı́ Vλ je vektorový prostor.
Důkaz Stačı́ dokázat uzavřenost. Pro u, v ∈ Vλ počı́tejme:
A(u + v) = Au + Av = λu + λv = λ(u + v)
(31)
Tedy i u + v ∈ Vλ .
Tvrzenı́ Vlastnı́ čı́sla matice A lze vypočı́tat jako kořeny rovnice det(A − λ · E) = 0.
Důkaz Z definice počı́tejme:
Au = λu
Au − λu = ~0
(A − λ)u = ~0
det(A − λE) = 0
(32)
(33)
(34)
(35)
Přičemž v poslednı́m kroku využı́váme faktu, že pro součin netriviálnı́ho vektoru s maticı́ musı́ být matice singulárnı́, aby mohl vyjı́t nulový vektor a tudı́ž můžeme přejı́t k
determinantu.
Definice Polynomu PA (λ) = det(A − λ · E) řı́káme charakteristický polynom.
Definice Násobnosti kořene λ v polynomu PA řı́káme algebraická násobnost.
Věta Necht’ GN (λ) a AN (λ) značı́ geometrickou, resp. algebraickou násobnost λ. Potom
platı́:
a
GN (λ) ≥ 1 ⇔ λ ∈ Sp(A) ⇔ AN (λ) ≥ 1
GN (λ) ≤ AN (λ)
(36)
(37)
Důkaz (bez důkazu)
Definice Hermitovská transpozice matice A je matice A∗ , taková, že A∗ij = Aji .
Definice Matice A ∈ Cn×n je normálnı́, pokud AA∗ = A∗ A.
Věta Matice A má ortonormálnı́ bázi složenou z vlastnı́ch vektorů právě tehdy, když je A
normálnı́.
Důkaz
14
⇒“ Necht’ xi jsou vlastnı́ vektory přı́slušejı́cı́ vlastnı́m čı́slům λi tvořı́cı́ ortonormálnı́
”
bázi. Z ortonormality plyne, že XX ∗ = E, kde X má ve sloupcı́ch xi . Podı́vejme se
nynı́ jak vypadá matice X ∗ AX:
 



..
λ1
.




..
  . . . λi xi . . .  = 
X ∗ AX = 
x∗j
.
 (38)
 


