Linearn´ı Algebra v Kombinatorice

Linearnı́ Algebra v Kombinatorice
Ladislav Láska
Jan Musı́lek
6. řı́jna 2014
Obsah
1 Lineárnı́ nezávislost
1.1 Sudo-licho města . . . . . . . .
1.2 Dvouvzdálenostnı́ množiny . . .
1.3 Fišerova nerovnost . . . . . . .
1.4 Dolnı́ odhad na Ramseyovo čı́slo
.
.
.
.
2
2
3
4
5
2 Skalárnı́ součin
2.1 Ortogonálnı́ doplněk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Sudo-sudo města . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Eulerovské a úplné bipartitnı́ podgrafy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
6
6
3 Shannonova kapacita a Lovászova ϑ funkce
3.1 Shannonova kapacita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Funkčnı́ reprezentace grafu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
10
4 Vlastnı́ čı́sla grafu
4.1 Moorovy grafy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Silně regulárnı́ grafy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Raileighův princip a proplétánı́ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
14
15
18
5 Náhodné procházky
5.1 Markovovské řetězce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Stabilnı́ distribuce a konvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
20
22
6 Expandéry
6.1 Mixing lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Vzdálenostnı́ mocniny a zig-zag součin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
23
24
7 Perfektnı́ kódy
7.1 Připomenutı́ pojmů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Lloydova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Vzdálenostně regulárnı́ grafy . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Reprezentace vzdálenostně regulárnı́ch grafů polynomy
7.5 Charakteristické polynomy . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Důkaz Lloydovy věty . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Charakterizace perfektnı́ch kódů . . . . . . . . . . . . .
24
24
25
25
25
27
28
29
.
.
.
.
.
.
.
.
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
Lineárnı́ nezávislost
Definice Vektory vi jsou lineárně nezávislé, pokud existuje netriviálnı́ řešenı́ rovnice
0.
1.1
P
i
αi vi =
Sudo-licho města
Definice Necht’ |X| = n a A1 , . . . , Am ⊆ X Ai 6= Aj jsou neprázdné podmnožiny. Úloha
A-B město se ptá, jak velké může být m, pokud |Ai | ∼ B a |Ai ∩ Aj | ∼ A (tedy pro
sudo-licho město máme omezenı́ na liché velikosti a sudé průniky).
Věta Pro úlohu sudo-licho město platı́ m ≤ n.
Důkaz Počı́tejme nad GF (2). Matice A necht’ je charakteristická matice dimenze n × m.
Podı́vejme se na součin AAT , tedy na matici skalárnı́ch součinů:
 


1
A1
..
 A2 


.
 


T
(1)
AA =  ..  · A1 , A2 , . . . , Am = 

.
.. 
 . 

Am
1
0
0
Tedy vı́me, že rank(AAT ) = m a rank(A) ≤ n. Z vlastnostı́ ranku již snadno zı́skáme
nerovnost m = rank(AAT ) ≤ rank(A) ≤ n. TODO: důkaz rankové nerovnosti obrázkem
pomocı́ zobrazenı́
Věta Necht’ |X| = n a A1 , . . . , Am ⊆ X že platı́ |Ai ∩ Aj | = 1 a Ai 6= Aj . Potom m ≤ n.
Důkaz Podobně jako v předchozı́m přı́kladě vezměme matici charakteristických vektorů
A a podı́vejme se na součit AAT , tentokrát již nad Q:


|A1 |
..


.


T
(2)
AA = 

.
..


1
1
|Am |
Dále označme ai := |Ai |. Můžeme předpokládat, že a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ am . Zřejmě také a2 > 1
(jinak A1 = A2 ). Nynı́ bychom chtěli dokázat, že je matice regulárnı́ – proto se podı́váme
na determinant této matice:

 

a1
a1 − 1
..
..




.
.

 

T
|AA | = 
(3)
 = + 

..
..

 

