Elementární křivky a plochy

Příloha A
Elementární křivky a
plochy
A.1
Analytický popis geometrických objektů
Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především
základních geometrických objektů — bodů, přímek, rovin (resp. jejich
podmnožin). V této části rozšíříme množinu studovaných objektů i na
nelineární křivky a plochy.
Objekty a množiny objektů. Kromě popisu geometrických objektů pomocí souřadnic máme k dispozici ještě další možnosti. Můžeme
použít systém rovnic
fj (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0,
kde j = 1, 2, . . . , k
nebo parametrické vyjádření dané předpisem
xi = xi (t1 , t2 , . . . , tm ),
kde i = 1, 2, . . . , n.
Poznamenejme jen, že studovaný objekt je považován za souhrn dílčích objektů (nejčastěji bodů — nemusí však tomu být vždy, např.
svazek nadrovin je souhrn nadrovin apod.); parametry ti ∈ R potom
1
Geometrie II
představují vnitřní souřadnice těchto dílčích objektů vztažené k lokální
soustavě souřadnic celkového objektu.
Např. rovina % ⊂ E3 je jednoznačně určena svými homogenními souřadnicemi
e = (n0 , n1 , n2 , n3 ),
n
dále ji můžeme chápat jako množinu bodů, jejichž souřadnice xi vyhovují rovnici
f (x) = n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 + n0 = 0,
popř. lze použít parametrické vyjádření
x = x(t1 , t2 ) = a + t1 u + t2 v,
kde n = u × v, přičemž (t1 , t2 ) jsou vnitřní souřadnice bodů roviny %
vztažené k lokálnímu souřadnému systému ShA; ~u, ~v i.
Počet navzájem nezávislých souřadnic dílčích objektů, které jsou nutné
k jednoznačnému určení jistého dílčího objektu, udává dimenzi celkového objektu, který je souhrnem uvedených dílčích objektů. Přitom n+1
homogenních souřadnic udává stejnou dimenzi jako n nehomogonenních
souřadnic, tj. dimenzi n. Jedna rovnice f (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0 s n proměnnými souřadnicemi xi dílčích objektů popisuje (n−1)-dimenzionální
objekt. Každá další nezávislá rovnice snižuje dimenzi vždy o 1.
Aplikujme výše uvedené poznatky na konkrétní příklady. Prostor E3 má
tedy jakožto množina rovin dimenzi 3 (každá rovina má 4 homogenní
souřadnice). Rovina % jakožto souhrn bodů má dimenzi 2 (každý bod
roviny je jednoznačně určen 2 parametry u, v — lokální souřadnice). Lineární rovnice v proměnných x1 , x2 , x3 (souřadnice bodů v E3 ) popisuje
rovinu jako dvojdimenzionální bodovou množinu; rovnice v proměnných
n0 , n1 , n2 , n3 (homogenní souřadnice roviny v E3 ) popisuje dvoudimenzionální množinu rovin, která je částí prostoru E3 jakožto souhrnu všech
rovin. Svazek nadrovin má dimenzi 1, neboť každá nadrovina svazku je
popsána dvěma homogenními souřadnicemi t0 , t1 .
A.2
Křivky a jejich tečny
Ačkoliv je pojem křivky dosti názorný, z hlediska matematického je
poměrně složitě definovatelný. Zjednodušeně řečeno, křivkou nebo její
2
A.2. Křivky a jejich tečny
částí budeme rozumět jednodimenzionální množinu bodů eukleidovského prostoru En .
D EFINICE A.2.1:
Křivkou nazýváme množinu právě těch bodů eukleidovského prostoru En , jejichž kartézské souřadnice jsou dány souřadným vektorem
x = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)),
kde xi (t) jsou reálné funkce reálné proměnné t definované na nějakém
intervalu I ⊂ R , které mají spojité derivace podle t alespoň prvního
řádu.
Přísluší-li několika hodnotám parametru t jediný bod, pak takovýto bod
nazýváme několikanásobný.
Jestliže chápeme parametr t jako čas, potom křivka k : x = x(t) představuje dráhu.
Uvažujme nyní dva různé body křivky X0 : x(t0 ) a X : x(t) = x(t0 + h).
Přímka spojující tyto dva body je sečnou křivky k se směrovým vektorem
1
(x(t0 + h) − x(t0 )).
h
Přímku, která je limitním případem sečny X0 X pro X → X0 , nazýváme
tečna křivky v bodě X0 . Její směrový vektor pak nabývá tvaru
ẋ0 =
d
x(t0 + h) − x(t0 )
x(t) − x(t0 )
x(t0 ) = lim
= lim
=
t→t0
h→0
dt
h
t − t0