..
λn
.
{z
}
{z
}|
|
0
0
=X ∗
=AX
Přičemž druhá matice vznikla ze vztahu Ax = λx, přičemž jsme vynásobili všechny
vektory naráz dı́ky tomu, že byly v matici. Poslednı́ rovnost plyne z pozorovánı́, že
na pozici ij nalezneme výraz x∗j λi xi = x∗j xi λi a protože vektory xl tvořı́ ortonormálnı́
bázi, jsou nula pokud je i 6= j a jedna jinak.
Nynı́ vı́me, že X ∗ AX = D, kde D je nějaká (konkrétnı́) diagonálnı́ matice. Nynı́ již
snadno vypočteme elementárnı́mi úpravami:
X ∗ AX = D ⇒ AX = XD ⇒ A = XDX ∗
∗ ∗
∗ ∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
A · A∗ = XD X
| {z· X} DX = A · A
| {z· X} D X = XDD X = XD DX = XD X
E
E
Přičemž jediná finta, kterou jsme použili je, že DD∗ = D∗ D, což je zřejmě pravda,
protože jsou to diagonálnı́ matice.
⇐“ TODO: gavento byl jen pochybny naznak
”
Věta Necht’ A, B ∈ Cn×n , A a B jsou normálnı́ a komutujı́, tedy AB = BA. Potom existuje
společná ortonormálnı́ báze složená z vlastnı́ch vektorů.
Důkaz Nejdřive dokážeme, že pokud je v vlastnı́ vektor B, pak i Av je vlastnı́ vektor B
(pokud Av 6= 0).
Mějme Bv = λv. Potom A(Bv) = A(λv) = λAv. Z komutativity plyne B(Av) = λ(Av).
Tedy máme, co jsme chtěli.
Nynı́ dokážeme, že A a B majı́ společný vlastnı́ vektor, tedy že existuje nenulové v a
skaláry λ, µ takové, že Av = λv a Bv = µv.
Necht’ je λ vlastnı́m čı́slem B a X přislušný prostor.
X = {x : Ax = λx}
(39)
Z předchozı́ho vidı́me, že A mapuje X na X. Tedy A má vlastnı́ vektor v X a z definice
X už plyne, že A a B majı́ společný vlatnı́ vektor.
Nynı́ už je vše připraveno. Najdeme jeden společný vlastnı́ vektor v1 , BÚNO je jednotkové normy. Nynı́ jako W označme všechny vektory kolmé na v1 . Jak už vı́me, A i B
mapujı́ W na W . Ve W opět najdeme společný vlastnı́ vektor (znormovaný) a označı́me
ho v2 . Mějme W 0 vektory kolmé na v1 i v2 . Opět můžeme celý postup opakovat. Takto
dostaneme hledanou ortonormálnı́ bázi.
15
Věta Necht’ A je hermitovská matice, tedy A = A∗ . Potom všechna jejı́ vlastnı́ čı́sla jsou
reálná.
Důkaz Vı́me, že existuje nějaké D diagonálnı́ s vlastnı́mi čı́sly na diagonále a X, že
X ∗ AX = D. Dále počı́táme:
D∗ = (X ∗ (AX))∗ = (AX)∗ X = X ∗ A∗ X = X ∗ AX = D
(40)
A komplexnı́ sdruženı́ tedy nesmı́ udělat žádnou operaci, tedy jsou vlastnı́ čı́sla reálná.
4.2
Mooreovy grafy
V této části využijeme znalostı́ o vlastnı́ch čı́slech k přiblı́ženı́ toho, jak mohou vypadat
regulárnı́ grafy bez krátkých cyklů.
Nejprve si ukažme kolik může mı́t takový r-regulárnı́ graf bez krátkých cyklů (troj- a
čtyřúhelnı́ků) vrcholů. Vezměme jeden vrchol. Ten má r sousedů, z nichž žádné dva spolu
nesousedı́ (vznikl by trojúhelnı́k). Každý z nich má r − 1 nových sousedů. Ti musı́ být
různı́ (vznikl by čtyřúhelnı́k).
1. vrchol
2. vrstva
r sousedů
3. vrstva
r(r-1) vrcholů
(41)
Dostáváme tedy odhad:
|V | ≥ 1 + r + r(r − 1) = r2 + 1
(42)
Definice Mooreův graf je takový r-regulárnı́ graf na r2 + 1 vrcholech, který neobsahuje
troj- a čtyřúhelnı́ky.
Mooreovy grafy jsou tedy nejmenšı́ možné regulárnı́ grafy bez krátkých cyklů. Podle
následujı́cı́ věty nenı́ však až na výjimky možno tohoto ideálu dosáhnout.
Věta Necht’ G je r-regulárnı́ Mooreův graf. Pak r ∈ {1, 2, 3, 7, 57}.
16
Poznámka
Pro r = 1 je hledaným grafem jedna hrana.
Pro r = 2 je to pětiúhelnı́k.
Pro r = 3 je to Petersenův graf (viz obrázek 41).
Pro r = 7 je to takzvaný Hoffman-Singletonův graf.
Pro r = 57 nenı́ zatı́m známo, zda lze takový graf skutečně sestrojit.
Důkaz Pomocı́ poznatků o vlastnı́ch čı́slech zı́skaných v předchozı́ části sestavı́me rovnici,
která nám přesně vymezı́, co musı́ r splňovat.
Matici souslednosti grafu G označme A. Jejı́ druhá mocnina zachycuje počet sledů
délky 2. Má tedy na diagonále stupeň (r). Ukážeme, že mimo diagonálu má oproti matici
A prohozené nuly a jedničky. Je-li uv ∈ E(G), pak mezi u a v nemůže existovat cesta délky
2 (vznikl by trojúhelnı́k). Pokud uv 6∈ E(G), tak se podı́váme na konstrukci na obrázku
41. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že u je 1. vrchol. Vidı́me, že existuje
cesta délky 2. Ta může být jen jedna, jinak by vznikl čtyřúhelnı́k.
Dostáváme tedy:
A + A2 = rE + (J − E),
(43)
kde E je jednotková matice a J je matice samých jedniček. Úpravou dostaneme polynomiálnı́ vztah
p(A) = A2 + A + (1 − r)E = J.
(44)
Dále platı́, že pro λ ∈ Sp(A) je p(λ) ∈ Sp(J). Spektrum J známe: obsahuje n = r2 + 1 s
násobnostı́ 1 a 0 s násobnostı́ n − 1.
Protože G je r-regulárnı́, tak je r také jeho vlastnı́m čı́slem. Dosazenı́m do p dostaneme:
p(r) = r2 + r + (1 − r) = r2 + 1 = n.
Nynı́ zbývá vyřešit přı́pad, kdy p(λ) = 0. Řešenı́ této kvadratické rovnice je
√
−1 ± 4r − 3
.
λ1,2 =
2
(45)
(46)
Násobnosti těchto kořenů označı́me m1 , m2 . Jejich součet je zřejmě roven n − 1 = r2 .
Využitı́m faktu, že stopa matice je suma vlastnı́ch čı́sel včetně násobnostı́, zı́skáme rovnici
0 = Tr(A) = r + m1 λ1 + m2 λ2 .
Jejı́ snadnou úpravou již zı́skáme hledanou podmı́nku pro r
√
2r − r2 + 4r − 3(m1 − m2 ) = 0
Řešenı́ rozdělı́me na dva přı́pady.
√
1. 4r − 3 6∈ Q: potom m1 = m2 a tedy r = 2.
17
(47)
(48)
2.
√
4r − 3 = s ∈ Q, což implikuje 1 s ∈ N. Substitucı́ 4r − 3 = s2 do rovnice 48 zı́skáme
−s4 + 2s2 + 16(m1 − m2 )s + 15 = 0.
(49)
Tudı́ž s|15. Pro jednotlivé hodnoty s ∈ {1, 3, 5, 15}, dostáváme r ∈ {1, 3, 7, 57}.
4.3
Silně regulárnı́ grafy
Dalšı́m typem regulárnı́ch grafů jsou silně regulárnı́ grafy.
Definice r-regulárnı́ graf G se nazývá silně regulárnı́, pokud existujı́ e, f ∈ N taková, že:
• každá hrana uv ∈ E(G) se vyskytuje právě v e trojúhelnı́cı́ch (tj. |N (u) ∩ N (v)| = e)
a zároveň
• každá nehrana uv 6∈ E(G) se vyskytuje právě v f třešničkách (tj. |N (u)∩N (v)| = f ).
Poznámka Abychom mohli zanedbat triviálnı́ přı́pady, dodáváme f > 0 a G 6= Kn .
Přı́kladem silně regulárnı́ho grafu je úplný bipartitnı́ graf se stejně velkými partitami (e =
0, f velikost partity). Nejmenšı́m nebipartitnı́m silně regulárnı́m grafem je pětiúhelnı́k
(e = 0, f = 1).
Věta Necht’ G je silně regulárnı́ graf s parametry (r, e, f ) na n vrcholech. Potom:
(a) f − e = 1, n = 2r + 1, r = 2f nebo
(b) ∃s ∈ Z takové, že platı́ (e − f )2 − 4(f − r) = s2
a výraz 2fr s ((r − 1 + f − e)(s + f − e) − 2f ) je přirozené čı́slo.
Důkaz Technika tohoto důkazu je stejná jako u předchozı́ věty o Mooreových grafech.
Matici souslednosti grafu G označı́me A. Jejı́ druhá mocnina má na diagonále r. Mimo
diagonálu má bud’ hodnotu e pro přı́pad kdy v A byla jednička (e trojúhelnı́ků), nebo
hodnotu f , pokud v A byla nula (f třešniček). Vidı́me tedy vztah:
A2 = rI + eA + f (J − I − A),
(50)
kde E je jednotková matice a J je matice samých jedniček. Úpravou dostaneme polynomiálnı́ vztah
p(A) = A2 + (f − e)A + (f − r)E = f J.
(51)
Dále platı́, že pro λ ∈ Sp(A) je p(λ) ∈ Sp(f J). Spektrum f J známe: obsahuje f n s
násobnostı́ 1 a 0 s násobnostı́ n − 1.
1
Odmocnina z přirozeného čı́sla je vždy přirozené čı́slo, či iracionálnı́ čı́slo, nikdy zlomek.
18
Protože G je r-regulárnı́, tak je r také jeho vlastnı́m čı́slem. Dosadı́me tedy r do p:
p(r) = r2 + (f − e)r + (f − r)
p(r) = r2 + f r − er + f − r + 1 − 1
p(r) = (r2 − er + 1) + f (r + 1) − (r + 1)
p(r) = (r2 − er + 1) + (r + 1)(f − 1).
(52)
(53)
(54)
(55)
Protože f > 0, tak platı́ (r + 1)(f − 1) ≥ 0. Navı́c zřejmě e < r, tudı́ž r2 − er + 1 > 0.
Jediné vlastnı́ čı́slo, které toto splňuje je f n, proto
p(r) = f n
(56)