.
.
a
a −1 1
1
1
m
0
0
m
Zatı́mco matice jedniček je singulárnı́ TODO: Pochopit proč se to dá spočı́tat, ale determinant vyjde kladně.
2
1.2
Dvouvzdálenostnı́ množiny
Věta P1 , P2 , . . . , Pm jsou body v Rn a ∃α, β ∈ R t. že kPi Pj k ∈ α, β. Pak m(n) ≤
Důkaz
F (x, y) = (kx, yk2 − α2 )(kx, yk) − β 2 )
fi (x) = F (x, Pi )
(n+1)(n+4)
.
2
F : (Rn → R)
fi : R n → R
(4)
(5)
Když jsou f1 , f2 ,P
. . . , fm lineárně nezávislé, pak m ≤ dim(prostor funkcı́ Rn → R).
Lineárnı́ kombinace m
i=1 γi fi (x) = 0.
fi (Pj ) = α2 β 2
fi (Pj ) = 0
∀j :
m
X
pro i = j
pro i =
6 j
γi fi (Pj ) = α2 β 2 γj = 0
⇒
∀j : γj = 0
(6)
(7)
(8)
i=1
Z toho plyne, že funkce f1 , f2 , . . . fm jsou lineárně nezávislé.
fi (x) = ((x1 − p1 )2 + · · · + (xn − pn )2 − α2 )((x1 − p1 )2 + · · · + (xn − pn )2 − β 2 )
= (x21 + · · · + x2n − 2p1 x1 − . . . − 2pn xn − α2 )(x21 + . . . − 2p1 x1 − . . . − β 2 )
(9)
(10)
p2i se ztratı́ do α a β. Následuj rozbor přı́padů po roznásobenı́:
(x21 + · · · + x2n )(x21 + · · · + x2n )
(x21 + · · · + x2n )xi
x2i
xi xj
xi
1
1
n
n
n
2
n
1
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
Přı́pad (x21 +· · ·+x2n ) nenı́ potřeba, vyjádřı́me ho jako kombinaci x2i . Velikost lineárnı́ho
obalu:
n2 − 5nn + 4
(n + 1)(n + 4)
n
n(n − 1) 6n 4
+
+ =
=
+ 3n + 2 =
2
2
2
2
2
2
3
Věta Pro dvouvzdálenostnı́ množinu na kouli platı́:
n(n + 1)
n(n + 3)
≤ msf (n) ≤
2
2
Důkaz
Hornı́ odhad (ostatnı́ řádky nepotřebujeme, (x21 + · · · + x2n ) se na kouli posčı́tá na
konstantu):
x2i
n
n
2
n
xi xj
xi
(18)
(19)
(20)
(21)
n2 + 3n
n(n + 3)
n
n(n − 1) 4n
+
=
=
+ 2n =
2
2
2
2
2
Dolnı́ odhad (konstrukce 2-vzdálenostnı́ množiny v Rn ):
Body budou všechny vektory délky n s dvěma jedničkovými souřadnicemi. Vzdálenost
dvou bodů s 1 na různých
souřadnicı́ch je 2, zatı́mco vzdálenost bodů které se v jedné
√
souřadnici shodujı́ je 2.
Uvažujme nynı́ body v Rn+1 mı́sto v Rn . Takových je n+1
.
2
P 2
1
P xi = 2 ⇒ všechny body ležı́ na sféře
xi = 2 ⇒ všechny body ležı́ v nadrovině
n
o
xi = 2 ∩ Rn+1 ' Rn
Tedy máme 2-vzdálenostnı́ množinu n+1
bodů na kouli v Rn .
2
1.3
x|
X
Fišerova nerovnost
Věta Necht’ máme graf Kn a jeho hranově disjunktnı́ rozklad na m úplných bipartitnı́ch
grafů. Potom m ≥ n − 1.
Důkaz Označme si úplné bipartitnı́ grafy B1 , . . . , Bm a Xk , Yk jejich partity, přičemž
jednotlivý Bi nemusı́ být pokrývat všechny vrcholy Kn . Mějme matici Ak pro graf Bk
velikosti n × n definovanou:
1 pokud i ∈ Xk a j ∈ Yk
aij =
(22)
0 jinak
1
xi je i-tá souřadnice bodu x
4
Protože v každém nenulovém řádku jsou jedničky právě pro sousedy daného vrcholu v
druhé partitě, jsou všechny nenulové řádky stejné (sousedstvı́ jsou stejná), Ak má tedy
hodnost 1.
Nynı́ uvažme matici A = A1 + . . . + Am . Hodnost součtu je nanejvýš rovna součtu
hodnostı́, proto rank(A) ≤ m. Nynı́ budeme chtı́t dokázat, že rank(A) ≥ n − 1:
Protože každá hrana grafu náležı́ právě jednomu Bk , je jednička právě na jednom z mı́st
aij nebo aji (pozor, matice nejsou matice sousednosti – rozlišujı́ partitu!). Na diagonále A
jsou pak samé nuly. Sečtenı́m A + AT zı́skáme matici incidence Kn , tedy A + AT = Jn − In .
Dále pro spor předpokládejme, že rank(A) ≤ n − 2. Připı́šeme k matici jeden řádek
samých jedniček, čı́mž hodnost zvýšı́me nanejvýš o 1. Protože ale A nemá plnou hodnost,
existuje netriviálnı́ lineárnı́ kombinace sloupců, která dává ~0 – necht’ jsou jejı́ koeficienty
n
~
zaznamenány ve
Pvektoru ~x ∈ R a tedy A~x = 0. Zároveň protože poslednı́ řádek jsou samé
jedničky, platı́
xi · 1 = 0 a tedy také Jn~x = 0. Počı́tejme dvěmi způsoby:
xT (A + AT )x = xT (Jn − In )x = xT (Jn x) − xT (In x) = 0 − xT x = −
X
x2i < 0
xT (A + AT )x = xT AT x + xT Ax = 0T x + xT 0 = 0
(23)
(24)
což dává spor.
1.4
Dolnı́ odhad na Ramseyovo čı́slo
Věta (Ramsey) ∀n ∃N ∀G na ≥ N vrcholech má ω(G) ≥ n nebo α(G) ≥ n.
Vı́me, že R2 (n) = min N ≤ 2n−2
. Konstrukcı́ si ukážeme dolnı́ odhad.
n−1
n−1
Věta R2 (n) ≥ 3
Důkaz |X| = n − 1. Zkonstruujeme G = V = X3 , E = {ab : |a ∩ b| = 1, a, b ∈ V } .
Klika v G je skorodisjunktnı́ systém podmnožin X ⇒ ω(G) ≤ |X| = n − 1.
Vrcholy jsou nezávislé, pokud |a ∩ b| ∈ {0, 2} a velikost nezávislé množiny v G je tedy
sudo-licho město ⇒ α(G) ≤ |X| = n − 1.
2
Skalárnı́ součin
Mějme vektorový prostor V = T n .
P
Definice (Skalárnı́ součin) hx, yi = xi yi
2.1
(=
P
xi yi nad C)
Ortogonálnı́ doplněk
Definice M ⊆ T n M ⊥ = {x | ∀a ∈ M : hx, ai = 0} je ortogonálnı́ doplněk M .
Pozorovánı́ dim M ⊥ = n − dim hM i
⊥
Pozorovánı́ (M ⊥ ) = LM
Důkaz ⊇“ jednuduché ⊆“ přes dimenze n − (n − k) = k = dim M
”
”
Definice (Součet podprostorů) LM + LN = L(M ∪ N )
Pozorovánı́
dim (LM + LN ) + dim (LM ∩ LN ) = dim LM + dim LN
5
Důsledek Podprostory M, N << T n : dim M + dim N > n ⇒ dim M ∩ N ≥ 1 ⇒
∃u 6= 0, u ∈ M ∩ N .
Důsledek Pro tělesa, ve kterých platı́ hx, xi =
6 0 pro x 6= 0 platı́:
M << T n ⇒ M ∩ M ⊥ = {0} ⇒ dim(M + M ⊥ ) = n ⇒ M + M ⊥ = T n
2.2
Sudo-sudo města
Definice |X| = n, A1 , A2 , . . . Ak ⊆ X, |Ai | ≡ 0 mod 2, |Ai ∩Aj | ≡ 0 mod 2. Jaké největšı́
může být k = k(n)?
n
Věta k(n) ≥ 2 2
n
Důkaz Utvořı́me páry – 2 2 je počet podmnožin n2 prvkové množiny.
n
Věta k(n) ≤ 2 2
Důkaz 2 Ai ∈ GF (2n ). Necht’ M = {A1 , A2 , . . . Ak } je maximálnı́ (co do inkluze) sudosudo město. Ukážeme že M je vektorový prostor. Vektory majı́ sudé průniky (sudo-sudo
město) nad GF (2) tedy platı́ ∀x, y ∈ M : hx, yi = 0. Dále:
∅∈M
∀u ∈ M, ∀c ∈ GF (2) : c · u ∈ M
∀x, u, v ∈ M : hx, u + vi = hx, ui + hx, vi = 0 + 0 = 0
∀u, v ∈ M : hu + v, u + vi = hu, ui + 2hu, vi + hv, vi = 0 + 0 + 0 = 0
(25)
(26)
(27)
(28)
Když M << GF (2)n a dim M = k, pak |M | = 2k .
∀x ∈ M : x ∈ M ⊥
⇒
M ⊆ M⊥
k = dim M ≤ dim M ⊥ = n − k
2.3
⇒
⇒
dim M ≤ dim M ⊥
2k ≤ n
⇒
k≤
n
2
Eulerovské a úplné bipartitnı́ podgrafy
G = (V, E) je souvislý graf. VG = { spanning3 podgrafy G }
Tvrzenı́ VG je vektorový prostor nad GF (2), mı́sto stčı́tánı́ vektorů je symetrická diference.
VH ∈ GF (2)E .
TODO: Obrázek se symetrickou diferencı́ podgrafů.
Definice εG = { eulerovské podgrafy ≡ ∀ stupně sudé }. Součtem dvou eulerovských
podgrafů je eulerovský podgraf, tvořı́ tedy podprostor VG .
2
Ai budeme považovat za charakteristický vektor podmnožiny Ai v množině X.
Česky též napnuté“ – podgrafy obsahujı́cı́ všechny vrcholy grafu G (i kdyby některé z nich byly
”
izolované).
3
6
Lemma dim εG = |E| − n + 1
Důkaz Vybereme si libovolnou kostru T grafu G. Pro každou hranu, která nenı́ v kostře
existuje právě jedna elementárnı́ kružnice Ke určená touto hranou. {Ke | e ∈ E(G)−E(T )}
tvořı́ lineárně nezávislé vektory. Lze dokázat, že tvořı́ bázi εG .
Z toho dim εG = |E| − n + 1, což je počet hran mimo kostru.
Definice βG = { úplné bipartitnı́ spanning podgrafy G }. βG je prostor všech řezů v G.
Lemma βG << VG , βG = h{ hvězdy }i
Důkaz Každý úplný bipartitnı́ podgraf lze zapsat jako symetrickou diferenci hvězd. Vezmeme hvězdy ze všech vrcholů v jedné z partit. Mezi těmito vrcholy se hrany vyrušı́, mezi
vrcholy z druhé partity žádné nevedou a všude jinde ano.
Mám-li dva různé úplné bipartitnı́ podgrafy, rozepı́šu si je na součet hvězd a výsledkem
musı́ být dle výše uvedeného opět úplný bipartitnı́ podgraf.
Věta ε⊥
G = βG . Tedy eulerovské podgrafy jsou ortogonálnı́m doplňkem úplných bipartitnı́ch
podgrafů.
Důkaz Vezmeme si H ∈ εG eulerovský podgraf a u ∈ V (G). Hu označı́me hvězdu z vrcholu
u. Platı́ hH, Hu i = degH u, nebot’ hvězda obsahuje všechny hrany jdoucı́ z u a žádné jiné.
Protože v H vycházı́ z každého vrcholu sudý počet hran a počı́táme nad GF (2):
∀u : hH, Hu i = 0
⇒
∀B ∈ βG : hH, Bi = 0
⇒
H ∈ βG⊥
⇒
εG ⊆ βG⊥
Naopak, každý podgraf H, který je kolmý na všechny hvězdy je nutně eulerovský:
∀u : hH, Hu i = 0
⇒
∀u : degH u ≡ 0 mod 2 ⇒ H ∈ εG
⊥ ⊥
Tedy εG = βG⊥ , protože ε⊥
= βG .
B = βG
Důsledek dim εG = dim βG⊥ = |E| − n + 1.
Věta M ⊆ GF (2)n ⇒ (1, 1, . . . , 1) ∈ hM i + M ⊥ = hM ∪ M ⊥ i
Důkaz hM i ∩ M ⊥
⇒
βG⊥ ⊆ εG
(a) dim(hM i ∩ M ⊥ ) = 0 ⇒ dim(hM i + M ⊥ ) = k + n − k = n ⇒ hM i + M ⊥ =
GF (2)n ⇒ (1, 1, . . . , 1) ∈ hM i + M ⊥
(b) dim(hM i ∩ M ⊥ ) > 0 ⇒ ∃uP
∈ hM i ∩ M ⊥
P
∀u ∈ hM i ∩ M ⊥ : hu, ui = 0 ⇒ u2i ≡ 0 mod 2 ⇒
ui = hu, (1, 1, . . . , 1)i
2
nad GF (2) platı́ ui = ui
⊥
⊥
⇒ (1, 1, . . . , 1) ∈ (hM i ∩ M ⊥ ) = hM i⊥ + (M ⊥ ) = M ⊥ + hM i
.
Věta ∀G ∃V1 , V2 , V1 ∪ V2 = V (G) t. že G[V1 ] i G[V2 ] majı́ všechny stupně sudé.
Důkaz M = εG << VG
G = (1, 1, . . . , 1) ∈ εG + ε⊥
G = εG + βG
Důsledek ∃H ∈ εG ∃B ∈ βG : G = H + B (tedy každý graf lze zapsat jako symetrickou
diferenci eulerovského podgrafu a hranového řezu).
7
3
Shannonova kapacita a Lovászova ϑ funkce
Definice Domečkový součin grafů G a H je graf G H takový, že:
V (G H) = {(u, v) | u ∈ V (G), v ∈ V (H)}

 u1 = u2 , v1 ∼ v2 (sousedı́)
v1 = v2 , u1 ∼ u2
E(G H) = {((u1 , v1 ), (u2 , v2 ))}