= lim 
t→t0
x1 (t)−x1 (t0 )
t−t0
x2 (t)−x2 (t0 )
t−t0
x3 (t)−x3 (t0 )
t−t0


 
=
dx1 (t0 )
dt
dx2 (t0 )
dt
dx3 (t0 )
dt


.
Bod x0 = x(t0 ) křivky k se nazývá regulární, jestliže existuje derivace
d
ẋ0 = dt
x(t0 ) 6= 0; v regulárním bodě x0 křivky k je možné jednoznačně
sestrojit tečnu této křivky, jejíž parametrická rovnice je
y(λ) = x0 + λẋ0 .
3
Geometrie II
Body křivky, které nejsou regulární označujeme jako singulární.
Křivka, která je tvořena výhradně regulárními body, se nazývá hladká.
Jestliže opět interpretujeme parametr t jako čas a tím pádem x(t) jako
dráhu, potom vektor ẋ(t) představuje rychlost.
Rovinné křivky. V eukleidovské rovině E2 můžeme body křivky
(nebo její části) při pevně zvolené kartézské soustavě souřadnic analyticky popsat pomocí parametrického vyjádření
k : x = x(t) = (x1 (t), x2 (t)),
kde t ∈ J ⊂ R,
popř. můžeme použít implicitní rovnici
k : f (x1 , x2 ) = 0
nebo explicitní rovnici
k : x2 = g(x1 ).
Zvláštním typem rovinných křivek jsou křivky, které jsou popsány algebraickou rovnicí n-tého stupně:
k:
X
aij xi1 xj2 = a00 + a10 x1 + a01 x2 + a11 x1 x2 + . . . = 0,
i,j=0
kde n = max(i + j). Tyto křivky nazýváme algebraické křivky
n-tého stupně; algebraické křivky stupně n = 2, 3, 4 . . . se nazývají
kuželosečky, kubiky, kvartiky. . . Není-li f polynomem, křivka k :
f (x1 , x2 ) = 0 se nazývá transcendentní.
A.3
Plochy a jejich tečné roviny
Obdobně jako v případě křivky nám pro první vymezení poslouží pojem
dimenze. Plochou nebo její částí budeme rozumět dvoudimenzionální
množinu bodů eukleidovského prostoru En .
4
A.3. Plochy a jejich tečné roviny
D EFINICE A.3.1:
Plochou nazýváme množinu právě těch bodů eukleidovského prostoru En , jejichž kartézské souřadnice jsou dány souřadným vektorem
x = (x1 (u, v), x2 (u, v), . . . , xn (u, v)),
kde xi (u, v) jsou reálné funkce dvou reálných proměnných u, v definované na dvojrozměrné oblasti B ⊂ R2 , které mají spojité parciální
derivace alespoň prvního řádu.
Parametry u, v představují vnitřní křivočaré souřadnice bodů plochy
P— tzv. Gaussovy souřadnicemi.
Jestliže v parametrickém vyjádření x = x(u, v) plochy P položíme
u = u0 = konst., resp. v = v0 = konst., dostáváme jednoparametrické rovnice x = x(u0 , v), resp. x = x(u, v0 ), které v obou případech
popisují křivky ležící na ploše P. Pro u = u0 = konst. dostáváme tzv.
v-křivky, pro v = v0 = konst. dostáváme tzv. u-křivky plochy P
(tzv. parametrické křivky). Souhrn u- a v−křivek vytváří na ploše
tzv. souřadnicovou síť.
Pro pevně zvolený bod X0 = x(u0 , v0 ) na ploše P představuje
• xu =
∂
∂u x(u0 , v0 )
směrový vektor tečny u-křivky v bodě X0 ;
• xu =
∂
∂v x(u0 , v0 )
směrový vektor tečny v-křivky v bodě X0 .
Odchylka ϕ tečen parametrických křivek v bodě X udává odchylku
parametrických křivek v bodě X a platí
cos ϕ =
Je-li ve všech bodech plochy ϕ =
nální síti.
|xu · xv |
.
|xu | · |xv |
π
2,
potom hovoříme o tzv. ortogo-
Jestliže pro bod X = x(u0 , v0 ) ∈ P platí
n(u0 , v0 ) = xu (u0 , v0 ) × xv (u0 , v0 ) 6= o,
nazýváme jej regulární bod plochy P s parametrizací x = x(u, v). V
opačném případě hovoříme o singulárním bodu.
5
Geometrie II
Rovnice
u = ϕ(t),
(t ∈ I)
v = ψ(t)
definují parametricky na ploše P křivku
k : x = (x1 [ϕ(t), ψ(t)], x2 [ϕ(t), ψ(t)], . . . , xn [ϕ(t), ψ(t)])
za předpokladu, že funkce ϕ(t), ψ(t) mají na intervalu I spojité derivace
alespoň prvního řádu a ∀t ∈ I leží (ϕ(t), ψ(t)) v množině B.
Každá křivka k ⊂ P se nazývá křivka plochy, každá tečna každé
křivky plochy P se nazývá tečna plochy P. Rovina τ se nazývá tečná
rovina plochy P v bodě X0 , jestliže každá přímka roviny τ procházející
bodem X0 je tečnou plochy P. Bod X0 se nazývá bod dotyku. Kolmice
v bodě dotyku k tečné rovině plochy P se nazývá normála plochy v
bodě X0 . Směrový vektor normály plochy P v bodě X = x0 = x(u0 , v0 )
je
n = xu (u0 , v0 ) × xv (u0 , v0 )
a parametrická rovnice této normály má tvar
y(λ) = x0 + λn.
Plochy v prostoru. V eukleidovském prostoru E3 můžeme body
plochy (nebo její části) při pevně zvolené kartézské soustavě souřadnic
analyticky popsat pomocí parametrického vyjádření
P : x = x(u, v) = (x1 (u, v), x2 (u, v), x3 (u, v)),
kde (u, v) ∈ B ⊂ R2 ,
popř. můžeme použít implicitní rovnici
P : f (x1 , x2 , x3 ) = 0
nebo explicitní rovnici
P : x3 = g(x1 , x2 ).
Je-li plocha P popsána explicitní rovnicí
x3 = g(x1 , x2 )
kde (x1 , x2 ) ∈ B ⊂ R2 ,
potom snadno určíme parametrické vyjádření této plochy ve tvaru
P : x = x(u, v) = (u, v, g(u, v)),
6
kde (u, v) ∈ B ⊂ R2 .
A.4. Válcová a kuželová plocha