Nynı́ zbývá vyřešit přı́pad, kdy p(λ) = 0. Řešenı́ této kvadratické rovnice je
p
e−f ±s
λ1,2 =
,
s = (f − e)2 − 4(f − r).
(57)
2
Násobnosti těchto kořenů označı́me m1 , m2 . Jejich součet je zřejmě roven n − 1. Využitı́m
faktu, že stopa matice je suma vlastnı́ch čı́sel včetně násobnostı́, zı́skáme rovnici
0 = Tr(A) = r + m1 λ1 + m2 λ2 ,
(58)
kterou upravı́me
m1
m2
(e − f + s) +
(e − f − s)
2
2
0 = 2r + (e − f )(m1 + m2 ) + s(m1 − m2 ).
0=r+
(59)
(60)
Řešenı́ rozdělı́me na dva přı́pady.
1. s 6∈ Q: potom m1 = m2 . Potom se rovnice zjednodušı́
0 = 2r + 2m1 (e − f )
r
.
m1 =
f −e
(61)
(62)
Z toho vidı́me, že
(f − e)|r,
f − e > 0,
n = 1 + 2m1 = 1 +
2r
.
f −e
(63)
Pokud f − e = 1, tak jsme hotovi.
Pokud f − e = 2, pak n = 1 + r a G = Kr+1 , ale úplné grafy jsme si zakázali.
Pokud f − e > 2, pak n < 1 + r, což je nesmysl.
Po dosazenı́ f − e = 1 do poslednı́ rovnice 63 vidı́me, že n = 2r + 1.
Po dosazenı́ téhož do polynomu p a použitı́m vztahu 56 dostáváme
r2 + r + (f − r) = f (2r + 1).
(64)
Z toho již snadnou úpravou zı́skáme hledané rovnosti
r = 2f,
n = 4f + 1.
19
(65)
2. s ∈ Q, což implikuje s ∈ N. Vezmeme vztah pro násobnosti vlastnı́ch čı́sel a vztah
56 pro n
m2 = n − 1 − m1 =
r2 − er + 1 + (r + 1)(f − 1)
− 1 − m1 .
f
(66)
Dosadı́me do rovnice 60. Dostaneme:
0 = 2r + m1 (e − f + s) + (
r2 − er + 1 + (r + 1)(f − 1)
− 1 − m1 )(e − f − s) (67)
f
Což dále upravı́me
m1 (−(e − f + s) + (e − f − s)) = 2r +
m1 (−2s) = 2r +
1 2
((r − er + rf − r + f ) − f )(e − f − s),
f
(68)
1 2
(r − er + f r − r)(e − f − s),
f
1
(−2rf + r(r − e + f − 1)(−e + f + s)),
2sf
r
(r − 1 + f − e)(s + f − e) − 2f ).
m1 =
2sf
m1 =
(69)
(70)
(71)
Protože m1 je násobnost vlastnı́ho čı́sla λ1 , tak se jedná o přirozené čı́slo.
Věta (Friendship theorem) Necht’ každı́ dva lidé majı́ právě jednoho společného známého.
Pak existuje jeden (starosta), který zná všechny.
Neboli: necht’ pro každé dva různé vrcholy u, v ∈ V (G) platı́ |N (u) ∩ N (v)| = 1. Potom
existuje vrchol c ∈ V takový, že N (c) ∪ {c} = V .
Poznámka Friendship theorem tvrdı́, že takový graf musı́ vypadat jako mlýn (hromádka
trojúhelnı́ků, které se stýkajı́ v jednom centrálnı́m vrcholu), viz obrázek 72.
šestilopatkový mlýn
(72)
Důkaz Pro spor předpokládejme, že takový vrchol c neexistuje. Nejprve si všimněme, že
podmı́nka na množstvı́ sousedů implikuje, že G neobsahuje čtyřúhelnı́k.
20
Nejdřı́ve ukážeme, že G je regulárnı́m grafem. Vezměme libovolné dva vrcholy u, v,
které spolu nesousedı́ a označme w1 , ..., wk sousedy vrcholu u. Každý vrchol wi musı́ mı́t
jednoho společného souseda zi s vrcholem v. Vrcholy zi musı́ být různé, jinak by vznikl
čtyřúhelnı́k (u, wi , zi = zj , wj ). Vrchol v má tedy také alespoň k sousedů. Symetrickou
úvahou pak dostáváme rovnost deg(u) = deg(v).
Vrcholy u a v majı́ právě jednoho společného souseda c. Bez újmy na obecnosti můžeme
předpokládat, že je to c = w1 . Jakýkoliv jiný vrchol w ∈ V (G) již sousedı́ nanejvýše s
jednı́m z vrcholů u a v (jinak by vznikl čtyřúhelnı́k). Zopakovánı́m předchozı́ úvahy pro
vrchol se kterým w nesousedı́ vidı́me deg(w) = deg(u) = deg(v). Nakonec w1 nemůže podle
předpokladu být spojen se všemi vrcholy, proto i pro něj platı́ deg(w1 ) = deg(u) = deg(v).
Všechny vrcholy tedy majı́ stejný stupeň a graf G je k-regulárnı́. Dokonce je silně
regulárnı́ (e = f = 1).
Nynı́ se podı́váme na sledy délky 2. Od každého vrcholu x ∈ V jich vede k 2 , protože
G je k-regulárnı́. Navı́c z vrcholu x vede do každého jiného vrcholu y ∈ V právě jedna
cesta délky 2 (e = f = 1). Sledů z x do x je přesně k. Dostáváme tedy vztah, ze kterého
vyjádřı́me počet vrcholů:
k 2 = (n − 1) + k
n = k 2 − k + 1.
(73)
(74)
V dalšı́m kroku zopakuje již známý postup pro hledánı́ polynomiálnı́ho vztahu vlastnı́ch
čı́sel. Matici souslednosti grafu G označı́me A. Z rozboru sledů délky 2 provedeném v
předchozı́m kroku vidı́me, že matice A2 má na diagonále k a všude mimo diagonálu
jedničky. Dostáváme tedy vztah
A2 = J + (k − 1)I.
(75)
Vlastnı́mi čı́sly matice A2 jsou tedy n + (k − 1) = k 2 s násobnostı́ 1 a k − 1 s násobnostı́
n − 1. Vlastnı́ čı́sla matice A2 jsou druhými mocninami
vlastnı́ch čı́sel matice A. Tudı́ž
√
matice A má vlastnı́ čı́sla k s násobnostı́ 1 a ± k − 1 s násobnostmi m1 , m2 . Použitı́m
vztahu pro stopu matice dostáváme:
√
0 = Tr(A) = k + (m1 − m2 ) k − 1.
(76)
To upravı́me do tvaru
k 2 = (m2 − m1 )2 (k − 1),
(77)
z něhož plyne, že k − 1|k 2 . To je však možné pouze pro k = 1, 2. Jinak totiž k − 1 dělı́
k 2 − 1, nemůže tedy dělit zároveň k.
Hodnotě k = 1 odpovı́dá po dosazenı́ do rovnice 74 graf K1 . Hodnotě k = 2 odpovı́dá
graf K3 . Oba splňujı́ jak předpoklady, tak závěr věty. Pro jakýkoliv jiný graf nastává spor,
tudı́ž musel vrchol c sousedit se všemi ostatnı́mi.
21
4.4
Rayleighův princip a proplétánı́
Věta (Rayleighův princip) Necht’ A je matice n×n s ortonormálnı́ bazı́ z vlastnı́ch vektorů
xi a vlastnı́mi čı́sly λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn . Potom:
1. x ∈ hx1 , . . . , xk i ⇒ x∗ Ax ≥ λk x∗ x
2. x ∈ hxk , . . . , xn i ⇒ x∗ Ax ≤ λk x∗ x
P
Důkaz x ∈ hx1 , . . . , xk i ⇒ x = ki=1 αi xi
!
k
X
x∗ Ax = x∗ (Ax) = x∗ A ·
α i xi = x∗
k
X
i=1
=
k
X
α i λ i x∗ xi =
i=1
=
k
X
i=1
k
X
αi λi
i=1
λi αi αi ≥
|{z}
≥0
k
X
!
= x∗
αi Axi
i=1
k
X
!
αi λi xi
=
i=1
!∗
αj xj
k
X
xi =
j=1
k
X
αi λi (αi xi )∗ xi =
i=1
λk αi αi = λk
i=1
k
X
αi αi = λk x∗ x
i=1
Poslednı́ rovnost plyne z následujı́cı́ho:
!∗
k
X
∗
λk x x =
αi xi
i=1
k
X
!
α i xi
=
i=1
k
X
αi αi
i=1
Druhou nerovnost dokážeme analogicky.
Věta (Věta o proplétánı́) Necht’ A a B jsou matice takové, že B vznikla z A vymazánı́m
nějakého řádku a sloupce. Potom pro vlastnı́ čı́sla λi , µi matic A, B platı́:
λ1 ≥ µ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ µn−1 ≥ λn
(78)
Důkaz Dokazujeme λk ≥ µk ≥ λk+1 . Označme xi a yi vlastnı́ vektory matic A a B.
Zaved’me následujı́cı́ vektorové podprostory Cn (ačkoli druhý z nich nemá dostatek složek,
můžeme mu jednu nulovou přidat a nic se nestane):
S1 := L{xk , . . . , xn } ⊆ Cn
S2 := L{y1 , . . . , yk } ⊆ Cn
(79)
(80)
Zřejmě dim(S1 ) + dim(S2 ) = (n − k + 1) + k > n, tedy ∃x ∈ S1 ∩ S2 . Použijeme Reileighův
princip pro oba prostory a máme:
µk ≤
y ∗ By
x∗ Ax
=
≤ λk
y∗y
x∗ x
(81)
Stačı́ ukázat, že µk ≥ λk+1 – to je ale snadné, stačı́ vzı́t −A a −B, čı́mž se obrátı́ znaménka
vlastnı́ch čı́sel a nerovnosti.
22
Věta (Věta o proplétánı́ při násobenı́ maticı́) Necht’ A je symetrická čtvercová matice s
vlastnı́mi čı́sly a vektory λi a xi , S reálná matice, že S T S = I. Definujeme B := S T AS
a označı́me vlastnı́ čı́sla a vektory matice B jako µi a yi . Potom µi proplétajı́ λi a pokud
navı́c µi = λi pro nějaké i, tak Syi je vlastnı́ vektor A přı́slušı́cı́ vlastnı́mu čı́slu λi .
Důkaz Použijeme Rayleighův princip podobně jako v předchozı́m tvrzenı́. Všimneme si,
že:
x ∈ L{S T xk , . . . , S T xn }⊥ ⇔ Sx ∈ L{xk , . . . , xn }⊥
(82)
Stačı́ si opět vzı́t vhodný prvek x z průniku:
x ∈ L{S T xk , . . . , S T xn }⊥ ∩ L{y1 , . . . , yk }
(83)
A můžeme použı́t Reileighův princip:
λk ≥
(Sx)T ASx
xT Bx
=
≥ µk
(Sx)T Sx
xT x
(84)
(85)
Navı́c platı́, že pokud λi = µi , potom:
xT Bx
= λi ⇒ xT Bx = xT xλi ⇒ Bx = λi x
(86)
xT x
A x je vlastnı́ vektor přı́slušı́cı́ λi , jak jsme chtěli dokázat.
Definice A je bloková matice s bloky velikosti x1 , . . . , xm . Kvocient A je matice B m×m ,
kde bi,j = průměr hodnot Ai,j .