v1 ∼ v2 , u1 ∼ u2
Motivacı́ ke zkoumánı́ Shannonovy kapacity grafu může být posı́lánı́ zpráv. Potřebujemeli kód, který opravı́ jednu chybu, můžeme na C5 najı́t pouze dvě kódová slova (α(C5 ) = 2).
Naproti tomu, α(C5 C5 ) = 5 > 22 . Posı́lánı́ zpráv ve většı́ch blocı́ch tedy může být
efektivnějšı́.
3.1
Shannonova kapacita
Definice Shannonova kapacida grafu:
Θ(G) = sup(α(Gi ))1/i
i≥1
Lemma Θ(G H) ≥ Θ(G) · Θ(H)
Důkaz Vezměme si maximálnı́ nezávislou množinu v G a maximálnı́ nezávislou množinu
v H. Z vlastnostı́ domečkového součinu plyne, že mezi vrcholy G H zkombinovanými
z těchto množin nepovede žádná hrana a tudı́ž budou tvořit nezávislou množinu velikosti
alespoň α(G) · α(H).
Pozorovánı́ Θ(Gi ) ≥ Θ(G)i
Důkaz Postupnou iteracı́ lemmatu.
Definice Ortonormálnı́ reprezentace grafu G je funkce ρ : V (G) → Rd , kρ(v)k = 1. Pro
každé (u, v) 6∈ E(G) platı́ ρ(u)⊥ρ(v), neboli hρ(u), ρ(v)i = 0.
Definice Lovászova theta funkce:
1
2
v∈V (G) hρ(v), e1 i
ϑ(G, ρ) = max
Vezmeme si reprezentaci grafu C5 ta se skládá z pěti vektorů v1 , . . . , v5 a jednoho
speciálnı́ho vektoru e1 , vůči kterému budeme ostatnı́ vztahovat. Protože se jedná o ortonormálnı́ reprezentaci, musı́ každé dva nesousednı́ vrcholy z C5 svı́rat pravý úhel. Představı́me
si paraplı́čko“, kde vektor e1 tvořı́ držadlo a vektory v1 , . . . , v5 jsou okolo něj a tvořı́ dráty
”
deštnı́ku. Představme si dále, že deštnı́k roztahujeme, dokud nebudou každé dva nesousednı́ dráty svı́rat pravý úhel. Pak můžeme spočı́st úhel mezi dráty a držadlem, který vyjde
1
hρ(v), e1 i = 5− 4 . Z toho:
√
ϑ(C5 , ρ) = 5
Definice ϑ(G) = min ϑ(G, ρ)
ρ ONR
8
√
Z toho plyne ϑ(C5 ) ≤ 5. Kdybychom ještě znali vztah mezi Θ(G) a ϑ(G), měli bychom
vyhráno. Tuto charakterizaci přinášı́ následujı́cı́ věta.
Věta Θ(G) ≤ ϑ(G)
Důkaz K důkazu věty budeme potřebovat dvě pomocná lemmata.
Lemma (O vztahu ϑ a α) Necht’ H je graf a ρ nějaká jeho ortonormálnı́ reprezentace. Pak
α(H) ≤ ϑ(H, ρ).
Důkaz Necht’ A je nějaká nezávislá množina H. Zřejmě vektory ρ(v) pro v ∈ A tvořı́
ortonormálnı́ systém vektorů. Přáli bychom si odhadnout, jak velký bude skalárnı́ součin
hρ(v), e1 i2 , z čehož nám vztah vyplyne.
Necht’ u je libovolný vektor a bi jsou vektory ortonormálnı́ báze. Chceme-li vyjádřit
vektor u proti bázi bi , zı́skáme i-tou souřadnici skalárnı́m součinem hbi , ui (můžeme si to
představovat tak, že z vektorů bi složı́me matici předhocu). Použijeme-li Pythagorovu větu,
zı́skáme:
2
||u|| =
n
X
hbi , ui2
(29)
i=1
Pokud aplikujeme tento poznatek na vektory ρv rozšı́řené na bázi (což jistě lze), a vektor e1 ,
rovnost se změnı́ na nerovnost (nezajı́majı́ nás přidané vektory) a s vědomı́m, že všechny
vektory máme ortonormálnı́, zı́skáme:
X
hρ(v), e1 i2
(30)
1 = ||u||2 ≥
v∈A
Tedy existuje alespoň jeden vrchol w, že hρ(w), e1 i2 ≤ 1/|A| a dosadı́me-li do zlomku z
definice ϑ, zı́skáme odhad α(G) = |A| ≤ ϑ(H, ρ), což jsme chtěli dokázat.
Lemma (O součinu ϑ) Necht’ H1 a H2 jsou grafy, a ρi jejich ortonormálnı́ reprezentace.
Potom existuje ortonormálnı́ reprezentace ρ silného součinu H1 H2 , pro niž platı́ ϑ(H1 H2 , ρ) = ϑ(H1 , ρ1 ) · ϑ(H2 , ρ2 ).
Důkaz Zadefinujme si funkci ρ pro vrcholy vi následovně:
ρ(v) = ρ1 (v1 ) ⊗ ρ2 (v2 )
(31)
Kde operace ⊗ je tenzorový součin vektorů, tedy pro x ∈ Rn a y ∈ Rm je výsledek vektor
z ∈ Rmn , který obsahuje všechny součiny xi yi .
Zbývá pouze ověřit, že dělá správnou věc. Podı́vejme se tedy nejdřı́ve na skalárnı́ součin:
hx ⊗ y, x0 ⊗ y 0 i = hx|x0 i · hy|y 0 i
(32)
Pokud levou a pravou stranu zvlášt’ rozepı́šeme, je vidět, že roznásobenı́m sum napravo
zı́skáme sumu nalevo a rovnost tedy platı́:
!
!
X
X
X
(xi yj ) · (x0i yj0 ) =
xi x0i
yj yj0
(33)
ij
i
9
j
Zde již jednoduchou úvahou zjistı́me, že ρ je stále ortonormálnı́ reprezentace: zjevně pro
kolmé vektory jsou opět kolmé, a všechny vektory si zachovajı́ délku 1. Nynı́ se stačı́ podı́vat,
co se stane s ϑ funkcı́, rozepišme si ji ted z definice:
ϑ(H1 H2 , ρ) =
1
2
v∈V (H1 H2 ) hρ(v), e1 i
max
1
2
v∈V (H1 H2 ) hρ1 (v1 ) ⊗ ρ2 (v2 ), e11 ⊗ e12 i
1
=
max
2
2
v∈V (H1 H2 ) hρ1 (v1 ), e11 i · hρ2 (v2 ), e12 i
1
1
= max
2 · max
2
v1 ∈V (H1 ) hρ1 (v1 ), e11 i
v2 ∈V (H2 ) hρ2 (v2 ), e12 i
=
max
= ϑ(H1 , ρ1 ) · ϑ(H2 , ρ2 )
A lemma je dokázáno.
Důkaz (Věty o vztahu Θ a ϑ)
α(Gi ) ≤ ϑ(Gi ) ≤ ϑ(G)i
Prvnı́ nerovnost plyne z lemma o vztahu ϑ a α. Druhá plyne z opakovaného použitı́ lemma
o součinu ϑ.
p
Lemma (O dvojité kapacitě) Θ(G + G) ≥ 2|G|
Důkaz Ukážeme, že α((G + G)2 ) ≥ 2|G|.
VG+G = {v1 , ..., vn , v10 , ..., vn0 }
Vezeme graf (G + G)2 a najdeme v něm nezávislou množinu A:
(v1 , v10 ), (v2 , v20 ), . . .
A=
(v10 , v1 ), (v20 , v2 ), . . .
Velikost A je zřejmě 2|G| a z definice Shannonovy kapacity dostaneme:
p
Θ(G + G) ≥ 2|G|
3.2
Funkčnı́ reprezentace grafu
Definice Necht’ G je graf, F je systém funkcı́, X množina reprezentantů a F těleso. Pak
pro vrchol v mějme cv ∈ X a fv ∈ F, že fv : X → F a platı́:
1. fv (cv ) 6= 0
2. uv ∈
/ EG ⇒ fu (cv ) = 0
10
Definice Dimenzi F definujeme jako dim L({fv }), tedy chápeme funkce jako vektorový
prostor.
Lemma (O vztahu α a dim F) G má reprezentaci F, pak α(G) ≤ dim F.
Důkaz Necht’ A je nezávislá v G. Pak {fa }a∈A je lineárně nezávislá, stejně jako {ca }a∈A .
Vyhodnotı́m reprezentujı́cı́ funkci v bodech A.


f1 (c1 ) f2 (c2 ) . . .