V tomto případě hovoříme o tzv. Eulerově parametrizaci.
Zvláštním typem ploch v prostoru E3 jsou plochy, které jsou popsány
algebraickou rovnicí n-tého stupně:
X
aijk xi1 xj2 xk3 = 0,
P:
i,j,k=0
kde n = max(i + j + k). Tyto plochy nazýváme algebraické plochy
n-tého stupně; algebraické plochy stupně n = 2 se nazývají kvadriky.
Není-li f polynomem, plocha P : f (x1 , x2 , x3 ) = 0 se nazývá transcendentní.
Poznamenejme ještě, že v eukleidovském prostoru E3 lze tečnou rovinu
plochy P v bodě x0 = x(u0 , v0 ) popsat pomocí obecné rovnice
n(x − x0 ) = 0,
kde n = xu (u0 , v0 ) × xv (u0 , v0 ) je normálový vektor v bodě x0 .
Křivky v prostoru. V eukleidovském prostoru E3 můžeme body
křivky samozřejmě popsat parametricky (viz předcházející kapitolu).
Další možností je určit křivku prostřednictvím dvou nezávislých rovnic
k : f1 (x1 , x2 , x3 ) = 0, f2 (x1 , x2 , x3 ) = 0.
Obě rovnice f1 = 0, f2 = 0 popisují dvě plochy P1 , P2 a tudíž je křivka
k = P1 ∩ P2 jejich průsečnou křivkou.
Algebraická plocha n-tého stupně je proťata rovinou, která není její
součástí v algebraické křivce n-tého stupně.
A.4
Válcová a kuželová plocha
Válcová a hranolová plocha. Nechť je dána křivka k :
y = y(u), u ∈ I a přímka s se směrovým vektorem ~s. Válcovou plochou rozumíme množinu všech přímek daného směru ~s (tzv. povrchových přímek, popř. površek), které protínají danou křivku k (tzv.
řídicí křivku).
Parametrické vyjádření válcové plochy má tvar
(u, v) ∈ I × R.
x = y(u) + vs,
7
Geometrie II
Je-li k mnohoúhelník (tzv. řídicí mnohoúhelník), potom hovoříme
o hranolové ploše. Povrchové přímky jdoucí vrcholy řídicího mnohoúhelníka nazýváme hrany. Množina všech přímek plochy, které protínají stranu řídicího mnohoúhelníka, tvoří tzv. stěnu hranolové plochy.
Kuželová a jehlanová plocha. Nechť je dána křivka
k : y = y(u), u ∈ I, která se nazývá řídicí křivka a bod S 6∈ k, jenž nazýváme vrchol. Kuželovou plochou rozumíme množinu všech přímek
procházejících bodem S (tzv. povrchových přímek, popř. površek),
které protínají řídicí křivku k.
Parametrické vyjádření kuželové plochy je
x(u, v) = s + v(y(u) − s),
(u, v) ∈ I × R.
Je-li k mnohoúhelník (tzv. řídicí mnohoúhelník), potom hovoříme
o jehlanové ploše. Povrchové přímky jdoucí vrcholy řídicího mnohoúhelníka nazýváme hrany. Množina všech přímek plochy, které protínají stranu řídicího mnohoúhelníka, tvoří tzv. stěnu jehlanové plochy.
Tečná rovina válcové a kuželové plochy. Uvažujme na
válcové, popř. kuželové ploše bod A = x(u0 , v0 ) jakožto průsečík površky s a tvořicí křivky k : y = y(u) — evidentně je v případě válcové
plochy v0 = 0 a v případě kuželové plochy v0 = 1. Normálový vektor
plochy v bodě A můžeme vypočítat
ẏ × s (válcová plocha)
n = xu (u0 , v0 ) × xv (u0 , v0 ) =
ẏ × (y − s) (kuželová plocha),
kde ẏ je směrový vektor tečny tvořicí křivky v bodě A a s, resp. (y−s) je
směrový vektor površky válcové, resp. kuželové plochy. Odtud je vidět,
že tečnou rovinu τA v bodě A = k ∩s lze určit pomocí površky s a tečny
tk řídicí křivky k v bodě A.
Nechť B = x(u0 , v1 ), v1 =
6 v0 , je libovolný bod na površce s různý
od bodu A = x(u0 , v0 ) = s ∩ k.1 Vypočteme normálový vektor plochy
v bodě B
ẏ × s (válcová plocha)
n1 = xu (u0 , v1 ) × xv (u0 , v1 ) =
v1 ẏ × (y − s) (kuželová plocha).
1V
případě kuželové plochy uvažujeme rovněž B 6= S.
8
A.5. Plochy vznikající pohybem křivek
Je vidět, že n k n1 , a proto tečná rovina v bodě B je totožná s tečnou
rovinou τA .
A.5
Plochy vznikající pohybem křivek
Parametrické vyjádření plochy často získáme ze znalosti principu, jakým byla tato plocha vytvořena. Příkladem mohou být plochy vznikající
pohybem křivek, které nejsou dráhou pohybu (plochy v tomto případě
chápeme jako jednoparametrické soustavy křivek ).
Tvořicí křivku k : y = y(u), u ∈ I ⊂ R podrobíme jistému pohybu
popsanému rovnicí x = Ay + b, AT A = E. Skutečnost, že pohyb závisí
na parametru v, vyjádříme zápisem
b = b(v), A = A(v), A(v)T A(v) = E,
∀v ∈ J ⊂ R.
Každý bod tvořící křivky k opisuje tedy určitou trajektorii (podle předpokladu různou od křivky k), jejichž souhrnem je plocha s parametrickým vyjádřením
x(u, v) = A(v)y(u) + b(v),
(u, v) ∈ I × J ⊂ R2
(A.1)
Podle druhu pohybu rozeznáváme např. plochy translační (posunutí),
rotační (otočení) nebo šroubové (šroubový pohyb). Plochy je možné
třídit rovněž i podle tvořící křivky — např. přímkové plochy.
Rotační plochy. Rotační plocha vzniká rotací tvořicí křivky
k kolem přímky o, kterou nazýváme osa rotační plochy. Je-li speciálně
o = x3 , potom má rotace vyjádření