b1,1 b1,2 . . .
A1,1 A1,2 . . .




B = b2,1 b2,2 . . .
A = A2,1 A2,2 . . .
..
.. . .
..
..
..
.
.
.
.
.
.
Věta (Věta o proplétánı́ kvocientu) Pokud B je kvocient A, pak vlastnı́ čı́sla B proplétajı́
vlastnı́ čı́sla A.
Důkaz Mějme Se matici incidence blokové A:


1


1


Se = 



1
1
0
0
Se · SeT = diagonálnı́ matice (x1 , x2 , . . . , xm ) = D
1
S := Se · D− 2
e = S T AS
B
23
Kromě toho platı́:
1
e − 12
B = D− 2 BD
ST S = I
e a má stejná vlastnı́ čı́sla. Matice B
e proplétá matici A,
Tedy B je matice podobná B
což plyne z věty o proplétánı́ při násobenı́ maticı́.
5
Náhodné procházky
5.1
Markovovské řetězce
Definice Markovovský řetězec je orientovaný graf s váženými hranami takový, že výstupnı́
stupeň každého vrcholu je 1. Markovoský řetězec často reprezentujeme maticı́ přechodu P ,
kde Pij udává pravděpodobnost, že ze stavu i přejdeme do stavu j.
Definice Distribuce π je vektor, jehož součet je 1 a kde pi určuje pravděpodobnost, že se
nacházı́me ve stavu i.
Poznámka Máme-li distribuci π a provedeme jeden krok na Markovovském řetězci s maticı́
přechodu P , dostaneme novou distribuci π · P .
Definice Markovovský řetězec je reversibilnı́, existuje-li distribuce π t. že πi · Pij = πj · Pji .
Lemma Markovovský řetězec je reversibilnı́ ⇔ je odvozen z váženého neorientovaného
grafu.
Důkaz
⇐“ Zvolı́me si π následovně a ukážeme, že splňuje reversibilnı́ podmı́nku:
”
wG (i, j)
deg v
Pij =
πv = P
deg i
u∈V (G) deg u
πi Pij = πi
wG (i, j)
wG (i, j)
=P
deg i
u∈V (G) deg u
πj Pji = πj
wG (j, i)
wG (j, i)
=P
deg j
u∈V (G) deg u
⇒“ Zvolı́me váhu w(i, j) = Pi,j πi = Pj,i πj = w(j, i) a dostaneme vážený neorientovaný
”
graf.
Definice π je stabilnı́ distribuce2 , je-li π · P = π. Jinak řečeno, stabilnı́ distribuce se po
provedenı́ kroku nezměnı́.
Věta Pro G neorientovaný souvislý platı́: ∀ρ počátečnı́ distribuci ρPGk k konverguje ⇔
G nenı́ bipartitnı́.
Důkaz
2
Někdy též zvaná stacionárnı́“ .
”
24
⇒“ Pokud je G bipartitnı́, stačı́ jako protipřı́klad vzı́t distribuci, která začı́ná jenom v
”
jedné partitě. Pak každým pronásobenı́m matice se celá distribuce přesune do druhé
partity, protože nemá kam jinam. Zjevně tedy nekonverguje k jedinému rozloženı́.
⇐“ Prvně si vyjádřı́me distribuci jako lineárnı́ kombinaci
P vlastnı́ch vektorů matice PG (to
”
lze, protože tvořı́ ortonormálnı́ bázi). Tedy ρ = i ai pi . Dále si vyjádřı́me distribuci
po k iteracı́ch: TODO: distribucı́ násobı́me zleva, dále (levým) vlastnı́m vektorem
1 nenı́ vektor jedniček, ale stabilnı́ distribuce π . . .
X
X
ai p i =
(87)
PGk ρ = PGk
PGk ai pi
i
i
Protože pi je vlastnı́ vektor PG , tak PG pi = λi pi :
X
λki ai pi
(88)
i
TODO: P nenı́ matice sousednosti. . . Nynı́ si všimneme, že protože graf nenı́ bipartitnı́, tak λ1 6= −λn a největšı́ vlastnı́ čı́slo distribuce je 1, protože matice PG má
řádkové i sloupcové součty konstantnı́ 1 a zároveň je 1 má vlastnı́ vektor samých
jedniček. Tedy pro i > 1 platı́ |λi | < 1. Dejme nynı́ výraz do limity a všimneme si,
že suma jde k nule dı́ky tomu, že jediný člen závislý na k je λi :
!
X
lim λk1 a1 p1 +
λki ai pi = a1 p1 = π
(89)
k→∞
i>1
Tedy máme stabilnı́ distribuci, protože a1 p1 jsou po celou dobu konstantnı́.
Věta Necht’ ρ je distribuce
na vrcholech grafu a µ = max{λi , −λn }. Pak po t krocı́ch platı́,
√
t
t
že kPG ρ − πk1 ≤ µ n, tedy distribuce konverguje relativně rychle.
P
Důkaz Z předchozı́ho důkazu vı́me, že ρ = pi ai + i>1 λti ai pi a TODO: vec.
Pust’me se do odhadu našı́ odchylky, prozatı́m však v L2 normě.
2
X
X
t
2
t
2
λi ai pi =
λ2t
kPG ρ − πk2 = i kai pi k2
i>1
(90)
i>1
2
Nynı́ si zjednodušı́me práci a do sumy zahrneme i prvnı́ člen. Navı́c odhadneme λi největššı́m
vlastnı́m čı́slem µ (mocnina u λi je sudá!).
X
≤ µ2t
kai pi k22 = µ2t kρk22 ≤ µ2t
(91)
i
Nynı́ stačı́ výraz odmocnit a vzpomenout si na analýzu, čı́mž vı́me, že kxk1 ≤ kxk2 ·
máme nerovnost:
√
na
kPGt ρ − πk2 ≤ µt
(92)
kPGt ρ
(93)
√
− πk1 ≤ µ n
t
Což jsme chtěli dokázat.
25
5.2
6
6.1
Stabilnı́ distribuce a konvergence
Expandéry
Expanze
Definice
• E(S, T ) = { hrany mezi S a T }
• e(S, T ) = |E(S, T )|
• e(S) = počet hran uvnitř S
• vrcholová expanze hv (G) =
• hranová expanze h(G) =
min
S⊆V,|S|≤ n
2
min
S⊆V,|S|≤ n
2
|N (S)\S|
|S|
e(S,S̄)
|S|
Pozorovánı́ hv (G) ≤ h(G) ≤ d.hv (G)
Definice
• Rodina expanderů {Gi }∞
2i ≥ |Gi | ≥ i : h(Gi ) ≥ ε, Gi je d-regulárnı́.
• Spectral gap = d − max{λ2 , −λn }
• Spektrálnı́ expanze = d − λ2
• λ = max{λ2 , −λn } (druhé největšı́ vlastnı́ čı́slo v absolutnı́ hodnotě)
p
Věta 21 (d − λ2 ) ≤ h(G) ≤ d(d − λ2 ) (G je d-regulárnı́ graf).
Důkaz (Jen prvnı́ nerovnost, druhá je bez důkazu). Sporem: necht’ S je množina vrcholů
s malou hranovou expanzı́.
T
Pro x⊥(1, 1, . . . , 1) platı́ λ2 ≥ xxTAx
(Rayleighův princip). Zvolı́me x = (n − s)1S − s1S̄ ,
x
kde s = |S| a 1S je charakteristický vektor množiny S.
xT x = (n − s)2 s + s2 (n − s) = s(n − s)n
X
xT Ax =
2xa xb = 2(n − s)2 e(S) − 2s(n − s)e(S, S̄) + 2s2 e(S̄)
(a,b)∈E
Platı́ ds = 2e(S) + e(S, S̄), nebot’ ds odpovı́dá počtu konců hran v S. Analogicky
d(n − s) = 2e(S̄) + e(S, S̄) pro S̄. Z toho si vyjádřı́me e(S) a e(S̄) a dosadı́me do rovnice
výše:
xT Ax = −e(S, S̄)n2 + (n − s)ds(n − s + s) = (n − s)dsn − e(S, S̄)n2
λ2 ≥
(n − s)dsn − e(S, S̄)n2
n
e(S, S̄)
=d−
·
s(n − s)n
n−s
s
26
d − λ2 ≤
n
e(S, S̄)
e(S, S̄)
·
≤2·
= 2h(G)
n−s
s
s
√
Lemma Pro náhodný d-regulárnı́ graf skoro jistě platı́ λ ≤ 2 d − 1 + O(1). Bez důkazu.
6.2
Mixing lemma
|
Věta (Mixing lemma) ∀G d-regulárnı́, ∀S, T ⊆ V, S ∩ T = ∅ : |e(S, T ) − d·|S|·|T
| ≤ λd ·
n
p
|S| · |T |
Důkaz Bud’te χS , χT charakteristické vektory S a T . u = (1, 1, . . . ) je prvnı́ vlastnı́ vektor.
χ⊥
S značı́ vektor kolmý na u.
hχS · ui
|S|
=
2
kuk
n
⇒
X
e(S, T ) =
χS = u ·
|S|
+ χ⊥
S
n
Aij = χTT AχS =
i∈S,j∈T
χT = u ·
|T |
+ χ⊥
T
n
|S| · |T | T
T
⊥
u
Au} +χ⊥
T Aχs
|
{z
2
n
dkuk2 =dn
{z
}
|
d·|S|·|T |
n
T
⊥
Zbývá dokázat, že |χ⊥
T AχS | ≤ λ ·
T
p
|S| · |T |.
T
T
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
|χ⊥
T AχS | ≤ kχT k · kAχS k ≤ kχT k · λ · kχS k
Prvnı́ nerovnost plyne z toho, že skalárnı́ součin dvou vektorů (tedy součin jejich délek
a sinu úhlu, který svı́rajı́) je vždy nejvýš roven součinu jejich délek. Druhá nerovnost plyne
z toho, že si χ⊥
S můžu vyjádřit jako lineárnı́ kombinaci vlastnı́ch vektorů A:
χ⊥
S =
n
X
yi αi
i=2
Pro každý vlastnı́ vektor yi můžu nahradit matici A vlastnı́m čı́slem λi (pak bude
zachována rovnost) a tı́m spı́š můžu nahradit matici A největšı́m vlastnı́m čı́slem, což je v
našem přı́padě λ = max{λ2 , −λn }, abych zachoval nerovnost.
kχS k2 = |S|
⇒
kχT k2 = |T |
⇒
T
⊥
|χ⊥
T AχS | ≤ λ ·
27
√
S
√
kχ⊥
T
Sk ≤
T
kχ⊥
T k ≤
p
|S| · |T |
6.3
7
Vzdálenostnı́ mocniny a zig-zag součin
Perfektnı́ kódy
Perfektnı́ kódy jsou v jistém smyslu ty nejlepšı́ samoopravné kódy, konkrétně majı́ vlastnost, že žádná slova z abecedy nezůstávajı́ nevyužita. Cı́lem našeho snaženı́ bude ukázat
větu, která tyto kódy charakterizuje ve smyslu, při jakých parametrech může být kód perfektnı́. Začneme připomenutı́m základnı́ch pojmů, vyslovı́me a dokážeme Lloydovu větu o
nutné podmı́nce a z nı́ následně dokážeme (v současné podobně spı́še nastı́nı́me) kýženou
charakterizaci.
7.1
Samoopravné kódy
Definice Samoopravný kód C s parametry (n, M )q nad abecedou A je podmnožina An ,
kde |A| = q a |C| = M . Prvkům množiny C řı́káme kódová slova.
Nejčastěji A je konečné těleso GF (q) o q prvcı́ch nebo A = {0, . . . , q − 1}. Pokud C
je vektorový podprostor nad tělesem A, pak C nazýváme lineárnı́m kódem. Množinu An
navı́c vybavı́me Hammingovou metrikou d( , ). Pro dvě slova x, y ∈ An se složkami xi resp.
yi platı́
d(x, y) = |{i | xi 6= yi }|.
Minimálnı́ vzdálenost kódu je pak definována jako d = minx6=y∈C d(x, y). Mluvı́me pak o
(n, M, d)q kódu.
Chceme, aby kód měl co největšı́ minimálnı́ vzdálenost (při co největšı́ mohutnosti).
To souvisı́ s tı́m, že pokud vysı́láme kódové slovo c ∈ C, může během přenosu dojı́t k
chybám (uvažujeme pouze změnu složky nikoliv zkrácenı́ délky) a druhá strana přijme
slovo y = c + e, kde e je chybové slovo. Přı́jemce se pak snažı́ chybu detekovat a přı́padně
opravit y na nejbližšı́ kódové slovo c0 ∈ C (vše je měřeno Hammingovou metrikou). Pokud
kódová slova budou co nejdále od sebe, je detekce a oprava y na správné kódové slovo
c (tj. c = c0 ) vı́ce pravděpodobná. Přesněji pokud počet chyb (což je počet nenulových
složek chybového slova e) je ≤ d − 1 je možné chybu detekovat (přijmeme-li nekódové
c =: t je možné chybu
slovo, vı́me, že nastala chyba). Pokud pokud počet chyb je ≤ b d−1
2
n
opravit. Označme Nt (c) = {x ∈ A | d(c, x) ≤ t} okolı́ slova c do vzdálenosti t. Vidı́me,
že okolı́ Nt (c) pro všechna c ∈ C jsou disjunktnı́, kde C má minimálnı́ vzdálenost d a t je
definováno výše.
c. Pak
Tvrzenı́ (Hammingův odhad) Mějme (n, M, d)q kód C. Označme t = b d−1
2
|C| ≤ Pt
i=0
qn
n
(q − 1)i
i
Důkaz Stačı́ si uvědomit, že okolı́ jsou disjunktnı́ a obsahujı́ všechny stejně slov (zde
nezáležı́ na středu okolı́). Dostáváme tak:
n
q ≥
X
|Nt (c)| = M ·
t X
n
i=0
c∈C
28
i
(q − 1)i .
Definice Kódy, která nabývajı́ rovnosti v Hammingově odhadu nazýváme perfektnı́mi.
Nynı́ si ukážeme základnı́ přı́klady perfektnı́ch kódů. Mezi ty triviálnı́ patřı́ totálnı́
(n, q n , 1) kód obsahujı́cı́ všechna slova z An , opakovacı́ (n, 2, n) kód pro lichou délku n a
jednoprvkový kód.
Každý lineárnı́ kód můžeme popsat jeho bázı́. Generujı́cı́ matice G o rozměrech k × n
lineárnı́ho (n, q k ) kódů C nad GF (q) má v řádcı́ch zapsanou jeho bázi. Kontrolnı́ matice
lineárnı́ho kódu C je taková matice H o rozměrech (n − k) × n, že c ∈ C ⇔ HcT = 0.
Platı́ HGT = 0. Lineárnı́ kód můžeme jednoznačně popsat jeho generujı́cı́ nebo kontrolnı́
maticı́.
r −1
,
Definice Hammingův kód H(r, q) je určen svojı́ kontrolnı́ matici o rozměrech r × qq−1
která obsahuje ve sloupcı́ch všechny po dvou lineárně nezávislé vektory nad GF (q) délky
r −1 q r −1
r. Kód H(r, q) je 1-perfektnı́ ( qq−1
, q−1 − r, 3)q lineárnı́ kód.
Definice Uvažme matici G0 = (I12 | Q), kde Q je doplněk matice sousednosti dvacetistěnu.
Matice G0 generuje (24, 12, 8)2 kód G24 nad GF (2). Vynechánı́m libovolné fixnı́ souřadnice
kódových slov v G24 obdržı́me (23, 12, 7)2 kód G23 . Kód G23 se nazývá binárnı́ Golayův
3-perfektnı́ kód.
Definice Uvažme matici G = (I6 | Q), kde


1 1 1 1 1


 0 1 2 2 1 


 1 0 1 2 2 

Q=
 2 1 0 1 2 .