M = f2 (c1 ) f2 (c2 ) . . .
(34)
..
.
Matice M bude mı́t na diagonále nenuly a všude jinde nuly. Tı́m pádem jsou jejı́ řádky
lineárně nezávislé a jejı́ dimenze je |A|. Navı́c zjevně dim M ≤ dim F.
Lemma (O dimenzi součinu reprezentacı́) Pokud G1 má reprezentaci F1 , G2 reprezentaci
F2 nad stejným tělesem, pak G = G1 G2 má reprezentaci F a dim F ≤ dim F1 · dim F2 .
Důkaz Definujeme:
X = X 1 × X1
c(v1 ,v2 ) = (cv1 , cv2 )
f(v1 ,v2 ) ((x1 , x2 )) = fv1 (x1 ) · fv2 (x2 )
Ověřı́me, že výše uvedené je funkčnı́ reprezentace a vezmeme si B1 bázi F1 a B2 bázi
F2 . Pak {b1 ⊗ b2 }b1 ∈B1 ,b2 ∈B2 generuje celý prostor F a tudı́ž:
dim F ≤ |B1 | · |B2 | = dim F1 · dim F2
Lemma (O vztahu Θ a dim F) G má reprezentaci F, pak Θ(G) ≤ dim F.
Důkaz
Θ(G) = sup α(Gi )1/i ≤ sup(dim f.r.(Gi ))1/i ≤ sup dim f.r.(G) = dim f.r.(G)
i
i
i
Prvnı́ nerovnost plyne z lemma o vztahu α a dim F, druhá z lemma o dimenzi součinu
reprezentacı́.
Věta Existuje G, H, že Θ(G + H) > Θ(G) + Θ(H)
Důkaz Zvolı́m G takový, že VG = S3 , S = {1, . . . , s} a EG = {(A, B) : |A ∩ B| = 1}.
Reprezentaci vytvořı́me nad tělesem F = Z2 , X = Zs2 :
cA = charakteristický vektor A
X
fA (x) =
xa
a∈A
11
Ověřı́me, že se jedná o funkčnı́ reprezentaci a všimneme si, že každá funkce fA je
kombinace třı́ funkcı́ bi (x) = xi , přičemž funkcı́ bi je s.
dim f.r.(G) ≤ s
⇒
Θ(G) ≤ s
Dále pro H = G zvolı́me reprezentaci pro F = R, X = Rs :
cA = charakteristický vektor A
X
fA (x) = (
xa ) − 1
a∈A
Opět ověřı́me, že se jedná o funkčnı́ reprezentaci.
dim f.r.(G) ≤ s + 1
⇒
Θ(G) ≤ s + 1
s s
Θ(G + G) ≥ 2
> 2s + 1 ≥ Θ(G) + Θ(G)
3
Prvnı́ nerovnost platı́ z lemma o dvojité kapacitě a ostrou nerovnost musı́me splnit, aby
věta platila. Zvolı́me si tedy s ≥ 16.
Definice Obecná poloha vektorů množiny Ň v Rd je taková, že libovolná podmnožina
velikosti ≤ d je lineárně nezávislá.
Definice Lokálně obecná poloha vektorů reprezentace v Rd na grafu G jsou takové vrcholy,
že ρ(N (v)) jsou lineárně nezávislé.
Věta Pro G s |G| = n jsou následujı́cı́ tvrzenı́ ekvivalentnı́:
1. G má ortogonálnı́ reprezentaci v Rd v obecné poloze.
2. G má ortogonálnı́ reprezentaci v Rd v lokálně obecné poloze.
3. G je (n − d)-souvislý.
4
Vlastnı́ čı́sla grafu
Definice Necht’ A je čtvercová matice. Potom pokud pro nějaké λ a x netriviálnı́ platı́, že
Ax = λx řı́káme, že λ je vlastnı́ čı́slo A a x je vlastnı́ vektor přı́slušı́cı́ k λ.
Definice Spektrum matice A je množina množina jejı́ch vlastnı́ch čı́sel. Značı́me Sp(A) =
{λ1 , . . . , λn }.
Definice Podprostorem generovaným vlastnı́m čı́slem čı́slem λ rozumı́me Vλ = {u|Au =
λu}. Geometrická násobnost λ je poté dimenze tohoto prostoru Vλ .
Tvrzenı́ Vλ je vektorový prostor. Důkaz Stačı́ dokázat uzavřenost. Pro u, v ∈ Vλ počı́tejme:
A(u + v) = Au + Av = λu + λv = λ(u + v)
12
(35)
Tedy i u + v ∈ Vλ .
Tvrzenı́ Vlastnı́ čı́sla matice A lze vypočı́tat jako kořeny rovnice det(A − λ · E) = 0.
Důkaz Z definice počı́tejme:
Au = λu
Au − λu = ~0
(36)
(37)
(A − λ)u = ~0
det(A − λE) = 0
(38)
(39)
Přičemž v poslednı́m kroku využı́váme faktu, že pro součin netriviálnı́ho vektoru s maticı́ musı́ být matice singulárnı́, aby mohl vyjı́t nulový vektor a tudı́ž můžeme přejı́t k
determinantu.
Definice Polynomu PA (λ) = det(A − λ · E) řı́káme charakteristický polynom.
Definice Násobnosti kořene λ v polynomu PA řı́káme algebraická násobnost.
Věta Necht’ GN (λ) a AN (λ) značı́ geometrickou, resp. algebraickou násobnost λ. Potom
platı́:
a
GN (λ) ≥ 1 ⇔ λ ∈ Sp(A) ⇔ AN (λ) ≥ 1
GN (λ) ≤ AN (λ)
(40)
(41)
Důkaz (bez důkazu)
Definice Hermitovská transpozice matice A je matice A∗ , taková, že A∗ij = Aji .
Definice Matice A ∈ Cn×n je normálnı́, pokud AA∗ = A∗ A.
Věta Matice A má ortonormálnı́ bázi složenou z vlastnı́ch vektorů právě tehdy, když je A
normálnı́.
Důkaz
⇒“ Necht’ xi jsou vlastnı́ vektory přı́slušejı́cı́ vlastnı́m čı́slům λi tvořı́cı́ ortonormálnı́
”
bázi. Z ortonormality plyne, že XX ∗ = E, kde X má ve sloupcı́ch xi . Podı́vejme se
nynı́ jak vypadá matice X ∗ AX:
 



..
λ1
.

 


..
x∗j
X ∗ AX = 
 (42)
  . . . λi xi . . .  = 
.
..
λn
.
{z
}
{z
}|
|
0
0
=AX
=X ∗
Přičemž druhá matice vznikla ze vztahu Ax = λx, přičemž jsme vynásobili všechny
vektory naráz dı́ky tomu, že byly v matici. Poslednı́ rovnost plyne z pozorovánı́, že
na pozici ij nalezneme výraz x∗j λi xi = x∗j xi λi a protože vektory xl tvořı́ ortonormálnı́
bázi, jsou nula pokud je i 6= j a jedna jinak.
13
Nynı́ vı́me, že X ∗ AX = D, kde D je nějaká (konkrétnı́) diagonálnı́ matice. Nynı́ již
snadno vypočteme elementárnı́mi úpravami:
X ∗ AX = D ⇒ AX = XD ⇒ A = XDX ∗
∗
∗ ∗
∗ ∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
A · A∗ = XD X
| {z· X} D X = XDD X = XD DX = XD X
| {z· X} DX = A · A
E
E
Přičemž jediná finta, kterou jsme použili je, že DD∗ = D∗ D, což je zřejmě pravda,
protože jsou to diagonálnı́ matice.
⇐“ TODO: gavento byl jen pochybny naznak
”
Věta Necht’ Ai ∈ Cn×n a ∀i, j jsou Ai a Aj normálnı́ a Ai Aj = Aj Ai . Potom existuje
společná ortonormálnı́ báze z vlastnı́ch vektorů.
Důkaz TODO: Gavento
Věta Necht’ A je hermitovská matice, tedy A = A∗ . Potom všechna jejı́ vlastnı́ čı́sla jsou
reálná.
Důkaz Vı́me, že existuje nějaké D diagonálnı́ s vlastnı́mi čı́sly na diagonále a X, že
X ∗ AX = D. Dále počı́táme:
D∗ = (X ∗ (AX))∗ = (AX)∗ X = X ∗ A∗ X = X ∗ AX = D
(43)
A komplexnı́ sdruženı́ tedy nesmı́ udělat žádnou operaci, tedy jsou vlastnı́ čı́sla reálná.
4.1
Moorovy grafy
Motivacı́ necht’ jsou r-regulárnı́ grafy bez krátkých cyklů (troj- a čtyř-úhelnı́ků). Triviálnı́
konstrukce nám dává odhad na počet vrcholů: TODO: obrázek konstrukce
|V | ≥ 1 + r + r(r − 1) = r2 + 1
(44)
Definice Moorův graf je takový r-regulárnı́ graf bez troj- a čtyř-úhelnı́ků, kde platı́ v (44)
rovnost.
Věta Moorův graf existuje pro r = 1, 2, 3, 7, pro r = 57 se nevı́ a pro žádné dalšı́ r
neexistuje.
Důkaz (Idea) Mějme graf G Moorův a A jeho matici sousednosti. Zapišme druhou mocninu
A jako stupeň na diagonále a prohozené 0 a 1 jinde a upravme:
A2 = rE + 0 + 1(J − A − E)
A2 = rE − J − A − E
A2 + A + (1 − r)E = J
(45)
(46)
(47)
A2 x = AAx = Aλx = λAx = λλx = λ2 x
(48)
Dále pro nějaké λ ∈ Sp(A):
14
A dosadı́me (47) za A:
Jx = (A2 + A + (1 − r)E)x = (λ2 + λ + (1 − r))x
(49)
A tedy (λ2 + λ + 1 − r) ∈ Sp(J). Vlastnı́ čı́sla matice J (matice samých jedniček) ale
známe, jsou to {0(n−1) , n(1) }. Zjevně pro λ = r vyjde vlastnı́ čı́slo n, je tedy potřeba vyřešit
kvadratickou rovnici s parametrem r:
λ2 + λ + 1 − r = 0
Jak na to půjdeme? Vyjádřı́me si λ známým vzorečkem pro kořeny:
p
√
−1 ± 1 − 4(1 − r)
−1 ± 4r − 3
=
λ1,2 =
2
2
(50)
(51)
Násobnost označı́me m1 , m2 . Protože stopa matice je suma vlastnı́ch čı́sel včetně násobnostı́,
platı́ dále rovnice (protože matice sousednosti A má na diagonále vždy nuly):
Tr(A) = r + m1 λ1 + m2 λ2 = 0
(52)
√
Pro dalšı́ úravy označme odmocninu z diskriminantu jako ·. Nejdřı́ve upravı́me do formy
(násobenı́ dvěma a přeskupenı́):
√
(53)
2r − r2 + .(m1 − m2 ) = 0
Všimneme si, že r ∈ N, tedy máme dvě možnosti:
√
1. . ∈ Q: potom m1 = m2 a tedy r = 2.
√
2. . = s2 ∈ Q a s ∈ N. Po menšı́ch úpravách lze zjistit, že s ∈ {1, 3, 5, 15}, což dává
r ∈ {1, 3, 7, 57}.
4.2
Silně regulárnı́ grafy
Definice Silně regulárnı́ graf je d-regulárnı́, ∀ hranu xy ∈ E ∃!e vrcholů u : ux, uy ∈ E a
∀ nehranu xy 6∈ E ∃!f vrcholů u : ux, uy ∈ E.
Abychom mohli zanedbat triviálnı́ přı́pady, dodáváme f > 0 a G 6= Kn . Přı́kladem silně
regulárnı́ho grafu je úplný bipartitnı́ graf se stejně velkými partitami (e = 0). Nejmenšı́m
nebipartitnı́m silně regulárnı́m grafem je pětiúhelnı́k (e = 0, f = 1).
Věta G je silně regulárnı́ graf s parametry d, e, f a n vrcholy. Potom:
(a) Zafixujeme f : e = f − 1; d = 2f ; n = 4f + 1
nebo
(b) ∃s ∈ Z, že platı́ (e − f )2 − 4(f − d) = s2
a výraz 2fd s ((d − 1 + f − e)(s + f − e) − 2f ) je přirozené čı́slo
15
Důkaz Necht’ G je silně regulárnı́, A je jeho matice sousednosti. (A2 )ij = e, pokud Aij = 1.
Na ostatnı́ch souřadnı́cı́ch bude f , na diagonále d (to plyne z jednoduchého pozorovánı́
počtu sledů délky 2).