cos v − sin v 0
cos v 0  y, kde v ∈ J = h0, 2π).
x =  sin v
(A.2)
0
0
1
T
Z rovnice (A.1) dostáváme pro k : y = y(u) = y1 (u), y2 (u), y3 (u) ,
u ∈ I parametrické vyjádření rotační plochy


cos v − sin v 0
T
cos v 0  y1 (u), y2 (u), y3 (u) =
x(u, v) =  sin v
0
0
1
9
Geometrie II


y1 (u) cos v − y2 (u) sin v
=  y1 (u) sin v + y2 (u) cos v  ,
y3 (u)
(u, v) ∈ I × J.
(A.3)
Rotací libovolného bodu A tvořicí křivky k kolem osy o vzniká tzv.
rovnoběžková kružnice
(rovnoběžka) se středem [0, 0, y3 (ui )] a pop
loměrem r(ui ) = y12 (ui ) + y22 (ui ).
Řez rotační plochy rovinou, která prochází osou rotační plochy, se nazývá meridián. Rotační plocha se při otočení kolem své osy reprodukuje (zobrazuje sama na sebe), a proto můžeme každý meridián chápat
rovněž jako tvořicí křivku. Je-li jakožto tvořicí křivka dán např. meridián ležící v souřadné rovině x2 = 0 s vyjádřením
T
m = m(u) = m1 (u), 0, m3 (u) ,
u ∈ I,
potom z (A.3) dostáváme parametrické vyjádření


m1 (u) cos v
x(u, v) =  m1 (u) sin v  , (u, v) ∈ I × J.
m3 (u)
(A.4)
Snadno se přesvědčíme, že v tomto případě je parametrická síť ortogonální (pro všechny body plochy platí ẋu · ẋv = 0).
10