 2 2 1 0 1 
1 2 2 1 0
Matice G generuje (11, 6, 5)3 kód G11 nad GF (3). Kód G11 se nazývá ternárnı́ Golayův
2-perfektnı́ kód.
7.2
Lloydova věta
Nynı́ směřujeme k charakterizujı́cı́ větě, která řı́ká, že ve skutečnosti žádné jiné perfektnı́
kódy než výše uvedené nad abecedou mohutnosti mocniny prvočı́sla neexistujı́. Důkaz,
který uvedeme je kombinatorický. Jádro důkazu spočı́vá v důkazu Lloydovy věty, která
dává silné omezenı́ na existenci perfektnı́ch kódů.
Věta Definujme Lloydův polynom v proměnné x stupně t
t
X
n−x
j
t−j x − 1
Lt (x) =
(−1) (q − 1)
j
t−j
j=0
Pokud existuje t-perfektnı́ kód délky n nad abecedou mohutnosti q, pak Lt (x) má t různých
celočı́selných kořenů mezi 1 a n.
K důkazu Lloydovy věty budeme potřebovat vlastnosti vzdálenostně regulárnı́ch grafů.
29
7.3
Vzdálenostně regulárnı́ grafy
Definice Uvažme graf Γ = (V, E), že V (G) = An a hrana mezi vrcholy u, v vede právě
tehdy, když d(u, v) = 1, tedy lišı́ se právě v jedné souřadnici. Kód v grafu Γ přı́slušejı́cı́
kódu C je pak podmnožina vrcholů, které odpovı́dajı́ kódovým slovům C.
Graf Γ je speciálnı́m přı́padem vzdálenostně regulárnı́ho grafu. Poznatky z této sekce
na závěr aplikujeme právě na Γ. Po celou dobu této podkapitoly pracujeme pouze s
vzdálenostně regulárnı́mi grafy.
Definice Graf G je vzdálenostně regulárnı́, pokud existujı́ konstanty shij tak, že pro ∀u, v ∈
V (G), d(u, v) = j je
|{w : d(u, w) = h, d(w, v) = i}| = shij .
Pozorovánı́ |i − j| > h ⇒ shij = 0 (plyne z trojúhelnı́kové nerovnosti), k = s110 je počet
sousedů libovolného vrcholu v k-regulárnı́m grafu.
Lemma Platı́
zmi = zm−1,i−1 · s1,i−1,i + zm−1,i · s1,i,i + zm−1,i+1 · s1,i+1,i ,
kde zmi značı́ počet sledů délky m mezi vrcholy ve vzdálenosti i.
Důkaz z00 = 1, jinak z0i = 0. Dále dokážeme indukcı́ pro m ≥ 1 a i ≥ 1. s1,i,j je nenulové
pouze pro i ∈ {j − 1, j, j + 1} (z trojúhelnı́kové nerovnosti). V rovnici sčı́táme vrcholy
sousedı́cı́ s u, které jsou ve vzdálenosti i − 1, i a i + 1 od v.
Definice Mějme matici sousednosti A = AG . Označme A(G) = {p(A) : p(x) ∈ C[x]}.
A(G) je vektorový prostor nad C.
Definice Definujme vzdálenostnı́ matice A0 = I, A1 = A, A2 , . . . , Ad grafu G. Sloupce a
řádky jsou čı́slovány vrcholy grafu.
(
1
d(u, v) = i
(Ai )uv =
0
jinak
Věta dim A(G) = d + 1, kde d je průměr G.3 Bázı́ A(G) jsou výše definované matice
A0 , A1 , A2 , . . . , Ad .
P
Důkaz Platı́ Am = di=0 zmi Ai pro libovolné m ∈ N. Matice A0 , A1 , A2 , . . . , Ad tedy generujı́ celý prostor A(G) a zároveň jsou lineárně nezávislé a proto dim A(G) = d + 1.
Definice Matice Bh je velikosti (d + 1) × (d + 1) a definujme ji předpisem
(Bh )ij := shij
Navı́c označme B = B1 .
[ takový, že
Lemma Existuje homomorfismus vektorových prostorů b : A(G) → A(G)
ch = Bh pro h = 0, . . . , d.
A
3
Průměr grafu je maximálnı́ nejkratšı́ vzdálenost přes všechny dvojice vrcholů.
30
Důkaz Nejdřı́ve si všimněme, co se děje v následujı́cı́m součinu matic:
X
(Ah Ai )uv =
(Ah )uw · (Ai )wv = shid(u,v)
w
V sumě je přičtena 1 pokaždé, když pro vrchol w platı́, že d(u, w) = h a d(w, v) = i,
což je přesně definice shij pro j = d(u, v). Máme tedy:
Ah Ai =
d
X
shij Aj
j=0
Což je vlastně lineárnı́ kombinace prvků z báze s koeficienty shij . Matici Bh obsahuje v
i-tém řádku souřadnice Ah Ai vzhledem k bázi {A0 , A1 , . . . , Ad }, čili vektor (shi0 , . . . , shid ).
Hledaný homomorfismus je tedy transpozice regulárnı́ reprezentace levého násobenı́ v A(G)
vzhledem k {A0 , A1 , . . . , Ad }.
Lemma B = B1 je tridiagonálnı́ matice. Všechny sloupcové součty jsou stejné a jsou rovny
k = s110 . Navı́c s100 = 0 a s101 = 1.


· · · ·
 · · · · · ·

· ·
 ·

·
· ·
B=
· · · ·
· ·


·
· · · ·
0
0
Důkaz Matice je tridiagonálnı́, protože s1,i,j dává smysl jen pro i ∈ {j − 1, j, j + 1} (z
trojúhelnı́kové nerovnosti). Navı́c v j-tém sloupci je s1,j−1,j + s1,j,j + s1,j+1,j , což zahrnuje
všechny sousedy u, kterých je k.
Následujı́cı́ známy výsledek z teorie matic uvádı́me bez důkazu.
Poznámka B je tridiagonálnı́ matice ⇒ ∀ jejı́ vlastnı́ čı́sla jsou různá.
7.4
Charakteristické polynomy
Definice Definujme polynomy vi ∈ Q[λ] takové, že deg vi (λ) = i tak, že
1. v0 (λ) = 1
2. v1 (λ) = λ
3. pro i ∈ {2, . . . , d − 1} induktivně, aby splňovaly rovnici
s1,i,i−1 vi−1 (λ) + s1,i,i vi (λ) + s1,i,i+1 vi+1 (λ) = λvi (λ)
31
7.5
Lloydova věta
Věta Pokud existuje t-perfektnı́ kód s parametry (n, q), pak Lt (x) (definice nı́že) má t
různých celočı́selných kořenů mezi 1 a n.
t
X
n−x
j
t−j x − 1
Lt (x) =
(−1) (q − 1)
j
t−j
j=0
(94)
Důkaz Důkaz bude plynout touto sekcı́ a obsahuje spoustu pomocných lemmat a konceptů.
Pro pochopenı́ a reprodukci důkazu bude potřeba pochopit všechno mezi tı́mto mı́stem a
a sekcı́ označujı́cı́ samotný důkaz. Necht’ práce započne.
7.6
Vzdálenostně regulárnı́ grafy
Definice Vzdálenostně regulárnı́ graf je regulárnı́ a ∃shij takové, že ∀u, v ∈ V (G), dG (u, v) =
j : |{w : dG (u, w) = h, dG (w, v) = i}| = shij .
Pozorovánı́ |h − j| > j ⇒ shij = 0 (plyne z ∆ nerovnosti), k = s110 (počet sousedů
vrcholu u = v v k-regulárnı́m grafu)
Lemma Zmi = Zm−1,i−1 · s1,i−1,i + Zm−1,i · s1,i,i + Zm−1,i+1 · s1,i+1,i . Zmi značı́ počet sledů
délky m mezi vrcholy ve vzdálenosti i.
Důkaz Z00 = 1, jinak Z0i = 0. Dále dokážeme indukcı́ pro m ≥ 1 a i ≥ 1. s1,i,j je nenulové
pouze pro i ∈ {j − 1, j, j + 1} (z ∆ nerovnosti). V rovnici sčı́táme vrcholy sousedı́cı́ s u,
které jsou ve vzdálenosti i − 1, i a i + 1 od v.
Definice Matice sousednosti A = AG . A(G) = {p(A) : p(x) ∈ C[x]}. A(G) je vektorový
prostor.
Definice Vzdálenostnı́
matice A1 , A2 , . . . , Ad grafu G:
(
1
dG (u, v) = i
A0 = I
(Ai )uv =
0
jinak
A1 = A
7.7
Reprezentace vzdálenostně regulárnı́ch grafů polynomy
Věta dim A(G) = d + 1, kde d je průměr G.4
P
Důkaz Am = di=0 Zmi Ai
i > m ⇒ Zmi = 0
A0 = Z0,0 · A0 = A0
A1 = Z1,0 · A0 + Z1,1 · A1 = A1
A2 = Z2,0 · A0 + Z2,1 · A1 + Z2,2 · A2
..
.
Ad = Zd,0 · A0 + Zd,1 + · · · + Zd,d · Ad
Generujeme celý vektorový prostor polynomů A deg ≤ d, tedy dim A(G) ≤ d + 1.
Zároveň ale A0 , A1 , . . . , Ad jsou lineárně nezávislé a proto dim A(G) = d + 1.
4
Průměr grafu je maximálnı́ nejkratšı́ vzdálenost přes všechny dvojice vrcholů.
32
Pozorovánı́ Ae = {A0 , A1 , . . . , Ad } tvořı́ bázi A(G).
Definice Matice Bh pro graf je velikosti d × d, uchovávajı́cı́ parametry shij :
(Bh )ij := shij
(95)
Maticı́ B navı́c rozumı́me matici B1 .
b = B.
Lemma Existuje funkce f : A → A, že f (Ah ) = Bh a tuto operaci značı́me A
Důkaz Z předchozı́ho lemmatu již máme bázi Ae prostoru A. Ukážeme si tedy, že můžeme
přejı́t k bázi z menšı́ch matic B. Nejdřı́ve si všiměme, co se děje v následujı́cı́m součinu
matic:
(Ah Ai )uv =
X
(Ah )uw · (Ai )wv = shid(u,v)
(96)
w
Kde zmı́něná suma je rozpis maticového násobenı́ pro jednu buňku součinu. Zřejmě
přičtu 1 pokaždé, když pro vrchol w platı́, že d(u, w) = h a d(w, v) = i, což je přesně definice
shij pro j = d(u, v). Jak takový prvek ještě můžeme vyjádřit (rozepsánı́m maticového
násobenı́ s použitı́m předchozı́ho vzorce pro buňku)?
Ah Ai =
d
X
shij Aj
(97)
j=0
Což je vlastně lineárnı́ kombinace prvků z báze s koeficienty shij . Vytvořme tedy novou
bázi, napřı́klad takovou, která bude obsahovat právě tyto koeficienty. Do řádku i matice
e tedy shij . Tı́m zı́skáme matice B 0 ,
Bh0 zapı́šeme souřadnice součinu Ah Ai vůdči bázi A,
h
které jsou bazı́ (vytvořili jsme je zapsánı́m souřadnic lineárně nezávislých prvků a tak jsou
lineárně nezávislé), která navı́c splňuje žádané vlastnosti a tedy Bh0 = Bh .
Lemma (O sousedech) B1 je tridiagonálnı́ matice. Všechny sloupcové součty jsou stejné a
jsou rovny k.