d
f
 d
e


2
A =

.
.
f
. 
e
d
A2 = dI + eA + f (J − I − A) = f J + (d − f )I + (e − f )A
A2 + (f − e)A + (f − d)I = f J
λ2 + (f − e)λ + (f − d) → Sp(f J)
λ ∈ Sp A
(54)
(55)
(56)
Vı́me, že vlastnı́ čı́sla jedničkové matice J jsou Sp(J) = {n, 0n−1 }. Proto Sp(f J) =
{f n, 0n−1 }. Dále vı́me, že d je vlastnı́m čı́slem matice A, nebot’ graf G je d-regulárnı́.
d2 + (f − e)d + (f − d) ∈ Sp(f J)
d2 + (f − e)d + (f − d) = f n
(57)
(58)
(59)
λ ∈ Sp(A) − {d} ⇒ λ2 + (f − e)λ + (f − d) = 0
p
p
e − f ± (f − e)2 − 4(f − d)
λ1,2 =
(f − e)2 − 4(f − d) = s
2
(60)
(61)
e−f +s
e−f −s
λ2 =
2
2
Matice A má vlastnı́ čı́sla d (1-násobné), λ1 (p-násobné) a λ2 (q-násobné).
λ1 =
(1) 1 + p + q = n (celkový počet vlastnı́ch čı́sel)
(2) d + pλ1 + qλ2 = Tr A = 0 (stopa4 matice A je 0)
+s
d + p e−f
+ q e−f2 −s
2
=0
p+q
s
d + 2 (e − f ) + 2 (p − q) = 0
(3) d2 + pλ21 + qλ22 = Tr A2 = nd (vlastnı́ čı́sla matice A2 jsou druhé mocniny vlastnı́ch
čı́sel matice A).
4
Stopou (čtvercové) matice rozumı́me součet čı́sel na diagonále. Je známo, že součet vlastnı́ch čı́sel
(včetně násobnostı́) je roven stopě matice. Značı́me ji Tr A.
16
d
(a) s 6∈ Q ⇒ p = q d + p(e − f ) = 0 ⇒ p = f −e
⇒ (f − e)|d
2d
f − e > 0 n = 1 + 2p = 1 + f −e (z rovnice (1))
Pokud f − e = 1, pak e = f − 1 (což chceme).
Pokud f − e = 2, pak n = 1 + d a G = Kd+1 , ale úplné grafy jsme si zakázali.
Pokud f − e > 2, pak n < 1 + d, což je nesmysl.
e = f − 1 ⇒ n = 2d + 1
d2 + d + (f − d) = f (2d + 1)
⇒
d = 2f
⇒
n = 4f + 1
(b) s ∈ Q ⇒ s ∈ N
TODO: Prý pokračovánı́ na cvičenı́, nemůžu ho ale najı́t. Já taky ne.
p=
d
((d − 1 + f − e)(s + f − e) − 2f ) ∈ N
2f s
Věta (Friendship theorem) Necht’ G = (V, E) je graf, že každé dva vrcholy u, v majı́ právě
jednoho společného souseda. Pak existuje u, že deg(u) = n − 1.
Neboli Friendship theorem tvrdı́, že takový silně regulárnı́ graf musı́ vypadat jako mlýn
(hromádka trojúhelnı́ků, které se stýkajı́ v jednom centrálnı́m vrcholu). TODO: obrázek
Důkaz Nejprve si připomeňme, co jsou to konečné projektivnı́ roviny.
Definice Konečná projektivnı́ rovina je množina bodů a přı́mek, že:
1. Každé dvě přı́mky sdı́lejı́ právě jeden bod.
2. Každé dva body spojuje právě jedna přı́mka.
3. Existujı́ 4 body a žádná přı́mka neprotı́ná vı́ce než dva z nich.
Nynı́ si označme symbolem N (v) množinu sousedů vrcholu v. Všimneme si, že sousedstvı́ pro náš graf přesně odpovı́dajı́ přı́mkám v KPR a body jsou body. Protože ale třetı́
podmı́nka by znamenala, že naše věta neplatı́, budeme si přát, aby to KPR nebyla – pak
snadno najdeme vrchol, který je spojený s každým dalšı́m.
Pro spor tedy předpokládejme, že graf KPR je. Protože v KPR majı́ všechny přı́mky
stejnou mohutnost, je také d-regulárnı́. Navı́c každé u, v má právě jednoho společného
souseda, což znamená, že G je silně regulárnı́ s parametry e = f = 1.
Podle předchozı́ věty to ověřı́me: možnost (a) nastat nemůže, protože e = f . Počı́tejme
tedy, že nastala možnost (b). Protože je to KPR řádu m, tak d = m + 1 a n = m2 + m + 1.
(e − f )2 − 4(f − d) = 02 − 4 − 4(m + 1)) = s2
4m = s2
√
s=2 m
17
(62)
(63)
(64)
A ověřı́me celočı́selnost polynomu p s tı́m, že t := s/2 =
√
m, tedy s = 2t a m = t2 :
d
((d − 1 + f − e)(s + f − e) − 2f )
2f s
m+1
((m + 1 + 0)(2t + 0) − 2)
=
4t
(t2 + 1)(t3 − 1)
=
2t
p=
(65)
(66)
(67)
Což má být přirozené čı́slo. To je pravda zřejmě jenom pro t = 1, tedy n = 3 a pokud
náš graf nenı́ trojúhelnı́k, jde to spor. Pokud to trojúhelnı́k je, splňuje žádanou vlastnost
triviálně.
4.3
Raileighův princip a proplétánı́
Věta (Raileighův princip) Necht’ A je matice s ortonormálnı́ bazı́ z vlastnı́ch vektorů xi a
vlastnı́mi čı́sly λi ≥ λk . Potom:
1. x ∈ hx1 , . . . , xk i ⇒ x∗ Ax ≥ λk x∗ x
2. x ∈ hxk , . . . , xn i ⇒ x∗ Ax ≤ λk x∗ x
Důkaz x ∈ hx1 , . . . , xk i ⇒ x =
Pk
i=1
x∗ Ax = x∗ (Ax) = x∗ A ·
k
X
αi xi
!
α i xi
k
X
= x∗
i=1
=
k
X
α i λ i x∗ xi =
i=1
=
k
X
i=1
k
X
αi λi
i=1
λi αi αi ≥
|{z}
≥0
k
X
!
= x∗
αi Axi
i=1
k
X
!
αi λi xi
=
i=1
!∗
αj xj
k
X
xi =
j=1
k
X
αi λi (αi xi )∗ xi =
i=1
λk αi αi = λk
i=1
k
X
αi αi = λk x∗ x
i=1
Poslednı́ rovnost plyne z následujı́cı́ho:
!∗
k
X
λk x∗ x =
αi xi
i=1
k
X
i=1
!
α i xi
=
k
X
αi αi
i=1
Druhou nerovnost dokážeme analogicky.
Věta (Věta o proplétánı́) Necht’ A a B jsou matice takové, že B vznikla z A vymazánı́m
nějakého řádku a sloupce. Potom pro vlastnı́ čı́sla λi , µi matic A, B platı́:
λ1 ≥ µ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ µn−1 ≥ λn
18
(68)
Důkaz Dokazujeme indukcı́ λk ≥ µk ≥ λk+1 . Označme xi a yi vlastnı́ vektory matic A
a B. Zaved’me následujı́cı́ vektorové podprostory Cn (ačkoli druhý z nich nemá dostatek
složek, můžeme mu jednu nulovou přidat a nic se nestane):
S1 := L{xk , . . . , xn } ⊆ Cn
S2 := L{y1 , . . . , yk } ⊆ Cn
(69)
(70)
Zřejmě dim(S1 ) + dim(S2 ) = (n − k + 1) + k > n, tedy ∃x ∈ S1 ∩ S2 . Použijeme Reileighův
princip pro oba prostory a máme:
y ∗ By
x∗ Ax
µk ≤ ∗ = ∗ ≤ λk
y y
xx
(71)
Stačı́ ukázat, že µk ≥ λk+1 – to je ale snadné, stačı́ vzı́t −A a −B, čı́mž se obrátı́ znaménka
vlastnı́ch čı́sel a nerovnosti.
Věta (Věta o proplétánı́ při násobenı́ maticı́) Necht’ A je symetrická čtvercová matice s
vlastnı́mi čı́sly a vektory λi a xi , S reálná matice, že S T S = I. Definujeme B := S T AS
a označı́me vlastnı́ čı́sla a vektory matice B jako µi a yi . Potom µi proplétajı́ λi a pokud
navı́c µi = λi pro nějaké i, tak Syi je vlastnı́ vektor A přı́slušı́cı́ vlastnı́mu čı́slu λi .
Důkaz Použijeme Raileighův princip podobně, jako v předchozı́m tvrzenı́. Všimneme si,
že:
x ∈ L{S T xk , . . . , S T xk−1 }⊥ ⇔ Sx ∈ L{xk , . . . , xk−1 }⊥
(72)
Stačı́ si opět vzı́t vhodný prvek x z průniku:
x ∈ L{S T xk , . . . , S T xk−1 }⊥ ∩ L{y1 , . . . , yk }
(73)
A můžeme použı́t Reileighův princip:
λi ≥
xT Bx
SxT ASx
=
≥ µi
SxT Sx
xT x
(74)
(75)
Na navı́c platı́ pokud λi = µi , potom:
xT Bx
= λi
xT x
⇒
xT Bx = xT xλi
⇒
Bx = λi x
(76)
A x je vlastnı́ vektor přı́slušı́cı́ λi , jak jsme chtěli dokázat.
Definice A je bloková matice s bloky velikosti x1 , . . . , xm . Kvocient A je matice B m×m ,
kde bi,j = průměr hodnot Ai,j .




A1,1 A1,2 . . .
b1,1 b1,2 . . .




A = A2,1 A2,2 . . .
B = b2,1 b2,2 . . .
..
.. . .
..
..
...
.
.
.
.
.
19
Věta (Věta o proplétánı́ kvocientu) Pokud B je kvocient A, pak vlastnı́ čı́sla B proplétajı́
vlastnı́ čı́sla A.
Důkaz Mějme Se je matici incidence blokové A:


1


1

Se = 


1
1
0
0
Se · SeT = diagonálnı́ matice (x1 , x2 , . . . , xm ) = D
1
S := Se · D− 2
e = S T AS
B
Kromě toho platı́:
1
e − 12
B = D− 2 BD
ST S = I
e a má stejná vlastnı́ čı́sla. Matice B
e proplétá matici A,
Tedy B je matice podobná B
což plyne z věty o proplétánı́ při násobenı́ maticı́.
5
5.1
Náhodné procházky
Markovovské řetězce
Definice Markovovský řetězec je orientovaný graf s váženými hranami takový, že výstupnı́
stupeň každého vrcholu je 1. Markovoský řetězec často reprezentujeme maticı́ přechodu P ,
kde Pij udává pravděpodobnost, že ze stavu i přejdeme do stavu j.
Definice Distribuce π je vektor, jehož součet je 1 a kde pi určuje pravděpodobnost, že se
nacházı́me ve stavu i.
Poznámka Máme-li distribuci π a provedeme jeden krok na Markovovském řetězci s maticı́
přechodu P , dostaneme novou distribuci π · P .
Definice Markovovský řetězec je reversibilnı́, existuje-li distribuce π t. že πi · Pij = πj · Pji .
Lemma Markovovský řetězec je reversibilnı́ ⇔ je odvozen z váženého neorientovaného
grafu.
Důkaz
⇐“ Zvolı́me si π následovně a ukážeme, že splňuje reversibilnı́ podmı́nku:
”
wG (i, j)
deg v
πv = P
Pij =
deg i
u∈V (G) deg u
20
πi Pij = πi
wG (i, j)
wG (i, j)
=P
deg i
u∈V (G) deg u
πj Pji = πj
wG (j, i)
wG (j, i)
=P
deg j
u∈V (G) deg u
⇒“ Zvolı́me váhu w(i, j) = Pi,j πi = Pj,i πj = w(j, i) a dostaneme vážený neorientovaný
”
graf.
Definice π je stabilnı́ distribuce5 , je-li π · P = π. Jinak řečeno, stabilnı́ distribuce se po
provedenı́ kroku nezměnı́.
Věta Pro G neorientovaný souvislý platı́: ∀ρ počátečnı́ distribuci {PGk · ρ}k konverguje ⇔
G nenı́ bipartitnı́.
Důkaz
⇒“ Pokud je G bipartitnı́, stačı́ jako protipřı́klad vzı́t distribuci, která začı́ná jenom v
”
jedné partitě. Pak každým pronásobenı́m matice se celá distribuce přesune do druhé
partity, protože nemá kam jinam. Zjevně tedy nekonverguje k jedinému rozloženı́.
⇐“ Prvně si vyjádřı́me distribuci jako lineárnı́ kombinaci
P vlastnı́ch vektorů matice PG (to
”
lze, protože tvořı́ ortonormálnı́ bázi). Tedy ρ = i ai pi . Dále si vyjadřme distribuci
po k iteracı́ch:
X
X
PGk ρ = PGk
ai p i =
PGk ai pi
(77)
i
i
Protože pi je vlastnı́ vektor PG , tak PG pi = λi pi :
X
λki ai pi
(78)
i
Nynı́ si všimneme, že protože graf nenı́ bipartitnı́, tak λ1 6= −λn a největšı́ vlastnı́
čı́slo distribuce je 1, protože matice PG má řádkové i sloupcové součty konstantnı́ 1 a
zároveň je 1 má vlastnı́ vektor samých jedniček. Tedy pro i > 1 platı́ |λi | < 1. Dejme
nynı́ výraz do limity a všimneme si, že suma jde k nule dı́ky tomu, že jediný člen
závislý na k je λi :
!
X
λki ai pi = a1 p1 = π
(79)
lim λk1 a1 p1 +
k→∞
i>1
Tedy máme stabilnı́ distribuci, protože a1 p1 jsou po celou dobu konstantnı́.
5
Někdy též zvaná stacionárnı́“ .
”
21
Věta Necht’ ρ je distribuce
na vrcholech grafu a µ = max{λi , −λn }. Pak po t krocı́ch platı́,
√
že kPGt ρ − πk1 ≤ µt n, tedy distribuce konverguje relativně rychle.
P
Důkaz Z předchozı́ho důkazu vı́me, že ρ = pi ai + i>1 λti ai pi a TODO: vec.
Pust’me se do odhadu našı́ odchylky, prozatı́m však v L2 normě.
2
X
X
2
t
2
λ i ai p i =
λ2t
kPG ρ − πk2 = i kai pi k2
i>1
(80)
i>1
2
Nynı́ si zjednodušı́me práci a do sumy zahrneme i prvnı́ člen. Navı́c odhadneme λi největššı́m
vlastnı́m čı́slem µ (mocnina u λi je sudá!).
X
kai pi k22 = µ2t kρk22 ≤ µ2t
(81)
≤ µ2t
i
Nynı́ stačı́ výraz odmocnit a vzpomenout si na analýzu, čı́mž vı́me, že kxk1 ≤ kxk2 ·
máme nerovnost:
6
(82)
kPGt ρ
(83)
√
− πk1 ≤ µ n
t
Stabilnı́ distribuce a konvergence
Expandéry
Definice
• E(S, T ) = { hrany mezi S a T }
• e(S, T ) = |E(S, T )|
• e(S) = počet hran uvnitř S
• vrcholová expanze hv (G) =
• hranová expanze h(G) =
min
S⊆V,|S|≤ n
2
min
S⊆V,|S|≤ n
2
|N (S)
|S|
e(S,S̄)
|S|
Pozorovánı́ hv (G) ≤ h(G) ≤ d.hv (G)
Definice
• Rodina expanderů {Gi }∞
na
kPGt ρ − πk2 ≤ µt
Což jsme chtěli dokázat.
5.2
√
2i ≥ |Gi | ≥ i : h(Gi ) ≥ ε, Gi je d-regulárnı́.
• Spectral gap = d − max{λ2 , −λn }
22
• Spektrálnı́ expanze = d − λ2
• λ = max{λ2 , −λn }
p
Věta 21 (d − λ2 ) ≤ h(G) ≤ d(d − λ2 ) (G je d-regulárnı́ graf).
Důkaz (Jen prvnı́ nerovnost, druhá je bez důkazu). Sporem: necht’ S je množina vrcholů
s malou hranovou expanzı́.
T
(Raileighův princip). Zvolı́me x = (n − s)1S − s1S̄ ,
Pro x⊥(1, 1, . . . , 1) platı́ λ2 ≥ xxTAx
x
kde s = |S| a 1S je charakteristický vektor množiny S.
xT x = (n − s)2 s + s2 (n − s) = s(n − s)n
X
xT Ax =
2xa xb = 2(n − s)2 e(S) − 2s(n − s)e(S, S̄) + 2s2 e(S̄)
(a,b)∈E
Platı́ ds = 2e(S) + e(S, S̄), nebot’ ds odpovı́dá počtu konců hran v S. Analogicky
d(n − s) = 2e(S̄) + e(S, S̄) pro S̄. Z toho si vyjádřı́me e(S) a e(S̄) a dosadı́me do rovnice
výše:
xT Ax = −e(S, S̄)n2 + (n − s)ds(n − s + s) = (n − s)dsn − e(S, S̄)n2
λ2 ≥
(n − s)dsn − e(S, S̄)n2
n
e(S, S̄)
=d−
·
s(n − s)n
n−s
s
d − λ2 ≤
n
e(S, S̄)
e(S, S̄)
·
≤2·
= 2h(G)
n−s
s
s
√
Lemma Pro náhodný d-regulárnı́ graf skoro jistě platı́ λ ≤ 2 d − 1 + O(1). Bez důkazu.
6.1
Mixing lemma
p
|
Věta (Mixing lemma) ∀G, ∀S, T ⊆ V, S ∩ T = ∅ : |e(S, T ) − d·|S|·|T
|
≤
λ
·
|S| · |T |
n
Důkaz Bud’te χS , χT charakteristické vektory S a T . u = (1, 1, . . . ) je prvnı́ vlastnı́ vektor.
χ⊥
S značı́ vektor kolmý na χS .
hχS · ui
|S|
=
2
kuk
n
e(S, T ) =
|S|
+ χ⊥
S
n
⇒
χS = u ·
X
Aij = χTT AχS =
i∈S,j∈T
χT = u ·
|S| · |T | T
T
⊥
u
Au} +χ⊥
T Aχs
|
{z
2
n