· · · ·
 · · · · · ·

·


B1 =  · · · · · · · · · 
· ·


·
· · · ·
0
0
Důkaz Matice je tridiagonálnı́, protože s1,i,j dává smysl jen pro i ∈ {j − 1, j, j + 1} (z ∆
nerovnosti). Navı́c v j-tém sloupci je s1,j−1,j + s1,j,j + s1,j+1,j , což zahrnuje všechny sousedy
u, kterých je k.
Lemma B1 je tridiagonálnı́ matice ⇒ ∀ vlastnı́ čı́sla jsou různá.
33
7.8
Charakteristické polynomy
Definice Definujme polynomy vi ∈ Q[λ] takové, že deg vi (λ) = i tak, že
1. v0 (λ) = 1
2. v1 (λ) = λ
3. pro i ∈ {2, . . . , d − 1} induktivně, aby splňovaly rovnici
s1,i,i−1 vi−1 (λ) + s1,i,i vi (λ) + s1,i,i+1 vi+1 (λ) = λvi (λ)
Lemma (O charakteristickém polynomu) Necht’ λ1 , . . . , λd ∈ Sp(B1 ) takové, že jsou různá
od k . Potom pro i = 1, . . . , d platı́:
vo (λi ) + . . . + vd (λi ) = 0
neboli vo (λ) + . . . + vd (λ) = c · (λ − λ1 ) · . . . · (λ − λd ).
Důkaz Vytvořme vektor ~v = (v1 (λ), . . . , vd (λ)) a uvažme systém rovnic B~v = λ~v . Ten
umı́me řešit po řádcı́ch (známe prvnı́ dva členy vektoru a celou matici obsahujı́cı́ potřebné
koeficienty), známe tedy vlastnı́ čı́sla (kořeny této rovnice) a jejich vlastnı́ vektory (obsahujı́
složky vi (λ).
Nejprve si ukážeme, že jedno z vlastnı́ch čı́sel je k (všimněte si, že v předpokladech
použı́váme d vlastnı́ch čı́sel, ale dimenze matice B je d + 1). Vezměme si výše použı́vaný
systém rovnic a sečtěme levé a pravé strany. Podle Lemma o sousedech jsou sloupcové
součty matice B rovny k, zı́skáme tedy rovnici k(v0 (λ)+. . .+vd (λ)) = λ(v0 (λ)+. . .+vd (λ)),
z čehož po úpravě plyne, že λ = k.
TODO: Rovnost s char. polynomem
Lemma Pro polynomy vi platı́, že vi (A) = Ai a vi (B) = Bi .
Důkaz
d
X
AAi =
s1ij Aj = s1,i,i−1 Ai−1 + s1,i,i Ai + s1,i,i+1 Ai+1
j=0
Tj. vi (A) = Ai . Po aplikaci homomorfismu b dostáváme vi (B) = Bi .
Definice Zafixujme z ∈ V (G). Definujme T ∈ {0, 1}(d+1)×n předpisem
(
1
d(u, z) = i
Ti,u =
0
jinak
b
Lemma (O zastřešovánı́) X ∈ A(G), z ∈ V (G) ⇒ T X = XT
34
Důkaz
(T A)iu =
X
Tiw Awu = si,1,d(u,z)
w
(BT )iu =
X
Bij Tju = s1,i,d(u,z) = si,1,d(u,z)
j
T A = BT
⇒
T p(A) = p(B)T
⇒
T A2 = BT A = B 2 T
b
T X = XT
T Am = B m T
⇒
Definice Definujme si pomocné polynomy:
xi (λ) = v0 (λ) + · · · + vi (λ)
St = xt (A) = A0 + A1 + · · · + At
Kde St je matice, která označuje dvojce vrcholů jedničkou, pokud jsou vzdálené nanejvýš
t (je to součet vzdálenostnı́ch matic do t).
Lemma Necht’ C je perfektnı́ kód v grafu G. At’ c je jeho charakteristický vektor C. Pak
St · c = ~1.
Důkaz (St · c)u = |{w : w ∈ C, d(w, u) ≤ t}| = 1, což plyne přı́mo z definice perfektnı́ho
kódu.
Lemma G obsahuje t-perfektnı́ kód C ⇒ dim Ker Sbt ≥ t
Důkaz Mějme z0 = z ∈ C a z1 , z2 , . . . , zt ∈ C takové, že d(z, zi ) = i pro i = 1, 2, . . . , t.
Platı́ (Tzi · c)j = δij (Kroneckerovo delta = 1 pro i = j, 0 jinak). Tedy vektory Tzi · c pro
i = 0, 1, . . . , t jsou lineárně nezávislé. Navı́c dostáváme, že
 
k0
1
2

.
Sbt (Tzi · c) = (Sbt · Tzi ) · c = Tzi · St · c = Tzi · ~1 =  .. 
kd
1
2
= plyne z lemma o zastřešovánı́, = plyne z předchozı́ho lemmatu. Výsledný vektor je
pro všechny volby zi stejný, protože jeho položky je počet sousedů s pevnými vzdálenostmi,
a protože je to vzdálenostně regulárnı́ graf, jsou to nějaké hodnoty shij se stejným hij pro
řádek. Pišme
ui = Tzi · c − Tz0 · c
i = 1, 2, . . . , t
   