|
{z dn }
d·|S|·|T |
n
T
⊥
Zbývá dokázat, že |χ⊥
T AχS | ≤ λ ·
T
p
|S| · |T |.
T
T
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
|χ⊥
T AχS | ≤ kχT k · kAχS k ≤ kχT k · λ · kχS k
23
|T |
+ χ⊥
T
n
Prvnı́ nerovnost plyne z toho, že skalárnı́ součin dvou vektorů (tedy součin jejich délek
a sinu úhlu, který svı́rajı́) je vždy nejvýš roven součinu jejich délek. Druhá nerovnost plyne
z toho, že si χ⊥
S můžu vyjádřit jako lineárnı́ kombinaci vlastnı́ch vektorů A:
χ⊥
S
=
n
X
yi αi
i=2
Pro každý vlastnı́ vektor yi můžu nahradit matici A vlastnı́m čı́slem λi (pak bude
zachována rovnost) a tı́m spı́š můžu nahradit matici A největšı́m vlastnı́m čı́slem, což je v
našem přı́padě λ = max{λ2 , −λn }, abych zachoval nerovnost.
kχS k2 = |S|
⇒
kχT k2 = |T |
⇒
T
√
S
√
kχ⊥
T
Sk ≤
T
kχ⊥
T k ≤
⊥
|χ⊥
T AχS | ≤ λ ·
6.2
7
p
|S| · |T |
Vzdálenostnı́ mocniny a zig-zag součin
Perfektnı́ kódy
Perfektnı́ kódy jsou v jistém smyslu ty nejlepšı́ samoopravné kódy, konkrétně majı́ vlastnost, že žádná slova z abecedy nezůstávajı́ nevyužita. Cı́lem našeho snaženı́ bude ukázat
větu, která tyto kódy charakterizuje ve smyslu při jakých parametrech může být kód perfektnı́. Začneme připomenutı́m základnı́ch pojmů, vyslovı́me a dokážeme Lloydovu větu o
nutné podmı́nce a z nı́ následně dokážeme (v současné podobně spı́še nastı́nı́me), kýženou
charakterizaci.
7.1
Připomenutı́ pojmů
Definice Samoopravný kód C s parametry (n, q) je pro nás systém množin C ⊆ M =
{0, . . . , q − 1}n (prvkům této množiny řı́káme kódová slova).
Definice Grafem kódu rozumı́me graf G = (V, E), že V (G) = {0, . . . , q − 1}n a hrana
mezi vrcholy u, v vede právě tehdy, když d(u, v) = 1, tedy lišı́ se právě v jedné souřadnici
(d je hammingovská vzdálenost). Kód v takovém grafu je pak podmnožina vrcholů, které
odpovı́dajı́ kódovým slovům.
Definice Kód opravuje t chyb, pokud jsou Nt (u) (okolı́ vrcholu u do vzdálenosti t) disjunktnı́ pro všechny dvojce kódových slov.
Definice Kód C je t-perfektnı́, pokud opravuje t chyb a navı́c úplně pokrývá svou nosnou
množinu M .
Tvrzenı́ Pokud C opravuje t chyb, platı́:
|C| ≤ Pt
i=0
24
qn
n
(q − 1)i
i
Důkaz Okolı́čka musı́ být disjunktnı́, stačı́ tedy spočı́tat, kolik může být kódových slov,
což je daný výraz: V čitateli je počet všech slov. Jmenovatel počı́tá velikost každého t-okolı́,
tedy vybı́rá možné souřadnice ke změně a jejich potenciálnı́ nové hodnoty.
7.2
Lloydova věta
Věta Pokud existuje t-perfektnı́ kód s parametry (n, q), pak Lt (x) (definice nı́že) má t
různých celočı́selných kořenů mezi 0 a n.
t
X
n−x
j
t−j x − 1
Lt (x) =
(−1) (q − 1)
j
t−j
j=0
(84)
Důkaz Důkaz bude plynout touto sekcı́ a obsahuje spoustu pomocných lemmat a konceptů.
Pro pochopenı́ a reprodukci důkazu bude potřeba pochopit všechno mezi tı́mto mı́stem a
a sekcı́ označujı́cı́ samotný důkaz. Necht’ práce započne.
7.3
Vzdálenostně regulárnı́ grafy
Definice Vzdálenostně regulárnı́ graf: ∃shij t. že ∀u, v ∈ V (G), dG (u, v) = j : |{w :
dG (u, w) = h, dG (w, v) = i}| = shij .
Pozorovánı́ |h − j| > j ⇒ shij = 0 (plyne z ∆ nerovnosti), k = s110 (počet sousedů
vrcholu u = v v k-regulárnı́m grafu)
Lemma Zmi = Zm−1,i−1 · s1,i−1,i + Zm−1,i · s1,i,i + Zm−1,i+1 · s1,i+1,i . Zmi značı́ počet sledů
délky m mezi vrcholy ve vzdálenosti i.
Důkaz Z00 = 1, jinak Z0i = 0. Dále dokážeme indukcı́ pro m ≥ 1 a i ≥ 1. s1,i,j je nenulové
pouze pro i ∈ {j − 1, j, j + 1} (z ∆ nerovnosti). V rovnici sčı́táme vrcholy sousedı́cı́ s u,
které jsou ve vzdálenosti i − 1, i a i + 1 od v.
Definice Matice sousednosti A = AG . A(G) = {p(A) : p(x) ∈ C[x]}. A(G) je vektorový
prostor.
Definice Vzdálenostnı́
matice A1 , A2 , . . . , Ad grafu G:
1
dG (u, v) = i
A0 = I
(Ai )uv =
0
jinak
A1 = A
7.4
Reprezentace vzdálenostně regulárnı́ch grafů polynomy
Věta dim A(G) = d + 1, kde d je průměr G.6
P
Důkaz Am = di=0 Zmi Ai
i > m ⇒ Zmi = 0
A0 = Z0,0 · A0 = A0
A1 = Z1,0 · A0 + Z1,1 · A1 = A1
A2 = Z2,0 · A0 + Z2,1 · A1 + Z2,2 · A2
6
Průměr grafu je maximálnı́ nejkratšı́ vzdálenost přes všechny dvojice vrcholů.
25
..
.
Ad = Zd,0 · A0 + Zd,1 + · · · + Zd,d · Ad
Generujeme celý vektorový prostor polynomů A deg ≤ d, tedy dim A(G) ≤ d + 1.
Zároveň ale A0 , A1 , . . . , Ad jsou lineárně nezávislé a proto dim A(G) = d + 1.
Pozorovánı́ Ae = {A0 , A1 , . . . , Ad } tvořı́ bázi A(G).
Definice Matice Bh pro graf je velikosti d × d, uchovávajı́cı́ parametry shij :
(Bh )ij := shij
(85)
Maticı́ B navı́c rozumı́me matici B1 .
b = B.
Lemma Existuje funkce f : A → A, že f (Ah ) = Bh a tuto operaci značı́me A
Důkaz Z předchozı́ho lemmatu již máme bázi Ae prostoru A. Ukážeme si tedy, že můžeme
přejı́t k bázi z menšı́ch matic B. Nejdřı́ve si všiměme, co se děje v následujı́cı́m součinu
matic:
(Ah Ai )uv =
X
(Ah )uw · (Ai )wv = shid(u,v)
(86)
w
Kde zmı́něná suma je rozpis maticového násobenı́ pro jednu buňku součinu. Zřejmě
přičtu 1 pokaždé, když pro vrchol w platı́, že d(u, w) = h a d(w, v) = i, což je přesně definice
shij pro j = d(u, v). Jak takový prvek ještě můžeme vyjádřit (rozepsánı́m maticového
násobenı́ s použitı́m předchozı́ho vzorce pro buňku)?
Ah Ai =
d
X
shij Aj
(87)
j=0
Což je vlastně lineárnı́ kombinace prvků z báze s koeficienty shij . Vytvořme tedy novou
bázi, napřı́klad takovou, která bude obsahovat právě tyto koeficienty. Do řádku i matice
e tedy shij . Tı́m zı́skáme matice B 0 ,
Bh0 zapı́šeme souřadnice součinu Ah Ai vůdči bázi A,
h
které jsou bazı́ (vytvořili jsme je zapsánı́m souřadnic lineárně nezávislých prvků a tak jsou
lineárně nezávislé), která navı́c splňuje žádané vlastnosti a tedy Bh0 = Bh .
·