k0
k0



.
.
Sbt ui = Sbt Tzi · c − Sbt Tzi · c =  ..  −  ..  = ~0
kd
kd
35
⇒
ui ∈ Ker Sbt
Vektory u1 , . . . , ut tvořı́ Ker Sbt a jsou lineárně nezávislé. Tedy dim Ker Sbt ≥ t.
7.9
Důkaz Lloydovy věty
Zde začnou věci dávat většı́ smysl. Nejdřı́ve dokážeme pomocı́ výše zmı́něných lemmat
pomocné tvrzenı́, který dá podobný polynom, následně si s nı́m pohrajeme a zı́skáme
polynom Lloydův, tak jak byl zadefinován na začátku.
Věta (Lloydův prototyp) Pokud existuje t-perfektnı́ kód v G, potom xt (λ)\xd (λ).
Pt
P
\
Důkaz Nejprve si všimněme, že Sb = x
(A) = \
A = t B = x (B). Dále se podı́vejme
t
t
i
i
i
i
t
na spektra B a Sbt :
Sp(B) = {k, λ1 , . . . , λd }
Sp(Sbt ) = {xt (k), xt (λ1 ), . . . , xt (λd )}
(98)
(99)
Z povı́dánı́ o B (je tridiagonálnı́) vı́me, že jejı́ vlastnı́ čı́sla jsou různá. Dle pomocného
lemmatu výše má Sbt dimenzi jádra alespoň t, a tedy 0 je jejı́ alespoň t-násobné vlastnı́
čı́slo – tj. alespoň t hodnot z λ1 , . . . , λd jsou kořeny xt (k nenı́ kořen xt TODO: proč?).
Stupeň xt je nejvýše t (z definice), takže toto jsou všechny jeho kořeny TODO: proč nenı́
identicky nulový.
Dohromady tedy kořeny xt jsou podmnožinou kořenů xd (a žádné kořeny nejsou vı́cenásobné), takže xt dělı́ xd .
Věta (Lloyd) Pokud existuje t-perfektnı́ kód s parametry (n, q), pak Lt (x) (definice nı́že)
má t různých celočı́selných kořenů mezi 1 a n.
t
X
n−x
j
t−j x − 1
Lt (x) =
(−1) (q − 1)
(100)
j
t
−
j
j=0
Důkaz Nejprve definujme graf Γ: Jeho vrcholy jsou slova délky n nad abecedou velikosti q
a hrany spojujı́ právě slova lišı́cı́ se v jednom znaku. Tento graf je vzdálenostně regulárnı́
s průměrem d = n. Speciálně budou užitečné následujı́cı́ jeho parametry5 :
s1,i,i−1 = (q − 1)(n + 1 − i)
s1,i,i = (q − 2)i
s1,i,i+1 = i + 1
(101)
(102)
(103)
Nynı́ bude našı́m cı́lem upočı́tat polynomy xi . K tomu začneme odP
rekurzivnı́ho vzorce
∞
6
i
pro polynomy vi , z něj spočteme jejich
vytvořujı́cı́
funkci
V
(t)
=
i=0 vi (λ)t a od té
P∞
dojdeme k vytvořujı́cı́ funkci X(t) = i=0 xi (λ)ti pro xi . Začneme z definice vi :
v0 (λ) = 1
v1 (λ) = λ
s1,i,i−1 vi−1 (λ) + (s1,i,i − λ)vi (λ)+s1,i,i+1 vi+1 (λ) = 0 ∀i ∈ {1, . . . , d}
(104)
(105)
(106)
5
Hodnoty těchto parametrů lze odvodit rozebránı́m, které pozice ve slově odpovı́dajı́cı́m vrcholu u
mohu změnit a jak, abych zı́skal w.
6
Zde je dobré vědět, jak se to dělá, ale samotný výpočet je asi možné přeskočit.
36
Dosadı́me za s1,i,∗ :
(q − 1)(n + 1 − i)vi−1 (λ) + ((q − 2)i − λ)vi (λ) + (i + 1)vi+1 = 0
(107)
Nynı́ bychom rádi dosadili V za vi , abychom V upočı́tali, ale k tomu se potřebujeme
zbavit i. Z vlastnostı́ vytvořujı́cı́ch funkcı́ vı́me:
∞
X
vi+1 (λ)xi =
i=0
∞
X
(108)
dV (x)
dx
(109)
ivi (λ)xi = x
i=0
∞
X
V (x) − 1
x
dV (x)
dx
i=0
∞
X
1 dV (x)
i
(i + 2)vi+2 (λ)x =
−λ
x
dx
i=0
(i + 1)vi+1 (λ)xi =
(110)
(111)
Přepı́šeme vztah pro vi , aby platil od i = 0, dosadı́me a upravı́me:
(q − 1)nvi − (q − 1)ivi + (q − 2)(i + 1)vi+1 − λvi+1 + (i + 2)vi+2 = 0
(112)
dV (x)
dV (x)
V (x) − λ 1 dV (x)
(q − 1)nV (x) − (q − 1)x
+ (q − 2)
−λ
+
−λ =0
dx
dx
x
x
dx
(113)
dV (x)
1
λ λ
λ
−
(1 − q)x + (q − 2) +
+ − =0
V (x) (q − 1)n −
x
dx
x
x x
(114)
dV (x)
V (x) ((1 − q)nx − λ) −
(q − 1)x2 + (q − 2)x + 1 = 0
dx
(115)
Nynı́ přeskupı́me a zintegrujeme pomocı́ rozkladu na parciálnı́ zlomky:
Z
Z
(q − 1)nx − λ
dV
=
dx
V
(1 − q)x2 + (q − 2)x + 1
Z
Z
(n + λ)(q − 1)
λ − n(q − 1)
ln V + c =
dx +
dx
q(1 + x(q − 1))
q(1 − x)
Z
Z
(n + λ)(q − 1)
1
λ − n(q − 1)
1
dx +
dx
=
q
1 + x(q − 1)
q
1−x
(n + λ)(q − 1) ln(1 + x(q − 1)) λ − n(q − 1)
=
+
(−1) ln(1 − x)
q
q−1
q
n+λ
λ − n(q − 1)
=
ln(1 + x(q − 1)) −
ln(1 − x)
q
q
37
(116)
(117)
(118)
(119)
(120)
Nynı́ se zbavı́me c – vı́me, že V (x = 0) = 1, takže c = 0 – a logaritmů.
V = (1 + x(q − 1))
n+λ
q
(1 − x)
n(q−1)−λ
q
(121)
Hurá máme V , nynı́ chceme X – xi je posloupnost částečných součtů vi a jak si všichni dobře
pamatujeme posloupnost částečných součtů zı́skáme z vytvořujı́cı́
jejı́m vynásobenı́m
P∞ i funkce
1
vytvořujı́cı́ funkcı́ posloupnosti samých jedniček J(x) = i=0 x = 1−x :
X = V J = (1 + x(q − 1))
n+λ
q
(1 − x)
n(q−1)−λ
−1
q
(122)
Provedeme substituci y = n − n+λ
a rozvineme dle zobecněné binomické věty, abychom
q
měli explicitně vyjádřený polynom xt :
X(x) = (1 + x(q − 1))n−y (1 − x)y−1
! ∞ !
∞ X
X y − 1
n−y
=
(q − 1)i xi
(−x)i
i
i
i=0
i=0
!
∞
i
X X n−y
y
−
1
=
(q − 1)j
(−1)i−j xi
j
i
−
j
i=0
j=0
t
X n − y(λ)
j y(λ) − 1
xt (λ) =
(q − 1)
(−1)t−j
j
t
−
j
j=0
(123)
(124)
(125)
(126)
Nynı́ zásadnı́ trik: všimneme si, že když y ∈ {1, . . . , n}, tak X (v uzavřeném tvaru) je
polynom v x stupně ≤ n − 1 – tedy koeficient před xt je 0 a λ = n(q − 1) − qy je kořenem
xn . Takto máme n různých kořenů xn , a protože je to polynom stupně nejvýše n, jsou
to všechny jeho kořeny. Z toho a aplikace Lloydovy věty pro vzdálenostně regulárnı́ grafy
plyne, že Lt (y) musı́ mı́t t různých kořenů mezi čı́sly 1 až n.
t X
n−y
j y−1
Lt (y) =
(q − 1)
(−1)t−j
j
t−j
j=0
7.10
(127)
Charakterizace perfektnı́ch kódů
Pro každý kód C opravujı́cı́ t chyb platı́ nerovnost
|C| ≤
qn
,
t
P
n
i
(q − 1)
i
i=0
označována také jako Sphere packing (dokázaná na začátku sekce). Pro perfektnı́ kódy pak
platı́ rovnost. Než se pustı́me do charakterizace perfektnı́ch kódů nad abecedou velikosti
mocniny prvočı́sla, dokážeme nutnou podmı́nku pro existenci takovýchto kódů.
38
Věta Necht’ q = pr , kde p je prvočı́slo. Pak existuje α ∈ N takové, že
t X
n
i=0
i
(q − 1)i = q α .
Důkaz Ze Sphere packingu dostaneme
t X
n
i=0
i
(q − 1)i =
qn
.
|C|
(128)
n
q
Tedy, |C| musı́ dělit q n = prn a |C|
= pβ pro nějaké β ∈ N. Dále použijeme následujı́cı́
rovnost (jednoduše dokazatelnou indukcı́)
n X
n
(q − 1)i = q n .
i
i=0
(129)
Když od sebe odečteme rovnice 129 a 128, dostaneme
q n − pβ ≡ 0 (mod q − 1),
z čehož vyplývá pβ = q α pro nějaké α ∈ N.
Věta Necht’ q = pr , a p je prvočı́slo. Pak existujı́ právě následujı́cı́ netriviálnı́ perfektnı́
kódy (tedy s |C| ≥ 2 a pokud |C| = 2, tak to nenı́ kód q = 2 a n = 2t + 1):
1-perfektnı́ kód n =
q k −1
q−1
pro libovolné k a q (Hammingův)
2-perfektnı́ kód q = 3 a n = 11 (Golayův)
3-perfektnı́ kód q = 2 a n = 23 (Golayův)
Důkaz je technicky náročný a budeme se jı́m zabývat po zbytek sekce. Po celou dobu
budeme předpokládat, že q je mocnina nějakého prvočı́sla. Základem je Lloydova věta a
právě dokázaná nutná podmı́nka pro existenci těchto kódů. Nejprve se pro malé hodnoty
parametrů ukáže, zda pro dané hodnoty kódy existujı́ či nikoli. Pak se pro obecný přı́pad
udělá hornı́ odhad parametrů pomocı́ Lloydovy věty. A pro konečný počet přı́padů, pro
které by kódy mohly existovat, bylo dokázáno počı́tačem, že neexistujı́. Pro t = 1 ze
α −1
Sphere packingu dostaneme 1 + n(q − 1) = q α , tedy n = qq−1
, což jsou přesně velikosti
Hammingových kódů. Dále budeme předpokládat, že t ≥ 2.
Věta 2-perfektnı́ kód existuje jen pro q = 3 (Golayův kód).
Důkaz neexistence 2-perfektnı́ho kódu nad jinou než třı́ prvkovou abecedou uvedeme
jen pro q = 2.
Věta Pro q = 2 neexistuje 2-perfektnı́ kód.
39
Důkaz Z dokázané nutné podmı́nky pro existenci perfektnı́ho kódu dostaneme:
n
1+n+
= qα
2
2 + 2n + n(n − 1) = q α+1
7 + (2n + 1)2 = q α+3
(130)
(131)
(132)
A dále pak z Lloydovy věty dostaneme:
n−x
x−1
L2 (x) =
− (x − 1)(n − x) +
2
2
2
2
2L2 (x) = n + n + 2 + 4x − 2(n + 1)2x
Provedeme substituci y = 2x a za n2 + n + 2 dosadı́me q α+1 (z rovnice 131):
p(y) = y 2 − 2(n + 1)y + 2α+1
Z Vietových vzorců dostaneme pro kořeny y1 , y2 polynomu p:
y1 y2 = 2α+1
y1 + y2 = 2n + 2
(133)
(134)
Tedy y1 = 2a , y2 = 2b pro nějaké a, b ≥ 0, bez újmy na obecnosti a ≤ b. Nynı́ rozebereme
několik přı́padů pro různé hodnoty a.
a = 1 Tedy y1 = 2 a y2 = 2n. Po dosazenı́ do polynomu p dostaneme hodnoty n = 1 nebo
n = 2, což jsou nesmyslné hodnoty pro kódy.
a = 2 Tedy y1 = 4 a y2 = 2n − 2. Stejným způsobem jako v předchozı́m bodu dosadı́me do
p a spočteme n = 2 nebo n = 5. Pro n = 5 dostaneme triviálnı́ opakovacı́ kód.
a ≥ 3 Z rovnice 134 a faktu, že a, b ≥ 3 dostaneme pro nějaké k:
2n + 1 = 2a + 2b − 1
= 8k − 1
(2n + 1)2 = 64k 2 − 16k + 1
(135)
(136)
(137)
(2n + 1)2 = 2α+3 − 7
(138)
A dosadı́me do rovnice 132:
Pravá strana rovnice 137 modulo 16 se rovná 1, zatı́mco pravá strana rovnice 138
modulo 16 se rovná −7, což je spor, nebot’ by se pravé strany obou rovnic měly
rovnat. Pro a ≥ 3 tedy neexistuje žádný perfektnı́ kód.
40
Věta Pro t ≥ 3 a q > 2 neexistuje t-perfektnı́ kód nad abecedou s q znaky.
Důkaz této části je nejnáročnějšı́, proto ho rozdělı́me do několika lemmátek. Hlavnı́ roli
budou mı́t kořeny Lloydova polynomu, které si označı́me σ1 , . . . , σt a pro které platı́
2 < σ1 < · · · < σt < n.
Nerovnosti mezi kořeny máme z Lloydovy věty. Po dosazenı́ čı́sel 0, 1 a 2 do Lloydova
polynomu, zjistı́me, že ani jedno z těchto čı́sel nenı́ kořenem, tedy 2 < σ1 .
Lemma Pro kořeny Lloyodova polynomu σ1 , . . . , σt platı́:
1.
t
Q
σi = t!q α−t
i=1
2.
t
P
σi =
i=1
t(n−t)(q−1)
q
+
t(t+1)
2
Důkaz Nejprve si vyjádřı́me součin kořenů pomocı́ koeficientů Lloydova polynomu.
Lt (x) = at xt + · · · + a1 x + a0
a0 at−1 t−1
t
x + ··· +
= at x +
at
at
= at (x − σ1 ) . . . (x − σt )
X Y = at x t −
σi xt−1 + · · · + (−1)t
σi
Tedy máme:
t
Y
a0
at
(139)
at−1
at
(140)
σi = (−1)t
i=1
t
X
σi = −1
i=1
Nynı́ spočı́táme koeficienty a0 a at :
a0 = Lt (0) =
t X
n
i=0
i
(q − 1)i = q α
t
X
1
1
at =
(−1)i (q − 1)t−i (−1)t−i
i!
(t − i)!
i=0
=
t
(−1)t X
t!
(q − 1)t−i
t! i=0
i!(t − i)!
=
t
(−1)t
(q − 1) + 1
t!
41
Pro poslednı́ rovnost jsme použili binomickou větu. Po dosazenı́ do rovnice 139 dostaneme
rovnost pro součin kořenů Lloydova polynomu
t
Y
i=1
qα
σi = (−1)t (−1)t
t!
qt
= t!q α−t .
Bez důkazu uvádı́me
at−1 = −
(−q)t t(t + 1) t(n − t)(q − 1) +
.
t!
2
q
Po dosazenı́ do rovnice 140 dostaneme dokazovanou rovnost pro součet kořenů.
Lemma 2σ1 ≤ σt
Důkaz Definujme si funkci f (x) = k ⇔ x = ph k, kde pro p platı́ q = pr a p je nesoudělné
s k. Aplikujme f na součin kořenů:
f (σ1 )f (σ2 ) . . . f (σt ) = f (σ1 σ2 . . . σt ) =
= f (t!q a−t ) = f (t!) ≤ t!
Uvažme nynı́ 2 možnosti:
1. Necht’ existujı́ i 6= j takové, že f (σi ) = f (σj ) = k, pak:
σi = phi k
σj = phj k
Bez újmy na obecnosti platı́ σi < σj a pak tedy hi < hj a pσi ≤ σj . Když všechny
nerovnosti dáme dohromady, dostaneme požadovaný výsledek
σt ≥ σj ≥ pσi ≥ 2σi ≥ 2σ1 .
2. Necht’ jsou tedy všechny f (σi ) různé. Jelikož je jejich součin menšı́ než t!, pak se mezi
f (σ1 ), . . . , f (σt ) vyskytujı́ všechna čı́sla 1, . . . , t. Jelikož t ≥ 3 a p je nesoudělné se
všemi čı́sly 1, . . . , t, tak p > 3. Evidentně musı́ existovat i, j taková, že:
σi = phi
σj = 2phj
Rozebereme 2 možnosti:
(a) Necht’ hj ≥ hi , pak σt ≥ σj = 2phj ≥ 2phi = 2σi ≥ 2σ1
(b) Necht’ hi > hj , pak σt ≥ σi = phi ≥ phj +1 = p2 σj ≥ 2σj ≥ 2σ1
42
t 2
Lemma σ1 σt ≤ 89 ( σ1 +σ
)
2
Důkaz Celou nerovnost vynásobı́me σ12 ,
σ
σt
8 1 + σ1t 2
≤
.
σ1
9
2
Provedeme substituci x =
σt
,
σ1
x≤
8 1 + x 2
.
9
2
Po elementárnı́ch úpravách dostaneme
1 0≤ x−
x−2 .
2
Což platı́, protože z předchozı́ho lemmatu vı́me, že x ≥ 2.
t
Q
t
t
t(t−1) Lemma
σi ≥ n (q−1)
1
−
t
q
2n
i=1
Důkaz Vı́me, že
t
Y
σi = t!q α−t .
i=1
Pravou stranu následně upravı́me:
t
t! X
t! α
i n
q = t
(q − 1)
qt
q i=0
i
n(n − 1) . . . (n − t + 1)
t!
(q − 1)t
t
q
t!
t
(q − 1) t
1
2 t − 1
=
n 1−
1−
... 1 −
qt
n
n
n
≥
Nynı́ použijeme vzoreček, který platı́ pro x1 , . . . , xk ∈ (0, 1)
k
k
Y
X
(1 − xi ) ≥ 1 −
xi .
i=1
Po aplikaci na (1 − n1 )(1 − n2 ) . . . (1 −
i=1
t−1
),
n
dostaneme dokazovaný odhad:
t−1
X
t! α nt (q − 1)t i
q ≥
1−
qt
qt
n
i=1
nt (q − 1)t
t(t − 1) 1−
≥
qt
2n
43
Lemma
t
Q
i=1
σi ≤
8 nt (q−1)t
9
qt
t 2
Důkaz Pro důkaz použijeme již dokázanou nerovnost σ1 σt ≤ 98 ( σ1 +σ
) a nerovnost mezi
2
aritmetickým a geometrickým průměrem
k
Y
xi
k1
k
P
≤
i=1
xi
i=1
k
.
Odhadněme tedy součin kořenů:
8 σ1 + σt 2 σ2 + · · · + σt−1 t−2
9
2
t−2
σ2 +···+σt−1 σ1 +σt
t
8 2 2 + (t − 2) t−2
≤
9
t
8 σ1 + · · · + σt t
=
9
t
(σ1 σt )(σ2 σ3 . . . σt−1 ) ≤
Po dosazenı́ již dokázaného vzorečku pro součet kořenů dostaneme odhad
t
Y
i=1
σi ≤
(n − t)(q − 1)
q
+
t + 1 t
.
2
Abychom dokázali lemma, potřebujeme tedy dokázat, že
(n − t)(q − 1) t + 1
n(q − 1)
+
≤
.
q
2
q
Po několika elementárnı́ch úpravách dostaneme nerovnost 6t+3q ≤ 3tq, která platı́, protože
6t ≤ 2tq (kvůli předpokladu q ≥ 3) a 3q ≤ tq (kvůli předpokladu t ≥ 3).
Lemma n ≤ 92 t(t − 1)
Důkaz Nerovnost vyplývá okamžitě z předchozı́ch 2 lemmat.
t
Lemma n ≥ q b 2 c
Důkaz Nejprve trochu počı́tánı́:
t
t
Y
Y
t at
(σi − 1) = (−1)
(1 − σi )
a
t
i=1
i=1
Lt (1)
= (−1)t
at
q − 1 t
=
(n − 1)(n − 2) . . . (n − t)
q
44
Jelikož jsou kořeny Lloydova polynomu celá čı́sla, celý součin je také celé čı́slo a tedy
prt = q t musı́ dělit součin π = (n − 1)(n − 2) . . . (n − t). Pokud bychom vyjádřili čı́slo
π pomocı́ prvočı́selného rozkladu, tak rt vyjadřuje počet výskytů prvočı́sla p v tomto
rozkladu. Pokusme se tedy rt nějak odhadnout. Necht’ Nt = {n − 1, . . . , n − t} a h je takové
čı́slo, že ph dělı́ nějaké čı́slo z Nt a ph+1 nedělı́ žádné z čı́sel z Nt . Necht’ k je takové, že
k = f ph ∈ Nt . Když k čı́slo k budeme přičı́tat či odčı́tat čı́slo p dostaneme čı́sla dělitelné
p, tedy k + p, k − p, k + 2p, k − 2p atd. Takovýchto čı́sel z Nt je tedy b pt c. Obecně když
budeme přičı́tat odčı́tat mocninu pi , dostaneme čı́sla dělitelné pi a těch je b pti c v množině
Nt . Počet výskytů p v rozkladu čı́sla π můžeme tedy odhadnout
jtk j t k j t k
rt ≤ h +
+ 2 + 3 + ...
p
p
p
To dále můžeme upravit:
∞ j k
∞
X
t
t X 1 ≥
rt
−
pi
p i=0 pi
i=1
t 1 1 = rt −
=
t
r
−
p 1 − p1
p−1
rt
≥
2
h ≥ rt −
1
Poslednı́ nerovnost vycházı́ z toho, že r − p−1
≥ 2r , což se dá snadno ověřit rozborem
přı́padů pro p > 2 a p = 2. Nynı́ již můžeme odhadnou n a dokázat tak lemma
rt
t
n > ph ≥ p 2 ≥ q b 2 c .
Lemma t ≤ 11, q ≤ 27 a n ≤ 495.
Důkaz Když složı́me předchozı́ 2 lemmata dohromady dostaneme nerovnost
t
t
9
t(t − 1) ≥ n ≥ q b 2 c ≥ 3b 2 c .
2
t
Z nerovnosti 29 t(t − 1) ≥ 3b 2 c dostaneme odhad t ≤ 11. Následně pak dosadı́me za t a
dostaneme, že n ≤ 495. Při dosazenı́ t = 3 (nejmenšı́ možná hodnota t, kdy q dosahuje
nejvyššı́ hodnoty) dostaneme odhad q ≤ 27.
Počı́tačem bylo ověřeno, že pro hodnoty 3 ≤ t ≤ 11, 3 ≤ q ≤ 27 a n ≤ 495 neexistujı́
žádné perfektnı́ kódy, kdy q je mocnina prvočı́sla. Charakterizace perfektnı́ch kódů nad
abecedou, která má velikost mocninu prvočı́sla, je tedy hotová.
Pro zajı́mavost uvedeme, že pro q, které nenı́ mocninou prvočı́sla, neexistujı́ perfektnı́
kódy pro t ≥ 3 a pro t = 1, 2 se to nevı́. Pro parametry, pro které existujı́ perfektnı́ kódy,
existujı́ i jiné perfektnı́ kódy než Hammingovy a Golayovi.
45