· · · · ·
 · · · · · · · · ·

 je tridiagonálnı́ matice. Všechny
·
·
·
Lemma (O sousedech) B1 = 
·
·
· ·


·
·
· ·
·
0
0
sloupcové součty jsou stejné a jsou rovny k.
Důkaz Matice je tridiagonálnı́, protože s1,i,j dává smysl jen pro i ∈ {j − 1, j, j + 1} (z ∆
nerovnosti). Navı́c v j-tém sloupci je s1,j−1,j + s1,j,j + s1,j+1,j , což zahrnuje všechny sousedy
u, kterých je k.
·

· · · · ·
 · · · · · · · · ·

· · · ·  je tridiagonálnı́ matice ⇒ ∀ vlastnı́ čı́sla jsou různá.
·
Lemma B1 = 
·

· · · · 
·
·
0
0
26
7.5
Charakteristické polynomy
Definice Definujme polynomy vi ∈ Q[λ] takové, že deg vi (λ) = i a:
1. v0 (λ) = 1
2. v1 (λ) = λ
3. pro i ∈ {2, . . . , d − 1} induktivně, aby splňovaly rovnici
(s1,i,i−1 vi−1 (λ)) + (s1,i,i−λ vi (λ)) + (s1,i,i+1 vi+1 (λ)) = 0
(88)
Lemma (O charakteristickém polynomu) Necht’ λ1 , . . . , λd ∈ Sp(B1 ). Potom pokud λi 6= k
platı́:
vo (λ) + . . . + vd (λ) = c · (λ − λ1 ) · . . . · (λ − λd )
(89)
Důkaz Vytvořme vektor ~v = (v1 (λ), . . . , vd (λ)) a uvažme systém rovnic B~v = λ~v . Ten
umı́me řešit po řádcı́ch (známe prvnı́ dva členy vektoru a celou matici obsahujı́cı́ potřebné
koeficienty), známe tedy vlastnı́ čı́sla (kořeny této rovnice) a jejich vlastnı́ vektory (obsahujı́
složky vi (λ).
Nejprve si ukážeme, že jedno z vlastnı́ch čı́sel je k (všimněte si, že v předpokladech
použı́váme d vlastnı́ch čı́sel, ale dimenze matice B je d + 1). Vezměme si výše použı́vaný
systém rovnic a sečtěme levé a pravé strany. Podle Lemma o sousedech jsou sloupcové
součty matice B rovny k, zı́skáme tedy rovnici k(v0 (λ)+. . .+vd (λ)) = λ(v0 (λ)+. . .+vd (λ)),
z čehož po úpravě plyne, že λ = k.
TODO: Rovnost s char. polynomem
Lemma Pro polynomy vi platı́, že vi (A) = Ai a vi (B) = Bi .
Důkaz (bez důkazu)
Definice z ∈ V (G), T ∈ {0, 1}d+1×n
1
d(u, z) = i
Ti,u =
0
jinak
b
Lemma (O zastřešovánı́) X ∈ A(G), z ∈ V (G) ⇒ T X = XT
Důkaz
(T A)iu =
X
(BT )iu =
X
Tiw Awu = s1,i,d(u,z)
w
Bij Tju = s1,i,d(u,z)
j
T A = BT
⇒
T p(A) = p(B)T
⇒
T A2 = BT A = B 2 T
b
T X = XT
27
⇒
T Am = B m T
Definice Definujme si pomocné polynomy: xi (λ) = v0 (λ) + · · · + vi (λ)
St = xt (A) =
A0 + A1 + · · · + At Kde St je matice, která označuje dvojce vrcholů jedničkou, pokud jsou
vzdálené nanejvýš t (je to součet vzdálenostnı́ch matic do t).
Lemma C je perfektnı́ kód (množina vrcholů) v G a c je jeho charakteristický vektor. Pak
St · c = ~1.
Důkaz (St ·c)u = |{w : w ∈ C, d(w, u) ≤ t}| = 1, což plyne z definice perfektnı́ho kódu.
Lemma ∃ t-perfektnı́ kód ⇒ dim Ker Sbt ≥ t
Důkaz z0 = z ∈ C
z1 , z2 , . . . , zt d(z, zi ) = i pro i = 1, 2, . . . , t
(Tzi · c)j = δij (Kroneckerovo delta = 1 pro i = j, 0 jinak)
Tedy vektory Tzi · c pro i = 0, 1, . . . , t jsou lineárně nezávislé.
 
k0
1
2
 .. 
b
b
~
St (Tzi · c) = (St · Tzi ) · c = Tzi · St · c = Tzi · 1 =  . 
kd
1
2
= plyne z lemma o zastřešovánı́, = plyne z předchozı́ho lemmatu. Výsledný vektor je
pro všechnyvolby zi stejný, protože jeho položky je počet sousedů s pevnými vzdálenostmi,
a protože je to vzdálenostně regulárnı́ graf, jsou to nějaké hodnoty shij se stejným hij pro
řádek.
ui = Tzi · c − Tz0 · c
i = 1, 2, . . . , t
   
k0
k0
 ..   ..  ~
b
b
b
St ui = St Tzi · c − St Tzi · c =  .  −  .  = 0
kd
kd
⇒
ui ∈ Ker Sbt
Vektory u1 , . . . , ut tvořı́ Ker Sbt a jsou lineárně nezávislé. Tedy dim Ker Sbt ≥ t.
7.6
Důkaz Lloydovy věty
Zde začnou věci dávat většı́ smysl. Nejdřı́ve dokážeme pomocı́ výše zmı́něných lemat pomocné tvrzenı́, který dá podobný polynom, následně si s nı́m pohrajeme a zı́skáme polynom
Lloydův, tak jak byl zadefinován na začátku.
Věta (Lloydův prototyp) Pokud existuje t-perfektnı́ kód v G, potom xt (λ)\xd (λ).
Pt
P
\
Důkaz Nejprve si všimněme, že Sb = X
(A) = \
A = t B = X (B). Dále se podı́vejme
t
t
i
i
i
i
t
na spektra B a Sbt :
Sp(B) = {k, λ1 , . . . , λd }
Sp(Sbt ) = {xt (k), xt (λ1 ), . . . , xt (λd )}
28
(90)
(91)
TODO: proc a zbytek...
7.7
Charakterizace perfektnı́ch kódů
Věta Necht’ q = pr , a p je prvočı́slo. Pak existujı́ právě následujı́cı́ netriviálnı́ perfektnı́
kódy (tedy s |C| ≥ 2 a pokud |C| = 2, tak to nenı́ kód q = 2 a n = 2t + 1):
1-perfektnı́ kód n =
q k −1
q−1
pro libovolné k (Hammingův)
2-perfektnı́ kód q = 3 a n = 11 (Golayův)
3-perfektnı́ kód q = 2 a n = 23 (Golayův)
Dál q složené neexistujı́ perfektnı́ kódy pro t ≥ 3 a pro t = 1, 2 se to nevı́.
Důkaz Důkaz je technicky náročný. Základ je v Lloydově větě, která dává relativně silný
nástroj jak perfektnı́ kód poznat. Společně se hrubým odhadem na velikost kódu ukázaným
na začátku sekce, lze pomocı́ hrubé sı́ly a netriviálnı́ teorie čı́sel zı́skat výsledek. Ten však
nenı́ v našı́ moci.
29